Pl.: hányféleképpen lehet egy n elemű halmazból k elemű részhalmazt kiválasztani, n tárgyat hányféleképpen lehet szétosztani k személy között stb.?

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Pl.: hányféleképpen lehet egy n elemű halmazból k elemű részhalmazt kiválasztani, n tárgyat hányféleképpen lehet szétosztani k személy között stb.?"

Imre Vass
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Dr. Vicze Szilvia

2 A kombiatorika a véges halmazokkal foglalkozik. A véges halmazokkal kapcsolatba számos olya probléma vethető fel, amely függetle a halmazok elemeitől. Pl.: háyféleképpe lehet egy elemű halmazból k elemű részhalmazt kiválasztai, tárgyat háyféleképpe lehet szétosztai k személy között stb.?

3 A vizsgáladó problémát két fő témakör köré csoportosítjuk: 1) egy halmaz elemeiek külöböző sorredbe törtéő elhelyezése; 2) egy halmaz elemeiből külöböző módo való kiválasztás.

4 Tartalomjegyzék 1. Permutáció a.) Ismétlés élküli permutáció b.) Ismétléses permutáció 2. Variáció a.) Ismétlés élküli variáció b.) Ismétléses variáció 3. Kombiáció a.) Ismétlés élküli kombiáció b.) Ismétléses kombiáció

5 Ismétlés élküli permutáció Defiíció: Adott külöböző elem. Az elemek egy meghatározott sorredjét az adott elem egy ismétlés élküli permutációjáak hívjuk. Az elem permutációiak számát P -el jelöljük. Tétel: Az adott elem ismétlés élküli permutációiak a száma: P =!

6 Megjegyzés Az faktoriális az első természetes szám szorzata:! 0! ( 1 1)

7 Példa 1.Írjuk fel az a, b, c elemek összes permutációját! 2.Háyféle sorredbe lehet 4 külöböző övéyt (búza, árpa, rozs, kukorica) 4 egymás utái parcellába elveti?

8 Ismétléses permutáció Defiíció: Adott elem, amelyek között r (r ) külöböző található, ezek a 1, a 2,... a r. Az a 1 elem k 1 -szer, az a 2 elem k 2 -ször,..., az a r elem k r -szer fordul elő és k 1 + k k r =. Az adott elem egy meghatározott sorredjét eze elemek egy ismétléses permutációjáak evezzük. A szóba jöhető ismétléses permutációk számát az alábbi szimbólummal jelöljük: k k P 1, 2,..., k

9 Ismétléses permutáció Tétel: Rögzített, r és k 1, k 2,..., k r eseté az ismétléses permutációk száma: P k 1, k 2,..., kr! k1! k2!... kr!

10 Példa 1.Háyféleképpe tölthető ki egy 13 mérkőzést tartalmazó totószelvéy egy oszlopa, ha 8 db 1- es tippet, 2 darab x tippet és 3 darab 2-es tippet akaruk elhelyezi? 2.Háyféle sorredbe lehet 4 parcellát beveti búzával és kukoricával, ha midkettőt 2-2 parcellába vetjük?

11 Ismétlés élküli variáció Defiíció: Adott külöböző elem. Ha az elem közül k elemet (0 < k ) úgy választuk ki, hogy midegyik csak egyszer kerül sorra és a kiválasztás sorredje is számít, akkor az elem egy k- adosztályú ismétlés élküli variációját kapjuk. Az elem k-adosztályú ismétlés élküli variációiak számát az alábbi szimbólummal jelöljük. V k

12 Ismétlés élküli variáció Tétel: Az külöböző elem k-adosztályú variációiak száma: ) 1 (... 1!! k k V k Megjegyzés: Ha =k, akkor k P V V! 0!!

13 Példa 1.Egy urába hat golyó va, sorra 1,2,3,4,5,6 számokkal számozva. Jól összerázzuk az ura tartalmát és találomra, egymás utá kihúzuk égy golyót belőle aélkül, hogy a kihúzottakat visszateék. A kihúzott golyók számát a kihúzás sorredjébe feljegyezzük. Háyféle sorredbe lehet a égy golyót kihúzi? 2.Öt sertésből háyféleképpe választhat ki magáak 3 ember 1-1 darabot?

14 Ismétléses variáció Defiíció: Adott külöböző elem. Ha az elem közül k elemet úgy választuk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet és a kiválasztás sorredje is számít, akkor az elem egy k- adosztályú ismétléses variációját kapjuk. Az elem k-adosztályú ismétléses variációiak számát az alábbi szimbólummal jelöljük: V k, i

15 Ismétléses variáció Tétel: Az külöböző elem k-adosztályú ismétléses variációiak száma: V k, i k

16 Példa 1.Egy kockával ötször dobuk egymás utá. Háy külöböző dobássorozatot kapuk, ha a dobások sorredje is számít? 2.Háyféleképpe tölthető ki egy tesztlap, amelyek 10 kérdéséek midegyikére 1,2 és x válaszokat adhatuk?

17 Ismétlés élküli kombiáció Defiíció: Adott külöböző elem. Ha az elem közül k elemet (0 < k ) úgy választuk ki, hogy midegyik csak egyszer kerül sorra és a kiválasztás sorredje em számít, akkor az elem egy k- adosztályú ismétlés élküli kombiációját kapjuk. Az elem k-adosztályú ismétlés élküli kombiációiak számát az alábbi szimbólummal jelöljük. C k

18 Ismétlés élküli kombiáció Tétel: Az külöböző elem k-adosztályú kombiációiak száma: C k 1... ( k! alatt a k k 1) k A szimbólumot biomiális együtthatóak evezzük. C k! k! k!

19 Példa 1.A lottó 90 számból találomra kihúzak ötöt egyműs utá oly módo, hogy a már kihúzottakat em teszik vissza az urába. Háy szelvéyt kellee ahhoz kitölteük, hogy biztosa legye öt találatuk? 2.Adjuk meg az a,b,c,d elemek 2-odosztályú ismétlés élküli kombiációiak a számát!

20 Ismétléses kombiáció Defiíció: Adott külöböző elem. Ha az elem közül k elemet úgy választuk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet és a kiválasztás sorredje em számít, akkor az elem egy k- adosztályú ismétléses kombiációját kapjuk. Az elem k-adosztályú ismétléses kombiációiak számát az alábbi szimbólummal jelöljük. C k, i

21 Ismétléses kombiáció Tétel: Az külöböző elem k-adosztályú ismétléses kombiációiak száma: C k, i k k 1

22 Példa 1.Írjuk fel az a,b,c,d elemek másodosztályú ismétléses kombiációit! 2.A piaco háromféle almát árulak. 4 láda almát szereték vei, ezt háyféle módo tehetjük meg?

23 Biomiális tétel Tétel: tetszőleges kéttagú kifejezés bármely emegatív egész kitevőjű hatváya poliommá alakítható a következő formába: k k a b ahol N és a,b R. a k k0 b

24 Biomiális tétel Állítás: 0 1

25 Példa Fejtse ki biomiális tétellel a következő hatváyt! 2 3 x 2y 5

26 A biomiális együtthatók éháy tulajdosága A biomiális együtthatókat ( = 1,2, értékekre) az ú. Pascal-féle háromszögbe helyezhetjük el.

27 A biomiális együtthatók éháy tulajdosága Az értékéek megfelelőe beszélhetük ulladik, első és második sorról. A szimbólumok helyébe azok kokrét értékét beírva a Pascal-háromszög:

28 Tételek Bármely k, N, 0 k eseté feáll a(z): 1.Szimmetria-tulajdoság (adott sorba szimmetrikusa helyezkedek el az elemek): k k 2.Összeg-tulajdoság (mide eleme a felette lévő két elem összegével egyelő): k k 1 1 k 1

29 Tételek Bármely k, N, 0 k eseté feáll a(z):

Hasonló dokumentumok

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen,

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen, KOMBINATORIKA 1 Készítette: Bordi Istvá Tóth Árpád Gimázium Debrece, boi@tagdebr.suliet.hu Kérdések: A KOMBINATORIKA TÁRGYA 1. elemet háyféleképpe lehet egymás mellé tei (permutáció). 2. elemből háyféleképpe