Fibonacci nyulai. 2. A második hónap végén születik 1 új pár, így most már 2 pár van
|
|
- Máté Mészáros
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 1 A Fiboacci- számok Leoardo di Pisa, ismertebb evé Fiboacci ( ? olasz kereskedő és matematikus. Üzleti útjai lehetősége yílt megismerkedi az arab és hidu matematikával. Fiboacci legikább arról híres, hogy ő terjesztette el az arab számokat Európába a Liber Abaci című köyvével. A róla elevezett Fiboacci-számokat em ő fedezte fel, de példakét haszálta ugyaebbe a művébe. A moder természettudomáyok egyik legagyobb rejtélye, miért a Fiboacci- számok " mozgatják a világot". Fiboacci yulai Az eredeti probléma, amelyet Fiboacci kutatott (1202 arról szólt, hogy ideális körülméyek között a yulak milye gyorsa, milye redszerességgel elleek. Tegyük fel, hogy egy mező él egy újszülött yúl pár, egy hím és egy őstéy. A yulak egy hóapos korukra leszek ivarérettek, így a második hóap végé már megszülethetek az elsõ kicsiyek. Tegyük fel, hogy a mi yulaik soha em halak meg és hogy a őstéyek midig új párt elleek ( 1 hímet és 1 őstéyt mide hóapba, a második hóaptól kezdve. Fiboacci problémája: háy pár lesz egy éve belül? 1. Az első hóap végé még csak 1 pár va 2. A második hóap végé születik 1 új pár, így most már 2 pár va 3. A harmadik hóap végé az eredeti őstéyek születik a második pár yula, így már 3 pár lesz. 4. A egyedik hóap végé az eredeti őstéyek lesz újabb kicsiye, a második hóapba született őstéy most elli az első kicsiyeit, így összese már 5 pár yúl va. Mide hóap elejé a yúlpárok száma: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,55, Eze megfigyeléseiek alapjá Fiboacci általáosította a később elevezett sorozat képzési szabályát:
2 Kombiatorika Összeállította:Keszeg Attila 2 Szabály 1 (Fiboacci-sorozat. A Fiboacci-sorozat egy úgyevezett rekurzív a sorozat elemei. Az első két eleme 1, a további elemeket az előző kettő összegekét kapjuk. Képletbe: f 1 = 1; f 2 = 1; f = f 1 + f 2 ( 3 a A matematikába a rekurzív sorozat egy olya sorozat, ami defiiálható egy rekurziós összefüggés segítségével. Utóbbi olya képlet, összefüggés, ami a sorozat bármely elemét a megelőző éháy tag ismeretébe adja meg Feladatok 1. Határozza meg a Fiboacci-sorozat első 20 elemét! 2. Csoportmuka: Keresse(ek példákat a hétközapokból a Fiboacci- számok fellelhetőségére! 2 Permutációk, variációk Defiíció 1. Adott pozitív egész szám eseté faktoriálisak evezzük az -él em agyobb pozitív egész számok szorzatát. Jelölés:! = ( 1 ( 2 ( Megegyezés alapjá 0! = 1 és 1! = 1 Defiíció 2. Egy adott elemű halmaz elemeiek ismétlés élküli permutációjá az külüböző elem sorbaredezését értjük! Feladat 1. Háyféleképpe lehet sorba raki a zöldség szó betűit? Kidolgozás 1. A zöldség szó 7 betűből áll. Ez azt jeleti, hogy sorbaredezésél az első helyre írhatuk 7 külöböző betűt. Ha az első helye már elhaszáltuk egy betűt a hétből, a második helyre már csak 6 féle külöböző betűt írhatuk. Eze godolatmeeter folytatva a harmadik helyre már csak 5 betűből tuduk választai, a egyedik helyre 4-ből, az ötödikre 3-ból, a hatodikra 2-ből a hetedik helyre pedig már csak 1 betű marad. A zöldság szó betűit tehát féleképpe lehet sorba redezi 7! = = 5040 A feti feladat alapjá következtethetük a következő tételre, melyek bizoyítása szorgalmi feladat! Tétel 1. Egy adott -elemű halmaz permutációiak száma! Feladatok 1. Nóri, Robi, Sári, Klári egyszerre érek a lifthez. Háyféle sorredbe szállhatak be?
3 Kombiatorika Összeállította:Keszeg Attila 3 2. Réka 3 szelet süteméyt szerete vásároli. Dobostortát, kókuszgolyót és krémes-mézest. Háyféle sorredbe kérheti a süteméyeket? 3. Az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyeket háyféleképpe redezhetjük sorba úgy, hogy a harmadik helye 5-ös va? 4. A kézilabdapálya íves alakú hatos voalá háyféleképpe sorakozhat fel a csapat a védekezésél? A feti feladatok jellegzetessége, hogy ics meg beük a lehetőség a halmazok egyes elemeiek ismétlődésére. De, mit azt már megszoktuk, az élet em midig ilye egyszerű, még a tisztá matematikai "síko" sem. Nagyo sokszor előfordulhat hogy egy feladatba több egyforma elemmel is találkozuk. A kérdés amit megszereték válaszoli az, hogy ezekek a sorbaredezéséhez is felállítható-e egy képlet. Még mielőtt eki fogák a képlet meghatározásáak, jöjjö egy újabb Defiíció 3. Ha egy halamaz elemei között va olya, amelyik többször is előfordul, az elemek sorbaredezését ismétléses permutációak evezzük. Feladat 2. Háyféleképpe lehet sorba raki egy fehér, két zöld és három kék golyót? Kidolgozás 2. Eek a feladatam a megoldásáál is hasolóképpe kell eljáruk, mit az előzőekél, csak közbe észre kell veük egy pici csapdát is! Ehhez először is tudatosítuk kell magukba, hogy az előzőektől eltérőe, ebbe a feladatba már vaak olya elemek, melyek többször is előfordulak. Ha mid a 6 golyó külöböző szíű lee, akkor 6! = = 720 lehetőségük vola. A két zöld golyót 2! = 2 1 = 2, a három kéket pedig 3! = = 6-féleképpe lehet sorba raki. Mivel az azoos szíűeket egyformáak tekitjük, az egymás közötti sorredjeiket em külöböztetjük meg, a 720-t el kell osztai ayival ameyiszer az egyszíű golyókat a saját helyükö sorba redezhetjük, azaz összese = 6! 3! 2! = 60 lehetőség va. Egy fehér, két zöld és három kék golyót tehát 3! 2! = 60 féleképpe lehet sorba raki Próbáljuk meg a feti feladatba tett felismeréseiket összefoglali egy tételbe! 6! Tétel 2. Ha elem között p 1 ; p 2 ; p 3 ;... ; p k darab megegyező va és = p 1 + p 2 + p p, akkor ezeket az elemeket! p 1! p 2! p 3!... p k! külöböző módo lehet sorba redezi Feladatok 1. Háyféleképpe lehet sorba raki a Micimackó szó betűit? 2. Háy yolcjegyű szám készíthető 1 darab ulla, 1 darab kettes és 6 darab hármas számjegyből? 3. Egy dobozba 10 golyö va,közülük 4 fehér, 4 piros és 2 kék szíű. A 10 golyót egymás utá kihúzzuk a dobozból.háy külöböző sorredbe húzhatjuk ki a golyókat, ha az egyszíűeket em külöböztetjük meg?
4 Kombiatorika Összeállította:Keszeg Attila 4 4. Háyféle külöböző sorredje va a MATEMATIKA szó betűiek? Defiíció 4. Ha -féle elemből a sorred figyelembe vételével kiválasztuk k darabot (egyféle elemből többet is választhatuk, az -féle elemek egy k tagú ismétléses variációját kapjuk Feladat 3. Egy számzár öt tárcsájá 1-től 9-ig vaak számok. Háy féle számkombiáció lehetséges, ha a számok a tárcsáko ismétlődhetek is? Kidolgozás 3. Az elős tárcsá 9 külöböző számot állíthatuk be. A másodiko, harmadiko, egyedike és ötödike szité kilec külöböző szám áll a redelkezésükre, így összese külöböző számkombiáció beállítása lehetséges = 9 5 Újabb felismeréseik általáosításaképp fogalmazódik meg a következő Tétel 3. - féle elem k tagú ismétléses variációiak száma k. A feti tétel bizoyítása szorgalmi feladat! A szemfülesebb olvasóba biztosa felmerült már a kérdés hogy létezik-e ismétlés élküli variáció is, és ha ige, mikor alkalmazzuk. A következőkbe eze kérdésekre foguk válaszoli, de először Defiíció 5. Ha külöböző elemből a sorred figyelembe vételével kiválasztuk k darabot, az külöböző elemek egy k tagú (0 k, k Z ismétlés élküli variációját kapjuk. Az ismétlés élküli variáció alkalmazási lehetőségét jól szemlélteti a következő Feladat 4. Az iskolai büfébe már csak 8 külöböző fajta süteméy maradt. Alex, Bogi, Tomi, Dzseifer és Ödö egyet egyet választ ezek közül. Háyféleképpe választhatak süteméyt? Kidolgozás 4. Nyílvávaló, hogy az 5 tauló közül az első a büfébe a 8 külöböző fajta süteméy midegyikét választhatja. A másodikak már csak 7 süteméyből va lehetősége választai, és így tovább egésze az ötödik diákig, aki már csak 4 féle süteméyből választhat. Hely a büféél Választható sütik száma Ez azt jeleti, hogy az öt fiatal féleképpe választhat süteméyt, amit felírhatuk a következő formába is 8! } (8 {{ 5! } 8-ból 5 sütit kiválasztottak
5 Kombiatorika Összeállította:Keszeg Attila 5 Az előbbi feladatba alkalmazott "techika" általáosítása a következő Tétel 4. külöböző elem k tagú ismétlés élküli variációiak száma : ( 1 ( 2 ( 3... ( k + 1 =! Feladatok ( k! 1. Háy külöböző zászlójelzést adhat le a hajó, ha hét külöböző zászlója va és egy jelzés 5 egymás fölé akasztott zászlóból áll? 2. Egy verseye 42 verseyző idult. A helyi lapba csak az első hat verseyző eve jelet meg. Háyféle lista készülhetett? 3. Háy darab háromjegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből, ha mide szám csak egyszer szerepelhet? 4. Háy darab háromjegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből, ha mide szám többször is szerepelhet? Egy 15 főből álló társaság tagjai között a legépszerűbb filmek közül az első ötöt sorsolják ki DVD-. Háyféleképpe végződhet a sorsolás, ha (a egy személy csak egy DVD-t yerhet, (b egy személy több DVD-t is yerhet? 5. Egy 14 fős csoportba kiosztuk 5 doboz bobot. Háyféleképpe lehetséges ez? 6. Egy 5 házból álló utca kerítéseit szereték kifestei. Egy kerítéshez csak egyféle festéket haszáluk, a festékeket em lehet keveri. Háyféle kifestés létezik, ha 7-féle festékük va és (a mide kerítések külöböző szíűek kell lei (b a kerítések lehetek egyforma szíűek?
6 Kombiatorika Összeállította:Keszeg Attila 6 3 Ismétlés élküli kombiációk Feladat 5. Ahhoz hogy a Skadiáv lottó telitalálatuk legye, a lehetséges 35 számból 7-et kell helyese kiválasztauk. Háy féle módo választhatuk ki 7 számot 35-ből? Kidolgozás 5. Az ilye típusú feladatokál a következő jelölést haszáljuk: ( k (ejtsd: alatt k, ahol az összese választható elemek számát jelöli, k pedig a kiválasztadó elemek számát és k 0, ahol, k Z Ebbe a feladatba tehát a ( 35 7 potos értékét akarjuk meghatározi, ami kombiatorikailag a következő módo törtéhet: ( 35 7 = ! Azért ez a helyes kombiáció, mert ha35 számból 7-et kell kiválasztauk, akkor az előzőekbe taulatak alapjá erre lehetőségük va, hisze elsőek választhatuk 35 számot, másodjára 34-et és így tovább... Viszot elegedhetetle a 7!-sal való osztás is, hisze a 7 számot 7! féle képpe tudom sorba redezi, de a lottóál és egyéb kiválasztási feladatokál a sorred léyegtele. A legutóbbi feladatba bevezetett módszert követve, az ( k k kifejezést a következő képpe általáosítjuk: ( k = ( 1 ( 2 ( 3... ( k+1 Eek a képletek előye, hogy logikus godolkodással egyszerűe kikövetkeztethető, hátráya pedig, hogy agy számokkal dolgozó feladatokál a képlet haszálata redkívül kéyelmetle, ezért a következő : Tétel 5. Ha k 0, ahol, k Z,akkor ( k k! =! k! ( k! Ezt a tételt már semmiképpe em hagyhatjuk bizoyítás élkül,ezért azoal eki is álluk. Ezt az egyszerű bizoyítást az előző évekbe megismert direkt bizoyítási módszerrel fogjuk elvégezi. Bizoyítás. ( k }{{} = Általáosítás az első feladatból ( 1 ( 2 ( 3... ( k+1 k! = ( 1 ( 2 ( 3... ( k+1 ( k! =! k! ( k! k! ( k! A képlet köye alkalmazhatósága miatt ietől kezdve Ha k 0, ahol, k Z,akkor ( k =! k! ( k!
7 Kombiatorika Összeállította:Keszeg Attila 7 Feladat 6. Határozza meg a következő kifejezések értékét! a. ( 5 3 b. ( 15 7 Kidolgozás 6. ( 5 a. 3 ( 15 b. 7 = 5! 3! (5 3! = = 120 = 15! 24 = 5 7! (15 7! = 15! 7! 8! = = Defiíció 6. Ha külöböző elemből a sorred figyelembe vétele élkül kiválasztaak k darabot, akkor az külöböző elem k tagú ( k 0, ahol, k Z ismétlés élküli kombiációját kapjuk. A bevezető példába megfigyeltek segítségével köye megfogalmazható a következő Tétel 6. külöböző elem k tagú ( k 0, ahol, k Z ismétlés élküli kombiációiak száma ( k Feladat 7. Az öttusa váltó csapat három főből áll. Ha az olimpiára hata készülek, háyféleképpe választhatjuk ki közülük a váltóba szereplő három verseyzőt? Kidolgozás 7. A válasz az előzőekbe megszerzett ismeretek tükrébe redkívül egyszerű. A hat sportolóból ki kell választauk hármat. A megfelelő lehetőségek számát a ( kifejezés segítségével határozhatjuk meg ( 6 3 = 6! 3! (6 3! = = = 20 Ezek szerit 20 féle képpe választhatjuk ki a három a váltóba szereplő verseyzőt. Feladatok 1. Egy 15 fős csoportba háyféleképpe lehet 7 egyforma csokit kiosztai, ha mideki 1 csokit kaphat? 2. Egy 28-as létszámú osztályba 9 azoos tollat sorsolak ki. Háyféleképpe törtéhet a tollak szétosztása, ha egy tauló csak egy tollat kaphat? 3. Adott a síkba 30 pot, amelyek közül bármely három em illeszkedik egy egyeesre. Háy háromszöget határozak meg? 4. Háy egyeest határozak meg a szabályos yolcszög csúcspotjai? 5. Egy műhelybe egy műszak alatt elkészített 200 darab zár készült. Háyféleképpe tud a miőségelleőr kiválasztai közülük 12 zárat?
8 Kombiatorika Összeállította:Keszeg Attila 8 6. Egy csomag magyar kártyából húzzuk ki találomra 8 lapot. Háy esetbe lehet a kihúzott lapok között 3 ász? 7. Bizoyítsa, hogy tetszőleges k 0 egész számokra ( ( k = 8. Legfeljebb háy metszéspotja lehet 6 egyeesek? k k 9. Legfeljebb háy metszéspotja lehet egyeesek? 10. Bizoyítsa, hogy ( ( k k = 1 ( k + 1 k 1, ha,k Z, melyekre k teljesül! 11. Egy focicsapatak 30 igazolt játékosa va, köztük Filip. A szombati mérkőzés előtt ki kell jelöli, hogy melyik 11 játékos játszhat a kezdőcsapatba. (a Háyféle lehetőség va erre, ha mide játékos bekerülhet a kezdőcsapatba? (b Háy olya lehetőség va, ahol Filip biztosa bekerül a kezdőcsapatba? (c Háy olya lehetőség va, ahol Filip biztosa em kerül be a kezdőcsapatba? (d Hogya általáosítható a probléma játékosra és k kezdőjátékosra? 4 A biomiális tétel Blaise Pascal ( fracia matematikus, fizikus, filozófus. Mide kétséget kizáróa egy lágelme volt, akiek matematikai képességei már gyermekkorába megmutatkoztak. Taítóiak feljegyzései alapjá az ifjú Pascal már 12 éves korába felismerte az euklideszi geometria törvéyeit, és ezeket öállóa meg is fogalmazta. Első saját matematikai tételét Kúpszeletbe irt hatszögek átellees oldalaiak metszéspotjai egy egyeesbe esek 16 éves korába fogalmazta meg, mellyel a projektív geometria egyik mérföldkövét is sikerült lerakia. 19 éves korába megalkotott egy számológépet édesapja mukásságáak emgköyítésére. Húszas éveibe érdeklődése a valószíűségszámítás és a kombiatorika felé fordult. Ezekbe a témákba együttműködött koráak legagyobb matematikusaival, mit például Pierre Fermat-val, akivel 1654-be a biomomiális tételbe előforduló biomiális együttatókat taulmáyozta. Pascal volt az első aki potos defiíciót adott a teljes idukciós bizoyításra ba megjelet "De la esprit geometrique et de lá art de persuader" című mukájába a matematika axiómatikus felépítésével foglalkozott és a következőt írta : "Mide állítást bizoyítai kell, és eközbe em szabad felhaszáli mást, mit magukat az axiómákat, vagy már bizoyított állításokat" A sok muka felőrölte az amúgy is beteges és aszkéta életet élő Pascal szervezetét és 1662-be fiatalo, 39 éves korába elhuyt.
9 Kombiatorika Összeállította:Keszeg Attila 9 Tétel 7. Biomiális tétel Ha a,b R tetszőleges és Z pozitív, akkor (a + b = ( 0 a + ( 1 a 1 b 1 + ( 2 a 2 b ( a i b i ( ab 1 + ( b i 1 A tételbe szereplő ( k k együtthatókat biomiális együtthatókak evezzük A biomiális tétel bizoyítása teljes idukcióval törtéik, ami túllép a redes matematika óra határai Most vizsgáljuk meg a a biomiális kifejezéseket a feti tétel segítségével: (a + b 0 = 1 = ( 0 0 (a + b 1 = a + b = ( 1 0 ( a b (a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 = ( 2 0 a 2 + ( 2 ( 1 ab b 2 (a + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = ( 3 0 a 3 + ( 3 a 2 b + ( 3 ab 2 + ( 3 b 3... Redezzük el a biomiális együtthatókat egy táblázatba: ( ( 1 ( ( 1 0 ( 2 ( 2 ( ( 2 0 ( 2 1 ( 3 ( 3 ( 3 ( ( 3 0 ( 3 1 ( 3 2 ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 ( ( 4 0 ( 4 1 ( 4 2 ( Ezekutá kiszámoljuk a biomiális együtthatók értékeit a tault módszerrel és a fetihez hasoló módo elhelyezzük ezeket a táblázatba:
10 Kombiatorika 10 Összeállította:Keszeg Attila A biomiális együtthatókak ezt az elredezését Pascal háromszögek evezzük. A háromszög mide sora 1-gyel kezdődik, és 1-gyel végződik. Ebbe a háromszög elredezésbe a 2. sortól kezdve a sorok bármely belső száma a felette lévő sorba balról és jobbról álló két számak az összege. Így például agyo gyorsa ki lehet töltei a következő sort, amely a következő biom poliom alakjához haszálható: (a + b 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 A biomiális tétel vizsgálatával megállapíthatjuk a következőket: Tétel 8. Mide 1 egész számra teljesül: 2 = (1 + 1 = ( ( 0 + ( 1 + ( ( = (1 1 = ( ( 0 ( 1 + ( ( 1 1 ( 1 + ( 1 Feladat Háy háromelemű részhalmaza va egy ötelemű halmazak? 2. Háy részhalmaza va egy ötelemű halmazak? 3. Háy részhalmaza va egy halmazak? Kidolgozás 8.
11 Kombiatorika 11 Összeállította:Keszeg Attila 1. A három elemű részhalmaz azt jeleti, hogy három elemet kell kiválasztauk (ebbe a példába az ötből. Ez azt jeleti, hogy a háromelemű részhalmazok száma egyértelműe meghatározható a ( segítségével. (5 ( 5 3 = 5! 3! (5 3! = = = 5 Tehát 5 háromelemű részhalmaza va egy ötelemű halmazak 2. A feti példa elvét követve meg kell határozuk, háy 0,1,2,3,4,5 elemű részhalmaza va egy ötelemű halmazak. (a 0 elemű részhalmazok száma: ( =1 (ez a részhalmaz az üreshalmaz (b 1 elemű részhalmazok száma: ( =5 (c 2 elemű részhalmazok száma: ( =10 (d 3 elemű részhalmazok száma: ( =10 (e 4 elemű részhalmazok száma: ( =5 (f 5 elemű részhalmazok száma: ( =1 Az ötelemű halmaz összes részhalmazaiak száma tehát = A fetiekbe haszált godolatmeetet folytatva megválaszolható az utolsó kérdés is, tehát az -elemű halmaz részhalmazaiak száma ayi, ameyi 0,1,2,..., 1, elemű részhalmaza va, vagyis ( 0 ( + ( 1 + ( ( 1 + }{{} = 8.Tétel 2 Megjegyzés 1. Ez a megállapítás megegyezik a 9. osztályba taulttal, mely szerit egy -elemű halmaz részhalmazaiak száma 2 2 Feladatok 1. Írja fel a biomiális tétel segítségével a következő hatváyokat: (a (x 3 5 (b ( (c (y Írja fel hatváyalakba a következő összegeket! (a x 4 4x 3 + 6x 2 4x + 1 (b c c c c c Bizoyítsa a következő összefüggést! ( ( k + k+1 ( = +1 k+1
12 Kombiatorika 12 Összeállította:Keszeg Attila 5 Gráfok A gráfok agyo jól szemléltetik egy halmaz elemei közti kapcsolatokat. Gráfokkal szemléltethetõk pl. egy társaság ismeretségi viszoyai, vagy bármilye hálózat kapcsolódási viszoyai. Defiíció 7. A gráf potokból és voalakból áll. Mide voal két (em feltétleül külöbözõ potot köt össze. A potok a gráf potjai, a voalak a gráf élei. Jelölések: 1. A gráf potjaiak halmazát V (G-vel jelöljük az agol vertex = csúcs szóból 2. A gráf éleiek halmazát E(G-vel jelöljük az agol edge = él szóból A B C Defiíció 8. A gráfokba elõfordulhat olya él is, melyek midkét végpotja ugyaaz a pot, az ilye él eve hurokél. Defiíció 9. Két csúcs között több élt is húzhatuk, ezek a többszörös élek A B
13 Kombiatorika 13 Összeállította:Keszeg Attila Defiíció 10. A gráf olya potját, amelybõl em vezet él, izolált potak evezzük C B F D A E Defiíció 11. Egy gráfot egyszerű gráfak evezük, ha ics bee sem hurokél, sem többszörös él. C D A E
14 Kombiatorika 14 Összeállította:Keszeg Attila Defiíció 12. Ha egy gráfak potja va Z + és midegyik potból potosa egy él vezet a többi pothoz, akkor a gráfot potú teljes gráfak evezzük. Tétel 9. Az potú teljes gráf éleiek száma ( 1 2 Defiíció 13. Egy gráf egy potjához illeszkedõ élvégek számát a pot fokszámáak (fokáak evezzük Tétel 10. Legalább 2 csúcsú egyszerû gráfba va 2 azoos fokú csúcs.
15 Kombiatorika 15 Összeállította:Keszeg Attila Tétel 11. A potok fokszámösszege az élek számáak kétszerese, ebből adódóa a potok fokszámáak összege midig páros szám Tétel 12. A páratla fokszámú potok halmaza páros (hisze a páros fokszámú potok fokszámáak az összege páros, és ehhez hozzáadva a páratla fokszámú potok összegét, páros számot kell kapuk. Defiíció 14. Egy gráf összefüggõ gráf, ha bármely potjából bármely másik potjába élek meté el lehet juti. Defiíció 15. Az út az élek olya egymáshoz kapcsolódó sora, amely egyetle poto sem halad át egyél többször.
16 Kombiatorika 16 Összeállította:Keszeg Attila D A B C 3 5 Defiíció 16. A voal a gráf csúcsaiak és éleiek az a sora, amelybe az élek ezeket a potokat kötik össze és az élek em ismétlõdek, egy csúcs többször is elõfordulhat. A voal zárt, ha kezdõ és végpotja megegyezik, egyébkét yílt. Defiíció 17. A kör olya voal, amelyek kezdõ és végpotja megegyezik és a potok em ismétlõdek. Defiíció 18. Az Euler-voal a gráf összes élét potosa egyszer tartalmazó voal. Lehet zárt és lehet yílt Euler-voal. Zárt Euler-voalak ics kezdõ és végpotja, mert egybeesik, yílt Euler-voalál két külöbözõ pot va a voal két végé. Tétel 13. Zárt Euler voala akkor és csak akkor va egy összefüggõ gráfak, ha mide foka páros. Tétel 14. Nyílt Euler voala akkor és csak akkor va egy összefüggõ gráfak, ha potosa két páratla fokú potja va Defiíció 19. Két gráfot izomorfak evezük, ha potjaik és éleik kölcsööse egyértelmûe és illeszkedéstartóa megfeleltethetõek egymásak
17 Kombiatorika 17 Összeállította:Keszeg Attila Defiíció 20. A fa olya összefüggõ gráf, amely em tartalmaz kört. Tétel 15. A fa maximális körmetes gráf (bármely két potját összekötjük, amelyek között em volt él, akkor a gráf már tartalmaz kört Tétel 16. A fa miimális összefüggõ gráf (bármely élet elhagyjuk, akkor a gráf már em összefüggõ Tétel 17. A fa bármely két csúcsát egyetle út köti össze Tétel 18. csúcsú fáak 1 éle va. Tétel 19. Mide egyél több csúcsú fáak va legalább 2 elsõfokú csúcsa
Kombinatorika. I. típus: Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböző elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ismétlés nélküli permutáció)
Kombinatorika Az első n pozitív egész szám szorzatát n faktoriálisnak nevezzük és n! jellel jelöljük: n! := 1 2 3 4... (n 1) n 0! := 1 1! := 1 I. típus: Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböző
RészletesebbenPl.: hányféleképpen lehet egy n elemű halmazból k elemű részhalmazt kiválasztani, n tárgyat hányféleképpen lehet szétosztani k személy között stb.?
Dr. Vicze Szilvia A kombiatorika a véges halmazokkal foglalkozik. A véges halmazokkal kapcsolatba számos olya probléma vethető fel, amely függetle a halmazok elemeitől. Pl.: háyféleképpe lehet egy elemű
RészletesebbenEseményalgebra, kombinatorika
Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek
RészletesebbenKOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen,
KOMBINATORIKA 1 Készítette: Bordi Istvá Tóth Árpád Gimázium Debrece, boi@tagdebr.suliet.hu Kérdések: A KOMBINATORIKA TÁRGYA 1. elemet háyféleképpe lehet egymás mellé tei (permutáció). 2. elemből háyféleképpe
RészletesebbenKombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.
Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk
Részletesebbenn akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!
KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:
RészletesebbenEseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok
Eseme yalgebra e s kombiatorika feladatok, megolda sok Szűk elméleti áttekitő Kombiatorika quick-guide: - db. elemből db. sorredjeire vagyuk kívácsiak: permutáció - db. elemből m < db. háyféleképp rakható
RészletesebbenGyakorló feladatok kombinatorikából. 1. Nóri, Robi, Sári, Klári egyszerre érnek a lifthez. Hányféle sorrendben szállhatnak be?
A megoldásokat a lista végén találod meg. Gyakorló feladatok kombinatorikából 1. Nóri, Robi, Sári, Klári egyszerre érnek a lifthez. Hányféle sorrendben szállhatnak be? 2. Réka 3 szelet süteményt szeretne
RészletesebbenVéges matematika 1. feladatsor megoldások
Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a
RészletesebbenKombinatorika. A permutációk számának megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III.
ombiatorika A kombiatorikába csak redezett halmazokkal foglalkozuk. Azt modjuk, hogy az A ( a, a,..., a ) halmaz egy redezett halmaz, ha az elemek bármely sorredcseréjére új halmazt kapuk (úgy modjuk:
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenElemek egy lehetséges sorbarendezése az elemek egy permutációja. n elem összes lehetséges sorbarendezéseinek
Kombiatorika! = 1 3 1 ejtsd: faktoriális 0! = 1 1! = 1! = 1 = 5! = 1 3 4 5 = 10 stb! 3! = 1 3 4 1 3 4 1 Vigyázat! Pl: 3! 3! = 1 1 Ismétlés élküli permutáció Elemek egy lehetséges sorbaredezése az elemek
RészletesebbenEGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A
BELVÁROSI ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS GIMNÁZIUM BÉKÉSCSABA EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A KOMBINATORIKÁBAN 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 3 3 0 4 9 8 6 0 5 44 45 0 0 0 6 65 64 35 40 5 0 7 854 855 94 35 70 0 8 4833 483 740 464
Részletesebben5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?
5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
Részletesebben7! (7 2)! = 7! 5! = 7 6 5! 5 = = ből 4 elem A lehetőségek száma megegyezik az 5 elem negyedosztályú variációjának számával:
Kombinatorika Variáció - megoldások 1. Hány kétjegyű szám képezhető a 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből. ha minden számjegyet csak egyszer használhatunk fel? A lehetőségek száma annyi, mint amennyi 7 elem
Részletesebben24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.
24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor
RészletesebbenKombinatorika feladatok
Kombiatorika feladatok 1. Tüdérországba csak 2 magáhagzót és 2 mássalhagzót haszálak. A szavakba legalább 1 mássalhagzó és legalább 1 magáhagzó va. Háy külöböző hárombetűs szó létezik Tüdérországba, ha
Részletesebben24. tétel. Kombinatorika. A grá fok.
2009/2010 1 Huszk@ Jenő 24. tétel. Kombinatorika. A grá fok. 1.Kombinatorika A kombinatorika a véges halmazokkal foglalkozik. Olyan problémákat vizsgál, amelyek függetlenek a halmazok elemeinek mibenlététől.
RészletesebbenKombinatorika - kidolgozott típuspéldák
Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák az összes dolgot sorba rakjuk minden dolog különböző ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rakni n különböző dolgot? P=1 2... (n-1) n=n! például:
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenDr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?
Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenVI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk
VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti
RészletesebbenKombinatorika és Gráfelmélet
Kombiatorika és Gráfelmélet Ez az előadásvázlat remélhetőe segíti a vizsgára való felkészülést, de em pótolja az előadást. Vizsgá lehetek olya kérdések, amelyekről ez a jegyzet em szól. Nyíregyháza, 2008.
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenFELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz
FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33
RészletesebbenFANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu
FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenA figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
Részletesebben3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló
. Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
Részletesebben3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenDefiníció n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük.
9. Kombinatorika 9.1. Permutációk n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük. n elem ismétlés nélküli permutációinak száma: P n = =1 2
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz
Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 201. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 201. ősz Kombinatorika Diszkrét matematika 1. 201. ősz 2. Kombinatorika Kombinatorika
RészletesebbenDiszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA
A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját
RészletesebbenTartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...
Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
Részletesebben1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!
Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)
RészletesebbenKombinatorika elemei. dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, Matematika Tanszék
Kombiatorika elemei dr. Szalkai Istvá Pao Egyetem, Veszprém, Matematika Taszék szalkai@almos.ui-pao.hu 2013.10.26. 2 2. fejezet Kombiatorika elemei Véges halmazok, a kombiatorika alapelvei, általáos elemi
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
RészletesebbenVÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.
VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenTartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13
Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a
RészletesebbenHiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai
közzétéve a szerző egedélyével) Öfüggő szekuder-változó csoport keresése: egy bevezető példa Ez a módszer az állapothalmazo értelmezett partíció-párok elméleté alapul. E helye em lehet céluk az elmélet
Részletesebben10. évfolyam, harmadik epochafüzet
0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...
RészletesebbenAzaz 56 7 = 49 darab 8 jegyű szám készíthető a megadott számjegyekből.
1 Kombináció, variáció, permutáció 1. Hányféleképpen rakhatunk be 6 levelet 1 rekeszbe, ha a levelek között nem teszünk különbséget és egy rekeszbe maximum egy levelet teszünk? Mivel egy rekeszbe legfeljebb
RészletesebbenSorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
RészletesebbenEXTREMÁLIS GRÁFOK. SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Tölgyes Laura Veronika SZAK: Matematika BSc Tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Szőnyi Tamás
EXTREMÁLIS GRÁFOK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Tölgyes Laura Veroika SZAK: Matematika BSc Taári szakiráy TÉMAVEZETŐ: Szőyi Tamás Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar 010 Tartalom 1. Bevezetés...
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
RészletesebbenKombinatorika (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Kombiatoria (017 február 8 Bogya Norbert, Kátai-Urbá Kamilla 1 Kombiatoriai alapfeladato A ombiatoriai alapfeladato léyege az, hogy bizoyos elemeet sorba redezü, vagy éháyat iválasztu belőlü, és esetleg
RészletesebbenINJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK
Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
RészletesebbenDiszkrét Matematika 1. óra Fokszámsorozatok
Dszkrét Matematka. óra 29.9.7. A köetkezı fogalmakat smertek tektük: gráf, egyszerő gráf, hurokél, párhuzamos élek, fa, ághatás operácó. Fokszámsorozatok Def.: G gráf fokszámsorozata fokaak reezett öekı
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
RészletesebbenA Venn-Euler- diagram és a logikai szita
A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenKlasszikus valószínűségi mező megoldás
Klasszikus valószínűségi mező megoldás Ha egy Kísérletnek csak véges sok kimenetele lehet, és az egyes kimeneteleknek, vagyis az elemi eseményeknek azonos a valószínűségük, akkor a kísérelttel kapcsolatos
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
RészletesebbenPrímszámok a Fibonacci sorozatban
www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
RészletesebbenBevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
Részletesebben2.2. Indukció a geometriában
.. Idukció a geometriába... Számítási feladatok... Feladat. Határozzuk meg az R sugarú körbe írt, oldalú szabályos sokszög oldalhosszát! Megoldás eseté a oldalú szabályos sokszög a égyzet; az R sugarú
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS
SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenMőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK
Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.
Részletesebben1. Komplex szám rendje
1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,
RészletesebbenBizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl).
) a) Értelmezzük a valós számok halmazá az f függvéyt az f x = x + kx + 9x képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl) ( ) Számítsa ki, hogy k mely értéke eseté lesz x = a függvéyek lokális szélsőértékhelye
RészletesebbenBevezető analízis II. példatár
Bevezető aalízis II. példatár Gémes Margit, Szetmiklóssy Zoltá Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Matematikai Itézet 06. ovember 3. Tartalomjegyzék. Bizoyítási módszerek, valós számok 3..
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe
RészletesebbenAlgebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok
Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok 1. a) Z(G), mert az egységelem yilvá felcserélhet mide G-beli elemmel. Továbbá Z(G) zárt a szorzásra, mert ha a, b Z(G), akkor tetsz leges g G-re (ab)g
RészletesebbenKidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből
Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.
Részletesebben24. Kombinatorika, a valószínűségszámítás elemei
4. Kombiatoria, a valószíűségszámítás elemei Kombiatoria A véges halmazoal foglalozó tudomáyterület. Idő hiáyába csa a evezetes összeszámolásoal foglalozu. a) Sorbaállításo (ermutáció) alafeladat: ülöböző
RészletesebbenKombinatorika avagy hányféleképp? Piros, fehér zöld színekből hány ország számára tudunk különböző zászlókat készíteni?
Kombinatorika avagy hányféleképp? Piros, fehér zöld színekből hány ország számára tudunk különböző zászlókat készíteni? Kombinatorika avagy hányféleképp? Zsuzsi babájának négyféle színes blúza és kétféle
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
RészletesebbenK O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k
K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen
Részletesebben1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI. = 6. Ezek a sorozatok a következők: ab, ac, ba, bc, ca, cb.
1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI Elméleti áttekintés Ismétlés nélküli variáció. Egy n elemű halmazból képezhető k elemű sorozatok száma, ha a sorozatok nem tartalmaznak ismétlődést n! (1 = n (n 1... (n k (n k
RészletesebbenIV. A matematikai logika elemei
4 A matematikai logika elemei IV A matematikai logika elemei IV Gyakorlatok és feladatok (87 oldal) Készítsd el az alábbi kijeletések logikai értéktáblázatát: a) ( p) ; b) p q ; c) p q ; d) p ( p q) ;
RészletesebbenRudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai
Részletesebben3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.
3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága
RészletesebbenDiszkrét matematika I. legfontosabb tételek/definíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév
Diszkrét matematika I. legfotosabb tételek/defiíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév 1. Előszó A jegyzet a Diszkrét matematika I. (DE IK PTI, tárgykód: INDK101-K5, Dr. Burai Pál) tatárgy 2014/2015.
RészletesebbenHatárértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12
Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma
Részletesebben