Diszkrét Matematika 1. óra Fokszámsorozatok

Átírás

1 Dszkrét Matematka. óra A köetkezı fogalmakat smertek tektük: gráf, egyszerő gráf, hurokél, párhuzamos élek, fa, ághatás operácó. Fokszámsorozatok Def.: G gráf fokszámsorozata fokaak reezett öekı sora. Pl.: G gráf: G fokszámsorozata:, 3, 3, 4, 4, 4 V: csúcsok halmaza E: élek halmaza A fokszámsorozatból köye kolasható a gráf csúcsaak száma: Aháy elembıl áll a sorozat, ay csúcsuk a. Az elızı pélába a, 3, 3, 4, 4, 4 smeretébe tuuk, hogy V = 6. Érekes probléma aott fokszámsorozathoz gráfot kostruál: Def.:... realzálható G gráffal (fokszámsorozatkét), ha létezk G, amely. fokszámsorozata { } Pl.: Legye aott a köetkezı fokszámsorozat:,,, 2, 3, 4, 5. Realzálható-e? A kérés megfogalmazható egy fetörıkét: Feleszük 7 csúcsot és mellé íruk a fokszámokat. Az éleket kell behúzgáluk úgy, hogy a fokszámok me csúcsál megfelelıek legyeek. A fetörı számítógépe meg s alósítható. Észreétel:,..., N realzálható páros ( x) = 2 E x V (fokszámok alaptétele) A formáls bzoyítás teles ukcó:

2 A kuló sorozatokat a 2. eset íra le. Ha a sorozatuk em lye, akkor az. eset szert égezzük az ukcós lépést.. eset: Tegyük fel, hogy 2 ( létezk legalább 2 a sorozatba em csupa, sorozat) Realzáluk,...,, 2 sorozatot G gráffal (G gráfra elıírt fokszámok összege ksebb páros szám). Teszük csúcsra egy hurokélt, és az így kapott G gráf realzála a sorozatot.,..., G G 2 2. eset: {,} páros páros sok -es a { } párosítással realzálható. Meg: Egy másk lehetıség az, hogy rekurzí algortmussá rakuk össze a fet ötleteket. A bzoyítás erıse haszálta a hurokéleket. Mkor, hogya realzálhatuk hurokélek élkül? Lemma: Legye G gráf V csúcshalmazáak részhalmaza A ( A V ). Ekkor ( u) = 2e( A) + e( A, V \ A), u A Ahol e (A) az A halmaz csúcsa között élek száma, és e ( A, V \ A) az A és a V\A közt élek száma. 2

3 Eek bzoyítása a fokszámok alaptételéek bzoyításához hasolóa törtéhet.. Tétel:,..., N realzálható hurokélmetes gráffal páros és. = Bzoyítás: Veszük a V csúcshalmazból egy x ktütetett csúcsot. Háy {x}-(v\{x}) él a? A álasz (x), mel G V hurokélmetes. Másrészt a lemma alapá : {x}-(v\{x}) él ( ) {x} V\{x} Ez yláalóa telesül, ha x foka em V\{x} (a legagyobb fokszám). A tétel feltétele éppe (x)= esetre íra fel a szükséges egyelıtleséget.. eset 2 < ( ) Iukcó Vegyük a,...,,, sorozatot. Erre a sorozatra s telesül a, 2 2 lemma feltétele (együk észre, hogy és em bztos, hogy agyobb 2 -él, szot az egyk maxmáls fok a feltétel matt). Legye egy realzáló gráfuk G. G G x él Ha a és fokszámú csúcsok közé behúzuk egy x élt, akkor a feltételek megfelelı hurokélmetes gráfot kapuk. 2. eset 2 = = D 2 A fokszámsorozat K,, D, D, D., 3,, 3, 2, A K, sorozattal megsmételük az. eset goolatmeetét. 3

4 3. eset {,}, { } realzálható az elsı Észreételbe leírt móo. A párosítás em géyel hurokéleket. 2. Tétel: Tegyük fel, hogy... realzálható G egyszerő gráffal. Ekkor a G realzáló egyszerő gráf ( V foka ) álasztható úgy, hogy szomszéa,, 2 K, legye. Bzoyítás: 2 3 o o o o R a { } sorozatot reprezetáló egyszerő gráfok közül az, amelykbe szomszéaak exeek összege maxmáls. Ha R a tétel feltételeek eleget tesz, akkor késze agyuk. Ha em, akkor alkalmas < exekre szomszé, e em: ( ) = = ( ) Létezk -ek olya x szomszéa, amely -ek em szomszéa, hsze: Ha <, akkor trálsa gaz Ha =, csak akkor em telesüle az állítás, ha -ek és -ek s azoos szomszéa leéek, e -ek szomszéa a, e -ek em szomszéa. Az alább átalakítás a fokszámoko em áltoztat, azaz R s realzála fokszámakat. R R x x Így tuuk szomszéságát obbra mozgat, R elletmo R álasztásáak. Meg.: A bzoyítás felhaszálható algortmus terezésére az egyszerő gráffal realzálhatóság elötésére, llete algortmus terezésére realzáló egyszerő gráf keresésére. 4

5 Tétel:,..., ( 3 ) realzálható fáal = 2( ) = ) ( Bzoyítás: Ha G egy potú fa, akkor (-) éle a, és mel a fokok összege az élek számáak kétszerese, így a tétel eze ráya telesül. < < 2 A fet egyelıtleségbıl köetkezk, hogy átlagfok 2 = átlagfok 2, toábbá = =. Vagys a fokszámsorozat a köetkezı:, 2,..., Realzáluk a,...,, 2 sorozatot egy T fáal (röebb sorozat és feltételek erre s telesülek). T T Ághatás operácó Az ábrá látható operácót elégeze a kapott T fa (T-bıl ághatással yert gráf) az ereet fokszámsorozatot realzála. Ötletek formáls bzoyítássá alakítása smét teles ukcóal törtéhet. A kuló eset az, fokszámsorozat. A realzácók em egyértelmőek, toább kérések ethetık fel. Pélául: az összes realzácós lehetıség megtalálása, ezek számáak meghatározása. 5