KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematikatanár hallgatók számára. Szita formula J = S \R,

Átírás

1 KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatla matematkataár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajal Péter Bevezető példák 1. Feladat. Háy olya sorbaállítása va a {a,b,c,d,e} halmazak, amelybe a és b em kerül egymás mellé? Az összes sorbaállítás halmaza legye S, az összes sorbaállítás száma 5! = 120. Ezek között vaak olyaok, amelybe a és b em kerül egymás mellé (ezeket kell megszámoluk, ezeket jókak evezzük, halmazukat J-vel jelöljük) és vaak olyaok, amelybe a és b egymás mellé kerül (ezeket em kell megszámoluk, ezeket rosszakak evezzük, halmazukat R-rel jelöljük). Nylvá J és R dszjuktak, együtt kadják S md a 120 elemét. Azaz J = S \R, J = S \R = S R = 120 R. J elemszáma helyett R elemszámáak meghatározása s megoldja a problémát. Ez köyebb feladat: a és b kétféleképpe kerülhet egymásmellé: a-t követ b (ezek a sorredek alkossák az R 1 halmazt), vagy b-t követ a (ezek a sorredek alkossák az R 2 halmazt). R 1 elemszáma 4! = 24, hsze ab, c, d és e betűsorokat kell sorbarak. Hasolóa R 2 = 24. R 1 és R 2 dszjuktak, így az összeadás alapelv alapjá R = R 1 + R 2 = = 48. Tehát J = = 72. Más esetbe s a találkozuk olya feladattal, ahol rossz eseteket kell kzáruk az összeszámlálásból. Néha azoba em olya egyszerű a helyzet mt előbb. 2. Feladat. Háy olya sorbaállítása va a {a,b,c,d,e} halmazak, amelybe sem a és b, sem b és c em kerül egymás mellé? Legye R ab, R bc azo sorbaállítások halmaza, amelyekbe a és b, lletve b és c egymás mellé kerül. Tudjuk, hogy R ab = 24 és hasolóa R bc = 24. Most azoba R ab ésr bc emdszjukt kszámításáálazösszessorbaállításszámából a dabce sorbaállítás 1 hozzájárulását kétszer s levotuk (md R ab, md R bc -hez s hozzátartozk). Korrgáluk kell. A metszet elemeek számát hozzá kell aduk a korább számhoz, hogy eredőbe csak kesse eze sorbaállítások hozzájárulása. Az R ab R bc eleme potosa azok a sorbaállítások, ahol az a, b és c betűk egy abc vagy egy cba blokkot alkotak. Így számuk 3!+3! = 12. A válasz = 84. A fet megoldás a képlet alapjá adta meg a választ. S (A B) = S ( A + B )+ A B Szta formula-1

2 3. Feladat. Egy osztály 30 taulója közül 12 szeret a matematkát, 14 a fzkát és 13 a kémát. Öt tauló a matematkát és a fzkát s, hét a fzkát és a kémát s, égy pedg a matematkát és a kémát s szeret. Hárma vaak, akk mdhárom tárgyat szeretk. Háya em szeretk egyket sem a három tárgy közül? A feladat egy köyű gyakorló feladat. Eek elleére két megoldását s vázoljuk. I. módszer. Adott több halmaz: S, az osztály taulóak halmaza; M, F és K a matematkát, a fzkát, lletve a kémát szerető taulók halmaza. A feladat S \(M F K) értékét kérdez. M F és M F K elemszáma smert. Ebből (M F)\(M F K) = M F K elemszáma kszámolható. (K a K halmaz S halmazra vett komplemeterét jelöl, azazk = S\K.) Hasolóa kapjuk M F K és M F K elemszámat. Az eljárásukat folytatva kszámolhatjuk M F K, M F K és M F K elemszámat. Végül ezekből adódk a kérdezett szám, M F K elemszáma. Valójába az osztályt és három részhalmazát tartalmazó Ve-dagram összes tartomáyára meghatároztuk az elemszámát. A meghatározás egy alkalmas sorredbe végzett felgögyölítés eljárás. A kérdésre adott szám az utolsó érték lesz (az összes korábba kszámolt/em s kérdezett értékre támaszkodva). II. módszer. Az előző módszer jelöléset megtartjuk. Most a következőképpe okoskoduk: Kszámíthatjuk S ( M + F + K ) értékét. Azoba ezzel alábecsültük a kívát számot, többet votuk k S -ből, mt kellee. Ez abból eredt, hogy bzoyos gyerekek, például F K eleme, S -hez 1-gyel hozzájárulak (míg a válaszhoz em járulak hozzá), módosításuk azoba kétszer s kvota 1-es hozzájárulásukat. Ezt a hbát korrgálhatjuk S ( M + F + K )+( M F + M K + F K ) kszámolásával. Azoba még most sem a helyes értéket kaptuk. M F K elemeek hozzájárulása ehhez a számhoz 1 3+3, míg a válaszba em számoljuk őket. Az eek megfelelő módosítás utá már a helyes választ kapjuk: S\(M F K) = S ( M + F + K )+( M F + M K + F K ) M F K. Szta formula-2

3 A feladatba megadott adatok alapjá ez egyszerűe kszámítható. A másodk godolatmeet több azzal, hogy meg s adja azokat a formulát, amely leírja hogya kell az adott számokból kkombál a választ. 2. Szta formula A másodk godolatmeetet általáosítjuk. 4. Tétel (Szta formula). S\(A 1 A 2 A ) = S ( A 1 + A A )+ +( A 1 A 2 + A 1 A A 1 A )...+ +( 1) ( A 1 A 2... A + A 1... A 1 A A A ) ( 1) A 1 A 2... A. Érdemes bevezet éháy jelölést: Az S alaphalmaz bzoyos részhalmaza. A 1,A 2,...,A S, A I = I A, ahol I {1,2,...,} A = S, a részhalmazokból képezhető metszethalmazok. σ = A I (σ 0 = S ), I: I = azaz σ az tagú metszetek elemszámaak összege. Eze jelöléseket az egész fejezet sorá haszáljuk. A jelölésekkel a szta formula: S \(A 1 A 2 A ) = σ 0 σ 1 +σ 2 σ 3 + +( 1) σ. Bzoyítás. Az egyelőség bal oldalá lévő kfejezés egy halmaz elemszáma. Azt modhatjuk, hogyazs\(a 1 A ) elemeek 1ahozzájárulása ehhez aszámhoz, míg A 1 A elemeek 0. A jobb oldal értékét s értelmezhetjük úgy, mt egy számot, amely S elemeek hozzájárulásából adódk. Legye F(s) a s S elem hozzájárulása a szta formula jobb oldal számához. Azt fogjuk belát, hogy S mde eleméek a jobb és a bal oldalhoz való hozzájárulása ugyaaz. Az = (s)paraméterjelöljeazt, hogyspotosaháya j halmazbavabee. ( lehetséges értéke: 0,1,2...,). s hozzájárulása A I -hez 1, ha s A I. Ha s A I, akkor s hozzájárulása A I -hez 0. s A I akkoréscsakakkor, haazi dexhalmazeleme azs-ettartalmazódarab halmaz dexe közül kerülek k. Tehát s hozzájárulása σ j -hez ( j). Összefoglalva ( ) ( ) { F(s) = 1 + +( 1) 1, = 0, = 2 0, > 0. Ezzel az állítást gazoltuk. Szta formula-3

4 A fet vázolt godolatmeetet a karaktersztkus függvéy fogalmával még formálsabbá tehetjük. Legye χ X : S {0,1} az X S halmaz karaktersztkus függvéye, azaz { 1, ha s X, χ X (s) = 0, ha s X. Ekkor X = s S χ X(s). Azaz a bal oldal értéke χ S\(A1 A ) karaktersztkus vektor kompoeseek összege. A jobb oldalhoz s hozzáredelhető egy vektor: χ S χ AI + χ AI +( 1) χ AI. I =1 I =2 A baloldal értéke éppe eze vektor kompoeseek összege. A két kompoesösszeg egyelősége helyett azt láttuk be, hogy a két vektor megegyezk. 3. Alkalmazások 3.1. Fxpot élkül permutácók A matematka törtéetéek egy érdekes problémája az elcserélt levelek kérdése. Adott megírt levél és a hozzájuk tartozó megcímzett borítékok. Háyféleképpe helyezhetők el a levelek úgy, hogy egyk levél se kerüljö a borítékába? A problémát Euler és N. Beroull evézhez kötk. Szta formula élkül a kérdés fogós és komoly ötleteket kívá. Szta formulával azoba köye megoldható. Először azoba írjuk át a kérdést a matematka yelvére. Rakjuk sorba a leveleket és a hozzátartozó borítékokat. Azaz az -edk levél helye legye az - edk boríték. A levelek elhelyezésél az -edk levélek választuk egy borítékot, modjuk a j-edket. Az elhelyezést egy {1,2,...,} {1,2,...,} párbaállító leképezés/bjekcó írja le, azaz a {1,2,...,} halmaz egy π permutácója. Az - edk levél a saját borítékába kerül ha π() =. Ekkor azt modjuk, hogy a π permutácó fxpotja. A kérdés tehát az, hogy háy fxpotmetes permutácója va az {1,2,...,} halmazak. I = 5. Következméy. Egy elemű halmaz fxpot élkül permutácóak száma!!+! 2!! 3! +...+( 1)!! = (! ! 1 1 ) 3! +...+( 1) =!! ( 1) 1!! =. e Bzoyítás. Legye S = S, és A = {π S : π() = }. Ekkor =0 A I = {π S : π() = mde I eseté}. Ezalapjá A I = ( I )!. Ígyσ = ( ) ( )! =!/!. Akeresett szám S\ =1 A. Ez a szta formula alapjá felírható. A felírás mdegyk tagját meghatároztuk. A kapott formula a bzoyítadót egyelőségsorozat kezdetét adja. Az utolsó egyelőség belátásához ém aalízsbel smeretek és ötletek szükségesek. Eek gazolását az érdeklődő hallgatókra bízom. Szta formula-4

5 3.2. Szürjektív leképezések Legye N egy elemű halmaz, K egy k elemű halmaz. Háy N K függvéy létezk? Az alapelvek smerete alapjá köyű a válasz: Függvéyértéket kell redelük az értelmezés tartomáy eleméhez egymástól függetleül. Mdegyk értékadás egy dötés, amelyek k kmeetel lehet. A teljes függvéy kalakítására k... k = k lehetőség va. Ezek közül háy jektív va? Ismét smert a válasz: k(k 1)(k 2)...(k +1). A bjektívek függvéyek összeszámlálása a fetekből automatkusa adódk: Csak k = eseté lehetséges bjektív függvéy, ekkor vszot az összes jektív függvéy bjektív s lesz. Azaz a válasz { 0, ha k,!, ha = k. Egy alapkérdés még maradt. Háy szürjektív N K függvéy va? A kérdés jóval ehezebb a fetekél. A szta formula smeretébe azoba köye meghatározható. Jelöljük szürj(, k)-val a feltett kérdés válaszáak értékét. 6. Következméy. szürj(, k) = k ( ) k ( 1) k. =0 Bzoyítás. Legye N és K egy, lletve k elemű halmaz. Legye S = {f: N K}, ésa t = {f S : t f(n)}(t K), azaza t tartalmazzaazokatafüggvéyeket, amelyek em veszk fel a t értéket. Ekkor szürj(,k) = S \ t K A t. Legye L K. Ekkor l L A l = (k L ). Ezek utá a szta formula alkalmazható, és kapjuk, hogy szürj(, k) = k ( ) k ( 1) (k ) = = Euler-féle ϕ függvéy k ( ) k ( 1) k. Defícó. Legye egy poztív egész szám. Legye ϕ() az -él em agyobb -hez relatív prím poztív egészek száma, azaz =0 ϕ() = { [] : (,) = 1}. ϕ egy fotos számelmélet függvéy, amelyet Euler evéhez fűzek. 7. Tétel. Legye = p α 1 1 p α p α k Ekkor ϕ() = k egy poztív egész prímtéyezős felbotása. ) (1 1pk. (1 1p1 )(1 1p2 )... Szta formula-5

6 Bzoyítás. Legye S = [] és A = {k [] : p k} ( = 1,2,...,k). Egyszerű számelmélet, hogy { [] : (,) = 1} = A k =1 A, azaz ϕ() = A k =1 A. Ha az a I = I A metszet elemszámokat k tudjuk számíta, akkor a szta formula képletet ad ϕ()-re. Köyű lát, hogy I A = I p. Ebből ϕ() = =1 p + A jobb oldal p =1 1 <j 1 <j p p j...+( 1) 1 p 1 p j...+( 1) I: I =,I [k] I: I =,I [k] I I p +...+( 1) k k =1 p. 1 p +...+( 1) k k p =1 1. Ez pedg éppe ) ) (1 )(1 1p1 1p2... (1 1pk Nyaklácak szíezése Adott egy yaklác, am szorosa egymás mellett lévő ( 2) darab gyögyből és egy aszmmetrkus díszből áll. A gyögyök szíesek, szíek k szíből kerülek k. A dísz szerepe, hogy mde gyögy azoosítható : a dísztől az óramutató járása szert harmadk gyögy egy jól meghatározott gyögy. Úgy szereték a szíes gyögyöket összefűz, hogy a szomszédosak külöböző szíűek legyeek. A gyögyök szoros egymás mellettsége azt jelet, hogy szomszédság va. Azaz mde gyögyek két szomszédja va. Háy szíes yaklácot tuduk összeállíta? Megjegyezzük, ha a yaklácak csupá az egy harmadá vaak golyók, azaz egy vselőjét ézve lesz egy jobb és egy bal oldal gyögy. Ezek em leszek szomszédosak. Egyetle szoszédság marad el. Ez apró külöbségek tűhet, de a feladat jóval köyebb. Ebbe az esetbe a válasz k(k 1). (Mért?) 8. Tétel. A fet szíezés feladatra lehetőség va. (k 1) +( 1) (k 1) Bzoyítás. A gyögyök legyeek G 1,G 2,...,G, ahol az dexek a yaklácbel sorredet tükrözk. Specálsa G és G 1 szomszédosak. Az dexeket modulo számoljuk. Így G és G +1 a szomszédos gyögyök ( = 1,2,...,, G +1 = G 1 ). Szta formula-6

7 Legye S az összes szíezés halmaza. A ( = 1,2,...) tartalmazza azokat a szíezéseket, amelyekbe G és G +1 azoos szíűek. A felvezetett kérdés S =1 A =? Nylvá S = k. A = k 1 hsze a két szomszédos gyögyhöz egyetle szít kell választa, a több 2 gyögyöt pedg ettől függetleül szíez. Azaz 1 függetle szíezés dötés ad egy A -bel yaklácat. A A j vzsgálata már boyolultabbak tűk. Felmerülhet a két szomszédság egymáshoz vszoyított helyzete szert eseteket külöböztessük meg. Azoba észrevehetjük, hogy egy új szomszédság csak azt modja, hogy eggyel csökke a meghozadó dötések száma. Így j eseté A A j = k 2. Azt godolhatjuk, hogy I A = k I. Majdem gazukva. Ha I = 1, akkor egyetle dötésre redukálódk a szíezés. Ha k 1 szomszédság szíezése s rossz (azoos szíek kerülek oda), akkor mde gyögy ugyaolya szíű, egy dötést kell hozuk, k yaklác lehetséges (a k egyszíű yaklác). I = eseté az összes szomszéd-pár rosszul lesz szíezve. Ugyacsak az egyszíű yaklácok alkotják a megfelelő halmazt, am az első megérzéskét leírt képletek elletmod. A valóság a következő: { k I, ha I < I A = k, ha I =. A szíezések száma: ( k k ) k 2 ( ) ( ) ( ) k ( 1) 1 k+( 1) k. 3 1 Ez ( ) ( ) ( ) ( ) k k 1 + k 2...+( 1) 1 k+( 1) 1+( 1) (k 1). 2 1 A bomáls tétel alapjá ez (k 1) +( 1) (k 1). Talá érdemes tesztelük a képletük. Ha k = 1, akkor cs jó szíezés, azaz a jó szíezések száma 0. Ha k = 2, akkor partása határozza meg a választ. Csak az alteráló szíezés jó. Ha páratla sok gyögyük va, akkor lye cs. Ha páros sok gyögyük va, akkor egyetle egy gyögy szíe a teljes alteráló szíezést leírja. Azaz ekkor két jó szíezésük lesz. Képletük, ezekbe az esetekbe a jó választ adja (ahogy máskor s). Szta formula-7