Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Átírás

1 Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996

2 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma és axómaredszere 9 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 4 3. A klasszkus valószíűség mező 7 Gyakorló feladatok 8 4. Geometra valószíűség mező 0 Gyakorló feladatok 3 5. A feltételes valószíűség és az eseméyek függetlesége 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 9 6. A valószíűség változó és az eloszlásfüggvéy fogalma 3 6. Dszkrét valószíűség változók Folytoos valószíűség változók 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok Vektor valószíűség változók, valószíűség változók együttes eloszlása 5 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok Várható érték, szórás, szóráségyzet, magasabb mometumok, kovaraca és a korrelácós együttható Nevezetes eloszlások várható értéke és szóráségyzete 63 Dszkrét eloszlások 63 Folytoos eloszlások 65 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok A agy számok törvéye és a cetráls határeloszlás tételek 7 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 76 FÜGGELÉK 78 Válaszok és megoldások 79 Táblázatok 88 A ormáls eloszlás 89

3 I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3

4 . Kombatorka alapfogalmak A véges elemszámú halmazok tulajdoságaval foglakozk a kombatórka. Az alábbakba egy elemű halmazból képezhető egyéb halmazok elemszámáak meghatározásával foguk foglalkoz. A képzett halmazok számosságához, azaz elemeek száma meghatározásához közvetett módszereket foguk megtaul. Eredméyeket majd a valószíűség klasszkus kszámítás módjáál fogjuk felhaszál. Defícó: külöböző elemből álló halmaz ömagára való kölcsööse egy-egyértelmű (bjektív) leképezéset smétlés élkül permutácókak evezzük. A permutácó em más, mt az külöböző elem egy sorredje. Két permutácó külöbözk egymástól, ha valamelyk sorszámú helyeke más-más elemek állak. Tétel: Egy smétlés élkül permutácót egyértelműe megaduk, ha az,,..., természetes számok valamlye sorredjét vesszük. Tétel: Az összes külöböző smétlés élkül permutácók száma!.... (! - faktoráls.) Bzoyítás: Amkor elkészítük egy sorredet, az első helyre elem közül választhatuk, a másodkra (mvel az első helyre egyet már választottuk) - közül. Az első két helyet tehát (-) féleképpe képezhetjük. A harmadk helyre már csak - lehetőségük marad: eyféleképp folytathatjuk a permutácó felírását, stb. Tehát, ha már elemet elredeztem a sorredbe, - féleképpe folytathatom a sort. Ebből már következk az állítás. Példa: Amkor egy 3 lapos magyar kártyát megkeverük, a kártyacsomag egy permutácóját képezzük. Összese 3!~ sorred lehetséges. Defícó: Ha az elemű halmazba k, k, L, k m darab azoosak tektett elem va, ( k + k + + k ) L akkor a halmaz ömagára való bjektív leképezése smétléses permutácók leszek. m Tétel: Az összes külöböző smétléses permutácók száma! k! k! Lk m!. Bzoyítás: Ha egy adott smétléses permutácóba az azoos elemeket külöbözőkek tekteék, az azoos elemek egymás között sorredjéből más és más smétlés élkül permutácók leéek készíthetők, összese k! k! L k m! darab. 4

5 Példa: Egy 04 darabszámú dupla fraca kártyacsomagba mde lapból két példáy va. 04! Ezért tt az összes megkülöböztethető permutácók száma:. (! ) 5 Defícó: külöböző elemből álló halmaz egy k elemszámú részhalmazáak egy smétlés élkül permutácóját, az elem egy k-adosztályú smétlés élkül varácójáak evezzük. Tétel: elem összes külöböző k-adosztályú smétlés élkül varácóak száma: ( ) L ( k +! ) k ( k)! k! Bzoyítás: Ha egy k-adosztályú varácót elkészítük, az első helyet -féleképpe, a másodkat (-)-féleképpe, stb. a k-adk helyet (-k+)-féleképp választhatjuk. Példa: A magyar 8 tagú labdarúgó bajokságból csak három csapat dulhat a emzetköz kupákért. Elvleg varácó képzelhető el. Defícó: Tektsük egy olya k elemű halmazt ahol külöböző elemből redre k darabot azoosak veszük. Eze halmaz összes k elemszámú részhalmazaak smétléses permutácó az külöböző elem k-adosztályú smétléses varácó. ( k> s lehet! ) Tétel: elem összes külöböző k-adosztályú smétléses varácóak száma k. Bzoyítás: Amkor egy lye smétléses varácót elkészítük, a k hely mdegykére az külöböző elem bármelykét tehetjük. Példa: Amkor egy totó szelvéyt ktöltük, az,,x elemekből álló 3 elemű halmazak egy k4 elemű smétléses varácóját képezzük. Összese tehát ktöltés varácó lehetséges. Defícó: külöböző elemből álló halmaz egy k elemű részhalmaza, az elem egy k- adosztályú smétlés élkül kombácója. Tétel: Az elem összes külöböző k-adosztályú smétlés élkül kombácóak száma : k! k! ( k)!. 5

6 Bzoyítás: Az elem smétlés élkül varácó, és kombácó között az a külöbség, hogy a kombácóál a k-elemű részhalmaz elemeek sorredjet em képezzük. Tehát, egy adott k-adredű kombácóból, az elemek sorredjéek felcserélésével k! külöböző k-adosztályú varácó képezhető, am már gazolja az állítást. Példa: Amkor egy hagyomáyos (ötöt a klecveből azaz ötös-) lottószelvéyt ktöltük, a 90 szám egy 5-ödosztályú smétlés élkül kombácóját képezzük. Az összes ktöltés 90 kombácók száma: Defícó: Tektsük egy olya k elemű halmazt ahol külöböző elemből redre k darabot azoosak veszük. Eze halmaz k elemszámú részhalmazat az külöböző elem k- adosztályú smétléses kombácóak evezzük. ( k> s lehet! ) Tétel: Az külöböző elem összes külöböző k-adosztályú smétléses kombácóak + k száma:. k Bzoyítás: Megmutatjuk, hogy +k- külöböző elem k-adosztályú smétlés élkül kombácó és külöböző elem k-adosztályú smétléses kombácó között kölcsööse egy-egyértelmű (bjektív) leképezés adható meg, am már gazolja az állítást. Tektsük a sorszámozott +k- külöböző elem egy tetszőleges k-adosztályú smétlés élkül kombácója elemeek sorszámat természetes sorredbe: < <...< k ( α β és α {,,..., + k }). Ha most végrehajtjuk a j ( ) α α α traszformácót, k darab olya sorszámot kapuk, amellyel egyértelműe azoosíthatjuk külöböző elem egy k-adosztályú smétléses kombácóját: j j L jk ahol bármely dexél jα jβ lehet és jα {,,... }. Mvel a végrehajtott traszformácó bjektív, az állításukat bebzoyítottuk. Példa: Egy aaltkus háromváltozós függvéyek elvleg vegyes parcáls dervált függvéye lehet darab ötödredű 5 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok. Háy külöböző sorredje lehet elemek?. Mt evezük elem k-adosztályú smétlés élkül kombácójáak? 3. Mey elem k-adosztályú smétléses varácóak száma? 4. Hogya számoljuk k az! ( faktoráls) számot? 6

7 . Hogya számoljuk k az bomáls együtthatót? k. Mt értük elem k-adosztályú smétléses varácójá? 7. Dötse el, az alább állítások közül melyk gaz, melyk hams! a. Amkor elem k-adosztályú smétléses kombácójáról beszélük, k> s lehet. b. Az elem k-adosztályú smétléses kombácóak száma több, mt a k-adosztályú smétléses varácók száma. c. A lottóhúzások számát smétlés élkül kombácóval lehet meghatároz. d. Ha egy kombácóba két elemet felcserélük, egy másk kombácót kapuk. e. Ha egy smétléses varácóba két külöböző elemet felcserélük, egy másk smétléses varácót kapuk. f. Az elem k-adosztályú smétlés élkül kombácóak a száma megegyezk az (-k)-adosztályú smétlés élkül kombácóak a számával. (k -k). g. Az elem k-adosztályú smétlés élkül varácóak a száma megegyezk az (-k)- adosztályú smétlés élkül varácóak a számával. (k -k). h. Az elem k-adosztályú smétléses kombácóak a száma megegyezk -k+ elem k-adosztályú smétlés élkül kombácóak a számával.. Az elem k-adosztályú smétlés élkül kombácóak a száma megegyezk, az olya elemű smétléses permutácók számával, ahol k lletve -k elem azoos. j. A keószelvéy ktöltésekor egy smétlés élkül kombácót aduk meg. k. A totószelvéy ktöltésekor egy smétlés élkül varácót aduk meg. 8. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS szó betűből háy külöböző húszkarakteres betűsorozat képezhető? 9. Háy külöböző háromtalálatos szelvéy képzelhető el elvleg a ötös lottószelvéyek között? 0. Háy külöböző 0 találatos szelvéy képzelhető el a 3+ mérkőzéses totószelvéyek között?. A Morse ABC t (.) és tá (-) jeleből mey külöböző legfeljebb 0 hosszúságú jel kódolható?. Háyféleképpe lehet elhelyez 5 külöböző postaládába a. két külöböző levelet? b. két azoos reklámcédulát? (Az s lehetséges, hogy mdkét levél lletve reklámcédula ugyaabba a postaládába kerül.) 3. Tíz számozott dobozba háyféleképpe helyezhetek el három külöböző szíű golyót? (Egy dobozba több golyó s kerülhet, a dobozo belül a sorredet em lehet megállapíta.) 4. Tíz egyforma játékkockával dobva, háy külöböző eredméyt kaphatuk? 5. Öt szíből háy trkolór (háromszíű) vízsztes sávos zászló készíthető? 6. Feladatuk, hogy óraredet készítsük. A hét első öt apjáak első hat órájába lehetek csak taórák. A het óraszámok: matematka 5, magyar 4, testevelés, bológa, földrajz, fzka, törtéelem, éek, rajz, osztályfőök. Háyféleképpe lehet elvleg elkészíte az óraredet, ha lyukasóra s elképzelhető? 7. Igazolja, hogy a L + 7

8 b. ( ) L + c. ( ) ( ) 0 + L + 8

9 . A valószíűségszámítás alapfogalma és axómaredszere Az alapfogalmak a szemléletből eredő, magától értetődő fogalmakat jeleteek, amelyeket egyszerűbb fogalmak segítségével em lehet defál, haem csupá körülír lehet őket, lletőleg példákat lehet mutat rájuk. Hasolóa, az axómák bzoyítás élkül elfogadott tételek, amelyek ayra ylvávalóak, hogy csupá a szemléletből vezetjük le őket. Alapfogalom: Véletle kísérlete (K) olya folyamatot, jeleséget értük, amelyek kmeetele előre bzoyosa meg em modható, de az ge, hogy elvleg mlye módo fejeződhet be, azaz előre tudható, hogy mlye végállapotok lehetek. A véletle kísérletet azoos feltételek mellett, függetleül meg lehet fgyel, vagy végre lehet hajta akárháyszor. Példa: a.) Egy szabályos játékkockát feldobuk. Nem tudjuk előre megmoda az eredméyt, de azt állíthatjuk, hogy az,,3,4,5,6 érték közül valamelyket kapjuk. b.) Egy csomagból véletleszerűe khúzuk 8 lapot. A véletletől függ, hogy melyk lesz az a 8 lap, de azt tudjuk, hogy a 3 lap összes smétlés élkül kombácója közül lehet csak valamelyk. c.) Egy telefokészüléket fgyelve mérjük két hívás között eltelt dőt. A lehetséges kmeetelek a [ 0, ) tervallum potja. d.) Egy jutalomsorsoláso khúzott személy kora szté a véletletől függ. Előre csak ay állítható, hogy a kor ylvá pl. 00-ál ksebb szám lesz. e.) Addg dobáluk egy szabályos játékkockát, amíg 6-ost em kapuk. Azt persze em lehet előre bztosa megmoda, hogy a hatoshoz háy dobásra lesz szükség, de azt bztosa tudjuk, hogy a 0,,,... (emegatív egész) számok valamelyke fog bekövetkez. Alapfogalom: A K véletle kísérlettel kapcsolatos eseméyek evezük mde olya logka állítást, melyek gaz vagy hams értéke egyértelműe megállapítható a kísérlet befejeződésekor. Az eseméy bekövetkezk, ha az állítás gaz értéket kap a kísérlet végé, és em következk be, ha a logka érték hams. Az eseméyeket az abc agybetűvel fogjuk jelöl: A,B,C,... Példa: a.)a kockadobás kísérletével kapcsolatos eseméy a párosat dobuk. Nem tekthető eseméyek vszot a Frad yer a bajokságot logka állítás. b.)a kártyahúzás kísérlethez tartozó eseméy pl. az, hogy va égy pros a lapok között, de em eseméy a megyerhető a pros ult állítás. c.)a telefohívások között dőtartamra voatkozó kísérlethez tartozó eseméy az öt perce belül csege fog, de em eseméy a Psta fog telefoál állítás. d.)a jutalomsorsoláso a yertes fatalabb mt 0 eseméy, a yertes szép ember pedg em eseméy. e.)a em kell 0 dobásál több a hatoshoz állítás eseméy, míg a a kocka em szabályos állítás em eseméy. 9

10 Defícó: Az A eseméy maga utá voja a B eseméyt, ha az A eseméy bekövetkezéséből, már a B eseméy bekövetkezése s következk. Jelölés: A B. Példa: a.)kockadobásál a hatosat dobuk eseméy maga utá voja a párosat dobuk eseméyt.b.) A yolc prosat húzuk eseméy maga utá voja a khúzott lapok között lesz a pros ász s eseméyt. c.) Az öt perce belül megszólal a telefo eseméy maga utá voja a a tíz perce belül megszólal a telefo eseméyt. d.) A khúzott személy 60 év felett eseméy maga utá voja a ksorsolt személy elmúlt 0 éves eseméyt. e.) A tíz dobáso belül dobok hatost eseméy maga utá voja a húsz dobáso belül hatost dobuk eseméyt. Defícó: Az A és B eseméyek ekvvalesek, ha A B és B A egyszerre. Ekvvales eseméyek között em teszük külöbséget. Defícó: Lehetetle eseméyek evezzük azt a -val jelölt eseméyt, amely a K bármely végrehajtása sorá soha sem következk be, lletőleg elvleg sem következhet be.( A kostas hams állítás.) Defícó: Bztos eseméyek evezzük azt az Ω-val jelölt eseméyt, amelyk a K bármely végrehajtása sorá mdg bekövetkezk, mert elvleg s mdg bekövetkezk. (A kostas gaz állítás). Példa: a.) A kockadobásál a 0-él ksebb értéket dobuk eseméy az Ω-val, a egatív értéket dobuk eseméy pedg -val ekvvales. b.) A zöld, makk, tök vagy pros szíű lapok közül lesz a leosztott yolc között eseméy bztos eseméy, yolc pros szíű lapom és két ászom s lesz pedg lehetetle eseméy lesz. c.) Negatív szám lesz az eltelt dő lehetetle, míg az eltelt dő emegatív lesz eseméy bztos. d.) 00 év alatt személy yer a sorsolást bztos eseméy, a 00-ál öregebb yer lehetetle. e.) Egyszer valaha foguk hatost dob bztos eseméy, soha sem foguk hatost dob lehetetle. 0

11 Defícó: A K véletle kísérlet egy A eseméyét elem eseméyek evezzük, ha cs olya B eseméy, amely A-t maga utá voá. Azaz B ( és A) olya hogy B A. Az elem eseméyeket, - a több ú.. összetett eseméytől való megkülöböztetésül - ω-val vagy ω -vel fogjuk jelöl. Defícó: A K véletle kísérlet összes elem eseméyéek halmazát eseméytérek evezzük. Megjegyzés: Mutá az összetett eseméyek elem eseméyek - mt állítások - dszjukcójából állak, az összetett eseméyeket úgy s felfoghatjuk, mt a megfelelő elem eseméyek halmazát. Ebből a szempotból, az eseméytér éppe az Ω bztos eseméy lesz. Pl. kockadobásál az ω értéket dobok (,,3,4,5,6) eseméyek az elem eseméyek, az A 3-al osztható számot dobok eseméy az A { ω 3 ω 6 } Ω { ω ω ω ω ω ω }, halmaz,,, 3, 4, 5, 6 pedg a bztos eseméy (eseméytér). Tehát, az eseméyek az eseméytér részhalmazakét s elképzelhetőek. Defícó: Egy A eseméy elletett eseméye az az A-val jelölt eseméy, am potosa akkor következk be, amkor A em következk be. A az A-ak az Ω-ra voatkoztatott komplemeter halmaza. Az A és B eseméyek összegé azt az A+B-vel jelölt eseméyt értjük, amely potosa akkor következk be, ha A és B közül legalább az egyk bekövetkezk. (A+B az A és B eseméyek uója). Az A és B eseméyek szorzatá azt az A B-vel jelölt eseméyt értjük, amely potosa akkor következk be, amkor A s és B s egydejűleg bekövetkezk. ( A B az A és B eseméyek metszete). Az A és B eseméyek külöbségé azt az A\B -vel jelölt eseméyt értjük, am potosa akkor következk be, amkor A bekövetkezk, de B em. (A\ B A B). Mvel az eseméyek között műveletek a logka állítások között dszjukcó és kojukcó lletve a egácó segítségével voltak értelmezve, és ott gazak a Boole algebra összefüggése, ezért azok tt s érvéyesek. A következő tételbe összefoglaljuk az eseméyek műveleteek legfotosabb tulajdoságat.

12 Tétel: Tetszőleges A,B és C eseméyekre gazak az alábbak: a.) A+BB+A b.) (A+B)+CA+(B+C) c.) A+AA d.) A BB C e.) (A B) CA (B C) f.) A AA g.) A (B+C)(A B)+(A C) h.) A+(B C)(A+B) (A+C).) A A j.) A+ B A B k.) A B A + B l.) A A m.) A+ A Ω.) A ΩA o.) A+ΩΩ p.) A r.) A+ A Defícó: Az A és B eseméyek egymást kzáróak, ha A B, azaz szorzatuk a lehetetle eseméy. Egymást kzáró eseméyek egydejűleg em következhetek be. Defícó: Az A, A, K, A, K(em feltétleül véges elemszámú) eseméyek redszere teljes eseméyredszert alkot, ha j -re A A (párokét egymást kzárják) és A Ω teljesül. j Megjegyzés: A K véletle kísérlet egy végrehajtása sorá a teljes eseméyredszer eseméye közül csak egykük fog bztosa bekövetkez. Példa: A fraca kártyacsomagból való húzásál az A kört húzok, A kárót húzok, A 3 pkket húzok és A 4 treffet húzok eseméyek teljes eseméyredszert alkotak. Axómák: A K véletle kísérlettel kapcsolatos összes eseméyek I redszere kelégít az alább tulajdoságokat: Ω I. Ha A I A I s. 3 Ha A, A, K, A, K I A I s.

13 Megjegyzés: a.) I em feltétleül esk egybe Ω összes részhalmazaak halmazredszerével. I-be csak a kísérlettel kapcsolatba hozható ú.. megfgyelhető eseméyek vaak. Nem zárjuk k, hogy lehetek Ω-ak olya A részhalmaza, amelyeket em tuduk redese megfgyel, azaz lehet olya kmeetel, am végé em tudjuk megmoda, hogy A bekövetkezett-e vagy sem. Az axómákkal éppe az lye kétes A eseméyeket akarjuk kzár a tovább vzsgálatakból. b.) Az axómák ylvávaló tulajdoságokat fogalmazak meg. Az potba azt követeljük meg, hogy a bztos eseméy megfgyelhető legye. A -be azt állítjuk, hogyha az A eseméyt meg tudjuk fgyel, akkor az elletettjét s meg tudjuk. A 3 -ba pedg az az állítás, hogyha eseméyekek egy redszerét egyekét meg tudjuk fgyel, akkor azt az eseméyt s meg fogjuk tud fgyel, amely akkor következk be, ha a felsorolt eseméyek közül legalább egy bekövetkezk. Tétel: Az axómákból levezethetők I-ek az alább tulajdosága: a.) I, azaz a lehetetle eseméy s megfgyelhető. b.) Ha A, B I A+B I s, azaz a 3 axóma véges sok esetre s gaz. c.) Ha A,B I A B I s, azaz megfgyelhető eseméyek szorzata s megfgyelhető. d.) Ha A, A,, A, K K I A I s gaz, azaz megfgyelhető eseméyek együttes bekövetkezése s megfgyelhető. e.) Ha A, B I A\B I és B\A I, azaz megfgyelhető eseméyek külöbsége s megfgyelhetőek. Axómák: Adott egy P: I 0, függvéy, melyet valószíűségek evezük. A P függvéy kelégít az alább tulajdoságokat: P(Ω) Ha A, A, K, A, K I párokét egymást kzárják, azaz j -re A A, akkor P( A ) P( A ). j Megjegyzés: a.) A axómába megfogalmazott tulajdoságot a valószíűség σ-addtvtás (szgma addtvtás) tulajdoságáak evezzük. b.) A megfgyelhető eseméyek valószíűséget smertek tételezzük fel. A P(A) érték az A eseméy bekövetkezéséek mértéke, esélye. Az eseméyek valószíűsége az eseméyek objektíve, fzkalag létező jellemzője, olya mt pl. a testekek a tömege vagy térfogata. Attól, hogy egy adott esetbe em tudjuk megmoda egy eseméy valószíűségét, em következk, hogy az eseméyek cs, vagy em egyértelmű a valószíűsége. Ha egy test tömegét em smerjük, vagy rosszul becsüljük a agyságát, abból még em lehet azt a következtetést levo, hogy a testek cs tömege, vagy az em egyértelmű. Ugyaez gaz a valószíűségre s. Ráadásul a P függvéy redelkezk azokkal a tulajdoságokkal, amkkel mde más mérték s redelkezk (pl. hossz, terület, térfogat, tömeg stb.) A axóma azt állítja, hogy egymást át em fedő eseméyek összegéek valószíűsége az eseméyek valószíűségeek összege, mt ahogy pl. egymást át em fedő részekből álló síkdom területe egyelő a részek területeek összegével. Az axóma azt posztulálja, hogy legye a bztos eseméy valószíűsége, és ehhez képest jellemezzük a több eseméy bekövetkezéséek esélyét. A fzka meységekhez mérőműszerek szerkeszthetők, hogy az 3

14 adott test egy fzka jellemzőjéek elmélet értékét agy potossággal megbecsülhessük. Ilye műszer a hosszmérésre a méterrúd, tömegre a karos mérleg. Ugyaúgy, mt más mértékél, a valószíűség eseté s szerkeszthető mérőműszer, amvel az elmélet valószíűség számértéke jól becsülhető lesz. Ez a mérőműszer a később értelmezedő relatív gyakorság lesz. (Lásd az 5. potot!) Tétel: A valószíűség axómaredszeréből levezethetőek a valószíűség alább tulajdosága: a.) P( A) PA ( ) b.) P( )-P(Ω) c.) Ha A, A, K, A, K I eseméyek teljes eseméyredszert alkotak, akkor P( A ) d.) Ha A B akkor P(A) P(B) e.) P(A\B)P(B)-P(A B) f.) P(A+B)P(A)+P(B)-P(AB) A következő evezetes tétel az előbb tétel f.) állításáak általáosítása kettőél több eseméy esetére. Tétel: ( Pocare tétel) + Ha A, A, K, A I tetszőlegesek, akkor P( A) ( ) S, ahol S P( Aj Aj L Aj ). j< j<... < j Tétel: (Boole- egyelőtleség) Legye (Ω,I,P) Kolmogorov-féle valószíűség mező. Akkor mde A, A, K, A I eseté a.) P( A ) P( A ) és b.) P( A ) P( A ). Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok. Mt értük eseméyek összegé?. Mt értük eseméyek szorzatá? 3. Mk a valószíűség axómá? 4. Mt állít a Pocare tétel? 5. M a teljes eseméyredszer fogalma? 6. Mkor modjuk azt, hogy az A eseméy maga utá voja a B eseméyt? 7. Tektsük azt a véletle kísérletet, hogy khúzuk egy kártyalapot a 3 lapos magyar kártyacsomagból. Az alábbak közül melyk eseméy? 4

15 A A khúzott lap szíe makk B Nagy értékű a khúzott kártya C Nem krály a khúzott lap D Szép fgurájú a khúzott lap E A khúzott lap a treff kettes F A khúzott lap em a treff kettes 8. Melyk eseméy voja maga utá a máskat? A Szabályos kockával párosat dobuk B Legalább 4-est dobuk C 6-ost dobuk D Prímszámot dobuk 9. Mely eseméyek zárják k egymást? A Két szabályos kockával dobva az összeg páros B A két dobott érték közül legalább az egyk páros C Az egyk legalább osztható hárommal D A dobott értékek szorzata páratla E A két dobott érték közül az egyk égyszerese a máskak 0. Dötse el, az alább állítások közül melyk gaz, melyk hams! a. Bármely két eseméy közül az egyk maga utá voja a másk bekövetkezését. b. Két eseméy szorzata olya eseméy, amely a két kompoes eseméy mdegykét maga utá voja. c. Az eseméyek szorzata felcserélhető (kommutatív). d. Az eseméyek összeadása átzárójelezhető (asszocatív) e. Egy eseméy az elletettjével teljes eseméyredszert alkot. f. Egy eseméy és az elletettje em egymást kzáró eseméyek. g. Az eseméyek összege akkor következk be, ha a kompoes eseméyek valamelyke bekövetkezk. h. Az eseméyek szorzata akkor következk be, ha a kompoes eseméyek valamelyke bekövetkezk.. Az eseméyek valószíűsége lehet akár 000 %-os s. j. Az eseméyek valószíűsége a véletle kísérlet mde egyes végrehajtásakor más és más. k. Az elletett eseméy valószíűsége mdg agyobb mt az eseméy valószíűsége. l. Az elletett eseméy valószíűségéek és az eseméy valószíűségéek összege mdg. m. Az eseméyek szorzatáak a valószíűsége em lehet agyobb bármely kompoes eseméy valószíűségéél.. Az eseméyek összegéek a valószíűsége em lehet agyobb bármely kompoes eseméy valószíűségéél. o. A függetle eseméyek kzárják egymást. p. A függetle eseméyek em zárják k egymást. q. Két olya függetle eseméy, melyek közül egyk sem lehetetle vagy bztos eseméy, em zárhatják egymást k. r. Függetle eseméyek szorzatáak valószíűsége egyelő az eseméyek valószíűségeek szorzatával. s. Függetle eseméyek szorzatáak valószíűsége egyelő az eseméyek valószíűségeek összegével. 5

16 t. Egymást kzáró eseméyek szorzata a lehetetle eseméy. u. Ha két eseméy szorzatáak valószíűsége ulla, akkor a két eseméy kzárja egymást. v. Egymást kzáró eseméyek összegéek valószíűsége a kompoes eseméyek valószíűségeek összege. w. A lehetetle és a bztos eseméyek mde eseméytől függetleek. x. Egy eseméy em lehet függetle a komplemeterétől.. A próbagyártás sorá két szempotból vzsgálják a késztermékeket. Az A eseméy azt jelet, hogy egy véletleszerűe kválasztott mtadarab ayaghbás, a B pedg az az eseméy, hogy a kválasztott gyártmáy mérethbás. Tudjuk, hogy P(A)0,5, P(B)0,3 és P(AB)0,08. Mey aak a valószíűsége, hogy valamelyk termék hbátla?. Mey PAB ( ), ha P(A)0,6, P(B)0,5 és P(A+B)0,8? 3. Egy fekete és fehér golyókat tartalmazó urából khúzuk db golyót. Jeletse A azt az eseméyt, hogy az -edekek khúzott golyó fehér ( ). Fejezzük k az A eseméyek segítségével az alább eseméyeket: A Mdegyk golyó fehér B Legalább egy golyó fehér C Potosa egy golyó fehér D Mdegyk golyó ugyaolya szíű 4. Bzoyítsa be, hogy tetszőleges A,B eseméyekre ( PAB ( )) + ( PAB ( )) + ( PAB ( )) + ( PAB ( )) 05,. 5. Kette sakkozak. Az A eseméy akkor következk be, ha a vlágossal játszó yer, a B eseméy akkor, ha a sötéttel játszó másk, remél pedg a C eseméy következk be. Fogalmazzuk meg szavakba, mt jeleteek az alább eseméyek: a. AB+ A B b. AB c. A+C 6. Egy céltábla tíz kocetrkus körből áll és a sugarakra feáll az R < R < L < R0 relácó. A k azt az eseméyt jelet, hogy egy lövés az R k sugarú körbe esk. Fogalmazzuk meg szavakba, mt jeleteek az alább eseméyek: B A + A3 + A6 C AA4A6A8 D ( A + A3) A6 7. Tegyük fel, hogy A és B olya eseméyek, melyre P(A)P(B)0,5. Bzoyítsa be, hogy ekkor PAB ( ) PAB ( )! 8. Bzoyítsa be, hogy PAB ( + AB) PA ( ) + PB ( ) PAB ( ) 9. Ha az A és B eseméyek közül az egyk feltétleül bekövetkezk, PAB ( ), PBA ( ), mey a P(A) és P(B) valószíűség? Legye PA ( ), PAB ( ), PBA ( ). Határozza meg a P(A+B) és PAB ( ) valószíűségeket! 6

17 3. A klasszkus valószíűség mező Ekkor az eseméytér véges elemszámú elem eseméy halmaza: Ω { ω, ω,, ω } K, az I eseméyosztály Ω összes részhalmazaak redszere, és mdegyk elem eseméy bekövetkezéséek egyforma a valószíűsége: P( { ω} ) P( { ω} ) L P( { ω} ). Mvel az összes elem eseméyek redszere teljes eseméyredszert alkot, ezért P( Ω) P( { ω }) P( { ω} p P( { ω} ) -re. k A Így, ha A Ω tetszőleges eseméy, akkor PA ( ) P( { ω} ), ahol k ω A ω A A az A eseméy számossága. Vagys az eseméyek valószíűsége lyekor úgy számítható, hogy az eseméy bekövetkezése szempotjából kedvező elem eseméyek számát osztjuk a kísérlettel kapcsolatos összes elem eseméyek számával. Klasszkus valószíűség mezővel modellezhető a kockadobás, a pézfeldobás, a rulettezés, a kártyahúzás, a lottóhúzás, a totótppelés stb. Feladat (De Méré lovag feladváya) Melyk eseméyek agyobb a valószíűsége: hogy egy kockával égyszer dobva legalább egyszer hatost dobuk (A), vagy aak, hogy két kockával huszoégyszer dobva legalább egyszer két hatosuk lesz (B)? Megoldás: Két külöböző valószíűség mezőről va szó. Az elsőbe egy szabályos kockát égyszer feldobuk. Az összes elem eseméyek száma 6 4. A vzsgált A eseméy elletettje az az eseméy, hogy egyszer sem dobuk hatost. Ilye eset összese 5 4 lehet, vagys az elletett eseméy valószíűsége: P( A) 5 4. Így az A eseméy valószíűsége: , A másodk vzsgált eseméy egy egésze más kísérlethez és eseméytérhez tartozk. Most a véletle kísérlet az, hogy két szabályos kockát dobuk fel 4- szer. Az összes elem eseméy most sokkal több: A másodk eseméy elletettje most az, hogy a dobássorozatba egyszer sem dobuk duplá hatost. Eek a valószíűsége PB ( ) A másodk eseméy valószíűsége így P(B)- 0, Látható, hogy az A eseméy valószíűsége a agyobb. Megjegyzés: A feladatot De Méré lovag adta fel Blase Pascal fraca matematkusak, ak ebből kdulva jutott el a valószíűségszámítás első komoly eredméyehez. A feladatba egyébkét első pllatásra az tűk fel, hogy mdkét eseméy esetébe a dobások számáak és a lehetséges kmeetelek számáak aráya azoos: A-ál 4:6, a B-él 4:36. Feladat Egy urából, ahol fehér és fekete golyók vaak, véletleszerűe kveszük vsszatevéssel két golyót. Bzoyítsuk be, hogy aak a valószíűsége, hogy a golyók ugyaolya szíűek, em lehet ksebb mt 0,5. 7

18 Megoldás: Legye a fehér golyók száma, a feketéké m (,m ). Ekkor a véletle kísérlet elem eseméyeek száma ( + m), a kedvező eseteké pedg + m. A keresett valószíűség: p m +. Mvel ( m) 0, így + m + m + m, azaz p 0,5. ( + m) Feladat (Pólya-féle uramodell) Egy ura r darab fekete és s darab fehér golyót tartalmaz. Véletleszerűe khúzuk egy golyót. A khúzott golyót és még plusz c darab ugyaolya szíű golyót vsszateszük az urába. Mey a valószíűsége aak, hogy az -edk húzás utá α-szor húztuk k a fekete, és β-szor a fehér golyót? (α+β). Megoldás: Pl. aak az eseméyek a valószíűsége, hogy az első α húzáskor mdg fekete és az utolsó β húzáskor pedg csupa fehér golyót foguk húz: r( r+ c)( r+ c)( r+ 3c) L( r+ ( α ) c) s( s+ c)( s+ c) L( s+ ( β ) c). De mde más olya ( r+ s)( r+ s+ c)( r+ s+ c)( r+ s+ 3c) L( r+ s+ ( ) c) húzássorozatak, ahol α-szor húztuk k a fekete, és β-szor a fehér golyót s ugyaekkora a valószíűsége. A külöböző kmeetelek száma, így a keresett valószíűség: α ( ) ( ) α r( r+ c)( r+ c)( r+ 3c) L r+ ( α ) c s( s+ c)( s+ c) L s+ ( β ) c. ( r+ s)( r+ s+ c)( r+ s+ c)( r+ s+ 3c) L r+ s+ ( ) c ( ) Feladat Ha egy szabályos pézérmét -szer feldobuk, mey a valószíűsége, hogy k-val többször foguk fejet kap, mt írást? (0 k ). Megoldás: Ha a fejdobások számát f, az írásokét jelöl, fe kell álla, hogy f+ és f-k. Ie következk, hogy f + k és k, vagys és k partásáak meg kell egyeze. Aak valószíűsége, hogy egy hosszúságú dobássorozatba éppe f fejet dobuk k f +. Ugyas, mde hosszúságú sorozat egyformá valószíűségű, és ezek között olya külöböző dobássorozat lehet, ahol a fejek száma f éppe f (kedvező esetek). Gyakorló feladatok. Egy mde oldalá befestett fakockát a lapokkal párhuzamos síkokba 000 azoos méretű ks kockára fűrészelek szét. A kapott ks kockákból véletleszerűe kválasztuk egyet. Mey a valószíűsége, hogy a kockáak éppe k oldala festett? (0 k 3).. Egy kalapba az agol ABC 6 betűje va. Vsszatevéssel -szer húzva, a khúzott betűket sorba egy papírra felírva, mey a valószíűsége, hogy a kapott szóból legfeljebb két betűt felcserélve éppe a STATISZTIKA szó jö k? 8

19 3. Egy szabályos érmével -szer dobva, mey a valószíűsége, hogy a fejdobások száma páratla lesz? 4. Egy szabályos érmével -szer dobva, mey a valószíűsége, hogy a. először az -edkre jö fej? b. ugyaay fejet dobuk, mt írást? c. potosa két fejet dobuk? d. legalább két fejet dobuk? 5. Egy kalapba három cédula va, amelyekre az,,3 számjegyek vaak felírva. Véletleszerűe egyesével khúzzuk a cédulákat. Mey a valószíűsége aak, hogy a húzáskor lesz olya cédula, amelykre éppe az a szám va felírva, aháyadkkét khúztuk azt? 6. Feldobuk három szabályos pézérmét. Mey a valószíűsége az A,B,C eseméyekek, ahol A: legalább két érmével fejet dobuk, B: potosa két érmével fejet dobuk, C: legfeljebb két érmével fejet dobuk? 7. A ötös lottóhúzás előtt mey a valószíűsége, hogy k,,3,4,5 találatuk lesz? 8. Egy urába fehér és fekete golyók vaak, melyeket egymás utá vsszatevés élkül khúzuk. Az A vagy a B eseméyek agyobb-e a valószíűsége, ahol A: az első golyó fehér, és B: az utolsó golyó fehér? 9. Ha egyforma ládába elhelyezük egyforma golyót úgy, hogy bármely ládába ugyaolya valószíűséggel tesszük bármelyk golyót, mey a valószíűsége aak, hogy mdegyk ládába lesz golyó? 0. Egy 5 lapos fraca kártyacsomagból 3 lapot találomra vsszatevés élkül khúzuk. Mey a valószíűsége aak, hogy a. a treff krály a khúzott lapok között lesz? b. potosa két treff lesz a leosztott lapok közt? c. a treff krály és a treff ász a khúzott lapok közt va? d. va treff a leosztott lapok között? 9

20 4. Geometra valószíűség mező Alkosso a K véletle kísérlet elem eseméyeek halmaza egy véges mértékű geometra alakzatot, vagy legalábbs, lehesse kölcsööse egy-egyértelmű leképezést létesíte Ω potja és egy geometra alakzat potja között. Ilyekor az I eseméyredszer a geometra ( A) alakzat mérhető részhalmazat jelet, és az A eseméy valószíűségét a P( A) µ µω ( ) módo számítjuk, ahol µ a geometra térek megfelelő mértéket jelöl. Ha pl. Ω tervallum, akkor µ hosszmérték, ha Ω síkdom, akkor µ területmérték, ha Ω test, akkor µ térfogatmérték stb. Feladat Ha x és y két véletleül választott 0 és közé eső szám, akkor mey aak a valószíűsége, hogy x+y< és xy < 0,6 lesz? Megoldás: Ω most az egységégyzet lesz, az kérdéses eseméy pedg az ábrá besatírozott területek felel meg: A besatírozott terület agysága: 08, 06, 0, 04,. x dx + 0, Feladat (A Buffo-tű probléma, 777) Egy szobába egymástól d távolságba párhuzamosa padlórések futak. Leejtve egy s<d hosszúságú tűt, mekkora a valószíűsége, hogy a tű éppe egy padlórést fog metsze. Megoldás: A tű helyzetét egyértelműe a felezőpotjáak a felső padlóréstől vett y távolságával és a padlórések ráyával bezárt α szögével jellemezzük. Azokkal a körülméyekkel, hogy melyk két rés által meghatározott sávba esk a középpot, és hogy a párhuzamosokra merőleges faltól mlye messze va a középpot em foglalkozuk, mert a tű metsz a padlórést eseméy bekövetkezésére ezek cseek hatással. y α Nylvá 0 y d és 0 α π. A tű leejtése utá y és α egyértelműe meghatározható, vagys a véletle kísérlet elem eseméye azo (y,α) potpárok, melyek eleme a [0,d] és [0,π] tervallumok által meghatározott téglalapak. (Ez a téglalap az Ω eseméytér). 0

21 Metszés egyszerre csak egy padlórésél következhet be, mert s<d. A metszés csak akkor s s következhet be, ha 0 y s α, vagy hogyha ( d y) s α teljesül. A feltételekek megfelelő (y,α) potpárok tartomáyát az alább ábrá besatíroztuk: y d s d sα s s α A sötétített terület agysága T α α [ α] π π α s π s d s cos s, a téglalap területe pedg dπ. 0 s Így a keresett valószíűség: P(" A tű metsz a padlórést" ) dπ. Megjegyzés: Mvel a valószíűség kapcsolatos π-vel, lehetőség va statsztkus eszközökkel a π becslésére. Ha agyo sokszor végrehajtjuk a véletle kísérletet, és számoljuk a metszések bekövetkezését, azaz a vzsgált eseméy gyakorságát, akkor ezt a kísérletek számával elosztva (relatív gyakorság) a fet valószíűséget jól lehet közelíte. Ebből π-t kfejezve kapjuk a közelítést. 885-be Stepha Smth agol matematkus 300-szer végrehajtva a kísérletet, π-re 3,553 -at kapott. Feladat Válasszuk k egy potot véletleszerűe az egységégyzetbe, melyek koordátát jelölje (a,b). Tektve a p( x) ax bx + polomot, mekkora a valószíűsége aak, hogy a p(x)0 egyeletek va valós gyöke? Megoldás: Egy polomak akkor va valós gyöke, ha a dszkrmása poztív, azaz D 4b 4a 0. Ie következk, hogy a véletleszerűe kválasztott pot koordátá között fe kell álla a b > a relácóak. Eek megfelelő tartomáyt az egységégyzetbe besötétítettük: b 0 y x a

22 A besötétített tartomáy területe megegyezk a keresett valószíűséggel, mvel az 0 egységégyzet területe. Így P(" Va valós gyök" ) x dx Feladat Válasszuk k egy potot véletleszerűe az egységégyzetbe, melyek koordátát jelölje (a,b). Mekkora a valószíűsége aak, hogy a pot közelebb va a égyzet egy oldalához, mt egy átlójához? Megoldás: Egymást metsző egyeesektől egyelő távolságra fekvő potok mérta helye az egyeesek szögéek felező egyeese. Az oldalegyeesek és az átló egyeeseek szögfelező az oldalegyeesekkel,5 -os szöget zárak be. A vzsgált eseméy potja ezért az oldalak és a szögfelezők által határolt tartomáyba esek: 3. Az ábrá jelölt magasságvoal m tg, 5 o. A besötétített terület most s a keresett valószíűséggel egyezk meg: m o P(" a pot közelebb va az oldalhoz " ) T 4 tg, Példa Az egységtervallumba véletleszerűe kjelölve két potot, mekkora a valószíűsége, hogy a keletkező három szakaszból háromszög szerkeszthető? Megoldás: Jelöljük a két potak a 0-tól vett távolságat redre x-szel és y-al. Az (x,y) pár lyekor egy potot határoz meg az egységégyzetbe, am tehát most s a véletle kísérlethez tartozó Ω eseméytér. A háromszög szerkesztéséhez a keletkező három szakasz a,b,c hosszaak k kell elégítee egydejűleg az a+b c, a+c b és b+c a egyelőtleségeket. Az x<y esetbe a három szakasz az ax,by-x és c-y. Így a háromszög szerkeszthetősége az alább egyelőtleségek egydejű feállását követel meg x,y,z-től: a x b y-x c -y 0 x y x+ ( y x) y y 05, x+ ( y) y x y x+ 05, ( y x) + ( y) x x 05,. Az y x esetbe a fet egyelőtleségekek a x 0,5, x-0,5 y és y 0,5 redszer fog megfelel. A két krtérumredszerhez tartozó tartomáyt besötétítettük az egységégyzetbe:

23 Így a keresett valószíűség 0,5 lesz. Gyakorló feladatok. Egy szobába egymástól d távolságba párhuzamosa padlórések futak. Leejtve egy s<d átmérőjű pézdarabot, mey a valószíűsége, hogy a péz éppe egy padlódeszka belsejébe esk, azaz em metsz a padlórést? d s. Egy d0 cm oldalhosszúságú égyzetrácsos padlózatra leejtük egy s3cm átmérőjű pézdarabot. a. Mey a valószíűsége, hogy a péz teljes terjedelmével egy égyzet belsejébe fog es? b. Mey a valószíűsége, hogy hússzor végrehajtva a kísérletet, az eseméy éppe ötször következk be? 3. Egy d0 cm oldalhosszúságú égyzetrácsos padlózatra leejtük egy s3cm hosszú tűt. Mey a valószíűsége, hogy a tű teljes egészébe egy égyzet belsejébe kerül? 4. Egy a, b oldalhosszúságú téglalapo kválasztuk egy potot. Mey a valószíűsége, hogy a pot közelebb va egy csúcshoz, mt a középpothoz? 5. Kette megbeszélk, hogy de. 0 és óra között egy meghatározott helye találkozak. Megállapodás szert, ak korábba érkezk 0 percet vár a máskra, és csak azutá távozk. Mey a találkozás valószíűsége, ha mdkette véletleszerűe érkezek? 6. Egy egységy hosszúságú szakaszo találomra választuk két potot. Mey a valószíűsége aak, hogy ezek közelebb vaak egymáshoz, mt bármelyk végpothoz? 7. Egy ötemeletes házba az emeletek között 6 m távolság va, a földszt és az első emelet között 8m. Ha a lftajtó m, mey a valószíűsége aak, hogy a lft megakadásakor az ajtót teljes egészébe fal takarja? 8. Az ABCD egységégyzete véletleszerűe kválasztva egy potot, mey a valószíűsége, hogy a pot közelebb lesz a égyzet középpotjához, mt az AB oldalhoz? 3

24 5. A feltételes valószíűség és az eseméyek függetlesége Defícó: Tektsük egy K véletle kísérletet! Legye A I egy eseméy. Ha az A eseméy bekövetkezéset fgyeljük a K véletle kísérletet olya -szeres azoos körülméyek között végrehajtása sorá amkor az egyes megfgyelések eredméye egymást em befolyásolhatják, egy -szeres Beroull -féle kísérletsorozatról va szó. Ha egy -szeres Beroull-féle kísérletsorozatba az A eseméy k A -szor következett be, ka akkor k A az A eseméy gyakorsága, r ( A) pedg a relatív gyakorsága. Megjegyzés: Nylvávaló, hogy md a gyakorság, md a relatív gyakorság kokrét értéke függ a véletletől. Azoba a relatív gyakorság redelkezk az alább tulajdoságokkal: Tétel: Egy adott -szeres Beroull kísérletsorozatál a.) r :I [0,] b.) r ( Ω ) c.) Ha A, A, K, A, Kegymást kzáró eseméyek, akkor r( A) r( A). Megjegyzés: Az előző tétel azt állítja, hogy a relatív gyakorság redelkezk a P valószíűség tulajdoságaval. Később lát fogjuk azt s, hogy övekedtével r ( A) P( A) s feáll. (Nagy számok Beroull féle törvéye). Ezt a törvéyszerűséget először tapasztalat úto fedezték fel a XVII. századba, mkor megfgyelték, hogy a relatív gyakorság egyre ksebb mértékbe gadozk egy 0 és közé eső szám körül. A klasszkus matematkusok éppe ez alapjá defálták az eseméyek elmélet valószíűségét: az az érték, amely körül a relatív gyakorság gadozk. A relatív gyakorság tehát alkalmas az elmélet valószíűség - mt fzka meység - mérésére. Kolmogorov az axómába a relatív gyakorság a.)-c.) tulajdoságat örökítette át a valószíűségre, mthogy a határátmeet ezeket a tulajdoságokat megtartja. A K véletle kísérlet elem eseméye számukra véletleszerűe következek be, mégpedg azért, mert a végeredméyt befolyásoló körülméyek boyolult komplexumát em smerjük potosa. Vszot smerjük az egyes eseméyek, elem eseméyek bekövetkezés esélyet - a valószíűséget-, vagy legalábbs tetszőleges potossággal mérhetjük őket. Ha vszot az A eseméy bekövetkezés körülméyeről tovább formácókat szerzük be, vagy bzoyos potosító feltételezéssel élük, megváltozhat az A bekövetkezés esélye, az őhet s, de csökkehet s. Pl. a kockadobás kísérletél, a 6-os dobás eseméy valószíűsége 0, ha tudjuk, hogy a dobott érték páratla szám, és 3, ha tudjuk, hogy a dobott érték páros volt. Hogya változk az A eseméy valószíűsége, ha az A-val egydejűleg megfgyelhető B eseméy bekövetkezését smerjük, vagy legalábbs smerék? Tegyük fel, hogy a K kísérlettel végrehajtottuk egy hosszúságú Beroull-féle kísérletsorozatot. Az A eseméyt 4

25 k A -szor, a B eseméyt k B -szer, az AB eseméyt pedg k AB -szer fgyeltük meg. Ekkor a B eseméy bekövetkezéséhez képest az A eseméy bekövetkezéséek relatív gyakorsága kab ylvá r ( A B), melyet az A eseméyek a B eseméyre voatkoztatott relatív kb gyakorságáak evezük. Ez az aráy az A bekövetkezés esélyet potosabba tükröz, ha a ka B bekövetkezéséről bztos tudomásuk va, mt a r ( A). A feltételes relatív gyakorság tulajdosága ylvá : a.) 0 r ( A B) b.) r ( BB) c.) Ha A, A, K, A, K I egymást kzáró eseméyek, akkor r( A B) r( A B) kab kab Az r A B r ( AB) PAB ( ) ( ) átírás utá, ha kapjuk, hogy r ( A B). k k B B r ( B) P( B) Defícó: Legyeek A, B I olya eseméyek, hogy A tetszőleges és P(B)>0. Akkor az A PAB ( ) eseméyek a B-re voatkoztatott feltételes valószíűségé a P( AB) számot értjük. P( B) Feladat Számoljuk k aak feltételes valószíűségét, hogy két kockával dobva mdkét érték páros feltéve, hogy összegük legalább tíz! Megoldás: Legye A: Két szabályos kockával dobva mdkét érték páros lesz és B: A dobott értékek összege em ksebb mt 0. P(B)P( Az összeg 0 vagy vagy ) P( A dobások eredméye (6,4),(4,6),(5,5) vagy (5,6),(6,5) vagy (6,6) ) 33. P(A) P(AB)P( A dobások eredméye (6,4),(4,6) vagy (6,6) ) 3. A defícót haszálva 36 P(A B) PAB ( ). Láthatjuk, hogy a feltételes valószíűség most agyobb, mt a feltétel PB ( ) élkül. Tétel: Tektsük az (Ω,I,P) Kolmogorov-féle valószíűség mezőt. B I, P(B)>0 rögzített. Ekkor a P ( A) P( A B) feltételes valószíűségre teljesülek az alább tulajdoságok: B def a.) 0 PB ( A) ( A I ) b.) P ( B), P ( ) 0 B B c.) A, A, K,, K I : A A ( j) P ( A ) P ( A ) A j B B 5

26 Megjegyzés: def a.)az előző tétel azt állítja, hogyha B-t rögzítjük, I B { CC A B, A I}, akkor a ( B, I B, PB) kelégít a Kolmogorov valószíűség mező axómát, azaz a feltételes valószíűség bevezetésével az eredet valószíűség mezőt leszűkítjük..b.)vaak A,B eseméyek, amkor PAB ( ) PA ( ) teljesül, azaz A valószíűsége em változk meg, ha a B eseméy bekövetkezését smerjük; az A bekövetkezése függetle a B bekövetkezésétől. Defícó: Legyeek A,B I, P(A) P(B) > 0. Az A és B eseméyek függetleek, ha PAB ( ) PA ( ) ( P( BA) P( B) s ) feáll. A következő defícó általáosabb, mt a fet, hsze em követel meg, hogy az eseméyek poztív valószíűségűek legyeek: Defícó: Legyeek A,B I tetszőleges eseméyek. Az A és B eseméyek függetleek, ha P(AB)P(A) P(B) feáll. Tétel: Ha az A, B I eseméyek függetleek, akkor a.) A és B b.) A és B c.) A és B s függetleek. Tétel: Az és Ω eseméyek mde A I eseméytől függetleek. Defícó: Az A, A, K, A I eseméyek párokét függetleek, ha P( A A ) P( A ) P( A ) ( j). j j Defícó: Az A, A,, A k 3,,..., és < < L < dex kombácóra P ( A A LA ) P ( A ) P ( A ) LP ( A ). k K I eseméyek teljese függetleek, ha { } k k Tétel: Ha az A, A, K, A I eseméyek teljese függetleek, akkor párokét s függetleek. Fordítva általába em gaz. A teljes függetleség defícójába, amkor k, éppe a párokét függetleség defícóját kapjuk. 6

27 A megfordításra ellepélda: K : Dobjuk fel egy szabályos kockát egymás utá kétszer. A : Elsőre páratlat dobuk ; B : Másodkra páratlat dobuk ; C : A két dobott szám összege páratla. P(A)P(B)P(C)0,5, P(AB)P(AC)P(BC)0,5 A, B, C párokét függetleek. De P(ABC)0 P(A)P(B)P(C)0,5 azaz A,B és C em teljese függetleek. Tétel: Ha az A, A, K, A I eseméyek teljese függetleek, akkor közülük bármelyket az elletett eseméyére felcserélve, újra teljese függetle redszert kapuk. Tétel: (szorzás szabály) Legyeek az A, A, K, A I tetszőleges eseméyek, hogy P( A ) > 0. Ekkor ( ) ( ) P A P A A P A A P A A P A L. A bzoyítás egyszerűe a feltételes valószíűség defícójáak felhaszálásával törtéhet. P( A) P( A) PAA ( ) PA ( A), PA ( A),..., PA ( A). PA ( ) P( A ) P( A ) A baloldalakat P( A) -gyel összeszorozva, az egyszerűsítés utá kapjuk az állítást. Feladat A 3 lapos magyar kártyából három lapot húzuk egymás utá vsszatevés élkül. Mey a valószíűsége aak, hogy az első khúzott lap hetes, a másodk kleces, a harmadk smét hetes? ( Megoldás: Legyeek A ( ) 7 : Az elsőek húzott lap hetes, A 9 A másodkak húzott lap ( 3 kleces, A 7 : A harmadkak khúzott lap hetes. A keresett valószíűség a () ( ) () 3 PA ( 7 A9 A7 ). Alkalmazva a szorzás szabályt: () ( ) () 3 () ( ) () () 3 () ( ) PA ( 7 A9 A7 ) PA ( 7 ) PA ( 9 A7 ) PA ( 7 A7 A9 ), ahol az egyes téyezőket egyszerűe meghatározhatjuk: () PA ( ) 4 ( ) () 4 () 3 () ( ) 7, PA ( 9 A7 ), PA ( 7 A7 A9 )

28 Tétel: (A teljes valószíűség tétele) Legyeek A, A, K,, K I teljes eseméyredszer, vagys A A, ( j ) és A eseméyre Bzoyítás: Mvel A Ω. Tegyük fel továbbá, hogy P( A ) > 0 mde -re. Ekkor tetszőleges B I PB ( ) PBA ( ) PA ( ). A Ω és B B Ω B A ( A B), valamt ( AB) ( AB), a valószíűség σ-addtvtás tulajdoságából következk, hogy PB ( ) P( AB) PAB ( ) PBA ( ) PA ( ). Feladat Egy rekeszbe 5 teszlabda va, melyek közül 9 még haszálatla. Az első játékhoz kveszük találomra három labdát, majd a játék utá vsszarakjuk azokat a rekeszbe. (Nylvá, ha volt közöttük haszálatla, az a játék sorá elveszt ezt a tulajdoságát.) A másodk játékhoz smét találomra veszük k három labdát. Mey a valószíűsége aak, hogy az utóbb kvett labdák md még haszálatlaok leszek? Megoldás: Vezessük be az alább eseméyeket: A : Az első játékhoz éppe db haszálatla labdát vettük k, 0,,,3. B : A másodk játszmához három haszálatlat vettük k Látható, hogy az A eseméyek teljes eseméyredszert alkotak. 9 3 A B eseméyek az A eseméyekre voatkozó feltételes valószíűsége : PBA ( ), míg az A eseméyek valószíűsége: PA ( ) j (0,,,3). A teljes valószíűség tételét alkalmazva: PB ( ) PBA ( ) PA ( ), j 8

29 Tétel: (Bayes tétele) Legyeek A, A, K, A, K I teljes eseméyredszer, vagys A A j, ( j ) és A Ω. Tegyük fel továbbá, hogy P( A ) > 0 mde -re. Ekkor tetszőleges B I eseméyre, ahol P( B) > 0 PA ( B) PBA ( ) PA ( ). PBA ( ) PA ( ) j j j Bzoyítás: PAB ( ) A feltételes valószíűség defícójából: PA ( B). A számláló helyébe PB ( ) P( BA) P( A)-t írva, a evező helyébe pedg a teljes valószíűség tételéből kapott formulát helyettesítve azoal adódk az állítás. Feladat Hat doboz mdegykébe hat-hat darab golyó va, melyek között redre,,3,4,5,6 darab fehér szíű található (a több fekete). Egy dobozt véletleszerűe kválasztuk, majd abból vsszatevéssel három golyót khúzuk. Ha azt tapasztaljuk, hogy mdhárom golyó fehér szíű, mey aak a valószíűsége, hogy a csupa fehér golyót tartalmazó dobozt választottuk k előzőleg? Megoldás: Legyeek A -k a következő eseméyek: Azt a dobozt választottuk, amelykbe db fehér golyó va,,,3,4,5,6. Nylvávaló, hogy ezek az eseméyek teljes eseméyredszert alkotak, és mdegykük bekövetkezése egyformá 6 valószíűségű. Legye továbbá B az az eseméy, hogy Vsszatevéssel húzva mdegyk golyó szíe fehér. PBA ( ) 3 6,,,3,4,5,6. A Bayes-tételt alkalmazva: PBA ( 6) PA ( 6) 6 PA ( 6 B) 6 049,. 44 PBA ( ) PA ( ) Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok. Mt értük az A eseméy relatív gyakorságá?. Mey a lehetetle és a bztos eseméy relatív gyakorsága egy -szeres kísérletsorozatba? 3. M a feltételes valószíűség defícója? 4. Mkor evezük három eseméyt teljese függetleek? 5. Mt állít a szorzás szabály? 6. Modja k a Bayes tételt! 7. Dötse el, az alább állítások közül melyk gaz, melyk hams! 9

30 a. Az eseméy relatív gyakorsága mdg agyobb, mt az eseméy elmélet valószíűsége. b. A relatív gyakorság lehet ksebb s és agyobb s, mt az elmélet valószíűség. c. Ha egy eseméy relatív gyakorsága, akkor az eseméy a bztos eseméy. d. A kísérletek számáak övekedtével a relatív gyakorság értéke egyre csökke. e. Egymást kzáró eseméyek relatív gyakorságaak összege az összegeseméy relatív gyakorságát adja. f. A teljes eseméyredszer relatív gyakorságaak összege. g. Egy eseméyek a bztos eseméyre voatkoztatott feltételes valószíűsége agyobb mt a feltétel élkül valószíűsége. h. A feltételes valószíűség lehet -él agyobb s.. Egy eseméy rögzítése utá a feltételes valószíűség kelégít a valószíűség axómát. j. A függetle eseméyek kzárják egymást. k. Ha két eseméy elletette függetleek, akkor az eseméyek s azok. l. A teljes eseméyredszer eseméye teljese függetleek egymástól. m. Bármely két eseméy vagy függetle egymástól, vagy pedg kzárják egymást.. Bármely poztív valószíűségű eseméy ömagára voatkoztatott feltételes valószíűsége. o. Bármely poztív valószíűségű, de em egy valószíűségű eseméyek az elletettjére voatkoztatott feltételes valószíűsége 0. p. Egymást kzáró eseméyekél az egymásra voatkoztatott feltételes valószíűség mdg 0. q. A teljes függetleségből következk a párokét függetleség. r. A lehetetle eseméy ömagától s függetle 8. Mey P(A B), ha P(A)0,6, P(B)0,5 és P(A+B)0,8? 9. Dobjuk fel két kockát. Modjuk olya eseméyeket ezzel a kísérlettel kapcsolatba, amelyek függetleek, és olyaokat amelyek em függetleek egymástól! 0. Az A és B eseméyek közül legalább az egyk mdg bekövetkezk. Ha P(A B)0, és P(B A)0,5, mey P(A) és P(B)?. Három szabályos kockát feldobuk. Mey a valószíűsége aak, hogy va hatos értékük, ha tudjuk, hogy mdegyk dobás páros lett?. Egy urába b darab fekete és r darab fehér golyó va. Véletleszerűe khúzak egy golyót. A khúzott golyót és még ugyaolya szíűből c darabot vsszateszek az urába. A kísérlet eredméyét em smerve, másodszorra m húzuk az urából. Feltéve, hogy a másodk húzáskor fekete golyót húzuk, mey a valószíűsége aak, hogy az első húzáskor s fekete volt az eredméy? 3. Három szabályos kockát feldobuk. Mey a valószíűsége aak, hogy a dobások között va hatos, ha mdegyk kocká külöböző érték va? 4. Egy ládába 00 darab játékkocka va, melyek közül 99 teljese szabályos, egy pedg hams olya értelembe, hogy vele mdg hatos dobható csak. Ha véletleszerűe kveszük egy kockát a ládából és azt tízszer feldobva mdg hatost kapuk, mey a valószíűsége, hogy éppe a hams kockát vettük k előzőleg? 5. Két poltkus x és y egymástól függetleül hazudak lletve modaak gazat /3 lletve /3 valószíűséggel. Feltéve, hogy x azt állítja, hogy y hazudk, mey a valószíűsége, hogy y gazat mod? 30

31 6. Két ura közül az egykbe fekete és m fehér, a máskba N fekete és M fehér golyó va. Az elsőből találomra átrakuk egyet a másodkba, majd oa találomra vssza veszük egyet. Megt az elsőből húzva, mey a valószíűsége a fehérek? 7. Két játékos felváltva húz egy-egy golyót vsszatevés élkül egy urából, ambe egy fehér és három fekete golyó va. Az a játékos yer, ak először húz fehéret. Mey a valószíűsége, hogy az elsőek húzó játékos fog yer? 8. Egy kalapba tíz cédula va, melyekre a 0,,,3,4,5,6,7,8,9 számjegyek vaak felírva. Vsszatevéssel kveszük két cédulát. Jelölje η a számjegyek összegét, ξ pedg a számjegyek szorzatát. Adjuk meg a P(η ξ0) valószíűségeket! (0,,...,8). 9. Egy perzsa sah egyszer egy elítéltek azt modta, hogy tetszés szert elhelyezhet 50 fehér és 50 fekete golyót két egyforma vázába. Az egykből majd a sah khúz egy golyót, és ha az fehér, megkegyelmez. Ha vszot a khúzott golyó fekete, vagy kderül, hogy em mdegyk golyó volt a vázákba berakva, esetleg a kválasztott vázába em volt semmlye golyó, az ítélet halál. Hogya kell szétosztaa az eltéltek a golyókat, hogy a megkegyelmezés valószíűsége maxmáls legye? 3

32 6. A valószíűség változó és az eloszlásfüggvéy fogalma A gyakorlat alkalmazások jeletős részébe a véletle kísérlet elem eseméye valós számokkal jellemezhetőek. Godoljuk csak például a kockadobás kísérletre, a rulett-tárcsa megforgatására, a Dua pllaaty vízmagasságára, vagy a legközelebb születedő csecsemő testsúlyára stb. Sokszor, bár az elem eseméyek em számok, de egy alkalmas függvéyel (amt majd valószíűség változóak evezük) egy-egyértelmű megfeleltetés létesíthető köztük és a valós számok egy részhalmaza között, és így a valószíűség változó segítségével átfogalmazható a véletle jeleség. Pl. a kártyahúzásál a kártyákat sorszámozzuk, mde addg eseméy ekvvales módo tárgyalható. A leképező függvéyek (valószíűség változók) defálása az esetek többségébe természetes módo adódk. Felhaszálhatók a valószíűség változók az eredet kísérlet egyszerűsítésére s. Pl. később lát fogjuk, hogy egy -szeres hosszúságú Beroull kísérletsorozat helyett egyetle valószíűség változó megfgyelése s lehetséges. Defícó: Legye (Ω,I,P) Kolmogorov- féle valószíűség mező. A ξ : Ω lr függvéyt valószíűség változóak evezzük, ha mde x IR eseté a ξ ksebb értéket fog felve mt x állítás megfgyelhető eseméy lesz, azaz A x {ω ξ(ω)<x} I mde valós x-re. A valószíűség változóval kapcsolatos eseméyek valószíűséget az eloszlásfüggvéy segítségével fogjuk számol. Defícó: Az { } Fξ ( x) P( Ax ) P( ωξω ( ) < x ) P( ξ< x), x lrfüggvéyt a ξ valószíűség változó eloszlásfüggvéyéek evezzük. jel Mt látható, az eloszlásfüggvéy a valós számokat a [0,] tervallumra leképező valós függvéy, azaz Fξ : lr 0,. A következő tétel összefoglalja az eloszlásfüggvéy legfotosabb tulajdoságat. Bzoyítható, hogy ha egy F(x) valós függvéy redelkezk az alább a.),b.),c.) tulajdosággal, akkor ahhoz mdg található olya K véletle kísérlet és azzal kapcsolatos valószíűség változó, amek éppe F(x) az eloszlásfüggvéye. Az eloszlásfüggvéyek, és az a.), b.), c.) tulajdosággal redelkező valós függvéyek halmaza tehát egybeesk! Tétel: (Az F ξ eloszlásfüggvéy tulajdosága) a.) F ξ mooto emcsökkeő, azaz Fξ( x) Fξ( y), ha x < y. b.) F ξ balról folytoos, azaz lm F ( x ) F ( y ξ ξ ) mde y lr -re. x y+ c.) lm Fξ ( x) és lm Fξ ( x) 0. x + x 3