Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Átírás

1 Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996

2 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma és axómaredszere 9 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 4 3. A klasszkus valószíűség mező 7 Gyakorló feladatok 8 4. Geometra valószíűség mező 0 Gyakorló feladatok 3 5. A feltételes valószíűség és az eseméyek függetlesége 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 9 6. A valószíűség változó és az eloszlásfüggvéy fogalma 3 6. Dszkrét valószíűség változók Folytoos valószíűség változók 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok Vektor valószíűség változók, valószíűség változók együttes eloszlása 5 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok Várható érték, szórás, szóráségyzet, magasabb mometumok, kovaraca és a korrelácós együttható Nevezetes eloszlások várható értéke és szóráségyzete 63 Dszkrét eloszlások 63 Folytoos eloszlások 65 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok A agy számok törvéye és a cetráls határeloszlás tételek 7 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 76 FÜGGELÉK 78 Válaszok és megoldások 79 Táblázatok 88 A ormáls eloszlás 89

3 I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3

4 . Kombatorka alapfogalmak A véges elemszámú halmazok tulajdoságaval foglakozk a kombatórka. Az alábbakba egy elemű halmazból képezhető egyéb halmazok elemszámáak meghatározásával foguk foglalkoz. A képzett halmazok számosságához, azaz elemeek száma meghatározásához közvetett módszereket foguk megtaul. Eredméyeket majd a valószíűség klasszkus kszámítás módjáál fogjuk felhaszál. Defícó: külöböző elemből álló halmaz ömagára való kölcsööse egy-egyértelmű (bjektív) leképezéset smétlés élkül permutácókak evezzük. A permutácó em más, mt az külöböző elem egy sorredje. Két permutácó külöbözk egymástól, ha valamelyk sorszámú helyeke más-más elemek állak. Tétel: Egy smétlés élkül permutácót egyértelműe megaduk, ha az,,..., természetes számok valamlye sorredjét vesszük. Tétel: Az összes külöböző smétlés élkül permutácók száma!.... (! - faktoráls.) Bzoyítás: Amkor elkészítük egy sorredet, az első helyre elem közül választhatuk, a másodkra (mvel az első helyre egyet már választottuk) - közül. Az első két helyet tehát (-) féleképpe képezhetjük. A harmadk helyre már csak - lehetőségük marad: eyféleképp folytathatjuk a permutácó felírását, stb. Tehát, ha már elemet elredeztem a sorredbe, - féleképpe folytathatom a sort. Ebből már következk az állítás. Példa: Amkor egy 3 lapos magyar kártyát megkeverük, a kártyacsomag egy permutácóját képezzük. Összese 3!~ sorred lehetséges. Defícó: Ha az elemű halmazba k, k, L, k m darab azoosak tektett elem va, ( k + k + + k ) L akkor a halmaz ömagára való bjektív leképezése smétléses permutácók leszek. m Tétel: Az összes külöböző smétléses permutácók száma! k! k! Lk m!. Bzoyítás: Ha egy adott smétléses permutácóba az azoos elemeket külöbözőkek tekteék, az azoos elemek egymás között sorredjéből más és más smétlés élkül permutácók leéek készíthetők, összese k! k! L k m! darab. 4

5 Példa: Egy 04 darabszámú dupla fraca kártyacsomagba mde lapból két példáy va. 04! Ezért tt az összes megkülöböztethető permutácók száma:. (! ) 5 Defícó: külöböző elemből álló halmaz egy k elemszámú részhalmazáak egy smétlés élkül permutácóját, az elem egy k-adosztályú smétlés élkül varácójáak evezzük. Tétel: elem összes külöböző k-adosztályú smétlés élkül varácóak száma: ( ) L ( k +! ) k ( k)! k! Bzoyítás: Ha egy k-adosztályú varácót elkészítük, az első helyet -féleképpe, a másodkat (-)-féleképpe, stb. a k-adk helyet (-k+)-féleképp választhatjuk. Példa: A magyar 8 tagú labdarúgó bajokságból csak három csapat dulhat a emzetköz kupákért. Elvleg varácó képzelhető el. Defícó: Tektsük egy olya k elemű halmazt ahol külöböző elemből redre k darabot azoosak veszük. Eze halmaz összes k elemszámú részhalmazaak smétléses permutácó az külöböző elem k-adosztályú smétléses varácó. ( k> s lehet! ) Tétel: elem összes külöböző k-adosztályú smétléses varácóak száma k. Bzoyítás: Amkor egy lye smétléses varácót elkészítük, a k hely mdegykére az külöböző elem bármelykét tehetjük. Példa: Amkor egy totó szelvéyt ktöltük, az,,x elemekből álló 3 elemű halmazak egy k4 elemű smétléses varácóját képezzük. Összese tehát ktöltés varácó lehetséges. Defícó: külöböző elemből álló halmaz egy k elemű részhalmaza, az elem egy k- adosztályú smétlés élkül kombácója. Tétel: Az elem összes külöböző k-adosztályú smétlés élkül kombácóak száma : k! k! ( k)!. 5

6 Bzoyítás: Az elem smétlés élkül varácó, és kombácó között az a külöbség, hogy a kombácóál a k-elemű részhalmaz elemeek sorredjet em képezzük. Tehát, egy adott k-adredű kombácóból, az elemek sorredjéek felcserélésével k! külöböző k-adosztályú varácó képezhető, am már gazolja az állítást. Példa: Amkor egy hagyomáyos (ötöt a klecveből azaz ötös-) lottószelvéyt ktöltük, a 90 szám egy 5-ödosztályú smétlés élkül kombácóját képezzük. Az összes ktöltés 90 kombácók száma: Defícó: Tektsük egy olya k elemű halmazt ahol külöböző elemből redre k darabot azoosak veszük. Eze halmaz k elemszámú részhalmazat az külöböző elem k- adosztályú smétléses kombácóak evezzük. ( k> s lehet! ) Tétel: Az külöböző elem összes külöböző k-adosztályú smétléses kombácóak + k száma:. k Bzoyítás: Megmutatjuk, hogy +k- külöböző elem k-adosztályú smétlés élkül kombácó és külöböző elem k-adosztályú smétléses kombácó között kölcsööse egy-egyértelmű (bjektív) leképezés adható meg, am már gazolja az állítást. Tektsük a sorszámozott +k- külöböző elem egy tetszőleges k-adosztályú smétlés élkül kombácója elemeek sorszámat természetes sorredbe: < <...< k ( α β és α {,,..., + k }). Ha most végrehajtjuk a j ( ) α α α traszformácót, k darab olya sorszámot kapuk, amellyel egyértelműe azoosíthatjuk külöböző elem egy k-adosztályú smétléses kombácóját: j j L jk ahol bármely dexél jα jβ lehet és jα {,,... }. Mvel a végrehajtott traszformácó bjektív, az állításukat bebzoyítottuk. Példa: Egy aaltkus háromváltozós függvéyek elvleg vegyes parcáls dervált függvéye lehet darab ötödredű 5 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok. Háy külöböző sorredje lehet elemek?. Mt evezük elem k-adosztályú smétlés élkül kombácójáak? 3. Mey elem k-adosztályú smétléses varácóak száma? 4. Hogya számoljuk k az! ( faktoráls) számot? 6

7 . Hogya számoljuk k az bomáls együtthatót? k. Mt értük elem k-adosztályú smétléses varácójá? 7. Dötse el, az alább állítások közül melyk gaz, melyk hams! a. Amkor elem k-adosztályú smétléses kombácójáról beszélük, k> s lehet. b. Az elem k-adosztályú smétléses kombácóak száma több, mt a k-adosztályú smétléses varácók száma. c. A lottóhúzások számát smétlés élkül kombácóval lehet meghatároz. d. Ha egy kombácóba két elemet felcserélük, egy másk kombácót kapuk. e. Ha egy smétléses varácóba két külöböző elemet felcserélük, egy másk smétléses varácót kapuk. f. Az elem k-adosztályú smétlés élkül kombácóak a száma megegyezk az (-k)-adosztályú smétlés élkül kombácóak a számával. (k -k). g. Az elem k-adosztályú smétlés élkül varácóak a száma megegyezk az (-k)- adosztályú smétlés élkül varácóak a számával. (k -k). h. Az elem k-adosztályú smétléses kombácóak a száma megegyezk -k+ elem k-adosztályú smétlés élkül kombácóak a számával.. Az elem k-adosztályú smétlés élkül kombácóak a száma megegyezk, az olya elemű smétléses permutácók számával, ahol k lletve -k elem azoos. j. A keószelvéy ktöltésekor egy smétlés élkül kombácót aduk meg. k. A totószelvéy ktöltésekor egy smétlés élkül varácót aduk meg. 8. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS szó betűből háy külöböző húszkarakteres betűsorozat képezhető? 9. Háy külöböző háromtalálatos szelvéy képzelhető el elvleg a ötös lottószelvéyek között? 0. Háy külöböző 0 találatos szelvéy képzelhető el a 3+ mérkőzéses totószelvéyek között?. A Morse ABC t (.) és tá (-) jeleből mey külöböző legfeljebb 0 hosszúságú jel kódolható?. Háyféleképpe lehet elhelyez 5 külöböző postaládába a. két külöböző levelet? b. két azoos reklámcédulát? (Az s lehetséges, hogy mdkét levél lletve reklámcédula ugyaabba a postaládába kerül.) 3. Tíz számozott dobozba háyféleképpe helyezhetek el három külöböző szíű golyót? (Egy dobozba több golyó s kerülhet, a dobozo belül a sorredet em lehet megállapíta.) 4. Tíz egyforma játékkockával dobva, háy külöböző eredméyt kaphatuk? 5. Öt szíből háy trkolór (háromszíű) vízsztes sávos zászló készíthető? 6. Feladatuk, hogy óraredet készítsük. A hét első öt apjáak első hat órájába lehetek csak taórák. A het óraszámok: matematka 5, magyar 4, testevelés, bológa, földrajz, fzka, törtéelem, éek, rajz, osztályfőök. Háyféleképpe lehet elvleg elkészíte az óraredet, ha lyukasóra s elképzelhető? 7. Igazolja, hogy a L + 7

8 b. ( ) L + c. ( ) ( ) 0 + L + 8

9 . A valószíűségszámítás alapfogalma és axómaredszere Az alapfogalmak a szemléletből eredő, magától értetődő fogalmakat jeleteek, amelyeket egyszerűbb fogalmak segítségével em lehet defál, haem csupá körülír lehet őket, lletőleg példákat lehet mutat rájuk. Hasolóa, az axómák bzoyítás élkül elfogadott tételek, amelyek ayra ylvávalóak, hogy csupá a szemléletből vezetjük le őket. Alapfogalom: Véletle kísérlete (K) olya folyamatot, jeleséget értük, amelyek kmeetele előre bzoyosa meg em modható, de az ge, hogy elvleg mlye módo fejeződhet be, azaz előre tudható, hogy mlye végállapotok lehetek. A véletle kísérletet azoos feltételek mellett, függetleül meg lehet fgyel, vagy végre lehet hajta akárháyszor. Példa: a.) Egy szabályos játékkockát feldobuk. Nem tudjuk előre megmoda az eredméyt, de azt állíthatjuk, hogy az,,3,4,5,6 érték közül valamelyket kapjuk. b.) Egy csomagból véletleszerűe khúzuk 8 lapot. A véletletől függ, hogy melyk lesz az a 8 lap, de azt tudjuk, hogy a 3 lap összes smétlés élkül kombácója közül lehet csak valamelyk. c.) Egy telefokészüléket fgyelve mérjük két hívás között eltelt dőt. A lehetséges kmeetelek a [ 0, ) tervallum potja. d.) Egy jutalomsorsoláso khúzott személy kora szté a véletletől függ. Előre csak ay állítható, hogy a kor ylvá pl. 00-ál ksebb szám lesz. e.) Addg dobáluk egy szabályos játékkockát, amíg 6-ost em kapuk. Azt persze em lehet előre bztosa megmoda, hogy a hatoshoz háy dobásra lesz szükség, de azt bztosa tudjuk, hogy a 0,,,... (emegatív egész) számok valamelyke fog bekövetkez. Alapfogalom: A K véletle kísérlettel kapcsolatos eseméyek evezük mde olya logka állítást, melyek gaz vagy hams értéke egyértelműe megállapítható a kísérlet befejeződésekor. Az eseméy bekövetkezk, ha az állítás gaz értéket kap a kísérlet végé, és em következk be, ha a logka érték hams. Az eseméyeket az abc agybetűvel fogjuk jelöl: A,B,C,... Példa: a.)a kockadobás kísérletével kapcsolatos eseméy a párosat dobuk. Nem tekthető eseméyek vszot a Frad yer a bajokságot logka állítás. b.)a kártyahúzás kísérlethez tartozó eseméy pl. az, hogy va égy pros a lapok között, de em eseméy a megyerhető a pros ult állítás. c.)a telefohívások között dőtartamra voatkozó kísérlethez tartozó eseméy az öt perce belül csege fog, de em eseméy a Psta fog telefoál állítás. d.)a jutalomsorsoláso a yertes fatalabb mt 0 eseméy, a yertes szép ember pedg em eseméy. e.)a em kell 0 dobásál több a hatoshoz állítás eseméy, míg a a kocka em szabályos állítás em eseméy. 9

10 Defícó: Az A eseméy maga utá voja a B eseméyt, ha az A eseméy bekövetkezéséből, már a B eseméy bekövetkezése s következk. Jelölés: A B. Példa: a.)kockadobásál a hatosat dobuk eseméy maga utá voja a párosat dobuk eseméyt.b.) A yolc prosat húzuk eseméy maga utá voja a khúzott lapok között lesz a pros ász s eseméyt. c.) Az öt perce belül megszólal a telefo eseméy maga utá voja a a tíz perce belül megszólal a telefo eseméyt. d.) A khúzott személy 60 év felett eseméy maga utá voja a ksorsolt személy elmúlt 0 éves eseméyt. e.) A tíz dobáso belül dobok hatost eseméy maga utá voja a húsz dobáso belül hatost dobuk eseméyt. Defícó: Az A és B eseméyek ekvvalesek, ha A B és B A egyszerre. Ekvvales eseméyek között em teszük külöbséget. Defícó: Lehetetle eseméyek evezzük azt a -val jelölt eseméyt, amely a K bármely végrehajtása sorá soha sem következk be, lletőleg elvleg sem következhet be.( A kostas hams állítás.) Defícó: Bztos eseméyek evezzük azt az Ω-val jelölt eseméyt, amelyk a K bármely végrehajtása sorá mdg bekövetkezk, mert elvleg s mdg bekövetkezk. (A kostas gaz állítás). Példa: a.) A kockadobásál a 0-él ksebb értéket dobuk eseméy az Ω-val, a egatív értéket dobuk eseméy pedg -val ekvvales. b.) A zöld, makk, tök vagy pros szíű lapok közül lesz a leosztott yolc között eseméy bztos eseméy, yolc pros szíű lapom és két ászom s lesz pedg lehetetle eseméy lesz. c.) Negatív szám lesz az eltelt dő lehetetle, míg az eltelt dő emegatív lesz eseméy bztos. d.) 00 év alatt személy yer a sorsolást bztos eseméy, a 00-ál öregebb yer lehetetle. e.) Egyszer valaha foguk hatost dob bztos eseméy, soha sem foguk hatost dob lehetetle. 0

11 Defícó: A K véletle kísérlet egy A eseméyét elem eseméyek evezzük, ha cs olya B eseméy, amely A-t maga utá voá. Azaz B ( és A) olya hogy B A. Az elem eseméyeket, - a több ú.. összetett eseméytől való megkülöböztetésül - ω-val vagy ω -vel fogjuk jelöl. Defícó: A K véletle kísérlet összes elem eseméyéek halmazát eseméytérek evezzük. Megjegyzés: Mutá az összetett eseméyek elem eseméyek - mt állítások - dszjukcójából állak, az összetett eseméyeket úgy s felfoghatjuk, mt a megfelelő elem eseméyek halmazát. Ebből a szempotból, az eseméytér éppe az Ω bztos eseméy lesz. Pl. kockadobásál az ω értéket dobok (,,3,4,5,6) eseméyek az elem eseméyek, az A 3-al osztható számot dobok eseméy az A { ω 3 ω 6 } Ω { ω ω ω ω ω ω }, halmaz,,, 3, 4, 5, 6 pedg a bztos eseméy (eseméytér). Tehát, az eseméyek az eseméytér részhalmazakét s elképzelhetőek. Defícó: Egy A eseméy elletett eseméye az az A-val jelölt eseméy, am potosa akkor következk be, amkor A em következk be. A az A-ak az Ω-ra voatkoztatott komplemeter halmaza. Az A és B eseméyek összegé azt az A+B-vel jelölt eseméyt értjük, amely potosa akkor következk be, ha A és B közül legalább az egyk bekövetkezk. (A+B az A és B eseméyek uója). Az A és B eseméyek szorzatá azt az A B-vel jelölt eseméyt értjük, amely potosa akkor következk be, amkor A s és B s egydejűleg bekövetkezk. ( A B az A és B eseméyek metszete). Az A és B eseméyek külöbségé azt az A\B -vel jelölt eseméyt értjük, am potosa akkor következk be, amkor A bekövetkezk, de B em. (A\ B A B). Mvel az eseméyek között műveletek a logka állítások között dszjukcó és kojukcó lletve a egácó segítségével voltak értelmezve, és ott gazak a Boole algebra összefüggése, ezért azok tt s érvéyesek. A következő tételbe összefoglaljuk az eseméyek műveleteek legfotosabb tulajdoságat.

12 Tétel: Tetszőleges A,B és C eseméyekre gazak az alábbak: a.) A+BB+A b.) (A+B)+CA+(B+C) c.) A+AA d.) A BB C e.) (A B) CA (B C) f.) A AA g.) A (B+C)(A B)+(A C) h.) A+(B C)(A+B) (A+C).) A A j.) A+ B A B k.) A B A + B l.) A A m.) A+ A Ω.) A ΩA o.) A+ΩΩ p.) A r.) A+ A Defícó: Az A és B eseméyek egymást kzáróak, ha A B, azaz szorzatuk a lehetetle eseméy. Egymást kzáró eseméyek egydejűleg em következhetek be. Defícó: Az A, A, K, A, K(em feltétleül véges elemszámú) eseméyek redszere teljes eseméyredszert alkot, ha j -re A A (párokét egymást kzárják) és A Ω teljesül. j Megjegyzés: A K véletle kísérlet egy végrehajtása sorá a teljes eseméyredszer eseméye közül csak egykük fog bztosa bekövetkez. Példa: A fraca kártyacsomagból való húzásál az A kört húzok, A kárót húzok, A 3 pkket húzok és A 4 treffet húzok eseméyek teljes eseméyredszert alkotak. Axómák: A K véletle kísérlettel kapcsolatos összes eseméyek I redszere kelégít az alább tulajdoságokat: Ω I. Ha A I A I s. 3 Ha A, A, K, A, K I A I s.

13 Megjegyzés: a.) I em feltétleül esk egybe Ω összes részhalmazaak halmazredszerével. I-be csak a kísérlettel kapcsolatba hozható ú.. megfgyelhető eseméyek vaak. Nem zárjuk k, hogy lehetek Ω-ak olya A részhalmaza, amelyeket em tuduk redese megfgyel, azaz lehet olya kmeetel, am végé em tudjuk megmoda, hogy A bekövetkezett-e vagy sem. Az axómákkal éppe az lye kétes A eseméyeket akarjuk kzár a tovább vzsgálatakból. b.) Az axómák ylvávaló tulajdoságokat fogalmazak meg. Az potba azt követeljük meg, hogy a bztos eseméy megfgyelhető legye. A -be azt állítjuk, hogyha az A eseméyt meg tudjuk fgyel, akkor az elletettjét s meg tudjuk. A 3 -ba pedg az az állítás, hogyha eseméyekek egy redszerét egyekét meg tudjuk fgyel, akkor azt az eseméyt s meg fogjuk tud fgyel, amely akkor következk be, ha a felsorolt eseméyek közül legalább egy bekövetkezk. Tétel: Az axómákból levezethetők I-ek az alább tulajdosága: a.) I, azaz a lehetetle eseméy s megfgyelhető. b.) Ha A, B I A+B I s, azaz a 3 axóma véges sok esetre s gaz. c.) Ha A,B I A B I s, azaz megfgyelhető eseméyek szorzata s megfgyelhető. d.) Ha A, A,, A, K K I A I s gaz, azaz megfgyelhető eseméyek együttes bekövetkezése s megfgyelhető. e.) Ha A, B I A\B I és B\A I, azaz megfgyelhető eseméyek külöbsége s megfgyelhetőek. Axómák: Adott egy P: I 0, függvéy, melyet valószíűségek evezük. A P függvéy kelégít az alább tulajdoságokat: P(Ω) Ha A, A, K, A, K I párokét egymást kzárják, azaz j -re A A, akkor P( A ) P( A ). j Megjegyzés: a.) A axómába megfogalmazott tulajdoságot a valószíűség σ-addtvtás (szgma addtvtás) tulajdoságáak evezzük. b.) A megfgyelhető eseméyek valószíűséget smertek tételezzük fel. A P(A) érték az A eseméy bekövetkezéséek mértéke, esélye. Az eseméyek valószíűsége az eseméyek objektíve, fzkalag létező jellemzője, olya mt pl. a testekek a tömege vagy térfogata. Attól, hogy egy adott esetbe em tudjuk megmoda egy eseméy valószíűségét, em következk, hogy az eseméyek cs, vagy em egyértelmű a valószíűsége. Ha egy test tömegét em smerjük, vagy rosszul becsüljük a agyságát, abból még em lehet azt a következtetést levo, hogy a testek cs tömege, vagy az em egyértelmű. Ugyaez gaz a valószíűségre s. Ráadásul a P függvéy redelkezk azokkal a tulajdoságokkal, amkkel mde más mérték s redelkezk (pl. hossz, terület, térfogat, tömeg stb.) A axóma azt állítja, hogy egymást át em fedő eseméyek összegéek valószíűsége az eseméyek valószíűségeek összege, mt ahogy pl. egymást át em fedő részekből álló síkdom területe egyelő a részek területeek összegével. Az axóma azt posztulálja, hogy legye a bztos eseméy valószíűsége, és ehhez képest jellemezzük a több eseméy bekövetkezéséek esélyét. A fzka meységekhez mérőműszerek szerkeszthetők, hogy az 3

14 adott test egy fzka jellemzőjéek elmélet értékét agy potossággal megbecsülhessük. Ilye műszer a hosszmérésre a méterrúd, tömegre a karos mérleg. Ugyaúgy, mt más mértékél, a valószíűség eseté s szerkeszthető mérőműszer, amvel az elmélet valószíűség számértéke jól becsülhető lesz. Ez a mérőműszer a később értelmezedő relatív gyakorság lesz. (Lásd az 5. potot!) Tétel: A valószíűség axómaredszeréből levezethetőek a valószíűség alább tulajdosága: a.) P( A) PA ( ) b.) P( )-P(Ω) c.) Ha A, A, K, A, K I eseméyek teljes eseméyredszert alkotak, akkor P( A ) d.) Ha A B akkor P(A) P(B) e.) P(A\B)P(B)-P(A B) f.) P(A+B)P(A)+P(B)-P(AB) A következő evezetes tétel az előbb tétel f.) állításáak általáosítása kettőél több eseméy esetére. Tétel: ( Pocare tétel) + Ha A, A, K, A I tetszőlegesek, akkor P( A) ( ) S, ahol S P( Aj Aj L Aj ). j< j<... < j Tétel: (Boole- egyelőtleség) Legye (Ω,I,P) Kolmogorov-féle valószíűség mező. Akkor mde A, A, K, A I eseté a.) P( A ) P( A ) és b.) P( A ) P( A ). Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok. Mt értük eseméyek összegé?. Mt értük eseméyek szorzatá? 3. Mk a valószíűség axómá? 4. Mt állít a Pocare tétel? 5. M a teljes eseméyredszer fogalma? 6. Mkor modjuk azt, hogy az A eseméy maga utá voja a B eseméyt? 7. Tektsük azt a véletle kísérletet, hogy khúzuk egy kártyalapot a 3 lapos magyar kártyacsomagból. Az alábbak közül melyk eseméy? 4

15 A A khúzott lap szíe makk B Nagy értékű a khúzott kártya C Nem krály a khúzott lap D Szép fgurájú a khúzott lap E A khúzott lap a treff kettes F A khúzott lap em a treff kettes 8. Melyk eseméy voja maga utá a máskat? A Szabályos kockával párosat dobuk B Legalább 4-est dobuk C 6-ost dobuk D Prímszámot dobuk 9. Mely eseméyek zárják k egymást? A Két szabályos kockával dobva az összeg páros B A két dobott érték közül legalább az egyk páros C Az egyk legalább osztható hárommal D A dobott értékek szorzata páratla E A két dobott érték közül az egyk égyszerese a máskak 0. Dötse el, az alább állítások közül melyk gaz, melyk hams! a. Bármely két eseméy közül az egyk maga utá voja a másk bekövetkezését. b. Két eseméy szorzata olya eseméy, amely a két kompoes eseméy mdegykét maga utá voja. c. Az eseméyek szorzata felcserélhető (kommutatív). d. Az eseméyek összeadása átzárójelezhető (asszocatív) e. Egy eseméy az elletettjével teljes eseméyredszert alkot. f. Egy eseméy és az elletettje em egymást kzáró eseméyek. g. Az eseméyek összege akkor következk be, ha a kompoes eseméyek valamelyke bekövetkezk. h. Az eseméyek szorzata akkor következk be, ha a kompoes eseméyek valamelyke bekövetkezk.. Az eseméyek valószíűsége lehet akár 000 %-os s. j. Az eseméyek valószíűsége a véletle kísérlet mde egyes végrehajtásakor más és más. k. Az elletett eseméy valószíűsége mdg agyobb mt az eseméy valószíűsége. l. Az elletett eseméy valószíűségéek és az eseméy valószíűségéek összege mdg. m. Az eseméyek szorzatáak a valószíűsége em lehet agyobb bármely kompoes eseméy valószíűségéél.. Az eseméyek összegéek a valószíűsége em lehet agyobb bármely kompoes eseméy valószíűségéél. o. A függetle eseméyek kzárják egymást. p. A függetle eseméyek em zárják k egymást. q. Két olya függetle eseméy, melyek közül egyk sem lehetetle vagy bztos eseméy, em zárhatják egymást k. r. Függetle eseméyek szorzatáak valószíűsége egyelő az eseméyek valószíűségeek szorzatával. s. Függetle eseméyek szorzatáak valószíűsége egyelő az eseméyek valószíűségeek összegével. 5

16 t. Egymást kzáró eseméyek szorzata a lehetetle eseméy. u. Ha két eseméy szorzatáak valószíűsége ulla, akkor a két eseméy kzárja egymást. v. Egymást kzáró eseméyek összegéek valószíűsége a kompoes eseméyek valószíűségeek összege. w. A lehetetle és a bztos eseméyek mde eseméytől függetleek. x. Egy eseméy em lehet függetle a komplemeterétől.. A próbagyártás sorá két szempotból vzsgálják a késztermékeket. Az A eseméy azt jelet, hogy egy véletleszerűe kválasztott mtadarab ayaghbás, a B pedg az az eseméy, hogy a kválasztott gyártmáy mérethbás. Tudjuk, hogy P(A)0,5, P(B)0,3 és P(AB)0,08. Mey aak a valószíűsége, hogy valamelyk termék hbátla?. Mey PAB ( ), ha P(A)0,6, P(B)0,5 és P(A+B)0,8? 3. Egy fekete és fehér golyókat tartalmazó urából khúzuk db golyót. Jeletse A azt az eseméyt, hogy az -edekek khúzott golyó fehér ( ). Fejezzük k az A eseméyek segítségével az alább eseméyeket: A Mdegyk golyó fehér B Legalább egy golyó fehér C Potosa egy golyó fehér D Mdegyk golyó ugyaolya szíű 4. Bzoyítsa be, hogy tetszőleges A,B eseméyekre ( PAB ( )) + ( PAB ( )) + ( PAB ( )) + ( PAB ( )) 05,. 5. Kette sakkozak. Az A eseméy akkor következk be, ha a vlágossal játszó yer, a B eseméy akkor, ha a sötéttel játszó másk, remél pedg a C eseméy következk be. Fogalmazzuk meg szavakba, mt jeleteek az alább eseméyek: a. AB+ A B b. AB c. A+C 6. Egy céltábla tíz kocetrkus körből áll és a sugarakra feáll az R < R < L < R0 relácó. A k azt az eseméyt jelet, hogy egy lövés az R k sugarú körbe esk. Fogalmazzuk meg szavakba, mt jeleteek az alább eseméyek: B A + A3 + A6 C AA4A6A8 D ( A + A3) A6 7. Tegyük fel, hogy A és B olya eseméyek, melyre P(A)P(B)0,5. Bzoyítsa be, hogy ekkor PAB ( ) PAB ( )! 8. Bzoyítsa be, hogy PAB ( + AB) PA ( ) + PB ( ) PAB ( ) 9. Ha az A és B eseméyek közül az egyk feltétleül bekövetkezk, PAB ( ), PBA ( ), mey a P(A) és P(B) valószíűség? Legye PA ( ), PAB ( ), PBA ( ). Határozza meg a P(A+B) és PAB ( ) valószíűségeket! 6

17 3. A klasszkus valószíűség mező Ekkor az eseméytér véges elemszámú elem eseméy halmaza: Ω { ω, ω,, ω } K, az I eseméyosztály Ω összes részhalmazaak redszere, és mdegyk elem eseméy bekövetkezéséek egyforma a valószíűsége: P( { ω} ) P( { ω} ) L P( { ω} ). Mvel az összes elem eseméyek redszere teljes eseméyredszert alkot, ezért P( Ω) P( { ω }) P( { ω} p P( { ω} ) -re. k A Így, ha A Ω tetszőleges eseméy, akkor PA ( ) P( { ω} ), ahol k ω A ω A A az A eseméy számossága. Vagys az eseméyek valószíűsége lyekor úgy számítható, hogy az eseméy bekövetkezése szempotjából kedvező elem eseméyek számát osztjuk a kísérlettel kapcsolatos összes elem eseméyek számával. Klasszkus valószíűség mezővel modellezhető a kockadobás, a pézfeldobás, a rulettezés, a kártyahúzás, a lottóhúzás, a totótppelés stb. Feladat (De Méré lovag feladváya) Melyk eseméyek agyobb a valószíűsége: hogy egy kockával égyszer dobva legalább egyszer hatost dobuk (A), vagy aak, hogy két kockával huszoégyszer dobva legalább egyszer két hatosuk lesz (B)? Megoldás: Két külöböző valószíűség mezőről va szó. Az elsőbe egy szabályos kockát égyszer feldobuk. Az összes elem eseméyek száma 6 4. A vzsgált A eseméy elletettje az az eseméy, hogy egyszer sem dobuk hatost. Ilye eset összese 5 4 lehet, vagys az elletett eseméy valószíűsége: P( A) 5 4. Így az A eseméy valószíűsége: , A másodk vzsgált eseméy egy egésze más kísérlethez és eseméytérhez tartozk. Most a véletle kísérlet az, hogy két szabályos kockát dobuk fel 4- szer. Az összes elem eseméy most sokkal több: A másodk eseméy elletettje most az, hogy a dobássorozatba egyszer sem dobuk duplá hatost. Eek a valószíűsége PB ( ) A másodk eseméy valószíűsége így P(B)- 0, Látható, hogy az A eseméy valószíűsége a agyobb. Megjegyzés: A feladatot De Méré lovag adta fel Blase Pascal fraca matematkusak, ak ebből kdulva jutott el a valószíűségszámítás első komoly eredméyehez. A feladatba egyébkét első pllatásra az tűk fel, hogy mdkét eseméy esetébe a dobások számáak és a lehetséges kmeetelek számáak aráya azoos: A-ál 4:6, a B-él 4:36. Feladat Egy urából, ahol fehér és fekete golyók vaak, véletleszerűe kveszük vsszatevéssel két golyót. Bzoyítsuk be, hogy aak a valószíűsége, hogy a golyók ugyaolya szíűek, em lehet ksebb mt 0,5. 7

18 Megoldás: Legye a fehér golyók száma, a feketéké m (,m ). Ekkor a véletle kísérlet elem eseméyeek száma ( + m), a kedvező eseteké pedg + m. A keresett valószíűség: p m +. Mvel ( m) 0, így + m + m + m, azaz p 0,5. ( + m) Feladat (Pólya-féle uramodell) Egy ura r darab fekete és s darab fehér golyót tartalmaz. Véletleszerűe khúzuk egy golyót. A khúzott golyót és még plusz c darab ugyaolya szíű golyót vsszateszük az urába. Mey a valószíűsége aak, hogy az -edk húzás utá α-szor húztuk k a fekete, és β-szor a fehér golyót? (α+β). Megoldás: Pl. aak az eseméyek a valószíűsége, hogy az első α húzáskor mdg fekete és az utolsó β húzáskor pedg csupa fehér golyót foguk húz: r( r+ c)( r+ c)( r+ 3c) L( r+ ( α ) c) s( s+ c)( s+ c) L( s+ ( β ) c). De mde más olya ( r+ s)( r+ s+ c)( r+ s+ c)( r+ s+ 3c) L( r+ s+ ( ) c) húzássorozatak, ahol α-szor húztuk k a fekete, és β-szor a fehér golyót s ugyaekkora a valószíűsége. A külöböző kmeetelek száma, így a keresett valószíűség: α ( ) ( ) α r( r+ c)( r+ c)( r+ 3c) L r+ ( α ) c s( s+ c)( s+ c) L s+ ( β ) c. ( r+ s)( r+ s+ c)( r+ s+ c)( r+ s+ 3c) L r+ s+ ( ) c ( ) Feladat Ha egy szabályos pézérmét -szer feldobuk, mey a valószíűsége, hogy k-val többször foguk fejet kap, mt írást? (0 k ). Megoldás: Ha a fejdobások számát f, az írásokét jelöl, fe kell álla, hogy f+ és f-k. Ie következk, hogy f + k és k, vagys és k partásáak meg kell egyeze. Aak valószíűsége, hogy egy hosszúságú dobássorozatba éppe f fejet dobuk k f +. Ugyas, mde hosszúságú sorozat egyformá valószíűségű, és ezek között olya külöböző dobássorozat lehet, ahol a fejek száma f éppe f (kedvező esetek). Gyakorló feladatok. Egy mde oldalá befestett fakockát a lapokkal párhuzamos síkokba 000 azoos méretű ks kockára fűrészelek szét. A kapott ks kockákból véletleszerűe kválasztuk egyet. Mey a valószíűsége, hogy a kockáak éppe k oldala festett? (0 k 3).. Egy kalapba az agol ABC 6 betűje va. Vsszatevéssel -szer húzva, a khúzott betűket sorba egy papírra felírva, mey a valószíűsége, hogy a kapott szóból legfeljebb két betűt felcserélve éppe a STATISZTIKA szó jö k? 8

19 3. Egy szabályos érmével -szer dobva, mey a valószíűsége, hogy a fejdobások száma páratla lesz? 4. Egy szabályos érmével -szer dobva, mey a valószíűsége, hogy a. először az -edkre jö fej? b. ugyaay fejet dobuk, mt írást? c. potosa két fejet dobuk? d. legalább két fejet dobuk? 5. Egy kalapba három cédula va, amelyekre az,,3 számjegyek vaak felírva. Véletleszerűe egyesével khúzzuk a cédulákat. Mey a valószíűsége aak, hogy a húzáskor lesz olya cédula, amelykre éppe az a szám va felírva, aháyadkkét khúztuk azt? 6. Feldobuk három szabályos pézérmét. Mey a valószíűsége az A,B,C eseméyekek, ahol A: legalább két érmével fejet dobuk, B: potosa két érmével fejet dobuk, C: legfeljebb két érmével fejet dobuk? 7. A ötös lottóhúzás előtt mey a valószíűsége, hogy k,,3,4,5 találatuk lesz? 8. Egy urába fehér és fekete golyók vaak, melyeket egymás utá vsszatevés élkül khúzuk. Az A vagy a B eseméyek agyobb-e a valószíűsége, ahol A: az első golyó fehér, és B: az utolsó golyó fehér? 9. Ha egyforma ládába elhelyezük egyforma golyót úgy, hogy bármely ládába ugyaolya valószíűséggel tesszük bármelyk golyót, mey a valószíűsége aak, hogy mdegyk ládába lesz golyó? 0. Egy 5 lapos fraca kártyacsomagból 3 lapot találomra vsszatevés élkül khúzuk. Mey a valószíűsége aak, hogy a. a treff krály a khúzott lapok között lesz? b. potosa két treff lesz a leosztott lapok közt? c. a treff krály és a treff ász a khúzott lapok közt va? d. va treff a leosztott lapok között? 9

20 4. Geometra valószíűség mező Alkosso a K véletle kísérlet elem eseméyeek halmaza egy véges mértékű geometra alakzatot, vagy legalábbs, lehesse kölcsööse egy-egyértelmű leképezést létesíte Ω potja és egy geometra alakzat potja között. Ilyekor az I eseméyredszer a geometra ( A) alakzat mérhető részhalmazat jelet, és az A eseméy valószíűségét a P( A) µ µω ( ) módo számítjuk, ahol µ a geometra térek megfelelő mértéket jelöl. Ha pl. Ω tervallum, akkor µ hosszmérték, ha Ω síkdom, akkor µ területmérték, ha Ω test, akkor µ térfogatmérték stb. Feladat Ha x és y két véletleül választott 0 és közé eső szám, akkor mey aak a valószíűsége, hogy x+y< és xy < 0,6 lesz? Megoldás: Ω most az egységégyzet lesz, az kérdéses eseméy pedg az ábrá besatírozott területek felel meg: A besatírozott terület agysága: 08, 06, 0, 04,. x dx + 0, Feladat (A Buffo-tű probléma, 777) Egy szobába egymástól d távolságba párhuzamosa padlórések futak. Leejtve egy s<d hosszúságú tűt, mekkora a valószíűsége, hogy a tű éppe egy padlórést fog metsze. Megoldás: A tű helyzetét egyértelműe a felezőpotjáak a felső padlóréstől vett y távolságával és a padlórések ráyával bezárt α szögével jellemezzük. Azokkal a körülméyekkel, hogy melyk két rés által meghatározott sávba esk a középpot, és hogy a párhuzamosokra merőleges faltól mlye messze va a középpot em foglalkozuk, mert a tű metsz a padlórést eseméy bekövetkezésére ezek cseek hatással. y α Nylvá 0 y d és 0 α π. A tű leejtése utá y és α egyértelműe meghatározható, vagys a véletle kísérlet elem eseméye azo (y,α) potpárok, melyek eleme a [0,d] és [0,π] tervallumok által meghatározott téglalapak. (Ez a téglalap az Ω eseméytér). 0

21 Metszés egyszerre csak egy padlórésél következhet be, mert s<d. A metszés csak akkor s s következhet be, ha 0 y s α, vagy hogyha ( d y) s α teljesül. A feltételekek megfelelő (y,α) potpárok tartomáyát az alább ábrá besatíroztuk: y d s d sα s s α A sötétített terület agysága T α α [ α] π π α s π s d s cos s, a téglalap területe pedg dπ. 0 s Így a keresett valószíűség: P(" A tű metsz a padlórést" ) dπ. Megjegyzés: Mvel a valószíűség kapcsolatos π-vel, lehetőség va statsztkus eszközökkel a π becslésére. Ha agyo sokszor végrehajtjuk a véletle kísérletet, és számoljuk a metszések bekövetkezését, azaz a vzsgált eseméy gyakorságát, akkor ezt a kísérletek számával elosztva (relatív gyakorság) a fet valószíűséget jól lehet közelíte. Ebből π-t kfejezve kapjuk a közelítést. 885-be Stepha Smth agol matematkus 300-szer végrehajtva a kísérletet, π-re 3,553 -at kapott. Feladat Válasszuk k egy potot véletleszerűe az egységégyzetbe, melyek koordátát jelölje (a,b). Tektve a p( x) ax bx + polomot, mekkora a valószíűsége aak, hogy a p(x)0 egyeletek va valós gyöke? Megoldás: Egy polomak akkor va valós gyöke, ha a dszkrmása poztív, azaz D 4b 4a 0. Ie következk, hogy a véletleszerűe kválasztott pot koordátá között fe kell álla a b > a relácóak. Eek megfelelő tartomáyt az egységégyzetbe besötétítettük: b 0 y x a

22 A besötétített tartomáy területe megegyezk a keresett valószíűséggel, mvel az 0 egységégyzet területe. Így P(" Va valós gyök" ) x dx Feladat Válasszuk k egy potot véletleszerűe az egységégyzetbe, melyek koordátát jelölje (a,b). Mekkora a valószíűsége aak, hogy a pot közelebb va a égyzet egy oldalához, mt egy átlójához? Megoldás: Egymást metsző egyeesektől egyelő távolságra fekvő potok mérta helye az egyeesek szögéek felező egyeese. Az oldalegyeesek és az átló egyeeseek szögfelező az oldalegyeesekkel,5 -os szöget zárak be. A vzsgált eseméy potja ezért az oldalak és a szögfelezők által határolt tartomáyba esek: 3. Az ábrá jelölt magasságvoal m tg, 5 o. A besötétített terület most s a keresett valószíűséggel egyezk meg: m o P(" a pot közelebb va az oldalhoz " ) T 4 tg, Példa Az egységtervallumba véletleszerűe kjelölve két potot, mekkora a valószíűsége, hogy a keletkező három szakaszból háromszög szerkeszthető? Megoldás: Jelöljük a két potak a 0-tól vett távolságat redre x-szel és y-al. Az (x,y) pár lyekor egy potot határoz meg az egységégyzetbe, am tehát most s a véletle kísérlethez tartozó Ω eseméytér. A háromszög szerkesztéséhez a keletkező három szakasz a,b,c hosszaak k kell elégítee egydejűleg az a+b c, a+c b és b+c a egyelőtleségeket. Az x<y esetbe a három szakasz az ax,by-x és c-y. Így a háromszög szerkeszthetősége az alább egyelőtleségek egydejű feállását követel meg x,y,z-től: a x b y-x c -y 0 x y x+ ( y x) y y 05, x+ ( y) y x y x+ 05, ( y x) + ( y) x x 05,. Az y x esetbe a fet egyelőtleségekek a x 0,5, x-0,5 y és y 0,5 redszer fog megfelel. A két krtérumredszerhez tartozó tartomáyt besötétítettük az egységégyzetbe:

23 Így a keresett valószíűség 0,5 lesz. Gyakorló feladatok. Egy szobába egymástól d távolságba párhuzamosa padlórések futak. Leejtve egy s<d átmérőjű pézdarabot, mey a valószíűsége, hogy a péz éppe egy padlódeszka belsejébe esk, azaz em metsz a padlórést? d s. Egy d0 cm oldalhosszúságú égyzetrácsos padlózatra leejtük egy s3cm átmérőjű pézdarabot. a. Mey a valószíűsége, hogy a péz teljes terjedelmével egy égyzet belsejébe fog es? b. Mey a valószíűsége, hogy hússzor végrehajtva a kísérletet, az eseméy éppe ötször következk be? 3. Egy d0 cm oldalhosszúságú égyzetrácsos padlózatra leejtük egy s3cm hosszú tűt. Mey a valószíűsége, hogy a tű teljes egészébe egy égyzet belsejébe kerül? 4. Egy a, b oldalhosszúságú téglalapo kválasztuk egy potot. Mey a valószíűsége, hogy a pot közelebb va egy csúcshoz, mt a középpothoz? 5. Kette megbeszélk, hogy de. 0 és óra között egy meghatározott helye találkozak. Megállapodás szert, ak korábba érkezk 0 percet vár a máskra, és csak azutá távozk. Mey a találkozás valószíűsége, ha mdkette véletleszerűe érkezek? 6. Egy egységy hosszúságú szakaszo találomra választuk két potot. Mey a valószíűsége aak, hogy ezek közelebb vaak egymáshoz, mt bármelyk végpothoz? 7. Egy ötemeletes házba az emeletek között 6 m távolság va, a földszt és az első emelet között 8m. Ha a lftajtó m, mey a valószíűsége aak, hogy a lft megakadásakor az ajtót teljes egészébe fal takarja? 8. Az ABCD egységégyzete véletleszerűe kválasztva egy potot, mey a valószíűsége, hogy a pot közelebb lesz a égyzet középpotjához, mt az AB oldalhoz? 3

24 5. A feltételes valószíűség és az eseméyek függetlesége Defícó: Tektsük egy K véletle kísérletet! Legye A I egy eseméy. Ha az A eseméy bekövetkezéset fgyeljük a K véletle kísérletet olya -szeres azoos körülméyek között végrehajtása sorá amkor az egyes megfgyelések eredméye egymást em befolyásolhatják, egy -szeres Beroull -féle kísérletsorozatról va szó. Ha egy -szeres Beroull-féle kísérletsorozatba az A eseméy k A -szor következett be, ka akkor k A az A eseméy gyakorsága, r ( A) pedg a relatív gyakorsága. Megjegyzés: Nylvávaló, hogy md a gyakorság, md a relatív gyakorság kokrét értéke függ a véletletől. Azoba a relatív gyakorság redelkezk az alább tulajdoságokkal: Tétel: Egy adott -szeres Beroull kísérletsorozatál a.) r :I [0,] b.) r ( Ω ) c.) Ha A, A, K, A, Kegymást kzáró eseméyek, akkor r( A) r( A). Megjegyzés: Az előző tétel azt állítja, hogy a relatív gyakorság redelkezk a P valószíűség tulajdoságaval. Később lát fogjuk azt s, hogy övekedtével r ( A) P( A) s feáll. (Nagy számok Beroull féle törvéye). Ezt a törvéyszerűséget először tapasztalat úto fedezték fel a XVII. századba, mkor megfgyelték, hogy a relatív gyakorság egyre ksebb mértékbe gadozk egy 0 és közé eső szám körül. A klasszkus matematkusok éppe ez alapjá defálták az eseméyek elmélet valószíűségét: az az érték, amely körül a relatív gyakorság gadozk. A relatív gyakorság tehát alkalmas az elmélet valószíűség - mt fzka meység - mérésére. Kolmogorov az axómába a relatív gyakorság a.)-c.) tulajdoságat örökítette át a valószíűségre, mthogy a határátmeet ezeket a tulajdoságokat megtartja. A K véletle kísérlet elem eseméye számukra véletleszerűe következek be, mégpedg azért, mert a végeredméyt befolyásoló körülméyek boyolult komplexumát em smerjük potosa. Vszot smerjük az egyes eseméyek, elem eseméyek bekövetkezés esélyet - a valószíűséget-, vagy legalábbs tetszőleges potossággal mérhetjük őket. Ha vszot az A eseméy bekövetkezés körülméyeről tovább formácókat szerzük be, vagy bzoyos potosító feltételezéssel élük, megváltozhat az A bekövetkezés esélye, az őhet s, de csökkehet s. Pl. a kockadobás kísérletél, a 6-os dobás eseméy valószíűsége 0, ha tudjuk, hogy a dobott érték páratla szám, és 3, ha tudjuk, hogy a dobott érték páros volt. Hogya változk az A eseméy valószíűsége, ha az A-val egydejűleg megfgyelhető B eseméy bekövetkezését smerjük, vagy legalábbs smerék? Tegyük fel, hogy a K kísérlettel végrehajtottuk egy hosszúságú Beroull-féle kísérletsorozatot. Az A eseméyt 4

25 k A -szor, a B eseméyt k B -szer, az AB eseméyt pedg k AB -szer fgyeltük meg. Ekkor a B eseméy bekövetkezéséhez képest az A eseméy bekövetkezéséek relatív gyakorsága kab ylvá r ( A B), melyet az A eseméyek a B eseméyre voatkoztatott relatív kb gyakorságáak evezük. Ez az aráy az A bekövetkezés esélyet potosabba tükröz, ha a ka B bekövetkezéséről bztos tudomásuk va, mt a r ( A). A feltételes relatív gyakorság tulajdosága ylvá : a.) 0 r ( A B) b.) r ( BB) c.) Ha A, A, K, A, K I egymást kzáró eseméyek, akkor r( A B) r( A B) kab kab Az r A B r ( AB) PAB ( ) ( ) átírás utá, ha kapjuk, hogy r ( A B). k k B B r ( B) P( B) Defícó: Legyeek A, B I olya eseméyek, hogy A tetszőleges és P(B)>0. Akkor az A PAB ( ) eseméyek a B-re voatkoztatott feltételes valószíűségé a P( AB) számot értjük. P( B) Feladat Számoljuk k aak feltételes valószíűségét, hogy két kockával dobva mdkét érték páros feltéve, hogy összegük legalább tíz! Megoldás: Legye A: Két szabályos kockával dobva mdkét érték páros lesz és B: A dobott értékek összege em ksebb mt 0. P(B)P( Az összeg 0 vagy vagy ) P( A dobások eredméye (6,4),(4,6),(5,5) vagy (5,6),(6,5) vagy (6,6) ) 33. P(A) P(AB)P( A dobások eredméye (6,4),(4,6) vagy (6,6) ) 3. A defícót haszálva 36 P(A B) PAB ( ). Láthatjuk, hogy a feltételes valószíűség most agyobb, mt a feltétel PB ( ) élkül. Tétel: Tektsük az (Ω,I,P) Kolmogorov-féle valószíűség mezőt. B I, P(B)>0 rögzített. Ekkor a P ( A) P( A B) feltételes valószíűségre teljesülek az alább tulajdoságok: B def a.) 0 PB ( A) ( A I ) b.) P ( B), P ( ) 0 B B c.) A, A, K,, K I : A A ( j) P ( A ) P ( A ) A j B B 5

26 Megjegyzés: def a.)az előző tétel azt állítja, hogyha B-t rögzítjük, I B { CC A B, A I}, akkor a ( B, I B, PB) kelégít a Kolmogorov valószíűség mező axómát, azaz a feltételes valószíűség bevezetésével az eredet valószíűség mezőt leszűkítjük..b.)vaak A,B eseméyek, amkor PAB ( ) PA ( ) teljesül, azaz A valószíűsége em változk meg, ha a B eseméy bekövetkezését smerjük; az A bekövetkezése függetle a B bekövetkezésétől. Defícó: Legyeek A,B I, P(A) P(B) > 0. Az A és B eseméyek függetleek, ha PAB ( ) PA ( ) ( P( BA) P( B) s ) feáll. A következő defícó általáosabb, mt a fet, hsze em követel meg, hogy az eseméyek poztív valószíűségűek legyeek: Defícó: Legyeek A,B I tetszőleges eseméyek. Az A és B eseméyek függetleek, ha P(AB)P(A) P(B) feáll. Tétel: Ha az A, B I eseméyek függetleek, akkor a.) A és B b.) A és B c.) A és B s függetleek. Tétel: Az és Ω eseméyek mde A I eseméytől függetleek. Defícó: Az A, A, K, A I eseméyek párokét függetleek, ha P( A A ) P( A ) P( A ) ( j). j j Defícó: Az A, A,, A k 3,,..., és < < L < dex kombácóra P ( A A LA ) P ( A ) P ( A ) LP ( A ). k K I eseméyek teljese függetleek, ha { } k k Tétel: Ha az A, A, K, A I eseméyek teljese függetleek, akkor párokét s függetleek. Fordítva általába em gaz. A teljes függetleség defícójába, amkor k, éppe a párokét függetleség defícóját kapjuk. 6

27 A megfordításra ellepélda: K : Dobjuk fel egy szabályos kockát egymás utá kétszer. A : Elsőre páratlat dobuk ; B : Másodkra páratlat dobuk ; C : A két dobott szám összege páratla. P(A)P(B)P(C)0,5, P(AB)P(AC)P(BC)0,5 A, B, C párokét függetleek. De P(ABC)0 P(A)P(B)P(C)0,5 azaz A,B és C em teljese függetleek. Tétel: Ha az A, A, K, A I eseméyek teljese függetleek, akkor közülük bármelyket az elletett eseméyére felcserélve, újra teljese függetle redszert kapuk. Tétel: (szorzás szabály) Legyeek az A, A, K, A I tetszőleges eseméyek, hogy P( A ) > 0. Ekkor ( ) ( ) P A P A A P A A P A A P A L. A bzoyítás egyszerűe a feltételes valószíűség defícójáak felhaszálásával törtéhet. P( A) P( A) PAA ( ) PA ( A), PA ( A),..., PA ( A). PA ( ) P( A ) P( A ) A baloldalakat P( A) -gyel összeszorozva, az egyszerűsítés utá kapjuk az állítást. Feladat A 3 lapos magyar kártyából három lapot húzuk egymás utá vsszatevés élkül. Mey a valószíűsége aak, hogy az első khúzott lap hetes, a másodk kleces, a harmadk smét hetes? ( Megoldás: Legyeek A ( ) 7 : Az elsőek húzott lap hetes, A 9 A másodkak húzott lap ( 3 kleces, A 7 : A harmadkak khúzott lap hetes. A keresett valószíűség a () ( ) () 3 PA ( 7 A9 A7 ). Alkalmazva a szorzás szabályt: () ( ) () 3 () ( ) () () 3 () ( ) PA ( 7 A9 A7 ) PA ( 7 ) PA ( 9 A7 ) PA ( 7 A7 A9 ), ahol az egyes téyezőket egyszerűe meghatározhatjuk: () PA ( ) 4 ( ) () 4 () 3 () ( ) 7, PA ( 9 A7 ), PA ( 7 A7 A9 )

28 Tétel: (A teljes valószíűség tétele) Legyeek A, A, K,, K I teljes eseméyredszer, vagys A A, ( j ) és A eseméyre Bzoyítás: Mvel A Ω. Tegyük fel továbbá, hogy P( A ) > 0 mde -re. Ekkor tetszőleges B I PB ( ) PBA ( ) PA ( ). A Ω és B B Ω B A ( A B), valamt ( AB) ( AB), a valószíűség σ-addtvtás tulajdoságából következk, hogy PB ( ) P( AB) PAB ( ) PBA ( ) PA ( ). Feladat Egy rekeszbe 5 teszlabda va, melyek közül 9 még haszálatla. Az első játékhoz kveszük találomra három labdát, majd a játék utá vsszarakjuk azokat a rekeszbe. (Nylvá, ha volt közöttük haszálatla, az a játék sorá elveszt ezt a tulajdoságát.) A másodk játékhoz smét találomra veszük k három labdát. Mey a valószíűsége aak, hogy az utóbb kvett labdák md még haszálatlaok leszek? Megoldás: Vezessük be az alább eseméyeket: A : Az első játékhoz éppe db haszálatla labdát vettük k, 0,,,3. B : A másodk játszmához három haszálatlat vettük k Látható, hogy az A eseméyek teljes eseméyredszert alkotak. 9 3 A B eseméyek az A eseméyekre voatkozó feltételes valószíűsége : PBA ( ), míg az A eseméyek valószíűsége: PA ( ) j (0,,,3). A teljes valószíűség tételét alkalmazva: PB ( ) PBA ( ) PA ( ), j 8

29 Tétel: (Bayes tétele) Legyeek A, A, K, A, K I teljes eseméyredszer, vagys A A j, ( j ) és A Ω. Tegyük fel továbbá, hogy P( A ) > 0 mde -re. Ekkor tetszőleges B I eseméyre, ahol P( B) > 0 PA ( B) PBA ( ) PA ( ). PBA ( ) PA ( ) j j j Bzoyítás: PAB ( ) A feltételes valószíűség defícójából: PA ( B). A számláló helyébe PB ( ) P( BA) P( A)-t írva, a evező helyébe pedg a teljes valószíűség tételéből kapott formulát helyettesítve azoal adódk az állítás. Feladat Hat doboz mdegykébe hat-hat darab golyó va, melyek között redre,,3,4,5,6 darab fehér szíű található (a több fekete). Egy dobozt véletleszerűe kválasztuk, majd abból vsszatevéssel három golyót khúzuk. Ha azt tapasztaljuk, hogy mdhárom golyó fehér szíű, mey aak a valószíűsége, hogy a csupa fehér golyót tartalmazó dobozt választottuk k előzőleg? Megoldás: Legyeek A -k a következő eseméyek: Azt a dobozt választottuk, amelykbe db fehér golyó va,,,3,4,5,6. Nylvávaló, hogy ezek az eseméyek teljes eseméyredszert alkotak, és mdegykük bekövetkezése egyformá 6 valószíűségű. Legye továbbá B az az eseméy, hogy Vsszatevéssel húzva mdegyk golyó szíe fehér. PBA ( ) 3 6,,,3,4,5,6. A Bayes-tételt alkalmazva: PBA ( 6) PA ( 6) 6 PA ( 6 B) 6 049,. 44 PBA ( ) PA ( ) Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok. Mt értük az A eseméy relatív gyakorságá?. Mey a lehetetle és a bztos eseméy relatív gyakorsága egy -szeres kísérletsorozatba? 3. M a feltételes valószíűség defícója? 4. Mkor evezük három eseméyt teljese függetleek? 5. Mt állít a szorzás szabály? 6. Modja k a Bayes tételt! 7. Dötse el, az alább állítások közül melyk gaz, melyk hams! 9

30 a. Az eseméy relatív gyakorsága mdg agyobb, mt az eseméy elmélet valószíűsége. b. A relatív gyakorság lehet ksebb s és agyobb s, mt az elmélet valószíűség. c. Ha egy eseméy relatív gyakorsága, akkor az eseméy a bztos eseméy. d. A kísérletek számáak övekedtével a relatív gyakorság értéke egyre csökke. e. Egymást kzáró eseméyek relatív gyakorságaak összege az összegeseméy relatív gyakorságát adja. f. A teljes eseméyredszer relatív gyakorságaak összege. g. Egy eseméyek a bztos eseméyre voatkoztatott feltételes valószíűsége agyobb mt a feltétel élkül valószíűsége. h. A feltételes valószíűség lehet -él agyobb s.. Egy eseméy rögzítése utá a feltételes valószíűség kelégít a valószíűség axómát. j. A függetle eseméyek kzárják egymást. k. Ha két eseméy elletette függetleek, akkor az eseméyek s azok. l. A teljes eseméyredszer eseméye teljese függetleek egymástól. m. Bármely két eseméy vagy függetle egymástól, vagy pedg kzárják egymást.. Bármely poztív valószíűségű eseméy ömagára voatkoztatott feltételes valószíűsége. o. Bármely poztív valószíűségű, de em egy valószíűségű eseméyek az elletettjére voatkoztatott feltételes valószíűsége 0. p. Egymást kzáró eseméyekél az egymásra voatkoztatott feltételes valószíűség mdg 0. q. A teljes függetleségből következk a párokét függetleség. r. A lehetetle eseméy ömagától s függetle 8. Mey P(A B), ha P(A)0,6, P(B)0,5 és P(A+B)0,8? 9. Dobjuk fel két kockát. Modjuk olya eseméyeket ezzel a kísérlettel kapcsolatba, amelyek függetleek, és olyaokat amelyek em függetleek egymástól! 0. Az A és B eseméyek közül legalább az egyk mdg bekövetkezk. Ha P(A B)0, és P(B A)0,5, mey P(A) és P(B)?. Három szabályos kockát feldobuk. Mey a valószíűsége aak, hogy va hatos értékük, ha tudjuk, hogy mdegyk dobás páros lett?. Egy urába b darab fekete és r darab fehér golyó va. Véletleszerűe khúzak egy golyót. A khúzott golyót és még ugyaolya szíűből c darabot vsszateszek az urába. A kísérlet eredméyét em smerve, másodszorra m húzuk az urából. Feltéve, hogy a másodk húzáskor fekete golyót húzuk, mey a valószíűsége aak, hogy az első húzáskor s fekete volt az eredméy? 3. Három szabályos kockát feldobuk. Mey a valószíűsége aak, hogy a dobások között va hatos, ha mdegyk kocká külöböző érték va? 4. Egy ládába 00 darab játékkocka va, melyek közül 99 teljese szabályos, egy pedg hams olya értelembe, hogy vele mdg hatos dobható csak. Ha véletleszerűe kveszük egy kockát a ládából és azt tízszer feldobva mdg hatost kapuk, mey a valószíűsége, hogy éppe a hams kockát vettük k előzőleg? 5. Két poltkus x és y egymástól függetleül hazudak lletve modaak gazat /3 lletve /3 valószíűséggel. Feltéve, hogy x azt állítja, hogy y hazudk, mey a valószíűsége, hogy y gazat mod? 30

31 6. Két ura közül az egykbe fekete és m fehér, a máskba N fekete és M fehér golyó va. Az elsőből találomra átrakuk egyet a másodkba, majd oa találomra vssza veszük egyet. Megt az elsőből húzva, mey a valószíűsége a fehérek? 7. Két játékos felváltva húz egy-egy golyót vsszatevés élkül egy urából, ambe egy fehér és három fekete golyó va. Az a játékos yer, ak először húz fehéret. Mey a valószíűsége, hogy az elsőek húzó játékos fog yer? 8. Egy kalapba tíz cédula va, melyekre a 0,,,3,4,5,6,7,8,9 számjegyek vaak felírva. Vsszatevéssel kveszük két cédulát. Jelölje η a számjegyek összegét, ξ pedg a számjegyek szorzatát. Adjuk meg a P(η ξ0) valószíűségeket! (0,,...,8). 9. Egy perzsa sah egyszer egy elítéltek azt modta, hogy tetszés szert elhelyezhet 50 fehér és 50 fekete golyót két egyforma vázába. Az egykből majd a sah khúz egy golyót, és ha az fehér, megkegyelmez. Ha vszot a khúzott golyó fekete, vagy kderül, hogy em mdegyk golyó volt a vázákba berakva, esetleg a kválasztott vázába em volt semmlye golyó, az ítélet halál. Hogya kell szétosztaa az eltéltek a golyókat, hogy a megkegyelmezés valószíűsége maxmáls legye? 3

32 6. A valószíűség változó és az eloszlásfüggvéy fogalma A gyakorlat alkalmazások jeletős részébe a véletle kísérlet elem eseméye valós számokkal jellemezhetőek. Godoljuk csak például a kockadobás kísérletre, a rulett-tárcsa megforgatására, a Dua pllaaty vízmagasságára, vagy a legközelebb születedő csecsemő testsúlyára stb. Sokszor, bár az elem eseméyek em számok, de egy alkalmas függvéyel (amt majd valószíűség változóak evezük) egy-egyértelmű megfeleltetés létesíthető köztük és a valós számok egy részhalmaza között, és így a valószíűség változó segítségével átfogalmazható a véletle jeleség. Pl. a kártyahúzásál a kártyákat sorszámozzuk, mde addg eseméy ekvvales módo tárgyalható. A leképező függvéyek (valószíűség változók) defálása az esetek többségébe természetes módo adódk. Felhaszálhatók a valószíűség változók az eredet kísérlet egyszerűsítésére s. Pl. később lát fogjuk, hogy egy -szeres hosszúságú Beroull kísérletsorozat helyett egyetle valószíűség változó megfgyelése s lehetséges. Defícó: Legye (Ω,I,P) Kolmogorov- féle valószíűség mező. A ξ : Ω lr függvéyt valószíűség változóak evezzük, ha mde x IR eseté a ξ ksebb értéket fog felve mt x állítás megfgyelhető eseméy lesz, azaz A x {ω ξ(ω)<x} I mde valós x-re. A valószíűség változóval kapcsolatos eseméyek valószíűséget az eloszlásfüggvéy segítségével fogjuk számol. Defícó: Az { } Fξ ( x) P( Ax ) P( ωξω ( ) < x ) P( ξ< x), x lrfüggvéyt a ξ valószíűség változó eloszlásfüggvéyéek evezzük. jel Mt látható, az eloszlásfüggvéy a valós számokat a [0,] tervallumra leképező valós függvéy, azaz Fξ : lr 0,. A következő tétel összefoglalja az eloszlásfüggvéy legfotosabb tulajdoságat. Bzoyítható, hogy ha egy F(x) valós függvéy redelkezk az alább a.),b.),c.) tulajdosággal, akkor ahhoz mdg található olya K véletle kísérlet és azzal kapcsolatos valószíűség változó, amek éppe F(x) az eloszlásfüggvéye. Az eloszlásfüggvéyek, és az a.), b.), c.) tulajdosággal redelkező valós függvéyek halmaza tehát egybeesk! Tétel: (Az F ξ eloszlásfüggvéy tulajdosága) a.) F ξ mooto emcsökkeő, azaz Fξ( x) Fξ( y), ha x < y. b.) F ξ balról folytoos, azaz lm F ( x ) F ( y ξ ξ ) mde y lr -re. x y+ c.) lm Fξ ( x) és lm Fξ ( x) 0. x + x 3

33 0, ha x Feladat Mutassuk meg, hogy az Fx ( ) + x, x > x 08, eloszlásfüggvéy! Megoldás: Mvel lm Fx ( ), ezért a c.) tulajdoság sérül. x függvéy em lehet A következő tétel mutat rá arra, hogya lehet az eloszlásfüggvéyt felhaszál a ξ értéke x és y közé esek típusú eseméyek valószíűségeek kszámításához. Tétel: Tetszőleges x<y eseté a.) P( x ξ < y) Fξ( y) Fξ ( x) b.) P( x < ξ < y) Fξ( y) Fξ( x+ 0 ) c.) P( x ξ y) Fξ( y+ 0 ) Fξ( x) d.) P( x < ξ y) Fξ( y+ 0) Fξ( x+ 0 ) e.) P( x) F ( x+ 0 ) F ( x) ξ ξ ξ Vegyük észre, hogy ha F ξ folytoos az x helye, azaz Fξ( x) Fξ( x+ 0 ), akkor az állítás e.) potjáak értelmébe P( ξ x) 0. Tehát, ha egy valószíűség változóhoz folytoos eloszlásfüggvéy tartozk, akkor az azt s jelet, hogy értékkészletéek mde elemét 0 valószíűséggel vesz fel. Pl. a Dua vízmagasságát yílvá egy folytoos valószíűség változóval jellemezhetjük. Aak valószíűsége, hogy egy tetszőleges pllaatba megfgyelve a vízmagasságot éppe 8 métert kapjuk (mm potossággal) ulla valószíűségű eseméy. (Lehet, hogy a megfgyelt érték közel lesz a 8000 mm-hez, de ém eltérés bztosa fog mutatkoz...) Ez persze em jelet azt, hogy a Dua vízmagassága éppe 8 méter eseméy lehetetle vola. Ez csupá ayt jelet, hogy az említett eseméy bár elvleg bekövetkezhet, de eek valószíűsége 0. Külöbség va tehát a 0 valószíűségű eseméy és a lehetetle ( ) eseméy között. A lehetetle eseméy specáls ulla valószíűségű eseméy. 33

34 6. Dszkrét valószíűség változók Defícó: A ξ valószíűség változót dszkrétek evezzük, ha értékkészlete megszámlálható (sorozatba redezhető), vagys ω Ω-ra ξω ( ) X { x, x,..., x,...}, és X-ek cse torlódás potja. Ez utóbb azt jelet, hogy bármely x értékhez található olya poztív ε szám, hogy az ( x -ε, x +ε) tervallumba egyedül x va az X eleme közül. A dszkrét valószíűség változókál a kapcsolatos eseméyek valószíűséget az eloszlással kalkuláljuk, amek defícóját alat adjuk meg. Defícó: A { } jel p P( ωξω ( ) x ) P( ξ x ) (,,...) valószíűségek összességét a ξ dszkrét valószíűség változó eloszlásáak evezzük. Tétel: A ξ dszkrét valószíűség változó p, p,..., p,...eloszlására teljesül, hogy a.) 0 b.) p p Az a.) állítás abból adódk, hogy a p számok éppe az A { ωξω x} ( ) eseméyek valószíűsége. Mvel a A { ωξω ( ) x} (,,...) eseméyek teljes eseméyredszert alkotak, így a b.) állítás s gaz. Tétel: A ξ dszkrét valószíűség változó F ξ eloszlásfüggvéyére gaz, hogy Fξ ( x) p x < x másrészt p Fξ( x + 0 ) Fξ( x). Azaz a dszkrét valószíűség változó eloszlásfüggvéye olya lépcsős függvéy, melyek az ugróhelye az x, x,..., x,... helyeke vaak, és az ugrás agysága redre p, p,..., p,.... Mvel Ax { ωξω < x} A { ωξω x } ( ) ( ) és az A eseméyek egymást x< x x< x párokét kzárják, következk az állítás első része. Másrészt p P( ξ x ) P( x ξ x ) Fξ( x + 0 ) Fξ( x ). 34

35 Dszkrét valószíűség változó eloszlásfüggvéye Feladat Egy csomag magyar kártyacsomagból találomra khúzuk egy lapot. Vegye fel ξ a kártya potértékét! (alsó:, felső:3, krály:4, ász:, hetes:7, yolcas:8, kleces:9, tízes:0). Adjuk meg és ábrázoljuk a ξ eloszlásfüggvéyét! Megoldás: ξ lehetséges értéke, az értékkészlete az {,3,4,7,8,9,0,} számhalmaz. Mdegyk értéket P( ξ ) 8 valószíűséggel vehet fel. Így az eloszlásfüggvéy: 0, ha x, ha < x 3 8, ha 3< x 4 8 3, ha 4< x 7 8 F ( ξ x ) 4, ha 7< x 8 8 5, ha 8< x 9 8 6, ha 9< x 0 8 7, ha 0 < x 8, ha x > 35

36 Az alábbakba a gyakorlat alkalmazásokba leggyakrabba előforduló evezetes dszkrét valószíűség változókat fogjuk tárgyal. 36

37 6.. Példa Karaktersztkus valószíűség változó Legye (Ω,I,P) Kolmogorov- féle valószíűség mező, A I egy poztív valószíűségű eseméy: p P( A) > 0., ω A A ξ : Ω lr függvéy defícója a következő : ξω ( ). (Vagys ξ az A 0, ω A eseméy bekövetkezésekor értéket, külöbe 0 értéket vesz fel.) Ekkor ξ dszkrét valószíűség változó, melyet karaktersztkus- vagy dkátor valószíűség változóak evezük. Jelölés: ξ χ( A ). A ξ eloszlása : p P( ξ 0) P( A) p, p P( ξ ) P( A) p Példa Bomáls eloszlású valószíűség változó Legye (Ω,I,P) Kolmogorov- féle valószíűség mező, A I egy poztív valószíűségű eseméy: p P( A) > 0. Hajtsuk végre egy -szeres Beroull-féle kísérletsorozatot. Vegye fel ξ azt az értéket, aháyszor A bekövetkezett a kísérletsorozatba. ξ lehetséges értéke tehát 0,,,...,. Az egyes értékek felvételéek valószíűsége, azaz ξ eloszlása : k k k k pk P k p p p q k k k ( ξ ) ( ), 0,,,...,. ξ -t és p paraméterű bomáls eloszlású valószíűség változóak evezzük. Jelölés: ξ Bp (, ). A bomáls eloszlás képletét az alább felbotás alapjá lehet megérte: { ωξω ( ) }.. k. k+. k+.... k. k. k+. k+.... k. k+. k+.. k A ALA A ALA+ A ALA A A ALA+ L+ A AL A A A LA A jobboldalo álló eseméyek egymást kzárják, és mdegykük valószíűsége a! k k függetleség matt p q. A tagok száma k!( k)!, mert elem olya smétléses k permutácóról va szó, ahol k lletve -k elem megegyezk. A p k valószíűségek eloszlást alkotak, hsze a bomáls tétel szert: k k p k p q p q k ( + ). k 0 k 0 Nylvá B(, p) χ ( A), tehát a bomáls eloszlás a karaktersztkus eloszlás kterjesztése. Tétel: A bomáls eloszlás p k elemere teljesül, hogy k p a.) p k q p k p q k + k, ( 3,,,..., ), 0 b.) Ha α ( + ) p, ahol x az egészrészt jelöl, akkor pα pk,( k 0,,..., ) Feladat A véletle kísérlet az, hogy -szer feldobuk egy szabályos játékkockát és egy pézdarabot egyszerre. Jelölje ξ a hatos dobások számát, η pedg a fejdobások számát. Adjuk meg a P( ξ< η) valószíűséget! 37

38 Megoldás: Mdkét változó bomáls eloszlású: ξ B (, ) és η B 6 (, ). k k P( ξ k) k k k lletve P( η k) k k, k0,,...,. P( η< ξ ξ 0) 0, mert ez lehetetle, P( η< ξ ξ ) P( η 0 ), P( η< ξ ξ ) P( η 0) + P( η ), M P( η< ξ ξ ) P( η 0) + P( η ) + L P( η ). A teljes valószíűség tételét felhaszálva kapjuk meg a végeredméyt: P( η< ξ) P( η< ξ ξ 0) P( ξ 0) + L + P( η < ξ ξ ) P( ξ ) Példa Posso eloszlású valószíűség változó Ha egy ξ valószíűség változó értékkészlete a természetes számok halmaza: k λ X ln { 0,,,...,,... }, eloszlása pedg p P k k e λ k k ( ξ ), 0,,,..., ahol λ > 0! akkor ξ -t λ paraméterű Posso eloszlású valószíűség változóak evezzük. Jelölés: ξ Po( λ). A fet valószíűségek valóba eloszlást alkotak, mert k k λ p k e λ e λ λ λ λ k e e. k 0 k 0! k 0 k! Posso eloszlást alkalmazuk a bomáls eloszlás helyett olyakor, amkor agy és p kcs. Erre voatkozk az alább tétel: k k k Tétel: lm k p q k! e λ p 0 p λ λ, azaz a Posso eloszlás a bomáls eloszlás határesete, amkor a kísérletek száma () mde határo túl ő, az A eseméy valószíűsége pedg 0- hoz tart, mközbe az p szorzat álladó. A Posso eloszlás tehát jól alkalmazható olya Beroull kísérletsorozat modellezéséhez, ahol a kísérletek száma agyo agy, vszot a megfgyelt eseméy valószíűsége 0-hoz közel. Például: egy adott térfogatba dőegység alatt elbomló atom részecskék száma; a mkroszkóp látóterébe bekerült egysejtűek száma; dőegység alatt a telefoközpotba beérkező hívások száma; egy süteméyszeletbe található mazsolák száma; egy köyvoldalo található sajtóhbák száma; stb. Az említett esetekbe bomáls eloszlás alkalmazása körülméyes lee, mert a bomáls együtthatók számolása a agy matt túlcsorduláshoz, lletve számolás potatlaságokhoz vezethet. 38

39 6..4 Példa Geometra eloszlású valószíűség változó Legye K egy véletle kísérlet, és (Ω,I,P) a hozzátartozó Kolmogorov- féle valószíűség mező, A I egy poztív valószíűségű eseméy: p P( A) > 0. A K kísérlet egymástól függetleül addg hajtsuk végre, amíg az A eseméy be em következk. A ξ valószíűség változót értelmezzük úgy, mt az A eseméy bekövetkezéséhez szükséges smétlések számát. ξ -t p paraméterű geometra eloszlású valószíűség változóak evezzük. Jelölés: ξ G(p). ξ lehetséges értéke :,,3.4,..., azaz a poztív egész számok. ξ eloszlása: k k pk P( ξ k) ( p) p q p ωξω ( ) k A A L A A, és a függetle k végrehajtás matt az eseméy valószíűsége: q q L q p q p. A geometra sor összegzőképletét felhaszálva láthatjuk be, hogy ezek a valószíűségek k k valóba eloszlást alkotak: pk q p p q p p q. p k, hsze { } k k 0.. k. k. Tétel: A geometra eloszlás örökfjú tulajdoságú: P( ξ m+ k ξ > m) P( ξ k), m, k-ra. Aak feltételes valószíűsége, hogy a következő k végrehajtás végé bekövetkezk az A eseméy, ameybe az előző m megfgyelés alatt em következett be ugyaay, mt aak valószíűsége, hogy éppe a k-adk végrehajtás utá következk be az A eseméy. Bzoyítás: P m k m P ( ξ m + ( ) k, ξ> m ) ξ + ξ> P( ξ > m) m+ k m+ k q p q p k m q p P( ξ k) m α q pq q α 0 m+ k P( ξ m+ k) q p P( ξ > m) α q p α m+ A geometra eloszlás örökfjú tulajdoságát a következőképp lehet terpretál: attól, hogy egy eseméy az smételt végrehajtás sorá rége fordult elő, még em fog a bekövetkezés valószíűség megő! Tehát pl. azért, mert régóta lottózom em lesz agyobb az ötös találat eléréséek esélye. Feladat A véletle kísérlet az, hogy darab dobozba véletleszerűe golyókat helyezük el úgy, hogy mde elhelyezésél bármelyk doboz kválasztása egyformá valószíű. Akkor álluk meg, ha észrevesszük, hogy az egyes számú dobozba bekerült az első golyó. Jelölje ξ a kísérlet befejeződésekor az elhelyezett golyók számát. Adjuk meg a ξ eloszlását! 39

40 Megoldás: Aak valószíűsége, hogy az egyes számú dobozba ejtük egy golyót p, aak, hogy em ebbe kerül a golyó q. Ha A-val jelöljük a az egyes dobozba kerül a golyó, akkor a golyóelhelyezéseket addg kell folytatuk, amíg A először be em fog következ, tehát ξ geometra eloszlású lesz. Az eloszlása: k k P( ξ k) q p, k 0,,, Példa Hpergeometra eloszlású valószíűség változó Tegyük fel, hogy egy urába N golyó között F fekete va a több em fekete. Kveszük egyszerre db golyót az urából, ahol m( N F, F). Vegye fel a ξ valószíűség változó a kvett golyók között található fekete szíűek számát! Nylvá, a ξ lehetséges értéke F N F k k 0,,...,. A ξ eloszlása pk P( ξ k), k 0,,...,. ξ -t,n,f paraméterű N hpergeometra eloszlású valószíűség változóak evezzük. Jelölés: ξ HG(,N,F). A klasszkus valószíűség képlet alapjá következk a p k -ra fet adott képlet. Az összes lehetséges kválasztások száma N elem -edosztályú smétlés élkül kombácó. F A kedvező kválasztások számáak meghatározása: az F fekete közül k-t k féleképpe, N F az -k db em feketét az N-F közül pedg féleképpe lehet kválaszta, így a szorzat k megadja a külöböző k feketét tartalmazó kválasztások összes számát. Azt, hogy a p k valószíűségek valóba eloszlást alkotak, úgy tudjuk gazol, ha az N N ( + x) ( + x) ( + x) azoosságba összehasolítjuk mdkét oldalo x F N F N együtthatót: k k k. Átosztás utá adódk a p 0 k összefüggés. k 0 Amkor egy agyobb széra selejtaráyát akarják megbecsül, mtát vételezek, és a mtába megfgyelt selejtaráyból próbálak következtet az egész készlet selejtaráyára. A mtát kétféleképpe képezhetjük. Vsszatevés élkül mtavételezésről beszélük, ha a mtaelemeket egyekét vesszük k és utáa végezzük el a selejtességre voatkozó vzsgálatot. Vsszatevéses a mtavételezés, ha a mtaelemeket megvzsgálás utá vsszatesszük, és az újabb húzáskor megt számoluk az összes termékkel, tehát elvleg olya elemet s kvehetük, melyet előzőleg már vzsgáltuk. Ha az uramodellbe a golyók helyett termékeket, a fekete golyók helyett selejtes termékeket veszük, akkor a hpergeometra eloszlás a teljes készletből való vasztevés élkül mtavételezést jelet. Ameybe az termék kválasztását úgy végezzük, hogy mde kválasztás utá a 40

41 terméket vsszatesszük, B (, F ) (bomáls) eloszlással írhatjuk le a folyamatot. Az N alább tétel azt modja k, hogy agy elemszámú sokaság eseté a kétféle mtavételezés között gyakorlatlag cs külöbség. Tétel: F N F k k lm N N F F p eloszlással jól közelíthetőek, ha N N.A hpergeometra eloszlás értéke B(, F N ) k k k p q pf. Feladat Mey a valószíűsége, hogy a hagyomáyos ötös lottóhúzás sorá valamey khúzott szám páros lesz? Megoldás: Ha ξ most a khúzott páros számok számát jelet, akkor ξ HG(90,45,5), hsze a k 5 k páros számok száma 45. A ξ eloszlása P( ξ k), k0,,,3,4,5. A kérdés arra voatkozk, amkor k5, azaz a keresett valószíűség: P( ξ 5) ,078. 4

42 6.. Folytoos valószíűség változók Defícó: Legye ξ az (Ω,I,P)- értelmezett valószíűség változó, melyek értékkészlete kotuum (em megszámlálhatóa végtele) számosságú. Jelölje F ξ az eloszlásfüggvéyt. ξ -t folytoos valószíűség változóak evezzük, ha F ξ abszolút folytoos, azaz létezk olya fξ : lr lr függvéy, melyre feáll az Fξ( x) fξ( t) dt ( x lr) összefüggés. Az f ξ függvéyt a ξ valószíűség változó (vagy az F ξ eloszlásfüggvéy) sűrűségfüggvéyéek evezzük. Ha F ξ abszolút folytoos, akkor folytoos s és majdem mdeütt dfferecálható, azaz praktkusa véges sok helye lehet csak töréspotja: df x ξ ( ) fξ ( x), ha dx x folytoosság potja f ξ -ek. x Megjegyzés: a.) A dszkrét valószíűség változók em folytoosak, már csak azért sem, mert eloszlásfüggvéyük em folytoos. b.) Létezek olya valószíűség változók, melyek se em dszkrétek, se em folytoosak. Ezek az általáos valószíűség változók, melyekkel a továbbakba m em foglalkozuk; a gyakorlatba rtká fordulak elő. Pl. az a ξ általáos valószíűség változó, melyek eloszlásfüggvéye:, ha x F x x ξ ( ) t. e dt, ha x> 0 π 0 Tétel: (A sűrűségfüggvéy tulajdosága) Legye ξ az (Ω,I,P)- értelmezett folytoos valószíűség változó. Akkor az f lr lr ξ : sűrűségfüggvéyre teljesül, hogy a.) f ξ + ( x) 0, ha x folytoosság pot. b.) f () ξ t dt. Az a.) állítás abból következk, hogy F ξ mooto em csökkeő, és df x ξ ( ) fξ ( x), ha x dx folytoosság potja f ξ -ek. Ugyas mooto em csökkeő függvéy derváltja emegatív. A b.) tulajdoság az eloszlásfüggvéy c.) tulajdoságából adódk: lm F ( x ) lm f ( t ) dt f ( t ) dt x ξ ξ ξ. x + x + + 4

43 Megjegyzés: a.) A sűrűségfüggvéy a folytoos valószíűség változókál ugyaazt a szerepet tölt be, mt dszkrét valószíűség változókál az eloszlás. Ugyas tetszőleges a lr és x > 0-ra a+ x * Pa ( < a+ x) F( a+ x) F( a) f ( t) dt f ( a ) x, ahol ξ ξ ξ ξ ξ a * *. Ha x kcs, akkor fξ( a) fξ( a ) a a < a+ x, így P( a ξ < a + x) fξ ( a) x. Tehát a ξ valószíűség változó az a köryezetébe az fξ ( a) értékkel aráyos valószíűséggel tartózkodk. ( Az fξ ( a) érték lehet -él agyobb s! ) def dfξ ( x) b.) fξ ( x) 0, ha /. dx Feladat Az egységégyzete kválasztuk véletleszerűe egy potot. Jelölje ξ a potak a legközelebb oldaltól vett távolságát. Adjuk meg a ξ valószíűség változó sűrűségfüggvéyét! Megoldás: Geometra módszerrel lehet meghatároz az eloszlásfüggvéyt. Az alább ábrá sötétítve mutatjuk a ξ<x eseméyek megfelelő tartomáyt: 0, ha x 0 A terület agysága ( x ), így F ( x ) ( x) ξ, ha 0< x 05,., ha x > 05, Derválás utá kapjuk a sűrűségfüggvéyt: f ( x ha x ξ x ) 4 8, 0< < 05,. 0, egyébkét 43

44 6.. Példa: Az egyeletes eloszlású valószíűség változó A ξ az a, b tervallumo egyeletes eloszlású, ha eloszlásfüggvéye: Jelölés: ξ U( a, b ). Ekkor a sűrűségfüggvéy: 0, x a x a F ( x ) ξ, a < x b. b a, x> b f ( x ξ x ),, b a 0, x, ( a b) ( a b). Az [a,b] tervallumo egyeletes eloszlás eloszlás- és sűrűségfüggvéye Tétel: Ha ξ a 0, tervallumo egyeletes eloszlású és F( y) egy szgorúa mooto övekvő eloszlásfüggvéy azo az tervallumo, ahol 0< F ( y) <, akkor az η F ( ξ) valószíűség változó eloszlásfüggvéye éppe F( y) lesz. Ez a tétel köye belátható. Először s megjegyezzük, hogy egy szgorúa mooto övekvő függvéyek létezk az verze. P( η< y) P( F ( ξ) < y) P( F( F ( ξ)) < F( y)) P( ξ < F( y)) F( y), mert F( y) 0,. A tétel lehetőséget ad, hogy a számítógépek egyeletes eloszlású véletle számokat geeráló rutja segítségével tetszőleges F( y) eloszlásfüggvéyhez tartozó véletle számokat előállítsuk és azokat szmulácós programokhoz felhaszáljuk. Például a kockadobás 44

45 kísérletét úgy szmulálhatjuk, hogy geeráluk egy ξ véletle számot a ulla és egy között. Ha ξ, 6 6, akkor az a kockával értéket dobtuk eseméyek fog megfelel. Feladat Egy egységy hosszúságú szakaszt találomra választott potjával két részre osztuk. M a keletkezett szakaszok közül a ksebbk hosszáak sűrűségfüggvéye? Megoldás: Jelöljük η-val a kválasztott pot orgótól vett távolságát! Ekkor yílvá 0, ha x 0 η U0 [, ], és eloszlásfüggvéye Fη ( x) x, ha 0< x<. A keletkező szakaszok közül a, ha x rövdebb hosszát jelöljük ξ-vel! A két változó között az alább kapcsolat áll fe: η, ha η 05, ξ. Így ξ eloszlásfüggvéye kfejezhető lesz η eloszlásfüggvéyével: η, ha η> 05, Fξ () x P( ξ< x) P( ξ< x, η 05,) + P( ξ< x, η> 05,) P( η< x, η 05,) + P( η< x, η> 05,) 0, ha x 0 P( < x) + P( x< ) x+ ( ( x)) x, ha x ( 0, 05, ), ha x 05, η η, azaz ξ U0 [ 05] 6.. Példa: Az expoecáls eloszlású valószíűség változó,,. A ξ λ >0 paraméterű expoecáls eloszlású valószíűség változó, ha eloszlásfüggvéye λx e, x> 0 Fξ ( x) 0, x 0. Jelölés: ξ E( λ ). λx e x A sűrűségfüggvéy F λ, > 0 ξ ( x) fξ( x). 0, egyébkét Az exp oecáls eloszlás sűrűség és eloszlásfüggvéye a λ 0.5,, esetekbe 45

46 Tétel: (Az expoecáls eloszlás örökfjú tulajdosága) Ha ξ E( λ ), akkor P( ξ < y ξ x) P( ξ < y x) x < y, vagys aak feltételes valószíűsége, hogy ξ legfeljebb y-g él, ha már x-et megélt egyelő aak valószíűségével, hogy ξ legfeljebb y-x deg él, azaz a túlélés kodícók az dő múlásával em csökkeek, hsz 0 és y-x között ugyaaz a túlélés esély mt x és x+y között. Legye ugyas x < y tetszőleges, ekkor λy λx P( x ξ < y) Fξ( y) Fξ( x) e e P( ξ < y ξ x) + λx P( ξ x) Fξ ( x) + e λ( y x) e P( ξ < y x) A tétel megfordítása s gaz, vagys csak az expoecáls eloszlás örökfjú a folytoos valószíűség változók között. Az expoecáls eloszlást véletle dőtartamok modellezésére haszálják. Például expoecáls eloszlású két telefohívás között eltelt dő, a fodrászál eltöltött várakozás dő, egy beredezés hbametes üzemelés deje, stb. Feladat Egy szobába öt telefo va, melyek közül bármelyk megszólalhat a többektől teljese függetleül ξ dő belül, ahol ξ λ paraméterű expoecáls eloszlású valószíűség változó. Mey az esélye aak, hogy egységy dő belül potosa két telefokészülék fog csörög? Megoldás: Az egy telefo megcsörre egységy dő belül eseméy valószíűsége: p P( ξ < ) F ( ) e ξ. Mvel öt függetleül üzemelő készülékük va, a feladat átfogalmazható úgy, mtha az A eseméyre voatkozó ötszörös Beroull kísérletsorozatról vola szó. Így a bomáls eloszlást fgyelembevéve, aak valószíűsége, hogy az A 5 eseméy potosa kétszer következk be: p ( p ) ( ) ( ) e e 0, Példa A ormáls eloszlású valószíűség változó A ξ valószíűség változó µ lr és σ > 0 paraméterű ormáls eloszlású, ha eloszlásfüggvéye ( t µ ) σ Fξ ( x) Φ µσ, ( x) e πσ dt, x lr. Jelölés: ξ N( µσ., ) σ A ξ sűrűségfüggvéye: fξ ( x) ϕµ, σ( x) e, x lr. πσ Ha ξ N( 0, ), akkor stadard ormáls eloszlásról beszélük. Ilyekor ϕ0, ( x) ϕ( x) e π x és Φ x ( x µ ) t, ( x) Φ( x) e dt. π 0 x 46

47 . A ormáls eloszlás sűrűség - és eloszlásfüggvéye (,0.5), (0,) és (,) paraméterekkel. Tétel: (Traszformácós tulajdoságok) x µ a.) Φµσ, ( x) Φ( ), σ b.) ϕ σ ϕ x µ µσ, ( x) ( ), σ vagys a stadard ormáls eloszlás sűrűségfüggvéyével és eloszlásfüggvéyével tetszőleges µ lr és σ >0paraméterű ormáls eloszlású sűrűségfüggvéy és eloszlásfüggvéy előállítható. Az előző tétel bzoyítása: x µ x σ t ( u µ ) x µ σ a.) Φ( ) e dt e du Φµσ, ( x) σ π π σ u t µ dt σ t + µ u σ du,,. σ b.) az a.) mdkét oldalát derváljuk. Tétel: (A ϕ Gauss-függvéy tulajdosága) a.) ϕ( x) ϕ( x ), vagys ϕ páros függvéy, b.) lm ϕ( x) lm ϕ( x) 0, x + x c.) ϕ( 0) ϕ( x) > 0, x lr, π d.) ϕ flexós helye a + és -, azaz ϕ e.) ϕ aaltkus, + f.) ϕ( x) dx. ( ) ϕ ( + ) 0,,,,, 47

48 Tétel: (A Φ eloszlásfüggvéy tulajdosága) a.) Φ( x) Φ( x), x > 0, azaz Φ grafkoja szmmetrkus a (0, 0,5)-ra, b.) Φ szgorúa mooto övekedő, c.) Φ aaltkus, és 3 k k+ x ( ) x Φ( x) + ( x + L+ k + L ), x > 0., π! 3 k! ( k + ) d.) lm Φ( x), lm Φ( x) 0. x x Feladat Egy automata zacskókba cukorkát adagol. A zacskók ξ súlyát µ00 (gramm), σ (gramm) paraméterű ormáls eloszlásúak tekthetjük. Mey a valószíűsége aak, hogy három véletleszerűe kválasztott zacskó között legalább egy olya va, amek a súlya 99 és 0 gramm közé fog es? Megoldás: Legye A a zacskó súlya 99 és 0 gramm közé esk eseméy. Az A bekövetkezéséek valószíűségét a ξ eloszlásfüggvéye segítségével határozhatjuk meg: PA ( ) P( 99 ξ < 0) Fξ( 0) Fξ( 99) Φ Φ Φ( 05, ) Φ( 05, ) Φ( 05, ) 0, 383. A három zacskó kválasztása 3 és P(A) paraméterű bomáls eloszlással modellezhető, am alapjá a keresett valószíűség: ( PA ( )) ( PA ( )) (, ) 0, Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok. M a valószíűség változó defícója?. Mlye tulajdoságok jellemzk egyértelműe az eloszlásfüggvéyt? 3. Defálja a bomáls eloszlást! 4. M a sűrűségfüggvéye a µ,σ paraméterű ormáls eloszlásak? 5. Mt jelet az, hogy az expoecáls eloszlás örökfjú? 6. Dötse el, hogy az alább állítások közül melyk gaz, és melyk hams! a.) A valószíűség változó olya valós értékű függvéy, amelyek értelmezés tartomáya a K véletle kísérlet Ω eseméytere. b.) Mde Ω-t IR-be leképező függvéy valószíűség változó. c.) Egy véletle kísérlethez több valószíűség változót s értelmez lehet. d.) Az eloszlásfüggvéy szgorúa mooto övekedő. e.) Az eloszlásfüggvéy értéke emegatívak. f.) Az eloszlásfüggvéy folytoos. g.) Az eloszlásfüggvéy balról folytoos függvéy, amek jobbról lehet elsőfajú szakadása. h.) Az eloszlásfüggvéy em vehet fel a 0 és az értékeket csak határértékbe..) Aak valószíűségét, hogy egy valószíűség változó az értéket egy tervallumba vesz fel, az eloszlásfüggvéy segítségével meg lehet határoz. 48

49 j.) Ha egy potba az eloszlásfüggvéy folytoos, akkor az azt s jelet, hogy azt a potot a valószíűség változó ulla valószíűséggel vesz fel. k.) Ha a ξ: Ω IR függvéy értékkészlete az rracoáls számok halmaza, ξ em lehet dszkrét valószíűség változó. l.) Ha a ξ: Ω IR függvéy értékkészlete véges, akkor ξ csak dszkrét valószíűség változó lehet. m.) A folytoos valószíűség változók eloszlásfüggvéye lépcsős..) Egy -szeres Beroull kísérletsorozatba a p valószíűségű A eseméy gyakorsága bomáls eloszlású valószíűség változó. o.) Az egyeletes eloszlású valószíűség változó sűrűségfüggvéye lépcsős. p.) Az expoecáls eloszlás sűrűségfüggvéye páros. q.) A µ,σ paraméterű ormáls eloszlás sűrűségfüggvéye szmmetrkus az xµ függőleges tegelyre. r.) A µ,σ paraméterű ormáls eloszlás eloszlásfüggvéye szmmetrkus a (µ, 0,5) potra. s.) A hpergeometra eloszlással modellezhető a vsszatevés élkül mtavételezés. t.) A bomáls eloszlással modellezhető a vsszatevés élkül mtavételezés. u.) A ormáls eloszlás örökfjú tulajdoságú. v.) Az expoecáls eloszlás örökfjú tulajdoságú. w.) A geometra eloszlású valószíűségű változó értékkészlete véges. x.) A karaktersztkus eloszlás specáls bomáls eloszlás. 7. Legye a ξ valószíűség változó folytoos eloszlásfüggvéye olya, hogy >F(x)>0 esetbe szgorúa mooto övekedő s. Bzoyítsa be, hogy ekkor az ηf(ξ) valószíűség változó egyeletes eloszlású a [0,] tervallumo! 8. Legye a ξ valószíűség változó folytoos eloszlásfüggvéye olya, hogy >F(x)>0 esetbe szgorúa mooto övekedő s. Bzoyítsa be, hogy ekkor az η l F ( ξ ) eloszlása λ paraméterű expoecáls lesz! 9. Ha a ξ stadard ormáls eloszlású valószíűség változó, m a sűrűségfüggvéye az η ξ valószíűség változóak? 0. Ha a ξ valószíűség változó sűrűségfüggvéye f(x), akkor m a sűrűségfüggvéye az η ξ valószíűség változóak?. Ha ξ λ-paraméterű Posso eloszlású valószíűség változó, akkor m az eloszlása az ηξ+ valószíűség változóak?. Ha a ξ a [0,] tervallumo egyeletes eloszlású valószíűség változó, m a sűrűségfüggvéye az η ξ és ζ valószíűség változókak? ξ + ξ 3. Ha a ξ µ,σ paraméterű ormáls eloszlású valószíűség változó, m a sűrűségfüggvéye ξ az η e valószíűség változóak? (η az ú.. logormáls eloszlású valószíűség változó). 4. Ha ξ a [0,] tervallumo egyeletes eloszlású, akkor m a sűrűségfüggvéye az η ξ valószíűség változóak? 5. Ha ξ λ-paraméterű expoecáls eloszlású valószíűség változó, akkor m a sűrűségfüggvéye az η3ξ+3 valószíűség változóak? 49

50 6. Ha ξ λ-paraméterű expoecáls eloszlású valószíűség változó, akkor m a sűrűségfüggvéye az η ξ valószíűség változóak? 7. Ha ξ λ-paraméterű expoecáls eloszlású valószíűség változó, akkor m a sűrűségfüggvéye az η valószíűség változóak? ξ 8. Egy szabályos pézdarabbal végzük dobásokat. A pézfeldobást addg folytatjuk, amíg a dobások sorozatába md a fej, md az írások száma elér a k számot. Jelölje ξ az ehhez szükséges dobások száma. Adja meg a ξ eloszlását! 9. A [0,] szakaszo véletleszerűe kválasztuk két potot. Legye ξ a két pot távolsága. Adja meg ξ sűrűségfüggvéyét! 50

51 7. Vektor valószíűség változók, valószíűség változók együttes eloszlása Nagyo gyakra em lehet a véletle jeleséget egyetle számadattal jellemez. Pl. amkor az dőjárás helyzetet próbálják előrejelez, megadják a várható hőmérséklet, csapadékösszeg, légyomás, szélerősség stb. adatokat, azaz a progosztzált helyzetet egy vektorral jellemzk. A vektor kompoese valószíűség változók, értékek a véletletől függek. Felmerülhet az egyes kompoesek között feálló kapcsolatok kérdése s. Defícó: Legye (Ω,I,P) Kolmogorov- féle valószíűség mező. Tektsük a ξ : Ω lr p függvéyt! A ξ ( ξ, ξ,..., ξ ) p T vektor valószíűség változó, ha mde x IR p p- dmezós vektor eseté { ωξ ( ω) x, ξ( ω) x, L, ξp( ω) xp} < < < I teljesül. Tétel: A ξ vektor valószíűség változó Mdegyk kompoese valószíűség változó. T p Defícó: Legye ( x, x,..., xp ) x lr. Ekkor az Fξ( x) Fξ, ξ,..., ξ ( x, x,..., x P x x x p p) ( ξ <, ξ <,..., ξ p < p) p-változós skalár-vektor függvéyt a ξ vektor valószíűség változó eloszlásfüggvéyéek, lletve a ξ, ξ,..., ξp kompoes valószíűség változók együttes eloszlásfüggvéyéek evezzük. Tétel: ( Az együttes eloszlásfüggvéy tulajdosága) a.) F ξ mde változójába mooto em csökkeő függvéy, azaz -re ha x * ** p ξ p F ( x,..., x,..., x ) F ( x,..., x,..., x ). ξ < x, akkor * ** b.) F ξ mde változójába balról folytoos függvéy, azaz lm F ( x,..., y,..., x ) F ( x,..., x,..., x ) y x ξ p ξ p. c.) lm Fξ ( x,..., x,..., xp) és lm Fξ ( x,..., x,..., xp) 0. x + x d.) Legye T [ a, b) [ a, b) [ ap, bp) L tetszőleges p-dmezós tégla, és ε, ε,..., εp { 0, } tetszőlegesek (0 vagy - dadkus -számok). Akkor j ( ) Fξ ( εa+ ( ε) b, εa+ ( ε) b,..., εpap + ( ε p) bp) 0,ahol j ε. ( ε, ε,..., εp ) p A d.) állítás em szerepelt az egydmezós esetbe, akkor a ek megfelelő alak a tetszőleges [ a b), tervallum eseté F ( b ) F ( a ), am a moototás tulajdosággal esk egybe. ξ ξ 0 5

52 Többdmezós esetbe szükség va d.)-re, mert pl. p esetbe a 0, ha x + x 0 F( x, x), ha x + x > 0 függvéy kelégít a.),b.) és c.)-t, de d.) em teljesül rá. A bzoyítás azo múlk, hogy megmutathatjuk, hogy d.) jobboldalá a P( ξ T) valószíűség áll, am ylvávalóa emegatív. Tétel: Ha F( x) tetszőleges, az előző tétel a.) - d.) tulajdoságaval redelkező skalár-vektor függvéy, akkor megadható olya (Ω,I,P) Kolmogorov- féle valószíűség mező és hozzá olya ξ vektor valószíűség változó melyek eloszlásfüggvéye éppe F( x). Defícó: Ha ξ ( ξ, ξ,..., ξ ) p T vektor valószíűség változó eloszlásfüggvéye F ξ és j < j < L < jk p egy tetszőleges k elemű dex kombácó, akkor az dexekhez tartozó ξ, ξ,..., ξ kompoes valószíűség változók együttes eloszlásfüggvéye az F ξ j j j k egy k-dmezós perem vagy vetület eloszlásfüggvéye. Tétel: Ha a ξ, ξ,..., ξp valószíűség változók együttes eloszlásfüggvéye F ξ smert, akkor bármely vetület eloszlásfüggvéye meghatározható. Fordítva általába em gaz: ha smerjük az összes alacsoyabb dmezós vetület eloszlásfüggvéyt, az együttes eloszlásfüggvéy em állítható elő. Hasoló az eset, mt a geometrába a testekél. A test vetülete bármely síkra voatkozóa egyértelműe képezhető, de a vetületek smeretébe em feltétleül állítható vssza a térbel alakzat. A megfelelő vetület eloszlásfüggvéyt az együttes eloszlásfüggvéyből határátmeettel kaphatjuk: Fξ x x x F x x x ξ ξ ( k,,..., ) lm k x ξ ξ ξp p,,...,,,..., (,,..., ). j j {,,..., k } Arra, hogy a fordított állítás em gaz, p esetbe aduk ellepéldát: Legyeek ξ és ξ olya valószíűség változók, melyek csak a -,0 és + értékeket vehetk fel az alább eloszlástáblázat szert ξ \ ξ ξ perem ε ε ε ε 0.5 ξ perem ahol 0 < ε < 0. 5 tetszőleges. 5

53 Ekkor 0, x x F ( ξ x ) 05., < , 0< x, x > a két vetület eloszlásfüggvéy, am ylvá em határozza meg az együttes eloszlásfüggvéyt, mely az ε paramétert s tartalmazza. Az együttes eloszlásfüggvéy segítségével értelmezhetjük a függetleség fogalmakat valószíűség változók között. Defícó: Legyeek ξ, ξ,..., ξp valószíűség változók. a.) ξ, ξ,..., ξp párokét függetleek, ha < j -re Fξ x y F x F y, ξ(, ) j ξ( ) ξ( ) teljesül xy, lr-re. j b.) ξ, ξ,..., ξp teljese függetleek, ha k p és < < L < p dex kombácóra Fξ x x x F x ξ ξ ( k,,..., ),,..., k ξ ( j ), j x, x,..., x lr-re. k k j k A valószíűség változók párokét (lletve teljese) függetleek, ha velük kapcsolatos bármely ívó-eseméyredszer párokét ( lletve teljese) függetle eseméyekből áll. Tétel: Ha ξ, ξ,..., ξp teljese függetleek, akkor párokét s függetleek. A megfordítás általába em gaz. A tétel első fele ylvávaló, hsz a teljese függetleség feltételredszere a párokét függetleség feltételredszerét s tartalmazza. Az ellepélda ugyaazo a kockadobásos példá alapulhat, amkor megmutattuk, hogy a párokét függetle eseméyek redszere em feltétleül alkot teljese függetle eseméyredszert. Defícó: a.) Ha ξ és η dszkrét valószíűség változók X { x x x } {,,...,,...} értékkészletekkel, akkor az Y y y y ({ } { }),,...,,... lletve r P ωξω ( ) x ωηω ( ) y P ( ξ x, η y ) (,j,,...) valószíűségek j j jel összességét a két dszkrét valószíűség változó együttes eloszlásáak evezzük. b.) A ξ, ξ,..., ξp dszkrét valószíűség változók értékkészletet jelölje redre {,,...,,...} () () () () X x x x (,,...,p). Ekkor a () ( ) ( p),,..., p p p r P( ξ x, ξ x,..., ξ x ) valószíűségek összessége a ξ, ξ,..., ξp dszkrét valószíűség változók együttes eloszlása. j 53

54 Defícó: Ha adott a ξ, ξ,..., ξp dszkrét valószíűség változók ( ) ( ) ( p) { r P x x x },,..., ( p,,..., ), p p k ξ ξ ξ együttes eloszlása, és j < j <... < j p, akkor a ξ, ξ,..., ξ dszkrét valószíűség változók együttes k j j j k eloszlását k-dmezós vetület- vagy peremeloszlásak evezzük. Tétel: A dszkrét valószíűség változók együttes eloszlása kelégít az alább tulajdoságokat: a.) 0 r,,..., p b.) r,,...,,,..., p p j j jk c.) P( j x ( ), j x ( ξ ξ ),..., ξ j x ( ) r j j k j k ),,..., p α { j, j,..., j k } Az a.) állítás ylvávaló, hsze az () ( ) ( p) A ωξ( ω) x + ωξ( ω) x + L + ωξ( ω) x eseméy { } { } { p },,..., p p valószíűségéről va szó. Mvel az A,,..., p eseméyek teljes eseméyredszert alkotak, gaz a b.) állítás. A c.) állítás specálsa a p esetbe: P( ξ x ) P( ξ x, η y ) j j P( η y ) P( ξ x, η y ). j j Tétel: a.) A ξ és η dszkrét valószíűség változók függetleek, ha, j-re P( ξ x, η yj) P( ξ x) P( η yj). b.) A ξ, ξ,..., ξp dszkrét valószíűség változók teljese függetleek, ha k p-re és j < j <... < j p eseté k k ( j ) ( j ) ( jk ) ( jα ) ξj ξ j j ξ j j k ξ j jk α jα α P( x, x,..., x ) P( x ). Látható, hogy a valószíűség változók párokét (lletve teljese) függetlesége ekvvales a kapcsolatos A { ωξω ( ) x} ívóeseméyek párokét (lletve teljese) függetleségével. Feladat Két szabályos kockát feldobuk. ξ jeletse a hatos dobások számát, η pedg a dobott számok összegét. Adjuk meg ξ és η együttes eloszlását! Megoldás: Az alább táblázatba az oszlopok tetejé szerepelek a ξ lehetséges értéke, a sorok elejé pedg az η értékkészletéek megfelelő számok állak. Az (,j) koordátákak megfelelő cellába a P(ξ,ηj) valószíűségek találhatók. és 54

55 η ξ 0 η peremeloszlása ξ peremeloszlása Például a táblázat yolcadk soráak és másodk oszlopáak kereszteződésébe azért áll 36, mert a 36 dobás lehetőségből csak kettő felel meg a ξ,η8 feltételekek, a (6,) és a (,6). Az η eloszlását a sorokba álló valószíűségek összeadásával, a ξ eloszlását pedg az oszlopokba álló valószíűségek összeadásával kapjuk meg. Látható az s, hogy ξ em 5 függetle η-tól, hsze pl. P( ξ, η ) 0 P( ξ ) P( η )

56 7. Példa Polomáls eloszlás Legye (Ω,I,P) Kolmogorov- féle valószíűség mező, A, A,..., I egy r eseméyből álló teljes eseméyredszer, azaz A A, A Ω. Ekkor 0 < PA ( ) p esetbe r p j r. Hajtsuk végre egy -szeres Beroull-féle kísérletsorozatot! Vegye fel ξ azt az értéket, aháyszor A bekövetkezett a kísérletsorozatba. A ξ, ξ,..., ξr valószíűség változók együttes eloszlását, p, p,..., p r paraméterű polomáls eloszlásak evezzük. A ξ valószíűség változók értéke a 0,,,..., számok közé esek. A ξ, ξ,..., ξr valószíűség változók értéke között szoros összefüggés va: r ξ változók együttes eloszlása:! k k k P( ξ k, k,..., r k r) p p p r ξ ξ L r. k! k! Lk! A fet valószíűségek valóba eloszlást alkotak, hsze:! k k k r p p Lpr ( p + p+ L+ pr ). k! k! Lk! k 0 k+ k kr r r A r. A ξ, ξ,..., ξr valószíűség A polomáls eloszlás a bomáls eloszlás többdmezós kterjesztése. A polomáls eloszlás ξ kompoese egyekét B(, p ) eloszlásúak, azaz a polomáls eloszlás egydmezós peremeloszlása bomálsak. Defícó: A ξ, ξ,..., ξp folytoos valószíűség változók együttes sűrűségfüggvéyé azt az fξ, ξ,..., ξ p ( x, x,..., xp ) függvéyt értjük, melyre x x x p Fξ x x x f t t t dt dt dt, ξ,..., ξ( p,,..., p) L ξ, ξ,..., ξ( p,,..., p) p..., azaz p p Fξ ξ ξ x x x,,..., ( p,,..., p ) T fξ ξ ξ x x x,,..., ( p,,..., p ), ha x ( x, x,..., x x x L x p ) folytoosság potja fξ, ξ,..., ξ p ( x, x,..., xp )-ek. Defícó: Az fξ ξ ξ p x x x,,..., (,,..., p ) együttes sűrűségfüggvéy egy k-dmezós vetület sűrűségfüggvéyé ( k p ) valamely < < L < k p dexkombácóra a ξ, ξ,..., ξ valószíűség változók együttes sűrűségfüggvéyét értjük. k 56

57 + + + ξ, ξ,..., ξ k k ξ ξ ξp p j jp k j,,..., p k Tétel: f ( x, x,..., x ) L f ( t, t,..., t ) dt... dt dt, azaz az együttes sűrűségfüggvéyt az összes több, a kválasztott dexkombácóba em szereplő dexhez tartozó változóra kell ktegrál a teljes számegyeese, hogy előállítsuk a k-dmezós vetület sűrűségfüggvéyt ( j, j,..., j {,,..., } p k ). k Tétel: Legyeek ξ, ξ,..., ξp folytoos valószíűség változók az (Ω,I,P) Kolmogorov- féle valószíűség mező. a.) ξ, ξ,..., ξp párokét függetleek < j -re fξ x y f x f y, ξ(, ) j ξ( ) ξ( ) teljesül xy, lr-re. j b.) ξ, ξ,..., ξp teljese függetleek k p és < < L < p dexkombácóra fξ x x x f x ξ ξ ( k,,..., ),,..., k ξ ( j ), x x x lr j,,..., k. k j k Az függetleség defícóból egyszerűe derválással következk az állítás. p esetbe az előző tételek specáls alakja: + + Fξη, ( x, y) fξη, ( x, y), fξ( x) fξ, η( x, y) dy, fη ( y) fξη, ( x, y) dx, xy A ξ és ηfüggetleek fξη, ( x, y) fξ( x) fη( y) ( x, y lr). Tétel: ( Az együttes sűrűségfüggvéy tulajdosága) a.) fξ, ξ,..., ξ p ( x, x,..., xp ) b.) L f ( t, ξ ξ ξ p t,..., t ) p dt... p dt dt.,,..., 7. Példa A kétdmezós ormáls eloszlás Ameybe a (ξ,η) pár együttes eloszlását az ( x µ ) ( x µ )( y µ ) ( y µ ) ρ + ( ρ ) σ σσ σ fξη, ( x, y) e ( x, y lr) πσ σ ρ együttes sűrűségfüggvéyel lehet leír azt modjuk, hogy a két valószíűség változó együttes eloszlása kétdmezós ormáls, ahol a peremeloszlásokra ξ N( µ, σ), η N( µ, σ ) teljesül. (A képletbe - ρ ). A kétdmezós ormáls eloszlás sűrűségfüggvéye egy olya felületet ír le, melyek, potot tartalmazó síkkal való metszete Gauss-féle haraggörbe, míg az x-y síkkal párhuzamos emüres síkmetszete ellpszsek. mde, az x-y síkra merőleges, a ( µ µ ) 57

58 A kétdmezós ormáls eloszlás sűrűségfüggvéye Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok. M az együttes eloszlásfüggvéy és a peremeloszlásfüggvéy fogalma, és m a kapcsolat közöttük?. Mkor teljese függetleek a ξ, ξ, ξ 3 valószíűség változók? 3. Hogya evezzük a bomáls eloszlás többdmezós megfelelőjét? 4. Mk az együttes sűrűségfüggvéy tulajdosága? 5. Az alábbak közül melyk állítás helyes és melyk hams? a. Az együttes eloszlásfüggvéy többváltozós valós függvéy. b. Az együttes eloszlásfüggvéy értéke az -hez tartaak, ha valamelyk változójával +-hez tartuk. c. Az együttes eloszlásfüggvéy értéke az 0-hez tartaak, ha valamelyk változójával --hez tartuk. d. Dszkrét valószíűség változók együttes eloszlása a peremeloszlások összegekét áll elő. e. Dszkrét valószíűség változók peremeloszlásat az együttes eloszlásból összegzéssel számolhatjuk k. f. Függetle folytoos valószíűség változók együttes sűrűségfüggvéye a peremsűrűségfüggvéyek szorzata. g. Függetle folytoos valószíűség változók együttes eloszlásfüggvéye a peremeloszlásfüggvéyek szorzata. h. Az együttes eloszlás elemeek összege.. A vektor valószíűség változó mde kompoese valószíűség változó. j. Az együttes sűrűségfüggvéy mde változójába folytoos. 6. A ξ és η valószíűség változók együttes eloszlását tartalmazza az alább táblázat: η ξ p 3p 6p 5p 5p 30p Mekkora a p paraméter értéke? Függetleek-e ξ és η? 7. Először egy szabályos kockával dobuk, majd a dobott értékek megfelelőe khúzuk lapokat egy 3 lapos kártyatömegből. Jelölje ξ a khúzott lapok között található fgurás 58

59 lapok számát, η pedg legye a khúzott krályok száma. Adja meg a P(ξ4,η) valószíűséget! x y 8. Legye a ξ és η együttes sűrűségfüggvéye f ( x, y) e, 0< x, y < (egyébkét f(x,y)0). Határozza meg a peremsűrűségfüggvéyeket! Függetleek-e ξ és η? 9. Legye a ξ és η együttes sűrűségfüggvéye 4 ( x+ xy+ y), ha0< x< és0< y< f( x, y) 5 0, egyébkét Határozza meg a peremsűrűségfüggvéyeket! Függetleek-e ξ és η? 59

60 8. Várható érték, szórás, szóráségyzet, magasabb mometumok, kovaraca és a korrelácós együttható Defícó: a.) A ξ dszkrét valószíűség változóak akkor létezzék várható értéke, ha a x P( ξ x) sor koverges. Ekkor a ξ várható értéké az Mξ xp( ξ x ) sorösszeget értjük. b.) A ξ folytoos valószíűség változóak akkor létezzék várható értéke, ha az + ξ x f ( x) dx mproprus tegrál koverges. Ekkor a ξ várható értéké az + ξ Mξ x f ( x) dxszámot értjük. Egy valószíűség változóak em feltétleül létezk várható értéke. (Ld. A 0 számú gyakorló feladatot!) Tétel: Legye g: lr lr tetszőleges valós függvéy. Ekkor, ha az η g( ξ) valószíűség változó, és létezk a várható értéke, akkor a.) ha ξ dszkrét : Mη gx ( ) P( ξ x) + b.) ha ξ folytoos: Mη g( x) fξ ( x) dx. Tétel: Legye a ξ valószíűség változó várható értéke Mξ. Ekkor az η a ξ + b valószíűség változóak s létezk várható értéke, és Mηa Mξ+b. Alkalmazzuk a megelőző tételt a g(x)a x+b leárs függvéyre! a.) dszkrét eset: Mη ( a x + b) p a x p + b p a Mξ+ b. b.) folytoos eset: + Mη ( ax+ b) fξ( x) dx a xfξ( x) dx+ b fξ( x) dx a Mξ+ b. + Következméy: A kostas valószíűség változó várható értéke ömaga. + 60

61 Tétel: a.) A ξ, ξ,..., ξp dszkrét valószíűség változók értékkészletet jelölje redre {,,...,,...} () () () () X x x x (,,...,p), együttes eloszlásukat pedg () ( ) ( p) p { r P( ξ x, ξ x,..., ξ x ) }. Legye g: lr lr tetszőleges,,..., p p p p-változós valós függvéy. Akkor ha az η g( ξ, ξ,..., ξp ) valószíűség változó és létezk a várható értéke, Mη g ( () x, ( ) p x,..., ( ) p x ) P ( () x, ( ) x,..., ( ) ξ p x ) ξ ξ. (,,..., p ) p b.) A ξ, ξ,..., ξp folytoos valószíűség változók együttes sűrűségfüggvéyét jelölje p fξ ξ ξ p x x x,,..., (,,..., p ).Legye g: lr lr tetszőleges p-változós valós függvéy. Akkor ha az η g( ξ, ξ,..., ξp ) valószíűség változó és létezk a várható értéke, Mη L g( x, x,..., x p) f ξ,,..., ( x, x,..., x p) dx pldx dx ξ ξ p. p Tétel: Az η ξ + ξ+ L+ ξ p valószíűség változó várható értéke létezk, ameybe a ξ tagok várható értéke létezk, és MηMξ +Mξ +...+Mξ p. Az előző tétel következméye, amkor g( x, x,..., x ) x + x x. p p Tétel: Legyeek a ξ és η valószíűség változók függetleek, létezzék a várható értékük. Akkor a ζξ η valószíűség változóak s létezk a várható értéke, és MζMξ Mη. Legye most g( xy, ) xy! a.) dszkrét eset: Mζ xy jp( ξ x, η yj) xy jp( ξ x) P( η yj) j xp ( ξ x) yp j ( η y j) Mξ Mη. j b.) folytoos eset: Mζ xyf ξη, ( x, y) dy dx xyf ξ( x) f η ( y) dy dx xf ξ ( x) dx yf η ( y) dy Mξ Mη. Defícó: A ξ valószíűség változó -edk mometumá a ξ valószíűség változó várható értékét értjük, ha az létezk. Jelölés: µ M ξ. 6

62 Dszkrét esetbe: µ x P( ξ x ) + Folytoos esetbe µ x f ( ξ x ) dx. Defícó: A ξ valószíűség változó szóráségyzeté vagy varacájá az η ( ξ Mξ) valószíűség változó várható értékét értjük (ameybe az létezk). Jelölés: D ξ M(ξ Mξ). A ξ valószíűség változó szórása a szóráségyzet poztív égyzetgyöke: Dξ + M( ξ Mξ). Dszkrét esetbe: D ξ (x Mξ) P( ξ x ). + Folytoos esetbe : D ξ (x Mξ) fξ ( x) dx. Tétel: Legye ξ olya valószíűség változó, melyek létezk szóráségyzete. Akkor mde valós x eseté: D ξ M( ξ Mξ) M( ξ x). Legye g( x) M(ξ x) M( ξ ξ x+ x ) Mξ -x Mξ +x. Mvel g ( x) x Mξ 0, x Mξ és g ( x) > 0, ezért az x Mξ hely mmumhely, am már gazolja az állítást. A ξ valószíűség változó értéke a várható érték körül gadozak a legksebb mértékbe az összes valós szám közül, és ezt a mmáls gadozást, bzoytalaságot jellemz a szóráségyzet. Ha tehát egy valószíűség változóak agy a szórása, értéket bzoytalaul tudjuk csak megbecsül. Ha a szóráségyzet egyre ksebb, a bzoytalaságuk a változó értéket lletőe csökke. Ad abszurdum, a kostas szóráségyzete 0. A tétel megfordítása s gaz, azaz a 0 szórású valószíűség változó a kostas. Tétel: D ξ 0 P( ξ Mξ). Tétel: (Steer formula) D ξm( ξ A) [M( ξ A )], mde A lr-re. Specálsa az A 0-ra D ξmξ -[Mξ]. Bzoyítás: Legye A lr tetszőleges! M( ξ A) M( ξ Aξ+ A ) Mξ A Mξ +A, [M( ξ A )] [Mξ A ] (Mξ ) A Mξ +A. 6

63 Így M( ξ A) [M( ξ A )] Mξ -[Mξ ]. Vszot. ( ) [ ] [ ] [ ] D ξ M ξ Mξ M( ξ ξ Mξ+ Mξ ) Mξ Mξ Mξ+ Mξ Mξ Mξ, amből már következk az állítás. Következméy: Mvel D ξ M ξ Mξ 0 Mξ [ Mξ] ( ), tehát, ha ξ másodk mometuma (így a szóráségyzete s ) létezk, akkor a várható értékek s kell léteze! Tétel: D ( aξ+ b) a D ξ, mde a,b lr-re. Azaz a szóráségyzet eltolás varás. Bzoyítás: D ( aξ+ b) M( aξ+ b) [M( aξ + b) ] a Mξ +abmξ + b a [Mξ] ab Mξ b a [Mξ -[Mξ] ]a D ξ. Tétel: Legyeek a ξ és η valószíűség változók függetleek, létezzék a szóráségyzetük. Akkor D ( ξ± η) D ξ +D η. Bzoyítás: D ( ξ± η) M( ξ± η) [M( ξ ± η) ] M ξ ± ξ η+ η ( Mξ) ± Mξ Mη+ ( Mη) Mξ ± M( ξ η) + Mη ( Mξ) m Mξ Mη ( Mη) Mξ ( Mξ) + Mη ( Mη) D ξ + D η. Felhaszáltuk, hogy függetleség eseté : M( ξ η) ( Mξ ) ( Mη). 8. Nevezetes eloszlások várható értéke és szóráségyzete Dszkrét eloszlások 8... Példa Karaktersztkus eloszlás Az eloszlás : P( ξ ) p, P( ξ 0) p q. Mξ p + 0 q p, D ξ ( p) p+ ( 0 p) q q p+ p q p q( q+ p) pq. 63

64 8... Példa Bomáls eloszlás k k k k Az eloszlás : pk P k p p p q k k k ( ξ ) ( ), 0,,,...,. Mξ k p k k p q k k k k p k q k k k p k q k! ( )!( )! k 0 k 0 k k ( )! k ( k ) ( )! p p q p p k ( k )!( ( k ))! α 0 α!( α)! k α p p q p ( p + q) p, azaz Mξ p. α α 0 q k α D ξ Mξ -[Mξ ], Mξ k p k k p q k k k k p k q k k k k 0 k 0 k + k k k p q k k k k p k q k! ( ) k k k k pq k k + Mξ k ( )!( )! ( )! k ( k ) ( ) p p q + p k ( k )!( ( k ))! α α ( ) p p q + p ( ) p ( p+ q) + p p p + píg α α 0 y D ξ p p + p ( p) p( p) pq Példa Posso eloszlás k λ Az eloszlás :p P k k e λ k k ( ξ ), 0,,,...! k k k λ λ λ λ λ λ λ λ Mξ k pk k e e e e e k k k λ λ λ 0! k ( k )! k ( k )! k Mξ λ λ k pk k ( k ) pk + k pk e + λ k 0 k k 0 k ( k )! k λ λ λ λ λ e + λ λ e e + λ λ + λ. k ( k )! Így D ξ Mξ -[Mξ ] λ + λ λ λ. 64

65 8..4 Példa Geometra eloszlás k k Az eloszlás :pk P( ξ k) ( p) p q p, k,,3,... k k k Mξ k pk k q p p k q p, hsze q ( q) p q d dq k 0 k q k k k d k k q dq q ( q) k Mξ k k pk k ( k ) pk + k pk pq k ( k ) q + k k k k p q pq ( q) p p p Így D ξ Mξ -[Mξ ] q p q p q q q + + ( + ) +. p p p p p p. k 0, és 8..5 Példa Hpergeometra eloszlás F N F k k Az eloszlás : pk P( ξ k), k 0,,...,. N F N F F F N F k k ( ) k ( k ) Mξ k pk k k 0 k N k N N F N ( F ) F k ( k ) F, hsze a szumma mögött a HG(-,F-,N-) N k N N eloszlás valószíűsége állak, melyek összege. F N F k k Mξ k pk k ( k ) pk + k pk k ( k ) + F N k k k k N F N ( F ) F ( F ) k ( k ) + F F ( F ) ( ) + F N ( N ) N N N ( N ) N ( ) k + F ( F ) ( ) N. N N + Így D ξ Mξ -[Mξ] F F N F ( ) ( ) F N F N N N N N N N. 65

66 Folytoos eloszlások 8..6 Példa Egyeletes eloszlás + b b x b a a b Mξ x f ( x ) dx x dx + ξ b a b a b a a + b Mξ x f x dx x b a dx x b a a + a b+ b ( ) ξ b a 3 b a 3 3 a, a D ξ Mξ -[Mξ] a a b b a b a ab b b a + + ( + ) + ( ) Példa Expoecáls eloszlás + x x x x Mξ x f x dx x e dx [ xe ] + e dx + λ λ λ λ ξ ( ) λ 0 e 0. λ λ + 0 a b 0 0 Mξ ξ λ [ ] x x x x x f x dx x e dx x e xe dx 0 λ λ λ λ ( ) xλe dx λ 0 λ λ λ, így D ξ Mξ -[Mξ ] λ. λ λ 8..8 Normáls eloszlás a.) Stadard ormáls eloszlás + x Mξ x fξ ( x) dx x e dx e π π + + x 0. x x ξ ( ) π π 0 0 Mξ x f x dx x e dx x x e dx + x x x ( e ) + e dx 0+. Így D ξ Mξ -[Mξ ] -0. π π b.) Az általáos eset, ξ N( µ, σ). + x Mξ x f x dx x ϕ ξ µσ x dx x dx y + y dy σ ϕ µ ( ), ( ) ( ) ( σ µ ) ϕ( ) σ +. σ yϕ ( y) dy+ µ ϕ( y) dy σ 0+ µ µ. + + x Mξ x f x dx x ϕ ξ µσ x dx x dx σ ϕ µ ( ), ( ) ( ) σ + ( σ y + µ ) ϕ( y) dy σ y ϕ ( y) dy + µ σ yϕ ( y) dy + µ ϕ( y) dy + +. σ + µ σ 0+ µ σ + µ.ie D ξ Mξ -[Mξ ] σ + µ µ σ. 66

67 Tehát a ormáls eloszlás µ paramétere a várható értéket, a σ paraméter pedg a szórást jelet. Defícó: Legyeek ξ és η valószíűség. Tegyük fel, hogy létezk a szóráségyzetük. Akkor a ξ és η kovaracájá a ζ ( ξ Mξ ) ( η M η) valószíűség változó várható értékét értjük. Jelölés: cov( ξη, ) M ( ξ Mξ ) ( η M η). Megjegyzés: cov( ξξ, ) D ξ. Defícó: Egy változót értjük. ξ valószíűség változó stadardzáltjá a ~ ξ ξ ξ M Dξ valószíűség Defícó: A ξ és η valószíűség változók korrelácós együtthatójá stadardzáltjak kovaracáját értjük. Jelölés: R(, ) cov( ~, ~ cov( ξη, ) ξη ξη). Dξ Dη ~ ~ Megjegyzés: Mξ 0, D ξ. Tétel: cov( ξη, ) M( ξ η) ( Mξ ) ( M η). Bzoyítás: cov( ξη, ) M(( ξ Mξ) ( η Mη)) M( ξ η ξ Mη η Mξ + ( Mξ) ( M η)) M( ξ η) ( Mξ) ( Mη) ( Mη) ( Mξ) + ( Mξ) ( Mη) M( ξ η) ( Mξ) ( Mη ). Tétel: Ha ξ és η függetleek, akkor cov( ξ, η ) 0 és R( ξ, η ) 0. A tétel megfordítása általába em gaz. A megfordításra ellepélda: Legyeek a ξ és η dszkrét valószíűség változók, {-,0,} értékkészletekkel. Az együttes eloszlásukat az alább táblázatba láthatjuk: η\ ξ η perem - 0 0,5 0 0,5 0 0,5 0 0,5 0, ,5 0 0,5 67

68 ξ perem 0,5 0,5 0,5 68

69 Mξ Mη ( ) 0 4 0, M( ξ η) ( ) ( ) cov( ξη, ) M( ξ η) ( Mξ) ( Mη) 0. A ξ és η em függetleek, mert pl. P( ξ 0, η ) P( ξ 0) P( η ) 4 4. Defícó: A ξ és η valószíűség változók korrelálatlaok, ha cov( ξη, ) M( ξ η) ( Mξ) ( Mη) 0. A korrelálatlaság a függetleség szükséges, de em feltétleül elégséges feltétele. Dszkrét esetbe a kovaraca számítása: cov( ξη, ) xy P( ξ x, η y ) ( xp( ξ x )) ( y P( η y )). j j j j Folytoos esetbe a kovaraca számítása: cov( ξη, ) xy f ξη, ( x, y) dx dy x f ξ( x) dx y f η ( y) dy. j j Tétel: Ha a ξ és η valószíűség változók szóráségyzete létezek, úgy D ( ξ± η) D ξ+ D η ± cov( ξ, η). Bzoyítás: D ( ξ± η) M ( ξ± η) M( ξ± η) M ξ ± ξη+ η ( Mξ) ± ( Mξ)( Mη) + ( Mη) Mξ ± Mξη+ Mη ( Mξ) m ( Mξ)( Mη) ( Mη) D ξ+ D η± cov( ξ, η). p Tétel: D ( ξ ) D ξ + cov( ξ, ξ ). p < j j Bzoyítás: p -re éppe az előző tételt kapjuk. Tegyük fel, hogy az állítás gaz valamely p -re. p+ p p p+ p+ p + j + < j j,,,..., p D ( ξ ) D ( ξ ) + D ξ + cov( ξ, ξ ) p+ D ξ cov( ξ, ξ ) cov( ξ, ξp ) + állítás. Tétel: Ha a ξ és η valószíűség változók szóráségyzete létezek, úgy R( ξ, η ). 69

70 Bzoyítás: Legyeek ~ ξ ξ ξ M és ~ η η Mη a stadardzált valószíűség változók. Dξ Dη cov( ~, ~ ξ Mξ η Mη cov( ξη, ) ξη) M R ( ξη, ). Dξ Dη Dξ Dη 0 D ( ~ ± ~ ~ ξ η ) D ξ+ D ~ η± cov( ~ ξ, ~ η) + ± R( ξ, η ) R( ξ, η ). Következméy: cov( ξη, ) Dξ D η. Tétel: Ha a ξ és η valószíűség változók szóráségyzete létezek, úgy R( ξη, ) ± a, b lr : P( ξ a η + b). Bzoyítás: Legyeek ~ ξ ξ ξ M és ~ η η M η a stadardzált valószíűség változók. Dξ Dη a, b lr : P( a + b) P( ~ ξ η ξ ± ~ η) 0 D ( ~ ξm ~ η) ( mr( ξη, )) R( ξ, η ) ± ráadásul R( ξ, η ) sg( a). (A bzoyításkor felhaszáltuk, hogy csak az egy valószíűséggel kostas valószíűség változóak lehet 0 a szórása.) Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok. M a várható érték defícója?. Mlye tulajdosága vaak a várható értékek és a szóráségyzetek? 3. M a kovaraca és a korrelácós együttható? 4. M a kapcsolat a függetleség és a korrelálatlaság között? 5. Mkor a korrelácós együttható abszolút értéke? 6. Melyk állítás gaz, melyk hams? a. Mde valószíűség változóak va várható értéke. b. Mde valószíűség változóak va szórása. c. A bomáls valószíűség változóak va várható értéke és szórása s. d. A szóráségyzet leárs. e. A várható érték leárs. f. Két valószíűség változó szorzatáak várható értéke egyelő a várható értékek szorzatával. g. Két függetle valószíűség változó szorzatáak várható értéke egyelő a várható értékek szorzatával. h. Két függetle valószíűség változó szorzatáak szóráségyzete egyelő a szóráségyzetek szorzatával.. Két függetle valószíűség változó összegéek szóráségyzete egyelő a szóráségyzetek összegével. j. Két függetle valószíűség változó összegéek várható értéke egyelő a várható értékek összegével. k. Egy valószíűség változó ömagával vett kovaracája éppe a szóráségyzet. l. Egy valószíűség változó ömagával vett korrelácós együtthatója mdg. 70

71 m. Két függetle valószíűség változó korrelácója 0.. Ha két valószíűség változó kovaracája 0, akkor függetleek. o. Egy valószíűség változó égyzetéek várható értéke em ksebb mt a várható értékéek égyzete. p. Egy valószíűség változó égyzetéek várható értéke egyelő a várható értékéek égyzetével. q. A stadardzált valószíűség változó szórása. r. A stadardzált valószíűség változó várható értéke. s. A poztív kostas szórása poztív. t. Függetle valószíűség változók külöbségéek szóráségyzete a szóráségyzetek külöbsége. 7. Legye ξ Posso eloszlású λ>0 paraméterrel, ηξ+. Adjuk meg η várható értékét és szórását! 8. Legye ξ és p paraméterű bomáls eloszlású valószíűség változó, η. Adjuk + ξ meg η várható értékét és szórását! 9. Legyeek ξ és η azoos eloszlású valószíűség változók. Igaz-e, hogy ξ η M M ξ+ η ξ + η? 0. Ha a ξ sűrűségfüggvéye fξ ( x) x IR π( + x ),( ), akkor létezk-e a várható értéke?. Egy szabályos kockával dobuk smételte. ξ az első dobás, η a másodk dobás eredméye. Számoljuk k R(ξ,ξ+η)-t!. Legyeek ξ és η és p0,5 paraméterű függetle bomáls eloszlású valószíűségű változók. Mutassuk meg, hogy ξ+η és ξ-η bár korrelálatlaok, de em függetleek! 3. Legye ξ U(0,), azaz a (0,) tervallumo egyeletes eloszlású valószíűség változó. ηcosξ és ζsξ. Határozzuk meg cov(η,ζ)-t! Függetleek-e η és ζ? 4. Legye ξ N(µ,σ), azaz µ,σ paraméterű ormáls eloszlású valószíűség változó! Adjuk képletet Mξ -re! 7

72 9. A agy számok törvéye és a cetráls határeloszlás tételek A valószíűség változók várható értékéek és szóráségyzetéek fotos tulajdoságát fogalmazza meg a Markov és a Csebsev egyelőtleség. Tétel: (A Markov egyelőtleség) Legye ξ 0 olya valószíűség változó, melyek létezk a várható értéke: Mξ 0. Akkor ε > 0 eseté P( ξ > ε) Mξ ε. Bzoyítás: Dszkrét valószíűség változó esetébe: Μξ xp( ξ x ) xp( ξ x ) ε P( ξ x ) ε P( ξ ε) állítás. x ε x ε Folytoos valószíűség változó esetébe: ξ ξ ( ξ ) Μξ x f ( x) dx x f ( x) dx ε f ( x) dx ε F ( ε) ε P( ξ ε) állítás. 0 ε ε ξ Megjegyzés:.) Az egyelőtleségbe most akkor kapuk em semmtmodó állítást, ha ε Μ ξ. Külöbe a Markov egyelőtleség csak ayt jeletee, hogy egy valószíűség em agyobb, mt egy -él agyobb szám...tehát most ε > 0 em azt sugallja - mt általába a matematka tételekbe-, hogy ε tetszőlegese kcsy poztív szám, haem éppe ellekezőleg, most ε agy..) A Markov egyelőtleséget átfogalmazhatjuk a következő módo, ha végrehajtjuk az ε δ Μ ξ helyettesítést: δ > 0 eseté P( ξ > δ Μξ). δ Ie vszot az olvasható le, hogy ξ kcs valószíűséggel vehet csak fel a saját várható értékéél sokkal agyobb értékeket, vagys ξ hajlamos a várható értéke közelébe értéket felve. Pl. aak valószíűsége, hogy egy emegatív valószíűség változó a várható értékéek ötszöröséél agyobb értéket felvegye, 0%-ál ksebb. Tétel: (A Csebsev-egyelőtleség) Legye ξ olya valószíűség változó, amelyek véges a szóráségyzete :D ξ<. D ξ Akkor mde ε >0 eseté P( ξ Μξ ε). ε Bzoyítás: Alkalmazzuk a Markov egyelőtleséget a ( ) ξ ξ Μξ, ε ε helyettesítéssel: Μ( ξ Μξ) D ξ P(( ξ Μξ) ε ) P( ξ Μξ ε). ε ε Megjegyzés:.) Az ε -ról ugyaaz elmodható, mt a Markov egyelőtleség eseté: ε D ξ esetbe lesz csak em-trváls az egyelőtleség..) A Csebsev egyelőtleség s átfogalmazható, ha ε δ Dξ : 7

73 Mde δ>0 eseté P( ξ Μξ δ Dξ). Vagys a valószíűség változó a várható δ értéke körül gadozk, és aál ksebb mértékbe, mél ksebb a szórása. Pl. egy valószíűség változó em térhet el jobba a várható értékétől, mt a szórása háromszorosa, csak legfeljebb 0. valószíűséggel. 9 Feladat Egy célpotra 00 lövést adak le. A találat valószíűsége mde lövésél 0,4. Mlye határok közé fog es 90%-os valószíűséggel a találatok száma? Megoldás: Jelöljük ξ-vel a találatok számát! A lövéssorozat felfogható egy 00 hosszúságú Beroull kísérletsorozatak, ahol a megfgyelt eseméy a célpot eltalálása. Ezért ξ bomáls eloszlású 00 és p0,4 paraméterekkel. Így Mξ p 00 0, 4 80, és D ξ pq 00 0, 4 0, A Csebsev egyelőtleséget alkalmazzuk erre az esetre ε 0 választással: P ( ξ Mξ > 0Dξ) P( ξ 80 > 480) 0,, ahoa P( ξ ) P( ξ ) P( ξ ) , 9 adódk, azaz a lövések 58 és 0 közé fogak es legalább 90%-os valószíűséggel. Feladat Automata mőségvzsgáló elemű mtát elleőrz le egy gyártósoro előállított számítógépes alkatrésztömegből. A vzsgálat utá mlye valószíűséggel állíthatjuk, hogy a mtából meghatározott selejtaráy a készlet elmélet p selejtvalószíűségétől legfeljebb 0,0-dal tér el? Megoldás: ξ most a selejtes termékek számát jelölje a mtába! Ekkor a selejtaráy a ξ mtába 5 lesz. Nyílvá ξ B(00 000, p), ahol a p smeretle. 0 Mξ p 0 5 p, és D ξ pq 0 5 pq. A Csebsev egyelőséget most ε000-rel ξ pq alkalmazzuk: P( ξ 0 p 000) P p , 6 0, A levezetésbe felhaszáltuk, hogy pq p p 05,. A agy számok törvéye azt a megfgyelést támasztják alá elméletleg s, hogy egy valószíűség változót sokszor megfgyelve, az átlagérték mdg közel va az elmélet várható értékhez. Az s gaz, hogy a megfgyelések övekedtével az eltérés csökke, azaz az átlagértékek kovergálak s a várható értékhez. A közap életbe a tételt úgy fogalmazzák meg, hogy a véletle jeleségek s kszámíthatóak hosszútávo. 73

74 Tétel: ( A agy számok tételéek Csebsev-féle gyege alakja) Legyeek a ξ, ξ,..., ξ, K valószíűség változók párokét függetleek és azoos eloszlásúak (azoos eloszlásfüggvéyel redelkezők). Létezzék a közös µ Μξ várható értékük és a közös σ D ξ szóráségyzetük. ξ + ξ+ L+ ξ Akkor a ζ valószíűség változó sorozatra ε > 0 eseté P( ζ µ ε) 0 ( ) teljesül. Bzoyítás: Μζ ξ Μ ξ L ξ Μξ µ µ. σ A párokét függetleség matt: D ζ D ξ D ξ σ. Látható tehát, hogy ζ mde dexre teljesít a Csebsev egyelőtleség feltételét, így: D ζ σ P( ζ Μζ ε) P( ζ µ ε) 0 ( ), am már gazolja az ε ε állítást. Megjegyzés: A tétel azt állítja, hogy azo valószíűségek számsorozata, hogy az átlag az elmélet várható értéktől akármlye ks ε-ál s jobba eltérje, ullához kovergál. Tétel: ( A agy számok tételéek Beroull-féle gyege alakja) Legye (Ω,I,P) Kolmogorov- féle valószíűség mező, A I egy poztív valószíűségű eseméy: p P( A) > 0. Hajtsuk végre egy végtele Beroull-féle kísérletsorozatot, vagys, ω A fgyeljük meg az A bekövetkezéset! Legye ξ, vagys az -edk 0, ω A végrehajtáskor az eseméy karaktersztkus valószíűség változója. ξ -k teljese függetleek és azoos eloszlásúak: p0 P( ξ 0) P( A) q, p P( ξ ) P( A) p, Μξ p, D ξ pq. ξ + ξ+ L+ ξ Legye ζ r ( A) a relatív gyakorság. Akkor ε > 0 eseté P( r ( A) p ε) 0 ( ). Bzoyítás: A tétel feltétele specáls esetbe a agy számok Csebsev-féle alakjáak felelek meg. Ekkor a Csebsev egyelőtleségek a D ζ pq P( ζ Μζ ε) P( r( A) p ε) 0 ( ) ε ε 4 ε felel meg, mert p q mdg teljesül. 4 Megjegyzés: A tétel azt modja k, hogy a relatív gyakorság jól közelít az eseméy elmélet valószíűségét, ahogya azt már a valószíűség axómá utá tett megjegyzésükbe előre jeleztük. 74

75 Tétel: (A cetráls határeloszlás tétel) Legyeek a ξ, ξ,..., ξ, K valószíűség változók párokét függetleek és azoos eloszlásúak (azoos eloszlásfüggvéyel redelkezők) az (Ω,I,P) Kolmogorov-féle valószíűség mező. Létezzék a közös µ Μξ várható értékük és a közös σ D ξ szóráségyzetük. ξ + ξ+ L+ ξ µ Akkor a ζ valószíűség változó sorozatra teljesül, hogy az σ eloszlásfüggvéyek függvéysorozata mde potba a stadard ormáls eloszlás eloszlásfüggvéyéhez kovergálak, azaz ξ + ξ+ L+ ξ µ Fζ ( x) P( ζ x P x x x lr < ) ( < ) Φ ( ) ( ). σ Megjegyzés: A tétel rámutat a ormáls eloszlásak az elméletbe játszott fotos szerepéek okára: tetszőleges eloszlású valószíűség változók átlaga ormáls eloszlást követ. Tehát, ha egy véletle jeleséget sok egyekét em jeletős, függetle hatás összegekét kapuk, akkor az jól közelíthető a ormáls eloszlással. Tpkusa lyeek a mérésekből származó adatok: a Dua közepes vízállása, a ap középhőmérséklet stb. Az elektromos elosztó közpotba s ormáls eloszlásúak tekthető a lakosság fogyasztás, hsze agyo sok ksfogyasztó eredőjekét áll elő. És bár lehet, hogy az egyes fogyasztók külö-külö em a ormáls elosztás szert fogyasztaak, de az átlagos fogyasztást a agy számok törvéye értelmébe bztosa tekthetjük ormálsak modelljekbe. Tétel: (A Movre-Laplace tétel,733.) Legye (Ω,I,P) Kolmogorov-féle valószíűség mező, A I egy poztív valószíűségű eseméy: p P( A) > 0. Hajtsuk végre egy végtele Beroull-féle kísérletsorozatot, vagys, ω A fgyeljük meg az A bekövetkezéset az,,...,,... -edk kísérletél! Legye ξ, 0, ω A vagys az -edk végrehajtáskor az eseméy karaktersztkus valószíűség változója. ξ -k teljese függetleek és azoos eloszlásúak: p0 P( ξ 0) P( A) q, p P( ξ ) P( A) p, Μξ p, D ξ pq. ξ + ξ+ L+ ξ p Akkor a ζ valószíűség változó sorozatra teljesül, hogy az p ( p) eloszlásfüggvéyek függvéysorozata mde potba a stadard ormáls eloszlás eloszlásfüggvéyéhez kovergálak, azaz F ( x) P( ζ < x) Φ ( x) ( ) x lr. ζ Bzoyítás: A Movre-Laplace tétel a cetráls határeloszlástétel azo specáls este, amkor a ξ χ( A), azaz karaktersztkus eloszlásúak. Ráadásul F ( x) P( ζ < x) P( S < p q. x+ p), mvel ξ ξ ξ r( A) S ζ + + L+ a relatív gyakorság és S B(, p). 75

76 Így P S k k p k q k ( ), amből az eloszlásfüggvéyre: P( S < pq x + p) k p q k k k p k q k. k< pq x+ p k p x pq < Tehát a tétel azt állítja, hogy a bomáls eloszlás stadardzáltja határeloszlásba stadard x t k k ormáls eloszlás lesz, azaz lm p q ( x) e dt ( x lr). k p k Φ π < pq x Másképpe fogalmazva, hosszú Beruoll kísérletsorozatok eseté az eseméy gyakorsága közelítőleg ormáls eloszlást fog követ. Feladat Közelítőleg határozzuk meg a A összeget! k k 0 Megoldás: Legye ξ B(500, 0,5)! Ekkor a kszámítadó A összeget felírhatjuk: 60 A P( ξ k) alakba. A Movre-Laplace tétel szert: P( ξ k) Φ( x) Φ ( y). 500 k 00 y k 50 < x 5 Most úgy kell x-et és y-t megválaszta, hogy y és x legye. Tehát y-, és x 0, , amvel A Φ( 0, 9839) Φ(, 6833) Φ( 0, 9839) + Φ( +, 6833) 0, , ,838, azaz Α, e+50. A Φ függvéy értéket a stadard ormáls eloszlás táblázatából olvastuk k.(ld. A függelékbe!) Megjegyzés: Az előbb összeg kszámítása még számítógépre írt program segítségével sem trváls a bomáls együtthatókba szereplő agy faktorálsok matt. Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok. Mt állít a Csebsev egyelőtleség?. Modja k a agy számok törvéyéek Csebsev féle alakját! 3. Mt állít a agy számok törvéyéek Beroull féle alakja? 4. Mt állít a cetráls határeloszlás tétel? 5. Modja k a Movre-Laplace tételt! 6. Melyk állítás gaz, melyk hams? a. A Markov egyelőtleség csak a várható értékél agyobb ε valós számok eseté érvéyes. b. A Csebsev egyelőtleség csak dszkrét valószíűség változókra gaz. c. A Movre-Laplace tétel egy specáls esete a agy számok törvéyéek. d. A Csebsev egyelőtleség a Markov egyelőtleség specáls esete. e. A cetráls határeloszlás tétel azt állítja, hogy a bomáls eloszlás agy paraméter eseté közelíthető ormáls eloszlással. 7. Egy üzembe csavarokat csomagolak. Egy-egy dobozba átlagosa 5000 csavar kerül. A csavarok számáak szórása a tapasztalat szert 0 darab. Mt modhatuk aak 76

77 valószíűségéről, hogy egy dobozba a csavarok száma 4900 és 500 közé esk, ha az eloszlást em smerjük. 8. Egy szövőgép 500 szállal dolgozk. Aak a valószíűsége, hogy egy szál dőegység alatt elszakad 0,008 mde szálra. Határozzuk meg, hogy 0,95 valószíűséggel mlye határok között várható a szálszakadások száma egy dőegység alatt? 9. Legyeek ξ, ξ,..., ξ,... függetle azoos eloszlású valószíűség változók véges szórással. Bzoyítsuk be, hogy tetszőleges x IR valós szám eseté lm P( + + < x) ξ ξ L ξ 0,,, vagys a határérték csak 0 vagy 0,5 vagy lehet! 0. Legye ξ stadard ormáls eloszlású valószíűség változó! A stadard ormáls eloszlás táblázatáak haszálata élkül bzoyítsa be, hogy ekkor feáll a P( 3< ξ < 3) 8π egyelőtleség!. Ha egy gyár egyforma eergagéyű gépe közül átlagosa 70% működk és 30% vár javításra, vagy éppe javítják, akkor átlagosa 0 gép eergagéyét kell kelégíte. Mey eergát kell bztosíta akkor, ha 99,9%-os bztosággal szereték elér azt, hogy mde működőképes gép valóba működ tudjo? (Feltesszük, hogy a gépek meghbásodása egymástól függetle.) 77

78 FÜGGELLÉK Válaszok és megoldások 78

79 I. fejezet. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. Kombatorka.!. Egy k elemű részhalmaza elemeek egy permutácóját. 3. k 4.! k! 6. Az elem olya k hosszúságú sorredjét, ahol smétlődések s k!( k)! előfordulhatak. 7. a.-i, b-h, c-i, d-h, e-i, f-i, g-h, h-i, -I, j-i,k-h. 8. Ismétléses 0! permutácóval: 4!!! 9. Kombácóval: Ismétléses varácóval: a b Ismétléses kombácóval. A golyókhoz választjuk a dobozt smétléssel Ismétléses kombácóval Ismétlés élkül varácó: Kombácóval: A bomáls tétellel: ( a b) k a k b k + k, a. ab, b. a-, b, c. a-, b.. A valószíűségszámítás alapfogalma és axómaredszere 7. A, C, E, F eseméyek. Az E eseméy a lehetetle, F pedg a bztos eseméy. 8. C A, C B 9. AE CE DE 0. a-h,b-i,c-i,d-i,e-i,f-h,g-i,h-h,-h,j-h,k-h,l-i,m- I,-H,o-H,p-H,q-I,r-I,s-H,t-I,u-H,v-I,w-I,x-H PAB ( ). PAB ( ) PA ( + B) PA ( ) PB ( ) + PAB ( ) 063,. PAB ( ) PB ( ) PA ( ) PAB ( ) PA ( + B) PB ( ) 06, 3. A A A A PB ( ) PB ( ) L, B A + A+ L + A, C A A j j, D A + A 4. PAB ( ) + PAB ( ) + PAB ( ) + PAB ( ), legye P(AB)x+0,5, PAB ( ) y+05,, PAB ( ) z+05, és PAB ( ) v+05., Mvel x+y+z+u0, x y z u ( x+ 0 5) + ( y+ 0 5) + ( z+ 0 5) + ( u+ 0 5) x + y + z + u ,,,, + 05, 05, a., b. a C eseméyt jelet, c. a B, azaz em a sötéttel játszó játékos yer. 6. B A6, vagys a találat belül lesz az R 6 sugarú körö. C A, D A PAB ( ) PA ( + B) PA ( ) PB ( ) + PAB ( ) PAB ( ) 8. PAB ( + AB) PAB ( ) + PAB ( ) P( A) PAB ( ) + PB ( ) PAB ( ). 9. P(A+B), P(AB)0,P(B)0,5P(A), így P(A+B)P(A)+P(B)-P(AB)P(A)+,5P(A)-0,5P(A)3P(A), azaz P(A)/3 és P(B)0,5. 79

80 0. P(AB)P(A)P(B A)/9, P(B) P(AB)/P(A B)/3, így P(A+B)/3+/3-/97/9 PAB ( ) PAB ( )/ PB ( ) ( PA ( + B))/( PB ( )) / 3 3. A klasszkus valószíűség mező. Összes eset 000. Kedvező esetek k0-ál 8 3 ( a belső 8x8x8 kségyzetbe lévő mdegyk részkocka jó), k-él 6 64 (mdegyk lapo a belső 8x8-as égyzethez tartozóa), k-él 8 (mde éle va 8 lye kocka) és végül k3-ál 8 (a csúcsok ál lehet lye eset).. Az összes eset 6, kedvező esetek száma k (az azoos betűk egymás közt cserét le kell vo). 3. A valószíűség éppe 0,5. Ugyas, ha tektük egy olya sorozatot, amelybe a fejek száma páratla, akkor ha az első dobást kcserélék az ellekezőjére, olya sorozatot kapuk, melybe a fejek száma már páros lesz. Azaz a páros és a páratla fejdobásos sorozatok között kölcsööse egy-egyértelmű leképezés hozható létre, vagys mdegykük ugyaolya valószíű.4. a.-, b.- 0, ha páros és, ha páros, c.-, d.- 5. Az összes eset 3!6. Ezek között a em kedvező eset csak kettő va:,3, és 3,,. A keresett valószíűség: /3. 6. P(A)P( vagy kettő, vagy három fejet dobuk ) ,, P(B) , P( C )P( em három fejet dobuk ) P( három fejet dobuk )-. 7. Az összes lehetsége lottóhúzások száma , a kedvező esetek száma k találatál: , k-él, 4, k3-ál , k4-él és végül k5-él Ha N a golyók száma, 0 KN ( )( N ) L K ebből K a fehéreké, akkor PA ( ), és N! N ( N )( N ) L K K PB ( ), azaz a két eseméy ugyaolya valószíűségű. 9. Összes N! N eset, a kedvező esetek száma pedg:!. 0. a.-, b c d

81 4. Geometra valószíűség mező. A péz középpotjáak s/-él agyobb távolságra kell lee egy padlóréstől, így a valószíűség p-s/d.. a) Ahhoz, hogy a pézdarab bee legye a égyzetbe, a péz középpotjáak a belső 7cm oldalhosszúságú égyzetbe, gy a valószíűség p0,49. b.) Az előző p valószíűséggel: p ( p). 3. A keresett valószíűség p 4 sd s. Ha A 5 d π azt az eseméyt jelet, hogy a tű a vízsztes oldalt metsz, B pedg az, hogy a tű függőleges oldalt keresztez, akkor meghatározadó a P(A+B) valószíűség. A Pocare tételéből: P(A+B)P(A)+P(B)-P(AB). A Buffo-tű problémáál láttuk, hogy P(A)P(B) s. Az AB dπ s s s α cos α π szorzateseméy valószíűségét a P(AB) 4 s dxdyd d π α képlettel d π számolhatjuk k. A képletbe x és y a tű középpotjáak koordátá, α pedg a tű egyeeséek a vízsztessel bezárt szöge. A P(AB) valószíűség a két oldalt egyszerre metsző tűelhelyezkedésekhez tartozó (x,y,α) potok alkotta térrész térfogatáak és a dxdxπ hasáb térfogatáak aráya. 4. Két pot között egyelő távolságra lévő potok mérta helye a potokat összekötő szakasz felezőmerőlegese. Így a keresett eseméyek megfelelő tartomáyt az alább ábrá besötétítéssel szemléltethetjük: A középső (fehér) alakzat két szmmetrkus trapézból va összetéve. Mvel a trapézok középvoala az átlók meghatározta háromszög középvoalával egyezek meg, a hosszuk. A trapéz magasság 0,5. Így a fehér alakzat területe éppe lesz. Ezért a besötétített alakzat területe s, így a keresett valószíűség 0,5. 5. Jelölje x az egyk, y a másk ember véletlemegérkezéséek dejét. Az (x,y) pár egy véletle potot határoz meg az egységégyzetbe. A találkozáshoz fe kell álla a x y potok besötétítve láthatók az alább ábrá: < 3 relácóak, melyet kelégítő Az ábráról közvetleül leolvasható, hogy a keresett valószíűség: A vzsgált 9 9 eseméyhez tartozó potok (x,y) koordátára feáll x<y esetbe, hogy y-x<-y és y-x<x. 8

82 (Az y<x esetbe ezek a krtérumok x-y<-x és x-y<y leéek.) Az egységégyzete bejelölve a relácókak eleget tevő potok alkotta tartomáyt: Ezek alapjá a keresett valószíűség:. 7. A lft teljese a fal mögött takarásbava a 3 földszte 4 m-e keresztül, az.,.,3. és 4. Emelete - m-e át. A lft összútja 8+4x6+34 m. Így a keresett valószíűség: p. 8. Egy pottól és egy egyeestől azoos 34 távolságba fekvő potok mérta helye a síkba a parabóla. Így a égyzet potja közül azok leszek a középpothoz közelebb, mt az alapo fekvő AB oldalhoz, amelyek felette vaak azo parabóla voaláak, melyek a középpot a fókusza, és az AB voala a drektrsze. Ha AB az x tegelyre esk, és az A pot éppe az orgó, akkor a parabóla egyelete: y ( x 05, ) + 05,. A keresett terület: ( x 05, ) + 05, dx A feltételes valószíűség és az eseméyek függetlesége. Egy -szeres Beroull kísérletsorozatba a megfgyelt A eseméy bekövetkezése gyakorságáak és az -ek a háyadosa.. A lehetetle eseméye 0, a bztos eseméyé. 3. Az AB valószíűségéek és a B eseméyéek háyadosa adja meg az A eseméyek a B eseméyre voatkozó feltételes valószíűségét. 4. Az A,B,C eseméyek teljese függetleek, ha P(AB)P(A)P(B), P(AC)P(A)P( C ), P(BC)P(B)P( C ), P(ABC)P(A)P(B)P( C ). 5. Legyeek az A, A, K, A I tetszőleges eseméyek, hogy P( A ) > 0. Ekkor ( ) ( ) P A P A A P A A P A A P A L. 6. Legyeek A, A, K, A, K I teljes esméyredszer, vagys A Aj, ( j ) és A Ω. Tegyük fel továbbá, hogy PA ( ) > 0 mde -re. Ekkor tetszőleges B I eseméyre, ahol 8

83 P( B) > 0 AkkorP( A B) PBA ( ) PA ( ) j PBA ( ) PA ( ) j j 7. a.-h, b.-i, c.- H, d.-h, e.- I, f.-i, g.-h, h.- H,.-I, j.-h, k.-i, l.-h, m.-h,.-i, o.-i, p.-i, q.-i, r.-i 8. PAB ( ) PA ( ) PAB ( ) PA ( + B) PB ( ) 08, 05, PAB ( ) 06, 9. Pl. A: Az egyk PB ( ) PB ( ) PB ( ) 05, kocká kettest dobuk, B: A másk kocká hármast dobuk, C: Va hatos a két dobott érték között, D: A dobott értékek em egyelőek. Az A és B függetleek, C és D em, hsze P(CD) 0 55 PCPD ( ) ( ) 0. A feltétel szert P(A+B) P(A+B)P(A)+P(B)-P(AB), P(A B)P(AB)/P(B) és P(B A)P(AB)/P(A), azaz P(AB)0,P(B)0,5P(A), amből P(B),5P(A) és így 3P(A), azaz P(A)/3 és P(B)5/6. Ha B: Mdegyk dobás páros, A: Va hatos dobás. P(B) 3 3 3, 6 8 P(AB)P(B)-P( A B) Így P(A B) PAB ( ) 9.. A Az első húzás fekete PB ( ) 7 volt, B: A másodk golyó fekete. A Bayes tételt alkalmazva: PBAPA ( ) ( ) PAB ( ), ahol P(B A) b + c PBAPA ( ) ( ) + PBAPA ( ) ( ) b + r + c, P( BA b ), b + r + c P(A) b r és PA b + r ( ) b + r. Így P(A B) b + c.3. Ha B: Mdhárom kocká más-más b + r + c eredméy va, A: Az egyk kocká hatos va, akkor P(AB) , 6 36 P(B) , így P(A B)0,5. 4. Legye A: A hams kockát választottuk k, 6 36 B: Tízszer dobva mdg hatost kapuk. A Bayes tételt alkalmazva: PBAPA ( ) ( ) PAB ( ), ahol P(A)0,0, P(A )0,99, P(B A), PBAPA ( ) ( ) + PBAPA ( ) ( ) P(B A). Behelyettesítve: P(A B) 0, A: x azt állítja, hogy y hazudk, B: 6 0 y gazat mod. P(A B)P( x hazudk )/3, P(B)/3, P(A B)P( x gazat mod )/3, PABPB ( ) ( ) PB ( ) / 3. A Bayes tételt alkalmazva PBA ( ) PABPB ( ) ( ) + PABPB ( ) ( ). 6. A : Az első urából fehéret rakuk a másodkba, a másodkból fehéret rakuk vssza, A : Az első urából fehéret rakuk a másodkba, a másodkból feketét rakuk vssza A 3 : Az első urából feketét rakuk a másodkba, a másodkból fehéret rakuk vssza A 4 : Az első urából feketét rakuk a másodkba, a másodkból feketét rakuk vssza B: Harmadszorra az első urából fehéret húzuk. A, A, A3, A4 teljes eseméyredszer. m M + m m N m PA ( ), PBA ( ), PA ( ), PBA ( ) m+ N+ M+ m+ m+ N+ M+ m+ N + m M m + PA ( 3), PBA ( 3), PA ( 4), PBA ( 4) m + N+ M+ m + m + N+ M+ m + 83

84 4 A teljes valószíűség tételéből: P( B) P( B A) P( A) A: Az első húzás utá yer a kezdő játékos, B: A harmadk húzás utá yer a kezdő játékos, C: Nyer a kezdő játékos. Nylvá: P( C )P(A)+P(B) P(ξ0) 9, P(η ξ0)0, ha P(" 0 át és t húztuk"," t és 0 át húztuk" ) >9. P(η ξ0), ha,,...,9.9. P( ξ 0) 9 Az optmáls stratéga az, ha az egyk vázába egy fehér golyót teszük, a máskba az összes többt. Ekkor a teljes valószíűség tételét alkalmazva: P( A sah fehéret húz ) , 747. Mde más szétosztásaál csökke ez a valószíűség A valószíűség változó és az eloszlásfüggvéy fogalma 6. a-i,b-h,c-i,d-h,e-i,f-h,g-i,h-h,-i,j-i,k-i,l-i,m-h,-i,o-i,p-h,q-i,r-i,s-i,t-h,u-h,v-i,w-h,x-i. 7. P(η<x)P(F(ξ)<x)P(ξ< F ( x)) F( F ( x)) x8.p(η<x) P(l x) F ( ξ < ) PF > e x PF e x ( ( ξ) ) ( ( ξ) ) P( ξ< F ( e x )) e x ξ E( ). 9. Ha x>0: P(η<x) P( ξ < x) P( x < x) P( x < ξ< x) Φ( x) Φ( x) Φ ( x) x derválás utá kapjuk a sűrűségfüggvéyt: f x x x x e η ( ) ϕ( ), ha x>0. 0. π P(η<x)P( ξ <x)p(-x<ξ<x)f(x)-f(-x), derválás utá kapjuk a sűrűségfüggvéyt: fη ( x) f( x) + f( x), x>0..mvel ξ {0,,, } η {,3,5,,+, } és k λ P( ξ k) P( η k ) k! e λ +. Ha x 0, akkor P(η<x) P( < x) 0, mert ez ξ lehetetle. Ha x>0, akkor P(η<x) P ( x ) P ( P F x ) ( x ) ( < ξ> ξ ) ξ, ha ξ x x még az s feáll, hogy 0, ha x x, azaz x. Így F ( x) η, x ha x >. A sűrűségfüggvéyt derválással határozhatjuk meg: f ( x ) η x, ha x > (külöbe 0). Másrészt P(ζ<x) x ξ x, P( x) P( ) x ha x 05, ξ + ξ < < x. (A 0 sohasem teljesül.) Derválás x, ha x > 05, x utá: f ( ζ x ) ( x ), ha x<0,5 (külöbe 0). 3. ( l x µ ) l x ξ µ P(η<x) P( e < x) P( ξ < l x) Fξ (l x) Φ, így f x σ x e σ η ( ). 4. πσ x+ x x, ha x P(η<x)P( ξ <x)p(-x<<x)p(-x<ξ<+x) Fξ( x+ ) Fξ( x), ha x > 84

85 x x λ, vagys η U[0,]. 5. P(η<x)P( ξ < ) e 3 3 λ, ha x 3. fη ( x) e P(η<x) P( ξ < x ) e λx λ, x >0. f ( x) λxe x η x 3 λ, x>3. 6., x>0. 7. P(η<x)P(0< ξ < x) λ P( ξ > ) P( ξ> ) P( ξ ) Fξ ( ). Derválás utá f x x x x x x e x η ( ), 3 x>0. 8. Jelölje η a fejek száma, ζ az írások száma az dobás közbe. Így P(ξ)P(ηk,ζ-k)+P((η-k,ζk) + k k k. 9. Jelölje η lletve ζ a két pot orgótol vett távolságát! Ekkor ξ η-ζ. P( ξ < x) P( η x< ζ < η + x). Geometra valószíűségszámítás módszerrel: (η,ζ) egy véletle pot az egységégyzetbe, így a η x< ζ < η + x feltételek megfelelő tartomáy: λ 0, ha x 0 A keresett eloszlásfüggvéy: F ( ξ x ) ( x), ha x ( 0, ). ha x 7. Vektor valószíűség változók, valószíűség változók együttes eloszlása 5. a-i,b-h,c-i,d-h,e-i,f-i,g-i,h-i,-i,j-h 6. Mvel az együttes eloszlás elemeek összege, így 60p, azaz p/60. ξ és η függetleek, mert mde lehetséges értékpárál teljesül a függetleség feltétele pl. P(ξ-)/6, P(η-)/0, és P(ξ-, η-)/60 stb. 7. Ha a kockával,,3-t dobuk, P(ξ4,η)0 ylvá, mert égyél kevesebb lapból em lehet égy fgurást khúz. Ha a kockával 4-et dobuk akkor a keresett eseméy : krály és 4 8 fgurás em krály. p P( ξ 4, η " égyet dobtuk a kockával"). Ha a 3 4 kocká ötöst kapuk, az eseméy: krály és fgurás em krály és egyéb p P( ξ 4, η " ötöt dobtuk a kockával") Végül, ha a dobás hatos volt, 3 4 a keresett eseméy: krály, fgurás em krály, egyéb. 85

86 4 8 0 p 3 P( ξ 4, η " hatot dobtuk a kockával"). A teljes valószíűség 3 4 x y tételéből: P( ξ 4, η ) ( p + p + p3 ). 8. fξ x e dy 6 ( ) x y x e e dy e x> 0. f ( x ) x y η e dx e y e x y dx e y> f x x xy y dy xy x y ( ), ( ), y , ξ x + 04, , f y η ( ) x x,( x xy y) dy, + y + xy, y + 04,. ξ és η em függetleek, mert 0 0 f, ( x, y) f ( x) f ( y). ξη ξ η 8. Várható érték, szórás, szóráségyzet, magasabb mometumok, kovaraca és a korrelácós együttható 7. a-h,b-h,c-h,d-h,e-i,f-h,g-i,h-h,-i,j-i,k-i,l-i,m-i,-h,o-i,p-h,q-i,r-h,s-h,t-h 8. M η M ξ+ λ+, D η 4D ξ 4λ 9. M η k k p k p k ( )..., D η ( 0 + k ) k + k 0 + k p k p k ( ) - ( Mη) Nem létezk, mert x dx l ( + x ) π( + x ) π dverges.. Egyrészt, a függetleség matt cov( ξξ, + η) cov( ξξ, ) + cov( ξη, ) D ξ, másrészt D ( ξ+ η ) D ξ+ D η D ξ. Így cov( ξξ, + η) D ξ R( ξξ, + η) DD ξ ( ξ+ η) DD ξ ξ P( ξ ) P( ξ 0) P( η ) P( η 0) 05., P( ξ + η 0) P( ξ 0) P( η 0) 0, 5, P( ξ+ η ) P( ξ ) P( η 0) + P( ξ 0) P( η ) 05,, P( ξ+ η ) P( ξ ) P( η ) 0,5. P( ξ η 0) P( ξ 0) P( η 0) + P( ξ ) P( η ) 05,, P( ξ η ) P( ξ ) P( η 0) + P( ξ 0) P( η ) 05., M( ξ + η) Mξ+ Mη, ( ξ η) 05. M( ξ η ξ η) M ( ξ η ) M, 0. ( + ) 05., Így cov( ξ+ η, ξ η ) 05, 05, 0. ξ + η és ξ η em lehetek függetleek, mert pl. P( ξ+ η 0, ξ η ) 0 de P( ξ+ η 0) P( ξ η ) 0, 5 05, 05, Mζ cos s s x 05, dx, Mη cos x 05, dx, 0 cos4 M ζη M( s ξ cos ξ) 05, M s ξ 05, s x 05, dx

87 cos cos s cov( ηζ, ) 4 0, 6 em függetleek! (Megjegyzés: 8 ~ ξ µ P( η + ζ ) ) 4. Ha ξ jelöl a stadardzáltat, akkor σ ~ ~ ~ ξ N0.M (, ) ξ x ϕ( x) dx ( ) x ϕ( x) dx ( ) Mξ. Mvel M ~ ξ0, így a stadardzált mde páratla hatváyáak várható értéke 0. M ξ ~ ( )( 3) L (- ~ )!!, mvel Mξ ~ k k k. Másrészt Mξ M( σξ + µ ) σ µ Mξ k k ~ s feáll. 0 Behelyettesítve kaphatjuk a végeredméyt. 9. A agy számok törvéye és a cetráls határeloszlás tételek 6. a.-h,b.-h,c,-h,d-i,e.-h 7. Jelölje ξ a csavarok számát! Ekkor a Csebsev egyelőtleségből: 400 P( 4900 ξ 500) P( ξ ) 096,. 8. Jelölje ξ a szálszakadások 0000 számát! Ekkor a Movre-Laplace törvéyből: ξ 500 0, 008 P < x P( ξ < 99, x+ 4) Φ ( x). Másrészt Φ( 65, ) 095,, azaz 500 0, 008 0, 99 x,65-él: P( ξ<, 99, 65+ 4) P( ξ< 7, 8) 0, 95, vagys a szálszakadások száma 8-ál ksebb lesz legalább 95%-os valószíűséggel. 9. A cetráls határeloszlás tételt haszálva: ξ + ξ+ L+ ξ m * * lm P( ξ + ξ + + ξ < x) lm P < x lm x L Φ σ, ahol x m m x, ha m > 0 * x m Mξ σ D ξ,. De lm 0, ha m 0, amből már következk σ σ, m < 0 M ξ az állítás. 0. A Markov egyelőtleségből: P( ξ > 3), amből már 3 3 π következk P( 3< < 3) ξ.. Jelölje ξ a működő gépek számát! Nylvá 3 π ξ B(300, 0,7). A Movre-Laplace tételből P( ξ< p + x pq ) P( ξ< x) ( x) Mvel Φ( 3) ,9%-kal.,, így P( ξ< ), Φ. 34 0, 999, vagys az üzemelő gépek száma kevesebb mt 87

88 TÁBLÁZATOK 88

89 A stadard ormáls eloszlás sűrűségfüggvéy és eloszlásfüggvéy táblázata ϕ ( x) π e t, Φ( x) e dt π x x x µ x N,, akkor P( ξ < x) Φ és fξ x σ σ ϕ µ ( ). (Eze tulajdoságok σ matt va csak stadard ormáls eloszlás-táblázat).. Ha x>0, akkor Φ( x) Φ( x). (Eze tulajdoság matt va a táblázatba csak emegatív x argumetum) ξ,, akkor P( u < µ ε ε < uε) Φ ( uε) ε, azaz Φ( u ) σ ε.. Ha ξ ( µ σ) 3. Ha ε ( 0) 89

90 x Φ(x) ϕ(x) x Φ(x) ϕ(x),00,500000,39894,5,694974,3509,0,503989,3989,5,698468,348493,0,507978,39886,53,70944,346668,03,5966,398763,54,70540,34488,04,55953,39863,55,708840,34944,05,59939,398444,56,760,34046,06,539,3985,57,7566,3394,07,57903,397966,58,79043,33780,08,5388,397668,59,7405,3353,09,535856,397330,60,75747,3335,0,53988,396953,6,79069,335,,543795,396536,6,7337,3984,,547758,396080,63,735653,3733,3,5577,395585,64,73894,3506,4,555670,39505,65,7454,397,5,55968,394479,66,745373,30864,6,563559,393868,67,74857,38737,7,567495,3939,68,75748,36593,8,5744,3953,69,754903,3443,9,575345,39806,70,758036,354,0,57960,39043,7,7648,30060,,58366,3904,7,76438,30785,,587064,389404,73,767305,30567,3,590954,38859,74,770350,303389,4,594835,38767,75,773373,3037,5,598706,386668,76,776373,9887,6,60568,385683,77,779350,96595,7,60640,384663,78,78305,94305,8,606,383606,79,78536,9004,9,6409,3855,80,78845,8969,30,679,38388,8,79030,87369,3,670,3806,8,79389,85036,3,6556,37903,83,79673,8694,33,69300,37780,84,799546,80344,34,63307,376537,85,80337,77985,35,63683,37540,86,80505,7568,36,640576,3739,87,807850,7344,37,644309,37548,88,80570,70864,38,64807,3754,89,8367,68477,39,6573,36978,90,85940,66085,40,6554,36870,9,88589,63688,4,659097,36678,9,84,686,4,66757,36563,93,8384,5888,43,66640,36374,94,8639,5647,44,67003,3635,95,88944,54059,45,673645,36057,96,8347,5644,46,6774,358890,97,833977,498,47,6808,3575,98,836457,46809,48,684386,355533,99,83893,44390,49,687933,3538,00,84345,497,50,6946,35065,0,84375,

91 x Φ(x) ϕ(x) x Φ(x) ϕ(x),0,84636,373,54,9380,878,03,848495,3474,55,93949,0009,04,850830,397,56,94060,857,05,8534,988,57,9479,633,06,85548,7470,58,94947,4505,07,857690,5060,59,944083,704,08,85999,653,60,9450,09,09,8643,05,6,94630,0955,0,864334,785,6,947384,07406,,866500,5458,63,948449,05675,,868643,3069,64,949497,0396,3,87076,0686,65,95059,065,4,87857,08308,66,95543,00586,5,87498,05936,67,95540,09895,6,876976,0357,68,9535,0978,7,879000,04,69,954486,095657,8,88000,98863,70,955435,094049,9,88977,9650,7,956367,09459,0,884930,9486,7,95784,090887,,88686,9860,73,95885,089333,,888768,89543,74,959070,087796,3,89065,8735,75,95994,08677,4,895,84937,76,960796,084776,5,894350,8649,77,96636,08393,6,89665,8037,78,9646,0888,7,897958,7804,79,96373,080380,8,89977,75847,80,964070,078950,9,90475,7360,8,96485,077538,30,90300,7369,8,96560,07643,3,90490,6947,83,966375,074766,3,90658,66937,84,9676,073407,33,9084,64740,85,967843,07065,34,909877,6555,86,968557,070740,35,949,60383,87,96958,069433,36,93085,585,88,969946,06844,37,94657,56080,89,9706,06687,38,9607,53948,90,9783,06566,39,97736,583,9,97933,064378,40,9943,4977,9,9757,06357,4,90730,47639,93,97397,0695,4,996,45564,94,97380,060765,43,9364,43505,95,9744,059595,44,95066,4460,96,97500,05844,45,9647,3943,97,97558,057304,46,97855,3747,98,97648,05683,47,999,3548,99,976705,055079,48,930563,33435,00,97750,05399,49,93888,3468,0,977784,0599,50,93393,958,0,978308,05864,5,934478,7583,03,9788,05084,5,935745,5665,04,97935,049800,53,93699,3763,05,97988,

92 x Φ(x) ϕ(x) x Φ(x) ϕ(x),06,98030,047800,58,995060,04305,07,980774,04683,59,9950,03940,08,9837,04586,60,995339,03583,09,9869,04495,6,995473,0334,0,9836,043984,6,995604,089,,9857,043067,63,99573,0558,,98997,0466,64,995855,03,3,98344,0480,65,995975,09,4,98383,040408,66,996093,0600,5,984,039550,67,99607,095,6,98464,038707,68,99639,00997,7,984997,037878,69,99647,00706,8,98537,037063,70,996533,004,9,985738,0366,7,996636,0043,0,986097,035475,7,996736,00987,,986447,03470,73,996833,009606,,98679,03394,74,99698,009347,3,9876,03394,75,99700,009094,4,987455,03460,76,9970,008846,5,987776,03740,77,99797,008605,6,988089,0303,78,9978,008370,7,988396,030337,79,997365,00840,8,988696,09655,80,997445,00795,9,988989,08985,8,99753,007697,30,98976,0837,8,997599,007483,3,989556,0768,83,997673,00774,3,989830,07048,84,997744,00707,33,990097,0646,85,99784,006873,34,990358,0587,86,99788,006679,35,99063,058,87,997948,00649,36,990863,0463,88,9980,006307,37,9906,04056,89,998074,0067,38,99344,0349,90,99834,005953,39,99576,0937,9,99893,00578,40,9980,0395,9,99850,00566,4,9904,086,93,998305,005454,4,9940,034,94,998359,00596,43,9945,0089,95,9984,00543,44,99656,0038,96,99846,004993,45,99857,09837,97,9985,004847,46,993053,09356,98,998559,004705,47,99344,08885,99,998605,004567,48,99343,0843,49,99363,0797,50,993790,0758,5,993963,07095,5,9943,06670,53,99497,0654,54,994457,05848,55,99464,05449,56,994766,05060,57,99495,