9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

Átírás

1 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját. Láttu hogy vége dmezó vetortérbe egy leár trazformácó mátra mdg a leírá alapjául zolgáló báztól függ őt megfgyeltü azt hogy ez a mátr hogya változ meg ha egy má bázra térü át. Foto feladat tehát egy olya báz válaztáa amelybe a vzgált leár trazformácó mátra egyzerű zerezetű lez. zt a érdét taulmáyozva előzör a leár algebra egy legfotoabb a termézettudomáyoba zámo helye felbuaó problémájával a ajátérté-feladattal foglalozu. Legye K egy tet V e tet felett egy vetortér é LdV a vetortér egy leár trazformácója. A V vetortér egy U alterét az L leár trazformácóra ézve vará altére rövde L-vará altére evezzü ha mde U vetorra LU teljeül azaz ha feáll az LUU özefüggé. 9.. Példa: A geometra í G vetorterébe az orgó áthaladó egyeere voatozó tegelye türözé olya leár trazformácó amelye vará altere a türözé tegelye továbbá e tegelyre merőlege é az orgó áthaladó egyee végül maga az orgó. A geometra tér G vetorterébe az orgó áthaladó egyee mt tegely örül adott ráyú é adott zögű elforgatá olya leár trazformácó amelye vará altere egyrézt a forgatá tegelye márézt e forgátegelyre merőlege é az orgó áthaladó í végül maga az orgó. 9.. Példa: A való zámo R tete felett redezett zám -ee R vetorterébe az L: zabállyal értelmezett leépezé olya leár trazformácó amelye vará altere a... alaú vetoro altere az... - alaú vetoro altere továbbá ez utóbb altér valamey altere. 6

2 9.. Példa: Ha K egy tet K[] e tet felett -határozatlaú polomo vetortere aor a polomo D:K[] K[] f f ' derváláa olya leár trazformácó amelye a legfeljebb -ed foú polomo K [] altere D-vará altér. Az vará altér értelmezééből ylvávalóa övetez hogy a V vetortér trvál altere tehát {} é V ömaga a vetortér bármely L leár trazformácójáa L-vará altere. A leár trazformácó elméletébe ülölege zerepü va az - dmezó vará alteree. Ha V a K tet felett egy vetortér é U a V vetortér -dmezó altere aor U egyetle vetorral geerálható vagy létez olya V vetor hogy =V Állítá: Ha LdV a K tet felett V vetortér egy leár trazformácója aor az U= aor é ca aor lez L-vará altér ha létez olya K alár amellyel érvéye az L= özefüggé. Bzoyítá: Ha U= egy L-vará altér aor L vagy létez olya K alár hogy L= teljeül. Megfordítva ha y aor va olya K alár hogy y=. or felhazálva az L= özefüggét Ly=L = L= = adód ezért Ly vagy az U= egy L-vará altér. Az mét bzoyított állítá ézítette elő a övetező fogalma bevezetéét. Legye V a K tet felett egy vetortér LdV e vetortér egy leár trazformácója. Ha az L= egyelete valamely K alár mellett létez V megoldáa aor K alárt az L leár trazformácó ajátértéée az egyeletet elégítő vetort pedg az L leár trazformácó ajátértééhez tartozó ajátvetoráa evezzü. A fet 9.4. állítá alapjá ylvávaló hogy ha valamely V vetor elégít az L= egyeletet tehát a ajátértéhez tartozó ajátvetor aor mde K mellett az vetor elégít az egyeletet. z azt jelet hogy a ajátértéhez tartozó ajátvetor ezért ezeet a továb- 7

3 baba em tetjü ülöböző ajátvetoroa. Láthatju tehát hogy az L leár trazformácó -dmezó L-vará alterée öze -tól ülöböző vetora az L ajátvetora Állítá: Legye V a K tet felett vége dmezó vetortér dmv= B={e...e } a V vetortér egy tetzőlege de rögzített báza é LdV egy leár trazformácó amelye a B bázra voatozó mátra A=a j MK. A K alár aor é ca aor ajátértée az L leár trazformácóa ha érvéye a deta- = özefüggé ahol MK jelöl az előző fejezeteel özhagba a K tet felett -ed redű egyégmátrot. Bzoyítá: Az LdV leár trazformácóa az értelmezéből adódóa aor é ca aor lez a K alár egy ajátértée ha létez olya V vetor amelyre feáll az L= özefüggé. Ha az vetor B bázra voatozó oordáta ormátra B = =... aor a fet egyeletből a 6.. állítá alalmazáával az... A=... özefüggét yerjü. or a jobb oldalo álló fejezé átalaítáával... =... =... adód amt a fet özefüggébe helyetteítve majd azt átredezve... A- =... övetez amt rézletee felírva apju az 8

4 ... a a a a a a a... alaot. Vegyü ézre hogy ez vzot egy homogé leár egyeletredzer az... meretleeel amelye a 8.7 állítá alapjá aor é ca aor létez em trvál megoldáa azaz létez vetor ha az együtthatóból épezett mátr determáa vagy ha zzel állítáuat bebzoyítottu. deta- =. A fet bzoyítába felbuaó A- fejezée foto zerepe va a leár trazformácó elméletébe ezért célzerű a övetező fogalmaat bevezet. Legye AMK a K tet felett egy tetzőlege -ed redű mátr é MK jelölje a K felett -ed redű egyégmátrot. or a K alár paraméterrel épezett A- MK mátrot az A mátrhoz tartozó araterztu mátra evezzü. A araterztu mátr D deta- determáát amely a K paraméter egy -ed foú polomja az A mátr araterztu polomjáa evezzü. Végül a araterztu polomból yert D=detA- = egyeletet pedg az A mátr araterztu egyeletée hívju. 9

5 A 9.5. állítá bzoyítáából látható hogy egy L leár trazformácó ajátértéet bármely bázra voatozó mátrából megaphatju hze a ajátértée éppe e mátr araterztu egyeletée a K alaptethez tartozó gyöe. Ha tehát például az R való zámtet felett vetortérről va zó aor az L leár trazformácó araterztu egyeletée omple em való gyöe em tethető ajátértée. Mvel pedg a leár trazformácó ajátértéet a báz megválaztáától függetleül értelmeztü így a leár trazformácóhoz tartozó mátr araterztu egyeletée gyöe zté függetlee a báz megválaztáától. él azoba több gaz a övetező állítába megmutatju hogy emca a gyöö haem maga a araterztu polom függetle a báz megválaztáától Állítá: Legye V a K tet felett vége dmezó vetortér legye dmv= B={e...e } é B'={e '...e '} a V vetortér ét tetzőlege báza é LdV egy leár trazformácó. Ha A=mat B L é A'=mat B' L a leár trazformácó B lletve B' bázra voatozó mátra aor deta'- =deta- tehát az L leár trazformácó araterztu polomja a báz trazformácójával zembe vará. Bzoyítá: Ha SGLK a B B' átmeet mátra aor az L leár trazformácó B lletve B' bázra voatozó mátra özött a 6.4. állítá értelmébe az A'=S A S - özefüggé léteít apcolatot. or a 7.. állítá a 7.. övetezméy az =S S - é a fet A'=S A S - özefüggé felhazáláával deta'- =dets A S - - S S - =dets A- S - = =dets deta- dets - =dets deta- dets - =deta- adód é ezzel az állítát bebzoyítottu. A 9.6. állítá alapjá a továbbaba bezélhetü az L leár trazformácó araterztu polomjáról mt valamely bázra voatozó mátráa araterztu polomjáról hze beláttu hogy az függetle a báz válaztáától.

6 Feldézve a 6.4. állítá apcá a mátro özött bevezetett haolóág fogalmát mét eredméyüet úgy fogalmazhatju meg hogy haoló vadratu mátro araterztu polomja ezért ajátértéee halmaza megegyez Állítá: Legye L a K tet felett V vetortér egy leár trazformácója é K az L egy rögzített ajátértée. or eze ajátértéhez tartozó ajátvetoro U {V L= } halmaza a V egy alterét alotja. Bzoyítá: Ha yu aor L+y=L+Ly=+y=+y ha pedg ak aor La=a L=a = a így +y au amből a.8. állítá alapjá övetez hogy U egy altér. A fet állítába zereplő U alteret az L leár trazformácó ajátértééhez tartozó ajátalterée evezzü. Köye belátható hogy ee a ajátaltére a dmezója egyelő a ajátértéhez tartozó leára függetle ajátvetoro zámával Állítá: Legye L a K tet felett V vetortér egy leár trazformácója. Ha... r K az L leár trazformácó ülöböző ajátértée aor a redre hozzáju tartozó... r ajátvetoro leára függetlee. Bzoyítá: Az állítát a ajátértée záma zert telje ducóval bzoyítju. Az r= eetbe az állítá gaz hze így ömagába leára függetle redzert alot. Tegyü mot fel hogy r- ülöböző ajátértéhez tartozó egy-egy ajátvetor leára függetle ebből öveteztetü arra hogy r ülöböző ajátértéhez tartozó egy-egy ajátvetorból álló redzer lye. Idret módo tegyü fel hogy az... r leára özefüggő vetorredzer vagy az a +a +...+a r r =

7 leár ombácóba legalább egy pl. a K együttható em. or =L=La +a +...+a r r =a L +a L +...+a r L r = =a +a +...+a r r r adód. Ha levoju az így apott özefüggéből a dulá leár ombácó özefüggé r -zereét aor a =- r = a +a +...+a r r r - r a +a +...+a r r = =a - r + a - r a r- r- - r r- özefüggéhez jutu amelybe a fete zert vetor a - r együtthatója em hze a é r. ze zert az... r- vetoro leára özefüggőe voláa hze belőlü a vetort az utolóét apott özefüggé úgy állítja elő hogy együtthatója em így elletmodára jutottu. zzel állítáuat gazoltu. A mot bzoyított állítából azoal adód a 9.9. Követezméy: Ha a K tet felett -dmezó V vetortér LdV leár trazformácójáa ülöböző ajátértée va aor létez a vetortére az L ajátvetoraból álló báza. 9.. Állítá: Legye L a K tet felett -dmezó V vetortér egy leár trazformácója é B={e...e } a vetortér egy báza. Az L leár trazformácó B bázra voatozó A=mat B L mátra aor é ca aor dagoál ha a B báz mde vetora az L leár trazformácó ajátvetora. Bzoyítá: Az LdV leár trazformácó B={e...e } bázra voatozó mátrára a 6.. állítá zert érvéye az L e L e L e A e e e

8 özefüggé. bbe az özefüggébe az AMK aor é ca aor dagoál azaz j a j = j ha Le =a e am pedg éppe azt jelet hogy a B báz vetora az L leár trazformácó ajátvetora. A mot bzoyított állítából látható hogy mért olya léyege érdé a ajátértée lletve a ajátvetoro vzgálata. Ha ugya az - dmezó V vetortére értelmezett L leár trazformácóa va leára függetle ajátvetora aor az L egy tetzőlege bázra voatozó mátra haoló egy dagoál mátrhoz vagy a báz egy alalma trazformácójával dagoalzálható. Hagúlyoz ell azoba hogy az ülöböző ajátérté így az leára függetle ajátvetorból álló báz létezée elégége de em züége feltétele aa hogy az L leár trazformácó dagoalzálható legye. Máét fogalmazva: ha az L leár trazformácó araterztu egyeletée zámú ülöböző gyöe va aor a leár trazformácó bármely bázra voatozó mátra bztoa dagoalzálható a báz alalma trazformácójával; ha vzot a araterztu egyelete zámú gyöe özött va többzörö gyö általába még em lehet tud hogy va-e az L leár trazformácóa leára függetle ajátvetora. A K tet felett -dmezó V vetortér egy LdV leár trazformácójáa leára függetle ajátvetorát ha lye létez az L egy telje ajátvetor-redzerée evezzü. Az olya leár trazformácóat pedg amelyee létez telje ajátvetor-redzerü dagoalzálható leár trazformácóa hívju. Megjegyezzü hogy egy tetzőlege K tet felett -dmezó V vetortérbe értelmezett L leár trazformácó -edfoú araterztu egyeletée K tet felett megoldhatóága lletve megoldáa újabb problémáat vet fel. Az -edfoú araterztu egyelete ugya legföljebb megoldáa va a K tetbe ca a K tet algebra zártága eeté modhatju azt hogy multplctáoal együtt zámolva potoa gyö létez. Mvel a omple zámo C tete az algebra alaptétele zert algebralag zárt így a C felett -dmezó V vetortér egy L leár trazformácója araterztu egyeletée multplctáoal zámolva potoa zámú omple gyöe va. zért érvéye a övetező

9 9.. Állítá: A C omple zámtet felett -dmezó V vetortér leár trazformácóa multplctáoal együtt potoa omple ajátértée va. A fete alapjá látható hogy a való zámo R tete felett vetorterebe lehetége hogy egy leár trazformácóa c való ajátértée így ajátvetora c. Vegyü ézre hogy a 9.5. állítá bzoyítáa ugyaúgy végezhető el aor ha az L leár trazformácót em az egéz V vetortére haem aa ca egy tetzőlege L-vará alterére lezűítve tetjü. zért a 9.5. é a 9.. állítából övetez az alább 9.. Állítá: A C omple zámtet felett -dmezó V vetortére értelmezett L leár trazformácó valamey em zéru L-vará alterébe így pecála magába a V vetortérbe létez legalább egy ajátvetora. zutá mét teljee általáoa egy tetzőlege K tet felett V vetortérbe vzgálódu. Azt a érdét vetjü fel hogy ha egy L leár trazformácóa em létez telje ajátvetor-redzere vagy ha em dagoalzálható aor mlye bázba lez bzoyo értelembe legegyzerűbb a mátra é mlye a leár trazformácó mátráa ez a legegyzerűbb alaja. Legye V a K tet felett egy vetortér é legye LdV e vetortér egy leár trazformácója. A V vetortér zéruvetort em tartalmazó {... m } vetorredzerét az L leár trazformácó K alárhoz tartozó m hozúágú orda lácáa evezzü ha L = + - m teljeül ahol. Megjegyezzü hogy ha m aor a K alár az L leár trazformácó egy ajátértée amely az ajátvetorhoz tartoz megfordítva az L mde ajátvetora a megfelelő ajátértéhez tartozó hozúágú orda láca tethető. Ha pedg = aor L = - m alapjá 4 L : L L... L

10 teljeül. Ha dv a V vetortér detu trazformácója aor az L leár trazformácó alárhoz tartozó orda láca egyúttal az L+m dv leár trazformácó +m alárhoz tartozó orda láca hze L+m =+m + - m egyeértéű az L = + - m özefüggéel. Specála az L leár trazformácó alárhoz tartozó orda láca azoo az L- dv leár trazformácó K alárhoz tartozó orda lácával. 9.. Állítá: Legye V a K tet felett egy vége dmezó vetortér é legye LdV e vetortér egy tetzőlege leár trazformácója. Tegyü fel hogy a V vetortér mde em zéró L-vará altere tartalmazza az L egy ajátvetorát. or a V vetortérbe létez olya báz amely az L orda lácaa dzjut egyeítée. Bzoyítá: Állítáuat a V vetortér =dmv dmezója zert telje ducóval bzoyítju. Ha dmv= aor a V vetortére létez {e} e egy vetorból álló báza vagy V=e. or a tetzőlege LdV leár trazformácóhoz Lee alapjá létez olya K alár hogy Le=e teljeül. A V vetortér tetzőlege vetora egyértelműe állítható elő =e alaba ezért L=Le= Le= e= e= = vagy mot a V vetortér mde leár trazformácója az detu trazformácó alárzoroa. e az e a ajátértéhez tartozó ajátvetora így az {e} báz az L= tetzőlege leár trazformácó alárhoz tartozó hozúágú orda láca. Az = eetbe tehát gaz az állítá. Tegyü fel ezutá hogy állítáu mde az =dmv dmezóál alacoyabb dmezójú K felett vetortérbe gaz ebből dulva mutatju meg hogy az állítá érvéye az -dmezó V vetortérbe. Ha az LdV leár trazformácó alaú ahol K egy rögzített alár pedg a V vetortér detu trazformácója aor L= = = érvéye mde V vetorra. zért mde V az L= leár trazformácó ajátértéhez tartozó ajátvetora vagy a V valamey báza az L ajátvetoraból áll amelye ülö-ülö az L leá- 5

11 r trazformácó alárhoz tartozó hozúágú orda láca. A V vetortér L= alaú leár trazformácóra tehát gaz az állítá. Legye ezutá LdV olya tetzőlege leár trazformácó amely em alárzoroa az dv detu trazformácóa. Feltevéü zert létez az L leár trazformácóa egy vv v ajátvetora tegyü fel hogy Lv= v tehát a v ajátvetor a K ajátértéhez tartoz. Tetü mot az M L- dv leár trazformácót amely a fete zert bztoa ülöböz az O:V V zéru leár trazformácótól. Legye U ImM é NdU az M leár trazformácó U altérre való lezűítée. Mvel vv az L trazformácó ajátértéhez tartozó ajátvetora ezért Mv=L- v=lv-v= vagy vkerm övetez. De v így dmkerm ezért az 5.7. állítá alapjá dmu=dmimm=dmv-dmerm - azaz m dmu< teljeül. Az U vetortér egy tetzőlege U' N-vará altere N értelmezée folytá a V vetortér M-vará altere egybe. Az L=M+ előállítá felhazáláával tetzőlege U' vetorra 6 L=M+=M+ adód mvel M U' így LU' teljeül. Láthatju tehát hogy az U' L-vará altér a V vetortérbe. Ha U' egy em zéru N-vará altér az U vetortérbe aor a fete zert U' em zéru L-vará altér a V vetortérbe így állítáu egy feltétele zert U' tartalmazza az L egy u ajátvetorát. Ha K az L trazformácó u ajátvetorához tartozó ajátérté aor Mu=L-u=Lu-u=u-u=- u így az u ajátvetora az M leár trazformácóa őt uu' folytá Nu=- u teljeül tehát u ajátvetora az N leár trazformácóa. zzel beláttu hogy az NdU olya leár trazformácó amely-

12 e mde em zéru N-vará altere tartalmazza az N egy ajátvetorát. Iducó feltevéü zert eor létez az U vetortérbe egy olya B báz amely az N orda lácaa dzjut egyeítée. Legyee B { e e... e } r a B bázba zereplő orda láco tegyü : m fel hogy B az N trazformácó K ajátértééhez tartoz r. Az általáoág megzorítáa élül feltehetjü hogy = ha d é ha >d. Köye belátható hogy B r az M orda láca egybe őt az L=M+ előállítát felhazálva Le j =M+ e j =Me j + e j = e j +e j- +e j = +e j +e j- r j m adód vagy B az L trazformácóa a + ajátértéhez tartozó orda lácáa tethető. Így a B az L leár trazformácó orda lácáa dzjut egyeítéeét felfogható. zutá az U vetortér B bázát egézítjü a V vetortér egy B bázág. Ha d aor e U ImM ezért va olya e V vetor amelyre m M e m e m teljeül. Márézt d eeté = ezért Me = e += tehát e KerM d teljeül. Mvel {e e...e d }B így egy leára függetle vetorredzer a KerM magtérbe ezért a 4.. állítá zert egézíthető az f f...f q vetoroal a KerM bázág. or q+d=dmkerm=dmv-dmimm=-dmu=-m vagy érvéye a q+d=-m özefüggé. elölje B V azt a vetorhalmazt amely tartalmazza a B báz valamey vetorát az e d vetoroat végül az f j j q vetoroat má m vetort pedg em. Látható hogy a B vetoraa záma m+d+q=m+d+ +-m-d= lez felhazálva az mét yert özefüggét. Megjegyezzü hogy B az M leár trazformácó r+q zámú orda lácáa dzjut egyeítée. ze a láco a B báz r zámú B láca d m 7

13 eeté egézítve az e m vetorral valamt Mf j = j q alapjá a q zámú {f j } hozúágú orda lác. Megmutatju hogy B a V vetortér egy báza amhez a fete alapjá elegedő belát a B =V egyelőéget. Legye W B. Mvel e f j W d j q ezért KerM= =e e...e d f f...f q W így KerM w =KerM teljeül ahol M w jelöl az MdV leár trazformácó WV altérre való lezűítéét. zutá belátju hogy ImM w =ImM teljeül. Valóba W altere a V vetortére így ImM w em lehet bővebb mt ImM tehát érvéye az ImM w ImM özefüggé. Megfordítva az ImM w ImM gazoláához előzör megmutatju hogy az U=ImM altér B bázáa valamey e j r j m vetorához létez olya a j W vetor hogy Ma j =M w a j =e j teljeül. Ha d aor a orább megállapítáa zert Me j+ = e j+ +e j =e j j m így a j e j+ W válaztáal elértü céluat. Ha >d aor j zert telje ducóval bzoyítju a megfelelő tulajdoágú a j W vetoro létezéét. Az >d eetbe é Me = e ezért M e e tehát az a e válaztáal a j= eetbe célhoz értü. Tegyü fel hogy egy j<m eeté va olya a j W hogy Ma j =e j gaz. or Me j+ = e j+ +e j özefüggéből dulva az ducó feltevé felhazáláával Me j+ -Ma j = e j+ adód amből alapjá övetez. Mot j e j+ = M e a a j a : e j j W j válaztáal állítáuat gazoltu. Ha ezutá a tetzőlege yu vetor a B bázba az y r m j y j e j alaba írható fel aor tetü a W altér 8

14 9 m j j j r y a vetorát. A fete zert eor y e a a m j m j j j r j j r m j j j r w y M y y M M M ezért mde yu=imm vetorhoz létez olya W hogy M w =y vagy ImM w ImM a már fet gazolt fordított ráyú tartalmazából együttee ImM w =ImM övetez. or az 5.7. állítá felhazáláával a már bzoyított KerM w =KerM é ImM w =ImM özefüggéeből dmv=dmkerm+dmimm= =dmkerm w +dmimm w =dmw övetez ám W a V altere így a 4.8. állítá alapjá W=V teljeül. A B vetorredzer tehát valóba a V vetortér egy báza az MdV leár trazformácó r+q zámú orda lácáa dzjut egyeítée. Az L=M+ özefüggéből végül a orda lác fogalma utá tett egy megjegyzé alapjá özvetleül adód hogy a B báz ugyaaor az LdV leár trazformácó r+q zámú orda láca dzjut egyeítéée tethető ezzel állítáuat maradétalaul gazoltu. Legye K egy tetzőlege tet K egy alár é mz egy poztív egéz zám. elölje a K tet zéruelemét pedg a K tet egyégelemét. or a : K m M m

15 alaú mátrot a alárhoz tartozó m-ed redű orda-féle bloa evezzü. Má zóval a orda-féle blo főátlójába végg ugyaaz a K alár áll; özvetleül a főátló alatt vele párhuzamoa cupa -e helyezed el; a mátr mde má eleme pedg. A orda-féle blooból felépülő K M r r r m m m r mátrot -ed redű orda-féle mátra evezzü. Itt a főátló meté a K tet bzoyo em züégéppe ülöböző elemehez tartozó é em feltétleül ülöböző redű m r orda-féle bloo álla a mátra a blooo ívül valamey tovább ompoee végül r é m +m +...+m r = teljeül. Megjegyezzü hogy értelmezééből adódóa mde orda-féle blo egybe orda-féle mátr. Vegyü ézre továbbá hogy az -ed redű mátr-

16 o ugyaaor orda-féle bloo ezért mde dagoál mátr olya orda-féle mátr amelybe valamey orda-féle blo -ed redű. A K tet felett vége dmezó V vetortér L leár trazformácójáról azt modju hogy orda-féle ormálalara hozható ha a V vetortérbe létez olya báz hogy az L trazformácóa e bázra voatozó mátra orda-féle mátr Állítá: Ha L a K tet felett vége dmezó V vetortér olya leár trazformácója hogy a V vetortér mde em zéró L-vará altere tartalmazza az L egy ajátvetorát aor az L orda-féle ormálalara hozható. Bzoyítá: Feltétele mellett a 9.. állítá zert létez a V vetortérbe egy olya B báz amely az L leár trazformácó orda lácaa dzjut egyeítée. Tegyü fel hogy dmv= legye B e e... e } r a B { m bázba zereplő r zámú orda lác továbbá B tartozzo az L leár trazformácó K ajátértééhez. or érvéyee az Le j = e j +e j- r j m é m +m +...+m r = özefüggée. e felhazáláával özvetleül adód hogy mat B L m m m r r M K lez az L leár trazformácó B bázra voatozó mátra amely a m M m K r alaú orda blooból áll.

17 9.5. Állítá: Ha L a K tet felett vége dmezó V vetortér olya leár trazformácója hogy a V mde em zéró L-vará altere tartalmazza az L egy ajátvetorát é AMK az L trazformácóa a V egy tetzőlege bázára voatozó mátra aor létez olya SGLK vertálható mátr hogy az S A S - MK egy orda-féle mátr. Bzoyítá: A 9.4. állítá felhazáláával feltételeből övetez hogy létez a V vetortérbe egy olya B báz amelybe az L leár trazformácó =mat B L mátra orda-féle mátr. Ha B' a V vetortér egy tetzőlege báza A=mat B L az L trazformácóa e B' bázra voatozó mátra é SGLK a B' B átmeet mátr aor a 6.4. állítá zert érvéye a =S A S - özefüggé. zzel állítáuat gazoltu. zutá egy olya eljárát mutatu be amelye egítégével meghatározhatju egy orda-féle ormálalara hozható leár trazformácó orda-féle mátrát. Legye V a K tet felett egy -dmezó vetortér LdV e vetortér egy leár trazformácója é AMK eze leár trazformácóa a vetortér egy tetzőlegee válaztott de rögzített bázára voatozó mátra. lő feladatu az hogy az A mátrból dulva a leár trazformácó varáat határozzu meg vagy olya fejezéeet amelye cupá magától az L trazformácótól függe. Má zóval az A mátr ompoeee olya függvéyet ereü amelye a báz trazformácójával zembe varáa tehát amelye haoló mátro eeté megegyeze. A 9.6. állítába megmutattu hogy az A mátr D=detA- araterztu polomja em változ ha az A mátrot egy hozzá haoló mátrzal helyetteítjü. Mot megalotju az varáo egy orozatát amely magába foglalja a araterztu polomot. z a orozat egy telje vará-redzer abba az értelembe hogy ha ét mátrra ez az vará-redzer megegyez aor a ét mátr haoló. Tudju hogy az AMK mátr K alár paraméterrel épezett A- MK araterztu mátráa -ed redű aldetermáa a paraméter polomja. Tetü valamely rögzített red eeté

18 A- öze lye -ed redű aldetermáát mt a polomját épezzü eze polomo legagyobb özö oztóját. A polomo elméletéből mert hogy ez a legagyobb özö oztó mdg létez é egy em K tetbe levő zorzótól eltetve egyértelműe meghatározott. elölje D eze özül azt amelye ezdő együtthatója. Ha pedg az -ed redű aldetermáo a relatív prím polomja aor legye D =. A D polomot az A mátr -ed determáoztójáa evezzü. Látható hogy D =D=detA- maga az A mátr araterztu polomja. A továbba orá megmutatju hogy valamey D a báz trazformácójával zembe vará. Már mot megjegyezzü hogy D - polom oztója a D poloma. Valóba D - értelmezée zert D valamey --ed redű aldetermáa oztható a D - polommal. Ha mot a D determát a 7.8. állítá felhazáláával valamely ora zert fejtjü aor olya tagú özeget yerü amelye mde tagja így az özeg oztható a D - polommal. Teljee haolóa látható be hogy D oztója a D + poloma Lemma: Ha CGLK é AMK aor az A- araterztu mátr a C A- mátr valamt az A- C mátr -ed redű aldetermáaa legagyobb özö oztó megegyeze. Bzoyítá: C A- mátr ora az A- oraból a C mátr ompoeevel mt a paramétertől függetle együtthatóal épezett leár ombácó. Valóba ha A- =a j C=c j é C A- = a j ' aor a ' c a j m m vagy a C A- mátr -ed oráa eleme az A- mátr oraa a c m együtthatóal épezett leár ombácó. Így a C A- mátr bármely aldetermáát felírhatju mt az A- mátr bzoyo alár együtthatóal ellátott aldetermáaa özegét. zért az A- mátr adott redű aldetermáaa bármely oztója ozta fogja a C A- mátr ugyalye redű aldetermáat. Mvel a C A- mátrból az A- mátrot a C - mátrzal balról zorozva mj

19 yerhetjü ezért fordítva gaz hogy a C A- mátr adott redű aldetermáaa mde oztója az A- mátr ugyalye redű aldetermáaa oztója. Tehát az A- é a C A- mátro adott redű aldetermáaa özö oztó megegyeze ezért a legagyobb özö oztó egyelőe. Az A- é az A- C mátrpárra az állítá teljee haolóa gazolható Lemma: Ha A é A'MK haoló mátro aor D determáoztó megegyeze. Bzoyítá: Ha A A' haoló mátro aor a 6.4. állítá zert létez olya CGLK mátr hogy A'=C A C - teljeül. A 9.6. lemma alapjá az A- é az C A- mátr -ed redű aldetermáaa legagyobb özö oztó megegyeze. Ugyaeze lemma zert megegyeze az A'- = C A C - -C C - =CA- C - é az A'- C=C A- C - C=C A- C - C=C A- mátr -ed redű aldetermáaa legagyobb özö oztó. Tehát az A é az A' mátrból épezett D polomo mde eeté ugyaazo. Mvel egy új bázra való áttéréél a leár trazformácó mátrát a 6.4. állítá zert egy hozzá haoló mátr váltja fel így a 9.7. lemmából azoal adód a 9.8. Állítá: Legye L a K tet felett -dmezó V vetortér egy leár trazformácója é AMK az L trazformácóa a V egy adott bázára voatozó mátra. Aor az A- MK araterztu mátr D determáoztó em függee a báz megválaztáától tehát a báz trazformácójával zembe varáa. 4

20 ze állítá alapjá a továbbaba bezélhetü az L leár trazformácó -ed determáoztójáról mt valamely bázra voatozó mátráa -ed determáoztójáról hze láttu hogy az függetle a báz megválaztáától. Számítu ezutá a orda-féle ormálalara hozható LdV leár trazformácóhoz tartozó D determáoztóat. A 9.8. állítá értelmébe eze meghatározááál a leár trazformácó bármely bázra voatozó mátrát alapul vehetjü. Ha tehát L olya leár trazformácó amely a 9.. állítá feltételee megfelel aor válazthatu olya bázt amelybe a trazformácó mátra orda-féle mátr lez. lőzör határozzu meg valamey D determáoztót egy - ed redű M K orda-féle blo eeté. Azoal látható hogy D = - ha töröljü elő orát é utoló ozlopát aor olya --ed redű mátrot apu amelybe a főátló meté -ee álla az átló alatt pedg mdeütt található. Így D - = ebből már övetez hogy D - =... = D = tehát a mátrra a D determáoztó orozata: -... alaú. zutá egy térővel megmutatju hogy ha B M K é B M K aor a 5

21 B B B M K alaú mátr zérutól ülöböző m-ed redű aldetermáa d d d alaúa ahol d a B mátr m -ed redű aldetermáa m m m m m d pedg a B mátr m -ed redű aldetermáa é m +m =m. Valóba ha válaztju az elő or özül azoat amelye a d m aldetermába zerepele é a 7.7. állítá felhazáláával felbotju e oro zert fejtve az aldetermát aor azoal láthatju hogy d m értée vagy vagy pedg előállítható d d alaba. m m Megjegyezzü hogy a B mátr valamely zérutól ülöböző -ed redű d aldetermáa állhat például ca B ompoeeből. Az lye aldetermát felírhatju a fet zorzat alaba: d =d d é d =. Köye belátható hogy a fetvel aalóg ézrevétel tehető aor ha a B mátr ettőél több B bloot tartalmaz. Máodzor határozzu meg e fet ézrevétel felhazáláával egy AMK orda-féle mátr determáoztót. Tegyü fel hogy az A mátr r zámú orda-féle bloból épül fel amely bloo a... K r ülöböző alárohoz tartoza. Tartozzé továbbá a K alárhoz p zámú orda-féle blo legye eze bloo redje em övevő orredbe... j p -. Vegyü ézre hogy eor érvéyee a j j p p r é j p j özefüggée. A fete zert tehát az A mátr legye 6

22 7 K M p p A zerezetű. or az A- araterztu mátr a főátlója meté elhelyezedő r zámú bloból épül fel amelye j j alaúa ahol K j M j az j -ed redű egyégmátr tehát A- = p p p p amelye egy bloja K M j j j

23 alaú. Fgyelembe véve a B mátrra tett fet ézrevételüet az -ed determáoztó lez. D det A det det... det p p... det p... p p p p p Számítu ezutá a D - --ed determáoztót! Mvel q q D - a D polom oztója ezért D... alaú ahol q... p teljeül. lőzör határozzu meg a q tevő értéét! Vegyü ézre hogy az A- mátr egy tetzőlege zérutól ülöböző --ed redű aldetermáa bzoyo 8 j j blooból válaztott alalma redű aldetermáo zorzata. Mthogy eze aldetermáo redjee özege - eze aldetermáo özül potoa egye va eggyel ebb redje mt a megfelelő blo redje vagy ca egy lye aldetermá yerhető az A- mátr megfelelő blojából egy ora é egy ozlopa a törléével. Korábba már láttu hogy egy ülöálló bloból alalma or é ozlop törléével olya aldetermát aphatu amelye értée. zért az -- ed redű aldetermát válazthatju úgy hogy az egy bloból válaztott aldetermá értée míg a többe a megfelelő bloo determáaval egyelő. e alapjá vlágo hogy ha olya aldetermát ereü amely a - téyezőt a lehető legalacoyabb hatváyo tartalmazza aor elegedő egy ort é egy ozlopot abból a bloból töröl amely a alárhoz tartoz é redje a legagyobb vagy. Így tehát az --ed redű aldetermáo legagyobb özö oztója vagy a D - --ed determáoztó a - téyezőt a q... p tevő tartalmazza. hhez haolóa az --ed redű aldetermáo özül a - téyezőt az az aldetermá tartalmazza a legalacoyabb hatváyo amelyet úgy a-

24 pu hogy törlü egy-egy ort é egy-egy ozlopot a alárhoz tartozó é redű blooból. Így tehát D - a - téyezőt az... -ed hatváyo tartalmazza é így tovább. Végül a 4 p p D p... D D determáoztó már egyáltalá em tartalmazzá a - téyezőt. Teljee haolóa határozható meg hogy mlye hatváyo tartalmazza a D - determáoztó a téyezőet. zzel bebzoyítottu hogy gaz a övetező 9.9. Állítá: Legye L egy orda-féle ormálalara hozható leár trazformácó a K tet felett -dmezó V vetortérbe. Ha AMK az L egy orda-féle mátra amely r zámú orda-féle bloból épül fel é eze a... K ülöböző alárohoz tartoza továbbá a alárhoz p zámú orda-féle blo tartoz végül e bloo redje em övevő orredbe... j p aor az A mátr determ- áoztó: p j j D D D p p p p... ahol D determáoztótól ezdve a - téyező valamely hatváya p helyett zerepel. bből az állítából özvetleül adód hogy abba a pecál eetbe ha =r p = r vagy ha az egye orda-féle bloohoz tartozó aláro md ülöböző aor az A mátr determáoztó: p p D... r é D D... D. r 9

25 Az L leár trazformácó determáoztót vzgálva már orábba láttu hogy a D oztója a D + poloma - özhagba a 9.9. állítába yert épleteel. or az D : D özefüggéeel értelmezett polomoat az L leár trazformácó lletve egy tetzőlege bázra voatozó A mátra vará fatoraa evezzü az -ed vará fatort pedg az L lletve az A mmálpolomjáa hívju. Az vará fatorora a 9.9. állítá alapjá érvéye a 9.. Állítá: Legye L egy orda-féle ormálalara hozható leár trazformácó a K tet felett -dmezó V vetortérbe. Ha az LdV D determáoztó a 9.9. állítába zereplő épleteel írható le aor e leár trazformácó vará fatora Láthatju hogy az -... vará fatoro a báz trazformácójával zembe varáa é megadáu a orda-féle ormálalara hozható leár trazformácó orda-féle mátrát teljee meghatározza. A aláro a mmálpolomból épezett = algebra egyelet gyöeét adóda az egyelet megoldhatóága eeté egy adott alárhoz tartozó bloo... p redje vzot azoal a hatváytevőel egyelő amelyee a - téyező az -... vará fatoroba előfordul. Megállapodu abba hogy ét azoo redű orda-féle mátrot em tetü ülöbözőe ha azo cupá a orda-féle blooa a főátló meté való elhelyezedée orredjébe tére el egymától. A fete alapjá már tudu rtérumot ad egy leár trazformácó dagoalzálhatóágára.

26 9.. Állítá: Ha L egy orda-féle ormálalara hozható leár trazformácó a K tet felett -dmezó V vetortérbe aor az L leár trazformácó dagoalzálhatóágáa züége é elégége feltétele az hogy az L vará fatoraa ca egyzere zéruhelye legyee. Bzoyítá: Valóba az L vará fatora... zéruhelyee multplctáa meghatározza az L orda-féle mátrába zereplő bloo redjet. Ha tehát az vará fatoroa ca egyzere zéruhelye vaa aor ez azt jelet hogy a bloo md elő redűe vagy az L orda-féle mátra dagoál lez má zóval az L egy dagoalzálható leár trazformácó. A fete brtoába rtérumot fogalmazhatu meg azoo redű mátro haolóágára. 9.. Állítá: Ha K egy tet é ABMK a ét olya -ed redű mátr hogy A haoló egy A MK é B haoló egy B MK orda-féle mátrhoz aor az A é B haolóágáa züége é elegedő feltétele az hogy vará fatora megegyezzee. Bzoyítá: A 9.7. lemmába bebzoyítottu hogy haoló mátro D determáoztó megegyeze. or azoba meg ell egyezü a determáoztó háyadoaét értelmezett vará fatoroa. Megfordítva ha A é B vará fatora megegyeze aor A = B hze az vará fatoro a orda-féle mátrot teljee meghatározzá. or tehát A é B ugyaahhoz a mátrhoz haoló így a haolóág traztív tulajdoága folytá A é B haoló mátro. Mot bebzoyítju hogy ha egy leár trazformácó orda-féle ormálalara hozható aor ez egyértelműe meghatározott. 9.. Állítá: Ha L a K tet felett -dmezó V vetortér egy orda-féle ormálalara hozható leár trazformácója aor az L orda-féle mátra egyértelműe meghatározott.

27 Bzoyítá: Az L leár trazformácó ülöböző bázohoz tartozó mátra a 6.4. állítá alapjá haoló. Mvel haoló mátro vará fatora megegyeze az vará fatoro pedg az L leár trazformácó ordaféle mátrát egyértelműe meghatározzá így állítáuat bebzoyítottu. A fejezet tárgyaláa orá láthattu hogy egy tetzőlege tet felett vége dmezó vetortér valamely leár trazformácója em feltétleül hozható orda-féle ormálalara. lért eredméye azoba bztoítjá hogy a omple zámtet mt algebralag zárt tet felett -dmezó vetortér valamey leár trazformácója orda-féle ormálalara hozható Állítá: A omple zámo C tete felett -dmezó V vetortér mde L leár trazformácója orda-féle ormálalara hozható amely ormálala egyértelműe meghatározott. Továbbá mde AMC omple ompoeű mátr haoló valamely MC orda-féle mátrhoz má zóval mde C felett -ed redű mátrhoz létez olya SGLC vertálható mátr hogy az S A S - MC egy orda-féle mátr. Bzoyítá: A 9.. állítába láttu hogy a C omple zámtet felett -dmezó V vetortére értelmezett mde L leár trazformácóa valamey em zéró L-vará alterébe található ajátvetora. or a 9.. állítá zert létez a V vetortérbe olya báz amely az L orda lácaa dzjut egyeítée. zért a 9.4. állítá alapjá L orda-féle ormálalara hozható amely pedg a 9.. állítá folytá egyérteműe meghatározott. A C tet felett mde AMC mátr felfogható úgy mt valamely LdV leár trazformácó alalma bázra voatozó mátra amely a 9.5. állítáa megfelelőe haoló egy MC orda-féle mátrhoz.

28 Végül egy züége é elégége feltételt említü meg amely azt bztoítja hogy egy K tet felett -dmezó V vetortér valamely L leár trazformácója mor hozható orda-féle ormálalara Állítá: A K tet felett vége dmezó V vetortér L leár trazformácója aor é ca aor hozható a K tet felett orda-féle ormálalara ha az L trazformácó araterztu egyeletée valamey gyöe a K tet eleme. Megjegyezzü hogy az L leár trazformácóa a K tet felett ordaféle ormálalara törtéő hozáa azt jelet hogy ha AMK az L trazformácóa a V egy tetzőlege bázára voatozó mátra aor létez olya a K tet ompoeeből felépülő SGLK átmeet mátr hogy a =S A S - MK egy orda-féle mátr. A leár trazformácó ormálalajával foglalozó fejezetüet ét dolgozott feladattal zárju. Az egy a ajátérté-feladattal a má pedg a orda-féle ormálalaal foglaloz Példa: Tetü a való redezett zámhármao R terét az e e e vetoroból álló B={e e e } tadard bázal. Határozzu meg aa az L:R R leár trazformácóa a ajátértéet é ajátvetorat amelye a B bázra voatozó mátra 4 A mat B L M R. Vzgálju meg az L leár trazformácó dagoalzálhatóágát. Az L leár trazformácó ajátértéet a 9.5. állítá felhazáláával a D det A 4

29 4 araterztu egyelet = =- é = gyöe zolgáltatjá. A = ajátértéhez tartozó ajátaltér az 4 T A egyeletredzer megoldáhalmazaét adód. A Gau-féle eljárát az egyeletredzer bővített mátrára alalmazva a 4 mátrot yerjü amből a redzer megoldáhalmazaét t t t t L Ker R adód. bből t= eeté yerjü az f =- ajátvetort amelyre KerL- = f teljeül. Teljee haoló eljáráal aphatju meg a =- ajátértéhez tartozó t t t t L Ker R ajátalteret amelye a t=- eeté adódó f =- ajátvetor egy geerátora végül a = ajátértéhez tartozó ajátaltér KerL- =

30 5 ={tt tr} ee t= eeté yerhető f = ajátvetor egy geerátora. Vegyü ézre hogy az {f f f } egy leára függetle vetorredzer. Valóba az f + f + f = előállítából adódó homogé leár egyeletredzer determáa 6 így a Cramer-zabály zert egyetle megoldáa az = = = trvál megoldá. A B'={f f f } vetorredzer tehát az R egy báza amelybe az L leár trazformácó A'=mat B' L mátra a 9.. állítá alapjá dagoál lez. Valóba az S:B B' SGLR átmeet mátr S amelye verze 6 6 S továbbá 4 ' S A S A 6 6 = láthatju hogy a főátlóba az L ajátértée jelee meg.

31 9.7. Példa: Tetü a redezett omple zámhármao C vetorterét egy B rögzített bázal. Határozzu meg aa az L:C C leár trazformácóa a orda-féle ormálalaját amelye a B bázra voatozó mátra A mat B L M C. gyzerű zámítáal belátható hogy az A mátr deta- araterztu polomja aráyoág téyezőtől eltetve D =-- amely egybe a. determáoztó. Képezve ezutá az A- mátr öze máodredű aldetermáát öyye látható hogy D = ezért D = teljeül. Így az vará fatoro orba =-- = ahoa már özvetleül adód hogy az A mátr vele együtt az L leár trazformácó orda-féle ormálalaja: L M C. Legye adott ezutá a redezett omple zámégyee C 4 vetortere egy B' rögzített bázal. Kereü meg aa az M:C 4 C 4 leár trazformácóa a orda-féle ormálalaját amelye B' bázra voatozó mátra A' mat B' M M 4 C. 4 6

32 Az előbb ooodá mtájára előzör az A' mátr deta'- 4 araterztu polomját határozzu meg amely aráyoág téyezőtől eltetve megadja a 4. determáoztót : D 4 =- 4. zutá épezzü az A'- 4 mátr valamey harmadredű aldetermááa legagyobb özö oztóját yerjü D =-. determáoztót majd a máodredű aldetermáo legagyobb özö oztójaét D =- adód végül azoal látható hogy D =. A determáoztóból orba meghatározhatju az vará fatoroat: 4 =- =- =- amelye felhazáláával már felírhatju az A' mátr vele együtt az M leár trazformácó orda-féle ormálalaját: M M 4 C. Fgyeljü meg hogy e példa mdét mátra már a Q racoál zámtet felett ormálalara hozható. Feladato:. Határozzu meg az R vetortére az alterére törtéő merőlege vetítéée mt leár trazformácóa ajátértéet é ajátalteret!. Kereü meg az R vetortér altérre való tegelye türözée mt leár trazformácóa ajátértéet é ajátalteret!. Legye {e e e } az R vetortér tadard báza. Határozzu meg aa az L:R R leár trazformácóa a ajátértéet é ajátvetorat amelye e bázra voatozó mátra a b c Vzgálju meg a dagoalzálhatóág érdéét! 7

33 8 4. Legye B a redezett omple zámhármao C vetorterée egy rögzített báza. Határozzu meg aa az M:C C leár trazformácóa a orda-féle ormálalaját amelye a B bázra voatozó mátra. 5 4 c b a 5. Bzoyítu be hogy a M a C é M C haoló mátro. 6. Hozzu orda-féle ormálalara a övetező omple ompoeű mátroat: 4 c b a.