EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei"

Sándor Kornél Lakatos
9 évvel ezelőtt
Látták:

1 Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők teljesülek:./ m, 0, akkor és csak akkor, ha po. deft./ m, m, smmetra 3./ H eseté m, m, m, háromsög egelőtleség A metrka a 3 dmeós geometra tér távolságáak általáosítása. Példa: dskrét metrka: m,:, ha és külöböők, és lege m,:0, ha. Bércesé Novák Áges

/ m, 0, akkor és csak akkor, ha po. deft./ m, m, smmetra 3.

2 Normált tér Defícó: A H halmat ormált ak eveük, ha va ola : H R {0} függvé, a ú. orma, amelre a követkeők teljesülek:. 0 akkor és csak akkor, ha 0. α α 3. vektorok össeadása, sámok össeadása A orma függvét sokás a absolút értékhe hasoló. jellel s jelöl.. 0, akkor és csak akkor, ha 0. α α 3.. háromsög egelőtleség A orma a absolút érték függvé ullától való távolság, vektor hossa általáosítása. Tehát a vektor hossa s tekthető ormáak, és a sokásos absolút érték s mel halmaba? Tétel: Mde ormált tér metrkus tér B.: Kostruktív, megaduk eg metrkát: m,: - Erről kell boíta, hog redelkek a metrka tulajdoságaval, hf előadáso leírtuk. Bércesé Novák Áges

. háromsög egelőtleség A orma a absolút érték függvé ullától való távolság, vektor hossa általáosítása.

3 Bércesé Novák Áges 3 Defícó: A s: V V R függvét skalárs soratakskalársoratak eveük, ha a követkeő tulajdoságokkal redelkek:. V eseté s, 0, és s, 0 a. cs. a., ha 0 potív deft., V eseté s, s, smmetrkus 3., V és λ R eseté sλ, λs, homogé 4.,, V eseté s, s, s, leárs vektorok össeadása, sámok össeadása Példa: Lege,,, K T R és,,, K T R. Ekkor a két vektor eg lehetséges skalárs sorata: s, K Defícó: A skalársoratos tereket eukldes terekek eveük. Tétel: Mde, véges dmeós vektortér Eukldes tér. B.: Kostruktív, megaduk eg skalársoratot. A előő példába sereplő skalársorat megfelel: s, K V eseté s, 0, és s, 0 a. cs. a., ha 0 potív deft 0 K., V eseté s, s, smmetrkus s, K s,, V és λ R eseté sλ, λs, homogé sλ, λ λ λ λ λ K λs,,, V eseté s, s, s, leárs s,,, s s K

Ekkor a két vektor eg lehetséges skalárs sorata: s, K Defícó: A skalársoratos tereket eukldes terekek eveük. Tétel: Mde, véges dmeós vektortér Eukldes tér. B.

4 Megjegés: Sokás a skalársoratot a követkeőképpe s jelöl:. s,<,> vag:. s,. Tétel: Mde skalársoratos tér ormált tér. B.: kostruktív: megadjuk a ormát :s, / A orma első és másodk tulajdosága a skalársorat első és másodk tulajdoságából teljesül hf., előadáso leírtuk. A háromsög-egelőtleséghe aoba be kell boíta a alább tételt: Tétel : Cauch-Buakovskj-Schwart egelőtleség: <a,b> <a,a>.<b,b> Boítás: Tektsük a <aλb, aλb skalársoratot. 0 <aλb, aλb > a potív deft tulajdoság matt 0 <aλb, aλb ><a,a><a, λb> <λb, a> <λb, λb <a,a><a, λb> <λb, λb> λ <b, b> <a,b>λ<a,a>. E λ-ra éve eg egsmeretlees másodfokú egelőtleség: λ s<b, b> <a,b>λ<a,a>aλ BλC Mvel e függvéek legfeljebb eg göke lehet, a dskrmás em potív, aa B -4AC 0 4<a,b> -4<b,b><a,a> 0, amből: <a,b> <a,a><b,b> Amből a s követkek, hog <a,b> a. b Tétel: Mde skalársoratos tér ormált tér. B.: kostruktív: megadjuk a ormát. Lege :<,> / A orma 3. tulajdoságáak, a háromsög-egelőtleségek a boítása: <, > / <,> / <,> / Bércesé Novák Áges 4

A háromsög-egelőtleséghe aoba be kell boíta a alább tételt: Tétel : Cauch-Buakovskj-Schwart egelőtleség: <a,b> <a,a>.<b,b> Boítás: Tektsük a <aλb, aλb skalársoratot.

5 <,><,><,><,> <,><,><,> / <,> /., eért valóba: Tétel: Mde Eukldes tér metrkus tér. B.: Kostruktív, megaduk eg metrkát: m,: <-, -> / E függvére a metrka előírt tulajdosága teljesülek. B.: hf. előadáso serepelt Defícó: Eukldes térbe két vektor, a és b által beárt α söget a követkeőképpe lehet értelme. Lege <.,.> eg skalársorat V-be, és valamel vektor ormája : <,> /. Ekkor: < a, b > cosα a b Megjegés: A defícó heles, hse a CBS: <a,b> <a,a> <b,b> <a,b> <a,a> / <b,b> / < a, b > - a b A cos függvé va össhagba a R 3 -ra voatkoó smeretekkel, emmatt em a s függvé-t válastjuk Defícó: At modjuk, hog a a vektor ortogoáls merőleges a b vektorra, ha <a,b>0 Tétel: Ortogoáls em ulla vektorok függetleek. B: α α... α k k 0, at kell b., hog mdegk α 0. Vegük redre a,, k vektorokkal való skalársoratot, kapjuk, hog α <, >0, mvel <, > em ulla, eért mdegk α 0. Tétel: Mde eukldes térbe va ortogoáls bás Tétel: Mde altérbe va ortogoáls bás. A boítást em kell tud Bércesé Novák Áges 5

Ekkor: < a, b > cosα a b Megjegés: A defícó heles, hse a CBS: <a,b> <a,a> <b,b> <a,b> <a,a> / <b,b> / < a, b > - a b A cos függvé va össhagba a R 3 -ra voatkoó smeretekkel, emmatt em a s függvé-t

6 B.: Kostruktív. Potosa at boítjuk, hog bármel függetle redserből kdulva, íg básból s, tuduk ugaola elemsámú ortogoáls redsert kostruál. A eljárás eve: GRAM-SCHMIDT ortogoalácó. Lege b, b, b k a függetle redser. Ebből a c, c,, c k ortogoáls redser a követkeőképpe kapható: c :b c :b α c, ebből α <-b,c >/<c,c >, íg c :b -<b,c >/<c,c >c. c k :b k- α k c α k c. α k,k- c k-, eek a defáló egeletek redre véve a skalársoratát a c, c,. c k- vektorokkal, a egütthatókra követkeőt kapjuk: α kj <-b k-,c j >/<c j,c j > A kostrukcó matt a kapott redser ortogoáls. Defícó: Ortoormált a vektorredser, ha párokét ortogoáls, és mde eleméek ormája. Követkemé: Mde eukldes térek va ortoormált bása. B.: lege a orma a skalársoratból sármatatott: c < c, c > Tetsőleges básból kdulva, a Gram-Schmdt eljárással kapott ee skalársoratot hasálva! ortogoáls bás mde elemét sorouk ee orma recprokával: c * c / c, ekkor valóba c * < c / c, c / c >/ c < c, c >/ c. c Tétel: A eukldes tér valamel bása akkor és csak akkor ortoormált, ha eg vektor koordátáját a követkeőképpe kapjuk meg: a α e, αk < a, e k > B.: hf. Bércesé Novák Áges 6

α k,k- c k-, eek a defáló egeletek redre véve a skalársoratát a c, c,. c k- vektorokkal, a egütthatókra követkeőt kapjuk: α kj <-b k-,c j >/<c j,c j > A kostrukcó matt a kapott redser ortogoáls.

7 A követkeőkbe rögített básra voatkotatva tektsük koordáta mátrát: mde vektorak a,, K, és,, K, T A mátrok sorásáak sabálat sem előtt tartva, mvel mde vektor specáls mátr, a skalársoratot defálhatjuk mátrok sorásakét s. Eért a első vektor sor, a másodkat oslopvektorak fogható fel. Tehát a tér vektorat oslopmátr-sal repreetáljuk, és íg skalársoratuk két mátr sorata, eg k típusú, és eg k típusú. Emmatt egk traspoáltját kell ve. A komple tereket s fgelembe véve, a és vektorok skalársoratát a követkeő mátr- sorással sokás értelme: <,>: T. A követkeőkbe skalársorat alatt e mátr soratot érjük. Volt: Defícó : A A mátr traspoáltja, A T k A k Defícó: smmetrkus mátr: AA T Defícó: Eg trasformácót smmetrkusak eveük, ha va ola bás, amelre éve a trasf. mátra smmetrkus. Lemma: Ha a leképeés A mátra smmetrkus, és <,>: T, akkor <,A><A,> B.: <, A>A T. T.A T T.A <A,> A smmetrkus, AA T Tétel: Smmetrkus mátr külöböő sajátértékehe tartoó sajátvektorok ortogoálsak merőlegesek. B.: A λ / vel balról skalársorat A λ / gel jobbról skalársorat <, A > <, λ > λ <, > <A, > <λ, > λ <, > Mvel <, A ><A, >, a egeleteket kvova egmásból: 0 λ - λ <, >, mvel λ λ, eért <, > 0, vags a két sajátvektor valóba ortogoáls/merőleges Defícó: A G mátr ortogoáls, ha G.G T E, ahol E a megfelelő típusú egségmátr. Példa: elforgatás mátra R -be Bércesé Novák Áges 7

Emmatt egk traspoáltját kell ve. A komple tereket s fgelembe véve, a és vektorok skalársoratát a követkeő mátr- sorással sokás értelme: <,>: T. A követkeőkbe skalársorat alatt e mátr soratot érjük.

8 A eleveés oka, hog a mátr sor és oslopvektora ortogoálsak ld. a mátrokról sóló fle-t A def. követkemée: G.G T E / G - G T G - Lemma: A G mátr akkor és csak akkor ortogoáls, ha G T G - B.: hf. A ortogoáls mátr tehát defálható eképpe: Defícó: A G mátr ortogoáls, ha G T G - Tétel: A ortogoáls trasformácó megőr a <,>: T skalársoratot lege a képe : A a lege b képe : A b <, > A b T A a b T A T A a b T E.a b T E.a <a, b> Követkemé: Ortogoáls trasformácó távolságtartó, ormatartó, sögtartó B.: skalársorat orma távolság sög Tétel: determások sorás tétele: det A.BdetA.detB, amebe a A.B sorás elvégehető em b. Tétel: Ortogoáls mátr determásáak absolút értéke. B.: detedeta.a - deta deta - deta. deta deta Tétel: Ortogoáls trasformácó sajátértékeek absolút értéke. Boítás: A λ A T λ T A két egeletet össesorova: A T A λ T λ T A T Aλ T λ T A - Aλ T T Eλ T, valóba, λ Bércesé Novák Áges 8

A a b T E.a b T E.a <a, b> Követkemé: Ortogoáls trasformácó távolságtartó, ormatartó, sögtartó B.: skalársorat orma távolság sög Tétel: determások sorás tétele: det A.BdetA.detB, amebe a A.

Hasonló dokumentumok

y x Komplex mennyiségek tulajdonságai, műveletei Komplex mennyiség komplex szám komplex vektor. a) Komplex mennyiség algebrai alakja: z x iy,

y x Komplex mennyiségek tulajdonságai, műveletei Komplex mennyiség komplex szám komplex vektor. a) Komplex mennyiség algebrai alakja: z x iy, SZÉCHENYI ISVÁN EGYEEM ALKALMAZO MECHANIKA ANSZÉK MECHANIKA-REZGÉSAN GYAKORLA (kdolgota: Fehér Lajos, eg ts; ara Gábor, mérök taár; Molár Zoltá, eg adj) Komle meségek, Mátr- és Vektoralgebra, Dfferecálegeletek