Dr. Égert János Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT RUGALMASSÁGTAN

Átírás

1 Dr Égert János Dr Nag Zoltán ALALMAZOTT UGALMASSÁGTAN

2 Dr Égert János Dr Nag Zoltán ALALMAZOTT UGALMASSÁGTAN UNIVESITAS-GYŐ Nonprofit ft Gőr 9

3 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM GYŐ Írta: Dr Égert János Dr Nag Zoltán Lektorálta: Dr Sabó Tamás ISBN: UNIVESITAS-GYŐ Nonprofit ft 9 Minden jog fenntartva beleértve a soksorosítás a mű bővített illetve rövidített váltoata kiadásának jogát is A kiadó írásbeli hoájárulása nélkül sem a teljes mű sem annak rése semmiféle formában nem soksorosítható iadja a UNIVESITAS-GYŐ Nonprofit ft Felelős kiadó: a ft mindenkori ügveetője; Műsaki serkestő: Nag Zoltán ésült a Palatia Nomda és iadó ft nomdájában Felelős veető adek Jósef

4 Tartalomjegék BEVEZETÉS MATEMATIAI ÖSSZEFOGLALÓ Vektorok és vektor műveletek Gakorló feladatok vektor műveletekre 3 A mátri algebra alapjai 4 Vektorok skaláris és diadikus sorata 5 Mátri sajátértékei és saját vektorai 6 Tenorok előállítása 7 Gakorló feladatok mátriokra tenorokra 8 Differenciál egenletek UGALMASSÁGTANI ALAPFOGALMA 3 SZILÁDSÁGTANI ÁLLAPOTO 3 Elmodulási állapot 3 Fajlagos relatív elmodulási állapot 33 A fajlagos relatív elmodulási állapot felbontása 34 Alakváltoási állapot 35 Fesültségi állapot belső erőrendser 35 Főtengel probléma főfesültségek fesültségi főiránok 35 Deviátor és gömbi tenorok 353 Mohr-féle fesültségi kördiagram 36 Energia állapot 36 Alakváltoási energia 36 Mechanikai energia tétel 37 Gakorló feladatok silárdságtani állapotokra 4 MÉETEZÉS ELLENŐZÉS STATIUS TEHELÉS ESETÉN 4 Méreteés ellenőrés fesültségcsúcsra 4 Méreteés ellenőrés serkeeti jellemők alapján 5 UGALMASSÁGTANI EGYENLETE 5 Egensúli egenletek fesültségi állapot 5 inematikai /geometriai/ kompatibilitási egenletek 5 A elmodulásmeő derivált tenora 5 A alakváltoási tenor 53 A forgató tenor 53 Anagegenletek lineárisan rugalmas anagra 53 Általános Hooke-törvén iotróp anagra 53 Általános Hooke-törvén ortotróp anagra 54 Peremfeltételek 55 A rugalmasságtan egenletrendsere 56 A kompatibilitási egenlet más alakjai 56 Saint-Venant féle kompatibilitási egenlet 56 Beltrami-Michell féle kompatibilitási egenlet 6 ÚDFELADATO 4

5 6 Síkgörbe rudak Grashof-féle elmélete 6 A alakváltoási jellemők előállítása 6 A fesültség és a igénbevétel kapcsolata 63 edukált másodrendű nomaték 64 A elmélet alkalmahatósága 65 A köépvonal alakváltoási jellemői 66 A eredmének általánosítása 6 Primatikus rudak sabad csavarása 6 Egakt megoldás 6 öelítő megoldás 7 UGALMASSÁGTAN D FELADATAI 7 Sík alakváltoás (SA) 7 Általánosított sík fesültségi feladat (ÁSF) 73 Forgássimmetrikus/tengelsimmetrikus feladat (FSZ) 74 Sík feladatok (SA ÁSF) megoldása fesültségfüggvén beveetésével 75 Forgássimmetrikus síkbeli feladatok 76 Vastagfalú csövek 76 Egserű vastagfalú cső 76 Vastag kettősfalú csövek 76 A túlfedés követketében kialakuló állapotok 76 ettősfalú vastag cső külső terheléssel 763 A túlfedés meghatároása 764 Optimális csőméretek 77 Gorsan forgó tengelek csőtengelek 77 Gorsan forgó csőtengel diagramja 77 Gorsan forgó tengel diagramja 78 ör és körgűrű alakú tárcsák 78 Furatos tárcsa 78 Túlfedéssel illestett kettős furatos tárcsa 79 Gorsan forgó kör és körgűrű alakú tárcsák 79 Gorsan forgó furatos tárcsa 79 Gorsan forgó tömör tárcsa 793 Gorsan forgó egensilárdságú tömör tárcsa 8 VÉONY FOGÁSHÉJA MEMBÁN ELMÉLETE 8 Alapfogalmak egenletek 8 Példák a membrán állapot meghatároására 9 LEMEZFELADATO 9 Alapfogalmak 9 irchoff-féle lemeelmélet 93 Tengelsimmetrikus terhelésű kör és körgűrű alakú lemeek 5

6 BEVEZETÉS MATEMATIAI ÖSSZEFOGLALÓ Vektorok és vektorműveletek Skaláris menniség: olan geometriai vag fiikai menniség amelet nagság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometriai vag fiikai menniség amelet nagság (előjel) irán és mértékegség jelleme a) Vektor megadása: a e O e α a e a a Egségvektorok: e e A egségvektorok hossa egségni: e = e = Eg tetsőleges vektor megadása egségvektorokkal: a = ae + ae Ha ismert a a vektor hossa és a tengellel beárt söge akkor a előő össefüggésből: a = a cosα e + a sin αe = a (cosαe + sin αe ) = a e a A a vektor hossát a Pithagoras-tétel segítségével sámíthatjuk ki: a = a + a önnen belátható a is hog e a vektor egségvektor : e a = cos α + sin α = A vektorok köötti műveletek a vektorok támadáspontho vag hatásvonalho kötöttségétől függetlenül érvénesek b) Vektorok össeadása: Legen adott két vektor: a = a e + ae b = b e + b e A két vektor össegének kisámítása: a+ b = ( ae + ae) + ( be + be) = ( a + b) e + ( a + b) e = c c c A két vektor össegének megserkestése: 6

7 b a c a c b Háromsög sabál Paralelogramma sabál c) Vektorok kivonása: Legen adott két vektor: a = a e + ae b = b e + b e A két vektor különbségének kisámítása: a b = ( ae + ae) ( be + be) = ( a b) e + ( a b) e = d d d ét vektor különbségének megserkestése: b b d a a+ ( b) = d a b a b = d d d) Vektorok skaláris sorása (a eredmén skaláris menniség): A skaláris sorás értelmeése: a b = a b cosα A skaláris sorás kisámítása: a b = ab + ab + ab A a b jelölés kiejtése (kiolvasása): á skalárisan sorova bével Egségvektorok skaláris sorata: e e = e e = e e = e e = e e = e e = A eredmén általánosítása: a a = a és a b = a b A a b jelölés kiejtése (kiolvasása): á merőleges bére e) Vektorok vektoriális sorata (a eredmén vektor): A vektoriális sorás értelmeése: A eredménvektor nagsága: a b = a b sinα a paralelogramma magassága 7

8 a b b α b sin α A eredménvektor iránát ún jobbké sabállal kapjuk meg: ha jobb kéel a a vektort a b vektorba forgatjuk akkor a jobb ké hüvelkujja adja meg a eredménvektor iránát a A eredménvektor merőleges a sorásban sereplő mindkét vektorra A vektoriális sorás kisámítása: e e e a b = a a a = e( ab ba) e( ab ba) + e( ab ba) b b b Egségvektorok e e = e e = e e = vektoriális sorata: e e = e e e = e e e = e e e e e e = e e e = e e e = e Sabál: - Ha két egségvektort a ábrán látható níllal megegeő sorrendben sorunk össe vektoriálisan akkor poitív előjellel kapjuk a harmadik egségvektort - Ha két egségvektort a ábrán látható níllal ellentétes sorrendben sorunk össe vektoriálisan akkor negatív előjellel kapjuk a harmadik egségvektort A eredmén általánosítása: a b = a b f) Vektorok kétseres vektoriális sorata (a eredmén vektor): ( a b) c vag a ( b c) isámítás kétféle úton lehetséges: - a két vektoriális sorásnak a kijelölt sorrendben történő elvégésével - a kifejtési sabállal: ( a b) c = b( a c) a( b c) ill a ( b c) = b( a c) c( a b) g) Vektorok veges sorata (a eredmén skalár menniség): ( abc) = a b c = a b c Értelmeés: ( ) ( ) a a a a b c isámítás: ( abc) = b b b = a b c c c c a b c Tulajdonság: ( abc) = ( cab) = ( bca) = ( cba) = ( acb) = ( bac) övetkemén: Ha a b és c továbbá ( abc ) = A három vektor eg síkban van 8

9 Gakorló feladatok vektorműveletekre feladat: Helvektorok felírása össegése absolút értékének meghatároása Adott: eg hasáb valamint a H pont hele: e AB = 8m BE = 3m H AD = 6m FH = 5BF G F Feladat: a) A H pont r H helvektorának meghatároása D C b) A H-ból a B pontba mutató r HB helvektor O meghatároása E A B idolgoás: a) A H pont r H helvektorának meghatároása: r H = r OF + r FH r OF = r F = (8e + 6 e ) m rbf e = = ( 3 e + 6 e ) m r BF = ( 3e + 6 e ) m rbf 45 rbf = BF + BF = = = 45 m r = 5 45 m FH 45 rfh = r FH e = ( 3 e + 6 e ) = ( 5 e + 3 e ) m 45 r H = (8e + 6 e ) + ( 5 e + 3 e ) = ( 5e + 8e + 9 e ) m b) A H-ból a B pontba mutató r HB helvektor meghatároása 3 3 rhb = r BF e = 45 ( 3e + 6 e ) m r HB = (45e 9 e ) m 45 feladat: Vektorok össege különbsége egmással beárt söge 9

10 F F F F α F 3 4 F 5 6 F Adott: F = (4e + 5 e) N F = ( e + 4 e ) N Feladat: a) A két erő F = F + F össegvektorának meghatároása b) A két erő F* = F F különbségvektorának meghatároása c) A két erővektor által beárt α sög meghatároása idolgoás: a) A két erő F = F + F össegvektorának meghatároása: F = F + F = (4e + 5 e) + ( e + 4 e) = (e + 54 e) N b) A két erő F* = F F különbségvektorának meghatároása: F* = F F = (4e + 5 e) ( e + 4 e) = (6e 46 e) N c) A két erővektor által beárt α sög meghatároása: F F F F = F F cosα cosα = F F F F = 4( ) = 8 + = 6 N F = F + F = = 64 3 N 6 F = F + F = + 4 = 4 N cosα = = α = arccos( 45934) = feladat: Vektor koordinátái és össetevői Adott: Feladat: a = (e + 5 e) m a) A a vektor és iránú skaláris koordinátáinak meghatároása b) A a vektor és iránú össetevőinek meghatároása idolgoás: a) A vektor koordinátatengel iránú koordinátáinak meghatároása (skaláris menniségek): A skaláris sorás értelmeéséből: a = a e = a e cosα = a cosα a a = a e = a e cos β = a cos β a A skaláris koordináták kisámítása: β a = a e = (e + 5 e) e = e e + 5e e = m α a = a e = (e + 5 e ) e = e e + 5e e = 5 m a b) A vektor koordinátatengel iránú össetevői (vektor menniségek):

11 a = a e = ( e ) m a = a e = (5 e ) m 4 feladat: Vektor koordinátái és össetevői Adott: Feladat: b = (6e + 6 e) m a) A b vektor a iránú b és a iránra merőleges b skaláris koordinátáinak meghatároása a = (e + 4 e) m b) A b vektor a iránú b és a iránra merőleges b össetevőinek meghatároása idolgoás: a) Adott iránú koordináták meghatároása: A b vektor a iránú koordinátája ( a iránra eső vetülete): b a b a b a b = a b cosα b = b cosα = a b b a b = = 96 m 96 b = = 759m a = + 4 = 6 = 4 65 m 65 A b vektor a iránra merőleges koordinátája (a a iránra merőleges vetülete): a b a b = a b sinα b = b sinα = a b e e e a b = 4 = e(7 4) = (48 e) m a b = 48m 6 6 a = 65m a b 48 b = = = 379 m a 65 b) Adott iránú össetevők meghatároása: A b vektor a iránú össetevője: a ea = = (e + 4 e) = ( 9486e + 36 e) a 65 b = b e = 7 59( 9486e + 36 e ) = (7e + 4 e ) m a A b vektor a iránra merőleges össetevője: a b a a b a ( a b) a b = b sinα = b sinα = = a b a a b sinα a b a e 3 ( a b) a = (48 e ) (e + 4 e ) = ( 9e e ) m

12 9e + 576e b = = ( e + 36 e)m 6 Ellenőrés: b = b + b = (7 e + 4 e ) + ( e e ) = (6e + 6 e )m 5 feladat: Vektorok skaláris sorata Adott: F = (4e + 8e 6 e) kn érdés: Mekkora legen F 3 ha at akarjuk F = ( e + e + 3 e) kn hog ( F+ F3) merőleges legen F -re? F3 = ( F3e) idolgoás: Ha a b akkor a b = = a b cos α = o 9 Eért teljesülnie kell a ( F+ F3) F = össefüggésnek ( F+ F3) F = 4 e + (8 + F3) e 6 e ( e + e + 3 e) = 4 + (8 + F3 ) 6 3 = F3 78 = F = F 3 = 6kN 3 6 feladat: Vektor koordinátái és össetevői Adott: a = (3 e + e ) N b = (4e + e) N b Feladat: a a a a) A a vektor b iránú a és a b iránra merőleges a skaláris koordinátáinak meghatároása b) A a vektor b iránú a és a b iránra merőleges a össetevőinek meghatároása Megoldás: a) A a vektor b iránú a és a b iránra merőleges a skaláris koordinátái: a = 35 N a = 35 N b) A a vektor b iránú a és a b iránra merőleges a össetevői: a ( e + e ) N a ( e e ) N 3 Mátrialgebrai össefoglaló a) Mátri értelmeése jelölése: Mátri: Skaláris menniségeknek sámoknak megadott sabál serint tábláatba rendeett halmaa

13 a a a3 Mátri jelölése: A = a a a 3 A mátriokat kétser aláhúott betűvel a mátriok elemeit (koordinátáit) alsó indees betűvel jelöljük Pl Aa és a3 a stb A a 3 mátrielem a A mátri első sorában és harmadik oslopában van Mátri mérete: Például a fenti (3)-as méretű A mátrinak két sora és három oslopa van A a 3 mátri elem jelölés kiejtése (kiolvasása): á eg három a Oslopmátri: a a T = sormátri: a = [ a a a3] a 3 A oslopmátrinak eg oslopa a sormátrinak eg sora van A sormátri uganannak a oslopmátrinak a transponáltja A sormátriot a mátri betűjelének felső indeébe írt T betű jelöli b) Mátriműveletek: A műveleteket ( ) -es ()-es és ()-es mátriokra mutatjuk be - Mátri transponáltja (tükröés a főátlóra): A mátri főátlóját a aonos indeű elemek alkotják a a T a a A = A = a a a a ( ) ( ) A transponálási művelet jele: T (a mátri felső indeében) A transponálás oslopmátriból sormátriot sormátriból pedig oslopmátriot ho létre T A A jelölés kiejtése á transponált - Mátriok össeadása kivonása: Csak aonos méretű mátriok adhatók össe vonhatók ki egmásból A± B= C a a b b ( a ± b) ( a± b) c c ± = = a a b b ( a± b) ( a± b) c c ( ) ( ) ( ) ( ) - Mátri sorás (sor-oslop kombináció): Csak olan mátriok sorohatók össe amelek teljesítik at a feltételt hog a első soróténeő oslopainak sáma megegeik a második soróténeő sorainak sámával AB = C 3

14 a a b b ( a b + a b) ( a b+ a b ) = a a b b ( a b+ a b) ( a b+ a b) ( ) ( ) ( ) Ab= c a a b ( a b + a b ) c = = a a b ( a b + a b ) c ( ) ( ) ( ) ( ) a T T B = d b b a a = ( a b+ a b) ( ab+ a b) = d d b b ( ) ( ) ( ) ( ) c) ülönleges mátriok: - Egségmátri: E = Tulajdonsága: E A AE A = = A egségmátri a főátlójában -es koordinátákat a főátlóján kívül elemeket tartalma A egségmátrisal történő sorás nem váltotatja meg a megsorott mátriot - Simmetrikus mátri: T A = A A mátri elemei megegenek a főátlóra vett tükörképükkel Például A = 9 simmetrikus mátri T - Ferdesimmetrikus mátri: A = A A mátri bármelik eleme megegeik a főátlóra vett tükörképének mínus egseresével Ebből a követkeik hog a főátlóban csak érus elemek lehetnek 3 Például A = 3 ferdesimmetrikus mátri 4 Vektorok skaláris kétseres vektoriális és diadikus sorata Eges vektor sorások mátriok sorataként is elvégehetők a) Vektorok skaláris sorata: A skaláris sorás értelmeése: a b = a b cosα (α a vektorok köött beárt sög α π ) A skaláris sorás kisámítása mátrisorással: b a b = a a a b= ab + ab + ab b A első soró téneő koordinátáit sormátriba a második soró téneő koordinátáit oslopmátriba rendeük és a sorást a mátrisorás sabálai serint (sor-oslop kombináció) végeük el 4

15 A sorás eredméne eg skaláris menniség b) Vektorok diadikus sorata: Legen adott a a b és c tetsőleges vektor ét vektor diadikus soratának jelölése: a b elneveése: diád A a b jelölés kiejtése (kiolvasása): á diád bé ét vektor diadikus soratát a sorás tulajdonságainak megadásával értelmeük: - a diadikus sorás és a skaláris sorás associatív (csoportosítható aa sorások elvégésének sorrendje felcserélhető): ( ab) c = a ( b c) - a diád a skaláris sorás sempontjából nem kommutatív (nem mindeg hog eg diádot jobbról vag balról sorunk meg skalárisan eg vektorral mert más eredmént kapunk): c ( ab) ( a b) c Ha a sorás a fenti össefüggéseket kielégíti akkor a sorás diadikus ét vektor diadikus soratának kisámítása jobbsodrású deréksögű koordinátarendserben: a a b a b a b a b = a b b b = a b a b a b a a b a b a b A első soró téneő koordinátáit oslopmátriba a második soró téneő koordinátáit sormátriba rendeük és a sorást a mátri sorás sabálai serint (sor-oslop kombináció) végeük el A sorás eredméne eg kilenc skaláris menniséget tartalmaó mátri Egségvektorok diadikus sorata: e e = = e e [ ] = = [ ] [ ] [ e e ] = [ ] = e e [ ] = = [ e e ] = [ ] = e e [ ] e = = = = = = e [ ] [ e e ] [ ] 5

16 e e [ ] = = A skalár sámmal történő sorás mindig diadikus vag más sóhasnálattal általános sorás 5 Mátri sajátértékei és sajátvektorai a) A sajátérték feladat kitűése: Léteik-e olan n oslopmátri amellel a A négetes mátriot megsorova a n oslopmátri valahánsorosát kapjuk: An = λ n ahol a λ skaláris menniség? Ha léteik ilen n oslopmátri akkor et a A négetes mátri sajátvektorának a λ skaláris menniséget pedig a A mátri sajátértékének neveük b) A sajátérték feladat megoldása: A sajátérték feladat megoldását eg ()-es mátrion mutatjuk be A előő egenletet résletesen kiírva és bal oldalra rendeve: a a n n a a n n = λ a n a n λ a n a = n és a sorásokat elvégeve a n n ismeretlenre homogén lineáris algebrai egenletrendsert kapunk: ( a λ) n + a n = a n + ( a λ) n = A egenletrendser nem triviális (nullától különböő) megoldásának feltétele a hog a rendser mátriából képeett determinánsnak el kell tűnnie: ( a λ) a = a ( a λ) A determinánst kifejtve kapjuk a karakteristikus egenletet: λ ( a + a) λ + ( aa aa) = A karakteristikus egenlet megoldásai a mátri sajátértékei: ( a + a) ± ( a + a) + 4aa λ = A homogén lineáris algebrai egenletrendsernek csak λ = λ és λ = λ esetén van nemtriviális megoldása A mátri sajátértékeit növekvő sorrendben sokás sorsámoni 6

17 Ha a eges λ i (i=) sajátértékeket behelettesítjük a homogén lineáris algebrai egenletrendserbe akkor a egenletrendser megoldható a n n ismeretlenre: ( a λi) ni + a ni = a ni + ( a λi ) ni = n n i i = = i i ahol i= A λ i (i=) sajátértékek behelettesítése esetén aonban a egenletrendser egenletei egmástól nem lineárisan függetlenek eért a egik egenletet el kell hagni és a másik egenletből csak a n / n vag n / n (i=) hánados határoható meg i i i i = n n sajátvektorok- A n i és n i értékét akkor kapjuk meg egértelműen ha a tól megköveteljük hog egségvektorok legenek: n + n = i= i i n T i i i 6 Tenorok előállítása a) Tenor értelmeése és tulajdonságai: Tenor: Homogén lineáris vektor-vektor függvén által megvalósított leképeés (hoárendelés) w = f( v ) = T v v hoárendelés w O v O w A T tenor a tetsőleges v vektorho a w képvektort rendeli hoá A vektor-vektor függvén olan függvénkapcsolat amelnek v értelmeési tartomána és w értékkéslete is vektor menniség A tenor tulajdonságai: Homogén lineáris: Ha eg vektort két másik vektor lineáris kombinációjaként állítunk elő akkor a vektor képvektora egenlő a lineáris kombinációban sereplő vektorok képvektorainak lineáris kombinációjával: Ha v = λv + λv és w = f( v ) w = f( v ) akkor w = f( v ) = f( λv + λv ) = λf( v ) + λf( v ) = λw + λw A össefüggésekben λ és λ tetsőleges skaláris egütthatók övetkemén: A érus vektorho érus vektort rendel hoá: = f () A tenor koordináta-rendsertől független fiikai (geometriai mechanikai) menniség b) Tenor előállítása jobbsodratú deréksögű descartesi koordináta-rendserben: - Tenor megadása: - a tenor koordinátáival (mátiával) és - a koordináta-rendserrel történik - Tenor koordinátáinak jelölése mátriba rendeve: 7

18 T T T T T T 3 T = T T T = T T T3 T T T T 3 T3 T 33 - Tenor előállítása deréksögű descartesi -ben: Tétel: - Térbeli esetben minden tenor egértelműen megadható három egmásra merőleges egségvektor és eek képvektorai (három értékpár) ismeretében - Síkbeli esetben minden tenor egértelműen megadható két egmásra merőleges egségvektor és eek képvektorai (két értékpár) ismeretében Tétel: - Térbeli esetben minden tenor előállítható három diád össegeként - Síkbeli esetben minden tenor előállítható két diád össegeként Legen ismert három értékpár: e a = f( e ) a = ae + ae + ae e b = f( e) b = be + be + be e c = f( e ) c = ce + ce + ce A tenor diadikus előállítása: T = ( ae + be + c e ) A tenor mátria: a b c T = a b c a b c A tenor mátriát a diadikus előállításban kijelölt diadikus sorások és a össeadások elvégésével kapjuk A tenor mátriának oslopai a a b c képvektorok koordinátáit tartalmaák A mátri első sorában a képvektorok koordinátái a második sorban a képvektorok koordinátái a harmadik sorban a képvektorok koordinátái állnak c) Tenorok kétseres skaláris sorása Legen : a a a3 b b b3 A = a a a és B = b b b 3 3 a3 a3 a 33 b3 b3 b 33 a a a b b b 3 3 8

19 A B = a e + a e + a e b e + b e + b e = ( 3 ) ( 3 ) ( ae) ( be) ( ae) ( b e) ( ae) ( b3e) ( a e) ( be) ( a e) ( b e) ( a e) ( b3e) ( a3e) ( be) ( a3e) ( b e) ( a3e) ( b e) = Diádok kétseres skaláris sorata : a ob ( c o d = ac bd ( ) ) ( )( ) 3 A B = ( a b) ( e e) + ( a b) ( e e) + ( a b3) ( e e) + + ( a b) ( e e) + ( a b) ( e e) + ( a b3) ( e e) + + ( a3 b) ( e e) + ( a3 b) ( e e) + ( a3 b3) ( e e) = a b+ a b + a3 b3 = = a b + a b + a b + a b + a b + a b + a b + a b + a b Gakorló feladatok mátriokra tenorokra 7 feladat: Mátri műveletek Adott: 4 4 A = 7 3 B = 6 3 Feladat: T T a) A A és B transponált mátriok meghatároása b) A A+ B össegmátri és a A B különbségmátri meghatároása c) A AB soratmátri meghatároása idolgoás: T T a) A A és B transponált mátriok meghatároása: T A 7 = 4 3 T B 6 = 4 3 b) A A+ B össegmátri és a A B különbségmátri meghatároása: 4 4 A+ B= = A B= 7 3 =

20 c) A AB soratmátri meghatároása 4 4 ( ) + ( 4)( 6) 4 + ( 4)3 AB= 7 3 = = 6 3 7( ) + 3( 6) = 37 7 feladat: Skaláris diadikus és mátri sorás gakorlása Adott: a = (4 e + 6 e e ) m Feladat: b = ( 3 e + e e ) m a) A a b és a a b soratok meghatároása c = ( e 6e b) A ( a b) c és a c ( a b) ) sorat meghatároása m idolgoás: a) A a b és a a b soratok meghatároása: 3 a b = [ 4 6 ] = 4( 3) ( )( ) = 5m ab = ( 4e + 6e e) ( 3e + e e) = = ( e 8e + 3e) e + ( 4 e + 6e e) e + + ( 4e 6e + e) e m A sögletes árójelben lévő diádok első soró téneőinek koordinátái a tenor mátriának oslopaiban jelennek meg: a b 6 [ 3 ] = = m 3 b) A ( a b) c és a c ( a b) sorat meghatároása: - A értelmeés alapján: ( ab) c = a ( b c) = = ( 4e + 6e e) ( 3e + e e) ( e 5e) = = ( 4e + 6e e ) [ + 5] = ( e + 8e 3e ) m 3 - Mátrisorással: ( a b) [ c] = = + 3 = 8 m A kétféleképp előállított eredmén termésetesen megegeik - A értelmeés alapján:

21 c ( a b) = ( c a) b = + + = ( e 5e) ( 4e 6e e) ( 3e e e) = [ + 5] ( 3 e + e e ) = (e 7e + 7 e ) - Mátrisorással: 4 4 [ c] ( a b) = [ 5 ] = 3 3 = [(36 5) ( + 5) ( 5) ] = [ 7 7] m A kétféleképp előállított eredmén termésetesen megegeik 73 feladat: Vektor adott iránra merőleges össetevőjének meghatároása Adott: b = (e + 4e 3 e) m e a = (8e 6 e e a ) b O b b Feladat: a) A b vektor e a egségvektorral párhuamos b össetevőjének meghatároása b) A b vektor e a egségvektorra merőleges b össetevőjének meghatároása kétseres vektoriális sorással c) A b vektor e a egségvektorra merőleges b össetevőjének meghatároása a kifejtési sabállal idolgoás: a) A b párhuamos össetevő meghatároása: b ( ea b) ea [ 8 6 ] 4 = = ea = (3 + 8) ea = 5 ea 3 b = 5 ea = 5(8e 6 e) = (4e 3 e) m b) A b merőleges össetevő meghatároása kétseres vektoriális sorással: b = ( e a b) ea e e e ( ea b) = 8 6 = e( 4 + 4) e() + e( 6) 4 3

22 e e e ( e b) e = 6 = e (7 + 8) e () + e () a a 8 6 b = ( e a b) e = a ( e) m c) A b össetevő meghatároása a kifejtési sabállal: b = ( e a b) e = a b( e a ea) ea( b ea) = b b b = b b = (e + 4e 3 e ) (4e 3 e ) = ( e ) m 74 feladat: Tenor előállítása Adott: r = (4e + e ) m P O r P P A r A Feladat: a) Annak a T tenor mátriának a előállítása amel a sík helvektoraiból a helvektoroknak a koordináta-rendser O kedőpontjára tükröött vektorait állítja elő b) Meghatároni at a r A vektort amel a r P vektor origóra vett tükörképe idolgoás: a) A tenor előállítása: Síkbeli esetben a tenort két értékpárja határoa meg: e a = e e b = e A két értékpárból a tenor: T = ( a e + b e ) A tenor mátria: T = b) A origóra tükröött r A képvektor meghatároása: P 4 4 ra = T rp = = = P r = ( 4e e ) m A

23 75 feladat: Tenor előállítása Adott: r = (4e + 3 e ) m P P O r P r A A Feladat: a) Annak a T tenor mátriának a előállítása amel a sík helvektoraiból a helvektoroknak a koordináta-rendser tengelére tükröött vektorait állítja elő b) Meghatároni at a r A vektort amel a r P vektor tengelre vett tükörképe idolgoás: a) A tenor előállítása: Síkbeli esetben a tenort két értékpárja határoa meg: e a = e e b = e A két értékpárból a tenor: T = ( a e + b e ) A tenor mátria: T = b) A tengelre tükröött r A képvektor meghatároása: P 4 4 ra = T rp = = = P 3 3 r = (4e 3 e ) m A 76 feladat: Tenor előállítása Adott: o ϕ = 3 r = (4 e + e ) m r A P A Feladat: a) Annak a T tenor mátriának a előállítása amel a sík helvektoraiból a helvektorok tengel körül ϕ söggel elforgatott vektorait állítja elő b) Meghatároni at a r A vektort amelet a r P vektor ϕ söggel történő elforgatásával kapunk ϕ r P P idolgoás: a) A tenor előállítása: 3

24 b e ϕ a ϕ Síkbeli esetben a tenort két értékpárja határoa meg: e a = (cosϕ e + sin ϕ e ) e b = ( sinϕe + cos ϕe ) A két értékpárból a tenor: T = ( a e + b e ) e A diádok kisámítása: a a cosϕ [ a e ] = [ ] = = a a sinϕ b b sinϕ b e = [ ] = = b b cosϕ cosϕ sinϕ A tenor mátria: T = = sinϕ cosϕ b) A elforgatott r A vektor meghatároása: cosϕ sinϕ P ra = T rp = sinϕ cosϕ = = P r = (964e e ) m A 77 feladat: Tenor előállítása Adott: o ϕ = 45 r = (5e + e ) P m r A ϕ r P A u P P Feladat: a) Annak a T tenor mátriának a előállítása amel a sík helvektoraiho a helvektorok tengel körül ϕ söggel történő elforgatásakor a helvektorok végpontjainak elmodulás vektorait rendeli hoá b) Meghatároni r P vektor végpontjának u P elmodulás vektorát a ϕ söggel történő elforgatásnál idolgoás: a) A T tenor előállítása: 4

25 b Síkbeli esetben a tenort két értékpárja határoa meg: e a = ( cos ϕ) e + sinϕ e e ϕ ϕ a e b = sin ϕ e ( cos ϕ) e A két értékpárból a tenor: T = ( a e + b e ) e A tenor mátria: (cosϕ ) sinϕ T = = sin ϕ (cosϕ ) b) A u P elmodulásvektor meghatároása: up = T rp = = u = ( 879e e ) m P 78 feladat: Tenor előállítása Adott: n = ( e + e ) r P = (5e + e + e ) m Feladat: a) Annak a T tenor mátriának a előállítása amel a tér minden helvektoráho a helvektoroknak a P n normálisú S síkba eső vetületvektorát rendeli r P r A A n hoá b) Meghatároni r P vektornak a adott n normálisú S síkba eső r A vetületvektorát S A vetületvektort úg kapjuk hog a r P vektor végpontját merőlegesen vetítjük a S síkra idolgoás: a) A T tenor előállítása: A tetsőleges v vektor S síkba eső w vetületvektora: w= n ( v n) = v( n n) n( n v) = v n( n v) = Térbeli esetben a tenort három értékpárja határoa meg: e a = e n( n e) = e = 5

26 e n b e n( n e) e e e e = = = + = e + e = e n c e n( n e) e e e e = = + = + = e + e = A három értékpárból a tenor: T = ( ae + be + c e ) A tenor mátria: T 5 5 = 5 5 b) A r P vektornak a adott n normálisú síkba eső r A vetületvektorának meghatároása: 5 5 ra = T rp = = m r = (5e + 6e + 6 e ) m A 79 feladat: Tenor előállítása Adott: r = (3 e + 4e + 6 e ) m P O r P P r D A Feladat: a) Annak a T tenor mátriának a előállítása amel a tér minden helvektoráho a helvektoroknak a síkra vett tükörkép-vektorát rendeli hoá b) Meghatároni r P vektornak a síkra vett r A tükörkép-vektorát A A tükörkép-vektort a követkeőképpen kapjuk: A r P vektor végpontját merőlegesen vetítjük a síkra A D pont a vetítő egenes döféspontja a síkon Megoldás: a) A hoárendelést megvalósító tenor mátria: T = b) A r A tükörkép-vektor: r A = (3e + 4e 6 e ) m 6

27 7 feladat: Tenor előállítása Adott: r P = (4e + 4e + 8 e ) m r P Feladat: P a) Annak a T tenor mátriának a előállítása amel a tér O r A D A minden helvektoráho a helvektoroknak a síkba eső vetületvektorát rendeli hoá b) Meghatároni r P vektornak a síkba eső r A vetületvektorát A vetületvektort úg kapjuk hog a r P vektor végpontját merőlegesen vetítjük a síkra A D pont a vetítő egenes döféspontja a síkon A vetületvektor a D pontba mutató vektor Megoldás: a) A hoárendelést megvalósító tenor mátria: T = b) A r A vetületvektor: r A = (4e + 4 e ) m 7

28 UGALMASSÁGTANI ALAPFOGALMA Silárdságtan: a terhelés előtt és után is tartós nugalomban lévő alakváltoásra képes testek kinematikája dinamikája és anagserkeeti viselkedése A értelmeésben előforduló kifejeések definicíója: Terhelés: a általunk visgált rendserhe (testekhe) nem tartoó testekről sármaó ismert nagságú hatás E a hatás silárd halmaállapotú testeknél általában felületi érintkeéssel valósul meg Terhelés ismert külső erőrendser (E) A tartós nugalom feltételei: - a testre ható erőrendser egensúli - a test megtámastása nem enged meg merevtest serű elmodulást Alakváltoás: - a test pontjai terhelés hatására egmásho képest elmodulnak és eért - anagi geometriai alakatai (hoss sög felület térfogat) megváltonak inematika a silárdságtanban: leírja a terhelés hatására a testben bekövetkeő elmodulásokat és alakváltoásokat Dinamika a silárdságtanban: megadja a alakváltoás és a belső erőrendser köötti kapcsolatot A valóságos testek helett modelleket visgálunk Test modell: Olan idealiált tulajdonságokkal rendelkeő test amel a valóságos test visgálata sempontjából leglénegesebb tulajdonságait tükröi A valóságos test lénegesnek tartott tulajdonságait megtartjuk a lénegtelennek ítélt tulajdonságokat pedig elhanagoljuk Például: merev test silárd test A α B C Merev test: Bármel két pontjának távolsága állandó- terhelés hatására nem váltoik meg A test pontjai (rései) egmásho képest terhelés hatására sem modulnak el Silárd test: A silárd test alakváltoásra képes test A test pontjainak távolsága egeneseinek egmással beárt söge terhelés hatására megváltoik A test felületeinek és térfogatainak alakja és nagsága is megváltoik 8

29 A silárdságtan silárd testek terhelés hatására történő viselkedését visgálja Silárdságtan ugalmasságtan éplékenségtan Lineáris rugalmasságtan Nemlineáris rugalmasságtan ugalmas alakváltoás / rugalmas test: A terhelés hatására alakváltoott silárd test a terhelés megsüntetése (levétele) után vissaneri eredeti alakját Lineárisan rugalmas alakváltoás: a terhelés és alakváltoás a terhelés és a belső erőrendser (E) köött lineáris kapcsolat van Nemlineárisan rugalmas alakváltoás: a kapcsolat nem lineáris épléken alakváltoás / képléken test: A alakváltoott test tehermentesítés után nem neri vissa eredeti alakját A tantárg a lineárisan rugalmas testek kis elmodulásaival és kis alakváltoásaival foglalkoik is elmodulás: a test pontjainak elmodulása nagságrendekkel kisebb a test geometriai méreteinél is alakváltoás: a test alakváltoását jellemő menniségek lénegesen kisebbek mint ε << γ << statikai Egenértékűség silárdságtani Statikai egenértékűség: két erőrendser statikailag egenértékű ha aonos nomatéki vektorteret honak létre Silárdságtani egenértékűség: két uganaon testre ható erőrendser silárdságtanilag egenértékű ha aok a test eg kis résétől eltekintve a testnek uganat a alakváltoási állapotát hoák létre Például: F F 9

30 E a két erőrendser statikailag egenértékű silárdságtanilag visont nem A F erő a nomaték vonatkoásában hatásvonala mentén eltolható a két erőrendser statikailag egenértékű A fenti serkeet a F erő támadáspontjától függően egésen másképp alakváltoik a két erőrendser silárdságtanilag nem egenértékű Saint Venant elv: Silárd test alakváltoásakor a test valamel uganaon kis felületén ható nomatéki terük vonatkoásában egenértékű erőrendserek - a kis felület követlen körneetének kivételével jó köelítéssel uganat a alakváltoási állapotot állítják elő Például: gömb hasáb G G A tartóban a terhelés körneetén kívül jó köelítéssel ugana a alakváltoási állapot jön létre A fenti terhelés aonos módon modellhehető G Elemi körneet / elemi tömeg: Minden test sok tömegpontból felépülő rendsernek is tekinthető A tömegpontokho úg jutunk el hog a testet sok kis résre bontjuk 3

31 tömegpont elemi kocka test elemi gömb Tömegpontnak / elemi tömegnek / elemi körneetnek a silárdságtanban eg olan kis testrést tekintünk amelnek méretei a test méreteihe képest elhanagolhatóan kicsik A elemi körneet silárdságtani állapotait a elemi körneet eg pontjáho (a köéppontjáho) kötött menniségekkel írjuk le Elemi körneet silárdságtani állapotai: - elmodulási állapot - alakváltoási állapot - fesültségi állapot - energia állapot Test silárdságtani állapotai: A elemi körneetek silárdságtani állapotainak össessége (halmaa) A test silárdságtani állapotait meőkkel (terekkel) írjuk le Meő / tér: a adott menniségeket a hel függvénében ismerjük 3

32 3 3 SZILÁDSÁGTANI ÁLLAPOTO 3 Elmodulási állapot e e e P V V P r P P r u P P u - a test tetsőleges P pontjának elmodulás vektora P P P u r r + = P P P u u u = Pont / elemi körneet: P P P p e w e v e u u + + = Test : e w e v e u u ) ( ) ( ) ( ) ( + + = = = = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( w r w v r v u r u a elmodulásmeő skaláris koordinátái 3 Fajlagos relatív elmodulási állapot Elemi triéder: a P pontban felvett terhelés előtt egmásra merőleges e e e egségvektor hármas Feltételeük hog a elemi triéder a P pont elemi körneetén belül helekedik el A P pont elemi körneetének elmodulása felbontható: - párhuamos eltolásra és - fajlagos relatív elmodulásra

33 C u e C u C C u P e P e u A u u AP A A u P P u B B u P u B B Párhuamos eltolás : u P A P pontra vonatkotatott relatív elmodulások: u = ua up u = ub up a elemi triéder végpontjainak fajlagos relatív elmodulás vektorai u = uc u P elatív mert a P pontho visonított Fajlagos mert a P ponttól egségni távolságra lévő pontok elmodulása A elemi triéder mogása : relatív elmodulás párhuamos eltolás PABC PA B C PABC Célkitűés: megakarjuk határoni a P elemi körneetében lévő tetsőleges N pont relatív fajlagos elmodulását A n - a P-ből a N pontba mutató helvektor (egségvektor) n = a N pontok a P köéppontú egségni sugarú gömbfelületen helekednek el Derivált tenor: - D = u e + u e + u e P - [ ] hoárendelés (leképeés) n u n u u u D = u u u P nem simmetrikus tenor u u u A derivált tenor egértelműen jellemi a P pont körneetének fajlagos relatív elmodulási állapotát 33

34 A D derivált tenor fiikai tartalma: megadja a P pont elemi körneetében a elmodulás hel serinti megváltoását A N pont fajlagos relatív elmodulásvektora: un = D n P 33 A fajlagos relatív elmodulási állapot felbontása T T A derivált tenor felbontása: D = ( D+ D ) + ( D D ) P AP ΨP simmetrikus rés ferdesimmetrikus rés Tetsőleges N pont fajlagos relatív elmodulásának felbontása: un= D n = ( A +Ψ ) n= A n +Ψ n= αn + βn P P P P P A N a P pont elemi körneetében levő pont: PN = n A N pont alakváltoási vektora : α n = A n P ahol A a P pont alakváltoási tenora P A N pont merevtestserű forgási vektora: β n = Ψ n P ahol Ψ a P pont forgási tenora P A fajlagos relatív elmodulási állapot semléltetése: C β α u C u A A e α β e A P e n B N αn u N β B β n u n α N B n = u = α + β u u u n n n = α + β = α + β = α + β alakváltoás merevtestserű forgás PABC PA B C PA B C 34 Alakváltoási állapot 34

35 A alakváltoási állapot során megváltoik a P pontra illeskedő n egségvektorok hossa és egmással beárt söge A elemi triéder alakváltoása: PABC PA B C Megváltoott Megváltoott hossak : sögek : C α π PA = + ε γ A π ( γ ) α A C ( + ε ) π ( γ ) ( + ε ) π ( γ ) ( + ε ) B Alakváltoási jellemők: - fajlagos núlások : ε ε ε - fajlagos sögváltoások : γ γ γ Előjel: ε > megnúlás ε < γ > a eredeti α B megrövidülés PB PC = + ε γ 9 -os sög csökken ha γ < a eredeti π π = + ε γ A értelmeésből követkeik : γ = γ γ = γ γ = γ 9 -os sög nő Mértékegség: ε :mmmm= γ :radrad= is alakváltoás: Alakváltoási tenor : A = α e + α e + α e P ε= γ = ε γ γ A γ ε γ P = γ γ ε α α α A alakváltoási tenor a derivált tenor simmetrikus rése A alakváltoási vektorok : α= εe+ γ e + γ e 35

36 α = γe+ εe + γ e α = γe+ γ e + εe A alakváltoási állapot semléltetése: ε γ γ e γ ε A alakváltoási jellemők sámítása: ε = n α = n A n mm / mm = n n [ ] e e γ γ γmn = m αn = αm n = m A n = n A m [ rad / rad = ] A= A r = A A test alakváltoási állapota : ( ) ( ) γ ε A test alakváltoási állapota alakváltoási tenormeővel jellemehető 35 Fesültségi állapot belső erőrendser A belső erőrendsert úg tudjuk visgálni ha a testet gondolatban résekre bontjuk és a íg keletkeett testrések egensúlát visgáljuk Feltételeés: a egés testre egensúli erőrendser hat Egensúli erőrendser = terhelések + támastó erőrendser A testet a P pontra illeskedő síkkal vágjuk ketté A P ponton át végtelen sok sík vehető fel 36

37 A P (V ) = (V ) + (V ) (A) = (A ) + (A ) (S ) = (S ) V S V da P ρ S n n ρ P V da A A A sétvágás után a eges rések egensúla akkor bitosított ha a ( S) és ( S) felületen belső erőrendser lép fel Fesültségvektor: a ( S) és ( S) ρ = ρ ( rn ) ahol r Pontbeli fesültség állapot ( r =állandó) : ρ = ρ = ρ ρ = ρ ( n) n n n metsetfelületen megosló belső erőrendser sűrűségvektora a P pont helvektora n A fesültségvektor össetevői koordinátái: n a ( S) sík normális egségvektora n - a elemi felület normálisa l m - a elemi felület síkjába eső egségvektorok da n P τ ln τ mn ρ n l τ n m Össetevők: - Normál fesültségvektor: n= ( n ρn) n n - Csústató fesültségvektor: τ = ρ n= n ρ n ( ) n n n n 37

38 oordináták: - Normál fesültség: n= n ρn= ρn n - Csústató fesültségek: τ mn = m ρn = m τ n τ = l ρ = l τ ln n n N N MN Mértékegség: = Pascal = = MPa m mm m Fesültségi tenor: A test P pontjában a ρ fesültségvektor a n lineáris homogén függvéne : ρ n = F n n Előállítása: F = ρ e + ρ e + ρ e τ τ τ = τ F = τ τ τ = τ simmetrikus tenor τ τ τ τ = ρ ρ ρ A F fesültségi tenor mátria 6 darab független skalár menniséggel adható meg A fesültségvektorok koordinátái: ρ= F e= e+ τ e + τe ρ = F e = τe+ e + τe ρ = F e = τ e + τ e + e Előírt iránokho tartoó fesültségkoordináták sámítása: ρ n = F n = n ρ = n F n n n τ = τ = m ρ = ρ m= m F n= n F m mn nm n n A P ponti fesültségi állapot semléltetése: τ τ τ τ τ τ 38

39 Fesültségi főtengelek főfesültségek: Ha a e egségvektorra merőleges elemi felületen τ e = és ρ e = e e akkor a e fesültségi főtengel (fesültségi főirán) e főfesültség és a e -re merőleges elemi felület síkja főfesültségi sík Megjegések: e is lehet érus ρe= Minden P pontban léteik legalább három főirán melek kölcsönösen merőlegesek egmásra Fesültségi állapot a főtengelek koordinátarendserében: e 3 F = ( 3) 3 3 Megállapodás: is lehet érus ρ = e e e e 35 Főtengel problémafőfesültségek fesültségi főiránok A főtengel probléma matematikai sempontból sajátérték feladatnak tekinthető A feladat célkitűése: ρe = ee αe= εee F e= ee e A e= εee e F E e= A ε E e= ( e ) ( e ) A főtengel probléma aonos módon írható fel a fesültségi és a alakváltoási állapot esetén érdés: van-e olan e irán mel kielégíti a fenti egenleteket? Válas: van legalább három Elneveés: e főirán/főtengel irán egségvektora e főfesültség εe főnúlás A e egségvektor koordinátáira néve homogén lineáris algebrai egenletrendsert kapunk A nemtriviális megoldás feltétele (csak a fesültségi állapotra mutatjuk be a megoldást): det F E = e 39

40 A determináns résletesen felírva: ( ) τ τ e ( ) τ τ = e ( ) τ τ e A determinánst kifejtve karakteristikus egenlet: 3 e FI e FII e FIII + = A karakteristikus egenlet megoldásai: 3 főfesültségek A karakteristikus egenlet egütthatói a fesültségi tenor skaláris invariánsai: FI = első skalár invariáns F F II = τ τ τ τ + τ + τ - második skalár invariáns τ τ = τ τ - harmadik skalár invariáns τ τ III Invariáns: olan menniség amel a koordináta transformáció során nem váltoik Főiránok meghatároása: A 3 főfesültségeket vissahelettesítjük a homogén lineáris algebrai egenletrendserbe és megoldjuk a egenletrendsert a iránvektor koordinátáira e e e 3 3 A három egenlet nem független egmástól csak a e i iránvektor koordinátáinak arána határoható meg i i i A egértelmű megoldásho sükséges a pótlólagos feltétel: e + e + e = ( i= 3) A feltétel geometriai tartalma hog a e i legen egségvektor e e e e = + + = 35 Deviátor és gömbi tenorok Fesültségi deviátor tenor: Alakváltoási deviátor tenor: F = F E A = A ε E d k öepes fesültség: öepes núlás: + + F ε I + ε + ε AI k = = ε k = = d k 4

41 Átrendeve : F = F + k E d deviátoros gömbi rés rés A= A + ε k E d tista tista térfogattorulás váltoás A fesültségi és a alakváltoási tenor is felbontható tista torulási (deviátoros) és tista térfogatváltoási (gömbi) résre A deviátor tenorok tulajdonságai : F = A = A deviátor tenorok első skalár invariánsa érus di di 353 Mohr-féle fesültségi kördiagram A kördiagram a P pontbeli fesültségi állapotot semlélteti a τ síkon Legen: e e e fesültségi főirán 3 n n e 3 = α + β + γ 3 γ n n cos e cos e cos e β e α e A semléltetés alapja: ρ N a τ síkon n n n Bionítható: - A γ = állandó normálisok ρn fesültségvektoraiho tartoó N pontok a n τ n síkon félkörívet alkotnak - E a megállapítás a α = állandó és β = állandó feltételek esetén is iga - A főfesültségi síkokba eső normálisok ρn fesültségvektoraiho tartoó N pontok a τ síkon félkörívet alkotnak Például: a ( ee ) sík normálisai: γ = n n ördiagram 9 4

42 τ n α =állandó 3 β = π β = π γ = π γ =állandó A tetsőleges n iránho tartoó ρ n fesültségvektornak megfelelő N pontok a foltonos félkörívekkel határolt tartománon belül vannak ördiagram serkestése ha eg főfesültség (például a ) ismert: n e A e fesültségi főirán a sík fesültségi fősík (nincs τ csústató fesültség) τ τ e A kördiagramban a XY pontok eg félkörön (főkörön) helekednek el A XY pontokra fektetett félkör határoa meg a síkba eső főfesültségi pontokat/ iránokat e τ n τ Y X α τ τ 3 O = O α O 3 n A serkestés gondolatmenete: a) Felvessük a X Y pontokat b) Meghatárouk a félkör O köéppontját : O + 4

43 c) Megrajoljuk a félkört 3 d) A 3főfesültségek ismeretében megrajoljuk a másik két félkört Főfesültségek meghatároása a diagramból: + = + + τ = + 3 = + τ Főiránok meghatároása: e 3 A kördiagramból: τ tgα = α α A τ csústató fesültségek mindig a növekedésének iránában mutatnak A α sög felmérésének irána e 36 Energia állapot 36 Alakváltoási energia a) Fajlagos alakváltoási energia (egségni térfogat alakváltoási energiája): u( r) = F A = ( ρ e + ρ e + ρ e) ( α e + α e + α e) = = + + = ( ρ α ρ α ρ α ) ( ε ε ε τγ τ γ τγ ) u A fajlagos alakváltoási energia poitív skaláris menniség A alakváltoási energia felbontása: u= u T + u V tista tista torulás térfogatváltoás Fajlagos torulási energia: 43

44 ( ) ( ) ( ) 6( ) G τ τ τ u T = u A fajlagos torulási energia poitív skaláris menniség T Fajlagos térfogatváltoási energia: ν u V = A 6 I F I = F G + ν I u A fajlagos térfogatváltoási energia poitív skaláris menniség V Határeset: tökéletesen össenomhatatlan anag (nem képes térfogatváltoásra) Például: kaucsuk gumi u = ν = ν = 5 V A többi anagra: u V > ν < 5 b) Test alakváltoási energiája: U = udv ahol V a test térfogata ( V ) 36 Mechanikai energia tétel Csak a mechanikai hatásokból sármaó energiákat vessük figelembe E E = W + WB E kinetikai energia terhelés előtti állapot - terhelés utáni állapot W a külső erők munkája WB a belső erők munkája Silárdságtan/rugalmasságtan: test a terhelés előtt és után is tartós nugalomban van E = E W + W = W = WB= U + W D rugalmas dissipációs alakváltoási energia energia (nem vissanerhető (vissanerhető rés) rés) ugalmas alakváltoás: B A külső munka teljes egésében vissanerhető : W = W = U Fontos tulajdonság: a energia poitív skaláris menniség B 44

45 4 MÉETEZÉS ELLENŐZÉS STATIUS TEHELÉS ESETÉN Méreteés ellenőrés célkitűése: Annak elérése hog a serkeet rendeltetésserű hasnálat esetén előírt ideig és előírt bitonsággal a adott terhelést elviselje anélkül hog benne károsodás lépne fel Statikus terhelés : a terhelés időben nem váltoik Méreteés ellenőrés statikus terhelésnél Pontbeli jellemő alapján (fesültségcsúcsra) Serkeeti jellemő alapján (teherbírásra alakváltoásra) 4 Méreteés ellenőrés fesültségcsúcsra árosodás: Anag/silárdsági jellemő: - maradó (képléken) alakváltoás P foláshatár - törés sakadás m sakítósilárdság Eek a anagjellemők sakító kisérlettel határohatóak meg a) Speciális eset: egtengelű fesültségi állapot jell meg = ahol n a bitonsági téneő n a károsodásho tartoó silárdsági jellemő jell Itt nincs probléma mert csak eg főfesültség koordináta nem nulla : A anagjelemők is a egtengelű fesültségi állapotra állnak rendelkeésre például: F F húás nomás tista hajlítás M h M h b) Általános eset: tetsőleges térbeli fesültségi állapot 45

46 τ τ F = τ τ τ τ edukált fesültség / egenértékű fesültség / össehasonlító fesültség Definíció : Olan fesültség amel a pontbeli fesültdégi állapotot a károsodás sempontjából egértelműen jellemi A redukált fesültség beveetésével a tetsőleges tetsőleges térbeli fesültségi állapotot egtengelű fesültségi állapotra veetjük vissa A redukált fesültség kisámítására különböő elméletek vannak α ) ideg anagok: Probléma : nem tudjuk hog melik fesültségi koordinátát hasonlítsuk össe a -el! meg m ideg anag : nem képes alakváltoásra A rugalmas alakváltoás után hirtelen törik/sakad el Például a öntött vas kerámia üveg stb ε Coulomb elmélet: eg fesültségi állapot akkor nem oko károsodást ha a fesültségi állapotho tartoó legnagobb normál fesültség kisebb a anag sakítósilárdságánál Főfesültségek jelölése: 3 A pontban fellépő legnagobb normálfesültség: ma = ma ( 3 ) Coulomb féle redukált fesültség: red ( Coulomb) = ma = ( 3 ) ma Méreteés ellenőrés: m red ( Coulomb) meg = ahol n a előírt bitonsági téneő n β ) Alakítható anagok m p ε Alakítható anag : képléken alakváltoásra képes A törés csak a rugalmas alakváltoás után követkeik be Például a fémek acél alumínium stb 46

47 Mohr elmélet: eg pontbeli fesültségi állapot akkor nem oko károsodást ha a fesültségi állapotho tartoó legnagobb Mohr kör átmérője kisebb mint a megengedett fesültség Mohr-féle redukált fesültség : ( Mohr ) 3 Méreteés ellenőrés: red = jell red ( Mohr) meg = n ahol jell = p vag jell = m és a n a előírt bitonsági téneő Huber-Mises-Henck elmélet: ét fesültségi állapot a károsodás sempontjából akkor egformán veséles ha a torulási alakváltoási energiájuk megegeik: u T = u T torulási ener- A Huber-Mises-Henck elmélet serinti redukált fesültség arános a ut giával red ( HMH ) = 6G ut = ( ) + ( 3) + ( 3 ) red ( HMH ) = τ + τ + τ Méreteés ellenőrés: red jell ( HMH ) meg = n ( ) ( ) ( ) ( ) A Mohr és a HMH serint redukált fesültség csak kis mértékben tér el egmástól Általában : ( HMH ) < ( Mohr) red red c) Méreteés ellenőrés általános gondolatmenete rúdserkeetek esetén: - A rúdserkeet veséles kerestmetsetének megkeresése ahollegnagobbak a igénbevételek - A veséles kerestmetsen a veséles pontok megkeresése ahol legnagobb red - A veséles pontokban a méreteés ellenőrés elvégése: ma red meg 47

48 4 Méreteés ellenőrés serkeeti jellemők alapján a) Teherbírásra: p Feltételeés: - a anag jól alakítható - a anag lineárisan rugalmas ideálisan képléken ε p - Húás-nomás esetén: S Méreteés ellenőrés N p N növelés tönkremenetel A = p N N Nm eg = n előírt bitonsági téneő n - Egenes hajlítás esetén: N A = ( N határerő) A p p S M h A p p 48

49 M h növelés tönkremenetel Hajlítónomaték: M = da h ( A) A tönkremenetelhe tartoó határ hajlítónomaték : ( ) ( A) ( A ) A M = da= p da+ p da ( ) S A S A ( ) ( ) M S A S A = p Tista hajlítás a fesültségeloslásból nem sármahat eredő erő A = A Például: A A S M h A=A ( ) ( ) S A S A étseres simmetrikus kerestmetset: A A S da da - M Méreteés ellenőrés: Mh Mm eg = n előírt bitonsági téneő n - Csavarás ( kör körgűrű ) esetén: S A = da A = A = ( A) ( ) = ( ) S A S A A M = ps 49

50 τ ϕ M Oc S τ F Határnomaték: M = τ da = τ da c F F ( A) ( A) S P SP poláris statikai nomaték M c = τ F SP M c Méreteés ellenőrés: Mc Mcm eg = n előírt bitonsági téneő n b) Alakváltoásra Például: húás nomás l N λma N λ ma = l AE λ ma λ meg Alakváltoásra kell méreteni például: megmunkáló gépeket hidakat silipeket nagméretű csőelárókat stb 5

51 5 UGALMASSÁGTANI EGYENLETE ugalmas test állapotának jelemői: u= u( ) elmodulási vektormeő A= A( ) alakváltoási tenormeő F= F( ) fesültségi tenormeő u= u fajlagos alakváltoási energia meő ( ) érdés: milen általános össefüggések állnak fent een állapotjellemők köött? ugalmasságtani egenletek A rugalmasságtani feladat megfogalmaása: Adott: - a test alakja és méretei - a test anagi viselkedését jellemő menniségek - terhelés és megtámastás eresett: u F A u Feladat: a rugalmasságtani egenletek megoldása 5 Egensúli egenletek fesültségi állapot da A n df = F da dv r da A testből kiragadunk eg olan ( ) V térfogatot mel teljes egésében a test belsejében van O df = q dv V A ( V ) körneetének mechanikai hatásait erőkkel vessük figelembe: - térfogaton megosló: df = q dv 5

52 - felületen megosló: df = ρ da= F n da da A ( V ) testrés egensúlban van A egensúl feltétele: a) F = b) M = a) Egensúli egenletek: F = = qdv + F nda V A ( ) ( ) Gauss-Ostrogradskij féle integrál átalakítási tétel : Hamilton-féle differenciál operátor : - deréksögű descartesi koordináta-rendserben (DD-ben) = e + e + e F nda= F dv ( A) ( V ) - henger koordináta-rendserben (H-ben) = e + eϕ + e ϕ Alkalmava a Gauss-Ostrogradskij tételt: F = = ( q+ F ) dv V A integrálnak bármel ( V ) válastás esetén el kell tünnie a integrandus érus ( ) q+ F = egensúli egenlet(ek) ( vektor egenlet 3 darab skalár egenlet) A fesültségi tenor diadikus alakja: F = ρ e + ρ e + ρ e A térfogaton megosló terhelés sűrűségvektora: q = qe + qe + qe A skalár egensúli egenletek előállítása a DD-ben: ρ ρ ρ q = ( ρ e + ρ e + ρ e ) e + e + e + q = 5

53 τ τ q = τ τ q = aegensúli egenletek skaláris alakja τ τ q = b) A fesültségi tenor simmetriája: M = = r qdv + r F n da V A ( ) ( ) Átalakítás a Gauss-Ostrogradskij féle integrál átalakítási tétellel: = ( r q+ r F ) dv V ( ) A integrálnak bármel ( V ) válastása esetén el kell tünnie a integrandus érus A sorat differenciálását elvégeve: = r ( q+ F ) + r F = egensúli egenlet r r r F = F e e ρ e ρ e + F + F e = r e ρ A fesültségi tenor vektorinvariánsa: F = ( ρ e + ρ e + ρ e) Invariáns: koordináta-rendsertől független ( koordináta transmormációval semben váltoatlan állandó) Például a F vektor iránú koordinátája: = F e= e e + e e + e e = veges sorat = ρ e + ρ e = τ + τ τ = τ ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) ] 53

54 Uganeel a gondolatmenettel elő lehet állítani a F többi koordinátáját is: τ = τ τ = τ A F fesültségi tenor simmetrikus Tétel: Minden simmetrikus tenor vektorinvariánsa érus c) A eredmének össefoglalása : F= F + q= egensúli egenlet M = F= F T a fesültségi tenor simmetrikus Egensúli egenletek: kapcsolat a térfogati terhelés és a belső erőrendser fesültségi állapota köött 5 inematikai /geometriai/ kompatibilitási egenletek 5 A elmodulásmeő derivált tenora Q uq = u dr u P A test eg tetsőleges P pontjának elemi körneetét visgáljuk meg A Q a P pont elemi körneetében helekedik el u P dr = de + d e + d e u= u = ue + ve + we ( ) ( ) ( ) ( ) u = u u = u u Sorfejtés: Q P P lineáris rés magasabb rendű tagok u u u u = up + d + d + d + (()) P P P u u u Lineáris köelítés esetén: u du Ha d = d = u = u d Ha d = d = u = u d Ha d = d = u = u d elatív elmodulás vektorok: 54

55 u u v w u = = e + e + e u u v w u = = e + e + e u u v w u = = e + e + e A elmodulásmeő hel serinti megváltoása lineáris köelítés esetén: u u u u du = d + d + d P P P e dr e dr e dr u u e e dr + dr + u e dr u u u du = ( u e + u e + u e) dr = e + e + e dr = D dr du = D dr A elmodulásmeő derivált tenora: u u u D = ( u e + u e + u e) D = e + e + e D= u Nem simmetrikus tenor! A derivált tenor mátria a koordináta-rendseben: u u u v v v D = w w w u u u A elmodulásmeő skaláris koordinátái: ( ) ( ) ( ) u= u v= v w= w T T A derivált tenor felbontása: D= ( D+ D ) + ( D D ) simmetrikus rés ferdesimmetrikus rés 5 A alakváltoási tenor 55

56 T ( ) ( ) A= D+ D = u + u is alakváltoások esetén e a tenoregenlet a kinematikai/geometriai egenlet E a egenlet a u elmodulásmeő és a A alakváltoási (tenor) meő kapcsolatát adja meg A alakváltoási tenor elemeinek jelölése: ε γ γ A = γ ε γ γ γ ε α α α Simmetrikus tenor A derivált tenor felhasnálásával a alakváltoási tenor koordinátái: u v u w u + + u v v w v A = + + u w v w w + + A kinematikai /geometriai egenletek skaláris alakja: u u v ε = γ = γ = + v v w ε = γ = γ = + w u w ε = γ = γ = + 53 A forgató tenor T ( D D ) ( u u) Ψ= = 56