1. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Trigonometria, vektoralgebra

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Trigonometria, vektoralgebra"

Imre Magyar
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK. MECHNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozta: Tiesz Péte eg. ts.; Tanai Gábo ménök taná) Tigonometia vektoalgeba Tigonometiai összefoglaló c a b b a sin = cos = c c b a tg = ctg = = a b tg. O 45 O 45 o 60 o 30 3 o o sin 45 = cos45 = = o tg45 = ctg45 =. o sin 30 = cos30 tg o 3 30 = 3 = 3 o 3 sin 60 = cos60 o 3 ctg 60 = = 3 3 o o 3 = o ctg 30 = 3 o = o tg 60 = 3 c a = ccos b= csin a + b = c cos + sin =. sin cos sin cos cos sin cos sin sin > 0cos > 0 sin > 0cos < 0 sin < 0cos < 0 sin < 0cos > 0 tg = ctg > 0 tg = ctg < 0 tg = ctg > 0 tg = ctg < 0 Vektoalgebai összefoglaló Skaláis menniség: nagság (előjel) és métékegség jellemzi. Vekto menniség: nagság (előjel) ián és métékegség jellemzi. -Tigonometia-Vekto /5

2 .. Példa Vektook megadása: a j 0 i a a e a Egségvektook: i j ; i = j = ; Eg tetszőleges vekto: a = ai + a j ; a = a cos i + a sin j = a (cosi + sin j) ; a Mivel: a = a ea ; ea = a ea : az a vekto ián-egségvektoa. a = a + a (a vekto nagsága); e = cos + sin = a Vektook összeadása: Ha: a = ai + a j b = bi + b j. kko: a+ b = ( ai + a j) + ( bi + b j) = ( a + b) i + ( a + b) j = c. c c két vekto összegének megszekesztése: b a c a c Háomszög szabál b Paalelogamma szabál Vektook kivonása: Ha: a = ai + a j b = bi + b j akko: a b = ( ai + a j) ( bi + b j) = ( a b) i + ( a b) j = d d d Két vekto különbségének megszekesztése: b d b a a b d a+ ( b) = d a b = d -Tigonometia-Vekto /5

3 Vektook szozása skaláal (az eedmén: vekto): a = ai + a j + azk ; λa = λ a i + a j + a k = λa i + λa j + λa k ; ( ) z z λa = λ a + λ a + λ a = λ a + a + a = λ a z z Vektook skaláis szozása (az eedmén: skaláis menniség): Ételmezése: a b = a b cos ahol a = a i + a j + azk b = b i + b j + bzk valamint a két vekto által bezát szög. Kiszámítása: a b = a b + a b + a b vag a b = a + a + a b + b + b cos z z Egségvektook skaláis szozata: i i = j 0 j = k k = mivel cos 0 = i 0 j = 0 i k = 0 j k = 0 mivel cos 90 = 0 Általánosítás: a a = a és a b = 0 a b. z z Vektook vektoiális szozata (az eedmén: vekto): Ételmezése: a b = a b sin ami az eedménvekto abszolút étéke. a b b a b sin m a a a i a j a k Ha: = + + z b b i b j b k kiszámítása = + + z i j k a b = a a az = i( abz baz) j( abz baz) + k( ab ba) b b b z z eedménvekto meőleges mindkét vektoa (az általuk meghatáozott síka). Egségvektook vektoiális szozata: i i = 0 j j = 0 k k = 0 (mivel 0 sin 0 = 0 ). Általánosítás: a b = 0 a b. Jobbkéz-szabál! z 0 pl.: i j = i j sin 90 = k i j k i j i j = k j k = i k i = j j i = k i k = j k j = i Házi feladat: a b = ( a i + a j + a k) ( b i + b j + b k) =... z z kiszámítása. Jobbkéz-szabál! k i j -Tigonometia-Vekto 3/5

4 .. Példa dott: a = 0i + 5 j a. Koodináta tengeleke eső vetületek meghatáozása (síkbeli eset). b. z e a ián-egségvekto meghatáozása. a j O a β i a e a a. vetületek meghatáozása a i = a i cos = a cos = a = a j = a j cos β = a cos β = a a i = (0i + 5 j) i = 0 i i + 5 j i = 0 = = 0 a j = (0i + 5 j) j = 0 i j + 5 j j = 5 = 0 = a = 0 a = 5 b. ián-egségvekto kiszámítása a = a e a a 0i + 5 j 0i + 5 j 0 5 ea = = = = i + j = i j a e = i j a Ellenőzés: e = = = -Tigonometia-Vekto 4/5

5 . 3. Példa dott: F = (40i + 50 j) N F = ( 0i + 4 j)n. F 50 F F a. két eő F0 = F+ F összegvektoának meghatáozása. b. két eő F* = F F különbségvektoának meghatáozása. c. két eővekto által bezát szög meghatáozása F 0 0 F 0 30 F F a. két eő F0 = F+ F összegvektoának meghatáozása: F0 = F+ F = (40i + 50 j) + ( 0i + 4 j) = (0i + 54 j) N. F0 = (0i + 54 j) N b. két eő F* = F F különbségvektoának meghatáozása: F* = F F = (40i + 50 j) ( 0i + 4 j) = (60i + 46 j) N. F* = (60i + 46 j) N c. két eővekto által bezát szög meghatáozása: F F F F = F F cos cos =. F F F F = 40( 0) = = 600 N F = F + F = = N ; F = F + F = = 0 40 N 600 cos = = = accos( ) = Tigonometia-Vekto 5/5

6 . 4. Példa dott: F = (40i + 8 j 6 k) kn F = ( i + j + 3 k ) kn F = ( F j). 3 3 Mekkoa legen F 3 ha azt akajuk hog ( F + F3) meőleges legen F -e? Ha a b akko a b = 0= a b cos = 0. o 90 Ezét teljesülnie kell az ( F + F3) F = 0 összefüggésnek. ( F+ F3) F = 40 i + (8 + F3 ) j 6 k ( i + j + 3 k) = (8 + F3 ) 6 3 = 0 F3 F = 3 F 3 = 6kN = 0 -Tigonometia-Vekto 6/5

7 . 5. Példa dott: eg hasáb valamint a H pont hele: B = 8m BE = 3m D = 6m FH = 05BF. a) H pont H helvektoának D z G C e H F meghatáozása. b) H-ból a B pontba mutató HB helvekto meghatáozása. O B E a. H pont H helvektoának meghatáozása: = +. H OF FH = = (8 j + 6 k ) m OF FH F = 05 BF = e ; és FH = ( 3i + 6 k ) m BF FH FH = 05 = m BF BF e = = ( 3 i + 6 k ) m ; 45 BF = + z = = = 45 m BF BF BF 45 FH = FH e = ( 3 i + 6 k ) = ( 5 i + 3 k ) m 45 = + = (8 j + 6 k) + ( 5 i + 3 k) H OF FH = ( 5i + 8 j + 9 k ) m. H b. H-ból a B pontba mutató HB 3 3 HB = BF e = 45 ( 3i + 6 k ) m 45 = (45i 9 k ) m HB Másképp: B = OB = ( i + j) helvekto meghatáozása. 3 8 m = = (3i + 8 j) ( 5i + 8 j + 9 k) = (45i 9 k) m HB B H -Tigonometia-Vekto 7/5

8 .6. Példa dott eg háomszög-alapú egenes hasáb melnek egik csúcsa az oigó többi pedig helkoodinátáival van megadva. z 50 C E ( )mm B ( 0500)mm C ( 0060)mm D ( )mm E ( 05060)mm. 60 D 30 O B 40 a. Hatáozza meg az OE OD E BE helvektookat! b. Számítsa ki a CDE háomszög és az BED téglalap teületét! a. Elsőként az oigóból az eges csúcsokba mutató helvektook meghatáozása szükséges: B C D E = O = ( 30i + 40 j )mm = OB = ( 50 j )mm = OC = ( 60k )mm = OD = ( 30i + 40 j + 60k )mm = = ( 50 j + 60k )mm. OE C i k O z j D E D E E BE B Látható hog a kédéses helvektook közül kettő má kiszámítása keült. maadék kettőt a következőképpen lehet meghatáozni: E = E = ( 30i + 0 j + 60k )mm = = ( 60k )mm. BE E B -Tigonometia-Vekto 8/5

9 b. CDE háomszög teülete a CD oldaláa tüközéssel kapott paalelogamma teületének fele. paalelogamma teülete definíció szeint: T * = CEDE CE DE C CE E íg a háomszög teülete: DE T CDE = CE DE. E * D Ehhez szükséges a fenti két helvekto meghatáozása: CE DE CE = E C = ( 50 j )mm = = ( 30i + 0 j )mm E D i j k = = k DE ( 500 ) mm T CDE = = 750 mm. z BED téglalap mint speciális helzetű paalelogamma teülete: T BED = DE BE DE i j k = = j BE ( 600i ) mm T = = = mm. BED DE BE Megjegzés: kapott eedméneket édemes összevetni a középiskolában megtanult teületszámítási módszeekkel. -Tigonometia-Vekto 9/5

10 .7. Példa dott két eő vektoa: F = ( 40i 0 j ) N F = ( 5i + 0 j )N. F F a. Hatáozza meg a két eő eedőjét illetve különbségét szekesztéssel és b. számítással! c. dja meg az eők hatásvonalának ián-egségvektoait! a. Szekesztéshez két módsze választható: a paalelogamma vag a háomszög módsze. Összeadásnál a paalelogamma módsze a következő:. páhuzamost húzunk az F eő végpontján keesztül az F hatásvonalával. uganezt a lépést végehajtjuk az F végpontjában az F hatásvonalával 3. a két eő közös kezdőpontjából a páhuzamosok metszéspontjába mutató vekto a két eővekto eedője (összege). két eő különbségének szekesztésénél a következő átalakítást használjuk fel: F F = F + ( F ) azaz elsőként előállítjuk az F vekto (-)-szeesét és az előzőekben leít lépések alapján elvégezzük a szekesztést. F F + F F F + F F F F F F F F F háomszög módsze lépései (mind az összeg illetve különbség megszekesztésée):. az F vektot eltoljuk az F végpontjába. az F kezdőpontját és az F végpontját összekötő vekto a két eő eedője (összege). -Tigonometia-Vekto 0/5

11 b. Két (vag több) vekto összegét illetve különbségét úg kapjuk hog a megfelelő skalá-koodinátákat összeadjuk illetve kivonjuk: F ± F [( F ± F ) i + ( F ± F ) j + ( F F ) k ] = z ± F + F F F = ( 35i + 0 j ) N = ( 45i 30 j )N c. z eők hatásvonalának ián-egségvektoai: = F ( 40i 0 j) ( 40i 0 j) ( 40i 0 j) 4 = = = = F ( 5i + 0j) ( 5i + 0j) ( 5i + 0j) 4 e i j F e = = = = = i + j F z 4 e = i j e = i + j 7 7 -Tigonometia-Vekto /5

12 . 8. Példa dott: = (4 i + j) m = ( i + 3 j) m B a. z OB háomszög T 0 teületének meghatáozása b. z OB háomszög -hoz tatozó m magasságának meghatáozása j O B i B m T 0 a. vektoiális szozás alapételmezése szeint: T0 = B = B sin = m i j k B = 4 0 = k( ) = ( k) m 3 0 m vag = (4 i + j) ( i + 3 j) = 0+ k k + 0 = ( k) m B T0 = 55m b. Ismét az alapételmezés alapján: = sin = m B B B m= = = 67m 4 = + = 4 + = 4 és ebből m= 67m -Tigonometia-Vekto /5

13 . 8. Példa dott: a = i + 4 j és b = 6i + 6 j a. b vekto a iána eső vetületének és összetevőjének meghatáozása. b. b vekto a iána meőleges vetületének és összetevőjének meghatáozása. 6 4 b b O 6 b II a e a a. b vekto a iána eső vetületének és összetevőjének meghatáozása. a b = a b cos = a b bii a b = = = 96 II a = + 4 = = a ea = = (i + 4 j) = (09486i j) a 65 b II a b 96 = = 759 a 65 b vekto a iánú összetevője: bii = bii ea = 759(09486i j) = (7999i j) 7i + 4 j b = 7i + 4 j II b. b vekto a iána meőleges vetületének és összetevőjének meghatáozása. a b = a b sin b i j k a b = 4 0 = k(7 4) b a b 48 = = 3 79 a 65 a b = 48 -Tigonometia-Vekto 3/5

14 a b a ( a b) a b = = = i j a a a e a ( a b) a = 48 k (i + 4 j) = (576 j 9 j) b = i j és a =60 Ellenőzés: b = b + b = (7i + 4 j) + ( i + 36 j) = (6i + 6 j) II -Tigonometia-Vekto 4/5

15 . 9. Példa dott két vekto: c = ( 0i + 60 j 90k ) m d = ( i + j + k )m. Hatáozza meg a a. c helvekto d iánába eső összetevőjét illetve b. az aa meőleges összetevőjét! feladat tulajdonképpen eg vekto felbontása eg adott iánnal páhuzamos és aa meőleges vektoa. a. Vektook skaláis szozatáa vonatkozó összefüggés: c d = d c cos c c d 0 ( ) c = = = = 3 33 m. d Vekto ebből úg lesz hog a kapott skalá számot megszoozzuk a d vekto hatásvonalának ián-egségvektoával: e d d = = i + j + k d c = c ed = i j k m b. meőleges összetevőt úg kapjuk meg a legegszeűbben ha az eedeti c vektoból kivonjuk az előbb kiszámolt páhuzamos összetevőt: c = c c = 0 i + 60 j + ( 90 ) k m c = i + j k m Tigonometia-Vekto 5/5

Hasonló dokumentumok

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás SZÉHENYI ISTVÁN EGYETE GÉPSZERKEZETTN ÉS EHNIK TNSZÉK 6. EHNIK-STTIK GYKORLT Kidolgozta: Tiesz Péte egy. ts. Négy eő egyensúlya ulmann-szekesztés Ritte-számítás 6.. Példa Egy létát egy veembe letámasztunk