Rugalmas hullámok terjedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai

Átírás

1 Rugalmas hullámok tejedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai Milyen hullámok alakulhatnak ki ugalmas közegben? Gázokban és folyadékokban csak longitudinális hullámok tejedhetnek. Szilád közegben longitudinális és tanszvezális hullámok is tejedhetnek Mekkoa sebességgel tejed egy hullám? (a sebesség kapcsolata ugalmas állandókkal) Hogyan tudjuk meghatáozni a defomáció idő- és helyfüggését, a kezdeti kitéés és a kezdeti sebesség ismeetében? (mozgásegyenle Longitudinális hullám tejedése vékony ugalmas údban Milyen kapcsolat van a közeg pontjainak elmozdulása (Ψ) és ugalmas eőe jellemző mechanikai feszültség (σ) között? l + l l Hooke-tövény: l l E l σ E Ψ(, +Ψ(, l Ψ(+, + +Ψ(+, A defomáció és a mechanikai feszültség kapcsolata: [ + + Ψ( +, ] [ + Ψ(, ] l Ψ( +, Ψ(, l l σ E σ (, E Hogyan mozog a kicsi hosszúságú daab, ha údban σ(, feszültség van jelen? + σ (, E m a σ( +, σ(, ρ ρ σ σ( +, σ(, E E ρ E ρ Tanszvezális hullám tejedése vékony kifeszített húon hullámegyenlet c c E ρ l ρ sűűségű, keesztmetszetű, eővel feszített hú c c ρ

2 Könnyű megmutatni, hogy a hullámegyenletnek tetszőleges f és g függvényeke a Ψ (, f ( t m c) és Ψ(, g( m c megoldása! Háomdimenziós hullámegyenlet c + + y z ontosabb speciális megoldások Az tengely iányába tejedő hamonikus síkhullám A hullámegyenlet szeepe dinamikai alapegyenlet (mozgásegyenle egyételmű megoldásához szükséges kezdeti helyzet kezdeti sebesség hatáfeltételek (peemfeltételek) Ψ (, A sin + α Az oigóból kiinduló hamonikus gömbhullám A Ψ O (, sin ω t + α + y + z A z tengelyből kiinduló hamonikus hengehullám z A Ψ (, sin ω t + y c + α y Enegiaviszonyok hullámtejedésnél. A hullám intenzitása A hullámtejedés enegiaviszonyait jellemző fizikai mennyiségek A közeg, amelyben a hullám tejed (szakaszonkén folytonosan tölti ki a teet. Íg a fizikai mennyiségek a tömeghez vagy az elektomos töltéshez hasonlóan a közeg teljes téfogatában oszlanak el, és az eloszlásukat az adott fizikai mennyiség sűűsségével jellemezzük. Például a tömeg esetén, ha közeg kicsiny V téfogatú téészében m tömeg van, akko a tömegsűűség ρ m/ V. (Pontbeli étékét a V hatáátmenettel kapjuk meg.) Szingulaitás hiányában véges, nem nulla tömeggel csak egy nem zéus téfogatú téész endelkezik. Egy nulla téfogatú téészben a tömeg étéke nulla. Az enegia (és más mennyiségek is) a közeg teljes téfogatában oszlik el. Véges, nem zéus enegiával csak a közegnek egy nem zéus téfogatú (és tömegű) észe endelkezik.

3 Enegiasűűség: w A közeg (kicsi) V téfogatú észében lévő enegia és a V hányadosa: w / V. Enegiaáamlás eőssége (vagy sugázási teljesítmény): P Az enegiaáamlás iányáa meőleges kicsiny felületen kicsiny t idő alatt átáamló enegia és a t hányadosa: P / t. Enegiaáamlás sűűsége (vagy teljesítménysűűség) : Az enegiaáamlás iányáa meőleges kicsiny felülete vonatkozó P enegiaáamlás eősség és a hányadosa: P/ /( t ). A hullám intenzitása: Az enegiaáamlás (átlagos) sűűsége. t Enegiasűűség vékony ugalmas údban tejedő longitudinális hullám esetén A mozgási enegia sűűsége A közeg (kicsi) V téfogatú ( m tömegű) észének mozgási enegiája W k ρ V v ρ V w k V k ρ W k m v A helyzeti enegia sűűsége Mennyi a közeg (kicsi) V téfogatú észében felhalmozódó helyzeti enegia? Ψ(, +Ψ(, l E l D l l, + Ψ(+, l + +Ψ(+, Miből számazik a helyzeti enegia? A megnyúlás és összenyomás következtében a ugalmasság miatt helyzeti enegia halmozódik fel a közegben. A ugalmas eőket a Hooke-tövényből hatáozhatjuk meg: l l l E E D D ( l) E ( l) W p E p E ρc V w p p V ρc A teljes mechanikai enegia sűűsége w w k + wp

4 Háomdimenziós hullám enegiasűűsége w k ρ w p ρc + y + z w w k + w p Haladó hamonikus síkhullám enegiasűűsége Ψ A sin + α A ω cos + α ω A cos + α c ρ ω A cos w k + α ρ ω A cos w p + α Édekes, hogy w k w p, azaz a mozgási és helyzeti enegia ugyanazzal a fázissal változik. Ez elté a tömeg-ugó endszenél tapasztalttól (ott π/ fázis van közöttük)! cos w wk + wp ρ A ω + α, felhasználva a cos cos + α α összefüggést Haladó hamonikus síkhullám enegiasűűsége ρ ω + ρ ω w A A cos ω t + α enegiasűűség kitéés Az animációból és a képletből jól látszik, hogy az enegia is hullámszeűen tejed! Az enegiasűűség egy adott pontban egy állandó éték köül ingadozik. Az állandó étéke megegyezik az enegiasűűség egy peiódusa vonatkozó átlagával: w ρ A ω

5 Haladó hamonikus síkhullám intenzitása Láttuk, hogy a hullámban az enegia c sebességgel áamlik a tejedés iányába. Ha a tejedési iánya meőleges nagyságú felületen enegia áamlik át t T idő alatt, akko az intenzitás /( t ). T idő alatt (egy peiódussal később) minden mennyiség ugyanazt az étéket veszi fel, és közben a hullám λ ct utat tesz meg. λ ct Így nagyságú felületen annyi enegia áamlott keesztül, mint amennyi a V λ téfogatban volt: w V t w T ct w c w ρ A ω ρ A ω c ρv ma c A hullám intenzitása az amplitúdó négyzetével aányos, azaz A Ez más hullámoka is évényes fontos összefüggés! Hasonlóan általánosan évényes, hogy a hullám intenzitása az enegiasűűség egy peiódusa vonatkozó átlagos étékének és a tejedési sebesség szozata: w c Álló hamonikus síkhullám enegiasűűsége Édemes összehasonlítani a haladó és az állóhullám enegiasűűségét! Az állóhullámot leíó fomulából kiszámítható az enegiasűűség (gyakoló felada. Ψ π α A cos + λ α π α sin t + T + α, w ρ + c helyzeti enegia sűűsége mozgási enegia sűűsége teljes enegia sűűsége kitéés Látható, hogy az állóhullám enegiaviszonyai sokkal inkább hasonlít a ugó-tömeg endszee, mint a haladó hullámé! tt a mozgási és helyzeti enegia között a csomópontokat és duzzadóhelyeket kivéve π/ fáziskülönbség van.

6 A gömbhullám amplitúdójának csökkenése A Ψ A (, sin ω t + α A A() Azaz a gömbhullám amplitúdója a foástól mét távolsággal fodított aányban csökken! Mivel magyaázható ez a csökkenés? z Kapcsolatos-e enegiaelnyeléssel? Q Ha hullámfoás teljesítménye P, akko a foásból t idő y alatt P t enegia lép be a közegbe, és tejed tova c P sebességgel a hullámban. O Ha a közegben nincs enegiaelnyelés, akko a foástól távolsága, az sugaú gömbfelszínén t idő alatt szintén P t enegia áamlik át. Az enegiaáamlás eőssége a gömb felszínén megegyezik a foás teljesítményével, hiszen P / t P. A hullám intenzitása, a gömbszimmetia miatt a gömb felszínén állandó, azaz (), és mivel a gömb felszíne 4π, így P ( ) 4π P 4π A A hengehullám amplitúdójának csökkenése hasonlóan látható be. A A hullámok elnyelődése Láttuk, hogy a tejedés soán enegiaelnyelés hiányában az intenzitás síkhullám esetén állandó, hengehullám esetén /-el aányosan, míg gömbhulláma / -tel aányosan csökken. Ha a közegben a ezgési enegia elnyelődik, például ugalmas hullám esetén a belső súlódás miatt hővé alakul, akko a hullám intenzitása gyosabban csökken a távolság függvényében. Az tengely iányába tejedő hamonikus síkhullám esetén az intenzitás csökkenése a tapasztalat szeint általában eponenciális, azaz µ ( ) e az intenzitás az helyen, és µ a közeg elnyelési (abszopciós) tényezője. Magyaázat: Ha a közeg és + közé eső kicsi észében elnyelt enegia, és így a intenzitás csökkenése aányos az intenzitással és a közeg vastagságával, akko µ d d µ ( ) Az /µ az a távolság, amely alatt a hullám intenzitása e-ad észée csökken. Mivel /µ aa jellemző, hogy a hullám milyen mélyen hatol a közegbe, behatolási mélységnek nevezik. e µ A hullámban ezgő mennyiség té- és időbeli függését leíó fomula: Ψ (, A e ( µ ) sin ω t + α