Optika gyakorlat 6. Interferencia. I = u 2 = u 1 + u I 2 cos( Φ)

Átírás

1 Optika gyakorlat 6. Interferencia Interferencia Az interferencia az a jelenség, amikor kett vagy több hullám fázishelyes szuperpozíciója révén a térben állóhullám kép alakul ki. Ez elektromágneses hullámok esetén általában világos-sötét interferencia csíkok formájában gyelhet meg. Legyen a két hullám a következ : u 1 = U 1 e iφ 1 u 2 = U 2 e iφ 2 A szuperpozíció elvének megfelel en a kialakuló térer sség összegképzéssel számolható: u = u 1 + u 2 A meggyelhet mennyiség azonban nem maga a térer sség, hanem az intenzitás: I = u 2 = u 1 + u 2 2 I = U U U 1 U 2 cos(φ 1 Φ 2 ) I = I 1 + I I 1 I 2 cos( Φ) ahol Φ = Φ 1 Φ 2. A kialakuló intenzitás tehát nem csak egyszer en az intenzitások összege lesz. Abban az esetben ha a két hullám ellenfázisban van: Φ = (2 n + 1) π destruktív interferencia lép fel és a kialakuló intenzitás minimális. Ha a két hullám azonos fázisban van: Φ = (2 n) π konstruktív interferencia lép fel és a kialakuló intenzitás maximális. Abban a speciális esetben ha a két interferáló hullám intenzitása azonos: I 1 = I 2 = I 0 az összintenzitás a következ képpen alakul: tehát az intenzitás 0 és 4 π között változik. I = 2 I 0 (1 + cos Φ) = 4 I 0 cos 2 Φ 2 Az interferencia láthatóságának jellemzésére szolgáló mennyiség a kontraszt: C = I max I min I max + I min C = 2 I 1 I 2 I 1 + I 2 Interferencia csak koherens, vagy részlegesen koherens nyalábok szuperpozíciója esetén - gyelhet meg. 1

2 1. ábra. A láthatóság jellemzésére szolgáló kontraszt Koherencia Koherencia hossz (L c ) A koherencia hossz az a távolság amelynél kisebb úthosszkülönbség esetén még meggyelhet az interferencia jelensége. Koherencia id (τ c ) Az az id mely a fénysebességgel terjed hullám számára a koherencia hossz megtételéhez szükséges. A koherencia id kifejezhet a hullámok frekvenciájának ismeretében: ahol ν a frekvencia különbség. 2. példa: Két síkhullám interferenciája τ c 1 ν Határozzuk meg két azonos intenzitású, egymással Θ szöget bezáró síkhullám interferenciájakor kialakuló intenzitáseloszlást! 2. ábra. Két síkhullám interferenciája Megoldás: Az egyik hullám haladjon a z-tengely irányába, míg a másik zárjon be Θ szöget a z-tengellyel: u 1 = U 0 e i Φ 1 = U 0 e i k z u 2 = U 0 e i Φ 2 = U 0 e i (k cosθ z+k sinθ x) Vizsgáljuk az interferenciát a z = 0 síkban, ahol a fáziskülönbség: Ekor az interferenciakép intenzitáseloszlása: Φ = k sinθ x I = 2 I 0 [1 + cos(k sinθ x)] 2

3 Az így kialakuló mintázat x-nek harmonikus függvénye, ahol a periódus: d = d = 2 π k sinθ λ sinθ Alkalmazás: Az interferencia lehet séget nyújt nagy felbontású harmonikus mintázat létrehozására, mely dirakciós rácsként alkalmazható. Interferencia jelenségek csoportosítása ˆ Komponensek alapján: kétsugaras többsugaras ˆ Létrehozási mód alapján: amplitudó osztás hullámfront osztás ˆ Állóhullám kép alapján: helyfügg interferencia irányfügg interferencia 3. ábra. Hullámfront-osztásos interferométerek: (a)fresnel-féle biprizma, (b)lloyd tükör 4. ábra. Amplitudó-osztásos interferométerek: (a)michelson interferométer (b) Mach- Zehnder interferométer 3

4 5. ábra. Young-féle kétréses interferencia kísérlet 3. példa: Young-féle kétréses interferométer A fénynyaláb útjába helyezett lemezen két rés található, melyek egymsától D távolságra helyezkednek el. Vizsgáljuk a lemezt l z távolságra elhelyezett erny n kialakuló interferenciaképet az Θ látószög, illetve az x tengelyt l mért távolság függvényében. Megoldás: Az α látószög alatt elhelyezked pontba érkez két fénysugár által megtett optikai úthosszak különbsége: OP L = n D sinθ Ebb l a fáziskülönbség: Φ = OP L 2 π λ Φ = n D sinθ 2 π λ Ezek alapján meghatározható, hogy milyen látószögek esetén alakul ki konstruktív illetve destruktív interferencia. Az intenzitás maximumok helyei: míg a minimumok helyei: sinθ = sinθ = m λ n D (2 m + 1) λ 2 n D ahol m tetsz leges egész szám. Fejezzük ki az intenzitás eloszlást a tengelyt l mért x távolság függvényében: I = 2 I 0 (1 + cos( Φ)) I = 2 I 0 (1 + cos(n D sinθ 2 π λ )) 4

5 Ha az erny elég messze helyezkedik el a lemezt l és csak a tengely közelében vizsgálódunk akkor x << z miatt: Θ sinθ tgθ = x z Ezt felhasználva az intenzitáseloszlásra kapjuk: 4. példa: Mach-Zender interferométer I = 2 I 0 (1 + cos(n D x z 2 π λ )) I = 4 I 0 cos 2 (n D x z π λ ) Az ábrán egy Mach-Zender interfométer látható. A két ágban egy-egy azonos méret üvegcella található, benne 1 atm nyomású gázzal. Tegyük fel, hogy a gáz törésmutatója a következ összefüggés szerint függ a gáz nyomásától: n = 1 + Ap. Az egyik cellából a gázt fokozatosan kiszivattyúzzuk. Ennek hatására 100 db minimum-maximum intenzitás periódust detektálunk a detektoron. Határozzuk meg az A paraméter értékét! A fény hullámhossza λ = 632nm, a cella mérete l = 10cm. 6. ábra. Mach-Zender interferométer Megoldás: Az fázistolás a szivattyúzott ágban a OP D optikai úthosszkülönbség hatására: Φ = 2π λ OP D = 2π λ n l = m 2π, ahol m = 100 Φ = 2π λ (1 + Ap 1) l = m 2π A = m λ l p = = [1/P a] 5. példa: Newton gy r k Az ábrán látható lencsét felülr l nézve koncentrikus sötét-világos csíkokat látunk (ezek a Newton gy r k). Határozzuk meg a gy r k sugarát! A lencse görbületi sugara R. A fels lencsefelületr l nincs reexió (antireexiós réteggel van ellátva). A megvilágító fény σ lineárisan polarizált. A lencse és a sík felület - amin a lencse fekszik - törésmutatója legyen n. 5

6 7. ábra. Newton gy r k Megoldás: Mivel a σ lineárisan polarizált fény az optikailag s r bb közegr l való való visszaver dés esetén π fázistolást szenved el (ρ < 0), a d résen való oda-vissza terjedés során a teljes fázistolás: Φ = 2π λ 2d + π A gyengítés feltétele: Φ = 2π λ 2d + π = (2m + 1) π d = m λ 2 A pitagorasz tétel segítségével felírható:, ahol m = 0, 1,2,... R 2 = ρ 2 + (R d) 2 mivel d R, ρ 2 = d(2r d) d = ρ2 2R A gyengítés feltéle tehát (a sötét csíkok sugara): m λ 2 = ρ2 2R ρ = mλr, ahol m = 0,1,2,... A lencse közepét (m = 0) feketének látjuk, ugyanis itt nincs olyan felület, amir l reexió történne. 6