Optika gyakorlat 9. Dirakció folytatás. 1 i 2π f x x dx. Felhasználva, hogy jelen esetben a transzmissziós függvény τ(x) = tri(x/a): a a.
|
|
- Aurél Balázs
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Optika gyakorlat 9. Dirakció folytatás 1. példa: Dirakciós rés Egy rés transzmissziós függvényét adtuk meg. Számoljuk ki a távoltéri Fraunhofer-féle dirakciós intenzitás eloszlást, bejöv síkhullám E amplitúdó, λ hullámhossz és z erny távolság esetén! tri( x a x a ) = ha x < a a ha x > a 1. ábra. "Háztet " ablakfüggvény vs. négyszög ablakfüggvény Megoldás: Távoltéri Fraunhofer-féle dirakció esetén a kialakuló térer sség a következ Fourier-transzformációs integrál segítségével határozható meg: F = τ(x) e i 2π fxx dx Felhasználva, hogy jelen esetben a transzmissziós függvény τ(x) = tri(x/a): F = a F = a + x a a a a x a e i 2π fxx dx a e i 2π fxx a x dx + e i 2π fxx dx a A Fourier-transzformációs kifejezésben szerepl x e i 2π fxx dx típusú integrál eredménye parciális integrálás segítségével határozható meg: f(x) g (x)dx = [f(x) g(x)] f (x) g(x)dx x e i 2π fxx dx = [x e i 2π fxx i 2π f x x ] 1 e i 2π fxx i 2π f x x dx Elvégezve az integrálásokat, majd egyszer sítve a kifejezést a következ eredményre jutunk: a a x F = e i 2π fxx dx = a 2 sinc 2 (f x a) a a Másik megoldás: A háztet függvény el állítható, mint a négyszög függvény saját magával vett konvolúciója: tri( x a ) = rect(x a ) rect(x a ) 1
2 A Fourier-transzformáció tulajdonságának köszönhet en két függvény konvolúciójának Fouriertranszformáltja megegyezik a Fourier-transzformáltak szorzatával. Ezt felhasználva: F(tri( x a )) = F(rect(x a ) rect(x a )) = F(rect(x a )) F(rect(x a )) Korábban már láttuk, hogy a négyszög függvény Fourier-transzformáltja a sinc függvény: F(rect( x a )) = a sinc(f x a) Tehát a háztet függvény Fourier-transzformáltja: F = a 2 sinc 2 (f x a) A Fourier-transzformációs integrál ismeretében az intenzitás a következ képlet segítségével határozható meg: I = E2 λ 2 F(τ(x)) 2 z 2 I = E2 λ 2 z 2 a2 sinc 2 (f x a) 2 I = E2 λ 2 z 2 a4 sinc 4 (f x a) 2. példa: Optikai rács felbontóképessége Spektroszkópiában a prizmák helyett gyakran dirakciós rácsokat alkalmaznak, mert a rács a spektrumot szélesebb szögtartományra szórja szét, így ez a hullámhossznak pontosabb meghatározását teszi lehet vé. Határozzuk meg a dirakciós rács felbontóképességét! Megoldás: A diszperzió a rácsnak (vagy a prizmának) azt a tulajdonságát méri, hogy dλ hullámhossztartományt milyen dθ szögtartományra szórja szét: D = dθ dλ Minél nagyobb a diszperzió értéke annál nagyobb az egymástól adott távolságra lev színképvonalak szögkülönbsége. Dirakciós rács esetén a hullámhossz és az eltérülési szög közötti összefüggés: d sinθ = m λ ahol m a dirakciós rendet jelöli. Tehát minél magasabb rend a dirakció, annál nagyobb a diszperzió. Átrendezve az egyenletet: sinθ = m d λ λ szerint deriválva az összefüggést: Ebb l a dirakciós rács diszperziója: cosθ dθ dλ = m d dθ dλ = m dcosθ D = dθ dλ = m dcosθ Dirakciós rácsok esetén a diszperzió mellett a rácsok fontos tulajdonsága a felbontóképesség 2
3 is, mely azt határozza meg, hogy a rács egymáshoz mennyire közeli hullámhosszakat tud még megkülönböztetni egymástól: R = λ λ ahol λ a két színképvonal átlagos hullámhossza, λ pedig a hullámhosszkülönbség. A felbontóképesség Rayleigh-kritériuma szerint két egymáshoz közel es azonos intenzitású elhajlási képet akkor lehet felbontani (egymástól megkülönböztetni), ha az egyik dirakciós kép középs maximuma a másik els minimumával esik egybe. Az ilyen elrendezéshez tartozó szögtávolság a legkisebb felbontható szögtávolság: Θ R. 2. ábra. Felbontóképesség Rayleigh-kritériuma Megmutatható, hogy dirakciós rácsok esetén a f maximum élessége, azaz a maximumnak az els minimumtól mért szögtávolsága annál nagyobb, minél nagyobb a rések száma: Θ R = λ NdcosΘ Ugyanakkor dirakciós rács esetén a Θ R szög kicsi, ezért a diszperziós összefüggés segítségével közelíthet, miszerint: Θ R = Θ = D λ Θ R = m dcosθ λ Egyenl vé téve Θ R két kifejezését kapjuk: Ebb l kifejezvea felbontóképességet: m dcosθ λ = R = λ NdcosΘ λ λ = m N Tehát a dirakciós rács felbontóképessége annál nagyobb minél nagyobb a rések száma, illetve minél magasabb rend dirakciót vizsgálunk. 3. példa: Kör apertúra Határozzuk meg egy origó középpontú, R sugarú homogén módon megvilágított kör apertúra távoltéri dirakciós képét! Megoldás: A kör apertúra transzmissziójának leírására használjuk a polárkoordinátás alakban deniált circ(r) függvényt, melyre: { 1 ha r 1 circ(r) = ha r > 1 3
4 Jelen esetben tehát az R sugarú, origó középpontú kör apertúra transzmissziója τ(r, φ) = circ( r R ). Távoltéri dirakció esetén 2 dimenzióban a kialakuló térer sség a következ Fouriertranszformációs integrál segítségével határozható meg: F(f x, f y ) = τ(x, y) E e i 2π (fxx+fyy) dxdy Jelen esetben a τ(r, φ) = circ( r ) transzmissziós függvény következtében praktikus a Descatreskoordinátás alakról polárkoordinátás alakra áttérni a kett sintegrál elvégzéséhez. Ekkor a kö- R vetkez helyettesítéseket alkalmazhatjuk a résen: Az erny n pedig: x = r cosφ y = r sinφ x = r cosφ y = r sinφ Ezeket felhasználva a f x, f y térfrekvenciákra kapjuk: f x = x λ z = r cosφ λ z f y = y λ z = r sinφ λ z Visszahelyettesítve a 2 dimenziós polárkoordinátás alakban felírt Fourier-transzformációs integrál a következ képpen alakul: F(r, φ ) = 2π circ( r R ) E e i 2π r r λz (cosφcosφ +sinφsinφ ) rdrdφ ahol az r szorzó a koordináta-transzformációhoz tartozó Jacobi-determináns. Az addíciós tétel felhasználásával: F(r, φ ) = 2π F(r, φ ) = E circ( r R ) E e i 2π r r λz cos(φ φ ) rdφdr circ( r R ) r 2π e i 2π r r λz cos(φ φ ) dφdr A szög szerinti integrálás elvégzéséhez vezessünk be egy új változót: w = 2π r r λz Ezzel a szög szerinti integrál a következ alakba írható: 2π e i w cos(φ φ ) dφ Az ilyen típusú integrálok I. fajú Bessel függvényeket eredményeznek. Az I.fajú.rend Besselfüggvény integrális formában felírt deníciója: J (w) = 1 2π e i w cos(φ φ ) dφ 2π 4
5 Ezeket felhasználva a 2 dimenziós polárkoordinátás Fourier-transzformációs integrál szög szerinti integrálja elvégezhet : F(r, φ ) = E F(r, φ ) = E circ( r R ) r 2π e i 2π r r λz cos(φ φ ) dφdr circ( r R ) r 2π J (2π r r λz )dr Kihasználva a circ( r ) transzmissziós függvény tulajdonságait az integrál tovább egyszer síthe- R t : F(r, φ ) = E R 2π r J (2π r r λz )dr A sugár szerinti integrálás elvégzéséhez használjuk fel, hogy az I. fajú Bessel-függvények szomszédos rendjei a következ formula segítségével származtathatók egymásból: Ezt a.rend és 1.rend között felírva: Integrálva a kifejezést kapjuk: w dj n dw + n J n = w J n 1 w dj 1 dw + J 1 = w J d(w J 1 ) dw w J 1 (w) = w = w J w J (w )dw Ilyen alakra hozva a Fourier-transzformációs egyenelet sugár szerinti integrálását: F(r, φ ) = E ( λz r ) 2 1 2π r R 2π λz 2π r r λz J (2π r r λz )d(2π r r λz ) Elvégezve az integrálást kapjuk: Egyszer sítve a kifejezést: F(r, φ ) = E ( λz r ) 2 1 2π 2π r R λz J 1 (2π r R λz ) F(r, φ ) = E λz r R J 1 (2π r R λz ) Átrendezve az egyenletet: F(r, φ ) = E 2π R 2 J 1 (2π r R λz ) 2π r R λz Tehát az R sugarú kör apertúra távoltéri dirakciós képe a fenti kifejezéssel írható le polárkoordinátás alakban. A dirakciós folt középpontjában a kifejezés értéke a Bessel-függvény tulajdonságainak következtében: J 1 (w) lim w w = 1 2 5
6 Ezt felhasználva: lim r F(r, φ ) = E π R 2 2J 1 (2π r R F(r, φ ) = F() λz ) 2π r R λz 3. ábra. I.fajú 1.rend Bessel-függvény A Fourier transzformációs integrál segítségével kifejezve az intenzitást: 2J 1 (2π r R I(r, φ ) = I ( λz ) 2π r R λz A Bessel-függvény els zérushelyének kitüntetett szerepe van. A teljes intenzitás több, mint 8%- a az els zérushely által bezárt területre esik, melyet Airy-foltnak nevezünk. Az Airy-radiust a Bessel-függvény els zérushelye deniálja: J 1 (w ) = w = 3, = 2π rairyr λz A körapertúrára kapott J 1 Bessel-függvény viselkedése hasonló a téglalapapertúrára érvényes sinc(x) függvény menetéhez, de lecsengése és zérushelyei eltérnek eymástól. A két apertúra dirakciós képeit összevetve megállapíthatjuk, hogy a mellékmaximumok körapertúra esetén sokkal kisebbek, mint téglalapapertúra esetén. ) 2 4. ábra. I.fajú 1.rend Bessel-függvény és sinc függvény els zérushelyei 6
7 Ebb l az Airy-radius az apertúra sugarával kifejezve: r Airy =, 61λz R Gyakorlati szempontból praktikusabb az Airy-radius-t az apertúra sugara helyett a közvetlenül mérhet apertúra átmér segítségével kifejezni. Ez a következ összefüggést eredményezi: r Airy = 1, 22λz D 5. ábra. Airy-folt 4. példa: Dirakciós kép lencsével Vizsgáljuk meg, hogy hogyan alkalmazható a dirakciós integrál a téreloszlás meghatározására abban az esetben ha a vizsgált P (x, y, ρ) pont egy ideális gömbhullám fókuszsíkjában helyezkedik el, ahol a hullám görbületi sugara ρ. Ahhoz, hogy a közeltéri Fresnelközelítés érvényes legyen teljesülnie kell a ρ > d paraxiális közelítésnek, ahol d az apertúra jellemz mérete. Ekkor a megvilágítás az apertúrán egy P felé tartó pontforrás: E(P ) = E e ik ρ 2 +x 2 +y 2 7
8 ahol E konstans téres sségamplitúdó az apertúrán. Az exponensben a közeltéri dirakciós közelítésnek megfelel en másodrend Taylor-sorfejtést alkalmazva kapjuk: E(P ) = E e ik(ρ+x2 2ρ + y2 2ρ ) Ezt a térer sséget behelyettesítve az általános Huygens-Fresnel deirakciós integrálba E(P ) = i E(P ) eikr λ R dxdy R = ρ helyettesítéssel kapjuk, hogy: k E(x, y, ρ) = i λ E ei 2ρ (x 2 +y 2 ) ρ e ik ρ (xx +yy ) dxdy Mivel a diraktáló nyaláb fázisát a P középpontú gömbhullám fázisához viszonyítottuk, ezért a geometriai optikailag meghatározható k z fázistolás kiesik a képletb l. Továbbá, annak ellenére, hogy a közeltéri Fresnel-közelítésb l indultunk ki a gömbhullám speciális téreloszlásának köszönhet en formailag egy olyan kifejezést kaptunk, amely megegyezik a távoltéri Fraunhofer-dirakció képletével. Ebben a speciális esetben viszont a tengelyirányú távolságot megadó z helyett a gömbhullám ρ sugara szerepel a képletben. Abban az esetben ha egy vékonylencsét helyezünk az apertúra mögé, akkor ρ = f eff távolságra, a lencse fókuszsíkjában jelenik meg a Fourier-transzformálttal leírható dirakciós kép. A Fraunhofer-dirakció elméletének megfelel en a fókuszsík pontjainak a következ térfrekvenciák feleltethet k meg: f x = x λ ρ f y = y λ ρ A Fourier-transzformáció eltolási tulajdonságának megfelel en ha a lencse apertúrájának síkjában a belép tér egy olyan síkhullám, amely Θ x és Θ y szöget zár be az optikai tengellyel, akkor a fókuszsíkban kapott téreloszlás egy olyan fókuszfolt lesz, melynek a középpontja x valamint y távolságra eltolódik a tengelyt l. Tehát a 2D Fourier-transzformált egy adott térfrekvenciájú komponensének zikailag egy meghatározott szög síkhullám felel meg. A belép síkhullám x, y-irányú hullámhosszaiból: Θ x x ρ = λ f x Θ y y ρ = λ f y 8
9 Általános esetben a hullámfront nem ideális, hanem aberrációkkal terhelt, ekkor a térer sség az apertúra síkjában továbbra is másodrend sorfejtéssel közelítve: E(P ) = E e ikop D(x,y) e ik(ρ+x2 2ρ + y2 2ρ ) ahol OP D(x, y) optikai úthossz különbség írja le a hullámfront ideális gömbt l való eltérését. A komplex téreloszlásból az intenzitáseloszlás abszolútérték négyzet segítségével fejezhet ki: I = E2 F(τ(x, y)) 2 (λρ) 2 6. ábra. A lencse a dirakciós képet el rehozza a fókuszsíkba, miközben le is kicsinyíti arányosan, így a dirakciós kép alakja nem torzul. Kör alakú apertúra (R rádiusszal) esetén a lencse Airy-radiuszát úgy kapjuk, hogy a z -t f eff -vel helyettesítjük:, 61λρ r Airy = R 5. példa: Kett s csillag képe Egy kett s csillag L=1 fényév távolságra helyezkedik el a Földt l. A csillagok egymástól való távolsága 1 8 km. Mekkora átmér j távcs re van szükség a kett s csillag képének felbontásához, abban az esetben, ha λ = 5 nm-es hullámhosszat tételezünk fel? A lencse fókusztávolsága f. Megoldás: Az egyszer ség kedvéért feltételezzük, hogy a távcs egy optikai leképezési hibáktól mente, f fókuszú vékonylencse, amelynek felbontóképességét egyedül a dirakció korlátozza. A távoli L távolságra lév csillagok laterális pozíciója az optikai tengely l mérve legyen x és x. Mivel L nagyon nagy, a pontszer csillagokból kiindulú gömbhullámfrontok a lencséhez érve már síkhullámnak tekinthet k, mivel csak egy nagyon kis térszögben veszünk mintát a hullámfrontokból. A síkhullámfrontra mer leges hullámszámvektor irányát felhasználva fénysugár utakat is felrajzolhatunk. A lencsét egymással párhuzamos fénysugarak érik el, amelyek az optikai tengellyel α szöget zárnak be. Geometriai optikából tudjuk, hogy a végtelenb l jöv párhuzamos fénysugarak a fókuszsíkba képz dnek le, azonban ez esetben nem az optikai tengelyena a fókuszpontba, hanem az arra mer leges laterális irányban, a tengelyt l mérve x távolságra fókuszálódnak a sugarak. Feladatunk, hogy meghatározzuk az x távolságot. Erre két megoldást is megmutatunk: 1 - Mátrix optika megközelítés Készítsük el a tárgysík - képsík leképezés transzformációs mátrixát: M = T R T 9
10 7. ábra. Kett s csillag képének leképezése egy erny re M = [ ] 1 f f [ ] 1 L 1 Elvégezve a mátrixszorzást kapjuk a leképezés mátrixát, amely a fénysugér bemeneti pozíciójából és szögéb l maghatározza a kimeneti pozíciót és szöget: [ ] x α = f [ ] 1 1 L x α f f Ebb l kiolvasa az els sort kapjuk: Az α -t paraxiális közelítésben számolva: α = arctan Tehát a képsíkon a két fényfolt távolsága: x = f α ( x ) x L L 2x = 2f α = 2f x L 2 - Nevezetes fényutak megközelítés: A lencse közepén áthaladó fénysugarat vizsgálva megállapítjuk, hogy ez egy ún. nodális pontba mutató sugár, ami fénytörés nélkül halad át a rendszeren, tehát a leképezés el tti és utáni optikai tengellyel bezárt α szög nem változik: ( x ) ( ) x α = arctan = arctan L f x L = x f x = f α = f x L Miután megkaptuk az fényfoltok helyét az erny n, meg kell vizsgálnunk a felbonthatóság feltételét. Dirkació korlátolt leképezésben, kör alakú lencse dirakciós foltja az Airy-folt, amelynek sugara: ρ = 1.22λf, ahol D a lencse átmér je D Két Airy-foltot akkor tudunk megkülönböztetni, ha a középpontjaik távolsága megegyezik az Airy-folt sugarával, vagy annál nagyobb. Felhasználva a fényfoltok távolságára (= 2x ) korábban kapott összefüggést: 2x = ρ 1
11 8. ábra. Két Airy-folt felbonthatósága a távolság függvényében 2 f x L = 1.22λf D D =.61 λ L x = = 577m 11
Optika gyakorlat 6. Interferencia. I = u 2 = u 1 + u I 2 cos( Φ)
Optika gyakorlat 6. Interferencia Interferencia Az interferencia az a jelenség, amikor kett vagy több hullám fázishelyes szuperpozíciója révén a térben állóhullám kép alakul ki. Ez elektromágneses hullámok
RészletesebbenOptika gyakorlat 1. Fermat-elv, fénytörés, reexió sík és görbült határfelületen. Fermat-elv
Optika gyakorlat 1. Fermat-elv, fénytörés, reexió sík és görbült határfelületen Kivonat Geometriai optika: közelítés, amely a fényterjedést, közeghatáron való áthaladást geometriai alakzatok görbék segítségével
RészletesebbenOptika gyakorlat 5. Gyakorló feladatok
Optika gyakorlat 5. Gyakorló feladatok. példa: Leképezés - Fruzsika játszik Fruzsika több nagy darab ívelt üveget tart maga elé. Határozd meg, hogy milyen típusú objektívek (gyűjtő/szóró) ezek, és milyen
RészletesebbenOptika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak
Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József, jegyzet, ELTE, 2007. Akadályok között elhaladó hullámok továbbterjedése nem azonos a geometriai árnyékkal.
RészletesebbenOptika gyakorlat 2. Geometriai optika: planparalel lemez, prizma, hullámvezető
Optika gyakorlat. Geometriai optika: planparalel lemez, prizma, hullámvezető. példa: Fényterjedés planparalel lemezen keresztül A plánparalel lemezen történő fényterjedés hatására a fénysugár újta távolsággal
RészletesebbenOptika gyakorlat 3. Sugáregyenlet, fényterjedés parabolikus szálban, polarizáció, Jones-vektor. Hamilton-elv. Sugáregyenlet. (Euler-Lagrange egyenlet)
Optika gyakorlat 3. Sugáregyenlet, fényterjeés parabolikus szálban, polarizáció, Jones-vektor Hamilton-elv t2 t2 δ Lq k, q k, t) t δ T V ) t 0 t 1 t 1 t L L 0 q k q k Euler-Lagrange egyenlet) De mi az
RészletesebbenElektromágneses hullámok - Interferencia
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (d) Elektromágneses hullámok - Interferencia Utolsó módosítás: 2012 október 18. 1 Interferencia (1) Mi történik két elektromágneses hullám találkozásakor? Az elektromágneses
RészletesebbenOptika gyakorlat 1. Fermat-elv, fénytörés, reflexió sík és görbült határfelületen
Optika gyakorlat 1. Fermat-elv, fénytörés, reflexió sík és görbült határfelületen Kivonat Geometriai optika: közelítés, amely a fényterjedést, közeghatáron való áthaladást geometriai alakzatok görbék segítségével
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenELTE II. Fizikus 2005/2006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Optika 8. (X. 5)
N j=1 d ELTE II. Fizikus 005/006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Optika 8. (X. 5) Interferencia II. Többsugaras interferencia Diffrakciós rács, elhajlás rácson Hullámfront osztás d sinα α A e = A j e i(π/λo)
RészletesebbenKettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
RészletesebbenOptika gyakorlat Példa: Leképezés hengerlencsén keresztül. 1. ábra. Hengerlencse. P 1 = n l n R = P 2. = 2 P 1 (n l n) 2. n l.
Optika gyakorlat 5. Mátrix optika eladatok: hengerlencse, rezonátor, nagyító, nyalábtágító, távcsövek. Példa: Leképezés hengerlencsén keresztül Adott egy R 2 cm görbületi sugarú,, 7 törésmutatójú gömblencse,
RészletesebbenFényhullámhossz és diszperzió mérése
KLASSZIKUS FIZIKA LABORATÓRIUM 9. MÉRÉS Fényhullámhossz és diszperzió mérése Mérést végezte: Enyingi Vera Atala ENVSAAT.ELTE Mérés időpontja: 2011. október 19. Szerda délelőtti csoport 1. A mérés célja
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenOptika gyakorlat 7. Fresnel együtthatók, Interferencia: vékonyréteg, Fabry-Perot rezonátor
Optika gyakorlat 7. Fresnel együtthatók, Interferencia: vékonyréteg, Fabry-Perot rezonátor Fresnel együtthatók A síkhullámfüggvény komplex alakja: ahol a komplex amplitudó: E E 0 exp i(ωt k r+φ) E 0 exp
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenGeometriai Optika (sugároptika)
Geometriai Optika (sugároptika) - Egyszerû optikai eszközök, ahogy már ismerjük õket - Mi van ha egymás után tesszük: leképezések egymásutánja (bonyolult) - Gyakorlatilag fontos eset: paraxiális közelítés
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
Részletesebben5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenSpektrográf elvi felépítése. B: maszk. A: távcső. Ø maszk. Rés Itt lencse, de általában komplex tükörrendszer
Spektrográf elvi felépítése A: távcső Itt lencse, de általában komplex tükörrendszer Kis kromatikus aberráció fontos Leképezés a fókuszsíkban: sugarak itt metszik egymást B: maszk Fókuszsíkba kerül (kamera
RészletesebbenFeladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenHullámoptika II.Két fénysugár interferenciája
Hullámoptika II. Két fénysugár interferenciája 2007. november 9. Vázlat 1 Bevezet 2 Áttekintés Két rés esetének elemzése 3 Hullámfront-osztáson alapuló interferométerek Amplitúdó-osztáson alapuló interferométerek
RészletesebbenLegyen a rések távolsága d, az üveglemez vastagsága w! Az üveglemez behelyezése
6. Gyakorlat 38B-1 Kettős rést 600 nm hullámhosszúságú fénnyel világitunk meg és ezzel egy ernyőn interferenciát hozunk létre. Ezután igen vékony flintüvegből (n = 1,65) készült lemezt helyezünk csak az
RészletesebbenSamu Viktória. A Helmholtz-egyenlet
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Samu Viktória A Helmholtz-egyenlet BSc Szakdolgozat Témavezet : Dr. Tóth Árpád Analízis Tanszék Budapest, 2014 Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni
RészletesebbenBevezetés a görbe vonalú geometriába
Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.
RészletesebbenOptikai alapmérések. Mivel több mérésről van szó, egyesével írom le és értékelem ki őket. 1. Törésmutató meghatározása a törési törvény alapján
Optikai alapmérések Mérést végezte: Enyingi Vera Atala Mérőtárs neve: Fábián Gábor (7. mérőpár) Mérés időpontja: 2010. október 15. (12:00-14:00) Jegyzőkönyv leadásának időpontja: 2010. október 22. A mérés
RészletesebbenAz f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.
Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
RészletesebbenVéletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31
Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenKomplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.
Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú
RészletesebbenTerületszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd
Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 2015 november 30. Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 1 / 12 Az el adás vázlata Területszámítás
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten KOMPLEX SZÁMOK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Történeti bevezetés
RészletesebbenMikroszkóp vizsgálata Folyadék törésmutatójának mérése
KLASSZIKUS FIZIKA LABORATÓRIUM 8. MÉRÉS Mikroszkóp vizsgálata Folyadék törésmutatójának mérése Mérést végezte: Enyingi Vera Atala ENVSAAT.ELTE Mérés időpontja: 2011. október 12. Szerda délelőtti csoport
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenCsillagászati észlelés gyakorlatok I. 4. óra
Csillagászati észlelés gyakorlatok I. 4. óra Hajdu Tamás & Perger Krisztina & Császár Anna & B gner Rebeka 2018. március 22. 1. Optikai alapfogalmak Az emberi szem az elektromágneses sugárzás töredékét
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
RészletesebbenAz elektromágneses sugárzás kölcsönhatása az anyaggal
Az elektromágneses sugárzás kölcsönhatása az anyaggal Radiometriai alapfogalmak Kisugárzott felületi teljesítmény Besugárzott felületi teljesítmény A fény kölcsönhatása az anyaggal 1. M ΔP W ΔA m 2 E be
RészletesebbenAnyagi tulajdonságok meghatározása spektrálisan
Ágazati Á felkészítés a hazai EL projekttel összefüggő ő képzési é és K+F feladatokra" " 9. előadás Anyagi tulajdonságok meghatározása spektrálisan bontott interferometriával (SR) 1 Bevezetés A diszperzív
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
RészletesebbenKirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1)
3. Gyakorlat 29A-34 Egy C kapacitású kondenzátort R ellenálláson keresztül sütünk ki. Mennyi idő alatt csökken a kondenzátor töltése a kezdeti érték 1/e 2 ed részére? Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény)
RészletesebbenRENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT
RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT ÜTEMTERV VÁLTOZÁS Gyakorlat Hét Dátum Témakör Házi feladat Egyéb 1 1. hét 02.09 Ismétlés, bevezetés Differenciálegyenletek mérnöki 2 2. hét 02.16 szemmel 1. Hf kiadás 3 3.
RészletesebbenParciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
RészletesebbenMegjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor
. Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
RészletesebbenKvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje
Kvantummechanika gyakorlat 015 1. Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje 1. Mutassuk meg, hogy A és B tetsz leges operátorokra igaz, hogy e B A e B = A + [B, A] + 1![ B, [B, A] ] +....
Részletesebben7. Előadás. A vékony lencse közelítésben a lencse d vastagsága jóval kisebb, mint a tárgy és képtávolságok.
7. Előadás Lencsék, lencsehibák A vékony lencse A vékony lencse közelítésben a lencse d vastagsága jóval kisebb, mint a tárgy és képtávolságok. A vékony lencse fókusztávolságára á á vonatkozó összefüggés:
RészletesebbenAz Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenKétváltozós függvény szélsőértéke
Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű
RészletesebbenKomplex számok trigonometrikus alakja
Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =
RészletesebbenKalkulus. Komplex számok
Komplex számok Komplex számsík A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, annak érdekében, hogy a gyökvonás művelete elvégezhető legyen a negatív számok körében is. Vegyük tehát hozzá az
RészletesebbenOptika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak
Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 2. Fényhullámok tulajdonságai Cserti József, jegyzet, ELTE, 2007. Az elektromágneses spektrum Látható spektrum (erre állt be a szemünk) UV: ultraibolya
RészletesebbenA gradiens törésmutatójú közeg I.
10. Előadás A gradiens törésmutatójú közeg I. Az ugrásszerű törésmutató változással szemben a TracePro-ban lehetőség van folytonosan változó törésmutatójú közeg definiálására. Ilyen érdekes típusú közegek
Részletesebbenx = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenGibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén
Matematikai modellek, I. kisprojekt Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Unger amás István B.Sc. szakos matematikus hallgató ungert@maxwell.sze.hu, http://maxwell.sze.hu/~ungert
Részletesebben9. Fényhullámhossz és diszperzió mérése jegyzőkönyv
9. Fényhullámhossz és diszperzió mérése jegyzőkönyv Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: 008. 11. 1. Leadás dátuma: 008. 11. 19. 1 1. A mérési összeállítás A méréseket speciális szögmérő eszközzel
RészletesebbenKerámia-szén nanokompozitok vizsgálata kisszög neutronszórással
Kerámia-szén nanokompozitok vizsgálata kisszög neutronszórással 1 Tapasztó Orsolya 2 Tapasztó Levente 2 Balázsi Csaba 2 1 MTA SZFKI 2 MTA MFA Tartalom 1 Nanokompozit kerámiák 2 Kisszög neutronszórás alapjai
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
RészletesebbenLagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,
RészletesebbenVégeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
RészletesebbenBME Gépészmérnöki Kar 3. vizsga (112A) Név: 1 Műszaki Mechanikai Tanszék január 11. Neptun: 2 Szilárdságtan Aláírás: 3
BME Gépészmérnöki Kar 3. vizsga (2A) Név: Műszaki Mechanikai Tanszék 2. január. Neptun: 2 Szilárdságtan Aláírás: 3. feladat (2 pont) A vázolt befogott tartót a p intenzitású megoszló erőrendszer, az F
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
Részletesebben(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e
Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x
RészletesebbenMikroszkóp vizsgálata Lencse görbületi sugarának mérése Folyadék törésmutatójának mérése
Mikroszkóp vizsgálata Lencse görbületi sugarának mérése Folyadék törésmutatójának mérése (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. március 19. (hétfő délelőtti csoport) 1. Mikroszkóp vizsgálata 1.1. A mérés
RészletesebbenA mikroszkóp vizsgálata Lencse görbületi sugarának mérése Newton-gyűrűkkel Folyadék törésmutatójának mérése Abbe-féle refraktométerrel
A mikroszkóp vizsgálata Lencse görbületi sugarának mérése Newton-gyűrűkkel Folyadék törésmutatójának mérése Abbe-féle refraktométerrel Mérő neve: Márkus Bence Gábor Mérőpár neve: Székely Anna Krisztina
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenKépfeldolgozás. 1. el adás. A képfeldolgozás m veletei. Mechatronikai mérnök szak BME, 2008
Képfeldolgozás 1. el adás. A képfeldolgozás m veletei Mechatronikai mérnök szak BME, 2008 1 / 61 Alapfogalmak transzformációk Deníció Deníció Geometriai korrekciókra akkor van szükség, ha a képr l valódi
RészletesebbenSzéchenyi István Egyetem
polár 3D gömbi Széchenyi István Egyetem Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen
RészletesebbenAtomfizika. A hidrogén lámpa színképei. Elektronok H atom. Fényképlemez. emisszió H 2. gáz
Atomfizika A hidrogén lámpa színképei - Elektronok H atom emisszió Fényképlemez V + H 2 gáz Az atom és kvantumfizika fejlődésének fontos szakasza volt a hidrogén lámpa színképeinek leírása, és a vonalas
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenDenavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra
Budapesti M szaki És Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar M szaki Mechanikai Tanszék Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás
RészletesebbenP vízhullámok) interferenciáját. A két hullám hullámfüggvénye:
Hullámok találkozása, interferencia Ha a tér egy pontjában két hullám van jelen, akkor hatásuk ott valamilyen módon összegződik. A hullámok összeadódását interferenciának nevezzük. Mi az interferencia
RészletesebbenLencse típusok Sík domború 2x Homorúan domború Síkhomorú 2x homorú domb. Homorú
Jegyzeteim 1. lap Fotó elmélet 2015. október 9. 14:42 Lencse típusok Sík domború 2x Homorúan domború Síkhomorú 2x homorú domb. Homorú Kardinális elemek A lencse képalkotását meghatározó geometriai elemek,
Részletesebben