Optika gyakorlat Példa: Leképezés hengerlencsén keresztül. 1. ábra. Hengerlencse. P 1 = n l n R = P 2. = 2 P 1 (n l n) 2. n l.

Átírás

1 Optika gyakorlat 5. Mátrix optika eladatok: hengerlencse, rezonátor, nagyító, nyalábtágító, távcsövek. Példa: Leképezés hengerlencsén keresztül Adott egy R 2 cm görbületi sugarú,, 7 törésmutatójú gömblencse, n törésmutatójú közegben. A lencse elületeinek távolsága D 2 2 R. A lencse els elületét l d 2 cm távolságra elhelyezünk egy h 0, 2 cm magas tárgyat. Határozzuk meg a lencse tör erejét, a síkok helyét, a lencse tárgy- és képoldali ókusztávolságát, valamint a keletkez kép helyét és nagyságát!. ábra. Hengerlencse Megoldás: Az els és második elületek alkotta két vékonylencse tör ereje: Ezt elhasználva a vastaglencse tör ereje: A tárgy- és képoldali síkok helye: Hasonlóan végigvezetve: P n R P 2 P l P + P 2 P P 2 D 2 2 P ( n) 2 D2 R 2 P l 2 P ( n) 2 2 R R 2 P l 2 P ( n ) P l 2 P n D D 2 n P2 2 R n P 2 nl P l 2 P 2 n R D D 2 n P P l R Tehát a két sík egybeesik és a gömb középpontján haladnak keresztül. A lencse tárgy- és képoldali ókusztávolsága: n P l 2 P 2 ( n) R

2 A számértékeket behelyettesítve 2, 43 cm adódik. A leképezési törvény segítségével a tárgytávolság és a ókusztávolság ismeretében meghatározható a képtávolság: s + s s s + s Az s d R összeüggés elhasználásával a numerikus eredmény a képtávolságra s 6, 92 cm. A lencse nagyításának ismeretében a tárgyméretb l meghatározható a képméret: m x h h n s n s s s A számértékeket behelyettesítve kapjuk, hogy h, 548 cm. 2. példa: Optikai rezonátor Határozzuk meg annak az optikai rezonátornak a mátrixát, mely egy R > 0 és egy R 2 < 0 görbületi sugarú tükörb l áll, melyek d távolságra helyezkednek el egymástól. A rezonátort n törésmutatójú leveg tölti ki. 2. ábra. Rezonátor Megoldás: Írjuk el a rezonátor mátrixát a közegben való terjedés és a gömbtükrön történ visszaver dés mátrixainak szorzataként: M M R T R 2 T M 0 [ ] 2 d 0 [ ] 2 d R R 2 Elvégezve a mátrixszorzást kapjuk a rezonátor mátrixát: + 2 d R 2 3. példa: Lencse + síktükör 2 d + 2 d2 R 2 2 (2 d R + R 2 ) R R 2 4 d R d 4 R 2 d + R R 2 R R 2 Egy síktükört l d 2 20 cm távolságra egy 0 cm ókusztávolságú gy jt lencse helyezkedik el. A tárgyat a lencsét l d 5 cm távolságra helyezzük el, a lencsének a tükörrel átellenes oldalán. A rendszer n törésmutatójú közegben helyezkedik el. Mátrix optika segítségével határozzuk meg a kép helyét és a rendszer nagyítását és a rendszer tör erejét. 2

3 3. ábra. Lencse + tükör Megoldás: Írjuk el a leképezés mátrixát a közegben való terjedés, a síktükrön történ visszaver dés és a vékonylencsén történ törés mátrixainak szorzataként. Ehhez eltételezzük azt, hogy a kép a lencsét l balra d 3 távolságra képz dik le (most d 3 > 0): M [ ] d3 M T F T R T F T 0 [ ] [ ] d2 0 0 [ ] d2 0 [ ] d Elvégezve a mátrixszorzást kapjuk a leképezés mátrixát: 2 2 d 2 (d 3 + ) d ( 2 2 d 2 (d 3 + )) + (d d 2 (d 3 + )) M d 2 2 d 2 (d ) 2 2 [ ] A B Leképezés esetén az M mátrixban B 0 kell hogy teljesüljön. Ezt elhasználva C D meghatározhatjuk a kép keletkezésének helyét: d ( 2 2 d 2 (d 3 + )) + (d d 2 (d 3 + )) 2 0 d 2 2 d d 2 d 3 2 d d 2 + d d 2 d d d 3 ( 2 d d d 2 ) d d d 2 2 d 2 2 d 3 d d d 2 2 d d d d 2 A numerikus értékeket behelyettesítve a kiejezésbe a kép helyére d 3 5 cm adódik. Ez azonban ellentmond az eredeti eltételezésünknek, miszerint a d 3 > 0, tehát ez egy rossz megoldás. Most eltételezzük azt, hogy a kép a lencse és tükör között, a tükört l balra d 3 > 0 távolságra helyezkedik el. Ez esetben a leképezés mátrixára a következ adódik: M M T F T R T [ ] [ ] [ ] d3 d2 0 [ ] 0 d Elvégezve a mátrixszorzást kapjuk a leképezés mátrixát: d d d 2 d 3 + d d 2 M d 2 + d 3 + d d 3 3

4 [ ] A B Leképezés esetén az M mátrixban B 0 kell hogy teljesüljön. Ezt elhasználva C D meghatározhatjuk a kép keletkezésének helyét: d d 2 d 3 + d d 2 + d d 3 0 d 3 d + d 2 d d 2 d 0[cm] Most teljesül, hogy d 3 > 0, tehát ez egy zikaliag helyes megoldás. A kép a tükört l balra, t le 0 cm távolságban keletkezik. A rendszer tör erejét a mátrix C tagja határozza meg, melyre: P C P A numerikus értékeket elhasználva a rendszer tör ereje P 0, cm. A leképezés laterális nagyítását a mátrix A eleme határozza meg, melyre: m x A m x d A numerikus értékeket behelyettesítve a laterális nagyítás értékére m x 0.5 adódik (ordított állású kép). 4. példa: Nagyító Az emberi szem mélységélessége dioptria, melynek következtében a szem csak t le minimum d 0 25 cm távolságra elhelyezett tárgyakra képes ókuszálni. Egy átlagos szem csapok 4 és pálcikák által meghatározott szögelbontása körülbelül α x d 0 tanα 25 tan 60 0, 007 Ez 25 cm-es tárgytávolság esetén azt jelenti, hogy a szem nem képes elbontani a tárgy x 0, 07 mm-nél kisebb részleteit. Ezek meggyelésére nagyítókat alkalmazhatunk. Legyen egy n törésmutatójú közegben elhelyezett nagyító ókusztávolsága 5 cm. Helyezzünk el egy tárgyat a nagyítótól a < távolságra úgy, hogy annak virtuális képe a nagyítótól d 0 25 cm távolságra keletkezzen. Mátrix optika segítségével határozzuk meg, hogy hova kell elhelyezni a tárgyat, majd határozzuk meg a rendszer nagyítását. Megoldás: Írjuk el a nagyító mátrixát a közegben való terjedés és a lencsén történ törés mátrixainak szorzataként: M T F T M [ d0 ] 0 [ ] a 4

5 4. ábra. Nagyító Elvégezve a mátrixszorzást kapjuk a nagyító mátrixát: + d 0 a d 0 + d 0 a M a [ ] A B Leképezés esetén az M mátrixban B 0 kell legyen. Ezt elhasználva meghatározhatjuk a tárgy helyét a kép helyének és a ókusztávolságnak az C D ismeretében: a b + d 0 a a d 0 d 0 + Behelyettesítve a számértékeket a tárgytávolságra a 4, 67 cm adódik. A leképezés laterális nagyítását a mátrix A eleme határozza meg, melyre: 0 m x A + d 0 A numerikus értékeket behelyettesítve a laterális nagyítás értékére m x 6 adódik. Az egyszer nagyító képalkotási képességei meglehet sen gyengék. Ehhez hasonló elépítés, de jól korrigált rendszerek képezik a távcsövek alapját. 5. példa: Kepler-távcs Határozzuk meg a Kepler-távcs rendszermátrixát, amely egy > 0 és egy 2 > 0 ókusztávolságú vékonylencséb l áll, melyek d + 2 távolságra helyezkednek el egymástól (ez az ún. aokális rendszer). A köztes közeget n törésmutatójú leveg tölti ki. Állapítsuk meg a rendszer síkjait, a leképezési törvény alakját és a nagyítást! Megoldás: A lencserendszer mátrixa: M 0 [ ] A bal alsó elem értéke nulla, tehát a rendszer tör ereje P 0. Számítsuk ki a leképezés mátrixát a bal lencsét l d távolságra lév tárgyból kiinduló énysugarakra: 5

6 5. ábra. Kepler-távcs [ ] d M dd 0 2 [ ] d d d Feltételezve, hogy a d a tárgytávolság és d' a képtávolság, az (,2) jobb els mátrixelemnek nullának kell lennie: 2 0 [ ] M dd 0 mx 0 0 m α 2 A laterális nagyítás m x 2 értéke konstans, amely üggetlen a tárgy- és képtávolságtól. Ez azt jelenti, hogy a rendszer nem rendelkezik m nagyítással rendelkez síkokkal. A tágyés képtávolság közötti leképezési törvény is szokatlan alakot ölt: 2d + d d ( + 2 )( 2 / ) + ( 2 / ) 2 d A rendszer nyalábtágítóként használható m x 2 / nagyítással, vagy távcs ként is használhatjuk (ez a Kepler- / Galilei-távcs ). Ebben az esetben a szögnagyítás határozza meg, hogy milyen nagynak látjuk a tárgyat: m α / 2 A távcs vek szempontjából a szögnagyítás mellett a legontosabb paraméter a távcs énygy jt képessége, ugyanis alacsony ényintenzitású pontokat képezünk le (távoli csillagok). A énygy jt képességet az els lencseelület átmár je határozza meg. Azonban nagy lencseméretek esetén optikai leképezési hibák (aberrációk) lépnek el (már nem vagyunk a paraxiális tartományban), ezért ennek a problémának az orvoslására ejlesztették ki a nagy, tükrös távcsöveket, pl. Newton-távcs, Cassagrain-távcs, Gregory-távcs (ld. következ eladat). 6. példa: Cassegrain-távcs Állapítsuk meg az alábbi tükrös távcs képoldali ókuszpontjának helyét, tör erejét és nagyítását. Megoldás: A távcs mátrix elírható egy P 2/R és P 2 2/R 2 tör erej gömbtükör mátrixa segítségével, ahol a tükrök egymástól d távolságra helyezkednek el: 6

7 6. ábra. Cassegrain-távcs [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] d 0 + P M R R 2 d d + P d d P 2 P P P 2 P P 2 d P 2 d P 2 d, ahol a rendszer tör ereje: Behelyettesítve a sugarakat kapjuk P e / e P + P 2 + P P 2 d e R R 2 2R 2R 2 + 4d Ha d > R 2 R, akkor e > 0, a rendszer gy jt lencseként viselkedik. 2 A rendszer síkjainak helyei: D M 2 ( M 22 ) P e P 2 d R d R R 2 + 2d D ( M ) R 2 d P d M 2 P e R R 2 + 2d Ha d > R 2 R, akkor D < 0 és D > 0. A rendszer síkjait ábrázolhatjuk: 2 P e 7. ábra. Cassegrain-távcs síkjai Legyen a tárgy az R lencse szélét l balra s távolságra, ekkor a leképezés mátrixa (a kép távolságát most az R 2 lencse jobb szélét l mérjük): [ ] [ ] [ ] [ s + P d s P d P M T K e s + s + s + d s P 2 d sp d + ss ] P e P e P 2 d P e P 2 d + P e s + 7

8 , ahol m x P d P e s + m α P 2 d + P e s + Látható, hogy a szögnagyítás végtelen nagy értéket ad egy végtelen távol lév tárgy esetén, ami ellentmondásosnak t nik (els re). 8. ábra. Cassegrain-távcs okulárral Azonban a távcsöveket mindig egy kis méret okulárral ( okular ókuszú gy jt lencse a szem el tt) együtt használják aokális (közös ókuszpontú) elrendezésben, ezért a nagyítás pontos értékének megállapításához a Kepler-távcs esetén is alkalmazott ormulát kell használnunk: m α e okular R R 2 okular (2R 2R 2 + 4d) > A Cassegrain-távcs el nye, hogy a tükrök segítségével "összecsomagoltunk" pici méret re egy Kepler-távcsövet, ahol a lencsék helyett nagy méret tükröket használunk, amelyek kisebb optikai aberrációval rendelkeznek a lencsékhez képest, nagy énygy jt képeséggel rendelkeznek, és gyártásuk is lényegesen egyszer bb. 7. példa: Apertúra, Numerikus apertúra A maximális nyílásszög γ M az a szög a rendszerben, amely szög alatt elindított énysugarak még kiszoródás, kitakaródás nélkül keresztüljutnak az optikai rendszeren. Azt az objektumot, amely a szög növelése esetén el ször képez akadályt a énysugaraknak, apertúrának (rekesznek) hívjuk. A maximális, γ M szög alatt terjed énysugarat "marginal" (határoló, marginális) sugárnak nevezzük. Az apertúra közepén áthaladó énysugár az ún. "principal" ( ) énysugár. Az apertúra lehet a lencse széle is, de általában ez egy tudatosan behelyezett rekesz, aminek sok esetben változtatható az átmér je (pl. ényképez gép objektív esetén). Fényképez gépeken a kicsi -szám nagy rekeszméretet és nagy ényer t jelent. 9. ábra. Az apertúra pozíciója egy összetett lencserendszerben 8

9 Az apertúra helyének meghatározása egyszer. A rendszerben található minden i-edik lencse és rekesz pozícióhoz elírjuk a terjedés mátrixát az O tengelyen található tárgypontból: [ ] [ ] [ ] x i A B 0 γ i C D γ, ahol az ABCD mátrix a terjedés mátrixa az adott optikai elemig. A laterális pozícióra kapjuk: x i B γ Legyen az adott helyen a lencse vagy rekesz átmér je r i. Ha x i helyére behelyetesíjük r i -t, akkor megkapjuk ezen objektumhoz tartozó marginális sugár kiindulási, optikai tengellyel bezárt szögét: γ i r i B A γ M a lehetséges γ i szögek közül a legkisebb: γ M min{γ i } Az az objektum, amelyhez a γ M tartozik, lesz deníció szerint a rendszer apertúrája. A rendszer numerikus apertúrája a γ M szögb l számolható: NA n sin(γ M ), ahol n a közeg törésmutatója Az NA értéke jellemzi a rendszer ényátereszt képességét. Megvilágító rendszerek tervezése esetén törekednünk kell a NA növelésére. Mikroszkópok esetén az NA növelése a elbontóképesség javulását is eredményezi egy geometriailag tökéletes, dirakció korlátos rendszerben (lásd kés bb a dirakció ejezetben). A kicsi NA használata viszont csökkenti a geometriai aberrációkat, a rendszert paraxiális üzemmódban m ködteti. A szakirodalom és a technikai eszközök az NA helyett sok esetben az -számot (/#) használják analóg denícióként: /# 2NA A kicsi -szám a ényképez gépek esetén nagy rekeszméretet és nagy ényer t (intenzitást) jelent. Ez esetben kicsi zárid használható, ugyanis az expozícióhoz szükéseges ényteljesítmény rövid id alatt eléri a szükséges szintet. 9