Optika gyakorlat 1. Fermat-elv, fénytörés, reexió sík és görbült határfelületen. Fermat-elv

Átírás

1 Optika gyakorlat 1. Fermat-elv, fénytörés, reexió sík és görbült határfelületen Kivonat Geometriai optika: közelítés, amely a fényterjedést, közeghatáron való áthaladást geometriai alakzatok görbék segítségével írja le. Ezen görbéket fénysugaraknak nevezzük. Fermat-elv eredeti megfogalmazásban: a fény két pont között a legrövidebb úton terjed. Ez egy hasznos eszköz a fény útjának számolására, szemléltetésére. Fermat-elv A Fermat-elv modern megfogalmazásban: a fény két pont között azon az úton terjed, amely megtételéhez szükséges id széls értéket vesz fel (legkisebb vagy legnagyobb). Ez hasonló a mechanikából ismert Hamilton-elvhez. B B δ (OP L) = δ n(r) ds = δ A A dop L(ɛ) dɛ c B v(r) ds = c δ A = 0 OP L = ɛ=0 1. példa: Fénytörés két közeg határfelületén Igazoljuk a törési törvényt a Fermat-elv segítségével! dt = 0 max min `inexió' (Fermat elv) n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 Megoldás: OP L = P P n(r) ds = n 1 a 2 + x 2 + n 2 b 2 + (d x) 2 dop L dx = n 1 x a2 + x n 2(d x) 2 b2 + (d x) = 0 2 = n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 1. ábra. Fénytörés 1

2 2. példa: Parabolikus tükör - tökéletes fókuszálás 2. ábra. Parabolikus reektor (forrás: MIT Optics Course Number 2.71 / 2.710) A végtelenb l jöv párhuzamos fénysugarak tökéletesen egy pontba fókuszálódnak le. Az ilyen felületeket ún. karteziánus felületeknek (Cartesian surface) nevezzük. Mi a felület egyenlete? Megoldás: A fénysugarak a legrövidebb optikai úthosszt követik, ami minden fénysugárra ugyanaz. Hasonlítsuk össze a középs és egy széls fénysugár optikai úthosszát: 2f = f s + x 2 + (f s) 2 f + s = x 2 + (f s) 2 x 2 = (f + s) 2 (f s) 2 = 4sf s(x) = x2 4f 3. ábra. Parabolikus tükör fényútjai mer leges és ferde beesés esetén 3. példa: Gömbtükör paraxiális közelítésben Paraxiális közelítésben vizsgáljuk meg a gömbtükör leképezését. Állapítsunk meg egy összefüggést az optikai tengelyen lév tárgypont és képpont pozíciója között (leképkezési 2

3 törvény). Mennyi a gömbtükör fókusztávolsága? (Paraxiális közelítés: a fénysugarak az optikai tengellyel kis szöget zárnak be, és az optikai tengelyhez közel terjednek.) Megoldás: Tekintsük a P 1 pontból θ 1 szög alatt induló fénysugarat, mely a tükrözést követ en P 2 ponton halad át θ 2 szög alatt. (A θ 1 és θ 2 szög el jele pozitív, R, z 1 és z 2 pedig negatív) A gömb sugara legyen R, és a C középpontból az y magasságban elhelyezked tükrözési pontba húzott sugár z-tengellyel bezárt szöge legyen θ 0. Ekkor a P 1 OC háromszög és a COP 2 háromszög küls és bels szögei közötti összefüggések: θ 1 = θ 0 θ ; θ 2 = θ 0 + θ = θ 2 + θ 1 = 2θ 0 2y R, ahol y az magasság, ahol a visszever dés történik. Hasonlóan a többi szögre is a kis szög közelítést alkalmazva: z 1 z 2 R Ha végtelenb l jöv, párhuzamos sugarakat vizsgálunk (z 1 ), akkor azok a z 2 = R 2 pozícióba fókuszálódnak. Ezt nevezzük deníció szerint fókusztávolságnak f z 2 = R 2 és fókuszpontnak (F). 4. ábra. Gömbtükör leképezése paraxiális közelítésben, (kép forrás: Saleh-Teich: Fundamentals of Photonics) 4. példa: Ellipszoid alakú lencse - tökéletes fókuszálás A végtelenb l érkez tengelypárhuzamos fénysugarak tökéletesen egy pontba fókuszálhatók. Határozzuk meg az ideális fókuszáló lencse felületének alakját. Megoldás: A fénysugarak a legrövidebb optikai úthosszt követik, ami minden fénysugárra ugyanaz. Hasonlítsuk össze a középs és egy széls fénysugár optikai úthosszát: OP L = nf = s + n (f s) 2 + x 2 nf s = n (f s) 2 + x 2 n 2 f 2 + s 2 2nfs = n 2 f 2 + n 2 s 2 2n 2 fs + n 2 x 2 n 2 x 2 + (n 2 1)s 2 2(n 2 n)fs = 0 3

4 5. ábra. Gömbtükör leképezése a valóságban, közelítések nélkül 6. ábra. Elliptikus lencse (forrás: MIT Optics Course Number 2.71 / 2.710) Alakítsuk teljes négyzetté a kifejezést, és az ellipszis egyenletét kapjuk: n 2 x 2 + (n 2 1)(s n n + 1 f)2 (n 2 n 1)( n + 1 )2 f 2 = 0 n 2 x 2 n (s n n n + 1 f)2 = ( n + 1 f)2 (s n n+1 f)2 ( n + x2 n+1 f)2 n 1 f = 1 n ábra. Elliptikus lencse fényútjai tengelypárhuzamos sugarak esetén 4

5 5. példa: Gömblencse - paraxiális közelítésben Paraxiális közelítésben vizsgáljuk meg a gömblencse leképezését. 8. ábra. Gömblencse leképezése (forrás: Saleh-Teich: Fundamentals of Photonics) Megoldás: Tekintsük a P 1 pontból θ 1 szög alatt induló fénysugarat, mely a törést követ en P 2 ponton halad át θ 2 szög alatt. A gömb sugara legyen R, és a C középpontból az y magasságban elhelyezked törési pontba húzott sugár z-tengellyel bezárt szöge legyen θ 0. Ekkor a beesési szög θ 1 θ 0, a törési szög pedig θ 2 θ 0. A törési törvény szerint: n 1 sin(θ 1 θ 0 ) = n 2 sin(θ 2 θ 0 ) Kis szögek esetén alkalmazható a következ közelítés: θ sin(θ) tan(θ) Ezeket felhasználva kapjuk a gömblencse leképezési törvényét paraxiális közelítésben: n 1 (θ 1 θ 0 ) = n 2 (θ 2 θ 0 ) n 1 ( y z 1 + y R ) = n 2 ( y z 2 + y R ) n 1 + n 2 = n 2 n 1 z 1 z 2 R = P (a felület tör ereje) 9. ábra. Gömblencse fényútjai tengelypárhuzamos sugarak esetén (Comsol Multiphysics) 5

6 10. ábra. Bikonvex vékonylencse (forrás: Saleh-Teich: Fundamentals of Photonics) Könnyen belátható, hogy egy R 1 és egy R 2 sugarú gömbfelületekb l összeállított bikonvex vékonylencse fókusztávolsága: 1 f = (n 1) ( 1 R 1 1 R 2 ), ugyanis az ered tör er az egyes felületek tör erejének összege. 6. példa: Üregtükör - ellipszis Tekintsünk egy üreget, melynek bels felülete tükör. A fényforrás az üreg tengelye mentén az S(-h,0) pontban helyezkedik el. Az üreg úgy tükrözi az S forráspontból induló összes fénysugarat, hogy azok mind a P(h,0) ponton haladnak keresztül.határozzuk meg az S-b l P-be való terjedés úthosszát és adjuk meg az üreg alakját, valamint az S és P pontok helyét. 11. ábra. Üreg tükör (forrás: MIT Optics Course Number 2.71 / 2.710) Megoldás: A Fermat-elv következtében az optikai úthossz minden fénysugárra meg kell hogy egyezzen. Tekintsük a legegyszer bb útvonalat az üreg tengelye mentén és határozzuk meg ennek a hosszát. Mivel az üreg belsejében n = 1 törésmutatójú leveg van, 6

7 ezért ez megegyezik az optikai úthosszal. OP L = 1 [h + a + (a h)] = 2a Az üreg alakjának meghatározásához használjuk ismét a Fermat-elvet. Tetsz leges (x,y) pontban tükröz d fénysugár optikai úthossza OP L = 2a kell hogy legyen. 12. ábra. Ellipszis alakú tükör leképezése (forrás: MIT Optics Number 2.71 / 2.710) OP L = 2a = (h + x) 2 + y 2 + (h x) 2 + y 2 2a (h + x) 2 + y 2 = (h x) 2 + y 2 4a 2 + h 2 + 2hx + x 2 + y 2 4a (h + x) 2 + y 2 = h 2 2hx + x 2 + y 2 a 2 + hx = a (h + x) 2 + y 2 a 4 + 2a 2 hx + h 2 x 2 = a 2 h 2 + a 2 x 2 + 2a 2 hx + a 2 y 2 a 2 + a2 h 2 x2 = h 2 + x 2 + y 2 y 2 = (a 2 h 2 ) + h2 a 2 a 2 x 2 Vezessük be a b 2 = a 2 h 2 új változót.ezt behelyettesítve kapjuk: y 2 = b 2 b2 a 2 x2 x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 Tehát az üreg alakja egy ellipszis, ahol a és b a nagy- és kistengelyek hossza. b denícióját felhasználva h 2 = a 2 b 2, ami éppen az ellipszis fókuszpontjának a középponttól mért távolsága. Tehát az S forrás és a P gy jt pont az ellipszis két gyújtópontjában helyezkedik el. Házi feladat: Üvegb l kilép fény - tökéletes fókuszálás tör felülete Az üvegben (n törésmutatójú) terjed tengelypárhuzamos fénysugarak a leveg be kilépve tökéletesen egy pontba fókuszálhatók. Határozzuk meg az ideális fókuszáló lencse felületének alakját. 7

8 13. ábra. Lencsefelület leképezése (forrás: MIT Optics Course Number 2.71 / 2.710) 8