Egy pont földfelszíni helyzetét meghatározzák: a pont alapfelületi földrajzi koordinátái a pont tengerszint feletti magassága

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Egy pont földfelszíni helyzetét meghatározzák: a pont alapfelületi földrajzi koordinátái a pont tengerszint feletti magassága"

Átírás

1 Földrajzi koordináták Egy pont földfelszíni helyzetét meghatározzák: a pont alapfelületi földrajzi koordinátái a pont tengerszint feletti magassága Topo-Karto-2 1 Földrajzi koordináták pólus egyenlítő meridián (délkör, hosszúsági kör) paralelkör (szélességi kör) földrajzi fokhálózat - a forgástengely felszínt metsző pontja - a F. középpontján átmenő, a tengelyre merőleges sík által kimetszett legnagyobb alapfelületi kör - az egyenlítőre merőleges, a pólusokon átmenő síkok metszésvonalai - az egyenlítő síkjával párhuzamos síkok metszésvonalai - a meridiánok és paralelkörök rendszere Topo-Karto-2 2 alapfelületek 1

2 Földrajzi koordináták Földrajzi koordináták: földrajzi szélesség - az a ϕ szög amit az adott pont sugara bezár az egyenlítő síkjával pótszöge a pólustávolság Topo-Karto-2 3 Földrajzi koordináták Földrajzi koordináták: földrajzi hosszúság - az a λ szög amit az adott pont meridiánjának síkja bezár a kiválasztott kezdőmeridián síkjával Topo-Karto-2 4 alapfelületek 2

3 Földrajzi koordináták Földrajzi koordináták: Topo-Karto-2 5 A torzulásokról A gömbfelszínről a síkfelületre történő vetítéskor torzulások keletkeznek. A torzulás mértékét a torzulási viszonyokkal jellemezzük Hossztorzulási viszony - lineármodulus (l) alapfelületi elemi távolság - d s képfelületi megfelelője - d s d' l= d a hossztorzulási viszony a helynek és az iránynak a függvénye s s Topo-Karto-2 6 alapfelületek 3

4 A torzulásokról Szögtorzulási viszony - iránymodulus (i) i= alapfelületi elemi szög -δ képfelületi megfelelője -δ ha a vetületnél i=1 - a vetület szögtartó (konform) tg δ, tgδ Területtorzulási viszony - területi modulus (τ ) alapfelületi elemi terület - d f f τ = képfelületi megfelelője - d f d ha a vetületnél τ =1 - a vetület területtartó (ekvivalens) f d, Topo-Karto-2 7 A torzulásokról Nincsen olyan vetület amely minden pontjában szögtartó és területtartó egyes vetületek bizonyos irányai nem szenvednek hossztorzulást nem létezik minden irányban hossztartó vetület az a vetület amely se nem szögtartó se nem területtartó - általános torzulású vetület bármely vetületen van egy vagy több pont vagy vonal amelynél semmiféle torzulás nincsen az illető ponttól, vonaltól távolodva a torzulások mértéke növekszik Topo-Karto-2 8 alapfelületek 4

5 A torzulásokról A torzulási viszonyokat a TISSOT féle torzulási ellipszissel vizsgáljuk alapfelületen elemi sugarú kör képfelületen kör vagy ellipszis ha a kör a térkép minden pontján kör - szögtartó ha az ellipszis területe a térkép minden pontján megegyezik a kör területével - területtartó az ellipszis tengelyei a legnagyobb és a legkisebb torzulás irányába mutatnak Topo-Karto-2 9 A torzulásokról Topo-Karto-2 10 alapfelületek 5

6 Alapfelületek és dátumok Alapfelület: az a felület amelyet matematikai eszközökkel könnyen leírhatunk Ezt vetítjük síkra Egy olyan forgástest amely a lehető legjobban közelíti a geoid alakját ellipszoid a szintezett magassághoz (geoid...) való minél pontosabb (lokális v. globális) illeszkedés Több ellipszoid, mert mindegyik máshol illeszkedik a legjobban a geoidhoz Topo-Karto-2 11 Alapfelületek és dátumok Topo-Karto-2 12 alapfelületek 6

7 Alapfelületek és dátumok Topo-Karto-2 13 Alapfelületek és dátumok Topo-Karto-2 14 alapfelületek 7

8 Alapfelületek és dátumok 1984 WGS ,137 1:298,252 Topo-Karto-2 15 Alapfelületek és dátumok Alapfogalmak: Alapfelület: amiről vetítünk Gömb, ellipszoid Képfelület: amire vetítünk Sík vagy síkba fejthető felület: henger, kúp Az alapfelület pontjait leképezzük vetítjük egy képfelületre A vetítés eredménye a vetület A leképezés törvényeit a vetületi egyenletek szabályozzák Topo-Karto-2 16 alapfelületek 8

9 Alapfelületek és dátumok Legyen: Pf - felszíni pont P - alapfelületi vetülete, koordinátái ϕ ésλ P - képfelületi megfelelője koordinátái x és y x=f1(ϕ,λ) y=f2 (ϕ,λ) f1 és f2 -függvények kifejezik a vetület fajtáját, tulajdonságait, a bekövetkező torzulások mértékét és eloszlását P f h P (ϕ,λ) P (x,y) Topo-Karto-2 17 Alapfelületek és dátumok Az alapfelületen vannak olyan irányok és vonalak amelyeket a vetületi számításokkor figyelembe kell vennünk AZIMUT - valamely pontból kiinduló iránynak a ponton átmenő meridiánnal bezárt α szöge topográfiai irányban mérjük: ORTODRÓMA - két gömbfelületi pont közötti legrövidebb gömbfelületi vonal, mindig gömbi főkör r*sin α - állandó LOXODRÓMA - folytonos gömbfelületi vonal, amely minden pontjában azonos szöget zár be a meridiánnal α - állandó csavarvonal Topo-Karto-2 18 alapfelületek 9

10 Alapfelületek és dátumok Topo-Karto-2 19 alapfelületek 10

3. Vetülettan (3/3-5.) Unger szeged.hu/eghajlattan SZTE Éghajlattani és Tájföldrajzi Tanszék

3. Vetülettan (3/3-5.) Unger  szeged.hu/eghajlattan SZTE Éghajlattani és Tájföldrajzi Tanszék Kartográfia (GBN309E) Térképészet (GBN317E) előadás 3. Vetülettan (3/3-5.) Unger János unger@geo.u @geo.u-szeged.hu www.sci.u-szeged.hu/eghajlattan szeged.hu/eghajlattan SZTE Éghajlattani és Tájföldrajzi

Részletesebben

7. előadás: Lineármodulus a vetületi főirányokban és a területi modulus az azimutális vetületeken

7. előadás: Lineármodulus a vetületi főirányokban és a területi modulus az azimutális vetületeken 7 előadás: Lineármodulus a vetületi főirányokban és a területi modulus az azimutális vetületeken Mivel az azimutális vetületeken normális elhelyezésben a meridiánok és a paralelkörök, más elhelyezésben

Részletesebben

3. Vetülettan (3/6., 8., 10.) Unger János. @geo.u-szeged.hu www.sci.u-szeged.hu/eghajlattan

3. Vetülettan (3/6., 8., 10.) Unger János. @geo.u-szeged.hu www.sci.u-szeged.hu/eghajlattan Kartográfia (GBN309E) Térképészet (GBN317E) előadás 3. Vetülettan (3/6., 8., 10.) Unger János unger@geo.u @geo.u-szeged.hu www.sci.u-szeged.hu/eghajlattan szeged.hu/eghajlattan SZTE Éghajlattani és Tájföldrajzi

Részletesebben

Vetülettan. 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9., 10., 11., 12., 13., 14. előadás. 1. előadás

Vetülettan. 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9., 10., 11., 12., 13., 14. előadás. 1. előadás Vetülettan 1.,., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9., 10., 11., 1., 13., 14. előadás Bevezetés A vetítés fogalma 1. előadás Geodéziai méréseinket általában a Föld felszínén (egyes esetekben, pl. földalatti létesítményekben

Részletesebben

II. A TÉRKÉPVETÜLETEK RENDSZERES LEÍRÁSA 83

II. A TÉRKÉPVETÜLETEK RENDSZERES LEÍRÁSA 83 T A R T A L O M J E G Y Z É K I. A TÉRKÉPVETÜLETEKRŐL ÁLTALÁBAN 13 VETÜLETTANI ALAPFOGALMAK 15 A térkép mint matematikai leképezés eredménye 15 Az alapfelület paraméterezése földrajzi koordinátákkal 18

Részletesebben

9. előadás: A gömb valós hengervetületei

9. előadás: A gömb valós hengervetületei A valós hengervetületek általános tulajdonságai A hengervetületek (cilindrikus vetületek) jellemzője hogy normális elhelyezésben az egyenlítő és a paralelkörök képei párhuzamos egyenesek. A valós hengervetületnek

Részletesebben

Koordináta-rendszerek

Koordináta-rendszerek Koordináta-rendszerek Térkép: a Föld felszín (részletének) ábrázolása síkban Hogyan határozható meg egy pont helyzete egy síkon? Derékszögű koordináta-rendszer: a síkban két, egymást merőlegesen metsző

Részletesebben

2. fejezet. Vetületi alapfogalmak. Dr. Mélykúti Gábor

2. fejezet. Vetületi alapfogalmak. Dr. Mélykúti Gábor 2. fejezet Dr. Mélykúti Gábor Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 2.1 Bevezetés A modul a Térképtan és a Topográfia c. tantárgyak részét képezi. A modul a térképek készítése és használata

Részletesebben

Topográfia 2. Vetületi alapfogalmak Mélykúti, Gábor

Topográfia 2. Vetületi alapfogalmak Mélykúti, Gábor Topográfia 2. Vetületi alapfogalmak Mélykúti, Gábor Topográfia 2. : Vetületi alapfogalmak Mélykúti, Gábor Lektor : Alabér, László Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel a GEO-ért

Részletesebben

A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.

A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra. 1 A loxodrómáról Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen a térképen a szélességi

Részletesebben

Térképészeti alapismeretek. Mit jelent egy térkép léptéke?

Térképészeti alapismeretek. Mit jelent egy térkép léptéke? Térképészeti alapismeretek Mi a térkép? A föld felszínén illetve azzal kapcsolatban álló anyagi vagy elvont dolgoknak általában kicsinyített, generalizált, síkbeli megjelenítése. Térképészeti absztrakció

Részletesebben

Jelölések. GBN304G Alkalmazott kartográfia II. gyakorlat Térképi vetületekkel kapcsolatos feladatok. Unger János. x;y) )?

Jelölések. GBN304G Alkalmazott kartográfia II. gyakorlat Térképi vetületekkel kapcsolatos feladatok. Unger János. x;y) )? GBN304G Alkalmazott kartográfia II. gyakorlat Térképi vetületekkel kapcsolatos feladatok Unger János unger@geo.u @geo.u-szeged.hu www.sci.u-szeged.hu/eghajlattan szeged.hu/eghajlattan Jelölések R/m = alapfelületi

Részletesebben

A sztereografikus vetület és magyarországi alkalmazása

A sztereografikus vetület és magyarországi alkalmazása A sztereografikus vetület és magyarországi alkalmazása Perspektív síkvetületek A perspektív síkvetületek a gömb alapfelületet síkra képezik le középpontos geometriai vetítéssel. A vetítés Q középpontja

Részletesebben

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között A különböző időpontokban, különböző körülmények között rögzített pontok földi koordinátái különböző alapfelületekre (ellipszoidokra geodéziai dátumokra)

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 2.

Matematikai geodéziai számítások 2. Matematikai geodéziai számítások 2. Geodéziai vonal és ábrázolása gömbön és vetületben Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 2.: Geodéziai vonal és ábrázolása Dr. Bácsatyai, László Lektor:

Részletesebben

A Föld alakja TRANSZFORMÁCIÓ. Magyarországon még használatban lévő vetületi rendszerek. Miért kell transzformálni? Főbb transzformációs lehetőségek

A Föld alakja TRANSZFORMÁCIÓ. Magyarországon még használatban lévő vetületi rendszerek. Miért kell transzformálni? Főbb transzformációs lehetőségek TRANSZFORMÁCIÓ A Föld alakja -A föld alakja: geoid (az a felület, amelyen a nehézségi gyorsulás értéke állandó) szabálytalan alak, kezelése nehéz -A geoidot ellipszoiddal közelítjük -A földfelszíni pontokat

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 2.

Matematikai geodéziai számítások 2. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 2. MGS2 modul Geodéziai vonal és ábrázolása gömbön és vetületben SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 3.

Matematikai geodéziai számítások 3. Matematikai geodéziai számítások 3 Kettős vetítés és EOV szelvényszám keresése koordinátákból Dr Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 3: Kettős vetítés és EOV szelvényszám keresése koordinátákból

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 3.

Matematikai geodéziai számítások 3. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 3 MGS3 modul Kettős vetítés és EOV szelvényszám keresése koordinátákból SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen

Részletesebben

4. előadás: A vetületek általános elmélete

4. előadás: A vetületek általános elmélete 4. elődás: A vetületek áltlános elmélete A vetítés mtemtiki elve Két mtemtikilg meghtározott felület prméteres egyenletei legyenek következők: x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), I. z = f 3 (u, v). ξ = g 1

Részletesebben

A ferdetengelyű szögtartó hengervetület és magyarországi alkalmazásai

A ferdetengelyű szögtartó hengervetület és magyarországi alkalmazásai A ferdetengelyű szögtartó hengervetület magyarországi alkalmazásai Perspektív hengervetületek A perspektív hengervetületek a gömb alapfelületet egy forgáshenger palástjára képezik le középpontos geometriai

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 1.

Matematikai geodéziai számítások 1. Matematikai geodéziai számítások 1 Ellipszoidi számítások, ellipszoid, geoid és terep metszete Dr Bácsatyai, László Created by XMLmind XSL-FO Converter Matematikai geodéziai számítások 1: Ellipszoidi számítások,

Részletesebben

A GEOMETRIAI ADATOK VONATKOZÁSI RENDSZEREI A TÉRINFORMATIKÁBAN

A GEOMETRIAI ADATOK VONATKOZÁSI RENDSZEREI A TÉRINFORMATIKÁBAN MIHALIK JÓZSEF A téma aktualitása A GEOMETRIAI ADATOK VONATKOZÁSI RENDSZEREI A TÉRINFORMATIKÁBAN A térinformatikai rendszerek alkalmazása ma már sok területen, így a honvédelem területén is nélkülözhetetlen

Részletesebben

A földi koordinátarendszer lehet helyi (lokális), regionális, vagy az egész Földre kiterjedő (globális).

A földi koordinátarendszer lehet helyi (lokális), regionális, vagy az egész Földre kiterjedő (globális). Vetülettan A felmérés a Föld felszínén koordinátákkal meghatározott alappontok hálózatára támaszkodik. A koordináták adják a térképezéshez szükséges egységes geometriai keretet, vázat, amelynek segítségével

Részletesebben

TÉRKÉPTAN óravázlat 2006/07. I.félév Dr. Mélykúti Gábor

TÉRKÉPTAN óravázlat 2006/07. I.félév Dr. Mélykúti Gábor TÉRKÉPTAN óravázlat 2006/07. I.félév Dr. Mélykúti Gábor TARTALOMJEGYZÉK I. A FÖLD ALAKJA 1. A föld főbb geometriai paraméterei 2. A föld fizikai és elméleti alakja 3. Alapszintfelületek 4. A föld elméleti

Részletesebben

A DIGITÁLIS TÉRKÉP ADATAINAK ELŐÁLLÍTÁSA, ADATNYERÉSI ELJÁRÁSOK

A DIGITÁLIS TÉRKÉP ADATAINAK ELŐÁLLÍTÁSA, ADATNYERÉSI ELJÁRÁSOK A DIGITÁLIS TÉRKÉP ADATAINAK ELŐÁLLÍTÁSA, ADATNYERÉSI ELJÁRÁSOK - két féle adatra van szükségünk: térbeli és leíró adatra - a térbeli adat előállítása a bonyolultabb. - a költségek nagyjából 80%-a - munkaigényes,

Részletesebben

Kartográfia Kidolgozott tételsor

Kartográfia Kidolgozott tételsor Kartográfia Kidolgozott tételsor Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2008 2 Tartalom A tételsor A1. Pitagorasz, Arisztotelész földalak... 6 A2. Fernel, Snellius, Pickard földalak, mérés... 6 A3. Eratosztenész

Részletesebben

Hengervetületek alkalmazása a magyar topográfiában

Hengervetületek alkalmazása a magyar topográfiában EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Hengervetületek alkalmazása a magyar topográfiában SZAKDOLGOZAT FÖLDTUDOMÁNYI ALAPSZAK Készítette: Szántó Henriett térképész és geoinformatikus szakirányú

Részletesebben

Ferdetengelyű szögtartó hengervetületek a térképészetben

Ferdetengelyű szögtartó hengervetületek a térképészetben EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Ferdetengelyű szögtartó hengervetületek a térképészetben SZAKDOLGOZAT FÖLDTUDOMÁNYI ALAPSZAK Készítette: Fülöp Dávid térképész és geoinformatikus szakirányú

Részletesebben

ÁGAZATI SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA FÖLDMÉRÉS ISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MINTAFELADATOKHOZ

ÁGAZATI SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA FÖLDMÉRÉS ISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MINTAFELADATOKHOZ FÖLDMÉRÉS ISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MINTAFELADATOKHOZ Elméleti szöveges feladatok 1. Sorolja fel a geodéziai célra szolgáló vetítéskor használható alapfelületeket

Részletesebben

Juhász Péter. Magyarországi topográfiai térképek vetületének. torzulási vizsgálata

Juhász Péter. Magyarországi topográfiai térképek vetületének. torzulási vizsgálata Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Juhász Péter MTA SZTAKI Magyarországi topográfiai térképek vetületének torzulási vizsgálata doktori értekezés Témavezető: Györffy János, kandidátus,

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 4.

Matematikai geodéziai számítások 4. Matematikai geodéziai számítások 4. Vetületi átszámítások Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 4.: Vetületi átszámítások Dr. Bácsatyai, László Lektor: Dr. Benedek, Judit Ez a modul a

Részletesebben

Magyarországi topográfiai térképek

Magyarországi topográfiai térképek Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Juhász Péter MTA SZTAKI Magyarországi topográfiai térképek vetületének torzulási vizsgálata doktori értekezés tézisei Budapest, 2008. Témavezető: Györffy

Részletesebben

Térképészet gyakorlatok anyaga Szerkesztői megjegyzés: Sokkal többet ér, mint az előadások!

Térképészet gyakorlatok anyaga Szerkesztői megjegyzés: Sokkal többet ér, mint az előadások! Térképészet gyakorlatok anyaga Szerkesztői megjegyzés: Sokkal többet ér, mint az előadások! Tanári megjegyzés: Nem ér többet, csak annak, aki hallgatta az előadásokat is! Mi a térkép? a Földfelszín arányosan

Részletesebben

1. 1. B e v e z e t é s

1. 1. B e v e z e t é s 1. 1. B e v e z e t é s... 1-2 1.1. A földmérés helye a tudományok között... 1-2 1.2. A mérésről általában... 1-5 1.3. A térkép fogalma és méretaránya... 1-6 1.4. A Föld alakja és ábrázolása... 1-10 1.5.

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra

Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) Egy korábbi dolgozatunkban címe: Két egyenes körhenger a merőlegesen metsződő tengelyű körhengerek áthatási feladatával foglalkoztunk. Most

Részletesebben

Bevezetés a geodéziába

Bevezetés a geodéziába Bevezetés a geodéziába 1 Geodézia Definíció: a földmérés a Föld alakjának és méreteinek, a Föld fizikai felszínén, ill. a felszín alatt lévő természetes és mesterséges alakzatok geometriai méreteinek és

Részletesebben

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. 3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság

Részletesebben

BSc szakdogozat. Természettudományi Kar Matematika BSc szak június 3.

BSc szakdogozat. Természettudományi Kar Matematika BSc szak június 3. EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM Biszak Előd Tamás Digitalizált térképek 3-dimenziós ábrázolása Témavezető: Dr. Csikós Balázs BSc szakdogozat Természettudományi Kar Matematika BSc szak 2010. június 3. Kivonat

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

TÉRKÉPTAN óravázlat 2006/07. I.félév Dr. Mélykúti Gábor

TÉRKÉPTAN óravázlat 2006/07. I.félév Dr. Mélykúti Gábor TARTALOMJEGYZÉK I. A FÖLD ALAKJA TÉRKÉPTAN óravázlat 2006/07. I.félév Dr. Mélykúti Gábor 1. A föld főbb geometriai paraméterei 2. A föld fizikai és elméleti alakja 3. Alapszintfelületek 4. A föld elméleti

Részletesebben

Térinformatika. A vonatkozási és koordináta rendszerek szerepe. Vonatkozási és koordináta rendszerek. Folytonos vonatkozási rendszer

Térinformatika. A vonatkozási és koordináta rendszerek szerepe. Vonatkozási és koordináta rendszerek. Folytonos vonatkozási rendszer Térinformatika Vonatkozási és koordináta rendszerek Dr. Szabó György BME Fotogrammetria és Térinformatika Tanszék A vonatkozási és koordináta rendszerek szerepe Heterogén jelenségek közös referencia kerete

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2008 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT : 2008. június 5 (reggel) A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) MEGENGEDETT ESZKÖZÖK: Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus számológép

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Koordináta-geometria alapozó feladatok

Koordináta-geometria alapozó feladatok Koordináta-geometria alapozó feladatok 1. Határozd meg az AB szakasz felezőpontját! (1,5 ; 3,5) (0,5 ; ) (6,5 ; 8,5) (4,5 ; ) (0,5 ; 1,5) (0 ; 0) (0 ; 8,5) (1 ; 1) ( 1,5 ; ) (3,5 ; 3) (0 ; 3) ( 1 ; 1,5).

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

A térképészek problémája

A térképészek problémája Vass Gergely A térképészek problémája A számítógépes grafikában gyakran szükséges gömbfelületekre textúrát feszítenünk. Ez a feladat a 3D gömb minden egyes pontja és a 2D textúra pontjai közötti megfeleltetést

Részletesebben

Navigáció. Földalak, térkép, légiforgalmi térkép, légtérfelosztás, GPS, logger, Útvonal tervezés. Navigáció, Összeállította: Kun Péter, Szentes

Navigáció. Földalak, térkép, légiforgalmi térkép, légtérfelosztás, GPS, logger, Útvonal tervezés. Navigáció, Összeállította: Kun Péter, Szentes Navigáció Földalak, térkép, légiforgalmi térkép, légtérfelosztás, GPS, logger, Útvonal tervezés 1 Földalak Gömb, ellipszoid, geoid 2 Földalak: történelem és csillagászat Kína i.e. II sz.: a Föld gömb alakú

Részletesebben

Minden jó válasz 4 pontot ér, hibás válasz 0 pont, ha üresen hagyja a válaszmezőt, 1 pont.

Minden jó válasz 4 pontot ér, hibás válasz 0 pont, ha üresen hagyja a válaszmezőt, 1 pont. 1. 1. Név: NEPTUN kód: Tanult középiskolai matematika szintje: közép, emelt szint. Munkaidő: 50 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. A feladatlap üresen

Részletesebben

Forgáshenger normálisának és érintősíkjának megszerkesztése II/1

Forgáshenger normálisának és érintősíkjának megszerkesztése II/1 Forgáshenger normálisának és érintősíkjának megszerkesztése II/1 Adott egy forgáshenger: t főegyenes tengelye két vetületi képével t: 0, 110,170-től jobb felső sarokig egy felületi pontjának második vetületi

Részletesebben

Tehetetlenségi nyomatékok

Tehetetlenségi nyomatékok Tehetetlenségi nyomtékok 1 Htározzuk meg z m tömegű l hosszúságú homogén rúd tehetetlenségi nyomtékát rúd trtóegyenesét metsző tetszőleges egyenesre vontkozón, h rúd és z egyenes hjlásszöge α, rúd középpontjánk

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

A FÖLDMINŐSÍTÉS GEOMETRIAI ALAPJAI

A FÖLDMINŐSÍTÉS GEOMETRIAI ALAPJAI A FÖLDMINŐSÍTÉS GEOMETRIAI ALAPJAI Detrekői Ákos Keszthely, 2003. 12. 11. TARTALOM 1 Bevezetés 2 Milyen geometriai adatok szükségesek? 3 Néhány szó a referencia rendszerekről 4 Geometriai adatok forrásai

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

LÉGI JÁRMŰ IRÁNYAINAK MEGHATÁROZÁSA FÖLDFELÜLETEN IRÁNYSZÖGEK

LÉGI JÁRMŰ IRÁNYAINAK MEGHATÁROZÁSA FÖLDFELÜLETEN IRÁNYSZÖGEK Urbán István LÉGI JÁRMŰ IRÁNYAINAK MEGHATÁROZÁSA FÖLDFELÜLETEN IRÁNYSZÖGEK A földrajzi koordináta-rendszer egy derékszögű hálózatot alkot a földfelületen, vagyis a szélességi körök és a délkörök egymást

Részletesebben

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje? Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]

Részletesebben

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje? Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]

Részletesebben

Geometriai alapok Felületek

Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek matematikai definíciója A háromdimenziós tér egy altere Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét Parabolavezérgörbéjű donga 4 f z x + a C Elliptikus

Részletesebben

A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról

A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról 1 A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról A végein fonállal felfüggesztett egyenes rúd részleges erőtani vizsgálatát mutattuk be egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Forgatónyomaték mérése - I.

Részletesebben

Vetülettani és térképészeti alapismeretek

Vetülettani és térképészeti alapismeretek Vetülettani és térképészeti alapismeretek A geodéziában - mint ismeretes - a földalak első megközelítője a geoid. Geoidnak nevezzük a nehézségi erőtér potenciáljának azt a szintfelületét, amelynek potenciálértéke

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

Térbeli referencia rendszerek

Térbeli referencia rendszerek Térbeli referencia rendszerek Föld alak, modellezés Föld fizikai alakja a földfelszín Föld elméleti alakja a geoid, nem analitikus felület Közelítés forgási ellipszoiddal, gömbbel ellipszoid óceán geoid

Részletesebben

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése 2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )

Részletesebben

Matematika a térképészetben

Matematika a térképészetben Matematika a térképészetben SZAKDOLGOZAT Készítette: Madár Otília Matematika BSc - tanári szakirány Témavezet : dr. Naszódi Márton, adjunktus ELTE TTK, Geometriai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Egy forgáskúp metszéséről. Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben.

Egy forgáskúp metszéséről. Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben. Egy forgáskúp metszéséről Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben. Az O csúcsú, O tengelyű, γ félnyílásszögű kúpot az ( XY ) sík itt két alkotóban

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Koordinátarendszerek, dátumok, GPS

Koordinátarendszerek, dátumok, GPS Koordinátarendszerek, dátumok, GPS KOORDINÁTARENDSZEREK A SPATIAL-BEN Koordinátarendszer típusok 1. Descartes-féle koordinátarendszer: egy adott pontból (origó) kiinduló, egymásra merőleges egyenesek alkotják,

Részletesebben

Optika gyakorlat 1. Fermat-elv, fénytörés, reexió sík és görbült határfelületen. Fermat-elv

Optika gyakorlat 1. Fermat-elv, fénytörés, reexió sík és görbült határfelületen. Fermat-elv Optika gyakorlat 1. Fermat-elv, fénytörés, reexió sík és görbült határfelületen Kivonat Geometriai optika: közelítés, amely a fényterjedést, közeghatáron való áthaladást geometriai alakzatok görbék segítségével

Részletesebben

1.1. A földmérés helye a tudományok között A mérésrõl általában A térkép fogalma és méretaránya

1.1. A földmérés helye a tudományok között A mérésrõl általában A térkép fogalma és méretaránya Dr. Csepregi Szabolcs: Földmérési ismeretek Tartalomjegyzék: 1. B e v e z e t é s... 1-4 1.1. A földmérés helye a tudományok között...1-4 1.2. A mérésrõl általában...1-6 1.3. A térkép fogalma és méretaránya...1-7

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

Ferde kúp ellipszis metszete

Ferde kúp ellipszis metszete Ferde kúp ellipszis metszete A ferde kúp az első képsíkon lévő vezérkörével és az M csúcsponttal van megadva. Ha a kúpból ellipszist szeretnénk metszeni, akkor a metsző síknak minden alkotót végesben kell

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

A csillagképek története és látnivalói február 14. Bevezetés: Az alapvető égi mozgások

A csillagképek története és látnivalói február 14. Bevezetés: Az alapvető égi mozgások A csillagképek története és látnivalói 2018. február 14. Bevezetés: Az alapvető égi mozgások A csillagok látszólagos mozgása A Föld kb. 24 óra alatt megfordul a tengelye körül a földi megfigyelő számára

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13. 2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T

Részletesebben

Geometriai példatár 4.

Geometriai példatár 4. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 4. GEM4 modul Szférikus geometria SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999.

Részletesebben

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =, Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2

Részletesebben

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai értelemben Felület: Olyan alakzat, amely előállítható az (u,v) sík egy összefüggő tartományán értelmezett r(u,v) kétparaméteres

Részletesebben

1 2. Az anyagi pont kinematikája

1 2. Az anyagi pont kinematikája 1. Az anyagi pont kinematikája 1. Ha egy P anyagi pont egyenes vonalú mozgását az x = 1t +t) egyenlet írja le x a megtett út hossza m-ben), határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását az indulás utáni

Részletesebben

GBN304G Alkalmazott kartográfia II. gyakorlat

GBN304G Alkalmazott kartográfia II. gyakorlat GBN304G Alkalmazott kartográfia II. gyakorlat TEREPI FELMÉRÉSI FELADATOK Unger János unger@geo.u @geo.u-szeged.hu www.sci.u-szeged.hu/eghajlattan szeged.hu/eghajlattan Földtudományi BSc (Geográfus, Földrajz

Részletesebben

Losonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar

Losonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

Alapfokú barlangjáró tanfolyam

Alapfokú barlangjáró tanfolyam Tájékozódási ismeretek, barlangtérképezés Ország János Szegedi Karszt- és Barlangkutató Egyesület Alapfokú barlangjáró tanfolyam Orfű Tájékozódás felszínen: Térképek segítségével GPS koordinátákkal

Részletesebben

Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál

Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató A hármas és háromszoros integrál Definició A fizikai meggondolások előzményeként jutunk el a hármas integrál következő értelmezéséhez. Legyen értelmezve

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes

Részletesebben