MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: június 8.

Átírás

1 EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor MEGJEGYZÉSEK : Válaszoljon mind a négy kötelező kérdésre. A kiadott formalap megfelelő mezőjébe írt kereszttel jelezze, hogy a három választható kérdés közül melyik kettőnek a megoldását dolgozza ki. Minden kérdés megoldását külön lapon dolgozza ki. 1. lap/8

2 1. KÖTELEZŐ KÉRDÉS ANALÍZIS Az f függvényt az alábbi módon értelmezzük: x f( x) xe, x 0. Az ábrán az f grafikonja, illetve az az egyenes látható, amelyik O t a grafikonnak azzal az A pontjával köti össze, ahol a függvénynek maximuma van. a) i. Számítsa ki az A pont koordinátáit. ii. Igazolja, hogy az O és az A pontokon átmenő egyenes egy egyenlete x y. e b) Számítsa ki a satírozott tartomány területét. 6 pont 2. lap/8

3 2. KÖTELEZŐ KÉRDÉS ANALÍZIS Egy diák egy baktériumtenyészet növekedését vizsgálja. Feltevése szerint ez a növekedés az alábbi differenciál-egyenlettel modellezhető: dn 0.25 Nt, dt ahol t a kisérlet kezdete óta eltelt időt jelenti percekben mérve, N pedig a baktériumok számát a t időpontban. A kisérlet kezdetén éppen 5000 baktérium van a tenyészetben. a) A differenciál-egyenletet megoldva adja meg az N értékét a t függvényeként. 6 pont b) i. Számítsa ki, hogy 4 perc elteltével hány baktérium van a tenyészetben. ii. Számítsa ki, mennyi idő alatt éri el a baktériumok száma az et. 3. lap/8

4 3. KÖTELEZŐ KÉRDÉS GEOMETRIA Tekintsük a térbeli derékszögű koordinátarendszerben az α : 4x 3y 12 síkot. a) i. Határozza meg az α sík és a koordinátatengelyek metszéspontjait. ii. Adja meg az α sík és az xy-sík metszésvonalának paraméteres egyenletrendszerét. b) i. Legyen P az O origó tükörképe az α síkra. Határozza meg a P pont koordinátáit. ii. Írja föl azoknak a síkoknak az egyenletét, amelyek az α síkkal párhuzamosan, attól 4 egységnyi távolságra haladnak. 4. lap/8

5 4. KÖTELEZŐ KÉRDÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Egy üzemben riasztót telepítettek, amely haladéktalanul működésbe lép, ha a gyártás során üzemzavar keletkezik. Ha a riasztó bekapcsol, akkor arra a napra leállítják a termelést. Sajnos a riasztó nem megbízható. Kiderült, hogy bármely kiszemelt napon 0.02 annak a valószínűsége, hogy a riasztó akkor is jelez, ha nincs üzemzavar 0.2 annak a valószínűsége, hogy a riasztó nem jelez üzemzavar esetén. Azt is tudjuk, hogy 0.01 annak a valószínűsége, hogy bármely kiszemelt napon üzemzavar keletkezik. a) i. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy adott napon üzemzavar történik és ennek nyomán a riasztó bekapcsol. ii. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy adott napon bekapcsol a riasztó. b) i. A riasztó bekapcsolt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy valóban üzemzavar történt? ii. Mennyi annak a valószínűsége, hogy hét kiszemelt nap során a riasztó pontosan két napon jelez? 5. lap/8

6 I. VÁLASZTHATÓ KÉRDÉS ANALÍZIS Az f függvényt az alábbi módon értelmezzük: 3x ln x, ha 0 x 1 f (x) 3x 1 ln x, ha x 1. Legyen F az f grafikonja a derékszögű koordinátarendszerben. a) Bizonyítsa be, hogy az x = 1 helyen az f folytonos és differenciálható. b) Végezzen függvényvizsgálatot, meghatározva a függvény zérushelyét, a szélsőértékek koordinátáit és jellegét, továbbá az f ( x) határértékét, amennyiben x, illetve ha x 0. 6 pont c) Vázolja föl az F görbét. d) Írja fel az F érintőjének egyenletét abban a pontban, ahol F metszi az x- tengelyt. e) i. Határozza meg annak az A( k ) tartománynak a területét, amelyet az F, az x-tengely, továbbá az x k ( 0 k 1) és az x 1 egyenletű egyenesek határolnak. ii. Határozza meg az A lim A( k) határértéket. k 0 f) i. Határozza meg annak a B( p ) tartománynak a területét, amelyet az F, az x- tengely, továbbá az x 1 és az x = p (p > 1) egyenletű egyenesek határolnak. ii. A p mely értékére teljesül a B(p) = A egyenlőség? 6. lap/8

7 II. VÁLASZTHATÓ KÉRDÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Egy játékkészítő üzem termékei között egymástól függetlenül kétféle selejt fordul elő: hibás lehet a gyártott játék színe, illetve az alakja. Egy véletlenszerűen kiválasztott termékre nézve értelmezzük az alábbi eseményeket: A: a játék színhibás, B: a játék alakhibás, C: a játék a két hiba közül legalább az egyikkel rendelkezik. Ismeretes, hogy PA ( ) és PB ( ) a) Számítsa ki a P(A B) valószínűséget. b) Mennyi P(C)? Az alábbi c) és d) feladatokban föltesszük, hogy 0.09 annak a valószínűsége hogy a gyártott játékok közül egyet véletlenszerűen kiválasztva az a két hiba közül legalább az egyikkel rendelkezik. A játékokat véletlenszerűen dobozokba csomagolják. c) Egy bolt ilyen dobozokban szerzi be az árut, mindegyikükben 60 játék van. Legyen X az a valószínűségi változó, amelynek az értéke egy ilyen dobozban található olyan játékok száma, amelyek a kétféle hiba közül legalább az egyikkel rendelkeznek. i. Állapítsa meg az X változó eloszlását és határozza meg az eloszlás paramétereit. ii. Számítsa ki a P(X = 5) valószínűséget. iii. Az X változó eloszlását Poisson eloszlással közelítjük. Határozza meg ennek az eloszlásnak a paramétereit. iv. Számítsa ki ennek a közelítő Poisson eloszlásnak a felhasználásával annak a valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott dobozban 3-nál kevesebb olyan játék van, amely a kétféle hiba közül legalább az egyikkel rendelkezik. 1 pont 1 pont d) Egy másik bolt 500 darabos dobozokban szerzi be ezt a játékot. Legyen Y az a valószínűségi változó, amelynek az értéke egy ilyen dobozban található olyan játékok száma, amelyek a kétféle hiba közül legalább az egyikkel rendelkeznek. i. Indokolja meg, miért használható ebben az esetben az Y változó eloszlásának közelítésére a normális eloszlás és adja meg ennek paramétereit. ii. Mennyi P(Y < 50)? iii. Mennyi P(20 < Y < 30)? 7. lap/8

8 EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009: MAEMATIKA HETI 5 ÓRA III. VÁLASZTHATÓ KÉRDÉS GEOMETRIA Tekintsük a térbeli derékszögű koordinátarendszerben a P(0, 1,1) és a Q(3,0, 3) pontokat, a d : x 2t y t z 2 2t, t R egyenest, az S : x y z 2x 2y 2z 6 0 gömböt, és a : 2x y 4 0 síkot. a) A sík tartalmazza a P pontot és a d egyenest. Igazolja, hogy x 2y 2z 4 0 a sík egy egyenlete. b) Határozza meg az S gömb C középpontjának koordinátáit és a gömb R sugarát. c) Írja föl annak a két, r 3 sugarú gömbnek az egyenletét, amelyek a síkot a P pontban érintik. Mutassa meg, hogy e gömbök egyike az S. 6 pont d) Mutassa meg, hogy a és a síkok merőlegesek egymásra. e) A sík az S gömböt a K körben metszi. Határozza meg a K kör középpontját és a kör sugarát. f) i. Igazolja, hogy a Q pont illeszkedik az S gömbre. ii. Az m egyenes a Q pontban érinti az S gömböt és metszi a d egyenest. Írja fel az m egyenes paraméteres egyenletrendszerét. 5 pont 1 point 5 pont 8. lap/8