MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: Június 4.

Átírás

1 EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor MEGJEGYZÉSEK : Válaszoljon mind a négy kötelező kérdésre. A kiadott formalap megfelelő mezőjébe írt kereszttel jelezze, hogy a három választható kérdés közül melyik kettőnek a megoldását dolgozza ki. Minden kérdés megoldását külön lapon dolgozza ki. Lap 1/8 HU

2 1. KÖTELEZŐ KÉRDÉS ANALÍZIS Az f függvényt az alábbi módon értelmezzük: 2 x 1 f ( x). 2 x a) i. Határozza meg f értelmezési tartományát, azokat az intervallumokat, amelyekben az f növő illetve fogyó, továbbá írja fel f grafikonja aszimptotáinak valamilyen egyenletét. ii. Vázolja föl f grafikonját. b) i. Az f grafikonjához annak ( 1, 2) pontjában húzott érintő az x-tengelyt az A pontban, az y-tengelyt pedig a B pontban metszi. Számítsa ki az AB szakasz hosszát. ii. Számítsa ki annak a tartománynak a területét, amelyet f grafikonja, az x-tengely, valamint az x 1 és az x 2 egyenesek határolnak. 5 pont 1 pont Lap 2/8

3 2. KÖTELEZŐ KÉRDÉS ANALÍZIS Egy kémiai reakció során új vegyület jön létre. Ennek a vegyületnek a tömege t másodperc leteltével m gramm. mt () kielégíti a következő differenciálegyenletet: dm dt 2 (50 m). 500 a) Oldja meg ezt a differenciálegyenletet, tudva, hogy a t = 0 időpontban m = 0. 6 pont b) i. Számítsa ki, hogy 100 másodperc leteltével mekkora tömegű vegyület keletkezik. ii. Számítsa ki, hogy mikor lesz a létrejövő vegyület tömege 40 gramm. iii. Igazolja, hogy a reakció során keletkező vegyület tömege soha nem haladhatja meg az 50 grammot. Lap 3/8

4 3. KÖTELEZŐ KÉRDÉS GEOMETRIA Adottak a térbeli derékszögű koordinátarendszerben az O(0, 0, 0), P (1, 1, 3), Q (1, 5, 2), R (0, 3, 1), S (1, 4, 1) pontok. a) i. Igazolja, hogy az OP egyenes merőleges mind az OQ, mind pedig az OR egyenesre. ii. A QOR sík egyenletét felírva mutassa meg, hogy S benne van ebben a síkban. b) i. Számítsa ki a P pont és a QOR sík távolságát. ii. Határozza meg az SPR háromszög területét. 4 pont Lap 4/8

5 4. KÖTELEZŐ KÉRDÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Tíz kártyát megszámozunk. Egyikükre az 1-es, a következőre a 2-es, s.í.t., végül a tizedikre a 10-es számot írjuk. Az így megszámozott kártyák közül egyesével, visszatevés nélkül véletlenszerűen kiválasztunk négy darabot. a) i. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a kihúzott számok mindegyike kisebb vagy egyenlő mint 6. ii. Számítsa ki annak a valószínűségét hogy a négy kihúzott szám szorzata páros. b) i. Számítsa ki annak a valószínűségét hogy a második, a harmadik és a negyedik kihúzott szám is 1-gyel nagyobb az előzőleg kihúzott számnál. ii. Tudjuk, hogy az első két kihúzott szám mindegyike páros. Számítsa ki annak a valószínűségét hogy mindegyik kihúzott szám páros. 4 pont Lap 5/8

6 I. VÁLASZTHATÓ KÉRDÉS ANALÍZIS Az f föggvényt az alábbi módon értelmezzük: a) i. Határozza meg 2 f ( x) ( 2x 4 x)e x. az f gyökeit; az intervallumokat, amelyekben f növő, illetve fogyó; azon pontok koordinátáit az f grafikonján, ahol a függvénynek szélsőértéke van. ii. Vizsgálja meg az f (x) függvény viselkedését, ha x, illetve ha x. Keressen aszimptotákat és írja föl ezek valamilyen egyenletét. b) i. Igazolja, hogy az f grafikonjához az x 1 helyen húzott t érintő 2 4 egyenlete felírható y x alakban. e e ii. Számítsa ki a t egyenes és az x-tengely által bezárt hegyeszöget. 7 pont c) i. Vázolja fel közös koordinátarendszerben az f grafikonját és a t érintőt. ii. Határozza meg a b és a c értékét úgy, hogy F x x 2 bx c f (x) egy primitív függvénye legyen. 2 e x az iii. Számítsa ki annak a tartománynak a területét, amelyet f grafikonja és a t érintő határolnak. 4 pont Lap 6/8

7 II. VÁLASZTHATÓ KÉRDÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Egy nagyváros tömegközlekedését igénybe vevő felnőttek T populációjának körében elvégzett statisztikai vizsgálat nyomán kiderült, hogy T 40%-a férfi és 60%-a nő. A T-beli férfiak 25%-a, illetve a T-beli nők 50%-a rendelkezik időszakos bérlettel. a) Véletlenszerűen kiválasztanak valakit a T populációból. i. Mutassa meg, hogy 0.4 annak a valószínűsége, hogy ennek a személynek van bérlete. ii. Ha ennek a személynek nincsen bérlete, akkor mekkora annak a valószínűsége, hogy ez a személy férfi? b) Véletlenszerűen kiválasztják a T populáció tíz tagját. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy i. e tíz ember közül pontosan 6-nak van bérlete; ii. e tíz ember közül legalább 2-nek van bérlete. c) A T populációból kijelölnek egy 200 elemű véletlen mintát. Legyen az X valószínűségi változó azoknak az embereknek a száma ebben a mintában, akiknek van bérletük. i. Határozza meg X eloszlását és számítsa ki X átlagát és szórását. ii. Alkalmas közelítés segítségével számítsa ki a P(60 X 100) valószínűséget. Indokolja meg, miért jogos a választott közelítés használata. iii. Ugyanennek a közelítésnek a segítségével számítsa ki azt a legkisebb k egész számot amelyre teljesül, hogy PX ( k) pont 5 pont Lap 7/8

8 III. VÁLASZTHATÓ KÉRDÉS GEOMETRIA A térbeli derékszögű koordináta-redszerben adott a sík : x 2y 3z 12, a G gömb G : pontok és az x y z x y z A(12, 0, 0), B(0, 6, 0), C(0, 0, 4) és P(5, 1.5, 5) Marks a) Határozza meg azon pontok koordinátáit, amelyekben a metszi az x-, az y-, illetve a z-tengelyt. b) Az A, B, C pontok és az O origó egy háromszög alapú gúla csúcsai. Számítsa ki ennek a gúlának a térfogatát. c) i. Írja föl annak a gömbnek egy egyenletét, amelyik áthalad az OABC gúla csúcsain. Mutassa meg, hogy hogy ez a G gömb. ii. Mutassa meg, hogy G középpontja az OABC gúlán kívül helyezkedik el. iii. A sík egy körben metszi a G gömböt. Számítsa ki e kör középpontjának a koordinátáit és a kör sugarát. 5 pont 4 pont d) i. Igazolja, hogy a P pont a G gömb belsejében helyezkedik el. ii. Legyen Q a G gömb felszínének a P ponthoz legközelebb eső pontja. Határozza meg a Q pont koordinátáit. iii. A síknak és a G gömbnek egyetlen közös pontja van: a Q pont. Írja fel egyenletét. Lap 8/8