Többváltozós függvények Feladatok

Átírás

1 Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk meg és ábrázoljuk az alábbi többváltozós függvények értelmezési tartományát! 4. f(x y = x 2 + y 2 5. f(x y = x 2 +y 2 6. f(x y = x 2 +y 2 x 2x x 2 y 2 7. f(x y z = ln(xyz 8. f(x y = (x 2 + y 2 (4 x 2 y 2 9. f(x y = + arcsin(x arcsin(y x 2 +y 2. f(x y = x 2 y 2 x+y. f(x y = arcsin x y 2 2. f(x y = x y 3. f(x y = arcsin(2y( + x 2

2 4. f(x y = arcsin(y x x + + ( x 2 (y f(x y = x 2 4(x + y x 2 4x + y Határozzuk meg az alábbi függvények értelmezési tartományát értékkészletét és szintvonalait! 6. f(x y = x 2 + y 2 7. f(x y = xy 8. f(x y = x + y 9. f(x y = min(x 2 y 2. f(x y = y x 2 2. f(x y = x 2 y f(x y = x y 23. f(x y = x 2 + 4x y 2 + 8y 24. f(x y = + 2x 2 + 4y f(x y = ln x + y 26. f(x y = ln ctg(x 2 + y f(x y = arcsin y x Számítsuk ki a következő határértékeket: 28. lim (xy ( xy xy+ sin(xy 29. lim (xy (2 x sin(xy 3. lim (xy ( x 3. lim ( + (xy ( x2 + y 2 sin(x 2 +y 2 2

3 32. lim (xy ( ( x 2 +y 2 tan(x 2 +y 2 y 33. lim 2 sin(x+x 2 sin(y (xy ( xy ( x lim + x+y (xy ( x 35. lim (xy ( (x + y sin x sin y sin(x 36. lim 3 +y 3 (xy ( x 2 +y lim (xy ( x 2 y x 2 x 2 +y 2 2y+ 38. lim (xy ( (x2 + y 2 x2 y lim (xy ( (x2 + y 2 e (x+y 4. lim (xy ( 4. lim (xy ( x+y x 2 xy+y 2 x y x 2 xy+y 2 ( Számítsuk ki a lim lim f(x y x a y b az alábbi esetekben: 42. f(x y = x y x+y (a b = ( 43. f(x y = x2 +y 2 x 2 +y 4 (a b = ( és lim y b ( 44. f(x y = xy tan (a b = ( xy +xy lim f(x y iterált határértékeket x a Igazoljuk hogy az alábbi határértékek nem léteznek; léteznek-e az ismételt határértékek? Ha igen számítsuk ki! 45. lim (xy ( xy 2 x 2 +y 4 x(x +y(y+ 46. lim (xy ( x+y 3

4 x 47. lim 2 y 2 (xy ( x 2 +y f(x y = ha xy ha xy =. lim f(x y (xy ( 49. f(x y = ha < y < x 2 x R egyébként. lim f(x y (xy ( 5. lim (xy ( + 5. lim (xy ( x y +x y x 2 +y 2 +(x y 4 Hol folytonosak az alábbi függvények? Ábrázoljuk a szakadási helyeket: 52. f(x y = y x x y f(x y = f(x y = f(x y = x 2 y 2 x 2 +y 2 ha x 2 + y 2 ha x 2 + y 2 =. x 2 y 4 x 4 +y 4 x 4 + y 4 x 4 + y 4 =. y 2 x 4 y < x 2 y x x y x < x y f(x y = y x < x x =. 4

5 57. x+y x + y x 3 +y 3 f(x y = x + y = x 2 xy+y 2 x = y =. 58. f(x y = xy x2 y 2 x 2 +y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 =. 59. f(x y = x 4 y 4 x 4 +y 4 x 4 + y 4 x 4 + y 4 =. 6. f(x y = x 2 y 2 x 2 +y 2 (x y ( (x y = (. 6. f(x y = x 2 y 3 x 2 +y 2 (x y ( (x y = (. 62. f(x y = cos(x 3 +y 3 x 2 +y 2 (x y ( (x y = (. Hol differenciálhatók parciálisan x illetve y szerint az alábbi függvények? Számítsuk is ki a deriváltakat! 63. f(x y = x 4 + y f(x y = sin(x sin(y Számítsuk ki az alábbi függvények x és y szerinti parciális deriváltjainak az adott helyeken felvett értékét! 5

6 65. f(x y = tan y2 x (2 66. f(x y = arccos(x + y ( f(x y = x y ( 68. f(x y = log x (y ( f(x y = (sin x cos y ( π 2 7. f(x y = arctan y x (23 Határozzuk meg az alábbi függvények x és y szerinti parciális derivált függvényeit! 7. f(x y = 3 x y f(x y = ln(x + y 73. f(x y = xy +y x x y y x 74. f(x y = log sin x (cos y x 75. f(x y = arcsin x 2 +y 2 Állítsuk elő a következő függvények első és másodrendű parciális deriváltjait! 76. f(x y = x 4 + y 4 4x 2 y f(x y = xy + x y 78. f(x y = cos(x2 y 79. f(x y = (x + y sin x 4 8. f(x y z = ( x 2 + y 2 + z 3 8. f(x y z = sin 3 (2x + 3y + z Számítsuk ki az adott függvények kijelölt magasabbrendű derivált függvényeit! 6

7 82. f(x y = x 3 sin(y + y 3 sin(x f xy f(x y = x+y x y f xy 84. f(x y = (x 2 + y 2 e x+y f x 2 y A z = f(x y felületet az (x y helyhez tartozó pontjában metsszük el az (x z illetve az (y z síkokkal párhuzamos síkokkal. Határozzuk meg a felületből kimetszett görbék érintőinek meredekségét ha 85. f(x y = 4 x 2 y 2 (x y = (/2 86. f(x y = x 2 y (x y = (2 Hol deriválhatók totálisan az alábbi függvények? Írjuk fel a függvények totális differenciálját az adott pontban valamint általános (x y pontban is! 87. f(x y = arctan y x ( 88. f(x y = ln tan x y ( π f(x y = x y (2 9. f(x y = y sin(x + x sin(y (π π 2 9. f(x y = e x2y ( 92. f(x y = 3 xy ( Deriválhatók-e totálisan az origóban a következő függvények? f(x y = f(x y = x 3 +y 3 sin x 2 +y 2 x 2 +y 2 ha (x y ( ha (x y = (. x 2 y x 2 2 +y2 ha (x y ( ha (x y = (. 7

8 95. f(x y = xy x 2 +y2 ha (x y ( ha (x y = (. 96. f(x y = 3 x 2 + y 2 Hol differenciálhatók parciálisan illetve totálisan az alábbi függvények? 97. f(x y = exp( x 2 +y 2 ha (x y ( ha (x y = (. 98. f(x y = 3 x 3 + y f(x y = sin(xy x 2 +y2 ha (x y ( ha (x y = ( Határozzuk meg az alábbi felületek érintősíkjainak egyenletét az adott pontban!. z = x 2 + y 2 P (25. z = arctan y x P ( π 4 2. x 2 + y 2 + z 2 = 69 P (342 Határozzuk meg az alábbi függvények helyi szélsőértékeit: 3. f(x y = x 2 + xy + y 2 + 3x 3y f(x y = x 2 + 3xy + 3y 2 6x + 3y 6 5. f(x y = 2xy 5x 2 2y 2 + 4x + 4y 4 6. f(x y = 2xy 5x 2 2y 2 + 4x 4 7. f(x y = x 2 + xy + 3x + 2y + 5 8

9 8. f(x y = y 2 + xy 2x 2y f(x y = x 3 + 3xy + y 3. f(x y = 9x 3 + y 3 /3 4xy. f(x y = 8x 3 + y 3 + 6xy 2. f(x y = 4xy x 4 y 4 3. f(x y = x 2 +y 2 4. f(x y = x + xy + y 5. f(x y = y sin(x 6. f(x y = e 2x cos(y 7. f(x y = x + y + x + y x y > 8. f(x y = ( x ( y + 3 2y f(x y = (x + y exp ( x y 2. f(x y = x(x 2 + y 2 2. f(x y = y 2 + 2x 2 y + x f(x y = x 2 + (y f(x y = x 2 + y f(x y = x 2 xy + y 2 2x + y 25. f(x y = 2y 3 + x 2 y + 5y 2 + x f(x y = exp ( x 2 7y f(x y = x 2 + y f(x y = (5 2x + y exp ( x 2 y 29. f(x y = xy (x > y > x y 3. f(x y = (8x 2 6xy + 3y 2 exp ( 2x + 3y 3. f(x y = x 2 + xy + y 2 4 ln(x ln(y 9

10 32. f(x y = sin(x sin(y + cos(x y ( < x < π/2 < y < π/2 33. f(x y = xy ln(x 2 + y f(x y z = 2x 3 yz x 2 y 2 z f(x y z = xy 2 z 3 (a x 2y 3z (a > 36. f(x y z = x 2 + y 2 + z 2 + 2x + 4y 6z 37. f(x y z = x + y2 4x + z2 y + 2 z (x y z > Határozzuk meg az alábbi függvények feltételes szélsőértékeit: 38. f(x y = x + y x 2 + y 2 = 39. f(x y = x y x 2 y 2 = 4. f(x y = xy x + y = 4. f(x y = cos 2 (x + cos 2 (y x + y = π/4 42. f(x y = x 3y x 2 + y 2 = 43. f(x y = x 2 + y 2 x 4 + y 4 = Egy vállalat dobozokat gyárt három telephelyén évente x y és z darabot. Ebből évente R(x y z = 8xyz 2 2(x+y+z bevétele van. A vállalatnak évente pontosan darabot kell előállítania. Hogyan ossza el a termelést a telephelyek közt hogy a bevétel maximális legyen? 45. f(x y = x 2 2xy + 2y 2 x 2 + y 2 = 46. f(x y = xy y 2 x 2 + y 2 = 47. f(x y = cos ( x 2 y 2 x 2 + y 2 = 48. f(x y = x2 y 2 x 2 +y 2 x + y = 49. f(x y = y 2 + x x 2 + y 2 = 5. f(x y = xy x 2 + y 2 = 5. f(x y = x + y x 2 + y 2 = a 2 (a > 52. f(x y = x + y x 2 + y 2 = a 2 (a >

11 53. f(x y = 4x y x 2 y 2 = f(x y = cos 2 (x + cos 2 (y x y = π/4 55. f(x y = x a + y b x2 + y 2 = 56. f(x y z = x 2y + 2z x 2 + y 2 + z 2 = 57. f(x y z = xy 2 z 3 x + 2y + 3z = a (a > x y z > 58. f(x y z = x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y2 + z2 = (a > b > c > a 2 b 2 c f(x y = xy (x + y/2 = a x y Határozzuk meg az alábbi függvényeknek az adott K kompakt halmazon felvett minimumát és maximumát: 6. f(x y = x 2y 3 K : x y x + y 6. f(x y = x 2 + y 2 xy + 3x 3y K : y = x = és x+y = 2 egyenesek által határolt tartomány 62. f(x y = x 2 y(4 x y K : x = y = és x+y = 6 egyenesek által határolt tartomány 63. f(x y = x 2 xy + y 2 K : x + y 64. f(x y = x 2 + y 2 2x + 6y K : x 2 + y f(x y z = x + y + z K : x 2 + y 2 z 66. f(x y = x y K : (x 2 + y 2 x 2 + (y Egy téglatest egy pontba összefutó éleinek összege 2a. Mekkorák a lehető legnagyobb térfogatú ilyen téglatest élei? 68. Egy félhenger alakú felül nyitott kád felszíne adott S érték. Milyen méretek mellett lesz a térfogata maximális?

12 69. Adott R sugarú és M magasságú egyenes körkúpba írjunk be maximális térfogatú téglatestet! 7. Adott R sugarú félgömbbe írjunk maximális térfogatú téglatestet! 7. Adott ellipszisbe írjunk az ellipszis tengelyével párhuzamos alapú és legnagyobb területű egyenlőszárú háromszöget! 72. Bizonyítsuk be hogy a háromszögbe beírt kör sugara nem nagyobb mint a körülírt kör sugarának fele! 73. Határozzuk meg az y = x 2 és y = (x görbék távolságát! 74. Adott R sugarú gömbbe írjunk be maximális teljes felszínű hengert! 75. Egy test egy egyenes körhengerből és egy rá illesztett körkúpból áll. A test teljes felszíne adott. Határozzuk meg a test méreteit úgy hogy a test térfogata maximális legyen. Fejezzük ki az I = f(x ydxdy integrált szukcesszív integrálok segítségével ha D 76. D határai x = y 2 x = D : x 2 + y 2 + 2x + 2y D : x 2 + y 2 4 x 2 + y 2 2x 79. D határai: y = x y = 2x x = és x = Cseréljük fel az integrálás sorrendjét az alábbi szukcesszív integrálokban: ( x2 f(x ydy dx x ( 2x f(x ydy dx x 3 2

13 82. ( 2 y2 f(x ydx dy y ( x+2 f(x ydy dx x ( x ( x f(x ydy dx x /2 ( x 2 f(x ydy dx f(x ydy dx ( (y 2 f(x ydx dy y Számoljuk ki az alábbi függvények integrálját a megadott tartományokon! f(x y = e x+sin y cos y D : x π y π f(x y = x 2 + y 2 D : y = x x = y = y = 2 egyenesek által határolt trapéz 3

14 9. f(x y = 3x 2 2xy + y D : x = x = y 2 y = 2 görbék által határolt korlátos zárt tartomány 9. f(x y = y ln x D : xy = y = x x = 2 görbék által határolt korlátos zárt tartomány 92. f(x y = cos(2x + sin y D : x = y = 4x+4y = π egyenesek által határolt háromszög 93. f(x y = x ahol D : a (2 és (2 pontokat összekötő egyenes valamint a ( középpontú sugarú kör által határolt kisebbik körszelet. 94. f(x y = xy 2 D : y 2 = 4x x = 2 görbék által határolt parabolaszelet 95. f(x y = xy D : (2 középpontú sugarú kör felső félköre 96. f(x y = y D : x 2 + y 2 2y y x 2 x 97. f(x y = ( + y 2 D : y x xy x f(x y = e x y D : x = y 2 x = y = görbék által határolt görbevonalú háromszög 4

15 99. f(x y = x 2 + y D határai: y = x 2 y 2 = x 2. f(x y = xy( y 2 2 D : x 2 + y 2 x y Számoljuk ki az alábbi szukcesszív alakban megadott integrálokat ( (x 2 + 2ydx dy ( 5 (x + 2ydx dy 3 y ( y sin xdx dy 24. π/2 ( y 4 dy dx cos x π/2 ( 2 dy dx (x + y 2 ( 3 cos y x 2 sin 2 ydx dy π/2 5

16 27. 2 ( x x x 2 y dy dx ( y 2 3 ye x2 dx dy y ( y y 2 y π ( +cos x sin x x dx dy y 2 sin xdy dx 2. ( arcsin(y 3 x sin x dx dy arcsin(y ( x ( x sin(y 2 dy dx dy dx + y 2 ( + x4 dx dy 3 y 6

17 π π π ( y ln x x dx dy + 4 ( y (x + y 3 dx dy y ( ( ( y 2 ( 2 y/2 exp(x 2 cos(ydx dy exp(x sin 3 (ydx dy 2 + x dx dy 2 ln x x dx dy Polárkoordináták bevezetésével írjuk át az I = f(x ydxdy integrált D ha: 22. D : x 2 + y 2 a D : x 2 + y 2 a 2 y x 3y 222. D : y y x y 223. I = f ( y x dxdy D : a 2 x 2 + y 2 b 2 x y x. D Polárkoordináták bevezetésével számoljuk ki az alábbi függvények integráljait a megadott tartományokon: 224. x 2 + y 2 D : x 2 + y 2 2x 225. x 2 + y 2 D : x 2 + y 2 a 2 y 7

18 226. y D : x 2 + y 2 ax y x 227. x 2 + y 2 D : ax x 2 + y 2 2ax y 228. x 2 y 2 D : (x 2 + y 2 2 = x 2 y 2 egyenletű lemniszkáta belseje x y 2 D : x 2 + y 2 x y +x 2 +y ln(x 2 + y 2 D : e 2 x 2 + y 2 e y2 x 2 D : x = y x = y x 2 + y 2 4 negyedkörcikk 232. arctan y x D : x2 + y 2 9 x 3 y x 3 Keressünk olyan változótranszformációkat amelyek a megadott tartományokat téglalappá transzformálják! Írjuk fel a transzformált integrált! 233. D f(x ydxdy D : x2 a 2 + y2 b f(x ydxdy D : xy 2 x y 3x D D D D f(x ydxdy D : x 2 x + y 2 f(x ydxdy D : x y x + y (x 2 + y 2 2 f ( x ( y f dxdy x 2 + y 2 x 2 + y 2 D : x 2 x2 + y 2 x y 2 x2 + y 2 y 8

19 238. Számoljuk ki az alábbi függvények integrálját a megadott tartományokon! x + y D : x2 a 2 + y2 b x2 a 2 y2 b 2 D : x2 a 2 + y2 b 2 x + y D : x + y 3 x y 5x 9