Debreceni Egyetem. Kalkulus II. példatár. Gselmann Eszter
|
|
- Krisztina Magyarné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus II. példatár Gselmann Eszter Debrecen, 203
2 Tartalomjegyzék. Határozatlan integrál Elméleti áttekintés Alapintegrálok Feladatok Riemann-integrál 23 Elméleti áttekintés Feladatok Többváltozós függvények 46 Elméleti áttekintés Többváltozós függvények folytonossága Többváltozós függvények határértéke Feladatok Többváltozós függvények differenciálszámítása 5 Elméleti áttekintés Fréchet-differenciálhatóság Iránymenti és parciális differenciálhatóság Lokális szélsőértékszámítás Feladatok Riemann-integrál R n -ben 65 Elméleti áttekintés
3 Feladatok Differenciálegyenletek 76 Elméleti áttekintés y = f (x) alakú differenciálegyenletek Szeparábilis differenciálegyenletek Homogén differenciálegyenletek y = f (ax + by + c) alakú differenciálegyenletek Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek Egzakt differenciálegyenletek Konstansegyütthatós lineáris differenciálegyenletek Feladatok
4 . fejezet Határozatlan integrál Elméleti áttekintés.. Definíció. Legyen ]a, b[ R nemüres, nyílt intervallum, f :]a, b[ R függvény. Az F :]a, b[ R függvényt az f függvény primitív függvényének vagy határozatlan integráljának nevezzük, ha F (x) = f (x) teljesül minden x ]a, b[ esetén. Az F függvényre a továbbiakban az f vagy az f (x)dx jelölést használjuk... Tétel. Ha f, F :]a, b[ R és F = f, akkor G :]a, b[ R pontosan akkor primitív függvénye f -nek, ha létezik olyan C R, hogy F(x) = G(x) + C (x ]a, b[).2. Tétel (A határozatlan integrál linearitása). Legyenek f, g :]a, b[ R olyan függvények, melyekre létezik f és g, legyenek továbbá α, β R tetszőleges konstansok. Ekkor létezik α f + β g is, és létezik olyan C R, hogy α f (x) + β g(x)dx = α f (x)dx + β g(x)dx + C.
5 .3. Tétel (A parciális integrálás tétele). Ha az f, g :]a, b[ R függvények differenciálhatóak ]a, b[-n, és létezik f g, akkor létezik f g is, és létezik olyan C R konstans, hogy f (x) g (x)dx = f (x) g(x) f (x) g(x)dx + C. (x ]a, b[).4. Tétel (A helyettesítéses integrálás tétele). Ha f :]a, b[ R, g :]c, d[ R olyan függvények, melyek esetén létezik g :]c, d[ ]a, b[ és létezik f is, akkor létezik ( f g) g is, és van olyan C R, hogy (( f (g(x)) g (x)dx = ) ) f g (x) + C = f (t)dt + C. t=g(x) (x ]c, d[).5. Tétel. Legyen f :]a, b[ R differenciálható ]a, b[-n, α R \ { }, ekkor f α f függvénynek létezik a primitív függvénye ]a, b[-n és teljesül valamely C R konstanssal. f α (x) f (x)dx = f α+ (x) α + + C,.6. Tétel. Ha f : [a, b] R folytonos [a, b]-n, f (x) 0 (x [a, b]), f differenciálható ]a, b[-n, akkor az f függvénynek létezik a primitív függvénye, és létezik f olyan C R, hogy f (x) dx = ln ( f (x) ) + C. f (x).7. Tétel. Legyen f : R R függvény, α, β R, α 0 tetszőlegesek. Ha létezik f, akkor létezik f (αx + β) dx is, és létezik olyan C R konstans, hogy f (αx + β) dx = F (αx + β) α ahol F jelöli az f függvény primitív függvényét. + C, (x R) 2
6 Alapintegrálok. e x dx = e x a x dx = ln a ax ln(x) dx = x ln(x) x log a (x) dx = (x ln(x) x) ln a x α dx = α+ xα+ ha α, ln x ha α =, cos(x) dx = sin(x) sin(x) dx = cos(x) tg(x) dx = ln cos(x) ctg(x) dx = ln sin(x) 0. arccos(x) dx = xarccos(x) x 2 3
7 . arcsin(x) dx = xarcsin(x) + x arctg(x) dx = xarctg(x) 2 ln( + x2 ) arcctg(x) dx = xarcctg(x) + 2 ln( + x2 ) cosh(x) dx = sinh(x) sinh(x) dx = cosh(x) tanh(x) dx = ln cosh(x) coth(x) dx = ln sinh(x) 8. arcosh(x) dx = x arcosh(x) x arsinh(x) dx = x arsinh(x) x artanh(x) dx = x artanh(x) + 2 ln x2 4
8 2. arcoth(x) dx = x arcoth(x) + 2 ln x2 22. dx cos 2 x = tg(x) dx sin 2 x = ctg(x) dx = arcsin(x) x dx = arccos(x) x dx + x 2 = arctg(x) 27. dx + x 2 = arcctg(x) dx cosh 2 x = tanh(x) dx sinh 2 x = coth(x) dx x 2 + = arsinh(x) 5
9 dx x 2 = arcosh(x) dx x 2 = artanh(x) dx x 2 = arcoth(x) Feladatok. Határozzuk meg az alábbi függvények primitív függvényét. (a) x 5 dx (g) x 3 x dx, x 3 dx, (h) x 5 x 4 dx, (c) xdx, (i) x 3 xdx, 3 x 2 dx, (j) (3 x 2 ) 3 dx, (e) 4 x dx (k) x 2 (5 x 4 )dx, (f) x 3 xdx, (l) ( x)( 2x)( 3x)dx, 6
10 (m) ( ) 2 x dx, x (q) x 2 + x 2 dx x 4 (n) (o) x + x dx, x 2 + x 2 dx, (r) (s) x 4 5 x 6 dx, x 3x x 5 dx, (p) x 2 x 2 dx, (t) x 4 4x x 5 dx x 4 2. Számítsuk ki a következő függvények határozatlan integráljait. (a) 5 x dx, (e) tg 2 (x)dx, (c) 2e x dx, 6 sin(x) + 5 cos(x)dx, 2 5 x + 4 sin(x) 3 cos(x)dx, (f) (g) (h) (i) ctg 2 (x)dx, cos(x) cos(2x) dx, + cos(2x) cos(x) 2 dx, 5 cos(2x) sin(x) + cos(x) dx 7
11 3. A parciális integrálás tételének segítségével határozzuk meg a következő függvények primitív függvényeit. (a) ln(x)dx, (j) x 3 e x2 dx, x n ln(x)dx, (n ) (k) (l) x cos(x)dx, x 2 sin(2x)dx, (e) (f) (c) x ln 2 (x)dx, xe x dx, x 2 e 2x dx, (x 2 + 2) ln(x)dx, (m) (n) (o) (p) x sinh(x)dx, x 3 cosh(3x)dx, e x dx, x sin( x)dx, (g) (h) (i) (x )e x dx, (x 2 + x + )e x dx, x 2 e x+ dx, (q) (r) (s) x cos 2 (x) dx, xe x (x + ) 2 dx, e x cos(x)dx, 8
12 (t) e 2x sin(3x)dx, (v) (e x cos(x) )2 dx, (u) e 2x sin 2 (x)dx, 4. Határozzuk meg az alábbi függvények primitív függvényeit. (i) (ii) (iii) cos 2 (x) 5 + cos (2x) dx, + cos (2x) cos 2 (x) dx, 2 cos (2x) sin(x) + cos(x) dx, (vi) (vii) (viii) 5 sinh 2 (x) dx, 5 tanh 2 (x)dx, coth 2 (x)dx, (iv) (v) 3 cos 2 (x) 7 5 sin 2 (x) dx, 4 sinh(x) + 2 cosh(x)dx (ix) (x) cosh 2 (x) 2 cosh (2x) + dx, sinh(x) cosh(x) dx 5. Az.7. Tétel segítségével határozzuk meg a következő függvények primitív függvényeit. (a) (3x + 2) 3 dx, (5x 4) 5 dx, 9
13 (c) (e) 4 7x 6dx, ( 3x + 4) 4 dx (2x 3) 0 dx, (j) 2 3 e3x 2 dx, (k) (l) 3 4x 7 dx, 5 2 3x dx, (f) 3 3xdx, (m) sin (6x + 4) dx, (g) 2 5x dx, (n) cos ( 4 5x) dx, (h) dx (5x 2) 2 5 (o) sin 2 (3x + 2) dx, (i) e 5x+4 dx, (p) sinh (2 7x) dx 6. Az.7. Tétel segítségével számítsuk ki az alábbi függvények határozatlan integráljait. (a) x 2 (2x 3 + 4) 2 dx, (c) ln(x) x dx, sin(x) cos(x)dx, (2x 3 + 4) 5 x 2 dx 0
14 (e) x 2 6x 3 + dx, (i) x x 2 dx, (f) x x 2 + dx, (j) x x 2 dx, (g) 5x 2 3 3x dx, (k) x 3 2x 2 dx, (h) e x e x dx (l) x ( + x 2 ) 2 dx 7. Az.6. Tétel felhasználásával határozzuk meg az alábbi függvények primitív függvényeit. (a) (c) (e) xe x2 e x2 + dx, e x e x + 2 dx, ln 5 (x) dx, x x ln(x) ln (ln(x)) dx, sin 5 (x) cos(x)dx, (f) sin(x) cos 3 (x) dx, (g) sinh(x) cosh 2 (x) dx, (h) (i) (j) sin 2 (x) 4 ctg(x) dx 2x x dx 5x 2 x dx,
15 (k) 4 sin(x) 5 cos(x) + 4 dx, (o) sin 2 (x)ctg(x) dx, (l) 5 sin (2x) sin 2 (x) + 2π dx, (p) tg(x)dx (m) sin (2x) 5 + cos 2 (x) dx (q) x ln(x) dx, (n) cos 2 (x)tg(x) dx, (r) e 2x e 2x + 3 dx 8. A parciális törtekre bontás tételének felhasználásával határozzuk meg az alábbi függvények primitív függvényeit. (a) (c) A dx, (A, α 0) αx + β A dx, (A, α 0, n ) (αx + β) n Ax dx, (A, α 0) (αx + β) n (e) (f) (g) (h) 5 2 3x dx, 5 (2x 4) 6 dx, 4 (6 4x) 7 dx, x (2x + 3) 4 dx, 4 3x 5 dx, (i) 5x (3x 4) 6 dx 2
16 (j) 2 x + 3 dx, (s) 2x + 3 (x 2)(x + 5) dx, (k) (l) (m) 5 (x + ) 2 dx, x 2 x + dx, x + x 2 + x + dx, (n) x + 2 x 2 dx, (o) 3x 4 x 2 x 6 dx, (t) (u) (v) (w) x (x + )(x + 2)(x + 3) dx, x 2 x + 2 dx, (x 2)(x + 4) dx, 4 (x 3)(x + 2)(x 4) dx, (p) x 2 (x 3)(x + 2) 2 dx, (x) 5x 3 (x )(x 3) 2 dx, (q) (r) x 2 dx (α 0) + α2 α 2 + β 2 dx, (αβ 0) x2 (y) (z) 5 x(x 2 + 4) dx, 2x 2 x 4 dx 9. Határozzuk meg az alábbi függvények határozatlan integrálját a helyettesítéses integrálás tételének segítségével. 3
17 (a) (c) (e) (f) (g) (h) (i) x + a dx (2x 3) 0 dx 3 3xdx 2 5x dx dx (5x 2) x + x 2 dx x e x + e 2x dx (x + 4) 202 dx cos(2x + 7)dx (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) 2 2x dx (2x ) 7 dx sin(7x 3)dx (9 + x 2 ) 2 dx 3x + 2dx sin( 2x + 8)dx e πx 3 dx 2 3x 5 dx (j) e 8x 3 dx (s) ( x) 200 dx 0. A helyettesítéses integrálás tételének felhasználásával számítsuk ki a következő 4
18 függvények primitív függvényeit. (a) cos( x)dx e 3x dx (k) (l) sin(x) (3 + cos(x)) 2 dx sin(x) cos 3 (x) dx (c) 2x + dx (e) (f) (g) (h) x + 3xdx x 2 x + dx x 2 3x dx sin 3 (x)dx x 3 x dx (i) cos(x) sin 3 (x) dx (j) cos(2x) 4 sin(2x)dx (m) (n) (o) (p) sin( x + ) dx x + x κ sin(x κ )dx x 5 x 6 dx x 4 + xdx (q) (x 2 + ) 3 dx (r) (s) x 2 3 (8x ) 2 dx sin(x) + cos(x) 3 sin(x) cos(x) dx 5
19 . A helyettesítéses integrálás tételének felhasználásával számítsuk ki a következő függvények primitív függvényeit. (a) e sin(x) cos(x)dx, (3x 2 + 2) sin(x 2 + 2x 4)dx, (e) (f) ( ) x 2 sin dx, x x(x + ) dx, (c) e 2x + e x dx, x 2 dx, (α 0) + α2 (g) (h) e x dx, + e x + e 2x dx, 2. A helyettesítéses integrálás tételének felhasználásával számítsuk ki a következő függvények primitív függvényeit. (a) α 2 β 2 x 2 dx, (e) x 2 dx, α 2 + β 2 x 2 dx, (f) 4x 2 4 dx (c) β 2 x 2 α 2 dx (g) x 2 dx, 9 6x 2 dx, (h) + x 2 dx, 6
20 (i) x 2 dx (m) 36 49x 2 dx, (j) α 2 β 2 x 2 dx, (k) α 2 + β 2 x 2 dx, (l) β 2 x 2 α 2 dx (n) (o) + 9x 2 dx, 69x 2 4dx 3. A helyettesítéses integrálás tételének felhasználásával számítsuk ki a következő függvények primitív függvényeit. (a) (7x + 5) 0 dx e 4x 9 dx (g) (h) ( 2x + 8) 7 dx e 3x+7 dx (c) 0x 4 dx cos(8x + 7)dx (i) (j) (8x 3) 3 dx (x 2) 0 dx (e) (f) dx ( 0x + 7) 0 5x 7 dx (k) (l) (x + 5) 3 dx (2x ) 7 dx 7
21 (m) sin(7x 3)dx (r) x cos(x 2 )dx (n) (o) (p) (q) e 3x 2 dx cos( x)dx 7x + 5 dx 2x + x 2 dx (s) (t) (u) 4x 2x 2 + dx sin( x) dx x 2xe x2 5 dx 4. A helyettesítéses integrálás tételének felhasználásával számítsuk ki a következő függvények primitív függvényeit. (a) 2x sin( x 2 )dx (f) x 3 3 x dx (c) (e) cos(x) + sin(x) dx 5x x 2 dx x 3 x dx x( + x) dx (g) (h) (i) ( + sin(x)) 7 cos(x)dx sin(ln(x)) dx x e 2x e 2x + dx 8
22 (j) xe x2 dx (r) (3x + 2) 4x + dx (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) x sin(x 2 3)dx x 3 x 4 + dx 5x 3 x 3 dx cos(x) (5 + sin(x)) 2 dx x 4 ( + x 5 ) 3 dx x + x ln 2 (x) dx e x cos(e x )dx (s) (t) (u) (v) (w) (x) 2x 5 3x + dx sin ( 5x + 3 ) dx 7 x + x 2 dx 2e 2x + 3e x e 2x + dx 5e 2x 8e x 2e 2x + 9e x 5 dx cosh( x) dx x 5. Határozzuk meg az alábbi függvények primitív függvényeit, a helyettesítéses integrálás tételének segítségével. (a) e 2x 4 dx e x 9 dx ex+3 9
23 (c) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) x 3 x 2 + dx x 2 x 2 dx 2x x 2 x 7 dx x x 2 2x + 7 dx 4x 2 x 3 dx 3x 2 x 3 6 dx 8x x 2 4 dx x 2 x dx sinh(x) cosh(x) dx sinh(x) cosh(x)dx sin(2x) cos(2x)dx (n) (o) (p) (q) (r) (s) (t) (u) (v) (w) sinh(3x) cosh(3x)dx sin 4 (x) cos(x)dx sinh 3 (x) cosh(x)dx x 3 x 4 + dx x( + x) 2 dx 5x x 2 dx x 3 x dx 5x 2 x 3 dx cos(x) (5 + sin(x)) 2 dx (x 2 + 2x)(x 3 + 3x 2 4) 4 dx 20
24 6. A helyettesítéses integrálás tételének segítségével határozzuk meg a következő függvények primitív függvényeit. (a) (x 3 + 2) cos(x 4 + 8x)dx (i) 27x 2 cos(9x 3 + 2)dx 2 sin(x) sin(cos(x))dx (j) x 2x + 2 dx (c) (e) (f) ( 6x 3 6) sin(2x 4 +4x 2 )dx 9 2 x2 sin( 3x 3 9)dx 3 cos(x) cos(sin(x))dx ( x 4 2x 3 ) 7 ( 4x 3 6x 2 )dx (k) (l) (m) (n) (o) x 2x + 3dx x 4x + dx x 2 3 2x 2dx x 2 3 3x 2dx x 0x 0dx (g) 6x(8x 2 + 4)dx (p) x 5x + 2dx (h) 28x 3 cos(7x 4 + 5)dx (q) x 3 (x 2 + ) 99 dx 2
25 (r) (s) (t) x 3 ( 2x 2 5)dx x ( x 2 3) 2 dx x 5 (x 2 5) 45 dx (u) (v) x 3 ( 2x 2 dx ) 3 x 3 dx (3 3x) 40 22
26 2. fejezet Riemann-integrál Elméleti áttekintés Legyen [a, b] R egy zárt intervallum és f : [a, b] R egy korlátos függvény. 2.. Definíció. Legyen n N. A P = {x i a = x 0 < x <... < x i <... < x n = b} halmazt az [a, b] intervallum egy felosztásának nevezzük. Az x i pontokat a P felosztás osztópontjainak hívjuk, míg az [x i, x i ], i =,..., n intervallumokat a felosztás részintervallumainak mondjuk. Továbbá, a x i = x i x i (i =,..., n) jelölés bevezetése mellett a P = sup { x i i =,..., n} számot a felosztás finomságának nevezzük Definíció. Felosztások egy (P k ) k N sorozatát normális felosztásszorozatnak mondjuk, hogy lim k P k = 0. 23
27 2.3. Definíció. Legyen P, illetve P 2 az [a, b] intervallum felosztásai. Abban az esetben, ha P P 2 teljesül, azt mondjuk, hogy a P 2 felosztás finomítása a P felosztásnak Definíció. Legyen P az [a, b] intervallum egy felosztása és M i = sup f (x) és M i = inf f (x) (i =,..., n). x [x i,x i ] x [x i,x i ] 2.. Megjegyzés. Az f függvény korlátossága miatt minden i =,..., n esetén léteznek és végesek Definíció. A fenti jelölések megtartása mellett legyenek σ( f, P) = n m i i Σ( f, P) = i= n M i i és O( f, P) = i= n (M i m i ) i. Ezeket a mennyiségeket rendre az f függvény P felosztásához tartozó alsó, felső, illetve oszcillációs összegének nevezzük Definíció. Továbbá, ha minden i =,..., n esetén ξ i [x i, x i ], akkor az I( f, P) = n f (ξ i ) x i i= számot az f függvény P felosztásához és a ξ,..., ξ n pontokhoz tartozó integrálközelítő összegének mondjuk Definíció. Legyen f : [a, b] R egy korlátos függvény. Ekkor az illetve az I( f ) = sup {σ( f, P) P az [a, b] felosztása}, I( f ) = inf {σ( f, P) P az [a, b] felosztása}, számokat az f függvény [a, b] intervallum feletti alsó, illetve felső Darboux-integráljának nevezzük. 24 i=
28 2.8. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : [a, b] R függvény Riemann-integrálható, ha I( f ) = I( f ) teljesül. Ezt a közös értéket az f függvény [a, b] intervallum feletti Riemannintegráljának mondjuk és rá az b a f (x)dx jelölést használjuk Megjegyzés (A Riemann-integrál geometriai jelentése). Az b a f (x)dx Riemann-integrál annak a tartománynak az előjeles területe, melyet az y = f (x) görbe, az x-tengely, valamint az x = a és y = b egyenletű egyenes határol. f a b 2.. Tétel (Riemann-integrál és műveletek). Legyenek f, g: [a, b] R Riemann-integrálható függvények, λ R. Ekkor az f + g függvény is Riemann-integrálható és b b ( f + g)(x)dx = a a b f (x)dx + a g(x)dx; 25
29 a λ f függvény is Riemann-integrálható és b a b (λ f )(x)dx = λ a f (x)dx; ha minden x [a, b] esetén f (x) g(x) teljesül, akkor b a b f (x)dx g(x)dx; a ha [c, d] [a, b], akkor az f függvény Riemann-integrálható a [c, d] intervallumon is; ha c ]a, b[, akkor b ha K 0 olyan, hogy a f (x)dx = c a b f (x)dx + c f (x)dx; f (x) K (x [a, b]), akkor b a f (x)dx K(b a) Tétel (Newton Leibniz). Legyen f : [a, b] R egy folytonos függvény és jelölje F : [a, b] R az f függvény egy primitív függvényét. Ekkor b a f (x)dx = [F(x)] b a = F F(a). 26
30 2.3. Tétel (Helyettesítéses integrálás tétele). Legyen ϕ: [a, b] [A, B] egy o- lyan szigorúan monoton növekedő, folytonosan differenciálható függvény, melyre ϕ(a) = A és ϕ = B. Ha az f : [ϕ(a), ϕ] R függvény folytonos, akkor ϕ ϕ(a) f (x)dx = b a f (ϕ(t)) ϕ (t)dt Tétel (Parciális integrálás tétele). Legyenek f, g: [a, b] R olyan differenciálható függvények, melyek deriváltjai Riemann-integrálhatóak. Ekkor b a f (x)g (x)dx = [ f (x)g(x) ] b b a a f (x)g(x)dx. Legyenek ϕ, ψ: [a, b] R olyan folytonos függvények, melyekre ϕ(x) ψ(x) (x [a, b]) teljesül és jelölje S annak a síkidomnak a területét, melyet az y = ϕ(x), y = ψ(x) görbék valamint az x = a és x = b egyenesek határolnak. ψ ϕ a b Legyen ϕ: [a, b] R egy folytonosan differenciálható függvény, ekkor a ϕ függvény által meghatározott görbedarab ívhossza, b L(ϕ) = + (ϕ (x)) 2 dx. a 27
31 ϕ a b Legyen ϕ: [a, b] R egy folytonos függvény és forgassuk meg az x tengely körül az a x b 0 y ϕ(x) tartományt. A forgás során súrolt pontok egy S forgástestet alkotnak, melynek térfogata V(S ) = π b a ϕ 2 (x)dx. ϕ a b 2.9. Definíció. Legyen a valós, b pedig bővített valós szám, úgy, hogy a < b teljesül. Legyen továbbá f : [a, b[ R egy olyan függvény, mely minden x [a, b[ 28
32 esetén Riemann-integrálható az [a, x] intervallumon. Értelmezzük az F : [a, b[ R függvényt az F(x) = x a f (t)dt (x [a, b[) formulával. Ha az F függvénynek a b pontban létezik és véges a baloldali határértéke, akkor azt mondjuk, hogy az esetben b a f (x)dx improprius integrál konvergens és ebben az b a f (x)dx = lim x b F(x) Definíció. Legyen a bővített valós, b pedig valós szám, úgy, hogy a < b teljesül. Legyen továbbá f : ]a, b] R egy olyan függvény, mely minden x ]a, b] esetén Riemann-integrálható az [x, b] intervallumon. Értelmezzük az F : ]a, b] R függvényt az formulával. F(x) = b x f (t)dt (x ]a, b]) Ha az F függvénynek az a pontban létezik és véges a jobboldali határértéke, akkor azt mondjuk, hogy az f (x)dx improprius integrál konvergens és ebben az esetben b a b a f (x)dx = lim x a+ F(x). 2.. Definíció. Legyenek a, b bővített valós számok úgy, hogy a < b. Legyen továbbá f : ]a, b[ R egy olyan függvény, mely az ]a, b[ intervallum minden zárt részintervallumán Riemann-integrálható. Tegyük fel, hogy van olyan c ]a, b[, mely esetén az c a f (x)dx és az 29 b c f (x)dx
33 improprius integrálok konvergensek. b a f (x)dx improprius integrál is konvergens és Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az b a f (x)dx = c a b f (x)dx + c f (x)dx. Feladatok Riemann-integrál. A Newton Leibniz-formula felhasználásával számítsuk ki az alábbi Riemannintegrálokat. (a) 4 2 x 3 dx, (e) x dx, 7 2 xdx, (f) x dx, (c) 2 4 x 2 dx, (g) x 3 dx, x dx, (h) 2 2 x 3 dx, 30
34 2. A Newton Leibniz-formula felhasználásával számítsuk ki az alábbi Riemannintegrálokat. (a) (c) π/4 0 2π 0 π/3 0 sin(x)dx, cos(x)dx, sin(3x)dx, (e) 2 sin 2 (x) dx, 4 2 e x dx 3. A Newton Leibniz-formula felhasználásával számítsuk ki az alábbi Riemannintegrálokat. (a) 6 3 x dx, (c) 4 sinh(x)dx, x 2 dx, 3 2 cosh(x) dx, 2 4. A parciális integrálás tételének felhasználásával számítsuk ki az alábbi Riemannintegrálokat. 3
35 (a) (g) 2 xe x dx, π 3 x 2 cos(x)dx, 0 e 2x cos(x)dx, 0 π 3 (e) (h) 3 2 x 2 e 2x dx, e2 e x 2 ln(x)dx 4 2 x sinh(x)dx, (c) (f) (i) π 4 π 4 x sin(x)dx, 2 e x sin(x)dx, 0 x 2 cosh(x)dx, 5. A helyettesítéses integrálás tételének felhasználásával számítsuk ki az alábbi Riemann-integrálokat. (a) 2 (3x + 4) 3 dx, 2 e 3x e 3x + dx, 3 2 (2x + ) 4 dx, (e) 0 3 dx, ex+ (c) 3 x 2 x 3 2 dx, (f) 4 x 5x 4 dx, 2 32
36 (g) 2 2x 2 + x 2 dx, (h) 4 3x 2 x 2 dx, Számítsuk ki az alábbi Riemann-integrálokat. (a) 3 0 sign(x x 3 )dx 2 0 e [x] dx (e) π 0 0 xsign(cos(x))dx sign (sin(ln(x))) dx (c) 6 0 [x] sin ( πx ) dx 6 (f) n+ ln ([x]) dx ahol n N, n > rögzített és [x] jelöli az x valós szám egészrészét. 7. Legyen f : R R egy olyan folytonos függvény, melyre minden x R esetén x 0 f (t)dt = 2 + x2 + x sin(2x) + 2 cos(2x) teljesül. Határozzuk meg az f ( ) ( π 4 és az f π 4) értékeket. 8. Legyen f : R R egy folytonos függvény, melyre x c f (t)dt = cos(x) 2 (x R). Határozzuk meg a c konstans értékét és az f függvényt. 33
37 9. Legyen f : R R egy folytonos függvény, melyre x 0 f (t)dt = x t 2 f (t)dt + x6 8 + x8 + c (x R). 9 Határozzuk meg a c konstans értékét és az f függvényt. 0. Definiáljuk az f : R R függvényt az f (x) = 3 + képlettel, legyen továbbá x 0 + sin(t) 2 + t 2 dt (x R) p(x) = a + bx + cx 2. Határozzuk meg az a, b, c konstansokat, ha tudjuk, hogy p(0) = f (0) p (0) = f (0) p (0) = f (0).. Számítsuk ki az f (2) értéket, ha (a) x 0 x 2 0 f (t)dt = x 2 ( + x) f (t)dt = x 2 ( + x) (c) f (x) 0 x 2 (+x) 0 t 2 dt = x 2 ( + x) f (t)dt = x 2. Magyarázzuk meg, hogy az alábbi integrálok esetében az x változó megadott helyettesítése miért vezet hamis eredményre. 34
38 (a) dx t = x 2 3 (c) π 0 + sin 2 dx t = tg(x) (x) + x 2 dx x = t 3 0 x 3 x 2 dx x = sin(t) 3. Számítsuk ki az alábbi integrálokat. (a) 2 0 x 2 ha x [0, ] f (x)dx ahol f (x) = 2 x ha x ]0, 2] x ha x [0, t] f (x)dx ahol f (x) = t( x) 0 ha x ]t, ] t és t ]0, [ rögzített. 4. Számítsuk ki az alábbi, paramétertől függő integrálokat és ábrázoljuk az I(α) függvény, ha (a) I(α) = I(α) = π 0 0 x x α dx sin 2 (x) + 2α cos(x) + α 2 dx 5. Legyen a ]0, + [ rögzített és f : [ a, a] R egy folytonos függvény. Igazoljuk, hogy ha az f függvény páros, akkor a a f (x)dx = 2 35 a 0 f (x)dx,
39 ha az f függvény páratlan, akkor pedig a a f (x)dx = 0 teljesül. Adjunk geometriai magyarázatot ezekre az eredményekre. 6. Legyen f : [0, + [ R egy pozitív, folytonos függvény és Φ(x) = x 0 x 0 t f (t)dt f (t)dt (x ]0, + [). Igazoljuk, hogy az így megadott Φ: ]0, + [ R függvény monoton növekedő. 7. Legyen f : [a, b] R egy olyan függvény, melyre az f függvény Riemannintegrálható az [a, b] intervallumon. Igaz-e, hogy ekkor az f függvény is Riemann-integrálható az [a, b] intervallumon? Improprius integrálok. Vizsgáljuk meg, hogy konvergensek-e az alábbi improprius integrálok. (a) (c) x 2 dx, x dx, + x 2 dx, (e) (f) x 2 dx, x 2 dx, 3 x 4 dx, 36
40 (g) (h) (i) (j) (k) (l) x 3 dx, (x 2) 3 dx, 2 (x 3)(x + 4) dx, 5 (x )(x + 5) dx, (x + )(x 3) dx, + e x dx, (m) (n) (o) (p) (q) e 2x dx, e x dx, e x e 2x + dx, xe x dx, x ln(x) dx 2. Vizsgáljuk meg, hogy konvergensek-e az alábbi improprius integrálok. (a) x 2 dx, x 2 dx, 37
41 (c) 0 3 x dx, x dx, (e) x dx 2 3. Vizsgáljuk meg, hogy konvergensek-e az alábbi improprius integrálok. (a) x dx, (c) 2x x 2 dx, x dx, ln(x)dx, Döntsük el, hogy az alábbi improprius integrálok közül melyek konvergensek. (a) + 2 sin(x)dx (c) + 3 x + e x dx + 2 cos 2 (x) x 2 dx + 3 x e x dx 38
42 (e) + e x x dx (g) + 0 x 2 2 x dx (f) + e x2 dx (h) + e x x n dx (n N) 0 39
43 Területszámítás. Határozzuk meg az y = x függvény és az x-tengely által határolt területet az a = 0-tól a b = 6 abszcisszájú pontig. 2. Határozzuk meg az y = függvény görbéje, az x-tengely és az a = 0, x2 b = 0, 5 abszcisszájú pontokhoz tartozó ordinátatengelyek által meghatározott síkrész területét. 3. Határozzuk meg az y = függvény görbéje és az x-tengely közé eső x területet a következő intervallumok felett: (a) [0, a], ahol a > 0 adott; [a, + [, ahol a > 0 adott; (c) [3, 0] [ 2, ]. 40
44 4. Határozzuk meg az y = x 2 függvény görbéje és az y = x + 2 egyenes által határolt területrészt. 5. Határozzuk meg az y = sin(x) függvény görbéje és az x-tengely által határolt területet a (a) [0, π]; [0, 2π]; intervallumok felett. 4
45 6. Határozzuk meg az y = x 2 és az y 2 = x görbék által határolt területet. 7. Számítsuk ki az origó középpontú r > 0 sugarú körlap területét. 42
46 8. Legyenek a, b > 0 adottak. Határozzuk meg az a kistengelyű és b nagytengelyű ellpiszis területét. 9. Legyen a > 0 adott. Határozzuk meg az x 3 + y 3 3axy = 0 egyenletű, ún. Descartes-féle levél által határolt korlátos tartomány területét. 0. Határozzuk meg az x = egyenletű egyenes és az 2 x 3 + (x )y 2 = 0 egyenletű cisszoid által határolt korlátos tartomány területét. 43
47 . Határozzuk meg az alábbi görbékkel határolt síkidom területét. (a) (c) (e) x = 2x x 2, x + y = 0 y = 2 x, y = 2, x = 0 (f) y = ln(x), y = 0, x = 0, x = 0 y = x, y = x+sin 2 (x) y = a 3 a 2 + x 2, y = 0 (x [0, π]) y = (x + ) 2, x = sin(πy), y = 0 (g) y 2 = x 2 ( a 2 x 2) 2. Számítsuk ki az alábbi görbék ívhosszát. (a) (c) y = x 3 (x [0, 4]) ( x y = a cosh a) (x [0, a]) y 2 = 2px (x [0, x 0 ]) y = e x (x [0, x 0 ]) 44
48 (e) (f) x = y2 4 ln(y) 2 ( a 2 ) y = a ln a 2 x 2 (y [, e]) (x [0, a/2]) (g) y = ln (cos(x)) ( [ x 0, π ]) 4 45
49 3. fejezet Többváltozós függvények Elméleti áttekintés Többváltozós függvények folytonossága 3.. Definíció. Legyenek n, m N, D R n nemüres halmaz, f : D R m függvény. Azt mondjuk, hogy az f függvény folytonos az x 0 D pontban, ha bármely ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy ha x D olyan, hogy x x 0 R n < δ, akkor f (x) f (x 0 ) R m < ε. Ha az f függvény a D halmaz minden pontjában folytonos, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény folytonos a D halmazon. 3.. Tétel (Átviteli elv). Legyenek n, m N, D R n nemüres halmaz, f : D R m. Az f függvény akkor és csakis akkor folytonos az x 0 D pontban, ha tetszőleges (x n ) n N D halmazbeli elemekből álló, x 0 -hoz konvergáló sorozat esetén az ( f (x n )) n N sorozat f (x 0 )-hoz konvergál. 3.. Megjegyzés. Legyen D R n nemüres halmaz, f : D R m. Az f függvény akkor és csakis akkor nem folytonos az x 0 D pontban, ha van olyan (x n ) n N D halmazbeli elemekből álló, x 0 -hoz konvergáló sorozat, melyre az ( f (x n )) n N sorozat nem f (x 0 )-hoz konvergál. 46
50 3.2. Tétel. Legyenek n, m N, D R n nemüres halmaz. Ha az f, g : D R m függvények folytonosak az x 0 D pontban, akkor (i) az f + g függvény is folytonos az x 0 pontban; (ii) tetszőleges λ R esetén a λ f függvény is folytonos az x 0 pontban; 3.3. Tétel (Az összetett függvény folytonossága). Legyenek n, m, k N, D R n nemüres halmaz és legyenek f : D R m és g : f (D) R m R k adott függvények. Ha az f függvény folytonos az x 0 D pontban, a g pedig az f (x 0 ) f (D) pontban, akkor a g f : D R k függvény folytonos az x 0 pontban. Többváltozós függvények határértéke 3.2. Definíció. Legyenek n, m N, D R n, f : D R m, x 0 D és α R m. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x 0 pontban a határértéke α, ha tetszőleges ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy ha x D és x x 0 R n < δ, akkor f (x) α R m < ε. Erre a lim x x0 f (x) = α jelölést alkalmazzuk Tétel (Átviteli elv). Legyenek n, m N, D R n, f : D R m, illetve x 0 D és α R m. Ekkor lim x x0 f (x) = α pontosan akkor teljesül, ha tetszőleges (x n ) n N D beli, x 0 hoz konvergáló sorozat esetén lim n f (x n ) = α teljesül Tétel (Határérték és műveletek). Legyenek n, m N, D R n, x 0 D f, g : D R m, illetve α, β R m. Ha az f és g függvényeknek létezik a határértéke az x 0 pontban és lim f (x) = α és lim g(x) = β, x x 0 x x0 akkor (i) az f + g függvénynek is létezik az x 0 pontban a határértéke lim ( f (x) + g(x)) = α + β; x x 0 (ii) tetszőleges λ R esetén a λ f függvénynek is létezik az x 0 pontban a határértéke és lim x x 0 λ f (x) = λ α. 47
51 3.6. Tétel (Határérték és folytonosság). Legyenek n, m N, D R n, f : D R m és x 0 D. Ekkor az f függvény pontosan akkor folytonos az x 0 pontban, ha létezik a lim x x0 f (x) határérték, és Feladatok lim f (x) = f (x 0 ). x x 0. Vizsgáljuk meg az alábbi függvényeket folytonosság szempontjából. (a) f (x, y) = x 2 + y 2 ( (x, y) R 2 ) f (x, y) = x 2 y 2 ( (x, y) R 2 ) (c) f (x, y) = xy (x, y [0, + [) (e) (f) ( ) (x 2 + y 2 ) sin ((x, y) (0, 0)) f (x, y) = x 2 +y 2 0 ((x, y) = (0, 0)) x sin ( ( f (x, y) = y) + y sin x), (x, y) R 2, xy 0 0, xy = 0 y x f (x, y) = 0 y < x (g) f (x, y) = sign(x 2 + y 2 ) ( (x, y) R 2 ) 48
52 (h) (i) f (x, y, z) = x + 2y + z f (x, y) = x 2 e (x2 y) ( (x, y, z) R 3 ) ( (x, y) R 2 ) (j) (k) sin ( ) xy xy 0 f (x, y) = 0 xy = 0 f (x, y) = ln ( x 2 y 2) ( (x, y) R 2, x 2 + y 2 < ) (l) f (x, y) = xy (x, y [0, + [) (m) (n) (o) (p) xy (x, y) (0, 0) f (x, y) = x 2 +y 2 0 (x, y) = (0, 0) x 2 y (x, y) (0, 0) f (x, y) = x 4 +y 2 0 (x, y) = (0, 0) xy x2 y 2 (x, y) 0 f (x, y) = x 2 +y 2 0 (x, y) = (0, 0) xyz (x, y, z) (0, 0, 0) f (x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 0 (x, y, z) = (0, 0, 0) 2. Vizsgáljuk meg, hogy léteznek-e a következő határértékek, amennyiben igen, számítsuk ki őket. 49
53 (a) (c) (e) (f) lim (x,y) (5,) xy x 2 + y 2 lim (x,y,z) (2,, ) 3x2 z+xy cos(πx πz) lim (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) xy 2 x 2 + y 4 xy x + y ( ) lim (x,y) (0,0) (x2 + y 2 ) cos x 2 + y 2 lim x 2 + y 2 sin (x,y) (0,0) x 2 + y 2 (g) (h) (i) (j) (k) (l) lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 x 2 y 2 lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 sin(xy) lim (x,y) (0,α) x lim x + y + lim x + y + lim x + y + ( ) πx sin 2x + y x 2 + y 2 x 4 + y 4 x + y x 2 xy + y 2 50
54 4. fejezet Többváltozós függvények differenciálszámítása Elméleti áttekintés Fréchet-differenciálhatóság 4.. Definíció. Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R m függvény. Azt mondjuk, hogy az f függvény Fréchet-differenciálható az x 0 D pontban, ha létezik egy olyan A L(R n, R m ) lineáris leképezés, hogy f (x) f (x 0 ) A(x x 0 ) lim R m x x 0 x x 0 R n teljesül. Ebben az esetben az A lineáris leképezést az f függvény x 0 pontbeli differeciálhányadosának nevezzük és rá a továbbiakban az f (x 0 ) jelölést használjuk. 4.. Tétel (Differenciálhatóság = folytonosság). Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R m függvény. Ha az f függvény Fréchet-differenciálható az x 0 D pontban, akkor f folytonos az x 0 D pontban. = 0 5
55 4.. Megjegyzés. Az előző tétel megfordítása nem igaz, hiszen az xy, ha (x, y) (0, 0) f (x, y) = x 2 + y2 0, ha (x, y) = (0, 0) módon megadott f : R 2 R függvény folytonos a (0, 0) pontban, azonban ebben a pontban nem differenciálható. Iránymenti és parciális differenciálhatóság 4.2. Definíció. Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt halmaz, x 0 D f : D R m függvény és v R n. Ha létezik a f (x 0 + tv) f (x 0 ) lim t 0 t határérték, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény az x 0 pontban a v irány mentén differenciálható. Ebben az esetben a fenti határértékre a D v f (x 0 ) jelölést alkalmazzuk Tétel (Differenciálhatóság = iránymenti differenciálhatóság). Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R m függvény. Ha az f függvény az x 0 pontban (totálisan) differenciálható, akkor ebben a pontban tetszőleges v R n irány mentén is differenciálható és teljesül. D v f (x 0 ) = f (x 0 ) v 4.3. Definíció. Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R m függvény. Legyen továbbá minden i =,..., n esetén e i = (0,..., 0, i, 0,..., 0). Ha létezik a D ei f (x 0 ) iránymenti derivált, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény az x 0 pontban az i-edik változója szerint parciálisan differenciálható az x 0 D pontban. Ebben az esetben a D ei f (x 0 ) jelölés helyett általában a f x i (x 0 ) jelölést fogjuk használni. 52
56 4.3. Tétel (Fréchet-differenciálhatóság = parciális differenciálhatóság). Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R m függvény. Ha az f függvény az x 0 D pontban (totálisan) differenciálható, akkor az f függvény ebben a pontban mindegyik változója szerint parciálisan is differenciálható és f (x 0 ) = f f (x 0 )... (x 0 ) x x n..... f m f m (x 0 )... (x 0 ) x x n 4.4. Tétel. Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R m függvény. Ha az f függvény az x 0 D pont egy környezetében mindegyik változója szerint parciálisan differenciálható és ezek a parciális deriváltak folytonosak az x 0 D pontban, akkor az f függvény az x 0 D pontban differenciálható Tétel (Differenciálhatóság és műveletek). Legyenek n, m N, λ R D R n nemüres, nyílt halmaz, x 0 D. Ha az f, g: D R m függvények differenciálhatóak az x 0 D pontban, akkor az f + g függvény is differenciálható az x 0 pontban és ( f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ); a λ f függvény is differenciálható az x 0 pontban és (λ f ) (x 0 ) = λ f (x 0 ) Tétel (Az összetett függvény differenciálási szabálya). Legyenek n, m, k N, D R n nemüres, nyílt halmaz, x 0 D, f : D R m és g: f (D) R k függvények. Ha az f függvény differenciálható az x 0 D pontban, a g függvény pedig az f (x 0 ) f (D) pontban, akkor a g f függvény differenciálható az x 0 pontban és (g f ) (x 0 ) = g ( f (x 0 )) f (x 0 ).. 53
57 Lokális szélsőértékszámítás 4.4. Definíció. Legyen D R n egy halmaz, x 0 a D halmaz egy pontja, f : D R pedig egy függvény. Akkor mondjuk, hogy az f függvénynek az x 0 pontban lokális minimuma (maximuma) van, ha van az x 0 -nak olyan környezete, melynek D-beli x pontjaiban f (x) f (x 0 ) ( f (x) f (x 0 )) teljesül. Más szóval, létezik olyan δ > 0, hogy ha x a D halmaz olyan pontja, melyre fennáll az x x 0 < δ egyenlőtlenség, akkor f (x) f (x 0 ), illetve f (x) f (x 0 ) teljesül. Ha itt x x 0 esetén szigorú egyenlőtlenség teljesül, akkor szigorú minimumról, illetve szigorú maximumról beszélünk. A lokális jelzőt globális váltja fel, ha ezek a feltételek bármely δ > 0 esetén, azaz, a D halmaz minden x pontjában teljesülnek. A lokális (globális) minimumhelyet és maximumhelyet közösen szélsőértékhelynek nevezzük, magát az f (x 0 ) függvényértéket pedig a megfelelő szélsőérték értékének mondjuk Tétel. Legyen D R n egy halmaz, x 0 a D halmaz egy belső pontja, f : D R pedig egy x 0 -ban parciálisan differenciálható függvény. Ha az f függvénynek az x 0 pontban lokális szélsőértéke van, akkor f (x 0 ) = Definíció. Legyen D R n egy halmaz, x 0 a D halmaz egy belső pontja, f : D R pedig egy x 0 -ban parciálisan differenciálható függvény. Ha az x 0 pontban az f függvény összes parciális deriváltja nulla, akkor az x 0 pontot az f függvény stacionárius pontjának nevezzük Megjegyzés. A fenti tétel feltételei mellett tehát az f függvénynek csak stacionárius pontokban lehet lokális szélsőértéke Tétel. Legyen D R n nyílt halmaz, f : D R egy C 2 (D)-osztályú függvény, s a D-beli x 0 pont legyen az f stacionárius pontja. Ha az 2 f 2 f x 2 (x 0 )... x f x n (x 0 ) = f 2 f... x n x 54 x 2 n
58 mátrix pozitív definit, akkor az f függvénynek az x 0 pontban lokális minimuma van; negatív definit, akkor az f függvénynek az x 0 pontban lokális maximuma van; indefinit, akkor az f függvénynek az x 0 pontban nincs lokális szélsőértéke. 55
59 Feladatok. Számítsuk ki a következő függvények elsőrendű parciális deriváltjait. (a) (c) (e) (f) (g) (h) (i) (j) f (x, y) = x 3 2x 2 y 2 + 4xy 3 + y f (x, y) = x y 0 f (x, y, z) = x 2 y 0y 2 z x 7tg(4y) f (x, y) = x 7 ln(y 2 ) + 9 y x f (x, y) = (x 2 + y 2 )e xy f (x, y, z) = x yz f (x, y) = e xy ln( + y) f (x, y, z) = e x+yz f (x, y) = ln(xy 2 ) f (x, y) = tg 2 (x + y) (k) f (x, y) = x 2 + ln(5x 3y 2 ) 56
60 (l) (m) (n) (o) (p) (q) f (x, y) = cos(x 2 + 2xy) + sin(y 2 4x + y) f (x, y) = ln( + y) + xy f (x, y) = + xy f (x, y) = x x 2 + y 2 f (x, y, z) = z 3 + 5xyz 2xy 2xz f (x, y) = x 2 e y + y 2 e x + e xy (r) (s) f (x, y) = 9x x 3 + 5y f (x, y, z) = x sin(y) z 2 2. Számítsuk ki az alábbi függvények másodrendű parciális deriváltjait. (a) (c) f (x, y) = xe x2 y 2 f (x, y) = a+bx+cy+dx 2 +exy+ f y 2 (e) (f) f (x, y, z) = z 3 +5xyz 2xy 2x 2 z 3 + f (x, y) = cos(2x) x 2 e 5y + 3y 2 f (x, y, z) = z 3 y 2 ln(x) f (x, y, z) = e xy+z 57
61 (g) (h) f (x, y) = cos ( ) x y f (x, y, z) = e x+y+z (i) (j) f (x, y, z) = e xyz f (x, y) = ln(xy) 3. Állítsuk elő a megadott parciális deriváltakat. (a) 4 f (x, y), x4 4 f x 2 y 2 (x, y), 4 f y 4 (x, y), ha f (x, y) = x y + x 2 + 2xy + y 2 + x 3 3x 2 y y 3 + x 4 4x 2 y 2 + y 4 (c) (e) (f) 3 f x 2 (x, y) ha f (x, y) = x ln(xy) y 6 f x 3 y 3 (x, y) ha f (x, y) = x3 sin(y) + y 3 sin(x) 3 ( ) f x + y + z xyz (x, y, z) ha f (x, y, z) = arctg x y z xy xz yz 3 f (x, y, z) ha f (x, y, z) = exyz x y z 4 f (x, y, ξ, η) ha f (x, y, ξ, η) = ln x y ξ η (x ξ) 2 + (y η) 2 58
62 (g) (h) (i) (j) (k) m+n f x m y n (x, y) ha f (x, y) = (x x 0) m (y y 0 ) n m+n f x y x m (x, y) ha f (x, y) = yn x + y m+n f x m y n (x, y) ha f (x, y) = (x2 + y 2 )e x+y m+n+k f x m y n (x, y, z) ha f (x, y, z) = xyzex+y+z zk 3 f (x, y, z) ha f (x, y, z) = xyz x y z (l) 6 f x 3 y 3 (x, y), 6 f (x, y), x y5 6 f x 5 (x, y), y 6 f x 2 (x, y) y4 ha f (x, y) = cos(x) cosh(y) (m) n+m+k f x m y n (x, y, z) ha f (x, y, z) = eαx+βy+γz zk 4. Határozzuk meg az f függvény x 0 pontbeli v iránymenti deriváltját, ha (a) f (x, y) = x + y, x 0 = (0, 0), v = (, 0) f (x, y) = x + y, x 0 = (0, 0), v = (0, ) 59
63 (c) f (x, y) = xy, x 0 = (0, 0), v = (, 0) f (x, y) = x 3 y 5, x 0 = (0, 0), v = (0, ) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) f (x, y) = 3 xy, x 0 = (0, 0), v = (, 0) f (x, y) = 3 xy, x 0 = (0, 0), v = (0, ) f (x, y) = x cos(y), x 0 R 2 tetszőleges, v = (2, ) f (x, y, z) = x 2 + z + y 3 z 2 xyz, x 0 R 3 tetszőleges, v = (, 0, 3) f (x, y) = xe xy + y, x 0 = (2, 0), v = 3 2, 2 ( ) f (x, y) = x 2 y 2, x 0 = (, 2), v = 2, 2 f (x, y, z) = sin(x ( 2 ) + ze y, x 0 ) = (0, 0, ), v =, 6 2, 6 6 f (x, y, z) = ( e x yz, x 0 = (, ), ), v =, 3,
64 5. Mutassuk meg, hogy az u(x, t) = (x t) 2 2a πt e 4a 2 t (x R, t ]0, + [) módon megadott függvényre minden (x, t) R ]0, + [ esetén teljesül. u t (x, t) = a2 2 u (x, t) x2 6. Legyenek α, β, γ R és u(x, y, z) = (x α) 2 + (y β) 2 + (z γ) 2 ( (x, y, z) R 3 \ {(α, β, γ)} ). Mutassuk meg, hogy ekkor minden (x, y, z) (α, β, γ) esetén teljesül. 2 u x 2 (x, y, z) + 2 u y 2 (x, y, z) + 2 u (x, y, z) = 0 z2 7. Határozzuk meg a következő függvények stacionárius pontjait és osztályozzuk azokat. (a) f (x, y) = x 2 + (y ) 2 f (x, y) = x 2 xy + y 2 2x + y (e) f (x, y) = (x y + ) 2 f (x, y) = 2x 2 +y 2 2xy+4x 2y+5 (c) (f) f (x, y) = x 2 (y ) 2 f (x, y) = (x 2 6x)(y 2 4y) 6
65 (g) (h) (i) f (x, y) = (y 2 x 2 )(y 2 2x 2 ) f (x, y) = x(2y 3) (o) (p) (q) f (x, y) = x 2 + y 2 f (x, y) = xy ln(x 2 + y 2 ) f (x, y) = e x2 +y 2 (j) (k) f (x, y) = x 2 +2y 2 3x+0y+00 f (x, y) = x 3 + y 3 f (x, y) = x 3 + y 3 3xy (r) (s) f (x, y) = + x 2 + y 2 f (x, y) = (x 2 + y 2 )e (x2 +y 2 ) (l) (t) f (x, y) = x 3 3xy 2 3x 2 +3y 2 +4x+y f (x, y) = (x 2 + y 2 )e x2 y 2 (m) (u) f (x, y) = 2x 4 + y 4 x 2 2y 2 f (x, y) = ln(9 + x 2 + y 2 ) (n) (v) f (x, y) = x 4 +y 4 2x 2 y 2 26x 2 0y 2 f (x, y) = x + y + sin(x) + sin(y) 8. Határozzuk meg az alábbi függvények feltételes szélsőértékeit a megadott feltételek mellett. (a) f (x, y) = 5x 3y x 2 + y 2 = 36 62
66 (c) (e) (f) f (x, y) = xy x + y = f (x, y, z) = xyz x + y + z = f (x, y) = x 2 y 2 (x, y) { (u, v) [0, + [ u 2 + v 2 } f (x, y, z) = sin(x) sin(y) sin(z) x + y + z = π f (x, y, z) = 4xyz x 2 + 2y 2 + z 4 = 0 9. Határozzuk meg a z 2 xy = egyenletű felület azon pontját, mely a legközelebb van az origóhoz. 0. Határozzuk meg az y 2 = 4x görbe azon pontjait, melyek a legközelebb vannak a (0, ) koordinátájú ponthoz.. Legyen a R és n N. Bontsuk fel az a valós számot n tag szorzatára úgy, hogy a tagok reciprokösszege minimális legyen. 2. Legyen a R és n N. Bontsuk fel az a valós számot n tag összegére úgy, hogy a tagok négyzetösszege minimális legyen. 3. Legyen K > 0 adott. Határozzuk meg a K kerületű téglalapok közül azt, amely a legnagyobb területet határolja. 4. Egy felül nyitott téglatest alakú kád térfogata V > 0. Milyen méretek mellett lesz a kád felszíne minimális? 63
67 5. Egy félhenger alakú, felül nyitott kád felszíne S > 0. Milyen méretek mellett lesz a kád térfogata maximális? 6. Melyik az a téglalap, melynek kerülete K > 0 és amelyet valamelyik oldala mentén megforgatva a legnagyobb térfogatú fogástest keletkezik? 64
68 5. fejezet Riemann-integrál R n -ben Elméleti áttekintés Alapfogalmak 5.. Definíció. Legyen n N, ekkor a Q = [a, b ] [a n, b n ] R n halmazt n dimenziós téglának nevezzük. Ennek a téglának a mértékén a n V(Q) = (b i a i ) mennyiséget értjük. i= 5.2. Definíció. Legyen Q = [a, b ] [a n, b n ] egy tégla R n -ben. Azt mondjuk, hogy P = P P n felosztása a Q téglának, ha bármely j =,..., n esetén P j felosztása az [a j, b j ] intervallumnak. Ha rögzített j =,..., n esetén ( ) I ji = [x j,i, x j,i ] i =,..., k j jelöli az [a j, b j ] intervallumnak a P j felosztás által meghatározott részintervallumait, akkor a T i,...,i n = I, j I n, jn (i ν =,..., k ν, ν =,..., n) 65
69 téglákat a Q tégla P felosztás által meghatározott résztégláinak nevezzük, míg a P = sup diam ( ) T i,...,i n i,...,i n mennyiséget a P felosztás finomságának hívjuk Definíció. A fenti jelölések megtartása mellett legyenek P és R a Q tégla felosztásai. Azt mondjuk, hogy R finomítása P-nak, ha P Q teljesül. A P R halmazt pedig a P és R felosztások egyesítésének mondjuk. Ha (P k ) k N a Q tégla felosztásainak egy sorozata, akkor azt mondjuk, hogy ez a felosztássorozat normális, ha lim k P k = 0 teljesül Definíció. Legyen Q R n tégla, f : Q R korlátos függvény, P a Q tégla egy felosztása, míg T i,...,i n ezen felosztás résztéglái. Legyenek ebben az esetben M i,...,i n = sup { f (x) x T i,...,i n } és m i,...,i n = inf { f (x) x T i,...,i n } 5.5. Definíció. Az előző definíció feltételei és jelölései mellet a σ( f, P) = m i,...,i n V ( ) T i,...,i n, illetve Σ( f, P) = M i,...,i n V ( T i,...,i n ), ( f, P) = Σ( f, P) σ( f, P) mennyiségeket rendre az f függvény P felosztásához tartozó alsó, felső, illetve oszcillációs összegének nevezzük Definíció. Továbbá, ha ξ i,...,i n T i,...,i n, akkor az n I( f, P) = f (ξ i,...,i n )V ( ) T i,...,i n i= számot az f függvény P felosztásához és a ξ i,...,i n (i ν =,..., k ν, ν =,..., n) pontokhoz tartozó integrálközelítő összegének mondjuk. 66
70 5.7. Definíció. Legyen Q R n tégla és f : Q R egy korlátos függvény. Ekkor az I( f ) = sup {σ( f, P) P a Q tégla felosztása}, illetve az I( f ) = sup {σ( f, P) P a Q felosztása}, számokat az f függvény Q tégla feletti alsó, illetve felső Darboux-integráljának nevezzük Definíció. Legyen Q R n tégla, f : Q R korlátos függvény. Azt mondjuk, hogy az f függvény Riemann-integrálható, ha I( f ) = I( f ) teljesül. Ezt a közös értéket az f függvény Q tégla feletti Riemann-integráljának mondjuk és rá az f (x)dx jelölést használjuk. Riemann-integrál és műveletek Q 5.. Tétel (Riemann-integrál és műveletek). Legyen Q R n tégla és legyenek f, g: [a, b] R Riemann-integrálható függvények, λ R. Ekkor az f + g függvény is Riemann-integrálható és ( f + g)(x)dx = f (x)dx + Q a λ f függvény is Riemann-integrálható és (λ f )(x)dx = λ Q Q Q Q f (x)dx; g(x)dx; 67
71 ha minden x Q esetén f (x) g(x) teljesül, akkor f (x)dx g(x)dx; Q ha Q és Q 2 a Q tégla olyan résztéglái, melyekre Q Q 2 = Q és Q Q 2 =, akkor az f függvény Riemann-integrálható a Q és a Q 2 téglákon is és f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx; Q Q Q Tétel (Szukcesszív integrálás). Legyen n N, n 2, Q = n i= [a i, b i ] f : Q R egy Riemann-integrálható függvény, valamint tételezzük fel azt is, hogy az x n f (x, x 2,..., x n, x n ) függvény minden rögzített Q R n -beli (x, x 2,..., x n ) esetén Riemann-integrálható. Ekkor az Q f n (x, x 2,..., x n ) = bn a n f (x, x 2,..., x n, x n ) dx n módon megadott f n : R n R függvény Riemann-integrálható a Q n = n i= [a i, b i ] n -dimenziós téglán, és f n (x, x 2,..., x n )d(x, x 2,..., x n ) Q n = f (x, x 2,..., x n )d(x, x 2,..., x n ) Tétel (Fubini). Legyenek n, m N és A R n és B R m téglák, valamint Q = A B. Ha f : Q R Riemann-integrálható függvény, és az x f (x, y) függvény minden rögzített B-beli y mellett, valamint az y f (x, y) függvény minden rögzített A-beli x mellett Riemann-integrálható, akkor [ ] [ ] f (x, y)d(x, y) = f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx. Q B A Q A B 68
72 5.9. Definíció. Legyen K R n kompakt, Jordan-mérhető halmaz, Φ, Ψ: K R pedig olyan folytonos függvények, hogy Φ(x) Ψ(x) teljesül minden x K esetén. Ekkor a S = { (x, y) R n x K és Φ(x) y Ψ(x) } halmazt egyszerű tartománynak nevezzük Tétel (Fubini-tétel egyszerű tartománya). Legyen S R n egyszerű tartomány, f : S R pedig egy olyan függvény, mely Riemann-integrálható S -en, ekkor ( y=ψ(x) ) f (x, y)d(x, y) = f (x, y)dy dx S x K y=φ(x) 5.5. Tétel (Integráltranszformáció). Legyen f : R n R Riemann-integrálható függvény, E egy Jordan-mérhető tartomány az R n térben, Φ : E R n pedig olyan folytonosan differenciálható függvény, mely E belsejében kölcsönösen egyértelmű, s melynek J Φ = det(g ) Jacobi-determinánsa az E belsejében sehol sem nulla. Ekkor f (x)dx = ( f Φ)(t) J Φ (t) dt. Φ(E) E 5.0. Definíció. Legyen H R n korlátos halmaz. Ha az f (x) = (x R n ) függvény Riemann-integrálható a H halmazon, akkor azt mondjuk, hogy a H halmaz Jordan-mérhető, és ebben az esetben a µ J (H) = dx mennyiséget a H halmaz Jordan-mértékének nevezzük. H Feladatok. Számítsuk ki az alábbi tégla feletti integrálokat. 69
73 (a) (c) (e) (f) [,2] [,4] [0,] [0,] [0,ln(2)] [0,ln(3)] [0,α] [0,α] [0, π 2] [0, π 2] [0,] [0,] (3x + 5x 2 y)dxdy x 2 + ydxdy e 3x+4y dxdy e x y dxdy sin(x + y)dxdy x ydxdy (g) (h) (i) (j) (k) [0,] [0,2] [,2] [0,π/2] [0,] [0,] [0,] [0,π/4] [0,] [0,] [,0] (5x 2 z + yz 2 )dxdydz y cos(xy)dxdy xye x2 +y 2 dxdy xe xy dxdy y cos 2 (x)dxdy 2. Számítsuk ki a következő egyszerű tartományok feletti integrálokat. (a) 2xydxdy, S ahol S = { y = x 2, y = x } (3x 4 + 2y)dxdy, S ahol S = { y = x 2, y = 2x } 70
74 (c) (e) (f) (g) (h) (i) x 2 + y 2 dxdy, S ahol S = {y = x, y = x +, y = 0, y = 3} x 3 cos(xy)dxdy, S ahol S = { (x, y) x [0, 2], 0 y x 2} 2y cos(x)dxdy, S ahol S = { (x, y) y 3, π/6 x y 2} S 2y x + dxdy, ahol S = { (x, y) R 2 x 2, 0 y x e x2 dxdy, S ahol S = {y = x, y = 0, y = } e y x dxdy, S ahol S = {y = 2x, y = x, y = 4} x ydxdy, S ahol S = { y 2 = 3x, y 2 = 4 x, y = 0 } } 7
75 (j) (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) sin(y) dxdy, S y ahol S = { (x, y) R 2 0 x, x y } S x sin(y)dxdy ahol S = { (x, y) R 2 x [0, π], 0 y x } S ex+y dxdy ahol S = { (x, y) R 2 x [, ln(8)], 0 y ln(x) } S dxdy ahol S = { (x, y) R 2 x [0, 2], 0 y e x} S dxdy ahol S = { (x, y) R 2 y [0, ], y x } S x y + dxdy ahol S = { (x, y) R 2 x [0, /2], /2 x y } S ydxdy ahol S = { (x, y) R 2 x [0, π], 0 y sin(x) } S xydxdy ahol S = { y = x 2 + 4, x = 3 (x), y = 0 } S x2 ydxdy ahol S = { y 2 = x, y = x 2} 72
76 (s) (t) (u) (v) (w) (x) x 2 S y 2 dxdy ahol S = {y = x }, y = x, x = 2 S dxdy ahol S = { y = x 2, y = 4 x 2} S 2xdxdy ahol S = { y 2 = x + 2, y = x, x = 2 } S 2xydxdy ahol S = { y = x 2, y = 2 + x } (x + 2y)dxdy S ahol S = { y = x, y = 2 x, x =, x = 4 } S x2 ydxdy ahol S = {y = x, y = x }, x =, x = 2 3. Határozzuk meg az alábbi görbékkel határolt tartomány Jordan-mértékét. (a) 2y = 6 x 2 x + 2y = 4 xy = x + y =
77 (c) (e) (f) (g) (h) (i) y = x y = 3x 8 y = 0 y 2 = 2x + y 2 = 4x + 4 x = y 3 x + y = 2 y = 0 y = sin(x) y = ( x π 2 ) 2 y = x y = 2 x xy = xy = 2 y 2 = 2px + p 2 y 2 = 2qx + q 2 x + y = x + y = 2 y = x 2 y = 3x 2 (j) (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) x + y = x + y = 2 x 2 + y 2 = r 2 4x 2 + 9y 2 = 25, y = x 2 y = x = 0, y = 0, x + y = x = 0, y =, 2x + y = 5 y = 0, y = x 2, x = 2 y = x + 2, y = x 2 y =, y = e x, x = 74
78 ahol p, q és r adott pozitív valós számok. 75
79 6. fejezet Differenciálegyenletek Elméleti áttekintés y = f (x) alakú differenciálegyenletek 6.. Tétel. Legyen I R intervallum, f : I R folytonos függvény, ξ I, η R. Ekkor az { y = f (x) y(ξ) = η Cauchy feladat bármely ϕ : J R megoldása az y(x) = η + x ξ f (t)dt (x I) módon megadott y függvény leszűkítése, ha J I és ξ I. Szeparábilis differenciálegyenletek Legyenek I, J R valódi intervallumok, f : I R, g : J R folytonos függvények úgy, hogy g(x) 0 minden x J esetén. Az y = f (x)g(y) egyenletet szeparábilis differenciálegyenletnek nevezzük. 76
80 6.2. Tétel. Legyenek I, J R valódi intervallumok, ξ I, η J, f : I R, g : J R folytonos függvények úgy, hogy g(x) 0 minden x J esetén. A ϕ : H R függvény akkor és csakis akkor megoldása az (5) Cauchy feladatnak, ha { y = f (x)g(y) y(ξ) = η (6) ϕ(x) η x g(t) dt = f (s)ds (x H) ξ teljesül, feltéve, hogy ξ H I. Homogén differenciálegyenletek Legyen I R intervallum, f : I R, ekkor az ( y y = f x) differenciálegyenletet homogén differenciálegyenletnek nevezzük Tétel. Legyen I R intervallum, f : I R, ekkor a ϕ : I R függvény pontosan akkor megoldása az ( y y = f x) differenciálegyenletnek, ha az u(x) = ϕ(x) x módon definiált u függvény megoldása az szeparábilis differenciálegyenletnek. u = f (u) u x 77
81 y = f (ax + by + c) alakú differenciálegyenletek Legyenek a, b, c R, b 0 és tekintsük az differenciálegyenletet. Legyen Ekkor y = f (ax + by + c) u = ax + by + c. u = a + by, továbbá a fenti egyenlet az b u a b = f (u) alakra hozható, ami már egy szeparábilis differenciálegyenlet. Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek Legyen I R intervallum, f, g : I R folytonos függvények. Ekkor az () y + f (x)y = g(x) egyenletet elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletnek nevezzük, ha g 0. Abban az esetben, amikor g 0, elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenletről beszélünk Tétel (A homogén egyenlet megoldásai). Legyen I R intervallum, f : I R folytonos függvény. Ekkor a (2) y + f (x)y = 0 differenciálegyenlet bármely megoldása a ϕ(x) = c e F(x) (x I) 78
82 módon értelmezett ϕ : I R függvény leszűkítése, ahol c R egy tetszőleges konstans és F jelöli az f függvény egy primitív függvényét. Továbbá, ha ξ I és η R, akkor a ( x ) ψ(x) = η exp f (t)dt (x I) ξ módon megadott ψ : I R függvény az { y + f (x)y = 0 y(ξ) = η Cauchy feladatnak az egyértelmű, I n értelmezett megoldása Tétel (Az inhomogén egyenlet megoldásai). Legyen I R intervallum, f, g : I R folytonos függvények. Ekkor a (3) y + f (x)y = g(x) elsőrendű, lineáris, inhomogén differenciálegyenletnek az összes megoldása előáll ) ψ(x) = e (c F(x) + g(x)e F(x) dx alakban, ahol c R tetszőleges konstans és F jelöli az f függvény valamely primitív függvényét. Egzakt differenciálegyenletek Legyen D R 2 nemüres, nyílt, M, N : D R. Az (5) M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 differenciálegyenletet egzakt differenciálegyenletnek nevezzük, ha M(x, y) y = N(x, y) x ((x, y) D) teljesül. 79
83 Ha a differenciálegyenlet egzakt, akkor létezik olyan F : D R folytonosan differenciálható függvény melyet az M és N függvények közös potenciálfüggvényének szokás nevezni úgy, hogy F(x, y) x = M(x, y) és F(x, y) y = N(x, y) teljesül minden (x, y) D esetén. Ekkor a differenciálegyenlet általános megoldása F(x, y) = c, valamely c R esetén. Így, az egyenlet megoldásához elegendő meghatározni az F függvényt. Mivel F(x, y) = N(x, y), y ezért F(x, y) = N(x, y)dy + f (x), ahol f egy egyelőre ismeretlen (csak x től függő) függvény. Mivel ezért amiből Így F(x, y) = [ x f (x) = F(x, y) x = M(x, y), ] N(x, y)dy + f (x) = M(x, y), [ ( )] N(x, y) M(x, y) dy dx x [ ( )] N(x, y) N(x, y)dy + M(x, y) dy dx x 80
84 Konstansegyütthatós lineáris differenciálegyenletek 6.. Definíció. Legyen n N és a 0, a,..., a n R, ekkor a (K) y (n) + a n y (n ) + + a y + a 0 y = 0 egyenletet n edrendű konstansegyütthatós lineáris homogén differenciálegyenletnek nevezzük. A P(λ) = λ n + a n λ n + + a λ + a 0 (λ C) módon megadott polinomot a (K) egyenlet karakterisztikus polinomjának hívjuk Tétel. Legyen n N és a 0, a,..., a n R és jelölje P a (K) egyenlet karakterisztikus polinomját. Ha α,..., α k mult(α i ) = n i, i =,..., k a P páronként különböző valós, míg β + iγ,..., β m + iγ m mult(β j + iγ j ) = l j, j =,..., m a P páronként különböző komplex gyökei, akkor az e α x, xe α x,..., x n e α x e α 2x, xe α 2x,..., x n 2 e α 2x. e α k x, xe α k x,..., x n k e α k x e β x cos(γ x), e β x sin(γ x),... x l e β x cos(γ x), x l e β x sin(γ x) e β 2x cos(γ 2 x), e β 2x sin(γ 2 x),... x l 2 e β 2x cos(γ 2 x), x l 2 e β 2x sin(γ 2 x). e β mx cos(γ m x), e β mx sin(γ m x),..., x l m e β mx cos(γ m x), x l m e β mx sin(γ m x) függvények a (K) egyenlet alaprendszerét alkotják. 8
85 Feladatok Az y = f (x) alakú differenciálegyenletek. Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenletek, illetve Cauchy-feladatok megoldásait. (a) y = e 2x x; (c) y = 2 sin(x); y = 2x, y() = 4; y =, y() =. x + Szeparábilis differenciálegyenletek. Oldjuk meg a következő szeparábilis differenciálegyenleteket. (a) x 3 dx + (y + ) 2 dy = 0 (g) x(x )y + y(y ) = 0 4xy 2 dy 3y 3 dx = xy 3 dx + 2xdy (h) (c) (e) y ( 9 + 4x 2) y = y = 4y x(y 3) x 2 (y + )dx + y 2 (x )dy = 0 (i) (j) ( + x 3 )dy x 2 ydx = 0 e y x dx + e x y dy = 0 y( + x 2 )y + x y 2 = 0 (f) (k) ( + 2y)dx + (4 x 2 )dy = 0 2r cos(ϕ)dr tg(ϕ)dϕ = 0 82
Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév
Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
Részletesebben1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek
7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenKettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenKözönséges differenciálegyenletek
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Közönséges differenciálegyenletek Gselmann Eszter Debrecen, 2011 Tartalomjegyzék 1. Differenciálegyenletek 4 1.1. Differenciálegyenletek osztályozása................................
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenAnalízis házi feladatok
Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
RészletesebbenTöbbváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 2014/2015 tavaszi félév
Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 214/215 tavaszi félév Kurzus adatai: Tárgy előadója: Gyakorlatvezető: Kurzus neve: Kurzus típusa: Kurzus kódja: Bessenyei
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
Részletesebben8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenSzili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány
Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
RészletesebbenMatematikai analízis II.
Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
Részletesebbencos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
RészletesebbenT obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.
Többváltozós függvények integrálja. 3. rész. 2018. április 19. Kettős integrál Kettős integrál téglalap alakú tartományon. Ismétlés Ha = [a, b] [c, d] téglalap-tartomány, f : I integrálható függvény, akkor
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
RészletesebbenA gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
RészletesebbenMatematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére
Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f()
RészletesebbenDifferenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék
Differenciál - és integrálszámítás (Óraszám: 3+3) (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Debrecen, 2005 A tárgy neve: Differenciál- és
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenLosonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar
Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt
Részletesebben(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e
Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
RészletesebbenSzéchenyi István Egyetem
polár 3D gömbi Széchenyi István Egyetem Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk
RészletesebbenHatározatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
Részletesebben2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)
. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
RészletesebbenAlkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja
Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve
Részletesebben1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.
1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
RészletesebbenKurzusinformáció. Analízis II, PMB1106
Kurzusinformáció Analízis II, PMB1106 2013 Tantárgy neve: Analízis II Tantárgy kódja: PMB1106 Kreditpont: 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.): 2+2 Előfeltétel: PMB1105 Félévi követelmény: kollokvium Előadás
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenFeladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
RészletesebbenFeladatok matematikából 3. rész
Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!
RészletesebbenÉrtelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
RészletesebbenTartalomjegyzék. 1. Előszó 1
Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
Részletesebben1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai
. Bevezetés.. Differenciálegyenletek és azok megoldásai Differenciálegyenlet alatt olyan függvény egyenleteket értünk, melyekben független változók, függvények és azok deriváltjai szerepelnek. Legegyszerűbb
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
Részletesebbenn 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
Részletesebben