Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Átírás

1 és és /

2 Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási szabályok Összeg, szorzat, hányados Összetett függvény dierenciálása Implicit függvény deriváltja Inverz függvény deriváltja 3 Darboux-tétel 4 Összefoglalás és /

3 A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Pontbeli dierenciálhatóság Deníció () A valós f függvény a c D f véges határérték. pontban dierenciálható, ha létezik az m = lim x c f (x) f (c) x c Ekvivalens alak x = c + h helyettesítéssel: f (x) f (c) f (c + h) f (c) m = lim = lim x c x c h 0 h Az m számot az f c-beli dierenciálhányadosának vagy c-beli deriváltjának nevezzük és /

4 A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Az el z határérték épp az f grakonjához húzott (c, f (c))-pontbeli érint meredeksége. c x x x x és /

5 A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Az f (x) = e x függvény grakonjához c = 0-ban húzott érint meredeksége az e deníciója szerint,vagyis f itt dierenciálható és a derivált értéke. Következmény e h e 0 lim h 0 h e h = lim =. h 0 h Az e x függvény tetsz. c R-ben dierenciálható, és a derivált értéke e c. e c+h e c lim h 0 h e c (e h ) = lim = e c e h lim = e c h 0 h h 0 h és /

6 A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Állítás Ha az f függvény dierenciálható a c pontban és dierenciálhányadosa itt m, akkor érint jének egyenlete y = f (c) + m(x c). Írjuk fel az f (x) = x 2 függvény (, ) pontbeli érint jének egyenletét! Az érint meredeksége (iránytangense) a dierenciálhányados c = -ben: f (x) f () x 2 m = lim = lim x x x x = lim (x + ) = 2. x Így az érint egyenlete: y = + 2(x ), azaz y = 2x és /

7 A dierenciálhatóság fogalma Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Értelemszer en módosítva a deníciót: Deníció A valós f függvény a c D f pontban dierenciálható jobbról (balról), ha létezik az véges határérték. f (x) f (c) f (c + h) f (c) m = lim = lim x c + x c h 0 + x c f (x) f (c) f (c + h) f (c) (m = lim = lim ) x c x c h 0 x c Az m számot az f c-beli jobb (bal) oldali dierenciálhányadosának vagy c-beli jobb (bal) oldali deriváltjának nevezzük és /

8 A dierenciálhatóság fogalma Jobb és bal oldali dierenciálhatóság f (x) = x h 0 h lim = lim = = jobb oldali derivált h 0 + h h 0 + h h 0 h lim = lim = = bal oldali derivált h 0 h h 0 h Mivel a két egyoldali derivált a 0-ban különböz, f nem deriválható a 0-ban. f (x) = x lim h 0 + h 0 h = lim =, h 0 + h nincs véges határérték, a függvény nem dierenciálható jobbról a 0-ban és /

9 A dierenciálhatóság fogalma Folytonosság és dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Tétel (Dierenciálható függvény folytonos) Ha f dierenciálható c-ben, akkor ott folytonos is. Bizonyítás f (x) f (c) lim f (x) f (c) = lim (x c) = m 0 = 0, x c x c x c ha m az f dierenciálhányadosa c-ben.így Megjegyzés lim f (x) = f (c). x c Az állítás visszafelé nem igaz, pl. f (x) = x a c = 0 pontban és /

10 A dierenciálhatóság fogalma Deriváltfüggvény Deriváltfüggvény Deníció Az f deriváltfüggvénye az f f (x + h) f (x) : x lim h 0 h függvény,mely f dierenciálhatósági helyein van értelmezve. A deriváltfüggvényre egy másik szokásos jelölés: Deníció (Magasabbrend deriváltak) f = (f ), f = (f ),f (n) = (f (n ) ) df dx és /

11 A dierenciálhatóság fogalma Deriváltfüggvény (e x ) = e x (a) = 0 (konstansfüggvény deriváltja 0) (x n ) = nx n, ha n pozitív egész szám, ugyanis c R esetén: x n c n lim x c x c n (x c)(x + x n 2 c xc n 2 + c n ) = lim = x c x c = lim x c (x n + x n 2 c xc n 2 + c n ) = nc n és /

12 A dierenciálhatóság fogalma Deriváltfüggvény sin x = cos x, ugyanis c R esetén sin(c + h) sin(c) sin c cos h + cos c sin h sin(c) lim = lim = h 0 h h 0 h cos c sin h sin c( cos h) = lim = h 0 h = lim (cos c) sin h cos h (sin c) = (cos c) (sin c) 0 = cos c, h 0 h h ugyanis cos h ( cos h)( + cos h) cos 2 h lim = lim = lim h 0 h h 0 h( + cos h) h 0 h( + cos h) = lim h 0 sin 2 h h( + cos h) = lim sin h (sin h) h 0 h + cos = 0 2 = 0 h és /

13 Összeg, szorzat, hányados Dierenciálási szabályok Tétel Legyenek f és g c-ben dierenciálható függvények, a R konstans. (af ) (c) = af (c) 2 (f + g) (c) = f (c) + g (c) 3 (fg) (c) = f (c)g(c) + f (c)g (c) ( ) f 4 (c) = f (c)g(c) f (c)g ( ) (c), speciálisan (c) = g (c) g g 2 (c) g g 2 (c), ha g(c) 0 Bizonyítás (2) (f + g) (f (x) + g(x)) (f (c) + g(c)) (c) = lim x c x c ( ) f (x) f (c) g(x) g(c) lim x c x c + x c = = f (c) + g (c) és /

14 Összeg, szorzat, hányados Bizonyítás (3) (fg) (c) = lim x c f (x)g(x) f (c)g(c) x c f (x)g(x) f (c)g(x) + f (c)g(x) f (c)g(c) = lim x c x c ( ) f (x) f (c) g(x) g(c) = lim g(x) + f (c) x c x c x c = f (c)g(c) + f (c)g (c) (x n ) = nx n, ha n negatív egész szám, ugyanis legyen n = m N ( ) (x n ) = = (x m ) x m (x m ) = mx m = 2 x 2m mx m = nx n és /

15 Összetett függvény dierenciálása Tétel (Láncszabály) Ha g dierenciálható c-ben, és f dierenciálható g(c)-ben, akkor f g dierenciálható c-ben, és (f g) (c) = f (g(c))g (c) Bizonyítás (f g) f (g(x)) f (g(c)) (c) = lim = x c x c f (g(x)) f (g(c)) g(x) g(c) = lim = x c g(x) g(c) x c f (g(x)) f (g(c)) g(x) g(c) = lim lim = x c g(x) g(c) x c x c f (y) f (g(c)) g(x) g(c) = lim lim y g(c) y g(c) x c x c = f (g(c))g (c) és /

16 Összetett függvény dierenciálása A f kérdés mindig: melyik a küls függvény? (sin 2 x) =? Küls függvény: f (x) = x 2 f (x) = 2x Bels függvény g(x) = sin x g (x) = cos x (sin 2 x) = 2(sin x) cos x (sin x 2 ) =? Küls függvény f (x) = sin x f (x) = cos x Bels függvény: g(x) = x 2 g (x) = 2x (sin x 2 ) = cos x 2 2x és /

17 Összetett függvény dierenciálása (sin 2 x 3 ) =? Küls függvény f (x) = x 2 f (x) = 2x Bels függvény: g(x) = sin x 3 (sin 2 x 3 ) = 2 sin x 3 (sin x 3 ) (sin x 3 ) =? Küls függvény f (x) = sin x f (x) = cos x Bels függvény: g(x) = x 3 g (x) = 3x 2 Tehát: (sin x 3 ) = cos x 3 3x 2 (sin 2 x 3 ) = 2 sin x 3 cos x 3 3x és /

18 Összetett függvény dierenciálása cos x = sin x, hiszen cos x = ( sin ( π 2 x )) = = cos( π x) ( π x) = cos( π x) = sin x tg x = ( ) sin x cos, hiszen = sin x cos x sin x cos x = 2 x cos x cos 2 x cos x cos x + sin x sin x = = cos 2 x cos 2 x ctg x = ( cos x ) sin, hiszen cos x sin x cos x sin x = = 2 x sin x sin 2 x sin x sin x cos x cos x = = sin 2 x sin 2 x és /

19 Összetett függvény dierenciálása (a x ) = a x ln a, ahol a > 0,hiszen (a x ) = (e x ln a ) = e x ln a (x ln a) = e x ln a ln a = a x ln a ( (sh x) ex e x ) ( ex e x ( ) ) = = = ex + e x ( (ch x) ex + e x ) e x e x = = = sh x 2 2 ( sh (th x) x ) ( ch 2 x sh ) 2 x = = = ch x ch 2 x ch 2 x ( ch (cth x) x ) ( sh 2 x ch ) 2 x = = = sh x sh 2 x sh 2 x = ch x és /

20 Implicit függvény deriváltja Deníció (Implicit függvény) F (x, y) = 0, melyr l föltesszük, hogy F (x 0, y 0 ) = 0, és az (x 0, y 0 ) pont egy kis környezetében y kifejezhet x függvényeként, azaz van olyan f függvény és ε > 0, hogy x (x 0 ε, x 0 + ε) esetén F (x, y) = 0 y = f (x). Tekintsük a h(x) = F (x, f (x)) függvényt. x (x 0 ε, x 0 + ε) esetén h(x) = F (x, f (x)) = 0 = vagyis x 0 -ban a deriváltja is 0 lesz. = Ebb l az összefüggésb l pedig ki lehet fejezni f (x 0 )-t. f (x)-re szokás ilyenkor az y(x) jelölést is használni és /

21 Implicit függvény deriváltja Mennyi az y 2 = x 3 x görbe érint jének meredeksége a (2, 6) pontban? F (x, y) = y 2 x 3 + x y = y(x) és tekintsük a deriváltat x 0 = 2-ben: 0 = d dx F (x, y(x)) x=2= d dx y(x)2 x 3 + x x=2 = 2y(x)y (x) 3x 2 + x=2 0 = 2y(2)y (2) y (2) = y(2) = 2 6 Megjegyzés Mivel a dierenciálás lineáris m velet, ezért az egyenletet nem szükséges a deriválás el tt átrendezni és /

22 Inverz függvény deriváltja Tétel (Inverz függvény deriváltja) Ha f dierenciálható az I intervallumon, és a derivált sehol sem 0, akkor az f függvény g inverze is dierenciálható, és Bizonyítás (vázlat) x = f (g(x)), ennek implicit deriváltja g = f g. = f (g(x)) g (x) = g (x) = f (g(x)) Megjegyzés Ha a I, és b = f (a), akkor g (b) = f (g(b)) = f (a) és /

23 Inverz függvény deriváltja (ln x) = x, x > 0 g(x) = ln x az f (x) = e x függvény inverze, és f (x) = e x, így (ln x) = g (x) = f (g(x)) = e ln x = x ( ln (log a x) x ) = = ln a x ln a Ha a R, akkor az x a függvény értelmezési tartományának minden pontjában (x a ) = ax a, hiszen (x a ) = (e a ln x ) = e a ln x (a ln x) = x a a x = ax a és /

24 Inverz függvény deriváltja (arcsin x) =, x (, ) x 2 g(x) = arcsin x az f (x) = sin x [ π 2, π 2 ] függvény inverze, és f (x) = cos x, így (arcsin x) = g (x) = = sin 2 (arcsin x) f (g(x)) = cos(arcsin x) =, mert cos(arcsin x) > 0 a ( π x 2 2, π 2 )-n és /

25 Inverz függvény deriváltja (arccos x) =, x (, ), ugyanis arccos x = π arcsin x x 2 2 (arctg x) = + x 2, x R g(x) = arctg x az f (x) = tg x ( π 2, π 2 ) függvény inverze, és f (x) = (tg x) = cos = cos2 x + sin 2 x 2 x cos 2 x (arctg x) = g (x) = + tg 2 (arctg x) = + x 2 f (g(x)) = cos 2 (arctg x) = + tg 2 x, így (arcctg x) = + x 2, x R, ugyanis arcctg x = π 2 arctg x = és /

26 Inverz függvény deriváltja Hasonlóan kiszámítható az area függvények deriváltja: (arsh x) =, x R + x 2 (arch x) =, x (, + ) x 2 (arth x) =, x (, ) 2 x (arcth x) =, x (, ) (, + ) 2 x és /

27 Inverz függvény deriváltja y y arth x arcth x x 2 x x és /

28 Inverz függvény deriváltja Elemi függvények deriváltja - összesítés f (x) f (x) a a R 0 x a a R ax a sin x cos x cos x sin x tg x x π + kπ, k Z 2 cos 2 x ctg x x kπ, k Z e x sin 2 x e x a x a > 0 a x ln a sh x ch x th x cth x x 0 ch x sh x 2 ch x sh 2 x és /

29 Inverz függvény deriváltja Elemi függvények inverzeinek deriváltja - összesítés f (x) f (x) ln x x > 0 x log a x x > 0 arcsin x x (, ) arccos x x (, ) arctg x x ln a x 2 x 2 + x 2 arcctg x arsh x arch x x (, ) arth x x (, ) arcth x x (, ) (, ) + x 2 x 2 + x 2 x 2 x és /

30 Darboux-tétel Deníció f dierenciálható (deriválható) egy (a, b) nyílt intervallumon, ha annak minden pontjában dierenciálható. f dierenciálható az [a, b] zárt intervallumon, ha (a, b)-n dierenciálható, továbbá a-ban jobbról, b-ben balról dierenciálható. Tétel (Darboux-tétel) Ha a és b olyan intervallum pontjai, melyen f dierenciálható, akkor f az f (a) és f (b) között minden értéket fölvesz, azaz f Darboux-tulajdonságú. Megjegyzés A BolzanoDarboux-tételben bizonyítottuk, hogy a folytonos függvények Darboux-tulajdonságúak. Bár az el bbi tétel szerint intervallumon dierenciálható függvények deriváltfüggvénye is Darboux-tulajdonságú, a következ példa mutatja, hogy f nem feltétlenül folytonos és /

31 Darboux-tétel f (x) = { x 2 sin( x ) ha x 0 0 ha x = 0 x 0 : f (x) = (x 2 sin(x )) = = 2x sin(x ) + x 2 cos(x )( )x 2 = = 2x sin( ) cos( ) x x x = 0 : f h 2 sin( (0) = lim ) 0 h h 0 h 0 = lim h 0 h sin( ) = 0 h = y x 2 x 2 sin( ) x x x 2 = f nem folytonos a 0-ban, mert nem létezik ott határértéke és /

32 Összefoglalás Összefoglalás fogalma, deriváltfüggvény és folytonosság kapcsolata Dierenciálási szabályok (összeg, különbség, szorzat, hányados, összetett függvény, inverz függvény) Elemi függvények deriváltjai Darboux-tétel és /