II. rész. Valós függvények

Átírás

1 II. rész Valós függvények

2

3 Feladatok 3

4 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = y = y = 3 y = + 3 ln y = 3 + y = ln( 3 + ) y = arcsin y = arccos y = ln y = ln ln 3.. Határérték Határozza meg a következ függvények határértékét az adott pontban! (3 + ) , kɛn rögzített. k

5 n nɛz. ( 4 ) ( 3 ) ( ) n n

6 sin() tg () cos() sin(m), n, mɛn n sin a, a, bɛr, b 0. sin b ( sin tg ) sin cos sin cos π sin + sin 3 sin sin 3 ( ) ( ) cos sin cos() tg tg ( π ) π 4 4 π 6 sin + sin sin 3 sin sin(5) ctg () cos sin tg () sin() 3 cos 3 cos π 6 ( cos ) tg 3 sin 3 ( sin π ) 6 3 cos() + tg () tg () sin()

7 ( ) ( ) ( + ) ( ) + ( ) 4 ( )ctg () + tg () Inverz függvény Határozza meg a következ függvények inverz függvényét! y = y = + y = 3 + y = y = y = + y = y = 6 y + y 3 = 0 y = Függvény ábrázolás Rajzolja meg a következ függvények görbéit! y = y = +

8 y = y = y = y = e y = e y = arccos(cos()) y = arctan ( ) 3.9. y = + y = + + y = ± + y = e y = arcsin(sin()) y = arctan(tg ()) Mivel egyenl? ( ) sin arcsin() ( ) sin arccos() ( ) sin arccos() ( ) cos arcsin() sh () ch (), ha sh () =. arch(5) tg ( ) arccos() ( ) sin arctg (, 4) ch (3) arsh(4) arth( 0, 6)

9 3.5. Egyváltozós függvény dierenciálása 9 Határozzuk meg a következ függvények deriváltját! f() = f() = f() = ( 3 3) sin f() = 3 ( )( 3 ) f() = ( + + ) cos 3.0. f() = sin 3.. f() = sin 3.. f() = tg f() = cos f() = sin( 5 + 8) 3.5. f() = ( ) 6 tg 3.7. f() = cos 4 + sin f() = sin 3 ( + tg ) 3.6. f() = sin f() = tg 3.0. f() = 3.. f() = 0 sin f() = lg 3.3. f() = e 3.4. f() = π sin 3.5. f() = lg sin f() = 3.7. f() = 3.8. f() = sin 3.9. f() = f() = 3.3. f() = + tg f() = e f() = lg( + sin ) f() = tg f() = sh [ 3 ln( + 7)] f() = arth ( ) f() = f() = arcsin f() = 5 arcsin f() = arcsin 3.4. f() = arctg 3.4. f() = arch +

10 f() = e arth f() = f() = cos Implicit módon megadott függvények deriválása y = sin cos y + sin y cos = y 3 3ay = ( ) cos y + cos y = y = y 3.5. f() = + arctg f() 3.5. f() = ( + ) ( ) 3.6. Taylor polinom Írja fel az alábbi függvények 0 helyhez tartozó Taylor polinomját! f() = ln, 0 = e, T 4 () =? f() = e, 0 =, T 4 () =? f() = tg, 0 = π 4, T 3() =? f() = sin, 0 = π 4, T 3() =? f() = sin 3, 0 =, T 4 () =? f() = , 0 =, T 4 () =? f() = , 0 =, T 4 () =? f() = , 0 =, T 4 () =?

11 Írja fel az alábbi függvények 0 = 0 helyhez tartozó Taylor polinomját! f() = e, T 4 () =? f() = sin 3, T 6() =? f() = cos, T 5 () =? f() = arctg, T 3 () =? f() = ln( + ), T n () =? f() = ( + ) α, T n () =? Mekkora hibát követünk el, ha az y = sin függvény értékét a [0, ] intervallumon a T 5 () = 3 3! + 5 5! Taylor polinommal közelítjük? Határozzuk meg e értékét két tizedesjegy pontossággal Taylor polinom segítségével! 3.7. Dierenciálszámítás alkalmazásai Határérték meghatározása L'Hospital szabállyal sin π 4 tg 5 tg sin e e sin sin e tg + cos 3 e e 3.7. e sin tg sin ln ( + ) sin e

12 3.77. ln sin e cos sin cos 3 ) (e ( ) ctg (arc sin ) tg ( )tg ln ln sin sin a ( 3.8. sin (sin ) tg π (tg ) π π ) Síkgörbék érint je és normálisa Határozzuk meg az y = 3 parabola = abszcisszájú pontjához húzott érint jének az egyenletét! Hol metszi az y = ln görbe = e abszcisszájú pontjához húzott érint je az tengelyt? Meghatározandó az y = tg görbének az a pontja, amely ponthoz tartozó érint párhuzamos az y = 5 egyenessel! 3.9. Meghatározandók az y = görbének azok a pontjai, melyekben az érint párhuzamos az y = 6( π) egyenessel! 3.9. Bizonyítsuk be, hogy az y = a görbe bármely pontjához húzott érint je és a koordináta tengelyek által alkotott háromszög területe független az érintési ponttól! Írjuk fel az y = tg görbe = π 4 abszcisszájú pontjához tartozó normálisának az egyenletét Meghatározandók az y 3 3 4y + 3 = 0 implicit alakban adott függvény görbéjének az = abszcisszájú pontjaihoz tartozó érint inek és normálisainak egyenletei Keressük meg az y = görbe azon pontjait, ahol a.) az érint párhuzamos az tengellyel b.) az érint az tengely pozitív irányával 45 -os szöget zár be. Egyváltozós függvények széls értéke Határozzuk meg az y = 3 függvény széls értékeit! Határozzuk meg az y = 4 e függvény széls értékeit! Határozzuk meg az alábbi függvények széls értékeit!

13 f() = f() = f() = ln 3.0. Határozzuk meg az R sugarú körbe írt legnagyobb terület derékszög négyszöget Határozzuk meg az R sugarú gömbbe írt legnagyobb térfogatú hengert Határozzuk meg az R sugarú gömbbe írt legnagyobb térfogatú kúpot Határozzuk meg az egy literes, felül nyitott legkisebb felszín hengert Egyenl szélesség három deszkából csatornát készítünk. Az oldalfalak milyen hajlásszöge mellett lesz a csatorna keresztmetszete maimális? Határozzuk meg a h alkotójú legnagyobb térfogatú kúpot Egy a szélesség csatornából derékszögben kinyúlik egy b szélesség csatorna. A csatornák falai egyenes vonalúak. Határozzuk meg azon gerenda legnagyobb hosszát, amely az egyik csatornából átcsúsztatható a másikba Keressük meg az y = 8 parabolának azt a pontját, amely a (6, 0) ponttól a legkisebb távolságra van Feltételezve, hogy a g zhajó energiafogyasztása a sebesség harmadik hatványával egyenesen arányos, keressük meg a leggazdaságosabb óránkénti sebességet abban az esetben, ha a hajó c km/óra sebesség vízsodrással szemben halad Függvényvizsgálat 3.0. Vizsgáljuk és ábrázoljuk az f() = ln függvényt! Vizsgáljuk az alábbi függvényeket. 3.. f() = f() = f() = f() = f() = e 3.6. f() = e cos

14 4 3.. ábra feladat 3.9. Szöveges széls érték feladatok Az A és B pontok a ill. b távolságra vannak a faltól. Melyik a legrövidebb út A-ból B-be a falat érintve? m hosszú drótkerítéssel szeretnénk maimális területet közrezárni, miközben csatlakozunk egy már meglev 00 m hósszú k falhoz. Mekkorák lesznek a kert oldalai? 3.. ábra feladat 3.7. Keressük meg a 4 +9y = 36 elipszisnek azt a pontját, ami a P (, 0) ponthoz legközelebb illetve legtávolabb van. Értelmezzük a kapott eredményt Egy derékszög alakú telek oldalai 00 m és 00 m. A sarokra épített téglalap alapú ház alapterülete mikor lesz maimális? 3.3. ábra feladat

15 3.73. Egy r sugarú félkörbe írható téglalapok küzuül melyik területe maimális? Melyik területe minimális? Egy fapados repül gépen 300 ül hely van. Csak akkor indítják a járatot, ha legalább 00 ül hely foglalt. Ha 00 utas van, akkor egy jegy ára 30e Ft, és minden egyes plusz utas esetén a jegyárak egységesen csökkennek 00 Ft-tal. Hány utas eset lesz a légitársaság bevétele maimális illetve minimális? Adott T terület téglalapok küzül melyik kerülete a minimális? Egy hosszú drótból levágunk egy darabot, négyzetet csinálunk bel le. A maradékot kör alakúra hajlítjuk. Mikor lesz a két alakzat össz-területe maimális? 5

16 6

17 Megoldások 7

18 8 3.. Értelmezési tartomány 3.. Az y = + + azokra az értékekre van értelmezve, melyek esetén a négyzetgyökjel alatti kifejezések nem negatívak, azaz, ha + 0 és 0. Az értelmezési tartomány tehát: ɛr \ {} 3.4. ɛr \ {0, 3} 3.5. Csak a pozitív számok logaritmusa valós érték. Ez a függvény tehát értelmezve van, ha 3 + > 0 Az egyenl tlenséget megoldva azt nyerjük, hogy az értelmezési tartomány: ɛr \ [, ] 3.6. ln 5 4 0, ha 5 4. Ezért: , < < 3, < < 5, 8 < < 3.0. < < 3.. Határérték Ha a racionális függvény számlálója és nevez je az = a helyen zérus, akkor a tört ( a)-val egyszer síthet = ( )( + 5) ( )( + ) = = = n

19 Helyettesítsük 3 + -et u-val. Ekkor 3 + = u és = u 3. Ha 0, akkor u, tehát 3 + = u u u 3 = u 3.5. = u 5 helyettesítés alkalmazásával 3.6. n u (u )(u + u + ) = u = + u 5 u + u = u 4 u 3 + u u + 3 u u u u + u + = A számlálót és a nevez t egyaránt szorozva ( ) -el, a kifejezés értéke nem változik. Viszont a számlálóból elt nik a négyzetgyök jel, és ezt követ en a kifejezés egyszer sithet -el. Igy az ismert (a + b)(a b) = a b összefüggést használtuk ki. Négyzetgyökös kifejezések esetén hasonlóan szoktunk eljárni máskor is. = = = ( ) = = + ( 4 )( + ) = = + ( )( + ) = = ( + + )( + ) + Ebben a példában ugyanaz a kifejezés volt a négyzetgyökjel alatt mind a két helyen, tehát az el z ekben említett példa módjára úgy is eljárhattunk volna, hogy = u helyettesítésével oldjuk meg a feladatot. Az itt bemutatott módszer azonban általánosabb esetben is alkalmazható = 3.

20 m n a b e e e 3.3. Inverz függvény y = y = y = 3.7. y = 3.7. y = y = y = y = y = y = ( + )

21 3.4. Függvény ábrázolás Racionális törtfüggvényeknél az ábrázolás el tt határozzuk meg, hogy hol lesznek a görbének a koordináta tengelyekkel párhuzamos aszimptotái. Törtfüggvénynek pólusa van, ahol a nevez je zérus. Itt van függ leges aszimptota. A vízszintes aszimptota helyét a függvény végtelenben vett határértéke határozza meg sin(arccos ) = sin(arccos ) cos(arccos ) = sin() = sh () = e e tg, sin(arctg.4) = + tg 3 = ch (3) = ch () = ch + sh = + sh = 3, ha sh = arsh = ln( + + ), ezért arsh 4 = ln(4 + 7) = arch = ln( ± ), ezért arch 5 = ln(5 ± 4) = ln =.9 = ln 0.0 = arth = ln + y, ezért arth y ( 0.6) = 0.4 ln.6 =

22 3.5. Egyváltozós függvény dierenciálása f () = f () = f () = 3 sin + ( 3 3) cos f () = 3[ ( 3 ) + ( )( 6)] ( ) ( 3 ) = 6(4 3 3 ) ( ) ( 3 ) f () = 3 ( + + ) cos ( 3 + 3)[( + ) cos ( + + ) sin ] ( + + ) cos 3.0. f() = (sin )(sin ) tehát f () = cos sin + sin cos = sin cos = sin 3.. f () = cos () 3.. f () = 3 cos f () = 4 cos 3 sin 3.4. f () = ( 5) cos( 5 + 8) 3.5. f () = 6( ) 5 (4 3 6)tg (4 6 + ) f () = cos ( + ) ( + ) = cos ( + ) cos f () = 43 sin 4 ( + sin 3 ) 3 cos 4 sin cos ( + sin 3 ) 3.8. f () = tg 4tg = cos cos 3.9. f () = 3 sin ( + tg ) cos( + tg ) (tg + cos ) tg 3.0. f () = ln 3.. f () = 0 sin 3 ln 0 cos 3 3 = 3(ln 0) 0 sin 3 cos f () = ln f () = e 3.4. f () = π sin ln π cos 3.5. f () = 3.6. f () = 4 cos 4 sin 4 ln 0 = 4 ctg 4 ln 0

23 f() = 7 8 tehát f () = f () = 3.9. f () = cos sin f () = 3.3. f () = 3.3. f () = e f () = f () = + tg 3 = ( ) 3 3 cos 3 ( ) ( + tg 3) ( ) 4 sin cos lg( + sin ) ln(0) ( + sin ) = sin 4 lg( + sin ) ln(0) ( + sin ) cos + + = ( ) f () = ch [ 3 ln( + 7)] (3 + 7 ) f () = f () = f () = 3 ch sh f () = 5 5 arcsin ln f () = 3.4. f () = arctg f () = + = Mivel arth () = ( ) + ln, ezért e arth = e + lnr+ ln = e + = f () = ( + )( )3 cos + ( + )( ) 3

24 f () = ( 3 ) 0 ( ) 3 ( 3 ) f () = ( ) cos + sin ( ) cos Implicit módon megadott függvények deriválása y = y cos cos y + sin sin yy cos y + cos cos yy + sin sin y cos = f () = a f() f() a f () = cos f() sin f() + ( ) sin f() Vegyük mindkét oldal logaritmusát: ln f() = f() ln. Deriváljuk mindkét oldalt: ln f() + Innen azt kapjuk, hogy f() f () = f () ln + f(). f () = f() f() ln f() f() ln 3.5. f () = + f() 3.5. Mindkét oldalnak a logaritmusát vesszük, aztán mint implicit függvényt deriváljuk: ln f() = ( ) ln( + ) f() f () = ln( + ) + + f () = ( + ) ( ln( + )) +

25 3.6. Taylor polinomok A Taylor polinom képlete szerint: T 4 () = f(e) + f (e)! ( e) + f (e)! A fenti képletbeli számítások: f(e) = ln e =, f () =, f (e) = e f () =, f (e) =, e f () =, 3 f (e) =, e 3 f (IV ) () = 3, 4 f (IV ) (e) = 6. e 4 Így a keresett polinom: ( e) + f (e) 3! ( e) 3 + f (4) (e) ( e) 4 4! T 4 () = + ( e) e e ( e) + 3e ( 3 e)3 4e ( 4 e)4. T 4 () = e [ +! ( ) +! ( ) + 3! ( )3 + 4! ( )4 ] T 4 () = [sin3 + 3 cos 3! T 3 () = +! ( π 4 ) + 4! ( π 4 ) + 6 3! ( π 4 )3 T 3 () = [ +! ( π 4 )! ( π 4 ) 3! ( π 4 )3 ] ( ) 3 sin 3! ( ) 33 cos 3 3! ( ) sin 3 ( ) 4 ] 4! Mivel az n-ed fokú polinom megegyezik bármely helyen felírt n-ed fokú Taylor polinomjával, feladatunk az f() függvény 0 = helyhez tartozó harmadfokú Taylor polinomjának felírása. f() = , f() = f () = 3 +, f () = 6, f () = 0 f () = 6, f () = 6. Tehát a keresett polinom: f () = T 3 () =! ( ) + 6 3! ( )3 = = ( ) 3 ( ) + T () = 7 + 9( ) + 76( ) + 0( ) ( ) ( ) 5 + 7( ) 6

26 T () = 6 + 5( ) + ( ) + 4( ) 3 + 4( ) 4 + ( ) T 4 () = T 6 () = T 5 () = [ ] T 5 () = T 4 () = f() = arctg, f(0) = 0 f () = +, f (0) = f () = ( + ), f (0) = 0 f () = ( + ) + 8 ( + ) ( + )4 Tehát a keresett polinom: = + 0 ( + ) 3, f (0) =. T 3 () = 3! 3 = 3 3 T n () = (n+) 4 ( ) n t n () = + α α(α ) + α(α )(α ) + 3 +!! 3! α(α )... (α n + ) + + n = n! ( ) ( ) ( ) α α α = n = n A felírt polinom hatodfokúnak is tekinthet, ezért az elkövetett hiba R 6 () = f 7 (ξ) 7 = cos(ξ) 7 7! 5040 n k=0 ( α k < 5040 < 5000 < 5 0 3, mert cos() bármilyen esetén, és a 0 i feltevés miatt <. Ha tehát a 0-tól radiánig ( 57, 3 )terjed szögek sinusát az el bbi ötödfokú polinommal számítjuk ki, akkor a hiba tízezrednél kisebb Az e számot az y = e függvény = helyen vett értéke adja. A feladat most annak megállapítása, hányadfokú Taylor polinom szükséges a kívánt pontosságú megközelítéshez. Az e Taylor-sora: +! +! +... ) k

27 alakú. A hibára az R n () = f (n+) (ξ) (n + )! (n+) = e(ξ) (n+) (n + )! < el írást tettük. Írjuk még be az helyébe az = érétket, s akkor a következ becslést kapjuk: e ( ξ) (n + )! < e (n + )! < 3 (n + )! < A megjelölt egyenl tlenséget kísérletezéssel tudjuk csak megoldani. Mindenesetre vegyük mindkét oldal reciprokát! Ekkor az (n + )! > 600 egyenl tlenségre jutunk, amib l n 5 következik. Mi ötödfokú Taylor polinomot veszünk, T 5 () = +! +! + 3 3! + 4 4! + 5 5! ennek értéke az = helyen T 5 () = = + 0, 5 + 0, , , , 047 =, , Végeredményben az e értéke két tizedes pontossággal: =, 5 + 0, , =, , 0083 =, 767 e, 7 0,

28 Dierenciálszámítás alkalmazásai sin tg 5 = e e sin cosh cos 3 cos 3 5 cos 5 3 = 5 cos 3 cos 5 = 3 5 = sinh sin e ln ln sin = sin a = = 0, = n sin au u cos sin sin a =, ha akkor u 0 = a cos au = sin cos = = cosh cos cos cos sin = = sinh sin = π (sin ) tg = e tg ln sin = π ln sin cos sin sin mert tg ln sin = π π ctg = π Az érint egyenlete y y(a) = y (a)( a) Példánkban a =, y() =, y () = Az érint egyenlete y = ( ) +, azaz y = Az érint egyenlete y = e Az tengelyt ott metszi, ahol y = 0. Ebb l = 0.Az érint az origón megy keresztül. = sin cos = 0, és e 0 = π

29 3.90. Az érint iránytangense y megegyezikaz egyenes meredekségével. y = cos =. Innen cos = ±, = ± π 4 + kπ Az tengelyt ott metszi, ahol y = 0. Ebb l = 0. Az érint az origón megy keresztül P (, 530) ; P (, 5) 3.9. T = a A függvénygörbe P pontjához tartozó normálisán azt az egyenest értjük, amely a P pontban az érint re mer legesen megy át. A normális meredeksége m = y, y = + + π Keressük meg el ször a jelzett pontokat. Az = értéket a függvénybe beírva: y 3 3 4y + 3 = 0. Innen y(y 4) = 0 Három értéket találunk: y = 0, y =, y 3 = P (, 0); P (, ); P 3 (, ) A derivált y 6 4y = 3y 4 = 6 + 4y 3y 4 y (P ) = 3 ; y (P ) = 7 4 ; y (P 3 ) = 4 ; Éint egyenesek: y = 3 ( ); y = 7 4 ( ); y + = ( ); 4 Normális egyenesek: y = 3 ( ); y = 4 ( ); y + = 4( ); 7 a)p (0, ) ; P (, 3 ) b)p 3 ( +, 3 3 ; P 4(, ) Egyváltozós függvények széls értéke A függvénynek széls értéke ott lehet, ahol az els derivált zérus. Ha ezen a helyen az els el nem t n derivált páros rend, akkor van széls érték. Ha ez a derivált az adott pontban pozitív, akkor minimum, ha negatív, akkor maimum van. y = 3, y = 3, y = 6 y = 0 ha = 4, azaz = ± y () = > 0, minimum van y() = 6 y ( ) = < 0, maimum van y( ) = y = (4 3 5 )e = 3 (4 )e Mivel e mindenütt pozitív, y = 0 akkor lehet, ha = 0 ill. =, 3 =

30 30 y = ( )e y (0) = 0, tehát ezt a helyet tovább kell vizsgálni. y ( ) = y ( ) = 6 e < 0, tehát ezeken a helyeken a függvénynek maimuma van. Vizsgáljuk az = 0 helyet. y = ( )e ; y (0) = 0 y (IV) = ( )e y (IV) (0) = 4 > 0, tehát a függvénynek az = 0 helyen van széls értéke: minimuma van. = 0-nál y min = 0 = és 3 = -nél y ma = 4 e f() ma = 4, ha = f() min = 8, ha = f() ma =, ha = f() min =, ha = f() min = e, ha = e 3.0. feladat 3.0. feladat 3.0. Jelöljük a négyszög alapját -el, magasságát m-el, akkor a terület T = m. Az ábra alapján + m = 4R, ahonnan m = 4R, így T = 4R. A kapott függvény maimumát kell keresnünk. Egyszer sítést jelenthet, ha a területfüggvény helyett annak négyzetét tekintjük. T -nek ugyanott van maimuma, ahol T-nek. T = (4R ). A maimális terület négyszög négyzet: = m = R. T = R Legyen a henger sugara r, magassága m. V = r πm V ma = 4 3 π, ha 9 R3 r = R, 3 m = R. 3

31 feladat feladat Legyen a kúp alapkörének a sugara r, magassága m. Vezessük be az ábrán jelzett -et. Ezzel a kúp sugara és magassága is kifejezhet. V = r πm ; r = R, m = R +. 3 V = π 3 (R )(R + ) V ma = r = m = 3 π T = π, ha 8 R3 m = 4 R, 3 r = R. 3 a + m = (a + )m ϕ = feladat feladat V ma = 3, ha 7 πh3 r = h, 3 m = h l ma = ( a 3 + b 3 ) 3, ha tg α = 3 a b P(,±4) Egy óra alatt a hajó v-c km utat tesz meg felfelé. Ez alatt a fogyasztása

32 3 E = av 3 (a konstans arányossági tényez ). D költséget az egy km megtételéhez felhasznált energiával mérhetjük. A hajózás akkor a leggazdaságosabb, ha egy km út felfelé való megtételéhez a legkevesebb energia szükséges. A költség minimumát a K = a v3 költségfüggvény minimuma adja. A leggazdaságosabb sebesség: v c v = 3 c km/h 3.8. Függvényvizsgálat 3.0. A függvényvizsgálat kiterjed az értelmezési tartomány és az értékkészlet meghatározására a függvény viselkedése az értelmezési tartomány határain gyök meghatározása széls érték, ineiós pont meghatározása növekv és csökken szakaszok konve és konkáv szakaszok meghatározása Az f() = ln függvény értelmezési tartománya D f := { > 0} f() = ; f() = 0 Gyöke az ln = 0 azaz = helyen van. f () = ln + f () = ln + + f () = = ( ln + ) = ln 3 f () = 0, ha ln + = 0 akkor = e = e ( ( = 0 ) nincs az értelmezési tartományban ( f e = + 3 = > 0, tehát minimuma van. f e ) = e f () = 0, ha ln + 3 = 0, = e 3 ) f (e 3 = e 3 0, itt tehát ineiós pont van. f() a 0 < < e szakaszon csökken, az e < < + szakaszon n. A 0 < < e 3 szakaszon konkáv, az e 3 < < + szakaszon alulról konve 3.. f( ) : maimum, f(4) : minimum, f ( 3 ) : ineió. 3.. D f : { < }, = 0 gyök. f() = : maimum, f( ) = : minimum, 0; ± 3 : ineiós pontok. A függvény páratlan; (, ) és (, ) szakaszon csökken, (, ) szakaszon n. (, 3) és (0, 3) szakaszon alulról homorú, ( 3, 0) és ( 3, + ) szakaszon alulról

33 3.3. domború. Aszimptotája az tengely. R f = { y } f() = + ; D f : { ɛ R /{0}} ; páratlan függvény. f() = : minimum; f( ) = maimum, ineiós pontja nincs. (, ) és (, ) szakaszokon n, (, 0) és (0, ) szakaszokon csökken. (, ) : konkáv, (0, ) konve. R f : {f(), f() } Az y = a függvény aszimptotája D f : { ɛ R} ; f() : maimum hely. az ± helyeken ineiós pont van. A (, 0) szakaszon a függvény monoton n, a (0, + ) szakaszon monoton csökken. A (, ) ( ) ( és, + szakaszokon alulról domború,, ) között homorú. Aszimptotája az tengely. R f : {0 < f() } 3.5. D f : { ɛ R/{ }} ; f(0) = 0 : minimum, f( ) = 4 : maimum, ineió nincs, aszimptotája az y = egyenes. (, ) és (0, + ) szakaszokon növekv, (, ) és (, 0) szakaszokon csökken. R f : {0 < f() 4, f() 0} 3.6. D f : {ɛr} ; R f : {yɛr} Az = π ± kπ helyeken maimum, 4 az = 5π ± kπ helyeken minimum, 4 az = kπ helyeken ineiós pont van Szöveges széls érték feladatok Minimális távolság esetén α = α Maimális terület 500 m, míg a minimális terület 0 (egyenes vonal) A legközelebbi pont A(3, 0), a legtávolabbi B( 3, 0) A ház oldalainak hossza 75 m és 50 m A maimális terület téglalap oldalai eset: egyetlen vonal. r és r 33. A minimális terület téglalap a degenerált

34 Legyen f() a bevétel, ha utas van. A 00 fölöttiek száma 00, ezért a jegyek ára ennyivel csökken, tehát darabonként ( 00). Ezért az összes jegy ára: ( ) f() = ( 00) = Az f () = 0 egyenlet megoldása = 50, így a potenciális széls érték helyek: = 00, = 50, = 350. A megfelel függvényértékek: f(00) = , f(50) = , f(350) = Maimális a bevétel 50 utas esetén, és minimális 350 utas esetén. (A feladat csupán elméleti...) Négyzet Az egész drótból kört hajlítunk.