Matematikai Analízis Példatár Vágó, Zsuzsanna Csörgő, István

Átírás

1 Vágó, Zsuzsanna Csörgő, István

2 írta Vágó, Zsuzsanna és Csörgő, István Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Vágó Zsuzsanna, Csörgő István

3 Tartalom Matematikai Analízis Példatár Bevezető Valós számok Valós számok Teljes indukció Egyenlőtlenségek Közepek Számhalmazok Megoldás. Valós számok Teljes indukció Egyenlőtlenségek Közepek Számhalmazok Számsorozatok, számsorok Számsorozatok és számsorok Számsorozat megadása, határértéke Számsorok összege Abszolút- ill. feltételes konvergencia Alkalmazás: Geometriai feladatok Megoldás. Számsorozatok Számsorozat megadása, határértéke Számsorok összege Abszolút- ill. feltételes konvergencia Alkalmazás: Geometriai feladatok Valós függvények Valós függvények Bevezető feladatok Határérték Függvény deriválás Taylor polinom Határérték meghatározása LHospital szabállyal Síkbeli görbe érintője Szélsőérték számítás Függvényvizsgálat Megoldások. Valós függvények Bevezető feladatok Határérték Függvény deriválás Taylor polinomok Határérték meghatározása LHospital szabállyal Síkgörbe érintője Szélsőérték számítás Függvényvizsgálat Integrálszámítás Integrálszámítás Határozatlan integrál Határozott integrálok. Vegyes feladatok Improprius integrálok Az integrálszámítás alkalmazásai Integrálszámítás. Megoldások Határozatlan integrál Határozott integrálok. Vegyes feladatok Improprius integrálok Az integrálszámítás alkalmazásai Differenciálegyenletek Differenciálegyenletek iii

4 Szeparábilis differenciálegyenletek Lineáris differenciálegyenletek Differenciálegyenletek. Megoldások Szeparábilis differenciálegyenletek Lineáris differenciálegyenletek iv

5 1. Bevezető A PPKE ITK Mérnök informatikus és Molekuláris bionika szakán, valamint az ELTE IK Informatika minor szakon és esti tagozaton oktatott Matematikai Analízis tárgyakhoz kiadott elméleti jegyzetek mellett most egy megfelelő példatárat is adunk a diákok kezébe. Az elméleti jegyzetek a Pázmány Egyetem ekiadónál jelentek meg: Vágó Zsuzsanna: Matematikai Analízis I és II. A diákok számára bizonyára nagy segítség az adott jegyzetek felépítéséhez illő feladatgyűjtemény. Minden feladat megoldásának végeredményét közöljük. Az elmélet alaposabb elsajátítását igyekszünk azzal segíteni, hogy bizonyos feladatokhoz kapcsolódóan részletesen kidolgozott megoldásokat is találhatnak. Ebben a kötetben a két féléves tananyag első feléhez adunk gyakorló feladatokat. Tervezzük, hogy jelen munka folytatásaként, a második félévben sorra kerülő anyagrészekhez is hasonló példatárat állítunk össze. Szeretnénk hálás köszönetet mondani dr. Szilvay Gézáné Panni néniek, aki a Példatár végleges formájának kialakítása során biztos hátterünk volt. Lelkiismeretes lektorként a végeredmények ellenőrzésében igen nagy segítségünkre volt. A Példatár fejezeteinek PDF változata letölthetők az alábbi linkről: Peldatar/. Budapest, szeptember 9. Vágó Zsuzsanna és Csörgő István 2. 1 Valós számok Valós számok Teljes indukció Igazoljuk a teljes indukcióval a következő állítások helyességét:

6 osztható -mal osztható -cel Egyenlőtlenségek Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket: Közepek Igazoljuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség felhasználásával a következő állításokat:

7 Oldjuk meg a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség felhasználásával az alábbi szélsőérték-feladatokat Adott kerületű téglalapok közül melyiknek a területe a legnagyobb? Egy folyó partján adott hosszúságú kerítéssel egy téglalap alakú telket szeretnénk elkeríteni úgy, hogy a telek egyik határa a folyópart (ott nem kell kerítés). Hogyan válasszuk meg a téglalap oldalait, hogy a telek területe a lehető legnagyobb legyen? Hogyan válasszuk meg egy felülről nyitott, henger alakú edény méreteit, hogy elkészítéséhez a lehető legkevesebb anyagra legyen szükség? További közepekkel kapcsolatos feladatok Igazolja a mértani és a harmonikus közép közti egyenlőtlenségről szóló tételt: ahol egyenlőség akkor és csak akkor van, ha. Megjegyzés: a bal oldalon álló mennyiséget az számok harmonikus közepének nevezzük Igazolja a számtani és a négyzetes közép közti egyenlőtlenségről szóló tételt: és egyenlőség akkor és csak akkor van, ha Legyen,, és jelölje az pozitív számok közül a legkisebbet, pedig a legnagyobbat. Jelölje továbbá ugyanezen számok harmonikus közepét, a mértani közepét, a számtani közepét, pedig a négyzetes közepét. Igazolja, hogy mind a négy közép és közé esik, azaz, hogy továbbá ha az számok nem mind egyenlők, akkor 3

8 Számhalmazok Vizsgáljuk meg az alábbi halmazokat korlátosság, alsó és felső határ, legkisebb és legnagyobb elem szempontjából: Megoldás. Valós számok Teljes indukció Megoldás: a) esetén az állítás igaz, mivel mindkét oldal értéke. Az indukciós lépés: Az indukciós feltevés miatt az első tényezőben álló produktum helyére írható, ezért a folytatás: ami az állítás -re való bizonyítását jelenti. b) Az a) részhez hasonlóan igazolható, de vigyázzunk, az indukció -ről indul. esetén az állítás igaz, mivel mindkét oldal értéke. Az indukciós lépés: 4

9 Az indukciós feltevés miatt az első tényezőben álló produktum helyére írható, ezért a folytatás: ami az állítás -re való bizonyítását jelenti Megoldás: -ra az egyenlőség egy ismert trigonometrikus azonosság átrendezése. Az indukciós lépés: Az első egyenlőség az indukciós feltételből, a második a azonosságból ( helyettesítéssel) adódik Megoldás: Az első kongruencia miatt adódik Egyenlőtlenségek Megoldás: Az egyenlőtlenség azokra az valós számokra van értelmezve, melyekre Ezen a tartományon az egyenlőtlenség ekvivalens az alábbival: -ra redukálás és rendezés után kapjuk, hogy 5

10 Ennek első esete az, ha és, második esete pedig ha és. Az első eset megoldása, a második eseté pedig. Mivel ezekre az -ekre teljesül, hogy, ezért ezek az -ek mind benne vannak az egyenlőtlenség értelmezési tartományában. Tehát a feladat megoldása: vagy Megoldás: Az egyenlőtlenség minden valós számra értelmezett. Először a trigonometrikus részt oldjuk meg, azaz helyettesítés után (új ismeretlen bevezetése) megoldjuk a egyenlőtlenséget. A középiskolában megismert módszerek valamelyikét alkalmazva (egységkör vagy függvény ábrázolás) ennek megoldása: Ezek után egy paraméteres abszolút-értékes egyenlőtlenség-rendszert kell megoldanunk, ahol a paraméter: Keressük először a, azaz az feltételt kielégítő megoldásokat. Ekkor az abszolút érték elhagyható, és a lineáris egyenlőtlenségekhez jutunk. Ezek rendezéssel könnyen megoldhatók: Ezek a nyílt intervallumok esetén teljes egészében a intervallumba esnek, esetben nincs közös pontjuk a intervallummal, esetben pedig a közös rész:. Ennek alapján az feltételt kielégítő megoldások: Második esetként keressük a feltételt kielégítő megoldásokat. Ekkor az abszolút érték úgy hagyható el, hogy a benne szereplő kifejezés ellentettjét vesszük: 6

11 Ezek a lineáris egyenlőtlenség-rendszerek rendezéssel könnyen megoldhatók: Ezek a nyílt intervallumok esetén teljes egészében a intervallumba esnek, esetben nincs közös pontjuk a intervallummal, esetben pedig a közös rész:. Ennek alapján az feltételt kielégítő megoldások: A két esetben kapott megoldások halmazának egyesítése után kapjuk a feladat megoldását: vagy ahol egész szám Közepek Megoldás: a) Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget az alábbi db számra: b) Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget az alábbi db számra: Megoldás: Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget az számokra, továbbá az számokra Megoldás: Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget az számokra, majd használjuk fel az első természetes szám összegére tanult képletet Megoldás: a) Alkalmazzuk a két szám számtani és mértani közepe közti egyenlőtlenséget az alábbi számpárokra: 7

12 b) Alkalmazzuk a három szám számtani és mértani közepe közti egyenlőtlenséget az,, számokra Megoldás: Ha a téglalap oldalait és jelöli, akkor az maximumát keressük az feltételek mellett. Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget az és számokra: Azonban a jobb oldalon álló mennyiség állandó, ezért a bal oldalon álló szorzat akkor és csak akkor veszi fel a legnagyobb értékét, ha a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenségben egyenlőség van, azaz, ha. Az optimális téglalap tehát a oldalú négyzet Megoldás: Jelölje a téglalapnak a folyóval párhuzamos oldalát, a folyóra merőleges oldalát pedig. Keressük az kifejezés maximumát az feltételek mellett. Alakítsuk át az kifejezést, majd alkalmazzuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget az és a számokra: Azonban a jobb oldalon álló mennyiség állandó, ezért a bal oldalon álló szorzat akkor és csak akkor veszi fel a legnagyobb értékét, ha a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenségben egyenlőség van, azaz, ha. Az optimális téglalap oldalai tehát és Megoldás: Jelölje a henger sugarát, magasságát. Keressük az kifejezés minimumát az feltételek mellett. Alakítsuk át az kifejezést, majd alkalmazzuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget az,, számokra: A jobb oldalt átalakítjuk: Látható, hogy a jobb oldalon álló mennyiség állandó, ezért a minimalizálandó kifejezés akkor és csak akkor veszi fel a legkisebb értékét, ha a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenségben egyenlőség van, azaz, ha 8

13 Az optimális edény méretei tehát Megoldás: Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget az számokra, majd rendezzük át a kapott eredményt Megoldás: A bizonyítandó egyenlőtlenséget ekvivalens átalakításokkal az alábbi alakra hozzuk: Végezzük el a bal oldalon a négyzetre emelést, majd rendezzük az egyenlőtlenséget: A jobb oldalon szereplő különbség első tagja átrendezhető az alábbi formára: ugyanis Ennek felhasználásával a bizonyítandó egyenlőtlenség így írható: Ez pedig nyilvánvalóan igaz (négyzetösszeg kiolvasható belőle. ), és az egyenlőségre vonatkozó állítás igazolása is könnyen 9

14 Megjegyzés: A bizonyítás teljesen elemi volt, de mégis kissé bonyolult az összeg átrendezése miatt. A számtani és a négyzetes közép közti egyenlőtlenség lényegesen egyszerűbben igazolható a lineáris algebrában később sorra kerülő Cauchy-egyenlőtlenség alkalmazásával Megoldás: Használjuk fel, hogy esetén, továbbá, ha az számok nem mind egyenlők, akkor ezek között az egyenlőtlenségek között vannak olyanok, amelyek szigorú formában teljesülnek Számhalmazok Megoldás: Mivel, ezért Ebből látható, hogy növelésével a halmaz elemei egyre nagyobbak. Ezért a legkisebb elemet -re kapjuk: Mivel van minimum, ez egyben a halmaz legnagyobb alsó korlátja is:.a halmaz alulról korlátos. Most bebizonyítjuk, hogy a halmaz legkisebb felső korlátja, azaz, hogy. Ez két lépésben történik: először belátjuk, hogy a felső korlát, majd pedig azt, hogy bármely, -nél kisebb szám már nem felső korlát. Az első lépés igazolása egyszerű: mivel, ezért A második lépés igazolásához vegyünk egy tetszőleges számot, és mutassuk meg, hogy a szám nem felső korlátja -nak. Ehhez elegendő egyetlen olyan -beli elem létezését bizonyítani, amely nagyobb, mint : Ezt az egyenlőtlenséget átrendezve kapjuk, hogy Ilyen szám pedig létezik az arkhimédeszi axióma miatt. Mivel találtunk felső korlátot, a halmaz felülről korlátos. Mivel a halmaz minden eleme kisebb, mint, ezért, amiből következik, hogy a halmaznak nincs maximuma: Megoldás: A halmaz alulról korlátos,, továbbá a halmaz felülről korlátos,, maximuma nincs. 10

15 1.34. Megoldás: Mivel ezért Ebből látható, hogy növelésével a halmaz elemei egyre kisebbek. Ezért a legnagyobb elemet -re kapjuk: Mivel van maximum, ez egyben a halmaz legkisebb felső korlátja is:. A halmaz felülről korlátos. Most bebizonyítjuk, hogy a halmaz legnagyobb alsó korlátja, azaz, hogy. Ez két lépésben történik: először belátjuk, hogy az alsó korlát, majd pedig azt, hogy bármely, -nél nagyobb szám már nem alsó korlát. Az első lépés igazolása egyszerű: mivel, ezért A második lépés igazolásához vegyünk egy tetszőleges számot, és mutassuk meg, hogy az szám nem alsó korlátja -nak. Ehhez elegendő egyetlen olyan -beli elem létezését bizonyítani, amely kisebb, mint : Ezt az egyenlőtlenséget átrendezve kapjuk, hogy Ilyen szám pedig létezik az arkhimédeszi axióma miatt. Mivel találtunk alsó korlátot, a halmaz alulról korlátos. Mivel a halmaz minden eleme nagyobb, mint, ezért, amiből következik, hogy a halmaznak nincs minimuma: Megoldás: Vigyázzunk, értéke nem -től, hanem -től indul. A halmaz felülről korlátos,, továbbá a halmaz alulról korlátos,, minimuma nincs Számsorozatok, számsorok 11

16 Számsorozatok és számsorok Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! Vizsgáljuk meg, hogy a sorozat monoton, korlátos, illetve konvergens-e! Írjuk fel az alábbi, képlettel megadott sorozatok első néhány elemét! Vizsgáljuk meg, hogy a sorozat monoton-e, korlátos-e, konvergens-e!

17 Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét: Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét:

18 Vizsgáljuk meg, hogy konvergensek-e az alábbi sorozatok. Ha igen, akkor adjunk meg olyan küszöbindexet, melynél nagyobb indexű elemek (a számsorozatban) az előírt -nál kisebb hibával közelítik meg a határértéket

19 Vizsgáljuk meg, hogy alábbi, -be tartó, sorozatokban milyen küszöbindextől kezdve lesznek a sorozat elemei az adott számnál nagyobbak

20 Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét

21 Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét Határozzuk meg az alábbi rekurzív sorozatok határértékét

22 Számsorok összege Számítsuk ki a következő sorok összegét Írjuk fel közönséges tört alakban az alábbi tizedes törteket: Konvergensek-e az alábbi végtelen sorok?

23

24

25

26 Abszolút- ill. feltételes konvergencia Vizsgáljuk meg, hogy az alábbi végtelen sorok melyik típusba tartoznak: abszolút konvergens, feltételesen konvergens vagy divergens?

27 Alkalmazás: Geometriai feladatok Képezzünk sokszöget egy szabályos oldalú, területű háromszögből a következő rekurzív eljárással: 1. Osszunk minden oldalt egyenlő részre. 2. Minden középső oldal szakaszra illesszünk szabályos háromszöget. 3. Ismételjük ezeket a lépéseket. Az így kapott sokszög az úgynevezett Koch-görbe. Mennyi a Koch görbe kerülete és területe? Egységnyi területű szabályos háromszögbe beírjuk a középvonalai által alkotott háromszöget. Ezután vesszük az eredetivel egyállású részeket es azokba is beírjuk a kozépvonalai által alkotott háromszögeket. Ezt rekurzívan ismételjük. A kapott alakzat a SIERPINSKI háromszög. A középvonalak által alkotott háromszögek összterülete hányadik iteráció után haladja meg a értéket? Mennyi a középvonalak által alkotott háromszögek területeinek összege? Megoldás. Számsorozatok Számsorozat megadása, határértéke 2.1. Megoldás: A sorozat monoton növő (sőt: szigorúan monoton növő). Alulról korlátos, felülről nem korlátos, tehát nem korlátos. Továbbá divergens, -be tart Megoldás: A sorozat monoton fogyó, (sőt: szigorúan monoton fogyó). Alulról is és felülről is korlátos, tehát korlátos. Továbbá konvergens, határértéke: Megoldás: A sorozat monoton növő (sőt: szigorúan monoton növő). Alulról korlátos, felülről nem korlátos, tehát nem korlátos. Továbbá divergens, -be tart.. 23

28 2.4. Megoldás: A sorozat nem monoton. Alulról is és felülről is korlátos, tehát korlátos. Továbbá konvergens, határértéke: Megoldás: A sorozat nem monoton. Alulról is és felülről is korlátos, tehát korlátos. Továbbá divergens, határértéke nincs Megoldás: A sorozat monoton növő, (sőt: szigorúan monoton növő). Alulról is és felülről is korlátos, tehát korlátos. Továbbá konvergens, határértéke: Megoldás: A sorozat nem monoton. Alulról is és felülről is korlátos, tehát korlátos. Továbbá divergens, határértéke nincs Megoldás: A sorozat nem monoton. Alulról is és felülről is korlátos, tehát korlátos. Továbbá konvergens, határértéke:. Megjegyzés. A 2.8 feladatban szereplő sorozat a és a sorozatok "összefésülésével" keletkezett. Mivel páratlan -ekre, páros -ekre pedig ezért olyan törtet kell készítenünk, melynek nevezője, számlálója pedig páratlan -re, páros -re pedig. Könnyen kaphatunk ilyen számlálót: Megoldás: Megoldás:

29 Megoldás: Megoldás: Megoldás:

30 Megoldás: Teljes indukcióval belátható, hogy Ezért Konvergens, Megoldás:, továbbá Tehát olyan küszöböt kell találni, hogy a nála nagyobb -ekre teljesüljön. Ezt az egyenlőtlenséget megoldva kapjuk, hogy, tehát egy jó küszöbindex Konvergens, Konvergens, Ismert tétel alapján. Továbbá, azaz. Mindkét oldal -es alapú logaritmusát véve kapjuk, - a logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt - hogy, amiből. Ezért egy jó küszöbindex. 26

31 2.53. Konvergens, Konvergens, Konvergens, Konvergens, Mivel, ezért jó lesz küszöbindexnek Megoldás: A törtet bőví tve, így a vizsgálandó egyenlőtlenség:. Ebből átrendezéssel kapjuk, hogy Megoldás: Megoldás: Megoldás: A számlálót az ismert összegképletek segítségével tudjuk zárt alakban felírni: 27

32 Ennek alapján Megoldás: Teljes indukcióval belátható, hogy a sorozat monoton növő, és felülről korlátos. Ebből következik, hogy konvergens, vagyis létezik a véges határérték. A sorozatot megadó rekurzív képlet mindkét oldalának határértékét véve kapjuk, hogy Ennek az egyenletnek egyetlen megoldása. Tehát Számsorok összege Megoldás: Mértani sorról van szó,, tehát konvergens. Összegzése az ismert képlet segítségével történik: Megoldás: A sor -edik részletösszege: Az összeg -adik tagját parciális törtekre bontjuk: Ezt behelyettesítjük, majd az összeget átrendezzük: 28

33 Ezután a második szumma indexét eltoljuk úgy, hogy a tagok helyett alakúak legyenek: Végül - mindkét szummából leválasztva a megfelelő tagokat - a közös index tartományon vett összegek kiejtik egymást, s így kialakul zárt alakja: Innen határátmenettel kapjuk a sor összegét: Megoldás: A sor -edik részletösszege: Az összeg -adik tagját parciális törtekre bontjuk: Ezt behelyettesítjük, majd az összeget a 2.85 feladatban látott módon átalakítjuk (átrendezés, index eltolás, leválasztás, kiejtés): 29

34 A sor összege tehát és Divergens Megoldás: Konvergens. Pozitív tagú sor, melyet a konvergens geometriai sor majorál Megoldás: Mivel, tehát a konvergencia szükséges feltétele nem teljesül, ezért a sor divergens Megoldás: A sor divergens, ugyanis a sort tehát a harmonikus sor minorálja, amely divergens Divergens Konvergens Megoldás: Divergens, mert s így a konvergencia szükséges feltétele nem teljesül Megoldás: Konvergens. Pozitív tagú sor, melyet majorál a konvergens geometriai sor Divergens Divergens Divergens Divergens Konvergens Divergens Megoldás: Alkalmazzuk a gyökkritériumot: 30

35 ezért a vizsgált sor konvergens Divergens Divergens Divergens Konvergens Megoldás: Divergens. Ugyanis s így Ez a harmonikus sor viszont divergens Konvergens Konvergens Konvergens Konvergens Divergens Konvergens Konvergens Konvergens Konvergens Konvergens Megoldás: A sor tagjai: Jelölje a sor -edik részletösszegét. A páros indexű részletösszegek: 31

36 amiből látszik, hogy egy konvergens Leibniz-típusú sor részletösszegeinek sorozatával egyenlő. Ezért konvergens, jelöljük a határértékét -sel. A páratlan indexű részletösszegek is -hez tartanak, ugyanis Ezért konvergens, vagyis a vizsgált sor konvergens. Megjegyzés. A fenti feladatban szereplő sor példa olyan esetre, amikor a sor csupán a monotonitás hiánya miatt nem Leibniz-típusú. Ennek ellenére konvergens Abszolút- ill. feltételes konvergencia Konvergens Konvergens Divergens Konvergens Feltételesen konvergens Abszolút konvergens Abszolút konvergens Feltételesen konvergens Megoldás: Vizsgáljuk az részletösszeg-sorozat páros indexű tagjait: Itt alkalmazhatjuk a minoráns kritériumot, ugyanis esetén, s ezt felhasználva továbbá tudjuk, hogy a sor divergens. Ezért az részletösszeg-részsorozat divergens, amiből következik, hogy is divergens. A vizsgált sor tehát divergens. Megjegyzés. A feladatban szereplő sor példa olyan esetre, amikor a sor csupán a monotonitás hiánya miatt nem Leibniz-típusú, és nem is konvergens Alkalmazás: Geometriai feladatok Feltételesen konvergens Feltételesen konvergens. 32

37 Abszolút konvergens Feltételesen konvergens A feladat megoldása a jegyzet I. kötet 52. oldalán található., Megoldás: Mivel a középvonalak által meghatározott háromszög -szeres kicsinyítése a háromszögnek, ezért területe -szerese annak a háromszögének, amelybe beleírjuk. Ennek alapján a középvonalak által meghatározott háromszögek (beszínezett háromszögek) száma és összterülete az alábbi módon adható meg: Az első ábrán db területű háromszög. A második ábrán db, továbbá még db területű háromszög. A harmadik ábrán ugyanaz, mint a második ábrán, továbbá még db területű háromszög. És így tovább, teljes indukcióval megmutatható, hogy az -edik ábrán beszínezett háromszögek összterülete: A mértani sorozat első tagjára vonatkozó képlettel kapjuk, hogy az -edik ábrán beszínezett háromszögek összterülete: A kapott képlet alapján válaszolhatunk a feladat kérdéseire: a) Megoldandó a egyenlőtlenség, azaz: 33

38 Ebből adódik, hogy. Sőt az is látható, hogy esetén egyenlőség van. Tehát a középvonalak által meghatározott háromszögek (beszínezett háromszögek) összterülete a negyedik ábrán éppen értéket először az ötödik ábrán haladja meg., s ezt az b) A középvonalak által meghatározott háromszögek (beszínezett háromszögek) összterülete: ami megegyezik az eredeti háromszög területével. Megjegyzés. A feladatot egyszerűbben is meg tudjuk oldani, ha nem a beszínezett, hanem a fehéren maradt háromszögek összterületét számoljuk. Ez a terület mindegyik ábrán mint az könnyen látható -szerese az előző ábrán lévő fehér területnek. Tehát az -edik ábrán lévő fehér terület:. Ebből következik, hogy a beszínezett terület az -edik ábrán Valós függvények Valós függvények Bevezető feladatok Mivel egyenlő?

39 Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát:

40 Rajzoljuk meg a következő függvények görbéit

41 Határozzuk meg a következő függvények inverz függvényét

42 Határérték Határozzuk meg a következő függvények határértékét az adott pontban

43 Határozzuk meg a következő függvények határértékét az adott pontban

44

45 Határozzuk meg a következő függvények határértékét az adott pontban

46 Függvény deriválás Határozzuk meg a következő függvények deriváltját

47 Határozzuk meg a következő függvények deriváltját

48 Határozzuk meg az alábbi implicit módon megadott ( ) függvények deriváltját Taylor polinom Írjuk fel az alábbi függvényeknek a megadott helyhez tartozó, megadott rendű Taylor polinomját

49 Írjuk fel az alábbi függvények helyhez tartozó, megadott rendű Taylor polinomját Mekkora hibát követünk el, ha az függvény értékét a intervallumon a Taylor polinommal közelítjük? Határozzuk meg az szám értékét két tizedesjegy pontossággal Taylor polinom segítségével! Határérték meghatározása LHospital szabállyal

50 ( rögzített)

51 Síkbeli görbe érintője Határozzuk meg az parabola abszcisszájú pontjához húzott érintőjének egyenletét! Hol metszi az görbe abszcisszájú pontjához húzott érintője az tengelyt? Határozzuk meg az görbének azt a pontját, melyhez tartozó érintő párhuzamos az egyenessel! Határozzuk meg az görbének azokat a pontjait, melyekben az érintő párhuzamos az egyenessel! Bizonyítsuk be, hogy az görbe (ahol adott) bármely pontjához húzott érintője és a koordináta tengelyek által alkotott háromszög területe független az érintési ponttól! Írjuk fel az görbe abszcisszájú pontjához tartozó normálisának egyenletét. (A függvény görbe pontjához tartozó normálisa az az egyenes, amely a ponthoz húzott érintőre merőleges.) Határozzuk meg az implicit alakban adott függvény görbéjének abszcisszájú pontjaiban az érintő és normális egyenletet Keressük meg az görbe azon pontjait, ahol a.) az érintő párhuzamos az tengellyel b.) az érintő az tengely pozitív irányával -os szöget zár be Szélsőérték számítás Határozzuk meg az függvény lokális szélsőértékeit! Határozzuk meg az függvény lokális szélsőértékeit! Keressük meg az függvény a) lokális szélsőértékeit, b) abszolút szélsőértékeit a és a intervallumokon. 47

52 Keressük meg az függvény a.) lokális szélsőértékeit b.) abszolút szélsőértékeit az intervallumon Keressük meg az függvény a.) lokális szélsőértékeit b.) abszolút szélsőértékeit az intervallumon Határozzuk meg az sugarú körbe írt legnagyobb területű téglalapot Határozzuk meg az sugarú gömbbe írt legnagyobb térfogatú hengert Határozzuk meg az sugarú gömbbe írt legnagyobb térfogatú kúpot Határozzuk meg az egy literes, felül nyitott legkisebb felszínű hengert Egyenlő szélességű három deszkából csatornát készítünk. Az oldalfalak milyen hajlásszöge mellett lesz a csatorna keresztmetszete maximális? Határozzuk meg a alkotójú kúpot közül azt, melynek a térfogata legnagyobb Egy szélességű csatornából derékszögben kinyúlik egy szélességű csatorna. A csatornák falai egyenes vonalúak. Határozzuk meg azon gerenda legnagyobb hosszát, amely az egyik csatornából átcsúsztatható a másikba Keressük meg az parabolának azt a pontját, amely a ponttól a legkisebb távolságra van Feltsszük, hogy a gőzhajó energiafogyasztása a sebesség harmadik hatványával egyenesen arányos. Keressük meg a leggazdaságosabb óránkénti sebességet abban az esetben, ha a hajó km/óra sebességű vízsodrással szemben halad Az és pontok ill. távolságra vannak a faltól. Melyik a legrövidebb út -ból -be a falat érintve? m hosszú drótkerítéssel szeretnénk maximális területet közrezárni, miközben csatlakozunk egy már meglevő m hósszú kőfalhoz. Mekkorák lesznek a kert oldalai? 48

53 Keressük meg a ellipszisnek azt a pontját, ami a ponthoz legközelebb illetve legtávolabb van Egy derékszögű háromszög alakú telek egymásra merőleges oldalai m és m. Az ábra szerint ráépített téglalap alapú ház alapterülete mikor lesz maximális? Egy sugarú félkörbe írható téglalapok közül melyik területe maximális? Melyik területe minimális? Egy fapados repülőgépen 300 ülőhely van. Csak akkor indítják a járatot, ha legalább 200 ülőhely foglalt. Ha 200 utas van, akkor egy jegy ára 30e Ft, és minden egyes plusz utas esetén a jegyárak egységesen csökkennek Ft-tal. Hány utas esetén lesz a légitársaság bevétele maximális illetve minimális? Adott területű téglalapok küzül melyik kerülete a minimális? Egy hosszú drótból levágunk egy darabot, négyzetet csinálunk belőle. A maradékot kör alakúra hajlítjuk. Mikor lesz a két alakzat össz-területe maximális? Függvényvizsgálat Vizsgáljuk és ábrázoljuk az függvényt! Vizsgáljuk az alábbi függvényeket Megoldások. Valós függvények Bevezető feladatok

54 , ha Megoldás:, ezért Megoldás:, ezért Megoldás:, ezért Megoldás: A kifejezés azokra az értékekre van értelmezve, melyek esetén a négyzetgyökjel alatti kifejezések nem negatívak, azaz, ha és. Ezt az egyenlőtlenség rendszert megoldva kapjuk, hogy az értelmezési tartomány: Megoldás: A logaritmusfüggvény értelmezési tartománya a pozitív számok halmaza. Ezért függvényünk pontosan az feltételnek eleget tevő valós számokra van értelmezve. Az egyenlőtlenséget megoldva azt nyerjük, hogy az értelmezési tartomány: Megoldás: A logaritmus mögött pozitív számnak kell állnia, ezért. Továbbá a gyökjel alatti számnak nem- negatívnak kell lennie, ezért. E két feltétel együttese pontosan akkor teljesül, ha. Ezért:. 50

55 Racionális törtfüggvényeknél az ábrázolás előtt határozzuk meg, hogy hol lesznek a görbének a koordináta tengelyekkel párhuzamos aszimptotái. Ahol egy törtfüggvénynek a nevezője zérus, ott pólusa van. Itt függőleges aszimptotája van. A vízszintes aszimptota helyét a függvény végtelenben vett határértéke határozza meg. 51

56 52

57 Határérték ha páros, balról, jobbról ha páratlan Megoldás: Az gyöktényezőt a számlálóból és a nevezőből is kiemeljük, majd egyszerűsítünk:

58 Megoldás: Helyettesítsük -et -val. Ekkor és Ha, akkor, tehát Megoldás: helyettesítés alkalmazásával Megoldás: Mivel, ezért a nevező domináns tagjával, azaz -nel egyszerűsítjük a törtet: Megoldás: A számlálót és a nevezőt egyaránt szorozva -el, a kifejezés értéke nem változik. Viszont a számlálóból eltűnik a négyzetgyök jel, és ezt követően a kifejezés egyszerűsíthető -el. Így az ismert összefüggést használtuk ki. Négyzetgyökös kifejezések esetén hasonlóan szoktunk eljárni máskor is. 54

59 Megoldás: Ebben a példában ugyanaz a kifejezés volt a négyzetgyökjel alatt mind a két helyen, tehát az előzőekben említett példa módjára úgy is eljárhattunk volna, hogy helyettesítéssel oldjuk meg a feladatot. Az itt bemutatott módszer azonban általánosabb esetben is alkalmazható Megoldás: Megoldás: Alkalmazzuk az helyettesítést. Ekkor, s ezzel Megoldás: 55

60 3.82. Megoldás: Megoldás: Megoldás: Megoldás: Megoldás: Megoldás: 56

61 Megoldás: Megoldás: Függvény deriválás tehát

62 tehát Megoldás:

63 Megoldás: Mivel, ezért Megoldás: Deriváljuk mindkét oldalt:, innen: Megoldás: Deriváljuk mindkét oldalt: Innen: Megoldás: Deriváljuk mindkét oldalt: Innen átrendezéssel: Megoldás: Vegyük mindkét oldal logaritmusát:. Deriváljuk mindkét oldalt:. Innen azt kapjuk, hogy Megoldás: Megoldás: Mindkét oldalnak a logaritmusát vesszük:. Aztán mint implicit függvényt deriváljuk: Innen átrendezéssel azt kapjuk, hogy 59

64 Taylor polinomok Megoldás: A Taylor polinom képlete szerint: A fenti képletbeli számítások: A derivált Így a keresett polinom: Megoldás: Tehát a keresett polinom: 60

65 Megoldás: Megoldás:. Tehát a keresett polinom: Megjegyzés: Mivel az -ed fokú polinom megegyezik bármely helyen felírt -edfokú Taylor polinomjával, ezért Természetesen ez az azonosság elemi úton is ellenőrizhető Megoldás: Megoldás: Megoldás: Megoldás:. 61

66 . Tehát a keresett polinom: Megoldás:. Tehát a keresett polinom: Megoldás: Megoldás: A felírt polinom hatod fokúnak is tekinthető, ezért az elkövetett hiba 62

67 mert bármilyen esetén, és a feltevés miatt. Ha tehát a -tól radiánig ( ) terjedő szögek sinusát az előbbi ötödfokú polinommal számítjuk ki, akkor a hiba tízezrednél kisebb Megoldás: Az szám két tizedes jegy pontossággal való megközelítése azt jelenti, hogy megkeressük a két tizedes jeggyel felírt tizedes törtek halmazából azt az elemet, amely az számhoz legközelebb esik. Ez a halmaz:. Mivel két ilyen szomszédos tizedes tört távolsága, ezért célszerűnek tűnik, hogy az számot először pontossággal közelítsük meg racionális számmal, majd ebből próbáljuk meg kikövetkeztetni, hogy az említett "százados" skálán melyik elem esik hozzá legközelebb. Az számot az függvény helyen vett helyettesítési értéke adja. Ezért a feladat most olyan keresése, melyre A Taylor-formulát esetén alkalmazva kapjuk, hogy van olyan szám, melyre A, becsléseket alkalmazva kapjuk, hogy ezért elég megoldani a egyenlőtlenséget. Ez az egyenlőtlenség egyenértékű azzal, hogy amiből kiolvasható, hogy. Nézzük tehát pl. az esetet: Rendezzük át az (1) becslést: majd alkalmazzuk -re: Ebből már látható, hogy a "százados" skálán az számhoz a tizedes tört esik legközelebb, tehát az szám két tizedes jeggyel felírt közelítő értéke: Határérték meghatározása LHospital szabállyal Megoldás: 63

68 Megoldás: Megoldás: Megoldás: Megoldás: Itt felhasználtuk, hogy 64

69 Síkgörbe érintője Megoldás: Az érintő egyenlete Példánkban,,. Az érintő egyenlete azaz Megoldás: Az érintő egyenlete Az tengelyt ott metszi, ahol. Ebből. Az érintő az origón megy keresztül Megoldás: Az érintő iránytangense megegyezik az egyenes meredekségével.. Innen. Tehát a keresett pontok: Megoldás: A normális meredeksége. Innen az érintő egyenlete: Megoldás: Keressük meg először a jelzett pontokat. Az értéket beírjuk a függvénybe:. Innen. Három értéket találunk:, ezért a megfelelő pontok 65

70 A derivált Érintő egyenesek: Normális egyenesek: Megoldás:, ezt felhasználva: a), amiből vagy. A keresett pontok:,. b) -os bezárt szög esetén az érintő meredeksége, ezért megoldandó az egyenlet. Ennek gyökei,. Tehát a keresett pontok:, Szélsőérték számítás Megoldás: A függvénynek lokális szélsőértéke ott lehet, ahol az első derivált zérus. Ha ezen a helyen az első el nem tűnő derivált páros rendű, akkor van lokális szélsőérték. Ha ez a derivált az adott pontban pozitív, akkor lokális minimum van, ha negatív, akkor lokális maximum van., ezért és. ha, azaz, lokális minimum van., lokális maximum van Megoldás: Mivel mindenütt pozitív, akkor lehet, ha ill.,, tehát ezt a helyet tovább kell vizsgálni., tehát ezeken a helyeken a függvénynek lokális maximuma van. Vizsgáljuk az helyet. ;, tehát a függvénynek az helyen van lokális szélsőértéke: lokális minimuma van. -nál és -nél. 66

71 Megjegyzés: természetesen kereshetjük a lokális szélsőérték helyeket a függvény monotonitásának vizsgálatával is Megoldás: a) monotonitását vizsgáljuk, s ebből következtetünk a keresett szélsőérték helyekre. A derivált, melynek zérushelyei:,. Ennek alapján a függvény monotonitása: a a a intervallumon: szigorúan nő, intervallumon szigorúan csökken, intervallumon. szigorúan nő. Emiatt az helyen lokális maximuma van, melynek értéke:, és az helyen lokális minimuma van, melynek értéke:. b) A intervallumon vegyük figyelembe, hogy a intervallumon szigorúan nő, az intervallumon pedig szigorúan csökken. Emiatt abszolút maximuma az helyen felvett, abszolút minimuma pedig. A nyílt intervallumon - a monotonitás alapján - az helyen van abszolút maximum, abszolút minimum pedig nincs Megoldás: Lokális szélsőértékek:, ha és, ha. Abszolút szélsőértékek -n: abszolút minimum -nél, abszolút maximum -nél és -nél Megoldás: Lokális szélsőérték:, ha. Abszolút szélsőérték -en: abszolút minimum -nél, abszolút maximum -nél Megoldás: Jelöljük a négyszög alapját -el, magasságát -el, akkor a terület. 67

72 Ekkor, ahonnan.így. A kapott függvény maximumát kell keresnünk. Egyszerűsítést jelenthet, ha a terület-függvény helyett annak négyzetét tekintjük. -nek ugyanott van maximuma, ahol -nek: A maximális területű négyszög négyzet, és Megoldás: Legyen a henger sugara, magassága., ha, Megoldás: Legyen a kúp alapkörének a sugara, magassága. Vezessük be az ábrán jelzett -et. Ezzel a kúp sugara és magassága is kifejezhető. ;,., ha,. 68

73 Megoldás: A feladat megoldásában segít az ábra: Megoldás: A feladat megoldásában segít az ábra:., ha, Megoldás: A feladat megoldásában segít az ábra: 69

74 , ha Megoldás: Egy óra alatt a hajó km-nyi utat tesz meg felfelé. Ez alatt a fogyasztása ( konstans arányossági tényező). A költséget az egy km megtételéhez felhasznált energiával mérhetjük. A hajózás akkor a leggazdaságosabb, ha egy km út felfelé való megtételéhez a legkevesebb energia szükséges. A költség minimumát a költségfüggvény minimuma adja. A leggazdaságosabb sebesség: Minimális távolság esetén Megoldás: Maximális terület, ekkor m, m. A minimális terület (egyenes vonal) Megoldás: Jelölje az ellipszis egy pontját. Ekkor és távolsága: Ennek minimumát és maximumát keressük a feltétel mellett. Nyilvánvaló, hogy és szélsőérték-helyei ugyanott vannak, ezért szélsőérték-helyeit fogjuk keresni. A feltételi egyenletből kifejezzük -et, majd behelyettesítjük képletébe: Keressük tehát az függvény abszolút szélsőértékeit a intervallumon. A intervallumhoz úgy jutunk el, hogy a feltételi egyenlet átrendezésével, amiből, azaz adódik. Weierstrass tétele alapján tudjuk, hogy a keresett szélsőértékek léteznek. Keressük meg a derivált zérushelyét:, ennek egyetlen megoldása. Ez benne van a intervallumban. Így: 70

75 Ennek alapján a -hez legközelebbi pontok (2 ilyen van): és, a legtávolabbi pont pedig A ház oldalainak hossza m és m A maximális területű téglalap oldalai és. A minimális területű téglalap a degenerált eset: egyetlen vonal Megoldás: Legyen a bevétel, ha utas van. A fölöttiek száma, ezért a jegyek ára ennyivel csökken, tehát darabonként. Ezért az összes jegy ára: Az egyenlet megoldása, így a potenciális szélsőérték helyek:. A megfelelő függvényértékek: Maximális a bevétel utas esetén, és minimális utas esetén. (A feladat csupán elméleti...) Négyzet Az egész drótból kört hajlítunk Függvényvizsgálat Megoldás: Értelmezési tartomány:. A zérushelyeket az egyenlet megoldásával kapjuk:. Határértékek: (LHospital-lal),. Monotonitás, szélsőérték:. Ennek egyetlen zérushelye van:. A deriváltfüggvény előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: a intervallumon csökken, az intervallumon nő. Az helyen abszolút minimuma van. A minimum értéke:. 71

76 Konvexitás, inflexiós pontok:. Ennek egyetlen zérushelye van:. előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: a intervallumon konkáv, az intervallumon konvex. Az helyen inflexiós pontja van. A függvény grafikonja: Értékkészlet: maximum, minimum, inflexió Megoldás: Értelmezési tartomány:, a függvény páratlan. Azérushelyeket az egyenlet megoldásával kapjuk:. Határértékek:. Monotonitás, szélsőérték:. Ennek zérushelyei:,. A deriváltfüggvény előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: a intervallumon csökken, a intervallumon nő, az intervallumon csökken. Az helyen lokális minimuma, az helyen lokális maximuma van. A lokális minimum értéke, a lokális maximum értéke. Konvexitás, inflexiós pontok:. Ennek három zérushelye van:,,. 72

77 előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: a és a intervallumokon konkáv, a és a intervallumokon konvex. Az,, helyeken inflexiós pontja van. Aszimptota az -tengely. A függvény grafikonja: Értékkészlet:. Az helyen abszolút minimuma, az helyen abszolút maximuma van Megoldás: Értelmezési tartomány:, a függvény páratlan. A zérushelyeket az egyenlet megoldásával kapjuk. Ennek az egyenletnek azonban nincs valós gyöke, tehát a függvénynek nincs zérushelye. Határértékek:,,,. Monotonitás, szélsőérték:. Ennek zérushelyei:,. A deriváltfüggvény előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: a intervallumon nő, a intervallumon csökken, a intervallumon csökken, az intervallumon nő. Az helyen lokális maximuma, az helyen lokális minimuma van. A lokális maximum értéke, a lokális minimum értéke. Konvexitás, inflexiós pontok:. Ennek nincs zérushelye. előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: a intervallumon konkáv, a intervallumon konvex. Inflexiós pontja nincs. Aszimptota az egyenes. A függvény grafikonja: 73

78 Értékkészlet:. Abszolút szélsőértékei nincsenek Megoldás: Értelmezési tartomány:, a függvény páros. Zérushely nincs, mivel bármely esetén. Határértékek:. Monotonitás, szélsőérték:. Ennek egyetlen zérushelye van:. A deriváltfüggvény előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: a intervallumon nő, a intervallumon csökken. Az helyen abszolút maximuma van. A maximum értéke:. Konvexitás, inflexiós pontok:. Ennek két zérushelye van:,. előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: a és az intervallumokon konvex, a intervallumon konkáv. Az A függvény grafikonja:, helyeken inflexiós pontja van. 74

79 Értékkészlete a intervallum Megoldás: minimum, maximum, inflexió nincs, aszimptotája az egyenes. A és szakaszokon növekvő, és szakaszokon csökkenő Megoldás: Értelmezési tartomány:. Zérushelyek: az egyenlet megoldásával kapjuk, hogy Kapcsolat az exponenciális függvénnyel: az egyenlet megoldásával kapjuk, hogy, azaz. Könnyű kiszámolni, hogy az pontokban és deriváltja azonos. E két összefüggés azt jelenti, hogy az pontokban grafikonja érinti az függvény grafikonját. Hasonlóan, az egyenlet megoldásával kapjuk, hogy az pontokban grafikonja érinti az függvény grafikonját. Szemléletesen: "be van szorítva" és közé. Határértékek: Mivel, ezért. A -ben viszont -nek nincs határértéke, mivel Monotonitás, szélsőérték:. Ennek zérushelyei:. A deriváltfüggvény előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: a intervallumokon csökken, a intervallumokon nő. Az helyeken lokális maximuma, az helyeken lokális minimuma van. Konvexitás, inflexiós pontok:. Ennek zérushelyei:. előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: a intervallumokon konkáv), a intervallumokon konvex, az helyeken inflexiós pontja van. Vegyük észre, hogy az inflexiós pontok éppen azok a helyek, ahol az függvényhez. "hozzáér" az exponenciális Értékkészlete:. 75

80 5. 4 Integrálszámítás Integrálszámítás Határozatlan integrál Elemi függvények

81 Helyettesítés

82

83 Parciális integrálás Racionális törtfüggvények

84

85 Trigonometrikus függvények

86

87 Hiperbolikus és exponenciális kifejezések Gyökös kifejezések

88

89 Határozott integrálok. Vegyes feladatok

90

91 Improprius integrálok Számítsuk ki az alábbi improprius integrálok értékét! ]

92

93 Az integrálszámítás alkalmazásai 89

94 Területszámítás Határozzuk meg a függvények gráfjai alatti területet, és ábrázoljuk a függvényeket Határozzuk meg értékét úgy, hogy az görbe alatti terület -tól -ig terjedő része -gyel legyen egyenlő! Határozzuk meg értékét úgy, hogy az görbe alatti terület -től -ig terjedő része -mal legyen egyenlő! Határozzuk meg értékét úgy, hogy az alatti terület -tól -ig terjedő része - del legyen egyenlő! Határozzuk meg a következő görbék közötti területet és ábrázoljuk is a görbéket. 90

95 és és és és és és és és és Végezzük el az alábbi területszámításokat Határozzuk meg az parabola és ennek az abszcisszájú pontjaihoz húzott érintői közötti területet! Határozzuk meg az parabola, és ennek az és pontjában húzott érintői közötti területet! Határozzuk meg az hiperbola, és a pontra illeszkedő, egyenesre merőleges egyenes által határolt síkidom területét Határozzuk meg az hiperbola, az és az (ahol adott) egyenes által határolt síkidom területét! Ábrázoljuk is a szektort! Görbe ívhossza Határozzuk meg az függvények görbéjének ívhosszát a megadott határok között

96 Forgástestek térfogata Forgassuk meg a következö görbéket az tengely körül, és határozzuk meg a keletkező forgásfelületek és a megadott intervallumok végpontjaiban az tengelyre állított merőleges síkok határolta térrész térfogatát Integrálszámítás. Megoldások Határozatlan integrál Elemi függvények Megoldás: 92

97 Megoldás: 4.6. Megoldás: 4.7. Megoldás: 4.8. Megoldás: 4.9. Megoldás: Megoldás: Megoldás: 93

98 Helyettesítés Megoldás: Végezzük el az helyettesítést, ezzel : Végezzük el az helyettesítést. Ekkor, és így Megjegyzés: Az ilyen integrálokat célszerű annak az összefüggésnek a felhasználásával kiszámítani, hogy ha akkor Például: tehát 94

99 A továbbiakban ezt az eljárást alkalmazzuk valahányszor a belső függvény -nek lineáris függvénye Megoldás: Megoldás: Megoldás: Megoldás közben azt az összefüggést használtuk fel, hogy, ill.. Ezért Megoldás: Megoldás: Megoldás: Az integrálban helyettesítést végeztük el, ekkor. 95

100 Megoldás: A használt helyettesítés:, ekkor Megoldás: A használt helyettesítés:, ekkor Megoldás: A használt helyettesítés:, ekkor Megoldás: Azt látjuk, hogy -vel való szorzás után a számláló a nevező deriváltja, tehát a kifejezés integrálja a nevező alapú logaritmusával egyenlő. Ezt a szabályt jól tanuljuk meg és az ilyen esetekben mellőzzük a helyettesítést, bár ez az előzőek egy speciális esete. (Most is alkalmazhattuk volna az helyettesítést.) Megoldás: A használt helyettesítés ekkor Megoldás: Megoldás: 96

101 Felhasználtuk, hogy Megoldás: A használt helyettesítés, ekkor Megoldás: A használt helyettesítés:, ekkor Megoldás: Ilyen esetekben az integrálandó függvényt két függvény összegére bontjuk. Az egyik függvénynél a számláló a nevező deriváltjának konstansszorosa legyen, a másik függvénynél pedig a számláló már csak egy konstans, melyet az integrál jel elé is kivihetünk. Tehát

102 Parciális integrálás Megoldás: Megoldás: ahol helyettesítéssel Megoldás: helyettesítéssel, majd parciális integrálással: Megoldás: Megoldás: A linearizáló formulát alkalmazzuk, majd kétszer parciálisan integrálunk. Az eredmény: Megoldás: ahol a parciális integráláskor, és Így Felhasználtuk, hogy Megoldás: 98

103 A használt helyettesítés:, ekkor Megoldás: Két parciális integrálást kell elvézgezni: Megoldás:, válsztással egy parciális integrálást végzünk, ekkor és ezért Újabb parciális integrálást végzünk választással, ekkor Megoldás: Kétféleképpen végezzünk parciális integrálást: ahol Másrészt ahol 99

104 Szorozzuk meg (2)-et néggyel, (3)-t pedig kilenccel és vonjuk össze az így adódó kifejezések jobb- illetve bal oldalát. Végül 13-al való osztás után nyerjük, hogy: Megoldás: ahol, azaz helyettesítéssel Így olyan alakra jutottunk, melyet parciálisan lehet integrálni, éppen az előző példában is bemutatott módszerrel. A parciális integrálást elvégezve adódik, hogy tehát Megoldás: Ha a másodfokú nevezőjű törtfüggvény nevezője tényezők szorzataként írható fel, akkor a tört lineáris nevezőjű törtek összegére bontható. Annak érdekében, hogy ezt a felbontást elvégezhessük a nevezőt egyenlővé tesszük 0-val és megoldjuk az így nyert egyenletet, mert ennek az egyenletnek a gyöktényezői lesznek a szorzat alakban felírt nevező tényezői. Az egyenlet gyökei:,, azaz Most már ismerjük a keresett lineáris tört-függvények nevezőit, határozzuk még a számlálókat, melyek lineáris nevező esetén konstansok. Jelöljük ezeket -val és -vel, akkor Azonosságot írtunk, mert olyan és értéket keresünk, melyek mellett az egyenlőség minden -re fennáll. Mivel a nevezők azonosan egyenlők az azonosságnak a számlálókra is fenn kell állni, azaz Az azonosság nyilván fennáll, ha az -es tagok együtthatója mind a két oldalon egyenlő ugyanúgy, mint a konstansok. Ez azonban két egyenletet szolgáltat, melyekből és kiszámítható. 100

105 A kapott értékeket behelyettesítve Ezért az integrál Megoldás: Az egyenletnek nincsenek valós gyökei, tehát nem bontható tényezők szorzatára. Bntsuk fel a törtet két tört összegére, melynek nevezője közös (a régi nevező), az egyik számlálója a nevező deriváltjának valami konstans-szorosa, a másiké pedig konstans. A nevező deriváltja tehát a számlálókat a következő alakban keressük és értékét a következő feltételekből határozhatjuk meg: Most is két egyenletet írhatunk fel, melyekből és meghatározható. ezekből Így az integrált két integrál összegére bontottuk: Az első integrál eredménye ismert, hiszen a számláló a nevező deriváltja. A másodikat pedig teljes négyzetté való átalakítással vezetjük vissza ismert feladatra. ezért Tehát a megoldás: 101

106 4.67. Megoldás: számlálója magasabb fokú mint a nevezője, ezért felbontható egy polinom és egy valódi tört összegére. A polinom osztás eredménye: tehát Az első integrál kiszámítása nem okoz gondot. A második meghatározásához a törtet részlet-törtek összegére kell bontanunk. A nevezőt most minden különösebb számítás nélkül fel tudjuk írni szorzat alakjában tehát Ennek alapján felírhatjuk az egyenletrendszert, melyből, és kiszámítható: és innen Megjegyezzük, hogy ilyen esetekben, amikor a gyökök mind különbözőek, általában gyorsabban kapjuk az ismeretlen,, értékeket, ha a számlálók egyenlőségét kifejező egyenletben helyére a gyököket helyettesítjük. Példánkban az kifejezésben helyébe zérust írva azonnal nyerjük, hogy azaz. -nél, innen. Végül -nél, azaz, tehát 102

107 A keresett megoldás: Megoldás: Könnyen meggyőződhetünk róla, hogy a nevező négy különböző tényező szorzatára bontható. Ezután a feladat az előzőhöz hasonlóan oldható meg. De munkát takaríthatunk meg az helyettesítéssel. Ekkor ugyanis és Megoldás: Megoldás: kifejezést polinomjaként felírva (pld. előállítjuk az helyhez tartozó Taylor polinomját, lásd, 401. példát). adódik, azaz = 103

108 (Természetesen úgy is eljárhattunk volna, hogy a részlet-törtekre bontást a többszörös gyököknek megfelelően végeztük volna el alapján) Megoldás: Többszörös gyökök esetén a gyöktényező a multiplicitásnak megfelelő számossággal szerepel a nevezőben az egytől a multiplicitásnak megfelelő hatványig. Elsőfokú gyöktényező esetén a számláló konstans. Ugyanis ebben a példában a háromszoros, pedig kétszeres gyök. Egyenletrendszerből Megoldás: Megoldás: Másodfokú gyöktényező esetén a számláló elsőfokú! azonosságból írható fel az egyenletrendszer, melyből,,,, és meghatározható. 104

109 Tehát Megoldás: Megoldás: Megoldás: 105

110 alapján végezzük a részlet-törtekre bontást és nyerjük: Megoldás: A nevező tényezőkre bontását a következőképpen végezhetjük el: A rész törtekre való bontás vázlata Az eredmény: Megoldás: A feladat első pillanatra azonos jellegű az előzővel. Meg is oldható annak alapján, de gondosabb vizsgálat után kiderül, hogy speciális tulajdonságai figyelembe vételével sokkal egyszerűbben is megoldható. Az első integrált helyettesítéssel hozhatjuk még egyszerűbb alakra (lásd a feladatot), a második pedig máris integrálható, mert a számláló a nevező deriváltjának a negyede Megoldás: Többszörös komplex gyök esetén javasolható a helyettesítés. 106

111 Megoldás: Páratlan kitevő esetén helyettesítéssel oldhatjuk meg a feladatot Megoldás: Páros kitevő esetén a linearizáló formula alkalmazását javasoljuk. Az első integrálban újból alkalmaztuk a linearizáló formulát, így került 107

112 helyébe A második integrálban pedig már páratlan kitevőn szerepel trigonometrikus függvény, tehát az az előző példa mintájára megoldható. Az eredmény: Megoldás: Megoldás: Megoldás: Megoldás: Alkalmazzuk a helyettesítést, akkor Megoldás: Itt is válogathatunk a megoldási módszerek között. Alkalmazhatjuk a 108

113 helyettesítést, akkor De ugyanúgy használhatjuk fel a páratlan kitevőjű jellegét is. Megfelelő átalakítások után az eredmény ugyanolyan alakra bontható: Megoldás: Megoldás: Ha -nek és -nek csak páros kitevőjű hatványai és fordulnak elő, akkor (bár a helyettesítés akkor is alkalmazható) előnyösebb a helyettesítés alkalmazása Megoldás: Tehát helyettesítés esetén 109

114 4.96. Megoldás: Megoldás: Megoldás: (A linearizáló formula segítségével függvényeként írhatjuk fel az integrálandó függvényt. Ezáltal a feladat nagymértékben egyszerűsödik.) Megoldás: Megoldás: Nem típus feladat, de és összefüggések felhasználásával egyszerű megoldást nyerünk Megoldás: A hiperbolikus függvények integrálását sok esetben, - mint pl. most is - a trigonometrikus integrálhoz hasonlóan végezzük el. (Megemlítjük azonban, hogy a hiperbolikus függvények racionális függvényeinek az integrálása mindig visszavezethető racionális függvényének az integrálására. A célszerűség dönti el, hogy mikor melyik utat választjuk.) 110

115 Megoldás: Megoldás: A aznonosság felhasználásávalazt kapjuk, hogy Megoldás: Az előző példa alapján nagyon egyszerűen kapjuk az eredményt a következő átalakítás után: Alternatív megoldás, ha helyébe kifejezést írunk, vagy ha -el való szorzás és osztás után integrálására alkalmazzuk az helyettesítést Megoldás: összefüggés alapján Megoldás: Megoldás: 111

116 Megoldás: A parciális integrálás alkalmazható, de a megoldás ilyen módon sokkal hosszabb, mintha -et -el fejezzük ki, ezért ezt a megoldást ajánljuk hasonló esetekben is Megoldás: Megoldás: Megoldás: A feladatot kisebb lépésekben kétszeri helyettesítéssel is megoldhatjuk. Előbb, majd pedig helyettesítést alkalmazva racionális törtfüggvény integrálására vezetjük vissza. 112

117 Természetesen rövidebb lesz a megoldás (és azért általában így is járunk el), ha a két helyettesítést összevonva egy megfelelő helyettesítést alkalmazunk. (A folytatás azonos.) Megoldás: A gyökkitevők legkisebb közös többszöröse lesz a helyettesítendő kifejezés gyökkitevője Megoldás: Megoldás: 113

118 Megoldás: helyettesítéssel a gyökjel alatt már lineáris kifejezés lesz, tehát így sikerült a feladatot az előzőkben tárgyalt típusra visszavezetni. Az eljárás azért alkalmazható a jelen esetben, mert a számlálóban áll, ami így írható. Itt helyébe, helyébe pedig írható. Gyakorlásként oldjuk meg a feladatot ilyen bontásban is. Tekintettel azonban arra, hogy az így nyert integrált egy újabb helyettesítéssel racionalizáljuk, joggal merül fel az az igény, hogy lehetőleg egyetlen helyettesítéssel oldjuk meg a feladatot. Ez lehetséges Megoldás: Megoldás: Megoldás: 114

119 A gyökjel alatti kifejezés az hely kivételével (amikor is ) mindenütt negatív, ezért belőle négyzetgyök nem vonható. Az integrálandó függvény tehát sehol nincs értelmezve (még az nevező ). helyen sem, mert ott a Megoldás: A visszahelyettesítéshez egyrészt kifejezésből felírjuk, hogy másrészt -t kifejezzük -val, mert helyébe írható tehát Megoldás: 115

120 Megoldás: Megoldás: Megoldás: Megoldás: Megoldás: Megoldás: Határozott integrálok. Vegyes feladatok 116

121

122 Improprius integrálok Megoldás: Megoldás: Mivel, ezért a fenti integrál divergens Divergens Divergens Megoldás: tehát divergens Megoldás: 118

123 Megoldás: tehát az integrál divergens Nem konvergens Az integrálszámítás alkalmazásai

124 Megoldás:

125 A metszéspontok abszcisszái:,

126 Megoldás: Differenciálegyenletek Differenciálegyenletek Szeparábilis differenciálegyenletek 5.1. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a). b). c) Határozzuk meg a differenciálegyenletnek a ponton átmenő partikuláris megoldását Oldjuk meg az alábbi szétválasztható változójú differenciálegyenleteket. 122

127 Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenleteknek azt a partikuláris megoldását, mely az adott kezdeti feltételeket kielégíti

128 5.25. Határozzuk annak a görbeseregnek az egyenletét, melyben mindegyik görbéjére fennálla k ovetkező tulajdonság: bármely koordinátájú pontjához tartozó normálisának az tengelyig terjedő darabja ugyanakkora, mint a pontnak az origótól mért távolsága Mi az egyenlete annak a görbének, melyben a görbe alatti terület az és abszcisszájú pontok között arányos a pontok közötti görbék hosszával? Határozzuk meg azokat a görbéket, amelyeknél a szubtangens hosszúsága egy rögzített állandóval egyenlő Határozzuk meg azokat a görbéket, amelyeknél a szubnormális állandó Lineáris differenciálegyenletek Oldjuk meg az inhomogén lineáris differenciálegyenlet Határozzuk meg az differenciálegyenlet általanos megoldását. Adja meg a ponton áthaladó partikuláris megoldást Írjuk fel az differenciálegyenletnek a ponton átmenő megoldását Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket:

129 Számítsuk ki az alábbi differenciálegyenleteknek az adott kezdeti feltételeket kielégítő megoldását: Differenciálegyenletek. Megoldások Szeparábilis differenciálegyenletek 5.1. Megoldás: a) A differenciálegyenlet általános megoldása az görbesereg. A megoldásfüggvények grafikonja (az ún. integrálgörbék) olyan parabolák, melyek tengelye az esik egybe. tengellyel c) Az általános megoldás: 125

130 Néhány integrál görbe grafikonja: 5.2. Megoldás: A változókat szétválasztva: Az egyenlőség jobboldalán álló integrálban a számláló a nevező deriváltja, ezért: A baloldalon helyettesítéssel számolunk. Ekkor s így: Innen a számolás lépései: Ez a differenciálegyenlet általános megoldása. Válasszuk ki ezek közül a keresett partikuláris megoldást! Mivel ponton áthaladó megoldást keresük, kell legyen. 126

131 Azaz: Az egyenlőség mindkét oldalának cosinusát véve: innen: azaz és így

132 a.), b.) Megoldás: A feladatnak megfelelő ábrából leovlasható, de az adott feltételekből is következik, hogy: Tehát Másrészt: Ezek felhasználásával a görbesereg differenciálegyenlete: A változókat szétválasztva: 128

133 Az integrálgörbék olyan hiperbolák, melyeknek valós tengelye az tengely Megoldás: Legyen a görbe íve az és abszcisszák között. A görbe alatti terület az ívhossz pedig Ha a görbe alatti terület arámyos az ívhosszal, akkor fennáll: Az egyenlőség mindkét oldalát szerint differenciálva, az differenciálegyenlethez jutunk. A változókat szétválasztva és integrálva: Megoldva -ra: 129

134 Ez a differenciálegyenlet általános megoldása, ezenkí vül partikuláris megoldás az adódó is. egyenletből Lineáris differenciálegyenletek Megoldás: Az differenciálegyenlethez tartozó homogén differenciálegyenlet: Ezt a változók szétválasztásával oldjuk meg: azaz A homogén differenciálegyenlet általános megoldása: Az inhomogén differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását az állandó variálás módszerével állítjuk elő: Behelyettesítük az inhomogén differenciálegyenletbe: Innen: ezután szorzunk az kifejezéssel:. Az egyenlőség mindkét oldalát integrálva, így: A keresett általános megoldás a homogén egyenlet általános megoldásának és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának az összege: Megoldás: A homogén egyenlet megoldása: 130

135 A homogén egyenlet általános megoldása tehát Az inhomogén egyenlet megoldása állandók variálásával: Behelyettesítve a differenciálegyenletbe: Mivel tehát A differenciálegyenlet általános megoldása: ponton áthaladó megoldást úgy kaphatunk, ha az általános megoldásban a módon határozzuk meg: állandót megfelelő Innen: Tehát a partikuláris megoldás: 131