2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

Átírás

1 . fejezet Számsorozatok, számsorok

2 .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk meg, hogy a sorozat...., 4, 9, 6,... 4, 9, 3 6, 4 5, ,, 5, 8,...,, 3, 4, ,,,,,... 0, 9; 0, 99; 0, 999; 0, 9999;....7., 3, 5 3, 7 4,....8., 3,, 3 4,, 4 5,... Írjuk fel az alábbi, képlettel megadott sorozatok első éháy elemét! Vizsgáljuk meg, hogy a sorozat mooto-e, korlátos-e, koverges-e!.9. a = 3.0. a = ).. a = a = 3.3. a = 3.4. a = 4 Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét:.5 a = a =

3 .7 a = a = a = a = a = a = a = + 5 Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét:.4 a = +.5 a = +.6 a = a = + ).8 a = a = a = a = + )3 ) 3 + ) + ) + )! + + )!.3 a = + 3)!.34 a = a = ).35 a = a = a = ) + ).38 a = ) a = ).4.39 a = a = ) + ) 3

4 .4 a = a = a = a = a = a = Vizsgáljuk meg, hogy kovergesek-e az alábbi sorozatok. Ha ige, akkor adjuk meg olya N = Nε) küszöbidexet, melyél agyobb idexű elemek a számsorozatba) az előírt ε-ál kisebb hibával közelítik meg a határértéket a = ε = 0 3 a = + ε = a = ε = 0 4 a = + ) ε = a = ε = 0 a = 3 + ε = a = ε = 0 4 a = + 4 ε = 0.56 a = ε = 0 3 Vizsgáljuk meg, hogy alábbi, + -be tartó, sorozatokba milye N = NK) küszöbidextől kezdve leszek a sorozat elemei az adott K számál agyobbak a = K = 0 6 a = + K =

5 a = K = 0 30 a = 3 + K = 0 0 Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét a = ).64 ) + a =.66 ) + a = a = a = a =.68 + ) ) ) 3+ + a = a = a = a = a = a = ) ) + ) + ) ) ) a = ).74 a = + ) 5

6 .75 a = [ + ) ].76 a = ) a = + + ) a = ) 3 Határozzuk meg az alábbi rekurzív sorozatok határértékét..79 a = 4 + a, a 0 = 0.80 a =.8 a + = + a, a 0 = + a, a 0 = 0.8 a + = a + 4, a 0 = 4... Számsorok összege Számítsuk ki a következő sorok összegét =0 ).84 3 = = = k =0 =6 = = k ) ), k R rögz..9 Írjuk fel közöséges tört alakba az alábbi tizedes törteket: s = t = Kovergesek-e az alábbi végtele sorok? 6

7 .9.93 = =.94 =.95 ) = = = si + ) = = =.0 + ) =0 3.0 = si =.04 = 5!.05 = = ) + = 3 7

8 .08 = 3.09 = l.0. ) = 3 4 ) 3 =3. = l.3 =!) )! ) + = + = + ) + ) = = ) + ) + ) + ) k= si k kk + ) 8

9 .0. ) k=0 si kπ k ) 4 =. a k ahol a k = k= k + k ha k páratla ha k páros.3 = + ) + )..4 = + 3).5 ) + = ).6 = ) + )!..3. Abszolút- ill. feltételes kovergecia Vizsgáljuk meg, hogy az alábbi végtele sorok melyik típusba tartozak: abszolút koverges, feltételese koverges vagy diverges?.7 =0 ) +.8 =0 ) 3 + 9

10 .9 =0 ) = ) = ) l.33 = si π ).34 = si π ).35 ) =..4. Alkalmazás: Geometriai feladatok.36 Képezzük sokszöget egy szabályos a oldalú, T területű háromszögből a következő rekurzív eljárással:. Osszuk mide oldalt 3 egyelő részre.. Mide középső oldal szakaszra illesszük szabályos háromszöget. Ismételjük ezeket a lépéseket. Az így kapott sokszög az úgyevezett Koch-görbe. Meyi a Koch görbe kerülete és területe?.. ábra. A Koch görbe kostrukciójáak lépése. 0

11 .37 Egységyi területű szabályos háromszögbe beírjuk a középvoalai által alkotott háromszöget. Ezutá vesszük az eredetivel egyállású részeket es azokba is beírjuk a kozépvoalai által alkotott háromszögeket. Ezt rekurzíva ismételjük. A kapott alakzat a SIERPINSKI háromszög. A középvoalak által alkotott háromszögek összterülete háyadik iteráció utá haladja meg a 75/56 értéket? Meyi a középvoalak által alkotott háromszögek területeiek összege?.. ábra. A Sierpieski háromszög kostrukciójáak lépése.

12 .. Megoldás. Számsorozatok... Számsorozat megadása, határértéke. A sorozat mooto övő sőt: szigorúa mooto övő). Alulról korlátos, felülről em korlátos, tehát em korlátos. Továbbá diverges, + -be tart. a =.. A sorozat mooto fogyó, sőt: szigorúa mooto fogyó). Alulról is és felülről is korlátos, tehát korlátos. Továbbá koverges, határértéke: 0. a = + )..3 A sorozat mooto övő sőt: szigorúa mooto övő). Alulról korlátos, felülről em korlátos, tehát em korlátos. Továbbá diverges, + -be tart. a = A sorozat em mooto. Alulról is és felülről is korlátos, tehát korlátos. Továbbá koverges, határértéke: 0. a = ) +..5 A sorozat em mooto. Alulról is és felülről is korlátos, tehát korlátos. Továbbá diverges, határértéke ics. a = )..6 A sorozat mooto övő, sőt: szigorúa mooto övő). Alulról is és felülről is korlátos, tehát korlátos. Továbbá koverges, határértéke:. a = 0 +)..7 A sorozat em mooto. Alulról is és felülről is korlátos, tehát korlátos. Továbbá diverges, határértéke ics. a = ) +..8 A sorozat em mooto. Alulról is és felülről is korlátos, tehát korlátos. Továbbá koverges, határértéke:. Megjegyzés. A.8 feladatba szereplő a ) sorozat a b = ) és a c = + ) + sorozatok összefésülésével keletkezett. Mivel páratla -ekre a =, páros -ekre pedig a = + + = + + 4, ezért olya törtet kell készíteük, melyek evezője + 4, számlálója pedig páratla -re + 4, páros -re pedig +. Köye kaphatuk ilye számlálót: ) lim = lim = 0.

13 lim 5 + = lim = 3 5. lim + ) = lim ) = ) ) lim = lim = )! + + )! lim + 3)! = lim + )! + ) + ) + )! + ) + 3) = = lim = lim = lim + ) = lim + =. 3

14 Teljes idukcióval belátható, hogy.4 Ezért ) = lim a = lim = Megjegyzés. A feladatok végeredméyébe szereplő N természetese egy lehetséges küszöbidexet jelöl..48 Koverges, N = lim + =, továbbá a = + = 4 + = = Tehát olya küszöböt kell találi, hogy a ála agyobb -ekre < 0 5 teljesüljö. Ezt az egyelőtleséget megoldva kapjuk, hogy > 3 05, tehát 4 N = egy jó küszöbidex. 4

15 .50 Koverges, N = Koverges, N = Ismert tétel alapjá lim =. Továbbá = < 0, azaz <.. Midkét oldal -es alapú logaritmusát véve kapjuk, - a logaritmusfüggvéy szigorú mootoitása miatt - hogy < log., amiből > 7.7. Ezért N = 7 egy jó küszöbidex. log,.53 Koverges, N =..54 Koverges, N = Koverges, N = Koverges, N =..57 Mivel > 0 6 > 0 3, ezért N = 0 3 jó lesz küszöbidexek..58 A törtet bővítve = ) + ) =, így a vizsgáladó + + egyelőtleség: > Ebből átredezéssel kapjuk, hogy N = N = N = 5..6 e 3..6 e..63 lim + ) = lim + ) ) = e..64 e..65 e..66 e..67 e..68 e e..70 e e e ) + lim a = lim + ) = lim + ) ) + = + + e =. 5

16 .78 A számlálót az ismert összegképletek segítségével tudjuk zárt alakba felíri: kk + ) = k= k + k = k= k= + ) + ) ) = + ) + ) 3. Eek alapjá lim a = lim kk + ) k= 3 = lim + ) + ) 3 3 = Teljes idukcióval belátható, hogy a sorozat mooto övő, és felülről korlátos. Ebből következik, hogy koverges, vagyis létezik a lim a = lim a + = A véges határérték. A sorozatot megadó rekurzív képlet midkét oldaláak határértékét véve kapjuk, hogy A = 4 + A. Eek az egyeletek egyetle megoldása A =. Tehát lim a = Számsorok összege Mértai sorról va szó, q = k, ), tehát koverges. Összegzése az + k ismert képlet segítségével törtéik: k =0 k + ) = k k + = k + 6

17 .85 A sor -edik részletösszege: S = k= k + 3k = k= Az összeg k-adik tagját parciális törtekre botjuk: kk + 3) = 3 k k + 3 Ezt behelyettesítjük, majd az összeget átredezzük: S = 3 k ) = k k= kk + 3). k= ). k k= ). k + 3 Ezutá a második szumma idexét eltoljuk úgy, hogy a tagok alakúak legyeek: S = 3 k= ) +3 k. k k=4 k + 3 helyett k Végül - midkét szummából leválasztva a megfelelő tagokat - a közös idextartomáyo vett összegek kiejtik egymást, s így kialakul S zárt alakja: ) S = k k + + = + 3 k=4 k=4 = ) 4). + 3 Ie határátmeettel kapjuk a sor összegét: = + 3 = lim 3.88 A sor -edik részletösszege: S = k= k 3 + 3k + k = 7 k= ) kk + )k + ). = 8.

18 .89 Az összeg k-adik tagját parciális törtekre botjuk: k= kk + )k + ) = k k + + k + Ezt behelyettesítjük, majd az összeget a.85 feladatba látott módo átalakítjuk átredezés, idex eltolás, leválasztás, kiejtés): S = k k + k + + ) = k + k= ) = k k + k + + = k + k= k= k= k= ) = + k + k k + + = k + = = k= k= + k k= k= A sor összege tehát 4. k= k + k= ) ) s = Diverges. és t = Koverges. Pozitív tagú sor, melyet a 0, tehát a kovergecia szükséges feltétele em tel-.94 Mivel lim ) = e jesül, ezért a sor diverges..95 A sor diverges, ugyais = = k + + k= ). ) k + + = + koverges geometriai sor majorál. > = + + ) = +, = a sort tehát a harmoikus sor miorálja, amely diverges. 8

19 .96 Diverges..97 Koverges..98 Diverges, mert lim = lim s így a kovergecia szükséges feltétele em teljesül..99 Koverges. Pozitív tagú sor, melyet majorál a sor = 9 0, =0.00 Diverges..0 Diverges..0 Diverges..03 Diverges..04 Koverges..05 Diverges..06 Alkalmazzuk a gyök-kritériumot: ) lim + ezért a vizsgált sor koverges. ) = lim = lim +.07 Diverges..08 Diverges. ) 3 koverges geometriai Diverges..0 Koverges. ) = e <,. Diverges. Ugyais ) ) = 3, 3 s így =3 ) ) / 3 Ez a harmoikus sor viszot diverges. = =3 3 = 3. = 9

20 . Koverges..3 Koverges..4 Koverges..5 Koverges..6 Diverges..7 Koverges..8 Koverges..9 Koverges..0 Koverges.. Koverges.. A sor tagjai: a k = k ) + = k +, a k = k k N). Jelölje a sor -edik részletösszegét S. A páros idexű részletösszegek: S = a + a + a 3 + a a + a = = a + a ) + a 3 + a 4 ) a + a ) = = a k + a k ) = k + + ) = k k= = , k= k= k ) k + amiből látszik, hogy S ) egy koverges Leibiz-típusú sor részletösszegeiek sorozatával egyelő. Ezért koverges, jelöljük a határértékét S-sel. A páratla idexű részletösszegek is S-hez tartaak, ugyais S = S a = S Ezért S ) koverges, vagyis a vizsgált sor koverges. ) S 0 = S. Megjegyzés. A feti feladatba szereplő sor példa olya esetre, amikor a sor csupá a mootoitás hiáya miatt em Leibiz-típusú. Eek elleére koverges...3. Abszolút- ill. feltételes kovergecia.3 Koverges..4 Koverges. 0

21 .5 Diverges..6 Koverges..7 Feltételese koverges..8 Abszolút koverges..9 Abszolút koverges..30 Feltételese koverges..3 Vizsgáljuk az S ) részletösszeg-sorozat páros idexű tagjait: S = = k ) = k = k= k k = k k= Itt alkalmazhatjuk a miorás kritériumot, ugyais k 4 eseté k ezt felhaszálva k k k k k = k, k= k, s továbbá tudjuk, hogy a k sor diverges. Ezért az S ) részletösszeg-részsorozat diverges, amiből következik, hogy S ) is diverges. A vizsgált sor tehát diverges. Megjegyzés. A feladatba szereplő sor példa olya esetre, amikor a sor csupá a mootoitás hiáya miatt em Leibiz-típusú, és em is koverges...4. Alkalmazás: Geometriai feladatok.3 Feltételese koverges..33 Feltételese koverges..34 Abszolút koverges..35 Feltételese koverges..36 A feladat megoldása a jegyzet I. kötet 5. oldalá található. K Koch =, T Koch = 3a 5 = 8T Mivel a középvoalak által meghatározott háromszög -szeres kicsiyítése a háromszögek, ezért területe -szerese aak a háromszögéek, amelybe beleírjuk. 4 Eek alapjá a középvoalak által meghatározott háromszögek beszíezett háromszögek) száma és összterülete az alábbi módo adható meg:

22 .3. ábra. A Sierpieski háromszög kostrukciójáak.,. és 3. lépése. Az első ábrá db területű háromszög. 4 A második ábrá db 4, továbbá még 3 db 4 4 = területű háromszög. 4 A harmadik ábrá ugyaaz, mit a második ábrá, továbbá még 3 db 4 4 = 4 3 területű háromszög. És így tovább, teljes idukcióval megmutatható, hogy az -edik ábrá beszíezett háromszögek összterülete: T = = 4 ) k 3 4 A mértai sorozat első tagjára voatkozó képlettel kapjuk, hogy az -edik ábrá beszíezett háromszögek összterülete: ) 3 T = 4 ) k 3 = ) =. 3 k=0 4 4 A kapott képlet alapjá válaszolhatuk a feladat kérdéseire: a) Megoldadó a T > 75 egyelőtleség, azaz: 56 ) 3 > 75 ) ; < = 8 ) =. 4 Ebből adódik, hogy > 4. Sőt az is látható, hogy = 4 eseté egyelőség va. Tehát a középvoalak által meghatározott háromszögek beszíezett háromszögek) összterülete a egyedik ábrá éppe 75, s ezt az értéket először az ötödik ábrá haladja meg. 56 b) A középvoalak által meghatározott háromszögek beszíezett háromszögek) összterülete: ) 3 lim T = lim ) =, 4 k=0

23 .4. ábra. A beszíezett háromszögek összterülete elöször agyobb, mit ami megegyezik az eredeti háromszög területével. Megjegyzés. A feladatot egyszerűbbe is meg tudjuk oldai, ha em a beszíezett, haem a fehére maradt háromszögek összterületét számoljuk. Ez a terület midegyik ábrá mit az köye látható 3/4- szerese az előző ábrá lévő fehér területek. Tehát az -edik ábrá lévő fehér ) terület: 3 3/4). Ebből következik, hogy a beszíezett terület az -edik ábrá. 4 3