3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Átírás

1 Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP / XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet 1143 Budapest, Szobrác u Telefo: (+36-1) Fax: (+36-1)

2 1. a) x 4 3x 4 0 a x Az helyettesítéssel másodfokú egyeletet kapuk, eek gyökei: a 1 1 (ez em lehetséges, mert ), a 4 x 1, azaz x x 4 x 0., a megoldások. Elleőrzés behelyettesítéssel vagy ekvivaleciára hivatkozással. pot 6 pot 1. b) (x 0. A két oldalt azoos alapra hozzuk:) log x log 5 log x 9, log 4 log 8 3 log x 3log 5 log x log 5. (A logaritmus defiíciója alapjá) x 5, x = 5. x 1 5, x 5. pot Elleőrzés behelyettesítéssel vagy ekvivaleciára hivatkozással. 6 pot / 15

3 . a) első megoldás Az ábra szeriti jelöléseket alkalmazzuk: az A(0; 8) és B(0; 0) potokból idulak a hajók, a találkozási potot jelölje C; a BAC háromszög A-ál lévő külső szöge = 40, így BAC = = 140 ; és keressük ABC = -t. BC AC, mert azoos idő alatt a második hajó w -szer akkora utat tesz meg. v Az ABC háromszögbe felírjuk a sziusztételt: si si, ie AC BC AC si si140 si 0,314, BC 18,7 a keresett szög ( hegyesszög). ACB = ,7 = 1,3, így BC BA, si140 si 1, 3 si140 8 BC 49,55. si 1,3 BC A találkozásig eltelt idő t 4,13 óra w (kb. 4 óra 8 perc). 8 pot Vagy: az AC és BC útszakaszok x tegellyel párhuzamos vetülete megegyezik, így BC si AC si 3 / 15

4 . a) második megoldás Az ábra szeriti jelöléseket alkalmazzuk: az A(0; 8) és B(0; 0) potokból idulak a hajók, a találkozási potot jelölje C; a BAC háromszög A-ál lévő külső szöge = 40, így BAC = = 140 ; és keressük ABC = -t. Ha a hajók t idő múlva találkozak, akkor a találkozásig megtett utak agysága: AC = vt = 6t és BC = wt = 1t. Az ABC háromszögbe felírjuk a kosziusztételt: BC AB AC AB AC cos, (1t) 8 (6t) 8 6t cos140, ie 108t 57,39t t1 4,13 (óra) a találkozásig eltelt idő (t < 0 em lehetséges). Az ABC háromszögbe felírjuk a sziusztételt: si si, ie AC BC AC si si140 si BC 0,314, 18,7 a keresett szög ( hegyesszög). 8 pot. b) Jelölje x az első hajó utazók létszámát; ekkor a második hajó x 18 utas volt. Az utasok életkoráak összege az első hajó 46x, a másodiko 38(x 18), a találkozás utá együttese pedig 43(x 18). 46x + 38(x 18) = 43(x 18), ie x = 45. Az első hajó 45, a másodiko = 7 fő utazott. 5 pot Ez a pot jár, ha ez a godolat csak a megoldásból derül ki. 4 / 15

5 3. a) Az egyjegyű prímszámok:, 3, 5, 7. Az 5-tel való oszthatóság miatt a egyedik számjegy 0 vagy 5 lehet. A égy számjegy összegéek 3-mal oszthatóak kell leie, így egyedik számjegy csak a 0 lehet: = 1 osztható 3-mal. Mivel a 0-ra végződő szám -vel és 5-tel osztható, ezért a, 3 és 7 számjegyekből kell egy 7-tel osztható számot összeállítai. A hat lehetséges szám közül csak a 73 osztható 7-tel, így a 730 (az egyetle) megfelelő szám. 6 pot Más helyes idoklás vagy próbálkozással (pl. 10 többszöröseiek vizsgálatával) megtalált érték is megfelelő. 3. b) Jelölje x a választott számot. 3 7 x x Ekkor a égy szám átlaga: A szórás ugyaazo x értékre lesz miimális, amelyre a szóráségyzet 4-szerese. A számok szóráségyzetéek 4- szerese: x x x x x * pot Ez a pot jár, ha ez a godolat a megoldásból derül ki. 3 = 1 x x x x = 3 x 6x 6 4. Az ax bx c kifejezés (a 0) szélsőértékhelye b x, a 6 a szórás tehát x = 4 eseté lesz miimális. 3 4 = 1* pot pot 7 pot Megfelel egyéb idoklás is: függvéyábrázolás, teljes égyzetté alakítás, deriválás. 5 / 15

6 A *-gal jelölt pot a következő godolatmeetért is megkapható: A számok szóráségyzete 3 7 x x 3 = 4 4 = x x a) A gráfba va két pot, amelyeket legalább két többszörös él köt össze. A gráf hiáyzó, harmadik éle háromféle lehet: többszörös él, hurokél vagy egyszerű él. Ha a hiáyzó él többszörös él, akkor csak egy eset lehetséges: két potot három él köt össze. Ha a hiáyzó él hurokél, akkor ez kiidulhat a többszörös éllel redelkező potok valamelyikéből, vagy a másik két potból. Két esetet kapuk. pot Ha pedig a hiáyzó él em többszörös és em hurokél, akkor kétféle lehet: a másodfokú potok valamelyikét köti össze egy ulladfokú pottal, vagy két ulladfokú potot köt össze. pot Mide (redszeres vagy redszertele) próbálkozással megtalált helyes gráf ot ér. Összese öt megfelelő gráf va. 6 pot 6 / 15

7 4. b) Jelölje x 1, x, x + 1 a három számot. Ekkor x 6, x, x + 4 egy mértai sorozat első, harmadik és ötödik eleme, így x 6x 4 x. x = 8, tehát a számtai sorozat elemei: 7, 8, 9. A mértai sorozat első eleme, háyadosára (Két lehetséges mértai sorozat va.) Az első esetbe, a második esetbe q 1 q q pot 5. a) Midegyik lap ötféle szíű lehet, így az összes lehetséges szíezés száma 5 4. Nem megfelelőek azok a szíezések, amelyek sem kék, sem sárga szít em tartalmazak, pot ilyeből va 3 4 -féle = = 544 a lehetséges szíezések száma. 6 pot 5. b) első megoldás Külöböző eseteket vizsgáluk aszerit, hogy háy kék és háy sárga lapja va a kulcstartóak. Ha egy kék és egy sárga lapja va, akkor a kék lap 4, a sárga lap 3-féleképpe választható, a másik két lap három tetszőleges szíel szíezhető, így a lehetséges esetek száma Két kék és egy sárga lap eseté a két kék lap 4 (= 6)-féleképpe, az egy sárga lap -féleképpe választható ki, a egyedik lap háromféle lehet, így a lehetséges esetek száma , (és ugyaeyi va abból, amelyek két sárga és egy kék lapja va). Három kék és egy sárga lap eseté a három kék lap 4-féleképpe választható ki, a egyedik lap szíe adott, így a lehetőségek száma 4, (és ugyaeyi va abból, amelyek három sárga és egy kék lapja va). Ez a pot jár, ha ez a godolat a megoldásból derül ki. 7 / 15

8 Végül két kék és két sárga lapja 4 = 6 kulcstartóak lehet. Ez összese = = 194 külöböző szíezési lehetőség. 10 pot 5. b) második megoldás Az a) feladatba kapott eredméyt felhaszálva azo szíezések számát határozzuk meg, amelyekbe va kék, de ics sárga, illetve va sárga, de ics kék lap. Ha (potosa) egy kék lap va, akkor ezt 4 lap közül választhatjuk ki, a maradék három lap 3-3 szíű lehet (em lehet sem kék, sem sárga), így a lehetséges esetek száma Ha (potosa) két kék lap va, akkor ezeket 4 lap közül 4 (= 6)-féleképpe választhatjuk ki, a maradék két lap 3-3 szíű lehet, így a lehetőségek száma Három kék lapot 4-féleképpe választhatuk, a egyedik lap 3 szíű lehet, így a lehetséges esetek száma Mid a égy lapja 1-féleképpe lehet kék. Így összese = 175 olya szíezés va, melybe va kék lap, de ics sárga. Ugyaeyi olya szíezés va, amelybe va sárga lap, de ics kék, így az a) feladatba kapott eredméyt felhaszálva a kérdéses szíezések száma = = pot Ez a pot jár, ha ez a godolat a megoldásból derül ki. 5. b) harmadik megoldás Az olya szíezések számát határozzuk meg, amelyekbe va kék, de ics sárga lap. Eze szíezések számát megkapjuk, ha azo szíezések számából, melyek em tartalmazak sárga lapot, kivojuk azokat, amelyek em tartalmazak sem sárga, sem kék lapot. A sárga lapot em tartalmazó szíezések száma 4 4, a sem sárga, sem kék lapot em tartalmazó szíezések száma 3 4, így a kék lapot ige, de sárgát em tartalmazó pot Ez a pot jár, ha ez a godolat a megoldásból derül ki. 8 / 15

9 szíezések száma = = 175. Ugyaeyi olya szíezés va, amelybe va sárga lap, de ics kék, így az a) feladatba kapott pot eredméyt felhaszálva a kérdéses szíezések száma = = pot 5. b) egyedik megoldás A logikai szita-formulát alkalmazzuk. Ha az összes szíezési lehetőség számából kivojuk azokat, amelyek em tartalmazak sárga lapot és azokat, amelyek em tartalmazak kék lapot, akkor a pot sem sárga, sem kék lapokat em tartalmazó szíezéseket kétszer votuk ki. Így ezek számát a külöbséghez egyszer még hozzá kell adi. A sárga lapot em tartalmazó szíezések száma 4 4, a kék lapot em tartalmazó szíezések száma szité 4 4. A sem sárga, sem kék lapot em tartalmazó szíezések száma 3 4, így a kék és sárga lapokat is tartalmazó szíezések száma pot = pot Ez a két pot jár, ha ez a godolat a megoldásból derül ki. 6. a) A agymutató a számlap 1-es pozíciójához képest 10 az utolsó órába 360 = 60 -ot fordult el A kismutató 6 óra óta 360 = 5 -ot fordult, a két mutató által bezárt szög = 1 = 15. Jelölje d a keresett távolságot. Felírjuk a kosziusztételt: d cos15, ie d 13,3 cm a mutatók végpotjaiak távolsága. 5 pot 9 / 15

10 6. b) si cos sicos = sicos si cos si( ) si( ). Az egyelet akkor teljesül, ha = (+ k360, kz) vagy = 180 (+ l360, lz), azaz + = 90. (És ekkor = 90.) Az állítás em igaz, és pótszögek is lehetek egy em egyelő szárú derékszögű háromszögbe. 6 pot A teljes potszám egyetle megtalált (helyes) ellepéldáért is jár. 6. c) AE és BH kitérő egyeesek. AE-t eltoljuk például BF-be, AE és az így kapott (BFH) sík párhuzamosak. AE és BH távolsága megegyezik AE és a (BFH) sík távolságával, azaz meghatározadó AE és a (BFHD) sík távolsága. Felülézetből tekitve ez a távolság az FEH (derékszögű) háromszög E-ből húzott magasságáak m hosszával egyelő. Az FEH háromszög területét kétféleképpe írjuk fel: FH m EH EF, EH EF 3 4 m FH 3 4 =,4 egység a keresett távolság. 5 pot 10 / 15

11 7. a) első megoldás Az ábrá látható módo jelölje A és B az asztal két sarokpotját, C és D a két ütközési potot, Q pedig P merőleges vetületét. A beesési és visszaverődési szögek egyelősége miatt ACF = BCD = = 90, BDC = PDQ =. (FC és PD párhuzamosak.) Legye AC = x, DQ = y. x Az FAC háromszögbe tg, Hivatkozás hasoló 80 háromszögekre: 50 x a CBQ háromszögbe tg, x 50 x y y y 37 a DQP háromszögbe pedig tg. y Az első és harmadik egyeletből x, y a második és harmadik összevetéséből y 37, ie 58 y y y tg. y ,3 a kérdéses szög. 9 pot 11 / 15

12 7. a) második megoldás Az ábrá látható módo jelölje A és B az asztal két sarokpotját, C és D a két ütközési potot, Q pedig P merőleges vetületét. A beesési és visszaverődési szögek egyelősége miatt ACF = BCD = = 90, BDC = PDQ =. (FC és PD párhuzamosak.) Tükrözzük P-t az asztal felső szélére, így kapjuk a P1 potot; P1-et tükrözzük az asztal bal szélére, így kapjuk P-t. Jelölje végül P merőleges vetületét az asztal alsó szélére P3 (ábra). A beesési és visszaverődési szögek egyelősége miatt C, D, P1, valamit F, C, P egy egyeesbe esik. P3P = = 87, FP3 = = 138. pot pot pot 87 a P3PF háromszögbe tg, ,3 a kérdéses szög. 9 pot 7. b) A biomiális eloszlás modelljét alkalmazzuk. Egy 3 adott játszmába Adrás yerési esélye p 0, 6, 5 Béla yerési esélye 1 p 0, 4. (P(x) jeletse aak a valószíűségét, hogy Adrás x játszmát yer meg a 6-ból.) 6 4 P ( 4) 0,6 0,4, 4 1 / 15

13 6 hasolóa (5) 0,6 6 P 0, 4 és P ( 6) 0,6. 5 pot Aak valószíűsége, hogy Adrás 3-ál többször győz: P(4) + P(5) + P(6) = = 0,6 0,4 0,6 0,4 0,6 = 0,5443, 4 5 melyek értéke a kért kerekítéssel 0,54. 7 pot 8. a) első megoldás A sorozat éháy kezdeti értékét kifejezzük a1-gyel: a1 = 1, a a 1, 1 3 a1 1 1 a a1 1 1 a1 a, 1 pot a stb. A sorozat képzési szabályáak ismételt felhaszálásából adódik, hogy pot 1 a a Mivel a1 = 1, így 1 a A mértai sorozat összegképletét alkalmazzuk (a háyados értéke ): 1 a a1 1 = 1. Ezzel az állítást beláttuk. 8 pot 8. a) második megoldás A moszat ágaiak számára voatkozó teljes idukciót alkalmazuk. Kezdetbe 1 ág va, és ez egyelő a1 = 1 1-gyel. Tegyük fel, hogy a képlet = k eseté teljesül, azaz ak = k 1. Ekkor igazoladó, hogy az összefüggés = k +1 esetére is öröklődik, azaz ak+1 = k+1 1. A rekurzív összefüggés miatt ak+1 = ak + 1 = k k1 k (Felhaszáltuk az idukciós feltevést.) Az igazoladó ak+1 = k+1 1 összefüggést kaptuk, ezzel az állítást beláttuk. pot pot 8 pot 13 / 15

14 8. a) harmadik megoldás A moszatot olya gráffal modellezzük, melyek élei a moszat ágai, csúcsai az ágak végpotjai. A moszat gráfja összefüggő és körmetes, tehát (gráfelméleti) fa. Néháy kezdeti időegységbe a gráf csúcsaiak száma: c1 =, c = 4, c3 = 8 stb. A gráf képzési szabályáak ismételt alkalmazásából következik, hogy a csúcsok száma mide időegység alatt megkétszereződik. (A övekedést úgy is szemléltethetjük, mitha mide csúcsból egy új ág idula ki.) Mivel c1 =, így c pot pot. Mivel a moszat gráfja fa, éleiek száma a c 1, így a 1 valóba. 8 pot Alkalmazhatuk a csúcsok számára voatkozó teljes idukciót is. 8. b) a = 1 = 800 = 801. A logaritmus defiíciója alapjá lg801 log 801 lg 9,64, így a moszat ágaiak száma a 10. időegység végére éri el a 800-at. 4 pot Ez a pot akkor is jár, ha a vizsgázó a egész kitevőjű hatváyaiak ismeretébe megállapítja, hogy 9 < < c) a 1 lim = lim (Mide tagot osztuk 3 -al:) lim A két kostas tago kívüli tagok 0-hoz tartaak, így a 3 lim pot 14 / 15

15 9. a) pot A h függvéy zérushelyei: 0,5 x 6x + 5 = 0 x 6x + 5 = 0, ie x 1 1, x 5. A keresztmetszet grafikoja a [0; 1] itervallumo az x 0,5 x 6x 5 függvéy, az [1; 5] itervallumo az 0,5x 6x 5 1 A keresztmetszet területe:,5 6x ,5 x 6x 5 dx = x függvéy x dx + pot x x x 6 + x x x 0 6 = 1 pot = 6,5 (m ) pot A 9 méteres szakasz térfogata 96,5 = 58,5 (m 3 ), ami a kért potossággal 59 m b) h(4) = 1,5. Az 0,5x 6x 5 x függvéy deriváltja x + 3, a (4; 1,5) potba húzott éritő meredeksége = 1. Az éritő egyelete: y 1,5 = (x 4). 5 pot 15 / 15