Nevezetes sorozat-határértékek

Átírás

1 Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív szám. Az alábbi egyelőtleségek egymással egyeértékűek, lévé hogy pozitív számok közti egyelőtleségeket ilyeekből akár p, akár q darabot) össze szabad szorozi, továbbá egyelőtleség midkét oldalát be szabad szorozi ugyaazzal a pozitív számmal: 0 ) p q q < ε, r p ) p < ε q, < ε q p, q ε p <, ezért mide olya egész szám, amely agyobb az ε q p számál, alkalmas a küszöbidex szerepére. A második állítás olya pozitív tagú sorozatról szól, melyek reciproka a már bizoyítottak szerit ullsorozat, ezért ez + -hez tart. 2. Legye r tetszőleges pozitív egész, b 0,..., b r tetszőleges valós számok, b r tetszőleges ullától külöböző valós szám, végül mide pozitív egész -re legye a : b r r + b r r b + b 0. Ekkor! a { +, ha br > 0,, ha b r < 0. Bizoyítás. Az állítás abból következik, hogy az a ) sorozat előáll egy + -hez tartó, és egy b r -hez tartó sorozat szorzatakét, hisze mide pozitív egész -re a r b r + b r b + b ) 0. r r 3. Legyeek k és m tetszőleges emegatív egészek, c 0,..., c k és d 0,... d m tetszőleges valós számok, c k és d m tetszőleges ullától külöböző valós számok, végül mide pozitív egész -re legye a : c k k + c k k c + c 0 d m m + d m m d + d 0. Ekkor! a 0, ha k < m, c k, ha k m, d m +, ha k > m és c k d m > 0,, ha k > m és c k d m < 0. Bizoyítás. Az a defiíciójába szereplő törtet mid a égy esetbe egyszerűsítei fogjuk

2 m -mel. A k < m esetbe célszerű bevezeti a c i : 0 jelölést mide k-ál agyobb és m-él em agyobb i-re, eek köszöhetőe ugyais a k < m és a k m eset egyszerre vizsgálható. Midkét esetbe azt kapjuk, hogy az említett egyszerűsítés utá mid a számláló, mid a evező egy kostas és m darab ullsorozat összege: így az új számláló határértéke c m, az új evezőé d m. a c m + c m c + c m 0 m d m + d, ) m d + d m 0 m Tegyük fel most, hogy k > m, jelöljük ) jobb oldalát z -el, evezőjéek reciprokát y -el. Ekkor a y c k k m + c k k m c m+ ) + z. Itt a jobb oldal első tagjába a második téyező + -hez vagy -hez tart attól függőe, hogy c k pozitív vagy egatív lásd a 3. határértéket), s mithogy az első téyező határértéke /d m, az első tag + -hez vagy -hez tart attól függőe, hogy a c k, d m főegyütthatók azoos, vagy külöböző előjelűek. Végül ugyaez modható a )-ről is, hisze a második tag korlátos sőt koverges: határértéke c m /d m ). 4. ). Bizoyítás. Alkalmazzuk a mértai és a számtai közepek közti egyelőtleséget > 2 eseté az tagú,,,..., ) sorozatra: ε < < + 2 < + ε, az utolsó egyelőtleség egy küszöbidextől kezdve mide -re teljesül lásd az. határértéket). 5. Tegyük fel, hogy az x ) sorozathoz találhatók olya k és M pozitív egészek, melyekre M eseté / k x k. Ekkor! x. Bizoyítás. k darab -hez tartó sorozat szorzata -hez tart, -hez tartó sorozat reciproka -hez tart, ezért alkalmazható a közrefogási elv az ) k, ) x k ), k ) ) k) sorozatokra. 6. Tegyük fel, hogy az x ) sorozathoz találhatók olya a és b pozitív számok és M pozitív egész, hogy mide M-él em kisebb egészre a x b például mide -re x a). Ekkor x ). Bizoyítás. k -gyel. Ez az előző állítás következméye, hisze az ottai feltétel teljesül például) 2

3 7. Mide q, ) eseté q ) 0, mide a, + ) eseté a ) +. Bizoyítás. A második állítás bizoyítása céljából legye K tetszőleges pozitív szám, becsüljük alulról az a hatváyt a Beroulli-egyelőtleség segítségével: a + a ) > K, ha > K )/a ). Az első állítás q 0 eseté yilvávaló, q 0 eseté egyeértékű az alábbi állítások akármelyikével: q 0, q 0, q +, ) +, q de az utóbbit már bizoyítottuk, hisze a q szám reciproka agyobb mit. 8. Ha az x ) sorozat koverges és határértéke agyobb mit és kisebb mit, akkor x ) 0. Bizoyítás. Legye A : x ) és q az A, ) itervallum tetszőleges eleme. A háromszögegyelőtleség felhaszálásával a határérték defiíciójából a q A hibakorláthoz választva küszöbidexet azt kapjuk, hogy valamely M pozitív egésztől kezdve mide -re x x A + A < q A + A q, vagyis x x q ; ebből, felhaszálva az előző határértéket és a közrefogási elvet, az következik ami egyeértékű az eredeti állítással), hogy x ) 0. 9.!/ ) 0. Bizoyítás. A közrefogási elvet alkalmazzuk, a majorás sorozat szerepét olya x ) alakú sorozat fogja játszai, amelyre x ) határértéke /2 ez az előző evezetes határérték szerit ullsorozat). Írjuk fel az első pozitív egészre a mértai és számtai közepek közti egyelőtleséget: 0 <! ) +) 2 ) + ) ) Ha k egész szám, akkor a q k ) sorozat q, ) eseté ullsorozat, q > eseté pedig + -hez tart. Bizoyítás. A q, ) esetbe az 4. és 8. állítások egyszerű következméyéről va szó, hisze az x : q k q ) k sorozat határértéke egy, )-beli számmal, q-val egyelő, a vizsgált sorozat pedig éppe az x ) sorozat. Ha q >, akkor olya pozitív tagú sorozatról va szó, melyek reciproka, az /q) k sorozat a már bizoyítottak szerit ullsorozat. Megjegyzedő, hogy a feti sorozatak sem a q <, sem a q és k > 0 esetbe ics határértéke, hisze ez a sorozat ilyekor olya váltakozó előjelű sorozat, amely em tarthat a ullához, míg a q, k < 0 esetbe ullsorozatról va szó az abszolút értéke az. potba tárgyalt sorozatok közé tartozik).. Mide valós x szám eseté az x /!) sorozat ullsorozat. Bizoyítás. Elég a vizsgált sorozat abszolút értékéről megmutati, hogy ullsorozat, ezt a közrefogási elv segítségével tesszük. Legye N tetszőleges x -él agyobb egész és > N. 3

4 A felső becslést a evező csökketésével végezzük, az! téyezői közül az N-él agyobbak midegyikét N-re cseréljük: 0 x! x N! N N N N N! ) x, N és itt a majorás sorozat azért ullsorozat, mert cq ) alakú az -él kisebb abszolút értékű q x /N számmal. 2. Mide egyes egész k eseté k /!) ullsorozat. Bizoyítás. Mide -re k [ ) ]! k 2 2!, vagyis két olya sorozat szorzatáról va szó, melyek közül az első a 0., a második a. evezetes határérték szerit ullához tart. 3. Az a : + /), b : + /) + egyelőségekkel értelmezett a ), b ) sorozatok közös határértékhez kovergálak ezt a közös határértéket e-vel jelöljük). Bizoyítás. Először azt bizoyítjuk, hogy mide pozitív egészre a < a + és b > b + vagyis a ) szigorúa mooto övő, b ) szigorúa mooto fogyó). Az előbbi egyelőtleség midkét oldalából + -edik gyököt vova, az utóbbiak midkét oldalából pedig + 2-edik gyököt vova azt kapjuk, hogy elég ezeket bizoyítauk: ) + < + 2 ) < Itt az első egyelőtleséget megkapjuk, ha felírjuk az + tagú, +,..., + ) sorozatra a mértai és számtai közepek közti egyelőtleséget, a második egyelőtleség bizoyítása céljából pedig elegedő, ha az + 2 tagú, +,..., + ) sorozatra írjuk fel a harmoikus és mértai közepek közti egyelőtleséget, ugyais egyszerű számolással elleőrizhető, hogy az előbbi sorozat számtai közepe és az utóbbi sorozat harmoikus közepe egyarát + 2)/ + )-gyel egyelő. a és b defiíciójából látható, hogy a < b, így az eddigiekből az is következik, hogy midkét sorozat korlátos: a 2 alsó, b 4 felső korlátja midkét sorozatak. Végül abból, hogy a b a ) sorozat előáll egy korlátos sorozat és egy ullsorozat szorzatakét, következésképp b a ) ullsorozat: b a + ) + ) a, azt kapjuk, hogy a két határérték valóba egyelő egymással. 4

5 4. i0 /i!) e. Bizoyítás. Vezessük be az x : + /), y : i0 /i! N) jelöléseket. Az előző határérték és a közrefogási elv alapjá elég azt igazoli, hogy mide -re x y e. x y 2), ha >, akkor a biomiális tételből és a biomiális együttható defiíciójából ezt kapjuk: x 2 + i2 ) i 2 + i i2 i! i j j ) < 2 + Ha valamely N pozitív egészre e < y N vola, akkor abból, hogy [ ) ] N N i2 i i i2 i! i j i2 j ) y N i! y. 2) koverges sorozatok összege koverges, az összeg esze egyelő a eszek összegével), adóda olya N-él agyobb m egész létezése, amelyre már eek a sorozatak az m-edik tagja is agyobb vola e-él, így ez még ikább igaz vola x m -re lásd x m -ek a 2) formulából kiolvasható, a biomiális tétel segítségével törtéő előállítását), ami viszot lehetetle, mert az előző határérték tárgyalása sorá bizoyítottak szerit x ) mooto övő, határértéke e, tehát mide tagja kisebb-egyelő e-él. 5. Legye q > egész szám, tegyük fel, hogy létezik a x ) : A, és ha q páros, akkor azt is tegyük fel, hogy mide -re x 0. Ekkor a q x ) sorozatak is va határértéke, s ez a határérték valós A eseté q A-val, A / R eseté A-val egyelő. Bizoyítás. Ha A / R, akkor az állítás abból következik, hogy mide pozitív K szám eseté a q x > K, illetve páratla q eseté a q x < K egyelőtleség egyeértékű az x > K q, illetve az x < K q egyelőtleséggel, ezért ha az egyik teljesül egy küszöbidextől kezdve mide -re, akkor ugyaez modható a vele egyeértékű másikra is. Hasolóa egyszerűe itézhető el az A 0 eset is amiatt, hogy a ε < q x < ε egyelőtleségpár potosa akkor teljesül, amikor x < ε q. Tekitsük végül azt az esetet, amikor A ullától külöböző valós szám. A q x q A ) sorozatról mutatjuk meg azt, hogy ullához tart. E sorozat emegatív tagú, így a közrefogási elv alapjá elég azt igazoli, hogy e sorozat egy küszöbtől kezdve) felülről becsülhető az x A ) sorozatak egy kostasszorosával. Legye M olya küszöbidex, amelytől kezdve mide -re x A < A, ezekre az -ekre tehát x és A azoos előjelűek, következésképpe q x q A q i0 x A ) ) q i ) q q i x A ) x A ) q q i ) q q i i0 x A q A ) q x A. x és A azoos előjelű voltából a csillaggal megjelölt lépés jogossága egatív A és páratla q eseté azért következik páros q eseté persze az x 0 feltétel miatt A em lehet egatív), mert ekkor a evező mide tagjába azoos előjelűek a téyezők, hisze vagy midkét kitevő páros, vagy midkét kitevő páratla. A evező tagjaiak pozitív voltából következik a következő lépés helyessége is: a evezőt csökketettük azáltal, hogy egy kivétellel az összes tagját elhagytuk. 5

6 6. Mide racioális r szám eseté + r! e ) r. Bizoyítás. Először azt bizoyítjuk, ráadásul mide valós r eseté, hogy ez a sorozat egy küszöbtől kezdve mooto övő, kokrétabba azt, hogy ha az pozitív egész agyobb mit r, akkor a : + r ) ) + + r + < a +. + Az r esetbe alkalmazott módszer most is eredméyre vezet lásd a 3. határérték tárgyalását): írjuk fel a mértai és számtai közepek közti egyelőtleséget az + tagú, + r,..., + r ) sorozatra, majd az így kapott egyelőtleség midkét oldalát emeljük + -edik hatváyra. Az r 0 esetbe az állítás yilvávaló: a kostas sorozat határértéke. Az eddig bizoyítottakból már következik, hogy a )-ek va határértéke, ezért elég valamely részsorozatáról igazoli azt, hogy határértéke e r. Ha r pozitív racioális szám, akkor előállítható két pozitív egész, modjuk p és q háyadosakét, ekkor a k a kp részsorozatról igazoljuk, hogy határértéke e r q e) p : az a kp + ) kp q + ) p kq kq kq átalakítás miatt elég arról a k x k sorozatról bizoyítai azt, hogy q e-hez tart, amelyek k-adik tagja a szögletes zárójelek között látható, ehhez az előző 5.) evezetes határérték miatt elég, ha a k + /kq)) kq sorozat e-hez tart, ami igaz, hisze ez részsorozata aak a sorozatak, amelyek határértékekét az e számot értelmeztük ld. 3.). Az r -re voatkozó állítás, hogy tudiillik ) ) e, yilvá egyeértékű azzal, hogy ) + + e, de az utóbbi sorozat épp a reciproka egy olya sorozatak, amelyről már tudjuk, hogy e-hez tart ld. 3.). Legye végül r egatív racioális szám, tehát valamely pozitív egész p és q számokkal r p/q. Mithogy e r q e elég, ha a pozitív racioális r eseté alkalmazott godolatmeetet egyetle apró változtatással megismételjük: az r esetbe vizsgált sorozatak a k qk idexsorozathoz tartozó részsorozata /e-hez tart, ezért eek q-adik gyöke q /e-hez, így az utóbbiak a p-edik hatváya e r -hez, amiből az derül ki, hogy a k a pk részsorozat határértéke e r. 6 p,

7 7. Ha az x x ) sorozatak va határértéke és mide pozitív egész -re A : A x) : x + + x )/, akkor eek az újabb sorozatak melyet az x sorozat számtaiközép-sorozatáak evezük) szité va határértéke, s ez megegyezik az x ) sorozat határértékével. Bizoyítás. a) Tegyük fel először azt, hogy az x sorozat ullsorozat. Legye ε tetszőleges pozitív szám és M olya küszöbidex, amelytől kezdve mide -re x < ε/2, míg N olya pozitív egész, amelytől kezdve mide -re x + + x M c/ ullsorozat mide rögzített valós c eseté!). Ekkor az M és N agyobbikáál agyobb pozitív egészekre A x i M x i + i i im+ < ε 2 x i < ε 2 + M ε 2 < ε. b) Ha x ) : c R és mide -re y : x c, akkor y ) ullsorozat, így a már bizoyítottak szerit i x i c 0 A y) A x) c). c) Ha x ) +, K R +, M olya küszöbidex, amelytől kezdve mide -re x > 2K + ), N pedig olya, amelytől kezdve mide -re M x i > i ilye ismét azért létezik, mert c/ ullsorozat mide rögzített valós c eseté), akkor az N és 2M agyobbikáál agyobb -ekre M x i x i + i i im+ x i > + M 2K + ) + M )2K + ) > + 2K + ) + K. 2 d) Ha x ), akkor az imét bizoyítottak szerit az A x) A x) sorozat határértéke Ha a pozitív tagú x x ) sorozatak va határértéke, továbbá mide pozitív egész -re G : G x) : x... x, és H : H x) : x , x akkor ezekek az újabb sorozatokak melyeket az x sorozat mértaiközép-sorozatáak, illetve harmoikusközép-sorozatáak evezük) szité va határértékük, s ezek 7

8 megegyezek x )-el. Bizoyítás. A harmoikus, a mértai, és a számtai közepek közti egyelőtleség szerit és persze amiatt, hogy pozitív tagú sorozatról va szó,) mide -re 0 < H G A. 3) Ebből, a már bizoyított A ) x ) egyelőségből ld. 7.), és a közrefogási elvből következik, hogy elég a tételt a harmoikusközép-sorozatra bizoyítai. a) Tegyük fel először azt, hogy az x sorozat ullsorozat. Az A ) sorozat ullsorozat, így a közrefogási elvből adódik, hogy H ) is ullsorozat. b) Ha x ) : p R +, akkor x ) reciprokáak határértéke /p, ezért A /x)) /p, így az utóbbi sorozat reciprokáak ami em más, mit a H x)) sorozat határértéke ismét p. c) Ha x ) +, akkor /x ) ullsorozat, ezért A /x)) is ullsorozat, és persze pozitív tagú, ezért az utóbbi sorozat reciproka, a H x)) sorozat + -hez tart. 9. Az /!) sorozat ullsorozat. Bizoyítás. Az /) sorozat mértaiközép-sorozatáról va szó. 20.!! e. Bizoyítás. Elég azt igazoli, hogy ha x +/), akkor a vizsgált sorozatot megkaphatjuk úgy, hogy az x ) sorozatak a szité e-hez tartó) mértaiközép-sorozatát megszorozzuk az -hez tartó / + )) sorozattal: + G x) ) + ) 2 ) +! az utolsó előtti lépésbe egyszerűsítést hajtottuk végre.!, 2.! ) +. Bizoyítás. Az első pozitív egész reciprokáak összegét s -el jelölve, az s ) sorozat szigorúa mooto övő s + s / + ) > 0), tehát va határértéke, és ez a határérték megegyezik a sorozat értékkészletéek felső határával. Idirekt úto folytatjuk: ha ez a felső határ em + lee, akkor egy p pozitív szám lee. De akkor a p /2 szám már em lehete felső korlátja a sorozatak, tehát léteze olya N pozitív egész, melyre s N > p /2 lee. Ebből viszot a p szám felső korlát volta és az /) sorozat mooto fogyó volta miatt, amiek következtébe mide k N +, 2N eseté /k /2N),) p s 2N s N + adóda, ami képteleség. 2N kn+ k > p 2 + N 2N p p 8