Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei
|
|
- Viktória Szabó
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás vázlatok. Téma szerit az el adást a sorozatok égy típusára szeretém kocetráli, égy olya típusra, amelyek midegyike a közismert számtai sorozat tagjaira épül. A dolgok közepébe vágva, rögtö sorolom a égy típust.. Hatváyösszegek: k + k + 3 k k. Itt és a továbbiakba is k-val tetsz leges rögzített pozitív egész kitev t jelölük.. Hatváyozott számtai sorozatok összegzése: a k + [a + d] k + [a + d] k [a + )d] k. Vegyük észre, hogy a = d = eseté ez a típus az. típusú hatváyösszegre redukálódik, k = eseté pedig a sima számtai sorozatra. 3. Kosziusz függvéyel leképezett számtai sorozatok összegzése: cos a + cos[a + d] + cos[a + d] cos[a + )d]. 4. Kosziusz függvéyel leképezett hatváyozott számtai sorozatok összegzése: cos k a + cos k [a + d] + cos k [a + d] cos k [a + )d].
2 A két utóbbi típus sziusz függvéyel is hasolóa tárgyalható, azoba a kosziusz függvéy választása eseté valamivel egyszer bb a tárgyalás, azért ezzel az esettel illusztráljuk a számítás módszerét. Ez a két utóbbi típus külööse érdekes abba a speciális esetbe, amikor d = π. Ilyekor a függvéy argumetumokat szögekek tekitve, ezek iráyai egyeletes lépésközökkel potosa körbejárják a szélrózsát. Az. típus felkeltette az érdekl désemet már gimazista koromba, és kiszámítottam az a = k sorozat els tagjáak zárt összegképletét a k = 7 kitev ig. Egy kis füzetet jelöltem ki képletgy jteméy céljára, melyek els lapjá szépe felsoroltam el ször a k =,, 3 kitev k esetére voatkozó közismert, majd folytatólagosa az általam kiszámított, ezt megel z e viszot általam em ismert k = 4, 5, 6, 7 kitev k esetére voatkozó összegképleteket. Valahogy így: = +) = +)+) = +) = +)+)[3+) ] = +) [+) ] = +)+)[3 +) 3+)+] = +) [3 +) 4+)+] 4 Amikor éppe ezzel voltam elfoglalva, potosabba: amikor már megvolt a hetedik hatváyok összegképlete, Autheried taár a füzetembe ezt megpillatva arra kért, hogy szereté, ha kit zém Kömal feladatkét. Ezt megel z e is felvetette már, hogy helyes vola, ha a mások által kit zött feladatok szorgalmas megoldása mellett magam is t zék ki feladatokat. Sajos a kreativitás soha em volt az er s oldalam, talá ezért ezt a kérését akkor em teljesítettem. Metségemre szeretém felhozi, hogy az is motivált a egatív hozzáállásomba, hogy a Budapeste talá havi de lehet, hogy aál ritkább) redszerességgel, Reima Istvá szervezésébe és vezetésével tartott Ifjúsági Matematikai Kör összejöveteleiek egyiké szóba hoztam, hogy é tudom a 3-ál agyobb kitev j hatváyösszegeket is zárt formulával, Reima taár úr azoba leitett, em hagyta, hogy err l beszéljek, mert bizoyára em tartotta elég fotosak vagy érdekesek. Évtizedekkel kés bb, kicsit eltér módo, léyegébe teljesítettem Autheried taár régi kérését, amikor sajos már em élt. Azzal a külöbséggel, hogy em általam már megoldott, haem még megoldatla feladatokat t ztem ki az iteretes holapomo. Mideesetre a taár régi kérése motivált abba, hogy a weblapomo yilváos pályázatot t ztem ki a magasabb kitev kre voatkozó hatváyösszegek zárt képleteiek a megadására. Eek megoldásába többe beszálltak, és ezáltal k = 35 kitev ig jutottam el a hatváyösszegek zárt képleteiek a felsorolásával a holapomo. A Térlefed coverig) kódok kérdései c. 0-re elkészült köyvembe pedig egy külö rövid fejezetet szátam megoldatla problémák felsorolására a köyv témájába. 4
3 Az említett iskolás kori füzetemek további lapjai a többszörös szögek szögfüggvéyeire voatkozó képleteket gy jtöttem össze, evezetese si kx és cos kx kifejezését si x és cos x poliomjakét. Példakét az egyik ilye képletsort idézem, cos kx kifejezését cos x poliomjakét. Ez volt a kis füzetem egyik további lapjáak egy részlete. Arra még emlékszem, hogy cos 7x-él tovább is folytattam, de arra már em, hogy potosa meddig. lehet, hogy valahol 0 körül álltam meg, de lehet, hogy csak 5 körül. cos x = cos x cos 3x = 4 cos 3 x 3 cos x cos 4x = 8 cos 4 x 8 cos x + cos 5x = 6 cos 5 x 0 cos 3 x + 5 cos x cos 6x = 3 cos 6 x 48 cos 4 x + 8 cos x cos 7x = 64 cos 7 x cos 5 x + 56 cos 3 x 7 cos x A feti képletsor közvetleül ugya em tartozik az el adás témájához, viszot segédeszközül szolgál a 4. típusú összegképletek kezeléséhez. Ha ugyais a cos kx kifejezés poliom el állítását egy bizoyos k-ig bezárólag megadtuk, akkor ezek segítségével a cos k x hatváyokat is fel tudjuk íri külöböz argumetumú kosziusz függvéyek lieáris kombiációjakét. Nevezetese cos x = + cos x) cos 3 x = 3 cos x + cos 3x) 4 cos 4 x = cos x + cos 4x) 8 cos 5 x = 0 cos x + 5 cos 3x + cos 5x) 6 cos 6 x = cos x + 6 cos 4x + cos 6x) 3 cos 7 x = 35 cos x + cos 3x + 7 cos 5x + cos 7x) 64 Az utóbbi képletsor viszot hídat képez a 3. és 4. típusú összegzési formulák között. Ilye képletek segítségével a 4. típusú összegzéseket vissza tudjuk vezeti a 3. típusra. Eze bevezetés utá vegyük sorra az el adás témájakét felsorolt típusokat. 3
4 . Hatváyösszegek képletei A kit zött cél: Állítsuk el a i k = k + k + 3 k k alakú összegeket zárt alakba. A k 7-re voatkozó kokrét esetekr l már szó volt, az alábbiakba újra felsoroljuk eze speciális esetek összegképletét: = +) = +)+) = +) = +)+)[3+) ] = +) [+) ] = +)+)[3 +) 3+)+] = +) [3 +) 4+)+] 4 Létezik egy szép általáos képlet is, amelyr l diákkét még em tudtam, csak jóval id sebb korba találtam meg a szakirodalomba: ahol B = 6, B 4 = 30, B 6 = 4 4 k i k = k+ k + + k + ) k B j k j+, j j j= a Beroulli számok. A Beroulli számok deíciója és további elemei köyvekbe és iteretes portálok táblázataiba megtalálhatók.) Nem tartozik szorosa a témához, mégis érdemes itt megemlítei, hogy egatív kitev j véges hatváyösszegek eseté zárt formulát em ismerük, ezzel szembe a végtele összegekre létezek klasszikus eredméyek: a = eseté a harmoikus sort kapjuk, amelyre a végtele összeg diverges. Aszimptotikusa a log x függvéy görbéjéhez illeszkedik.) )-él kisebb egész kitev kre a végtele összeg koverges; zárt képletet páros egatív kitev kre ismerük, például = π = π = π
5 3. Hatváyozott számtai sorozatok összegképletéek meghatározása Ebbe a szakaszba azokkal a sorozatokkal foglalkozuk, melyekél a sorozat általáos tagja a = [a + d )] k. A megoldás tetsz leges k eseté visszavezethet az el z szakaszba megfogalmazott típusra, például k = eseté közöséges számtai sorozat) [a + di )] = a + d[ )] = a + d ), k = eseté [a + di )] = a + ad[ )] + d [ ) ] = k = 3 eseté = a + ad ) + d ) ), 6 [a+di )] 3 = a 3 +3a d[ )]+3ad [ ) ]+ +d 3 [ ) 3 ] = = a 3 + 3a d ) + 3ad ) ) 6 + d 3 ). 4 Az általáos esetbe tetsz leges k kitev re [a + i )d] k = a k + = a k + k j= ) k a k j d j j [ a k + i= k j= i ) j = a k + i= ] k )a k j i ) j d j = j k k )a k j d j i j. j j= 5
6 4. Kosziusz függvéyel leképezett számtai sorozatok Tekitsük az olya sorozatokat, melyek általáos tagja a = cos[a + d )]. Az összegképlet: si[a+ )d] si[a d], ha d 0 mod π) si cos[a + i )d] = d cos a, ha d 0 mod π) ) Külö gyelmet érdekel az a speciális eset, amikor d = π e, ahol e egy 0 és közötti egész. Az el bbi képletet erre a speciális esetre alkalmazva azt kapjuk, hogy cos[a + i ) π e] = 0 ha 0 < e <. ) 5. Kosziusz függvéyel leképezett hatváyozott számtai sorozatok Az el z szakaszba tárgyalt sorozat általáos elemét k-adik hatváyra emeljük: a = cos k [a+d )]. A k = kitev re voatkozó eredméy birtokába erre az általáosabb problémára is tuduk megoldást találi. Láttuk, hogy cos x = + cos x) cos 3 x = 3 cos x + cos 3x) 4 cos 4 x = cos x + cos 4x) 8 cos 5 x = 0 cos x + 5 cos 3x + cos 5x) 6 cos 6 x = cos x + 6 cos 4x + cos 6x) 3 cos 7 x = 35 cos x + cos 3x + 7 cos 5x + cos 7x) 64 Az általáos esetre külö páros és külö páratla kitev kre az alábbi képletek bizoyíthatók: [ r cos r x = ) r ) ] r + cos jx, r 3) r r j cos r+ x = r r j=0 j= ) r + cosj + )x. 4) r j 6
7 A feti összefüggések alapjá például cos [a + i )d] = + cos[a + i )d] = = + si[a+ )d] sia d), ha d 0 mod π) si d cos a, ha d 0 mod π), 5) = cos 3 [a + i )d] = si[a+ )d] si[a d] 4 si d cos[a + i )d] + 4 cos[3a + i )3d] = + si[3a+ )3d] si[3a 3d], ha d 0 mod π) 4 si 3d 3 3 si[a+ )d] si[a d] + cos 3a, 4 si d 4 ha d 0 mod π ), de d 0 mod π) 3 3 cos a + cos 3a, ha d 0 mod π) 4 4 A hatváykitev további övelése sorá a hasoló módo felírható formulák egyre boyolultabbá válak, mivel egyre több külöböz modulusra kell egyszerre gyelemmel lei. Viszoylag köyebb dolguk va abba a speciális esetbe, amikor d = π. Ilyekor a kosziusz függvéyel leképezett hatváyozott számtai sorozat összegképletét általáos formulával is meg tudjuk adi, azoba k és paritásától függ e egymástól többékevésbé eltér összegképletek írhatók fel. Páros k = r eseté = r ) r + r Páratla k = r + eseté [ cos r+ a + i ) π ] = [ cos r a + i ) π ] = 6) r r h= r r h= 0 ha páros, r h=0 r r r h ) cos ha ha páros, r r h) cos ha ha páratla. r+ r h ) cosh + )a ha páratla. 7) 7
8 6. Alkalmazások matematikai verseyfeladatok megoldására A hatváyösszegek képleteire em kerestem az el adásomhoz kokrét alkalmazásokat. Ehelyett csak ayit szereték elmodai, hogy diákkori matematikai feladatmegoldói praxisomba gyakra vettem haszát ezekek a képletekek természetese csak k =,, 3 kitev vel külöböz algebrai, kombiatorikai és szöveges Kömal és egyéb feladatok megoldására. Mivel az ilye feladatok a kevésbé ehéz kategóriába tartozak, azt hiszem ikább az I-II. osztályosok 4-6 évesek) számára kiírt gyakorlatokba fordultak el. Szögfüggvéyekkel kapcsolatos összegképletek emzeti és emzetközi taulmáyi verseyek feladatai között is felbukkatak. Ilyeekre mutatuk éháy példát az alábbiakba. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia 96/4. feladat. Oldjuk meg a következ egyeletet: cos x + cos x + cos 3x =. Egy lehetséges megoldás: A kosziusz függvéyel leképezett hatváyozott égyzetre emelt) számtai sorozat 5) összegképlete szerit cos x + cos x + cos 3x = 3 + si[x+6 )x] six x) si x, ha x 0 mod π) 3 cos x, ha x 0 mod π), A x 0 mod π) eset kizárható, mert ilyekor az összeg értéke midig. Ezért a kit zött feladat a következ egyeletre vezet: 3 + si 7x si x si x =. Átredezéssel: 0 = si 7x + si x = si 4x cos 3x = 8 si x cos x cos x cos 3x. Eek megoldása már triviális, csak e feledkezzük el az x 0 mod π) hamis gyökök kizárásáról. 8
9 Nemzetközi Matematikai Diákolimpia 963/5. feladat. Bizoyítsuk be, hogy cos π 7 cos π 7 + cos 3π 7 =. Egy lehetséges megoldás: A cos x = cosπ x) összefüggés alapjá a feladatba szerepl kifejezést úgy is írhatjuk, hogy cos π 7 + cos 3π 7 + cos 5π 7. A kosziusz függvéyel leképezett számtai sorozat ) összegképlete szerit si[x+3 )x] si[x x] si 6x =, ha x 0 mod π) si x si x cos x + cos 3x + cos 5x = 3 cos x, ha x 0 mod π). Az x = π 7 esetre kokrétizálva, iét azt kapjuk, hogy cos π 7 + cos 3π 7 + cos 5π 7 = si 6π 7 si π 7 = si π 7 si π 7 =. Egy 997. évi erdélyi matematikai verseyfeladat: Bizoyítsuk be, hogy [si 7 x + si 7 x + π 3 + [cos 7 x + cos 7 x + π 3 ) + si 7 x + 4π 3 ) + cos 7 x + 4π 3 A 7) összegképletet k = 7 r = 3), = 3 esetére alkalmazva 3 cos 7 [ x + i ) π 3 ] = h=0 )] + 8) )] = [ ] ) 7 cosh + )3x = 3h 63 cos 3x. 64 A sziusz hatváyösszegeket a si x = cosx π ) összefüggés alapjá kosziusz hatváyösszegekké átalakítva 3 si 7 [ x + i ) π 3 ] = 3 cos 7 [ x π + i )π 3 Ezek alapjá már egyszer e következik a 8) egyel ség. ] = 63 cos 3x π ) 64 = 63 si 3x. 64 A 8) alatti egyel ség úgy is iterpretálható, hogy a bal oldalo álló kifejezés em változik meg, vagyis tehetetle marad az x szög tetsz leges változtatása eseté. Ezzel az észrevétellel kapcsolatba azo t dtem, hogy egyetle kokrét esetre voatkozó tehetetleségi tulajdoság ömagába em túl érdekes, de milye szép lee, ha be lehete bizoyítai egy általáos tehetetleségi tételt tetsz leges kitev és tetsz leges számú tagból álló hasoló eseté. Az erre adott válasz részbei tárgyalását a következ külö szakaszba tettem. 9
10 7. A tehetetleségi probléma teljeskör megoldása Az erre voatkozóa felvetett kérdés ömagába is elég komplex ahhoz, hogy akár egy öálló külö el adás tárgya lehete. Ezért most csak rövide és bizoyítás élkül szeretém ismerteti a válasz léyegét. Az el z szakaszba felvetett tehetetleségi probléma megoldásával foglalkozva kiderült, hogy teljes általáosa em igaz, de ige sok esetbe feáll a tehetetleségi tulajdoság, vagyis az, hogy a [ si k x + i ) π ) ] [ + cos k x + i ) π ) ] 9) összeg értéke em függ x-t l a k, ) párok egy jól meghatározható halmazára. Ugyaez a probléma geometriai iterpretációba is megfogalmazható. Tekitsük a ξ, η) koordiátaredszerbe az origó középpotú egység sugarú körbe írt szabályos sokszögeket. Legye egy tetsz leges ilye -szög 3, tetsz leges) egyik csúcsáak a ξ- tegellyel bezárt szöge x. Ekkor a szabályos -szög P ξ, η ), P ξ, η ),..., P ξ, η ) csúcsaiak koordiátái: ξ = cos x, η = si x, ξ = cos x + π ),..., ξ = cos x + ) π ), η = si x + π ),..., η = si x + ) π ), tehát a vizsgált tehetetleségi probléma a szabályos sokszögek csúcsaiak koordiátáival kifejezve úgy hagzik, hogy a [ ] [ ξi k + η k i ] égyzetösszeg mely k, ) párok eseté függetle és mely k, ) párok eseté em függetle az egységkörbe írt szabályos -szög helyzetét l. A válasz léyegét a következ két táblázat tartalmazza: 0
11 A 9) kifejezés értéke x-t l függetle az alábbi esetekbe: k páratla páros páratla k < 3 midig páros k < k < Ezzel szembe a 9) kifejezés értéke x-t l függ mide más esetbe, vagyis az alábbi esetekbe: k páratla páros páratla k 3 soha páros k k
12 8. Bizoyítás vázlatok Valameyi itt következ bizoyítás elemi. Általáos képletek bizoyítása helyett ikább speciális esetek bizoyításra törekszem a jobba követhet ség érdekébe. A hatváyösszegek képleteiek bizoyítása kissé eltér páratla, illetve páros esetbe. Páratla k = r + eseté az [ + )]r+ [ )]r+ = r i=0 ) r + r i+ r i azoosságból iduluk ki, amit úgy kapuk, hogy a bal oldal tagjaira a biomiális tételt alkalmazzuk. Összevoás utá mide második tag kiesik.) Ezt követ e értékét egyesével csökketve r = 0 és r = eseté közvetleül megkapjuk a kivát összegképletet, r eseté pedig egy rekurzív formulához jutuk. k = r = 0) eset: [ + )] [ )] = [ )] [ ) )] =... = 0 = A felsorolt egyel ségeket összeadva azt kapjuk, hogy k = 3 r = ) eset: [ + )] = [ + )] [ )] = 3 [ )] [ ) )] = ) 3... = 3 0 = 3 A felsorolt egyel ségeket összeadva azt kapjuk, hogy [ + )] = )
13 k = 5 r = ) eset: [ + )]3 [ )]3 = [ )]3 [ ) )]3 = 3 ) 5 + ) = = A felsorolt egyel ségeket összeadva most azt kapjuk, hogy [ + )]3 = ) ) Ezutá a jobb oldali második összeg már ismert zárt képletéek behelyettesítésével és az egyel ség átredezésével célhoz érük. k = 7 r = 3) eset: [ + )]4 [ )]4 = [ )]4 [ ) )]3 = 4 ) ) = = A felsorolt egyel ségeket összeadva most azt kapjuk, hogy [ + )]4 = ) ) Ezutá az el z esettel hasoló módo fejezzük be a számítást, a hetedik hatváyok összegéek zárt formulával törté el állítását. 3
14 Páros k = r eseté a páratla esetél kicsit boyolultabb a számítás, mivel a + ) [ + )]r ) [ )]r = r c i r i egyel ségb l iduluk ki. A c i értékeket a kokrét esetekre voatkozó számítások sorá potosítai fogjuk.) k = r = ) eset: + ) [ + )] ) [ )] = 3 ) [ )] 3) [ ) )] = 3 ) = = 3 A felsorolt egyel ségeket összeadva azt kapjuk, hogy k = 4 r = ) eset: i=0 + ) [ + )] = ) + ) [ + )] ) [ )] = ) [ )] 3) [ ) )] = 5 ) 4 + ) = = A felsorolt egyel ségeket összeadva most azt kapjuk, hogy + ) [ + )] = ) ) Ezutá a jobb oldali második összeg már ismert zárt képletéek behelyettesítésével és az egyel ség átredezésével célhoz érük. 4
15 k = 6 r = 3) eset: + ) [ + )]3 ) [ )]3 = ) [ )]3 3) [ ) )]3 = 7 ) ) = = A felsorolt egyel ségeket összeadva most azt kapjuk, hogy + ) [ + )]3 = ) ) Ett l fogva a befejezés a korábbiakhoz hasoló. 5
16 A kosziusz függvéyel leképezett számtai sorozatok ) összegképlete az iskolai táblázatokból jól ismert egyik képlet alkalmazásakét származó ] ] si [ a + i ) d si [ a + i 3 ) d = cos[a + i )d] si d egyel ségek i = -t l -ig törté összegzésével adódik. voatkozó egyel ség evides.) A d 0 mod π) esetre A d = π e 0 < e < ) speciális esetbe az ) képlet els sora érvéyes, ahol a számlálóba lév két sziusz függvéy argumetuma π egész számú többszörösével tér el egymástól, és így a számláló két tagja kiejti egymást. A kosziusz függvéyel leképezett hatváyozott számtai sorozatok összegképletéhez el ször is a kosziusz függvéyek hatváyaira kell képleteket találi. Bebizoyítható a már korábba 3)-4) sorszámmal is felírt) alábbi általáos formula: cos r x = r [ r ) + r r j= ) ] r cos jx, r j cos r+ x = r r j=0 ) r + cosj + )x. r j A bizoyítást elhagyjuk, bár em túlságosa ehéz, de hosszadalmas iparos mukát igéyel az általáos bizoyítás véghezvitele. Ezekb l a képletekb l x = a + i )d helyettesítéssel és i-re törté összegzéssel adódik, hogy cos r [a + i )d] = r ) r + r r r j= ) r cos[ja + i )jd] r j és cos r+ [a + i )d] = r r j=0 ) r + cos[j + )a + i )j + )d]. r j Itt a kett s szummázásoktól megszabadulhatuk, ha a bels, i szeriti összegzésekre alkalmazzuk a kosziusz függvéyel leképezett számtai sorozat) összegképletét. Ha ezt megtettük, akkor végül a vizsgált érdekes speciális esetre, a d = π esetre felírt 6)-7) képletek levezetése csak techika kérdése. 6
Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenI. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
RészletesebbenA figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
Részletesebben2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
RészletesebbenSorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenHatárértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12
Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
Részletesebben1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1
. feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000
RészletesebbenINJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK
Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy
RészletesebbenAlgebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest
Magas szitű matematikai tehetséggodozás Algebrai egyelőtleségek verseyeke Dr Kiss Géza, Budapest Néháy helyettesítési módszer és a Cauchy-Schwarz-egyelőtleség speciális esetéek alkalmazása bizoyítási feladatokba
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
Részletesebben1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény
Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
Részletesebben1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
RészletesebbenAnalízis feladatgy jtemény II.
Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
RészletesebbenI. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?
Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os
RészletesebbenFourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Fourier sorok FO Trigoometrikus Fourier sorok FO Trigoometrikus redszer Defiíció: trigoometrikus redszer Az {, cos x, si x, cos x, si x, cos 3x, si 3x, } függvéyekből álló (végtele sok függvéyt tartalmazó)
Részletesebbenmegoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások
RészletesebbenKomplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat:
6 fejezet Komplex számo A omplex szám algebrai alaja D 61 Komplex száma evezü mide olya a+bi alaú ifejezést amelybe a és b valós szám i pedig az összes valós számtól ülöböz épzetes egysége evezett szimbólum
Részletesebben3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló
. Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV
RészletesebbenPrímszámok a Fibonacci sorozatban
www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat
Részletesebben3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.
3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
Részletesebben2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása
59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,
Részletesebben1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!
Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)
RészletesebbenI. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN
I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük
Részletesebben6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai
6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
RészletesebbenFeladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)
Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a x + b y c 5. Az egyeletredszer megoldása a Z halmazo (3. rész) a x + b y c A hivatkozások köyítése
RészletesebbenANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenNumerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa
RészletesebbenKomplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.
Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
Részletesebben8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.
8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
RészletesebbenKitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK
Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 69 1. KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
RészletesebbenSOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok
SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
RészletesebbenAnalízis I. gyakorlat
Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
RészletesebbenTaylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra
RészletesebbenHiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai
közzétéve a szerző egedélyével) Öfüggő szekuder-változó csoport keresése: egy bevezető példa Ez a módszer az állapothalmazo értelmezett partíció-párok elméleté alapul. E helye em lehet céluk az elmélet
RészletesebbenMAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA
1 MAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA Tuzso Zoltá Akár a régebbi, akár az alteratív XI. osztályos algebra taköyveket lapozva, akár példatárakba vagy matematikai verseyeke gyakra találkozuk egyél magasabb
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q
RészletesebbenIngatlanfinanszírozás és befektetés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
RészletesebbenNÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8.
. feladat: Eg 5 fős osztálba va fiú és 4 lá. z iskolai bálo (fiú-lá) pár fog tácoli. Háféleképpe tehetik ezt meg? párok sorredje em számít, viszot az, hog ki kivel tácol, az már ige. (0 pot) Válasszuk
Részletesebben3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató
Részletesebben1. gyakorlat - Végtelen sorok
. gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II.forduló -10. osztály
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február 11
Részletesebbendr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár
dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..
RészletesebbenANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add
RészletesebbenBevezetés az algebrába komplex számok
Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenBevezető analízis II. példatár
Bevezető aalízis II. példatár Gémes Margit, Szetmiklóssy Zoltá Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Matematikai Itézet 06. ovember 3. Tartalomjegyzék. Bizoyítási módszerek, valós számok 3..
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK
Matematika emelt szit Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október. Fotos tudivalók
Részletesebben24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.
24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor
RészletesebbenKombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.
Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
RészletesebbenVégtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8
Végtele sorok (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. március 25. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. A sor fogalma 3 3. Mértai és teleszkopikus sorok 8 4. Abszolút és feltételese koverges sorok 4 5. Sorok
RészletesebbenVÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.
VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.
Részletesebben