Prímszámok a Fibonacci sorozatban
|
|
- Mária Szilágyiné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus tdeest@fre .hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat valamely elemét értjük. N.N.Vorobjev []-be bizoyította az u -re voatkozó alábbi tételt: () u + k uk + uuk+ (, k természetes számok) Az () összefüggésből következek az alábbi (), (3), (4) összefüggések: () u u + u u ( u u ) ( + ) ( ) ( ) u u + u u + u + u + u u + u u u ( u + u )( u u ) + u + + Példa: 4, u, u 5, u 5 (5 + )(5 ) A () levezetés szerit tehát, a Fiboacci sorozat mide (kettőél agyobb) páros idexű eleme összetett szám. ( ) (3) u u u + u u u + u ( u + u ) + + ( + ) u+ + u + uu+ u + u + + u ( ) u u Példa: 4, u 3, u 5, u (4) u u u + u u + u u u + u ( ) + ( ) Példa: 4, u, u 3, u
2 . Tétel Ha u a Fiboacci sorozat -ik eleme, akkor u k osztható u -el (k,,3,...). Bizoyítás (teljes idukció): A tétel k eseté triviális, k eseté érvéyes a () összefüggés, azaz a tétel igaz. Tegyük fel, hogy k-ig mide természetes számra igaz a tétel, azaz (5) uk c u (k>, c természetes szám) Vizsgáljuk a k+ esetet: (6) u ( k + ) k k + + c k + + u k ( u + c ) k + + Következméy A Fiboacci sorozat mide u 6k eleme osztható u 6 8-al. Példa: u 89 u u u u u u u Az. tétel általáosításakét adódik a Fiboacci sorozat összetett elemeire voatkozó szükséges és elegedő egzisztecia tétel:. Tétel Legye az idex prímfelbotása p p p k. u q akkor és csak akkor osztója u -ek, ha q p p,...,. { }, p A bizoyítás szükségessége és elegedősége egyarát az. tételből következik. Következméy: A. tétel jelöléseit haszálva kapjuk, hogy u osztható lkkt u, u,..., u ) -vel ( p p pk lkkt a legkisebb közös többszörös jelölése. Ezzel aalóg tétel található []-be a legagyobb közös osztóra.
3 3 Példa: ekkor u u3 u7 3 u6 u4 3 9 u u4 lkkt (,, 3,, 3 9, 3 4) Lásd az. táblázatot! 3. Tétel Ha u prímszám, akkor is prímszám. Bizoyítás: Ha u prímszám, akkor csak két osztója va u és u, ekkor a. tétel miatt összes osztója és, azaz prímszám. A 3. tétel megfordítása csak az alábbi megszorítással érvéyes (lásd 4. tétel). 4. Tétel Ha prímszám, akkor u vagy prímszám, vagy ics olya -él agyobb prímtéyezője, amelyik Fiboacci szám. Bizoyítás: Tegyük fel, hogy prímszám és u k i ( i ), ekkor a. tétel értelmébe i-ek többszöröse, ami elletmodás. Tehát u prímtéyezői között ics Fiboacci szám, kivéve, ha prímszám és az egyetle prímtéyezője ömaga. 5. Tétel Ha k 6 ± (k,,3,...) alakú, akkor u is az, azaz (7) 6k ± u ± mod 6 Bizoyítás (teljes idukció): k eseté u 5, u 3 tehát a tétel állítása teljesül. 5 7 Tegyük fel, hogy k-ra teljesül a tétel. Vizsgáljuk k+-re a 6(k+)+ esetet: ( ) (8) u u u + u u ( u u ) u + u u 6( k + ) + 6k k 6 6k + 7 6k + 6k 6 6k + 7 u ( u + u ) u u u u u 8 u 6k k 6 6k + 8 6k 6 6k + 6k
4 4 Az idukciós feltétel szerit u 6k ± ± mod 6, tehát a (8) levezetés eredméyekét kapott kifejezés mod 6 maradékait az alábbi táblázat foglalja össze: u6k + 8 u6k 3 + mod 6 + Most vizsgáljuk meg a 6(k+)- esetet: ( ) (9) u u u + u u ( u u ) u + u u 6( k + ) 6k k 4 6k + 5 6k + 6k 4 6k + 5 u6k + ( u4 + u5 ) u6k u4 6k + u6 u6k u4 86k + 3 u6k Az idukciós feltétel szerit u 6k ± ± mod 6, tehát a (9) levezetés eredméyekét kapott kifejezés mod 6 maradékát az alábbi táblázat foglalja össze: 8 6k+ 3 u6k + 3 mod 6 Ha az 5. tételt összevetjük a prímszámokra voatkozó [3] ba bizoyított. tétellel, mely szerit mide prímszám 6k-, vagy 6k+ alakú, akkor az alábbi 6. tételhez jutuk: 6. Tétel Ha prímszám, akkor u 6k ± alakú Ha a 6.tételt a [3] ba bizoyított. tétellel (Komplemeter Prímszita tétel) vetjük össze, akkor a következő 7.tételhez jutuk: 7. Tétel Ha prímszám és u em prím, valamit r az u prímtéyezőiek száma, akkor (0) u ( 6k i ± ) r i Figyelembe véve a feti 4. tételt adódik, hogy a (0)-be szereplő 6k i ± prímtéyezők egyike sem Fiboacci szám. Példák: 9, u 9 48(6 6+)(9 6-) , u (93 6-)(403 6-) További példák e dolgozat végé közölt. táblázatba találhatók. NYITOTT PROBLÉMA: Va-e a Fiboacci sorozatak végtele sok prímszám eleme?
5 5 Refereces [] Vorobjev, N.N.: Fiboacci Numbers Pergamo Press, New York, 96. [] Verer E. Hoggatt: Fiboacci ad Lucas Numbers Houghto Miffli Compay, Bosto, 969. [3] Dées Tamás:
6 6. Táblázat A Fiboacci sorozat -73. elemei és ezek prímfelbotása i u i u i prímfelbotása i u i u i prímfelbotása x3x x33x357 prím 3 prím x5x7xx4x6 4 3 prím prím x59369 prím 5 5 prím (6k-) prím prím (6k-) prím 7 3 prím (6k+) x43x89x99x x x5x7x6x x x46x x prím prím (6k+) prím 89 prím (6k-) x97x prím 3 33 prím (6k-) x x597x x5x x33x5x x7x47 prím x prím prím (6k+) x89x66x47454 prím x x5xx x37x3x797x x3x x9489x x99 prím x prím prím (6k+) prím x x47x x x3x7x4x x7x53x x7x47x087x07x x3x9x x33x prím prím (6k-) prím x6849x4993 prím x x67x597x357x x7x47x x37x89x8077x x89x xx3x9x7x9x x357 prím x x3x prím x prím x49x
SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenOSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.
Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :
RészletesebbenKövetkezik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.
Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges
Részletesebben1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!
Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)
RészletesebbenI. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
RészletesebbenDénes Tamás matematikus-kriptográfus
Dénes Tamás matematiks-kriptográfs email: tdenest@freemail.h omplementer prímszita és alkalmazása a prímszámok számának becslésére ABSTRACT A címbeli komplementer kifejezés azt jelzi hogy a szokásossal
RészletesebbenSzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.
SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
Részletesebben3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló
. Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenÁ ű Ü Á Ö É Á É É Á É Á ű Á Á ű Ö Ó ű Ó Ó ű Á ű ű ű ű ű ű ű ű É Ü ű ű É É É Ö Ü Ü ű Ü ű Ü É Ó Á Á Ü Ö ű Ü ű Ü Ó ű Ú Ü ű Ü Ü Ú Ü Ü ű Ö Ü Ü Ú Ö Ü ű Ü ű É ű Á ű É É Ú Á ű Á É Ü ű Ú Ó ű ű Ü É Ő ű ű ű Ú Ö
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
RészletesebbenINJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK
Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy
Részletesebbenü ü ű ű ü ü ü Á ű ü ü ü ű Ü
ü ű ü ű ü ü ü ü Á ü ü ű ű ü ü ü Á ű ü ü ü ű Ü É É Á Á Á Á É Á Á Ő É É É Á É Á É Á É Á ű É É Á Á É É É Á É Á É Á É Á Á ü ű ű ü ü ü ü ü üü ü ü ü ü ü ü ű ü ü ű ü ü ü ü ű ü ü ü ű ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ű ü
Részletesebbenö é é ú ö ú Ü ő ű ó ő é ó ú ó ó é é é ó ö é ó é ó é ő ő é ü é ó é ó ő ű é Ó é ü é ó é ü ó ó é ü ó é ő é
Á Á ö Á É Á É ú Á Á ö é é ú ó Á é ú é ó ú ő é é ú é ü é ó ó ó ő é ó ó ó é ó é é ó ó é é ó é ü ü ü ő ó é é Ó ő é é ö ö ő é é é é é ú ő ő é é ó ü ú ő é ö é ő ö ü é ő é é ú ő é ü é ü Ú é ö ö é é ü ó ö é é
Részletesebbenú ú ü ü ú ü Í ü ú ü ú ü ú ü ü ű ü ú ű Í ü ü ú ű ü ű ű ü ü ü ü ű ú Ú ú
ú É ú ü ú ü Í ü ú Ú ú ú ü ü ú ü Í ü ú ü ú ü ú ü ü ű ü ú ű Í ü ü ú ű ü ű ű ü ü ü ü ű ú Ú ú Í ú É Í Á Á Í É Á Á Á Í Á Ó Á Á É Á Á É É ű Á É É ú É É Á Á ú Á ü Á Á Á Á Ú É ü ú ú É É ú Ú Á Á É Á É Ó Ú ú Ú Í
Részletesebbenú ü ő ú ú ü ő
É É ú ü ő ú ú ü ő ú ú ú ő ő ú ü ő Ö Ö Ó Ó É É ő É É É É É É É É É ő É É É É ű ű ő ő ú ú ü ú ő ő ő ü ő ú ő É ő ő ü ű ő ő ő ü ü ő ü ő ü ő Ö ő ő ű ü ő ő ő ő ő ő ő ő ü ú ü ő ü ü ő ü ü ő ő ü ő ő ő ő ü ő ő ő
Részletesebbenű Ó Á ú ü Á É É ü ü Áú Ő Ó Ü Á
Ö Ö ű Ó Á ú ü Á É É ü ü Áú Ő Ó Ü Á ü Á Ó Ü ű Ü Ó Ó ú Ü Ű ú ü Ó ú Ó Ü É Ü Ő Á Ó Ó É Ó ú Ó Á ü Á Ó Ü Ü Ó ú ü ü ü Ü ü Ü Ü ű Ó ű Ű Ó ú Ó Ü Á ü Ü É ű ü ű Ü ú ü ú ü ú Á Ü Ü Ö ü ü Ü ű ú ü ú É ü ú ú Ü Ü Ü ü ú
RészletesebbenÓ ö ű Ü Ó Ó Ö Ö Í Ó Ö Ú Ö Ű Ü Ö Ö ö Ü Ó Í ö Ü Í Ü Ú Ö Í Ó Ó Ó Ö Ö Á Ó Ü Ó Ó Ö Ó Ó Ó Ö Ö Í Ó Ö Ó Ó Ó É Ü ű Ó ú
Á É É É Ü Á Ü Ü ű Í Ó Ü ű Ó Í Ú Ü Ó ű ú Ü ű ö Ó ö ű ű Ó Ó Ó Ő ű Ó Ö ö Ó Ö Ü Í Ü Ó Ü Á Í Ó ü Ú Ó ű ú Ó úü Ó Ú ü Í ű Í Ő Ó Ó Ó Ó Ü ú Í Í Í Ó ö ű Ü Ó Ó Ö Ö Í Ó Ö Ú Ö Ű Ü Ö Ö ö Ü Ó Í ö Ü Í Ü Ú Ö Í Ó Ó Ó Ö
Részletesebbenő ő ú ú ő ö ö ö ö ő ö ü ű ü ö ú ö ö ű ü ő ő ő ő ú ő ü ő ő ő ő ő ü ő Ö ő ö ü ő ö ő ú
ú ú Á ö ő ő ú ú ő ö ö ö ö ő ö ü ű ü ö ú ö ö ű ü ő ő ő ő ú ő ü ő ő ő ő ő ü ő Ö ő ö ü ő ö ő ú ő ö ü ö ö ö ü ő ö ü ö ő ú ö ö Ú ő ö ö ő ö ű ő ő ű ü ü ő ő ő ő ő ő ő ő ő ü ű ű ü ő ü ü ő ö ú ű ö ö ő ü ő ü ü ő
Részletesebbené é é é í é ű ü ü é ú é í é ü ü é í ű é é é é é é é é ü é ü é ü é í é é é é í é ü é é ü ü é ü ű é é é ű ü é ü ü é ű é ü é éú é ü é ü ű é ü é éú é é é
é Ö é ü é é é ü é í é Ó é Ö é Ú Á é í í ü é é é é ü ü é é é ü é é é ü é ü é í ü é é ü é ü í ü é ü ű é ü ú ü é Í ú ú é ü é é é é í ü é é ü é é é é é é í é ű ü ü é ú é í é ü ü é í ű é é é é é é é é ü é ü
Részletesebbenö Ö Í ó ö ü ö ö ó ó ü ó Í ö ö ö ó Á ü ü
Í ö ü ó ü ó ö Ö Í ó ö ü ö ö ó ó ü ó Í ö ö ö ó Á ü ü ó ö Í ó ö ó ü ó ó ó ö ö ü ü ö Ó Í Í ü ö ö ö ó ü ó ü ö Ö ö ü Ü ö ö ü ó Í ö ö ö ó Ü ö ö ö ó ó ó ó ü ó Ü ö Ü ó Á Á ö ö ö ó ó ó ó ó ó ö ó ű ó ö ö ö ö ü ú
Részletesebben1. Sajátérték és sajátvektor
1. Sajátérték és sajátvektor Leképezés diagoális mátrixa. Kérdés Mely bázisba lesz egy traszformáció mátrixa diagoális? A Hom(V) és b 1,...,b ilye bázis. Ha [A] b,b főátlójába λ 1,...,λ áll, akkor A(b
Részletesebbenó ö í ó í ó í í ü ü í ó ó í ó ó í í Á ö í ö ó ú í ó ó í
Á Á É ó Á ö ú ú ö ö Í ó ö ö í Á ó Á ü ú ü ö ó ú í ó ú í ó ű í ú ó Á ó Á ü ú ó ö í ó í ó í í ü ü í ó ó í ó ó í í Á ö í ö ó ú í ó ó í ö ö í ó ó í í ü ü í ó Á ü ü ü Í ö í ü ó í ű ö ó ó ó ö í ö ó í ó ü ó í
Részletesebbenö í Á Á Á ö É É í É Á Á Á Á Á É ő ö í ő ö ő ö í ü ő ö ő ö ő ü ö ő ö í ő ő ő ö í ő ő ú ö ű ö ő ö í
ú ö ű ö ő ö í Á Ü ú Á Á Á ö É É í É É Á ö í Á Á Á ö É É í É Á Á Á Á Á É ő ö í ő ö ő ö í ü ő ö ő ö ő ü ö ő ö í ő ő ő ö í ő ő ú ö ű ö ő ö í ö í Á Á Á ö É É í É Á Á Á Á ö ö ú ö ű ö ő ö ö ő í ö í ö í ő ö ü
RészletesebbenDifferenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének
Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét
Részletesebbenö ö í í í í ö í í í í í í í í ö ú ö í í í í í ö ö ü í ö í ö í í í ü í í ö Í í ö ü ű í í í í í
Á É ö úú í ö ö í ű í ú ű Ő ű ű ű Ú ö ö í í í í ö í í í í í í í í ö ú ö í í í í í ö ö ü í ö í ö í í í ü í í ö Í í ö ü ű í í í í í í ö ö í í í ö ö ü í ö ö ü í í ö í í í í ö ű í ö í í ü í ü ü í Í ű ü í ű
RészletesebbenANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add
RészletesebbenSzámelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb
Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb 2004_02/4 Tegyél * jelet a táblázat megfelelő rovataiba! Biztosan Lehet hogy, de nem biztos Lehetetlen a) b) c) Négy egymást követő természetes
Részletesebben(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.
Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N
RészletesebbenOszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán):
Oszthatóság Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Azt mondjuk, hogy az a osztója b-nek (jel: a b), ha van olyan c egész, amelyre ac = b. A témakörben a betűk egész
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
Részletesebben7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?
7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
Részletesebbenö ö ö ö ö ő ú ü ő ö ü ő ú ő ő ő ö ő ö ü ű ö ü ő ú ő ő ő ű ű ö ő ő ü
Á Á Á Ú Ö Á Á É Á Á Á Ó É Á Ő É É Á Á Á Ö Ő Á Á Ó É Ő É ű Á Á Ü ö ú Ö Ú Ó Á Á Á Á Á Ó Á Á ö Ü ö ö ö ö ö ő ú ü ő ö ü ő ú ő ő ő ö ő ö ü ű ö ü ő ú ő ő ő ű ű ö ő ő ü ö ö ü ö ü ő ú ú ö ö ü ő ő ő ú ő ú ö ö ő
Részletesebbenú É ú Ú ű Ú ű Ú ú Ú ú Ó ú ű ú Ü ú ú ű ű Á ű Ú Á ű ű ű ú Ú ú ú ű Ú Ő Ú
ú ű ú ú ű Ú ú ú ú ú É ű ű ú ű Á ű É ú ú ú ú É ú ú É ú ú ú É ú ú ú ú É ú Ú ű Ú ű Ú ú Ú ú Ó ú ű ú Ü ú ú ű ű Á ű Ú Á ű ű ű ú Ú ú ú ű Ú Ő Ú Üú ű Á ű É É ű ú É Á ú Ú ú É ú ú ú ú É ú ú É É ú ú ű ű ű Ú ű É ű
RészletesebbenHatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenÁ Ö Ú Ü Á ő ü ű ö ő ő ö ü ö Á ö Ü ö ü ő ő ő ő ő ő ő ő ü ö ü ő ö ő ö ő ő ő ö ő ő
ő ö ű Á Ö Ú Ü Á ő ü ű ö ő ő ö ü ö Á ö Ü ö ü ő ő ő ő ő ő ő ő ü ö ü ő ö ő ö ő ő ő ö ő ő ö ő ő ő ü ü ő ö ő ö ü ő ő ö ö ö ü ő ö ü Ö ő ö Ü ű ö ö ö ő ö ü ö ö ö ö ü ő ő ö ü ö ő Á Ö Ű Á ö ö ü Á Ö Ú ő ő ö üő Ö
Részletesebben2. Melyik kifejezés értéke a legnagyobb távolság?
1. Határozd meg, hogy az alábbi öt híres matematikus közül kinek volt a megélt éveinek száma prímszám? A) Rényi Alfréd (1921-1970) B) Kőnig Gyula (1849-1913) C) Kalmár László (1905-1976) D) Neumann János
Részletesebbenú ú ú ő ő ú ő ő ú ú ú ő ű ú ő ú ú ő ő ú ő ő É ő ő ú ú ő ú ő ő ő ű ő ő ú ú ő ő ő ő ú
ú ő ű ő ú ő ő ő ú ő ő ő ű ú ú ő ő ú ő ő ő ő Ú ú ő ű ú ú ú ő ő ú ő ő ú ú ú ő ű ú ő ú ú ő ő ú ő ő É ő ő ú ú ő ú ő ő ő ű ő ő ú ú ő ő ő ő ú ú ű ő ő ő ő ő ő ű ú ő ő ú ő ú Ü ú ú ű ő ő ú ő ő ú É ő ő ú ő ő ő ő
RészletesebbenSzámelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!
Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása
RészletesebbenSzámelmélet. Oszthatóság
Számelmélet Oszthatóság Egy szám mindazok az egész számok, amelyek az adott számban maradék nélkül megvannak. Pl: 12 osztói: 12=1x12=(-1)x(-12)=2x6=(-2)x(-6)=3x4=(-3)x(- 4) Azt is mondhatjuk, hogy 12 az
Részletesebbenű ű É ü ü ő Ó Ü ő ő ü É ő ő ő ő ő ü ő ő Ü ő ő Ü ü
ű ő ő ü ű ő ő ő Ő ő őű ü ő Ü ű ű É ü ü ő Ó Ü ő ő ü É ő ő ő ő ő ü ő ő Ü ő ő Ü ü ő Ú ő ő ő ő ő ő Ö ő ü ő ő Ő ő ő ő ő ő ő ő ő Ő ő ő ő ü ő ő ü Ó Ő ő ű ű ő ő ő ő Ó ü ő ű ő ő ü ü Ü Ó ő Ó ő ő ő Ő Ő ő ő Ü ő Ü
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
Részletesebbenű ő ö ő ő ü ő ö ő Á ő ő ő ő ü ő ő Ó ö ü ü ő ö ű ő ő Ö ő ü űő Ö ú ő ü ú ö ő ö ü ő ü ö ő ö ő Ő ő ü ő ö ü ő ü ö ő ő ű ö ő ö ö ö ü ö ú
ő ö ü ő ő Ó ő ü ü ő Ü ő ő ő ő ő ö ő É ö ő ő ö ö ü ő ü ü ő ő ő ü ü ő ő ü ő ü ö ő ő ő ö ö Ö ő ő ö ő ő Ó ö ö ü ű ő ő ü ő ő ő ő ü ő ő ü ü ö ő ő ü Ó ő ő ü ú ű ő ö ő ő ü ő ö ő Á ő ő ő ő ü ő ő Ó ö ü ü ő ö ű ő
Részletesebbenú ü ü ú
Ú Á É Á É Í Á ú ú ú ú ü ü ú ú ű Á É Í Á Í Á É Í Á Á É Í Á Ó É Ú Ú Í Á Á É É É Ö Á Á É É É Á Í Í Á Á Á É Í Á Á É Ú Í Á Á É É É Ú ú ü ú ú ű ú ú ü ú Í Í Á É Í Á Ö É Ö Ú Ű Í Á Á É É ú ü ü ü Í ű ű Ü Á É Í Á
Részletesebbenú í ü ü ö ű í í í í ü ö ö ö ö í í í ű í ö Á ö ö í í ü ö ü ü ű
í ö ö ú í ü ü ö ű í í í í ü ö ö ö ö í í í ű í ö Á ö ö í í ü ö ü ü ű ö ö ö ú ü ö ö í í í ö Á ö ö ö ö ö ö ö í ö ö ö ö ö ö ú Ő ö ö ö í ú ú ö ö í ö ö í ű í ö ö ö ö Á ü ö ü ö ü ű ö ö ö í ö í ü í ű í í ö ö Á
RészletesebbenÉ Í ó Í Í ó Íó ó ó Á ó ú ö ű ü ú Á Í ó ó
Í Í Í Í ó ó ó ú ó ő É ú ö ü ú Á Ú ő ö ó ó ó ó ő ő ó ü ő Á ö ű ü É Í ó Í Í ó Íó ó ó Á ó ú ö ű ü ú Á Í ó ó ő ó ú Á ő ü Á ő ú Í É ö Í ö Á Í Á ő ó ő ó ó Á ó ó ó ó ó Íő Á ü ö ó ó ő ó ó Í ö ó ő ú ó Í ö ő ö ó
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
Részletesebbenö ö Í ü ö ü ö ű Ü ö ö ö ö ö Ö Ó ö ö Ö ö ö ü ű ö ü ö ö ű ö ü
ü ö ü ü ü ö ö ö ö ö Í ü ö ü ö ű Ü ö ö ö ö ö Ö Ó ö ö Ö ö ö ü ű ö ü ö ö ű ö ü ö Ö ö ü ü ű ü ö ö ö Ü ű Ü ű Í Í ü ú ü ö ú ö ö ö Á ö ű ö Ö ö ö Ö ö ü ö ö ü ö ü ü ö Í ű ü ü ö ö ö ö ö ö ö ű ö ö ö Ö ö ü ö ö ö ú
Részletesebbenf(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x
Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
Részletesebbenű Í ő ű ü ő ő ú ő ű ü
Ó Á É ú ű ű ő ú ő ü ő ü ő ü Ö ű ő ű ő ő ő ű ű Í ő ő ű ű ő Í Í ő Í ő ő ő ú ü ű Í ű ú Í ű Í ő Í Í Í ú ú ű ú ű Í ő ű ü ő ő ú ő ű ü ú ő ű Í ű ű ű ü ő ő ő ő ü ü ő ő Íű ő ő ű ő ü ő ű ü ü ő ő ő ü ő ü ő ő ő ú
Részletesebben2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása
59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenÍ Ó É É É É Ó Ó ú ú Ó Ő Í Ó Ö Ó
ÍÍ Ó É Ó Ó ú Ó Ó Ó ú Ó É Í Ó É É É É Ó Ó ú ú Ó Ő Í Ó Ö Ó É ú Ö Ö Ó É Ó ú ú Á Ó Í Ó Á Ő Ó Ó ú Ó Ó Ó Ó Ó Ó ú Ó Í Í Ó Ő É Ó ú Ő Ő É Ó Ö Ó Ó Ó É Ó Ó É Ú Í Ö ú ú Ö Ö Ó ú ú Ó Ó Ó Ó Ó Ó Í Ó ú Ú Ó ú Í Ó Ó Ó Ó
Részletesebbení ű ű ö í ö í ű í ú ű ű ű í Í í ö í Í ÍÍ ö ü ö í ű í ö ö ö ű í í ö í ö í ü ö í í í ű í ű ö ö ö í ű ö ö ű ü ö ö ö í ú ü ű ö ú í ö ö í ü ö ö í í í í í í
É Á Ú Ö É É É É Ü É ú ö í ü ö ú ö í Ü ü ü ö ö Ő ú í ú ö í ü Á í ű Í í í ú ü ö í í ű í Í ű ü ű í ü ü í ű ú ö Á ö ö ú ö í ű ű ö í ö í ű í ú ű ű ű í Í í ö í Í ÍÍ ö ü ö í ű í ö ö ö ű í í ö í ö í ü ö í í í
RészletesebbenAnalízis feladatgy jtemény II.
Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................
RészletesebbenÖ í ó ű í íű ű ó ó ó ó ó ó ó ó ü ó ó Ö ó ü ó ü ó ú ú ú Ö ó ó ó í ó ü úú ü í ó ó ó í Ó Ó ó í Ö í ó ú í ú í ó ü ü ú í í ú í ü ú í
Ö ü Ü Ö Ö ü ü ü ó ó ó ü í í ó í Ö í Á í Ü Ó í ó Ö í Í ü ú Ö í ó ű í íű ű ó ó ó ó ó ó ó ó ü ó ó Ö ó ü ó ü ó ú ú ú Ö ó ó ó í ó ü úú ü í ó ó ó í Ó Ó ó í Ö í ó ú í ú í ó ü ü ú í í ú í ü ú í ó ó í í ú í ü ó
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
RészletesebbenVéges matematika 1. feladatsor megoldások
Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a
Részletesebbenö ü ü ö Ő ü í ü í ü ö ö Ö ó ö ö ö ö ó ö ö ö í ü í Ő Ü ü ö í Á í ü ü ü ö ű ú ö ö ü í Ü Ő ü ü ó ó ó ó í í ó í ö ú ü ü Ö Ö ű ó í ó ó ü ú ü ü ö í ó Ő Ü ó
ö ö Á É ü Ő Ö í ü í ü í ó ó ó í í ó í ö ú ü ü ö ö ű ó í ó ó ü ú ü ü ö í ö ü ü ö Ő ü í ü í ü ö ö Ö ó ö ö ö ö ó ö ö ö í ü í Ő Ü ü ö í Á í ü ü ü ö ű ú ö ö ü í Ü Ő ü ü ó ó ó ó í í ó í ö ú ü ü Ö Ö ű ó í ó ó
RészletesebbenÁ Á ő É ö ö ő É ő ö ö ő ö É É Á ő É ő ö ö ö ő ő ő ő ő ő Ó É ő ő ő ő ü ő ő ü ü ö ö ő ő ú ű ű ö ő ö ú ő ü ő Ü ö ö ő ö ü ő ö ö ö ö ö ő ő ö ö ő ő ö ú ü ű ü ú ő É Á ő ő ö ő ő Ü ö ő ö ö ü ő ő ú ű ü ő Í ö ü ú
Részletesebbenö ü ö Ö ü ü ü ü Í Í Í Í ű ö ö ű ú ö ö ö ü ú ü ü ü ü ü ü ü ü ö ü ú ü ü ú ü ö ü ü ü ü ú ú ö ö ü ú Ö Ő Ü É Ó Ö Ó Ó ö ö ö ö É ü ö Í ö Ó Ó ű Ó Ó ű ü Ó Ó Í ü Ó Ü ü ü Ö ü ü Í ö ü ü ú ú ü ü ü ö ö ö ö ü ü ö ü ü
RészletesebbenÉ É Í ü ü ü ű ü ü ü ü ü ü ú Í ű ú ü ű Á ú Ú ű űü Ú Ú É É ű Ú ü ú ű ú ű ü ű Í Í Ú É Ú Ú Ú Í ú ú Ú Ú É ü űü ü ü ü Ú ű ú ü ú ü ú ű ű ü ú ü ú ü Ú ü ú ü ü ú úü ú ú ü ú ü ú Ú ű ú ü ú Ú ű ü Ú ú ü ú ú ü ü ú ú
Részletesebbenő ő Á ő ő ő ü ő ü ő ő ő ű ő ő ő ü ő ő ő ő ő ő ő ő ü ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ű ő ő ü ü ű ő ő ő Á ő ü Ó ő ő ő ő ő ü ő ü ő ő ő ő ü ő ő ü ő ő ü ő ü ő ü ő ő ő ő ő ü ő ü ü ő ő ő ű ő ű ü ü ő ő
RészletesebbenÍ ü ú ü ü ü ü ú ű ű Á ü ü ű ü ű ű ü ü ü ü ü ü ü ű ű ű ű ű ü ű ü ű ü ü ű Ö ű ű ű ü Ö Í ü ű ü ű ű ű ű Í ü ű ű ü ű ű ü ű ü ű ü ű ű ü ű ű ű ű ű ü ü ü ű ü ű ü Í ű ü ű ű ű ü ű ü ü ű ü ű ü ű ü ű ű ű ű ü ü ü ü
RészletesebbenÜ Ö Á Á Á Á É É Ü ű ű ű ű Á Ú Ü Ü ű Á Ú Ü Á Ü Ü Ü ű É Ü É Á ÜÜ Ü Á Ü Ü Ü Ü Ü Ü ű Ú ű ű ű Ü Ú Ü Ü ű Ü ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ü Ü ű ű ű ű ű Ü Ü Ü Ú Ü Ü ű Ü Ü ű Ú Ú Ü ű ű Ü Ü Ü ű ű Ú ű Ő Ü Ü Ü Ü Ü Ö Ú ű Ú ű ű
Részletesebbenü Í Í Í Í Í Í Ö Í Í ú ő ü Ú ő Í Í Í ü ü ő ő ő ú Í ú ő Ó Í ő ü ű ű Í ő Í ű ű Í ú Í ú ü ú ő ő ü Ü Í Í ú Ó ű ő Í ő ő ü ő ő ő Í Í ü ü ú Ú ü ü ü ő ű ü ő ő ú ő ü ő ú ő ő ő ű ő ő ü ü ű ü ő ü ő ú ő ő ü ő ő ő ü
Részletesebbenö Ö ü ö ü ö Ö í ü ö ü ű ö ö í ö ö ö ö í ü í ö í ö ö ü ú ö í ö ö ö í ö ú ü ö ö ö ű ö ü í í ö í í ö ö ö ü Í í Ú ú ü ű ö í ű ö ö ö ü ú ö ö í ö í ú ö ö ö ö Ö ü Ö ű ö Ö ü ö ö ö ö ü ű ö í ú í Á ü í í ö ü ö Ö
RészletesebbenÜ É É ü ü ú ú Á ü ú ü ú ú ú ü ű É ü ü Ü É Á Á Á ú ü Ö Á ű ű ú ű É ú Ű ű ü ü ú ű ü ú ü ű ü ú ú ü Ú ú Ó ú ü ű ü Í ü ú ü ü ü ü ú ü ú ú ü ú ü ú ű ű ü Ü Ű ú ü ű ú ű ú ú ü Ü ü ü Ü ü Ü ü ü Ó Ö ü Ú ú ü ú ű ü ú
Részletesebbenő ú É É ő ő ő ő ő ű ő ő ő ő ő ő ő ú ű ő ú ü ü ő ő ü ő ú ú ü ő ő ő Ó É ő ő ő ő ő ő ő ő ő ü ő ő ő Í ü ű ő ő Í ü ő úú ú ű ü É Ő Í ü ő ő ő ő ü ő ű ő ü ő ü Ű ü ü ú ü ü ü ü ú ő ő ő ő ű ő ő ú ü ő ü ő ő ű ü ő
RészletesebbenÉ É ő ő ő ő Ü ú ú ő ú ú ú ú Ú ő ű ú ű ú ő ú ú ú É É ú Ú ő ő ú ú Ó Ó ú ú ú ő É É Ü Ó É ő ű ú ő ő É ú ú ú ő ő ő ő ő ú ő ő ú ú ú ű ő ő ő ű ő ő ú ő ú ú Ó ő ú ú ú ú ú ő ú ő Ó ő ő ő ú ú ő ő ő ú ű ú ű ű ű ú ő
RészletesebbenÍ ú Í Ú É Á É Á Ü Ü Ü É Ü Á É Á Á Í Á Á Á Á É É Á Á Ú É ú Í Ú Í Í ú ú ú Í ú ú ú ú Í ú Ú ú ú ú ú ú ú ú Í Í Í Í Ú Í ú Ú Ú Ö Í ú ú Ú É Ú É ú ű ú ú ú ú ú ú ű ű ú Í ú ú Ú É ú ú ű ú ú ú ú Ú ű Ú ú Ú ú Ú É ű ű
RészletesebbenÖ Ú É ő ú Ü Ú É É ö ú ő ú ú ú ú ö ö ú ő ú ú ö ú Ő ö ő Ö Ú Ó ö ü ú Ü ö ú ü ü ú Ü Ú Ö Ú É ü Ú Ó ú Ú É É ő ú ő ő Ö ö Ö ü Ó Ú ú É ú ú ö úú ú ö Ü Ú É ö ő ő Ó É Ú Ú Ú Ó É É Ü É Ú Ú É ú ö ú ö ő Ú É ö ü ö ő ü
Részletesebbenű ő Ü ő Ü ő ő ő ő ő ő ő Ó Ú Ú Ü Ú ű Ú Ö ő ő Ó ő Ú ő ő Ú Ú ű ő ő ő ő ő Ú ő ő ő ű ő Ú Ú ő ő ő ő ő Ü ő Ú ő ő ő ű ő Ú Ú ő Ú ő Ú ő Ü ő ő Ö ő ő Ú ő Ú Ú Ü ű Ö ű Ö Ó ő Ó Ú ő ő ő ű ő Ó Ú ő Ü Ú Ü ő ű ő ő ű ő ő ő
Részletesebbenű ű ű ö ö ö ö ú ö ö ö ú ö ö ö ö ú ö ö ö ö ú ú ú ö ö ö ú ú ú ú ö ö ö ú ű ű ű ú ú ö ö ö ö ú ú ö ű ö ö ö ö ö ö ű ú ö ú ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ű ú ú ö ö ö ö ö ö ú ö ú ö ö ö ö ö ö ú ö ö ú ö ö ú ú ú ö ú ú ú ű ú
RészletesebbenÓ Á Á ű Ü Á Á ű ű ű ű ű Á ű ű Ö ű Á Á Á Ú Ú Á Á Ú Ü Á Ö Ú Ó Ó Ő ű ű Ő ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú Ő ű ű ű Á ű ű ű Ü Ü Ü Ú Ó Ü Ü Ö ű Ü Ú Ó Ó Ó ű Ü Ü Ü Ü Á Á Á Ö Ú ű ű ű ű Ö Á ű Ö Ö Ö ű Ú Ó Ö Ö Ö ű ű ű Ú Ú Ö
Részletesebbenő ö ú ö ű ü ő Ö ő ő ő ő ö ö ö ö Ü Ö Ö Ö Ö ő ő Ö Ú Ő ő Ü ö ő ő ő ő ö ú ö ö ö ő ö ú ö ú ő ű ú ö ú ü ű ö Ú ü ü ö ő ő Ó ÜÜ ő ő ö ö ű ö ö Ü Ó ö ö ú ö ú ű ö ú ö ú ö ö ö ű ő ö ő ö ő ö ú ő ő ő ő ő ú ő ő ő ö ú
RészletesebbenÍ Í Ü Á ú Ú É ú Ú Í ű ú ú ú ú ú Í ú ú Ú ú ú ú Ú É ú ű ú ú ű ú ú Í ű ú ú ú Ú É ú ú ú ű ú Ú ű ú Í ű ú ú ú Á ú Ú É É ú ú ú ú ú Á Í ú ú Í Ú É ú ú ú Í Ü ű ú Í ú ú ű ú ú Í Í ú Í Ú É ú ű ú ú ú Í ű ú ú ú ű ű ű
Részletesebbenü ű Ü ü Ü ü Ü ü ü Ó ü ü ü ü ü ü ü ü ű ű ü ü ü ü ü ű ű ü ü Ú ű ü Ú ű ü ü ü ü ü ü ű Ú Ú ű ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ű ű ü Ú ű ü ü ü ü ü ű ü Ó Ó Ö Ó Ó ü Ö Ó Ü Ó Ó Ó Ó Ó Ö Ó Ó Ö Ó Ó Ó Ó Ü Ü Ú Ó Ó Ö Ó Ó Ó ű
RészletesebbenÍ Ú ü Á Á ü ű ü ü Ö É Ő ű ű ú ú ű É ű Í Ü É ü ü Ü úü ü ü Í ú ü Ő ű Í ű Í Ú Í Ú ü ú ű ű Ú ű É ú ú Í ü ü Ú Ú Ú Ú Á ű ü ü Í Ú Á Á ű ü ü Ú Á ű ü ú Ú ü ü Ú Ö É Ö ü ú ú ú ü ü ú Ö Ü ü Ü ú üü Á ú É Í É Í Í ű Á
RészletesebbenÜ ő Á ü ú ü Ó ú ő ú ú ő ü ü Á ú ü Í Ó ú ü ú ü ü Á Á ú ő ú ü ü ő Ö ő Í ő ü ő ü ű ü ú ú ü ü ú ő ű ú ú Á Á Á ő ő ú Ó Ö Á Ö ü ő Á ü ü ü ü ő ű üü ü ő ü ő ü ü Ú ú ü Í ú ü ü ü ő ő ő Á ő ő Ó Ó Á ő ü ü Ó ő ú ő
Részletesebben