(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

Átírás

1 Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N eseté A) 0 < ε A két defiícióbeli feltétel ugyzt jeleti z egyelőtleség midkettőbe A < ε), ezért A A 0 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté 0 < ε 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté 0 <ε A két defiíció feltétele ugykkor teljesül mert z egyelőtleség midkettőbe < ε), ezért bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté 0 < ε Pozitív tgú soroztr 0 < ε < ε b + bármely K R számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté b > K Az utóbbi defiíciób elegedő feltételt pozitív K számokr megköveteli, hisze bármelyik pozitív számk megfelelő N küszöbidex megfelel mide egtív K kostsk is 0 + : Legye K R + 0 defiíciójából következik, hogy ε : K eseté is v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N eseté < K > K Ez muttj, hogy : Legye ε R + + defiíciójáb K : ε eseté is v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N eseté > ε < ε Így 0 4 Megmuttjuk, hogy 0 0 < ε < ε <, ε N, ε R + [ ] Tehát z ε R + számhoz N : ε lklms küszöbidex 0 defiíciójáb ) H q 0, kkor 0 0 H 0 < q <, kkor Beroulli-egyelőtleség szerit mide N eseté ) )) ) ) + q q + q > q Legye h : q, kkor h > 0 és 0 < q < h Mivel 0 0, 0, ezért közrefogott sorozt is 0-hoz trt, zz q q 0 A IV feldt szerit következik q 0 h b) A II feldt szerit R, > eseté < < +, N és +, így közrefogási elv szerit A 0 < < eset pedig visszvezethető z előzőre: > és c) A II 7 feldt szerit < < +, N és +, így közrefogási elv lpjá

2 Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt d) Mide páros egész -re! ) ) + ) > {{ db, {{ + db ezért! > ) + ) Mide pártl egész -re ) ) +! ) > {{, {{ db + db így! > ) + ) Midkét esetbe! > ), 0 < <! Mivel 0 0, 0, ezért közrefogott soroztr! 0 6 ) H >, kkor biomiális tétel szerit mide N, > eseté ) + )) > ) ) Ebből Nyilvá 0, így közrefogott soroztr 0 b) Bármely N eseté k 0 < < ) k ) k ) k ) ) k Mivel >, ezért k 0 z ) rész szerit k drb 0-hoz trtó sorozt szorzt is 0-hoz trt, tehát ) k 0 c) V oly k N, hogy < k Legye N, > k d)! k Legye L : k A k szám válsztás mitt Mivel L k + <,, 0, közrefogott soroztr! 0! 0, így közrefogott soroztr 0 k + < 0 <! < L 0 <! 7 ) 3 3 ) 0 IV ) feldt szerit, hol q : 3 b) si π 4 mitt si π 4 ) ) 0 IV ) feldt szerit, hol q : c) si 3π mitt si 3π ) ) d) diverges ) ) IV ) feldt szerit e) 0 IV6 ) feldt szerit, hol :

3 Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt f) 0,999 0,999 ) 0 IV6 ) feldt szerit, hol : 0,999 > g) A IV b) feldt szerit, hol : h) ) ) ) < < 00 A IV4 b) feldtot : 00-re lklmzv kphtó 00, ezért közrefogási elv mitt i) + < A IV b) feldt szerit, így midkét közrefogó sorozt -höz trt Végül közrefogási elv lpjá + j) ) IV c) feldt szerit k) j) feldt szerit l) A számlálót és evezőt is elosztv evezőbe szereplő legmgsbb -htváyl m) ) IV ) és IV6 b) feldtok mitt 0 8 0,999, 0 30, A IV6 b) feldt szerit lim 0, hol k : 00 és :,00 9 Tetszőleges C R számr : C 0 és b : : ) 0 és b : 0, továbbá b C C 0 eseté pedig b ), mi diverges 0 ) + + ) ++ ) , mert A vége részletesebbe: 0 < ++ < ++ 0) és 0, így közrefogási elvet felhszálv kphtó b) < + A IV b) és c) feldtok szerit és, ezért midkét közrefogó sorozt -hez trt, tehát közrefogási elv lpjá + c) A II3 b) feldt állítás k k +), miből következik k d) ) < k + ) + + A bl oldli egyelőtleség Beroulli-egyelőtleségből következik, míg jobb oldli yilvávló Midkét közrefogó sorozt -hez trt, ezért ) e) A Beroulli-egyelőtleség lpjá + ) + + szerit + ) + Mivel + +, közrefogási elv ) H 0, kkor 0 defiíciójából tetszőleges pozitív ε számhoz defiíciót ε -re lklmzv) következik oly N N küszöbidex létezése, melyre mide > N eseté 0 < ε Ezért 0 < ε ε, tehát 0 0 H > 0, kkor defiíciójából ε : -re lklmzv) következik oly N N küszöbidex létezése, melyre mide > N eseté < > > Legye most ε tetszőleges pozitív szám A defiíció ε válsztáskor oly N N küszöbidex létezését biztosítj, melyre mide > N eseté < ε H midkét küszöbidexél gyobb, kkor így vlób ε + < + ε,

4 Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt b) 0 eseté 0 mitt tetszőleges pozitív ε számhoz defiíciót ε 3 -re lklmzv) következik oly N N küszöbidex létezése, melyre mide > N eseté 0 < ε 3 Ekkor < 3 ε 3 ε, zz > 0 eseté z ) részhez hsoló v oly N N küszöbidex, melyre mide > N eseté < > 3 > 3 Legye ε tetszőleges pozitív szám defiíciój 3 3 ) ε pozitív szám válsztáskor oly N N küszöbidex létezését biztosítj, melyre mide > N eseté < 3 3 ) ε H midkét küszöbidexél gyobb, kkor ) ) < 3 3 ) ε 3 ) + 3 ) + 3 ε, ) tehát 3 3 < 0, eseté pedig > 0, Az imét bizoyítottk mitt H, kkor z ε : pozitív számhoz is v oly N N küszöbidex, hogy mide > N egészre Ebből kphtó + Így mide > N egészre < + < < + + ) + 0 <, < < < + és közrefogó soroztok 0-hoz trtk, ezért 0, mi ekvivles zzl, hogy 0 3 ) + ) + ) e, mert gyök ltti sorozt páros idexű részsorozt z e-hez trtó + ) soroztk b) A sorozt szigorú mooto ő, mi számti és mérti közép közti egyelőtleséggel mutthtó meg db + ) 3 -re és egy db -esre lklmzv): ) < ) < + + ) 3 ) + + Mide mooto övő soroztk v htárértéke, és zoos bármely részsorozták htárértékével A 3 idexű részsoroztr + 3 ) 3 + ) 3 e 3 ) 3, ezért feldtbeli sorozt htárértéke is e 3 c) Ez sorozt is szigorú mooto ő: ) < + ) ) továbbá 3 idexű részsoroztár z ) rész eredméyét felhszálv + 3 ) 3 + ) ) 3 e) 3 e 3, 3 ezért ) e < + 3 ) ) + 3 < +, + )

5 Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt d) e) ) ) ) + ) + A sorozt egyébkét szigorú mooto ő, mert + ) < ) ) + + ) ) + ) e e ) < ) + + ) + e d) rész állítás lpjá /e + Ez sorozt szigorú mooto csökke, mert z +) + sorozt szigorú mooto ő Megjegyzés Igzolhtó, hogy bármely x R eseté + ) x e x A sorozt egy idextől kezdve szigorú mooto ő: + + x ) + < ) x + + x + + x x ) < + x ) +, h x + 4 ) ) emegtív tgú sorozt Szigorú mooto ő, mi teljes idukcióvl igzolhtó: < +, másrészt < < Felülről korlátos, mert pl felső korlátj Ez is beláthtó teljes idukcióvl: és ) mooto és korlátos, ezért koverges Legye : lim ) A rekurzió htárértékét képezve vgy ) emegtív tgú sorozt, ezért htárértéke is emegtív, tehát lim ) b) A sorozt emegtív tgú és szigorú mooto ő, mi most is megmutthtó teljes idukcióvl: b < 8 b, másrészt b < b + b + b + 6 < b b + Felülről korlátos, mert pl 3 felső korlátj: b 3 és b 3 b + b b ) mooto és korlátos, ezért koverges Legye b : limb ) A rekurzió htárértékét véve b + b + 6 b b + 6 b b 6 0 b 3 vgy b A emegtív tgú b ) sorozt htárértéke is emegtív, így limb ) 3 c) c ) emegtív tgú sorozt Szigorú mooto ő, mert c < 3 c, vlmit 0 c < c + c < c + c + 6 c + 8) < 6 c + + 8) c + Felülről korlátos, mert pl felső korlátj: c és c c + 6 c + 8) 6 + 8) c ) mooto és korlátos, miből következik, hogy koverges Legye c : limc ) A rekurzió htárértékét képezve c + 6 c + 8) c 6 c + 8) c 6c c vgy c 4 A c ) sorozt egyik felső korlátj, ezért htárértéke is legfeljebb, így két lehetőség közül limc ) d) d ) emegtív tgú sorozt Szigorú mooto csökke: d 3 > 7 6 d, vlmit d > d + 0 d > d + d + 6 d + 8) > 6 d + + 8) d + Alulról korlátos, mert pl lsó korlátj: d 3 és d d + 6 d + 8) 6 + 8) d ) mooto és korlátos, ezért koverges Legye d : limd ) A rekurzió htárértékét képezve d + 6 d + 8) d 6 d + 8) d 6d d vgy d 4, mit c) részbe A d ) sorozt szigorú mooto csökke és z első tgj 3, így htárértéke is legfeljebb 3, mi kizárj d 4 értéket Tehát limd )

6 Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt e) e ) pozitív tgú sorozt Alulról korlátos, mert pl lsó korlátj: e, továbbá számti és mérti közép közti egyelőtleség szerit e + e + ) e, N e e A sorozt mooto csökke, mert z imét belátott e, N becsléssel e + e e + ) e e + e e 0 e + e, N e e e e ) mooto és korlátos, ezért koverges Legye e : lime ) A htárérték pozitív, hisze lsó korlátj soroztk, így e A rekurzió htárértékéből e + e + ) e e + ) e 0 e vgy e e e e mitt lime ) Az f ) sorozt tgji pozitívk, ezért Az : f+ f, N jelöléssel f + f + + f f + + f + f + f Az f ) sorozt mooto ő, mert f f és f + f + + f f +, N Ebből következik, hogy z ) sorozt mide tgj és közé esik, hisze, továbbá f + f Az első éháy tg:,, 3 3, 4 3 Teljes idukcióvl megmuttjuk, hogy páros idexű részsorozt szigorú mooto fogy, pártl idexű részsorozt pedig szigorú mooto ő: > 3 4, ill < 3 3, továbbá {{ +3 + {{ {{ {{ + Midkét részsorozt mooto és korlátos, ezért koverges Legye α : lim és β : lim +, kkor + eseté β + + β β + 0, β α + + α α α + 0 α, β mitt α β +, mert másik megoldás egtív A páros és pártl idexű részsorozt htárértéke közös, ezért + Megjegyzés A Fibocci-sorozt explicit lkj Eek bizoyítás: f + ) ) ), N Először oly mérti soroztokt keresük, melyekre teljesül Fibocci-sorozt rekurziój: q + q + + q q q 0 q, ±

7 Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt A q ) és q ) sorozt teljesíti z f + f + +f rekuziót, ezért két sorozt bármely b : C q +C q lieáris kombiációj is, hisze tetszőleges pozitív egész -re b + C q + + C q + C q + + q ) + C q + + q ) C q + + C q + ) + C q + C q ) b + + b Ezutá oly C és C számokt keresük, melyekre b ) sorozt éppe Fibocci-soroztot dj Ehhez elegedő, h b ) sorozt első két tgj zoos Fibocci-sorozt első két tgjávl A Fibocci-sorozt első két tgj f f, de z f 0 : 0, f : kezdőtgokkl is Fibocci-sorozt tgjit dj meg z f + f + + f rekuzió -re Így kevesebbet kell számoli) Ezért vlób f b 0 C q 0 + C q 0 C + C 0 b C q + C q C + + C + ) + ) ) C C A formul teljes idukcióvl köye beláthtó, de bból em látszik, hogy sejthetjük meg z eredméyt)