Analízis. Glashütter Andrea

Átírás

1 Alízis Glshütter Adre

2 Alízis Hlmzok I. Hlmzok Deiíció (hlmz) elemek összessége. Megdás. elemek elsorolásávl (z összes elemet elsorolom, vgy leglá yit, hogy z lpjá következteti lehesse töi elemre); pl A{,,4,7,4,8}.. hlmz elemeire jellemz( tuljdoság megdásávl; pl. A{8 pozitív osztói}. 3. ormulávl; pl jellel; pl., (; ; ; ) A hlmzokt midig gyet.vel jelöljük. Az elemeket { } zárójele tesszük. H egy dott elem ee v z A hlmz, kkor következ(képpe jelöljük A; h ics ee hlmz A. Mveletek Legye dott két tetsz(leges hlmz A és B. Uióképzés Két hlmz (A és B) uiój zo elemek összessége, melyek vgy A-, vgy B-e ee vk. Jelölése AB Metszetképzés Két hlmz (A és B) metszete zo elemek összessége, melyek A- és B- e is ee vk. Jelölése AB Külöségképzés Két hlmz (A és B) külösége zo elemek összessége, melyek A-k elemei, de B-ek em. Jelölése A\B Részhlmz Az A hlmzk B hlmz részhlmz, h B vlmeyi eleme A-k is eleme. Jelölése AB (vgy B A) Vlódi részhlmz Az A hlmzk B hlmz vlódi részhlmz, h B vlmeyi eleme A-k is eleme, de A-k v leglá egy oly eleme, mely em eleme B-ek. Jelölése AB (vgy BA) H ez em teljesül, zz B em vlódi részhlmz A-k, kkor zt így jelöljük BA Komplemeterképzés Egy dott A hlmz komplemetere Az U\A hlmz (Uuiverzum). Jelölése ; Készítette Glshütter Adre

3 Alízis Hlmzok Üreshlmz z hlmz, melyek ics eleme. Jelölése Direkt szorzt A és B direkt szorzták eredméyeképpe oly számpárokt kpuk, melyek els( tgj A eleme, második tgj B eleme Jelölés (,), hol A és B Tuljdoságok Tetsz(leges A hlmzr érvéyesek következ(k AAA AA A\A AAA A A\A A;U A A AHA A; A AHH FONTOS!!! i. A hlmz elemei mid külööz"ek. (Nics két zoos eleme.) ii. Nics z elemek között redezettség 3 Készítette Glshütter Adre

4 Alízis Vlós üggvéyek II. Vlós üggvéyek H egy em üres hlmz mide egyes eleméhez hozzáredeljük egy hlmz egy, de cskis egy elemét, kkor üggvéyt duk meg. A üggvéyeket z c kiset.ivel jelöljük, g, h,. Egy üggvéy kkor tekithet( dottk, h ismert D és hozzáredelési utsítás. Jelölések D értelmezési trtomáy R értékkészlet () hozzáredelési utsítás KR képhlmz () D helye elvett helyettesítési érték Az és g üggvéyek kkor egyel"k, h ugyz z értelmezési trtomáyuk és z értelmezési trtomáy mide eleméhez zoos üggvéyérték trtozik. Vlós érték. üggvéyek, rövide vlós üggvéyek oly üggvéyt evezük, melyek értékkészlete része vlós számok hlmzák. H z vlós üggvéyek z értelmezési trtomáy is vlós számhlmz egy részhlmz, kkor egyváltozós vlós üggvéyr(l eszélük. A kétdimeziós koordiát redszere z (, ()), D potok hlmzát z üggvéy grikoják (áráják, göréjéek, gráják) evezzük. Fotos üggvéytípusok. Kostsüggvéy, ( ) c, hol c. Lieáris üggvéy, ( ), hol, Megjegyzés eseté eti üggvéy megegyezik kostsüggvéyel. 3. Htváyüggvéy, ( ), hol,3,5,7,..., ( ), hol,4,6,8, Lieáris törtüggvéy Speciális - { } d -, ( ) c c d, ( ) 5. Epoeciális üggvéy, ( ), hol > 4 Készítette Glshütter Adre

5 Alízis Vlós üggvéyek { }, ( ), hol 6. Logritmusüggvéy, ( ) log, hol > és 7. Trigoometrikus üggvéyek [ ; ], ( ) si [ ; ], ( ) cos \ (k ) k Z, ( ) tg \ k k Z, ( ) ctg { } 8. Négyzetgyöküggvéy, ( ) Függvéytrszormációk Legye z üggvéy grikoj egy Descrtes-éle koordiát-redszere ismert. Az c, vgyis z () c, D üggvéy göréje z göréjéek y tegely iráyú eltolásávl yerhet(, z eltolás gyság c egység, iráy c el(jeléek megelel(. A c, vgyis z c(), D, c > üggvéy grikoj z grikoják y tegely iráyú c-szeres yújtásávl kphtó. (Az tegely helye mrd.) A, vgyis z -(), D üggvéy grikoj z grikoják z tegelyre votkozó tükörképe. Az ( ), ( )D üggvéy áráj z üggvéy áráják tegely iráyú eltolásávl dódik. Az eltolás mértéke egység, > eseté csökke( értékek iráyá, < eseté z eltolás iráy ezzel elletétes. Az (), ()D üggvéy grikoját z grikoják tegely iráyú -szoros zsugorításávl ( > ), illetve -szoros yújtásávl ( < < ) kpjuk. (Az y tegely helye mrd.) Az (-), -D üggvéy grikoj z grikoják z y tegelyre votkozó tükörképe. Mveletek üggvéyekkel Legyeek és g vlós üggvéyek. és g összege z h üggvéy, melyek értelmezési trtomáy D D g, és h() () g(). Jelölés h g és g szorzt z h üggvéy, melyek értelmezési trtomáy D D g, és h() () g() 5 Készítette Glshütter Adre

6 Alízis Vlós üggvéyek Jelölés h g és g háydosák zt h üggvéyt evezzük, melyek értelmezési trtomáy D D g \{ g() }, és () h() g() Függvéyvizsgált ) Értelmezési trtomáy A üggvéy mely potok v értelmezve. ) Zérushely D -ek z z értéke, melyre ( ) z () üggvéy zérushelye. 3) Korlátosság Az üggvéyt z XD hlmzo elülr"l korlátosk, lulról korlátosk, illetve korlátosk modjuk, h z (X) hlmz ( üggvéyértékek hlmz) elülr(l korlátos, lulról korlátos, illetve korlátos. Korlátosság eseté z (X) hlmz els(, lsó htárát z üggvéy X hlmzr votkozó els", lsó htárák evezzük. Fels( htár legkise els( korlát. Alsó htár leggyo lsó korlát. 4) Mootoitás Azt modjuk, hogy z üggvéy XD hlmzo (szigorú) mooto öveked", h, X, < eseté ( ) < ( ); (szigorú) mooto csökke", h, X, < eseté ( ) > ( ). H üggvéyértékek között z egyel(séget megegedjük, kkor tág érteleme vett mooto övekedésr(l, illetve csökkeésr(l eszélük. 5) Szélsérték Legye tetsz(leges üggvéy, és H része értelmezési trtomáyák. Azt modjuk, hogy H z -ek H-r ézve (szigorú) szolút mimumhelye (miimumhelye), h mide H ( ) eseté () < (), (() > ()) H z egyel(séget megegedjük, kkor tág érteleme vett szolút mimumhelyr(l (miimumhelyr(l) eszélük. A mimumhely és miimumhely közös eve széls"értékhely. H mást em moduk, H ltt z értelmezési trtomáyt értjük. Az D z üggvéy lokális mimumhelye (miimumhelye), h -k v oly K köryezete, hogy -ek KD hlmzr ézve szolút mimumhelye (miimumhelye). 6) Görület üggvéy [,] itervllumo szigorú kove, h ármelyik érit(je üggvéyek z [,]- göréje ltt hld el. (Kivéve z éritési potot.) üggvéy [,] itervllumo szigorú kokáv, h ármelyik érit(je üggvéyek z [,]- göréje ölött hld el. (Kivéve z éritési potot.) 6 Készítette Glshütter Adre

7 Alízis Vlós üggvéyek z üggvéy ileiós potj, h z üggvéy -eli érit(je metszi görét z (,( )) pot. 7) Pritás Az üggvéyt páros üggvéyek modjuk, h D eseté -D és (-) (); pártl üggvéy, h D eseté -D és (-) -(). 8) Periodicitás üggvéy periodikus, h v oly p szám, hogy h D, kkor pd, és igz, hogy ()(p). p üggvéy periódus. 7 Készítette Glshütter Adre

8 Alízis Számsoroztok III. Számsoroztok Sorozto oly üggvéyt értük, melyek értelmezési trtomáy pozitív egész számok hlmz. Számsoroztk evezzük soroztot, h üggvéyértékek vlós számok., hol és. Jelölések -hez redelt üggvéyérték, sorozt -edik tgj tg idee ( ) sorozt { } sorozt tgjik hlmz Sorozt megdás Direkt módo Pl. 3 Rekurzív módo A sorozt els(, vgy els( éháy tgját továi tgok megdásához elhszáljuk. Pl. ; - 7 Szemléltetés számegyeese vgy Descrtes-véle derékszög. koordiát redszere Soroztok tuljdosági mootoitás korlátosság kovergeci. Mootoitás Az ( ) számsorozt szigorú mooto övekv", h mide -re < Az ( ) számsorozt szigorú mooto csökke", h mide -re > Az ( ) számsorozt mooto ", h mide -re Az ( ) számsorozt mooto csökke, h mide -re Mootoitás eldötése külöségkritérium háydoskritérium hipotézis egyé Külöség-kritérium H mide -re - >, kkor sorozt szigorú mooto (. H mide -re - <, kkor sorozt szigorú mooto csökke. 8 Készítette Glshütter Adre

9 Alízis Számsoroztok Péld. Legye. ( ) Ekkor ( ) 3 A mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk soroztot külöség-kritériumml 3 > mide - re, így sorozt szigorú mooto 3 ( 3) ( ) (. Péld. 3 Legye. - 9 ( ) 3 4 Ekkor ( ) tört el(jele lehet pozitív (4) és lehet egtív ( - 7) ( - 9) (3) is, így sorozt em mooto. (A kritérium szerit mide -re vgy pozitív vgy egtív el(jel.ek kell leie külöségek) számláló(-5) -7-9 evez(((-7)(-9)) tört Háydos-kritérium H mide -re ) > és > kkor sorozt szigorú mooto (. ) > és < kkor sorozt szigorú mooto csökke. c) < és > kkor sorozt szigorú mooto csökke. d) < és < kkor sorozt szigorú mooto (. Péld. - Legye. ( ) Ekkor -. A mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk soroztot háydos-kritériumml 9 Készítette Glshütter Adre

10 Alízis Számsoroztok szigorú mooto (.. Korlátosság ( ) > és >, így sorozt Az ( ) számsorozt lulról (elülr"l) korlátos, h tgjik hlmz lulról (elülr(l) korlátos. H egy sorozt lulról is és elülr(l is korlátos, kkor korlátosk evezzük. Megjegyzések H egy sorozt mooto (, kkor lulról korlátos, és lsó htár z els( elem. H egy sorozt mooto csökke, kkor elülr(l korlátos, és els( htár z els( elem. Péld. Legye. Ekkor Láthtó, hogy sorozt mide tgj < (számláló midig kise evez(él), és sorozt tgji ½ és közöttiek. Így ½ sorozt lsó korlátj, sorozt els( korlátj. A eti sorozt tehát korlátos. A mi esetüke em csk ezeket korlátokt dhttuk vol meg, hisze lsó korlát lehet, -, és -536 is, ugyis icse soroztk ezekél kise eleme. Ugyígy els( korlát lehete, vgy 34 is, hisze ics soroztk ezekél gyo eleme. Egy soroztk tehát végtele sok lsó, illetve els( korlátj lehet. Ezek közül kit.ik leggyo lsó korlát, melyél gyo érték már em lee lsó korlátj soroztk. Eek eve lsó htár (itt h ½ ). Hsoló deiiálhtó legkise els( korlát is, melyél kise már em lee els( korlátj soroztk. Eek eve els" htár (itt h ). 3. Kovergeci Az ( ) számsorozt htárértéke z A vlós szám, h ármelyik " > számhoz v oly küszöide, hogy > eseté -A <". (Azz megdhtó oly küszöszám, hogy -tól kezdve sorozt összes eleme ee v z A " sugrú köryezetée, ármilye kicsiek is válsztjuk "-t.) H z soroztk v véges htárértéke, kkor sorozt koverges, h ics, kkor diverges., zz -A <" Készítette Glshütter Adre

11 Alízis Számsoroztok #-e trtó sorozto egy oly ( ) soroztot értük, melyre ármely P>-hoz v oly küszöide, hogy > eseté >P. -#-e trtó sorozto oly ( ) soroztot értük, melyre ármely P<-hoz v oly küszöide, hogy > eseté <P. Péld. Legye ( ) 5 lim lim lim lim, zz sorozt htárértéke -e. # # 6 # 6 # 6 ( ) Kovergeciár votkozó tételek Tétel Egy soroztk legelje egy htárértéke lehet. Tétel Mide koverges sorozt korlátos. Tétel Mide korlátos és mooto sorozt koverges. Tétel Egy korlátos és egy ullsorozt (htárértéke ) szorzt is ullsorozt. Tétel H lim A és lim B, kkor lim(c ) ca (c tetsz(leges vlós szám). lim( ± ) A±B. lim( ) AB. A lim, hol, B. B lim % A %, hol %. Redr-elv Tegyük el, hogy lim lim A és mide -re c. Ekkor limc A. Tétel H lim # és mide -re >, kkor lim #. Teljes soroztvizsgált Péld. Végezze teljes soroztvizsgáltot következ( sorozto. Kovergeci eseté " - -hoz djo küszöszámot! 3. lépés MONOTONITÁS (külöség-kritériumml) 3( ) > mide -re, így ( ) 4 ( 4)( ) sorozt szigorú mooto övekv(. Készítette Glshütter Adre

12 Alízis Számsoroztok. lépés KORLÁTOSSÁG t soh em érik el. 3. Látjuk, hogy sorozt tgj ½ -t(l övekv( értékeket veszek el, de. tg már körüli értéket vesz el, z. tgról em is eszélve, zo Tehát sorozt korlátos, lsó korlátj z els( tgj, els( korlátj k 3 k Kptuk tehát, hogy sorozt mooto és korlátos is, mi(l következik, hogy koverges. 3. lépés KONVERGENCIA 3 (3 ) lim lim lim # # # ( ) 4. lépés KÜSZÖBSZÁM Az -A <" egyel(tleség(l iduluk ki < < 4 4 (3 ) 3( ) < 8 < 4 4 ( ) 8 < 796 < 4 ( ) 8 < 99 < 4 4 3, tehát sorozt koverges, és htárértéke 3. zz küszöszám Készítette Glshütter Adre

13 Alízis Számsoroztok 3 Készítette Glshütter Adre Nevezetes htárértékek Tétel Legye q, ekkor & & & & < < > # q h diverges, q h, q h, q h, limq Tétel Legye k k k k..., hol k. Akkor < # > # h, h, lim k k. Tétel Legye k k k k l l l l......, hol l, k. Akkor & & & & & & & & < < # > < # > és l k h, és l k h, l k h, k l h, lim k l k l k l Tétel Legye ( ) *,. Ekkor lim e. (e X,7) Tétel Legye, ( ) *,. Ekkor lim e.

14 Alízis Függvéyek htárértéke IV. Függvéyek htárértéke Az üggvéy értelmezési trtomáyá vegyük el egy -hoz kovergáló tetsz(leges,,...,,... számsoroztot. Ezzel képezhetük egy másik soroztot is ( ), ( ),..., ( ),...; ez z { } számsorozthoz trtozó üggvéyértékek sorozt. A üggvéy véges helye vett véges htárértéke Heie-éle deiíció Legye z üggvéy értelmezve z vlmely köryezetée (kivéve esetleg -t). Az üggvéyek - htárértéke A, h tetsz(leges -hoz kovergáló { } sorozt eseté ( D ) z {( )} sorozt A-hoz kovergál. Jelölése. lim ( ) A. lim ( ) A 3. ( ) A, h Féloldli htárértékek Az üggvéyek - loldli htárértéke A, h tetsz(leges -hoz kovergáló { } sorozt eseté ( D, < ) {( )} sorozt kovergál A-hoz. Az üggvéyek - jooldli htárértéke A, h tetsz(leges -hoz kovergáló { } sorozt eseté ( D, > ) {( )} sorozt kovergál A-hoz. Tétel H z üggvéyek - létezik midkétoldli htárértéke és ezek egyel(k, kkor v htárértéke - és ez htárérték megegyezik éloldli htárértékkel. Véges helye vett végtele htárérték Az üggvéyek - htárértéke #, h tetsz(leges -hoz kovergáló { } sorozt eseté ( D ) {( )}sorozt trt #-hez. Az üggvéyek - htárértéke -#, h tetsz(leges -hoz kovergáló { } sorozt eseté ( D ) {( )}sorozt trt -#-hez. Végtelee vett véges htárérték Az üggvéyek #-e htárértéke A, h tetsz(leges #-hez trtó { } sorozt eseté ( D ) {( )}sorozt trt A-hoz. 4 Készítette Glshütter Adre

15 Alízis Függvéyek htárértéke Az üggvéyek -#-e htárértéke A, h tetsz(leges -#-hez trtó { } sorozt eseté ( D ) {( )}sorozt trt A-hoz. Végtelee vett végtele htárérték Az üggvéyek #-e htárértéke #, h tetsz(leges #-hez trtó { } sorozt eseté ( D ) {( )}sorozt trt #-hez. Az üggvéyek #-e htárértéke -#, h tetsz(leges #-hez trtó { } sorozt eseté ( D ) {( )}sorozt trt -#-hez. Az üggvéyek -#-e htárértéke #, h tetsz(leges -#-hez trtó { } sorozt eseté ( D ) {( )}sorozt trt #-hez. Az üggvéyek -#-e htárértéke -#, h tetsz(leges -#-hez trtó { } sorozt eseté ( D ) {( )}sorozt trt -#-hez. Htárérték tételek TételLegye lim () A és lim g() B (, A,B R), ekkor lim(() ± g()) A ± B lim(() g()) A B () A lim, h B, g() g() B Redr-elv H h() g(), kkor ( ) Y Y lim () A lim () lim g() A és -k v oly köryezete, melye () lim h() A. H limg() B és g() B -k vlmely köryezetée, továá lim() A, kkor B lim g. Az ( ( )) A c (cr), poliomok, rcioális törtüggvéyek si, cos, tg, ctg e, l, log üggvéyekek z értelmezési trtomáyuk mide potjá létezik htárértéke és ez megegyezik z dott pot elvett üggvéyértékkel. 5 Készítette Glshütter Adre

16 Alízis Függvéyek htárértéke Speciális htárértékek si lim e lim lim l, lim* # ( ) ) e ( lim( ) e 6 Készítette Glshütter Adre

17 Alízis Függvéyek olytoosság V. Függvéyek olytoosság Az üggvéy olytoos z értelmezési trtomáyák vlmely potjá, h z pot létezik véges htárértéke és ez egyel( helyettesítési értékkel, zz lim () ( ) és D. Az üggvéy D -e lról olytoos, h üggvéy loldli htárértéke z pot megegyezik helyettesítési értékkel. Az üggvéy D -e joról olytoos, h üggvéy jooldli htárértéke z pot megegyezik helyettesítési értékkel. Megjegyzés H üggvéy lról és joról is olytoos z pot, kkor olytoos z pot. H z üggvéy z D pot em olytoos, kkor z potot üggvéy szkdási helyéek modjuk. Mveletek olytoos üggvéyekkel H és g olytoos z pot, kkor z g, g, (g(), D ) is olytoos z g pot. Összetett üggvéyek olytoosság H g olytoos z pot és olytoos g( )-, kkor z (g()) összetett üggvéy is olytoos z pot. Itervllumo olytoos üggvéyek Az olytoos z ];[ itervllumo, h z itervllum mide potjá olytoos. Az olytoos z [;] itervllumo, h ];[ mide potjá olytoos, - joról olytoos, -e lról olytoos. Az üggvéyt olytoosk modjuk, h értelmezési trtomáy mide potjá olytoos. Tétel A poliomok, rcioális törtüggvéyek, trigoometrikus üggvéyek, z epoeciális üggvéyek, logritmus üggvéyek olytoosk z értelmezési trtomáyuk mide potjá. Tétel H z üggvéy olytoos z [;] itervllumo és () és () el(jele külööz(, kkor v oly [;] pot, hogy ( ), zz z üggvéyek v leglá egy zérushelye z [;] itervllumo. Tétel H z üggvéy z [,] itervllumo olytoos, kkor -ek v leggyo és legkise eleme. 7 Készítette Glshütter Adre

18 Alízis Függvéyek olytoosság Péld. Htározz meg z A prméter értékét úgy, hogy üggvéy olytoos legye z 6 helye! & () 4 4 & 5 A & 8 h < 6 h 6. lépés 3 lim ( ) lim lépés A, hol A,zz A ( 5)( 6) lim 4 6 4( )( 6) 6 3( 5) lim 6 4( ) Készítette Glshütter Adre

19 Alízis Diereciálszámítás VI. Diereciálszámítás () () Legye z D. A d () (D \{}) üggvéyt z () üggvéy potjához trtozó diereciháydos üggvéyek evezzük. Geometrii jeletése (, ()) és (, ()) potokhoz trtozó szel( meredeksége Függvéyti jeletése Az (;) itervllumo meyi z átlgos üggvéyérték változás. Legye z D egy els( potj D -ek. Azt modjuk, hogy z () üggvéy diereciálhtó z pot, h d diereciháydos üggvéyek z pot létezik () () véges htárértéke. A lim d () lim /() számot z () üggvéy pothoz trtozó diereciálháydosák evezzük. H eti htárérték em létezik, kkor zt modjuk, hogy z () üggvéy z pot em diereciálhtó. Péld (), () () 4 ( ) ( ) lim lim lim lim( ) 4 H eti üggvéy más potjá vizsgáltuk vol diereciálháydost, más és más értéket kptuk vol. A diereciálháydos értéke ügg megválsztásától. Az () z () üggvéy diereciálháydos üggvéye z AD hlmzo, h A mide potjához z () dott poteli diereciálháydosát redeli hozzá. Megjegyzés. () () üggvéy, míg /() szám.. Diereciálháydos üggvéytilg z (, ()) pothoz trtozó érit( meredeksége. 9 Készítette Glshütter Adre

20 Alízis Diereciálszámítás Péld. Htározzuk meg z () () Legye D () () lim lim Így (). üggvéy diereciálháydos üggvéyét. egy tetsz(leges pot. Ekkor ( ) ( ) lim lim( ) Legye () egy üggvéy, pedig z értelmezési trtomáyák vlmely els( potj, és tegyük el, hogy () diereciálhtó z pot. Ekkor z e() () () ( ) els(okú poliomot z () üggvéy poteli érit"üggvéyéek, e poliom grikoját pedig () (;()) poteli érit"jéek evezzük. Péld. Írjuk el z () 3 szcisszájú potjá húzott érit( egyeletét.. megoldás 9. lépés /(3) lim lim( 3) 6, zz z érit( meredeksége (m) 6.. lépés Behelyettesítés z érit( egyeletéek áltláos képletée, ym-e. y megdott pot elvett üggvéyérték; itt 9. megdott érték; itt 3. m kiszámított meredekség; itt 6. z eltolás mértéke (kiszámítdó érték) Behelyettesítve 9 6 3, mi(l -9, zz z érit( egyelete y 6 9 (Láthtó, hogy m-et megkptuk vol úgy is, hogy 3-t ehelyettesítük diereciálháydos üggvéyée.). megoldás. lépés u... lépés. e() () () ( ) egyelete ehelyettesítük. () megdott pot elvett üggvéyérték; itt 9. () kiszámított meredekség; itt 6. Behelyettesítve e() 9 6( 3) 6-9. Tehát midkét esete ugyzt végeredméyt kptuk. (Bármelyik eljárás tetsz(legese lklmzhtó.) Legye () z pot és k jo oldli köryezetée értelmezve. Azt modjuk, hogy z () üggvéy joról diereciálhtó, z pot, h d diereciálüggvéyek z () () pot létezik jo oldli véges htárértéke. Az () lim jo oldli htárértéket z () üggvéy pothoz trtozó jo oldli diereciálháydosák evezzük. Legye () z pot és k l oldli köryezetée értelmezve. Azt modjuk, hogy z () üggvéy lról diereciálhtó, z pot, h d diereciálüggvéyek z Készítette Glshütter Adre

21 Alízis Diereciálszámítás () () pot létezik l oldli véges htárértéke. Az () lim l oldli htárértéket - z () üggvéy pothoz trtozó l oldli diereciálháydosák evezzük. Legye z A z () üggvéy értelmezési trtomáyák yílt em üres részhlmz. Azt modjuk, hogy () diereciálhtó z A hlmzo, h () diereciálhtó A mide potjá. H z () üggvéy z [;] zárt itervllum els( potji diereciálhtó, z itervllum kezd(- és végpotjá pedig joról illetve lról diereciálhtó, kkor zt modjuk, hogy () diereciálhtó z [;] zárt itervllumo. A olytoosság és diereciálhtóság kpcsolt H z () üggvéy értelmezési trtomáyák egy els( potj és () z pot diereciálhtó, kkor ott olytoos is. Megjegyzések A olytoosság diereciálhtósághoz szükséges, de em elégséges. A diereciálhtóság olytoossághoz eleged(, de em szükséges. H z () üggvéy - joról diereciálhtó, kkor ott joról olytoos is. H z () üggvéy - lról diereciálhtó, kkor ott lról olytoos is. Diereciálási szályok Legye () és g() diereciálhtó z pot. Ekkor (c) () c () ármely cr eseté (g) () ()g () (g) () ()g()()g (), ) g () * () h g() g ( g (), ) () g() () g () * () h g() g ( g () Így diereciálhtó üggvéyek deriváltüggvéyeire votkozó összeüggések (c) () c () ármely cr eseté (g) () ()g () (g) () ()g()()g (), ) g () * () g ( g () h g(d, ) () g() () g () * () h g(dg ) g ( g () H g() üggvéy diereciálhtó - és () üggvéy diereciálhtó g()-, kkor z (o g)() összetett üggvéy is diereciálhtó - és ( o g) () (g())g (). g ) Készítette Glshütter Adre

22 Alízis Diereciálszámítás Elemi üggvéyek deriváltj kostsüggvéy c htváyüggvéy ( % ) % %- epoeciális üggvéy ( ) l speciális (e ) e logritmus üggvéy (log ) l speciális (l) trigoometrikus üggvéyek (si) cos (cos) si (tg) cos (ctg) si H z () üggvéy diereciálhtó egy AD hlmzo, kkor () deriváltüggvéyét () második deriváltüggvéyéek evezzük. H () () üggvéy deriváltj létezik vlmely AD () hlmzo, kkor zt z () ()-edik deriváltüggvéyéek evezzük. Péld. L Hospitl szály Tegyük el, hogy lim () lim g() és g/ ().. () /() Ekkor lim lim g() g/ () Ez igz kkor is, h #. i. si cos lim lim ii. 3 3 lim lim iii lim lim lim lim # # # # e e e e Készítette Glshütter Adre

23 Alízis Függvéyvizsgált VII. Függvéyvizsgált Mootoitás Legye D. Az () üggvéy szigorú mooto " -, h -k v oly " sugrú köryezete, hogy ]-",[ eseté () < (), ],"[ eseté () > (). Legye D. Az () üggvéy szigorú mooto csökke -, h -k v oly " sugrú köryezete, hogy ]-",[ eseté () > (), ],"[ eseté () < (). Megjegyzés mooto övekedés illetve csökkeés eseté z egyel(ség is megegedett. Legye () diereciálhtó z D pot. Tétel H () - (szigorú) mooto (, kkor () Tétel H () - (szigorú) mooto csökke, kkor (). Tétel H () >, kkor szigorú mooto ( -. Tétel. H () <, kkor szigorú mooto csökke -. Az () üggvéy z (,) itervllumo szigorú mooto ", h tetsz(leges < < < eseté ( ) < ( ). Az () üggvéy z (,) itervllumo szigorú mooto csökke, h tetsz(leges < < < eseté ( ) > ( ). Megjegyzés mooto övekedés és csökkeés eseté z egyel(ség is megegedett. Tétel Legye z () üggvéy olytoos z [,] itervllumo és diereciálhtó z ],[ itervllumo. () H mide ],[ eseté (), kkor () mooto ( z [,] itervllumo. () H mide ],[ eseté (), kkor () kostsüggvéy z [,] itervllumo. (c) H mide ],[ eseté () és z [,] itervllumk ics oly részitervllum, hol (), kkor () szigorú mooto ( z [,] itervllumo. Széls"értékek Tétel H z () üggvéyek - helyi széls(értéke v és () létezik, kkor (). Tétel Legye z () üggvéy diereciálhtó z pot vlmely köryezetée. H () és () - el(jelet vált, kkor z () üggvéyek - lokális széls(értéke v. Tétel Az () üggvéyek - helyi széls(értéke v, h () és (). 3 Készítette Glshütter Adre

24 Alízis Függvéyvizsgált Megjegyzés H () és () >, kkor z () üggvéyek - lokális miimum v. H () és () <, kkor z () üggvéyek - lokális mimum v. Görület Legye z () üggvéy z értelmezési trtomáyák vlmely (,) itervllumá diereciálhtó. H ármely (,) eseté () > ( ) ( )( ) ((,)\{ }), vgyis z () z (,) itervllumo midig z érit(je elett v, kkor zt modjuk, hogy z () z (,) itervllumo kove. Legye z () üggvéy z értelmezési trtomáyák vlmely (,) itervllumá diereciálhtó. H ármely (,) eseté () < ( ) ( )( ) ((,)\{ }), vgyis z () z (,) itervllumo midig z érit(je ltt v, kkor zt modjuk, hogy z () z (,) itervllumo kokáv. Legye z () üggvéy z (,) itervllumo kétszer diereciálhtó. Tétel H () szigorú mooto (, kkor () kove z (,) itervllumo. Tétel H () szigorú mooto csökke, kkor () kokáv z (,) itervllumo. Tétel H () > z (,) itervllumo, kkor () kove (,)-. Tétel H () < z (,) itervllumo, kkor () kokáv (,)-. Ileiós pot Legye z () üggvéy z értelmezési trtomáyák vlmely els( potjá diereciálhtó. H poteli érit( z - átmetszi z () üggvéy grikoját, kkor z potot () ileiós potják evezzük. Tétel H z () üggvéy ileiós potj és () létezik, kkor (). Tétel Legye z () üggvéy z pot köryezetée kétszer diereciálhtó. H () és () z pot el(jelet vált, kkor ()-ek z pot ileiós potj v. Tétel Legye z () üggvéy z pot háromszor diereciálhtó. H () és (), kkor ()-ek - ileiós potj v. 4 Készítette Glshütter Adre

25 Alízis Függvéyvizsgált Péld. Végezze teljes üggvéyvizsgáltot! ( ) 4 I. lépés ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY, ZÉRUSHELY D R \ 4 Z.H. (hol számláló ) II. lépés MONOTONITÁS (4 ) /() (4 ) (4 ) (4 ) A üggvéyek ott lehet széls(értéke, hol. 4 ( ), zz ; Tálázt ics értelmezve - 4 ics értelmezve ; < << << < lok.m, ) *- - ( 4 ics értelmezve lok. mi () 5 Készítette Glshütter Adre

26 Alízis Függvéyvizsgált III. lépés GÖRBÜLET 4 /() (4 ) (8 )(4 ) //() (4 ) 4 (4 4 (4 ) ) (8 )(4 ) 4 (4 3 (4 ) (4 ) (4 ) A üggvéyek ott lehet ileiós potj, hol., mi zo soh em teljesülhet, tehát üggvéyek ics ileiós potj. Tálázt ics értelmezve - 4 ics értelmezve - 4 < ics ilye hely - < 4 - ics értelmezve ) IV. lépés HATÁRÉRTÉKEK (Htárértéket midig z értelmezési trtomáy (D ) két végpotjá kell vizsgáli, vlmit zoko helyeke hol üggvéy ics értelmezve. Ezeke helyeke mid jo-, mid loldli htárértéket ki kell számíti)) LHospitl lim() lim lim # # # 4 # 4 lim() lim lim lim # # # 4 # # (4 ) 4 lim () lim lim 4 (4 4 4 lim () lim lim 4 ( ) ) lim # 4 4 lim # Készítette Glshütter Adre

27 Alízis Függvéyvizsgált V. lépés ÁBRÁZOLÁS VI. lépés ÉRTÉKKÉSZLET R #; 3 [ ; #[ 7 Készítette Glshütter Adre

28 Alízis Kétváltozós üggvéyek VIII. Kétváltozós üggvéyek Az (,y) üggvéyt kétváltozós vlós üggvéyek evezzük, h D R és R R. Legye (,y) értelmezési trtomáyák egy potj (,). Rögzítsük y értékét, hogy y. Ekkor egy, csk -t(l ügg( egyváltozós üggvéyt kpuk, mit z (,y) üggvéy változó szeriti szitvolák evezzük. Jelölés () (,) Hsoló megdhtó z y változó szeriti szitvol. orgási proloid Az (,y) üggvéy korlátos, h üggvéyértékek hlmz korlátos. Az (,y) üggvéyek (,)-e szigorú szolút mimum v, h tetsz(leges (,y)d eseté (,y) < (,). Megjegyzés töi széls(érték deiíciój hsoló. 8 Készítette Glshütter Adre

29 Alízis Kétváltozós üggvéyek Az (,y) htárértéke z (,)-e A, h tetsz(leges (,)-hez kovergáló (,y ) sorozt eseté (,y ) kovergál A-hoz. lim (, y) A (,) Jelölés Az (,y) olytoos (,)-e, h lim (, y) (, ) (,) Az (,y) üggvéy változó szeriti prciális diereciálháydos z (,)-e z () (,) egyváltozós üggvéy diereciálháydos z -. () () (,) () lim lim. (, ) (, ) Az (,y) üggvéy y változó szeriti prciális diereciálháydos z (,)-e z (y) (,y) egyváltozós üggvéy diereciálháydos -e. (y) () (, y) (, ) y (,) () lim lim y y Tegyük el, hogy (,y) értelmezési trtomáyák vlmely A részhlmzá -szerit prciális diereciálhtó. Azt üggvéyt, mely z A hlmz mide potjához hozzáredeli z (,y) üggvéy szeriti prciális diereciálháydosát, z (,y) üggvéy szeriti prciális deriváltüggvéyéek evezzük. Tegyük el, hogy (,y) értelmezési trtomáyák vlmely A részhlmzá y-szerit prciális diereciálhtó. Azt üggvéyt, mely z A hlmz mide potjához hozzáredeli z (,y) üggvéy y szeriti prciális diereciálháydosát, z (,y) üggvéy y szeriti prciális deriváltüggvéyéek evezzük.,, (, y) és y (, y) Jelölés Tegyük el hogy egy hlmzo létezek z (,y) üggvéy és y szeriti prciális deriváltüggvéyei, és ezek prciális diereciálhtók vlmely (, ) D? D, pot. y Ekkor zt modjuk, hogy (,y) kétszer prciális diereciálhtó z (,) pot. Legyeek z (,y) üggvéy vlmely A hlmzo kétszer prciális diereciálhtó. Ekkor z y y (, y) ( (, y) ( ) ) y (, y), (, y), y y (, y) ( y ) (, y), yy yy (, y) ( y ) y (, y) (, y) A üggvéyeket (,y) második prciális deriváltüggvéyeiek evezzük. Tétel H z (,y) üggvéyek (,)-e helyi széls(értéke v és létezek. y és y, kkor 9 Készítette Glshütter Adre

30 Alízis Kétváltozós üggvéyek Tétel(szükséges eltétel) H (,y) üggvéyek z (,) pot széls(értéke v, kkor (, ) (, ). y Tétel(elégséges eltétel) Az (,y) üggvéyek z (,) pot SZÉLS@ÉRTÉKe v, h (, ) (, ) D(, ) (, ) (, ) (, ). és [ ] y yy y > H (, ) kkor lokális miimum, h yy (, ) < kkor lokális mimum v üggvéyek.. H D(,) (,) yy (,) [ y (,)] <, kkor NYEREGPONTj v üggvéyek (,) helye. H D(,) (,) yy (,) [ y (,)], kkor ezzel módszerrel em döthet( el széls(érték létezése. Összeogllv H D(, ) > széls(értéke v H (, ) lokális miimum H (, ) lokális mimum H D(, ) < yeregpotj v H D(, ) em lehet eldötei Péld. Htározz meg következ( üggvéy széls(érték helyeit és yeregpotjit, h létezek! szükséges eltétel / / y 3 4 4y 3 (, y) 4y 8y 4y átlkítv átlkítv 8y y 3 y Az y összeüggést ehelyettesítjük z els( egyelete 4 y 8y y 4 Kptuk tehát két potot, melyek széls(értékei lehetek eek üggvéyek P (,) ( 4, ) P y y(y 3 8) 3 Készítette Glshütter Adre

31 Alízis Kétváltozós üggvéyek elégséges eltétel // // yy // y 6 4y 48y 4,így D(, y) 6 48y - (-4) Behelyettesítve potokt P (,) D(,) - (-4) < yeregpot P (4,) D(4,) (-4) > széls(érték mivel // ( 4, ) 4 >, ezért ez miimumhely 3 Készítette Glshütter Adre

32 Alízis Itegrálszámítás IX. Itegrálszámítás Htároztl itegrál F() z () primitív üggvéye z I itervllumo, h F() olytoos I mide els( potjá és F () (). Tétel H ()-ek v primitív üggvéye, kkor végtele sok primitív üggvéye v és ezek csk egy kosts külöözek. Az () üggvéy primitív üggvéyeiek hlmzát () htároztl itegrálják evezzük. Elemi üggvéyek primitív üggvéyei d C d C Y Y d C Y d l C cosd si C sid cos C d tg C cos d ctg C si tgd l cos C ctgd l si C e d e C d C l l d l C log d log l C Jelölés ()d 3 Készítette Glshütter Adre

33 Alízis Itegrálszámítás Itegrálási szályok Tétel H ()-ek és g()-ek létezik primitív üggvéye I-, kkor (g)()-ek és (c)()- ek is v primitív üggvéye (c )()d c ()d ( g)()d ()d g()d Tétel H ()-ek z I- F() primitív üggvéye, kkor ( )d F( ) C. Péld. cos(5 4)d 5cos(5 4)d si(5 4) C 5 5 Tétel Legye () diereciálhtó I-, kkor Péld. ( si) ( si) 6 cosd C 7 7 Y Y () () ()d C, % -. Y Tétel Legye () diereciálhtó I- és (), kkor Péld. 4 6 d d l 3 C 3 3 () d l () C. () Tétel H g diereciálhtó I- és -ek létezik primitív üggvéye, kkor Péld. e 3 Péld. cos(3 3 ( 3) d e C ) (6 )d si(3 ) C (g()) g ()d F(g()) C 33 Készítette Glshütter Adre

34 Alízis Itegrálszámítás Prciális itegrálás módszere Tétel H () és g() diereciálhtó továá () és g () olytoos I-, kkor () g ()d () g() () g()d Szereposztás g g g? g? Y l si Y e si log cos cos e midegy szereposztás, de töször kell itegráluk és szerepeket mide esete ugyúgy kell kioszti Péld. e d e e d e e C / g/ e g e Péld. sid ( ) e cos e ( cos ) d e / e g/ si g -cos e cos e cosd e / e g/ cos g si e cos e si e sid Csk z láhúzott részeket vizsgálv egy egyelethez jutuk e sid e cos e si e e sid cos e Itegrálás helyettesítéssel si, mely már z eredeti eldt megoldását dj. C Tétel H ()-ek v primitív üggvéye és g() diereciálhtó I-, kkor (g()) g ()d F(g()) C Htározott itegrál Legye () [;]- korlátos és (). Ekkor ; ( itegrálközelít" összegéek evezzük. i ) i i összeget () [;]- vett () [;]- vett htározott itegráljá értjük () [,]- vett itegrálközelít( összegéek htárértékét h létezik és véges. 34 Készítette Glshütter Adre

35 Alízis Itegrálszámítás Htározott itegrál tuljdosági Legye () és g() itegrálhtó [;]-. Tétel c ()d c ()d Tétel (() g())d ()d Deiíciók ()d ()d c ()d Tétel ()d ()d ()d c g()d Tétel H m () M, kkor m(-) ()d M(-). Tétel H () [;]- olytoos, kkor v oly <[;], hogy ()d (( ( ). Tétel H () [;]-, kkor ()d, h () [;]-, kkor ()d, h () [;]-, kkor ()d. Htározott itegrál kiszámítás primitív üggvéy segítségével Newto-Leiiz-tétel H ()-ek F() primitív üggvéye [,]-, kkor ()d F() F() [F()] 35 Készítette Glshütter Adre

36 Alízis Itegrálszámítás Területszámítás htározott itegrál segítségével Területe midig el(jeles területet értük. A mi számításik, h egy terület el(jele egtív, kkor terület mértéke eze szám szolútértéke lesz. Kiszámítási mód ()d F() F() [F()] lklmzuk. Péld. Számítsuk ki következ( területeket!, zz Newto-Leiiz ormulát kell , zz T i. d 4 7 ( ) ( 9) ( ), mi < zz T. e ii. d [ l ] l l e l le e Bezárt síkidom területe Legye < és mide (,) eseté g()<(), vlmit ()g(), ()g(). Ekkor két üggvéy [,]- tekitett göréje áltl htárolt síkidom területe ()d g()d ( () g() ) Ez képlet o szármzik, hogy, h meg krjuk kpi stírozott rész területét em kell mást teük, mit els( (()) üggvéy ltti terület(l le kell voi z lsó (g()) üggvéy ltti területet. A vlóság em kell tuduk eldötei, hogy melyik üggvéy megy elül, mert h kpott eredméy egtív, vesszük k szolútértékét és megkpjuk keresett értéket. d 36 Készítette Glshütter Adre

37 Alízis Itegrálszámítás Péld. Számíts ki két üggvéy áltl ezárt terület gyságát! ( ) 8 g( ) 4. lépés metszéspotok ( és ) kiszámítás Ehhez z ()g() egyeletet kell megolduk ( )( 5) mi(l és 5. lépés terület kiszámítás 5 5 ( 8 ) ( 4 ) d (- ) T 6, d 4* ) 9 7 ( Készítette Glshütter Adre

38 Képletgyjteméy mtemtikáól módszerti szigorlthoz Diereciál- és itegrálszámítás (vizsgá és szigorlto hszálhtó) c cc Y Y- Y % C, h % Y l C, h %. l C l e e e C log l l log C l l-c DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK si cos -cosc cos -si sic tg tg -l cos C cos ctg ( ctg ) si l si C / / / ( g) / g/ ( g) / g g /, ) / g g/ * g ( g / / ( ( g) ) /( g) g INTEGRÁLÁSI SZABÁLYOK ( g) g g/ g / g ( )d F( ) C Y Y () () () ()d C, % - d l () C Y (g()) g ()d F(g()) C () ()d F() F() [F()]