WEKERLE SÁNDOR ÜZLETI FŐISKOLA. Gazdaságmatematika 1 Analízis. Oktatási segédanyag Készítette: Pór Andrásné

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "WEKERLE SÁNDOR ÜZLETI FŐISKOLA. Gazdaságmatematika 1 Analízis. Oktatási segédanyag Készítette: Pór Andrásné"

Átírás

1 WEKERLE SÁNDOR ÜZLETI FŐISKOLA Gzdságmtemtik Alízis Okttási segédyg Készítette: Pór Adrásé 203

2 Trtlomjegyzék HALMAZOK... 3 FÜGGVÉNYEK... 0 SOROZATOK FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA Nevezetes tételek függvéy htárérték meghtározásához:... 3 DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Függvéyelemzés Gzdsági lklmzások INTEGRÁL (A deriválás iverze) HATÁROZOTT INTEGRÁL Mitzh Mitzh2: Mitzh(00pot): Felhszált irodlom KÉPLETTÁR wsuf 2

3 HALMAZOK Hlmz: bizoyos tuljdoságú dolgok (objektumok) összessége, sokság. Eleme: z összességbe trtozó dolgok hlmz elemei. Jelölések: Hlmz A, B, C stb. (gybetű) pl.: A={, 2, 3} Eleme A kis eleme gy A hlmzk Nem eleme A kis em eleme gy A hlmzk. Néháy számhlmz és jelölése: N természetes számok hlmz 0,,2,. N + pozitív természetes számok hlmz,2,. Z egész számok hlmz -, 0,,. Q rcioális számok hlmz (2 egész szám háydoskét felírhtó szám) Q={ p / q p, q Z ; Q 0} R vlós számok hlmz (rcioális és irrcioális számok uiój) C komple számok hlmz (vlós és egtív számokból is vojuk gyököt) Szemléltetés: Ve-digrmml: A hlmzt egy zárt görbe, z elemeit zárt görbe belső potji szimbolizálják. Pl.: A={} B={b, b 2, } Hlmzok megdás: Defiíció: Egy hlmzt dottk tekitük, h bármelyik elemről, dologról, objektumról egyértelműe eldöthetjük, hogy z, bee v hlmzb vgy em. Megdási módok:. A hlmz elemeiek felsorolásávl: A= {,,, 2, } B= {2, 5, 9} C = {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} D = {á, é, í, ó, ú, ű} 2. A hlmz elemeiek közös tuljdoságát djuk meg (h v ilye) A = {0-él kisebb természetes számok} B = {hosszú mgáhgzók} wsuf 3

4 M ={férfik hlmz} M 2 = { N ÉS >5} TULAJDONSÁGOK Kiolvsv: M 2 hlmz zo elemek hlmz, melyekre z igz, hogy természetes szám és >5. Defiíció: 2 hlmz kkor egyelő, h elemeik megegyezek. Defiíció: z oly hlmzt, melyek ics egyetle egy eleme sem, üres hlmzk evezzük. Jele: Ø vgy {} Defiíció: Az A hlmz részhlmz B hlmzk, h z A mide eleme, eleme B hlmzk is. Vgyis: h A kkor B Szemléltetés: jelölés: A B; A B Megjegyzés: mide hlmzk v leglább két részhlmz (ömg és z üres hlmz). Defiíció : legye dott A és B 2 hlmz, A -r teljesüljeek z lábbi feltételek : i A B ii A= Ø iii A B Ekkor z A hlmzról zt modjuk, hogy B hlmzk VALÓDI RÉSZHALMAZA. Jelölés: A B Szemléltetés: Defiíció 2: Legye dott A és B hlmz, h z A oly em üres részhlmz B -ek, hogy B hlmzk v oly eleme, mely em eleme z A hlmzk, kkor z A hlmzt B hlmz vlódi részhlmzák evezzük. H egy véges hlmzk ( N) db eleme v, kkor eek hlmzk 2 db részhlmz v. A hlmz véges hlmz, h potos tudjuk z elemei számát, zz megdhtjuk egy természetes számml. Pl.: H = {2, 4, 6, 8} ; I = {z osztály tulói} A hlmz végtele hlmz, h elemeiek szám em dhtó meg egy természetes számml. Pl.: P = {pozitív pártl számok} wsuf 4

5 A hlmzok számosság: Véges sok elemet trtlmzó hlmzál egyszerű dolog: hlmz számosságát megkpjuk, h összeszámláljuk z elemeket. A végtele sok elemet trtlmzó hlmzokál defiiáluk egy lpesetet: természetes számok hlmzák számosságát megszámlálhtó végteleek evezzük. Más, em véges sok elemet trtlmzó hlmz számosságát igyekszük viszoyíti. Az összehsolítást párb-állítássl végezhetjük el. A párosítás -k kölcsööse egyértelmű módo kell törtéie és h ez lehetséges, kkor két hlmzt ekvivlesek evezzük. Például: A páros számok hlmz ekvivles természetes számok hlmzávl. Lehetséges ugyis kölcsööse egyértelmű hozzáredelés: Páros számok: Term. számok: H midegyik természetes számhoz egyértelműe hozzá tudjuk redeli egy másik hlmz elemeit, kkor z illető hlmzt is megszámlálhtó végteleek, vgy rövide megszámlálhtók modjuk. Műveletek hlmzokkl Defiíció: A H és H 2 hlmzok uiój (vgy másképp egyesítettjé), zo elemek hlmzát értjük, melyet H illetve H 2 hlmzok közül leglább z egyikbe megtlálhtók. Szemléltetés: jelölés: H és H 2 hlmz uiój. H UH 2 Tételek: Az uióképzés szbályi:. Az uióképzés kommuttív, zz bármely A,B hlmzokb AUB = BUA 2. Az uióképzés sszocitív, zz bármely A, B, C hlmzokb AU (BUC) = (AUB) UC 3. H A B, kkor AUB = B; bizoyítás feldt 4. Bármely A hlmzr AU Ø = A; bizoyítás triviális wsuf 5

6 Pl.: A={mgyr fiúk} B={mgyr láyok} AUB={mgyr fiúk és láyok} Defiíció: A H és H 2 hlmzok metszeté (vgy máskét közös részé) értjük zo elemek hlmzát, melyek H be és H 2 be is bee vk. Szemléltetés: Jelölés: H és H 2 hlmz metszete H H 2 Megjegyzés: H H 2 ={ H és H 2 } Péld:. A= {fiúk} B= {láyok} A B = Ø Defiíció: H H H 2 = Ø, kkor zt modjuk, hogy H és H 2 hlmzok egymáshoz képest idegeek vgy másképp diszjuktk. Pl.: E={háromszögek} L={égyszögek} E és L hlmzok egymáshoz képest diszjuktk, mert E L= Ø Megjegyzés: 2 hlmz diszjuktság zt jeleti, hogy ics közös elemük. Szemléltetve: Tétel: metszetképzés tuljdoság:. A metszetképzés kommuttív, zz bármely A, B hlmzokr: A B = B A 2. A metszetképzés sszocitív, zz bármely A, B, C hlmzokr: A (B C) = (A B) C 3. H H H 2, kkor H H 2 = H 4. Bármely H hlmzr H Ø= Ø 5. A metszetképzés idempotes: Bármely H hlmzr H H=H, ez igz z uióképzésre is: HUH=H wsuf 6

7 Tétel: metszetképzés és z uióképzés kpcsoltár: disztributív törvéyel: Bármely H, H 2, H 3 hlmzokr igz, hogy:.h (H 2 UH 3 ) = (H H 2 )U(H H 3 ) 2.H U (H 2 H 3 ) = (H U H 2 ) (H U H 3 ) Külöbség, komplemeter Defiíció: Bármely H és H 2 hlmzok külöbségé értjük H hlmz zo elemeiek hlmzát, melyek H 2 hlmzk em elemei. Jelölés : H H 2 Szemléltetés: Megjegyzés: H H 2 ={ H és H 2 } Pl..: A= {európi fővárosok} B= {kelet-európi országok fővárosi} A B = {európi, de em kelet-európi országok fővárosi} B A = {oly kelet-európi országok fővárosi, melyek em európik}; Ø Tétel: A külöbségképzés tuljdosági:. em kommuttív, zz, v oly H, H 2 hlmz, hogy H H 2 H 2 H 2. em sszocitív, zz v oly H, H 2, H 3 hlmz, hogy: H (H 2 H 3 ) (H H 3 ) H 2 3. külöbségképzés sorredje felcserélhető, zz: bármely H, H 2, H 3 hlmzr: (H H 2 ) H 3 (H H 3 ) H 2 4. Bármely H, H 2 hlmzr: H H =H 2, kkor H H 2 = Ø H H =Ø, kkor H H 2 = Ø és H 2 H = H 2 H H H 2, kkor H H 2 = Ø H H H 2, kkor H 2 H =?, ezt em lehet elevezi, ez vezet komplemeter képzéshez. Defiíció: Az lphlmz egy oly hlmz, ho részhlmzokt válsztjuk. wsuf 7

8 Defiíció: legye dott I lphlmz és H I A H hlmz I lphlmzr votkozttott komplemeterével (másképp kisegítő hlmzávl) z I H hlmzt evezzük. Szemléltetve: Megjegyzés: Jelölés: H komplemetere. ={ I és H} 2. - be zok és csk zok z elemek trtozk, melyek I-be bee vk, de H-b em. Tétel: A komplemeter-képzés tuljdosági:. bármely hlmzr, H U =I H = Ø =H = Ø = I 2. De Morg féle zoosságok: ( ) = 2 = U 2 Pl.: Alphlmz I = {wsuf hllgtók} Ezutá mide hlmz I-beli: A = {fiúk} B = {láyok} C = {. évesek} Ā =B; = A ={2, 3, 4 em. éves hllgtók} Defiíció: A H és H 2 hlmzok szorzták evezzük zt hlmzt, melyet z összes oly redezett elem-párból képezük, melyek első elemei H ből, második H 2 ből vló. Jelölés: H X H 2 (H kereszt H 2 ) Megjegyzés: Direkt szorzás, Descrtes-féle szorzás elevezést is hszáljuk. Pl.: H = {, 2, 3} H 2 = {, b} H X H 2 ={(,); (,b); (2,); (2,b); (3,); (3,b) } wsuf 8

9 Tétel: A szorzás tuljdosági:. Nem kommuttív, zz v oly H, H 2 hlmzok, hogy H X H 2 H 2 X H 2. Nem sszocitív, zz v oly H, H 2, H 3 hlmz, hogy (H X H 2 ) X H 3 (H X (H 2 X H 3 ) 3. H és H 2 legye 2 véges hlmz: H -ek ( N) db eleme H 2 ek m ( N) db eleme legye Ekkor H X H 2 hlmzál z m db eleme (elem-párj) lesz. Az lpműveletek zoossági Idempotes tuljdoság ( ömgávl zoos ):. A+A=A 2. AA=A 3. A+B=B+A 4. AB=BA Kommuttívitás ( felcserélhetőség ): Asszocitívitás ( átzárójelezhetőség ): 5. A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C 6. A (BC)=(AB)C= ABC Disztributívitás ( szétosztás ): 7. A(B+C) = AB+AC 8. A+(BC) = (A+B)(A+C) Komplemeterre votkozó zoosságok: 9. A+Ā = H (H z lphlmz). 0 AĀ = Ø ( Ø z üres hlmz). A speciális hlmzokr votkozó zoosságok:. A+H = H 2. AØ = Ø 3. A+Ø = A 4. AH = A wsuf 9

10 FÜGGVÉNYEK Leképezések Defiíció: legye dott A és B hlmz. H z A hlmz mide eleméhez hozzáredeljük B hlmz egy b elemét, kkor zt modjuk, hogy z A -beli elemet leképeztük B beli b hez. Jelölés: b Pl.: Defiíció: A leképezés többértelmű, h v oly eredeti elem, melyek leglább 2 képeleme v. A leképezés több egyértelmű, h mide eredeti elemek csk képe v, de v oly képelem, melyhez leglább 2 eredeti elem trtozik. A leképezés kölcsööse egyértelmű, h mide eredeti elemek egyetle képeleme v és mide képelemek egyetle eredetije. Pl.: Ez többértelmű leképzés. Több-egyértelmű leképezés. wsuf 0

11 Kölcsööse-egyértelmű leképezés. Az egyértelmű leképezéseket szokás függvéyekek evezi. A feti leképezés felfoghtó úgy is, mit elem-párok hlmz. Az elem-pár. eleme z eredeti elem, 2. pedig z eredeti elem képeleme. Vgyis feti leképezésük következő hlmzk felel meg. F ={(2,4); (5,7); (9,2)} A függvéyek: De A B = {(2,4); (2,7); (2,2); (5, 4); (5, 7); (5, 2); (9, 4); (9, 7); (9,2)} Defiíció: X és Y legye 2 em üres hlmz. Az X hlmzo értelmezett, Y hlmzbeli értékeket felvevő f függvéyt, kkor tekitjük dottk, h z X hlmz mide egyes eleméhez hozzá v redelve z Y hlmzk potos egy eleme. Értelmezési trtomáy: X hlmz. Jelölése: D f Képhlmz: Y hlmz Értékkészlet: f() függvéyértékek hlmz Jelölése: R f Vlós függvéy: z értékkészlete vlós számokból áll. Egyváltozós vlós függvéy: z értelmezési trtomáy is vlós számokból áll Természetes értelmezési trtomáy: Az f függvéy értelmezési trtomáy vlós számokk z legbővebb részhlmz, melyek potjib függvéy hozzáredelési utsításik értelme v A függvéyek megdás:. Felsoroljuk függvéyekhez trtozó elem-párokt Pl.: F = {(0,0); (,2); (2,4)} (,3) Ezt tábláztos formáb is megtehetjük. wsuf

12 2. Képzési szbályt duk meg. Jelölésük: f : A B Az f függvéy z A hlmzt B-be képezi le. A; f() B f(); f():szbály Az A-beli B-beli f() eleme (tehát képét f()-szel jelöljük.) Pl.: A =B = R F: R R f() = 2+5 Tehát f vlós számok hlmzát képezi vlós számok hlmzáb úgy, hogy képe 2+5 lesz. Függvéyek jelölése: Megegedett még z: 2+5 jelölés is. 2 y 2 f ( ) R f: R f: R 2 f ( ) 2 A függvéyek ábrázolás: Legye dott f: A B függvéy ( f()). Az ábrázolás Descrtes-féle koordiát redszerbe törtéik. A függvéy mide egyes (, f()) elem-párjához hozzáredeljük sík potját oly módo, hogy pot. koordiátáj legye, 2. koordiátáj pedig f(). Pl.: f: R R f() =2- A függvéyek tuljdosági. Mootoitás: Defiíció: legye dott f: A B (A, B R) Az f függvéy Mootoo övekvő, h 2 > eseté f( 2 ) f( ) (, 2 R) wsuf 2

13 Szigorú mootoo övekvő, h 2 > eseté f( 2 ) > f( ) (, 2 R) Mootoo csökkeő, h 2 > eseté f( 2 ) f( ) (, 2 R) Szigorú mooto csökkeő, h 2 > eseté f( 2 ) < f( ) (, 2 R Megjegyzés: függvéyek mootoitásák vizsgáltát leszűkíthetjük z A hlmz egy-egy részhlmzár is. Pl.: (-, 2)-o szigorú mootoo csökke (2, + )-ig mootoo ő 2. Szélsőérték: Defiíció: legye dott f: A B (A, B R). Az f függvéyek z A A hlmzo Lokális mimum v, h v oly A -ek, hogy A eseté f() f() Lokális miimum v, h v oly b A -ek, hogy A eseté f(b) f() A f függvéyek z A hlmzo: Globális mimum v, h v oly A, hogy A eseté f() f(). Globális miimum v, h v oly b A, hogy A eseté f(b) f() wsuf 3

14 A C helye lokális miimum v függvéyek, mert z f() csk részhlmz (pl. (-, 0)-) legkisebb). A C 2 helye függvéyek globális miimum v, mert f(c 2 ) z egész A hlmzo legkisebb. A C 3 helye lokális mimum v függvéyek, globális mimum ics függvéyek. Megjegyzés: Egy szélsőértékek v helye és értéke. 3. Korlátosság: Defiíció: legye dott f: A B (A, B R) Az f függvéy felülről korlátos, h v oly K R szám, hogy A-r K f() Az f függvéy lulról korlátos, h v oly K 2 R szám, hogy A-r K 2 f() Az f függvéy korlátos, h lulról is és felülről is korlátos Láthtó, hogy ez függvéy lulról korlátos, de ics globális miimum wsuf 4

15 4. Zérushely: Defiíció: Az f: A B (A, B R) függvéyek z A elem zérushelye, h f() = 0. Megjegyzés: koordiát redszerbe ott v zérushely, hol függvéy elmetszi vízszites tegelyt. 5. Párosság, pártlság: Defiíció: z f A B (A, B R). A függvéyt párosk evezzük, h A eseté f() = f(-). A függvéy pártl, h A eseté f() = - f(-). Megjegyzés: megdhtó oly függvéy, mely se em páros, se em pártl. A páros függvéyek függőleges tegelyre szimmetrikusk, pártlok pedig koordiát redszer középpotjár. Pl.: A középiskolából ismert elemi függvéyek Elsőfokú függvéy vgy lieáris függvéy. Jellemzése: f: R R f() = + b,b R wsuf 5

16 D f: R vgy R vgy ]-, [ R f : h z em egyelő 0, kkor ÉK z R-rel lesz egyelő. H z ullávl egyelő, kkor b -ek hlmz. Zérushely: oly, mire z f() 0-vl egyelő / +b = 0 /-b Mootoitás:. szig. mooto. ő 2. szig. mooto csökkeő 3. mooto. Szélsőérték: =0 eseté globális mimum és miimum. Korlátosság:. em korlátos sem lulról, sem felülről függvéy 2. em korlátos sem lulról, sem felülről függvéy em korlátos függvéy. 3. korlátos függvéy, mert lulról és felülről is korlátos. Párosság, pártlság: 0, h b em ull h z 0 és b 0, kkor pártl függvéy h =0 és b 0, kkor páros függvéy Másodfokú függvéy Jellemzése: f: R R, f() = ² D f :R R f : f() 0 vgy [0, [ Zérushely: f() =0 ²=0 =0 zérus hely 0 Mootoitás: h ]-,0] szig. mooto. csökke 0 h [0, [ szig. mooto ő 0 Szélsőérték: Globális miimum helye =0, értéke f() =0 Korlátosság: lulról korlátos függvéy, felülről em korlátos, ezért összességébe ez függvéy em korlátos Pritás: páros függvéy wsuf 6

17 Abszolút érték függvéy: Jellemzése: f() = H 0, kkor H < 0, kkor - D f : {R} R f :: f() 0; ], 0] Zérushely: = 0 Mootoitás: ]-, 0] szigorú mooto csökkeő [0, + [ - szigorú mooto övekvő Szélsőérték: globális miimum = 0, f() = 0 Pritás: páros függvéy Korlátosság: csk lulról korlátos, ezért függvéy em korlátos. Megjegyzés: Az bszolút érték függvéy eseté z f() helyett jelölés is szokás ABS () Egy szám bszolút értéke egyelő számk számegyeese 0-tól vló távolságávl (h z egységyi távolság volt). wsuf 7

18 Egészrész függvéy: Jellemzése: f() = [] = z egészrész egyelő z -él em gyobb egészek közül leggyobbl. D f : {R} R f : {Z} ZH: z eleme [0, [ Mootoitás: mootoo övekvő függvéy Szélsőérték: k Z [k,k+[ mide pot lokális miimum és mimum ]k, k+[ lokális miimum Pritás: em páros és em is pártl Korlátosság: em korlátos függvéy További elemi függvéyek 2 wsuf 8

19 7 Az lpműveletek segítségével függvéyekből újbb függvéyeket állíthtuk elő Összetett függvéy, iverz függvéy Defiíció: Az f külső és g belső függvéyekből összetett függvéye értjük zt h függvéyt, melyek értelmezési trtomáy z összes oly D f potokból áll, melyre g( ) D f teljesül és z ilye -re h()=f(g()). Jelölése: h = f g wsuf 9

20 Defiíció: H f egy kölcsööse egyértelmű függvéy, kkor iverz függvéyéek evezzük zt z f - gyel jelölt függvéyt, melyek értelmezési trtomáy: D f - = R f és f - (f())=, D f. Megjegyzés: Nem mide függvéyek létezik iverze, csk kölcsööse egyértelmű függvéyek lesz iverze. Az iverz függvéyél z eredeti függvéyhez képest z eredeti és képelemek helyet cserélek. Tuljdoságok:. H z f függvéy szigorú övekvő, kkor iverze is szigorú övekvő 2. H z f függvéy szigorú csökkeő, kkor iverze is szigorú csökkeő 3. Az f függvéy és f - iverz függvéy trtomáyi felcserélődek: D(f) = H(f - ) H (f) = D(f - ) pl.: f: y = egy-egyértelmű; = 2y+3 szigorú övekvő => felcseréljük z elempárokt 3 f : y - kifejezzük z y-t Az f függvéy és iverzéek grfikoj derékszögű koordiátredszerbe egymásk tükörképe z y = egyelettel megdott egyees szerit. Mivel z iverz függvéy képzésekor vízszites tegely (eredeti elemek) és függőleges tegely (képelem) helyet cserélek, ezért f és f - z y = egyeesre szimmetrikusk leszek. Feldt. Egy égyzet területe 9 m 2. Mekkor z oldl T = = 9 = 3 Mekkor égyzet oldl, h területe 0 m 2? Meg kée keresük zt számot, miek égyzete 0. Ismerjük függvéy értékét, keressük zt helyet, hol felveszi ezt z értéket. wsuf 20

21 égyzetfüggvéy értelmezési trtomáy szűkítés utá: Az előző függvéy grfikoját z y= egyeesre tükrözve kpjuk meg égyzetgyök függvéyt! Elemzés: f() f f D R I 0 ÉT : 0 R y R I y 0 ÉK : y 0 ZH : 0 ZH : 0 SZÉ : mi 0;0 SZÉ : mi 0;0 SZMN SZMN wsuf 2

22 A függvéyek külöböző tuljdosági lpjá z osztályozás: korlátos függvéyek mooto függvéyek periodikus függvéyek páros és pártl függvéyek folytoos és szkszos folytoos függvéyek kokáv és kove függvéyek itegrálhtó függvéyek Függvéyek ábrázolás trszformációvl Adott f: R R függvéy és, b, c R és 3 vlós szám ( 0) g() = f(+b)+c. Ekkor g függvéy képét z f függvéy képéből úgy kpjuk, hogy elvégezzük következő trszformációkt z f függvéy képé (sorred fotos).. lépés: fölvesszük z f függvéy képét 2. lépés: z f függvéy képét eltoljuk z tegely meté b-vel 3. lépés: h z 0, kkor -szorosr yújtás függőleges tegely meté, h z <0 (egtív z ), kkor -t bszolút értékére kell yújti és tükrözi vízszites tegelyre 4. lépés: eltolás c-vel függőleges tegely meté Például g() = 2(+3)²-5 f() =² függvéyből iduluk ki:. lépés: fölvesszük z lpfüggvéyt z f függvéy képét: f() =² 2. lépés: b szeriti trszformáció eltolás b-vel: 3-ml z meté (előjelet kell változtti) 3. lépés: szeriti trszformáció yújtás 2-szeresére függőleges tegely meté 4. lépés: c szeriti trszformáció eltolás 5-tel függőleges tegely meté Többváltozós függvéyek A vlóságb egy-egy gzdsági muttót több téyező is meghtározht, több téyezőtől is függ. Ezt mtemtikilg u. többváltozós függvéy segítségével tudjuk leíri: Pl. egy órbéres dolgozó hvi mukbére (B) függ ttól, hogy háy órát dolgozott () és háy Ft z órbére (y). B=y vgy B(,y)=y lkb írhtó fel Pl. A vállltál z órbérek 500 és 2000 Ft között vk; ledolgozott órák pedig 00 és 200 között. A kétváltozós függvéy értelmezési trtomáy részhlmz zo (,y) elempárok hlmzák, melyekél és 500 y 2000 wsuf 22

23 A redezett (,b) számpárok hlmzát, hol A és bb AB hlmzk ( A és B hlmz Descrtes féle szorzták) evezzük. RR hlmz elemei sík potji. RR hlmzt jelöhetjük R 2 tel. z RRR hlmz elemei redezett számhármsok, tér potji. RRR = R 3 R hlmz elemei pedig redezett szám -esek. (, 2,. ) Péld: Többváltozós másodfokú függvéy Kétváltozós eset: Y=+b X +c X 2 +d X 2 +e X 2 2 +f X X 2 wsuf 23

24 SOROZATOK Defiíció: A végtele számsorozt oly speciális függvéy, melyek értelmezési trtomáy pozitív egész számok hlmz, vgy k részhlmz, függvéyértékei pedig vlós számok. Speciális jelölése: h N, kkor f() helyett z jelölés is hszáltos Megdási módok: pl.: áltláos tggl, szöveges utsítássl, stb. Áltláos tggl törtéő megdás. Megdjuk szbályt, hogy z N természetes számhoz mit redelük hozzá. Pl.: = Rekurzióvl törtéő megdás. Azt djuk meg, hogy sorozt vlmely tgját, hogy kell meghtározi z előző tgok ismeretébe. Elemek megdásávl. A sorozt elejé megduk éháy elemet. Ábrázolás, szemléltetése: síkbeli koordiátredszerbe, számegyeese. A soroztok tuljdosági Mootoitás - mooto övő (csökkeő), h < +, Korlátosság - korlátos, lulról korlátos, felülről korlátos Kovergeci Htárérték Defiíció Az ( ) sorozt htárértéke A szám, h mide >0 számhoz létezik oly küszöbszám, melyél gyobb sorszámú tgji soroztk már mid beleesek z A sugrú köryezetébe. ( -ek z A-tól vett eltérése kisebb, mit ). Egy soroztk legfeljebb egy htárértéke lehet. wsuf 24

25 Nevezetes soroztok: Számti sorozt Defiíció: z oly soroztot, melybe szomszédos tgok külöbsége álldó érték számti soroztk evezzük. A 2 szomszédos tg külöbségét sorozt differeciáják vgy külöbségéek evezzük. Jele: d legye dott egy számti sorozt, melyekek külöbsége d. = - +d (ez rekurzív megdás soroztk) = +(-)d (ez szbállyl törtéő megdás soroztk) 6; 0;4;8;22 (elemek megdás) Mérti sorozt Defiíció: z oly soroztot, melybe szomszédos tgok háydos álldó érték, mérti soroztk evezzük. A 2 szomszédos tg háydosát sorozt háydosák evezzük. Jele: q (quoties) legye dott egy mérti sorozt, melyek háydos q-vl egyelő: = - q (ez rekurzív megdás) = q - (ez szbállyl törtéő megdás) 2; 4; 8;6.. (elemek megdás) Fibocci sorozt Defiíció: h =, z továbbá z = A sorozt elemei: = 2 = 3 = + 2 =3 4 = =4 5 = =5 stb. Nevezetes tételek számsoroztokr A htárérték uicitási tétele Bármely soroztk legfeljebb egy htárértéke lehet. Koverges sorozt korlátosságár votkozó tétel H egy sorozt koverges, kkor korlátos is. (em megfordíthtó.) Mooto és korlátos sorozt kovergeci tétele H egy sorozt övekvő és korlátos, kkor koverges is, és htárértéke sorozt felső htárávl egyelő. H egy sorozt csökkeő és korlátos, kkor koverges is, és htárértéke sorozt lsó htárávl egyelő. MONOTON, KORLÁTOS SOROZAT KONVERGENS. (em megfordíthtó) wsuf 25

26 Műveletek koverges soroztokkl Korlátos és 0-hoz trtó koverges sorozt szorztár votkozó tétel. Koverges soroztok összegére, szorztár és háydosár votkozó tételek. lim ( + b )=A +B lim (. b )=A.B B 0. kkor lim b A B Nevezetes soroztok és htárértékeik. q típusú sorozt lim q 2. Euler típusú soroztok h q h q 0 h q ics h q lim lim e e 3. Poliomok háydosák htárértéke Megoldás: kiemelés, egyszerűsítés, műveleti szbályok lklmzás Tágbb értelembe vett htárérték Az sorozt tágbb értelembe vett htárértéke plusz (míusz) végtele, h mide P R + számhoz létezik oly 0 N + küszöbszám, melyre feáll, hogy h > 0, kkor >P ( < -P) Az soroztot tágbb értelembe koverges soroztk evezzük. wsuf 26

27 További műveleti tételek tágbb értelembe vett htárértékre H ; és 0, kkor 0 H b 0 és b >0, kkor b H és c c, kkor pozitív c eseté ( c ) egtív c eseté ( c ) - Végtele sor: foglm; végtele mérti sor. H végtele számsorozt tgjit z összedás jelével kpcsoljuk össze, kkor egy végtele sort kpuk. Pl. mérti sorozt tgjit összedv, kpjuk végtele mérti sort A sorok oly speciális soroztok, melyek más soroztok részletösszegeikét állk elő. Pl. legye sorozt; tekitsük z S = i soroztot. pl. S br, kkor zt úgy is modjuk, hogy h z S soroztk i= = 2 sor koverges, összege=b + htárértéke, kkor sorösszeg plusz végtele zz: Végtele soroztokt összegzük, és zt ézzük, mikor v eek értelme, mikor modhtjuk hogy egy soroztk ez vgy z szám z összege, mikor modhtjuk zt, hogy soroztk plusz (vgy) míusz) végtele z összege, és mikor kell zt moduk, hogy soroztk ics összege: Defiíció: A végtele sor koverges és összege z A vlós szám, h z s sorozt koverges és htárértéke A. Jelölés: = Tétel: A végtele mérti sor kkor és csk kkor koverges, h q, és ekkor S q wsuf 27

28 Péld: , S ; q Kovergecikritériumok: Hiperhrmoikus sor: k k koverges, h. Leibiz-kritérium: k ( ) ú. lteráló sor feltételese koverges, h lim 0 k k k, és k mooto csökkeő. Háydoskritérium: lim k k koverges, h k diverges, h k I. Néháy evezetes sor összege:.) k k (hrmoikus sor) 2.) k ( ) k k 2... l 2 3 k 3.) q, h q q k0 (mérti sor) wsuf 28

29 FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA A függvéytuljdoságok csoportji: lokális tuljdoságok (pl. ilye z előjel váltás), mikor elég függvéyt egy dott pot bármilye kicsi köryezetébe ismeri globális tuljdoságok (pl. moooto övekszik) mikor függvéyt vlmely itervllumb vgy em egyelemű hlmzo kell ismeri Függvéy htárértéke véges helye Legye z f függvéy z 0 R vlmely köryezetébe (esetleg 0 -t kivéve) értelmezve. Akkor modjuk, hogy z f függvéyek z 0 helye htárértéke z A R szám, h mide oly ( ) számsorozt eseté, melyre lim = 0 ; 0 D f igz, hogy lim f( ) = A Jelölések: lim 0 f ( ) A vgy lim 0 f ( ) A Jobb- és bloldli htárérték foglm Legye z f függvéy z 0 R vlmely jobb oldli (bl oldli) köryezetébe (esetleg 0 -t kivéve) értelmezve. Akkor modjuk, hogy z f függvéyek z 0 helye jobb oldli (bl oldli) htárértéke z A R szám, h mide oly ( ) számsorozt eseté, melyre lim = 0 ; > 0 ( < 0) ; D f igz, hogy lim f( ) = A Jelölések (jobb oldli): lim f ( ) A 0 vgy lim 0 0 f() = A Az f függvéyek kkor és csk kkor létezik htárértéke z 0 potb, h ott létezik bl oldli htárértéke is, jobb oldli htárértéke is, és ezek egymássl egyelők. Függvéy folytoosság Legye f z 0 potb és egy köryezetébe értelmezett! Az f függvéy z 0 potb kkor folytoos, h ott létezik htárértéke, és z egyelő z 0 -beli helyettesítési értékkel, zz lim f ( ) f ( ).. wsuf 29

30 Értelmezhető féloldli folytoosság is! H z 0 potb értelmezett f függvéyek bl oldli htárértéke létezik és z egyelő helyettesítési értékkel, kkor blról folytoosk, h jobb oldli htárértéke létezik és z egyelő helyettesítési értékkel, kkor jobbról folytoosk evezzük ott. Az f függvéyt folytoos függvéyek evezzük, h értelmezési trtomáyák mide potjáb folytoos. Szkdási hely foglm: H f függvéy z 0 potb em folytoos, de z 0 -k v oly köryezete, melyek mide más potjáb folytoos, kkor 0 potot, z f függvéy szkdási helyéek evezzük. Htárértékre votkozó műveleti tételek Legye f és g két függvéy. H f-ek és g-ek is létezik htárértéke 0 potb, kkor két függvéy összegéek, szorzták és háydosák is létezik htárértéke 0 potb. (Háydosál evező em lehet ull feltételre is, figyeli kell!) lim (f()+ g())= 0 lim ( f()g() )= 0 lim 0 lim f() 0 f() + lim g() 0 lim g() 0 lim f ( ) f ( ) 0 lim és 0 g( ) lim g( ) 0 lim 0 g() 0 Összetett függvéy htárértékére votkozó tétel. Legye f és g két függvéy, és legye g-ek htárértéke 0 helye B, vlmit létezze, 0 -k oly K D f köryezete, melybe g() 0, h 0. Tegyük fel, hogy f ek létezik htárértéke B potb. Ebbe z esetbe z f g összetett függvéyek is v htárértéke z 0 potb: lim f(g())= lim f() 0 B Folytoos függvéyekre votkozó műveleti tételek H f és g is folytoos 0 potb, kkor két függvéy összege, szorzt és háydos is folytoos 0 potb. (Háydosál evező em lehet ull feltételre is, figyeli kell!) H g függvéy folytoos 0 potb, és f függvéy folytoos g( 0. ) potb, kkor z f g összetett függvéy is folytoos z 0 potb. Tétel: A vlós számok hlmzá értelmezett, f()=c és f()= függvéyek mideütt folytoosk. wsuf 30

31 Tétel: A poliom függvéyek, rcioális törtfüggvéyek, z epoeciális függvéyek és logritmus függvéyek folytoosk z értelmezési trtomáyuk mide potjáb. Zárt itervllumo folytoos függvéyek Defiició: z f függvéy folytoos vlmely zárt itervllumo, h z itervllum mide belső potjáb folytoos, végpotokb pedig jobbról, ill. blról folytoos. Tétel: Zárt itervllumo folytoos függvéy felveszi szélsőértékeit. Bolzo tétel: Zárt itervllumo folytoos függvéy felveszi közbülső értékeket. Függvéyek htárértéke végtelebe Legye f függvéy vlmely K R-él gyobb számokr értelmezve. H bármely ( D f ) eseté f( ) A, kkor függvéyek plusz végtelebe htárértéke A szám. Jelölése: lim f ( ) A vgy lim f ( ) A Tágbb értelembe vett htárérték Legye f függvéy z 0 R vlmely köryezetébe (esetleg 0 -t kivéve) értelmezett. Az f függvéyek 0 helye plusz végtele htárértéke, h bármely sorozt trt z 0 -hoz ( D f és 0 ) Jelölése: lim f ( ) 0 vgy lim f ( ) Póluspot Az f függvéyek 0 szkdási potj és lim f ( ) függvéyek zt modjuk, hogy póluspotj v. 0, kkor z 0 potb Nevezetes tételek függvéy htárérték meghtározásához: lim =0 lim =- lim 0 0 lim 2 = lim 2 =0 0 lim e = lim e =0 lim = 2 lim = 2 lim si em létezik htárértéke lim 0 si = =+ wsuf 3

32 lim 0 e = Tágbb értelembe vett htárérték: lim f()=+ lim f()=+ 0 lim 0 f()=+ lim f()=+ lim f()=+ lim f()=- lim f()=- 0 lim 0 f()=- lim f()=- lim f()=- L HOSPITAL-szbály: f és g függvéyek differeciálhtók egy 0 pot köryezetébe és g () 0 h lim f()=0 és lim g()=0 vgy lim f()= és lim g()=, és lim 0 f '( ) =A 0 g'( ) kkor lim 0 g( ) f ( ) =A Gykorlti tácsok függvéy htárérték megállpításhoz, éháy kokrét esetbe Végtelebe : A htárérték vizsgált megegyezik soroztokál tultkkl, de z előjelre figyeli kell! Véges helye : Behelyettesítéssel meghtározzuk függvéy értékét z helye, vgyis z f()-t. A behelyettesítéskor problémás esettel is tlálkozhtuk: 0 0 vgy lk: Ilyekor számlálót és evezőt is szorzttá lkítjuk, mjd egyszerűsítük, h lehet. Továbbá: L Hospitl szbály lklmzás 0 c lk: Ebbe z esetbe jobbról, blról közelítéssel vizsgáljuk függvéy htárértékét z dott potb. wsuf 32

33 DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS f f Differeciháydos függvéy m szelő tg szelő f f Differeciháydos függvéy foglm: Legye z 0 z f függvéy értelmezési trtomáyák egy potj, és függvéy legye értelmezve leglább egy 0 - tól külöböző potb. m szelő tg szelő d( ) f f 0 0 A d() függvéyt z f függvéy 0 háydos) függvéyéek evezzük. pothoz trtozó differeciháydos (külöbségi Differeciálháydos függvéy f f mér itő tg ér ő lim f () it Defiíció: z f függvéy differeciálhtó z értelmezési trtomáyák egy belső potjáb, h differeciháydos függvéyéek z potb v véges htárértéke. wsuf 33

34 Itervllumo differeciálhtó függvéyek Az f függvéy differeciálhtó egy yílt itervllumo, h yílt itervllum mide potjáb differeciálhtó. Derivált-függvéy foglm; (differeciálháydos függvéy, derivált) Azt függvéyt, melyek értelmezési trtomáy z f függvéy értelmezési trtomáyák em üres A részhlmz, hol z f függvéy differeciálhtó, és z értelmezési trtomáy mide potjához z f e potbeli differeciálháydosát redeljük f derivált (differeciálháydos-) függvéyek vgy csk deriváltják evezzük. Jelölése: f f ( 0 )= lim f ( ) 0 f ( 0 0 ), 0 A Jobb- és bloldli differeciálháydosok; Legye z f függvéy z 0 potb és k jobb oldli (és bl oldli) köryezetébe értelmezve. H z f függvéy z 0 pothoz trtozó differeciálháydos függvéyéek z 0 potb létezik jobb oldli (és bl oldli) véges htárértéke, kkor zt modjuk, hogy z f függvéy jobbról (blról) differeciálhtó z 0 potb, és számot z f függvéy 0 pothoz trtozó jobb oldli (és bl oldli ) differeciálháydosák evezzük. ( f ( ) lim f ( 0 ) és ( f ( ) f ( lim ) Zárt itervllumo differeciálhtók modjuk z f függvéyt, h belső potokb differeciálhtó és végpotokb jobbról illetve blról differeciálhtó. Legye z f függvéy z értelmezési trtomáyák 0 belső potjáb differeciálhtó. Az f függvéy grfikoj ( 0; f( 0 ) ) potjáb húzhtó éritő iráytgese egyelő: f ( 0 ). Az éritő egyelete: e()= f( 0 )+ f ( 0 )(- 0 ) A folytoosság és differeciálhtóság kpcsolt H z f függvéy differeciálhtó z 0 potb, kkor folytoos is ebbe potb. A tétel em megfordíthtó!!! A differeciálhtóságk folytoosság szükséges, de em elégséges feltétele. Elemi függvéyek deriváltji kosts függvéy: c 0 htváy függvéy: ( ) wsuf 34

35 Epoeciális függvéy: e e l Logritmus függvéy l log l Differeciálási szbályok Feltétel: f és g függvéyek legyeek differeciálhtók vlmely 0 potb Függvéy szám-szorosák differeciálás c f c f Összeg-, külöbség függvéy differeciálás f g f g Szorzt függvéy deriváltj: f g f g f g Háydos függvéy deriváltj f g f g f g 2 g Összetett függvéy deriváltj f g f g g wsuf 35

36 Függvéyelemzés Függvéyek tuljdosági: Korlátosság A függvéyt korlátosk evezzük, h értékkészlete korlátos. Az értékkészlet leggyobb lsó korlátj függvéy lsó htár - ifimum, legkisebb felső korlátj függvéy felső htár - szuprémum. Ameyibe z lsó. ill. felső htárok mguk is függvéyértékek, redre z bszolút miimum, ill. bszolút mimum elevezést hszáljuk. Helyi szélsőértékek Az f() függvéyek -b helyi (lokális) miimum v, h v z -k oly köryezete, melybe f() legkisebb függvéyérték. Az f() függvéyek -b helyi (lokális) mimum v, h v z -k oly köryezete, melybe z f() leggyobb függvéyérték Függvéy mootoitás Az f() függvéyt z (,b) itervllumo övekvőek evezzük, h mide < 2 (, 2 (,b)) eseté f( ) f( 2 ) teljesül. Az f() függvéyt z (,b) itervllumo csökkeőek evezzük, h mide < 2 (, 2 (,b)) eseté f( ) f( 2 ) teljesül. Ameyibe mide, 2 (,b) eseté f() < f(2), illetve f() > f(2); szigorú mooto övekvőek, illetve csökkeőek evezzük függvéyt z (,b) itervllumo. Függvéy kove, kokáv tuljdoság (geometri értelmezés) Az f() függvéyt, z (,b) itervllumo koveek evezzük, h ehhez z itervllumhoz trtozó grfiko bármely potjához trtozó éritő grfiko ltt hld. A f() függvéyt, z (,b) itervllumo kokávk evezzük, h ehhez z itervllumhoz trtozó grfiko bármely potjához trtozó éritő grfiko felett hld. Kove és kokáv ívek tlálkozási potját ifleiós potk evezzük A differeciálhtóság, derivált-függvéy foglmák megismerés utá: Mootoitás Az (,b)- o differeciálhtó f() függvéy kkor és csk kkor övekvő z (,b)-o, h mide (,b)- re f () 0. ( Első derivált pozitív. ) Az (,b)-o differeciálhtó f() függvéy kkor és csk kkor csökkeő z (,b)-o, h mide (,b)- re f () 0. ( Első derivált egtív. ) Szélsőérték Egy függvéyek egy dott, - értelmezés trtomáybeli potb - () csk kkor lehet szélsőértéke, h f ()= 0. Szükséges feltétel szélsőérték létezésére. ()-t stcioárius potk evezzük. wsuf 36

37 Azt, hogy vlób v-e itt szélsőérték, kétféleképpe is el lehet dötei:. Mootoitás lpjá, z első derivált előjelváltásák vizsgáltávl. vgy 2. Második derivált előjeléek vizsgáltávl is következtethetük szélsőértékekre. (H f () > 0 kkor f()-ek -b helyi miimum, f () < 0 eseté f()-ek -b helyi mimum v.) /Megjegyzés: Az itt megállpított szélsőértékeket, helyi szélsőértékekek tekitjük./ Koveitás, vizsgált Egy (,b)-o kétszer differeciálhtó f() függvéy z (,b)-o kkor és csk kkor kove, h mide (,b) eseté f () 0. Egy (,b)-o kétszer differeciálhtó f() függvéy z (,b)-o kkor és csk kkor kokáv, h mide (,b) eseté f () 0 Ifleiós pot Egy függvéyek egy dott, - értelmezés trtomáybeli potb - () csk kkor lehet ifleiós potj, h f ()= 0. Szükséges feltétel z ifleiós pot létezésére. Azt, hogy vlób v-e itt ifleiós pot, kétféleképpe is l el lehet dötei:. A koveitás lpjá, második derivált előjelváltásák vizsgáltávl. vgy 2. A hrmdik derivált előjeléek vizsgáltávl is következtethetük szélsőértékekre. (H f () 0-tól külöbözik, kkor f()-ek -b ifleiós potj v.) Teljes függvéyvizsgált lépései:. Értelmezési trtomáy meghtározás, (h em jelzik). /Df / 2. Zérushely meghtározás. 3. Mootoitás, helyi szélsőérték vizsgált 4. Koveitás, ifleiós pot vizsgált 5. Htárértékek megdás ± - be, vgy z értelmezési trtomáy végpotjib, vlmit szkdási helyeke. 6. Értékkészletéek meghtározás. /Rf / 7. Az bszolút (globális) szélsőértékek megdás 8. A grfiko felvázolás. wsuf 37

38 Vizsgáljuk meg z f()= 3 3 Függvéydiszkusszió (teljes függvéyvizsgált) függvéyt ( R)!. lépés: Oldjuk meg z f()=0 egyeletet =0 2. lépés: f első 3 deriváltfüggvéyét állítsuk elő! - f = f =2-6 -f =2 f =0 egyelet megoldási: 2, 4 f =0 egyelet megoldás: 3 f zérushelyei z értelmezési trtomáyt részitervllumokr botják. z f részitervllumokb felvett értékeiek előjeléből következtetük z f függvéy mootoításár: f >0 h ]-,2[ és h ]4,+ [ z f mooto ő f <0 h [2,4] z f mooto fogy f (2)=-2<0 z f ek lokális mi v, f(2)=6 3 2 és f (4)=2>0 z f ek lokális m v, f(4)= lépés: f zérushelye z értelmezési trtomáyt két részitervllumr botj. z f részitervllumokb felvett értékeiek előjeléből következtethetük z f függvéy lkjár f <0 h ]-,3[ z f kokáv f >0 h ]3,+ [ z f kove f (3) 0 z f -ek ifleiós potj v 4. lépés: z f folytoos, D f =R, ezért csk - -be és + -be kell vizsgáli lim f és lim f f-ek ics bszolút szélsőértéke 5. lépés : f(d f )=R vgy R f =R ]-,2[ 2 ]2,3[ 3 ]3,4[ 4 ]4,+ [ f f ő 2 fogy fogy fogy ő M=6 Mi=5 3 3 f Kokáv( ) Ifeiós(6) Kove( ) f wsuf 38

39 Gzdsági lklmzások A gzdsági életbe sokszor kerülük szembe következő problémávl: vlmit úgy kell megtervezük, hogy közbe bizoyos meyiség optimális (miimális vgy mimális) legye. Gykorik z oly követelméyek, hogy vlmely mukfolymt lehető legkevesebb időt vegye igéybe, hogy dott meyiségű termelés mellett termékegységre jutó összköltség miimális legye, hogy dott meyiségű ygból lehető legtöbb, bizoyos feltételekek eleget tevő termék készüljö stb. Az ilye feldtokt szélsőérték-(etrémum, optimum) feldtokk evezzük. A gykorlti problémából kiidulv keressük z f függvéy szélsőértékét z b feltétel mellett. Ez zt jeleti, hogy z dott problém szempotjából csk z, b itervllum jöhet szób, és itt érdekel beüket z f függvéy mimum vgy miimum. A közgzdságtudomáy derivált függvéy elevezés helyett z egyes függvéyek változásik leírásár htár termiológiát hszálj. Például: htárköltség ( meyiségű árú előállításák költségét meghtározó költségfüggvéy deriváltj htárbevétel( meyiségű árú eldási értékét meghtározó árbevétel függvéy deriváltj) htárhszo (z termékek fogysztó áltl megállpított értékét meghtározó hszossági függvéy deriváltj) htárprofit (z árbevétel és költségfüggvéyek külöbségekét dódó profit függvéy deriváltj) Más típusú feldt: Az f függvéy zt muttj meg, hogy mekkor lesz kereslet bizoyos cikkből z egységártól függőe. Az egységár I itervllumb változht f ( ) f ( ) Az egységárhoz trtozó külöbségháydos-függvéy z ( - ) árváltozáshoz trtozó reltív kereslet-változást muttj meg. (Egységyi árváltozás mekkor keresleti változást vo mg utá) A kereslet jellemzésére ige lklms muttó külöbségháydos-függvéy potbeli htárértéke f ( ) f ( ). (keresleti függvéy differeciálháydos, egységár mellett) : lim Ezt differeciálháydost z egységárhoz trtozó htárkeresletek evezzük. Hsoló beszélhetük htárbevételről, htárköltségről, htárhtékoyságról. A kereslet lkulásák jellemzésére más mérőszám is v, például z elszticitás. wsuf 39

40 Az elszticitás megmuttj, hogy %-os árváltozás (vgy jövedelemváltozás) háy százlékos keresletváltozást okoz. Az f függvéy vlmely árucikk keresletét muttj z egységártól függőe, D f =I,,I. f ( ) f ( ) A d()= függvéy z f()-hoz trtozó reltív keresletváltozást muttj. f ( ) Az háydos z egységárhoz trtozó reltív árváltozást jelzi. A reltív változások összehsolításár képezzük z I egységárhoz trtozó függvéyt: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) h() = = f ( ) Az f függvéy I egységárhoz trtozó elszticitásá h függvéy -hoz trtozó htárértékét f ( ) f ( ) értjük: lim = f () f ( ) f () Gzdsági függvéyek elemzése A gzdsági függvéyek képletét áltláb tpsztlti úto állítjuk elő, vgyis elemezve sttisztiki dtokt képet kpuk rról, hogy külöböző gzdsági muttók között milye jellegű összefüggés áll fe. Közismert például, hogy ráfordítás övelésével eleite lssbb, mjd kissé gyorsbb övekszik hozm, mi elér egy mimális értéket és további ráfordítás eseté már ikább csökkei fog hozm. Az ilye típusú összefüggés mtemtiki leírásár gykr hrmdfokú függvéyt lklmzuk, melyek értelmezési trtomáy értelemszerűe feldtból következik (>0). f() = 3 +b 2 +c+d D f = R + Kérdés: Hol lesz mimális hozm? Válsz: ott, hol függvéyek mimum v: f () =0; f ()<0 Kérdés: Mekkor ráfordításál övekszik leggyorsbb hozm? Válsz: Ott, hol függvéy legmeredekebb: f () függvéyek mimum v, itt f ()=0 és előjelet vált pozitívból egtívb. wsuf 40

41 Legye például egy ráfordítás-hozm függvéy z lábbi formulávl megdv: f()=-0,0 3 +0, f ()= -0, ,4+3 f ()=-0,06+0,4 f ()=0 =8,685 f ()=0 =6,66 Péld meyiségű termelt lm eseté z lm egységár: P()=00-0,0 keresleti függvéy dj meg meyiségű lm előállításák költségfüggvéye: C()= Mekkor mimális profit? Megoldás: Árbevétel(áru meyiség*egységár): R()=P()=00-0,0 2 Profit((árbevétel- költség): Q()=R() - C()= -0, Htárprofit: Q ()= -0,02+50 Szélsőérték Q =0 =2500 Q ()= - 0,02 második derivált egtív, ezért mimum v wsuf 4

42 Q(2500)=32500 Azz z optimális termelés 2500 egység, és profit egység Péld 2 Egy termék rktározási költsége két részből áll: Mide termék 20 egységyi pézbe kerül és z álldó fetrtási költség egységyi péz. Átlgos 000 terméket tárolk. Számítsuk ki költség elszticitását! Megoldás: rktározási költség : C()= A függvéy elszticitás : C '( ) 20 C() H =000, kkor z elszticitás értéke 20/23=0,87 Jeletése: meyibe rktározott meyiségtől kis mértékbe eltérük, kkor 0,87- szeres ráyb változik költség (pl. %-kl változik rktározott meyiség, kkor kb. 0,87%-kl módosul költség)- Péld 3 Egy termék keresletét z egységár függvéyébe következő összefüggés dj meg: 5 f p. p Hogy változik kereslet, h z egységárt =3-ról %-kl megöveljük? Megoldás: f 3 f p f p 3 Az elszticitás képletébe helyettesítve: 3 5 E %-kl csökke kereslet, h termék árát 3-ról %-kl megöveljük. wsuf 42

43 INTEGRÁL (A deriválás iverze) Legye f()= 2 Kérdés: Melyik z függvéy, melyikek deriváltj: 2 ' 3 3 = 2 F ()=f() Primitív függvéy foglm, jellemző tuljdoság DEFINÍCIÓ: H z F függvéy folytoos z I itervllumo és I mide belső potjáb, kkor zt modjuk, hogy F primitív függvéye f-ek z I itervllumb. Tétel: A primitív függvéyek csk kostsb térek el egymástól. (F+C lkúk) Írjuk fel éháy függvéy leglább egy primitív függvéyét! d? d l C Áltláb, h egy függvéy értelmezési trtomáy több közös pot élküli részitervllum egyesítése, kkor primitív függvéyeket ezekbe, részitervllumokb csk külö-külö lehet értelmezi Alpitegrálok k d kc, d C, d l C k R, R e d e C d C 0 l wsuf 43

44 Alpműveletek itegrálokkl Tétel: H f-ek és g-ek z I itervllumb létezek primitív függvéyei, kkor k f -ek, ( k R 0) vlmit ( f g) - ek is v primitív függvéye, és ) k f k f ; b) Szvkkl: ) kosts téyező kiemelhető z itegráljel elé; b) összegfüggvéy htároztl itegrálj tgok htároztl itegráljik összegével egyelő. (összeget tgokét itegrálhtuk). Az itegrálás egyszerű módszerei I. szbály H F primitív függvéye f-ek z I itervllumb, kkor f ( b) d F( b) C hol és b álldó és II. szbály: Speciális szorzt itegrálj. típus: 0 bi ( f g) f g 2. típus: c c f f f d c C e f f f d e C III. szbály: Speciális háydos itegrálj f f d l f C wsuf 44

45 HATÁROZOTT INTEGRÁL DEFINÍCIÓ: Legye f függvéy [,b] itervllumo korlátos. Az f függvéyt z [,b] itervllumo itegrálhtók modjuk, h felosztás mide htáro túli fiomításávl keletkező lsó- és felső összegek sorozt közös htárértékhez kovergál. Ezt htárértéket evezzük z f függvéy [,b] itervllumo vett htározott itegrálják. (Riem itegrál) A htározott itegrál tuljdosági d : 0 f d f f : b b d b f c d f d f b c d b cf d c b f d TÉTEL: Zárt itervllumo folytoos függvéy itegrálhtó. A htározott itegrál kiszámítási módj (Newto-Leibiz formul) : TÉTEL: H f függvéy itegrálhtó z [,b] itervllumo és F függvéy primitív függvéye itt f- ek, kkor: b f d Fb F F b wsuf 45

46 A htározott itegrál lklmzás Területszámítás - függvéygrfiko és tegely áltl közbezárt terület kiszámítás dott htárok között - két függvéy grfikoj áltl közrefogott terület kiszámítás Improprius itegrál meghtározás - z itegrációs itervllum végtele - z [,b] véges itervllumo z f függvéy em korlátos Improprius itegrál A htározott itegrált véges itervllumr és z eze itervllumo korlátos függvéyekre értelmeztük. Az itegrál foglmát most kiterjesztjük végtele itervllumr illetve z [, b] itervllumb em korlátos függvéyre is. Az itegrálási htár végtele H f függvéy itegrálhtó z [, +) itervllum mide [,b] részitervllumá, kkor z f ( ) d itegrált z f függvéy [, +) itervllumo vett improprius itegrálják evezzük. H létezik z lábbi htárérték, és z véges, kkor z improprius itegrált kovergesek modjuk, külöbe diverges. b b lim f ( ) d b Hsoló defiiálhtó f ( ) d improprius itegrál is. Nem korlátos függvéy itegrálás H z f függvéy z [, b] itervllumb em korlátos, kkor em itegrálhtó. Legye zob itegrálhtó bármely [, b-] részitervllumb (hol b->). (Vgy [+, b] részitervllumb (hol +<b)) H létezik lim 0 b f ( ) d illetve lim b 0 f ( ) d htárérték, és z egy véges szám, kkor ezt z f függvéy [, b] itervllumo vett improprius itegrálják evezzük. 2 2 például: d d ; wsuf 46

47 Mitzh. 0 pot ) Hogy helyezkedik el egymáshoz képest f és f - grfikoj? b) Adottk z A= {; 2}, B={; b;c},c={α;β;γ;δ} hlmzok. Dötse el, hogy igz vgy hmis következő állítás!, AB hlmzk 5 eleme v, 3, AC hlmzk 7 eleme v, 6, AC hlmzk 8 eleme v c) Adjo meg oly f és g függvéyt, melyek eseté z f g függvéy em értelmezhető! d) Mi szükséges feltétele, hogy z f() függvéyek z 0 potb szélsőértéke legye? e)igz e: H egy függvéy folytoos z 0 potb, kkor ott létezik htárértéke is. 2. Egy zeeiskoláb 30- tulk. Zogorázk 5-e, hegedülek 6-, kette pedig zogorázk és hegedülek. Háy válsztottk más hgszert? 3 pot 3. Htározz meg következő hlmz elemeit,, h A={2;3} és B={;3;5}! 3 pot B A A B A B 3 4. Számíts ki z = sorozt htárértékét, 3 mjd állpíts meg, hogy sorozt tgji milye értéktől kezdve esek htárérték = 0-2 sugrú köryezetébe!? 4 pot 5. Vizsgáljuk meg, hogy mootook és korlátosk e következő soroztok és melyikek v htárértéke! 8 pot 2 = és wsuf 47

48 6. Htározzuk meg következő függvéyek htárértékét! 6 pot ) lim =? 2 b) 4 2 lim =? 4 7. Legye z f függvéy 6 pot f ( ) h R - 7;0 h 7 h 0 Az =-7 bszcisszájú potb folytoos z f()? Az =0 bszcisszájú potb folytoos z f()? wsuf 48

49 Mitzh2:. ) Mikor evezzük z F függvéyt, z f primitívfüggvéyéek z I itervllumo?6 pot b) Milye kpcsolt v egy függvéy szélsőérték helye és első deriváltj között? c) Milye kpcsolt v költség és htárköltség függvéy között? 2. Itegrálj következő függvéyeket:! 7 pot 2 e 2 d 3 d 3. Htározzuk meg g() és z f() görbék áltl bezárt terület gyságát! 9 pot g( ) f ( ) Egy válllt termelése C ( ) költségfüggvéyel és z 2 R ( ) 0,006 7,2 46 bevételfüggvéyel jellemezhető. Htározz meg, hogy milye meyiségű árucikk termelésével lesz profit mimális! 9 pot 5. Végezze teljes függvéyvizsgáltot következő függvéyre! 4 pot f ( ) 2 e wsuf 49

50 Mitzh(00pot):. ) Adj meg z f() függvéy ruglmsságát, és értelmezze zt! 8 pot b) Soroljo fel éháy elemi függvéyt és tuljdoságit, melyekek értelmezési trtomáy [0, [itervllum! c) Egy függvéyek háy primitív függvéye lehet? d) Adjo meg egy soroztot, mely mooto csökkeő! e) Ismertesse függvéy tuljdoságit! f) Soroljo fel 3 hlmzműveletet és ábrázolj Ve-digrmm segítségével! 2. Htározz meg z 3 6 sorozt htárértékét! 8 pot Adott z sorozt. 3 2 Állpíts meg, hogy sorozt tgji milye értékétől kezdve esek htárérték = 0-2 sugrú köryezetébe! 6 pot 4. Legye z f függvéy 2 pot h R-5 5 f ( ) -2 h 5 Az =-5 bszcisszájú potb folytoos z f()? Az =3 bszcisszájú potb folytoos z f()? wsuf 50

51 5. Itegrálj következő függvéyeket! 2 pot e 2 d ( 3 2)4 d 6. Htározz meg z y= 2 -+ prbol, z y tegely és prbol (2;3) potjához húzott éritő áltl htárolt terület gyságát! 6 pot,5 7. Adott egy termék keresleti függvéye: D ( p) 200p, p 0, hol p termék egységárát, D(p) pedig p árhoz trtozó keresletet jeleti megfelelő meyiségi egységbe. Htározzuk meg kereslet ár-elszticitását (árruglmsságát) p=9 potb. Értelmezze kpott eredméyt! 2 pot 8. Végezze teljes függvéyvizsgáltot következő függvéyre! 6 pot f 3 4 ( ) 4 wsuf 5

52 Felhszált irodlom ANALÍZIS - MATEMATIKA A KÖZGAZDASÁGI ALAPKÉPZÉS SZÁMÁRA CSERNYÁK LÁSZLÓ GAZDASÁGMATEMATIKAI FELADATGYŰJTEMÉNY - ANALÍZIS BÁNHALMI ÁRPÁD - FEJES FERENC - FENYVES FERENC - PERGE GÁBOR ANALÍZIS FELADATGYŰJTEMÉNY SZENTELEKINÉ PÁLES ILONA FELADATGYŰJTEMÉNY gzdsági mtemtikához, BGF-VIFK, Bp (SZ.: F-402). Czétéyi-Felber-Rejtő-Zimáyi Alízis Gykorltok Nemzeti Tköyvkidó Bp Dekiger-Gyurkó Differeciálszámítás: Példtár, Bolyi-köyvek, Műszki Kvk., Bp Bárczy Brbás Itegrálszámítás: Példtár, Bolyi-köyvek, Műszki Kvk., Bp Bárczy Brbás wsuf 52

53 KÉPLETTÁR Gzdsági mtemtik I. (Alízis). Soroztok, sorok lim e 2,78 q, h ; q, lim e, q, R 2. Differeciálszámítás, itegrálszámítás Deriválási szbályok: cf cf f g f g f g f g f g l f f g f g f g g 2 R f g f g( ) g f f e e f f f f f f, R log Elemi függvéyek deriváltj: Elemi függvéyek htároztl itegrálj: f f f f c, c R 0 c, c R c C, C R, R,, R C, C R e e e d e C, C R, R \{} l, R \{} C C l R l, >0 l, >0 l C, C, R + \ l Az éritőfüggvéy egyelete: e f f, 0 l C, C R R Az elszticitás-függvéy: E f f f wsuf 53

54 Itegrálási szbályok: cf d c f d f gd f d gd f f f e f d e C d l f C f f f f C A prciális itegrálási szbály: f gd f g f g A kétváltozós függvéy lokális szélsőértékéek meghtározás: d f f y, b 0, b 0 b P, stcioárius pot eseté 2 ) h D, b f, b f yy, b f y, b kkor f -ek z b f, b 0 eseté mimum, f, b 0 eseté miimum; b) h D, b 0, 0,, potb lokális szélsőértéke v: kkor f -ek z, b potb ics szélsőértéke; c) h D, b 0, kkor k eldötésére, hogy v-e lokális szélsőérték P, b-be, további vizsgált szükséges. Pézügyi számítások Kmtos kmtszámítás: k k r, 0 I r i, hol I kmtláb. 00 Diszkotálás: k r 0 k k v, v r, k k d 0, d D 00, hol D diszkotláb. Járdékszámítás (gyűjtő-, illetve törlesztő-járdék): S r r, hol z uitás, r V v v v, vgy V r r r wsuf 54

55 Nevezetes zoosságok: (+b)²=²+2b+b² (-b)²=²-2b+b² (+b)(-b)=²-b² (+b)³=³+3²b+3b²+b³ (-b)³=³-3²b+3b²-b³ ³+b³=(+b)(²-b+b²) ³-b³=(-b)(²+b+b²) A htváyozás zoossági: Azoos kitevő és zoos lp eseté: A gyökvoás zoossági: Azoos kitevő és zoos lp eseté: k k k k k k k k k Megoldó-képlet:,2 b 2 b 4c 2 ( k ) ( 2 +b+c=0) k wsuf 55

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések Mtemtik A1 vizsg elméleti kérdések Deiíciók Forrás: Szirmi Jeő elődásvázltok, Szász Gáor: Mtemtik 1. tköyv Gépre vitte: Atli Máté 1. Peo-xiómák A természetes számok hlmzát N Peo-xiómák segítségével deiiáljuk.

Részletesebben

Matematika II. Műszaki informatikai mérnökasszisztens. Galambos Gábor JGYPK

Matematika II. Műszaki informatikai mérnökasszisztens. Galambos Gábor JGYPK ..7. Mtemtik II. Műszki iformtiki méröksszisztes http://jgypk.u-szeged.hu/tszek/szmtech/oktts/mtemtik-.pdf Glmos Gáor JGYPK - Mtemtik II. A Mtemtik II. fő témái: Itervllum, távolság, köryezet Vlós függvéyek

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak

Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak ábr: Ábr Bodó Be, Simoé Szbó Klár Mtemtik. közgzdászokk IV. modul: Számsoroztok 8. lecke: Számsorozt foglm és tuljdosági Tulási cél: A számsorozt foglmák és elemi tuljdoságik megismerése. A mootoitás,

Részletesebben

Analízis. Glashütter Andrea

Analízis. Glashütter Andrea Alízis Glshütter Adre Alízis Hlmzok I. Hlmzok Deiíció (hlmz) elemek összessége. Megdás. elemek elsorolásávl (z összes elemet elsorolom, vgy leglá yit, hogy z lpjá következteti lehesse töi elemre); pl A{,,4,7,4,8}..

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

2. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET

2. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Szkközépiskol 9. osztály Felkészülési jvslt jvítóvizsgár Véges, végtele, üres hlmz oglm Két hlmz egyelősége Részhlmz, vlódi részhlmz oglm Uiverzum, komplemeterhlmz Hlmzműveletek (uió, metszet, külöbség)

Részletesebben

ALGEBRA. 1. Hatványozás

ALGEBRA. 1. Hatványozás ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

-vel, ahol i a sor- és j az oszlopindex. Pl. harmadrendő determinánsnál: + +

-vel, ahol i a sor- és j az oszlopindex. Pl. harmadrendő determinánsnál: + + LINEÁRIS ALGEBRA Mit evezük másodredő determiásk? Másodredő determiásk evezzük égy elem, két sor és két oszlop redezett táláztát, melyhez z lái módo redelük értéket: = d c c d Mit evezük egy determiás,

Részletesebben

PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1

PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik = DETERMINÁNSOK = 13 = + + 13 13 Bércesé Novák Áges 1 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik DETERMINÁNSOK Defiíció: z sorb és m oszlopb elredezett x m (vlós vgy képzetes)

Részletesebben

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n

Részletesebben

Matematika A2a - Vektorfüggvények elméleti kérdései

Matematika A2a - Vektorfüggvények elméleti kérdései Mtemtik A2 - Vektorfüggvéyek elméleti kérdései (műszki meedzser szk, 2018. tvsz) Első típusú improprius itegrál: Végtele trtomáyo korlátos függvéy Legye f itegrálhtó mide β > eseté z [, β]-. H β β és véges,

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás LP LP 2 Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek egységár és z, hogy z egyes termékek egy egységéek előállításához

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Sorozatok határértéke

Sorozatok határértéke I. Becsüljük kifejezéseket! Kidolgozott feldtok: Soroztok htárértéke. Számológép hszált élkül djuk becslést z lábbi kifejezések értékére h = 000 000! Hszáljuk közbe gyságredi becsléseket számláló és evező

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

1. Halmazok, relációk és függvények.

1. Halmazok, relációk és függvények. . Hlmzok, relációk és függvéyek. - redezett pár (,b) = { {}, {,b} } hlmzelméleti defiíció; Tuljdoság: (,b) = (c,d) =c és b=d - hlmzok Descrtes-szorztt A x B := {(,b) A, b B} - r hlmzok közötti reláció

Részletesebben

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus) A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

Megoldás: Először alakítsuk át az a k kifejezést: Ez alapján az a 2 a n szorzat átírható a következő alakra

Megoldás: Először alakítsuk át az a k kifejezést: Ez alapján az a 2 a n szorzat átírható a következő alakra . Adott z =, =,3, + 3 soozt. Számíts ki lim 3 htáétéket. Megoldás: Előszö lkítsuk át z k kifejezést: k = + k 3 = k3 k 3 + = (k (k + k + (k + (k k + = k k + k + k + k k +, k =,3, Ez lpjá z szozt átíhtó

Részletesebben

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

Közelítő és szimbolikus számítások haladóknak. 9. előadás Numerikus integrálás, Gauss-kvadratúra

Közelítő és szimbolikus számítások haladóknak. 9. előadás Numerikus integrálás, Gauss-kvadratúra Közelítő és szimolikus számítások hldókk 9. elődás Numerikus itegrálás, Guss-kvdrtúr Numerikus itegrálás Numerikus itegrálás Newto-Leiiz szály def I f f d F F Htározott Riem-itegrálok umerikus módszerekkel

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Amx = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x, A R m x m: sorok szám : oszlopok

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

1. Primitív függvények (határozatlan integrálok)

1. Primitív függvények (határozatlan integrálok) . Primitív függvéyekhtároztl itegrálok 7. Primitív függvéyek htároztl itegrálok.. A defiíciók egyszerű következméyei F. Htározz meg z lábbi függvéyek összes primitív függvéyét: f :, + ; b f :, ; c f :,

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit! Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk

Részletesebben

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 0. tétel zámsorozto orozt: Oly függvéy, melye értelmezési trtomáy pozitív egész számo hlmz. zámsorozt éphlmz vlós számo hlmz. f : N R f () jelöli sorozt -ei tgját.

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza Vlós számok, komplex számok A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel! Vlós számok, komplex számok A vlós számok hlmzák

Részletesebben

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET MATEMATIKA FELADATSOR 9. évolym Elézést tegezésért! I. HALMAZOK Számegyeesek, itervllumok. Töltsd ki táláztot! Mide sor egy-egy itervllum hároméle megdás szerepelje!. Add meg következő itervllumokt! A

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Am = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x m: sorok szám : oszlopok szám

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gykorló feldtok Progrmtervező mtemtikus szkos hllgtókk z Alízis. című tárgyhoz Összeállított Bese Atl, Csillg Dávid, Kiss Blázs, Mátyás Gergely, Szili László 4. október Trtlomjegyzék I.

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

Kardos Montágh verseny Feladatok

Kardos Montágh verseny Feladatok Krdos Motágh versey Feldtok Az ABC háromszög hozzáírt köreiek középpotji O, P, Q, beírt köréek középpotj K Melyik állítás igz z lábbik közül? K z OPQ háromszög A) súlypotj B) mgsságpotj C) szögfelezőiek

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van) Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10.

Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10. Alízis I. Kidolgozt: Ábrhám Róbert Dr. Szili László elődási lpjá 200. július 0. Trtlomjegyzék. A vlós számok struktúráj 3.. Az R Dedekid-féle xiómredszere (872:................................ 3.2. R részhlmzi:................................................

Részletesebben

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke ( 9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R

Részletesebben

Bevezetés az integrálásba

Bevezetés az integrálásba Bevezetés z itegrálásb Horváth Árpád. ovember. Megjegyzés Ez jegyzet összefogllj z itegrálszámításk zokt leglpvetőbb foglmit, mely élkül z itegrálszámítási feldtok megoldás csk képletek mipulációj lee.

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik

Részletesebben

Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji AOK - Rezides képzés Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi műveletek (operációk) tudomáyos kuttási

Részletesebben

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy.

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy. Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Elemi lgebr. A.. Mcedói, 00, 9. év. I. ord. Htározzuk meg y y értékét, h, y pozitív vlós számok és y = 6y. A.. Horvátország, 00, regioális versey, 0. év.

Részletesebben

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről,

Részletesebben

Gazdasági matematika I. tanmenet

Gazdasági matematika I. tanmenet Gzdsági mtemtik I. tnmenet Mádi-Ngy Gergely A hivtkozásokbn z lábbi két tnkönyvre utlunk: Cs: Csernyák László (szerk.): Anlízis, Nemzeti Tnkönyvkidó 200. D: Denkinger Géz: Anlízis gykorltok, Nemzeti Tnkönyvkidó

Részletesebben

mateking.hu AZ ELSŐ DERIVÁLT ÉS A MONOTONITÁS f A MÁSODIK DERIVÁLT ÉS A KONVEXITÁS 0 + A LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉK LÉTEZÉSÉNEK FELTÉTELEI

mateking.hu AZ ELSŐ DERIVÁLT ÉS A MONOTONITÁS f A MÁSODIK DERIVÁLT ÉS A KONVEXITÁS 0 + A LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉK LÉTEZÉSÉNEK FELTÉTELEI AZ ELSŐ DERIVÁLT ÉS A MONOTONITÁS + + mootoitás lok. m lok. mi A MÁSODIK DERIVÁLT ÉS A KONVEXITÁS mteki.hu + koveitás kokáv ileió kove A LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉK LÉTEZÉSÉNEK FELTÉTELEI TÉTEL: A lokális szélsőérték

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

2010/2011 es tanév II. féléves tematika

2010/2011 es tanév II. féléves tematika 2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel? 1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

FELVÉTELI VIZSGA, július 15. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy

Részletesebben

Függvényhatárérték-számítás

Függvényhatárérték-számítás Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről

Részletesebben

Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva

Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva Mtemtik A évfolym modul Soroztok Készítette: Lövey Év Mtemtik A évfolym modul: SOROZATOK Tári útmuttó A modul célj Időkeret Ajálott korosztály Modulkpcsolódási potok A soroztok foglmák elmélyítése Gykorlti

Részletesebben

ACTA CAROLUS ROBERTUS

ACTA CAROLUS ROBERTUS ACTA CAROLUS ROBERTUS Károly Róbert Főisol tudomáyos özleméyei Alpítv: ( ACTA CAROLUS ROBERTUS ( Mtemti szeció AZ INTEGRÁLSZÁMÍTÁS OKTATÁSÁRÓL KÖRTESI PÉTER Összefogllás A htározott itegrál értelmezése

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat! megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások

Részletesebben

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.) Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat

Többváltozós analízis gyakorlat Többváltozós nlízis gykorlt Áltlános iskoli mtemtiktnár szk 07/08. őszi félév Ajánlott irodlom (sok gykorló feldt, megoldásokkl: Thoms-féle klkulus 3., Typote, 007. (Jól hsználhtók z -. kötetek is Fekete

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

Gazdaságmatematikai és statisztikai ismeretek. /Elméleti jegyzet/

Gazdaságmatematikai és statisztikai ismeretek. /Elméleti jegyzet/ Gzdságmtemtk és sttsztk smeretek /Elmélet jegyzet/ Gzdságmtemtk és sttsztk smeretek /Elmélet jegyzet/ Szerző: Vcze Szlv Debrece Egyetem Gzdálkodástudomáy és Vdékfejlesztés Kr ( - 8. fejezet) Kovács Sádor

Részletesebben

Sorozatok. [a sorozat szigorúan monoton nő] (b) a n = n+3. [a sorozat szigorúan monoton csökken] (c) B a n = n+7

Sorozatok. [a sorozat szigorúan monoton nő] (b) a n = n+3. [a sorozat szigorúan monoton csökken] (c) B a n = n+7 Bodó Beáta 1 Sorozatok 1. Írja fel az a = 1 +4 sorozat 10. és ( + 1)-edik elemét! [a 10 = 4 14, a +1 = 4 +. Írja fel az a = +4 1 sorozat ( + 1)-edik és ( )-edik tagját! [a +1 = +7 +4, a = 11. Vizsgálja

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

4. Hatványozás, gyökvonás

4. Hatványozás, gyökvonás I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Az integrálszámítás néhány alkalmazása

Az integrálszámítás néhány alkalmazása Az integrálszámítás néhány lklmzás (szerkesztés ltt) Dr Toledo Rodolfo 4 november 4 Trtlomjegyzék Két függvények áltl htárolt terület Forgástestek térfogt és felszíne 5 3 Ívhosszszámítás 7 4 Feldtok 8

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

Algebrai struktúrák, mátrixok

Algebrai struktúrák, mátrixok A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós

Részletesebben

ANALÍZIS II. Bártfai Pál

ANALÍZIS II. Bártfai Pál ANALÍZIS II. Bártfi Pál. Kétváltozós függvéyek.. Deriválás A z = f(x, y) kétváltozós függvéyél z függő változó értékét z x és z y függetle változók értékéől számoljuk ki. A függvéyt háromdimeziós koordiátredszere

Részletesebben