A Riemann-integrál intervallumon I.

Átírás

1 A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, március 6.

2 Zárt intervllum felosztási A továbbikbn, b R, < b. Definíció Az [, b] intervllum egy P felosztásán olyn P véges hlmzt értünk, melyre {, b} P [, b]. H P n + 1 elemű és elemeit x 0, x 1,..., x n jelöli, kkor feltesszük, hogy = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b (zz P elemeit növekvőleg indexelve soroljuk fel). Megjegyzés: A felosztás áltl meghtározott részintervllumok nem feltétlenül egyenlő hosszúságúk. Péld: A [0, 1] intervllum felosztási például { 0, 1 }, { 0, 1 3, 1 }, { 0, 1 4, 1 2, 3 4, 1 }.

3 Alsó- és felső integrálközeĺıtő összegek Definíció. H f : [, b] R korlátos és P = { x j j = 0, 1,..., n } z [, b] intervllum egy felosztás (z előző definíció jelöléseivel), legyen m i = inf{f (t) t [x i 1, x i ]} = inf f ([x i 1, x i ]), M i = sup{f (t) t [x i 1, x i ]} = sup f ([x i 1, x i ]) (i = 1, 2,..., n), vlmint s(f, P) = m i (x i x i 1 ) i=1 [z f függvény P-hez trtozó lsó integrálközeĺıtő összege] és S(f, P) = M i (x i x i 1 ) [z f függvény P-hez trtozó felső integrálközeĺıtő összege]. i=1

4 Beosztások és összegek összevetései Definíció. H P 1 és P 2 felosztási [, b]-nek, zt mondjuk, hogy P 2 finomíts P 1 -nek, h P 1 P 2. A P 1 és P 2 közös finomítás P 1 P 2. Megjegyzés. H f : [, b] R korlátos és P 1 P 2 z [, b] felosztási, kkor s(f, P 1 ) s(f, P 2 ) és S(f, P 1 ) S(f, P 2 ). Így, h P 1 és P 2 tetszőleges felosztás (nem feltétlenül egymás finomítási), kkor s(f, P 1 ) s(f, P 1 P 2 ) S(f, P 1 P 2 ) S(f, P 2 ). Emitt { s(f, P) : P felosztás [, b]-nek } felülről korlátos, illetve { S(f, P) : P felosztás [, b]-nek } lulról korlátos.

5 Alsó és felső Drboux-integrál Definíció. H f : [, b] R korlátos, z I = I = b b f = sup{ s(f, P) P felosztás [, b]-nek } és f = inf{ S(f, P) P felosztás [, b]-nek } vlós számokt z f függvény ([, b] intervllumon vett) lsó, illetve felső Drboux-integráljánk nevezzük. Megjegyzés. b f b f.

6 Riemnn-integrálhtó függvény foglm Definíció. Azt mondjuk, hogy z f : [, b] R korlátos függvény Riemnn-integrálhtó ([, b]-n), h b f = b f. Ekkor z lsó illetve felső Drboux-integrálok közös értékét z f Riemnn-integráljánk nevezzük és b f vgy b f (x) dx módon jelöljük. R([, b]) jelöli z [, b]-n Riemnn-integrálhtó függvények hlmzát. Megjegyzés. Szokás htározott integrál elnevezés hsznált is. Vegyük észre, hogy htározott integrál (zz Riemnn-integrál) értéke h létezik egy vlós szám, tehát foglmilg lényegesen eltér htároztln integráltól, mi primitív függvények összessége (tehát egy függvény-cslád).

7 Beosztás szelekciój Definíció. Legyen P = { x j j = 0, 1,..., n } z [, b] intervllum egy felosztás (z első definíció jelöléseivel). Azt mondjuk, hogy τ = (t 1, t 2,..., t n ) P felosztás egy szelekciój, h x j 1 t j x j (j = 1,..., n). Továbbá, h f : [, b] R korlátos, kkor σ(f, P, τ) = f (t j ) (x j x j 1 ) számot z f függvénynek P felosztáshoz és nnk τ szelekciójához trtozó közbeeső integrál-közeĺıtő összegének nevezzük. Megjegyzés: s(f, P) σ(f, P, τ) S(f, P).

8 Newton Leibniz-tétel A Newton Leibniz-formul Legyen f : [, b] R Riemnn-integrálhtó és F : [, b] R folytonos függvény úgy, hogy x ], b[: F differenciálhtó x-ben és F (x) = f (x). Ekkor b f = F (b) F (). Megjegyzés. A tétel végén álló egyenlőség z úgynevezett Newton Leibniz-formul. Ez htározott integrál kiszámításánk problémáját visszvezeti primitív függvény (illetve htároztln integrál) kiszámításánk problémájár. Techniki okokból szokásos (z) F (b) F () = [F (x)] b = [F (x)] x=b x= jelölés hsznált.

9 A Newton Leibniz-tétel bizonyítás (1. oldl) Bizonyítás. Legyen P z [, b] egy tetszőleges felosztás ( fenti jelölésekkel). A Lgrnge-féle középérték-tétel szerint t j ]x j 1, x j [: F (x j ) F (x j 1 ) = F (t j )(x j x j 1 ) = f (t j )(x j x j 1 ) (j = 1,..., n), ezért τ = (t 1,..., t n ) egy szelekciój P-nek és F (b) F () = (F (x j ) F (x j 1 )) = f (t j )(x j x j 1 ) = σ(f, P, τ), továbbá m j f (t j ) M j (j = 1,..., n) mitt s(f, P) σ(f, P, τ) S(f, P), zz s(f, P) F (b) F () S(f, P).

10 A Newton Leibniz-tétel bizonyítás (2. oldl) Mivel P tetszőleges felosztás volt, ebből b f F (b) F () b dódik, miből f Riemnn-integrálhtóság mitt kpjuk z álĺıtást. Péld: e 1 1 x dx = [ln(x)]e 1 = ln(e) ln(1) = 1 0 = 1. f

11 A Riemnn-kritérium Definíció Legyen f : [, b] R korlátos és P z [, b] intervllum egy felosztás. Az ω(f, P) = S(f, P) s(f, P) vlós számot z f függvény P-hez trtozó oszcillálós összegének nevezzük. Riemnn-kritérium Egy f : [, b] R korlátos függvény kkor és csk kkor Riemnn-integrálhtó, h ε > 0 számhoz P felosztás [, b]-nek úgy, hogy ω(f, P) < ε.

12 Folytonos függvények integrálhtóság Definíció. A P = { x j j = 0, 1,..., n } felosztás (hol = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b) finomságán számot értjük. Tétel P = mx{ x j x j 1 j = 1,..., n } H f : [, b] R folytonos, kkor Riemnn-integrálhtó.

13 Bizonyítás (folyt. fv. integrálhtó) Legyen ε > 0. Mivel [, b] kompkt hlmz, f egyenletesen folytonos. Ezért létezik δ > 0 úgy, hogy h x, y [, b], x y < δ, kkor f (x) f (y) < ε 2 (b ). Legyen P = { x 0, x 1,..., x n } egy felosztás [, b]-nek úgy, hogy P < δ. Ekkor Tehát ω(f, P) = M j m j ε 2 (b ) (M j m j )(x j x j 1 ) (j = 1,..., n). ε 2 (b ) (x j x j 1 ) = ε 2 < ε.

14 Tétel Monoton függvények integrálhtóság H f : [, b] R monoton, kkor Riemnn-integrálhtó. Bizonyítás. Legyen pl. f monoton növekvő és ε > 0 tetszőleges. Ekkor, h P = { x 0, x 1,..., x n } olyn felosztás, melyre z igz, ε hogy P < f (b) f ()+1, kkor m j = f (x j 1 ) és M j = f (x j ) (j = 1,..., n), ezért ω(f, P) = (M j m j )(x j x j 1 ) = P [f (x j ) f (x j 1 )](x j x j 1 ) [f (x j ) f (x j 1 )] = P [f (b) f ()] ε [f (b) f ()] < ε. f (b) f () + 1

15 Ajánlott irodlom Ljkó Károly. Klkulus II. DE Mtemtiki Intézet, Ljkó Károly. Klkulus II. példtár DE Informtiki Intézet, Wlter Rudin. A mtemtiki nĺızis lpji Mûszki könyvkidó, Budpest, 1978.