BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE"

Átírás

1 BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

2 Jegyzetek és példtárk mtemtik egyetemi okttásához sorozt Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultság Anlitikus módszerek pénzügyben és közgzdságtnbn Anlízis feldtgyűjtemény I Anlízis feldtgyűjtemény II Bevezetés z nlízisbe Complexity of Algorithms Differentil Geometry Diszkrét mtemtiki feldtok Diszkrét optimlizálás Geometri Igzságos elosztások Introductory Course in Anlysis Mthemticl Anlysis Exercises I Mthemticl Anlysis Problems nd Exercises II Mértékelmélet és dinmikus progrmozás Numerikus funkcionálnlízis Operációkuttás Operációkuttási példtár Prciális differenciálegyenletek Példtár z nlízishez Pénzügyi mtemtik Szimmetrikus struktúrák Többváltozós dtelemzés Vriációszámítás és optimális irányítás

3 Mezei István Frgó István Simon Péter BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kr Typotex 2014

4 c , Dr. Mezei István, Dr. Frgó István, Dr. Simon Péter, Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kr Lektorált: Dr. Ngy Bálint Cretive Commons NonCommercil-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi célll szbdon másolhtó, terjeszthető, megjelentethető és elődhtó, de nem módosíthtó. ISBN Készült Typotex Kidó ( gondozásábn Felelős vezető: Votisky Zsuzs Műszki szerkesztő: Gindill Orsoly Készült TÁMOP /2/A/KMR számú, Jegyzetek és példtárk mtemtik egyetemi okttásához című projekt keretében. KULCSSZAVAK: mtemtiki nlízis, hlmzok, vlós és komplex számok, sorok, soroztok, differenciál- és integrálszámítás, függvényvizsgált, függvénysorok, vektornlízis, komplex függvények. ÖSSZEFOGLALÁS: A jegyzet z ELTE TTK nem mtemtik szkos hllgtóink nlízisokttásához készült, de mtemtik lpszkos hllgtók is hsználhtják kiegészítésként. Nem hgyományos tárgylásmódot követi: kétszer hld végig z nlízis lpfejezetein. Először lpszinten, inkább módszereket ismertetve, mjd mélyebb szinten, hgyományos tétel bizonyítás szemléletet követve tárgylj témköröket. A jegyzet erősen lklmzásorientált, pl. térképészeknek, geofizikusoknk fontos görbeelmélet és vektornlízis, vlmint fizikus hllgtóknk fontos vonlintegrál, felületi integrál, komplex függvénytn, metrikus terek stb. szerepelnek benne.

5 Trtlomjegyzék 1. Előszó 1 2. Hlmzok, relációk, függvények Hlmzok, relációk, függvények A Hlmzok és relációk Relációk inverze és kompozíciój Függvények Feldtok Hlmzok, relációk, függvények E Ekvivlenci és rendezési reláció Hlmzok számosság Számhlmzok Vlós számok A A vlós számok xiómrendszere Természetes, egész és rcionális számok Felső és lsó htár Intervllumok és környezetek Vlós számok htványi Feldtok Komplex számok A A komplex szám foglm, műveletek Komplex számok trigonometrikus lkj Elemi függvények Vlós-vlós függvények lptuljdonsági A Az elemi függvények A Htványfüggvények Exponenciális és logritmus függvények i

6 Trigonometrikus függvények és inverzeik Hiperbolikus függvények és inverzeik Néhány különleges függvény Feldtok Soroztok, sorok Soroztok, sorok A A sorozt foglm és tuljdonsági Sorozt htárértéke Divergens soroztok Sorok Feldtok Soroztok E Sorozt konvergenciáj Műveletek konvergens soroztokkl Részsoroztok Sorozt lim sup-j és lim inf-je Intervllumsorozt Cuchy konvergencikritérium Sorok E Sor konvergenciáj Konvergencikritériumok Végtelen sorok átrendezései Folytonosság Folytonosság A A folytonos függvény foglm és tuljdonsági A műveletek és folytonosság kpcsolt Intervllumon folytonos függvények tuljdonsági Feldtok Folytonosság E A folytonosság foglm és z átviteli elv Műveletek folytonos függvényekkel Intervllumon folytonos függvények tuljdonsági Az inverzfüggvény folytonosság Egyenletes folytonosság Függvény htárértéke Függvény htárértéke A Végesben vett, véges htárérték Végtelenben vett, illetve nem véges htárérték Egyoldli htárérték ii

7 7.2. Feldtok Függvény htárértéke E A htárérték áltlános definíciój és z átviteli elv Műveletek függvények htárértékével Differenciálhtóság Differenciálhtóság A A derivált foglm és geometrii jelentése Elemi függvények deriváltj és deriválási szbályok A derivált kpcsolt függvény tuljdonságivl Többszörös derivált és Tylor-polinom L Hospitl-szbály Feldtok Differenciálhtóság E A derivált foglm és kpcsolt folytonossággl Műveletek differenciálhtó függvényekkel, deriválási szbályok Lokális növekedés, fogyás, lokális szélsőérték Középértéktételek A globális monotonitás elégséges feltételei Konvex és konkáv függvények Tylor-formul L Hospitl-szbály Integrálhtóság, integrálszámítás Integrálszámítás A A Riemnn-integrál foglm és geometrii jelentése A Riemnn-integrál és műveletek kpcsolt Newton Leibniz-formul Primitív függvény Az integrál lklmzási Fourier-sor Az improprius integrál Feldtok Integrálszámítás E Az integrál foglm Az integrálhtóság feltételei Műveletek és z integrál kpcsolt Primitív függvény és Newton Leibniz-formul Függvénysoroztok, függvénysorok 149 iii

8 10.1. Függvénysoroztok, függvénysorok A Függvénysoroztok Függvénysorok Htványsorok Feldtok Függvénysoroztok, függvénysorok E Függvénysoroztok Függvénysorok Htványsorok, Tylor-sorok Többváltozós függvények Többváltozós függvények A Az n-dimenziós tér Többváltozós függvények Htárérték és folytonosság Feldtok Többváltozós függvények E Metrikus tér Nyílt és zárt hlmzok; kompkt hlmz Folytonos függvények Fixponttétel Többváltozós differenciálás Többváltozós deriválás A Prciális derivált Deriváltmátrix Érintő Szélsőérték Feldtok Többváltozós deriválás E Prciális derivált és deriváltmátrix Második derivált, Tylor-formul Szélsőérték Implicit- és inverzfüggvény tétel Feltételes szélsőérték Vonlintegrál Vonlintegrál A A vonlintegrál foglm és tuljdonsági Potenciál Feldtok Vonlintegrál E iv

9 A vonlintegrál foglm és tuljdonsági Potenciál Differenciálegyenletek Differenciálegyenletek A Alpfoglmk Szétválszthtó változójú differenciálegyenlet Alklmzás Feldtok Többváltozós függvény integrálj Többváltozós integrál A A többváltozós integrál foglm Az integrál kiszámítás tégllpon és normáltrtományon Az integrál trnszformációj Feldtok Vektornlízis Vektornlízis A Térgörbék Felületek A nbl Integrálátlkító tételek Feldtok Komplex függvények Komplex soroztok, végtelen sorok Komplex htványsorok Komplex függvény folytonosság Komplex függvény htárértéke Komplex függvény differenciálhtóság Komplex függvények integrálj Primitív függvény, z integrál kiszámítás Tylor-sor, hrmonikus függvények Komplex függvények zérushelyei Becslések Komplex függvény mximum Lurent-sor Szinguláris helyek A reziduum-tétel v

10

11 1. fejezet Előszó A jegyzet lpvetően z Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Krán nem mtemtik szkos hllgtók nlízis okttásához készült, bár mtemtik lpszkos hllgtók kiegészítésként szintén hsználhtják. A fizikus, geofizikus, térképész, meteorológus, geológus, környezettudomány szkos hllgtók mtemtik okttás évtizedek ót z Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék feldt. A jegyzet három szerzője szintén évek, évtizedek ót részt vesz ebben z okttásbn. A jegyzetben tárgylt nlízis nygot számos félévben szerzők már tnították, hosszú évek szkmi és pedgógii tpsztlt vn jegyzet trtlm mögött. Temtikáját tekintve jegyzet természetszerűleg hsonlít számos más nlízis tnkönyvre, zonbn hngsúlyozzuk, hogy ennek ellenére több szempontból hiánypótló szerepet tölt be. Egyrészt más nlízis témájú tnkönyvek ngyobbrészt mtemtik szkos hllgtók számár készültek. A nem mtemtik szkosoknk szóló tnkönyvek pedig más egyetemek speciális igényű hllgtói, pl. mérnök vgy közgzdász hllgtók okttásához illenek. Ez jegyzet z ELTE TTK nem mtemtik szkos hllgtóink igényeihez illeszkedik. Sokéves okttási tpsztlt muttj, hogy hllgtók mtemtikát nem z xiomtikus felépítés mentén sjátítják el, hnem fokoztosn, egyre mélyebb szinten értik meg mtemtiki foglmkt és tételeket. Ezért jegyzet nem hgyományos tárgylásmódot követi, hnem kétszer hld végig fent felsorolt fejezeteken. Először lpszinten tárgyl minden témkört. Ennek keretében inkább módszereket tnít. (A fizik szkon ez rész külön tntárgy Klkulus címen.) Ezután másodéves hllgtók számár ugynzok témkörök mélyebb szinten következnek, hgyományos tétel-bizonyítás szemlélet szerint. A jegyzet erősen lklmzás orientált. A térképészeknek fontos görbeelmélet, vgy geofizikusoknk szükséges vektornlízis is helyet kp benne. A fizikus hllgtók megtlálhtják benne vonlintegrál, felületi 1

12 2 1. Előszó integrál és komplex függvények tárgylását, illetve nehezebb témköröket is, pl. metrikus terek, vgy implicit függvény tétel. Köszönetnyilvánítás A szerzők köszönetet mondnk z Eötvös Loránd Tudományegyetem Mtemtiki Intézetében z Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszéken dolgozó kollégáink, kik konstruktív észrevételeikkel támogtták kurzus temtikájánk kilkítását és jegyzet megírását. Köszönet illeti jegyzet lektorát Ngy Bálint tnszékvezető főiskoli docenst, ki mindenre kiterjedő figyelemmel igyekezett jvítni hibákt, és elősegíteni z érthetőséget, és z egységes szerkezetét. A jegyzet TAMOP /2/A/KMR számú pályázt, Jegyzetek és példtárk mtemtik egyetemi okttásához című projektjének keretében készült. 2

13 2. fejezet Hlmzok, relációk, függvények Bemuttjuk mtemtik eszközeit, lépten-nyomon hsznált foglmkt, fontos megállpodásokt vezetünk be. Biztos lpokt készítünk további építkezéshez. Gykrn lklmzzuk minden, illetve tetszőleges szvk rövidítésére, létezik, illetve vn olyn kifejezések helyett pedig jelet. Az lábbi témköröket tárgyljuk: Hlmz foglm és hlmzműveletek Reláció Függvény foglm és tuljdonsági Kompozíció és inverz Hlmz számosság 2.1. Hlmzok, relációk, függvények A Hlmzok és relációk Egy hlmzt kkor tekintünk ismertnek, h minden jól megfoglmzhtó dologról el tudjuk dönteni, hogy hozzá trtozik vgy nem trtozik hozzá. (Az okos gondolt, szép lány, z elég ngy szám vgy kicsi pozitív szám nem tekinthető jól megfoglmzott dolognk, ezekről nem kérdezzük, hogy benne vnnk-e vlmilyen hlmzbn, hogy lkotnk-e hlmzt.) 3

14 4 2. Hlmzok, relációk, függvények Legyen A hlmz, x egy jól definiált dolog. H x hozzátrtozik hlmzhoz, kkor ezt x A jelölje. H x nem trtozik hozzá hlmzhoz, kkor ezt x / A jelöli. A hlmz elemeit felsorolhtjuk, például A := {, b, c, d}, vgy értelmes tuljdonsággl djuk meg hlmzt, például B := {x x vlós szám és x 2 < 2} Definíció. Legyen A és B hlmz. Azt mondjuk, hogy A része B hlmznk, h minden x A esetén x B. Jele: A B Definíció. Legyen A és B hlmz. Az A hlmz egyenlő B hlmzzl, h ugynzok z elemei. Jele: A = B. Könnyen meggondolhtó következő tétel: 2.1. Tétel. Legyen A és B hlmz. A = B pontosn kkor, h A B és B A. Néhány eljárást muttunk, melyekkel újbb hlmzokhoz juthtunk Definíció. Legyen A és B hlmz. Az A és B egyesítése (uniój) z hlmz, melyre A B := {x x A vgy x B}. Az A és B metszete (közös része) z hlmz, melyre A B := {x x A és x B}. Az A és B különbsége z hlmz, melyre A \ B := {x x A és x / B}. A metszet és különbség képzése során elképzelhető, hogy egyetlen x dolog sem rendelkezik kívánt tuljdonsággl. Azt hlmzt, melynek bármely jól definiálhtó dolog sem eleme, üres hlmznk nevezzük. Jele:. Legyen H hlmz és A H egy részhlmz. Az A hlmz (H-r vontkozó) komplementerén z A := H \ A hlmzt értjük. De Morgn-zonosságoknk nevezik következő tételt: 2.2. Tétel. Legyen H hlmz, A, B H. Ekkor A B = A B és A B = A B. Legyen és b dolog. Az {, b} hlmz nyilván sok változtbn felírhtó: {, b} = {b, } = {, b, b, } = {, b, b,, b, b} = stb. Ezzel szemben tekintsük lpfoglomnk z (, b) rendezett párt, melynek lényeges tuljdonság legyen, hogy (, b) = (c, d) pontosn kkor, h = c és b = d. A rendezett pár segítségével értelmezzük hlmzok szorztát. 4

15 2.1. Hlmzok, relációk, függvények A Definíció. Legyen A, B hlmz. Az A és B Descrtes-szorzt A B := {(, b) A és b B}. Például A := {2,3,5}, B := {1,3} esetén A B = {(2,1), (2,3), (3,1), (3,3), (5,1), (5,3)}. A rendezett pár foglmár épül reláció Definíció. Azt mondjuk, hogy z r hlmz reláció, h minden eleme rendezett pár. Egy mgyr-ngol szótár is egy reláció, hiszen elemei mgyr és neki megfelelő ngol szóból lkotott rendezett párok Definíció. Legyen r reláció. Az r reláció értelmezési trtomány Az r reláció értékkészlete z D(r) := {x vn olyn y, hogy (x, y) r}. R(r) := {y vn olyn x D(r), hogy (x, y) r}. Nyilván r D(r) R(r). Például r := {(4,2), (4,3), (1,2)} esetén D(r) = {4,1}, R(r) = {2,3} Relációk inverze és kompozíciój Két eljárást muttunk be, mellyel dott reláció(k)ból újbb relációhoz juthtunk Definíció. Legyen r reláció. Az r reláció inverze z reláció, mely r 1 := {(s, t) (t, s) r}. Láthtó, hogy r := {(1,3), (4,2), (5,2), (3,3)} esetén r 1 = {(3,1), (2,4), (2,5), (3,3)}. A mgyr-ngol szótár inverze z ngol-mgyr szótár. Értelmezzük relációk kompozícióját (összetett reláció, közvetett reláció) is Definíció. Legyen r, s reláció. Az s belső reláció és r külső reláció kompozíciój legyen r s := {(x, z) vn olyn y R(s) D(r) közvetítő elem, hogy (x, y) s és (y, z) r}. 5

16 6 2. Hlmzok, relációk, függvények Például s := {(1,2), (1,4), (2,3)}, r := {(4,3), (4,4), (3,5)} esetén r s := {(1,3), (1,4), (2,5)}. Természetesen elkészíthető z s r reláció is, de ez most s r =. Áltlábn r s s r. Meglepően szép relációk kompozíciójánk inverze és z inverzek kompozíciójánk kpcsolt: 2.3. Tétel. Legyen r, s reláció. Ekkor (r s) 1 = s 1 r 1. Mivel hlmzok egyenlőségét szeretnénk igzolni, megmuttjuk, hogy 1.) (r s) 1 s 1 r 1 és 2.) s 1 r 1 (r s) Legyen (p, t) (r s) 1 (t, p) r s vn olyn q R(s) D(r) közvetítő elem, hogy (t, q) s és (q, p) r nyilván (p, q) r 1 és (q, t) s 1 (p, t) s 1 r Legyen (u, w) s 1 r 1 vn olyn v R(r 1 ) D(s 1 ) = R(s) D(r) közvetítő elem, hogy (u, v) r 1 és (v, w) s 1 nyilván (w, v) s és (v, u) r (w, u) r s (u, w) (r s) Függvények A függvény speciális reláció Definíció. Legyen f reláció. Azt mondjuk, hogy z f függvény, h bármely (x, y) f és (x, z) f esetén y = z. Például r := {(1,2), (2,3), (2,4)} nem függvény, hiszen (2,3) r és (2,4) r, de 3 4; z f := {(1,2), (2,3), (3,3)} viszont függvény. Néhány megállpodást teszünk függvények körében. H f függvény, kkor (x, y) f esetén y z f függvény x helyen vett helyettesítési értéke, vgy z f függvény z x-hez z y-t rendeli hozzá. Jelölésben: y = f(x). H f függvény és A := D(f), B pedig olyn hlmz, melyre R(f) B (nyilván A függvény értelmezési trtomány, B pedig függvény (egyik) képhlmz), kkor z f A B, f függvény kifejezés helyett z f:a B jelölést hsználjuk ( z f függvény z A hlmzt B hlmzb képezi ). H f függvény és D(f) A, R(f) B, kkor f : A B jelöli ezt ( f z A hlmzból B hlmzb képező függvény ). Például f := {(, α), (b, β), (g, γ), (d, δ), (e, ε)} függvény. Láthtó, hogy β z f függvény b helyen vett helyettesítési értéke, β = f(b). 6

17 2.1. Hlmzok, relációk, függvények A 7 H L ltin betűk, G pedig görög betűk hlmz, kkor f : {, b, g, d, e} G, f() = α, f(b) = β, f(g) = γ, f(d) = δ, f(e) = ε. H csk függvény típusár krunk utlni, elég z f : L G. Természetesen egy függvénynek is vn inverze, ez zonbn nem biztos, hogy függvény lesz Definíció. Legyen f : A B függvény. Azt mondjuk, hogy z f kölcsönösen egyértelmű (injektív), h különböző x 1, x 2 A elemeknek különböző B-beli elemeket feleltet meg, zz bármely x 1, x 2 A, x 1 x 2 esetén f(x 1 ) f(x 2 ). Könnyen meggondolhtó, hogy kölcsönösen egyértelmű függvény inverze is függvény. Részletesebben: 2.4. Tétel. Legyen f függvény, A := D(f), B := R(f), f kölcsönösen egyértelmű. Ekkor z f inverze f 1 : B A olyn függvény, mely bármely s B ponthoz zt t A pontot rendeli, melyre f(t) = s, (röviden: bármely s B esetén f(f 1 (s)) = s.) Függvények kompozícióját is elkészíthetjük. Szerencsére ez mindig függvény lesz. Legyen g : A B, f : B C. Ekkor relációk kompozíciójánk felhsználásávl megmutthtó, hogy f g : A C, bármely x A esetén (f g)(x) = f(g(x)). Például g függvény minden szám duplájához 1-et djon hozzá (g : R R, g(x) := 2x + 1); z f függvény pedig minden számot emeljen négyzetre (f : : R R, f(x) := x 2 ), kkor f g : R R, (f g)(x) = (2x + 1) 2 lesz z f és g kompozíciój. További hsznos foglmk Legyen f : A B és C A. Az f függvény C-re vló leszűkítése z z f C : C B függvény, melyre bármely x C esetén f C (x) := f(x). Legyen f : A B, C A és D B. Az f(c) := {y vn olyn x C, melyre f(x) = y} hlmzt C hlmz f függvénnyel létesített képének nevezzük. Az f 1 (D) := {x f(x) D} hlmz D hlmz f függvényre vontkozó ősképe. (Vigyázt! Az f 1 nem inverzfüggvényt jelöl ebben z esetben.) 7

18 8 2. Hlmzok, relációk, függvények 2.2. Feldtok 1. Legyen A := {2,4,6,3,5,9}, B := {4,5,6,7}, H := {n n egész szám, 1 n 20}. Készítse el z A B, A B, A \ B, B \ A hlmzokt. Mi lesz z A hlmz H-r vontkozó A komplementere? 2. Legyen A := {, b}, B := {, b, c}. A B =? B A =? 3. Legyen r := {(x, y) x, y vlós szám, y = x 2 }. r 1 =? Függvény-e z r? Függvény-e z r 1? 4. Legyen f : R R, f(x) := x 1+x 2. Készítse el z f f, f (f f) függvényeket. 5. Gondoljuk végig egy f : A B kölcsönösen egyértelmű függvény inverzének szemléltetését! 6. Gondoljuk meg, hogy egy f : A B kölcsönösen egyértelmű függvény inverzét következő lépésekkel lehet előállítni: 1) Felírjuk, hogy y = f(x). 2) Felcseréljük z x és y változókt : x = f(y). 3) Ebből z egyenletből kifejezzük z y-t z x segítségével: y = g(x). Ez g lesz éppen z f 1 inverzfüggvény. Például: f : R R, f(x) = 2x 1. (Ez kölcsönösen egyértelmű függvény.) 1) y = 2x 1 2) x = 2y 1 3) x + 1 = 2y, y = 1 2 (x + 1). Tehát f 1 : R R, f 1 (x) = 1 2 (x + 1). Szemléltesse is z f és f 1 függvényt! 7. Legyen f : A B, C 1, C 2 A, D 1, D 2 B. Mutssuk meg, hogy f(c 1 C 2 ) = f(c 1 ) f(c 2 ), f(c 1 C 2 ) f(c 1 ) f(c 2 ), f 1 (D 1 D 2 ) = f 1 (D 1 ) f 1 (D 2 ), f 1 (D 1 D 2 ) = f 1 (D 1 ) f 1 (D 2 ). Igz-e, hogy h C 1 C 2, kkor f(c 1 ) f(c 2 )? Igz-e, hogy h D 1 D 2, kkor f 1 (D 1 ) f 1 (D 2 )? 8. Legyen f : A B, C A, D B. Igz-e, hogy f 1 (f(c)) = C? Igz-e, hogy f(f 1 (D)) = D? 8

19 2.3. Hlmzok, relációk, függvények E Hlmzok, relációk, függvények E A rendezett párt lpfoglomnk tekintettük, de lehetőség vn hlmzok segítségével bevezetni rendezett pár foglmát Definíció. Legyen és b. Az (, b) rendezett pár legyen (, b) := {{}, {, b}}. Ezzel z értelmezéssel igzolhtó rendezett párt jellemző tuljdonság Tétel. (, b) = (c, d) = c és b = d. Bizonyítás. ( ) Legyen {{}, {, b}} = {{c}, {c, d}}. 1. Vgy {} = {c}, miből = c következik. Továbbá {, b} = {c, d}, de = c mitt b = d lehet csk. 2. Vgy {} = {c, d}, miből c = d és így = c = d következik. Ekkor (c, d) = {{}}, de kkor {} = {, b} is igz, így = b. Tehát = b = = c = d. ( ) Nyilvánvló! Ekvivlenci és rendezési reláció A mtemtik néhány kényes foglmát relációkkl és függvényekkel hozzuk kpcsoltb Definíció. Legyen H, r H H, D(r) = H reláció. Azt mondjuk, hogy 1. r reflexív, h x H esetén (x, x) r ; 2. r szimmetrikus, h (x, y) r esetén (y, x) r ; 3. r ntiszimmetrikus, h minden olyn esetben, mikor (x, y) r és (y, x) r, kkor x = y ; 4. r trnzitív, h minden olyn esetben, mikor (x, y) r és (y, z) r, kkor (x, z) r Definíció. H z r reláció reflexív, szimmetrikus és trnzitív, kkor r ekvivlenci-reláció Definíció. H z r reláció reflexív, ntiszimmetrikus és trnzitív, kkor r rendezési reláció. 9

20 10 2. Hlmzok, relációk, függvények Legyen egy ekvivlenci-reláció H hlmzon (D( ) = H). Állpodjunk meg bbn, hogy (x, y) helyett z x y jelölést hsználjuk. A ekvivlenci-reláció segítségével H hlmzt részhlmzokr bontjuk következő lépésekkel. α) Legyen x H. Az x-hez trtozó ekvivlenci-osztály x / := {y y H, x y}. β) Könnyen beláthtó, hogy h x, z H, kkor vgy x / = z /, vgy x / z / =. Ez zt jelenti, hogy H hlmz felbonthtó közös pont nélküli ekvivlenciosztályokr. γ) Legyen H / := {X x H, hogy X = x / }. A H / z ekvivlenci-osztályok hlmz. Igzolhtó, hogy 1. H / elemei közös pont nélküliek ( β) pontbn ezt foglmztuk meg), 2. H / elemeinek (hlmzoknk) z egyesítése kidj H hlmzt. Lássunk két fontos példát erre z eljárásr. 1. Legyen T törtek hlmz, zz { } p T = p, q egész szám, q 0. q A T hlmzon értelmezünk egy relációt: b c d = bc. d Végiggondolhtó, hogy ekvivlenci-reláció. Ekkor b / ekvivlenciosztályb beletrtozik z összes olyn tört, mely egyenlő z b -vel. A T / hlmz pedig olyn közös elem nélküli hlmzokr vló felbontás T törtek hlmzánk, melyek egyesítéseként visszkpjuk T hlmzt. Az b / egy rcionális szám, T / pedig rcionális számok hlmz. -del, hiszen ezek törtek reprezentánsi z 1 2 / rcionális számnk, és rcionális számokkl végzett műveletek során mindig megfelelő reprezentánst húzzuk elő z osztályból. Például Így válik érthetővé, hogy 1 2 egyenlő 2 4 -del, = =

21 2.3. Hlmzok, relációk, függvények E 11 zt sugllj, hogy 1 2 / / = 3 6 / / = 7 6 /. 2. A másik példábn E legyen egy sík irányított szkszink hlmz. Bevezetünk E-n egy relációt: legyen b, h z szksz párhuzmos b-vel, zonos irányúk és egyform hosszúk. Könnyen láthtó, hogy ekvivlenci-reláció. Az / trtlmzz z -vl párhuzmos, vele zonos irányú és hosszúságú irányított szkszokt. Egy ilyen osztály legyen egy vektor. Az E / sík vektorink hlmz. Így válik érthetővé, hogy vektorok összedásánál z egyik vektort eltoljuk úgy, hogy két vektor kezdőpontj megegyezzék. Vlójábn mindkét vektorból z lklms reprezentáns irányított szkszt húzzuk elő, zokkl végezzük el műveletet, és z eredő irányított szkszhoz trtozó ekvivlenci-osztály lesz z összedás eredő vektor. A rendezési relációkkl kpcsoltbn csk két egyszerű példát tárgylunk. Legyen N pozitív egész számok hlmz. Legyen z reláció, melyre b, h vn olyn nemnegtív c egész, hogy + c = b. Ez vlóbn rendezési reláció. Még z is igz, hogy bármely, b N esetén vgy b, vgy b. Az N pozitív egészek hlmzán egy másik relációt is bevezethetünk. Azt mondjuk, hogy osztój b-nek, h vn olyn k pozitív egész, hogy b = k. Az oszthtóság reláció reflexív ( = 1), ntiszimmetrikus (h b = k és = bl, kkor b = blk, miből lk = 1, de ez csk k = 1 és l = 1 esetén igz, tehát = b) és trnzitív (h b = k, c = bl, kkor c = kl, zz osztój c-nek), tehát z oszthtóság is rendezési reláció z N hlmzon. Csk nem olyn szép, mint volt, hiszen, vn olyn, b N, melyre nem osztój b-nek, és b sem osztój -nk. (Például := 4 és b := 7.) Hlmzok számosság Gykrn hsonlítjuk össze hlmzok elemszámát, ezt formlizáljuk z lábbi definícióbn Definíció. Legyen A, B hlmz. Azt mondjuk, hogy A számosság egyenlő B számosságávl, h vn olyn φ : A B függvény, melyre R(φ) = B, és φ kölcsönösen egyértelmű. [Az ilyen φ függvényt bijekciónk nevezzük A és B között.] 11

22 12 2. Hlmzok, relációk, függvények Például pozitív egészek N hlmz és pozitív páros számok P hlmz egyenlő számosságú, hiszen φ : N P, φ(n) := 2n függvény bijekció N és P között Definíció. Legyen A hlmz. Azt mondjuk, hogy A végtelen (számosságú) hlmz, h A A, A A, hogy φ : A A bijekció. Az előbbi péld éppen zt muttj, hogy N végtelen hlmz Definíció. Legyen A végtelen hlmz. Azt mondjuk, hogy A megszámlálhtó, h φ : N A bijekció. Meglepő, de rcionális számok Q hlmz megszámlálhtó. Írjuk fel z 1,2,3,..., n,... nevezőjű törteket soronként A φ : N Q bijekciót úgy készítjük, hogy φ(1) := 0 1, φ(2) := 1 1, φ(3) := 1 2, φ(4) := 1 2, A rjz szerinti lépegetéssel hldunk, ügyelve rr, hogy olyn törtet ugorjunk át, mely már egyszer sorr került. Ezzel biztosítjuk, hogy vlóbn kölcsönösen egyértelmű mrdjon függvényünk. Láthtó z is, hogy előbb-utóbb minden rcionális számhoz eljutunk, így φ bijekció lesz N és Q között, mi zt jelenti, hogy Q megszámlálhtó. 12

23 3. fejezet Számhlmzok Kiskorunktól számolunk vlós számokkl, összedjuk, szorozzuk, osztjuk őket, htványozunk, bszolút értékét vesszük számoknk. Egyenleteket, egyenlőtlenségeket rendezünk. Most lefektetjük zt viszonylg egyszerű szbályrendszert, melyből megtnult eljárások levezethetők. Az lábbi témköröket tárgyljuk: Vlós számok hlmz Természetes számok hlmz Egész számok és rcionális számok hlmz Felső és lsó htár Intervllum és környezet Htványozás definíciój és zonossági Komplex számok hlmz Komplex szám trigonometrikus lkj, műveletek 3.1. Vlós számok A A vlós számok xiómrendszere Legyen R nem üres hlmz. Tegyük fel, hogy vn még egy összedásnk nevezett + : R R R és egy szorzásnk nevezett : R R R függvény is, melyek következő tuljdonságokkl rendelkeznek: 1. bármely, b R esetén + b = b + (kommuttivitás), 13

24 14 3. Számhlmzok 2. bármely, b, c R esetén + (b + c) = ( + b) + c (sszocitivitás), 3. vn olyn 0 R elem, hogy bármely R esetén + 0 = (0 z összedásr nézve semleges elem), 4. bármely R esetén vn olyn R ellentett elem, hogy +( ) = 0. m1. bármely, b R esetén b = b, m2. bármely, b R esetén (b c) = ( b) c, m3. vn olyn 1 R elem, hogy bármely R esetén 1 = (1 szorzásr nézve semleges elem), m4. bármely R\{0} esetén vn olyn 1 R reciprok elem, hogy 1 = 1, d. bármely, b, c R esetén (b + c) = b + c (disztributív szorzás z összedásr nézve). Láthtó, hogy szorzás szbályrendszere 4. követelményben lényegesen eltér z összedástól (egyébként nem is különbözne z összedás és szorzás). A d. is z eltérést erősíti. Tegyük fel, hogy R-en vn egy olyn (kisebb vgy egyenlőnek nevezett) rendezési reláció, mely még következő tuljdonságokkl rendelkezik: r1. bármely, b R esetén vgy b, vgy b, r2. minden olyn esetben, mikor b és c R tetszőleges szám, kkor + c b + c, r3. minden olyn esetben, mikor 0 és 0 b, kkor 0 b. Állpodjunk meg bbn, hogy z b, b helyett < b jelölést hsználunk. (Sjnos < nem rendezési reláció, mert nem reflexív.) Az 1. 4., m1. m4., d., r1. r3. lpján levezethető z összes egyenlőséggel és egyenlőtlenséggel kpcsoltos szbály. Kiegészítésül három foglmt külön is megemlítünk Definíció. Legyen, b R, b 0. Ekkor b := 1 b. Az osztás tehát elvégezhető vlós számokkl Definíció. Legyen x R. Az x bszolút értéke { x, h 0 x x := x, h x 0, x 0.

25 3.1. Vlós számok A 15 Hsznosk z bszolút értékkel kpcsoltos egyenlőtlenségek. 1. Bármely x R esetén 0 x. 2. Legyen x R és ε R, 0 ε. Ekkor x ε, és x ε x ε. 3. Bármely, b R esetén + b + b (háromszög-egyenlőtlenség). 4. Bármely, b R esetén b b. Könnyen igzolhtók ezek z állítások. A 4. bizonyítását megmuttjuk. Tekintsük z = b + b egyenlőtlenséget. Ekkor 3. szerint = b + b b + b. Az r2. szerint b számot mindkét oldlhoz hozzádv nem változik z egyenlőtlenség + ( b ) = b b. (3.1) Hsonló meggondolássl b = b + b = b + b + b b / ( b ) b = b. (3.2) Az (3.1) és (3.2) 2. tuljdonság szerint (x := b ; ε := b szereposztássl) éppen zt jelenti, hogy b b Természetes, egész és rcionális számok Most elkülönítjük z R egy nevezetes részhlmzát. Legyen N R olyn részhlmz, melyre 1 o 1 N, 2 o bármely n N esetén n + 1 N, 3 o bármely n N esetén n (z 1 z első elem), 4 o bból, hogy ) S N, b) 1 S, c) bármely n S esetén n + 1 S következik, hogy S = N. (Teljes indukció.) Az R-nek z ilyen N részhlmzát természetes számok hlmzánk nevezzük. Kiegészítésül álljon itt még néhány megállpodás: Z := N {0} {m R m N} z egész számok hlmz

26 16 3. Számhlmzok Q := {x R vn olyn p Z, q N, hogy x = p q } rcionális számok hlmz Q := R \ Q z irrcionális számok hlmz Az N segítségével műveleti, rendezési szbályrendszer mellé hrmdik követelményt illesztjük z R-hez. Arkhimédész-xióm: Bármely, b R, 0 < számokhoz vn olyn n N, hogy b < n. Az Arkhimédész-xióm következményeként megmuttjuk, hogy bármely K R számhoz vn olyn n N természetes szám, melyre K < n, ugynis z := 1, b := K szereposztássl z xióm ilyen természetes számot biztosít. Megmuttjuk zt is, hogy bármely ε R, 0 < ε esetén vn olyn n N természetes szám, hogy 1 n < ε, ugynis legyen := ε és b := 1. Az xióm szerint vn olyn n N, hogy 1 < n ε. Rendre lklmzv megfelelő szbályt 1 < nε / + ( 1) 0 < nε 1 / 1 n 0 < 1 n (nε 1) = ε 1 n 1 n < ε. / + 1 n Az Arkhimédész-xiómávl sem vált még minden igényt kielégítővé z R. Szükségünk lesz egy utolsó xiómár, melyet néhány foglomml készítünk elő Felső és lsó htár 3.3. Definíció. Legyen A R, A. Azt mondjuk, hogy A felülről korlátos számhlmz, h vn olyn K R, hogy bármely A esetén K. Az ilyen K z A hlmz egyik felső korlátj. Legyen A R, A felülről korlátos hlmz. Tekintsük B := {K R K felső korlátj z A hlmznk} hlmzt. Legyen α R B hlmz legkisebb eleme, zz olyn szám, melyre 1 o α B (α is felső korlátj z A hlmznk), 2 o bármely K B felső korlátr α K.

27 3.1. Vlós számok A 17 A kérdés csupán z, hogy vn-e ilyen α R. Felső htár xiómáj: Minden felülről korlátos A R, A hlmznk vn legkisebb felső korlátj. Az ilyen α R számot (mely nem feltétlenül eleme z A hlmznk) hlmz felső htáránk nevezzük, és így jelöljük: α := sup A ( z A hlmz szuprémum ) Nyilván igz sup A két tuljdonság: 1 o bármely A esetén sup A, 2 o bármely 0 < ε esetén vn olyn A, hogy (sup A) ε <. A műveleti, rendezési szbályrendszerrel, z Arkhimédész-xiómávl és felső htár xiómájávl teljessé tettük z R vlós számok hlmzát. Ezzel biztos lpot teremtettünk jövőbeni számolásokhoz is. Néhány további megállpodás Definíció. Legyen A R, A. Azt mondjuk, hogy A lulról korlátos, h vn olyn L R, hogy minden A esetén L. Az L z A hlmz egyik lsó korlátj. Legyen A lulról korlátos számhlmz. Az A lsó korlátji közül legngyobb hlmz lsó htár. (Ennek létezéséhez már nem kell újbb xióm, visszvezethető felső htár létezésére.) Az A hlmz lsó htárát inf A ( z A hlmz infimum ) jelölje. Nyilván igz, hogy 1 o bármely A esetén inf A, 2 o bármely 0 < ε esetén vn olyn A, hogy < (inf A) + ε Intervllumok és környezetek 3.5. Definíció. Legyen I R. Azt mondjuk, hogy I intervllum, h bármely x 1, x 2 I, x 1 < x 2 esetén minden olyn x R, melyre x 1 < x < x 2, fennáll, hogy x I Tétel. Legyen, b R, < b, ekkor z lábbi hlmzok mindegyike intervllum.

28 18 3. Számhlmzok [, b]:={x R x b} [, b):={x R x < b} (, b]:={x R < x b} (, b):={x R < x < b} Végtelen intervllumokr bevezetjük z lábbi jelöléseket. [, + ):={x R x} (, + ):={x R < x}; (0, + ) =: R + (, ]:={x R x } (, ):={x R x < }; (,0) =: R (, + ) := R Megemlítjük, hogy z [, ] = {} és z (, ) = elfjuló intervllumok Definíció. Legyen R, r R +. Az pont r sugrú környezetén K r () := ( r, + r) nyílt intervllumot értjük. Azt mondjuk, hogy K() z pont egy környezete, h vn olyn r R +, hogy K() = K r () Vlós számok htványi 3.7. Definíció. Legyen R. Ekkor 1 :=, 2 :=, 3 := 2,..., n : := n 1, Definíció. Legyen R, 0. A jelentse zt nemnegtív számot, melynek négyzete, zz 0, ( ) 2 =. Vegyük észre, hogy bármely R esetén 2 = Definíció. Legyen R, k N. A 2k+1 jelentse zt vlós számot, melynek (2k + 1)-edik htvány. Vegyük észre, hogy h 0 <, kkor 2k+1 > 0, és h < 0, kkor 2k+1 < Definíció. Legyen R, 0, k N. A 2k jelentse zt nemnegtív számot, melynek (2k)-dik htvány z. Vezessük be következő jelölést: h n N és R z n pritásánk megfelelő, kkor 1 n := n.

29 3.2. Feldtok Definíció. Legyen R +, p, q N. p q := q p Definíció. Legyen R +, p, q N. p q := 1 q p Definíció. Legyen R \ {0}. Ekkor 0 := 1. Láthtó, hogy ezzel definícióláncolttl egy R + bármely r Q rcionális kitevőjű htványát értelmeztük. Beláthtó, hogy definíciókbn szereplő számok egyértelműen léteznek, és érvényesek következő zonosságok: 1 o R +, r, s Q esetén r s = r+s, 2 o R +, r Q esetén r b r = (b) r, 3 o R +, r, s Q esetén ( r ) s = rs Feldtok 1. Legyen, b R. Mutssuk meg, hogy ( + b) 2 := ( + b)( + b) = 2 + 2b + b 2, 2 b 2 = ( b)( + b), 3 b 3 = ( b)( 2 + b + b 2 ), 3 + b 3 = ( + b)( 2 b + b 2 ). 2. Mutssuk meg, hogy minden x R, x 1 és bármely n N esetén x n+1 1 x 1 = 1 + x + x x n. 3. (Bernoulli-egyenlőtlenség) Legyen h ( 1, + ) és n N. Mutssuk meg, hogy (1 + h) n 1 + nh. Megoldás: Legyen S := {n N (1 + h) n 1 + nh}. 1 o 1 S, mert (1 + h) 1 = h.

30 20 3. Számhlmzok 2 o Legyen k S. Megmuttjuk, hogy k + 1 S, ugynis (1 + h) k+1 = (1 + h) k (1 + h) (1 + kh)(1 + h) = = 1 + (k + 1)h + kh (k + 1)h. (A rendezés szbályi mellett felhsználtuk, hogy k S, zz (1+h) k 1 + kh.) Emlékezve z N bevezetésének 4 o követelményére, ez zt jelenti, hogy S = N, zz minden n N esetén igz z egyenlőtlenség. Ezt bizonyítási módszert hívják teljes indukciónk. 4. Legyen, b R +. A 2 := + b 2, G 2 := b, H 2 := , N 2 := b 2 + b 2 Mutssuk meg, hogy H 2 G 2 A 2 N 2 és egyenlőség számok között kkor és csk kkor áll, h = b. Ezek ngymértékű áltlánosítás is igz. Legyen k N (k 3) és x 1, x 2,..., x k R +. A k := x 1 + x x k, G k := k k x 1 x 2 x k, k x 2 H k := 1 x x , N k := 1 + x x2 k. x k k Igzolhtó, hogy H k G k A k N k, és egyenlőség számok között kkor és csk kkor áll fenn, h x 1 = x 2 =... = x k. 5. Legyen h R és n N. Ekkor (1 + h) n = 1 + nh + ( ) n h ( ) n h h n, 3 hol felhsználv, hogy k! := k, z ( ) n n! = k k! (n k)!, k = 0,1,2,..., n (kiegészítésül 0! := 1). Ebből igzolhtó binomiális tétel: Legyen, b R, n N. Ekkor n ( ) n ( + b) n = k b n k. k k=0 2

31 3.2. Feldtok Legyen A := { n n+1 n N}. Mutssuk meg, hogy A felülről korlátos. Mi sup A? n Megoldás: Mivel bármely n N esetén n < n + 1, ezért n+1 < 1, tehát K := 1 felső korlát. Megmuttjuk, hogy sup A = 1, ugynis 1 o Bármely n N esetén n n+1 < 1. 2 o Legyen ε R +. Keresünk olyn n N számot, melyre n n + 1 > 1 ε. n > (1 ε)(n + 1) = n εn + 1 ε εn > 1 ε n > 1 ε ε Mivel bármilyen számnál, így z 1 ε ε természetes szám, legyen ez n n N, ezért z n n +1 > 1 ε. Tehát sup A = 1. R számnál is vn ngyobb n +1 A olyn, hogy 7. * Legyen E := {( n+1 n )n n N}. Mutssuk meg, hogy E R felülről korlátos. Megoldás: Megmuttjuk, hogy bármely n N esetén ( ) n n n Legyen n N, és tekintsük z 1 4 ( n+1 n )n számot. A 4. példábn szereplő számtni (A k ) és mértni (G k ) közép közötti egyenlőtlenség szerint ( ) n 1 n + 1 = 1 4 n n + 1 n + 1 n n n + 1 n ( n+1 n + n+1 n... n+1 )n+2 n = 1, n + 2 ezért ( n+1 n )n 4, tehát E felülről korlátos. A felső htár xiómáj szerint vn felső htár. Legyen e := sup E. Megjegyezzük, hogy ezt felső htárt soh senki nem tudt és tudj megsejteni (nem úgy, mint 6. példábn... ). Közelítőleg e 2,71. Euler nevéhez fűződik z e szám bevezetése. 8. Legyen P := {( 1 1 ) (1 12 ) 2 2 (1 12 ) ( ) } 2 n n N.

32 22 3. Számhlmzok Létezik-e inf P? (H már belátt, hogy létezik z inf P, ne keseredjen el, h nem tudj megdni. Megoldtln problém.) 3.3. Komplex számok A A komplex szám foglm, műveletek Úgy áltlánosítjuk vlós számokt, hogy műveletek tuljdonsági ne változznk. Legyen C := R R vlós számpárok hlmz. Vezessük be z összedást úgy, hogy z (, b), (c, d) C esetén szorzást pedig úgy, hogy (, b) + (c, d) := ( + c, b + d); (, b) (c, d) := (c bd, d + bc). Könnyen ellenőrizhető z összedás és szorzás néhány tuljdonság. 1. (, b), (c, d) C esetén (, b)+(c, d) = (c, d)+(, b) (kommuttivitás), 2. (, b), (c, d), (e, f) C esetén (, b)+((c, d)+(e, f)) = ((, b)+(c, d))+ + (e, f) (sszocitivitás), 3. (, b) C esetén (, b) + (0,0) = (, b), 4. (, b) C esetén (, b) C olyn lesz, hogy (, b) + (, b) = = (0,0), m1. (, b), (c, d) C esetén (, b) (c, d) = (c, d) (, b) (kommuttivitás), m2. (, b), (c, d), (e, f) C esetén (, b) ((c, d) (e, f)) = ((, b) (c, d)) (e, f) (sszocitivitás), m3. (, b) C esetén (, b) (1,0) = (, b), m4. (, b) C \ {(0,0)} esetén z ( 2 +b, 2 2 +b ) C olyn, hogy 2 d. (, b), (c, d), (e, f) C esetén (, b) ( 2 + b 2, b 2 + b 2 ) = (1,0), (, b) [(c, d) + (e, f)] = (, b) (c, d) + (, b) (e, f) ( szorzás disztributív z összedásr nézve). b

33 3.3. Komplex számok A 23 b (,b)=+ib i ábr Az 1..4, m1. m.4 és d. tuljdonságok indokolják, hogy vlós számokkl végzett műveletek, számolások (melyek összedást, szorzást trtlmznk és legfeljebb egyenlőségekre vontkoznk) komplex számokkl ugynúgy végezhetők el. Azonosítsuk z R vlós számot és z (,0) C komplex számot. (Nyilvánvlón bijekció létezik z R és z R {0} C hlmz között.) Vezessük be z i := (0,1) C képzetes egységet. Ekkor bármely (, b) C komplex számr (, b) = (,0) + (0,1)(b,0) = + ib. (A második egyenlőség z zonosítás következménye!) Figyelembe véve, hogy i 2 = (0,1) (0,1) = 1, egyszerűvé válik z összedás és szorzás is + ib + c + id = + c + i(b + d), ( + ib) (c + id) = c bd + i(d + bc). A komplex számot helyvektorként szenléltethetjük (3.1. ábr). Az összedás vektorok összedásánk prlelogrmm szbályánk megfelelő (3.2. ábr) Komplex számok trigonometrikus lkj Egy + ib C komplex számhoz hozzárendelhetjük z bszolút értékét és irányszögét (3.3. ábr).

34 24 3. Számhlmzok +c+i(b+d) c+id +ib 3.2. ábr b +ib r φ 3.3. ábr

35 3.3. Komplex számok A 25 rp p α+β β α r 3.4. ábr Az bszolút érték: r = 2 + b 2. Az irányszög síknegyedenként dhtó meg: φ = rctg b, h > 0 és b 0 π 2, h = 0 és b > 0 π rctg b, h < 0 és b 0 π + rctg b, h < 0 és b < 0 3π 2 h = 0 és b < 0 2π rctg b, h > 0 és b < 0 Láthtó, hogy z irányszögre φ [0,2π). Megjegyezzük, hogy = 0, b = 0 esetén r = 0, és z irányszög ekkor tetszőlegesen válszthtó. H egy + ib C komplex számnk r z bszolút értéke és φ z irányszöge, kkor = r cos φ, b = r sin φ, ezért +ib = r(cos φ+i sin φ). Ez komplex szám trigonometrikus lkj. A komplex számok trigonometrikus lkjánk felhsználásávl szemléletesebbé válik komplex számok szorzás is. Legyen r(cos α + i sin α), p(cos β + i sin β) C, ekkor r(cos α + i sin α) p(cos β + i sin β) = = rp(cos α cos β sin α sin β + i(sin α cos β + cos α sin β)) = = rp(cos(α + β) + i sin(α + β)).

36 26 3. Számhlmzok Tehát szorzásnál z bszolút értékek összeszorzódnk, z irányszögek pedig összedódnk (3.4. ábr). A htványozás komplex szám trigonometrikus lkjávl igen egyszerűen végezhető el. H z = + ib = r(cos φ + i sin φ) C és n N, kkor z n = ( + ib) n = [r(cos φ + i sin φ)] n = r n (cos nφ + i sin nφ), zz komplex szám n-edik htványánál z bszolút érték n-edik htvány és z irányszög n-szerese jelenik meg z n trigonometrikus lkjábn.

37 4. fejezet Elemi függvények Ismertetjük vlós számok hlmzán értelmezett, vlós szám értékű függvények legfontosbb tuljdonságit. Definiáljuk gykrn hsznált vlós-vlós függvényeket, melyeket elemi függvényeknek neveznek. Az lábbi témköröket tárgyljuk: Műveletek vlós függvényekkel Korlátos, monoton, periodikus, páros, pártln függvény foglm Htványfüggvények Exponenciális és logritmus függvények Trigonometrikus függvények és inverzeik Hiperbolikus függvények és inverzeik Néhány különleges függvény 4.1. Vlós-vlós függvények lptuljdonsági A 4.1. Definíció. Legyen f : R R, λ R. Ekkor λf : D(f) R, (λf)(x) := λf(x) Definíció. Legyen f, g : R R, D(f) D(g). Ekkor f + g : D(f) D(g) R, (f + g)(x) := f(x) + g(x) f g : D(f) D(g) R, (f g)(x) := f(x) g(x). 27

38 28 4. Elemi függvények 4.3. Definíció. Legyen g : R R, H := D(g)\{x D(g) g(x) = 0}. Ekkor 1/g : H R, (1/g)(x) := 1 g(x) Definíció. Legyen f, g : R R f g := f 1/g 4.5. Definíció. Legyen f : R R. Azt mondjuk, hogy f felülről korlátos függvény, h R(f) R felülről korlátos hlmz. Azt mondjuk, hogy f lulról korlátos függvény, h R(f) R lulról korlátos hlmz. Azt mondjuk, hogy f korlátos függvény, h R(f) R lulról is és felülről is korlátos hlmz Definíció. Legyen f : R R. Azt mondjuk, hogy f monoton növő függvény, h bármely x 1, x 2 D(f), x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) f(x 2 ). Az f szigorún monoton növő, h bármely x 1, x 2 D(f), x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) < f(x 2 ). Azt mondjuk, hogy f monoton csökkenő függvény, h minden x 1, x 2 D(f), x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) f(x 2 ). Az f szigorún monoton csökkenő, h bármely x 1, x 2 D(f), x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) > f(x 2 ) Definíció. Legyen f : R R. Azt mondjuk, hogy f páros függvény, h 1 o minden x D(f) esetén x D(f), 2 o minden x D(f) esetén f( x) = f(x) Definíció. Legyen f : R R. Azt mondjuk, hogy f pártln függvény, h 1 o minden x D(f) esetén x D(f), 2 o minden x D(f) esetén f( x) = f(x) Definíció. Legyen f : R R. Azt mondjuk, hogy f periodikus függvény, h létezik olyn p R, 0 < p szám, hogy 1 o minden x D(f) esetén x + p, x p D(f), 2 o minden x D(f) esetén f(x + p) = f(x p) = f(x). A p szám függvény egyik periódus.

39 4.2. Az elemi függvények A 29 id 4.1. ábr id ábr 4.2. Az elemi függvények A Htványfüggvények Legyen id : R R, id(x) := x. Az id szigorún monoton növő, pártln függvény (4.1. ábr). Legyen id 2 : R R, id 2 (x) := x 2. Az id 2 R szigorún monoton növő, z + id 2 szigorún monoton fogyó. Az id2 R páros (4.2. ábr). Legyen id 3 : R R, id 3 (x) := x 3. Az id 3 szigorún monoton növő, pártln függvény (4.3. ábr). H n N, kkor id n : R R, id n (x) := x n függvény páros n esetén z id 2, pártln n esetén z id 3 tuljdonságit örökli.

40 30 4. Elemi függvények id ábr 1 id ábr Legyen id 1 : R \ {0} R, id 1 (x) := 1/x. Az id 1 R és z id 1 R + szigorún monoton fogyó (de id 1 nem monoton!). Az id 1 pártln (4.4. ábr). Legyen id 2 : R \ {0} R, id 2 (x) := 1/x 2. Az id 2 szigorún monoton nő, z id 2 szigorún monoton fogy. Az id 2 páros (4.5. ábr). R R + Legyen n N. Az id n : R \ {0} R, id n (x) := 1/x n függvény páros n esetén z id 2, pártln n esetén z id 1 tuljdonságit örökli. Legyen id 1/2 : [0, ) R, id 1/2 (x) := x. Az id 1/2 szigorún monoton

41 4.2. Az elemi függvények A 31 1 id ábr id 1/ ábr növekedő függvény (4.6. ábr). Megemlítjük, hogy z id 2 [0, ) egyértelmű függvény inverzeként is értelmezhető id 1/2. kölcsönösen Legyen r Q. Az id r : R + R, id r (x) := x r. Néhány r esetén szemléltetjük z id r függvényeket (4.7. ábr). Végül legyen id 0 : R R, id 0 (x) := 1. Az id 0 monoton növekedő, monoton fogyó is, páros függvény. Bármilyen p > 0 szám szerint periodikus (4.7. ábr).

42 32 4. Elemi függvények id 1/2 id 3/2 id 2/3 1 id ábr exp <1 exp >1 1 exp ábr Exponenciális és logritmus függvények Legyen R +. Az lpú exponenciális függvény exp : R R, exp (x) := x. exp szigorún monoton növő, h > 1, exp szigorún monoton fogyó, h < 1, exp = id 0, h = 1 (monoton növő és monoton fogyó is) (4.8. ábr).

43 4.2. Az elemi függvények A 33 exp e ábr H > 0 és 1, kkor R(exp ) = R +, zz csk pozitív értéket vesz fel z exp (és minden pozitív számot fel is vesz). Bármely > 0 esetén minden x 1, x 2 R mellett exp (x 1 + x 2 ) = exp (x 1 ) exp (x 2 ). (Ez legfontosbb ismertetőjele z exponenciális függvényeknek.) Kitüntetett szerepe vn z exp e =: exp függvénynek (4.9. ábr) (e z előző fejezet 7.* példájábn szereplő Euler-féle szám). Legyen > 0, 1. Mivel exp szigorún monoton, ezért kölcsönösen egyértelmű is, tehát vn inverzfüggvénye. log := (exp ) 1 lesz z lpú logritmus függvény (4.10. ábr). Tehát log : R + R, log (x) = y, melyre exp (y) = x. H > 1, kkor log szigorún monoton növekedő, h < 1, kkor log szigorún monoton fogyó. Alpvető tuljdonság logritmus függvényeknek, hogy 1 o bármely > 0, 1 és minden x 1, x 2 R + esetén log (x 1 x 2 ) = log x 1 + log x 2, 2 o bármely > 0, 1 és minden x R + és k R esetén log x k = k log x,

44 34 4. Elemi függvények log >1 1 log < ábr 1 ln 1 e ábr 3 o bármely, b > 0,, b 1 és minden x R + esetén log x = log b x log b. A 3 o tuljdonság szerint kár egyetlen logritmus függvény számszorosként z összes logritmus függvény előáll. Ezért is vn kitüntetett szerepe z e lpú logritmusnk: ln := log e természetes lpú logritmus (4.11. ábr).

45 4.2. Az elemi függvények A 35 (2) 1 P 1 sin x x (1) ábr 1 sin π/2 π/2 π 2π ábr Trigonometrikus függvények és inverzeik Legyen sin : R R, sin x := Ne keressen egy formulát! Vegyen fel egy 1 sugrú kört. A középpontján át rjzoljon két egymásr merőleges egyenest. Az egyik z (1) tengely, másik (2) tengely. Ahol z (1) tengely (pozitív fele) metszi kört, bból pontból mérje fel z x R számnk megfelelő ívet kör kerületére. [Ez művelet ngy kézügyességet igényel!... ] Az ív P végpontjánk második koordinátáj legyen sin x (4.12. ábr). A sin függvény pártln, p = 2π szerint periodikus (4.13. ábr). R(sin) = [ 1,1]. Legyen cos : R R, cos x := sin(x + π 2 ). A cos függvény páros, p = 2π szerint periodikus (4.14. ábr). R(cos) = [ 1,1].

46 36 4. Elemi függvények 1 cos π/2 π/2 π 2π ábr Alpvető összefüggések: 1 o Bármely x R esetén cos 2 x + sin 2 x = 1, 2 o Bármely x 1, x 2 R esetén sin(x 1 + x 2 ) = sin x 1 cos x 2 + cos x 1 sin x 2, cos(x 1 + x 2 ) = cos x 1 cos x 2 sin x 1 sin x 2. Legyen tg := sin cos és ctg := cos sin. Az értelmezésből következik, hogy { π } D(tg) = R \ 2 + kπ k Z, D(ctg) = R \ {kπ k Z}. A tg és ctg is pártln, p = π szerint periodikus (4.15. és ábr). A trigonometrikus függvények periodikusságuk mitt nem kölcsönösen egyértelműek. Tekintsük sin [ π leszűkítést. Ez függvény szigorún monoton növekedő, ezért kölcsönösen egyértelmű, így vn inverz, π 2 2 ] függvénye: rcsin := (sin [ π 2, π 2 ]) 1. Az értelmezésből rcsin : [ 1,1] [ π 2, π 2 ], rcsin x = α, melyre sin α = x. Az rcsin szigorún monoton növekedő, pártln függvény (4.17. ábr). A cos függvény [0, π] intervllumr vló leszűkítése szigorún monoton fogyó, ezért vn inverzfüggvénye: rccos := (cos [0,π] ) 1.

47 4.2. Az elemi függvények A 37 tg π/2 π/2 π ábr ctg π π/2 π/2 π ábr

48 38 4. Elemi függvények π/2 rcsin 1 1 π/ ábr π rccos ábr Az értelmezésből következik, hogy rccos : [ 1,1] [0, π], rccos x = α, melyre cos α = x. Az rccos függvény szigorún monoton fogyó (4.18. ábr). A tg függvény ( π 2, π 2 ) intervllumr vló leszűkítése szigorún monoton növő, ezért vn inverzfüggvénye: rctg := (tg ( π 2, π 2 )) 1. Az értelmezésből következik, hogy rctg: R ( π 2, π 2 ), rctg x = α, melyre tg α = x. Az rctg szigorún monoton növekedő, pártln függvény (4.19. ábr).

49 4.2. Az elemi függvények A 39 π/2 rctg π/ ábr π π/2 rcctg ábr A ctg függvény (0, π) intervllumr vló leszűkítése szigorún monoton fogyó, ezért vn inverzfüggvénye: rcctg := (ctg (0,π) ) 1 Az értelmezésből következik, hogy rcctg : R (0, π), rcctg x = α, melyre ctg α = x. Az rcctg szigorún monoton fogyó függvény (4.20. ábr).

50 40 4. Elemi függvények sh ábr ch ábr Hiperbolikus függvények és inverzeik Legyen sh : R R, shx := ex e x 2. Az sh szigorún monoton növő, pártln függvény (4.21. ábr). Legyen ch : R R, chx := ex +e x 2. A ch R szigorún monoton fogyó, ch R szigorún monoton növő. A ch páros függvény. R(ch) = [1, + ). Gykrn láncgörbének is nevezzük ezt függvényt ( ábr). Alpvető összefüggések: 1 o Bármely x R esetén ch 2 x sh 2 x = 1.

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Mezei István, Frgó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék ii Trtlomjegyzék 1. Előszó 1 2. Hlmzok, relációk, függvények 3

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Mezei István, Frgó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék ii Trtlomjegyzék 1. Hlmzok, relációk, függvények 1 1.1. Hlmzok,

Részletesebben

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

Analízis jegyzet. Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék augusztus 31.

Analízis jegyzet. Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék augusztus 31. Anlízis jegyzet Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 207. ugusztus 3. Trtlomjegyzék. Bevezetés.. Logiki állítások, műveletek, tgdás.....................2. Bizonyítási módszerek............................

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE földtudomány szakos hallgatók számára Mezei István, Faragó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék ii Tartalomjegyzék

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett

Részletesebben

Analízis jegyzet Matematikatanári Szakosok részére

Analízis jegyzet Matematikatanári Szakosok részére Anlízis jegyzet Mtemtiktnári Szkosok részére Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 203. július 2. Előszó Ez jegyzet elsősorbn z áltlános iskoli és középiskoli Mtemtiktnári

Részletesebben

Analízis II. harmadik, javított kiadás

Analízis II. harmadik, javított kiadás Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

Gazdasági matematika I. tanmenet

Gazdasági matematika I. tanmenet Gzdsági mtemtik I. tnmenet Mádi-Ngy Gergely A hivtkozásokbn z lábbi két tnkönyvre utlunk: Cs: Csernyák László (szerk.): Anlízis, Nemzeti Tnkönyvkidó 200. D: Denkinger Géz: Anlízis gykorltok, Nemzeti Tnkönyvkidó

Részletesebben

KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I.

KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I. Írt: GYŐRI ISTVÁN PITUK MIHÁLY KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I. Egyetemi tnnyg 20 COPYRIGHT: 20 206, Dr. Győri István, Dr. Pituk Mihály, Pnnon Egyetem Műszki Informtiki Kr Mtemtik Tnszék LEKTORÁLTA: Dr. Molnárk

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

4. Hatványozás, gyökvonás

4. Hatványozás, gyökvonás I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke ( 9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így

Részletesebben

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],

Részletesebben

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van) Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. Definíció és lpintegrálok. Definíció. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differenciálhtó

Részletesebben

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/

Részletesebben

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1 Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n

Részletesebben

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26.

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26. Anlízis elődások Vjd István 9. február 6. Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn,

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

FELVÉTELI VIZSGA, július 15. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy

Részletesebben

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1 Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat

Többváltozós analízis gyakorlat Többváltozós nlízis gykorlt Áltlános iskoli mtemtiktnár szk 07/08. őszi félév Ajánlott irodlom (sok gykorló feldt, megoldásokkl: Thoms-féle klkulus 3., Typote, 007. (Jól hsználhtók z -. kötetek is Fekete

Részletesebben

1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket,

1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket, Számok és mûveletek + b b + Összedásnál tgok felcserélhetõk. (kommuttív tuljdonság) ( + b) + c + (b + c) Összedásnál tgok csoportosíthtók. (sszocitív tuljdonság) b b ( b) c (b c) 1. Végezd el kijelölt

Részletesebben

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

VI. Deriválható függvények tulajdonságai 1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0 Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum

Részletesebben

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0

Részletesebben

Gazdasági matematika 1. tantárgyi kalauz

Gazdasági matematika 1. tantárgyi kalauz Dr Mdrs Lászlóné Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Szolnoki Főiskol Szolnok 005 Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz A kluz következő három kidványhoz készült: Dr Csernyák László: Anlízis, Mtemtik közgzdászoknk sorozt,

Részletesebben

Egy látószög - feladat

Egy látószög - feladat Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! Egy látószög - feldt 1. ábr Az A pont körül kering C pont, egy r sugrú körön. A rögzített A és B pontok egymástól távolság vnnk. Az = CAB szöget folymtosn mérjük. Keressük

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása) Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei

Részletesebben

2010/2011 es tanév II. féléves tematika

2010/2011 es tanév II. féléves tematika 2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

Improprius integrálás

Improprius integrálás Improprius integrálás 7. feruár.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény folytonos z, intervllumon, vlmint létezik f()d htárérték

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis

Részletesebben

MATEMATIKA 1. előadás jegyzet Földtudomány és Környezettan alapszakos hallgatók számára. Csomós Petra

MATEMATIKA 1. előadás jegyzet Földtudomány és Környezettan alapszakos hallgatók számára. Csomós Petra MATEMATIKA. elődás jegyzet Földtudomány és Környezettn lpszkos hllgtók számár Csomós Petr Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kr, Mtemtiki Intézet Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok

MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK Számegyenesek, intervllumok. Töltsd ki tábláztot! Minden sorbn egy-egy intervllum háromféle megdás szerepeljen!. Add meg fenti módon háromféleképpen következő intervllumokt!

Részletesebben

Absztrakt vektorterek

Absztrakt vektorterek Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és

Részletesebben

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus függvény

Részletesebben

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.) Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér

Részletesebben

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4.

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4. Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 2017. október 4. Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I. LOSONCZI LÁSZLÓ ANYAGAINAK FELHASZNÁLÁSÁVAL. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

BSc Analízis II. előadásjegyzet 2009/2010. tavaszi félév

BSc Analízis II. előadásjegyzet 2009/2010. tavaszi félév BSc Anlízis II. elődásjegyzet 2009/200. tvszi félév Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 20. jnuár 7. ii Trtlomjegyzék Előszó v. Differenciálhtóság.. A derivált foglm és

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 04 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

Matematika 4 gyakorlat Földtudomány és Környezettan BSc II/2

Matematika 4 gyakorlat Földtudomány és Környezettan BSc II/2 Mtemtik 4 gykorlt Földtudomány és Környezettn BSc II/2 1. gykorlt Integrálszámítás R n -ben: vonlintegrál, primitív függvény, Newton Leibniz-szbály. Legyen Ω R n egy trtomány, f : Ω R n folytonos függvény

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

11. évfolyam feladatsorának megoldásai

11. évfolyam feladatsorának megoldásai évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

3.1. Halmazok számossága

3.1. Halmazok számossága 38 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 3. Mérték- és integrálelmélet 3.1. Hlmzok számosság Azt mondjuk, hogy egy véges A hlmz számosság n, h z A hlmz n db elemből áll.

Részletesebben

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes 1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

Algebrai struktúrák, mátrixok

Algebrai struktúrák, mátrixok A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Bevezetés a funkcionálanalízisbe

Bevezetés a funkcionálanalízisbe Bevezetés funkcionálnlízisbe Krátson János elődási lpján írt: Kurics Tmás Trtlomjegyzék Előszó 3 1. Normált terek 5 1.1. Normált terek és tuljdonságik............................ 5 1.2. Metrikus és normált

Részletesebben

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények 6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai

Részletesebben

1. Halmazelméleti alapok

1. Halmazelméleti alapok 1. Hlmzelméleti lpok A Mtemtiki kislexikonbn hlmz foglmár következ deníciót tláljuk: A hlmz tetsz leges természet dolgoknk vlmilyen módon összegy jtött összessége. Ez deníció zonbn nem hsználhtó, ugynis

Részletesebben

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha Vegyük észre, hogy egy mérhet f függvény pontosn kkor integrálhtó, h f dµ =. lim N Ez indokolj következ deníciót. { f α >N}. Deníció. Egy X, A, µ téren értelmezett mérhet függvényekb l álló vlmely f α

Részletesebben

[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [

[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [ Bodó Beáta 1 FÜGGVÉNYEK 1. Határozza meg a következő összetett függvényeket! g f = g(f(x)); f g = f(g(x)) (a) B f(x) = cos x + x 2 ; g(x) = x; f(g(x)) =?; g(f(x)) =? f(g(x)) = cos( x) + ( x) 2 = cos( x)

Részletesebben

Improprius integrálás

Improprius integrálás Improprius integrálás. feruár 9.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény integrálhtó z, intervllum ármely, részin- tervllumán,

Részletesebben