Analízis II. harmadik, javított kiadás

Átírás

1 Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003

2 c Ljkó Károly mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn letölthető következő címről: ljko/jegyzet.html Ez jegyzet AMS-TEX-ben készült Szedés és tördelés: Kovács László 2

3 TARTALOMJEGYZÉK I. Differenciálszámítás Vlós függvények differenciálhánydos Differenciálhtóság és folytonosság Differenciálhtóság és lineáris pproximálhtóság Differenciálhtóság és műveletek Htványsorok differenciálhtóság Elemi függvények differenciálhtóság A sin és cos függvény további tuljdonsági További elemi függvények Mgsbbrendű deriváltk Differenciálhtó függvények vizsgált feldtsor II. Integrálszámítás Primitív függvény, htároztln integrál A Riemnn-integrálhtóság foglm A Drboux-tétel és következményei A Riemnn-integrálhtóság kritériumi és elegendő feltételei Középiskoli vontkozások, példák A Riemnn-integrál műveletei tuljdonsági Egyenlőtlenségek, középértéktételek Riemnn-integrálr Az integrál, mint felső htár függvénye A Newton-Leibniz formul Prciális és helyettesítéses Riemnn-integálok Függvénysoroztok és függvénysorok tgonkénti integrálhtóság és differenciálhtóság Improprius Riemnn-integrál feldtsor

4 III. A Riemnn-integrál áltlánosítás és lklmzás Korlátos változású függvények Riemnn-Stieltjes integrál Görbék ívhossz Görbementi integrál feldtsor

5 I. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. Vlós függvények differenciálhánydos. Definíció. Legyen, b egy nyílt vgy zárt intervllum, f :, b R vlós függvény. A () ϕ(x, x 0 ) = f(x) f(x 0) (x x 0, x, x 0, b ) x x 0 áltl definiált ϕ függvényt z f függvény x, x 0 -hoz trtozó differencihánydos függvényének nevezzük. Geometriilg: iránytngens. 2. Definíció. Az f :, b R függvény differenciálhtó z x 0, b pontbn, h létezik (2) lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = f (x 0 ) (véges) htárérték. Ezt z f (x 0 )-ll jelölt htárértéket z f függvény x 0 -beli differenciálhánydosánk nevezzük. 3. Definíció. H f z, b minden pontjábn differenciálhtó, kkor zt mondjuk, hogy differenciálhtó, b -n. A (2) szerint definiált f :, b R függvényt z f függvény differenciálhánydos függvényének nevezzük. Megjegyzések:. A differenciálhtóság definiálhtó f : D R típusú függvényekre is, hol D R nyílt hlmz (vgy tetszőleges és x 0 belső pontj vgy torlódási pontj). f(x 0 + h) f(x 0 ) df 2. Más jelölések: lim,. h 0 h dx x=x0 3. Geometrii interpretáció: Definíció. H z f :, b R függvény differenciálhtó z x 0 pontbn, kkor z (3) y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f(x 0 ) (x R) 5

6 egyenest z f függvény (x 0, f(x 0 ))-beli érintőjének nevezzük. (f (x 0 ) így z (x 0, f(x 0 )) pontbeli érintő iránytngense.) 4. Egyoldli differenciálhánydos is értelmezhető, h (2)-ben jobb-, illetve bloldli htárértéket tekintünk. (Jelölés: f +(x 0 ), f (x 0 ).) Továbbá bizonyíthtó, hogy f kkor és cskis kkor differenciálhtó x 0 (, b)- ben, h létezik f +(x 0 ), f (x 0 ) és egyenlőek. 5. f(x) = x (x R) nem differenciálhtó x 0 = 0-bn. 6. Fiziki jelentés: átlgsebesség, pillntnyi sebesség, gyorsulás. 7. Példák: f : R R, f(x) = c = f : R R, f (x) = 0; f : R R, f(x) = x = f : R R, f (x) = ; f : R R, f(x) = x n = f : R R, f (x) = n x n (n N). 2. Differenciálhtóság és folytonosság Tétel. H z f :, b R függvény differenciálhtó z x 0, b pontbn, kkor folytonos is x 0 -bn. Bizonyítás. x 0 torlódási pontj, b -nek, így elegendő megmuttni, hogy lim f(x) és = f(x 0 ). x x 0 lim (f(x) f(x 0 )) = lim x x 0 x x 0 [ ] f(x) f(x0 ) (x x 0 ) = x x 0 f(x) f(x 0 ) = lim lim (x x 0 ) = f (x 0 ) 0 = 0 x x 0 x x 0 x x 0 igz, mi dj, hogy lim x x 0 f(x) = f(x 0 ) és ezt kellett bizonyítni. 3. Differenciálhtóság és lineáris pproximálhtóság Definíció. Az f :, b R függvényt lineárisn pproximálhtónk mondjuk z x 0, b pontbn, h létezik olyn A R konstns és 6

7 ω :, b R függvény, hogy lim x x 0 ω(x) = ω(x 0 ) = 0 és (L) f(x) f(x 0 ) = A (x x 0 ) + ω(x) (x x 0 ) (x, b ) teljesül. Tétel. Az f :, b R függvény kkor, és cskis kkor differenciálhtó z x 0, b pontbn, h lineárisn pproximálhtó. Továbbá A = f (x 0 ). Bizonyítás. ) ( ) H f differenciálhtó x 0 -bn, kkor legyen ω(x) =. f(x) f(x 0 ) f (x 0 ), x, b \{x 0 } x x 0 0, x = x 0. Nyilvánvló, hogy lim x x 0 ω(x) = ω(x 0 ) = 0 és A = f (x 0 )-ll kpjuk (L)-t is, zz f lineárisn pproximálhtó. b) ( ) H f lineárisn pproximálhtó x 0 -bn, kkor (L)-ből jön, hogy f(x) f(x 0 ) x x 0 = A + ω(x) (x, b \{x 0 }) így lim ω(x) = 0 dj f differenciálhtóságát és hogy f (x 0 ) = A is x x 0 teljesül. 4. Differenciálhtóság és műveletek. Tétel. H z f, g :, b R függvények differenciálhtók z is diffe- x 0, b -ben, kkor z f + g, f g és g(x 0 ) 0 esetén z f g renciálhtók x 0 -bn és ) (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ); b) (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0 ) g (x 0 ); c) ( ) f (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) f(x 0 ) g (x 0 ) g g 2. (x 0 ) 7

8 Bizonyítás. ) Az állítás z (f + g)(x) (f + g)(x 0 ) x x 0 = f(x) f(x 0) x x 0 + g(x) g(x 0) x x 0 egyenlőségből, f (x 0 ) és g (x 0 ) létezése mitt, z x x 0 htárátmenettel következik. b) Az (f g)(x) (f g)(x 0 ) x x 0 = f(x) f(x 0) x x 0 g(x) + f(x 0 ) g(x) g(x 0) x x 0 egyenlőség, f (x 0 ) és g (x 0 ) létezése htárátmenettel dj z állítást. (Felhsználjuk zt is, hogy g folytonos x 0 -bn.) c) A bizonyítás hsonló z előbbiekhez. Következmények:. H f :, b R differenciálhtó x 0 -bn, c R, kkor c f is differenciálhtó, és (cf) (x 0 ) = c f (x 0 ). 2. H f, g :, b R differenciálhtók x 0 -bn, kkor f g is, és (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ). 3. H f :, b R olyn, hogy f(x 0 ) 0, és f (x 0 ), kkor ( ) (x 0 ) = f (x 0 ) f f 2 (x 0 ). 4. H z f i :, b R (i =,..., n) függvények differenciálhtók x 0, b -ben, λ i R (i =,..., n), kkor n λ i f i is differenciálhtó x 0 -bn, és ( n ) λ i f i (x 0 ) = i= i= n λ i f i(x 0 ). 5. Az f : R R, f(x) = n k x k ( k R) függvény differenciálhtó, és k=0 f (x) = i= n k k x k. k= 8

9 6. Az f : R R, f(x) = P n(x) (P n (x), Q m (x) polinom függvények és Q m (x) Q m (x) 0) differenciálhtó függvény. 2. Tétel (z összetett függvény differenciálhtóság). Legyenek g : c, d R, f :, b = g[ c, d ] R olyn függvények, hogy g differenciálhtó z x 0 c, d -ben, f differenciálhtó z y 0 = g(x 0 ), b - ben. Akkor z F = f g függvény is differenciálhtó x 0 -bn és (ÖD) F (x 0 ) = (f g) (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 ). Bizonyítás. Megmuttjuk, hogy f g lineárisn pproximálhtó x 0 -bn. g (x 0 ) = g lineárisn pproximálhtó = ω : c, d R, hogy lim x x 0 ω (x) = ω (x 0 ) = 0 és (L ) g(x) g(x 0 ) = g (x 0 ) (x x 0 ) + ω (x) (x x 0 ) (x c, d ). f (y 0 ) = f (g(x 0 )) = f lineárisn pproximálhtó = ω 2 :, b R, hogy lim y y 0 ω 2 (y) = ω 2 (y 0 ) = 0 és (L 2 ) f(y) f(y 0 ) = f (y 0 ) (y y 0 ) + ω 2 (y) (y y 0 ) (y, b ). H x c, d -re y. = g(x), kkor (L ) és (L 2 ) dj, hogy F (x) F (x 0 ) = f(g(x)) f(g(x 0 )) = = [f (g(x 0 )) + ω 2 (y)] [g (x 0 ) + ω (x)](x x 0 ) = = f (g(x 0 )) g (x 0 )(x x 0 ) + [f (g(x 0 )) ω (x)+ + ω 2 (g(x)) (g (x 0 ) + ω (x))](x x 0 ). ω(x) =. { f (g(x 0 ))ω (x) + ω 2 (g(x))[g (x 0 ) + ω (x)], (x c, d \{x 0 }) 0, x = x 0 válsztássl ( lim ω (x) = 0, lim ω 2 (g(x)) = 0 mitt) kpjuk, hogy x x 0 x x 0 lim ω(x) = ω(x 0 ) = 0 és A = f (g(x 0 ))g (x 0 ) mellett x x 0 F (x) F (x 0 ) = A (x x 0 ) + ω(x) (x x 0 ) mi F lineáris pproximálhtóságát jelenti x 0 -bn. Így F = f g differenciálhtó x 0-bn és teljesül (ÖD). (x c, d ), 3. Tétel (z inverz függvény differenciálhtóság). H f :, b R szigorún monoton, folytonos, b -n és x 0, b -ben f (x 0 ) 0, kkor 9

10 f differenciálhtó f(x 0 )-bn és (ID) (f ) (f(x 0 )) = f (x 0 ), illetve (f ) (y 0 ) = f (f (y 0 )) (y 0 = f(x 0 )). Bizonyítás. Megmuttjuk, hogy f (mi nyilván létezik f szigorú monotonitás mitt) lineárisn pproximálhtó f(x 0 ) = y 0 -bn. f (x 0 ) = f lineárisn pproximálhtó = ω :, b R, hogy lim x x 0 ω (x) = ω (x 0 ) és (L) f(x) f(x 0 ) = [f (x 0 ) + ω (x)] (x x 0 ) (x, b ). f szigorún monoton, így f(x) f(x 0 ), h x x 0 = f (x 0 ) + ω (x) 0 (x x 0 ), így (L)-ből ( ) x x 0 = f(x) f(x 0) f (x 0 ) + ω (x) (x, b \{x 0 }) következik. f folytonos = ( Bolzno-tétel mitt) f[, b ] = c, d R és így f : c, d, b, mi (f szigorú monotonitás mitt) dj, hogy y c, d -re pontosn egy x, b, hogy f(x) = y, illetve x = f (y). Továbbá h y 0 = f(x 0 ), ill. x 0 = f (y 0 ), úgy y y 0 dj, hogy x x 0. Mindezek lpján ( )-ból kpjuk, hogy ( ) f (y) f (y 0 ) = f (x 0 ) + ω (f (y)) (y y 0) következik, h y c, d \{y 0 }. H most ω 2 (y) =. f (x 0 ) + ω (f (y)) f (x 0 ), (y y 0) 0, (y = y 0 ) kkor egyrészt f folytonosság mitt lim ω 2 (y) = ω 2 (y 0 ) = 0, másrészt ( )-ból kpjuk, y y 0 hogy [ f (y) f (y 0 ) = f (x 0 ) + ω 2(y) 0 ] (y y 0 ) ( y c, d ),

11 melyek éppen f lineáris pproximálhtóságát jelentik f(x 0 ) = y 0 -bn. Így f differenciálhtó f(x 0 )-bn és (ID) teljesül. 5. Htványsorok differenciálhtóság Tétel. Legyen n x n htványsor konvergenci sugr ϱ, kkor z n=0 () f(x) =. n x n, x ( ϱ, ϱ) n=0 szerint definiált f : ( ϱ, ϱ) R függvény differenciálhtó és (2) f (x) = n n x n, x ( ϱ, ϱ) teljesül. n= n= Bizonyítás. ) A n n x n htványsor konvergenci sugr is ϱ, mert sor konvergenci trtományábn n= n n x n = x n n x n n= n= teljesül, így n n x n htványsor konvergenci sugrát kell meghtározni, melyre ϱ = lim n n n = lim n n n n = lim n n = ϱ. b) () differenciálhtó és (2) teljesül. Ehhez elég megmuttni, hogy [ ] f(x) f(x0 ) lim f (x 0 ) = 0 x 0 ( ϱ, ϱ). x x 0 x x 0 Felhsználv z () és (2) htványsorok bszolút konvergenciáját x, x 0 ( ϱ, ϱ) esetén és hogy r > 0, mire x 0 < r < ϱ, így x < r esetén: f(x) f(x 0 ) f (x 0 ) x x 0 =

12 n x n n x n 0 = n=0 n=0 n n x n 0 x x 0 = n= [ x n x n ] 0 = n nx n 0 x x n= 0 = = n [x n + x n 2 x 0 + x n 3 x xx0 n 2 + x n 0 nx n ] 0 n= n x n x n 0 + x 0 (x n 2 x0 n 2 ) + + x n 0 ( ) = n= n = n x x 0 k x n k x k 0 n= k= n n x x 0 r n 2 n(n ) k = x x 0 n r n 2 = 2 n= k= = s x x 0 2 hol s n n(n ) r n 2 (egyébként konvergens) sor összege. n=, n= s Ebből lim x x 0 2 x x 0 = 0 mitt jön z állítás. 6. Elemi függvények differenciálhtóság. Tétel. Az exp, sin, cos, sh, ch függvények differenciálhtók és exp = exp, sin = cos, cos = sin, sh = ch, ch = sh. Bizonyítás. A htványsorok differenciálhtósági tétele dj differenciálhtóságot és derivált függvényeket is ( számolás egyszerű). 2

13 2. Tétel. Az exp, log, ln, x µ függvények differenciálhtók és ) exp (x) = exp (x) ln (x R) ; b) log (x) = x ln (x R + ) ; c) ln (x) = x (x R + ) ; d) (x µ ) = µ x µ (x R + ). Bizonyítás. ) Az exp (x) =. exp(x ln ) definíció, exp (y) = exp(y) és (x ln ) = ln, vlmint z összetett függvény differenciálhtóságár vontkozó tétel dj z állítást.. b) A log = exp definíció, z exp függvény differenciálhtóság, szigorú monotonitás, z inverz függvény differenciálhtósági tétele lpján: log (x) = exp [log (x)] = exp [log (x)] ln = x ln c) = e = log e = ln e = = ln (x) = x. d) Az x µ. = exp(µ ln x) definíció és z összetett függvény differenciálhtóságár vontkozó tétel lpján (x µ ) = [exp(µ ln x)] = exp(µ ln x) µ x = xµ x µ = µ xµ. 7. A sin és cos függvény további tuljdonsági. Tétel. sin 2 (x) + cos 2 (x) = (x R) ; Bizonyítás. Gykorlton. sin(x), cos(x) (x R). 2. Tétel. ( ) ( ) x + y x y cos(x) cos(y) = 2 sin sin 2 2 ( x, y R) ; 3

14 ( ) ( ) x + y x y sin(x) sin(y) = 2 cos sin 2 2 ( x, y R). Bizonyítás. Egyszerű z ddíciós tételek lpján. 3. Tétel. A [0, 2] intervllumbn egyetlen x szám vn,melyre cos(x) = 0. Bizonyítás. A cos függvény szigorún monoton csökkenő [0, 2]-ben: Legyen ugynis x < x 2 (x, x 2 [0, 2]), kkor 2. Tétel mitt ( ) ( ) x + x 2 x x 2 ( ) cos(x ) cos(x 2 ) = 2 sin sin = 2 2 ( ) ( ) x + x 2 x2 x = 2 sin sin, 2 2 másrészt ) ( ) sin(x) = x ( x3 3! + x5 5! + = x )+ ( x2 x5 x2 + > ! 6 7 h 0 < x < 6. Mivel pedig x < x 2 ; x, x 2 [0, 2] = x + x 2, x 2 x (0, 6), így 2 2 ( ) és ( ) mitt cos(x ) cos(x 2 ) > 0 = cos(x ) > cos(x 2 ), mi dj cos függvény monoton csökkenését [0, 2]-n. A cos függvény folytonos, cos(0) = és mert cos(2) = 22 2! ! 26 6! ! < 22 2! ! = 3, 22k 2k! + 22k+ (2k + )! < 0, így Bolzno tétele mitt x [0, 2], hogy cos(x) = 0 és szigorú monotonitás mitt csk egy ilyen x vn. Definíció. Jelöljük π-vel (pi-vel) zt vlós számot, melyre 0 < π 2 < 2 és cos π 2 = 0. 4

15 4. Tétel. sin π =, cos π =, sin π = 0, sin 2π = 0, cos 2π = ; 2 sin(x + 2π) = sin(x), cos(x + 2π) = cos(x) (x R). Bizonyítás. Gykorlton (pl. sin 2 π 2 + cos2 π 2 = = sin π 2 = ). 5. Tétel. A sin és cos függvény növekvő, illetve csökkenő illetve [0, π] intervllumokon. Bizonyítás. Gykorlton. [ π 2, π ], 2 ) A tg és ctg függvények. A 8. További elemi függvények tg : R\{(k + )π, k Z} R, 2 tg(x). = sin(x) cos(x) ; ctg : R\{k π, k Z} R, ctg(x) =. cos(x) sin(x) szerint definiált függvényeket tngens, ill. cotngens függvényeknek nevezzük. Legfontosbb tuljdonságikt gykorlton vizsgáljuk. b) Az rcus függvények. [ Az f : π 2, π ] R, f(x) = sin(x) folytonos és szigorún monoton növekedő függvény inverzét rcsin (rkusz-szinusz) függvénynek 2 nevezzük. Ez folytonos, [ szigorún monoton növekedő és rcsin : [, ] π 2, π ]. 2 A g : [0, π] R, g(x) = cos(x) folytonos és szigorún monoton csökkenő függvény inverze z rccos (rkusz-koszinusz) függvény, mely folytonos, szigorún monoton csökkenő és rccos : ([, ] [0, π]. Az F : π 2, π ) R, F (x) = tg(x) folytonos és szigorún monoton növekedő függvény inverzét rctg (rkusz-tngens) függvénynek 2 nevezzük. Ez( folytonos, szigorún monoton növekedő és rctg : R π 2, π ). 2 5

16 A G : (0, π) R, G(x) = ctg(x) folytonos és szigorún monoton csökkenő függvény inverzét rcctg (rkusz-cotngens) függvénynek nevezzük. Ez folytonos, szigorún monoton csökkenő és rcctg : R (0, π). Tétel. A tg, ctg, rcsin, rccos, rctg, rcctg függvények differenciálhtók és tg (x) = cos 2 (x), ctg (x) = sin 2 (x), rcsin (x) = (x ±), rccos (x) = x 2 x 2 rctg (x) = + x 2, rcctg (x) = + x 2. (x ±), c) Értelmezhetők th =. sh ch, cth =. ch tngens-hiperbolikusz és cotngenshiperbolikusz függvények, és vizsgálhtók sh tuljdonságik. d) sh, ch, th, cth inverzeiként értelmezzük z rsh, rch, rth, rcth refüggvényeket és vizsgálhtjuk tuljdonságikt. Megjegyzés: A th, cth és z re függvények differenciálási szbály is egyszerűen bizonyíthtó (lásd gykorlton). 9. Mgsbbrendű deriváltk Definíció. Legyen f :, b R dott függvény. f 0-dik deriváltj: f (0). = f. H n N és f (n ) :, b R értelmezett és differenciálhtó függvény, kkor f n-edik deriváltj z f (n) = ( f (n )) függvény. H n N-re f (n), kkor zt mondjuk, hogy f kárhányszor differenciálhtó.. Tétel. H f, g :, b R n-szer differenciálhtó, kkor c f, f +g, f g 6

17 is n-szer differenciálhtó és x, b esetén (c f) (n) (x) = c f (n) (x) ; (f + g) (n) (x) = f (n) (x) + g (n) (x) ; n ( ) n (f g) (n) (x) = f (i) (x) g (n i) (x) i i=0 Bizonyítás. Teljes indukcióvl egyszerű. (Leibniz-szbály). 2. Tétel. Az f(x) =. k x k (x ( ϱ, ϱ)) htványsor összegfüggvénye k=0 kárhányszor differenciálhtó és f (n) (x) = k (k )... (k n + ) k x k n k=n (x ( ϱ, ϱ)), továbbá n = f (n) (0) (n = 0,,... ). n! Bizonyítás. A htványsorok differenciálhtósági tétele lpján, teljes indukcióvl, illetve x = 0 helyettesítéssel egyszerű. 0. Differenciálhtó függvények vizsgált ) A lokális szélsőérték szükséges feltétele. Tétel. Legyen f :, b R. H f-nek z x 0 (, b)-ben lokális mximum (minimum) vn és f (x 0 ), kkor f (x 0 ) = 0. Bizonyítás. H például f-nek x 0 -bn lokális minimum vn, kkor K(x 0, δ) (, b), hogy f(x) f(x 0 ) 0 (x K(x 0, δ)), így { f(x) f(x 0 ) 0, h x0 δ < x < x 0 = x x 0 0, h x 0 < x < x 0 + δ. Ezért f (x 0 ) = f (x 0 ) = f +(x 0 ) = f(x) f(x 0 ) lim 0 x x 0 0 x x 0 lim x x 0 +0 = f (x 0 ) = 0. f(x) f(x 0 ) 0 x x 0 7

18 Megjegyzés: A feltétel áltlábn nem elégséges, hogy ezt például z f(x) = x 3 (x R) függvény z x 0 = 0-bn muttj. b) Középértéktételek Tétel (Cuchy). H z f, g : [, b] R függvények folytonosk [, b]-n, differenciálhtók (, b)-n, kkor x (, b), hogy (C K) [f(b) f()] g (x) = [g(b) g()] f (x). Bizonyítás. A h : [, b] R, h(t). = [f(b) f()] g(t) [g(b) g()] f(t) függvény folytonos [, b]-n, differenciálhtó (, b)-n, h() = h(b). h felveszi [, b]-n szélsőértékeit, így u, v [, b], hogy h(v) h(x) h(u) (x [, b]). {u, v} = {, b} esetén h() = h(b) és z előbbi egyenlőtlenség dj, hogy h(x) = c, és így h (x) = 0 (x [, b]). Ez pedig h differenciálásávl dj z állítást. H {u, v} = {, b}, kkor u vgy v (, b) = h (u) = 0 vgy h (v) = 0, mi x = u vgy x = v mellett h differenciálásávl dj z állítást. Következmények:. Tétel (Lgrnge). Legyen f : [, b] R folytonos [, b]-n, differenciálhtó (, b)-n, kkor x (, b), hogy (L K) f(b) f() = f (x)(b ). Bizonyítás. Következik (C-K)-ból g(x) = x válsztássl. 2. Tétel (Rolle). Legyen f : [, b] R folytonos [, b]-n, differenciálhtó (, b)-n, f() = f(b), kkor x (, b), hogy f (x) = 0. Bizonyítás. Következik (L-K)-ból f() = f(b) mitt. 3. Tétel. H g (x) 0 (x (, b)) = g(b) g() (hiszen egyébként (C-K) mitt x (, b), g (x) = 0), ekkor (C-K) írhtó z f (x) f(b) f() g = (x) g(b) g() lkbn. 8

19 4. Tétel ( monotonitás elegendő feltétele). H f :, b R differenciálhtó, kkor ) f 0 = f monoton növekedő; b) f 0 = f monoton csökkenő; c) f = 0 = f = c, zz konstns. Bizonyítás. A Lgrnge-tétel segítségével. Legyen x, x 2, b tetszőleges. Az f [x, x 2 ]-re vló leszűkítése teljesíti Lgrnge-tétel feltételeit, így x (x, x 2 ), hogy így bármely fenti x, x 2 -re f(x 2 ) f(x ) = (x 2 x ) f (x), ) f 0 = f(x 2 ) f(x ) = f monoton növekedő; b) f 0 = f(x 2 ) f(x ) = f monoton csökkenő; c) f = 0 = f(x 2 ) = f(x ) = f = c, zz konstns. 5. Tétel ( monotonitás szükséges és elegendő feltétele). Legyen f :, b R differenciálhtó függvény, kkor ) f monoton növekvő (csökkenő), b -n, h f 0 (f 0); b) f szigorún monoton növekvő (csökkenő), b -n, h f 0 (f 0) és c, d, b, hogy f (x) = 0 (x c, d ). Bizonyítás. ) Az elégségesség jön 4. tételből. A szükségességhez legyen például f növekvő és x, b teszőleges, h olyn, hogy x + h, b, kkor f(x + h) f(x) 0 = f 0. h b) Elégségesség: H például f 0, kkor ) mitt f növekvő. Tegyük fel, hogy nem szigorún monoton növekvő, kkor x, y, b, x < y, hogy f(x) = f(y), de kkor (f monotonitás mitt) f(t) = c, h t [x, y], b, mi ellentmondás. Szükségesség: H például f szigorún monoton növekvő kkor ) mitt f 0. H c, d, b, hogy f (x) = 0 (x c, d ), kkor f(x) = const (x c, d ), így f nem szigorún monoton növekvő, mi ellentmondás. 9

20 6. Tétel ( szélsőérték egy elégséges feltétele). Legyen f : (x 0 r, x 0 + r) R differenciálhtó függvény és f (x) = 0. H ) f (x) 0 (x (x 0 r, x 0 )), f (x) 0 (x (x 0, x 0 + r)), kkor f-nek x 0 -bn lokális mximum vn; b) f (x) 0 (x (x 0 r, x 0 )), f (x) 0 (x (x 0, x 0 + r)), kkor f-nek x 0 -bn lokális minimum vn. Bizonyítás. Az 5. Tétel mitt f növekedő (illetve csökkenő) z (x 0 r, x 0 ] (illetve [x 0, x 0 + r)) intervllumokon, így x 0 -bn mximum vn. A minimum hsonlón bizonyíthtó. c) Tylor-sorok, Tylor-polinom Definíció. Legyen z f : (p, q) R függvény kárhányszor differenciálhtó. A f (k) () (TS) (x ) k (x, (p, q)) k! k=0 htványsort z f függvény -hoz trtozó Tylor-soránk, míg n-edik részletösszegét, n f (k) () (TP) T n (x) = (x ) k (x, (p, q)) k! k=0 polinomot z f függvény -hoz trtozó Tylor-polinomjánk nevezzük. H 0 (p, q), kkor z = 0-hoz trtozó Tylor-sort f McLurin-soránk nevezzük. Megjegyzések:. Minden konvergens htványsor összegfüggvényének Tylor-sor (lásd: exp, sin,... ) 2. Fontos kérdés: Mikor állíthtó elő egy függvény Tylor-sorávl? Tétel (Tylor). Legyen f : K(, r) R R, n N és f (n), kkor x K(, r) esetén ξ(x) K(, r)\{}, hogy (T) f(x) = T n (x) + f (n) (ξ(x)) n! 20 (x ) n (x K(, r)).

21 Bizonyítás. Nyilvánvló, hogy x K(, r) esetén M(x) R (és így egy M : K(, r) R függvény), hogy (x )n (T*) f(x) = T n (x) + M(x) (x K(, r)). n! Elegendő megmuttni, hogy ξ(x) K(, r)\{}, hogy (M) M(x) = f (n) (ξ(x)) Ehhez tekintsük zt g : K(, r) R függvényt, melyre [ g(t) = f(x) f(t) + f (t)(x t) f (n ) ] (t) (n )! (x (x t)n t)n + M(x) n! g következő tuljdonsági nyilvánvlók: g(x) = 0, g() = 0 (lásd (T*) is!), g folytonos [, x] vgy [x, ]-bn, g differenciálhtó (, x) vgy (x, )-bn. Így teljesülnek Rolle-tétel feltételei, mi dj, hogy ξ(x) (, x) vgy (x, ), hogy g (ξ(x)) = f (n) (ξ(x)) (x ξ(x)) n (x ξ(x))n + M(x) = 0. (n )! (n )! Ez pedig dj (M)-et, és kkor (T*) (T)-t. Megjegyzések:. n = -re Tylor-tétel Lgrnge-tétel. 2. Az R n (x) = f (n) (ξ(x)) (x ) n (x K(, r)) n! szerint definiált R n függvény Tylor-formul Lgrnge-féle mrdéktgj. 3. H M, hogy x K(, r), n N esetén f (n) (x) M, kkor lim R n(x) = 0, ezért n f (k) () f(x) = (x ) k (x K(, r)), k! k=0 2

22 így z f függvény Tylor-soránk összege. 4. Az exp ( x ) f(x) = 2, x 0 0, x = 0 függvényre f (n) (0) = 0 (n N), így z f függvény 0-hoz trtozó Tylor-soránk összege 0 függvény, mi nyilván f. 5. A Tylor-tétel lpján becsülhető f és T n eltérése, például: ( ) sin(x) x x3 3! + + x 2n ( )n = (2n )! sin (2n) (ξ) = x 2n x 2n (2n)! (2n)!. 6. Az ln( + x) = f(x) (x (, )) függvényre például ln(+x) = x x2 2 + x3 xn +( )(n ) 3 n +( )n xn+ ( + ξ) n+ n +, miből x = válsztássl és htárátmenettel ln 2 = ( )n n +, hol jobboldl z ismert Leibniz-féle sor. d) A szélsőérték áltlános feltétele Tétel. H f : K(, r) R (k )-szer differenciálhtó (k 2), f () = = f (k ) () = 0 és f (k) () 0, kkor ) h k pártln, úgy f() nem szélsőérték; b) h k páros, úgy f() szélsőérték, hogy f (k) () > 0 esetén f() szigorú lokális minimum, f (k) () < 0 esetén f() szigorú lokális mximum. 22

23 Bizonyítás. A Tylor-tételt n = k mellett, f () = = f (k 2) () = 0 felhsználásávl felírv f(x) f() = f (k ) (ξ(x)) (k )! (x ) (k ) (x K(, r), ξ(x) (, x) vgy (x, )) következik. Ugynkkor például f (k) () > 0 jeltrtási tétel mitt dj, hogy K(, δ) K(, r), hogy f (k ) (x) f (k ) () x > 0, ill. f (k ) (x) x > 0 (x K(, δ)). Ugynígy f (k) () < 0-r pedig f (k ) (x) < 0 (x K(, δ)) következik. x Az előbbieket felhsználv: ) H k pártln, kkor K(, δ)-n sign[f(x) f()] = sign f (k ) (ξ(x)) x nem állndó = f() nem szélsőérték. b) H k páros, úgy és így sign[f(x) f()] = sign f (k ) (ξ(x)) x sign(x ) k f(x) f() > 0 (< 0), h f (k) > 0 (< 0) K(, δ)-n, mi dj ekkor is z állítást. e) Konvex függvények. Definíció. Az f :, b R függvény konvex (konkáv), b -n, h x, x 2, b és p, q [0, ], p + q = esetén (K) f(p x + q x 2 ) p f(x ) + q f(x 2 ) (illetve (K)-bn ) teljesül. szigorú egyenlőtlenség vn. f szigorún konvex (konkáv), h (K)-bn 23

24 Megjegyzés: H (K)-bn q =. x x, p =. x 2 x (x (x, x 2 )), kkor x 2 x x 2 x p, q [0, ], p + q =, px + qx 2 = x, így () f(x) f(x 2) f(x ) x 2 x (x x ) + f(x ) (x (x, x 2 )), vgy (2) f(x) f(x 2) f(x ) x 2 x (x x 2 ) + f(x 2 ) (x (x, x 2 )) következik. Ez zt jelenti, hogy f gráfjánk pontji z (x, f(x )) és (x 2, f(x 2 )) pontokon áthldó szelő ltt vnnk ( x, x 2, b, x < x 2 esetén).. Tétel. Az f :, b R differenciálhtó függvény konvex, h z f :, b R függvény monoton növekvő. Bizonyítás. ) H f konvex, kkor () és (2) dj, hogy f(x) f(x ) f(x 2) f(x ) f(x 2) f(x), x x x 2 x x 2 x honnn x x ill. x x 2 htárátmenettel jön, hogy f (x 2 ) f (x ) x < x 2 esetén, zz f monoton növekvő. b) H f monoton növekvő, kkor x < x < x 2 esetén ( Lgrnge-tétel mitt) z (x, x), z 2 (x, x 2 ), hogy f(x) f(x ) = f (z ) f (z 2 ) = f(x 2) f(x) x x x 2 x melyből rövid számolássl jön (2), zz f konvex. Megjegyzések:. Hsonló állítás igz konkáv függvényekre is. 2. f szigorún konvex, h f szigorún monoton növekvő. 3. H f, úgy: f konvex (konkáv), h f 0 (f 0). 2. Definíció. Az f :, b R függvénynek z x (, b) inflexiós helye, (x, f(x)) inflexiós pontj, h r > 0, hogy f konvex (konkáv) (x r, x]-en és konkáv (konvex) [x, x + r)-en. 24

25 2. Tétel. Az f :, b R differenciálhtó függvénynek z x (, b) inflexiós helye, h szélsőértékhelye f -nek. Bizonyítás. ) H x (, b) inflexiós hely, kkor definíció szerint r > 0, hogy f konvex (konkáv) (x r, x]-en, konkáv (konvex) [x, x + r)-en = f monoton növekvő (csökkenő) (x r, x]-en, csökkenő (növekvő) [x, x + r)- en = x szélsőértékhelye f -nek. b) H x (, b) szélsőértek helye f -nek, kkor r > 0, hogy f növekvő (csökkenő) (x r, x]-en, csökkenő (növekvő) [x, x + r)-en = f konvex (konkáv) (x r, x]-en, konkáv (konvex) [x, x+r)-en = x inflexiós helye f-nek. f) L Hospitl-szbály Alpproblém: H f, g : K(, r) R dottk és lim f(x) lim x g(x) f(x) = lim g(x) = 0, kkor létezik-e x x és hogyn számíthtó ki? (Lehet egyoldli htárérték is.) Tétel (L Hospitl-szbály). Legyenek f, g : (, + r) R differenciálhtó függvények, hogy lim f(x) = lim g(x) = 0, g(x) g (x) 0. H létezik x x f (x) f(x) lim x g htárérték, kkor létezik lim htárérték is, és kettő (x) x g(x) egyenlő egymássl. Bizonyítás. Az f() = g() = 0 definícióvl f és g -bn folytonos függvénynyé terjeszthető ki. H x (, + r) tetszőleges, úgy f és g teljesíti z [, x]-ben Cuchy-tétel feltételeit, így y (, x), hogy f(x) f(x) f() = g(x) g(x) g() = f (y) g (y) H x n olyn sorozt, hogy x n (, x), x n, kkor y n ( < y n < x n ), hogy y n és f(x n) g(x n ) = f (y n ) f (y n ) g, úgy lim (y n ) y n g (y n ) létezése f(x n ) mitt lim x n g(x n ) = lim f (y n ) y n g mi dj z állítást. (y n ) 25

26 Megjegyzések:. Hsonló igz ( r, )-r vgy K(, r)\{0}-n értelmezett függvények esetén. 2. H f() = g() = 0; f, g differenciálhtók -bn, és g () 0, kkor f(x) lim x g(x) = f () g (). 3. H f és g értelmezési trtomány felülről, illetve lulról nem korlátos, kkor például ( ) ( ) lim f(x) = lim f, illetve lim x + y 0+0 y g(x) = lim g x y 0 0 y mitt L Hospitl-szbály végtelenben vett htárértékre is megfoglmzhtó. 4. A L Hospitl szbály kkor is megfoglmzhtó, h lim f(x) = lim g(x) = +. x x 5. H lim f(x) = 0, lim g(x) = +, kkor z f(x) g(x) = f(x) x x mitt lklmzhtó L Hospitl-szbály. g(x) egyenlőség ( + x) n sin(x) 6. Például: lim = n és lim = könnyen igzolhtó x 0 x x 0 x L Hospitl szbály lklmzásávl. 26

27 . feldtsor ) Htározz meg z f : R R, f(x) = x 2 függvény x 0, x pontokhoz trtozó differencihánydosát, h x 0 =, x =., illetve h x 0 = 5, x = 5.. 2) Az egyenesvonlú mozgást végző pont mozgásegyenlete s = 0t + 5t 2. Htározz meg átlgsebességét 20 t 20 + t időintervllumbn, h t = vgy t = 0. vgy t = 0.0. Adj meg t = 20-hoz trtozó pillntnyi sebességet. 3) A definíció lpján htározz meg z lábbi függvények differenciálhánydosit: f (x) = x n (x R, n N), f 2 (x) = x (x R + ), f 3 (x) = x (x R + {0}), f 4 (x) = 3 x (x R). 4) Számíts ki f (), f (2), f (3) értékét, h 5) Legyen f(x) = (x )(x 2) 2 (x 3) 3 (x R + ). { x 2, x Q f(x) = 0, x R\Q. Bizonyíts be, hogy f (0). 6) Igzolj, hogy h f(x) = x x (x R), kkor f (x) = 2 x (x R). 7) Legyen x, x (, ) f(x) = ( x)(2 x), x [, 2] x 2, x (2, ). Bizonyíts be, hogy f differenciálhtó R-en és htározz meg f (x)-et. 8) Bizonyíts be, hogy z { x f(x) = 2 sin x, x R\{0} 0, x = 0 függvény differenciálhtó x 0 = 0-bn. 27

28 9) Legyen f : R R differenciálhtó függvény. Bizonyíts be, hogy h f pártln, kkor f páros, illetve h f páros, kkor f pártln. 0) Htározz meg z f (x) = 3x x 2 (x R) függvény képét z x 0 =, míg z f 2 (x) = x 2 4 függvény képét z x 0 = 2-ben érintő egyenest. ) H f +g vgy f g differenciálhtó x 0 -bn, kkor f z-e x 0 -bn? H f g differenciálhtó x 0 -bn, úgy -e g (x 0 )? 2) Az lábbi f függvényeknél dj meg f -t: f(x) = 2(3x 2 + 4) 4 (x R), f(x) = 2x x 2 (x ±), f(x) = x + x + 3 x (x R + ), f(x) = x + x 2 (x R), f(x) = x x4 4x + 3 (x R), f(x) = x 7 + 2x 5 3 2x 2 (x 0, ), x + f(x) = x + x 2 (x R), f(x) = x + x + x (x R + ), f(x) = x x x (x R + ), f(x) = x3 + 3x x 2 (x R), x 2 f(x) = + x 4 (x R), f(x) = ( + b x) 4 (x R + ), f(x) = + x (x > 0, x ), x f(x) = ( + nx m )( + mx n ) (n, m N, x R), f(s) = ( 4s 2 )(2s 3 + ) (s R), f(ϕ) = (2ϕ 3 3 3ϕ + ϕ 2 3 ) 3 (ϕ R), f(x) = ex + sin x xe x (x 0), f(x) = (cos x 3 )e cos x sin x (x R), f(x) = sin(cos ) (x 0), x2 f(x) = ln( 3x e x + ) (x R), f(x) = cos x2 (x R), f(x) = lg 3 x 2 (x 0), f(x) = ln(ln(ln(x))) (x?), f(x) = ln x (x 0), 28

29 f(x) = x x (x > 0), f(x) = sin(x cos x ) (x > 0), f(x) = x xx (x > 0), f(x) = log tg x 2 (x?), ( x f(x) = tg 3 2 ) + x + (x?), f(x) = x tg 3x 3 2 (x?), 2x f(x) = rcsin + x 2 (x?), f(x) = rctg x (x?), x + sh(2x + ) + ch(3x ) f(x) = sh 2 (x?), (x + 2) f(x) = th(ln(2x ch x)) (x?), f(x) = th x 2 (x?), f(x) = rsh(e x+3 ex x) (x?), f(x) = e rth x2 (x?), f(x) = x rch x (x?), ( ( )) x + f(x) = log x (sh x) (x?), f(x) = ln th x 3) Bizonyíts be z I/7. fejezet 2., 4. és 5. tételét. (x?). 4) Vizsgálj z I/8. fejezetben definiált tg, ctg, rcsin, rccos, rctg, rcctg, th, cth, rsh, rch, rth, rcth függvények legfontosbb tuljdonságit, differenciálási szbályit. 5) Adj meg z lábbi mgsbbrendű deriváltkt: f (x) = x m (x 0), f (x) =?, f 2 (x) = x k (x R, k N), f (n) 2 (x) =?, f 3 (x) = x ln(x) (x > 0), f (5) 3 (x) =?, f 4 (x) = x(x ) (x 0, x ), f (20) 4 (x) =?, f 5 (x) = x n e x (x R, n N), f (n) 5 (x) =?, f 6 (x) = x sh x (x R), f (00) 6 (x) =?, f 7 (x) = sin x (x R), f (n) 7 (x) =?, f 8 (x) = x 3 sin 3x (x R), f (n) 8 (x) =?. 29

30 6) Legyen 3 x 2, x [0, ] f(x) = 2, x [, 2]. x Mutss meg, hogy z f függvény folytonosn differenciálhtó. Htározz meg zt z x (0, 2) számot (vgy számokt), melyekre f(2) f(0) = 2f (x). 7) Legyen f(x) = 3 x 2 (x [, ]). Igzolj, hogy f( ) = f(), de x (, ), hogy f (x) = 0. 8) Bizonyíts be, hogy h f : (, b) R differenciálhtó és f korlátos, kkor f egyenletesen folytonos. 9) Bizonyíts be, hogy h f(x) = (x 2 ) n (x R, n N), kkor f (n) olyn n-edfokú polinom, melynek minden gyöke vlós, egyszeres és (, )-ben vn. 20) Bizonyíts be ( Lgrnge-tétellel), hogy sin x sin y x y (x, y R), b < ln b < b (0 < b < ), b n + < ln n + < (n N). n n 2) Bizonyíts be, hogy h f, g : [, b] R folytonos, f() g(), f és g differenciálhtó (, b)-n és f (x) g (x) (x (, b)), kkor f(x) g(x) (x [, b]). 22) A 8. feldt segítségével bizonyíts be, hogy e x + x (x [0, )), sin x x (x [0, )), ( [ x tg x x 0, π ]). 2 23) Htározz meg z lábbi függvények monoton szkszit: f (x) = 2 + x x 2 (x R), f 2 (x) = 3x x 3 (x R), f 3 (x) = 2x + x 2 (x R), f 4 (x) = x + sin(x) (x R). ( ( 24) Htározz meg z f(x) = x 2 tg x x π 2, π )) függvény 0-ponthoz 2 30

31 trtozó 4-edrendű Tylor-polinomját. 25) Írj fel z lábbi függvények Tylor-sorát: f (x) = + x (x [0, )), f 2 (x) = ln( + x) (x [0, )), f 3 (x) = tg x (x R). 26) Igzolj z lábbi egyenlőtlenségeket: x x3 6 < sin x < x (x (0, )), x + x3 3 < tg x ( x ( 0, π )) 2 27) Legyen P (x) = 6x 4 7x 3 + 2x 2 x + 5 (x R). Htározz meg zt Q : R R polinomot, melyre P (x) = Q(x ) ( x R). 28) A Tylor-tétel segítségével számíts ki 3 30, sin 8, 5 250, ln.2, rctg 0.8, (.).2 közelítő értékét és becsülje meg hibát. 29) Keresse meg z lábbi függvények lokális (és globális) szélsőértékhelyeit és szélsőértékeit: f (x) = 2 + x x 2 (x R), f 2 (x) = (x ) 2 (x R), f 3 (x) = (x ) 4 (x R), f 4 (x) = (x + ) 0 e x (x R), f 5 (x) = x 3 6x 2 + 9x 4 (x R), f 6 (x) = 2x + x 2 (x R), f 7 (x) = cos x + 2 cos 2x (x R), f 8(x) = e x sin(x) (x R), f 9 (x) = x 3 x (x R), f 0 (x) = x2 + x 2 (x R), + x + f (x) = x + x (x 0), f 2(x) = 4 x (x 0), x + 2 f 3 (x) = 2 x (x [, 5]), f 4 (x) = x 2 3x + 2 (x [ 3, 0]), f 5 (x) = 5 4x (x [, ]), f 6 (x) = sin(x + ) cos(x + 2) (x [0, 0]). 30) Bizonyíts be, hogy h f : [, b] R differenciálhtó, f () f (b), kkor λ (f (), f (b)) esetén x 0 (, b), hogy f (x 0 ) = λ (Drbouxtétel). 3.

32 3) Htározz meg z lábbi függvények konvex és konkáv szkszit, inflexiós helyeit: f (x) = 3x 2 x 3 (x R), f 2 (x) = + x 2 (x R), f 3 (x) = x + sin(x) (x R), f 4 (x) = ln( + x 2 ) (x R), f 5 (x) = e x2 (x R). 32) Bizonyíts be, hogy h x, y R +, x y, kkor x 7 + y 7 ( ) 7 x + y > ; x ln x + y ln y > (x + y) ln x + y ) Végezze el teljes függvényvizsgáltot és függvények ábrázolását, h: f (x) = 3x x 3 (x R), f 2 (x) = sin x + sin 3x (x R), 3 x 4 f 3 (x) = x rctg x (x R), f 4 (x) = ( + x) 3 (x ), 9x + x3 f 5 (x) = x x 3 (x 0, ±), f 6 (x) = x e x (x R). 34) Htározz meg z lábbi htárértékeket: sin 3x lim x 0 sin 5x, lim ch x cos x tg x x x 0 x 2, lim x 0 x cos x, cos x e x ln( + x) lim x 0 x 2, lim, lim, x 0 x x 0 x x x 2 3 ( x lim, lim x 0 x x 3, lim x x 0 x ) e x, ( lim x ln x ) (, lim x x 0 x th x ) ln x, lim tg x x + x µ, lim x + x n, (, n > 0). ex 32

33 II. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS. Primitív függvény, htároztln integrál Bevezetés: Az f :, b R differenciálhtó függvényhez hozzárendelhető z f :, b R függvény. Kérdés: f :, b R-hez létezik-e F :, b R, hogy F = f? Definíció. Legyen dott z f :, b R függvény. Az F :, b R differenciálhtó függvényt z f primitív függvényének vgy htároztln integráljánk nevezzük, h F = f. Az F függvényre z f jelölést hsználjuk. f meghtározását integrálásnk mondjuk. Az F = f függvény x helyen felvett értékét F (x) = f(x)dx vgy ( f)(x) jelöli, mi gykrn primitív függvényt (htároztln integrált) is jelenti. A primitív függvény (htároztln integrál) értelmezhető f : H R függvényre is, hol H intervllumok egyesítése.. Tétel. H f, F :, b R, F = f (F = f), úgy G :, b R kkor és csk kkor primitív függvénye (htároztln integrálj) f-nek, h C R, hogy G(x) = F (x) + C. Bizonyítás. ) G(x) = F (x) + C = G (x) = F (x) = f(x) (x, b ) = G primitív függvény. b) H G = f = G (x) = F (x) (x, b ) = [G(x) F (x)] = 0 (x, b ) = G(x) = F (x) + C. Megjegyzés: H z f függvény értelmezési trtomány nem intervllum, kkor z állítás nem igz. Alpintegrálok: { ln(x) + x dx = C (x > 0) ln( x) + C 2 (x < 0) x µ dx = xµ+ µ + + C (x R +, µ ) 33

34 x dx = x + C (x R, > 0, ) ln sin(x) dx = cos(x) + C (x R) cos(x) dx = sin(x) + C (x R) dx = rcsin(x) + C (x (, )) x 2 dx = rctg(x) + C (x R) + x2 sh(x) dx = ch(x) + C (x R) ch(x) dx = sh(x) + C (x R) x2 + dx = rsh(x) + C = ln(x + x 2 + ) + C (x R) x2 dx = rch(x) + C = ln(x + x 2 ) + C (x (, )) sin 2 (x) dx = ctg(x) + C k (x (kπ, (k + )π), k Z) cos 2 (x) dx = tg(x) + C k (x (kπ π 2, kπ + π ), k Z) 2 ( ) n x n x n+ dx = n n + + C (x ( ϱ, ϱ)) n=0 n=0 2. Tétel. Legyen f, g :, b R olyn, hogy f és g, és p, q R tetszőleges, kkor (pf + qg) és C R, hogy [pf(x) + qg(x)] dx = p f(x) dx + q g(x) dx + C (x, b ). Bizonyítás. Legyen F = f, G = g, kkor F, G létezése mitt (pf + qg) is, és (pf + qg) (x) = pf (x) + qg (x) = pf(x) + qg(x) (x, b ), mi zt jelenti, hogy (pf(x) + qg(x)) dx és = pf (x) + qg(x) + C = = p f(x) dx + q g(x) dx + C (x, b ). 3. Tétel (prciális integrálás tétele). H z f, g :, b R függvények differenciálhtók, b -n és f g, kkor fg is, és vn olyn 34

35 C R, hogy (P) f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx + C (x, b ). Bizonyítás. A feltételek mitt z f g f g függvény differenciálhtó, és [f(x)g(x) f (x)g(x) dx] = f (x)g(x)+f(x)g (x) f (x)g(x) = f(x)g (x) mi htároztln integrál definíciój mitt zt jelenti, hogy fg és teljesül (P). Megjegyzés: H P n (x) egy n-edfokú polinom, úgy z lábbi integrálok prciális integrálás tételével meghtározhtók: Pn (x)e x dx, Pn (x) sin(x) dx, Pn (x) rcsin(x) dx, Pn (x) ln(x) dx, Pn (x) cos(x) dx, Pn (x) sh(x) dx, Pn (x) ch(x) dx, Pn (x) rccos(x) dx, Pn (x) rctg(x) dx, Pn (x) rcctg(x) dx. 4. Tétel (helyettesítéses integrálás tétele). H f :, b R, g : c, d, b olynok, hogy g : c, d R és f, kkor (f g) g és vn olyn C R, hogy (H) f(g(x)) g (x) dx = (( f) g)(x) + C = f(t)dt t=g(x) + C (x c, d ). Bizonyítás. A feltételek mitt [( f) g] és [( f) g] (x) = f(g(x)) g (x) (x c, d ), mi éppen zt jelenti, hogy (f g)g és teljesül (H). Megjegyzés: H ( fentieken túl) g, kkor (H) következő lkb is írhtó: (H ) f(x) dx = (( (f g)g ) g )(x) + C = f(g(t))g (t)dt t=g (x) + C (x c, d ). Példák: Az ) x 2 esetén g(t) = sin(t) (t ( π 2, π 2 )), 2) R(sin(x), cos(x)) dx esetén (hol R(u, v) rcionális kifejezése u, v-nek és x ( π, π)) g(t) = 2 rctg t (t R) (ill. tg x 2 = t = g (x) (x ( π, π)), 35

36 3) R ( ) x + b x, n cx + d dx esetén t = n x + b cx + d = g (x), g(t) = dtn b ct n, 4) R(x, x 2 + bx + c) dx esetén z Euler-féle (vgy trigonometrikus (sin), illetve hiperbolikusz (sh, ch) függvényes) helyettesítéseket lklmzzuk. Rcionális függvények integrálás. A prciális törtekre bontás tétele szerint minden Pn(x) Q m (x) rcionális törtfüggvény egyértelműen előáll egy polinom és (x b) j, px + q (x 2 + rx + s) k (j, k N +, r 2 4s < 0) lkú törtek bizonyos (itt nem részletezett) összegeként, hol (x b) j és (x 2 + rx + s) k Q m (x) osztói. Így P n(x) Q m (x) meghtározás visszvezethető z px + q dx és (x b) j (x 2 + rx + s) k dx meghtározásár. Megjegyzések:. Az utóbbi két integráltípust gykorlton vizsgáljuk (z első kezelése zonnl láthtó). 2. A 4. tétel utáni 2), 3), 4) példák esetén z integráls rcionális törtfüggvény integrálásár vezethető vissz. 3. További ún. rcionlizáló helyettesítések is vizsgálhtók (pl. R(e x ) dx, binom integrálok). 2. A Riemnn-integrálhtóság foglm Legyen [, b] R zárt intervllum. A továbbikbn f : [, b] R típusú korlátos függvényekkel fogllkozunk.. Definíció. A P = {x i = x 0 < x < < x i < < x n = b} [, b] 36

37 hlmzt z [, b] intervllum egy felosztásánk, z x i pontokt felosztás osztáspontjink, z [x i, x i ] (i =,..., n) intervllumokt felosztás részintervllumink, míg x i = x i x i mellett P. = sup{ x i i =,..., n} számot felosztás finomságánk nevezzük. 2. Definíció. Legyen P és P 2 [, b] két felosztás. P 2 finomítás (továbbosztás) P felosztásnk, h P P 2. A P. = P P 2 hlmzt P és P 2 egyesítésének nevezzük. 3. Definíció. A P k normális felosztássorozt [, b]-nek, h lim k P k = = 0 teljesül. 4. Definíció. Legyen f : [, b] R korlátos függvény, P egy felosztás [, b]-nek... M i = sup f(x), m i = inf f(x) (M i, m i és R) x [x i,x i ] x [x i,x i ] 5. Definíció. Legyen f : [, b] R korlátos függvény, P egy felosztás [, b]-nek. Az s(f, P ) = n m i x i, i= S(f, P ) = n M i x i, i= O(f, P ) = n (M i m i ) x i számokt z f függvény P felosztáshoz trtozó lsó, felső, illetve oszcillációs összegének, míg t i [x i, x i ] esetén n σ(f, P ) = f(t i ) x i i= számot z f függvény P felosztáshoz és t,..., t n -hez trtozó integrálközelítő összegének nevezzük. (Ezek geometrilig bizonyos területek.). Tétel. H f : [, b] R korlátos függvény, kkor ) P és σ(f, P )-re : s(f, P ) σ(f, P ) S(f, P ); b) P P 2 -re : s(f, P ) s(f, P 2 ), S(f, P 2 ) S(f, P ); c) P, P 2 -re : s(f, P ) S(f, P 2 ). 37 i=

38 Bizonyítás. ) H P = {x 0, x,..., x n }, t i [x i, x i ] tetszőleges, kkor m i f(t i ) M i = m i x i f(t i ) x i M i x i (i =,..., n) = n m i x i n f(t i ) x i n M i x i, mi z állítás. i= i= b) Legyen P = {x 0,..., x n }, P 2 = {y 0,..., y m }, P P 2, kkor [x i, x i ]-re j, k, hogy [x i, x i ] = [y j, y j ] [y k, y k ] (x i = y j, x i = y k ). i= H m () i P, m (2) i P 2 -höz trtozó infimumok, kkor m () i m (2) j,..., m (2), és így k m () i x i = m () i y j + + m () i y k m (2) j y j + + m (2) y k dódik i =,..., n-re, miből összegzés után jön b) első fele. A második hsonlón következik. c) H P, P 2 tetszőleges felosztások, kkor P, P 2 P P 2, így ) és b) mitt s(f, P ) s(f, P P 2 ) S(f, P P 2 ) S(f, P 2 ), mi dj z állítást. 6. Definíció. Legyen f : [, b] R korlátos függvény. Az I = f =. sup{s(f, P )}, Ī = P f =. inf{s(f, P )} P számokt z f függvény [, b] feletti lsó, illetve felső Drboux-integráljánk nevezzük. 2. Tétel. Legyen f : [, b] R korlátos függvény, kkor Ī, Ī R és Ī Ī teljesül. Bizonyítás. Az. Tétel c) része mitt P -re s(f, P ) S(f, P ) P esetén, így Ī R továbbá s(f, P ) Ī = Ī R és Ī Ī. Következmény: P -re s(f, P ) Ī Ī S(f, P ) = 0 Ī Ī O(f, P ). 38 k

39 Példák: ) f(x) = x (x [, b]) = Ī = Ī. 2) f, hogy Ī Ī (például Dirichlet függvény). 7. Definíció. Az f : [, b] R korlátos függvény Riemnn-integrálhtó [, b]-n, h Ī = Ī. Ezt közös értéket z f [, b] feletti Riemnn-integráljánk nevezzük, és rá z I, f vgy f(x) dx jelölést hsználjuk. H [c, d] [, b] és f [c, d]-re vló leszűkítése Riemnn-integrálhtó [c, d]-n, d kkor zt mondjuk, hogy f Riemnn-integrálhtó [c, d]-n. f z f : [, b] R függvény Riemnn-integrálját jelöli [c, d]-n. H f [c,d] = g, d kkor f =. d g. c c c 3. A Drboux-tétel és következményei Lemm. Legyen f : [, b] R korlátos ( f(x) < K x [, b]), P = { = x 0, x,..., x n = b} [, b] egy felosztás. H P P egy tetszőleges finomítás, kkor () S(f, P ) S(f, P ) 2K (x i x i ), hol z összegzés z új osztáspontokhoz trtozó intervllumokr történik. Bizonyítás. Legyen P olyn finomítás P -nek, melyben csk olyn új osztáspontok vnnk, hogy x i < x () < x (2) < < x (k) < x i i {,..., n}. Legyen m i. = inf x [x i,x i ] f(x), M i. = sup f(x), x [x i,x i] és jelölje M (),..., M (k+) z f szuprémumát z [x i, x i ]-ben keletkező 39

40 k + új részintervllumon. Ekkor M i, m i K és M (k) m i mitt S(f,P ) S(f, P ) = = M i (x i x i ) [ M () (x () x i ) + + M (k+) (x i x (k) ) ] M i (x i x i ) m i ( x () x i + x (2) x () + + x i x (k)) = = (M i m i )(x i x i ) 2K(x i x i ). H ezt figyelembe vesszük, kkor már nyilvánvló () P egy tetszőleges P finomításár. Drboux-tétel. H f : [, b] R korlátos függvény, kkor ε-hoz δ(ε), hogy [, b] P felosztásár, melyre P < δ(ε) (D) S(f, P ) Ī < ε és Ī s(f, P ) < ε teljesül. Bizonyítás. Legyen ε > 0 tetszőleges, kkor Ī definíciój mitt P 0 felosztás [, b]-nek, hogy (2) S(f, P 0 ) Ī < ε 2 teljesül. H r 0 P 0 részintervllumink szám, úgy legyen 0 < δ(ε) = ε 4r 0 K és P = { = x 0,..., x n = b} olyn, hogy P < δ(ε). H P = P P 0, kkor P finomítás P 0 -nk és P -nek is. Ekkor lemm és δ(ε) definíciój mitt (3) 0 S(f, P ) S(f, P ) 2K (x i x i ) 2Kr 0 δ < ε 2. Ezután (2)-t és (3)-t is felhsználv Ī S(f, P ) < S(f, P ) + ε 2 S(f, P 0) + ε 2 < Ī + ε dódik, mi dj (D) első állítását. I bizonyítás hsonló. -r 40

41 A Drboux-tétel következménye. H f : [, b] R korlátos függvény, kkor ) [, b] P k normális felosztássoroztár lim s(f, P k) = Ī, k lim S(f, P k) = Ī, és lim O(f, P k) = Ī Ī ; k k b) [, b] P k normális felosztássoroztár σ (f, P k ) és σ 2 (f, P k ) integrálközelítő összegsorozt, hogy lim k σ (f, P k ) = Ī illetve lim k σ2 (f, P k ) = Ī. Bizonyítás. ) Legyen ε > 0 dott, kkor Drboux-tétel mitt δ(ε) > 0, hogy P -re, melyre P < δ(ε) s(f, P ) Ī < ε, S(f, P ) Ī < ε. Legyen P k normális felosztássorozt kkor lim P k = 0 mitt k δ(ε) > 0-hoz N (δ(ε)), hogy k > N (δ(ε)) esetén P k < δ(ε). H tehát N(ε) = N (δ(ε)), kkor k > N(ε)-r P k < δ(ε), így s(f, P k ) Ī < ε, S(f, P k ) Ī < ε, mi ( htáréték definíciój mitt) dj z első két állítást. A hrmdik O(f, P k ) = S(f, P k ) s(f, P k )-ból jön k esetén. b) Legyen P k. = {x k i i = 0,..., n k} normális felosztássorozt, m k i = inf f([x k i, x k i ]), M k i = sup f([x k i, x k i ]) (i = 0,..., n k ), kkor ( pontos korlát definíciój mitt) hogy t k i [x k i, x k i ], t k 2i [x k i, x k i ] (i =,..., n k ), m k i + k > f(tk i) m k i, M k i f(t k 2i) > M k i k (i =,..., n k ). Az egyenlőtlenségeket összegezve kpjuk, hogy z ilyen módon létező t k i, illetve tk 2i -hoz trtozó σ (f, P k ), illetve σ 2 (f, P k )-r ( m k i + ) x k i > σ (f, P k ) s(f, P k ), k illetve i S(f, P k ) σ 2 (f, P k ) > i ( M k i k ) x k i, 4

42 zz illetve s(f, P k ) + b k > σ (f, P k ) s(f, P k ), S(f, P k ) σ 2 (f, P k ) > S(f, P k ) b k teljesül, melyből ) mitt kpjuk z állítást. 4. A Riemnn-integrálhtóság kritériumi és elegendő feltételei. Tétel. Az f : [, b] R korlátos függvény kkor és csk kkor Riemnn-integrálhtó [, b]-n, h I R hogy ε > 0-hoz δ(ε) > 0, hogy olyn P felosztásár [, b]-nek, melyre P < δ(ε), σ(f, P ) I < ε teljesül σ(f, P )-re Bizonyítás. ) Legyen f Riemnn-integrálhtó és Ī = Ī = I. Legyen ε > 0 tetszőlegesen dott, kkor Drboux-tétel mitt δ(ε), hogy P -re, melyre P < δ(ε), S(f, P ) Ī < ε, Ī s(f, P ) < ε teljesül, miből Ī = Ī = I és s(f, P ) σ(f, P ) S(f, P ) mitt σ(f, P ) I < ε teljesül σ(f, P )-re, mi dj z állítás első felét. b) Tegyük fel, hogy I R, hogy ε > 0-hoz δ(ε), hogy olyn P -re, melyre P < δ(ε), σ(f, P ) I < ε teljesül σ(f, P )-re. H ε > 0 tetszőleges, kkor: ε ( ε ( ε ) 3 -hoz Drboux-tétel mitt δ, hogy h P < δ, 3) 3 kkor () Ī s(f, P ) < ε 3 ; ε ( ε ( ε ) 3 -hoz feltétel mitt δ 2, hogy h P < δ 2, kkor 3) 3 (2) σ(f, P ) I < ε 3 ; ε 3(b ) -hoz t i [x i, x i ] (P = {x i i = 0,..., n}), hogy 42

43 ε f(t i ) m i < és így 3(b ) (3) σ(f, P ) s(f, P ) = n (f(t i ) m i ) x i < ε 3 i= teljesül. Legyen δ(ε) = inf{δ ( ε 3), δ2 ( ε 3) }, kkor P < δ(ε) esetén () (2) (3) mitt I Ī I σ(f, P ) + σ(f, P ) s(f, P ) + s(f, P ) Ī < ε, tehát I = Ī. Hsonlón következik, hogy I = Ī. Ezek dják, hogy Ī = Ī = I, zz f Riemnn-integrálhtó. 2. Tétel. Az f : [, b] R korlátos függvény kkor és csk kkor Riemnn-integrálhtó [, b]-n, h [, b] P k normális felosztássorozthoz trtozó σ(f, P k ) integrálközelítő összegsorozt konvergens. Bizonyítás. ) Legyen f : [, b] R Riemnn-integrálhtó, zz Ī = Ī. Legyen P k normális felosztássorozt, kkor s(f, P k ) σ(f, P k ) S(f, P k ), Drboux-tétel következménye és rendőr-tétel mitt dódik σ(f, P k ) konvergenciáj z I = Ī = Ī számhoz. b) Legyen P k tetszőleges normális felosztássorozt, hogy σ(f, P k ) konvergens, kkor nyilván I R, hogy σ(f, P k ) I. Ekkor Drbouxtétel következményének b) része mitt létező σ (f, P k ) és σ 2 (f, P k ) soroztok htárértéke is I, így Ī = Ī = I, zz f Riemnn-integrálhtó. 3. Tétel (Riemnn-kritérium). Az f : [, b] R korlátos függvény kkor és csk kkor Riemnn-integrálhtó [, b]-n, h ε > 0 esetén P felosztás [, b]-nek, hogy O(f, P ) = S(f, P ) s(f, P ) < ε. Bizonyítás. ) Legyen f Riemnn-integrálhtó, zz Ī = Ī = I és ε > 0 dott. A Drboux-tétel mitt ε -höz δ(ε) > 0, hogy h P olyn felosztás [, b]- 2 nek,melyre P < δ( ε ), kkor 2 I s(f, P ) < ε 2 és S(f, P ) I < ε 2, 43

44 mi dj, hogy O(f, P ) = S(f, P ) s(f, P ) < ε. b) Tegyük fel, hogy ε > 0-r P, hogy O(f, P ) = S(f, P ) s(f, P ) < ε. Ekkor 0 Ī Ī S(f, P ) s(f, P ) = O(f, P ) < ε mitt következik, hogy Ī = Ī, zz f Riemnn-integrálhtó. 4. Tétel. Az f : [, b] R korlátos függvény kkor és csk kkor Riemnnintegrálhtó [, b]-n, h z [, b] P k normális felosztássorozt esetén O(f, P k ) nullsorozt. Bizonyítás. ) H f Riemnn-integrálhtó, kkor Drboux-tétel következményének ) része mitt lim k O(f, P k) = Ī Ī = 0. b) H [, b] P k normális felosztássorozt esetén O(f, P k ) nullsorozt, kkor ugyncsk Drboux-tétel következményének ) része mitt Ī Ī = lim S(f, P k) lim s(f, P k) = lim O(f, P k) = 0 k k k következik, mi dj, hogy Ī = Ī, zz f Riemnn-integrálhtó. 5. Tétel. f : [, b] R folytonos függvény Riemnn-integrálhtó. Bizonyítás. P -re Ī Ī O(f, P ), így elég megmuttni, hogy ε > 0-hoz P felosztás [, b]-nek, hogy O(f, P ) < ε (mert kkor Ī = Ī): ε f folytonosság dj egyenletes folytonosságát [, b]-n, így -hoz δ(ε), b hogy x, x [, b], x x < δ(ε) esetén f(x ) f(x ) < ε b. Legyen P olyn, hogy P < δ(ε), kkor n n Ī Ī O(f, P ) = (M i m i ) x i = (f(x i) f(x i )) x i < ε. i= i= (Itt felhsználtuk, hogy f folytonosság mitt x i, x i M i = f(x i ), m i = f(x i ).) [x i, x i ], hogy 6. Tétel. Egy f : [, b] R monoton függvény Riemnn-integrálhtó. Bizonyítás. ) H f() = f(b) = f(x) C = z állítás igz. 44

45 ε b) H f() f(b), kkor ε > 0 esetén olyn P -re, hogy P < f(b) f() (felhsználv például monoton növekvő f függvény esetén, hogy m i = f(x i ), M i = f(x i )) kpjuk, hogy n n Ī Ī O(f, P ) = (M i m i ) x i = [f(x i ) f(x i )] x i < < i= ε f(b) f() i= n [f(x i ) f(x i )] = ε, i= mi dj, hogy Ī = Ī zz f Riemnn-integrálhtó. 7. Tétel. H f : [, b] R Riemnn-integrálhtó [, b]-n, [c, d] [, b], kkor f Riemnn-integrálhtó [c, d]-n is. Bizonyítás. Legyen g z f [c, d]-re vló leszűkítése és P k [c, d] tetszőleges normális felosztássorozt. Ekkor [, b]-nek olyn Pk normális felosztássorozt, hogy Pk [c, d] = P k k N. Másrészt 0 O(g, P k ) O(f, Pk ) k N és f Riemnn-integrálhtóság mitt lim O(f, P k ) = 0, k melyek rendőr-tétel mitt dják, hogy lim O(g, P k) = 0. Így 4. tétel k dj, hogy g Riemnn-integrálhtó, zz f Riemnn-integrálhtó [c, d]-n. 8. Tétel (z integrál intervllum feletti dditivitás). Legyen f : [, b] R, c (, b), f Riemnn-integrálhtó [, c]-n és [c, b]-n, kkor f Riemnn-integrálhtó [, b]-n is, és f = c f + Bizonyítás. Legyen ε > 0 dott, g és h f [, c]-re, illetve [c, b]-re vló leszűkítése. A feltételek mitt g és h Riemnn-integrálhtók, így 3. tétel mitt P és P 2 felosztás [, c], illetve [c, b]-nek, hogy O(g, P ) < ε 2 és O(h, P 2 ) < ε 2. H P. = P P 2, úgy P [, b] egy felosztás, melyre O(f, P ) = O(g, P )+O(h, P 2 ) < ε, így 3. tétel mitt f Riemnn-integrálhtó [, b]-n. Az egyenlőség bizonyításához legyen Pk P k 2 [, c], illeteve [c, b] egy tetszőleges normális felosztássorozt, kkor P k = P. k Pk 2 esetén P k normális felosztássorozt [, b]-nek. Ekkor c f. ( ) σ(f, P k ). = σ(g, P k ) + σ(h, P 2 k ) 45

46 szerint definiált σ(f, P k ) egy integrálközelítő összeg sorozt f-nek [, b]-n, melyre lim σ(f, P k) = f teljesül (z integrál létezése mitt), így k lim σ(g, P k ) = c f és lim σ(h, P k 2) = b f mitt ( )-ból kpjuk tétel k k c egyenlőségét. Következmény. Legyen f : [, b] R és P = { = 0,,..., n, n = b} egy felosztás [, b]-nek. H f Riemnn-integrálhtó [ i, i ] intervllumon, kkor Riemnn-integrálhtó [, b]-n és n i f(x) dx = f(x) dx i i= Bizonyítás. A 8. tétel felhsználásávl és teljes indukcióvl zonnl kpjuk z állítást. 9. Tétel. H f : [, b] R korlátos és c, d (, b), c < d esetén f Riemnn-integrálhtó [c, d]-n, kkor Riemnn-integrálhtó [, b]-n is. Bizonyítás. A Riemnn-kritérium segítségével bizonyítunk. Legyen ε > 0 tetszőlegesen dott és K olyn, hogy f(x) < K x [, b]. c, d (, b)-t válsszuk úgy, hogy c < d és c = b d < ε 8K. Legyen P olyn felosztás [c, d]-nek, hogy O(g, P ) < ε (hol g z f [c, d]-re vló 2 leszűkítése). Ekkor P =. P {, b} olyn felosztás [, b]-nek, hogy O(f, P ) < 2K(c ) + O(g, P ) + 2K(b d) < ε, mi Riemnn-kritérium mitt dj, hogy f Riemnn-integrálhtó [, b]-n. 0. Tétel. Legyenek f, g : [, b] R korlátos függvények, hogy f(x) = g(x) véges sok x [, b] kivételével. H f Riemnn-integrálhtó, kkor g is és f = g. Bizonyítás. Legyen H = {x f(x) g(x)} és P olyn felosztás [, b]-nek, hogy H P. A 7. tétel mitt f Riemnn-integrálhtó P részintervllumán, de kkor 9. tétel mitt g is, és kkor 8. tétel következménye mitt kpjuk g Riemnn-integrálhtóságát [, b]-n. Az egyenlőség bból jön, 46

47 hogy h P k z [, b] egy normális felosztássorozt, kkor t k i [xk i, xk i ] pontokt válszthtjuk úgy, hogy f(t k i ) = g(tk i ) i-re és k-r, mi dj, hogy ekkor σ(f, P k ) = σ(g, P k ), melyből htárátmenettel, 2. tétel mitt f = g következik.. Tétel. Legyen f : [, b] R korlátos függvény, H [, b] véges hlmz. H f folytonos [, b]\h-n, kkor Riemnn-integrálhtó. Bizonyítás. H P [, b] olyn felosztás, hogy H P, úgy f P részintervllumink belsejében folytonos és ezért zok részén Riemnn-integrálhtó, így 9. tétel mitt P részintervllumin és végül 8. tétel következménye mitt [, b]-n is. 2. Tétel (Lebesgue-kritérium). Az f : [, b] R korlátos függvény kkor és csk kkor Riemnn-integrálhtó, h egy Lebesgue szerint nullmértékű hlmztól eltekintve folytonos. (H R Lebesgue szerint nullmértékű, h ε > 0-hoz {( n, b n ) n N} intervllumrendszer, hogy H ( n, b n ) és (b n n ) < ε.) n= n= 5. Középiskoli vontkozások, példák ) H f : [, b] R folytonos, úgy Riemnn-integrálhtó, zz Ī = Ī. Az [, b] egyenlő részekre osztásávl nyert P k normális felosztássorozt, mert P k = b 0. Így Drboux-tétel következménye mitt: k lim s(f, P k) = Ī = Ī = lim S(f, P k), k k így középiskolábn dott integrál definíció Riemnn-integrálll megegyező eredményt d. b) Tételeink lpján egy Riemnn-integrálhtó függvény Riemnn-integrálját P k normális felosztássorozthoz trtozó s(f, P k ), S(f, P k ), vgy σ(f, P k ) sorozt htárértéke megdj. 47