Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Átírás

1 EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza.

2 EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye van az x o D helyen, ha f(x o ) = 0. Megjegyzés: A matematikai problémák jelentős része visszavezethető függvények zérushelyeinek megkeresésére.

3 EL 3 Definíció: korlátosság Az f:d R függvény felülről [alulról] korlátos, ha az értékkészlete (mint R részhalmaza) felülről [alulról] korlátos. Értelemszerűen definiálható a pontos felső korlát (sup) és a pontos alsó korlát (inf) fogalma is.

4 EL 4 Definíció: monotonitás Az f:d R függvény ha a x 1,x 2 D, x 1 <x 2 monoton növekvő monoton csökkenő szigorúan monoton növekvő szigorúan monoton csökkenő f(x 1 ) < f(x 2 ). >

5 EL 5 Példák: Sebességfüggvény Fogyasztási függvény

6 EL 6 Definíció: szélsőérték Az f:d R függvénynek maximuma [minimuma] van az x 0 D helyen, ha f(x 0 ) az f értékkészletének legnagyobb [legkisebb] eleme.

7 EL 7 Definíció: helyi (lokális) szélsőérték Az f:d R függvénynek helyi maximuma [minimuma] van az x 0 D helyen, ha x 0 -nak van olyan U környezete, melyben az f függvénynek maximuma [minimuma] van az x 0 helyen.

8 EL 8 Példa: Sebességfüggvény Megjegyzés: A helyi szélsőérték-helyek a függvény különböző monotonitású szakaszait választják el egymástól

9 EL 9 Definíció: konvexitás Az f:i R függvény konvex [konkáv], ha az I intervallum bármely két u<v eleme esetén az (u,f(u)) és a (v,f(v)) pontokat összekötő szakasz (húr) az f függvény felett [alatt] halad.

10 EL 10 Definíció: inflexió Az f:d R függvénynek az x D helyen az inflexiós pontja van, ha van az x-nek olyan ]x-ε,x+ε[ környezete, hogy az f függvénynek az ]x-ε,x] intervallumon konvex [konkáv], míg az [x,x+ε[ intervallumon konkáv [konvex].

11 EL 11 Példa: Fogyasztási függvény A fogyasztási függvény konkáv. Ez azt fejezi ki, hogy a jövedelem növekedése esetén a fogyasztási kiadások egyre kisebb mértékben növekednek, azaz a növekedés üteme csökken.

12 Definíció: paritás EL 12 Legyen a D R halmaz szimmetrikus az origóra. Az f:d R függvény páros [páratlan], ha bármely x D esetén f(-x) = f(x) [ f(-x) = -f(x) ]. Megjegyzés: A páros függvények grafikonja tengelyesen szimmetrikus a függőleges tengelyre, a páratlan függvények grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra.

13 Definíció: periódus EL 13 Az f:r R függvényt periodikusnak nevezzük, ha van olyan pozitív p szám, melyre teljesül, hogy bármely x R esetén f(x+p)=f(x). Ha az f függvény periodikus, és a definícióban meghatározott tulajdonságú p értékek halmazának van legkisebb eleme, akkor ezt a számot az f függvény periódusának nevezzük.

14 (Pontonkénti) műveletek R R függvényekkel Definíció: összeadás EL 14 Az f:d R és a g:d R függvények összege az az (f+g):d R függvény, melyre: ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )

15 EL 15 Definíciók: kivonás, szorzás, osztás ( f g )( x ) = f ( x ) g ( x ) ( f g )( x ) = f ( x ) g ( x ) ( f / g )( x ) = f ( x ) / g ( x ) (ha 0 R g )

16 EL 16 Definíció: folytonosság Az f:[a,b] R f függvény folytonos az x 0 [a,b] helyen, ha bármely (x n ):N D f, x n x 0 sorozat esetén az f(x n ):N R f sorozatra fennáll, hogy Megjegyzés: f ( x n ) f ( x 0 ). A folytonosság pontbeli tulajdonság.

17 EL 17 Példa: Az f(x)=x 2 függvény folytonos az x 0 =3 helyen, mert ha akkor x n 3, f(x n ) = (x n ) 2 9 = f(3)

18 EL 18 Definíció: jobb oldali folytonosság Az f:]a,b[ R függvény jobbról folytonos az x 0 ]a,b[ helyen, ha az f függvény [x 0,b[ intervallumra való leszűkítése folytonos az x 0 helyen.

19 EL 19 Definíció: bal oldali folytonosság Az f:]a,b[ R függvény balról folytonos az x 0 ]a,b[ helyen, ha az f függvény ]a,x 0 ] intervallumra való leszűkítése folytonos az x 0 helyen.

20 EL 20 Példa: Ez a függvény mindenhol folytonos balról. Tétel: Az f:]a,b[ R függvény folytonos az x 0 ]a,b[ helyen f balról és jobbról is folytonos az x 0 helyen.

21 EL 21 Definíció: Az f:i R függvény folytonos az I intervallumon, ha folytonos az I minden pontjában.

22 EL 22 Folytonos függvények néhány tulajdonsága Tétel: Ha az f:[a,b] R függvény folytonos az [a,b] zárt intervallumon, akkor az [a,b] intervallumon van maximuma és van minimuma

23 EL 23 Megjegyzés: Nyílt intervallumon folytonos függvény nem feltétlenül korlátos, illetve ha korlátos, akkor sincs feltétlenül maximuma, illetve minimuma.

24 EL 24 Tétel: Ha az f:[a,b] R függvény folytonos [a,b]-n, akkor az értékkészlet bármely c,d R f, c<d elemei esetén a [c,d] R f. Vagyis: zárt intervallumon folytonos függvény bármely két értéke közötti értékek mindegyikét felveszi.

25 EL 25 Következmény: Ha az f:[a,b] R függvény folytonos az [a,b] intervallumon, továbbá az f(a) és az f(b) függvényértékek előjele különböző, akkor az f függvénynek van zérushelye az ]a,b[ intervallumban.

26 Függvények határértéke EL 26 Megjegyzés: MENNYI A R - + a R??? HOL -??? +??? Míg a számsorozatok esetén a határérték csak egyféleképpen érthető (n ), addig egy függvény határértéke az értelmezési tartomány bármely torlódási pontjában megkérdezhető.

27 EL 27 Definíció: határérték valós helyen ( végesben ) Legyen W R {-, + }. Az f:d R függvény D f értelmezési tartományának a torlódási pontjában az f függvény határértéke W, ha bármely (x n ) D f,x n a sorozat esetén, melyre fennáll, hogy x n a f(x n ) W Jelölés: limf (x) = x a W

28 EL 28 Példa: lim x 0 1 x 2 = +

29 EL 29 Példa: limx 2 x 3 = 9

30 Példa: lim x 3 x 3x x = lim x 3 x 2 (x 3) x 3 = lim x x 3 2 EL 30 = 9 hézagpont

31 EL 31 Definíció: bal oldali határérték Legyen W R {-, + }. Az f:d R függvény D f értelmezési tartományának a torlódási pontjában az f függvény bal oldali határértéke W, ha bármely (x n ) D f, x n <a (n N) sorozat esetén, melyre fennáll, hogy x n a f(x n ) W Jelölés: lim f (x) = x a 0 W

32 EL 32 Példa: lim x 2 x 3 0 = 9

33 EL 33 Definíció: jobb oldali határérték Legyen W R {-, + }. Az f:d R függvény D f értelmezési tartományának a torlódási pontjában az f függvény jobb oldali határértéke W, ha bármely (x n ) D f, x n >a (n N) sorozat esetén, melyre fennáll, hogy x n a f(x n ) W Jelölés: lim f (x) = x a + 0 W

34 EL 34 Példa: lim x 2 x 3+ 0 = 9

35 EL 35 Példák: 1 1 lim = lim = + x 0 0 x x 0+ 0 x lim x x 2 = + lim x x 2 = + lim x 0 1 x 2 = +

36 EL 36 Példák: lim f (x) = 0 lim f (x) = x 0 0 x /8 lim f (x) = x lim f (x) = x / 8

37 EL 37 Definíció: határérték + -ben Legyen W R {-, + }. Az f:]a,+ [ R függvénynek a + -beli határértéke W, ha bármely (x n ) ]a,+ [ sorozat esetén, melyre x n + fennáll, hogy f(x n ) W Jelölés: lim f (x) x + = W

38 EL 38 Példa: lim arctg x x + = π 2

39 EL 39 Példa: lim x x + 2 = +

40 EL 40 Definíció: határérték - -ben Legyen W R {-, + }. Az f:]-,b[ R függvény + -beli határértéke W, ha bármely (x n ) ]-,b[ sorozat esetén, melyre x n - fennáll, hogy f(x n ) W Jelölés: lim f (x) x = W

41 EL 41 Példa: lim e = 0 x x

42 EL 42 Tétel: határérték és a műveletek kapcsolata Ha a R az f és a g függvények értelmezési tartományának egyaránt torlódási pontja, továbbá limf (x) x a A,B,c R, akkor = lim(f x a A + limg(x) x b g)(x) = A + = B B lim(f x a g)(x) = A B limc f (x) x a = c A

43 EL 43 Ha még g(x) 0 (x D g ), és B 0 is fennáll, akkor lim a f (x) g x = A B

44 EL 44 Megjegyzés: Ha két (véges, vagy végtelen) határértékkel rendelkező függvény között műveletet végzünk, de nem teljesülnek az előző tétel feltételei, például azért, mert legalább az egyik függvény határértéke végtelen, vagy két 0 határértékű függvényt osztottunk el, akkor előfordulhat az is, hogy pusztán a határértékek alapján meg lehet állapítani az új függvény határértékét, de az is, hogy ez nem lehetséges (ha van egyáltalán határérték). Az utóbbi eseteket szokás határozatlan alakú határérték-feladatnak nevezni. A következő táblázatban? jelöli a határozatlan eseteket. A! jel arra utal, hogy előjelvizsgálattal a határérték megállapítható. A többi esetben a határérték szerepel.

45 lim f lim g lim f+g lim f-g lim g-f lim f g lim f/g lim g/f A> A< A> A< ? 0! ? 0! + + +?? +?? + -? + - -?? - - -?? +??

46 EL 46 További határozatlan formák limf (x) x a = 0 limg(x) Ha és akkor x a = 0 a lim x a f (x) g(x) határérték-feladat határozatlan.

47 Ha limf (x) x a = 0 és limg(x) x a = 0 EL 47 vagy limf (x) x a = 1 és limg(x) x a = + vagy limf (x) x a = + és limg(x) x a = 0 akkor a x a [ ] g(x) lim f (x) határérték-feladat határozatlan.

48 EL 48 Tétel: határérték és a folytonosság kapcsolata Az f:[a,b] R függvény pontosan akkor folytonos az x 0 [a,b] helyen, ha f-nek létezik határértéke az x 0 helyen, és az egyenlő az f(x 0 ) függvényértékkel: lim f (x) = f (x 0 x x0 )

49 EL 49 Példa: lim x 2 x 3 = 9 = f (3)

50 Definíció: megszüntethető szakadás EL 50 Az f:]a,x 0 [ ]x 0,b[ R függvénynek megszüntethető szakadása van az x 0 ]a,b[ helyen, ha létezik a lim f (x) x x 0 = A határérték és a g(x) = f (x),ha x A,ha x = x x 0 0 függvény folytonos x 0 -ban.

51 EL 51 Példa: Az alábbi függvényeknek megszüntethető szakadása van.

52 EL 52 Példa: Az alábbi függvények szakadásai nem megszüntethető szakadások.