Matematika I. 9. előadás

Átírás

1 Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája Kovergecia az dimeziós Euklideszi térbe

2 Valós és komplex számsorozatok 2 Defiíció: sorozat Legye A. Az f:na függvéyeket az A halmaz elemeiből képzett sorozatokak evezzük. (N szokás szerit a természetes számok halmazát jelöli.) 1 f ( 1 ) 2 f ( 2 ) : f ( ) : 1 f 1 2 f 2 : f : Jelölések f = f() : az f sorozat -edik eleme (f ) : az f:na sorozat rövid jelölése

3 Valós és komplex számsorozatok 3 Defiíció: valós számsorozat Az (a ):NR sorozatokat valós számsorozatokak evezzük. Példa Az a = sorozat első 5 eleme: a 1 = 3, a 2 = 8, a 3 = 15, a 4 = 24, a 5 = 35

4 Valós és komplex számsorozatok 4 Számsorozatok ábrázolása Függvéyszerűe: Számegyeese:

5 Valós és komplex számsorozatok 5 Valós számsorozatok határértéke koverges sorozatok (a határérték egy valós szám) számsorozatok +-hez divergáló sorozatok (a határérték + ) diverges sorozatok --hez divergáló sorozatok (a határérték - ) egyéb diverges sorozatok (ics határérték)

6 Valós és komplex számsorozatok 6 Defiíció: koverges sorozat Az (a ) sorozat koverges, ha va olya A valós szám, hogy bármely pozitív eseté az A szám ] A -, A + [ köryezeté kívül a sorozatak legfeljebb csak véges sok eleme va. Az A valós számot a sorozat határértékéek evezzük. Jelölések a A a = A a A

7 Valós és komplex számsorozatok 7 Tétel Ha egy sorozat koverges, akkor a határértéke egyértelmű. (Azaz: em lehet több külöböző határérték.) Tétel: a kovergecia egy ekvivales megfogalmazása Az (a ) sorozat koverges, ha va olya A valós szám, melyre igaz a következő állítás: az A bármely U=]A-,A+[ köryezetéhez va olya o N szám (küszöbszám), hogy az o -adik elemtől kezdődőe (azaz ha o ) a sorozat mide eleme U-ba va.

8 Valós és komplex számsorozatok 8 Tétel: a kovergecia egy ekvivales megfogalmazása Az (a ) sorozat koverges, ha va olya A valós szám, melyre igaz a következő állítás: bármely > 0 számhoz létezik olya o N, hogy ha o, akkor a A <.

9 Valós és komplex számsorozatok 9 Megjegyzés A kovergecia feti megfogalmazásaiak ekvivaleciája köye belátható, ha észrevesszük, hogy az alábbi három feltétel ugyaazt jeleti: a ] A-, A+ [ A- < a < A+ a A <

10 Valós és komplex számsorozatok 10 Példa Igazoljuk, hogy 1 0 A kovergecia harmadik ekvivales megfogalmazása szerit ehhez azt kell kimutati, hogy ha elég agy, akkor az a 0 eltérés bármilye kicsi pozitív számál is kisebb lesz. Ez igaz, hisze a 0 < 1/ 0 < 1/ < > 1/ Például: = 0,002 eseté o = 501 megfelel küszöbszámak

11 Valós és komplex számsorozatok 11 Defiíció: +-hez divergáló sorozatok Az (a ) sorozat +-hez divergál, ha bármely KR szám eseté a sorozatak legfeljebb csak véges sok, K-ál kisebb eleme va. Jelölések a a + a

12 Valós és komplex számsorozatok 12 Tétel: egy ekvivales megfogalmazás Az (a ) sorozat +-hez divergál, ha bármely KR számhoz va olya o N szám (küszöbszám), hogy az o -adik elemtől kezdődőe (azaz ha o ) a sorozat mide eleme K-ál agyobb vagy egyelő.

13 Valós és komplex számsorozatok 13 Példa 2 = + Idoklás: a = 2 > K, ha > log 2 K Például: K=1000 eseté o =10 megfelel küszöbszámak

14 Valós és komplex számsorozatok 14 Defiíció: --hez divergáló sorozatok Az (a ) sorozat --hez divergál, ha bármely KR szám eseté a sorozatak legfeljebb csak véges sok, K-ál agyobb eleme va. Jelölések a a a Példa (-2 ) = - Megjegyzés Vigyázat: (-2 ) és (-2) em ugyaazt jeleti!

15 Valós és komplex számsorozatok 15 Megjegyzés A határérték a sorozat végéek jellemzője: ha az (a ) sorozatak va határértéke, akkor az (a ) véges sok eleméek megváltoztatásával keletkező sorozatak is ugyaayi a határértéke.

16 Valós és komplex számsorozatok 16 Néháy evezetes koverges sorozat q 1 2 q 0,ha 1,ha,ha,ha 1 q 1 q 1 q 1 q 1 q 1 2 q = (1) q = (-1) q = (-2)

17 Valós és komplex számsorozatok 17 c 1 (c 0) e 2,718 e: az Euler szám, értéke közelítőleg 2,718

18 Valós és komplex számsorozatok 18 Tétel: a határérték és a műveletek kapcsolata Ha az (a ) és a (b ) sorozatok kovergesek, továbbá a = A, b = B (A,BR) és cr, akkor az (a +b ), az (a b ) és a (ca ) sorozatok is kovergesek, és ( a + b ) = A + B ( a b ) = A B ( c a ) = c A Továbbá ha b 0 ( N), és B 0, akkor az (a /b ) sorozat is koverges és ( a / b ) = A / B

19 Valós és komplex számsorozatok 19 Megjegyzés Ha két (véges, vagy végtele) határértékkel redelkező sorozat között műveletet végzük, de em teljesülek az előző tétel feltételei, például azért, mert legalább az egyik sorozat határértéke végtele, vagy két 0 határértékű sorozatot osztottuk el, akkor előfordulhat az is, hogy pusztá a határértékek alapjá meg lehet állapítai az új sorozat határértékét, de az is, hogy ez em lehetséges (ha va egyáltalá határérték). Az utóbbi eseteket szokás határozatla alakú határérték-feladatak evezi. A következő táblázatba? jelöli a határozatla eseteket. A! jel arra utal, hogy előjelvizsgálattal a határérték megállapítható. A többi esetbe a határérték szerepel.

20 Valós és komplex számsorozatok 20 a b a +b a - b b -a a b a /b b /a A> A< A> A< ? 0! ? 0! + + +?? +?? + -? + - -?? - - -?? +??

21 Valós és komplex számsorozatok 21 A következő tételbe szereplő állításokat gyakra kell alkalmazi a számolásokba. Tétel Ha a 0 és a >0, N, akkor 1 a Ha a 0 és a <0, N, akkor 1 a Ha a + vagy a -, akkor 1 a 0

22 Valós és komplex számsorozatok 22 További, gyakra előforduló határozatla formák A a b határérték-feladat határozatla, ha a 0 és b 0. A b (a ) határérték-feladat határozatla az alábbi esetekbe: a 0 és b 0 a 1 és b + a + és b 0

23 Valós és komplex számsorozatok 23 Példa: egy határozatla feladat megoldása A határérték-feladat +/+ típusú, így határozatla. A feladat megoldható az alábbi techikával, melyek léyege, hogy a a tört számlálóját és evezőjét elosztjuk az -ek a evezőbe szereplő legagyobb hatváyával (itt 2 -tel):

24 Valós és komplex számsorozatok 24 A határérték és a redezés kapcsolata Tétel Ha a A, b B és a b, N A B Tétel: redőr elv Ha a A, b A és a c b, N c A Példa si? 1 si 1-1 si 1 si 0 0 0

25 Valós és komplex számsorozatok 25 A határérték és a redezés kapcsolata Tétel Ha a + és a b, N b + Tétel Ha b - és a b, N a -

26 Valós és komplex számsorozatok 26 Defiíció: mootoitás Az (a ) sorozat mooto övekvő szigorúa mooto övekvő mooto csökkeő szigorúa mooto csökkeő ha < m a < > a m

27 Valós és komplex számsorozatok 27 Példa a = sorozat szigorúa mooto övekvő a =1/ sorozat szigorúa mooto csökkeő

28 Valós és komplex számsorozatok 28 Defiíció: korlátosság Az (a ):NR sorozat alulról korlátos felülről korlátos korlátos ha az értékkészlete ugyaolya értelembe korlátos. Defiíció Az értékkészlet felső, alsó, potos felső, potos alsó korlátja a sorozatak ugyaolya korlátja.

29 Valós és komplex számsorozatok 29 Példa a = sorozat potos alsó korlátja: 1 felülről em korlátos a =1/ sorozat potos alsó korlátja: 0 potos felső korlátja: 1

30 Valós és komplex számsorozatok 30 Tétel: összefüggések a tulajdoságok között 1. Mooto övekvő sorozat első eleme egybe a sorozat potos alsó korlátja. 2. Mooto övekvő koverges sorozat határértéke egybe a sorozat potos felső korlátja. 3. Mooto csökkeő sorozat első eleme egybe a sorozat potos felső korlátja. 4. Mooto csökkeő koverges sorozat határértéke egybe a sorozat potos alsó korlátja.

31 Valós és komplex számsorozatok 31 Tétel: összefüggések a tulajdoságok között 1. Koverges sorozat korlátos. 2. Mooto övekvő, felülről korlátos sorozat koverges. 3. Mooto csökkeő, alulról korlátos sorozat koverges.

32 Valós és komplex számsorozatok 32 Defiíció: torlódási pot Az AR szám egy sorozat torlódási potja, ha az A bármely köryezete a sorozat végtele sok elemét tartalmazza. (Itt az elemek értéke em feltétleül külöböző, így a sorozat torlódási potja em feltétleül torlódási potja az értékkészletek, mit halmazak!) Megjegyzés Koverges sorozatak potosa egy torlódási potja va: a határértéke.

33 Valós és komplex számsorozatok 33 Példa Az a = (-1) ( 2 + 1/ ) sorozatak két torlódási potja va: -2 és 2 Példa Az a = si(/2) + (1/) sorozatak három torlódási potja va: -1, 0 és 1

34 Valós és komplex számsorozatok 34 Defiíció: felső határérték (esz szuperior) Az (a ) sorozat felső határértéke (esz szuperiorja): az (a ) torlódási potjai halmazáak szuprémuma. Speciálisa: ha va a torlódási potok között legagyobb, akkor ez egyelő a esz szuperiorral. Jelölések a sup a Defiíció: alsó határérték (esz iferior) Az (a ) sorozat alsó határértéke (esz iferiorja): az (a ) torlódási potjai halmazáak ifiuma. Speciálisa: ha va a torlódási potok között legkisebb, akkor ez egyelő a esz iferiorral. Jelölések a if a

35 Valós és komplex számsorozatok 35 Tétel Ha az (a ) sorozat koverges, akkor a a a Idoklás: Ha az (a ) sorozat koverges, akkor potosa egy torlódási potja va: a határértéke, ami egybe a legagyobb és a legkisebb torlódási pot is.

36 Valós és komplex számsorozatok 36 Komplex számsorozatok Defiíció: komplex számsorozat Az (z ):NC sorozatokat komplex számsorozatokak evezzük.

37 Valós és komplex számsorozatok 37 Megjegyzés Egy (z ):NC komplex számsorozat azoosítható két valós számsorozattal: a valós részek (a ):NR és a képzetes részek (b ):NR sorozatával. Példa A z = a + b i = 2 + 2i sorozat első 4 eleme: z 1 = 1 + 2i, z 2 = 4 + 4i, z 3 = 9 + 6i, z 4 = i

38 Valós és komplex számsorozatok 38 Defiíció: koverges komplex számsorozatok A (z ) komplex számsorozat koverges, ha va olya z komplex szám, melyek bármely G(z,r) köryezeté kívül a sorozatak legfeljebb csak véges sok eleme va. A z komplex számot a sorozat határértékéek evezzük. Jelölések z Z z = Z z Z

39 Valós és komplex számsorozatok 39 Tétel Egy komplex számsorozat potosa akkor koverges, ha a valós és a képzetes részekből álló sorozatok kovergesek: A z = a + b i jelölés mellett: z Z = A+B i a A b B Példa i i 3 2i

40 Valós és komplex számsorozatok 40 Potsorozatok (vektorsorozatok) határértéke Defiíció Az (x k ):NR alakú függvéyeket szám -esek sorozatáak, vektorsorozatak, vagy potsorozatak evezzük. Példa: R 2 -beli sorozat x k = ( 3k - 4, k 2 - k ), k=1,2, x 1 = ( -1, 0 ) x 2 = ( 2, 2 ) x 3 = ( 5, 6 )

41 Valós és komplex számsorozatok 41 Defiíció: potsorozat kovergeciája Egy (P k ):NR sorozat koverges, ha va olya AR elem melyek bármelyik G(A,r) köryezeté kívül a sorozatak legfeljebb csak véges sok eleme va. Az A elemet a sorozat határértékéek evezzük. Jelölések k P k A P k = A P k A

42 Valós és komplex számsorozatok 42 Tétel Egy (P k ):NR sorozat potosa akkor koverges, ha a koordiáta-sorozatai kovergesek. Továbbá, ha P k koverges, akkor a határértékéek koordiátái egyelők a koordiátasorozatok határértékeivel: P k = ( x k (1), x k (2),, x k () ) A = ( A 1, A 2,, A )

43 Valós és komplex számsorozatok 43 k 1 k 1 k k 4 1, 2 7k 5 3k, 2, k 1 5 x 2 7 3, ,1, 4 1, 2 7k 5 3k, 2, k 1 5 k 1 k 1 k k Példa