képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

Átírás

1 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve a egatív számokat. Újabb mérföldkövet jeletett az irracioális szám fogalma, illetve ehhez kapcsolódóa a valós szám fogalmáak fokozatos kialakulása. Ezek a számkörbővítések midig azt is jeletették, hogy egy olya művelet, amely addig csak speciális estbe volt elvégezhető, a bővítés utá általáosa elvégezhetővé vált. Pl. a kivoás a természetes számok között csak akkor végezhető el, ha a kisebbítedő agyobb vagy egyelő mit a kivoadó, a egatív számok bevezetésével azoba a kivoás mide esetbe elvégezhetővé válik. Hasoló a helyzet az osztással, és a törtek bevezetésével. 1 A valós számok körébe a gyökvoás művelete korlátozott, hisze csak emegatív számokból tuduk égyzetgyököt voi. A komplex számok bevezetése utá a egatív számokból is lehetővé válik a égyzetgyökvoás. Jelölés: A komplex számok jelölésére gyakra haszáljuk a z-t, illetve aak idexes változatait, z 2, stb.). A komplex számok at a sík potjaival, illetve a potok helyvektoraival tudjuk szemlélteti. y z x A komplex számok ábrázolására haszált síkot szokás komplex számsíkak, illetve Gauss-féle számsíkak evezi. Mivel a sík potjait és azok helyvektorait) egy valós számokból álló számpárral tudjuk leíri, a komplex számok is leírhatók egy ilye számpárral: z=a, b). Az első számot a komplex szám valós reális) részéek evezzük, a második számot a komplex szám képzetes imagiárius) részéek. 2 Jelölés: a=rez, b=imz. Eek megfelelőe a Gauss-féle számsík tegelyeiek jelölésére em a fet haszált) x-et és y-t szokás haszáli. Az első tegelyt valós tegelyek, a másodikat képzetes tegelyek evezzük. A komplex számokal való műveletek elvégzéséek megköyítésére a z = a, b) komplex szá- 1 Bár a 0-val továbbra sem lehet osztai. 2 Tehát a komplex szám képzetes része is valós szám. Készítette: Vajda Istvá 89

2 mot szokás z=a+bj alakba íri. 3 Ezt a komplex szám algebrai, illetve kaoikus alakjáak evezzük. A képletbe szereplő j eve képzetes egység. Eek égyzete j 2 = 1. b = Imz képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakba megadott komplex számokkal A = a 1 + b 1 j és z 2 = a 2 + b 2 j komplex számok összegé az a 1 + a 2 )+b 1 + b 2 ) j komplex számot, külöbségé az a 1 a 2 )+b 1 b 2 ) j értjük. Megjegyzések: Tehát az összeget úgy kapjuk, hogy a valós részt a valós résszel, a képzetes részt a képzetes résszel adjuk öszze. Hasoló a szabály a kivoás eseté is. A vektorral való ábrázolás itt külööse szerecsés, mert a két művelet a megfelelő vektorműveletek felel meg. A kivoás a komplex számok közébe is az összeadás iverz művelete, hisze a z= z 2 külöbség a z 2 + z= egyelet megoldása. képzetes t. z = + z 2 z 2 valós t. Példák: 2+3j ) + 5+6j ) = 7+9j 2+ j ) + 3+4j ) = 1+5j 2 3j ) + 5 4j ) = 3 7j 3 Ehelyett a matematika köyvek általába a z=a+bi alakot haszálják. Mi a villamosságta, illetve fizika tatárgyakkal való egységesség miatt haszáljuk a feti jelölést. Készítette: Vajda Istvá 90

3 9+11j ) 3+6j ) = 6+5j 1+4j ) 3 2j ) = 4+6j 1 3j ) 3 2j ) = 4 j A = a 1 + b 1 j és z 2 = a 2 + b 2 j komplex számok szorzatá az a 1 a 2 b 1 b 2 )+a 1 b 2 + a 2 b 1 ) j komplex számot értjük. Megjegyzés: A szorzás eredméye a szokásos disztributív szabály 4 alkalmazásával adódik, ha felhaszáljuk még, hogy j 2 = 1. Példák: 2+3j ) 5+6j ) = 10+12j+15j+18j 2 = 10+12j+15j 18= 8+27j 3 2j ) 4+3j ) = 12+9j 8j 6j 2 = 12+9j 8j+6=18+ j 2 j ) 1 5j ) = 2+10j j+5j 2 = 2+10j j 5= 7+9j Ha z = z 2 és háyadosa: z= z 2. 0, akkor z a z 2 és komplex számok Megjegyzés: Az osztást tehát a szokásos módo a szorzás iverz műveletekét defiiáljuk. Hogya osztjuk el az egyik komplex számot a másikkal, ha algebrai alakba vaak megadva? z 2 = a 2+ b 2 j a 1 + b 1 j = Példák: 2+3j 3+5j = a2 + b 2 j ) a 1 b 1 j ) a1 + b 1 j ) a 1 b 1 j )=a 2a 1 a 2 b 1 j+a 1 b 2 j b 2 b 1 j 2 a 2 1 b2 1 j2 = = a 1a 2 + b 1 b 2 )+a 1 b 2 a 2 b 1 ) j = a 1a 2 + b 1 b 2 + a 1b 2 a 2 b 1 j a 2 + b 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2 ) ) 2+3j 3 5j ) )= 6 10j+9j j 3 5j 9+25 ) ) 4 j 4 j 1+2j 1 2j = ) )= 1 2j 1+2j 4 Tagokét való szorzás. 4+8j+ j = 21 j 34 = 2+9j 5 = j = j Készítette: Vajda Istvá 91

4 A z 2 = a 2+ b 2 j a 1 + b 1 j osztást tehát úgy tudjuk elvégezi, hogy bővítjük a törtet az a 1 b 1 j kifejezéssel, amit úgy kaptuk, hogy a tört evezőjébe levő összeadást kivoásra változtattuk. Az a bj komplex számot a z=a+bj komplex szám kojugáltjáak evezzük. Jelölés: z A evező kojugáltjával való bővítés azért segít az osztás elvégzésébe, mert a komplex számot a kojugáltjával megszorozva midig valós számot kapuk: z z= a+bj ) a bj ) = a 2 + b 2 y a z = a + bj a b x Megjegyzés: Az ábráról leolvasható, hogy z z=a 2 + b 2 a derékszögű háromszög átfogójáak, azaz a komplex számot ábrázoló vektor hosszáak égyzete. A z komplex számot ábrázoló vektor hosszát a komplex szám abszolút értékéek evezzük. Jelölés: z. A fetiekből adódik a következő összefüggés: z 2 = z z=a 2 + b 2 Készítette: Vajda Istvá 92

5 Bármely és z 2 komplex számok eseté igazak a következő összefüggések: + z 2 = + z 2 z 2 = z 2 z 2 = z 2 ) z1 = z 2 z 2 A pozitív egész kitevőjű hatváy értelmezése a komplex számok körébe aalóg a valós számok körébe taultakkal: Ha pozitív egész, akkor z komplex szám -edik hatváyá a z = z z... z } {{ } komplex számot értjük. szer Bármely z komplex és pozitív egész szám eseté: z = z) Feladat: Határozzuk meg a j 2006 hatváy értékét! Megoldás: j 1 = j, j 2 = 1, j 3 = j, j 4 = 1, j 5 = j,... Észrevehetjük, hogy a j szám hatváyai periodikusa ismétlődek. Egy periódus 4 egymást követő hatváyból áll ot 4-gyel osztva a háyados 501, a maradék 2. Így j 2005 = j 1 = j és j 2006 = j 2 = 1. Készítette: Vajda Istvá 93

6 5.3. A komplex szám trigoometrikus és expoeciális alakja A komplex számot a Gauss-féle számsíko ábrázoló pot helyzete megadható aak úgy evezett polárkoordiátáival is, azaz a pot origótól mért r távolságával és azzal a ϕ söggel, amit a potba mutató helyvektor az x tegely pozitív iráyával bezár. y b r z = a + bj ϕ x a Mivel a=r cosϕ és b=r siϕ a z komplex szám alakba írható. z=a+bj=r cosϕ+ jr siϕ=r cosϕ+ j siϕ ) A komplex szám z=r cosϕ+ j siϕ ) alakját trigoometrikus alakak evezzük. Megjegyzések: A trigoometrikus alakba szereplő r szorzótéyező a komplex szám abszolút értéke, azaz r= z. A komplex szám trigoometrikus alakjába szereplő ϕ szög iráyszög, argumetum) em egyértelmű, hisze az egymástól a teljesszög 360 ) egésszámú többszörösébe eltérő szögek ugyaazt az iráyt határozzák meg. A z=a+bj=r cosϕ+ j siϕ ) komplex számot szokás z=re jϕ alakba is felíri. A komplex szám z=re jϕ alakját expoeciális alakak evezzük. Megjegyzés: Az expoeciális alakba a ϕ szögek csak az ívmértékbe radiába) megadott értéke haszálható. Készítette: Vajda Istvá 94

7 Trigoometrikus alakba megadott komplex szám átírása algebrai alakba, illetve algebrai alakba megadott komplex szám átírása trigoometrikus alakba A trigoometrikus alakba megadott komplex szám algebrai alakjáak meghatározása a szögfüggvéyek értékéek behelyettesítésével és egyszerűbb alakra hozással adódik. Példa: Ha z=4 cos 30 + j si 30 ), akkor z= j 1 2) = 2 3+2j 3, 464+2j Algebrai alakba megadott komplex szám trigoometrikus alakjáak meghatározása: Meghatározzuk a komplex szám abszolút értékét: r= z = a 2 + b 2. Meghatározzuk a komplex szám egy iráyszögét. Itt a tgϕ = b összefüggés mellett a figyelembe kel vei, hogy a komplex szám melyik síkegyedbe helyezkedik el. r ésϕfelhaszálásával felírjuk a trigoometrikus alakot. Példák: Ha z= 3+5j, akkor r= z = 9+25= 34 5, 831, tgϕ= 5 3 ϕ 59, 04 + k 180, ahol k Z. 5 Ha a komplex számot ábrázoljuk a Gauss-féle számsíko, akkor látjuk, hogy képe a második egyedbe található, ezért iráyszögek választhatjuk pl. aϕ 59, = 120, 96 szöget. A keresett trigoometrikus alak: z 5, 831 cos 120, 96 + j si 120, 96 ). A komplex szám expoeciális alakja: z 5, 831e 2,11j Ha z= 4 6j, akkor r= z = 16+36= 52 7, 21, tgϕ= 3 = 1, 5 ϕ 2 56, 31 + k 180, ahol k Z. A komplex szám képe a harmadik egyedbe helyezkedik el, ezértϕ 236, 31. Tehát z 7, 21 cos 236, 31 + j si 236, 31 ). A komplex szám expoeciális alakja: z 7, 21e 4,12j 5 A tg függvéy periódusa 180. Készítette: Vajda Istvá 95

8 Műveletek trigoometrikus és expoeciális alakba Ha = r 1 cosϕ1 + j siϕ 1 ) és z2 = r 2 cosϕ2 + j siϕ 2 ), akkor z 2 = r 1 r 2 cos ϕ1 +ϕ 2 ) + j si ϕ1 +ϕ 2 )) és z 2 0 eseté z 2 = r 1 r 2 cos ϕ1 ϕ 2 ) + j si ϕ1 ϕ 2 )) Megjegyzések: Tehát a komplex számok szorzásáál az abszolút értékek összeszorzódak, az iráyszögek összeadódak. A komplex számok háyadosáak abszolút értéke az eredeti komplex számok abszolút értékeik háyadosa, iráyszöge az eredeti komplex számok iráyszögéek külöbsége. Az összeadás és a kivoás elvégzésére a trigoometrikus alak em alkalmas, tehát ha ilye műveletet akaruk végezi, akkor a komplex számokat először átírjuk algebrai alakba. Ha = r 1 e ϕ 1 j és z 2 = r 2 e ϕ 2 j, akkor illetve z 2 0 eseté z 2 = r 1 r 2 e ϕ 1 +ϕ 2 )j z 2 = r 1 r 2 e ϕ 1 ϕ 2 )j Megjegyzések: Ez a tétel az előző tétel expoeciális alakkal törtéő megfogalmazása. Készítette: Vajda Istvá 96

9 A tétel összhagba va az azoos alapú hatváyok szorzásáról, illetve osztásáról szóló hatváyozás azoosságokkal. Példák: Ha = 3 cos j si 120 ) és z 2 = 4 cos 35 + j si 35 ), akkor z 2 = 12 cos j si 155 ) = 12e 31π 36 j = 3 cos 85 + j si 85 ) = 3 z e 17π 36 j Ha = 6 cos j si 261 ) és z 2 = 11 cos j si 312 ), akkor z 2 = 66 cos j si 573 ) = 66 cos j si 213 ) = 66e 71π 60 j = 6 z 2 11 cos 51 )+ j si 51 ) ) = 6 11 cos j si 309 ) = 6 11 e 103π 36 j Moivre-formula: Ha z=r cosϕ+ j siϕ ) és Z +, akkor z = r cos ϕ ) + j si ϕ )) Példa: Legye z=2 cos 41 + j si 41 ). Határozzuk meg 0 trigoometrikus és expoeciális alakját. Megoldás: 0 = 2 10 cos j si 410 ) = 1024 cos 50 + j si 50 ) = 1024e 5π 18 j Legye pozitív egész szám. A z komplex szám -edik gyöké az olya u komplex számot értjük, amelyre u = z. Készítette: Vajda Istvá 97

10 A z komplex számak potosa darab -edik gyöke va. Ha z trigoometrikus alakja z=r cosϕ+ j siϕ ), akkor -edik gyökei az u k = ) r cos ϕ+k j si ϕ+k 360 komplex számok, ahol k {0, 1, 2,..., 1} Megjegyzések: A valós számok halmazá a gyökvoás egyértelmű művelet volt, tehát egy valós számak midig potosa egy darab -edik gyöke volt. Ettől eltérőe a komplex számok körébe a gyökvoás többértékű művelet. A z komplex szám -edik gyökéek kiszámításáál felhaszáljuk az r abszolút érték - edik gyökét. Azoba a képletbe szereplő r az r szám valós számok halmazá vett egyetle) -edik gyökét jeleti. Az -edik gyök felírásába szereplő k szám valójába bármilye egész szám lehete, a z komplex számak azoba mégsics több -edik gyöke, mit amit már felírtuk. Ha a k 1 és k 2 egész számok külöbsége az szám egésszámú többszöröse, akkor r cos ϕ+k j si ϕ+k ) Pl.: u 0 = u, u 1 = u +1 stb. = r cos ϕ+k j si ϕ+k Ha a z komplex szám -edik gyökeit ábrázoljuk a Gauss-féle számsíko, akkor 3 eseté) a megfelelő potok egy szabályos -szög csúcsai. Példa: Határozzuk meg a z=8 cos j si 300 ) komplex szám köbgyökeit és ábrázoljuk őket a Gauss-féle számsíko! Megoldás: Jelöljük a megoldásokat u 0, u 1, u 2 -vel. u k = 2 cos k ) + j si k 360 = 3 = 2 cos k 120 )+ j si k 120 ) ), ahol k {0, 1, 2}, azaz u 0 = 2 cos j si 100 ), u 1 = 2 cos j si 220 ), u 2 = 2 cos j si 340 ). ) Készítette: Vajda Istvá 98

11 y u u 2 x u 1 Készítette: Vajda Istvá 99