Kevei Péter november 22.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kevei Péter. 2013. november 22."

Átírás

1 Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter ovember 22. 1

2 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség törvéyek Vektorváltozók Véletle változók traszformáltjai Várható érték Karakterisztikus függvéy Véletle változók kovergeciája Feltételes várható érték Cetrális határeloszlás-tétel Martigálok diszkrét időbe 71 2

3 Előszó A feladatgyűjteméy a Szegedi Tudomáyegyetem Matematika BSc szakos hallgatói számára tartott Valószíűségelmélet c. tárgyhoz készült. A heti égy óra előadáshoz csupá egy óra gyakorlat va, ezért külööse fotos az otthoi feladatmegoldás. Eek megköyítését célozza meg a jegyzet. Magyar yelve kevés olya valószíűségszámítás feladatgyűjteméy va, ami haszálható a Valószíűségelmélet tárgyhoz. Ilye a klasszikus Ötszerzős példatár, Bogár, Mogyoródi, Prékopa, Réyi, Szász: Valószíűségszá- mítási feladatgyűjteméy [3]. Ugyaakkor e feladatgyűjteméy sem fedi le teljese a jele példatár ayagát, hisze em mértékelméleti megközelítést haszál, így eseméyek mérhetősége, farokeseméyek kimaradak. Másrészt [3] sok olya témakört is tartalmaz, amivel itt em foglalkozuk; pl. elemi valószíűségszámítási példák, sztochasztikus folyamatok. A másik magyar yelvű feladatgyűjteméy az iterete elérhető Barczy, Pap: Valószíűségszámítás II. példatár [1], ami már felöleli a Valószíűségelmélet tárgy ayagát. A jele példatár és [1] ayaga agyjából megegyezik, az egyes témákból az egyik illetve másik tartalmaz több feladatot. A tárgyalt feladatok közül sok része a matematikai folklórak, de ahol tudtam feltütettem a forrást. Az említett két példatár mellett sok feladatot vettem át Billigsley [2] és Breima [4] köyvéből, éháy a Kolmogorov versey feladatai [5] közül való. Sok példa kutatásaim sorá merült fel, ezekél megadtam a hivatkozást (cikket vagy köyvet), illetve sok saját agyszüleméyem. A feladatok témák szerit vaak csoportosítva, mide téma elejé egy rövid elméleti összefoglaló található, melybe a szükséges defiíciók és főbb tételek, tulajdoságok szerepelek. Mide témába jó éháy feladat megoldása agyo részletese ki va dolgozva, egyes példákál pedig rövid útmutatás található. A feladatgyűjteméy írása a TÁMOP A/ Nemzeti Kiválóság Program című kiemelt projekt keretébe zajlott. A projekt az Európai Uió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfiaszírozásával valósul meg. 3

4 1. Mérhetőség Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-itegrál, véletle változók és eloszlásfüggvéyeik Az A halmazredszer σ-algebra az Ω alaphalmazo, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazredszer algebra, ha csak a véges uióra zárt. A µ halmazfüggvéy mérték, ha emegatív, em azoosa végtele és σ-additív A-. Valószíűségi mérték eseté µ(ω) = 1. A C halmazredszer félalgebra, ha zárt a metszetre és mide eleméek komplemetere előáll C-beli halmazok diszjukt uiójakét. Tetszőleges sok σ-algebra metszete σ-algebra. Ebből következik, hogy mide C halmazredszerhez va őt tartalmazó legszűkebb σ-algebra; ezt evezzük a C által geerált σ-algebráak. Jele: σ(c). Ha adott egy topológia, akkor a yitott halmazok által geerált σ-algebra a Borel-halmazok σ-algebrája. Az f : Ω R valós függvéy A-mérhető, ha mide B B Borelhalmazra f 1 (B) = {ω : f(ω) B} A. Az X valós függvéy akkor véletle változó, ha mérhető. Eloszlásfüggvéye F (x) = P{X x}. Egy függvéy akkor és csak akkor eloszlásfüggvéy, ha mooto övő, jobbról folytoos és F ( ) = 0, F ( ) = 1. A mérhetőséget elég geerátorredszere elleőrizi. A leggyakrabba haszált speciális esetek: f mérhető, ha mide x-re: f 1 ((, x]) A; f 1 ((, x)) A; f 1 ((x, )) A;.... Sőt elegedő csak racioális x- ekre megköveteli a feltételeket. Legye F mooto övő jobbról folytoos függvéy az egyeese és legye a < b eseté µ F ((a, b]) = F (b) F (a). Ezzel defiiáltuk µ F -et a C = {(a, b] : a < b } félalgebrá. Megmutatható, hogy µ F mérték C-. A kiterjesztési eljárás szerit µ F kiterjeszthető a B = σ(c) Borelhalmazoko defiiált mértékké. Ezt evezzük az F által idukált Lebesgue Stieltjes-mértékek, melyet µ F -el jelölük. Sőt, általába a dµ F = df jelölést haszáljuk Legye A a véges vagy ko-véges (A ko-véges, ha komplemetere véges) halmazok osztálya. Igazoljuk, hogy A algebra, de csak akkor σ-algebra, ha Ω véges! Megoldás. Az A halmazredszer defiíciójába A és A c szerepe szimmetrikus, ezért ha A A, akkor A c A is teljesül. Nézzük most az uióra való zártságot. Elég 2-re igazoli, azaz ha A, B A, akkor A B A. Ha A c vagy B c véges, akkor (A B) c = A c B c miatt (A B) c is véges, így 4

5 (A B) A. Ha pedig A és B is véges, akkor A B is véges, így A. Ezzel beláttuk, hogy A algebra. Ha Ω =, akkor va ω 1, ω 2,... végtele sok külöböző eleme. Nyilvá {ω} A mide ω Ω eseté. Viszot az A = {ω 1, ω 3, ω 5,...} halmaz végtele, és a komplemetere tartalmazza az {ω 2, ω 4, ω 6,...} végtele halmazt, így A / A. Tehát ekkor A em σ-algebra. Véges alaphalmazo persze az algebra és a σ-algebra tulajdoság ugyaaz Legye A a megszámlálható vagy ko-megszámlálható halmazok osztálya. Igazoljuk, hogy A σ-algebra! Legye C = {{x} : x Ω}. Mutassuk meg, hogy σ(c) = A! 1.3. Legye Ω = N = {1, 2,...} és { } #(A {1,..., }) C = A N : D(A) = lim létezik. A D(A) értéket az A halmaz számelméleti sűrűségéek evezik (persze csak ha létezik). Igazoljuk, hogy (a) D( ) végese additív C-; (b) D( ) em mérték C-; (c) C kotiuum számosságú; (d) C zárt a véges diszjukt uióra! Mi lesz a D által idukált külső mérték? ([2] Problem 2.18 p.35) 1.4. Adjuk meg a lottóhúzást leíró valószíűségi mezőt! 1.5. Igazoljuk, hogy σ-algebra számossága em lehet megszámlálhatóa végtele, tehát vagy véges vagy legalább kotiuum sok eleme va Határozzuk meg az alábbi halmazredszerek által geerált τ(h) topológiát és σ(h) σ-algebrát! Milye kapcsolat áll τ(h) és σ(h) között? (a) H 1 = {(a, b) : a, b R, a < b}; (b) H 2 = {[a, b] : a, b R, a < b}; (c) H 3 = {(a, b] : a, b R, a < b}; (d) H 4 = {(, a] : a R}; (e) H 5 = {(a, ) : a R}. 5

6 1.7. Legyeek X, = 1, 2,..., véletle változók az (Ω, A, P) valószíűségi mező. Igazoljuk, hogy a következő halmazok mérhetők: (i) {sup X > 0}; (ii) {sup X = 0}; (iii) lim sup X 0}. Tetszőleges Y : Ω R, és B R eseté Y 1 (B) = {Y B} = {ω : Y (ω) B}. Megoldás. Az ilye feladatokál a kérdéses halmazt elő kell állítai ívóhalmazokból ({X x}, vagy {X < x}, vagy ezek komplemetere) megszámlálható sok halmazelméleti művelet (metszet, uió, külöbség) segítségével. (i) Az első példába azt kell észrevei, hogy egy x valós számsorozat szuprémuma potosa akkor szigorúa pozitív, ha va pozitív eleme. Azaz sup x > 0 potosa akkor, ha létezik olya, melyre x > 0. A példába azokat az ω kimeeteleket kell összegyűjtei, melyre sup X (ω) > 0. Ezek szerit {sup X > 0} = {ω : sup X (ω) > 0} = =1{ω : X (ω) > 0} = =1{X > 0}. Mivel mide eseté {X > 0} mérhető halmaz, és mérhető halmazok megszámlálható uiója is mérhető, ezért az állítást beláttuk. A többi rész bizoyítását em írjuk ki ilye részletese. (ii) Világos, hogy a feti godolatmeetbe 0 helyett tetszőleges valós számot írva is mide igaz marad, így {sup X > α} A (a mérhetőség szioimája a A), tetszőleges α R eseté. Mivel {sup X = 0} = {sup X 0}\{sup X > 0}, ezért ha belátjuk, hogy {sup X 0} A, akkor késze vagyuk. Na de {sup X 0} = k=1{sup X > k 1 }, és a megszámlálható metszet mide eleme mérhető, így a σ-algebra tulajdoság miatt a metszet is mérhető. (Vegyük észre, hogy {sup X 0} = =1{X 0}. A 1/ sorozat egy ellepélda.) (iii) A lim sup defiícióját kell haszáli, amit valós számsorozatokra taultuk. Eszerit lim sup x 0 potosa akkor, ha mide ε > 0 eseté a sorozatak végtele sok ε-ál agyobb eleme va, vagy másképp, mide ε > 0, mide N eseté létezik k, hogy x k > ε. Köyű meggodoli, hogy a halmazos átírásba a mide kvatorak az metszet, a létezik kvatorak pedig az uió felel meg (ezt már (i)-él is haszáltuk). Arra kell 6

7 még figyeli, hogy ε helyett egy diszkrét 0-hoz tartó sorozatot kell íri, hogy megszámlálható metszetet kapjuk. Tehát {lim sup X 0} = m=1 =1 k={x k > m 1 }. Mivel X, = 1, 2,..., véletle változók, ezért mérhetőek, {X k > m 1 } A, mide k és m eseté. Ilyeek megszámlálható uiója mérhető, mérhető halmazok megszámlálható metszete mérhető, végül mérhető halmazok megszámlálható metszete megit mérhető, és kész Legyeek X, = 1, 2,..., véletle változók az (Ω, A, P) valószíűségi mező és c tetszőleges valós szám. Igazoljuk, hogy az alábbi halmazok mérhetők: {ω : lim X (ω) = c} = {lim X = c}; {lim X létezik}; { =1 X < }; {lim sup X c} Legyeek f, g, f mérhetőek. Mutassuk meg, hogy f +g, cf, mi(f, g), if f, sup f, lim if f mérhetőek! Egy halmaz G δ, ha megszámlálható sok yitott halmaz metszete. Mutassuk meg, hogy az irracioális számok halmaza G δ. Adjuk példát olya függvéyre, melyek folytoossági potjai az irracioális számok. [Azaz a függvéy mide racioális potba szakad, de mide irracioálisba folytoos.] Mutassuk meg, hogy a racioális számok halmaza em G δ. [Haszáljuk a Baire-kategóriatételt!] ([10]) Igazoljuk, hogy f : R R tetszőleges függvéy folytoossági potjaiak halmaza G δ! Az előző feladat alapjá ez azt jeleti, hogy ics olya függvéy, ami a racioális potokba folytoos, az irracioálisokba meg szakad. ([10]) Segítség. Defiiáljuk a φ(x, δ) = sup{ f(s) f(t) : s, t (x δ, x + δ)}, φ(x) = if δ>0 φ(x, δ) függvéyeket. Mutassuk meg, hogy f potosa akkor folytoos x- be, ha φ(x) = 0. A φ ullhelyeit meg elő lehet állítai megszámlálható sok yitott halmaz metszetekét Legye f : R R Borel-mérhető függvéy. Mutassuk meg, hogy az a halmaz, ahol a deriváltja létezik, mérhető! Legye F (x) tetszőleges eloszlásfüggvéy. Írjuk fel F (x) segítségével a következő halmazok µ F (F által geerált) Lebesgue Stieltjes-mértékét: (0, 1], {0}, [0, 1), [0, ), R, Q, Q. Megoldás. A defiíció szerit µ F ((0, 1]) = F (1) F (0). Az egyelemű halmazok viszot már em (a, b] alakúak, ezért ilyekor a defiíció em elég. Haszáljuk a mértékek folytoossági tételét! Világos, hogy {0} = =1( 1, 0], és a ( 1/, 0] halmazsorozat mooto csökkeő, 7

8 így, mivel µ F (( 1, 0]) < (valószíűségi mérték eseté ez a feltétel midig teljesül) így a folytoossági tétel szerit µ F ({0}) = µ F ( =1( 1, 0]) = lim µ F (( 1, 0]) = lim (F (0) F ( 1 )) = F (0) F (0 ), ahol F (x ) = lim y x F (y) az x-beli baloldali határérték. Fotos láti, hogy ez éppe az F eloszlásfüggvéy ugrása a 0 potba. Általáosa, tetszőleges x R eseté µ F ({x}) = F (x) F (x ). Ebből azoal következik, hogy ha F folytoos akkor mide egyelemű, és így mide megszámlálható sok elemű halmaz mértéke 0. Mivel [0, 1) = ({0} (0, 1])\{1}, így az előzőek és a mérték tulajdoságai alapjá µ F ([0, 1)) = (F (0) F (0 )+F (1) F (0)) (F (1) F (1 )) = F (1 ) F (0 ). Megit a folytoossági tételt haszáljuk: (0, ) = =1(0, ], és az uió mooto, ezért µ F ((0, )) = µ F ( =1(0, ]) = lim (F () F (0)) = 1 F (0). Így µ F ([0, )) = 1 F (0 ). A számegyees mértékét hasolóa számolhatjuk: R = =1(, ], és az uió mooto, így µ F (R) = µ F ( =1(, ]) = lim µ F ((, ]) = lim (F () F ( )) = 1 0 = 1. A racioális számok megszámlálható soka vaak, ezért µ F (Q) = µ F ( r Q {r}) = r Q µ F ({r}) = r Q(F (r) F (r )). Végül R = Q Q, és az uió diszjukt, így µ F (Q ) = 1 µ F (Q) = 1 r Q(F (r) F (r )) Legye 8

9 (a) F (x) = 1 ha x 0, 0 külöbe; (b) F (x) = k/, ha x [k, k + 1), 1 k, 0, ha x < 1 és 1, ha x. (c) F (x) = 1 e x, ha x > 0, 0 külöbe. Határozzuk meg az gdµ F itegrál értékét, ahol g tetszőleges mérhető függvéy! Megoldás. (a) Az előzőek szerit µ F ({0}) = F (0) F (0 ) = 1, azaz a mérték egységyi tömeget tesz a 0 potba, és máshova em is tesz tömeget. Ezért tetszőleges A Borel-halmazra µ F (A) = I A (0) = 1 ha 0 A és 0 külöbe. Ebből világos, hogy a g függvéyek csak a 0-ba felvett értéke az érdekes, és az itegrál defiíciója alapjá gdf = gdµ F = g(0) 1. Fotos láti, hogy ez a függvéy egy olya véletle változó eloszlásfüggvéye, mely egy valószíűséggel 0 értéket vesz fel. Az ilye változókat degeerált véletle változóak evezzük, hisze valójába em is véletle. (b) Ez a függvéy is egy tiszta ugrófüggvéy, ami egy olya változó eloszlásfüggvéye, mely az {1, 2,..., } értékeket veheti fel, midegyiket 1/ valószíűséggel. Tehát a µ F mérték az {1, 2,..., } potokra kocetrálódik, és µ F (A) = 1 A {1, 2,..., }, A B 1, azaz csak az számít, hogy az A halmazba háy pot esik az {1, 2,..., } elemek közül. Ie világos, hogy a g függvéy {1, 2,..., } potokba felvett értéke az érdekes, és gdf = gdµ F = k=1 g(k) 1. (c) Ez a függvéy folytoos (hát persze, ő az egy paraméterű expoeciális eloszlás eloszlásfüggvéye), ezért mide megszámlálható halmaz µ F szeriti mértéke 0. Azt is látjuk, hogy a (, 0] félegyees mértéke 0, és így eek bármely részhalmazáak is 0 a mértéke. Legye most 0 < a < b <. A Newto Leibiz-formulát, és az idukált mérték defiícióját alkalmazva µ F ((a, b]) = F (b) F (a) = e a e b = Ezt éppe úgy is írhatjuk, hogy I (a,b] (y)df (y) = R 9 R b a I (a,b] (y)e y dy. e y dy.

10 Az itegrál liearitását és a Lebesgue Mooto Kovergeciatételt haszálva (éppe úgy, ahogy ezt mértékelméletből megtaultuk) kapjuk, hogy tetszőleges g mérhető függvéyre gdf = g(y)e y dy = g(y)f(y)dy, 0 ahol f(y) = e y, ha y 0, és 0 külöbe, azaz f(y) = F (y). Itt azt kell megjegyezi, hogy abszolút folytoos esetbe df (y) = f(y)dy Adjuk meg a G(x) függvéy által idukált µ G Lebesgue Stieltjesmértékek a λ Lebesgue-mértékre voatkozó Lebesgue-felbotását, és határozzuk meg az abszolút folytoos tag Rado Nikodym-deriváltját. Számoljuk ki az g(x)dg(x) Lebesgue Stieltjes-itegrálok értékét! A { 1 e (a) A = R, g(x) = x, G(x) = κx, ha x 0, 0, ha x < 0,, κ > 0. (b) A = R, g(x) = x 2, G(x) = R { e κ κ m m=0, ha x [, + 1), m! 0, ha x < 0. (c) A = ( 2, 2), 1, ha x 1, x + 3, ha 1 < x < 0, g(x) = cos x, ha 0 x < π/2, x 2, ha π/2 x, x, ha x < 1, 0, ha 1 x < 0, G(x) = x 2, ha 0 x < 1, e x, ha 1 x Legye (Ω, A, P) tetszőleges valószíűségi mező, és A = {ω Ω : P({ω}) > 0}. Mutassuk meg, hogy A megszámlálható! Igazak-e a következő állítások? (a) Ha X véletle változó, akkor X 2 is. (b) Ha X 2 véletle változó, akkor X is. (c) Ha X 2 véletle változó, akkor X is Az X véletle változóról akkor modjuk, hogy eloszlása szimmetrikus 0-ra, ha X és X eloszlása megegyezik. Mutassuk meg, hogy X eloszlása potosa akkor szimmetrikus 0-ra, ha eloszlásfüggvéyére F (x) + F ( x ) = 1, x R feáll! 10

11 1.19. Mutassuk meg, hogy tetszőleges F (x) eloszlásfüggvéy eseté feáll: lim x x x lim x x 0+ x 1 df (z) = 0, z lim 1 df (z) = 0, z lim x x x x 0 x 1 df (z) = 0; z 1 df (z) = 0. z Megoldás. Belátjuk az első állítást, a többi ugyaúgy megy. Nyilvá x x 1 df (z) = z 0 x z I z>x(z)df (z). Az itegradus (mit z függvéye) mide rögzített z > 0 eseté kovergál 0-hoz, amit x, hisze ha x > z, akkor az itegradus 0. Azt kell tehát megmutati, hogy az itegrál és a határátmeet felcserélhető. Ezt Lebesgue Majorás Kovergeciatételével igazoljuk. Ehhez kell egy itegrálható majorás. Vegyük észre, hogy mide x-re és mide z-re, x z I z>x(z) 1, ami persze itegrálható µ F szerit, és ezzel az állítást igazoltuk Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges F eloszlásfüggvéyre, melyre F (0) = 0, F 1 (x)df (x) = Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges A 1, A 2,..., A eseméyek eseté P{A 1 A 2 A } P{A 1 } + P{A 2 } + + P{A } ( 1) Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges A, B, C eseméyekre (a) P{A C} P{A B} + P{B C}; (b) ha P{A B} = 0 akkor P{A} = P{B}; (c) P{A B} P{A C} P{B C}. 11

12 Megjegyzés. A a szimmetrikus differeciát jelöli, azaz A B = A\B B\A Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges A és B eseméyre P{A B} P{A}P{B} Legye (Ω, A, P) valószíűségi mező, A 0 A rész-σ-algebra és A A olya eseméy, melyre mide ɛ > 0 szám eseté létezik A ɛ A 0, hogy P(A A ɛ ) ɛ. Mutassuk meg, hogy va A 0 A 0, melyre P(A A 0 ) = Legye Ω = {ω 1, ω 2,...} megszámlálható halmaz, A = 2 Ω és P(ω ) = p > 0, ahol p p +1. (a) Bizoyítsuk be, hogy R(P) = {x : A A, P(A) = x} perfekt halmaz. (b) Bizoyítsuk be, hogy R(P) = [0, 1] potosa akkor, ha mide -re teljesül a p k=+1 p k feltétel. ([9]) Az (Ω, A, P) valószíűségi mezőt atommetesek evezzük, ha mide pozitív valószíűségű A eseméyhez va olya B A eseméy, hogy 0 < P{B} < P{A}. Bizoyítsuk be, hogy atommetes valószíűségi mező eseté R(P) = [0, 1]. ([9]) Bizoyítsuk be, hogy R(P) tetszőleges valószíűségi mező eseté zárt halmaz. ([9]) törvéyek Farok-σ-algebrák, Borel Catelli lemmák és Kolmogorov 0 1 törvéye Borel Catelli-lemmák. Legyeek A 1, A 2,... eseméyek. (I.) Ha =1 P{A } <, akkor az eseméyek közül egy valószíűséggel, csak véges sok következik be, azaz a {ω Ω : ω A végtele sok -re} = =1 k= A k = lim sup A halmaz mértéke 0, azaz P{lim sup A } = 0. (II.) Ha az eseméyek függetleek és =1 P{A } =, akkor az A 1, A 2,... eseméyek közül egy valószíűséggel (majdem biztosa) végtele sok következik be, azaz P{lim sup A } = 1. 12

13 Farok-σ-algebra. Legyeek X 1, X 2,... véletle változók az (Ω, A, P) valószíűségi mező. Az X 1, X 2,... változók által geerált farok-σ-algebra a T = =1σ(X, X +1,...) σ-algebra. Az A T eseméyeket farokeseméyekek evezzük. A defiícióba σ-algebrák mooto csökkeő sorozatáak metszete szerepel. Az ituitív jeletés: a T -beli eseméyek bekövetkezését em befolyásolja ha a változók közül véges sok megváltozik. Valóba, hisze ha A T akkor tetszőleges m N eseté A σ(x m+1, X m+2,...), azaz A em függ az X 1, X 2,..., X m változóktól. Ez alapjá világos, hogy a {lim X létezik}, { =1 X < } alakú eseméyek farokeseméyek, viszot az {if X < 0}, {X 10 > 2} eseméyek em azok. A precíz bizoyítást lásd a feladatok között. Kolmogorov 0 1 törvéye. Legyeek X 1, X 2,... függetle véletle változók, és legye T az általuk meghatározott farok-σ-algebra. Ekkor tetszőleges A T farokeseméy valószíűsége 0 vagy Az alábbi eseméyek közül melyek elemei az X 1, X 2,... véletle változók által geerált farok-σ-algebráak? {if X < c}; { lim X létezik}; {lim sup X 0}; N { } { } X < ; X < 0. =1 =1 (Tehát ami eleme, arról mutassuk meg hogy eleme, ami em eleme, arról mutassuk meg hogy em.) Megoldás. Feltehetjük, hogy c = 0. Az ituíció alapjá világos, hogy {if X < 0} em farokeseméy, hisze egyetle változó megváltoztatása is befolyásolja az ifimum értéket, ezáltal az eseméy bekövetkezését. A precíz bizoyítás ezért itt ellepélda kostruálását jeleti. Legye Ω = {ω 1, ω 2 }, A = 2 Ω = {, {ω 1 }, {ω 2 }, Ω}. Legye X 1 (ω 1 ) = 1, X 1 (ω 2 ) = 0, és X 2, 2. Mivel 2 eseté X degeerált, így σ(x ) = {, Ω} a triviális σ- algebra, és ezért ugyacsak σ(x, X +1,...) = {, Ω}. Ie azoal látjuk, hogy T = =1σ(X, X +1,...) = {, Ω}, azaz a farok-σ-algebra is a triviális. Ugyaakkor {if X < 0} = {X 1 < 0} = {X 1 = 1} = {ω 1 }, 13

14 ami em farokeseméy. Hasolóa egyszerű kostrukcióval igazolható, hogy { =1 X < 0} / T. A másik három eseméy farokeseméy, csak az egyik bizoyítását írjuk ki részletese. Mivel az {lim X létezik} eseméyél a határérték ics megadva, ezért létezését a Cauchy-féle belső kovergeciakritérium segítségével tudjuk leíri. Eszerit az x 1, x 2,..., (determiisztikus!) valós számsorozat potosa akkor koverges, ha ( ε > 0)( N = N(ε))( m, N) : x m x ε. A folytoos ε-t kicseréljük egy megszámlálható sorozatra (k 1 ) és a korábba látott módo lefordítjuk halmazok yelvére a feti tulajdoságot. Eszerit {lim X létezik} = k=1 N=1 m=n =N { X m X k 1 }. Mivel { X m X k 1 } mérhető, és mérhető halmazoko megszámlálható halmazelméleti műveletet elvégezve mérhetőt kapuk, azt láttuk be, hogy {lim X létezik} A. Ahhoz, hogy megmutassuk, hogy a {lim X létezik} eseméy farokeseméy, azt kell megmutati, hogy mide K eseté {lim X létezik} σ(x K, X K+1,...). Ehhez vegyük észre, hogy a m=n =N { X m X k 1 } halmazsorozat rögzített k eseté N-be mooto övő. Hát persze, hisz egyre kevesebb halmazt metszük össze. Emiatt N=1 m=n =N{ X m X k 1 } = N=K m=n =N{ X m X k 1 }, és a jobb oldalo álló mide halmaz már σ(x K, X K+1,...). állítás beláttuk Legyeek A 1, A 2,... eseméyek. Mi a Ezzel az lim sup A = =1 m= A és lim if A = =1 m= A eseméyek jeletése? Milye tartalmazás áll fö a két halmaz között? Megoldás. Megmutatjuk, hogy lim sup A = {ω : ω A végtele sok eseté}. Valóba, ha ω A végtele sok eseté, akkor mide 0 természetes számhoz va olya m > 0, hogy ω A m. Ezért ω m= 0 mide 0 14

15 eseté, ami éppe azt jeleti, hogy ω lim sup A. tartalmazás ugyaígy igazolható. Megmutatjuk, hogy A fordított iráyú lim if A = {ω : ω A véges sok kivételével mide eseté}. Valóba, ha va olya, hogy ω A m mide m eseté, akkor ω m= A m, és így ω =1 m= A m. A fordított iráy ugyaígy megy. A feti átfogalmazásból világos, hogy lim if A lim sup A. Midig erre a szemléletes jeletésre godoljuk, és e a defiícióra! 2.3. Mutassuk meg, hogy P{lim if A } lim if P{A } lim sup P{A } P{lim sup A } Mutassuk meg, hogy ( ) lim sup A ( ) lim sup A ( ( ) lim if A ( ) lim if A ( lim sup ( lim sup lim if ( lim if ) B lim sup(a B ); ) B = lim sup(a B ); ) B = lim if(a B ); ) B lim if(a B ), továbbá, hogy a két tartalmazás lehet szigorú. ([2] Problem 4.2. p.64) 2.5. Legyeek X 1, X 2,... függetle Exp(1) eloszlású véletle változók. Igazoljuk, hogy X lim sup log = 1 m.b. Megoldás. Először megmutatjuk, hogy lim sup X / log 1 m.b. Legye ε > 0 tetszőleges, rögzített, és legye A = {X > (1 ε) log }. Ekkor az A, = 1, 2,... eseméyek függetleek, hisze az X, = 1, 2,... változók függetleek és P{A } = P{X > (1 ε) log } = e (1 ε) log = (1 ε). Mivel =1 P{A } = =1 (1 ε) =, ezért a második Borel Catellilemma szerit az A eseméyek közül egy valószíűséggel végtele sok bekövetkezik, azaz az X / log végtele sok -re meghaladja 1 ε értéket, ami éppe 15

16 azt jeleti, hogy lim sup X / log 1 ε, m.b. Ezzel beláttuk, hogy tetszőleges ε > 0 szám eseté lim sup X / log 1 ε, m.b., vagy másképpe, ha B ε = {ω : lim sup X / log 1 ε}, akkor P{B ε } = 1. Legye ε 0 egy 0-hoz tartó mooto csökkeő sorozat, és B := =1B ε. Megszámlálható sok 1 mértékű eseméy metszete is 1 mértékű, így P{B} = 1. Ugyaakkor, B éppe az az eseméy, ahol lim sup X / log 1. Ezzel az egyik iráy kész. Azt kell még beláti, hogy lim sup X / log 1 m.b. Legye megit ε > 0 tetszőleges, rögzített, és legye C = {X > (1 + ε) log }. Ekkor P{C } = P{X > (1 + ε) log } = e (1+ε) log = (1+ε), és így =1 P{C } <. Az első Borel Catelli-lemma szerit a C eseméyek közül egy valószíűséggel csak véges sok következik be. Vegyük észre, hogy itt ics szükségük a függetleségre! Ez pedig éppe azt jeleti, hogy lim sup X / log < 1 + ε m.b. Jelölje D ε a lim sup X / log < 1 + ε eseméyt! Megmutattuk, hogy P{D ε } = 1. Legye ε 0 egy 0-hoz tartó mooto csökkeő sorozat, és D := =1D ε. Megszámlálható sok 1 mértékű eseméy metszete is 1 mértékű, így P{D} = 1. Ugyaakkor, D éppe az az eseméy, ahol lim sup X / log 1. Ezzel a másik iráy is kész Legyeek X 1, X 2,... függetle emegatív egész értékű véletle változók. Mutassuk meg, hogy az X 1 + X 2 + sor akkor és csakis akkor koverges m.b., ha P{X > 0} <. = Legyeek X 1, X 2,... függetle stadard ormális véletle változók. Mutassuk meg, hogy X lim sup = 1 m.b. 2 log Segítség. Mutassuk meg, hogy ( 1 x 1 ) x 3 ϕ(x) 1 Φ(x) 1 x ϕ(x) Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges p (0, 1) eseté aak a valószíűsége, hogy Z 2 élperkolációjába va végtele kompoes, az 0 vagy 1. (Azaz a 16

17 égyzetrács mide élét egymástól függetleül p valószíűséggel megtartom, 1 p valószíűséggel pedig eldobom.) 2.9. Legyeek X, X 1, X 2,... függetle, azoos eloszlású véletle változók, melyek közös eloszlásfüggvéye P{X x} = 1 1/x, ha x > 1, külöbe 0. Igazoljuk, hogy lim sup X log = m.b Legyeek X 1, X 2,... függetle, azoos eloszlású véletle változók [0, 1]-e. Mutassuk meg, hogy a =1 i=1 végtele sor majdem biztosa koverges, ha P{X = 1} < Legyeek X 1, X 2,... függetle Uiform(0, 1) véletle változók. Mutassuk meg hogy az X 1, X 2,... sorozat torlódási potjaiak halmaza [0, 1] m.b Legyeek X 1, X 2,... függetle λ > 0 paraméterű expoeciális eloszlású véletle változók. Adjuk meg egy kokrét a sorozatot, melyre eseté a és { P{X > (1 + ε)a végtele sok -re} = 0, ha ε > 0, 1, ha ε 0. X i Legye X 1, X 2,... egy végtele érmedobássorozat. Jelölje l az - edik lépéssel kezdődő 0-futam hosszát, azaz l = k, ha X = X +1 =... = X +k 1 = 0, és X +k = 1. Mutassuk meg, hogy P{l r} = 2 r, r N. Továbbá, ha =1 2 r <, akkor Következméykét igazoljuk, hogy ([2] Example 4.1 p.53) P{l r végtele sokszor } = 0. P{lim sup l log 2 1} = Folytatás. Igazoljuk, hogy r N mooto övő sorozat eseté ha =1 2 r /r = akkor P{l r végtele sokszor } = 1. 17

18 Következméykét P{ l log 2 és így a két feladatból együtt ([2] Example 4.1 p.53) 1 végtele sokszor } = 1, P{lim sup l log 2 = 1} = Szetpétervári paradoxo. Péter addig dobál egy szabályos érmét, míg fej em lesz. Ha ez a k-adik dobásra következik be először, akkor fizet Pálak 2 k dukátot. Ekkor, ha X jelöli Pál yereméyét, akkor P{X = 2 k } = 1/2 k. Meyi E(X)? Legyeek X 1, X 2,... függetle szetpétervári változók. Ezekre teljesül a következő gyege törvéy (Feller, 1945): { } S P log 1 > ε 0, mide ε > 0 eseté. Mutassuk meg, hogy lim sup X log = m.b., azaz a megfelelő erős törvéy em teljesülhet Tekitsük egy végtele fej írás sorozatot. Jelölje A azt az eseméyt, hogy az hosszú sorozatba va 1/2 log 2 egymás utái fej, B pedig azt az eseméyt, hogy va 3 log 2 egymás utái fej. Igazoljuk, hogy egy valószíűséggel A véges sok kivételével bekövetkezik, ugyaakkor B csak véges sok -re következik be! Erdős Réyi: O a ew law of large umbers 3. Vektorváltozók Vektorváltozók, abszolút folytoos és diszkrét eloszlások, sűrűségfüggvéy, függetleség, véletle változók traszformációi Az X = (X 1,..., X d ) : Ω R d függvéyt véletle vektorak evezzük, ha mérhető, azaz mide B B d d-dimeziós Borel-halmaz iverz képe A-beli. Ez potosa akkor teljesül, ha mide kompoes véletle változó 18

19 (miért?). A véletle vektor egyetle kompoeséek eloszlását evezzük peremeloszlásak. Az X véletle vektor eloszlásfüggvéye, vagy az X 1,..., X d változók együttes eloszlásfüggvéye az F (x 1,..., x d ) = P{X 1 x 1,..., X d x d } függvéy. Egy d-változós függvéy potosa akkor eloszlásfüggvéy, ha (1) mide koordiátájába jobbról folytoos és mooto övő (emcsökkeő); (2) mide i-re és mide rögzített x 1,..., x i 1, x i+1,..., x d valós számok eseté lim x F (x 1,..., x i 1, x, x i+1,..., x d ) = 0 teljesül; (3) lim x1,...,x d F (x 1,..., x d ) = 1; (4) F megváltozása mide téglateste 0. [Az egydimeziós esetbe (4) következik a mootoitásból, de magasabb dimezióba em (lásd 3.1. Feladat).] Az F eloszlásfüggvéy által idukált µ F Lebesgue Stieltjes-mérték az egydimeziós esethez hasolóa defiiálható [a balról yitott jobbról zárt téglák most is félalgebrát alkotak; egy ilye tégla mértéke legye F megváltozása]. Az X véletle vektor eloszlása folytoos, ha eloszlásfüggvéye abszolút folytoos, azaz va olya f : R d R valós mérhető függvéy, hogy µ F (B) = f(x)dx, mide B B Bd d-dimeziós Borel-halmazra. Nyilvá f csak Lebesgue-m.m. egyértelműe meghatározott; ezt evezzük X sűrűségfüggvéyéek. Az X véletle változó diszkrét, ha µ F -ek va megszámlálható tartója, azaz vaak x 1, x 2,... R k -beli potok, hogy =1 µ F ({x }) = 1. Az X 1, X 2,..., X véletle változók függetleek, ha P{X 1 B 1,..., X B } = P{X 1 B 1 } P{X B } teljesül mide B 1,..., B Borelhalmazra. Eek szükséges és elegedő feltétele, hogy az együttes eloszlásfüggvéy faktorizálható, azaz F (x 1,..., x ) = F (x 1 ) F (x ). Köye igazolható, hogy folytoos eloszlások eseté ez az együttes sűrűségfüggvéy faktorizálhatóságával ekvivales. Ha X folytoos, sűrűségfüggvéy-e f és P{X I} = 1, ahol I véges vagy végtele itervallum és h szigorúa mooto (övő vagy csökkeő), folytoosa differeciálható függvéy I-, h (x) 0, x I, akkor az Y = h(x) változó is folytoos és sűrűségfüggvéye { f(h 1 (y)), ha y h(i), g(y) = h (h 1 (y)) 0, ha y h(i), 19

20 3.1. Eloszlásfüggvéy-e? (a) H(x, y) = e e (x+y) ; (b) H(x, y) = e e x e y Határozzuk meg a poliomiális eloszlás peremeloszlásait! Megjegyzés. Az (X 1, X 2,..., X ) véletle vektor poliomiális eloszlású, ha P{X 1 = k 1, X 2 = k 2,..., X = k } = ( ) m p k 1 1 k 1, k 2,..., k 2 2 pk ( ) m j=1 1 p k j j, ahol k j 0, j=1 k j m, p j 0, j=1 p j 1, és ( ) m m! = k 1, k 2,..., k k 1!k 2! k!(m j=1 k j)! Legye U(x, y) = F (x)g(y)[1+α(1 F (x))(1 G(y))], ahol F (x), G(x) eloszlásfüggvéyek és α 1. Mutassuk meg, hogy U(x, y) eloszlásfüggvéy, melyek peremeloszlásai F (x) és G(y)! 3.4. Legye az (X, Y ) véletle változó eloszlása egyeletes az egységkörbe. Határozzuk meg az együttes eloszlásfüggvéyt és a peremeloszlások sűrűségfüggvéyeit! 3.5. Legye az X és Y véletle változók együttes sűrűségfüggvéye { 4 h(x, y) = (x + xy + y), ha(x, y) (0, 5 1)2, 0, külöbe. Határozzuk meg a peremeloszlásokat! 3.6. Mutassuk meg, hogy a következő függvéyek sűrűségfüggvéyek! (a) A λ paraméterű, p-ed redű Γ eloszlás (p > 0, λ > 0): { λ p x p 1 e f(x) = λx, ha x > 0, Γ(p) 0, külöbe. j=1 (b) Az (a, b) paraméterű Cauchy eloszlás (a > 0, b R): f(x) = 1 π 20 a a 2 + (x b) 2.

21 (c) Kétdimeziós Γ eloszlás (p, q > 0): { x p 1 (y x) q 1 e y, ha 0 < x < y <, h(x, y) = Γ(p)Γ(q) 0, külöbe A béta függvéy (vagy elsőfajú Euler féle itegrál). (a) Bizoyítsuk be, hogy B(x, y) = 1 0 tx 1 (1 t) y 1 dt <, x > 0, y > 0, és B(x, y) = B(y, x). (b) Bizoyítsuk be, hogy x > 0, y > 1 eseté B(x, y) = (c) Ha y N, akkor B(x, y) = (d) Tetszőleges N számra (y 1)! x(x+1)...(x+y 1). y 1 B(x, y 1). x+y 1 B(x, y) = (x + y)(x + y + 1)... (x + y + 1) B(x, y + ). y(y + 1)... (y + 1) (e) Igazoljuk a béta függvéy alábbi végtele szorzat előállítását: ( 1)! (x + y)(x + y + 1)... (x + y + 1) B(x, y) = lim x(x + 1)... (x + 1)y(y + 1)... (y + 1) A gamma függvéy (vagy másodfajú Euler féle itegrál). (a) Mutassuk meg, hogy Γ(x) = t x 1 e t dt <, x > 0, és tetszőleges 0 p > 0 eseté Γ(x) = p x u x 1 e up du. 0 (b) Mutassuk meg, hogy p x B(x, p + 1) < Γ(x) < (p + x + 1) x B(x, p + 1). (c) Mutassuk meg, hogy ( 1)! x Γ(x) = lim x(x + 1)... (x + 1). (d) Bizoyítsuk be, hogy B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x+y) Az alábbi f( ), h(, ) függvéyek esetébe határozzuk meg c álladó értékét, hogy sűrűségfüggvéyt kapjuk! Többdimeziós esetbe adjuk meg a peremeloszlásokat! 21

22 (a) A (p, q)-redű B eloszlás (p, q > 0): { cx f(x) = p 1 (1 x) q 1, ha 0 < x < 1, 0, külöbe. (b) Kétdimeziós B eloszlás (p, q, r > 0): { cx h(x, y) = p 1 y q 1 (1 x y) r 1, ha 0 < x, y és x + y < 1, 0, külöbe. { c e (c) h(x, y) = x, ha 0 x, 0 < y < 2, 0, külöbe. { e (d) h(x, y) = cx, ha 0 < y < x, 0, külöbe Jelölje ϕ() az Euler-féle függvéyt, azaz ϕ() az -él kisebb -hez relatív prím pozitív egészek száma. Bizoyítsuk be valószíűségszámítási úto, hogy ϕ() = ( 1 1 ). p p Adjuk példát olya A, B, C eseméyekre, melyek párokét függetleek, de em függetleek! Adjuk példát A, B, C és D eseméyekre, hogy bármely három közülük függetle, de mid a égy em függetle! Mutassuk meg, hogy eseméyek egy {A j : j J} halmaza potosa akkor függetle, ha a megfelelő idikátorváltozók függetleek Legyeek X 1, X 2,..., X függetle véletle változók, és g k ( ), k = 1, 2,..., Borel mérhető függvéyek. Bizoyítsuk be, hogy g 1 (X 1 ), g 2 (X 2 ),..., g (X ) véletle változók is függetleek! Láttuk, hogy abszolút folytoos véletle vektorváltozó peremeloszlásai abszolút folytoosak. Igazoljuk, hogy ez em megfordítható, azaz mutassuk X, Y abszolút folytoos véletle változókat, melyek együttes eloszlása em abszolút folytoos! Lássuk be, hogy ha az (X, Y ) véletle vektorváltozó abszolút folytoos, akkor P(X = Y ) = 0. Az együttes sűrűségfüggvéyel írjuk fel a P(X Y ) valószíűséget! Határozzuk meg a P(X = Y ) és P(X Y ) valószíűségeket, ha 22

23 (a) Ha X Exp(λ), Y Exp(µ) függetle véletle változó; (b) Ha X, Y függetle geometriai eloszlású véletle változók; (c) Ha X és Y diszkrét függetle véletle változók, melyek lehetséges értékei ugyaazok az x 1, x 2,... számok. Továbbá P(X = x k ) = p k és P(Y = x k ) = q k Legyeek X és Y függetle Exp(λ) véletle változók. Igazoljuk, hogy X Y is expoeciális eloszlású és adjuk meg a paraméterét is! Megoldás. Meg kell határozuk X Y eloszlásfüggvéyét, azaz az F (z) = P{ X Y z} valószíűségeket. Mivel X Y 0 ezért feltehetjük, hogy z 0. F (z) helyett 1 F (z) = P{ X Y > z} értéket számoljuk ki. Legye S z = {(x, y) : x y > z, x 0, y 0}, és jelölje f(x, y) az (X, Y ) vektor együttes sűrűségfüggvéyét. Ekkor P{ X Y > z} = P{(X, Y ) S z } = f(x, y) dxdy. S z A függetleség miatt f(x, y) = λe λx λe λy, ha x 0 és y 0, és 0 külöbe. Ezért a szimmetria és a Fubii-tétel alapjá f(x, y) dxdy = λ 2 e λ(x+y) dxdy S z S z [ x z ] = 2 λ 2 e λ(x+y) dy dx = 2 z z = e λz. 0 λe λx [ 1 e λ(x z)] dx Tehát F (z) = 1 e λz, azaz X Y is expoeciális eloszlású λ paraméterrel. Megjegyzés. Valójába az S z halmaz (X, Y ) vektor által idukált kétdimeziós µ (X,Y ) Lebesgue Stieltjes-mértékét határoztuk meg. Ez abszolút folytoos esetbe az f(x, y)dxdy mérték, azaz formálisa µ (X,Y ) (dx, dy) = f(x, y)dxdy Legyeek X és Y függetle stadard ormálisok. Tekitsük a polárkoordiáta-traszformációval kapott (R, Θ) vektorváltozót, ahol R = X 2 + Y 2 és tgθ = X/Y. Határozzuk meg (R, Θ) együttes eloszlását! Igazoljuk, hogy ezek függetleek! 23

24 Megoldás. Meg kell határozuk az (R, Θ) vektorváltozó eloszlásfüggvéyét. Világos, hogy R 0 és Θ [0, 2π). Legye tehát r > 0 és α (0, 2π). A stadard ormális sűrűségfüggvéy e x2 /2 / 2π, és mivel a változók függetleek, az együttes sűrűségfüggvéy f(x, y) = e x2 /2 y 2 /2 /(2π). Legye S r,α = {(x, y) : x 2 + y 2 r 2, xy } ta α. Ez éppe azo (x, y) = (ρ cos ϕ, ρ si ϕ) potok halmaza, melyek polárkoordiátás alakjába ρ = x 2 + y 2 r és ϕ α. Így P{R r, Θ α} = P{(X, Y ) S r,α } 1 = S r,α 2π e x 2 +y 2 2 dxdy. A itegrálási tartomáy alakjából és itegradusból is látszik, hogy érdemes áttéri polárkoordiátás alakra; azaz legye x = ρ cos ϕ, y = ρ si ϕ. A traszformáció Jacobi-mátrixáak determiása ρ, így 1 x 2 +y 2 α r 1 S r,α 2π e 2 dxdy = 0 0 2π e fracρ22 ρ dρ dϕ = α 2π ( 1 e r2 2 Az eloszlásfüggvéy alakjából látjuk (α = 2π ill. r helyettesítéssel), hogy a két peremeloszlás P{R r} = 1 e r2 2, ). P{Θ α} = α 2π, és az is világos, hogy R és Θ függetleek, valamit Θ egyeletes eloszlású a [0, 2π] itervallumo Legyeek X és Y függetle stadard ormálisok. Határozzuk meg az XY/ X 2 + Y 2 eloszlását! Legyeek X és Y függetle stadard ormálisok. Igazoljuk, hogy X + Y és X Y függetleek! [Ez a tulajdoság karakterizálja is a ormálist, de erről majd később, a karakterisztikus függvéyekél, Feladat.] Egyeletes eloszlás szerit válasszuk egy potot az egységgömbö. A szélességi és hosszúsági körök megadásával a véletle pot leírható (Θ, Ψ) párral, ahol θ [0, π], ψ ( π, π]. Határozzuk meg (Θ, Ψ) eloszlását! Legyeek X 1, X 2,..., X függetle véletle változók F 1, F 2,..., F eloszlásfüggvéyel. 24

25 (a) Adjuk meg az m = mi{x 1, X 2,..., X }, M = max{x 1, X 2,..., X } véletle változók eloszlását! (b) Tegyük fel, hogy a közös eloszlás E(0,1). Adjuk szükséges és elegedő feltételt az {a } sorozatra, hogy P(m a ) 1 és P(M 1 a ) Legyeek X 1, X 2,..., X függetle expoeciális eloszlású véletle változók, λ 1, λ 2,..., λ paraméterekkel és X = mi{x 1, X 2,..., X }. Igazoljuk, hogy X Exp(λ 1 + λ λ ), és P(X = X k ) = Megoldás. Feltehetjük, hogy k = 1. Ekkor λ k λ 1 + λ λ, k = 1, 2,...,. {X = X 1 } = {X 1 X 2, X 1 X 3,..., X 1 X } = {(X 1,..., X ) S 1 }, ahol S 1 = {(x 1, x 2,..., x ) R : x 1 = mi{x 1, x 2,..., x }}. Mivel a változóik függetleek, ezért az együttes sűrűségfüggvéy f(x 1,..., x ) = f X1 (x 1 )... f X (x ) = λ 1 e λ 1x 1... λ e λx I x1 >0(x 1 )... I x>0(x ), tehát a keresett valószíűség P{X = X 1 } =... f(x 1,..., x ) dx 1... dx S 1 = λ 1 e λ 1x 1... λ e λx dx 1... dx. S 1 [0, ) Fubii tételével a feti -szeres itegrál egyszerűe számolható. Mivel x 1 a legkisebb, ezért a többi változó rögzített x 1 eseté az (x 1, ) itervallumo változik, x 1 pedig a (0, )-e. Tehát az előbbi itegrál [ ] =... λ 1 e λ 1x 1... λ e λx dx 2... dx dx 1 0 x 1 x 1 x 1 [ ] = λ 1 e λ 1x 1 λ 2 e λ 2x 2 dx 2... λ e λx dx dx 1 0 x 1 = = 0 λ 1 e λ 1x 1 e λ 2x 1... e λx 1 dx 1 λ 1 λ λ, 25 x 1

26 amit állítottuk Adjuk példát olya X és Y expoeciális eloszlású véletle változókra, melyek (a) miimuma expoeciális, de em az előző feladatba megadott paraméterrel; (b) miimuma em expoeciális; (c) maximuma expoeciális Mit modhatuk geometriai eloszlású véletle változók miimumáról és maximumáról? Legyeek X 1, X 2,..., X függetle azoos eloszlású, abszolút folytoos véletle változók. Meyi a valószíűsége, hogy X 1 agyobb az összes többiél? Egy megbeszélésre hivatalos ember. Mideki 5 óra és 5:10 között érkezik egymástól függetleül, egyeletes eloszlás szerit. Amit valaki megérkezik és csöget, α idő telik el és a házigazda beegedi. Ha eközbe mások is érkezek, akkor azok egyszerre meek be a korábba érkezővel. Meyi a valószíűsége, hogy mideki egyszerre érkezik? Legye X E(-1,1) eloszlású véletle változó. Határozzuk meg a következő véletle változók sűrűségfüggvéyeit: (a) X ; (b) X 2 ; (c) e X Legye X Exp(λ) eloszlású véletle változó. Határozzuk meg a következő véletle változók sűrűségfüggvéyeit: (a) 2X + 3; (b) X 3 ; (c) X Bizoyítsuk be, hogy ha X E( π/2, π/2) eloszlású, akkor tgx az (1,0) paraméterű Cauchy eloszlású véletle változó Bizoyítsuk be, hogy ha X az (1,0) paraméterű Cauchy eloszlású véletle változó, akkor 26

27 (a) 1 X ; (b) 2 X ; 1 X 2 (c) 3 X X3 1 3 X 2 is Cauchy eloszlású Legyeek X és Y függetle egyeletes eloszlásúak [0,1]-e, és legye R = X 2 + Y 2. Határozzuk meg R eloszlás- és sűrűségfüggvéyét! Legye X = mi{u, V }, Y = max{u, V }, ahol U és V függetleek és egyeletes eloszlásúak [0,1]-e. Határozzuk meg (a) X (b) 1 Y (c) Y X eloszlását! Tegyük fel, hogy (X, Y ) egyeletes eloszlású az {(x, y) : 0 < y < x < 1} tartomáyo. Határozzuk meg az együttes eloszlásfüggvéyt és a margiális sűrűségeket! Függetleek-e X és Y? Legye az X és Y változók együttes sűrűségfüggvéye f(x, y) = 6e 2x 3y (x, y > 0), 0, külöbe. Határozzuk meg az együttes és margiális eloszlásfüggvéyeket! Függetleek-e X és Y? Legye X és Y együttes sűrűsége { c(y f(x, y) = 2 x 2 )e y, y x y, y > 0, 0, külöbe. Adjuk meg c értékét és igazoljuk, hogy Y gamma eloszlású! Legye X és Y együttes sűrűsége f, ahol (a) f(x, y) = xe x(1+y), ha x, y 0; (b) f(x, y) = 6xy 2, ha x, y 0 és x + y 1; (c) f(x, y) = 2xy + x, ha x, y (0, 1); (d) f(x, y) = (x + y) 2 (x y) 2, ha x, y (0, 1). Határozzuk meg a margiálisokat! Függetleek-e a változók? 27

28 4. Véletle változók traszformáltjai Véletle változók összegéek, szorzatáak, háyadosáak eloszlása, kovolúció Legyeek X és Y függetle véletle változók F és G eloszlásfüggvéyel. A Z = X + Y változó eloszlásfüggvéye H(x) = P{Z x} = P{X + Y x} = F (x y)dg(y) = G(x y)df (y). R A H eloszlásfüggvéyt az F és G függvéyek Lebesgue Stieltjes-kovolúciójáak evezzük. Ha még X és Y folytoosak is f és g sűrűségfüggvéyel, akkor Z is folytoos és sűrűsége h(x) = f(x y)g(y)dy = R g(x y)f(y)dy. A h függvéyt a f és g függvéy kovolúciójáak evezzük. Hasolóa meghatározható függetle véletle változók háyadosáak eloszlása is. Legyeek X és Y folytoos véletle változók f és g sűrűséggel. Ekkor a Z = X/Y változó is folytoos és sűrűsége h(x) = f(xv) v g(v)dv Legyeek X és Y függetleek, melyek 1,2,3 és 4 értéket veszek fel redre 0, 1, 0, 2, 0, 3 és 0, 4 valószíűséggel. Adjuk meg X + Y eloszlását! 4.2. Legyeek X és Y függetle p-paraméterű geometriai eloszlású változók. Adjuk meg X + Y eloszlását! 4.3. Legyeek X és Y függetle Poisso eloszlású véletle változók λ és µ paraméterekkel. Határozzuk meg Z = X + Y eloszlását! Megoldás. Diszkrét esetbe egyszerűbbe is meghatározhatjuk az eloszlást, em kell a kovolúciós formulát haszáluk. Világos, hogy Z emegatív egész értékeket vehet fel, és a függetleség és a Poisso eloszlás defiíciója 28

29 szerit P{Z = k} = P{X = l, Y = k l, valamilye l {0, 1,..., k} eseté } k k = P{X = l, Y = k l} = P{X = l}p{y = k l} = l=0 k l=0 l=0 λ l µk l e λ l! (k l)! e µ = e (λ+µ) 1 k! (λ+µ) (λ + µ)k = e. k! k l=0 ( ) k λ l µ k l l Tehát Z egy λ + µ paraméterű Poisso-eloszlású véletle változó Legyeek X, Y függetle, a (0, 1)-e egyeletes eloszlású véletle változók. Határozzuk meg Z = X + Y eloszlását! Megoldás. Mivel az egyeletes eloszlás abszolút folytoos eloszlás, f(x) = I [0,1] (x) sűrűségfüggvéyel, így haszálhatjuk a sűrűségfüggvéyre voatkozó formulát. Eszerit 1 g(x) = f(x y)f(y)dy = I [0,1] (x y)dy. R Mivel 0 x y 1 x 1 y x, így g(x) = 0, ha x / [0, 2], és 1 { x 1dy = x, ha 0 x 1, 0 g(x) = I [0,1] (x y)dy = 1dy = 2 x, ha 1 x x Határozzuk meg az alábbi függetle véletle változók összegéek eloszlását! (a) X N(µ 1, σ 2 1), Y N(µ 2, σ 2 2) ; (b) X, Y, Z E(0,1); (c) X Poisso(λ), Y E(0,1) Legyeek X 1, X 2,..., X függetle Exp(λ) eloszlású véletle változók. Bizoyítsuk be, hogy az X = X 1 + X X véletle változó sűrűségfüggvéye f (x) = λ ( 1)! x 1 e λx, x > 0. 29

30 Megoldás. Teljes idukcióval bizoyítuk. Az = 1 esetbe igaz az állítás, és tegyük fel, hogy valamely 1 eseté igaz. A kovolúciós formula, és az idukciós feltevés szerit amit állítottuk. f +1 (x) = = f 1 (x y)f (y)dy x λe λ(x y) λ 0 x = λ+1 ( 1)! e λx = λ+1 x e λx, )! ( 1)! y 1 e λy dy 0 y 1 dy 4.7. Az -szabadsági fokú χ 2 -eloszlás. Legyeek Z 1, Z 2,..., Z függetle N(0,1) eloszlású véletle változók. Bizoyítsuk be, hogy az X = Z Z Z 2 véletle változó. sűrűségfüggvéye f (x) = x/2 1 e x 2 2 /2 Γ(/2), x > 0. Határozzuk meg X sűrűségfüggvéyét (-szabadsági fokú χ-eloszlás)! 4.8. Az -szabadsági fokú Studet-eloszlás. Legye T = X0 X X X 2, ahol X 0, X 1,..., X függetle N(0,1) véletle változók. Mutassuk meg, hogy T sűrűségfüggvéye f (x) = Γ ( ) +1 2 ( π Γ ) 2 ) +1 (1 + x2 2, x R Az és m szabadsági fokú F-eloszlás. Legyeek X χ 2 () és Y χ 2 (m) függetle véletle változó. Határozzuk meg mx/(y ) véletle változó sűrűségfüggvéyét! Legyeek X, Y függetle, azoos eloszlású emegatív véletle változók, F eloszlásfüggvéyel. Adjuk meg az (X + Y, max{x, Y }) vektorváltozó eloszlását! 30

31 4.11. Legyeek X 1, X 2,..., X véletle változók függetleek és azoos eloszlásúak. Továbbá legye P(X i = k) = 1/3, k {0, 1, 2}. Adjuk meg Y = X 1 X 2... X eloszlását! Legye F egy emegatív véletle változó eloszlásfüggvéye. Igazoljuk, hogy x > 0 eseté F 2 (x/2) + 2 és 0 z x 2z eseté F 2 (x/2) + 2 z x/2 x x/2 F (x u)f (du) = F 2 (x), F (x u)f (du) = F (z)f (x z) + z x z F (x u)f (du). (Ez em túl szórakoztató, de segít begyakoroli a Lebesgue Stieltjes itegrállal való számolást.) Megjegyzés. Eszerit b a Eél a feladál szükség va a parciális itegrálás formulájára. F (x)dg(x) = F (b)g(b) F (a)g(a) b a G(x)dF (x). Eek bizoyítása megtalálható a [6] jegyzetbe. Vegyük észre, hogy abba az esetbe mikor F, G abszolút folytoosak, akkor a formula a Riema-féle itegrálelméletbe ismert parciális itegrál formulája. Azt is megjegyezzük, hogy a Lebesgue Stieltjes-féle általáos esetbe egyszerűbb megjegyezi a formulát Legyeek X és Y függetle E(0,1) eloszlású véletle változók. Adjuk meg XY és X/Y véletle változó eloszlását! Kovolúció általába. Legye M a komplex Borel-mértékek tere R-e, a µ = µ (R) ormával. Tetszőleges E Borel-mérhető halmaz eseté tekitsük az E 2 = {(x, y) : x + y E} R 2 halmazt. Tetszőleges λ, µ M mértékek eseté defiiáljuk a két mérték kovolúcióját a (µ λ)(e) = (µ λ)(e 2 ) formulával, ahol a (µ λ) a szorzatmérték. (a) Mutassuk meg, hogy λ µ M, és λ µ λ µ. (b) Mutassuk meg, hogy f dν = f(x + y) dµ(x) dλ(y), ahol ν = λ µ, és f C 0 (R) (végtelebe eltűő függvéy). 31

32 (c) Mutassuk meg, hogy a kovolúció kommutatív, asszociatív és disztributív az összeadásra. (d) Mutassuk meg, hogy (µ λ)(e) = µ(e t) dλ(t), ahol E t = {x t : x E}. (e) Mutassuk meg, hogy µ λ diszkrét, ha µ és λ is diszkrét, és folytoos, ha µ folytoos. Továbbá µ λ << m, ha λ << m, ahol m a Lebesguemérték ( m / M!). (f) Ha dµ = fdm és dλ = g dm, ahol f, g L 1 (R), akkor d(λ µ) = (f g) dm, ahol (f g)(x) = f(x t)g(t) dt a szokásos kovolúció. ([10]) Megjegyzés. A valószíűségszámításba defiiált kovolúció a fetiek speciális esete, amikor λ és µ Lebesgue Stieltjes-mértékek. Az (f) pot a sűrűségfüggvéyre voatkozó formula általáosa Legyeek X 1, X 2, X 3 függetle Exp(1) eloszlású véletle változók. Határozzuk meg (X 2 X 1, X 3 X 2 ) együttes sűrűségfüggvéyét! Legyeek X 1 és X 2 függetle (1,0) paraméterű Cauchy-eloszlású véletle változók. Mutassuk meg, hogy is (1,0) paraméterű Cauchy-eloszlás. Y = X 1 + X 2 1 X 1 X Igazoljuk, hogy függetle stadard ormálisok háyadosa Cauchyeloszlású! Legyeek X, Y függetle expoeciális eloszlású véletle változók 1 paraméterrel. Határozzuk meg X/(X + Y ) eloszlását! Legyeek γ és γ függetle gamma eloszlású véletle változók (a, c) és (b, c) paraméterekkel. Mutassuk meg, hogy γ/(γ + γ ) eloszlása beta(a, b), és függetle γ + γ változótól, amiek eloszlása gamma(a + b, c). Bertoi, de folklór Legyeek X 1, X 2,... függetle Exp(1) eloszlású véletle változók, és jelölje S = X X a részletösszegüket. Igazoljuk, hogy az ( ) S1 S 2 S,,..., S +1 S S +1

33 véletle vektor eloszlása tetszőleges rögzített eseté megegyezik egy [0,1]- e egyeletes eloszlásból vett elemű redezett mita eloszlásával, azaz az (U 1,..., U ) vektor eloszlásával, ahol U 1,..., U függetle Egyeletes(0, 1) véletle változók, és U 1 U 2... U ezek sorba redezése. Segítség. A sűrűségfüggvéyek egyelőségét igazoljuk. Világos, hogy midkét vektor az {0 x 1... x 1} térrészbe kocetrált. Világos, hogy a redezett mita sűrűsége eze a halmazo kostas!. Vegyük egy tetszőleges 0 < x 1 < x 2 <... < x < 1 potot. A lim h i 0,i=1,..., ( ) 1 2 h i P{S i /S +1 (x i h i, x i + h i ), i = 1,..., } i=1 határértéket akarjuk meghatározi. Hajtsuk végre az x x i = u i, i = 1,...,, + 1 itegráltraszformációt, és vegyük észre, hogy elég kis h i értékek eseté a diszjukt ((x i h i )u +1, (x i + h i )u +1 ) itervallumoko itegráluk, i = 1,...,. Így azt kapjuk, hogy a föti limesz = lim h i 0,i=1,..., ( ) 1 2 h i i=1 0 [2h i u +1 ]e u +1 du +1 =!. i=1 5. Várható érték Várható érték, mometumok, egyelőtleségek Legye (Ω, A, P) valószíűségi mező, X egy véletle változó. véletle változó várható értéke E(X) = XdP. Ω Az X Jelölje F az X eloszlásfüggvéyét, és µ F az F által idukált Lebesgue Stieltjes-mértéket. Teljesül az ú. traszformációs tétel: h(x)dp = h(x)df (x)(= h(x)dµ X (x), Ω R ahol h valós mérhető függvéy. Az egyelőség úgy értedő, hogy a két oldal ugyaakkor létezik, és ha létezek akkor egyelők. Az X k-adik mometuma E(X k ), ill. k-adik cetrális mometuma E((X E(X)) k ). Speciálisa a szóráségyzet a második cetrális mometum: D 2 (X) = E((X E(X)) 2 ). R 33

34 A Csebisev-egyelőtleséggel becsülhetjük a várható értéktől való eltérést: P{ X E(X) ε} D 2 (X)/ε 2. [Magasabb mometumok létezése eseté a becslés fiomítható (lásd Feladat).] Mivel a várható érték egy itegrál, ezért a szokásos tulajdoságok teljesülek: liearitás; kovergeciatételek: Lebesgue mooto, Lebesgue majorás; Hölder-, Mikowski-, Jese-egyelőtleség. Az (X 1,..., X ) : Ω R véletle vektorváltozó várhatóérték-vektora az (E(X 1 ),..., E(X )) vektor, kovariaciamátrixa az a (σ ij ) i,j=1 mátrix, melyre σ ij =Cov(X i, X j ) = E[(X i E(X i ))(X j E(X j ))] Egy halastóba N hal va. Kihalászuk M halat, megjelöljük őket, és visszaeresztjük a tóba. Bizoyos idő elteltével, miutá jól elkeveredtek, kihalászuk -et. Ezek között legye a megjelöltek száma X. A teljes halállomáy N meghatározására az M /(X + 1) becslést haszáljuk. Számítsuk ki eek a várható értékét és szórását! Miért em a logikusabb M /X becslést haszáljuk? 5.2. Határozzuk meg a Poisso, a biomiális, az egyeletes és az expoeciális eloszlás várható értékét és szórását! 5.3. Határozzuk meg 1/(X + 1) várható értékét, ha (a) X Biom(, p); (b) X Poisso(λ); (c) X geometriai eloszlású; (d) X hipergeometriai eloszlású Adjuk példát olya X véletle változóra, melyre E( X α ) =, tetszőleges α > 0 eseté Legye (X, Y ) együttes sűrűségfüggvéye h(x, y) = 1 x 2 +π 2 y 2 8π 2 e 8π 2. Függetleek-e X és Y? Határozzuk meg a várható érték vektort és a kovariaciamátrixot! 5.6. Legyeek X és Y függetle N(0,1) véletle változó. Határozzuk meg E( X 2 Y 2 ) értékét! 5.7. Határozzuk meg X véletle változó k-adik mometumát, k = 1, 2,..., ha 34

35 (a) X N(0, σ 2 ); (b) X Exp(λ); (c) X χ 2 () Számítsuk ki az ötöslottó kihúzott legagyobb és legkisebb szám várható értékét és szórását! 5.9. Határozzuk meg a poliomiális és polihipergeometrikus eloszlás várható érték vektorát és kovariaciamátrixát! Megjegyzés. Polihipergeometrikus eloszlás: P(X 1 = k 1, X 2 = k 2,..., X = k ) ( ) M 1 ( M1 = m k 1 )( M2 k 2 )... ( M k )( M i=1 M i m i=1 k i ahol k i 0, i=1 k i m és M i 0, i = 1, 2,...,, i=1 M i M, m M Mutassuk meg, hogy ha X és Y függetleek akkor korrelálatlaok. Példával igazoljuk, hogy a megfordítás em igaz! Mutassuk meg, hogy r(x, Y ) = 1 potosa akkor teljesül, ha Y = ax + b, valamilye a, b R álladókra Legye f(x, y) = c(x + y), 0 x, y 1, egy (X, Y ) vektorváltozó sűrűségfüggvéye. Meyi c értéke, peremeloszlások, várható érték vektor, kovariaciamátrix, Xe Y várható értéke Legye X és Y függetle Poisso eloszlású véletle változó λ illetve µ paraméterrel. Határozzuk meg X + Y és XY várható értékét és szórását, valamit a két változó kovariaciáját Legye az X és Y változók együttes sűrűségfüggvéye f(x, y) = 6e 2x 3y (x, y > 0), 0, külöbe. Határozzuk meg az együttes és margiális eloszlásfüggvéyeket! Adjuk meg a kovariaciamátrixot! Legye X és Y együttes sűrűsége f, ahol (a) f(x, y) = xe x(1+y), ha x, y 0; (b) f(x, y) = 6xy 2, ha x, y 0 és x + y 1; (c) f(x, y) = 2xy + x, ha x, y (0, 1); 35 ),

36 (d) f(x, y) = (x + y) 2 (x y) 2, ha x, y (0, 1). Határozzuk meg a kovariaciamátrixot! Legye az (X, Y ) véletle vektor sűrűsége f(x, y) = 3/x 5, ha x y 0, x 1. Adjuk meg a kovariaciamátrixot! Legyeek X és Y függetle stadard ormálisok. Határozzuk meg az (X Y, X + Y ) vektor várhatóérték-vektorát és kovariaciamátrixát! Legyeek X 1, X 2,..., X ugyaazo a valószíűségi mező defiiált véletle változók. Mutassuk meg, hogy a véletle változók potosa akkor függetleek, ha tetszőleges t 1, t 2,..., t : R R korlátos mérhető függvéyek eseté E (t 1 (X 1 )t 2 (X 2 )... t (X )) = E (t 1 (X 1 )) E (t 2 (X 2 ))... E (t (X )) Legye X véletle változó. Mutassuk meg, hogy (a) ha E(X) <, akkor (b) ha E(X 2 ) <, akkor lim x [1 F (x)] = 0 és lim xf (x) = 0; x x lim x x 2 df (y) y >x y <x y2 df (y) = 0. Megoldás. Az (a) részt bizoyítjuk, a (b) hasolóa megy. Először itegrálalakba írjuk az x[1 F (x)] kifejezést, majd a határból leválasztjuk x-et. Ha x > 0, akkor x [1 F (x)] = x x df (y) = 0 xi {y>x} (y)df (y). Vegyük észre, hogy mide y > 0 eseté xi {y>x} (y) 0, amit x, hisz ha x > y akkor az itegradus 0. Tehát csak azt kell beláti, hogy az itegrálás és a határátmeet felcserélhető, amit Lebesgue Majorás Kovergeciatételével bizoyítuk. Világos, hogy xi {y>x} (y) y mide x-re, és y itegrálható df (y) szerit, hisze y df (y) = E X <. Ezzel az állítást R beláttuk. 36

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai

Részletesebben

Tómács Tibor. Matematikai statisztika

Tómács Tibor. Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Építőkari Matematika A3 1. Ha E(X = 1 és D 2 (X = 5, határozzuk meg (a E[(2 + X 2 ], (b D 2 (4 + 3X értékét. 2. Legyenek X 1, X 2,... független azonos eloszlású

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2 ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21. Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy

Részletesebben

Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában

Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Simon Péter Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában egyetemi jegyzet A jegyzet az ELTE IK 2010. évi Jegyzettámogatási pályázat támogatásával készült

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+

I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+ I ALAPFOGALMAK I BEVEZETİ Jelölése: K: véletle ísérlet, ω : elem eseméy, { : } Ω= ω : eseméytér, F Ω : eseméyalgebra, A F : eseméy, Ω F : bztos eseméy Mővelete eseméyeel: összegzés: A+B (halmazuó), szorzás:

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat 1. Egy borfajta alkoholtartalmának meghatározására méréseket végzünk. Az egyes mérések eredményei egymástól független valószínûségi változók, melyek normális eloszlásúak,

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

Feladatok megoldással

Feladatok megoldással Fladatok mgoldással. sztmbr 6.. Halmazrdszrk. Igazoljuk! A \ B A r (A r B) (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) Mgoldás. A r (A r B) A \ A \ B A \ A [ B A \ A [ (A \ B) A \ B (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) (A

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik

Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2006

A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2006 A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2006 Köszönöm Koós Gabriella végzős hallgatónak, hogy felhívta a figyelmemet az anyag előző változatában szereplő néhány

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. *************** JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Metrikus terek. továbbra is.

Metrikus terek. továbbra is. Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d

Részletesebben

Fourier-transzformáció

Fourier-transzformáció EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Simon Péter Fourier-transzformáció Ez a tanulmány az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával készült (a támogatás száma:

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Feszített vasbeton gerendatartó tervezése költségoptimumra

Feszített vasbeton gerendatartó tervezése költségoptimumra newton Dr. Szalai Kálmán "Vasbetonelmélet" c. tárgya keretében elhangzott előadások alapján k 1000 km k m meter m Ft 1 1 1000 Feszített vasbeton gerendatartó tervezése költségoptimumra deg A következőkben

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Sorbanállási modellek

Sorbanállási modellek VIII. előadás Sorbaállási modellek Sorbaállás: A sorbaállás, a várakozás általáos probléma közlekedés, vásárlás, takolás, étterem, javításra várás, stb. Eze feladatok elmélete és gyakorlata a matematikai

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

Andai Attila: november 13.

Andai Attila: november 13. Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában

Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában Nagy V. Gábor SZTE Bolyai Intézet Eötvös Loránd Kollégium, Matematika Műhely Szeged, 2013. október 25. ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés 1/21 Definíció. A G 1,...,

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

(2) A R. 3. (2) bekezdése helyébe a következő rendelkezés lép: (2) A képviselő-testület az önkormányzat összes kiadását 1.1369.

(2) A R. 3. (2) bekezdése helyébe a következő rendelkezés lép: (2) A képviselő-testület az önkormányzat összes kiadását 1.1369. Enying Város Önkormányzata Képviselő-testületének 20/2010. (X. 05.) önkormányzati rendelete az Enying Város Önkormányzatának 2100. évi költségvetéséről szóló 7/2010. (II. 26.) önkormányzati rendelete módosításáról

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET FZKA BSc,. évfolya /. félév, Optika tárgy TERFERECA - ÓRA JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 8. AJÁLOTT SZAKRODALOM: ALAPFOGALMAK Klei-Furtak, Optics Richter, Bevezetés a oder optikába Bor-Wolf, Priciples of

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

, &!!! )! ),!% ), &! )..! ). 7!# &!!,!! 6 ) &! & 6! ) &!! #! 7! ( % ) ) 0!! ) & 6 # &! #! 7.!#! 9 : %!!0!

, &!!! )! ),!% ), &! )..! ). 7!# &!!,!! 6 ) &! & 6! ) &!! #! 7! ( % ) ) 0!! ) & 6 # &! #! 7.!#! 9 : %!!0! !!#!! % & (! )!!! ) +, &!!! )! ),!% ), &! )..! ). /% 0) / # ) ( ), 1!# 2 3 4 5 (!! ( 6 # 7!# &!!,!! 6 ) &! & 6! ) &!! #! 7! 8!!,!% #(( 1 6! 6 # &! #! # %& % ( % ) ) 0!! ) & 6 # &! #! 7.!#! 9 : %!!0!!!,

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Megoldások. 2001. augusztus 8.

Megoldások. 2001. augusztus 8. Megoldások 2001. augusztus 8. 1 1. El zetes tudnivalók a különböz matematikai logikai nyelvekr l 1.1. (a) Igen (b) Igen (c) Nem, mert nem kijelent mondat. (d) Nem fejez ki önmagában állítást. "Ádám azt

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem 2006 Bevezetés Ez az anyag tartalmazza az Algebra és számelmélet című tárgy 4. féléves részének kötelező elméleti

Részletesebben

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03.

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségiráyítási redszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségtartó szabályozás Elleőrző kártyák miősítéses jellemzőkre Két esete: A termékre voatkozó adat: - valamely jellemző alapjá megfelelő em megfelelő:

Részletesebben

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk: Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben