Kevei Péter november 22.

Átírás

1 Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter ovember 22. 1

2 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség törvéyek Vektorváltozók Véletle változók traszformáltjai Várható érték Karakterisztikus függvéy Véletle változók kovergeciája Feltételes várható érték Cetrális határeloszlás-tétel Martigálok diszkrét időbe 71 2

3 Előszó A feladatgyűjteméy a Szegedi Tudomáyegyetem Matematika BSc szakos hallgatói számára tartott Valószíűségelmélet c. tárgyhoz készült. A heti égy óra előadáshoz csupá egy óra gyakorlat va, ezért külööse fotos az otthoi feladatmegoldás. Eek megköyítését célozza meg a jegyzet. Magyar yelve kevés olya valószíűségszámítás feladatgyűjteméy va, ami haszálható a Valószíűségelmélet tárgyhoz. Ilye a klasszikus Ötszerzős példatár, Bogár, Mogyoródi, Prékopa, Réyi, Szász: Valószíűségszá- mítási feladatgyűjteméy [3]. Ugyaakkor e feladatgyűjteméy sem fedi le teljese a jele példatár ayagát, hisze em mértékelméleti megközelítést haszál, így eseméyek mérhetősége, farokeseméyek kimaradak. Másrészt [3] sok olya témakört is tartalmaz, amivel itt em foglalkozuk; pl. elemi valószíűségszámítási példák, sztochasztikus folyamatok. A másik magyar yelvű feladatgyűjteméy az iterete elérhető Barczy, Pap: Valószíűségszámítás II. példatár [1], ami már felöleli a Valószíűségelmélet tárgy ayagát. A jele példatár és [1] ayaga agyjából megegyezik, az egyes témákból az egyik illetve másik tartalmaz több feladatot. A tárgyalt feladatok közül sok része a matematikai folklórak, de ahol tudtam feltütettem a forrást. Az említett két példatár mellett sok feladatot vettem át Billigsley [2] és Breima [4] köyvéből, éháy a Kolmogorov versey feladatai [5] közül való. Sok példa kutatásaim sorá merült fel, ezekél megadtam a hivatkozást (cikket vagy köyvet), illetve sok saját agyszüleméyem. A feladatok témák szerit vaak csoportosítva, mide téma elejé egy rövid elméleti összefoglaló található, melybe a szükséges defiíciók és főbb tételek, tulajdoságok szerepelek. Mide témába jó éháy feladat megoldása agyo részletese ki va dolgozva, egyes példákál pedig rövid útmutatás található. A feladatgyűjteméy írása a TÁMOP A/ Nemzeti Kiválóság Program című kiemelt projekt keretébe zajlott. A projekt az Európai Uió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfiaszírozásával valósul meg. 3

4 1. Mérhetőség Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-itegrál, véletle változók és eloszlásfüggvéyeik Az A halmazredszer σ-algebra az Ω alaphalmazo, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazredszer algebra, ha csak a véges uióra zárt. A µ halmazfüggvéy mérték, ha emegatív, em azoosa végtele és σ-additív A-. Valószíűségi mérték eseté µ(ω) = 1. A C halmazredszer félalgebra, ha zárt a metszetre és mide eleméek komplemetere előáll C-beli halmazok diszjukt uiójakét. Tetszőleges sok σ-algebra metszete σ-algebra. Ebből következik, hogy mide C halmazredszerhez va őt tartalmazó legszűkebb σ-algebra; ezt evezzük a C által geerált σ-algebráak. Jele: σ(c). Ha adott egy topológia, akkor a yitott halmazok által geerált σ-algebra a Borel-halmazok σ-algebrája. Az f : Ω R valós függvéy A-mérhető, ha mide B B Borelhalmazra f 1 (B) = {ω : f(ω) B} A. Az X valós függvéy akkor véletle változó, ha mérhető. Eloszlásfüggvéye F (x) = P{X x}. Egy függvéy akkor és csak akkor eloszlásfüggvéy, ha mooto övő, jobbról folytoos és F ( ) = 0, F ( ) = 1. A mérhetőséget elég geerátorredszere elleőrizi. A leggyakrabba haszált speciális esetek: f mérhető, ha mide x-re: f 1 ((, x]) A; f 1 ((, x)) A; f 1 ((x, )) A;.... Sőt elegedő csak racioális x- ekre megköveteli a feltételeket. Legye F mooto övő jobbról folytoos függvéy az egyeese és legye a < b eseté µ F ((a, b]) = F (b) F (a). Ezzel defiiáltuk µ F -et a C = {(a, b] : a < b } félalgebrá. Megmutatható, hogy µ F mérték C-. A kiterjesztési eljárás szerit µ F kiterjeszthető a B = σ(c) Borelhalmazoko defiiált mértékké. Ezt evezzük az F által idukált Lebesgue Stieltjes-mértékek, melyet µ F -el jelölük. Sőt, általába a dµ F = df jelölést haszáljuk Legye A a véges vagy ko-véges (A ko-véges, ha komplemetere véges) halmazok osztálya. Igazoljuk, hogy A algebra, de csak akkor σ-algebra, ha Ω véges! Megoldás. Az A halmazredszer defiíciójába A és A c szerepe szimmetrikus, ezért ha A A, akkor A c A is teljesül. Nézzük most az uióra való zártságot. Elég 2-re igazoli, azaz ha A, B A, akkor A B A. Ha A c vagy B c véges, akkor (A B) c = A c B c miatt (A B) c is véges, így 4

5 (A B) A. Ha pedig A és B is véges, akkor A B is véges, így A. Ezzel beláttuk, hogy A algebra. Ha Ω =, akkor va ω 1, ω 2,... végtele sok külöböző eleme. Nyilvá {ω} A mide ω Ω eseté. Viszot az A = {ω 1, ω 3, ω 5,...} halmaz végtele, és a komplemetere tartalmazza az {ω 2, ω 4, ω 6,...} végtele halmazt, így A / A. Tehát ekkor A em σ-algebra. Véges alaphalmazo persze az algebra és a σ-algebra tulajdoság ugyaaz Legye A a megszámlálható vagy ko-megszámlálható halmazok osztálya. Igazoljuk, hogy A σ-algebra! Legye C = {{x} : x Ω}. Mutassuk meg, hogy σ(c) = A! 1.3. Legye Ω = N = {1, 2,...} és { } #(A {1,..., }) C = A N : D(A) = lim létezik. A D(A) értéket az A halmaz számelméleti sűrűségéek evezik (persze csak ha létezik). Igazoljuk, hogy (a) D( ) végese additív C-; (b) D( ) em mérték C-; (c) C kotiuum számosságú; (d) C zárt a véges diszjukt uióra! Mi lesz a D által idukált külső mérték? ([2] Problem 2.18 p.35) 1.4. Adjuk meg a lottóhúzást leíró valószíűségi mezőt! 1.5. Igazoljuk, hogy σ-algebra számossága em lehet megszámlálhatóa végtele, tehát vagy véges vagy legalább kotiuum sok eleme va Határozzuk meg az alábbi halmazredszerek által geerált τ(h) topológiát és σ(h) σ-algebrát! Milye kapcsolat áll τ(h) és σ(h) között? (a) H 1 = {(a, b) : a, b R, a < b}; (b) H 2 = {[a, b] : a, b R, a < b}; (c) H 3 = {(a, b] : a, b R, a < b}; (d) H 4 = {(, a] : a R}; (e) H 5 = {(a, ) : a R}. 5

6 1.7. Legyeek X, = 1, 2,..., véletle változók az (Ω, A, P) valószíűségi mező. Igazoljuk, hogy a következő halmazok mérhetők: (i) {sup X > 0}; (ii) {sup X = 0}; (iii) lim sup X 0}. Tetszőleges Y : Ω R, és B R eseté Y 1 (B) = {Y B} = {ω : Y (ω) B}. Megoldás. Az ilye feladatokál a kérdéses halmazt elő kell állítai ívóhalmazokból ({X x}, vagy {X < x}, vagy ezek komplemetere) megszámlálható sok halmazelméleti művelet (metszet, uió, külöbség) segítségével. (i) Az első példába azt kell észrevei, hogy egy x valós számsorozat szuprémuma potosa akkor szigorúa pozitív, ha va pozitív eleme. Azaz sup x > 0 potosa akkor, ha létezik olya, melyre x > 0. A példába azokat az ω kimeeteleket kell összegyűjtei, melyre sup X (ω) > 0. Ezek szerit {sup X > 0} = {ω : sup X (ω) > 0} = =1{ω : X (ω) > 0} = =1{X > 0}. Mivel mide eseté {X > 0} mérhető halmaz, és mérhető halmazok megszámlálható uiója is mérhető, ezért az állítást beláttuk. A többi rész bizoyítását em írjuk ki ilye részletese. (ii) Világos, hogy a feti godolatmeetbe 0 helyett tetszőleges valós számot írva is mide igaz marad, így {sup X > α} A (a mérhetőség szioimája a A), tetszőleges α R eseté. Mivel {sup X = 0} = {sup X 0}\{sup X > 0}, ezért ha belátjuk, hogy {sup X 0} A, akkor késze vagyuk. Na de {sup X 0} = k=1{sup X > k 1 }, és a megszámlálható metszet mide eleme mérhető, így a σ-algebra tulajdoság miatt a metszet is mérhető. (Vegyük észre, hogy {sup X 0} = =1{X 0}. A 1/ sorozat egy ellepélda.) (iii) A lim sup defiícióját kell haszáli, amit valós számsorozatokra taultuk. Eszerit lim sup x 0 potosa akkor, ha mide ε > 0 eseté a sorozatak végtele sok ε-ál agyobb eleme va, vagy másképp, mide ε > 0, mide N eseté létezik k, hogy x k > ε. Köyű meggodoli, hogy a halmazos átírásba a mide kvatorak az metszet, a létezik kvatorak pedig az uió felel meg (ezt már (i)-él is haszáltuk). Arra kell 6

7 még figyeli, hogy ε helyett egy diszkrét 0-hoz tartó sorozatot kell íri, hogy megszámlálható metszetet kapjuk. Tehát {lim sup X 0} = m=1 =1 k={x k > m 1 }. Mivel X, = 1, 2,..., véletle változók, ezért mérhetőek, {X k > m 1 } A, mide k és m eseté. Ilyeek megszámlálható uiója mérhető, mérhető halmazok megszámlálható metszete mérhető, végül mérhető halmazok megszámlálható metszete megit mérhető, és kész Legyeek X, = 1, 2,..., véletle változók az (Ω, A, P) valószíűségi mező és c tetszőleges valós szám. Igazoljuk, hogy az alábbi halmazok mérhetők: {ω : lim X (ω) = c} = {lim X = c}; {lim X létezik}; { =1 X < }; {lim sup X c} Legyeek f, g, f mérhetőek. Mutassuk meg, hogy f +g, cf, mi(f, g), if f, sup f, lim if f mérhetőek! Egy halmaz G δ, ha megszámlálható sok yitott halmaz metszete. Mutassuk meg, hogy az irracioális számok halmaza G δ. Adjuk példát olya függvéyre, melyek folytoossági potjai az irracioális számok. [Azaz a függvéy mide racioális potba szakad, de mide irracioálisba folytoos.] Mutassuk meg, hogy a racioális számok halmaza em G δ. [Haszáljuk a Baire-kategóriatételt!] ([10]) Igazoljuk, hogy f : R R tetszőleges függvéy folytoossági potjaiak halmaza G δ! Az előző feladat alapjá ez azt jeleti, hogy ics olya függvéy, ami a racioális potokba folytoos, az irracioálisokba meg szakad. ([10]) Segítség. Defiiáljuk a φ(x, δ) = sup{ f(s) f(t) : s, t (x δ, x + δ)}, φ(x) = if δ>0 φ(x, δ) függvéyeket. Mutassuk meg, hogy f potosa akkor folytoos x- be, ha φ(x) = 0. A φ ullhelyeit meg elő lehet állítai megszámlálható sok yitott halmaz metszetekét Legye f : R R Borel-mérhető függvéy. Mutassuk meg, hogy az a halmaz, ahol a deriváltja létezik, mérhető! Legye F (x) tetszőleges eloszlásfüggvéy. Írjuk fel F (x) segítségével a következő halmazok µ F (F által geerált) Lebesgue Stieltjes-mértékét: (0, 1], {0}, [0, 1), [0, ), R, Q, Q. Megoldás. A defiíció szerit µ F ((0, 1]) = F (1) F (0). Az egyelemű halmazok viszot már em (a, b] alakúak, ezért ilyekor a defiíció em elég. Haszáljuk a mértékek folytoossági tételét! Világos, hogy {0} = =1( 1, 0], és a ( 1/, 0] halmazsorozat mooto csökkeő, 7

8 így, mivel µ F (( 1, 0]) < (valószíűségi mérték eseté ez a feltétel midig teljesül) így a folytoossági tétel szerit µ F ({0}) = µ F ( =1( 1, 0]) = lim µ F (( 1, 0]) = lim (F (0) F ( 1 )) = F (0) F (0 ), ahol F (x ) = lim y x F (y) az x-beli baloldali határérték. Fotos láti, hogy ez éppe az F eloszlásfüggvéy ugrása a 0 potba. Általáosa, tetszőleges x R eseté µ F ({x}) = F (x) F (x ). Ebből azoal következik, hogy ha F folytoos akkor mide egyelemű, és így mide megszámlálható sok elemű halmaz mértéke 0. Mivel [0, 1) = ({0} (0, 1])\{1}, így az előzőek és a mérték tulajdoságai alapjá µ F ([0, 1)) = (F (0) F (0 )+F (1) F (0)) (F (1) F (1 )) = F (1 ) F (0 ). Megit a folytoossági tételt haszáljuk: (0, ) = =1(0, ], és az uió mooto, ezért µ F ((0, )) = µ F ( =1(0, ]) = lim (F () F (0)) = 1 F (0). Így µ F ([0, )) = 1 F (0 ). A számegyees mértékét hasolóa számolhatjuk: R = =1(, ], és az uió mooto, így µ F (R) = µ F ( =1(, ]) = lim µ F ((, ]) = lim (F () F ( )) = 1 0 = 1. A racioális számok megszámlálható soka vaak, ezért µ F (Q) = µ F ( r Q {r}) = r Q µ F ({r}) = r Q(F (r) F (r )). Végül R = Q Q, és az uió diszjukt, így µ F (Q ) = 1 µ F (Q) = 1 r Q(F (r) F (r )) Legye 8

9 (a) F (x) = 1 ha x 0, 0 külöbe; (b) F (x) = k/, ha x [k, k + 1), 1 k, 0, ha x < 1 és 1, ha x. (c) F (x) = 1 e x, ha x > 0, 0 külöbe. Határozzuk meg az gdµ F itegrál értékét, ahol g tetszőleges mérhető függvéy! Megoldás. (a) Az előzőek szerit µ F ({0}) = F (0) F (0 ) = 1, azaz a mérték egységyi tömeget tesz a 0 potba, és máshova em is tesz tömeget. Ezért tetszőleges A Borel-halmazra µ F (A) = I A (0) = 1 ha 0 A és 0 külöbe. Ebből világos, hogy a g függvéyek csak a 0-ba felvett értéke az érdekes, és az itegrál defiíciója alapjá gdf = gdµ F = g(0) 1. Fotos láti, hogy ez a függvéy egy olya véletle változó eloszlásfüggvéye, mely egy valószíűséggel 0 értéket vesz fel. Az ilye változókat degeerált véletle változóak evezzük, hisze valójába em is véletle. (b) Ez a függvéy is egy tiszta ugrófüggvéy, ami egy olya változó eloszlásfüggvéye, mely az {1, 2,..., } értékeket veheti fel, midegyiket 1/ valószíűséggel. Tehát a µ F mérték az {1, 2,..., } potokra kocetrálódik, és µ F (A) = 1 A {1, 2,..., }, A B 1, azaz csak az számít, hogy az A halmazba háy pot esik az {1, 2,..., } elemek közül. Ie világos, hogy a g függvéy {1, 2,..., } potokba felvett értéke az érdekes, és gdf = gdµ F = k=1 g(k) 1. (c) Ez a függvéy folytoos (hát persze, ő az egy paraméterű expoeciális eloszlás eloszlásfüggvéye), ezért mide megszámlálható halmaz µ F szeriti mértéke 0. Azt is látjuk, hogy a (, 0] félegyees mértéke 0, és így eek bármely részhalmazáak is 0 a mértéke. Legye most 0 < a < b <. A Newto Leibiz-formulát, és az idukált mérték defiícióját alkalmazva µ F ((a, b]) = F (b) F (a) = e a e b = Ezt éppe úgy is írhatjuk, hogy I (a,b] (y)df (y) = R 9 R b a I (a,b] (y)e y dy. e y dy.

10 Az itegrál liearitását és a Lebesgue Mooto Kovergeciatételt haszálva (éppe úgy, ahogy ezt mértékelméletből megtaultuk) kapjuk, hogy tetszőleges g mérhető függvéyre gdf = g(y)e y dy = g(y)f(y)dy, 0 ahol f(y) = e y, ha y 0, és 0 külöbe, azaz f(y) = F (y). Itt azt kell megjegyezi, hogy abszolút folytoos esetbe df (y) = f(y)dy Adjuk meg a G(x) függvéy által idukált µ G Lebesgue Stieltjesmértékek a λ Lebesgue-mértékre voatkozó Lebesgue-felbotását, és határozzuk meg az abszolút folytoos tag Rado Nikodym-deriváltját. Számoljuk ki az g(x)dg(x) Lebesgue Stieltjes-itegrálok értékét! A { 1 e (a) A = R, g(x) = x, G(x) = κx, ha x 0, 0, ha x < 0,, κ > 0. (b) A = R, g(x) = x 2, G(x) = R { e κ κ m m=0, ha x [, + 1), m! 0, ha x < 0. (c) A = ( 2, 2), 1, ha x 1, x + 3, ha 1 < x < 0, g(x) = cos x, ha 0 x < π/2, x 2, ha π/2 x, x, ha x < 1, 0, ha 1 x < 0, G(x) = x 2, ha 0 x < 1, e x, ha 1 x Legye (Ω, A, P) tetszőleges valószíűségi mező, és A = {ω Ω : P({ω}) > 0}. Mutassuk meg, hogy A megszámlálható! Igazak-e a következő állítások? (a) Ha X véletle változó, akkor X 2 is. (b) Ha X 2 véletle változó, akkor X is. (c) Ha X 2 véletle változó, akkor X is Az X véletle változóról akkor modjuk, hogy eloszlása szimmetrikus 0-ra, ha X és X eloszlása megegyezik. Mutassuk meg, hogy X eloszlása potosa akkor szimmetrikus 0-ra, ha eloszlásfüggvéyére F (x) + F ( x ) = 1, x R feáll! 10

11 1.19. Mutassuk meg, hogy tetszőleges F (x) eloszlásfüggvéy eseté feáll: lim x x x lim x x 0+ x 1 df (z) = 0, z lim 1 df (z) = 0, z lim x x x x 0 x 1 df (z) = 0; z 1 df (z) = 0. z Megoldás. Belátjuk az első állítást, a többi ugyaúgy megy. Nyilvá x x 1 df (z) = z 0 x z I z>x(z)df (z). Az itegradus (mit z függvéye) mide rögzített z > 0 eseté kovergál 0-hoz, amit x, hisze ha x > z, akkor az itegradus 0. Azt kell tehát megmutati, hogy az itegrál és a határátmeet felcserélhető. Ezt Lebesgue Majorás Kovergeciatételével igazoljuk. Ehhez kell egy itegrálható majorás. Vegyük észre, hogy mide x-re és mide z-re, x z I z>x(z) 1, ami persze itegrálható µ F szerit, és ezzel az állítást igazoltuk Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges F eloszlásfüggvéyre, melyre F (0) = 0, F 1 (x)df (x) = Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges A 1, A 2,..., A eseméyek eseté P{A 1 A 2 A } P{A 1 } + P{A 2 } + + P{A } ( 1) Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges A, B, C eseméyekre (a) P{A C} P{A B} + P{B C}; (b) ha P{A B} = 0 akkor P{A} = P{B}; (c) P{A B} P{A C} P{B C}. 11

12 Megjegyzés. A a szimmetrikus differeciát jelöli, azaz A B = A\B B\A Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges A és B eseméyre P{A B} P{A}P{B} Legye (Ω, A, P) valószíűségi mező, A 0 A rész-σ-algebra és A A olya eseméy, melyre mide ɛ > 0 szám eseté létezik A ɛ A 0, hogy P(A A ɛ ) ɛ. Mutassuk meg, hogy va A 0 A 0, melyre P(A A 0 ) = Legye Ω = {ω 1, ω 2,...} megszámlálható halmaz, A = 2 Ω és P(ω ) = p > 0, ahol p p +1. (a) Bizoyítsuk be, hogy R(P) = {x : A A, P(A) = x} perfekt halmaz. (b) Bizoyítsuk be, hogy R(P) = [0, 1] potosa akkor, ha mide -re teljesül a p k=+1 p k feltétel. ([9]) Az (Ω, A, P) valószíűségi mezőt atommetesek evezzük, ha mide pozitív valószíűségű A eseméyhez va olya B A eseméy, hogy 0 < P{B} < P{A}. Bizoyítsuk be, hogy atommetes valószíűségi mező eseté R(P) = [0, 1]. ([9]) Bizoyítsuk be, hogy R(P) tetszőleges valószíűségi mező eseté zárt halmaz. ([9]) törvéyek Farok-σ-algebrák, Borel Catelli lemmák és Kolmogorov 0 1 törvéye Borel Catelli-lemmák. Legyeek A 1, A 2,... eseméyek. (I.) Ha =1 P{A } <, akkor az eseméyek közül egy valószíűséggel, csak véges sok következik be, azaz a {ω Ω : ω A végtele sok -re} = =1 k= A k = lim sup A halmaz mértéke 0, azaz P{lim sup A } = 0. (II.) Ha az eseméyek függetleek és =1 P{A } =, akkor az A 1, A 2,... eseméyek közül egy valószíűséggel (majdem biztosa) végtele sok következik be, azaz P{lim sup A } = 1. 12

13 Farok-σ-algebra. Legyeek X 1, X 2,... véletle változók az (Ω, A, P) valószíűségi mező. Az X 1, X 2,... változók által geerált farok-σ-algebra a T = =1σ(X, X +1,...) σ-algebra. Az A T eseméyeket farokeseméyekek evezzük. A defiícióba σ-algebrák mooto csökkeő sorozatáak metszete szerepel. Az ituitív jeletés: a T -beli eseméyek bekövetkezését em befolyásolja ha a változók közül véges sok megváltozik. Valóba, hisze ha A T akkor tetszőleges m N eseté A σ(x m+1, X m+2,...), azaz A em függ az X 1, X 2,..., X m változóktól. Ez alapjá világos, hogy a {lim X létezik}, { =1 X < } alakú eseméyek farokeseméyek, viszot az {if X < 0}, {X 10 > 2} eseméyek em azok. A precíz bizoyítást lásd a feladatok között. Kolmogorov 0 1 törvéye. Legyeek X 1, X 2,... függetle véletle változók, és legye T az általuk meghatározott farok-σ-algebra. Ekkor tetszőleges A T farokeseméy valószíűsége 0 vagy Az alábbi eseméyek közül melyek elemei az X 1, X 2,... véletle változók által geerált farok-σ-algebráak? {if X < c}; { lim X létezik}; {lim sup X 0}; N { } { } X < ; X < 0. =1 =1 (Tehát ami eleme, arról mutassuk meg hogy eleme, ami em eleme, arról mutassuk meg hogy em.) Megoldás. Feltehetjük, hogy c = 0. Az ituíció alapjá világos, hogy {if X < 0} em farokeseméy, hisze egyetle változó megváltoztatása is befolyásolja az ifimum értéket, ezáltal az eseméy bekövetkezését. A precíz bizoyítás ezért itt ellepélda kostruálását jeleti. Legye Ω = {ω 1, ω 2 }, A = 2 Ω = {, {ω 1 }, {ω 2 }, Ω}. Legye X 1 (ω 1 ) = 1, X 1 (ω 2 ) = 0, és X 2, 2. Mivel 2 eseté X degeerált, így σ(x ) = {, Ω} a triviális σ- algebra, és ezért ugyacsak σ(x, X +1,...) = {, Ω}. Ie azoal látjuk, hogy T = =1σ(X, X +1,...) = {, Ω}, azaz a farok-σ-algebra is a triviális. Ugyaakkor {if X < 0} = {X 1 < 0} = {X 1 = 1} = {ω 1 }, 13

14 ami em farokeseméy. Hasolóa egyszerű kostrukcióval igazolható, hogy { =1 X < 0} / T. A másik három eseméy farokeseméy, csak az egyik bizoyítását írjuk ki részletese. Mivel az {lim X létezik} eseméyél a határérték ics megadva, ezért létezését a Cauchy-féle belső kovergeciakritérium segítségével tudjuk leíri. Eszerit az x 1, x 2,..., (determiisztikus!) valós számsorozat potosa akkor koverges, ha ( ε > 0)( N = N(ε))( m, N) : x m x ε. A folytoos ε-t kicseréljük egy megszámlálható sorozatra (k 1 ) és a korábba látott módo lefordítjuk halmazok yelvére a feti tulajdoságot. Eszerit {lim X létezik} = k=1 N=1 m=n =N { X m X k 1 }. Mivel { X m X k 1 } mérhető, és mérhető halmazoko megszámlálható halmazelméleti műveletet elvégezve mérhetőt kapuk, azt láttuk be, hogy {lim X létezik} A. Ahhoz, hogy megmutassuk, hogy a {lim X létezik} eseméy farokeseméy, azt kell megmutati, hogy mide K eseté {lim X létezik} σ(x K, X K+1,...). Ehhez vegyük észre, hogy a m=n =N { X m X k 1 } halmazsorozat rögzített k eseté N-be mooto övő. Hát persze, hisz egyre kevesebb halmazt metszük össze. Emiatt N=1 m=n =N{ X m X k 1 } = N=K m=n =N{ X m X k 1 }, és a jobb oldalo álló mide halmaz már σ(x K, X K+1,...). állítás beláttuk Legyeek A 1, A 2,... eseméyek. Mi a Ezzel az lim sup A = =1 m= A és lim if A = =1 m= A eseméyek jeletése? Milye tartalmazás áll fö a két halmaz között? Megoldás. Megmutatjuk, hogy lim sup A = {ω : ω A végtele sok eseté}. Valóba, ha ω A végtele sok eseté, akkor mide 0 természetes számhoz va olya m > 0, hogy ω A m. Ezért ω m= 0 mide 0 14

15 eseté, ami éppe azt jeleti, hogy ω lim sup A. tartalmazás ugyaígy igazolható. Megmutatjuk, hogy A fordított iráyú lim if A = {ω : ω A véges sok kivételével mide eseté}. Valóba, ha va olya, hogy ω A m mide m eseté, akkor ω m= A m, és így ω =1 m= A m. A fordított iráy ugyaígy megy. A feti átfogalmazásból világos, hogy lim if A lim sup A. Midig erre a szemléletes jeletésre godoljuk, és e a defiícióra! 2.3. Mutassuk meg, hogy P{lim if A } lim if P{A } lim sup P{A } P{lim sup A } Mutassuk meg, hogy ( ) lim sup A ( ) lim sup A ( ( ) lim if A ( ) lim if A ( lim sup ( lim sup lim if ( lim if ) B lim sup(a B ); ) B = lim sup(a B ); ) B = lim if(a B ); ) B lim if(a B ), továbbá, hogy a két tartalmazás lehet szigorú. ([2] Problem 4.2. p.64) 2.5. Legyeek X 1, X 2,... függetle Exp(1) eloszlású véletle változók. Igazoljuk, hogy X lim sup log = 1 m.b. Megoldás. Először megmutatjuk, hogy lim sup X / log 1 m.b. Legye ε > 0 tetszőleges, rögzített, és legye A = {X > (1 ε) log }. Ekkor az A, = 1, 2,... eseméyek függetleek, hisze az X, = 1, 2,... változók függetleek és P{A } = P{X > (1 ε) log } = e (1 ε) log = (1 ε). Mivel =1 P{A } = =1 (1 ε) =, ezért a második Borel Catellilemma szerit az A eseméyek közül egy valószíűséggel végtele sok bekövetkezik, azaz az X / log végtele sok -re meghaladja 1 ε értéket, ami éppe 15

16 azt jeleti, hogy lim sup X / log 1 ε, m.b. Ezzel beláttuk, hogy tetszőleges ε > 0 szám eseté lim sup X / log 1 ε, m.b., vagy másképpe, ha B ε = {ω : lim sup X / log 1 ε}, akkor P{B ε } = 1. Legye ε 0 egy 0-hoz tartó mooto csökkeő sorozat, és B := =1B ε. Megszámlálható sok 1 mértékű eseméy metszete is 1 mértékű, így P{B} = 1. Ugyaakkor, B éppe az az eseméy, ahol lim sup X / log 1. Ezzel az egyik iráy kész. Azt kell még beláti, hogy lim sup X / log 1 m.b. Legye megit ε > 0 tetszőleges, rögzített, és legye C = {X > (1 + ε) log }. Ekkor P{C } = P{X > (1 + ε) log } = e (1+ε) log = (1+ε), és így =1 P{C } <. Az első Borel Catelli-lemma szerit a C eseméyek közül egy valószíűséggel csak véges sok következik be. Vegyük észre, hogy itt ics szükségük a függetleségre! Ez pedig éppe azt jeleti, hogy lim sup X / log < 1 + ε m.b. Jelölje D ε a lim sup X / log < 1 + ε eseméyt! Megmutattuk, hogy P{D ε } = 1. Legye ε 0 egy 0-hoz tartó mooto csökkeő sorozat, és D := =1D ε. Megszámlálható sok 1 mértékű eseméy metszete is 1 mértékű, így P{D} = 1. Ugyaakkor, D éppe az az eseméy, ahol lim sup X / log 1. Ezzel a másik iráy is kész Legyeek X 1, X 2,... függetle emegatív egész értékű véletle változók. Mutassuk meg, hogy az X 1 + X 2 + sor akkor és csakis akkor koverges m.b., ha P{X > 0} <. = Legyeek X 1, X 2,... függetle stadard ormális véletle változók. Mutassuk meg, hogy X lim sup = 1 m.b. 2 log Segítség. Mutassuk meg, hogy ( 1 x 1 ) x 3 ϕ(x) 1 Φ(x) 1 x ϕ(x) Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges p (0, 1) eseté aak a valószíűsége, hogy Z 2 élperkolációjába va végtele kompoes, az 0 vagy 1. (Azaz a 16

17 égyzetrács mide élét egymástól függetleül p valószíűséggel megtartom, 1 p valószíűséggel pedig eldobom.) 2.9. Legyeek X, X 1, X 2,... függetle, azoos eloszlású véletle változók, melyek közös eloszlásfüggvéye P{X x} = 1 1/x, ha x > 1, külöbe 0. Igazoljuk, hogy lim sup X log = m.b Legyeek X 1, X 2,... függetle, azoos eloszlású véletle változók [0, 1]-e. Mutassuk meg, hogy a =1 i=1 végtele sor majdem biztosa koverges, ha P{X = 1} < Legyeek X 1, X 2,... függetle Uiform(0, 1) véletle változók. Mutassuk meg hogy az X 1, X 2,... sorozat torlódási potjaiak halmaza [0, 1] m.b Legyeek X 1, X 2,... függetle λ > 0 paraméterű expoeciális eloszlású véletle változók. Adjuk meg egy kokrét a sorozatot, melyre eseté a és { P{X > (1 + ε)a végtele sok -re} = 0, ha ε > 0, 1, ha ε 0. X i Legye X 1, X 2,... egy végtele érmedobássorozat. Jelölje l az - edik lépéssel kezdődő 0-futam hosszát, azaz l = k, ha X = X +1 =... = X +k 1 = 0, és X +k = 1. Mutassuk meg, hogy P{l r} = 2 r, r N. Továbbá, ha =1 2 r <, akkor Következméykét igazoljuk, hogy ([2] Example 4.1 p.53) P{l r végtele sokszor } = 0. P{lim sup l log 2 1} = Folytatás. Igazoljuk, hogy r N mooto övő sorozat eseté ha =1 2 r /r = akkor P{l r végtele sokszor } = 1. 17

18 Következméykét P{ l log 2 és így a két feladatból együtt ([2] Example 4.1 p.53) 1 végtele sokszor } = 1, P{lim sup l log 2 = 1} = Szetpétervári paradoxo. Péter addig dobál egy szabályos érmét, míg fej em lesz. Ha ez a k-adik dobásra következik be először, akkor fizet Pálak 2 k dukátot. Ekkor, ha X jelöli Pál yereméyét, akkor P{X = 2 k } = 1/2 k. Meyi E(X)? Legyeek X 1, X 2,... függetle szetpétervári változók. Ezekre teljesül a következő gyege törvéy (Feller, 1945): { } S P log 1 > ε 0, mide ε > 0 eseté. Mutassuk meg, hogy lim sup X log = m.b., azaz a megfelelő erős törvéy em teljesülhet Tekitsük egy végtele fej írás sorozatot. Jelölje A azt az eseméyt, hogy az hosszú sorozatba va 1/2 log 2 egymás utái fej, B pedig azt az eseméyt, hogy va 3 log 2 egymás utái fej. Igazoljuk, hogy egy valószíűséggel A véges sok kivételével bekövetkezik, ugyaakkor B csak véges sok -re következik be! Erdős Réyi: O a ew law of large umbers 3. Vektorváltozók Vektorváltozók, abszolút folytoos és diszkrét eloszlások, sűrűségfüggvéy, függetleség, véletle változók traszformációi Az X = (X 1,..., X d ) : Ω R d függvéyt véletle vektorak evezzük, ha mérhető, azaz mide B B d d-dimeziós Borel-halmaz iverz képe A-beli. Ez potosa akkor teljesül, ha mide kompoes véletle változó 18

19 (miért?). A véletle vektor egyetle kompoeséek eloszlását evezzük peremeloszlásak. Az X véletle vektor eloszlásfüggvéye, vagy az X 1,..., X d változók együttes eloszlásfüggvéye az F (x 1,..., x d ) = P{X 1 x 1,..., X d x d } függvéy. Egy d-változós függvéy potosa akkor eloszlásfüggvéy, ha (1) mide koordiátájába jobbról folytoos és mooto övő (emcsökkeő); (2) mide i-re és mide rögzített x 1,..., x i 1, x i+1,..., x d valós számok eseté lim x F (x 1,..., x i 1, x, x i+1,..., x d ) = 0 teljesül; (3) lim x1,...,x d F (x 1,..., x d ) = 1; (4) F megváltozása mide téglateste 0. [Az egydimeziós esetbe (4) következik a mootoitásból, de magasabb dimezióba em (lásd 3.1. Feladat).] Az F eloszlásfüggvéy által idukált µ F Lebesgue Stieltjes-mérték az egydimeziós esethez hasolóa defiiálható [a balról yitott jobbról zárt téglák most is félalgebrát alkotak; egy ilye tégla mértéke legye F megváltozása]. Az X véletle vektor eloszlása folytoos, ha eloszlásfüggvéye abszolút folytoos, azaz va olya f : R d R valós mérhető függvéy, hogy µ F (B) = f(x)dx, mide B B Bd d-dimeziós Borel-halmazra. Nyilvá f csak Lebesgue-m.m. egyértelműe meghatározott; ezt evezzük X sűrűségfüggvéyéek. Az X véletle változó diszkrét, ha µ F -ek va megszámlálható tartója, azaz vaak x 1, x 2,... R k -beli potok, hogy =1 µ F ({x }) = 1. Az X 1, X 2,..., X véletle változók függetleek, ha P{X 1 B 1,..., X B } = P{X 1 B 1 } P{X B } teljesül mide B 1,..., B Borelhalmazra. Eek szükséges és elegedő feltétele, hogy az együttes eloszlásfüggvéy faktorizálható, azaz F (x 1,..., x ) = F (x 1 ) F (x ). Köye igazolható, hogy folytoos eloszlások eseté ez az együttes sűrűségfüggvéy faktorizálhatóságával ekvivales. Ha X folytoos, sűrűségfüggvéy-e f és P{X I} = 1, ahol I véges vagy végtele itervallum és h szigorúa mooto (övő vagy csökkeő), folytoosa differeciálható függvéy I-, h (x) 0, x I, akkor az Y = h(x) változó is folytoos és sűrűségfüggvéye { f(h 1 (y)), ha y h(i), g(y) = h (h 1 (y)) 0, ha y h(i), 19

20 3.1. Eloszlásfüggvéy-e? (a) H(x, y) = e e (x+y) ; (b) H(x, y) = e e x e y Határozzuk meg a poliomiális eloszlás peremeloszlásait! Megjegyzés. Az (X 1, X 2,..., X ) véletle vektor poliomiális eloszlású, ha P{X 1 = k 1, X 2 = k 2,..., X = k } = ( ) m p k 1 1 k 1, k 2,..., k 2 2 pk ( ) m j=1 1 p k j j, ahol k j 0, j=1 k j m, p j 0, j=1 p j 1, és ( ) m m! = k 1, k 2,..., k k 1!k 2! k!(m j=1 k j)! Legye U(x, y) = F (x)g(y)[1+α(1 F (x))(1 G(y))], ahol F (x), G(x) eloszlásfüggvéyek és α 1. Mutassuk meg, hogy U(x, y) eloszlásfüggvéy, melyek peremeloszlásai F (x) és G(y)! 3.4. Legye az (X, Y ) véletle változó eloszlása egyeletes az egységkörbe. Határozzuk meg az együttes eloszlásfüggvéyt és a peremeloszlások sűrűségfüggvéyeit! 3.5. Legye az X és Y véletle változók együttes sűrűségfüggvéye { 4 h(x, y) = (x + xy + y), ha(x, y) (0, 5 1)2, 0, külöbe. Határozzuk meg a peremeloszlásokat! 3.6. Mutassuk meg, hogy a következő függvéyek sűrűségfüggvéyek! (a) A λ paraméterű, p-ed redű Γ eloszlás (p > 0, λ > 0): { λ p x p 1 e f(x) = λx, ha x > 0, Γ(p) 0, külöbe. j=1 (b) Az (a, b) paraméterű Cauchy eloszlás (a > 0, b R): f(x) = 1 π 20 a a 2 + (x b) 2.

21 (c) Kétdimeziós Γ eloszlás (p, q > 0): { x p 1 (y x) q 1 e y, ha 0 < x < y <, h(x, y) = Γ(p)Γ(q) 0, külöbe A béta függvéy (vagy elsőfajú Euler féle itegrál). (a) Bizoyítsuk be, hogy B(x, y) = 1 0 tx 1 (1 t) y 1 dt <, x > 0, y > 0, és B(x, y) = B(y, x). (b) Bizoyítsuk be, hogy x > 0, y > 1 eseté B(x, y) = (c) Ha y N, akkor B(x, y) = (d) Tetszőleges N számra (y 1)! x(x+1)...(x+y 1). y 1 B(x, y 1). x+y 1 B(x, y) = (x + y)(x + y + 1)... (x + y + 1) B(x, y + ). y(y + 1)... (y + 1) (e) Igazoljuk a béta függvéy alábbi végtele szorzat előállítását: ( 1)! (x + y)(x + y + 1)... (x + y + 1) B(x, y) = lim x(x + 1)... (x + 1)y(y + 1)... (y + 1) A gamma függvéy (vagy másodfajú Euler féle itegrál). (a) Mutassuk meg, hogy Γ(x) = t x 1 e t dt <, x > 0, és tetszőleges 0 p > 0 eseté Γ(x) = p x u x 1 e up du. 0 (b) Mutassuk meg, hogy p x B(x, p + 1) < Γ(x) < (p + x + 1) x B(x, p + 1). (c) Mutassuk meg, hogy ( 1)! x Γ(x) = lim x(x + 1)... (x + 1). (d) Bizoyítsuk be, hogy B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x+y) Az alábbi f( ), h(, ) függvéyek esetébe határozzuk meg c álladó értékét, hogy sűrűségfüggvéyt kapjuk! Többdimeziós esetbe adjuk meg a peremeloszlásokat! 21

22 (a) A (p, q)-redű B eloszlás (p, q > 0): { cx f(x) = p 1 (1 x) q 1, ha 0 < x < 1, 0, külöbe. (b) Kétdimeziós B eloszlás (p, q, r > 0): { cx h(x, y) = p 1 y q 1 (1 x y) r 1, ha 0 < x, y és x + y < 1, 0, külöbe. { c e (c) h(x, y) = x, ha 0 x, 0 < y < 2, 0, külöbe. { e (d) h(x, y) = cx, ha 0 < y < x, 0, külöbe Jelölje ϕ() az Euler-féle függvéyt, azaz ϕ() az -él kisebb -hez relatív prím pozitív egészek száma. Bizoyítsuk be valószíűségszámítási úto, hogy ϕ() = ( 1 1 ). p p Adjuk példát olya A, B, C eseméyekre, melyek párokét függetleek, de em függetleek! Adjuk példát A, B, C és D eseméyekre, hogy bármely három közülük függetle, de mid a égy em függetle! Mutassuk meg, hogy eseméyek egy {A j : j J} halmaza potosa akkor függetle, ha a megfelelő idikátorváltozók függetleek Legyeek X 1, X 2,..., X függetle véletle változók, és g k ( ), k = 1, 2,..., Borel mérhető függvéyek. Bizoyítsuk be, hogy g 1 (X 1 ), g 2 (X 2 ),..., g (X ) véletle változók is függetleek! Láttuk, hogy abszolút folytoos véletle vektorváltozó peremeloszlásai abszolút folytoosak. Igazoljuk, hogy ez em megfordítható, azaz mutassuk X, Y abszolút folytoos véletle változókat, melyek együttes eloszlása em abszolút folytoos! Lássuk be, hogy ha az (X, Y ) véletle vektorváltozó abszolút folytoos, akkor P(X = Y ) = 0. Az együttes sűrűségfüggvéyel írjuk fel a P(X Y ) valószíűséget! Határozzuk meg a P(X = Y ) és P(X Y ) valószíűségeket, ha 22

23 (a) Ha X Exp(λ), Y Exp(µ) függetle véletle változó; (b) Ha X, Y függetle geometriai eloszlású véletle változók; (c) Ha X és Y diszkrét függetle véletle változók, melyek lehetséges értékei ugyaazok az x 1, x 2,... számok. Továbbá P(X = x k ) = p k és P(Y = x k ) = q k Legyeek X és Y függetle Exp(λ) véletle változók. Igazoljuk, hogy X Y is expoeciális eloszlású és adjuk meg a paraméterét is! Megoldás. Meg kell határozuk X Y eloszlásfüggvéyét, azaz az F (z) = P{ X Y z} valószíűségeket. Mivel X Y 0 ezért feltehetjük, hogy z 0. F (z) helyett 1 F (z) = P{ X Y > z} értéket számoljuk ki. Legye S z = {(x, y) : x y > z, x 0, y 0}, és jelölje f(x, y) az (X, Y ) vektor együttes sűrűségfüggvéyét. Ekkor P{ X Y > z} = P{(X, Y ) S z } = f(x, y) dxdy. S z A függetleség miatt f(x, y) = λe λx λe λy, ha x 0 és y 0, és 0 külöbe. Ezért a szimmetria és a Fubii-tétel alapjá f(x, y) dxdy = λ 2 e λ(x+y) dxdy S z S z [ x z ] = 2 λ 2 e λ(x+y) dy dx = 2 z z = e λz. 0 λe λx [ 1 e λ(x z)] dx Tehát F (z) = 1 e λz, azaz X Y is expoeciális eloszlású λ paraméterrel. Megjegyzés. Valójába az S z halmaz (X, Y ) vektor által idukált kétdimeziós µ (X,Y ) Lebesgue Stieltjes-mértékét határoztuk meg. Ez abszolút folytoos esetbe az f(x, y)dxdy mérték, azaz formálisa µ (X,Y ) (dx, dy) = f(x, y)dxdy Legyeek X és Y függetle stadard ormálisok. Tekitsük a polárkoordiáta-traszformációval kapott (R, Θ) vektorváltozót, ahol R = X 2 + Y 2 és tgθ = X/Y. Határozzuk meg (R, Θ) együttes eloszlását! Igazoljuk, hogy ezek függetleek! 23

24 Megoldás. Meg kell határozuk az (R, Θ) vektorváltozó eloszlásfüggvéyét. Világos, hogy R 0 és Θ [0, 2π). Legye tehát r > 0 és α (0, 2π). A stadard ormális sűrűségfüggvéy e x2 /2 / 2π, és mivel a változók függetleek, az együttes sűrűségfüggvéy f(x, y) = e x2 /2 y 2 /2 /(2π). Legye S r,α = {(x, y) : x 2 + y 2 r 2, xy } ta α. Ez éppe azo (x, y) = (ρ cos ϕ, ρ si ϕ) potok halmaza, melyek polárkoordiátás alakjába ρ = x 2 + y 2 r és ϕ α. Így P{R r, Θ α} = P{(X, Y ) S r,α } 1 = S r,α 2π e x 2 +y 2 2 dxdy. A itegrálási tartomáy alakjából és itegradusból is látszik, hogy érdemes áttéri polárkoordiátás alakra; azaz legye x = ρ cos ϕ, y = ρ si ϕ. A traszformáció Jacobi-mátrixáak determiása ρ, így 1 x 2 +y 2 α r 1 S r,α 2π e 2 dxdy = 0 0 2π e fracρ22 ρ dρ dϕ = α 2π ( 1 e r2 2 Az eloszlásfüggvéy alakjából látjuk (α = 2π ill. r helyettesítéssel), hogy a két peremeloszlás P{R r} = 1 e r2 2, ). P{Θ α} = α 2π, és az is világos, hogy R és Θ függetleek, valamit Θ egyeletes eloszlású a [0, 2π] itervallumo Legyeek X és Y függetle stadard ormálisok. Határozzuk meg az XY/ X 2 + Y 2 eloszlását! Legyeek X és Y függetle stadard ormálisok. Igazoljuk, hogy X + Y és X Y függetleek! [Ez a tulajdoság karakterizálja is a ormálist, de erről majd később, a karakterisztikus függvéyekél, Feladat.] Egyeletes eloszlás szerit válasszuk egy potot az egységgömbö. A szélességi és hosszúsági körök megadásával a véletle pot leírható (Θ, Ψ) párral, ahol θ [0, π], ψ ( π, π]. Határozzuk meg (Θ, Ψ) eloszlását! Legyeek X 1, X 2,..., X függetle véletle változók F 1, F 2,..., F eloszlásfüggvéyel. 24

25 (a) Adjuk meg az m = mi{x 1, X 2,..., X }, M = max{x 1, X 2,..., X } véletle változók eloszlását! (b) Tegyük fel, hogy a közös eloszlás E(0,1). Adjuk szükséges és elegedő feltételt az {a } sorozatra, hogy P(m a ) 1 és P(M 1 a ) Legyeek X 1, X 2,..., X függetle expoeciális eloszlású véletle változók, λ 1, λ 2,..., λ paraméterekkel és X = mi{x 1, X 2,..., X }. Igazoljuk, hogy X Exp(λ 1 + λ λ ), és P(X = X k ) = Megoldás. Feltehetjük, hogy k = 1. Ekkor λ k λ 1 + λ λ, k = 1, 2,...,. {X = X 1 } = {X 1 X 2, X 1 X 3,..., X 1 X } = {(X 1,..., X ) S 1 }, ahol S 1 = {(x 1, x 2,..., x ) R : x 1 = mi{x 1, x 2,..., x }}. Mivel a változóik függetleek, ezért az együttes sűrűségfüggvéy f(x 1,..., x ) = f X1 (x 1 )... f X (x ) = λ 1 e λ 1x 1... λ e λx I x1 >0(x 1 )... I x>0(x ), tehát a keresett valószíűség P{X = X 1 } =... f(x 1,..., x ) dx 1... dx S 1 = λ 1 e λ 1x 1... λ e λx dx 1... dx. S 1 [0, ) Fubii tételével a feti -szeres itegrál egyszerűe számolható. Mivel x 1 a legkisebb, ezért a többi változó rögzített x 1 eseté az (x 1, ) itervallumo változik, x 1 pedig a (0, )-e. Tehát az előbbi itegrál [ ] =... λ 1 e λ 1x 1... λ e λx dx 2... dx dx 1 0 x 1 x 1 x 1 [ ] = λ 1 e λ 1x 1 λ 2 e λ 2x 2 dx 2... λ e λx dx dx 1 0 x 1 = = 0 λ 1 e λ 1x 1 e λ 2x 1... e λx 1 dx 1 λ 1 λ λ, 25 x 1

26 amit állítottuk Adjuk példát olya X és Y expoeciális eloszlású véletle változókra, melyek (a) miimuma expoeciális, de em az előző feladatba megadott paraméterrel; (b) miimuma em expoeciális; (c) maximuma expoeciális Mit modhatuk geometriai eloszlású véletle változók miimumáról és maximumáról? Legyeek X 1, X 2,..., X függetle azoos eloszlású, abszolút folytoos véletle változók. Meyi a valószíűsége, hogy X 1 agyobb az összes többiél? Egy megbeszélésre hivatalos ember. Mideki 5 óra és 5:10 között érkezik egymástól függetleül, egyeletes eloszlás szerit. Amit valaki megérkezik és csöget, α idő telik el és a házigazda beegedi. Ha eközbe mások is érkezek, akkor azok egyszerre meek be a korábba érkezővel. Meyi a valószíűsége, hogy mideki egyszerre érkezik? Legye X E(-1,1) eloszlású véletle változó. Határozzuk meg a következő véletle változók sűrűségfüggvéyeit: (a) X ; (b) X 2 ; (c) e X Legye X Exp(λ) eloszlású véletle változó. Határozzuk meg a következő véletle változók sűrűségfüggvéyeit: (a) 2X + 3; (b) X 3 ; (c) X Bizoyítsuk be, hogy ha X E( π/2, π/2) eloszlású, akkor tgx az (1,0) paraméterű Cauchy eloszlású véletle változó Bizoyítsuk be, hogy ha X az (1,0) paraméterű Cauchy eloszlású véletle változó, akkor 26

27 (a) 1 X ; (b) 2 X ; 1 X 2 (c) 3 X X3 1 3 X 2 is Cauchy eloszlású Legyeek X és Y függetle egyeletes eloszlásúak [0,1]-e, és legye R = X 2 + Y 2. Határozzuk meg R eloszlás- és sűrűségfüggvéyét! Legye X = mi{u, V }, Y = max{u, V }, ahol U és V függetleek és egyeletes eloszlásúak [0,1]-e. Határozzuk meg (a) X (b) 1 Y (c) Y X eloszlását! Tegyük fel, hogy (X, Y ) egyeletes eloszlású az {(x, y) : 0 < y < x < 1} tartomáyo. Határozzuk meg az együttes eloszlásfüggvéyt és a margiális sűrűségeket! Függetleek-e X és Y? Legye az X és Y változók együttes sűrűségfüggvéye f(x, y) = 6e 2x 3y (x, y > 0), 0, külöbe. Határozzuk meg az együttes és margiális eloszlásfüggvéyeket! Függetleek-e X és Y? Legye X és Y együttes sűrűsége { c(y f(x, y) = 2 x 2 )e y, y x y, y > 0, 0, külöbe. Adjuk meg c értékét és igazoljuk, hogy Y gamma eloszlású! Legye X és Y együttes sűrűsége f, ahol (a) f(x, y) = xe x(1+y), ha x, y 0; (b) f(x, y) = 6xy 2, ha x, y 0 és x + y 1; (c) f(x, y) = 2xy + x, ha x, y (0, 1); (d) f(x, y) = (x + y) 2 (x y) 2, ha x, y (0, 1). Határozzuk meg a margiálisokat! Függetleek-e a változók? 27

28 4. Véletle változók traszformáltjai Véletle változók összegéek, szorzatáak, háyadosáak eloszlása, kovolúció Legyeek X és Y függetle véletle változók F és G eloszlásfüggvéyel. A Z = X + Y változó eloszlásfüggvéye H(x) = P{Z x} = P{X + Y x} = F (x y)dg(y) = G(x y)df (y). R A H eloszlásfüggvéyt az F és G függvéyek Lebesgue Stieltjes-kovolúciójáak evezzük. Ha még X és Y folytoosak is f és g sűrűségfüggvéyel, akkor Z is folytoos és sűrűsége h(x) = f(x y)g(y)dy = R g(x y)f(y)dy. A h függvéyt a f és g függvéy kovolúciójáak evezzük. Hasolóa meghatározható függetle véletle változók háyadosáak eloszlása is. Legyeek X és Y folytoos véletle változók f és g sűrűséggel. Ekkor a Z = X/Y változó is folytoos és sűrűsége h(x) = f(xv) v g(v)dv Legyeek X és Y függetleek, melyek 1,2,3 és 4 értéket veszek fel redre 0, 1, 0, 2, 0, 3 és 0, 4 valószíűséggel. Adjuk meg X + Y eloszlását! 4.2. Legyeek X és Y függetle p-paraméterű geometriai eloszlású változók. Adjuk meg X + Y eloszlását! 4.3. Legyeek X és Y függetle Poisso eloszlású véletle változók λ és µ paraméterekkel. Határozzuk meg Z = X + Y eloszlását! Megoldás. Diszkrét esetbe egyszerűbbe is meghatározhatjuk az eloszlást, em kell a kovolúciós formulát haszáluk. Világos, hogy Z emegatív egész értékeket vehet fel, és a függetleség és a Poisso eloszlás defiíciója 28

29 szerit P{Z = k} = P{X = l, Y = k l, valamilye l {0, 1,..., k} eseté } k k = P{X = l, Y = k l} = P{X = l}p{y = k l} = l=0 k l=0 l=0 λ l µk l e λ l! (k l)! e µ = e (λ+µ) 1 k! (λ+µ) (λ + µ)k = e. k! k l=0 ( ) k λ l µ k l l Tehát Z egy λ + µ paraméterű Poisso-eloszlású véletle változó Legyeek X, Y függetle, a (0, 1)-e egyeletes eloszlású véletle változók. Határozzuk meg Z = X + Y eloszlását! Megoldás. Mivel az egyeletes eloszlás abszolút folytoos eloszlás, f(x) = I [0,1] (x) sűrűségfüggvéyel, így haszálhatjuk a sűrűségfüggvéyre voatkozó formulát. Eszerit 1 g(x) = f(x y)f(y)dy = I [0,1] (x y)dy. R Mivel 0 x y 1 x 1 y x, így g(x) = 0, ha x / [0, 2], és 1 { x 1dy = x, ha 0 x 1, 0 g(x) = I [0,1] (x y)dy = 1dy = 2 x, ha 1 x x Határozzuk meg az alábbi függetle véletle változók összegéek eloszlását! (a) X N(µ 1, σ 2 1), Y N(µ 2, σ 2 2) ; (b) X, Y, Z E(0,1); (c) X Poisso(λ), Y E(0,1) Legyeek X 1, X 2,..., X függetle Exp(λ) eloszlású véletle változók. Bizoyítsuk be, hogy az X = X 1 + X X véletle változó sűrűségfüggvéye f (x) = λ ( 1)! x 1 e λx, x > 0. 29

30 Megoldás. Teljes idukcióval bizoyítuk. Az = 1 esetbe igaz az állítás, és tegyük fel, hogy valamely 1 eseté igaz. A kovolúciós formula, és az idukciós feltevés szerit amit állítottuk. f +1 (x) = = f 1 (x y)f (y)dy x λe λ(x y) λ 0 x = λ+1 ( 1)! e λx = λ+1 x e λx, )! ( 1)! y 1 e λy dy 0 y 1 dy 4.7. Az -szabadsági fokú χ 2 -eloszlás. Legyeek Z 1, Z 2,..., Z függetle N(0,1) eloszlású véletle változók. Bizoyítsuk be, hogy az X = Z Z Z 2 véletle változó. sűrűségfüggvéye f (x) = x/2 1 e x 2 2 /2 Γ(/2), x > 0. Határozzuk meg X sűrűségfüggvéyét (-szabadsági fokú χ-eloszlás)! 4.8. Az -szabadsági fokú Studet-eloszlás. Legye T = X0 X X X 2, ahol X 0, X 1,..., X függetle N(0,1) véletle változók. Mutassuk meg, hogy T sűrűségfüggvéye f (x) = Γ ( ) +1 2 ( π Γ ) 2 ) +1 (1 + x2 2, x R Az és m szabadsági fokú F-eloszlás. Legyeek X χ 2 () és Y χ 2 (m) függetle véletle változó. Határozzuk meg mx/(y ) véletle változó sűrűségfüggvéyét! Legyeek X, Y függetle, azoos eloszlású emegatív véletle változók, F eloszlásfüggvéyel. Adjuk meg az (X + Y, max{x, Y }) vektorváltozó eloszlását! 30

31 4.11. Legyeek X 1, X 2,..., X véletle változók függetleek és azoos eloszlásúak. Továbbá legye P(X i = k) = 1/3, k {0, 1, 2}. Adjuk meg Y = X 1 X 2... X eloszlását! Legye F egy emegatív véletle változó eloszlásfüggvéye. Igazoljuk, hogy x > 0 eseté F 2 (x/2) + 2 és 0 z x 2z eseté F 2 (x/2) + 2 z x/2 x x/2 F (x u)f (du) = F 2 (x), F (x u)f (du) = F (z)f (x z) + z x z F (x u)f (du). (Ez em túl szórakoztató, de segít begyakoroli a Lebesgue Stieltjes itegrállal való számolást.) Megjegyzés. Eszerit b a Eél a feladál szükség va a parciális itegrálás formulájára. F (x)dg(x) = F (b)g(b) F (a)g(a) b a G(x)dF (x). Eek bizoyítása megtalálható a [6] jegyzetbe. Vegyük észre, hogy abba az esetbe mikor F, G abszolút folytoosak, akkor a formula a Riema-féle itegrálelméletbe ismert parciális itegrál formulája. Azt is megjegyezzük, hogy a Lebesgue Stieltjes-féle általáos esetbe egyszerűbb megjegyezi a formulát Legyeek X és Y függetle E(0,1) eloszlású véletle változók. Adjuk meg XY és X/Y véletle változó eloszlását! Kovolúció általába. Legye M a komplex Borel-mértékek tere R-e, a µ = µ (R) ormával. Tetszőleges E Borel-mérhető halmaz eseté tekitsük az E 2 = {(x, y) : x + y E} R 2 halmazt. Tetszőleges λ, µ M mértékek eseté defiiáljuk a két mérték kovolúcióját a (µ λ)(e) = (µ λ)(e 2 ) formulával, ahol a (µ λ) a szorzatmérték. (a) Mutassuk meg, hogy λ µ M, és λ µ λ µ. (b) Mutassuk meg, hogy f dν = f(x + y) dµ(x) dλ(y), ahol ν = λ µ, és f C 0 (R) (végtelebe eltűő függvéy). 31

32 (c) Mutassuk meg, hogy a kovolúció kommutatív, asszociatív és disztributív az összeadásra. (d) Mutassuk meg, hogy (µ λ)(e) = µ(e t) dλ(t), ahol E t = {x t : x E}. (e) Mutassuk meg, hogy µ λ diszkrét, ha µ és λ is diszkrét, és folytoos, ha µ folytoos. Továbbá µ λ << m, ha λ << m, ahol m a Lebesguemérték ( m / M!). (f) Ha dµ = fdm és dλ = g dm, ahol f, g L 1 (R), akkor d(λ µ) = (f g) dm, ahol (f g)(x) = f(x t)g(t) dt a szokásos kovolúció. ([10]) Megjegyzés. A valószíűségszámításba defiiált kovolúció a fetiek speciális esete, amikor λ és µ Lebesgue Stieltjes-mértékek. Az (f) pot a sűrűségfüggvéyre voatkozó formula általáosa Legyeek X 1, X 2, X 3 függetle Exp(1) eloszlású véletle változók. Határozzuk meg (X 2 X 1, X 3 X 2 ) együttes sűrűségfüggvéyét! Legyeek X 1 és X 2 függetle (1,0) paraméterű Cauchy-eloszlású véletle változók. Mutassuk meg, hogy is (1,0) paraméterű Cauchy-eloszlás. Y = X 1 + X 2 1 X 1 X Igazoljuk, hogy függetle stadard ormálisok háyadosa Cauchyeloszlású! Legyeek X, Y függetle expoeciális eloszlású véletle változók 1 paraméterrel. Határozzuk meg X/(X + Y ) eloszlását! Legyeek γ és γ függetle gamma eloszlású véletle változók (a, c) és (b, c) paraméterekkel. Mutassuk meg, hogy γ/(γ + γ ) eloszlása beta(a, b), és függetle γ + γ változótól, amiek eloszlása gamma(a + b, c). Bertoi, de folklór Legyeek X 1, X 2,... függetle Exp(1) eloszlású véletle változók, és jelölje S = X X a részletösszegüket. Igazoljuk, hogy az ( ) S1 S 2 S,,..., S +1 S S +1

33 véletle vektor eloszlása tetszőleges rögzített eseté megegyezik egy [0,1]- e egyeletes eloszlásból vett elemű redezett mita eloszlásával, azaz az (U 1,..., U ) vektor eloszlásával, ahol U 1,..., U függetle Egyeletes(0, 1) véletle változók, és U 1 U 2... U ezek sorba redezése. Segítség. A sűrűségfüggvéyek egyelőségét igazoljuk. Világos, hogy midkét vektor az {0 x 1... x 1} térrészbe kocetrált. Világos, hogy a redezett mita sűrűsége eze a halmazo kostas!. Vegyük egy tetszőleges 0 < x 1 < x 2 <... < x < 1 potot. A lim h i 0,i=1,..., ( ) 1 2 h i P{S i /S +1 (x i h i, x i + h i ), i = 1,..., } i=1 határértéket akarjuk meghatározi. Hajtsuk végre az x x i = u i, i = 1,...,, + 1 itegráltraszformációt, és vegyük észre, hogy elég kis h i értékek eseté a diszjukt ((x i h i )u +1, (x i + h i )u +1 ) itervallumoko itegráluk, i = 1,...,. Így azt kapjuk, hogy a föti limesz = lim h i 0,i=1,..., ( ) 1 2 h i i=1 0 [2h i u +1 ]e u +1 du +1 =!. i=1 5. Várható érték Várható érték, mometumok, egyelőtleségek Legye (Ω, A, P) valószíűségi mező, X egy véletle változó. véletle változó várható értéke E(X) = XdP. Ω Az X Jelölje F az X eloszlásfüggvéyét, és µ F az F által idukált Lebesgue Stieltjes-mértéket. Teljesül az ú. traszformációs tétel: h(x)dp = h(x)df (x)(= h(x)dµ X (x), Ω R ahol h valós mérhető függvéy. Az egyelőség úgy értedő, hogy a két oldal ugyaakkor létezik, és ha létezek akkor egyelők. Az X k-adik mometuma E(X k ), ill. k-adik cetrális mometuma E((X E(X)) k ). Speciálisa a szóráségyzet a második cetrális mometum: D 2 (X) = E((X E(X)) 2 ). R 33

34 A Csebisev-egyelőtleséggel becsülhetjük a várható értéktől való eltérést: P{ X E(X) ε} D 2 (X)/ε 2. [Magasabb mometumok létezése eseté a becslés fiomítható (lásd Feladat).] Mivel a várható érték egy itegrál, ezért a szokásos tulajdoságok teljesülek: liearitás; kovergeciatételek: Lebesgue mooto, Lebesgue majorás; Hölder-, Mikowski-, Jese-egyelőtleség. Az (X 1,..., X ) : Ω R véletle vektorváltozó várhatóérték-vektora az (E(X 1 ),..., E(X )) vektor, kovariaciamátrixa az a (σ ij ) i,j=1 mátrix, melyre σ ij =Cov(X i, X j ) = E[(X i E(X i ))(X j E(X j ))] Egy halastóba N hal va. Kihalászuk M halat, megjelöljük őket, és visszaeresztjük a tóba. Bizoyos idő elteltével, miutá jól elkeveredtek, kihalászuk -et. Ezek között legye a megjelöltek száma X. A teljes halállomáy N meghatározására az M /(X + 1) becslést haszáljuk. Számítsuk ki eek a várható értékét és szórását! Miért em a logikusabb M /X becslést haszáljuk? 5.2. Határozzuk meg a Poisso, a biomiális, az egyeletes és az expoeciális eloszlás várható értékét és szórását! 5.3. Határozzuk meg 1/(X + 1) várható értékét, ha (a) X Biom(, p); (b) X Poisso(λ); (c) X geometriai eloszlású; (d) X hipergeometriai eloszlású Adjuk példát olya X véletle változóra, melyre E( X α ) =, tetszőleges α > 0 eseté Legye (X, Y ) együttes sűrűségfüggvéye h(x, y) = 1 x 2 +π 2 y 2 8π 2 e 8π 2. Függetleek-e X és Y? Határozzuk meg a várható érték vektort és a kovariaciamátrixot! 5.6. Legyeek X és Y függetle N(0,1) véletle változó. Határozzuk meg E( X 2 Y 2 ) értékét! 5.7. Határozzuk meg X véletle változó k-adik mometumát, k = 1, 2,..., ha 34

35 (a) X N(0, σ 2 ); (b) X Exp(λ); (c) X χ 2 () Számítsuk ki az ötöslottó kihúzott legagyobb és legkisebb szám várható értékét és szórását! 5.9. Határozzuk meg a poliomiális és polihipergeometrikus eloszlás várható érték vektorát és kovariaciamátrixát! Megjegyzés. Polihipergeometrikus eloszlás: P(X 1 = k 1, X 2 = k 2,..., X = k ) ( ) M 1 ( M1 = m k 1 )( M2 k 2 )... ( M k )( M i=1 M i m i=1 k i ahol k i 0, i=1 k i m és M i 0, i = 1, 2,...,, i=1 M i M, m M Mutassuk meg, hogy ha X és Y függetleek akkor korrelálatlaok. Példával igazoljuk, hogy a megfordítás em igaz! Mutassuk meg, hogy r(x, Y ) = 1 potosa akkor teljesül, ha Y = ax + b, valamilye a, b R álladókra Legye f(x, y) = c(x + y), 0 x, y 1, egy (X, Y ) vektorváltozó sűrűségfüggvéye. Meyi c értéke, peremeloszlások, várható érték vektor, kovariaciamátrix, Xe Y várható értéke Legye X és Y függetle Poisso eloszlású véletle változó λ illetve µ paraméterrel. Határozzuk meg X + Y és XY várható értékét és szórását, valamit a két változó kovariaciáját Legye az X és Y változók együttes sűrűségfüggvéye f(x, y) = 6e 2x 3y (x, y > 0), 0, külöbe. Határozzuk meg az együttes és margiális eloszlásfüggvéyeket! Adjuk meg a kovariaciamátrixot! Legye X és Y együttes sűrűsége f, ahol (a) f(x, y) = xe x(1+y), ha x, y 0; (b) f(x, y) = 6xy 2, ha x, y 0 és x + y 1; (c) f(x, y) = 2xy + x, ha x, y (0, 1); 35 ),

36 (d) f(x, y) = (x + y) 2 (x y) 2, ha x, y (0, 1). Határozzuk meg a kovariaciamátrixot! Legye az (X, Y ) véletle vektor sűrűsége f(x, y) = 3/x 5, ha x y 0, x 1. Adjuk meg a kovariaciamátrixot! Legyeek X és Y függetle stadard ormálisok. Határozzuk meg az (X Y, X + Y ) vektor várhatóérték-vektorát és kovariaciamátrixát! Legyeek X 1, X 2,..., X ugyaazo a valószíűségi mező defiiált véletle változók. Mutassuk meg, hogy a véletle változók potosa akkor függetleek, ha tetszőleges t 1, t 2,..., t : R R korlátos mérhető függvéyek eseté E (t 1 (X 1 )t 2 (X 2 )... t (X )) = E (t 1 (X 1 )) E (t 2 (X 2 ))... E (t (X )) Legye X véletle változó. Mutassuk meg, hogy (a) ha E(X) <, akkor (b) ha E(X 2 ) <, akkor lim x [1 F (x)] = 0 és lim xf (x) = 0; x x lim x x 2 df (y) y >x y <x y2 df (y) = 0. Megoldás. Az (a) részt bizoyítjuk, a (b) hasolóa megy. Először itegrálalakba írjuk az x[1 F (x)] kifejezést, majd a határból leválasztjuk x-et. Ha x > 0, akkor x [1 F (x)] = x x df (y) = 0 xi {y>x} (y)df (y). Vegyük észre, hogy mide y > 0 eseté xi {y>x} (y) 0, amit x, hisz ha x > y akkor az itegradus 0. Tehát csak azt kell beláti, hogy az itegrálás és a határátmeet felcserélhető, amit Lebesgue Majorás Kovergeciatételével bizoyítuk. Világos, hogy xi {y>x} (y) y mide x-re, és y itegrálható df (y) szerit, hisze y df (y) = E X <. Ezzel az állítást R beláttuk. 36

37 5.20. Legyeek X 1, X 2,... függetle, azoos eloszlású emegatív véletle változók, melyre EX <. Mutassuk meg, hogy 1 lim E max X k = 0. 1 k Legye X emegatív egész értékű véletle változó, és tegyük föl, hogy E(X) <. Bizoyítsuk be, hogy E(X) = P(X i). i= Legye X emegatív véletle változó F eloszlásfüggvéyel, és tegyük föl, hogy EX <. Mutassuk meg, hogy EX = 0 [1 F (x)]dx Mutassuk meg, hogy emegatív X változó eseté EX p = 0 px p 1 [1 F (x)]dx. Megoldás. Ez a Fubii-tétel egyszerű alkalmazásával igazolható, hisze EX p = X p dp = I {x<x(ω)} (x)px p 1 dxdp(ω) = Ω 0 Ω 0 px p 1 [1 F (x)]dx Legyeek X és Y függetle, emegatív egész értékű véletle változó. Mutassuk meg, hogy (a) ha E(X) <, akkor E(mi(X, Y )) = P(X i)p(y i); i=1 37

38 (b) ha E(X) <, E(Y ) <, akkor E(max(X, Y )) = [1 P{X i}p{y i}]. i= Legye X emegatív egész értékű véletle változó. Mutassuk meg, hogy ip{x > i} = 1 2 [E(X2 ) E(X)]. i= Legye X (1,0) paraméterű Cauchy-eloszlású véletle változó. Számítsuk ki a lim ε 0 εe( X 1 ε ) határértéket! Legye X emegatív véletle változó, melyre E(X) és E(X 1 ) létezik. Mutassuk meg, hogy E(X 1 ) E(X) Fordított Csebisev. Legye Y 0. Mutassuk meg, hogy P{Y > 0} (EY )2 EY 2! Általáosabba: Legye Y emegatív és c (0, 1). Mutassuk meg, hogy 2 (EY )2 P{Y > cey } (1 c) EY! 2 ([7]) Segítség. Haszáljuk a Cauchy Schwartz egyelőtleséget az Y I Y 0 változóra Általáosított Markov-egyelőtleség. Legyeek A 1,..., A tetszőleges eseméyek. Bizoyítsuk be, hogy P {legalább k bekövetkezik az A 1,..., A eseméyek közül } 1 k P{A i }. i= Legye f emegatív folytoos függvéy, X 1, X 2,... függetle Exp(1) eloszlású véletle változók, és S = i=1 X i. Mutassuk meg, hogy E f(s i ) = i= f(y)dy.

39 5.31. Legye f(x) > 0, x R szigorúa mooto övekedő függvéy és tegyük fel, hogy E(f( X m) )) <, ahol m = E(X). Mutassuk meg, hogy E(f( X m )) P( X m ε). f(ε) Egyelőség a Csebisev-egyelőtleségbe. Legye X olya, hogy P{X = ±k} = 1/(2k 2 ), P{X = 0} = 1 1/k 2. Adjuk meg a várható értéket és a szórást! Igazoljuk, hogy P{ X k} = 1/k 2, azaz a Csebisevegyelőtleség most egyelőség A Weierstrass féle approximációs tétel szerit a poliomok sűrű vaak a [0, 1] (vagy akármilye más) itervallumo folytoos függvéyek terébe. A Csebisev egyelőtleség egy szép alkalmazása erre ad kostruktív bizoyítást. Legye f C[0, 1]. Az f függvéyhez tartozó -ed fokú Berstei poliom B (x) = ( ) f (k/) x k (1 x) k. k k=0 Igazoljuk, hogy sup x [0,1] f(x) B (x) 0! Legye f C 1 [0, 1]. Mutassuk meg, hogy f B ε f + 2 f ε 2, ahol f = sup x f(x). Igazoljuk, hogy f B = O( 1/3 ). 6. Karakterisztikus függvéy Karakterisztikus függvéy, mometumgeeráló függvéy Az X véletle változó, vagy a hozzátartozó F eloszlás karakterisztikus függvéye φ(t) = E(e itx ) = e itx dp = e itx df (x). Ω Egyszerű tulajdoságok: φ(0) = 1; φ(t) egyeletese folytoos az egyeese; φ(t) 1. A karakterisztikus függvéyt azért szeretjük, mert függetle változók összegéek karakterisztikus függvéye faktorizálódik, vagyis köye 39 R

40 számolható a(z eloszlásfüggvéy kiszámolása azoba macerás): ha X és Y függetleek, akkor φ X+Y (t) = E(e it(x+y ) ) = E(e itx )E(e ity ) = φ X (t)φ Y (t). Az alábbi tétel szerit külöböző eloszlások karakterisztikus függvéyei külöbözőek: Uicitási tétel. Legyeek F és G eloszlásfüggvéyek, φ(t) = R eitx df (x), ψ(t) = R eitx dg(x). Ha φ(t) = ψ(t) mide t-re, akkor F G. Az F eloszlásfüggvéyek sorozata gyegé kovergál F eloszlásfüggvéyhez, jelbe F F, ha F (x) F (x) mide olya x potba, ami folytoossági potja F -ek. Akkor modjuk, hogy X eloszlásba kovergál X-hez, jelbe X D X, ha a megfelelő eloszlásfüggvéyekre F F. A következő tétel határeloszlások bizoyításáál alapvető fotosságú: Folytoossági tétel. Legyeek X, X 1, X 2,... véletle változók φ, φ 1, φ 2,... karakterisztikus függvéyekkel. Ekkor X X akkor és csakis akkor, ha φ (t) φ(t mide t R eseté Határozzuk meg az alábbi véletle változók karakterisztikus függvéyét! (a) X E(a, b); (b) X Poisso(λ); (c) X Exp(λ); (d) X Beroulli(p); (e) X Biom(, p). Megoldás. (a) Az egyeletes eloszlás abszolút folytoos, sűrűségfüggvéye f(x) = (b a) 1 I [ a, b](a), ezért Ee itx = R = 1 b a e itx df (x) = [ e itx it ] b x=a R e itx f(x)dx = 1 b a = eitb e ita (b a)it. b a e itx dx 40

41 (b) A Poisso-eloszlás diszkrét, így Ee itx = R e itx df (x) = k=0 k=0 itk λk e k! e λ ( ) λe it k = e λ = e λ e λeit = e λ(eit 1). k! (c) Az expoeciális eloszlás sűrűsége f(x) = λe λx I {x>0} (x), így Ee itx = 0 e itx λe λx dx = λ 0 [ e e x(it λ) x(it λ) dx = λ it λ ] x=0 = λ λ it. (d) Ha X Beroulli(p), akkor P{X = 1} = p = 1 P{X = 0}, így Ee itx = pe it + 1 p. (e) Ha X Biom(, p), akkor X = Y Y, ahol Y 1, Y 2,..., Y függetle Beroulli(p) eloszlású véletle változók. Így a függetleség és az előző pot szerit Ee itx = Ee it(y Y ) = Ee ity k = ( pe it + 1 p ). k= Határozzuk meg aak az X véletle változóak a karakterisztikus függvéyét, melyre P(0 < X < x) = x 2 5/12, 0 < x 1; P(X = 0) = 1/4, P(X = 1) = 1/ Határozzuk meg a következő f(x) sűrűségfüggvéyekhez tartozó karakterisztikus függvéyeket! { 1 x, ha x 1, (a) f(x) = 0, külöbe; (b) f(x) = a 2 e a x, x R, a > Igazoljuk, hogy a stadard ormális karakterisztikus függvéye φ(t) = e t2 / Karakterisztikus függvéyek segítségével igazoljuk, hogy (tetszőleges paraméterek eseté!) (a) függetle ormálisok összege ormális; 41

42 (b) függetle Poissook összege Poisso. Megoldás. (a) Ha Z stadard ormális, akkor µ+σz N(µ, σ 2 ). Ezért, ha X N(µ, σ 2 ), akkor stadard ormális karakterisztikus függvéye alapjá Ee itx = Ee it(µ+σz) = e itµ e σ2 t 2 2. Ha X N(µ 1, σ 2 1), Y N(µ 2, σ 2 2), és X és Y függetleek, akkor a függetleség miatt Ee it(x+y ) = Ee itx Ee ity = e it(µ 1+µ 2 ) t2 2 (σ2 1 +σ2 2 ), ami éppe egy N(µ 1 + µ 2, σ σ 2 2) eloszlás karakterisztikus függvéye. Mivel a karakterisztikus függvéy egyértelműe meghatározza az eloszlást, ie kapjuk, hogy az eloszlás N(µ 1 + µ 2, σ σ 2 2), amit igazoli kellett. (Ezt a bizoyítást az tudja igazá értékeli, aki belátta az állítást a kovolúciós formula segítségével.) (b) A λ paraméterű Poisso eloszlás karakterisztikus függvéye e λ(eit 1). Ha X Poisso(λ), Y Poisso(µ) és függetleek, akkor Ee it(x+y ) = Ee itx Ee ity = e (λ+µ)(eit 1), ami éppe egy λ + µ paraméterű Poisso eloszlás karakterisztikus függvéye. Az uicitási tétel alapjá kapjuk, hogy X + Y Poisso eloszlású λ + µ paraméterrel Legyeek X 1, X 2,..., X függetle Egyeletes(0, 1) véletle változók. Adjuk meg a maximumuk karakterisztikus függvéyét! 6.7. Határozzuk meg a Cauchy eloszlás karakterisztikus függvéyét! Segítség. Haszáljuk a reziduum-tételt; vagy ikább határozzuk meg a dupla expoeciális karakterisztikus függvéyét (eek a sűrűsége f(x) = e x /2, x R) Igazoljuk, hogy karakterisztikus függvéy abszolút értékéek égyzete is karakterisztikus függvéy! 6.9. Igazoljuk, hogy X véletle változó karakterisztikus függvéye potosa akkor valós, ha X eloszlása szimmetrikus. (X eloszlása szimmetrikus, ha X D = X.) Igazoljuk, hogy X véletle változó potosa akkor rácsos eloszlású, ha karakterisztikus függvéyéek abszolút értéke valamely 0-tól külöböző helye 1. 42

43 Megjegyzés. Az X véletle változó eloszlását rácsosak evezzük, ha létezek a R és h > 0 számok, hogy X bármely lehetséges értéke előáll a + kh alakba, k Z. Megoldás. Legye ϕ(t) = Ee itx. A feltétel szerit ϕ(t 0 ) = 1 valamilye t 0 0 számra. Ekkor létezik b R, hogy ϕ(t 0 ) = e it0b, másképpe 1 = e it0b ϕ(t 0 ) = e it0b Ee it0x = e it0(x b) df (x). Átredezve, és valós részt véve [1 cos(t 0 (x b))] df (x) = 0. R Mivel 1 cos(t 0 (x b)) 0 az itegrál csak akkor lehet 0, ha 1 cos(t 0 (x b)) = 0, µ F -majdem mideütt. Az 1 cos(t 0 (x b)) függvéy a 2kπ/t 0 + b, k Z, alakú potokba 0, így ({ }) 2kπ µ F + b : k Z = 1. Ez éppe azt jeleti, hogy X t 0 R { } 2kπ t 0 + b : k Z, ami az állítás Tegyük fel, hogy a ϕ karakterisztikus függvéyre ϕ(t) = ϕ(t ) = 1 és t/t / Q. Igazoljuk, hogy ϕ egy kostas véletle változó karakterisztikus függvéye! Mutassuk meg, hogy tetszőleges ϕ karakterisztikus függvéyre, mide t R eseté 1 Reϕ(2t) 4(1 Reϕ(t)). ([8]) Legyeek X és Y függetle, azoos eloszlású, véges szórású véletle változók, melyekre az X + Y és X Y véletle változók függetleek. Igazoljuk, hogy X és Y eloszlása ormális. ([9]) Segítség. Feltehető, hogy a várható érték 0, a szórás pedig 1. Az általáos eset skálázással megkapható. Jelölje ϕ(t) a közös karakterisztikus függvéyt. Mivel X és Y függetleek Ee it(x+y ) = ϕ(t) 2, Ee it(x Y ) = ϕ(t)ϕ( t), másrészt X + Y és X Y is függetleek, így Ee it(x+y +X Y ) = ϕ(t) 3 ϕ( t), 43

44 másrészt a baloldal = ϕ(2t). Így a ϕ(2t) = ϕ(t) 3 ϕ( t) függvéyegyelethez jutuk. Logaritmust véve (persze ehhez be kell láti, hogy ϕ(t) em lehet 0) log ϕ(2t) = 3 log ϕ(t) + log ϕ( t), majd ugyaezt t-re felírva, és a két egyeletet összeadva log ϕ(2t) log ϕ( 2t) = 2 (log ϕ(t) log ϕ( t)). Ezt iterálva, beláthatjuk, hogy ϕ(t) = ϕ( t), amit a kiiduló függvéyegyeletbe visszaírva ϕ(2t) = ϕ(t) 4. Felhaszálva, hogy ϕ (0) = 0 és ϕ (0) = 1, émi számolással belátható, hogy az egyelet egyetle megoldása az exp{ t 2 /2} függvéy Legyeek X és Y függetle, azoos eloszlású, 0 várható értékű, véges szórású véletle változók. Tegyük fel, hogy X+Y 2 eloszlása megegyezik X eloszlásával. Mutassuk meg, hogy X ormális eloszlású. ([9]) Mutassuk meg, hogy a ormális, a Poisso és a Cauchy eloszlás korlátlaul osztható! Megjegyzés. Az X véletle változó korlátlaul osztható, ha mide N természetes számra megadható Y 1,..., Y függetle, azoos eloszlású véletle változók, hogy X D = Y Y. Ezzel yilvá ekvivales, hogy tetszőleges N eseté X karakterisztikus függvéye előáll ϕ(t) = ϕ (t) alakba, ahol ϕ karakterisztikus függvéy Igazoljuk, hogy az az eloszlás, melyek sűrűsége f(x) = x a ( 1, 1)- e, em korlátlaul osztható! ([5] 1.8., külöbe stadard) Legyeek X 1, X 2,..., X emegatív függetle, azoos eloszlású véletle változók. Legye S = X X és X = max{x 1,..., X }. Jelölje ϕ az X 1 véletle változó karakterisztikus függvéyét! Adjuk meg S /X karakterisztikus függvéyét! Darlig, The role of the maximum term i the sum of idepedet radom variables, Tras Amer. Math. Soc., 73 (1952), pp Legye ϕ egy 0 várható értékű véletle változó karakterisztikus függvéye. Tekitsük az { } F = (x 1, x 2,...) : x 1 x 2 x , x k 1 44 k=1

45 halmazt, és eze a [0, 1] szorzattopológia megszorítását. Bizoyítsuk be, hogy az (x k ) k=1 ϕ(x k ) függvéy folytoos! Példával igazoljuk, hogy az EX = 0 feltétel szükséges! Breima, L. (1965). O some limit theorems similar to the arc-si law. Teor. Verojatost. i Primee Az X véletle változó mometumgeeráló függvéye az M(t) = Ee tx, ameyibe ez létezik. Fejezzük ki a mometumokat a mometumgeeráló függvéy deriváltjaival. Számítsuk ki a Beroulli; biomiális; Poisso; geometriai; expoeciális; ormális eloszlás mometumgeeráló függvéyét! Egy kis agy eltérés tétel. Legye X véletle változó mometumgeeráló függvéye M. Mutassuk meg, hogy c > 0 eseté tetszőleges λ > 0 számra P{X > c} M(λ)e λc. Legyeek most X, X 1,... függetle, azoos eloszlású véletle változók, m = EX, és S = i=1 X i a részletösszeg. Mutassuk meg, hogy x > 0 eseté 1 ( lim sup log P {S / > m + x} sup λx log ˆM(λ) ), λ>0 ahol ˆM az X m mometumgeeráló függvéye. (Valójába egyelőség teljesül.) k=1 7. Véletle változók kovergeciája Sztochasztikus, majdem biztos, L p ormába vett és eloszlásbeli kovergecia, ezek viszoya Legyeek X, X 1, X 2,... véletle változók egy (Ω, A, P) valószíűségi mező. Az X sorozat sztochasztikusa koverges és határértéke az X véletle változó, jelbe X P X, ha mide pozitív ε eseté lim P{ X X > ε} = 0. Az X sorozat majdem biztosa, vagy 1 valószíűséggel kovergál és határértéke X, ha az {ω : lim X (ω) = X(ω)} halmaz mértéke 1, azaz P{lim X = X} = 1. 45

46 A majdem biztos kovergecia erősebb, mit a sztochasztikus, azaz ha X X m.b., akkor X P X. A megfordítás em teljesül. Az X, = 1, 2,..., véletle változók sorozata r-edik mometumba L kovergál az X véletle változóhoz (X r X), ha E X r <, = 1, 2,..., E X r <, és E X X r 0. Az r-edik mometumba vett kovergeciából következik a sztochasztikus. A m.b. kovergecia és a mometumkovergecia viszot em összehasolíthatóak, azaz egyikből sem következik a másik. Véletle változók átlagaira voatkozó kovergeciatételeket agy számok törvéyéek evezzük. Sztochasztikus kovergecia eseté gyege, m.b. kovergecia eseté erős törvéyről beszélük. Etemadi tétele (1981). Legyeek X 1, X 2,... párokét korrelálatla véletle változók, véges várható értékkel. Ekkor k=1 X k E(X) m.b Mutassuk meg, hogy a majdem biztos kovergecia erősebb, mit a sztochasztikus. Példával igazoljuk, hogy a megfordítás em igaz. P 7.2. Mutassuk meg, hogy az Y 0 majdem biztosa, és a sup m Y m 0 feltételek ekvivalesek! 7.3. Mutassuk meg, hogy az r-edik, r > 0, mometumba való kovergecia erősebb, mit a sztochasztikus! Példával igazoljuk, hogy a megfordítás em igaz! 7.4. Vizsgáljuk meg az r-edik mometumba való és a majdem biztos kovergecia viszoyát! 7.5. Legyeek X 1, X 2,... függetle véletle változók az (Ω, A, P) valószíűségi mező P{X = 0} = 1 1 = 1 P{X = 1}, N, eloszlással. Mutassuk meg, hogy X P 0, de X 0 majdem biztosa! Hogy kell módosítai a változókat, hogy a mometumkovergecia se teljesüljö? 46

47 Megoldás. Tetszőleges ε (0, 1) eseté P{ X > ε} = P{X = 1} = 1/, ami tart 0-hoz, ha. Tehát X sztochasztikusa kovergál 0-hoz. Ugyaakkor, {X = 1} eseméyek függetleek, és =1 P{X = 1} = =1 1 =, ezért a második Borel Catelli-lemma szerit az {X = 1} eseméyek közül egy valószíűséggel végtele sok bekövetkezik, vagyis lim sup X = 1 m.b., így a majdem biztos 0-hoz való kovergecia em teljesül. Legye P{X = } = 1. Ekkor E X = EX 1 0, tehát X em kovergál első mometumba 0-hoz Tegyük fel, hogy az {X } véletle változók sorozatára E( X ) < C. Mutassuk meg, hogy tetszőleges α 0 eseté α X P 0. Megoldás. A Markov-egyelőtleség és a feltétel szerit tetszőleges x > 0 eseté P{ X > x} E X /x C/x. Ezért, ha ε > 0 rögzített, akkor P{ α X > ε} Cα ε ami éppe a sztochasztikus kovergeciát jeleti. 0, 7.7. Tegyük fel, hogy az {X } emegatív véletle változók sorozatára P D(X )/E(X ) 0. Mutassuk meg, hogy X /E(X ) 1. ([3] ) Megoldás. Eél a feladatál a Csebisev-egyelőtleséget haszáljuk. Azt kell igazoli, hogy tetszőleges ε > 0 eseté { } X P 1 EX > ε 0, ha. A Csebisev-egyelőtleség szerit P{ X EX > x} D 2 (X )/x 2, így { } X P 1 EX > ε = P { X EX > εex } D2 (X ) ε 2 (EX ) 0, 2 ha, a feltétel szerit Legyeek az X véletle változók korlátosak, X < C. Ekkor X P 0 akkor és csak akkor, ha E( X ) Legyeek X, X 1, X 2,... függetle, azoos eloszlású emegatív véletle változók F eloszlásfüggvéyel, és jelölje M = max 1 k X k az első változó maximumát. Ebbe a feladatba kivesézzük, hogy az M / változó milye feltételek mellett milye értelembe kovergál. 47

48 (L 1 ) Mutassuk meg, hogy ha EX <, akkor azaz max 1 k X k / L1 0. lim Emax 1 k X k = 0; (P) Tudjuk, hogy az L 1 kovergeciából következik a sztochasztikus kovergecia. Ezért az előző pot alapjá max 1 k X k P 0. (P) Ez a feltétel elegedő, de em szükséges. Mutassuk meg, hogy (P) potosa akkor teljesül, ha lim x x[1 F (x)] = 0. (Korábbi feladatba láttuk, hogy a várható érték végességéből következik az x[1 F (x)] 0 kovergecia, fordítva persze em igaz.) Ezek szerit ha a közös eloszlásfüggvéy { 1 1 x log x F (x) =, x e 0, külöbe, akkor M / P 0, de persze L 1 ormába em, hisze em is létezik a várható érték. (m.b.) A majdem biztos kovergecia erősebb a sztochasztikusál, és em összehasolítható az L 1 kovergeciával. Mutassuk meg, hogy M m.b. 0, akkor és csakis akkor teljesül, ha EX <. Segítség. Itt azt az egyszerű de frappás dolgot kell észrevei, hogy {M / > ε} eseméy potosa akkor következik be végtele sokszor, ha {X / > ε} bekövetkezik végtele sokszor. Azt kell még haszáli, hogy P{X > ε} < EX <. (Lásd feladatot.) A két Borel Catelli-lemmát alkalmazva kapjuk az ekvivaleciát. 48

49 (D) Mutassuk meg, hogy M D Y, valamilye Y emdegeerált véletle változóra, potosa akkor, ha mide x > 0 eseté lim [1 F (x)] = c/x, ahol c > 0. Határozzuk meg Y lehetséges eloszlásfüggvéyeit! Segítség. Az eloszlásbeli kovergecia defiíciójából és émi aalízissel gyorsa kapjuk, hogy a lim [1 F (x)] határérték létezik mide x > 0 eseté. Ezek utá a limeszfüggvéyt is meghatározhatjuk olya okoskodással, amivel a Cauchy-féle függvéyegyeletet megoldottuk Legyeek X 1, X 2,... függetle, azoos eloszlású véletle változók, melyre E(X) = 0, E(X 2 ) = 1, és legye x < 0, x = O( 1/2+ε ). Igazoljuk, hogy ( ) lim P X1 + + X x = Legyeek X 1, X 2,... függetle (0, 1)-e egyeletes eloszlású véletle változók, jelölje m = mi{x 1,..., X } a miimumukat. Mutassuk meg, hogy (a) m P 0; (b) P{m > x} e x ; (c) m 0 m.b Legyeek X 1, X 2,... függetle, azoos eloszlású véletle változók és Y = X + X X + X +1, S = Y 1 + Y. Igazoljuk, hogy valamilye c valós számra S / c m.b.! ([5] 4.2.) Legye az X, X 1, X 2,... véletle változók eloszlásfüggvéyei redre F, F 1, F 2,.... Mutassuk meg, hogy X P X eseté F F, azaz F (x) F (x), az F mide folytoossági potjába. Ez éppe azt jeleti, hogy a sztochasztikus kovergeciából következik az eloszlásbeli kovergecia. 49

50 Megoldás. Legye x C F, az F eloszlásfüggvéy egy tetszőleges folytoossági potja. Az eloszlásfüggvéy defiíciója és a mérték mootoitása miatt δ > 0 eseté mide természetes számra F (x) = P{X x} = P{X x, X X δ} + P{X x, X X > δ} P{X x + δ} + P{ X X > δ}. A jobb oldalo az első tag éppe F (x + δ), ami tetszőlegese közel va F (x)- hez, ha δ elég kicsi, hisze x folytoossági potja F -ek. A másik tag viszot éppe a sztochasztikus kovergecia defiíciója miatt tart 0-hoz, tetszőleges rögzített δ eseté. Legye tehát ε > 0 rögzített, és δ = δ(ε) olya kicsi, hogy F (x) ε/2 F (x δ) F (x + δ) F (x) + ε/2. Ilye va, hisz x C F. Legye 0 = 0 (ε) olya agy, hogy 0 eseté P{ X X > δ} ε/2. Ilye küszöbidex pedig a sztochasztikus kovergecia miatt létezik. Ekkor a kiemelt egyelőtleség szerit, 0 eseté F (x) F (x) + ε. Az alsó becslés ugyaígy megy. Azt láttuk be, hogy tetszőleges x C F és ε > 0 eseté létezik olya 0 = 0 (ε) idex, hogy 0 eseté F (x) F (x) ε. Ez éppe az eloszlásbeli kovergecia defiíciója Tegyük fel, hogy X véletle változók sorozatára X D E, ahol E az az elfajult véletle változó, ami 1 valószíűséggel 0. Igazoljuk, hogy ekkor X P 0, azaz ebbe a speciális esetbe az eloszlásbeli kovergeciából következik a sztochasztikus kovergecia Bizoyítsuk be, hogy ha X P X és Y P Y, akkor H (x, y) H(x, y) a H függvéy mide (x, y) folytoossági potjába! Mutassuk meg, hogy ha X és Y függetleek, és X P X, Y P Y, akkor X és Y is függetleek! Tegyük fel, hogy az X 1, X 2,... függetle véletle változók sztochasztikusa kovergálak egy X véletle változóhoz. Igazoljuk, hogy X majdem biztosa kostas! ([5] 1.2.) Határozzuk meg az alábbi határértéket! 1 1 lim x x x 2 x 1 + x x dx 1 dx 2 dx Legye f C[0, 1]. Határozzuk meg az alábbi határértékeket! ( ) x1 + x x lim f dx 1 dx 2 dx, lim f ( x 1 x 2 x ) dx 1 dx 2 dx

51 7.20. Határozzuk meg a következő határértéket: lim s ( u e s s u 1 u! ds = lim E S u 0 ) u Adjuk meg a következő sor aszimptotikáját! k=0 k k! e log(k + ) Tegyük fel, hogy X P X. Következik-e ebből, hogy S / P X? És ha még azt is feltesszük, hogy X 1? Mi a helyzet a m.b. kovergecia eseté? ([5] 2.8.) Legyeek X 1, X 2,... függetle véletle változók, közös F eloszlásfüggvéyel, és tegyük fel, hogy F (x) < 1 mide x R eseté. Igazoljuk a következőt! Ahhoz, hogy megfelelő A álladókkal tetszőleges ε > 0 eseté lim P( max{x 1,..., X } A < ε) = 1 teljesüljö, szükséges és elegedő, hogy tetszőleges c > 0 számra ([3] ) 1 F (x + c) lim x 1 F (x) = Legyeek X 1, X 2,... és Y 1, Y 2,... véletle változók, melyekre X és Y függetleek mide -re, és X + Y P 0. Mutassuk meg, hogy va olya valós a számsorozat, hogy X a P 0! ([5] 3.8.) Igazoljuk a Kolmogorov-egyelőtleség következő, Hájek Réyi típusú általáosítását: Legyeek X 1, X 2,... függetle 0 várható értékű véletle változók, E(Xk 2) = d2 k, és c k pozitív számok emcsökkeő sorozata. Igazoljuk, hogy ( ) P{ max k S k ε} 1 m c 2 k m ε 2 d 2 k + c 2 kd 2 k. k=1 k=+1 A Hájek Réyi-egyelőtleség segítségével igazoljuk a Kolmogorov-féle agyszámtörvéyt! Hájek, Réyi :... 51

52 Segítség. Nézegessük az Y = m 1 k= S 2 k (c2 k c2 k+1 ) + c2 ms 2 m változót és haszáljuk a Kolmogorov-egyelőtleség bizoyításáak ötletét! Szluckij lemma. Igazoljuk, hogy ha a V véletle változók sorozatára V D V és az u, v valós sorozatokra u 1, v 0, akkor u V + v D V Legyeek X 1, X 2,... függetle Beroulli(p) eloszlású véletle változók. Karakterisztikus függvéyek módszerével igazoljuk, hogy S p p(1 p) D Z, ahol Z N(0,1), és S = X X Legyeek X 1, X 2,..., X 2+1 függetle Egyeletes(0, 1) eloszlású véletle változók. Jelölje Y a redezett mita középső elemét. Igazoljuk, hogy Y P 1 2. Mutassuk meg, hogy ha k=1 1 k <, akkor Y k 1 2 m.b. amit k. Segítség. Vegyük észre, hogy {Y > 1/2 + ε} = {legalább + 1 pot esik az [1/2 + ε, 1] itervallumba} = {S }, ahol S 2+1 = 2+1 i=1 I i, biomiális eloszlású (2 + 1, 1/2 ε) paraméterekkel Legyeek X 1, X 2,... függetle véletle változók, közös { 1 1 F (x) =, x > 1, x 0, külöbe eloszlásfüggvéyel. Jelölje M = max{x 1,..., X } az függetle véletle változó maximumát. Igazoljuk, hogy ( ) { M 0, x 0, H (x) = P x H(x) = e 1/x, külöbe. 52

53 Tehát M / eloszlásba kovergál. em, azaz lim sup Mutassuk meg, hogy potokét M = m.b Legyeek X 1, X 2,... függetle Exp(1) eloszlású véletle változók. Jelölje M = max{x 1,..., X }. Igazoljuk, hogy H (x) = P(M log x) H(x) = e e x sofőr közöse haszál egy autót úgy, hogy mide ap sorsolással dötik el, hogy ki vezesse azap. Jelölje µ() azt a legkisebb természetes számot, amely azt jeleti, hogy a sofőrök közül eyi ap alatt mideki vezette az autót legalább egyszer. Határozzuk meg határeloszlását! ([3]) µ() log Réyi tétele. Legye N p Geom(p) véletle változó, és tőle függetleül legyeek X, X 1, X 2,... függetle, azoos eloszlású véletle változók, EX = 1. Mutassuk meg, hogy p ( X X Np ) D Exp(1). Beig, Korolev: Geeralized Poisso Models ad Their Applicatios i Isurace ad Fiace, 114.o., Thm 3.6.6, Robbis, The asymptotic distributio of the sums of radom umber of radom variables Legye N egyeletes eloszlású az {1, 2,..., } halmazo, azaz P{N = k} = 1, k = 1, 2,...,. Tekitsük az X = N j= j véletle tagszámú összeget. Igazoljuk az eloszlásbeli kovergeciát! X D Exp(1) 53

54 7.34. Az F és G eloszlásfüggvéyek Lévy távolsága L(F, G) = if{h > 0 : F (x h) h G(x) F (x + h) + h}. Mutassuk meg, hogy L(, ) valóba metrika az egydimeziós eloszlásfüggvéyek teré! Mutassuk meg, hogy az alábbiak ekvivalesek: (a) F F ; (b) F (x) F (x), a valós számok valamely sűrű részhalmazá; (c) L(F, F ) 0; (d) f(x)df R (x) f(x)df (x), mide korlátos és folytoos f függvéy R eseté Legye µ pozitív mérték X halmazo. Az {f } mérhető függvéyek µ sorozata mértékbe kovergál az f függvéyhez, f f, ha µ ({x : f (x) f(x) > ε}) 0, amit. Tegyük fel, hogy µ(x) <. Mutassuk meg, hogy (a) Ha f f mm., akkor f µ f. (b) Ha f L p (µ) és f f p 0, akkor f µ f. (c) Ha f µ f, akkor létezik olya k részsorozat, hogy f k f mm. Vizsgáljuk az (a) és (b) állítások megfordítását! Mi a helyzet, ha µ(x) =? ([10]) Tegyük fel, hogy f és f sűrűségfüggvéyek és az f (x) f(x) kovergecia majdem mideütt teljesül. Mutassuk meg, hogy ha F és F a megfelelő eloszlásfüggvéyek, akkor F F Adjuk példát olya abszolút folytoos F eloszlásfüggvéyekre, hogy F F, valamely abszolút folytoos F eloszlásfüggvéyre, de f (x) f(x) egyetle olya potba sem teljesül, amelyre f(x) > Legye F eloszlásfüggvéyek egy sorozata, melyekre mide racioális λ számra e iλx df (x) 1. R Következik-e, hogy F δ 0, ahol δ 0 (x) = I(x 0) a Dirac-delta? ([5] 1.5) 54

55 8. Feltételes várható érték σ-algebrára vett feltételes várható érték tulajdoságai Legye (Ω, A, P) egy valószíűségi mező, G A rész-σ-algebrája A- ak, X pedig itegrálható véletle változó. Ekkor az X változó G-re voatkozó feltételes várható értéke, jelbe E(X G), az az (majdem biztosa) egyértelműe meghatározott véletle változó, mely G-mérhető, azaz mide B B Borel-halmazra E(X G) 1 (B) G; mide G G halmazra G X dp = G E(X G) dp. Az A A eseméy G-re voatkozó feltételes valószíűsége P{A G} = E(I A G), ahol I A az A eseméy idikátora. Feltételes valószíűség eseté a második feltétel a következő alakba írható: mide G G halmazra P{A G} = P{A G} dp. Ituitív jeletés. Az E(X G) feltételes várható értékre úgy godoluk, hogy a kísérlet kimeeteléről va egy résziformációk. Azt em tudjuk, hogy potosa melyik ω kimeetel következett be, de azt mide G-beli halmazra el tudjuk dötei, hogy eek ω eleme vagy se. Emellett a plusz iformáció mellett vizsgáljuk X várható értékét. Ha pl. a valószíűségi mező ([0, 1], B [0,1], λ), X(x) = x a véletle változó és G = {, [0, 1/2), [1/2, 1], [0, 1]}, akkor az E(X G)(ω) értékére úgy godoluk, hogy azt tudjuk, hogy ω kisebb-e mit 1/2 vagy sem. Tehát E(X G)(1/4) eseté ayit tuduk, hogy olya ω következett be, ami kisebb 1/2-él. Emellett a plusz feltétel mellett X várható értéke, a (0, 1/2) vett itegrálja. Persze az egész csak szemléletes jeletés, ami éha félrevezető, amit azt éháy példa mutatja. Legye Y is véletle változó, ekkor az X változó Y -ra voatkozó feltételes várható értéke E(X Y ) = E(X σ(y )), ahol σ(y ) az Y által geerált σ- algebra, azaz σ(y ) = σ(y 1 (B) : B B) = Y 1 (B). Mivel E(X Y ) σ(y )- mérhető, ezért va olya g : R R valós mérhető függvéy, hogy E(X Y ) = g(y ). Most már tudjuk defiiáli az X feltételes várható értékét az Y = y adott értéke mellett: E(X Y = y) = g(y). (Eek a hagyomáyos régi értelembe ics értelme, hisze Y = y általába 0 valószíűségű eseméy.) Ie egyszerűe levezethető a teljes várható érték tétel: E(X) = E(E(X Y )) = E(g(Y )) = g(y) df (y) = E(X Y = y) df (y), R G 55 R

56 ha Y folytoos, akkor E(X) = R E(X Y = y)f(y) dy. Speciális esetbe kapjuk a teljes valószíűség tételét, amit diszkrét esetbe már ismerük: P{A} = P{A Y = y}df (y), és ha Y folytoos P{A} = R R P{A Y = y}f(y) dy. Az E(X Y = y) szemléletes jeletése: az X várható értéke feltéve, hogy Y = y. Legyeek X : Ω R k és Y : Ω R l (em feltétle azoos dimeziós) véletle vektorok az (Ω, A, P) valószíűségi mező, melyek együttes sűrűsége h(x, y). Ekkor az X vektorváltozó Y-ra voatkozó feltételes sűrűségfüggvéye f X Y (x y) = h(x, y) g(y), ahol g(y) az Y margiális sűrűsége. Az elevezést a következő tulajdoság idokolja: mide H B k k-dimeziós Borel-halmazra P{X H Y}(ω) = f X Y (x Y(ω)) dx Valamely övéyfajta magjaiból álló mitába a hibás magok száma λ paraméterű Poisso eloszlású véletle változó. Mide mitát 3 techikus vizsgál meg egymás utá, hogy eltávolítsák a hibás magokat. Az i-edik techikus p i < 1 valószíűséggel veszi észre a hibás magokat; dötései az egyes magokra ézve függetleek, és az egyes techikusok is egymástól függetleül döteek. Határozzuk meg az el em távolított hibás magok eloszlását! ([3]) H 8.2. Egy városba 200 taxi közlekedik. Telefoo taxit redelük, és ha va szabad taxi, akkor a közpot a legközelebbit hozzák küldi. Feltesszük, hogy a taxik egymástól függetleül, egyeletes eloszlás szerit helyezkedek el a városba, és midegyik egymástól függetleül 2/3 valószíűséggel foglalt. Meyi aak a valószíűsége, hogy a legközelebbi szabad taxi 1 km-es körzetükbe legye (mely em yúlik ki a városból), feltéve, hogy va szabad taxi? A város területe 28, 26 km 2. ([3]) 56

57 8.3. Legye (Ω, A, P) = ([0, 1], B [0,1], λ), ahol λ a Lebesgue-mérték. Tekitsük az F = {, [0, 1/2), [1/2, 1], [0, 1]} σ-algebrát! Milye változók leszek F-mérhetők? Határozzuk meg az E(X F) feltételes várható értéket! Megoldás. Legye X F-mérhető véletle változó. Ekkor tetszőleges a R eseté X 1 ({a}) F. Ezért ha X(ω) = a valamely ω [0, 1/2) eseté, akkor X 1 ({a}) = [0, 1/2) vagy [0, 1] (hisze csak ez a két F-beli halmaz olya, hogy tartalmaz [0, 1/2)-beli potot). Ez pedig azt jeleti, hogy X kostas a a [0, 1/2) itervallumo. Hasolóa látható, hogy X kostas kell legye az [1/2, 1] itervallumo. Tehát az F-mérhető véletle változók ai [0,1/2) (ω) + bi [1/2,1] (ω) alakúak, ahol a, b R. Az E(X F) egy F-mérhető véletle változó, így ai [0,1/2) (ω) + bi [1/2,1] (ω) alakú. A feltételes várható érték defiíciójába szereplő másik feltétel szerit XdP = E(X F)dP, F F mide F F halmazra. Ezt yilvá elég leelleőrizi a [0, /1/2) és [1/2, 1] halmazoko. Tehát ( XdP = ai[0,1/2) (ω) + bi [1/2,1] (ω) ) dp(ω) = a [0,1/2) [0,1/2) 2, ( XdP = ai[0,1/2) (ω) + bi [1/2,1] (ω) ) dp(ω) = b 2. [1/2,1] [1/2,1] Ez a két egyelet pedig meghatározza a és b értékét, azaz a = 2 XdP, b = 2 XdP. [0,1/2) [1/2,1] 8.4. Milye σ-algebrát geerál az a változó, ami kostas? Általába a diszkrét változók milye típusú σ-algebrát geerálak? Megoldás. Ha Y (ω) a valamilye a valósra, akkor mide B Borelhalmaz eseté Y 1 (B) = vagy Ω, attól függőe, hogy a B vagy a / B. Tehát σ(y ) = {, Ω} a triviális σ-algebra. Legye most Y diszkrét véletle változó {y 1, y 2,...} (véges, vagy megszámlálhatóa végtele) lehetséges értékekkel, és legye A i = Y 1 ({y i }). Ekkor i A i = Ω, és A i σ(y ), tehát σ (A 1, A 2,...) σ(y ). Másrészt viszot ha B tetszőleges Borel-halmaz, akkor jelölje j 1, j 2,... azokat az idexeket, melyekre y ji B. Így Y 1 (B) = Y 1 ({y j1, y j2,...}) = i Y 1 ({y ji }) = i A ji, 57

58 azaz σ(y ) σ (A 1, A 2,...). Ezzel beláttuk, hogy σ(y ) = σ (A 1, A 2,...). Azaz diszkrét véletle változó által geerált σ-algebra midig az Ω egy véges vagy megszámlálhatóa végtele partíciója által geerált σ-algebra Legye (Ω, A, P) = ([ 1, 1], B [ 1,1], λ/2), ahol λ a Lebesgue-mérték. Tekitsük az X(x) = x 2 véletle változót. Milye σ-algebrát geerál X? Adjuk meg a P(A X) és E(Y X) feltételes valószíűséget és várható értéket, ahol A egy eseméy, Y pedig itegrálható változó! Oldjuk meg a feladatot X 2 (x) = x és X 3 (x) = x 6 változókkal is! (Va külöbség?) ([4]) Megoldás. Az x 2 páros függvéy, ami azt jeleti, hogy em külöbözteti meg az x és x potokat. Ie meg lehet sejtei az eredméyt: a σ(x) olya A halmazokból áll, melyek előállak B ( B) alakba, ahol B tetszőleges [0, 1]-beli Borel-halmaz, B = { x : x B}. Formálisa σ(x) = {B ( B) : B B([0, 1])}. Valóba, egyrészt ha C tetszőleges Borel-halmaz R-e, akkor X 1 (C) = X 1 (C [0, 1]) = ( (C [0, 1]) ) (C [0, 1]), és (C [0, 1]) B([0, 1]), hisze az X(x) = x 2 függvéy mérhető ( A = { a : a A}). Másrészt tetszőleges B B([0, 1]) eseté X 1 (B 2 ) = B ( B), ezzel az egyelőséget beláttuk. Most meghatározzuk az erre a σ-algebrára vett feltételes várható értékeket. Defiíció szerit P(A X) = E[I A X] = E[I A σ(x)]. A σ(x) iformáció ekem ayit mod, hogy mide x [ 1, 1] eseté el tudom dötei, hogy {x, x} bekövetkezett-e, vagy se. Ezek alapjá, ha x olya, hogy x / A és x / A, akkor biztos lehetek bee, hogy A em következett be, tehát az ilye x-ekre P(A X)(x) = 0. Ha x olya, hogy x A és x A is teljesül, akkor biztos, hogy A bekövetkezett, azaz P(A X)(x) = 1. Végül, ha x A de x / A, vagy fordítva, akkor azt tudom, hogy { x, x} kimeetel egyike következett be, ezek közül az egyik esetbe A bekövetkezett, a másik esetbe em, így P(A X)(x) = 1/2. Formálisa P(A X)(x) = I A(x) + I A (x). 2 58

59 Köyű láti, hogy a jobb oldalo szereplő változó σ(x) mérhető, hisze a 0, 1/2, 1 értéket veheti fel, és a megfelelő halmazok szimmetrikusak az origóra. Legye B σ(x). Azt kell megmutati, hogy B I A (x)dp(x) = B I A (x) + I A (x) dp(x). 2 A bal oldal = P(A B), a jobb oldal pedig = (P(A B) + P( A B))/2, ami a B halmaz szimmetriája miatt = P(A B). Az előző esethez hasolóa E [Y X] = Y + Ỹ 2 ahol Ỹ (ω) = Y ( ω). A mérhetőség és a megfelelő itegrálok egyelősége ugyaúgy igazolható, mit az Y = I A esetbe. Az X 2, X 3 véletle változók eseté ics külöbség, hisze σ(x) = σ(x 2 ) = σ(x 3 ) Legyeek X, Y függetle azoos eloszlású véletle változók. Milye σ- algebrát geerál az X +Y változó? Határozzuk meg az E[X X +Y ] feltételes várható értéket! (Először sejtsük meg mi kell legye az eredméy, aztá elleőrizzük a két szükséges feltételt!) Megoldás. Ha tudjuk az összeg értékét, akkor természetes azt vári, hogy az egyik összeadadó várható értéke az összeg fele lesz, hisze azoos eloszlásúak és függetleek a változók. Azaz E[X X + Y ] = X + Y 2 Ez σ(x + Y )-mérhető, hisze függvéye (X + Y )-ak. Azt kell még megmutati, hogy mide F σ(x + Y ) halmazra X + Y XdP = dp. 2 F F Feltehető, hogy F = {X +Y z}, hisze elég geerátorredszere elleőrizi az egyelőséget. Azt kell tehát láti, hogy XdP = Y dp. (F) {X+Y z}, {X+Y z} Felhaszálva, hogy X és Y függetleek és azoos eloszlásúak, az itegráltraszformációs tétel szerit XdP = x df (x) df (y) = xf (z x)df (x), {X+Y z} S z 59.

60 ahol S z = {(x, y) : x + y z}. Látjuk, hogy (F) jobb oldala ugyaezzel egyelő, így késze vagyuk Legyeek X és Y függetle, azoos eloszlású véletle változók, közös F eloszlásfüggvéyel, ami folytoos és pozitív. Legye M = max{x, Y }. Határozzuk meg a P(X x M) feltételes eloszlásfüggvéyt! (Ituitív eredméy, majd precíz bizoyítás.) ([2], 33.8) Megoldás. Tudjuk, hogy mi a két változó maximuma, azaz M = m. Ekkor, ha x m, akkor P(X x M = m) = 1, hisze X M = m. Az x < m eseté vagy X vagy Y a maximum, yilvá 1/2 1/2 valószíűséggel. Ha X = M, akkor az {X x} eseméy em következett be, ha pedig Y = M, akkor ayit tuduk, hogy X m, így P(X x X m) = F (x)/f (m). Összegezve, P(X x M)(ω) = I {x M(ω)} (ω) + I {x<m} (ω) 1 F (x) 2 F (M(ω)). Ezt modja az ituíció. Most belátjuk, hogy valóba ez a feltételes valószíűség. Az világos, hogy a jobb oldal σ(m)-mérhető, hisze M-ek függvéye. Azt kell tehát megmutati, hogy mide A σ(m) eseméyre ( P {A {X x}} = I {x M(ω)} (ω) + I {x<m} (ω) 1 ) F (x) dp(ω). 2 F (M(ω)) A Az egyelőséget elég a σ(m) egy geerátorredszeré elleőrizi, tehát elég az A = {M m} alakú eseméyekre igazoli. Egyrészt I {x M(ω)} (ω)dp(ω) = P{M m x}. {M m} Az m < x esetbe a második tag = 0, külöbe a szimmetria és a függetleség alapjá I {x<m} (ω) F (M(ω)) dp(ω) = I{u v m} (u, v)i {x<u v} (u, v) df (u)df (v) F (u v) {M m} = 2 m x [ v = 2(F (m) F (x)). 1 df (u) F (v) ] df (v) Tehát a jobb oldal { P{M m} = F (m) 2, ha m < x, = P{M x} + F (x)(f (m) F (x)) = F (m)f (x), ha m x. 60

61 A bal oldal pedig P{{M m} {X x}} = amivel az állítást beláttuk. { P{M m} = F (m) 2, ha m < x, P{Y m, X x} = F (m)f (x), ha m x, 8.8. Legyeek X, Y függetle, azoos eloszlású emegatív véletle változók, F eloszlásfüggvéyel, és legye Z := max{x, Y }. Határozzuk meg a P{X + Y x Z} feltételes eloszlást! Általáosabba: Legyeek X 1,..., X függetle, azoos eloszlású emegatív véletle változók F eloszlásfüggvéyel, és jelölje Z a maximumukat. Igazoljuk, hogy P{X X x Z = z} = ( F (z)) ( 1) (x z), ahol F (c) (x) = F (x)/f (c), x [0, c], azaz a c-él megvágott változó eloszlása Legye X G-mérhető, Y pedig G-től függetle véletle változó, és h : R 2 R Borel-mérhető függvéy. Mutassuk meg, hogy E [h(x, Y ) G] = h(x, y)dg(y), ahol G az Y eloszlásfüggvéye. Speciálisa, ha X és Y függetleek, akkor E[h(X, Y ) X = x] = Eh(x, Y ). Segítség. Először lássuk be az állítást h(x, y) = I A (x) I B (y) alakú függvéyekre Legye Z stadard ormális véletle változó, t R valós szám. Határozzuk meg az E(Z mi{z, t}) feltételes várható értéket! ([6]) Vigyázat ituícióellees! Legye (Ω, A, P) = ([0, 1], B [0,1], λ), ahol λ a Lebesgue-mérték, és legye G a megszámlálható vagy ko-megszámlálható halmazok σ-algebrája, azaz G = {A [0, 1] : A vagy A c megszámlálható}. Ekkor mivel {x} G, mide x-re, ezért ha egy kimeetelről el tudom dötei, hogy egy G-beli halmazak eleme vagy se, akkor tudom a kimeetelt. Ez azt sugallá, hogy P(A G) = I A. DE NEM!!, hisz ez em is G-mérhető. Mutassuk meg, hogy P(A G) = P{A}! ([2]) 61

62 8.12. Jelölje g(y) az Y, f(x) az X sűrűségfüggvéyét. Bizoyítsuk be, hogy ([3]) g(y) = g(y x)f(x) dx Legye az (X, Y ) véletle vektorváltozó eloszlása egyeletes az egységkörbe. Határozzuk meg az Y feltételes sűrűségfüggvéyét az X = x feltétel mellett! Számítsuk ki az E[Y 2 X = x] feltételes várható értéket. ([3] ) Legyeek X, Y, Z függetle expoeciális eloszlású véletle változók, λ, µ, ν paraméterekkel. Határozzuk meg a P{X > Y }, P{X > Y > Z} valószíűségeket Találomra egymástól függetleül választuk egy potot a égyzet kerületé és belsejébe. Mi a valószíűsége, hogy a két pot távolsága kisebb, mit a égyzet oldala? ([3]) Legyeek X, Y függetle 1 paraméterű expoeciális eloszlású véletle változók. Jelölje S = X + Y az összegüket! Határozzuk meg az X-ek az S-re voatkozó feltételes eloszlását! Adjuk meg a feltételes sűrűségfüggvéyt és ismerjük rá az eloszlásra! Fordítva, határozzuk meg S-ek az X-re voatkozó feltételes eloszlását, sűrűségfüggvéyét, és ismerük rá az eloszlásra. Számítsuk ki az E[X k S = s], E[S k X = x], k = 1, 2, feltételes várható értéket! Legyeek X, Y függetle 1 paraméterű expoeciális eloszlású véletle változók. Jelölje M = max{x, Y } a maximumukat és S = X + Y az összegüket. Határozzuk meg az S-ek az M-re voatkozó feltételes sűrűségfüggvéyét, és az M-ek az S-re voatkozó feltételes sűrűségét! Megoldás. Köye meggodolható, hogy S M S/2 0. Legye m, s olya, hogy 0 < s/2 < m < s. Vezessük be a T s,m = {(u, v) : 0 u, v m, u + v s} jelölést. Ekkor a szimmetriát kihaszálva P{S s, M m} = e u e v dudv T [ s,m s/2 u = 2 e u v dvdu m s u s/2 = 1 2e m + e s + (2m s)e s. 0 e u v dvdu ] 62

63 Ezt deriválva kapjuk, hogy az együttes sűrűségfüggvéy { 2e s, ha 0 < s/2 < m < s, f S,M (s, m) = 0, külöbe. Ie, vagy akár direkt számolással megkaphatjuk a margiális sűrűségeket, melyek f S (s) = f M (m) = f S,M (s, m)dm = f S,M (s, m)ds = s s/2 2m m 2e s dm = se s, s > 0, 2e s ds = 2 ( e m e 2m). Látjuk, hogy S gamma eloszlást követ, amit persze már korábba is tudtuk. Ie a feltételes sűrűségek defiíció szerit számolhatók, így g S M (s m) = f S,M(s, m) f M (m) g M S (m s) = f S,M(s, m) f S (s) = e s, ha m s 2m, e m e 2m = 2, ha s/2 m s. s Azaz az összegre feltételese a maximum egyeletes eloszlású az (S/2, S) itervallumo. Némi számolással meghatározhatjuk a feltételes várható értéket is, E[S M = m] = sg S M (s m)ds = m + 1 m e m Legyeek X, Y függetle 1 paraméterű expoeciális eloszlású véletle változók. Legye U = X Y, V = X Y. Határozzuk meg a maximum miimumra vett feltételes sűrűségét, és fordítva, azaz adjuk meg a g U V (u v), g V U (v u) feltételes sűrűségeket! Ismerjük rá a kapott eloszlásokra! Legyeek X, Y függetle azoos eloszlású véletle változók, f sűrűségfüggvéyel. Legye U = X Y, V = X Y. Határozzuk meg a maximum miimumra vett feltételes sűrűségét, és fordítva, azaz adjuk meg a g U V (u v), g V U (v u) feltételes sűrűségeket! Megoldás. Mivel U V, így az f U,V (u, v) együttes sűrűség 0, ha v < u. Ha v u, akkor émi számolással P{U u, V v} = F (u)(2f (v) F (u)), 63

64 ahol F a közös eloszlásfüggvéy. Így f U,V (u, v) = 2 P{U u, V v} = 2f(u)f(v), u v. u v A margiális sűrűséget ie itegrálással, vagy direkt számolással meghatározhatjuk. Kapjuk, hogy A feltételes sűrűségek f U (u) = 2[1 F (u)]f(u), f V (v) = 2F (v)f(v). g V U (v u) = f U,V (u, v) f U (u) g U V (u v) = f U,V (u, v) f V (v) = f(v) 1 F (u), v u, = f(u) F (v), u v. Vegyük észre, hogy a g U V ( v) sűrűség egy olya F eloszlású változó sűrűsége, amiről feltesszük, hogy v-él kisebb, a g V U ( u) pedig egy olya F eloszlású változó sűrűsége, amiről feltesszük, hogy u-ál agyobb. Hát persze, potosa ezt kellett kapjuk Egyeletes eloszlás szerit választok egy p értéket a [0, 1] itervallumo, majd gyártok egy olya érmét, mely p valószíűséggel ad fejet. Jelölje X aak a dobásak a sorszámát, mikor először dobok fejet. Adjuk meg X eloszlását és várható értékét. Ugyaez lesz a várható érték, ha egy olya érmét dobálok, mely E(p) valószíűséggel ad fejet? Gabor Legye X egyeletes eloszlású a (0, 1) itervallumo, és X = x eseté legye Y egyeletes eloszlású a (0, x) itervallumo. Adjuk meg (X, Y ) eloszlását, a peremeloszlásokat, várható érték vektort és a kovariaciamátrixot! Gabor Legye λ E(0,1) eloszlású véletle változó. Legye az X a λ = λ 0 feltétel mellett Exp(λ 0 ) eloszlású véletle változó. Adjuk meg X eloszlásfüggvéyét! ([3]) Legyeek W 1, W 2, W 3 együttese ormális eloszlásúak 0 várható érték vektorral és Σ = (mi{i, j}) 3 i,j=1 kovariaciamátrixszal. Határozzuk meg a (W 1, W 2 W 1, W 3 W 2 ) vektor sűrűségfüggvéyét! Határozzuk meg W 2 eloszlását feltéve, hogy a W 1 = w 1 és W 3 = w 3 adottak! (Azaz adjuk meg a g W2 W 1,W 3 (y x, z) feltételes sűrűségfüggvéyt, és ismerjük rá az eloszlásra!) 64

65 Megoldás. Először meghatározzuk W 1, W 2 W 1, W 3 W 2 együttes sűrűségfüggvéyét. Tekitsük az A = mátrixot. Vezessük be a W = (W 1, W 2, W 3 ) jelölést. Látjuk, hogy W 1 AW = W 2 W 1 =: Y. W 3 W 2 Az Y ulla várható értékű ormális eloszlású vektor, melyek kovariaciamátrixa Cov(Y ) = EY Y = EAW W A = AΣA. Némi számolással kapjuk, hogy ez éppe az egységmátrix. Azaz az Y ormális eloszlású vektor kompoesei korrelálatlaok, de a ormalitás miatt ekkor függetleek is. Tehát Y kompoesei függetle stadard ormálisok. Mivel W = A 1 Y, így meghatározhatjuk W sűrűségét. Legye B B(R 3 ) háromdimeziós Borel-halmaz. Ekkor a sűrűség defiíciója, a stadard ormális sűrűsége alapjá, és az Au = x traszformációt végrehajtva (a Jacobi-mátrix determiása éppe 1) P{W B} = P{Y AB} = f Y (x)dx = = AB B AB 1 x 2 e 2 dx (2π) 3/2 1 exp (2π) 3/2 Tehát a W vektor sűrűségfüggvéye f W1,W 2,W 3 (u 1, u 2, u 3 ) = 1 exp (2π) 3/2 { u2 1 + (u 2 u 1 ) 2 + (u 3 u 2 ) 2 2 } du. { u2 1 + (u 2 u 1 ) 2 + (u 3 u 2 ) 2 Ie meghatározhatjuk (W 1, W 3 ) együttes sűrűségfüggvéyét úgy, hogy az előbbi sűrűséget kiitegráljuk u 2 szerit. Így rövid számolás utá } f W1,W 3 (u 1, u 3 ) = { 1 2 3/2 π exp 2u2 1 + u 2 3 (u 1+u 3 ) }. 65

66 A feltételes sűrűsége defiíció szerit, majd egyszerűsítés utá g W2 W 1,W 3 (u 2 u 1, u 3 ) = f W 1,W 2,W 3 (u 1, u 2, u 3 ) f W1,W 3 (u 1, u 3 ) = 1 π e (u 2 u 1 +u 3 2 ) 2, ami éppe egy (u 1 + u 3 )/2 várható értékű, 1/2 szóráségyzetű ormális sűrűségfüggvéye. Tehát azt kaptuk, hogy ( u1 + u 3 W 2 (W 1, W 3 ) = (u 1, u 3 ) N, 1 ) Legye X [0, 1]. Adjuk szükséges és elegedő feltételt arra, hogy (X X a) D = ax, mide a [0, 1] eseté, azaz feltéve, hogy X a, X ugyaolya eloszlású, mit ax. Adjuk szükséges és elegedő feltételt arra, hogy (X X > a) D = (1 a)x + a, mide a [0, 1] eseté. Mutassuk meg, hogy ha X-re teljesül midkét feltétel, akkor X egyeletes eloszlású [0, 1]-e! Legye X [0, 1]. Mi a szükséges és elegedő feltétele az I(X 1/2) és mi{x, 1 X} változók függetleségéek? A Marsra leszáll három űrhajó egymástól függetleül, egyeletes eloszlás szerit. Két űrhajó akkor tud egymással rádiókapcsolatot létesítei, ha a bolygó középpotjával bezárt szögük kisebb, mit π/2. Meyi a valószíűsége, hogy bármely két űrhajó tud kommuikáli egymással, esetleg a harmadik közvetítésével? Legyeek X, X 1, X 2,... függetle, azoos eloszlású emegatív véletle változók, melyekre EX <. Legye A > 0 rögzített és N = mi{k : X k A}. Tegyük föl, hogy α = P{X A} > 0. (a) Határozzuk meg N eloszlását. (b) Mutassuk meg, hogy EX N = α 1 xf (dx). A (c) Mutassuk meg, hogy ha X Exp(λ) akkor EX N = A + λ 1. (d) Igazoljuk, hogy N és X N függetleek. 66

67 ([1]) Legyeek X és Y égyzetitegrálható véletle változók, hogy E(X Y ) = Y és E(Y X) = X. Igazoljuk, hogy X = Y m.b. Lássuk be úgy is a feladatot, ha a változók csak itegrálhatók! ([5] 1.4.) Legye X korlátos véletle változó az (Ω, A, P) valószíűségi mező, továbbá F G H rész-σ-algebrái A-ak. Tegyük fel, hogy Igazoljuk, hogy E(X G ) E(X F ) P P Y, E(X H ) Y. P Y! ([5] 1.7.) Legye X 1, X 2,... véletle változók egy sorozata, hogy X 0 m.b. és X 1 mide -re. Legyeek G 1, G 2,... rész-σ-algebrái A-ak! Következik-e ezekből, hogy E(X G ) 0 m.b.? ([5] 3.9.) 9. Cetrális határeloszlás-tétel Szériasorozatok, aszimptotikus elhayagolhatóság, Lideberg Feller-tétel Az (Ω, A, P) valószíűségi mező tekitsük véletle változók X 11 X 21. X 1.,..., X 1r1,..., X 2r2,..., X r szériasorozatát, ahol {r } =1 pozitív egészek sorozata (általába r ). Általába feltesszük, hogy az egy sorba levő változók függetleek, de a külöböző sorba levő változókról ezt em tesszük fel. Vezessük be a σ 2 k = D 2 (X k ) = E([X k E(X k )] 2 ), k = 1,..., r, és s 2 = r σk 2 k=1 jelöléseket. A szériasorozatokra voatkozó Lideberg-feltétel a következő: lim 1 s 2 r k=1 { X k E(X k ) εs } ( 2 X k E(X k )) dp = 0, mide ε > 0 eseté, 67

68 vagy, ami ugyaaz lim r k=1 { Y k ε} Y 2 k dp = lim r k=1 { x ε} x 2 dg k (x) = 0, ε > 0, ahol Y k = [X k E(X k )]/s, G k (x) = P{Y k x} = F k (s x), F k (x) = P{X k E(X k ) x}, x R, k = 1,..., r ; a szériasorozatokra voatkozó Ljapuov-feltétel pedig az, hogy valamely δ > 0 számra lim 1 s 2+δ r k=1 ) E ( X k E(X k ) 2+δ = lim r k=1 A Lideberg-feltétel gyegébb, mit a Ljapuov-feltétel. E( Y k 2+δ ) = 0. Lideberg cetrális határeloszlás-tétele szériasorozatokra. Legye {X 1,..., X r } =1 egy szériasorozat, ahol E(Xk 2 ) <, k = 1,..., r, N, és tegyük fel, hogy mide -re az -edik sorba levő X 1,..., X r véletle változók függetleek. Ha a Lideberg-feltétel teljesül, akkor { r lim P k=1 {X } k E(X k )} x = Φ(x), x R, s vagy ami ugyaaz S := r k=1 Y k D Z, ahol Z stadard ormális Legye {X,1,..., X, } =1 sorokét függetle szériasorozat, melyre teljesül, hogy P{X,k = 1} = p k = 1 P{X,k = 0}, k = 1, 2,...,. Tegyük föl, hogy teljesül a 0 < lim if mi p k lim sup max p k < 1 1 k 1 k feltétel. A k=1 X,k sorösszegekre modjuk ki és bizoyítsuk be a cetrális határeloszlás-tételt. Megoldás. Mivel EX k = p k és VarX k = p k (1 p k ), ezért a cetrális határeloszlás-tétel azt állítja, hogy k=1 X k k=1 p k k=1 p k(1 p k ) D N(0, 1). Megmutatjuk, hogy a Lideberg-feltétel teljesül. Ehhez először belátjuk, hogy s 2 = k=1 p k(1 p k ). Valóba s 2 = k=1 p k (1 p k ) mi 1 k p k 68 ( ) 1 max p k. 1 k

69 A feladat feltétele szerit a becslés jobb oldala végtelebe tart, hisze hisze agy -re a miimum és az 1 maximum is valami pozitív korlát fölött marad. Ugyaakkor, ha εs > 2, akkor { X k p k > εs } =, vagyis a Lideberg feltételbe szereplő összeg mide tagja 0, így ekkor L (ε) = 0. Mivel s, ezért tetszőleges ε > 0 számhoz megadható olya 0, hogy 0 eseté εs > 2, és ekkor L (ε) = 0. Azaz a Lidebergfeltétel, és így a CHT is teljesül Legyeek Y 1, Y 2,... függetle, azoos eloszlású véletle változók 0 várható értékkel és 1 szórással. Tetszőleges k = 1, 2,... számra tekitsük az X k = k α Y k változót, ahol α valós paraméter. Milye α paraméterekre teljesül a Lideberg-feltétel? Az ilye α értékekre adjuk az S = k=1 X k összeg szórására zárt aszimptotikus formulát. Mi törtéik az S összegekkel olya α paraméter eseté, melyre a Lideberg-feltétel em teljesül? Megoldás. Tetszőleges α R eseté EX k = k α EY k 0, VarX k = k 2α VarY k = k 2α. Ezért s 2 = k=1 k2α, ami potosa akkor koverges, ha α < 1/2, és { s 2 log, ha α = 1/2, 2α+1, ha α > 1/2. 2α+1 Mivel L (ε) = 1 s 2 k=1 { X k >εs } X 2 kdp, ezért látjuk, hogy ha L (ε) 0 mide ε > 0 eseté, akkor szükségképpe s. Vagyis az α < 1/2 esetbe a Lideberg-feltétel em teljesül. Vizsgáljuk tehát az α 1/2 esetet. Ha α 0, akkor s /k α s / α, k = 1, 2,...,, ha pedig α < 0, akkor s /k α s, k = 1, 2,...,. Nemegatív függvéyt itegrálva az itegrálási tartomáy övelésével az itegrál is ő, így L (ε) = 1 k 2α Y s 2 k 2 dp k=1 { Y k >εs /k α } = 1 k 2α Y 2 dp s 2 k=1 { Y >εs /k α } { 1 s 2 k=1 k2α Y 2 { Y >εs / dp = Y 2 α } { Y >εs / dp, ha α 0, α } 1 s 2 k=1 k2α Y 2 { Y >εs } dp = Y 2 { Y >εs } dp, ha α < 0. 69

70 Mivel EY 2 <, és s / α, ha α 0, és s, ha α ( 1/2, 0), így a Lebesgue majorás kovergeciatétel szerit midkét esetbe teljesül az L (ε) 0 Lideberg-feltétel, így a CHT is. Visszatérve az α < 1/2 esetre, ekkor =1 V arx <, így Kolmogorov egy sor tétele szerit =1 X < m.b. Persze ebbe az esetbe is lehet ormális az összeg (ha mide tag ormális), de általába em lesz az Legye {X 1,..., X } =1 sorokét függetle szériasorozat, melyre teljesül, hogy P{X k = a } = P{X k = a } = p /2 és P{X k = 0} = 1 p, k = 1, 2,...,, valamilye a > 0 és p (0, 1) eseté. (a) Mi a Ljapuov-feltétel teljesüléséek szükséges és elegedő feltétele? (b) Mi a Lideberg-feltétel teljesüléséek szükséges és elegedő feltétele? (c) Mi a cetrális határeloszlás-tétel szükséges és elegedő feltétele? Modjuk ki a tételt, ha igaz. (d) Tegyük föl, hogy p λ, valamilye λ > 0 számra. Adjuk meg olya b > 0 sorozatot, hogy a k=1 X k határeloszlása létezik, em-elfajult, és azoosítsuk az eloszlást! 9.4. Legyeek X 1, X 2,... függetle véletle változók, melyekre P{X k = k 1/4 } = 1 2 k = P{X k = k 1/4 }, és P{X k = 0} = k, k = 1, 2,.... Teljesül-e a cetrális határeloszlás-tétel az S = X X összegekre? 9.5. Legyeek X 1, X 2,... függetle véletle változók, melyekre P{X k = k 1/2 } = 1 2k = P{X k = k 1/2 }, és P{X k = 0} = 1 1 2k, k = 1, 2,.... Teljesül-e a cetrális határeloszlás-tétel az S = X X összegekre? 9.6. Legyeek X 1, X 2,... függetle Poisso(λ) eloszlású véletle változók, λ > 0. Igaz-e a cetrális határeloszlás-tétel a b X 1 1, X 2 2, X 3 3,... 70

71 sorozat részletösszegeire? 9.7. Legyeek X 1, X 2,... függetle Poisso eloszlású véletle változók, λ 1, λ 2,... paraméterrel. (a) Mit állíthatuk az S = X X összeg eloszlásáról? (b) Mi modható az S határeloszlásáról, ha =1 λ <? (c) Teljesül-e a cetrális határeloszlás-tétel a λ λ > 0 esetbe? 9.8. Legyeek X 1, X 2,... függetle Exp(λ) eloszlású véletle változók, λ > 0. Igaz-e a cetrális határeloszlás-tétel a X 1 1, X 2 2, X 3 3,... sorozat részletösszegeire? 9.9. Legye {X,1,..., X, 2} =1 sorokét függetle szériasorozat, melyre teljesül, hogy P{X,k = 1} = P{X,k = 1} = p /2 és P{X,k = 0} = 1 p, k = 1, 2,..., 2, valamilye p (0, 1) sorozatra, melyre p 0. Mi a szükséges és elegedő feltétele aak, hogy az S = X 1, X, 2 összegekre teljesüljö a cetrális határeloszlás-tétel? 10. Martigálok diszkrét időbe Defiíció, opcioális megállási tétel, martigál kovergecia tétel Az (Ω, A, P) valószíűségi mező {F } filtráció ha σ-algebrák mooto bővülő redszere, F 0 F 1... F F A), és {X } véletle változók sorozata. A filtrációra úgy godoluk, mit iformációra, ahogy időbe halad előre a folyamat. Az -edik időpotba redelkezésükre álló iformáció az F σ-algebra. Ie természetes, hogy mooto ő a σ-algebrák sorozata. Az {X } sorozat adaptált az {F } filtrációhoz, ha mide eseté X mérhető F szerit. Az {X, F } sorozat martigál, ha (i) {X } adaptált az {F } filtrációhoz; (ii) E X < mide eseté; (iii) E[X +1 F ] = X m.b. 71

72 A martigálokra, mit igazságos játékra godolhatuk. Ha az -edik időpotba X forituk va, akkor az ( + 1)-edik időpotba várhatóa ugyaeyi lesz. Az {X, F } sorozat szubmartigál (szupermartigál), ha (i), (ii) teljesül, és E[X +1 F ] X (E[X +1 F ] X ) m.b. mide eseté. Doob-felbotás. Legye {X, F } szubmartigál, F 0 = {, Ω}. Ekkor létezik {M, Z } sorozat, melyre {M, F } martigál, Z 1 = 0, Z 1 Z 2... m.b., és Z előrejelezhető. Továbbá, ez az előállítás egyértelmű. A τ : Ω N emegatív egész értékű (kiterjesztett) véletle változó megállási idő az {F } filtrációra ézve, ha mide eseté {τ } F. A defiíció azt fejezi ki, hogy ha az -edik időpotba megállok, azaz τ =, akkor ezt a dötésemet az -edik időpotig felhalmozott iformáció alapjá hozom meg. Ha a következő tétel martigálokra modjuk ki, akkor az egyelőtleség helyett egyelőség va. Ez azt fejezi ki, hogy ha adott egy igazságos szerecsejáték, ahol tehát a várható yereméyem 0, akkor akármilye ügyes megállási stratégia (azaz megállási idő) haszálatával sem tudok jól kijöi a játékból. Opcioális megállási tétel (Doob). Legye {X, F } szubmartigál, σ, τ megállási idők, σ τ m.b. Tegyük fel, hogy E X σ <, E X τ < és lim if {τ>} X dp = 0. Ekkor E[X τ F σ ] X σ m.b. Wald-azoosság. Legyeek X, X 1, X 2,... függetle azoos eloszlású véletle változók, melyekre EX = µ <, továbbá legye τ az {F = σ(x 1,..., X )} =1 filtrációra ézve megállási idõ, melyre E(τ) <. Legye S = X 1 + +X, N. Ekkor E(S τ ) = µe(τ). Az alábbi állítás a Kolmogorov-féle maximál egyelőtleség messzemeő általáosítása. Doob maximál egyelőtlesége. Legye {X k, F k } szubmartigál és legye M = max 1 k X k. Ekkor tetszőleges k > 0 eseté xp{m x} X dp EX +, {M x} ahol a + = max{a, 0} az a R szám pozitív részét jelöli Legyeek X, X 1, X 2,... függetle, azoos eloszlású véletle változók, EX = 0. Mutassuk meg, hogy S = X X martigál az F = σ(x i : i = 1, 2,..., ) filtrációra ézve. 72

73 Megoldás. Világos, hogy X mérhető F -re, hisz F σ(x ). A feltétel szerit E X <, így E S E X <. Végül, mivel X +1 függetle az X 1,..., X változóktól, így az általuk geerált F σ-algebrától is, S pedig mérhető erre ézve, ezért E[S +1 F ] = E[S + X +1 F ] = S + E[X +1 F ] = S + E(X +1 ) = S Legyeek Y 1, Y 2,... függetle, pozitív véletle változók, melyekre EY = 1. Mutassuk meg, hogy X = i=1 Y i martigál az F = σ(y i : i = 1, 2,..., ) filtrációra ézve Legye F tetszőleges filtráció A-ba, és X itegrálható véletle változó. Mutassuk meg, hogy X = E[X F ] martigál F filtrációra. Megoldás. A mérhetőség és az itegrálhatóság világos. A toroyszabály alapjá E[X +1 F ] = E[E[X F +1 ] F ] = E[X F ] = X Legye {X, F } martigál, és {Z } véletle változók egy sorozata, hogy Z F 1 mérhető és Z (X X 1 ) itegrálható. Mutassuk meg, hogy az M = Z i (X i X i 1 ) folyamat martigál, ahol X 0 = 0. i=1 Megoldás. A mérhetőség és az itegrálhatóság a feltételek szerit teljesül. Mivel M adaptált, Z +1 F -mérhető, és X martigál, ezért E[M +1 F ] = E[M + Z +1 (X +1 X ) F ] = M + Z +1 E[X +1 X F ] = M Legyeek X, X 1, X 2,... függetle, azoos eloszlású véletle változók, EX 0. Mutassuk meg, hogy S = X X szubmartigál az F = σ(x i : i = 1, 2,..., ) filtrációra ézve, és határozzuk meg a Doobfelbotását Legyeek X, X 1, X 2,... függetle véletle változók, EX = 0, EX 2 = σ 2 <. Mutassuk meg, hogy S 2 = (X X ) 2 szubmartigál, és adjuk meg a Doob-felbotását. (Ha em szerepel filtráció, akkor midig a természetes filtrációra voatkozik az állítás.) 73

74 10.7. A játékos csődje. Legyeek X, X 1,... függetle, azoos eloszlású véletle változók, melyekre P{X = 1} = p = 1 P{X = 1}, p (0, 1). Mutassuk meg, hogy τ = τ a,b = mi {S b vagy S a} megállási idő (a természetes filtrációra). Az opcioális megállási tétel segítségével igazoljuk, hogy ha p = 1/2 akkor P{S τ = b} = ha pedig p 1/2, akkor ahol r = p/(1 p). a a + b és P{S τ = a} = b a + b ; P{S τ = b} = rb r a+b 1 r a+b és P{S τ = a} = 1 rb 1 r a+b, Legyeek X, X 1, X 2,... függetle, azoos eloszlású véletle változók, P{X = ±1} = 1/2. Ekkor S = X X egyszerű szimmetrikus bolyogás. Mutassuk meg, hogy τ = mi N {S = 1} megállási idő. Mivel az egyszerű szimmetrikus bolyogás visszatérő (Pólya tétele), így P{τ < } = 1. Mutassuk meg, hogy Eτ =. Segítség. Haszáljuk a Wald-azoosságot, és vegyük észre, hogy em haszálhatjuk! Legyeek Y, Y 1, Y 2,... függetle, azoos eloszlású véletle változók, P{Y = 1/2} = P{Y = 3/2} = 1/2. Egy korábbi feladat szerit X = i=1 Y i martigál. Mutassuk meg, hogy X 0 m.b. (Mivel X emegatív, így a martigál kovergeciatétel szerit 1 valószíűséggel kovergál. De ezt e haszáljuk!) Ez egy példa arra, hogy EX lim EX Vezessük le a Kolmogorov-egyelőtleséget Doob maximál egyelőtleségéből! Azaz, legyeek X 1, X 2,..., X függetle véletle változók, 0 várható értékkel és véges szórással. Legye S k = X X k. Mutassuk meg, hogy P{ max 1 k S k λ} ES2 λ 2. 74

75 Hivatkozások [1] Barczy Mátyás, Pap Gyula: Valószíűségszámítás II. példatár. mobidiák köyvtár [2] Patrick Billigsley: Probability ad Measure. Third editio, Wiley [3] Bogár Jáosé, Mogyoródi József, Prékopa Adrás, Réyi Alfréd, Szász Domokos: Valószíűségszámítási feladatgyűjteméy. Negyedik kiadás, Typotex [4] Leo Breima: Probability. Addiso-Wesley Publishig Compay, Readig, Mass.-Lodo-Do Mills, Ot [5] Chery Alexader: The Kolmogorov Studets Competitios o Probability Theory. [6] Csörgő Sádor: Fejezetek a valószíűségelméletből. Polygo [7] Rick Durrett: Probability: Theory ad Examples, Cambridge Uiversity Press, [8] B.V. Gyegyeko, A.N. Kolmogorov: Függetle valószíűségi változók összegeiek határeloszlásai, Akadémiai Kiadó, Budapest [9] Réyi Alfréd: Valószíűségszámítás, Taköyvkiadó, Budapest [10] Walter Rudi: Real ad Complex Aalysis, Third editio, McGraw-Hill Book Co., New York