Fourier-transzformáció

Átírás

1 EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Simon Péter Fourier-transzformáció Ez a tanulmány az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával készült (a támogatás száma: TÁMOP 4.2./B-9//KMR-2-3). BUDAPEST, 22

2 Előszó Az alábbiakban egyfajta válogatást adunk a trigonometrikus Fourier-transzformációval kapcsolatos fogalmakról és eredményekről. Elöljáróban röviden összefoglaljuk a mértékés integrálelméletben (is) alapvető szerepet játszó konvolúcióra vonatkozó alapismereteket. A klasszikus Fourier-transzformáció mellett kitekintést nyújtunk a disztribúció-elmélet keretében történő tárgyalás, ill. az absztrakt harmonikus analízis fogalomköre felé is. Az alkalmazások illusztrációjaként bemutatjuk a prímszámtétel egy lehetséges bizonyítását, ill. az ahhoz vezető út részeként a klasszikus Wiener-, ill. Ingham-tételt. A Heisenberg-féle egyenlőtlenség kapcsán röviden szólunk a határozatlansági relációkról. Érintjük a modern transzformációs módszerek alkalmazásai szempontjából fontos ún. θ-szummáció, ill. az ablakos Fourier-transzformáció (vagy Gábor-transzformáció) alapjait. Az Irodalomjegyzékben azokat a forrásokat soroljuk fel, amelyekre a tanulmány megírásakor támaszkodtunk. A belső hivatkozásokat általában mellőzzük, de minden eredmény, amely említésre kerül, megtalálható a felsorolt művekben. Ez a tanulmány az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával készült (a támogatás száma: TÁMOP 4.2./B-9//KMR-2-3).

3 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék. Konvolúció Trigonometrikus Fourier-transzformáció Borel-mértékek Fourier-transzformációja L -beli függvények Fourier-transzformáltja L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja Fourier-inverzió A Fourier-transzformált integrálhatósága Inverziós formula Absztrakció L p -beli függvények Fourier-transzformáltja Differenciálhatóság A Fourier-transzformált differenciálhatósága Schwartz-osztály Disztribúciók Alkalmazások Wiener-tétel Ingham-tétel Prímszám-tétel Határozatlansági relációk Gábor-transzformált A Gábor-transzformált értelmezése Gábor-inverzió Irodalomjegyzék

4 . Konvolúció 3. Konvolúció. Legyen (X, T ) egy lokálisan kompakt topologikus Abel-csoport, M(X) az X Borelhalmazainak a B(X) szigma-algebráján értelmezett korlátos Borel-mértékek halmaza. Vezessük be a következő P : X X X leképezést: P ( (x, y) ) ) := x y (x, y X), ahol az X-beli szorzást (mint multiplikatív csoportműveletet) jelöli. Ha X X-en a T által generált szorzat-topológiát tekintjük, akkor a P leképezés nyilván folytonos. Tetszőleges µ, ν M(X) mértékek esetén az X X-beli Borel-halmazok B(X X) σ-algebráján legyen κ := µ ν a µ, ν mértékek által meghatározott szorzatmérték. Vegyük a κ mérték P által létesített P[κ] képét, azaz legyen P[κ](B) := κ(p [B]) (B B(X)). A µ ν := P[κ] mértéket a µ, ν mértékek konvolúciójának nevezzük. A definícióból nyilvánvaló, hogy µ ν M(X). Továbbá a művelet kommutatív és asszociatív, ill. a mértékek öszeadására nézve disztributív, valamint tetszőleges α [, + ), µ, ν M(X) mellett µ (α ν) = (α µ) ν = α (µ ν). A fentiek nyilván elmondhatók M(X) helyett a µ : B(X) R korlátos variációjú előjeles Borel-mértékek V(X) halmazában is. (Emlékeztetünk a most említett fogalmakra, miszerint µ V(X) egy olyan előjeles mérték B(X)-en, amelyre { } sup µ(a) : A F X < +, A A ahol F X -szel az összes olyan véges, páronként diszjunkt, B(X)-beli halmazokból álló A halmazrendszerek halmazát jelöltük, amelyekre X = A A.) Legyen µ, ν M(X), A B(X), ekkor µ ν(a) = χ A d(µ ν) = µ(y A) dν(y) = ν(x A) dµ(x). Gyakran ez utóbbit tekintik a µ ν konvolúció definíciójának.

5 4 2.. Borel-mértékek Fourier-transzformáltja Ha valamilyen < n N esetén X := R n és T az R n -beli euklideszi norma által indukált topológia, akkor tekintsük B(X)-en a µ Lebesgue-mértéket. Legyen f L, ekkor az f súlyfüggvény által generált µ f mérték µ f (A) := f dµ (A B(X)) nyilván A V(X)-beli és bármely ν V(X) mellett µ f ν(a) = µ f (A x) dν(x) (A B(X)). Ha g(y) := f(y x) dν(x) =: f ν(y) (y X), akkor µ f ν(a) = g χ A dµ = µ g (A). Legyen most a fenti f mellett adott egy h L függvény is és írjunk ν helyébe µ h -t. Ekkor az előbbiekhez hasonló módon kapjuk, hogy µ f µ h (A) = χ A f h dµ = A f h dµ (A B(X)), ahol f h(x) := f(x y) h(y) dµ(y) (x X). A most értelmezett f h függvényt az f, h L függvények konvolúciójának nevezzük. Ekkor L (a szokásos függvényműveletekkel és a. normával) a konvolúcióra nézve egy kommutatív Banach-algebra. Továbbá p, q, r +, /p + /q, /r = /p + /q = /r, ill. f L p, g L q esetén f g L r és f g r (A p A q A r ) n f p g q (Young-féle egyenlőtlenség.) Itt az u, v +, /u + /v = jelölésekkel ( ) u /u /2 A := A :=, A u := ( < u < + ) jelenti az ún. Babenko-Beckner-konstanst. Speciálisan, ha q =, akkor r = p, azaz f L p, g L mellett f g L p és v /v f g p f p g.

6 2.. Borel-mértékek Fourier-transzformáltja 5 2. Trigonometrikus Fourier-transzformáció. 2.. Borel-mértékek Fourier-transzformáltja. Vezessük be a következő jelöléseket: jelentse, az R n -ben jól ismert skaláris szorzást, azaz x = (x,..., x n ), y = (y,..., y n ) R n esetén legyen x, y := n k= x ky k. Az R n -beli x elemek euklideszi normájára az x := x, x szimbólumot használjuk. Legyen továbbá egy a R n elem mellett e a a következő függvény : e a (x) := e ı x,a (x R n ). Nyilvánvaló, hogy tetszőleges a R n esetén e a folytonos, e a =, ezért bármely µ M(R n ) mellett e a a µ-mértékre nézve integrálható és e a = µ(r n ). Legyen µ M(R n ) egy tetszőleges korlátos Borel-mérték. Ekkor a µ(x) := e x dµ (x R n ) hozzárendeléssel definiált µ : R n C függvényt a µ mérték Fourier-transzformáltjának nevezzük. Ha pl. µ a valamely a R n pontban koncentrált Dirac-mérték, akkor bármely x R n esetén µ(x) = e x dµ = e x (a) = e a (x), azaz µ = e a. Világos, hogy tetszőleges µ M(R n ) mértékre és x R n pontra µ(x) µ(r n ), ill. µ(r n ) = µ(). Egyszerűen adódik továbbá, hogy a µ leképezés egyenletesen folytonos. Valóban, ha ε > tetszőleges, akkor µ(r n \ K N ()) (N ) miatt alkalmas N N mellett µ(r n \ K N ()) < ε. Ekkor bármely x, y R n esetén ˆµ(x) ˆµ(y) K N () K N () e x e y dµ + R n \K N () e x y (t) dµ(t) + 2µ(R n \ K N ()) e x e y dµ 2 sin( t, x y /2) dµ(t) + ε t, x y dµ(t) + 2ε K N () K N () N µ(k N ()) x y + 2ε < 3ε, hacsak x y < δ olyan δ > választással, amellyel N µ(k N ())δ < ε.

7 L -beli függvények Fourier-transzformáltja Belátható, hogy ˆµ pozitív definit is, azaz tetszőleges m N index és a,..., a m R n vektorok mellett az ( µ(a j a k )) m j,k= Cm m mátrix pozitív szemidefinit. Sőt, igaz az alábbi Bochner-tétel, nevezetesen, ha h : R n C korlátos és folytonos függvény, akkor a következő két kijelentés egymással ekvivalens: o van olyan µ M(R n ) korlátos pozitív Borel-mérték, hogy h = ˆµ; 2 o a h függvény pozitív definit, azaz bármely f L függvény esetén h(x y)f(x)f(y)dx dy. A definícióból rögtön adódik, hogy a : M(R n ) C Rn megfeleltetés additív és pozitív homogén, tehát bármely µ, ν M(R n ) és R α esetén µ + ν = µ + ν, α µ = α µ. Belátható továbbá, hogy µ ν = µ ν, ill. µ ν = µ ν. Legyen (az eddigi n mellett) s is egy pozitív természetes szám és legyenek adottak a µ M(R n ), ν M(R s ) korlátos Borel-mértékek. Ekkor µ ν(x, y) = µ(x) ν(y) ( (x, y) R n R s). (Az előbbi egyenlőség bal oldalán az R n, ill. az R s feletti Borel-mértékekből képzett szorzatmérték Fourier-transzformáltja áll, amely tehát az R n R s téren van értelmezve. Röviden azt mondjuk, hogy a szorzatmérték Fourier-transzformáltja a (tényező-) mértékek Fourier-transzformáltjainak a szorzata.) 2.2. L -beli függvények Fourier-transzformáltja. Ha most (és a továbbiakban is) µ az R n -beli Lebesgue-mértéket jelöli és valamely (a µ mértékre nézve integrálható) f L, f mellett ν(a) := µ f (A) (A B(R n )), akkor ν M(R n ), ill. ν(x) = e x dµ f = fe x dµ (x R n ).

8 2.2. L -beli függvények Fourier-transzformáltja 7 Ebből a szempontból nyilván lényegtelen, hogy f egy nemnegatív függvény, azaz bármely f L és x R n mellett fe x L. A most mondottakat figyelembe véve vezessük be a következő definíciót: egy f L Lebesgue-integrálható függvény esetén az ˆf(x) := fe x dµ = f(t)e ı t,x dt (x R n ) hozzárendelési utasítással értelmezett ˆf : R n C leképezést az f függvény Fouriertranszformáltjának nevezzük. Ha tehát f is igaz, akkor µ f = ˆf. Részben a mértékekkel kapcsolatos analóg állításokra hivatkozva könnyen adódnak az alábbiak: i) az L f ˆf L operátor lineáris és korlátos: ˆf f (f L ); ii) bármely f L esetén az ˆf függvény egyenletesen folytonos; iii) f h = ˆf ĥ (f, h L ); iv) ha f L és F(x) := f( x) (x R n ), akkor F = ˆf; v) f, g L, f g = ˆf ĝ; vi) (szorzási szabály:) f, g L = ˆfg dµ = ĝf dµ. vii) (Riemann-Lebesgue-lemma:) bármely f L esetén lim x + ˆf(x) =. Ti. az i) állítás triviális, a ii)-t láttuk mértékekre. A iii) igazolásához alkalmazzuk a Fubini-tételt: f h(x) = ( f h(t)e ı t,x dt = ) f(y)h(t y) dy e ı t,x dt = ( f(y) ) h(t y)e ı t,x dt dy = ( f(y) ) h(t)e ı t+y,x dt dy = ( )( f(y)e ı y,x dy ) h(t)e ı t,x dt = ˆf(x)ĥ(x) (x Rn ). A iv) igazolása csupán egyszerű számolást jelent, az v) egyértelműségi állítást később látjuk be (ld vi) megjegyzés). A vi) bizonyítása is meglehetősen egyszerű: a Fubinitétel miatt ( ˆf(x)g(x) dx = ) f(t)e ı t,x dt g(x) dx =

9 L -beli függvények Fourier-transzformáltja ( f(t) ) g(x)e ı t,x dx dt = f(t)ĝ(t) dt. A Riemann-Lebesgue-lemma eléggé nyilvánvaló intervallum karakterisztikus függvényére. Az egyszerűség kedvéért csak egydimenziós esetben (n = ) részletezve mindezt legyen g = χ [a,b] az [a, b] R intervallum karakterisztikus függvénye és x R. Ekkor ĝ(x) = b a e ıxt dt = e ıbx e ıax ıx 2 x ( x + ). Világos, hogy ezért ugyanez igaz karakterisztikus függvények véges lineáris kombinációira is (lépcsősfüggvényekre). Ugyanakkor tetszőleges f L függvényhez megadható lépcsősfüggvényeknek egy olyan (g n ) sorozata, amelyre f g n (n ). Mivel ˆf(x) ĝ n (x) f g n (x R), ezért bármely ε > számhoz van olyan n N, amellyel ˆf(x) ĝ n (x) < ε Tehát (x R). ˆf(x) ˆf(x) ĝ n (x) + ĝ n (x) < ε + ĝ n (x) (x R), ahol alkalmas r > esetén ĝ n (x) < ε (x R, x > r). Más szóval ˆf(x) < 2ε, hacsak x R, x > r. Ez éppen a Riemann-Lebesgue-lemma állítása. Megjegyezzük, hogy a Riemann-Lebesgue-lemma megfelelője nem igaz M(R n )-beli mértékekre. Legyen ui. ν M(R n ) a (R n ) -ban koncentrált Dirac-mérték, ekkor ν. A fenti bizonyításból n = esetén a következő átfogalmazást nyerjük: legyen a < b +, f : (a, b) R (Lebesgue-)integrálható. Ekkor β β lim f(t) cos(tx) dt = lim f(t) sin(tx) dt =, x + α x + α mégpedig az (α, β) (a, b) intervallumokra nézve egyenletesen. Más szóval: bármely ε > számhoz van olyan x >, hogy x > x esetén β α f(t) cos(tx) dt < ε, β α f(t) sin(tx) dt < ε

10 2.3. L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja 9 igaz tetszőleges (α, β) (a, b) intervallumra. Mindehhez elég annyit megjegyezni, hogy az f α,β := fχ (α,β) L függvényre f α,β (x) = β α f(t)e ıxt dt = β α β f(t) cos(tx) dt + ı f(t) sin(tx) dt α (x R). Jelöljük az L szimbólummal az összes L -beli függvény Fourier-transzformáltja által alkotott halmazt. A Stone-Weierstrass-tétel alkalmazásával kapjuk, hogy L a. norma értelmében mindenütt sűrű az R n -en értelmezett kompakt tartójú folytonos függvények C (R n ) terében L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja. A p > esetben az L p -beli f függvények nem feltétlenül integrálhatók, következésképpen fe x / L (x R n ) bőven előfordulhat, ezért az ilyen L p függvényosztályok elemeire a Fourier-transzformált a fenti definíció alapján nem értelmezhető. A következő egy-két megjegyzésben ezt a kérdéskört vizsgáljuk. Legyen először p = 2. Emlékeztetünk arra, hogy L L 2 egy (a. 2 norma értelmében) sűrű altér L 2 -ben. Ezért minden f L 2 függvényhez megadható olyan f k L L 2 (k N) sorozat, amelyre f f k 2 (k + ). Ilyen pl. az f k := fχ Gk (k N) függvények sorozata, ahol G r := {t R n : t r} (r > ). Az L L 2 altér g elemeire természetesen minden további nélkül értelmezhető a ĝ Fouriertranszformáció. Az előbbi f k := fχ Gk (k N) példánál maradva f k (x) = f(t)e ı x,t dµ(t) G k (x R n, k N), azaz n = esetén f k (x) = k k f(t)e ıxt dµ(t) (x R, k N). Nem triviális viszont az, hogy minden ilyen g esetén ĝ L 2 és ĝ 2 = (2π) n/2 g 2. Ez azt is jelenti egyúttal, hogy a (nyilván lineáris)

11 2.3. L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja L L 2 g ĝ L 2 operátor korlátos, azaz folytonos. Ezt a tényt (és az (L 2,. 2 ) normált tér teljességét) felhasználva ezért az előbbiekben szereplő f k L L 2 függvények f k (k N) Fouriertranszformáltjainak a sorozata. 2 normában konvergál egy L 2 -beli függvényhez. Legyen ebben az értelemben ˆf := lim k fk, tehát ˆf f k 2 (k + ). Ez az értelmezés korrekt (azaz ˆf nem függ az f-et előállító (f k) sorozat konkrét megválasztásától) és az ( ) L 2 f ˆf L 2 leképezés egy korlátos, lineáris operátor, amely injektív és a normája (2π) n/2. Világos, hogy f L L 2 esetén ˆf a mostani értelmezés és a kiindulási definíció szerint ugyanaz. Megmutatható, hogy a ( ) operátor szürjektív is, azaz tetszőleges g L 2 függvényhez létezik egy (és csak egy) olyan f L 2, amelyre g = ˆf. A ( ) operátor tehát az L 2 térnek egy önmagára való bijekciója és ĝ 2 = (2π) n/2 g 2 (g L 2 ) (Plancherel-tétel). Mi lesz az inverze? Ehhez először is azt jegyezzük meg, hogy az f, h := f hdµ (f, h L 2 ) jelöléssel (az L 2 -beli skaláris szorzás) ˆf, ĥ = (2π)n f, h (f, h L 2 ). Jelöljük a ( ) operátor adjungáltját A-val, ekkor amiből tetszőleges h L 2 esetén (2π) n f, h = ˆf, ĥ = f, A(ĥ) (f, h L2 ), h = (2π) n A(ĥ) következik. Legyen h L 2 mellett H(x) := ĥ( x) (x Rn ), ekkor könnyű meggyőződni arról, hogy f, A(h) = ˆf, h = f, H (f L 2 ). Így A(h) = H, azaz a ( ) operátor unitér, az inverze a

12 2.3. L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja leképezés. L 2 h (2π) n H L Megjegyzések. i) Valamely ξ R n esetén jelöljük T ξ -vel, ill. M ξ -vel az ξ által meghatározott transzlációs, ill. modulációs operátorokat: T ξ f(t) := f(t + ξ), M ξ f(t) := e ı t,ξ f(t) (f L, t R n ). Ekkor egyszerűen ellenőrizhető, hogy T ξ M η = e ı ξ,η M η T ξ (ξ, η R n ). Speciálisan, T ξ M η = M η T ξ akkor és csak akkor igaz (tehát a ξ-transzláció és az η-moduláció pontosan akkor cserélhető fel), ha valamilyen k Z egész számmal ξ, η = 2kπ. Azt sem nehéz továbbá belátni, hogy a most értelmezett operátorok és a Fourier-transzformáció kapcsolata a következő: T ξ f = M ξ ˆf, Mη f = T η ˆf (ξ, η R n, f L ). Hasonlóan, T ξ M η f = M ξ T η ˆf, Mη T ξ f = T η M ξ ˆf (ξ, η R n, f L ). A Fourier-transzformáció L 2 -re való kiterjesztésére gondolva (a Lebesgue-integrál eltolás-invariánciáját is kihasználva) a fenti formulák igazak maradnak f L 2 esetén is. Világos, hogy T ξ, M η : L 2 L 2 (ξ, η R n ). Ezek az operátorok folytonosak is a következő értelemben: bármely f L 2, ξ, η R n esetén T ξ f T ξ f 2 (ξ ξ ), M η f M η f 2 (η η ). A Lebesgue-integrál most említett eltolás-invariánciája miatt T ξ f T ξ f 2 = T ξ ξ f f 2. Ezért a transzláció folytonossága azzal ekvivalens, hogy lim T ξf f 2 = (f L 2 ), ξ

13 L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja ami jól ismert az integrálelméletből. Innen ˆf L 2 (f L 2 ) alapján a modulációról a következőket mondhatjuk: lim η M ηf f 2 = lim (2π) M n/2 η f ˆf 2 = η lim (2π) T ˆf n/2 η ˆf 2 =. η Mivel M η f M η f 2 = M η η f f 2, ezért a moduláció fent említett folytonossága már adódik. ii) Számítsuk ki a h(x) := e x 2 /2 (x R n ) (nyilván folytonos és L -beli) függvény Fourier-transzformáltját, és mutassuk meg, hogy Legyen ehhez x R n, ekkor ĥ = (2π) n/2 h. ĥ(x) = e n k= y2 k /2 e ı n k= x ky k dy dy n = n e /2 n y2 k e ıx ky k dy dy n = k= k= e y2 k /2 e ıx ky k dy k = n k= e (y k ıx k ) 2 /2 x 2 k /2 dy k = n k= e /2 x2 k e (y k ıx k ) 2 /2 dy k. Az utóbbi integrálok kiszámításához legyen valamilyen a > és R b (pl. b > ) esetén T az a téglalap a komplex síkon, amelynek a csúcspontjai: ±a, ±a ıb, ill. legyen ϕ a a T kerülete (az óramutató járásával megegyező irányban). Ekkor a komplex függvénytanból jól ismert Cauchy-féle alaptétel szerint ϕ a e z 2 /2 dz =. A T téglalap függőleges (ϕ,2 a ) oldalainak a z = ±a+ıt ( b t ) pontjaiban e z2 /2 = e a2 /2 e t2 /2 e b2 /2 e a2 /2 (a + ), így

14 2.3. L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja 3 ϕ,2 a e z2 /2 dz /2 e b eb2 a2 /2 (a + ). A T vízszintes oldalain az integrálok: Következésképpen amiből a e (t ıb)2 /2 dt, ill. a a a e t2 /2 dt. a a = lim e z 2 /2 dz = lim e t2 /2 dt lim e (t ıb)2 /2 dt, a + ϕ a + a a a + a a e (t ıb)2 /2 dt = lim e (t ıb)2 /2 dt = a + a a lim e t2 /2 dt = a + a e t2 /2 dt = 2 e t2 dt = 2π következik. (Ha b <, akkor analóg számolással jutunk ugyanerre az eredményre.) Tehát bármely k =,..., n mellett e (y k ıx k ) 2 /2 dy k = 2π, n ezért ĥ(x) = (2π)n/2 k= e x2 k /2 = (2π) n/2 h(x), amit bizonyítani kellett. (Mivel a, b R esetén e (y ı(a+ıb))2 /2 dy = e (y+b ıa)2 /2 dy = e (y ıa)2 /2 dy = 2π, ezért a fentiekben x R n helyett x C n is írható.) iii) Legyen n = és tegyük fel, hogy az f L függvény páros, azaz f( t) = f(t) (m.m. t R). Ekkor ˆf(x) = f(t)e ıtx dt = f(t)e ıtx dt + + f(t)e ıtx dt =

15 L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja + f( t)e ıtx dt + Ugyanígy kapjuk az + f(t)e ıtx dt = + 2 f(t) cos(tx) dt = + f(t) cos(tx) dt f(t) ( e ıtx + e ıtx) dt = (x R). + ˆf(x) = 2ı f(t) sin(tx) dt = ı f(t) sin(tx) dt (x R) formulát páratlan f esetén, azaz, amikor f( t) = f(t) (m.m. t R). iv) Gondoljuk meg, hogy az integrálható f : R R függvény akkor és csak akkor páros (páratlan), ha az ˆf Fourier-transzformált páros (páratlan). Valóban, ha f páros (páratlan), akkor az előbbi megjegyzés formulái alapján rögtön adódik ugyanez ˆf-ra is. Fordítva, ha pl. ˆf páros, akkor az F(t) := f( t) (t R) függvényre F(x) = f( t)e ıtx dt = f(t)e ıtx dt = ˆf( x) = ˆf(x) (x R). Innen a Fourier-transzformált injektivitása (ld vi) megjegyzés) alapján F(x) = f( x) = f(x) (m.m. x R). Analóg módon okoskodhatunk akkor is, ha ˆf páratlan. v) Legyen f L, c R és δ c f(x) := f(cx) (x R n ). Világos, hogy δ c f L. Ha c >, akkor δ c f(x) = f(ct)e ı t,x dt = c n f(t)e ı t,x/c dt = c n ˆf(x/c) (x R n ). Ha c =, akkor δ f(x) = f( t)e ı t,x dt = f(t)e ı t, x dt = ˆf( x) (x R n ). Speciálisan, ha n = és f páros (páratlan), akkor δ f = f (δ f = f), azaz ˆf( x) = δ f(x) = ˆf(x) ( ˆf( x) = δ f(x) = ˆf(x)) (x R).

16 2.3. L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja 5 Tehát ˆf páros (páratlan). Végül, ha c <, akkor δ c f = δ (δ c f). Ezért δ c f(x) = δ c f( x) = ( c) n ˆf( x/( c)) = ( c) n ˆf(x/c) (x R n ). Megjegyezzük, hogy a későbbiekben fontos szerepet játszó f c (c > ) (nyilván L -beli) függvényre := c n δ /c f f c (x) = c n azaz f c = δ c ˆf. f(t/c)e ı x,t dt = f(t)e ı cx,t dt = ˆf(cx) (x R n ), vi) Tegyük fel, hogy n =, f L és ˆf páratlan. Legyen < b < +. Ekkor iii) és a Fubini-tétel szerint b ˆf(x) x b ( + ) dx = 2ı f(t) sin(tx) dt dx = x ( + ) b ( sin(tx) + ) bt sin x 2ı f(t) dx dt = 2ı f(t) x t x dx dt. Jól ismert, hogy C := sup α<β β α sin x x dx < +, következésképpen sup b> b ˆf(x) x dx C f. Mivel sup b> b x ln( + x) dx = +,

17 L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja ezért nincs olyan f L függvény, amelyre ˆf(x) = / ln( + x) =: g(x) ( ) teljesülne. (Dacára annak, hogy g rendelkezik a Fourier-transzformáció jellemző tulajdonságaival: g C és lim x + g(x) =.) vii) Valamely f L függvény és h R esetén legyen h f(t) := f(t + h/2) f(t h/2) (t R), ill. ω(f, δ) := sup h f (δ ) h δ (az f függvény L -folytonossági modulusa). Mutassuk meg, hogy ˆf(x) ω(f, π/ x ) ( x R). 2 Vegyük észre ehhez ui., hogy ˆf(x) = f(t)e ıtx dt = ı f(t)e ıx(t+π/(2x)) dt = ı f ( t π ) e ıtx dt, 2x ill. hasonlóan ˆf(x) = ı f(t)e ıx(t π/(2x)) dt = ı f ( t + π ) e ıtx dt. 2x Innen azt kapjuk, hogy ˆf(x) = ı 2 ( ( f t + π ) ( f t π )) e ıtx dt, 2x 2x következésképpen ˆf(x) 2 π/x f(t) dt ω(f, π/ x ). 2 viii) Nem nehéz belátni, hogy vii)-ben lim δ ω(f, δ) =. Ezért lim ω(f, π/ x ) =, x +

18 3.. A Fourier-transzformált integrálhatósága 7 azaz a vii)-beli becslés alapján újból megkaptuk a Riemann-Lebesgue-lemma állítását: lim x + ˆf(x) =. 3. Fourier-inverzió. 3.. A Fourier-transzformált integrálhatósága. Az eléggé triviális, hogy egy f L függvény ˆf Fourier-transzformáltja nem feltétlenül integrálható. Erről könnyen meggyőződhetünk, ha kiszámítjuk pl. az f := χ [,] függvény esetén (n = ) az ˆf -ot. Ugyanakkor a Fourier-transzformált integrálhatósága több szempontból is lényeges. Számos kritérium ismert egy f L függvényt illetően, hogy ˆf L igaz legyen. A továbbiakban ezzel a kérdéssel foglalkozunk, feltéve, hogy n = és f L L 2. Vegyük észre először is, hogy az R z := {t R : t > z} Cauchy-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség alkalmazásával (z > ) jelöléssel a ˆf = ( t ˆf(t) dt = + ( χ[, t ] (x) t ) ( dx + ) t ˆf(t) χ [, t ] (x) dt = dx t ˆf(t) dt = ) ( + ˆf(t) dt dx = ˆf(t) ) dt dx R x t + Tehát ( R x ˆf(t) 2 dt ) R x t dt 2 dx = + 2x ˆf(t) 2 dtdx + R x 2 ˆf π f x ˆf(t) 2 dtdx = R x 2x ˆf(t) 2 dt dx R x x ˆf(t) 2 dt dx = 3/2 R /x x ˆf(t) 2 dt dx. 3/2 R /x

19 8 3.. A Fourier-transzformált integrálhatósága f L L 2, x ˆf(t) 2 dt dx < + = ˆf L. 3/2 R /x Az előbbi következtetésben szereplő feltétel vizsgálatához legyen U h f(x) := h h/2 h/2 f(x + t) dt (f L, h > ) (elsőrendű Sztyleklov-függvény). Egy egyszerű számolással ellenőrizhető, hogy U h f L : U h f(x) dx h ( h/2 h/2 ) f(x + t) dt dx = h h/2 h/2 ( ) f(x + t) dx dt = h/2 f dt = f < +. h h/2 Ha most (másodrendű Sztyleklov-függvény), akkor V h f := U h (U h f) (f L, h > ) V h f(x) = h x+h/2 x h/2 U h f(t) dt = h x+h/2 U h f(t) dt + h x h/2 U h f(t) dt (x R). Ezért az integrálfüggvény differenciálhatóságáról szóló Lebesgue-tétel értelmében V h f D és (V h f) (x) = h (U hf(x + h/2) U h f(x h/2)) = h U h( h f)(x) (m.m. x R), (ahol h f(x) = f(z + h/2) f(z h/2) (z R)). Világos, hogy h f(z) dz =, így bevezetve a szimbólumot 2 hf(t) := h f(t + h/2) h f(t h/2) (t R)

20 3.. A Fourier-transzformált integrálhatósága 9 (V h f) (x) = h 2 h/2 h/2 h f(x + t) dt = x+h/2 h 2 h f(t) dt = x h/2 ( x+h/2 ) x h/2 h 2 h f(t) dt h f(t) dt = ( x+h/2 ) + h 2 h f(t) dt + h f(t) dt = x h/2 ( x + ) h 2 h f(t + h/2) dt + h f(t h/2) dt = x ( x x ) h 2 h f(t + h/2) dt h f(t h/2) dt = h x 2 2 hf(t) dt. A fentiekből már nyilvánvaló, hogy lim V hf(x) = x+h/2 x + h lim U h (t) dt =, x + x h/2 lim (V hf) (x) = x + h 2 ( h f(t + h/2) h f(t h/2)) dt = ( h 2 h f(t) dt ) h f(t) dt =. Mutassuk meg, hogy V h f(x) = h h h f(x + t)( t /h) dt, V h f(x) f(x) h h 2 tf(x)( t/h) dt (x R). Az első egyenlőséghez ui. legyen F az f integrálfüggvénye, ekkor U h f(x) = F(x + h/2) F(x h/2), h

21 2 3.. A Fourier-transzformált integrálhatósága azaz V h f(x) = h 2 h/2 h/2 (F(x + t + h/2) F(x + t h/2)) dt = ( h ) h 2 F(x + t) dt F(x + t) dt = h h h 2 F(x + t) signtdt. h Innen parciális integrálással oda jutunk, hogy V h f(x) = h 2 ( [F(x + t)( t h)] h h h h f(x + t)( t h) dt ) = ami az első egyenlőség. h f(x + t)( t /h) dt, h h A második igazolásához vegyük észre, hogy amiből (és az első egyenlőségből) h h ( t/h) dt = 2, h h ahogyan állítottuk. V h f(x) f(x) = h h h (f(x + t) + f(x t)( t/h) dt h f(x + t)( t /h) dt f(x) = h h 2 h tf(x)( t/h) dt, 2f(x)( t/h) dt = Számítsuk ki a V h f (h > ) függvény Fourier-transzformáltját. A derivált és a Fourier-transzformált kapcsolatáról szóló formulákat alkalmazva (ld xix) megjegyzés, ill. 5. pont) parciális integrálással

22 3.. A Fourier-transzformált integrálhatósága 2 V h f(x) = ı (V h f) (x) = ı x x (V h f) (t)e ıtx dt = x 2 (V h f) (t)e ıtx dt = x 2 h 2 x 2 h 2 2 h f(x) 2 hf(t)(t)e ıtx dt = ( x R). Az előbbi megjegyzésekre, a. 2 -ra vonatkozó Minkowski-egyenlőtlenségre és a Fourier-transzformálttal kapcsolatos Parseval-formulára (ld. 2.) hivatkozva azt mondhatjuk, hogy R x ˆf(t) 2 dt R x ˆf(t) V /x f(t) 2 dt + ahol az ω 2 (f, δ) := sup u δ 2 uf 2 (δ ) jelöléssel B = 2 /x f(t) R x x 4 t 4 R x 2 dt V /x f(t) 2 dt =: A + B, 2 /x f(t) 2 dt = 2π 2 /x f(t) 2 dt 2πω 2 (f, /x) (f L L 2, x > ). Az A vizsgálatához használjuk fel az alábbi egyenlőséget (ld. fent): V /x f(t) f(t) = /x (x x 2 u) 2 uf(t) du (t R, x > ). Ekkor az előbb már említett Parseval-formulát ismét alkalmazva a Cauchy-Bunyakovszkijegyenlőtlenségből A f(t) 2π V/x f(t) 2 dt = 2π ( ) 2 /x (x x 2 u) 2 u f(t) du dt = /x 2π 2 u f 2 2 (x x2 u) du πω 2 (f, /x).

23 A Fourier-transzformált integrálhatósága Összefoglalva a fentieket így azt mondhatjuk, hogy alkalmas C > (abszolút) konstanssal R x ˆf(t) 2 dt Cω 2 (f, /x) (f L L 2, x > ). Ezért egy korábbi becslésünket folytatva az adódik, hogy 2 Végül tehát az alábbiakat láttuk be: x ˆf(t) 2 dt dx C 3/2 R /x 2 ˆf 2 π f 2 + C 2 más szóval a szóban forgó f függvényt illetően az ω 2 (f, x) dx. x 3/2 ω 2 (f, x) x 3/2 dx (f L L 2 ), ω 2 (f, x) x 3/2 dx < + feltétel elegendő ahhoz, hogy ˆf L igaz legyen. Legyen α > és Lip (α, 2) := {f L 2 : ω 2 (f, δ) = O(δ α ) (δ +)}. Ekkor f L Lip (α, 2), α > /2 esetén alkalmas C α > konstanssal azaz az előbbiek szerint ˆf L. ω 2 (f, x) dx C x 3/2 α x α 3/2 dx = C α α /2 < +, Az ˆf L kérdés szempontjából (is) különösen fontosak a kompakt tartójú folytonos függvények. Legyen ϕ C[, ], ϕ() = és terjesszük ki a ϕ függvényt R-re a következőképpen: ϕ(x) ( x ) f(x) := (x > ) f( x) (x < ).

24 t f(x + t/2) 2 dx + t f(x t/2) 2 dx = 2 t f 2 (t ), 3.. A Fourier-transzformált integrálhatósága 23 Nyilvánvaló, hogy f : R R kompakt tartójú (suppf [, ]) páros folytonos függvény, speciálisan f L L 2. Legyen Megmutatjuk, hogy ω(f, δ) := sup{ f(x) f(t) : x, t R, x t δ} (δ ). ω 2 (f, δ) 2 3ω(f, δ) (δ ). Valóban, a. 2 -ra vonatkozó Minkowski-egyenlőtlenség alapján 2 t f 2 = 2 t f(x) 2 dx = t f(x + t/2) t f(x t/2) 2 dx ahol az I := t/2 f(x + t/2) f(t/2 x) 2 dx, I 2 := t/2 t/2 f(x + t/2) f(x t/2) 2 dx, I 3 := jelölésekkel +t/2 t/2 f() f(x t/2) 2 dx ( t/2 2 ω 2 (f, 2x) dx + + t f 2 2 = 2 t f(x) 2 dx = 2(I + I 2 + I 3 ) t/2 t/2 ω 2 (f, t) dx + +t/2 t/2 ω 2 (f, x + t/2) dx )

25 Inverziós formula +t/2 2 ω 2 (f, t) dx 3ω 2 (f, t). Következésképpen t f 2 3ω(f, t) (t ), amiből az állításunk már következik. Ha tehát (ld. fent) ω(f, δ) = O(δ α ) (δ +) és α > /2, akkor ˆf L Inverziós formula. Belátjuk, hogy ha f, ˆf L, akkor igaz az alábbi inverziós formula: f(x) = (2π) n ˆfe x dµ (m.m.x R n ). (Mivel f L miatt az R n x (2π) n ˆfe x dµ leképezés folytonos, ezért az f függvényt esetleg egy nulla-(lebesgue-)mértékű halmazon megváltoztatva az előbbi egyenlőség tetszőleges x R n esetén igaz lesz.) Tekintsük ui. (ld ii) megjegyzés) az F N (t) := ˆf(t)e ı x,t h(t/n) (t R n, < N N) függvénysorozatot, ahol x R n rögzített. Ekkor minden R n t-re lim N F N (t) = ˆf(t)e ı x,t, ill. F N ˆf L ( < N N) miatt alkalmazható a Lebesgue-tétel, miszerint ˆf(t)e ı x,t dt = lim N ˆf(t)e ı x,t h(t/n) dt. Lássuk be, hogy ˆf(t)e ı x,t h(t/n) dt = N n f(x + t)h(nt) dt ( < N N). Valóban, ˆf(t)e ı x,t = T x f(t), ill. a H N (t) := h(t/n) (t R n ) jelöléssel Ĥ N (y) = h(t/n)e ı y,t dt = N n h(z)e ı y,nz dz = N n h(z)e ı Ny,z dz = N n ĥ(ny) = N n (2π) n/2 h(ny) (y R n ).

26 3.2. Inverziós formula 25 Következésképpen ˆf(t)e ı x,t h(t/n) dt = T x f(t)h N (t) dt = T x f(t)ĥn(t) dt = (2π) n/2 N n f(x + t)h(nt) dt. Mivel N n h(nt) dt = h(t) dt = ĥ() = (2π)n/2, ezért N (x) := (2π) n ˆf(t)e ı x,t h(t/n) dt f(x) = N n (2π) n/2 (f(x + t) f(x))h(nt) dt. A Fubini-tételt alkalmazva tehát azt mondhatjuk, hogy N Nn (2π) n/2 ( ) f(x + t) f(x )h(nt) dt dx = N n (2π) n/2 h(nt) T t f f dt = ( Nn + (2π) n/2 G r R n \G r ) (tetszőleges r > mellett, ahol G r := {t R n : t r}). Világos, hogy N n h(nt) T (2π) n/2 t f f dt G r (2π) h sup T n/2 t f f = t 2 r Továbbá sup T t f f (r ). t 2 r N n h(nt) T (2π) Rn\Gr n/2 t f f dt 2 f N n h(nt) dt = (2π) n/2 R n \G r 2 f h(t) dt (2π) n/2 R n \G Nr (N ).

27 Inverziós formula A fentiekből már nyilván következik, hogy lim N N =, azaz egyúttal egy alkalmas (N k ) indexsorozattal m.m. x R n esetén lim k Nk (x) = is igaz. Ismét a Lebesguetételt alkalmazva ezért azt kapjuk, hogy f(x) = (2π) lim n k ˆf(t)e ı x,t h(t/n k ) dt = (2π) n ˆf(t)e ı x,t lim h(t/n k) dt = k (2π) n ˆf(t)e ı x,t dt Megjegyzések. i) (Hobson (926), Bochner (932), Titchmarsh (937).) Az előbbi bizonyítás mögött az alábbi általános érvényű meggondolás húzódik meg. Tegyük fel, hogy g L, g(t) dt = és legyen T λ f := f g λ (f L ), ahol λ > és g λ (t) := λ n g(λt) f L függvényre (t R n ) (Fejér-típusú mag.) Ekkor bármely lim λ + T λf f =. Ti. tetszőleges f L, x R n és λ > mellett T λ f(x) f(x) = λ n f(x t)g(λt) dt f(x) = λ n (f(x t) f(x))g(λt) dt, hiszen λ n g(λt) dt = g(t) dt =. Ezért T λ f f λ n ( ) f(x t) f(x) g(λt) dt dx = λ n ( g(λt) ) f(x t) f(x) dx dt λ n G r g(λt) T t f f dt + 2λ n f R n \G r g(λt) dt

28 3.2. Inverziós formula 27 ahol sup T t f f g + 2 f g(t) dt, t 2 r R n \G λr sup T t f f (r ), ill. t 2 r Innen lim λ + T λ f f = már nyilván következik. R n \G λr g(t) dt (λ + ). ii) Az i) megjegyzésben szereplő g λ (λ > ) függvénysereg egy speciális ún. egységapproximáció. Nevezetesen, legyen e λ L, e λ (t) dt = (λ > ), sup λ> e λ < +, bármely r > esetén R n \G r e λ (t) dt (λ + ). Ekkor tetszőleges f L függvényre f e λ f (λ + ). Sőt, L -et,. -t kicserélhetjük L p -re, ill.. p -re ( p < + ) vagy C := {f C : sup t >r f(t) (r + )}-ra (a végtelenben eltűnő folytonos függvények terére) és. -re. Nyilván (ld. i)) e λ := g λ (λ > ) egységapproximáció. iii) Legyen Φ C, Φ() = és tételezzük fel, hogy a (Lebesgue-)mérhető f : R n R függvényre minden ε > szám mellett létezik az M Φ (f, ε) := f(x)φ(εx) dx integrál (az f Φ-integrálközepe). Világos, hogy tetszőleges f L ilyen. Ha az ε M Φ (f, ε) leképezésnek van (véges) határértéke ε esetén, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény Φ-integrálható, a lim ε M Φ (f, ε) határérték az f Φ-integrálja. A Lebesgue-tétel miatt bármely f L esetén lim M Φ(f, ε) = ε f(t) dt

29 Inverziós formula (azaz a Φ-integrál permanens.) Pl. (ld ii) megjegyzés) a Φ := h választással minden f L függvényre M Φ (f, ε) = f(x)e ε2 x 2 /2 dx f(x) dx (ε ). Ebben a speciális esetben Gauss- (vagy Gauss-Weierstrass-)integrálról beszélünk. Hasonlóan, a Φ(x) := e x (x R n ) választással Abel-integrálásnak nevezzük a szóban forgó eljárást. Nem nehéz meggondolni, hogy az f(x) := (sin x)/x ( x R, n = ) esetben az f(x) dx integrál nem létezik, de az f függvény Abel-integrálható. Ha Φ(x) := h(x) = e x 2 /2 (x R n ), akkor tetszőleges f L függvényre M Φ (M x ˆf, ε) = ˆf(t)e ı t,x e ε2 t 2 /2 dt (x R n ). Ha még ˆf L, akkor ( ) lim M Φ (M x ˆf, ε) = ε ˆf(t)e ı t,x dt (x R n ). Ugyanakkor (ld ii) megjegyzés) ĥ = (2π)n/2 h, azaz M Φ (M x ˆf, ε) = (2π) n/2 ˆf(t)e ı t,x ĥ(εt) dt = ( (2π) n/2 ) f(y)e ı y,t dy e ı t,x ĥ(εt) dt (x R n ). A Fubini-tételt alkalmazva innen azt kapjuk, hogy M Φ (M x ˆf, ε) = (2π) n/2 ( f(y) ) ĥ(εt)e ı y x,t dt dy. Továbbá ĥ(εt)e ı y x,t dt = ε n ĥ(t)e ı (y x)/ε,t dt = (2π) n/2 ε n h(t)e ı (y x)/ε,t dt =

30 3.2. Inverziós formula 29 Így (2π) n/2 ε n ĥ((y x)/ε) = (2π)n ε n h((y x)/ε) (ε >, x, y Rn ). (2π) M Φ (M x ˆf, n/2 ε) = ε n h((y x)/ε)f(y) dy = f(y) h ε (y x) dy (x R n ), ahol h ε (t) := (2π) n/2 ε n h(t/ε) (t R n ). Később megmutatjuk (ld. v)), hogy lim ε f(y) h ε (y x) dy = f(x) h (t) dt = (2π) n f(x) (m.m. x R n ), amiből ( ) alapján az inverziós formula következik. iv) Tegyük most fel, hogy Φ L C és legyen Φ ε (x) := ε n Φ(x/ε) (x R n, ε > ). Ekkor a 2. pont vi) formula és a 2.. i) megjegyzés szerint bármely f L függvényre M Φ (M x ˆf, ε) = ˆf(t)e ı t,x Φ(εt) dt = f(t) Φ ε (t x) dt (x R n ). v) Az előbb mondottakhoz kapcsolódva lássuk be az alábbi állítást. Legyen ehhez ϕ L C és vezessük be a következő jelöléseket: ψ(x) := ϕχ R n \K x (), ϕ ε (x) := ε n ϕ(x/ε) (x R n ), ahol K r () := {t R n : t < r} (r > ), ill. ε >. Tegyük fel, hogy ψ L, p +. Ekkor tetszőleges f L p függvényre az f bármely x Lebesguepontjában igaz, hogy lim T εf(x) = f(x) ε ϕ(t) dt,

31 Inverziós formula ahol T ε f(z) := f(t)ϕ ε (t z) dt (z R n ). Valóban, ha δ > tetszőleges, akkor válasszuk az η > számot úgy, hogy r n f(x t) f(x) dt < δ K r () ( < r η). (Emlékeztetünk a Lebesgue-pont fogalmára: lim r r n f(x t) f(x) dt =.) K r () Világos, hogy bármely < ε-ra ϕ ε (t) dt = ϕ(t) dt =: α, ezért T ε f(x) αf(x) = (f(x + t) f(x))ϕ ε (t) dt K η () (f(x + t) f(x))ϕ ε (t) dt + R n \K η () (f(x + t) f(x))ϕ ε (t) dt =: I + I 2. Az egyszerűség kedvéért csak az n = p = esetben részletezzük a bizonyítás további részét (az egyéb esetek analóg módon intézhetők el). Az I becsléséhez vegyük észre, hogy a ψ (r) := ψ(x) (x R, r = x ) függvénnyel (ami nyilván monoton fogyó és ψ integrálhatósága miatt integrálható, azaz lim r + ψ (r) = ) rψ (r) {t R: r/2 t r} ψ(x) dx (r vagy r + ). Következésképpen rψ (r), ha r vagy r +. Ezért van olyan C > konstans, amellyel rψ (r) C ( < r < + ). Mindezt előre bocsájtva azt mondhatjuk, hogy I ε η η f(x + t) f(x) ψ(t/ε) dt =

32 3.2. Inverziós formula 3 ε η ( f(x r) f(x) + f(x + r) f(x) )ψ (r/ε) dr. Legyen G(s) := s ( f(x s) f(x) + f(x + s) f(x) ) ds (s ). Ekkor a δ, ill. az η megválasztásából r r f(x t) f(x) dt = r ( f(x t) f(x) + f(x + t) f(x) ) dt = G(r) rδ ( < r η). Tehát parciális integrálással I ε η G (r)ψ (r/ε) dr = G(η)ψ (η/ε) ε ε η G(r) d(ψ (r/ε)) ηδψ (η/ε) ε ε η/ε η/ε G(rε) d(ψ (r)) Cδ δ r d(ψ (r)) ( + ) ( + ) δ C rψ (r) dr = δ C + ψ (r) dr = ( δ C + 2 ) ψ(x) dx =: Bδ. A most definiált B konstans nyilván csak ψ-től függ. Az I 2 becsléséhez legyen g η := χ R\( η,η), ψ ε (x) := ε ψ(x/ε) (x R). Ekkor I 2 f g η ψ ε + f(x) g η ψ ε. Az előbbi becslés második tagjáról ψ L miatt a következőt mondhatjuk: g η ψ ε = R\( η,η) ψ ε (x) dx = R\( η/ε,η/ε) ψ(x) dx (ε ).

33 Inverziós formula Ugyanakkor η g η ψ ε = η ε ψ (η/ε) (ε ). Figyelembe véve az előbb az I -ről mondottakat az állításunkat bebizonyítottuk. vi) Az előbbi megjegyzésbeli szereplőkkel a g λ := ϕ /λ (λ > ) függvénysereg ϕ(t) dt = esetén nyilván egységapproximáció (ld. i), ii) megjegyzések), ezért a ii)-ben megfogalmazott állítás szerint bármely f X függvényre T ε f f (ε ), ahol (L p,. p ) ( p < + ) (X,. ) := (C,. ) (p = +.) Speciálisan (ld. iv) megjegyzés), ha Φ, Φ L C és Φ(t) dt =, akkor bármely f L függvényre az ˆf Fourier-transzformált ˆf(t)e ı t,x Φ(εt) dt (x R n ) Φ-integrálközepei ε esetén. -normában konvergálnak f -hez. Ha itt még ˆf L is igaz, akkor (az inverziós formula fentebbi bizonyításában már alkalmazott technikával ) azt kapjuk, hogy a c := Φ() jelöléssel f(x) = c ˆf(t)e ı t,x dt (m.m. x R n ). Így pl. (ld ii) megjegyzés) a Φ(t) := (2π) n e t 2 /2 (t R n ) választással c = (2π) n, azaz újfent adódik az inverziós formula. Világos, hogy ha ˆf(x) = (m.m. x R n ), akkor ugyanez igaz az f függvényre is. Innen rögtön következik a Fourier-transzformáció injektivitása: ha f, g L és ˆf(x) = ĝ(x) (m.m. x R n ), akkor f(x) = g(x) (m.m. x R n ). vii) Válasszuk pl. vi)-ban (n = esetén) a ϕ(t) := e t2 / π (t R) függvényt. Ekkor nyilván teljesülnek a ϕ-vel kapcsolatban vi)-ban (és v)-ben) megfogalmazott feltételek, ezért bármely f C függvényre lim ε T ε f f =, ahol T ε f(x) = ε π f(t)e (t x)2 /ε 2 dt (x R). Mutassuk meg a fentiek alapján, hogy igaz a Weierstrass-féle approximációs tétel, nevezetesen: ha < a < b < + és g : [a, b] R folytonos, akkor bármely δ > számhoz van olyan P (algebrai) polinom, amellyel

34 3.2. Inverziós formula 33 max g(x) P(x) < δ. a x b Terjesszük ki ehhez a g függvényt az egész számegyenesre úgy, hogy a kiterjesztett függvényre (jelöljük ezt f-fel) f C és supp f [a, b+] teljesüljön. (Ezt nyilván megtehetjük.) Ekkor lim ε T ε f f = miatt bármely σ > számhoz van olyan ε >, hogy T ε f f < σ. Következésképpen max a x b g(x) ε π b+ a f(t)e (t x)2 /ε 2 dt < σ. Ha x [a, b], t [a, b + ], akkor (t x)/ε [c, d], ahol c := (a b )/ε, d := (b a + )/ε. A [c, d] intervallumon a k= ( )k z 2k /k! Taylor-sor egyenletesen konvergens, így alkalmas N N természetes számmal /ε 2 e (t x)2 N k (t x)2k ( ) ε 2k k! < σ. k= Következésképpen a C := (b a + 2) f konstanssal tetszőleges [a, b] x-re b+ a f(t)e (t x)2 /ε 2 dt b+ a f(t) N k (t x)2k ( ) ε 2k k! k= dt Cσ. Azt kaptuk tehát, hogy Mivel max a x b g(x) ε π N k= ( ) k ε 2k k! b+ a f(t)(t x) 2k dt ( + C ) ε σ. π b+ a f(t)(t x) 2k dt = 2k j= ( (2k ) b+ )( ) j f(t)t 2k j dt x j =: j a 2k j= c kj x j (k =,..., N), ezért a

35 Inverziós formula P(z) := ε π függvény polinom, amellyel hacsak σ elég kicsi. N k= ( ) k ε 2k k! 2k j= c kj z j (z R) ( max g(x) P(x) + C ) a x b ε σ < δ, π viii) Legyen f L, ekkor az ˆf Fourier-transzformáltnak a vi) megjegyzésben (az ottani szereplőkkel) említett ˆf(t)e ı t,x Φ(εt) dt (x R n ) Φ-integrálközepei ε esetén v) szerint f(x)-hez tartanak az f függvény minden x Lebesguepontjában. Nyilván minden olyan x pont ilyen, amelyben f folytonos, azaz f C{x} esetén lim ε ˆf(t)e ı t,x Φ(εt) dt = f(x). Ha tehát f C{}, akkor lim ε ˆf(t)Φ(εt) dt = f(). Tegyük fel, hogy ˆf és legyen Φ(t) := (2π) n e t 2 /2 (t R n ). Ekkor lim ε ˆf(t)e ε2 t 2 /2 dt = (2π) n f(), azaz a Fatou-lemma miatt ˆf(t) dt = ˆf(t) dt = lim inf ε ˆf(t)e ε2 t 2 /2 dt lim inf ε ˆf(t)e ε2 t 2 /2 dt = lim ε ˆf(t)e ε2 t 2 /2 dt = (2π) n f() < +. Ez azt jelenti, hogy ˆf L. Következésképpen, ha f L, ˆf és f C{}, akkor igaz az inverziós formula:

36 3.2. Inverziós formula 35 f(x) = (2π) n ˆf(t)e ı t,x dt (m.m. x R n ). Továbbá f() = (2π) n ˆf(t) dt. ix) Legyen n =, g L és Pg(t) := + ún. periodizáltja). Mivel k= g(t+2kπ) (t [ π, π]) (a g függvény π + π k= g(t + 2kπ) dt = + π k= π g(t + 2kπ) dt = + (2k+)π k= (2k )π g(t) dt = g(t) dt < +, ezért a + k= g(t + 2kπ) sor m.m. t R helyen abszolút konvergens és π π Pg(t) dt g < +, azaz Pg L [ π, π] és (a Lebesgue-tétel miatt) π π Pg(t)dt = g(t)dt. Az Pg függvény nyilván periodikus 2π-szerint. Ha f L [ π, π], akkor terjesszük ki f-et R-re 2π-szerint periodikusan (a kiterjesztett függvényt is f-fel jelöljük). Legyen ekkor f g := f (Pg), f g(x) = π + π k= f(x t)g(t + 2kπ)dt (x R). Továbbá π π π π f g(x) dx f(x) dx + k= + k= π π π π ( π π g(t + 2kπ) dt = ) f(x t) dx g(t + 2kπ) dt = π π f(x) dx g(t) dt,

37 Inverziós formula tehát f g L [ π, π] és f g f g. Ha pl. f(t) := e j (t) := e ıjt (j Z, t [ π, π]), akkor f g(x) = e j g(x) = e ıjx π + π k= e ıjt g(t + 2kπ)dt = e ıjx π + π k= e ıj(t+2kπ) g(t + 2kπ)dt = e ıjx π π P(ge j )(t)dt = e ıjx g(t)e ıjt dt (x R). Legyen most θ L C olyan, hogy ˆθ L és valamely < m N mellett g(t) := θ m (t) := m 2π ˆθ(mt) (t R). Az előbbiek és az inverziós formula (ld. 3.) szerint e j θ m (x) = e ıjx m 2π ˆθ(mt)e ıjt dt = e ıjx 2π ˆθ(t)e ıjt/m dt = e ıjx θ(j/m) (x R). A továbbiakban feltesszük, hogy + k= θ(k/m) < + ( < m N). Definiáljuk ekkor a T θ m, σ θ m ( < m N) operátorokat a következőképpen: T θ mf := f θ m, σ θ mf := + k= θ(k/m)c k (f)e k (f L [ π, π]), ahol c k (f) := (2π) π π f(t)e ıkt dt az f függvény k-adik Fourier-együtthatója. A fentiek alapján bármely f L [ π, π] függvényre

38 3.2. Inverziós formula 37 T θ m f = f θ m f θ m = m f 2π ˆθ(mt) dt = f 2π ˆθ(t) dt = ˆθ 2π f, így a T θ m : L [ π, π] L [ π, π] ( < m N) (nyilván lineáris) operátorok (egyenletesen) korlátos lineáris operátorok. Hasonlóan, σ θ m f + k= θ(k/m) c k (f) e k f + k= azaz a + k= θ(k/m) < + ( < m N) feltétel miatt a θ(k/m), σ θ m : L [ π, π] L [ π, π] ( < m N) operátorok is korlátos lineáris operátorok. Mivel c k (e j ) = δ kj (k, j Z), ezért σ θ me j = θ(j/m)e j = T θ me j (j Z, < m N), amiből bármely τ trigonometrikus polinomra is σm θ τ = T m θ τ következik. Tudjuk, hogy a trigonometrikus polinomok halmaza. -ban mindenütt sűrű az (L [ π, π],. ) Banach-térben, így egyúttal σ θ mf = T θ mf (f L [ π, π], < m N). Sőt, ha θ() =, akkor σ θ m e j e j = θ(j/m) e j = θ(j/m) (m ).

39 Inverziós formula Összefoglalva a fentieket (a Banach-Steinhaus-tételre hivatkozva) az alábbi tételt láttuk be: tegyük fel, hogy a θ L C függvényre a következő feltételek teljesülnek: ˆθ L, θ() =, + k= θ(k/m) < + Ekkor bármely f L [ π, π] esetén σ θ m f f ( < m N). (m ). Az itt szereplő (L [ π, π],. ) tér kicserélhető (C[ π, π],. )-re vagy (L p [ π, π],. p )-re ( p < + ), sőt, tetszőleges (X,. ) homogén Banachtérre. (Tehát T X L [ π, π] (a trigonometrikus polinomok halmazát T-vel jelölve),.., T x f X, T x f = f (f X, x R), ill. minden X f-hez megadható trigonometrikus polinomoknak egy olyan (τ m ) sorozata, hogy f τ m (m ).) A σm θ ( < m N) operátorok egy speciális szummációs eljárást határoznak meg. Legyen ui. valamely k= x k számsor esetén t m := θ(k/m)x k k= ( < m N). Ha a θ páros függvényre igaz, hogy + k= θ(k/m) < + ( < m N), akkor nyilván minden korlátos (x k ) sorozatra létezik a (t m ) (szám-)sorozat. Azt mondjuk, hogy a szóban forgó k= x k sor θ-szummábilis, ha a (t m ) sorozatnak van (véges) határértéke. Ez utóbbi esetben lim m t m a sor θ-szummája. Legyen m S :=, S m := k= m x k (k N). Ekkor t m = θ(k/m)(s k S k ) = (θ(j/m) θ((j + )/m))s j =: j= j= a mj S j j= ( < m N). Az ismert Toeplitz-tétel szerint ez a szummáció akkor és csak akkor permanens (azaz lim m t m = lim m S m ), ha

40 3.2. Inverziós formula 39 sup <m N j= a mj < +, lim m j= a mj =, lim a mj = m (j N). A + k= θ(k/m) < + ( < m N) feltétel miatt lim k θ(k/m) = ( < m N), ezért a mj = θ() j= ( < m N). Tehát θ() = esetén lim m j= a mj =. Ha θ még folytonos is -ban, akkor nyilván lim m a mj = (j N) is igaz. A sup <m N j= a mj < + korlátossági feltétel is teljesül, ha pl. a θ függvény korlátos változású. Ha pl. a θ L függvényről azt tudjuk, hogy ˆθ és θ C{}, akkor (ld. viii)) ˆθ L. Világos, hogy ha θ := χ [,], akkor a θ-szummáció a szóban forgó sorok közönséges értelemben vett (szimmetrikus) összegzését jelenti. Hasonlóan, ha γ > és θ(t) := ( t γ )χ [,] (t) (t R), akkor a klasszikus Riesz-szummációhoz jutunk. Speciálisan a γ = választással kapjuk a (C, )- (vagy Fejérféle) összegzést. (Számos egyéb klasszikus szummációs eljárás írható le még ilyen módon.) ( < m N) operátorokról a következőket mond- x) A fentiekben bevezetett σm θ hatjuk: σ θ m f(x) = k= k= π π ( π ) θ(k/m) e ıkt dt e ıkx = 2π π 2π f(t)θ(k/m)eık(x t) dt, ahol C m := k= θ(k/m) < + ( < m N) miatt f(t)θ(k/m)e ık(x t) = f(t) θ(k/m) C m f(t) k= k= (t [ π, π]). Ezért a Lebesgue-tétel szerint

41 Inverziós formula σ θ m f(x) = π π f(t) 2π k= θ(k/m)e ık(x t) dt = π π f(t)k θ m (x t) dt = f Kθ m (x) (x [ π, π]) a K θ m := 2π k= θ(k/m)e k ( < m N) magfüggvénnyel. A C m < + feltételből következően a (2π-szerint periodikus) Km θ -t definiáló végtelen sor egyenletesen konvergens, így Kθ m C[ π, π]. Innen az is következik, hogy az C[ π, π] f σm θ f C[ π, π] ( < m N) operátor normája K θ m. Mivel σ θ mf = T θ mf f θ m = 2π ˆθ f (f C[ π, π]), ezért K θ m ˆθ /(2π), azaz sup Km θ <m N 2π ˆθ. Később belátjuk (ld. xii)), hogy a fenti egyenlőtlenségben egyenlőség is írható. xi) Világos, hogy C m < + ( < m N) alapján (ld. Lebesgue-tétel) c l (K θ m ) = 4π 2 k= π θ(k/m) e ıkt e ılt dt = π 2π θ(l/m) (l Z). Ugyanakkor ˆθ L miatt (az inverziós formulát is alkalmazva) c l (Pθ m ) = π Pθ m (t)e ılt dt = π 2π π 2π π j= θ m (t + 2jπ)e ılt dt =

42 3.2. Inverziós formula 4 m π (2π) 2 π m 2π (2π) 2 j= j= ˆθ(m(t + 2jπ))e ılt dt = ˆθ(m(t + 2jπ))e ıl(t+2jπ) dt = m (2π) 2 ˆθ(mt)e ılt dt = 2π 2π ˆθ(t)e ıtl/m dt = 2π θ(l/m) (l Z). Tehát K θ m(t) = Pθ m (t) (m.m. t [ π, π]), azaz θ(k/m)e ıkt = m ˆθ(m(t + 2jπ)) k= j= ( m.m.t R, < m N). (Ld. még: Poisson-formula (5... vii) megjegyzés).) xii) (Tyeljakovszkij (96), Zsuk-Natanszon (983).) Mutassuk meg, hogy (a ix)-beli feltételek mellett) sup Km θ = <m N 2π ˆθ. Bontsuk fel ehhez a θ m ( < m N) függvényt a következőképpen: θ m = θ m χ [ π,π] + θ m χ R\[ π,π] =: θ () m + θ(2) m. Ekkor tetszőleges (2π-szerint periodikus) f C[ π, π] függvényre f Pθ m f Pθ () m f Pθ (2) m ahol f Pθ () m f Pθ (2) m f Pθ () m f θ (2) m, θ m (2) = θ m (t) dt = m ˆθ(mt) dt = {x R: x >π} 2π {x R: x >π}

43 Inverziós formula ˆθ(t) dt 2π {x R: x >mπ} (m ). A folytonos magú integrál-operátorok normájával kapcsolatos klasszikus ismeretek alapján θ m () = Pθ m () = sup f Pθ m (), {f C[ π,2π]: f =} ezért alkalmas g k C[ π, π], g k = ( < k N) sorozattal θ () m /m < g m Pθ () m ( < m N). Következésképpen az előbbiekre tekintettel azt mondhatjuk, hogy 2π ˆθ = θ m Pθ m = K θ m g m K θ m = g m Pθ m > θ () m /m θ (2) m ( < m N). Innen lim inf m Kθ m lim inf m θ() m = π lim inf m ˆθ(mt) dt = 2π m π mπ lim inf ˆθ(t) dt = mπ 2π m mπ 2π lim ˆθ(t) dt = m mπ 2π ˆθ, amiből az állításunk már nyilvánvaló. Bármely (2π-szerint peri- xiii) (Szőkefalvi-Nagy (948), (Young-)Hardy (922).) odikus) f C[ π, π] függvény és x [ π, π] esetén σm θ f(x) = 2π f(x t/m)ˆθ(t) dt. A T θ m = σθ m ( < m N) egyenlőségből ui. σ θ mf(x) = f θ m (x) = π π k= f(x t)θ m (t + 2kπ) dt =

44 3.2. Inverziós formula 43 k= π π π π k= f(x (t + 2kπ))θ m (t + 2kπ) dt = f(x (t + 2kπ))θ m (t + 2kπ) dt = m 2π f(x t)ˆθ(mt) dt = 2π f(x t)θ m (t) dt = f(x t/m)ˆθ(t) dt. + xiv) A továbbiakban azt vizsgáljuk, hogy a θ L C, k= θ(k/m) < + ( < m N) feltételek mellett mikor igaz az alábbi következtetés: ( ) sup Km θ < + = ˆθ L. <m N Becsüljük ehhez K θ m -et a következőképpen: ha < m, M, N N és M mπ, akkor 2π K θ m = M M m π π mn k= mn M M m + k= M θ(k/m)e ıkt dt = M m + k= θ(k/m)e ıkt/m dt mn k= mn mπ mπ m + k= θ(k/m)e ıkt/m dt M M m θ(k/m)e ıkt/m dt 2M m k >mn k >mn θ(k/m)e ıkt/m dt θ(k/m)e ıkt/m dt θ(k/m). Mivel m mn k= mn θ(k/m)eıkt/m ( M t M) nem más, mint a [ N, N] x θ(x)e ıtx függvény (Riemann-) integrál közelítő összege, ezért

45 Inverziós formula lim m m mn k= mn θ(k/m)e ıkt/m = N N θ(x)e ıtx dx ( M t M). Ugyanakkor tetszőleges < m N, M t M esetén m mn k= mn θ(k/m)e ıkt/m (2N + ) max x N θ(x), ezért a Lebesgue-féle konvergencia-tétel értelmében Továbbá M lim m M m mn k= mn θ(k/m)e ıkt/m dt = M M N N θ(x)e ıtx dx dt. m k >mn θ(k/m) m j N m l= Tegyük fel, hogy alkalmas γ j (j Z) számokkal θ(j + l/m). ( ) Ekkor m θ(j + l/m) γ j (j Z, < m N), m l= + j= γ j < +. m j N m l= θ(j + l/m) j N γ j. Tehát 2π K θ m M M m mn k= mn θ(k/m)e ıkt/m dt 2M j N γ j, azaz

46 3.2. Inverziós formula 45 M 2π sup Km θ lim <m N m M M M N N Vegyük figyelembe, hogy egyrészt Lebesgue-tétel szerint M lim N M N N M M m mn k= mn θ(k/m)e ıkt/m dt 2M θ(x)e ıtx dx dt 2M γ j. N θ(x)e ıtx dx dt = + j N N θ(x)eıtx dx θ M M lim N M θ(x)e ıtx dx dt = M N N ˆθ(t) j N γ j = ( t M), ezért a θ(x)e ıtx dx dt = dt. Másrészt a j Z γ j < + feltételezés miatt j N γ j (N ), így M sup Km θ lim <m N N M Innen már következik. N N θ(x)e ıtx dx dt 2M lim M ˆθ = lim ˆθ(t) dt 2π sup M M <m N N j N γ j = K θ m < + M M ˆθ(t) dt. xv) A fentiekhez a következő észrevételeket fűzzük. Tegyük fel, hogy f C és legyen ill. f S := + sup j= <m N m m l= f(j + l/m),

47 Inverziós formula S(C, l ) := {f C : f S < + }. Mivel m m l= f(j + l/m) (f S(C, l ), < m N) az j+ f(t) dt j integrálnak egy közelítő összege, ezért Következésképpen lim m m m l= f(j + l/m) = j+ j f(t) dt. Innen sup <m N m m l= f(j + l/m) j+ j θ(t) dt. f(t) dt = + j+ j= j θ(t) dt + sup j= <m N m m l= f(j + l/m) = f S < + miatt S(C, l ) L C következik. Könnyen látható, hogy S(C, l ) vektortér (R felett) és. S norma. Ui. S = triviális. Ha viszont f S =, akkor tetszőleges j Z, < m N esetén f(j + l/m) = (l =,..., m ). Viszont bármely x R számhoz és ε > küszöbhöz az f folytonossága miatt megadhatók a j Z, < m N, l =,..., m számok úgy, hogy az y := j + l/m jelöléssel f(x) f(y) = f(x) < ε egyenlőtlenség teljesüljön. Ezért f(x) =, azaz f. Továbbá a λf S = λ f S (f S(C, l ), λ R) egyenlőség, ill. az f + g S f S + g S (f, g S(C, l )) egyenlőtlenség szintén meglehetősen nyilvánvaló. Következésképpen (S(C, l ),. S ) normált tér. Legyen adott egy f n S(C, l ) (n N) sorozat és tegyük fel, hogy valamely f S(C, l ) függvénnyel f n f S (n ). Tehát

48 3.2. Inverziós formula 47 + sup j= <m N m m l= f n (j + l/m) f(j + l/m) (n ). Ha r R racionális szám, akkor alkalmas j Z, < m N, l =,..., m számokkal r = j + l /m. Világos, hogy f n (r) f(r) m l= azaz f(r) = lim(f n (r)). f n (j +l/m ) f(j +l/m ) m f n f S (n N), Mutassuk meg, hogy az (S(C, l ),. S ) tér nem teljes. Legyen ehhez < n N esetén Nyilvánvaló, hogy f n C, ill. sin(π/x) (/n x ) f n (t) := (x R \ (/n, )). f n S = sup <m N m m l= f n (l/m) miatt f n S(C, l ). Továbbá, ha < n, k, m N, k > n, akkor m l= f n (l/m) f k (l/m) = ezért m l=,/k<l/m</n f n (l/m) f k (l/m) = m l=,m/k<l<m/n f k (l/m) m n m k, f n f k S = sup <m N m m l= f n (l/m) f k (l/m)

49 Inverziós formula n k (n, k ). Ez azt jelenti, hogy az (f n ) sorozat Cauchy-sorozat a. S normára nézve. Ha lenne olyan f S(C, l ) függvény, amellyel f n f S (n ) teljesülne, akkor az előzőek szerint minden r (, ) racionális számra f(r) = lim(f n (r)) = sin(π/r). Ilyen f : R R folytonos függvény viszont nincs. Egy f C[, ] függvény esetén jelöljük s m -mel a következő átlagot: s m (f) := m m l= f(l/m) ( < m N). Legyen továbbá ill. f ml := max{ f(t) : l/m t (l + )/m} (l =,..., m ), és S m (f) := m m l= f ml ( < m N) s(f) := sup s m (f), S(f) := sup S m (f). <m N <m N Világos, hogy s(f) S(f). Tekintsük ugyanakkor valamely < n N esetén azt az f n C[, ] függvényt, amelynek a grafikonja a [, /n] intervallum felett egy -magasságú egyenlő szárú háromszög és f n (t) := (/n t ). Ekkor S (f n ) = miatt S(f n ). Ugyanakkor m =,..., n esetén s m (f n ) =, míg ha m = n +, n + 2,..., akkor s m (f n ) = m [m/n] l= f n (l/m) m [m/n] l= n.

50 3.2. Inverziós formula 49 Tehát s(f n ) /n ( < n N), azaz nincs olyan q konstans, amellyel S(f) q s(f) teljesülne tetszőleges f C[, ] függvényre. Vezessük be egy f S(C, l ) függvényre az alábbi jelölést: f SW := + sup j= <m N m m l= fχ [j+l/m,j+(l+)/m]. Nyilvánvaló, hogy. SW norma és. S. SW, de a fentiek szerint a két szóban forgó norma nem ekvivalens. Igaz tehát az alábbi következtetetés: tegyük fel, hogy θ S(C, l ). Ekkor sup <m N Km θ < + = ˆθ L. Nyilvánvaló, hogy m m l= θ(j + l/m) sup θ(j + x) x< (j Z). Ezért + sup j= x< θ(j + x) < + esetén a γ j := sup x< θ(j +x) (j Z) választás eleget tesz ( )-nak. Legyen azonban θ C olyan, amelyre θχ (j,j+/j) = /j (j =, 2,...) és θ(t) = (t R\A), ahol A := j= (j, j+/j). Ekkor θ L és bármely < m N, j Z mellett m (j ) θ(j + l/m) m l= m [m/j] l= /j j 2 =: γ j ( < j), tehát ( ) teljesül. Viszont + sup j= x< θ(j + x) = + j= j = +.

51 Inverziós formula Legyen valamely f : R R függvény esetén f W := sup k= x [,) f(k + x), ill. jelöljük a W(C, l ) szimbólummal az összes olyan folytonos f : R R függvény által alkotott halmazt, amelyre f W < +. A fentiek szerint W(C, l ) valódi altere S(C, l )-nek, ill. (Feichtinger-Weisz (26)): tegyük fel, hogy θ W(C, l ). Ekkor sup <m N K θ m < + = ˆθ L. (Zsuk-Natanszon (983).) Világos, hogy ha a szóban forgó θ kompakt tartójú folytonos függvény, akkor θ W(C, l ). Ezért minden ilyen θ esetén igaz a ( ) következtetés. Megjegyezzük, hogy ekkor a fenti bizonyítás lényegesen leegyszerűsödik. Ha ui. < N N olyan, hogy suppθ [ N, N], akkor k >mn θ(k/m)eıkt/m = ( t M), azaz következésképpen 2π K θ m M M m M 2π sup Km θ lim <m N m M M M N N mn k= mn m θ(x)e ıtx dx dt = θ(k/m)e ıkt/m dt, mn k= mn M M θ(k/m)e ıkt/m dt = ˆθ(x) dt. Ha pl. α : [, + ) [, + ) monoton fogyó, β : (, ] [, + ) pedig monoton növő függvény és akkor α(x) (x ) θ(x) β(x) (x < ), α(j) (j ) θ(j + l/m) β(j) (j < ) (j Z, < m N, l =,..., m ).

52 3.2. Inverziós formula 5 Ezért a j= (α j + β( j )) < + feltétel elegendő ( )-hoz. Ha θ S(C, l ), akkor így sup <m N m + k= θ(k/m) + sup j= <m N m m l= θ(j + l/m) = θ S < +, ( ) sup <m N m + k= θ(k/m) < +. Viszont m l= θ(j + l/m) j /m ( < m, j N) esetén (nem nehéz ilyen θ függvényt konstruálni) + k= θ(k/m) m, azaz ( ) igaz, de ( ) nem (azaz θ / S(C, l )). Ui. γ j /( j ln j ) ( < j N), így θ S = +. Kérdés: elegendő-e a ( ) következtetéshez a ( ) feltétel? (Trigub ( ).) Tegyük fel, hogy f L és supp f [ π, π]. Legyen ˆf o (x) := ı f(t) signte ıtx dt (x R). ) Tekintsük az alábbi kijelentéseket: o ˆf L, 2 o k= max k x k+ ˆf(x) < +, 3 o van olyan ξ (, ), hogy k= ( ˆf(k) + ˆf(k + ξ) ) < +, 4 o k= ( ˆf(k) + ( ˆf) (k) ) < +, 5 o k= ( ˆf(k) + ˆf o (k + ) ˆf o (k) ) < +. Ekkor o 2 o 3 o 4 o 5 o. Megjegyezzük, hogy jóval korábbról már ismert volt az alábbi állítás (ld. Wiener (933)): van olyan C > abszolút konstans, amellyel k= max ˆf(x) C ˆf. k x k+

53 Inverziós formula 2) Jelöljük f -gal a következő függvényt: f (t) := tf(t) (t R). Világos, hogy az f-re tett feltétel miatt f L. Ezért a Fourier-transzformáció és a deriválás kapcsolatából f (x) = ı( ˆf) (x) (x R). Tehát f = ( ˆf), következésképpen a 4 o feltétel azt jelenti, hogy az fχ [ π,π], f χ [ π,π] függvények (trigonometrikus) Fourier-sorai abszolút konvergensek. Így az o 4 o ekvivalenciát szem előtt tartva a következőt mondhatjuk: f L, supp f [ π, π] esetén ˆf L akkor és csak akkor igaz, ha az fχ [ π,π], f χ [ π,π] függvények (trigonometrikus) Fourier-sorai abszolút konvergensek. 3) Legyen most θ C[ π, π], x k := 2kπ/(2n + ) (k = n,..., n). Ekkor π a sup n N n π n θ(x k)e ıkx dx < + korlátosság azzal ekvivalens, hogy a θχ [ π,π], θ χ [ π,π] függvények (trigonometrikus) Fourier-sorai abszolút konvergensek, azaz az előbbiek szerint azzal, hogy ˆθ L. xvi) Ha most (C[ π, π],. ) (X,. ) := vagy ( ) L [ π, π],., ekkor a σm θ : X X operátor normája Kθ m ( < m N). Ezért (az előzményeket ld. fentebb) θ() = esetén a Banach-Steinhaus-tételt figyelembe véve a következőt mondhatjuk: lim m σθ m f f = (f X) ˆθ L. Végül, ha θ W(C, l ), θ() =, akkor lim m σθ mf f 2 = (f L 2 [ π, π]). Valóban, tetszőleges < m N esetén a Parseval-egyenlőség szerint 2π σ θ mf 2 2 = f K θ m 2 = 2π k= c k (f) 2 c k (K θ m) 2 = 2π k= k= ck (f K θ m) 2 = c k (f) 2 θ(k/m) 2

54 3.2. Inverziós formula 53 2π sup θ(k/m) 2 k Z k= Ha k = jm + l Z (j Z, l =,..., m ), akkor c k (f) 2 = sup θ(k/m) 2 f 2 2. k Z θ(k/m) = θ(j + l/m) sup θ(j + x) θ W(C,l ), x [,) azaz σ θ m f 2 θ W(C,l ) f 2. Ez azt (is) jelenti, hogy a σ θ m : L2 [ π, π] L 2 [ π, π] ( < m N) operátor-sorozat egyenletesen korlátos. Innen az állításunk már a Banach- Steinhaus-tétel alapján következik (figyelembe véve, hogy a trigonometrikus polinomok halmaza. 2 -ban mindenütt sűrű L 2 [ π, π]-ben). Jegyezzük meg, hogy mindez nem igaz akkor, ha csak θ S(C, l ). Tekintsük ui. azt a θ függvényt, amelyre θχ (j,j+/j2 ) = j ( j =, 2,...) és θ(t) = (t R \ A), ahol A := j = (j, j + /j2 ) és mondjuk θ(j + /(2j 2 )) = j ( < j N). Ekkor θ S(C, l ) lényegében ugyanúgy adódik, mint fentebb a W(C, l ) S(C, l ) relációt igazoló analóg példánkban (a γ j := j 3/2 ( < j N) választással). Viszont a k m = jm + l m = j + l m = j + 2j 2 ( < j N) esetben, amikor is tehát m := 2j 2, l :=, azt mondhatjuk, hogy θ(k/m) = j, amiből sup <m N k Z sup θ(k/m) = + következik. Mivel σm θ e k = θ(k/m)e k (k Z, < m N), ezért σm θ e k 2 = θ(k/m) e k 2. Innen (ld. vi)) világos, σm θ = sup k Z θ(k/m). Más szóval a σm θ : L2 [ π, π] L 2 [ π, π] ( < m N) operátorok nem egyenletesen korlátosak. A Banach-Steinhaus-tétel miatt van tehát olyan f L 2 függvény, amelyre a (σm θ f) sorozat (. 2-ban) nem konvergens.

55 Inverziós formula xvii) A fenti inverziós formula és a Plancherel-tétel, ill. a Parseval-egyenlőség kapcsolatát illetően induljunk ki először az utóbbiak fennállásából. Ekkor ˆf(x) = f(t)k(x, t) dt (f, ˆf L L 2, x R n ) (ahol K(u, v) := e ı u,v (u, v R n )) alapján a ( ) operátor adjungáltja (azaz ( ) unitér volta miatt az inverze) a fentiek alapján az R n (u, v) (2π) n K(v, u) = (2π) n e ı u,v magfüggvény által meghatározott T integráloperátor. Tehát f(x) = T ˆf(x) = (2π) n ˆf(t)e ı x,t dt (x R n ), ami nem más, mint az inverziós formula. Fordítva, ha f L L 2, akkor f 2 2 = f(t)f(t)dt = f F(), ahol F(t) := f( t) (t R n ). Továbbá F L L 2, f F = ˆf ˆF és F(x) = F(t)e ı x,t dt = f( t)e ı x,t dt = f(t)e ı x,t dt = ˆf(x) (x R n ). Így f F = ˆf 2. Mivel f, F L 2, ezért tetszőleges x R n esetén a Cauchy- Bunyakovszkij-egyenlőtlenség szerint f F(x) f F() = f(t)(f(x t) F( t)) dt f 2 f(t x) f(t) 2 dt = f 2 T x f f 2 (x ).

56 3.2. Inverziós formula 55 Tehát f F C{}, amiből a viii) megjegyzés alapján az inverziós formula f F-re való alkalmazhatósága következik: f F(x) = (2π) n f F(t)e ı x,t dt = (2π) n ˆf(t) 2 e ı x,t dt (x R n ). Speciálisan az x := választással f 2 2 = f F() = (2π) n ˆf(t) 2 dt = (2π) n ˆf 2 2, ami a Plancherel-tétel. xviii) Mutassuk meg, hogy ha n =, f C 2 és f, f, f L, akkor ˆf L. Ezzel kapcsolatban emlékeztetünk arra, hogy ha g : R R, g C és g, g L, akkor lim x g(x) = és g(x) = x g (t) dt (x R). Nyilván x g (t) dt = lim g (t) dt = lim g(x) x + x + is létezik és g L miatt lim x + g(x) =. Következésképpen az előbbi f-re vonatkozó feltételek alapján lim x ± f(x) = lim x ± f (x) =. Ezért tetszőleges x R helyen ˆf(x) = a f(t)e ıtx dt = lim f(t)e ıtx dt = a + a f(a)e ıax f( a)e ıax lim a + ıx a ıx lim f (t)e ıtx dt = a + a f (a)e ıax f ( a)e ıax lim a + x 2 a x 2 lim f (t)e ıtx dt = a + a x 2 a lim f (t)e ıtx dt = a + a x 2 f (t)e ıtx dt = x 2 f (x). Mivel a feltétel szerint f L, így f f, azaz alkalmas C > konstanssal

57 Inverziós formula ˆf(x) f ( x ) } x 2 f ( x > ) C + x 2 (x R). Innen már világos, hogy ˆf L (azaz működik az inverziós formula). xix) Speciálisan azt kapjuk xvii)-ben, hogy n =, f C, f, f L esetén f (x) = ıx ˆf(x) (x R). Ebből a szempontból elegendő azt feltenni, hogy az f L függvény abszolút folytonos. Ekkor ui. f D{x} (m.m. x R), f L és f(x) = x f (t)dt (m.m. x R). Következésképpen lim x ± f(x) = ugyanúgy adódik, mint xv)-ben, ill. parciális integrálással tetszőleges R x-re f (x) = a f (t)e ıtx dt = lim f (t)e ıtx dt = a + a ( lim f(a)e ıax f( a)e ıax) a ıx lim f(t)e ıtx dt = ıx ˆf(x). a + a + a xx) Lássuk be, hogy ha f, ˆf L, akkor f L 2 (és egyúttal ˆf L 2 ). A feltétel miatt ui. f-re alkalmazható az inverziós formula: f(x) = (2π) n ˆf(t)e ı t,x dt = (2π) n F( x) (m.m. x R n ), ahol F := ˆf. Mivel F folytonos és a Riemann-Lebesgue-lemma alkalmazásával lim x F(x) =, ezért van olyan r >, hogy F(x) < (x R n \ G r ). Következésképpen f(x) 2 dx = (2π) F(x) 2 dx + 2n G r (2π) F(x) 2 dx 2n R n \G r G r max (2π) F(x) 2 + 2n x G r (2π) F(x) dx 2n R n \G r G r max (2π) F(x) 2 + 2n x G r (2π) n f(x) dx < +,

58 3.2. Inverziós formula 57 ahol G r a G r = {x R n : x r} gömb (Lebesgue-)mértéke. A most mondottak alapján már könnyű igazolni az alábbiakat: ha f, g, ˆf, ĝ L, akkor o ˆf(t)ĝ(t)dt = (2π) n f(t)g(t)dt; 2 o ˆf 2 = (2π) n/2 f 2. Nyilvánvaló, hogy 2 o következik o -ből (g := f). Az o bizonyításához vegyük észre, hogy a Fubini-tételt és az inverziós formulát alkalmazva ˆf(t)ĝ(t)dt = ( ˆf(x) ) g(t)e ı x,t dt dx = ( ) ˆf(x)e ı x,t dx g(t)dt = (2π) n f(t)g(t) dt. (Megjegyezzük, hogy miatt ˆf(x)g(t)e ı x,t = ˆf(x) g(t) (x, t R n ) és ˆf, g L R 2n (x, t) ˆf(x)g(t)e ı x,t integrálható ( kétváltozós ) függvény, ezért valóban alkalmazható volt a Fubinitétel.) xx) Az előbbi megjegyzést felhasználva nem nehéz bebizonyítani az L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltjával kapcsolatban a 2.. pontban megfogalmazott állításokat. Ehhez először is jegyezzük meg, hogy tetszőleges f L 2 függvényhez és ε > számhoz van olyan kompakt tartójú g C 2 függvény, hogy f g 2 < ε. Ui. (az egyszerűség kedvéért csak az n = esetre szorítkozva) létezik olyan h = k c kχ [ak,b k ] lépcsősfüggvény, amellyel f h 2 < ε/2. Világos, hogy bármely itt szereplő (véges sok) k-hoz és minden δ > számhoz megadható olyan g k C 2 kompakt tartójú függvény, hogy g k χ [ak,b k ] 2 < δ. Ha g := k c kg k, akkor g C 2, kompakt tartójú és h g 2 k c k g k χ [ak,b k ] 2 δ k c k < ε/2, hacsak δ > elég kicsi. Következésképpen f g 2 f h 2 + h g 2 < ε. Az itt szereplő g függvényre nyilván alkalmazható a x) megjegyzés (n > esetre ld. 5. pont), miszerint g, ĝ L. Mindez azt jelenti, hogy tetszőleges f L 2

59 Inverziós formula függvényhez megadható olyan f k L (k N) sorozat, hogy f k L (azaz (ld. xix) megjegyzés) f k, f k L L 2 (k N)) és f f k 2 (k + ). Ekkor minden j, k N esetén (ld. xvii) megjegyzés) f k f j 2 = (2π) n/2 f k f j 2 (j, k ), amiből (lévén (L 2,. 2 ) Banach-tér) az ( f k ) sorozat. 2 normában való konvergenciája következik. Van tehát olyan F L 2 függvény, amellyel f k F 2 (k ). Könnyű meggondolni, hogy az előbbi F függvény csak f-től függ. Más szóval, ha a g k L (k N) sorozat is olyan, hogy ĝ k L (k N) és f g k 2 (k ), akkor a G L 2, G ĝ k 2 (k ) függvényre F(x) = G(x) (m.m. x R n ). Ti. F G 2 F f k 2 + ĝ k f k 2 + G ĝ k 2 = F f k 2 + (2π) n/2 g k f k 2 + G ĝ k 2 F f k 2 + (2π) n/2 ( f k f 2 + f g k 2 ) + G ĝ k 2 (k ). Innen F G 2 =, azaz F(x) = G(x) (m.m. x R n ) valóban következik. Ha a fentiekben f L L 2, akkor F(x) = ˆf(x) (m.m. x R n ). Ekkor ui. (könnyen beláthatóan) a fenti (f k ) sorozatról az is feltehető, hogy f f k (k ). Így tetszőleges x Rn esetén ˆf(x) f k (x) = (f(t) f k (t))e ı x,t dt f f k (k ), azaz f k (x) ˆf(x) (k ), mégpedig x-ben egyenletesen. Tudjuk, hogy f k F 2 (k ). Legyen r >, ekkor F(x) ˆf(x) 2 dx G r

60 3.2. Inverziós formula 59 F(x) f k (x) 2 dx + f(x) f k (x) 2 dx G r G r F f k 2 + G r sup x R n ˆf(x) f k (x) (k ) (ahol emlékeztetőül G r := {ξ R n : ξ r} és G r a G r gömb (Lebesgue-) mértéke). Ez azt jelenti, hogy G r F(x) ˆf(x) 2 dx =, ezért F(x) = ˆf(x) (m.m. x G r ). Mivel itt r > tetszőleges, így F(x) = ˆf(x) (m.m. x R n ) már következik. Kézenfekvő tehát a következő definíció: ˆf := F. Lássuk be, hogy bármely f, g L 2 esetén: o ˆf, ĝ := ˆf(x)ĝ(x)dx = (2π) n f, g (Parseval-egyenlőség); 2 o ˆf 2 = (2π) n/2 f 2 (Plancherel-formula); 3 o ˆf(x)g(x) dx = f(x)ĝ(x) dx (szorzási szabály). Ha ui. f k, g k L (k N) olyan sorozatok, amelyekre f k, ĝ k L (k N) és f f k 2 (k ), ill. g g k 2 (k ), akkor a Cauchy- Bunyakovszkij-egyenőtlenségből ˆf, ĝ f k, ĝ k ˆf f k, ĝ + f k, ĝ ĝ k ˆf f k 2 ĝ 2 + f k 2 ĝ ĝ k 2 ˆf f k 2 ĝ 2 + sup f j 2 ĝ ĝ k 2 j N (k ). Ezért ˆf, ĝ = lim k f k, ĝ k. (Megjegyezzük, hogy az ( f k ) sorozat. 2 normában való konvergeciája miatt sup j N f j 2 < +.) A xix) megjegyzésben viszont már láttuk, hogy f k, ĝ k = (2π) n f k, g k (k N),

61 Inverziós formula ahol (az előbbiek analógiájára) f k, g k f, g (k.) Így ˆf, ĝ = (2π) n f, g, ami az o állítás. A 2 o -beli Plancherel-formula nyilván speciális esete az o Parseval-egyenlőségnek (g := f). A 3 o szorzási szabály igazolása az o egyenlőséghez hasonló módon történhet. Ha ui. f k, g k (k N) az o bizonyításában szereplő két sorozat, akkor ˆf(x)g(x) dx f k g k (x) dx ( ˆf(x) f k (x))g(x) dx + ( f k (x)(g(x) ĝ k (x)) dx ˆf f k 2 g 2 + f k 2 g ĝ k 2 (k ). Következésképpen ˆf(x)g(x) dx = lim k f k (x)g k (x) dx, ahol minden k N esetén a 2. pont vi) állítása miatt (lévén f k, g k L ) f k (x)g k (x) dx = ĝ k (x)f k (x) dx. Mivel (az előbbiekkel analóg módon) f(x)ĝ(x) dx = lim k ĝ k (x)f k (x) dx, ezért 3 o már következik az eddigiekből. Végül gondoljuk meg, hogy ha f L 2 és f k L 2 (k N) tetszőleges olyan sorozat, amelyre f f k 2 (k ), akkor ˆf f k 2 (k ). Ti. ˆf f k 2 = (2π) n/2 f f k 2 (k ). Az L 2 f ˆf L 2 leképezés nyilván lineáris, ezért az L 2 := { ˆf L 2 : f L 2 }

62 3.2. Inverziós formula 6 képtér altere L 2 -nek. Ez az altér 2 o miatt zárt is (az (L 2,. 2 ) Banach-térben). Ui., ha f k L 2 (k N) és az ( f k ) sorozat (. 2 normában) konvergens (legyen F := lim k fk, azaz f k F 2 (k )), akkor f k f j 2 = (2π) n/2 f k f j 2 (k, j ). Tehát van olyan f L 2, amellyel lim k f f k 2 =. Következésképpen lim k ˆf f k 2 =, amiből F = ˆf L 2, azaz L 2 zártsága adódik. Mutassuk meg, hogy L 2 = L 2, más szóval: az L 2 f ˆf L 2 Fourier-transzformáció szürjekció. Valóban, L 2 L 2 esetén a funkcionálanalízis alaptételei miatt lenne olyan g L 2, amelyre g 2 és ˆf(x)g(x) dx = (g L 2 ) teljesülne. A fentiek szerint ezért minden f L 2 függvényre fennállna, hogy ĝ(x)f(x) dx =, amiből ĝ = ( L 2 ), azaz = ĝ 2 = (2π) n/2 g 2 következne. Így g 2 = lenne, ami (az indirekt feltételezésünk miatt) nem igaz. A 3 o szorzási szabályt (is) felhasználva pontonkénti előállítást is adhatunk egy f L 2 függvény ˆf Fourier-transzformáltjára. Csak az n = esetre részletezve mindezt legyen ui. pl. x > mellett g := χ [,x]. Ekkor 3 o szerint ˆf(t)g(t) dt = x ˆf(t) dt = f(t)ĝ(t) dt = ı f(t) eıxt t dt =: F(x). Mivel ˆf L 2, ezért ˆf lokálisan integrálható, F pedig az integrálfüggvénye a (, + ) félegyenesen. Így az integrálfüggvények differenciálására vonatkozó Lebesgue-tétel szerint ˆf(x) = F (x) (m.m. x > ) (és mindezt x < esetén is analóg módon kapjuk). Ha itt f L L 2, akkor a t (e ıht )/(ht) függvény korlátossága miatt f(t)eıxt eıht ht C f(t) (t, h R \ {}) alkalmas C > abszolút konstanssal. Ezért az

63 Inverziós formula F (x) = lim h F(x + h) f(x) h = ı lim h f(t) eı(x+h)t e ıxt th dt = ı lim h f(t)e ıxteıht h t dt derivált kiszámításakor (az integrálás és a határátmenet felcserélhetőségéről szóló Lebesgue-tétel alapján) a lim h operáció bevihető az integráljel mögé: F (x) = ı f(t)e ıxt e ıht lim h h t dt = f(t)e ıxt dt = ˆf(x) (m.m. x R). (Ezzel mellesleg újra megmutattuk az L 2 -beli Fourier-transzformáció egyfajta permanenciáját, miszerint f L L 2 esetén az ˆf Fourier-transzformált L -, ill. L 2 -értelemben ugyanaz.) A fenti 2 o Plancherel-formula alkalmazásával mutassuk meg, hogy sin 2 x x 2 dx = π. Számítsuk ki ehhez az f := χ [,] függvény Fourier-transzformáltját: ha x, akkor ˆf(x) = e ıxt dt = eıx e ıx ıx = 2 sin x. x Ezért 2 o szerint 2π f 2 2 = 4π = ˆf 2 2 = 4 sin 2 x x 2 xxii) Egy L -beli f függvény Fourier-transzformáltját gyakran az dx. ˇf(x) := fe 2πx dµ (x R n ) előírással értelmezik. Ekkor ˇf(x) = f( 2πx) (x R n ) és az inverziós formula a következő alakot ölti:

64 3.3. Absztrakció 63 f(x) = ˇfe 2πx dµ (x R n ). xxiii) Egy másik gyakori változat a Fourier-transzformáció értelmezésére az alábbi: f(x) := (2π) n/2 f e x dµ (x R n ) Nyilván f(x) = (2π) n/2 f( x) (x R n ), ill. az inverziós formula alakja: f(x) = (2π) n/2 fe x dµ (x R n ). xxiv) Ha f := (2π) n/2 f, akkor az inverziós formula a következő alakot ölti: f(x) = fe x dµ (x R n ). Világos, hogy (ld. 3.) f(x) = (2π) n f(t)e ı x,t dµ(t) = f(2πz)e 2πı x,z dµ(z) = ˇF(x) (x R n ), ahol F(z) := f(2πz) (z R n ) Absztrakció. Az előbbi megjegyzések mögött az alábbi általános érvényű háttér húzódik meg. Legyen (X, T ) egy tetszőleges lokálisan kompakt Abel-csoport, Γ a csoport karaktereinek a halmaza, ν Haar-mérték az (X, T ) csoporton és vezessük be az alábbi definíciót: az f : X C (a ν mértékre nézve) integrálható függvény esetén a Γ γ f(γ) := fγ dν leképezést az f függvény Fourier-transzformáltjának nevezzük. (Időnként az f(γ) := fγ dν (γ Γ) egyenlőség révén értelmezik az f függvény Fourier-transzformáltját. Világos, hogy pusztán formai különbségről van szó, ui. az előbbi jelölésekkel f(γ) = f(γ).)

65 Absztrakció Legyen L := { f C Γ : f L } és vezessünk be Γ-ban egy T Γ topológiát a következőképpen: T Γ a leggyengébb olyan topológia, amelyre vonatkozóan az L elemei folytonosak. Ekkor (Γ, T Γ ) lokálisan kompakt Abel-csoport. Jelöljük N-nel azoknak az f : X C függvényeknek az osztályát, amelyek valamilyen m, a (Γ, T Γ ) csoport Borelhalmazain értelmezett korlátos (Borel-)mérték segítségével a következőképpen állíthatók elő: f(x) = γ(x) dm(γ) (x X). (Tehát minden rögzített x X esetén a Γ γ γ(x) leképezés (m-szerinti) integráljáról van szó.) Az N halmaz elemeire bebizonyítható az alábbi állítás: megadható olyan m Haar-mérték a (Γ, T Γ ) karaktercsoporton, hogy tetszőleges f L N (azaz f : X C, a ν mértékre nézve integrálható N-beli) függvény f Fourier-transzformáltja L -ben van és igaz a következő inverziós formula: f(x) = f(γ)γ(x) dm(γ) (x X). Ha pl. (az egyszerűség kedvéért csak az -dimenziós esetet idézve) X := R (az euklideszi topológiával és a valós számok közötti összeadással, mint csoportművelettel), akkor Γ = {e γ : γ R} R és alkalmas α >, β > számokkal ν = αµ, m = βµ (ahol tehát µ az R-feletti Lebesgue-mérték). Az f(t) := e t (t R) függvény L N-beli és f(γ) = e t e ıγt dν(t) = α Tehát az előbb idézett inverziós formula szerint e t e ıγt dµ(t) = 2α + γ 2 (γ R). e x = 2α e ıγx + γ 2e ıγx dm(γ) = 2αβ 2 dµ(γ) (x R). + γ Az x := választással innen = 2αβ + 2 dγ = 2παβ + γ adódik. Rögzítsük a ν Haar-mértéket (azaz α-t), akkor az inverziós formulában szereplő normált m Haar-mérték a következő: µ 2πα.

66 3.3. Absztrakció 65 Például α :=, β := /2π, amikor is f(γ) = + f(t)e ıγt dµ(t), f(x) = + 2π vagy α := β := (2π) /2, amikor meg f(t)e ıtx dµ(t) (γ, x R) f(γ) = 2π + (ld. az előző megjegyzéseket). f(t)e ıγt dµ(t), f(x) = 2π + Említsünk meg néhány fontos speciális csoportot. f(t)e ıtx dµ(t) (γ, x R) o Legyen X := R, T := az euklideszi távolság által meghatározott szokásos topológia, ν := a Lebesgue-mérték a számegyenesen, := +. Ekkor (X, T ) lokálisan kompakt topologikus Abel-csoport. Ha ϕ Γ, akkor ϕ folytonos, ϕ() =, ezért egy alkalmas δ > számmal α := ϕ χ [,δ] dν. Mivel ϕ(x + t) = ϕ(x) ϕ(t) (x, t X), következésképpen α ϕ(x) = ϕ(x + t) χ [,δ] (t) dt = x+δ x ϕ(t) dt, azaz ϕ differenciálható és ϕ (x + t) = ϕ(x)ϕ (t) (x, t X) miatt ϕ = ϕ ()ϕ. Ugyanakkor ϕ() =, így van olyan y X, hogy ϕ = e y megoldás, ill. bármely y X esetén e y Γ. Tehát: Γ = {e y C(R) : y R} és Γ e y y R izomorfia. 2 o Ha most X := [, 2π), A [, 2π) nyílt, ha bármely a A esetén van olyan r > szám, amellyel (a r, a + r) (a ) A K r (a) := [, r) (2π r, 2π) (a = ),

67 Absztrakció := az X-beli moduló 2π vett összeadás, ν := a Lebesgue-mérték [, 2π)- ben, akkor (X, T ) kompakt topologikus Abel-csoport. Minden ϕ Γ esetén (ld. o ) valamilyen y R mellett ϕ(x) = e y (x) =: ẽ y (x) (x X). De ϕ() = = lim x 2π ϕ, amiből y Z, ill. bármely Z y-ra ẽ y Γ. Tehát: Γ = {ẽ y C(X) : y Z} (komplex trigonometrikus rendszer). Nyilván Γ ẽ y y Z izomorfia, tehát [, 2π) duális csoportja megegyezik Z-vel. 3 o Legyen 2 n N és X := Z n := {,,..., n }, T := P(Z n ), := modulo n vett összeadás, ν(a) := ν n (A) := A /n (A P(X)). Ekkor (X, T ) kompakt topologikus Abel-csoport. Továbbá (ld. 2 o ) bármely ϕ Γ karakterhez van olyan y R, amellyel ϕ(x) = e ıxy (x X) Viszont ϕ karakter, ezért = ϕ() = ϕ(... ) = ϕ() n = e ıny, így alkalmas k Z számmal y = 2kπ/n. Legyen ϕ k (x) := e 2kπı/n (x X). Figyelembe véve a nyilvánvaló k j (modn) ϕ k = ϕ j relációt azt mondhatjuk tehát (az eddigi példák szellemében), hogy Γ = {ϕ k : k =,,..., n }, ill., hogy (X, T ) duális csoportja önmaga. Az (X, T ) csoport kompaktsága (és a ν normáltsága) alapján az n /2 ϕ k (k =,,..., n ) diszkrét trigonometrikus rendszer ortonormáltságát kapjuk. 4 o Diadikus csoport. Tekintsük az m = (m n ) (2 m n N, n N) sorozatot és legyen G m := k= Z m n, T m := a P(Z mn ) (n N) topológiák által generált szorzat-topológia, a csoportművelet pedig a következő: x y := (x n + y n (mod m n ), n N) (x = (x n ), y = (y n ) G m ). A ν mértéket definiáljuk a ν mn (n N) mértékek által meghatározott szorzatmértékként. Ekkor (G m, T m ) kompakt topologikus Abel-csoport (Vilenkin). Ha m n := 2 (n N), akkor (G 2, T 2 ) az ún. diadikus csoport. Illusztrációképpen csak az utóbbi csoport karaktereivel foglalkozunk. Ha r k (x) := ( ) x k (k N, x = (x n ) G 2 ),

68 3.3. Absztrakció 67 akkor r k k nyilván karakterek (Rademacher). Az is világos, hogy bármely véges N N halmazzal n N r n is karakter. Legyen N n = k= n k2 k az n szám diadikus kifejtése és az n(x) := k= n kx k jelöléssel w n := k= r n k k, azaz w n (x) = ( ) n(x) (x = (x n ) G 2 ). A {w n Γ : n N} halmaz tehát az r k (k N) függvények véges szorzatainak a halmaza. Megmutatható, hogy ez nem más, mint Γ, azaz a diadikus csoport minden karaktere w n (n N) alakú (Walsh-Paley). A (G 2, T 2 ) csoport kompakt lévén a Γ rendszer ortonormált. Vezessük be N-ben a következő műveletet: ha n = n k 2 k, m = k= m k 2 k N, akkor legyen n m := k= n k m k 2 k. Eléggé nyilvánvaló, hogy N ezzel a művelettel egy Abel-csoport és w n m = w n w m. Ez azt is jelenti, hogy a Γ karaktercsoport izomorf N-nel. Tetszőleges m esetén legyen k= ρ k (x) := exp 2πıx k m k (k N, x = (x n ) G m ) és M n := n k= m k (k N). Ekkor minden n N egyértelműen írható fel n = n k M k k= (n k =,..., m k (k N)) alakban és belátható, hogy a Γ = {Ψ n : n N} karakterrendszer (az ún. Vilenkin-rendszer) a következő: Ψ n := k= ρ n k k, ami G m kompaktsága miatt ONR. Ha m k = 2 (k N), akkor nyilván ρ k (x) := e πıx k = ( ) x k = r k (x) (k N, x = (x n ) G 2 ),

69 Absztrakció M k = 2 k (k N) és Ψ n = w n (n N). Speciálisan legyen p N prím 2πıx és m n := p (n N). Ekkor ρ k (x) := e k/p (k N, x = (x n ) G p ) és Ψ n (x) = e 2πın(x)/p (x = (x n ) G p, n N) (Chrestenson-rendszer) Megjegyzések. i) Mivel (Γ, T Γ ) lokálisan kompakt topologikus Abel-csoport, ezért képezhető ennek is a karaktercsoportja, az X ún. második duálisa. Ekkor: X izomorf a második duálisával (Pontrjagin-féle dualitási tétel). Igaz továbbá Planchereltétel: megadható egy olyan mindenütt sűrű L 2 (Γ) altér L2 (Γ)-ban, hogy az L (X) L 2 (X) f f L 2 (Γ) leképezés egy izometria (a. 2 norma értelmében). Ez a leképezés egyértelműen terjeszthető ki egy L 2 (X) L 2 (Γ) izometriává. Ha speciálisan (X, T ) kompakt, akkor L 2 (X) L (X) és a Plancherel-tétel az ortogonális sorok elméletéből jól ismert Riesz-Fischer-tételt jelenti. ii) Röviden vázoljuk a Plancherel-tételben említett izometria egy megvalósítását. Jelöljük ehhez az R-en értelmezett, az R x e x2 súlyfüggvényhez tartozó Hermite-polinomokat H n -nel (n N) és legyen h n (x) := α n e x2 /2 H n (x) (x R, n N), ahol az α n > számok úgy vannak definiálva, hogy h n 2 = (n N) teljesüljön. Nem nehéz megmutatni, hogy a (h n ) függvényrendszer az ún. Hermite-függvények rendszere egy teljes, ortonormált rendszer az (L 2,. 2 ) Hilbert-térben (azaz ugyanebben a térben Schauder-bázis). Innen az is rögtön adódik, hogy az Hermite-függvények valamennyien beletartoznak az L függvényosztályba is, következésképpen kiszámíthatjuk a h n (n N) Fouriertranszformáltakat (ld xxiii) megjegyzés). Felhasználva az Hermitepolinomok előállítására vonatkozó ismert Rodrigues-formulát azt kapjuk, hogy h n (x) = α n ( ) n e x2 /2 d n 2 dx n e x Innen egyszerű számolás után az adódik, hogy (x R, n N). h n = ( i) n h n (n N), azaz a h n (n N) Hermite-függvény sajátfüggvénye a Fouriertranszformációnak a ( i) n sajátértékkel. Ez egyúttal azt is jelenti, hogy az Hermite-függvényekre igaz az inverziós formula.

70 3.3. Absztrakció 69 Tekintsünk ezek után egy tetszőleges f L 2 függvényt, és fejtsük Fourier-sorba f-et a (h n ) rendszer szerint. Ekkor tehát a c n := fh n dµ (n N) együtthatókkal f = n= c nh n, ahol a szóban forgó sor. 2 normában konvergens. Mivel a (c n ) együttható-sorozattal együtt a (( i) n c n ) sorozat is l 2 -be tartozik, ezért a Riesz Fischer-tétel miatt a (( i) n c n h n ) sor is konvergens. 2 normában. Legyen ebben az értelemben T(f) := ( i) n c n h n. Ezzel egy T : L 2 L 2 leképezést értelmeztünk, amely nyilván lineáris és T(f) 2 2 = n= ( i) n c n 2 = n= c n 2 = f 2 2 miatt izometria. A könnyen ellenőrizhető h n ( x) = ( ) n h n (x) (x R, n N), azaz a n= T(T(f))(x) = f( x) (f L 2, x R) egyenlőség alapján az is adódik, hogy a fenti T leképezés bijekció. (A funkcionálanalízis nyelvén fogalmazva T unitér operátor.) Belátható, hogy f L L 2 esetén T(f) = f, azaz T valóban tekinthető úgy, mint a Fourier-transzformáció kiterjesztése az L 2 függvényosztályra. Megmutatható továbbá, hogy amennyiben f L 2 és a, b (, + ) esetén I ab (f)(x) := (2π) fe x χ [ a,b] dµ (x R), akkor T(f) I ab (f) 2 (a, b + ), ill., ha

71 Absztrakció J ab (f)(x) := (2π) T(f)e x χ [ a,b] dµ (x R), akkor f J ab (f) 2 (a, b + ). Mivel (a fenti paraméterekkel) J ab (f)(x) = I ab (T(f))( x), ezért az f J ab (f) 2 (a, b + ) reláció is tekinthető egyfajta inverziós formulának. A különbség csupán annyi, hogy az f előállítása a Fouriertranszformáltjából nem pontonként történik, hanem. 2 normában. iii) Ha az előbbiekben f L, akkor (ld. Fubini-tétel) J ab f(x) = (2π) /2 fχ [ a,b] e x dµ = f(x t)d ab (t) dt (x R), ahol D ab (t) := (2π) /2eıbt e ıat ıt ( t R). A D ab függvény a Fourier-sorok elméletéből jól ismert Dirichlet-féle megfüggvény megfelelője. Speciálisan J aa f(x) (f(x + ) + f(x ))/2 (a + ), ha x R és f korlátos változású az x pont egy környezetében. iv) Lássuk be: az (L, +, ) Banach-algebrának nincs egységeleme. Ha ui. u L az lenne, akkor u f = f, azaz û f = u f = f (f L ). De: χ [,] (x) = e ıxt dt = 2 sin x x ( x R), azaz χ [,] (x) = û(x) = (x kπ (k Z)). Így û(t) ( t + ) nem teljesülhet, ami ellentmond a Riemann-Lebesgue-lemmának.

72 4. L p -beli függvények Fourier-transzformációja 7 4. L p -beli függvények Fourier-transzformációja. Végül legyen p [, + ] és próbáljuk meg egy f L p függvény Fouriertranszformáltját értelmezni. (Világos, hogy a fentiek után már csak az < p 2 eset az érdekes.) Ezzel kapcsolatban emlékeztetünk arra, hogy tetszőlegesen adott p r q < + kitevők esetén L r L p + L q (:= {f + g : f L p, g L q }). Ha ebben a relációban q := 2, p :=, akkor bármely r [, 2] kitevőre L r L + L 2. Ez azt jelenti, hogy minden f L r függvény előállítható f = g + h alakban alkalmas g L, h L 2 függvényekkel. Legyen f := ĝ + ĥ. Ez az értelmezés korrekt, mert f = G + H (G L, H L 2 ) esetén g G = h H L L 2, amiből g G = ĝ Ĝ = h H = ĥ Ĥ = ĝ + ĥ = Ĝ + Ĥ. Ezzel r 2 mellett értelmeztük az L r -beli függvények Fourier-transzformáltját. A 2-nél nagyobb kitevő esete ennél lényegesen bonyolultabb, a szokásos függvényfogalom keretén belül nem is valósítható meg a Fourier-transzformáció fogalmának a kiterjesztése. (Ld. még a iv) megjegyzés.) 4.. Megjegyzések. i) Jegyezzük meg, hogy ha p 2 és f L, h L p, akkor f h L p és f h = f ĥ. ii) A Plancherel-tétel szerint az L 2 f f L 2 leképezés (és az inverze) folytonos. Mivel bármely f L 2 esetén az f r := fχ Gr (r > ) jelöléssel f f r 2 (r + ), ezért f r f 2 (r + ). Világos, hogy f r (x) = G r fe x dµ (x R n ). Ugyanígy kapjuk, hogy ha fˆr (x) := (2π) n G r fe x dµ (x R n ), akkor fˆr f 2 (r + ). iii) Legyen p 2 és jelöljük q-val a p konjugáltját : /p+/q =. Ha f L p, akkor f L q,

73 72 4. L p -beli függvények Fourier-transzformációja f q C p f p, ahol a C p > konstans csak p-től (és n-től) függ (Hausdorff-Youngegyenlőtlenség). Az utóbbi konstanst illetően a következőket mondhatjuk: ha A p jelöli a Babenko-Beckner-konstanst (ld..), akkor a C p := (2π) n/q A n p választás megfelelő, azaz f q (2π) n/q A n p f p (f L p ). Ha p = 2, akkor nyilván q = 2, azaz visszakapjuk a Plancherel-tétel kapcsán említett C 2 = (2π) n/2 konstanst: f 2 = (2π) n/2 f 2 (f L 2 ). Tehát a ii)-ben mondottakhoz hasonlóan következik, hogy az L p f f L q leképezés folytonos és f r f q (r + ). iv) A iii)-beli feltételekkel, ill. jelölésekkel legyen n = és Mf(x) := sup u u u fe x dµ (x R). Ekkor Mf L q és (alkalmas, csak p-től függő C p > konstanssal) igaz, hogy Mf q C p f p. Továbbá f(x) = lim z + fz (x) (m.m. x R) (ahol most f z (x) = z z fe x dµ (z >, x R)). Megjegyezzük, hogy itt az p 2 feltétel lényeges, ui. van olyan f függvény, amelyre f L p (p > 2) és Mf(x) = + (m.m. x R). Legyen ui. Mivel f := + n= n χ [2 n,2 n +]. f p = + n= n p/2 χ [2 n,2 n +], ezért f p p = + n= n p/2 < +. Világos, hogy k =, 2,... esetén (bevezetve a χ k := χ [2 k,2 k +] jelölést) Mf(x) sup k fe x dµ 2 = sup k χ k k n (x) n = 2 k n=

74 4. L p -beli függvények Fourier-transzformációja 73 Ha sin(x/2) x/2 A := sup k sup k { e ıx ıx k n= x R : sup k k n= e ıx2n n k n= n e ıx2n = ( x R). } e ıx2n = +, n akkor A minden N N esetén periodikus 2 N -szerint, hiszen A = { x R : sup k N k n=n } e ıx2n = +. n Legyen c k := χ A(x)e 2πıkx dx (k Z), ekkor minden N N, k Z esetén c k = 2 N j= 2 N χ A (x)e 2πık(x+j2 N) dx = 2 N χ A (x)e 2πıkx dx 2 N j= ( e 2πık2 N) j. Ha itt k2 N / Z, akkor 2 N j= ( e 2πık2 N) j = e 2πık e 2πık2 N =, azaz tetszőleges k Z mellett c k =. Ez azt jelenti, hogy a χ A [,] függvény Fourier-sora a konstans c sor. Más szóval χ A [,] (x) = c (m.m. x [, ]). Következéskésképpen µ(a [, ]) = vagy. Némi meggondolással belátható, hogy µ(a [, ]) >, tehát µ(a [, ]) =. Innen µ(r \ A) = már nyilván következik. v) Tegyük fel iv)-ben, hogy < p és legyen

75 74 4. L p -beli függvények Fourier-transzformációja Mf(x) := sup u u u fe x dµ (x R). Ekkor Mf L p és (alkalmas, csak p-től függő Cp > konstanssal) igaz, hogy Mf p C p f p, ill. fẑ f p (z + ) és f(x) = lim z + fẑ(x) (m.m. x R) (ahol most fẑ(x) = (2π) z fe z x dµ (z >, x R)) (Carleson- Hunt-tétel.) vi) Ha pl. n =, f C (R \A), ahol A R véges halmaz és f L, akkor (ld. v)) lim f ẑ(x) = z + f(x + ) + f(x ) 2 (x R). vii) Az előbbi megjegyzések bizonyos analogonjai átvihetők az n > esetre is. legyen z > esetén I z := [ z, z] n (n-dimenziós kocka ) és Így pl. Ekkor f L p, p > esetén f Iz (x) := (2π) n fe x dµ I z (x R n ). f Iz f p (z + ), ill. f(x) = lim z + f I z (x) (m.m. x R n ). viii) A vii) (és részben a ii)) megjegyzésben mondottakhoz kapcsolódik a következő kérdésfelvetés (ld. még 2.2. iv), vi) megjegyzések): legyen valamely Φ : R n R, Φ() = függvény esetén T r f(x) := (2π) n Φ(t/r) f(t)e ı x,t dt (x R n ). Mit mondhatunk T r f-ről r + esetén (különböző értelemben, pl.. p -ban, m.m., stb.)? Ha pl. Φ := χ G, akkor Φ(t/r) = χ Gr (t) (t R n ) és T r f = fˆr. Könnyen ellenőrizhető, hogy a T r operátor (L p, L p )-korlátossága ekvivalens az M Φ f(x) := (2π) n Φ(t) f(t)e ı x,t dt (x R n ) operátor (L p, L p )-korlátosságával. Ha ez utóbbi korlátosság igaz, akkor Φ egy ún. L p -Fourier-multiplier. A ii)-ben mondottak szerint Φ := χ G L 2 -Fouriermultiplier. Megmutatható ugyanakkor, hogy ebből a szempontból L 2 nem

76 4. L p -beli függvények Fourier-transzformációja 75 cserélhető fel más L p -vel: ha n 2 és p 2, akkor Φ := χ G nem L p -Fouriermultiplier. ix) Mindez speciális esete a Bochner-Riesz-multipliereknek, amikor is Φ λ (t) := ( t 2 ) λ + := (max{ t 2, }) λ (t R n ), ahol λ adott paraméter. Világos, hogy Φ = χ G. A fentiek szerinti T r operátor tehát a következő alakú: T r,λ f(x) := (2π) n ( t 2 /r 2 ) λ + f(t)e ı x,t dt (x R n, r > ) (az f függvény r-edrendű Bochner-Riesz-közepe.) Az M λ f(x) := (2π) n ( t 2 ) λ + f(t)e ı x,t dt (x R n, r > ) Bochner-Riesz-multiplier (L p, L p )-korlátosságáról pl. az alábbiakat mondhatjuk: ha λ > (n )/2, akkor M λ minden p + esetén (L p, L p )-korlátos; ha < λ (n )/2 és /p /2 < λ/(n ), akkor az előbb említett korlátosság igaz, míg az /p /2 (2λ + )/(2n) esetben nem. A T λ,r f (r + ) Bochner-Riesz-közepek m.m. konvergenciáját illetően a T λ f := sup T λ,r f r> maximál-operátor vizsgálatával kaphatunk eredményeket. Feltéve pl., hogy λ > (n )/2 ( kritikus index ), akkor a Hardy-Littlewood-féle maximál-operátor tulajdonságaiból következően a Tλ operátor (Lp, L p )-korlátos és ezért lim T λ,rf(x) = f(x) (m.m. x R n ). r + Ha < λ < (n )/2, akkor pl. n = 2, p 2 választással lim T λ,rf(x) = f(x) (m.m. x R n, f L p ), r + hacsak /2 /p < (2λ+)/4. Ugyanez igaz n 3, p 2, λ (n )/(2(n+)) esetén. Mindkét most idézett eredmény azon múlik, hogy a T λ operátor (Lp, L p )- korlátos.

77 A Fourier-transzformált differenciálhatósága 5. Differenciálhatóság. 5.. A Fourier-transzformált differenciálhatósága. A továbbiakban az M(R n )-beli mértékek Fourier-transzformáltját fogjuk vizsgálni differenciálhatósági szempontból. Ezzel kapcsolatban állapodjunk meg bizonyos (a többváltozós differenciálszámításban már megszokott) jelölésekben. Nevezetesen, egy j = (j,..., j n ) N n multiindex mellett legyen j := n j k, x j := k= n k= x j k k (x = (x,..., x n ) R n ), j := j... j n n, ahol k f (k =,..., n) egy f R n C (differenciálható) függvény k-adik változója szerinti parciális deriváltját jelenti. Legyen továbbá egy ν M(R n ) mértékre M j (ν) := x j dν(x) (feltéve, hogy az R n x x j függvény a ν mérték szerint integrálható). Jelentse végül valamely s = (s,..., s n ) N n esetén j s azt, hogy minden k =,..., n indexre j k s k. A fenti jelölésekkel most már egyszerűen megfogalmazhatjuk a bevezetőben említett differenciálhatóságra vonatkozó állítást. Legyen ehhez ν M(R n ), j N n és tegyük fel, hogy minden s N n, s j multiindex mellett létezik a ν mértékm s (ν) s-edik momentuma. Ekkor o tetszőleges s N n, s j esetén létezik a s ν parciális derivált; 2 o bármely o -beli s multiindexre s ν(x) = ı s e x (y) y s dν(y) (x R n ); 3 o az eddigi jelölések mellett a s ν függvény egyenletesen folytonos és korlátos. Speciálisan s ν() = ı s M s (ν). Az n = esetben egy ν M(R) mérték k-adik M k (ν) momentumának a létezéséből (valamely k N mellett) már minden s =,..., k indexre következik az M s (ν) létezése is, hiszen x s + x k (x R). Legyen f L, ν := µ f. Ekkor az M s (ν) (s N) momentum létezése azt jelenti, hogy az R n x x s f(x)

78 5.. A Fourier-transzformált differenciálhatósága 77 függvény L -beli. Innen tetszőleges f L esetén a következőt kapjuk: tegyük fel, hogy valamely j N n mellett minden s N n, s j multiindexre az függvény L -beli. Ekkor az ilyen s-ekre f s (x) := x s f(x) (x R n ) s f = ı s fs. Könnyű kiszámolni deriváltfüggvények Fourier-transzformáltját. Legyen ehhez pl. f : R R folytonosan differenciálható, kompakt tartójú függvény, ekkor bármely x R mellett parciális integrálással azt kapjuk, hogy f (x) = a f e x dµ = lim f (t)e ıxt dµ(t) = a + a ( a lim f(a)e ıxa f( a) e ıxa ıx f(t)e ıxt dµ(t) ) = ıx f(x). a + a Innen teljes indukcióval már rögtön adódik a következő állítás: ha a K(R n ) szimbólum jelöli az f : R n R kompakt tartójú folytonos függvények halmazát és az f K(R n ) függvény végtelen sokszor differenciálható, akkor j f(x) = ( ı) j x j f(x) (x R n, j N n ) Megjegyzések. i) A Fourier-transzformált definíciója alapján nem meglepő, hogy valamely f L függvény esetén f(x) (x R n ) kiszámítása során komplex függvénytani eszközök is szerepet kaphatnak. Legyen pl. n := és f(t) := e t2 (t R) (ld ii) megjegyzés). Valamely x >, ill. r > mellett tekintsük a komplex síkon (pozitív körüljárással) azt a Γ r,x zárt komplex görbét, amelyet a ( r, ), (r, ), (r, ıx/2), ( r, ıx/2) csúcspontú téglalap kerülete határoz meg. Ekkor a Cauchy-féle alaptétel szerint Γ r,x e z2 dz =. Könnyű meggyőződni arról, hogy azaz + + lim e z 2 dz = e x2 /4 t 2 +ıtx dt e t2 dt, r + Γ r,x

79 A Fourier-transzformált differenciálhatósága + e x2 /4 + e t2 e ıtx dt = e x2 /4 f(x) = e t2 dt = π. Tehát f(x) = πe x2 /4 (ami az f transzformált nyilvánvaló párossága miatt x < esetén is igaz). Mivel f folytonos, ezért f() = π. ii) A reziduum-tétel alkalmazására tekintsük az f(t) := /( + t 2 ) (t R) függvényt. Legyen x > és F(z) := eızx + z 2 (±ı z C), ill. r > esetén Γ r,x jelölje most azt ( a zárt ) komplex görbét (szintén pozitív körüljárással), amelyet a [ r, r] szakasz Γ () r,x és az origó középpontú, r sugarú, ( ) az Im z (z C) félsíkban lévő félkör egyesítésével kapunk. Ekkor a reziduum-tétel alapján Γ (2) r,x Γ r,x F(z) dz = 2πı res ı F, ahol az F függvény ı-beli reziduuma: res ı F = e x /(2ı). Könnyű belátni, hogy lim r + F(z) dz =, ezért Γ (2) r,x + πe x = lim F(z) dz = lim F(z) dz = r + Γ r + r,x Γ () r,x e ıtx dt = f(x) + t2 (és f párossága miatt mindez x < esetén is igaz, ill. f() = π is következik). f folytonosságából iii) Illusztrációképpen mutassuk meg, hogy időnként pl. a differenciálegyenletek révén is eljuthatunk a Fourier-transzformált kiszámításához. Tekintsük példaként az i)-beli f(t) := e t2 (t R) függvényt. Ekkor f (t) = 2te t2 = 2tf(t) (t R), azaz a deriválás és a Fourier-transzformáció kapcsolatára előbb kapott formulák alapján ıx f(x) = 2ı( f ) (x) (x R).

80 5.. A Fourier-transzformált differenciálhatósága 79 Tehát ( f ) (x) = (x/2) f(x) (x R), ami f-re nézve egy homogén elsőrendű differenciálegyenlet. Ennek minden megoldása αe x2 /4 (x R) alakú alkalmas + α R együtthatóval. Mivel f() = dt = π, ezért α = π, azaz e t2 f(x) = πe x2 /4 (x R). iv) Példa: f λ 2 f + g =, ahol f, f, g L, f C és λ >. Ekkor (ld. deriválás) ĝ(x) = (λ 2 +x 2 ) f(x), ill. h(x) := e λ x /(2λ) esetén ĥ(x) = (λ2 +x 2 ) (x R) = f = ĥĝ = h g = f(x) = h g(x) = 2λ e λ x t g(t) dt (x R). v) Világos, hogy bármely ε > és < q + mellett az R y y χ { y >ε} függvény L q -beli. Legyen n =, f L p ( p < + ), ekkor a most mondottak és a Hölder-egyenlőtlenség szerint jól definiált és véges a H ε f(x) := { y >ε} f(x y) y függvény. Belátható, hogy a H ε operátor gyengén (,)-típusú és minden < p < + esetén (p,p)-típusú, dµ(y) (x R) mégpedig mindkét állításban ε-szerint egyenletesen: megadhatók olyan C > és (csak p-től függő) C p > konstansok, hogy tetszőleges ε > és f L, ill. g L p függvényekre µ({ H ε f > y}) C f /y (y > ) és H ε f p C p f p (f L p ). Megjegyezzük, hogy H ε f = K ε f, ahol /t ( t > ε) K ε (t) := ( t ε). Mivel K ε L q ( < q + ), ezért a fenti konvolúció minden f L p ( p < + ) függvény esetén értelmezhető, K ε f folytonos, korlátos függvény. Ha tehát p = 2, akkor Ĥεf = K ε f. Következésképpen H ε f 2 = 2π Ĥεf 2 2π K ε f 2 = K ε f 2.

81 8 5.. A Fourier-transzformált differenciálhatósága Ugyanakkor K ε (x) = lim e ıxt + r + r> t >ε t dt = 2ı sin t dt (x > ), xε t ezért azt kell csupán ellenőrizni, hogy az utóbbi integrál egyenletesen korlátos: van olyan abszolút C 2 konstans, hogy + xε sin t t dt C 2 (x >, ε > ). Ezzel a H ε f p C p f p (f L p ) becslést p = 2-re elintéztük. Ebből és a gyenge (,)-becslésből interpolációval kapjuk az < p 2 esetet. Ugyanakkor belátható, hogy ha /p+/q =, akkor H ε f q C p f q, azaz az < p 2 eset maga után vonja a 2 < p < + esetet. Az is belátható, hogy C p Cp 2 /(p ) (alkalmas C abszolút konstanssal). Megmutatható továbbá, hogy a most mondott gyenge (,)- és (p, p)-tulajdonság a H f := sup H ε f (f L p ) ε> maximál-operátorra is teljesül. Innen az is következik, hogy létezik a Hf(x) := lim ε H ε f(x) (m.m.x R) határérték, az f függvény ún. Hilbert-transzformáltja és a H operátor is gyengén (,)- és (p, p)-tulajdonságú ( < p < + ). Igaz továbbá, hogy p = 2, azaz f, g L 2 esetén Hf 2 = f 2, H 2 f = f, Hf g dµ = f Hg dµ, 2πĤf(x) = ı f(x) sign x (x R). vi) A fenti j f(x) = ( ı) j x j ˆf(x) formula alapján gondoljuk meg, hogy j f L 2 (j N n, j N valamilyen N N mellett) akkor és csak akkor igaz, ha ˆf(x) 2 ( + x 2) N dx < +.

82 5.. A Fourier-transzformált differenciálhatósága 8 Valóban, a Plancherel-tétel szerint j f 2 2 = (2π) n j f 2 2 = (2π) n x j ˆf(x) 2 dx = (2π) n x j 2 ˆf(x) 2 dx (2π) n x 2 j ˆf(x) 2 dx. Egyszerűen ellenőrizhető, hogy alkalmas c > konstanssal c ( + x 2 ) N j N x j 2 c( + x 2 ) N, amiből a mondott ekvivalencia már nyilván következik. vii) Tegyük fel, hogy az f : R n R függvény eleget tesz az alábbi feltételeknek: alkalmas ε >, C > paraméterekkel f(x), ˆf(x) C ( + x ) n+ε (x R n ). Ekkor igaz a következő, ún. Poisson-féle szummációs formula: j Z n f(x + 2πjb) = ıb ˆf(j/b)e j,x (2πb) n j Z n (x R n, b > ), ahol mindkét sor abszolút konvergens. Speciálisan ill. (2πb) n j Z n f(2πjb) = j Z n f(j) = j Z n ˆf(j/b), j Z n ˆf(2πj). Különösen egyszerűvé válik az utóbbi formula, ha (ld xxii) megjegyzés) a Fourier-transzformált ˇf(x) := f(t)e 2πı x,t dt (x R n )

83 A Fourier-transzformált differenciálhatósága alakját használjuk: ( ) f(j) = ˇf(j). j Z n j Z n A Poisson-formula indoklását illetően világos, hogy f L, ill. ezért (és az f-re tett feltételek miatt) a ϕ(x) := j Z n f(x + 2πbj) (x [, 2πb] n ) függvényre ϕ L [, 2πb] n igaz. Számítsuk ki a ϕ Fourier-együtthatóit: (2πb) n (2πb) n (2πb) n ˆϕ(k) = (2πb) n ϕ(t)e ıb k,t dt = [,2πb] n [,2πb] n [,2πb] n f(t + 2πbj) e ıb k,t dt = j Z n j Z n f(t + 2πbj)e ıb k,t+2πbj f(y)e ıb k,y dy = (2πb) n ˆf( k/b) (k Z n ). dt = Az f-re tett feltételek miatt j Z ˆf(j/b) < +, ezért a ϕ függvény n (n-változós) Fourier-sora abszolút konvergens, így ϕ(x) = (2πb) n ıb ˆf( j/b)e j,x = (2πb) n j Z n j Z n ˆf(j/b)e ıb j,x. viii) Legyen pl. α >, f(t) := e αt2, ekkor (ld. i)) f(t) = π/α e t2 /(4α) Tehát (ld. vii)) (t R). 2π + e 4απ2 k 2 = π/α + k= k= vagy a β := 4απ 2 helyettesítéssel e k2 /4α,

84 5.. A Fourier-transzformált differenciálhatósága 83 + A z := β/π jelöléssel e βk2 = π/β + k= k= e π2 k 2 /β. + k= e πk2z = z + k= e πk2 /z. Ha ϑ(t) := + k= e πk2 t (t > ) (ϑ-függvény), akkor ϑ(t) = t /2 ϑ(t ) (t > ) (Jacobi-formula) (ld. számelmélet, ill. elliptikus integrálok). ix) Vezessük be pl. az alábbi W(R n ) Wiener-algebrát: W(R n ) := { f C : k Z n max f(x + 2πk) < + x [,2π] n Ekkor f, ˆf W(R n ) esetén igaz a vii)-beli ( ) Poisson-formula (az ott mondott bizonyítással együtt). Megmutatható, hogy ebből a szempontból az f, ˆf C feltétel nem elegendő. x) Az előbbiekben az f-re és ˆf-ra tett feltételek (pl.) a ( ) egyenlőségekben szereplő végtelen sorok abszolút konvergenciáját biztosították. Ha csak mondjuk a szóban forgó sorok konvergenciáját (és a sorösszegek egyenlőségét) akarjuk, akkor enyhíthetünk a feltételeken. Legyen ehhez n =, f L C, p, q +, a > / p, b > / q (ahol /p+/ p = /q +/ q = ), /(pq) < (b / q)(a / p) és az R x x a f(x) függvény tartozzon L p -be, az R x x b ˆf(x) pedig L q -ba. Ekkor a + k= f(k), + ˆf(k) k= sorok konvergensek és igaz a ( ) egyenlőség. xi) Ha n = b = és f L, akkor a vii)-ben szereplő ϕ függvény L [, 2π]-beli és 2π ˆϕ(k) = ˆf( k) (k Z). Tegyük fel még, hogy + k= ˆf(k) 2 < +, ekkor ϕ L 2 [, 2π]. Így a Carleson-tétel miatt a ϕ(x) = + j= ˆϕ(j)eıjx egyenlőség, azaz a 2π + j= f(x + 2πj) = + ˆf(j)e j= ıjx Poisson-formula m.m. x R esetén igaz. Ugyanez elmondható akkor is, ha n > és a j Z összegzés n négyzetesen értendő: N j Z... = lim n N + j = N N j n = N... xii) Alkalmazzuk a vii)-beli eredményt (b = mellett) f helyett a T t M y f függvényre (t, y R n ) az x = helyen, akkor az alábbi egyenlőséget kapjuk: }.

85 A Fourier-transzformált differenciálhatósága f(t + 2πj)e ı y,t+2πj = ˆf(j + y)e ı j,t. (2π) n j Z n j Z n Ha F(x) := f(2πx) (x R n ), akkor ˆF(x) = f(2πt)e ı x,t dt = (2π) n f(z)e ı (2π) x,z dz = (2π) n ˆf(x/(2π)). Írjunk a Poisson-formula előbbi alakjában t helyébe 2πt-t, akkor F(t + j)e 2πı y,t+j = ˆF(2π(j + y))e 2πı j,t = ˇF(j y)e 2πı j,t, j Z n j Z n j Z n azaz F(t j)e 2πı y,t j = ˇF(j + y)e 2πı j,t. j Z n j Z n Innen F(t j)e 2πı y,j = ˇF(y + j)e 2πı y j,t j Z n j Z n következik. Valamely α > paraméter esetén Z α F(t, y) := j Z n F(t αj)e 2πıα y,j az F függvény ún. Zak-transzformáltja. A Poisson-formulából tehát a most értelmezett Zak-transzformáltra vonatkozó alábbi azonosságot kaptuk: Z F(t, y) = j Z n ˇF(y + j)e 2πı y j,t (t, y R n ).

86 5.2. Schwartz-osztály Schwartz-osztály. Vezessük be a következő (L. Schwartz-ról elnevezett) függvényosztályt: S := {f D (R n ) : sup x R n x k j f(x) < + (k, j N n )}. Nyilvánvaló, hogy K(R n ) D (R n ) S L. Azt sem nehéz belátni, hogy S L. Világos, hogy S lineáris altere D (R n )-nek és f S f D (R n ), sup x R n k f j (x) < + (k, j N n ) (ahol f j (x) := x j f(x) (x R n )). Innen rögtön következik, hogy f S esetén j f S (j N n ) és bármely n-változós valós P polinomra P f S. Végül említsünk meg még egy meglehetősen nyilvánvaló tényt, miszerint az S függvényosztály zárt a szokásos függvényszorzásra nézve, azaz tetszőleges f, g S függvényekre f g S. Bármely f S, k, j N n és x R n esetén x k j f(x) = ı j x k f j (x) = ı j + k k f j (x). Innen többek között az is adódik, hogy minden f S függvényre f D (R n ), ui. a k f j (k, j N n ) függvények valamennyien folytonosak. Az S függvényosztályban vezessük be a következő jelölést: valamely f S és k, j N n esetén legyen f k,j := sup x R n x k j f(x). A fentiek szerint minden itt szereplő paraméterre f k,j < +, továbbá. k,j egy félnorma S-en. Mivel az előbbi f-re, k-ra és j-re egy alkalmas C k,j > konstanssal minden x R n pontban x k j f(x) = k f j dµ Ck,j e x k f j dµ 2n dz < +, ( + z ) ezért f k,j < +. Ez azt jelenti, hogy f S. Más szóval: ha

87 Schwartz-osztály Ŝ := { f C(R n ) : f S}, akkor Ŝ S. Ha pl. h(x) := e x 2 /2 (x R n ), akkor h S és ĥ = (2π)n/2 h. Legyen valamely g : R n C mellett g(x) := g( x) (x R n ). Ekkor bármely f S függvényre az inverziós formulával kapcsolatban (ld. 3.) látottakkal analóg módon kapjuk, hogy f = (2π) n f. Az nyilvánvaló, hogy f S, így az F := f jelöléssel F = (2π) n f = (2π)n f. A g := (2π) n F választással egy olyan S-beli függvényt kaptunk, amelyre ĝ = f. Mindez azt jelenti, hogy Ŝ = S. Mivel a Fourier-transzformáció injektív, ezért S f f S bijekció. A fentiek szerint könnyen megadható ennek a bijekciónak az inverze is, ui. bármely f S és x R n esetén ( ) f(x) = (2π) n f( x) = (2π) n f e x dµ. Belátható továbbá, hogy tetszőleges f, h S választással f h = (2π) n f ĥ. Ugyanezt mondhatjuk, ha f, f, h, ĥ L vagy f, h L Megjegyzések. i) Világos, hogy S C. Ha p < +, akkor S L p. Legyen ui. ϕ S és α := ϕ, β := sup x R n x 2n ϕ(x). Ekkor ϕ p p = ϕ(x) p dx + G ϕ(x) p dx R n \G α p G + β p R n \G x 2np dx < +

88 5.3. Disztribúciók 87 (ahol G a G := {x R n : x } gömb (Lebesgue-)mértéke). ii) A fentebb definiált. k,j (k, j N n ) félnormák a ρ k,j (u, v) := u v k,j (u, v S) félmetrikákat generálják. Rendezzük ezeket egy ρ, ρ,... sorozatba és legyen ρ l := ρ l /( + ρ l ) (l N), ρ := 2 l ρ l. l= Ekkor ρ metrika S-en és könnyen beláthatóan (S, ρ) egy teljes szeparábilis metrikus tér. Világos, hogy u l, u S (l N) esetén ρ(u l, u) (l ) azzal ekvivalens, hogy minden k, j N n mellett u l u k,j (l ). Továbbá a S 2 (ϕ, ψ) ϕ + cψ (c C) leképezés folytonos (az S 2 -en a ρ-ból a szokásos módon származtatott szorzat-metrika értelmében). Ezért S topologikus vektortér. Azt sem nehéz belátni, hogy az S u û S leképezés egy homeomorfizmus S-ről S-re Disztribúciók. Legyen S az F : S C folytonos lineáris funkcionálok halmaza (az általánosított függvények (vagy más néven ( temperált ) disztribúciók) halmaza). Ha pl. p +, f L p és F f (u) := f(t)u(t) dt (u S) (mivel az i) megjegyzés szerint u L q (ahol /p + /q = ), így a Hölderegyenlőtlenség miatt fu L ), akkor F f : S C nyilván lineáris funkcionál. Ha adott az u k S (k N) sorozat és ρ(u k, ) (k ), akkor az előbbi q-val i) alapján u k q (k ) is igaz. Következésképpen ismét a Hölder-egyenlőtlenség szerint F f (u k ) f p u k q (k ), azaz F f folytonos (S -ban, így a linearitása miatt minden S-beli helyen). Tehát F f S (reguláris disztribúció). Az F f f azonosítással így azt mondhatjuk, hogy f általánosított függvény. Legyen pl. f. Ekkor

89 Disztribúciók F (u) = u(t) dt (u S), azaz az S u u(t) dt integrál-funkcionál reguláris disztribúció. Ugyanakkor legyen z R n és δ z : S C a δ z (u) := u(z) (u S) utasítással értelmezett (nyilván lineáris) funkcionál. Világos, hogy δ z folytonos is, azaz δ z S (Dirac-disztribúció), viszont (eléggé nyilvánvalóan) δ z nem reguláris a fenti értelemben. Az S jellemzését illetően a következő ekvivalencia látható be: valamely F : S C lineáris funkcionál akkor és csak akkor általánosított függvény (azaz F S ), ha alkalmas C > és m, l N számokkal F(u) C k m j l u k,j (u S). A közönséges függvényekkel kapcsolatos bizonyos manipulációk analógia alapján könnyen átvihetők disztribúciókra is. Illusztrációképpen mutassuk meg mindezt először a deriválás vonatkozásában. Legyen ehhez f, g S és j N n. Ekkor (parciálisan j -szer integrálva) azt kapjuk, hogy j f(t)g(t) dt = ( ) j j g(t)f(t) dt. Logikusnak látszik ezért F S esetén a j F S disztribúciót úgy definiálni, hogy j F(u) := ( ) j F( j u) (u S). (Egyszerűen meggondolható, hogy ílymódon valóban egy S -beli funkcionált definiáltunk.) Legyen pl. (n = esetén) a, b R, a < b és F := F χ[a,b]. Ekkor b F (u) = F χ[a,b] (u ) = u (t) dt = a u(a) u(b) = δ a (u) δ b (u) (u S), azaz (az F χ[a,b] χ [a,b] azonosításra gondolva) a disztribúció-értelemben vett deriválás szerint χ [a,b] = δ a δ b. Hasonlóan, ha f, g, akkor az f(t) := f( t) (t R n ) jelöléssel

90 5.3. Disztribúciók 89 F f g (u) = ( f g(t)u(t) dt = ) g(x)f(t x) dx u(t) dt = ( g(x) ) u(t)f(t x) dt dx = ( g(x) ) u(t) f(x t) dt dx = g(x) f u(x) dx = F g ( f u) (u S). Mindez az alábbi definíciót motiválja: Speciálisan f F(u) := F( f u) (f, u S, F S ). f δ z (u) = δ z ( f u) = f u(z) = f(t z)u(t) dt (z R n ), tehát f δ z = F T z f. Ha itt z :=, akkor f δ = F f f S-beli konvolúció-szorzásra nézve az egység-operátor. (f S), más szóval δ az A most mondottak szellemében emlékeztetünk arra (ld xiii) megjegyzés 3 o szorzási szabály), hogy ha f L 2 (vagy f L ), akkor bármely u S esetén F ˆf(u) = ˆf(t)u(t) dt = f(t)û(t) dt = F f (û). Ezért kézenfekvőnek látszik tetszőleges F S esetén az F Fourier-transzformáltat olyan F S általánosított függvényként definiálni, amelyre F(u) := F(û) (u S) teljesül. (Mivel S u û S homeomorfizmus S-ről S-re, az előbbiekben valóban egy F S funkcionált (általánosított függvényt) definiáltunk.) Így pl. a 6.. ( ) inverziós formula szerint F (u) = F (û) = û(t) dt = (2π) n u() = (2π) n δ(u) (u S),

91 Disztribúciók más szóval F = (2π) n δ. Hasonlóan kapjuk a Dirac-féle δ z (z R n ) disztribúció (ld. iii)) Fourier-transzformáltját is: δ z (u) = δ z (û) = û(z) = u(t)e ı t,z dt = F ez (u) (u S) (ahol e z (t) := e ı t,z (t R)), azaz δ z = F ez. Legyen valamely F S esetén F(u) := F(ũ) (u S). Ekkor F = (2π) n F. Valóban, û = (2π) n ũ (u S) miatt F(u) = F(û) = F(û) = (2π) n F(ũ) = (2π) n F(u) (u S). Ha p 2, f L p és F := F f, akkor könnyen beláthatóan F = F ˆf (azaz F reguláris disztribúció: F ˆf. Ezért: ha p > 2 és f L p, akkor legyen ˆf := F f, más szóval F f (u) = F f (û) = f(t)û(t) dt (u S). Pl. a disztribúció-deriválásra utalva azt mondhatjuk, hogy ha F S és j N n, akkor (emlékeztetőül: u j (t) := t j u(t) (t R n )) j F(u) = j F(û) = ( ) j F( j û) = ( ı) j F(û j ) = ( ı) j F(u) = ) F (( ı) j u j = F(u j ) (u S), (ahol ( ı) j u j (t) = ( ı) j t j u(t) = ( ıt) j u(t) =: u j (t) (t Rn )). Speciálisan az F := δ esetben j δ (u) = ( ı) j û j () = ( ı) j t j u(t) dt = ( ıt) j u(t) dt (u S), következésképpen j δ reguláris disztribúció, ill. a h j (t) := ( ıt) j u(t) (t R n ) jelöléssel j δ = F hj. (Megjegyezzük, hogy bizonyos h C függvényekre (amelyek az összes deriváltjukkal együtt a + -ben legfeljebb polinomiális nagyságrendűek ) értelmezhető a hf szorzat tetszőleges F S esetén: (hf)(u) := F(hu) (u S).

92 5.3. Disztribúciók 9 Ekkor a g j (t) := ( ıt) j (t R n ) jelöléssel a fentiek szerint j F(u) = g j F(u) (u S), azaz j F = g j F. Ez teljes összhangban van a klasszikus j f(x) = ( ıx) j ˆf(x) (f S, x R n ) egyenlőséggel.) (t R n ) jelöléssel (az előbbi függvény- Hasonlóan: a g j (t) := g j ( t) = (ıt) j disztribúció-szorzást is figyelembe véve) j F(u) = ( ) j F( j u) = ( ) j F( j u) = F( g j û) = g j F(u) (F S, u S). Ez azt jelenti, hogy j F = gj F, megint csak összhangban a már jól ismert j ˆf = gj f (f S) egyenlőséggel. A disztribúció-értelemben vett Fourier-transzformáció és bizonyos operátorok kapcsolatát tárgyaló előbbi példákhoz csatlakozva mutassuk meg, hogy f F = ˆf F (f S, F S ). Valóban, tetszőleges u S esetén f F(u) = f F(û) = F( f û), ahol f û(x) = ( û(t) f(x t) dt = ) u(y)e ı y,t dy f(t x) dt = ( ) ( f(t x)e ı y,t dt u(y) dy = ) f(z)e ı y,z dz e ı y,x u(y) dy = ˆf(y)u(y)e ı y,x dy = ˆfu(x) (x R n ). Innen azt kapjuk, hogy f F(u) = F( ˆfu) = F( ˆfu) = ( ˆf F)(u) (u S). Ez a fentebb említett függvény-disztribúció-szorzás szerint éppen azt jelenti, amit állítottunk. Ugyanígy kapjuk az ff = ˆf F (f S, F S )

93 Disztribúciók fordított szabályt is. Ti. ff(u) = (ff)(û) = F(fû) (u S), míg (a h := ˆf jelöléssel) ˆf F(u) = F( h u) = F( h u) = F(ˆ hû) = F(fû) Megjegyzések. i) Nem nehéz belátni, hogy az S F F S leképezés izomorfizmus, ha S -n a gyenge -topológiát vezetjük be (azaz azt a leggyengébb topológiát, amelyre nézve az S F F(u) C lineáris funkcionál minden rögzített u S függvényre folytonos). ii) Megmutatható továbbá, hogy minden p > 2 esetén van olyan f L p, amelyre az ˆf Fourier-transzformált nem közönséges függvény, azaz nincs olyan g függvény, hogy f(t)û(t) dt = g(t)u(t) dt teljesülne bármely S u-ra. Tegyük fel ui. indirekt módon (az egyszerűség kedvéért n = mellett), hogy valamely p > 2 kitevőre minden L p f-re ˆf reguláris disztribúció: ˆf (Lebesgue-mérhető) függvény, amellyel f(t)û(t) dt = ˆf(t)u(t) dt (u S). Ha itt u [,] (ilyen u S nyilván van), akkor az ˆf(t)u(t) dt integrál létezéséből következik, hogy az ˆf(t) dt integrál is létezik. Megmutatjuk, hogy az L p f fχ [,] L (nyilván lineáris) operátor folytonos. Legyen ehhez f k L p (k N) olyan sorozat, hogy f k f p (k ). Ekkor az indirekt feltevésünk miatt f k (t)u(t) dt = f k (t)û(t) dt (k N, u S), ahol a Hölder-egyenlőtlenség miatt tetszőleges S u-ra f k (t)û(t) dt f(t)û(t) dt f k f p û q (k ). (Az q < 2 kitevőre tehát /p + /q =.) Következésképpen

94 5.3. Disztribúciók 93 lim k f k (t)u(t) dt = f(t)û(t) dt = ˆf(t)u(t) dt (u S). Szorítkozzunk olyan kompakt tartójú C -beli u függvényekre, amelyekre suppu [, ] (legyen ezeknek a halmaza S ), akkor lim k f k (t)u(t) dt = ˆf(t)u(t) dt. Ha mármost valamilyen (Lebesgue-mérhető) g : R C függvénnyel teljesül, hogy lim k f k (t) g(t) dt =, akkor bármely u S függvényre f k (t)u(t) dt g(t)u(t) dt u f k (t) g(t) dt (k ). Így lim k f k (t)u(t) dt = g(t)u(t) dt. Azt kaptuk tehát, hogy ( ˆf(t) g(t))u(t) dt = (u S ). Innen ˆf(t) = g(t) (m.m. t [, ]) következik, tehát ( f k f)χ [,] (k ). Az eddigieket összegezve azt mondhatjuk, hogy az L p f ˆfχ [,] L leképezés zárt operátor. Alkalmazható ezért a zárt gráf-tétel, miszerint a szóban forgó leképezés korlátos lineáris operátor. Így egy alkalmas C p > konstanssal ( ) ˆf(t) dt C p f p (f L p ). Lássuk be, hogy az utóbbi egyenlőtlenség nem lehet igaz minden f L p függvényre. Legyen ehhez valamilyen δ > paraméterrel c := + ıδ és h δ (t) := c e t2 /(2c) (t R).

95 Disztribúciók Nyilván h δ L L p. Számítsuk ki a ĥδ Fourier-transzformáltat, azaz mutassuk meg, hogy (ld ii) megjegyzés) ĥ δ (x) = ĥ( cx) = 2πe cx2 /2 (x R). Legyen tehát x R, ekkor ĥ δ (x) = c e t2 /(2c) e ıxt dt = c e (t/ 2c) 2 e ıxt dt (a c értékeként szóba jöhető két szám közül azt választva, amelyiknek az imaginárius része pozitív.) Tekintsük valamilyen r > mellett a komplex síkon azt a Φ r zárt, szakaszonként sima utat, amely a [, r], [, r c/ c ] szakaszoknak és annak a ϕ r origó középpontú r sugarú körívnek az egyesítése, amely (a komplex síkon) az r és az r c/ c pontokat köti össze. Ha F(z) := e (z/ 2c) 2 e ıxz (z C), akkor a Cauchy-tétel miatt = F(z) dz = Φ r [,r] F(z) dz [,r c/ c ] I r I 2r + I 3r. Ekkor F(z) dz + F(z) dz =: ϕ r I 3r rα max z ϕ r F(z), ahol α (, π/4) a c argumentuma (azaz a ρ := c = 4 + δ 2 jelöléssel c = ρe ıα ) és z ϕ r esetén alkalmas és α közötti γ-val z = re ıγ. Ezért F(z) = e z2 /2c e ıxz = e r2 cos(2α 2γ)/(2ρ 2) e xr sin γ e r2 cos(2α)/(2ρ 2). Innen világos, hogy rαmax z ϕr F(z) (r + ), azaz lim r + I 3r =. Továbbá I r = r e t2 /2c e ıxt dt + e t2 /2c e ıxt dt (r + ),

96 5.3. Disztribúciók 95 ill. I 2r = r/ρ c e t2 /2 e ıx ct dt + c e t2 /2 e ıx ct dt (r + ), következésképpen Ugyanígy kapjuk az + e t2 /2c e ıxt dt = + c e t2 /2 e ıx ct dt. e t2 /2c e ıxt dt = c e t2 /2 e ıx ct dt egyenlőséget is, más szóval (ld ii) megjegyzés) e t2 /2c e ıxt dt = c e t2 /2 e ıx ct dt = c 2πe cx2 /2 (azaz igaz a t = cy komplex helyettesítéssel formálisan megkapható egyenlőség a fenti integrálok között). Mindezek alapján míg ĥδ(x) dx = 2π e x2 /2 dx =: A (> ), cos(2α)/(2 +δ 2 ) h δ (t) = e t2 = e t 2 /(2(+δ 2 )) (t R) ( + δ 2 ) /4 ( + δ 2 ) /4 δ miatt h δ = δ /2, ill. 2 < p < + esetén h δ p p = ( + δ 2 ) p/4 e pt2 /(2(+δ 2 )) dt = 2π( + δ 2 ) ( + δ 2 ) p/4 p 2( + δ 2 ) ( + δ 2 ) p/4 p < 2 π p δ p/2. e y2 dy =

97 Disztribúciók Innen a (p = + ) C p := ( ) /p 2 πp (p < + ) (csak p-től függő) konstanssal h δ p C p δ /p /2 következik. Az előbbi ( ) egyenlőségből ezért A C p Cp δ /p /2, ami a p > 2 feltétel (és ezért δ /p /2 (δ + )) miatt nem teljesülhet. iii) Megmutatjuk, hogy ha f L, t R n és ε >, akkor van olyan H L, amellyel H < ε és f + H(x) = ˆf(t) (x U) teljesül a t pontnak egy alkalmas U környezetében. Más szóval tehát a Fourier-transzformáció a függvények. - approximációjára nézve egyfajta (lokális) stabilitással rendelkezik. Válasszunk ehhez először is egy olyan g L függvényt, amelyre a R n elem valamely V környezetében ĝ(x) = (x V ) teljesül. (Ha pl. arra gondolunk, hogy S u û S bijekció, akkor könnyen belátható ilyen g létezése.) Legyen ezek után λ > és g λ (y) := e ı t,y λ n g(λ y) (y R n ), H λ := ˆf(t)g λ f g λ. Ekkor könnyen ellenőrizhetően ĝ λ (x) = környezetében, ti. (x V λ ) a t pont valamely V λ ĝ λ (x) = λ n e ı t,y g(λ y)e ı x,y dy = e ı t,λy g(y)e ı x,λy dy = g(y)e ı λ(x t),y dy = ĝ(λ(x t)) =, ha λ(x t) V. Ez utóbbi azt jelenti, hogy x V λ := t + λ V. Úgyhogy H λ < ε esetén Ĥλ = ĝ λ ( ˆf(t) ˆf) miatt az H := H λ választás megfelelő lesz. Viszont H λ (x) = ( ) f(y) e ı t,y g λ (x) g λ (x y) dy (x R n ), ahol e ı t,y g λ (x) g λ (x y) = λ n g(λ x) g(λ (x y)).

98 5.3. Disztribúciók 97 Ezért (a Fubini-tételt és megfelelő helyettesítést alkalmazva) H λ λ n ( g(λ f(y) x) g(λ (x y)) ) dx dy = ( f(y) ) g(x) g(x λ y) dx dy = f(y) g T y/λ g dy. Nyilván g T y/λ g 2 g, továbbá g T y/λ g ezért a Lebesgue-féle konvergencia-tétel alapján H λ Következésképpen van olyan λ >, amellyel H = H λ < ε. (λ + ), (λ + ). iv) Legyen F S és értelmezzük az F funkcionál SuppF tartóját a következőképpen. Tegyük fel, hogy valamilyen A R n nyílt halmazzal F(u) = minden olyan u S függvényre, amelyre supp u A. Ekkor azt mondjuk, hogy F eltűnik az A halmazon. Ha A jelöli az összes ilyen A egyesítésével létrejött halmazt, akkor SuppF := R n \ A. Pl. a δ z (z R n ) Dirac-disztribúció (ld. iii)) nyilván eltűnik minden olyan nyílt A R n halmazon, amelyre z / A, így Suppδ z = {z}. Világos továbbá (ld. iii)), hogy bármely f C esetén Supp F f = supp f. Legyen már most ϕ L, L L pedig altere L -nek és tegyük fel, hogy f ϕ = ( L ) (f L). Ekkor Supp ˆϕ Z := f L { x R n : ˆf(x) } =. (Emlékeztetünk arra, hogy S ˆϕ = F ϕ, azaz ˆϕ(u) = ϕ(t)û(t) dt (u S).) Tetszőleges t R n \Z ponthoz ui. válasszunk egy olyan f L függvényt, amelyre ˆf(t) =. Az előbbi megjegyzés szerint van olyan H L, hogy H < és a t pont valamely V t környezetében Ĥ(x) = ˆf(x) (x V t ). Így ˆf(x) = Ĥ(x) (x V t ), azaz Ĥ(x) H < miatt ˆf(x) (x V t ). Ez azt jelenti, hogy V t Z =. Ha tehát ˆϕ eltűnik a V t (t R n \ Z) halmazon, akkor Supp ˆϕ R n \ t R n \Z V t Z. Az, hogy ˆϕ eltűnik a V t (t R n \ Z) halmazon, nyilván azzal ekvivalens, hogy ˆϕ(û) = minden olyan u S függvényre, amelyre suppû V t (ti. az u û leképezés szürjekció S-ről S-re). Viszont

99 Disztribúciók ˆϕ(û) = ϕ(t)û(t) dt = (2π) n ϕ(t)u( t) dt = (2π) n ϕ u(). Elegendő ezért azt megmutatni, hogy ϕ u = ( L ). Az előbbi u-t rögzítve ehhez tekintsük az alábbi rekurzióval megadott g m L (m N) függvénysorozatot: g := u, g m := H g m (m =, 2,...). Ekkor egyrészt g m H m u (n N), másrészt H < miatt m= H m < +, azaz létezik a G := m= g m L függvény. Továbbá ill. ĝ m (x) = Ĥ(x) g m (x) =... = (Ĥ(x))m û(x) (x R n ), Ĝ(x) = ĝ m (x) = m= (Ĥ(x))m û(x) (x R n ). m= Nyilvánvaló, hogy ˆf(x) = Ĥ(x) (x supp û), következésképpen Innen Ĥ(x) < (x Rn ) alapján ( Ĥ(x))û(x) = û(x) ˆf(x) (x R n ). û(x) = û(x) ˆf(x) Ĥ(x) = m= (Ĥ(x))m û(x) ˆf(x) = Ĝ(x) ˆf(x) = G f(x) (x R n ) következik. Ezért u = G f, amiből az f ϕ = feltételezést is figyelembe véve ϕ u = u ϕ = G f ϕ = már adódik. v) Tegyük fel, hogy az L L zárt altér eltolás-invariáns (azaz bármely f L és x R n esetén T x f L) és ( ) f L { x R n : ˆf(x) } = =. Ekkor L = L.

100 5.3. Disztribúciók 99 Ha ui. L valódi (és a feltételezés szerint zárt) altere lenne L -nek, akkor a Hahn- Banach-tétel ismert következménye szerint lenne olyan Φ : L C korlátos lineáris funkcionál, amely nem azonosan nulla, de Φ L. Az (L ) duálisára vonatkozó Riesz-tétel miatt viszont egy egyértelműen létező ϕ L függvénnyel Φ(f) = f(t) ϕ(t) dt (f L ). Az L altér feltételezett eltolás-invarianciájára hivatkozva ezért (a ϕ(t) := ϕ( t) (t R n ) jelöléssel) tetszőleges f L függvényre f ϕ(x) = f(t) ϕ(t x) dt = f(x + t) ϕ(t) dt = T x f(t) ϕ(t) dt = Φ(T x f) = (x R n ). Alkalmazható ezért a iv) megjegyzésben szereplő állítás, miszerint a ( ) feltételt is figyelembe véve Supp ˆϕ =. Ez nyilván azt jelenti, hogy ϕ(t)û(t) dt = (u S) ϕ(t)v(t) dt = (v S), így ϕ = ( L ). Más szóval Φ ( (L ) ), ami az indirekt feltételezésünkből kifolyólag nem igaz. Következésképpen L = L. vi) Jegyezzük meg a vi)-beli állítás alábbi következményét: legyen K L és jelölje L az L -nek azt a legszűkebb eltolás-invariáns alterét, amely tartalmazza K-t. Ekkor az L = L egyenlőség pontosan abban az esetben áll fenn, ha K(x) (x R n ). Valóban, a feltételekből (figyelembe véve a 2.. i) megjegyzésben mondottakat) f L { x R n : ˆf(x) } = = {x R n : K(x) = } =: Y. Ha tehát K(x) (x R n ), azaz Y =, akkor vii) miatt L = L. Fordítva a dolog triviális: ha L = L és x R n olyan, hogy K(x) =, akkor (ld i) megjegyzés) T ξ K(x) = e ı x,ξ K(x) = (ξ R n )

101 5.4. Wiener-tétel miatt ˆf(x) = (f L ). Ez utóbbi nyilván nem igaz Alkalmazások. o Wiener-tétel. Legyen most ϕ L, K L, K(x) (x R n ) és tegyük fel, hogy valamilyen α C számmal Ekkor lim K ϕ(x) = α K(). x + lim f ϕ(x) = α ˆf() (f L ). x + Tekintsük ui. a ψ(x) := ϕ(x) α (x R n ) függvényt és az alábbi L L (nyilván) alteret: L := { } f L : lim f ψ(x) =. x + Gondoljuk meg, hogy L zárt is L -ben. Ha ui. f k L (k N) és valamilyen f L függvénnyel f k f (k ), akkor f ψ f k ψ f f k ψ (k ) miatt f k ψ(x) f ψ(x) (k ), mégpedig R n x-ben egyenletesen. Ezért lim x + f ψ(x) =, azaz f L. Azt sem nehéz belátni, hogy L eltolás-invariáns: (T y f) ψ(x) = T y (f ψ)(x) = f ψ(x + y) (x, y R n ). Mivel x + y x y +, ha x + (y R n ), ezért minden R n y-ra lim (T yf) ψ(x) = lim f ψ(x + y) =. x + x +

102 5.4. Wiener-tétel Így T y f L. Az is igaz, hogy K L, ui. K ψ(x) = K ϕ(x) K α(x) = K ϕ(x) α K() ( x + ). Tehát alkalmazható az vi) megjegyzés: L = L, amiből az állításunk már nyilván következik Megjegyzések. i) Nevezzük a ϕ L függvényt lassan oszcillálónak, ha bármely ε > számhoz megadható olyan δ > és < A < +, hogy ϕ(x) ϕ(y) < ε (x, y R n, x y < δ, x > A, y > A). (Ha n =, akkor az x > A, y] > A feltétel kicserélhető az x > A, y > A (vagy x < A, y < A) kikötésre is, ekkor a + -ben ( -ben) lassan oszcilláló függvényről beszélünk.) Világos, hogy minden egyenletesen folytonos és korlátos függvény lassan oszcilláló, de mindez fordítva nem igaz. ii) Mutassuk meg, hogy ha a Wiener-tételben tett feltételek mellett a ϕ függvény még lassan oszcilláló is, akkor (Pitt) lim x + ϕ(x) = α. Ti. legyen ekkor f L olyan, hogy ˆf() = és f(x) = (x R n, x δ) (ilyen f nyilván van, pl. ha n =, akkor f := χ [,δ] ). Ugyanakkor x R n, x > A + δ esetén ϕ(x) f ϕ(x) = {y R n : y <δ} (ϕ(x) ϕ(x t))f(t) dt {y R n : y <δ} ϕ(x) ϕ(x t) f(t) dt ε f(t) dt = ε ˆf(), azaz lim x + (ϕ(x) f ϕ(x)) =. Innen a lim x + ϕ(x) = α egyenlőség már nyilván következik.

103 Ingham-tétel 2 o Ingham-tétel. Legyen g : (, + ) R olyan monoton növekedő függvény, amelyre g(x) = ( < x < ). A G(x) := g(x/m) m= ( < x < + ) függvényről tegyük fel, hogy alkalmas a, b R konstansokkal G(x) = ax lnx + bx + xε(x) ( < x < + ), ahol az ε : (, + ) R függvényre lim x + ε(x) =. Ekkor g(x) lim x + x = a. A bizonyításhoz először is mutassuk meg, hogy sup x> g(x)/x < +. Vegyük észre ehhez, hogy alkalmas x > 2 mellett ε(x) < (x > x ). Továbbá ε(x) = G(x) x a lnx b 2G(x ) + a lnx + b (/2 x x ). A g feltételezett növekedése alapján g(x) g(x/2) ( ) m+ g(x/m) = G(x) 2G(x/2) = m= x(a ln2 + ε(x) ε(x/2)) < Ax (x ), ahol A egy alkalmas konstans. Mivel a G(x)-et előállító végtelen sorban minden x > esetén g(x/m) = (N m > x), ezért g(x) = (g(x/2 m ) g(x/2 m+ )). m= Az előző becslés miatt (figyelembe véve még azt is, hogy g(t) g(t/2) = ( < t < )) g(x/2 m ) g(x/2 m+ ) < Ax/2 m (m N), azaz

104 5.4. Ingham-tétel 3 g(x) < A Vezessük be az alábbi függvényeket: m= x = 2Ax (x > ). 2m h(x) := g(e x ), H(x) := G(e x ) = h(x lnm) m= (x R). Ekkor h(x) = (x < ) és a G-re tett feltétel miatt H(x) = e x (ax + b + ε (x)) (x R), ahol lim x + ε (x) := lim x + ε(e x ) =. A g-re az előbb kapott becslés alapján a ϕ(x) := e x h(x) (x R) függvény korlátos. Belátjuk, hogy lim x + ϕ(x) = a (ami nyilván ekvivalens a bizonyítandó lim x + g(x)/x = a állítással). Legyen ehhez k(x) := [e x ]e x (x R), λ > pedig irracionális, ill. K(x) := 2k(x) k(x ) k(x λ) (x R). Világos, hogy K L (sőt, sup x R e x K(x) < e + e λ ). Ha s = σ + ıt (σ >, t R), akkor ( ) k(x)e xs dx = + [e x ]e x(s+) dx = + [y]y s dy = ζ( + s) + s (ahol z C, Re z > esetén ζ(z) := m= m z. Egyszerű számolással kapjuk, hogy z N+ [x]x z dx = z N m= m+ m x z dx = m

105 Ingham-tétel N m z N(N + ) z m= ( < N N). Ha itt Re z >, akkor N(N + ) z (N ), így ζ(z) = z + [x]x z dx. A b(x) := [x] x (x ) helyettesítéssel innen az következik, hogy ( ) ζ(z) = z + z + z b(x)x z dx. A b függvény nyilván korlátos, ezért a z Φ(z) := z + b(x)x z dx leképezés egy holomorf függvényt határoz meg a {z C : Re z > } halmazon. Mindez azt jelenti, hogy ( ) tekinthető az eredetileg a {z C : Re z > } félsíkon definiált ζ függvény analitikus folytatásának a {z C : Re z > } \ {} kilyukasztott félsíkra. Az így kiterjesztett (Riemann-féle) ζ-függvény analitikus, a z = pontban elsőrendű pólusa van és res ζ =. Ismert tulajdonsága továbbá ζ-nak, hogy ζ(z) ( z C, Re z = ).) Visszatérve az Ingham-tétel bizonyításához ( )-ban k(x) helyett k(x )-et, ill. k(x λ)-t írva és figyelembe véve a K függvény értelmezését a Re z határátmenet után K( t) = K(x)e ıtx dx = ( 2 e ıt e ıλt) ζ( + ıt) + ıt (t R) adódik. A λ irracionalitása, ill. ζ( + ıt) miatt ezért azt kapjuk, hogy K(t) ( t R). Viszont (Φ( + ıt) Φ() = (t ) miatt) ( 2 e ıt e ıλt) ζ( + ıt) + ıt + λ (t ), következésképpen K() = lim t K( t) = + λ is teljesül. A Wiener-tétel alkalmazhatóságához be kell még látnunk, hogy lim K ϕ(x) = a K(). z +

106 5.4. Ingham-tétel 5 Ennek érdekében tekintsük az u(x) := [e x ] (x R), v := χ [,+ ) függvényeket és az X := {lnm : m =, 2, 3,...} halmazt, ill. legyen µ : P(X) [, + ] az a mérték, amelyre µ({x}) := (x X). Ekkor H = h µ és u = v µ. Ezért h u(x) = h v µ(x) = H v(x) = x H(y) dy (x R). Ugyanakkor ϕ k(x) = e y x h(x y) [e y ]e y dy = e x h u(x) (x R), amiből a H-ra vonatkozó korábbi előállítást is figyelembe véve azt kapjuk, hogy x ϕ k(x) = e x H(y) dy = ax + b a + ε 2 (x) (x R), ahol lim x + ε 2 (x) =. Innen oda jutunk, hogy lim K ϕ(x) = lim (2ϕ k(x) ϕ k(x ) ϕ k(x λ)) = x + x + lim (2ax + 2ε 2(x) a(x ) ε 2 (x ) a(x λ) ε 2 (x λ)) = x + ( + λ)a = a K(y) dy = a K(). A Wiener-tétel szerint tehát lim f ϕ(x) = ( + λ)a = a ˆf() (f L ). x + Tekintsük végül adott ε > mellett az f := ε χ [,ε], f 2 := ε χ [ ε,] L függvényeket. Mivel a R t e t ϕ(t) függvény monoton növekedő, ezért e y ϕ(y) e x ϕ(x) = e ε e x ε ϕ(x) e ε e y ϕ(x) (x ε y x), ill. e u ϕ(u) e v ϕ(v) = e ε e v ε ϕ(v) e ε e u ϕ(v) (u v u + ε),

107 Ingham-tétel azaz Következésképpen ϕ(y) e ε ϕ(x) (x ε y x), ϕ(v) e ε ϕ(u) (u v u + ε). f ϕ(x) = f (x y)ϕ(y) dy = x x ε f (x y)ϕ(y) dy x ε e ε ϕ(x) dy = e ε ϕ(x) x ε (x R), f 2 ϕ(x) = f 2 (x y)ϕ(y) dy = x+ε x f 2 (x y)ϕ(y) dy x+ε ε e ε ϕ(x) dy = e ε ϕ(x) x (x R), más szóval e ε f ϕ(x) ϕ(x) e ε f 2 ϕ(x) (x R). Innen lim x + f j ϕ(x) = a ˆf j () = a (j =, 2) alapján azt kapjuk, hogy ae ε lim inf x + ϕ(x) lim supϕ(x) ae ε x + (x R). Világos, hogy (az ε határátmenet után) lim inf x + ϕ(x) = lim supϕ(x) = a, x + azaz létezik a lim x + ϕ(x) határérték és lim x + ϕ(x) = a.

108 5.4. Prímszámtétel 7 3 o Prímszámtétel. Az Ingham-tétel alkalmazásával röviden vázoljuk a π(x) lnx lim x + x prímszámtétel (egy lehetséges) bizonyítását. Tehát < x R és π(x) jelentse a ( <)p x feltételnek eleget tevő p prímszámok számát. Legyen = lnp (m = p k (p prím, k N)) Λ(m) := (különben) (m N), ill. ψ(x) := Λ(m), F(x) := ψ(x/j) (x > ). N m x j= Megmutatjuk, hogy a) ψ(x) x π(x) lnx x < lnx + ψ(x) lnx x ln(x/ ln 2 x) (x > e); b) F(x) = x lnx x + c(x) lnx (x > ), ahol alkalmas x > mellett sup x>x c(x) < +. Ha ui. x >, akkor a p k x (k N) feltételnek (valamilyen rögzített p prímszám esetén) eleget tevő p k hatványok száma nyilván [lnx/ lnp]. Ezért (p-vel továbbra is prímszámot jelölve) ψ(x) = p x [ ] lnx lnp lnx = π(x) lnx (x > ), lnp p x ami az a)-beli első egyenlőtlenség. Továbbá < y < x esetén azaz π(x) π(y) = y<p x y<p x lnp lny ψ(x) lny,

109 Prímszámtétel π(x) π(y) + ψ(x) lny < y + ψ(x) lny. Ha itt y := x/ ln 2 x (x > e), akkor az o -beli második egyenlőtlenség is nyilván következik. A b) igazolásához vegyük figyelembe, hogy F(m) F(m ) = (ψ(m/j) ψ((m )/j)) j= ( < m N). Világos, hogy (m/j / N) ψ(m/j) ψ((m )/j) = Λ(m/j) (m/j N) ( j N), ezért F(m) F(m ) = j,m/j N Λ(m/j) = k,m/k N Λ(k) = lnm ( < m N) (ahol az utolsó egyenlőséget illetően gondoljunk az m szám prímhatványok szorzataként való egyértelmű előállítására). Mivel F() =, így m F(m) = lnk = ln(m!) k= ( m N). Legyen J(x) := x lntdt = x lnx x + (x ). Ha itt m x m+ ( m N), akkor (az integrálok és a közelítő összegek szokásos egybevetéséből) miatt J(m) < F(m) F(x) F(m + ) < J(m + 2)

110 5.4. Prímszámtétel 9 F(x) J(x) < J(m + 2) J(m) = (m + 2) ln(m + 2) 2 mlnm = ( ) (m + 2) m+2 ln 2 = m m ln ( ( + 2/m) m (m + 2) 2) 2 < ln ( e 2 (m + 2) 2) 2 = 2 ln(m + 2) < 2 ln(x + 2). Tehát F(x) = J(x) + F(x) J(x) = x lnx x + + F(x) J(x) = x lnx x + c(x) lnx (x > ), ahol c(x) := + F(x) J(x) lnx + 2 ln(x + 2) lnx 2 (x + ). Ezzel b)-t is beláttuk. Nyilvánvaló, hogy a) szerint a prímszámtétel igazolásához elegendő azt megmutatni, hogy lim x + ψ(x)/x =. Ez viszont következik az Ingham-tételből, ha az ottani szereplők a következők: g := ψ, G := F, a :=, b := és ε(x) := c(x) lnx x (x > ) (amikor is sup x>x c(x) < + miatt (ld. b)) lim x + ε(x) = ).

111 5.5. Határozatlansági relációk 5.5. Határozatlansági relációk. Legyen a továbbiakban n = és valamely f : R R függvény esetén f (x) := xf(x) (x R). Definiáljuk a D halmazt a következőképpen: D := {f L 2 D : f, f, (f ) L 2 }. Megjegyezzük, hogy ha f D, akkor lim x + f =. Ui. f, f L 2 miatt ff L. b Így lim b + f(x)f (x) dx = + f(x)f (x) dx R. De f 2 abszolút folytonos (hiszen (f 2 ) = 2ff L ), tehát b f(x)f (x) dx = f2 (b) f 2 (), 2 azaz az előzőek miatt létezik a lim b + f 2 (b) határérték. Innen rögtön következik, hogy létezik α := lim b + f(b) is. Ugyanakkor f L 2 miatt + f(x) 2 dx < +, így csak α = lehetséges. Hasonlóan indokolható meg, hogy létezik és nulla a lim b f(b) határérték is. Világos, hogy S D. Tekintsük ezek után az Af := f, Bf := ıf (f D) operátorokat. Ezek mindegyike nyilván lineáris, ill. könnyen igazolhatóan önadjungált: Af, g = ill. parciális integrálással + Bf, g = xf(x)g(x)dx = + + f(x)xg(x)dx = f, Ag, + ıf (x)g(x)dx = ıf(x)g (x)dx = + f(x)ıg (x)dx = f, Bg (f, g D). Legyen [A, B] := AB BA (az A, B operátorok kommutátora), ekkor bármely f D esetén [A, B]f(x) = ABf(x) BAf(x) = xbf(x) ı(f ) (x) =

112 5.5. Határozatlansági relációk ıxf (x) ıf(x) ıxf (x) = ıf(x) (x R), azaz f 2 2 = [A, B]f, f. Továbbá [A, B]f, f = ABf, f BAf, f = Bf, Af Af, Bf = 2ı Im Bf, Af. Innen a Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-egyenlőtlenség szerint következik. f 2 2 = [A, B]f, f = 2 Im Bf, Af 2 Bf, Af 2 Af 2 Bf 2 Mikor van a most kapott [A, B]f, f 2 Af 2 Bf 2 egyenlőtlenségben egyenlőség? Ehhez nyilván szükséges és elégséges, hogy egyrészt Bf, Af = Im Bf, Af, azaz Re Bf, Af =, ill. Bf, Af = Af 2 Bf 2, azaz valamilyen λ C számmal Bf = λaf legyen. Következésképpen λ tiszta imaginárius szám, tehát λ = ıc, ahol c R. Mindez tehát a következőt jelenti: f (x) = cxf(x) (x R). A most kapott differenciálegyenlet megoldásai: f(x) = αe cx2 /2 (x, α R). Mivel f L 2, ezért c <. Számítsuk ki az Af 2, Bf 2 normákat: + Af 2 = x 2 f(x) 2 dx. A Plancherel-tétel, ill. az f (x) = ıx ˆf(x) (x R) azonosság szerint Bf 2 = f 2 = 2π f 2 = 2π + x 2 ˆf(x) 2 dx. A fentieket összefoglalva kapjuk az alábbi határozatlansági reláció néven ismert egyenlőtlenséget (vagy más néven a Heisenberg-Pauli-Weyl-egyenlőtlenséget):

113 Határozatlansági relációk π f(x) 2 dx x 2 2 f(x) 2 dx x 2 ˆf(x) 2 dx, ahol az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha α R és > c R paraméterekkel f(x) = αe cx2 /2 (x R) Megjegyzések. i) A HPW-egyenlőtlenségből az elemi 2ab a 2 +b 2 (a, b R) összefüggés alapján az a := Af 2, b := Bf 2 választással azt kapjuk, hogy + x 2 f(x) 2 dx + + f (x) 2 dx + f(x) 2 dx. Itt egyenlőség pontosan akkor van, ha a = b és a HPW-ben is egyenlőség van: Bf = ıcaf (c R) = Bf 2 = c Af 2 = Af 2, azaz c =. Ezért Bf = ±ıaf, amiből f(x) = αe x2 /2 (x, α R) következik. ii) Az előbb mondottak értelemszerű módosításával kapjuk a határozatlansági reláció alábbi kiterjesztését: tetszőleges a, b R esetén π f(x) 2 dx (x a) 2 2 f(x) 2 dx (x b) 2 ˆf(x) 2 dx. Legyen itt f olyan, hogy f 2 = és g, h := + g(x)h(x) f(x) 2 dx (g, h D), ill. g := g, g = + g(x) 2 f(x) 2 dx. Ekkor bármely a R esetén az f a (x) := a (x R) függvényre f a = a f 2 = a, ill. f D miatt ϕ < +, ahol ϕ(x) := x (x R). Mivel az {f a : a R} altér nyilván véges dimenziós, ezért van olyan c R, amellyel

114 5.5. Határozatlansági relációk 3 Továbbá bármely a R esetén ϕ f c = min{ ϕ f a : a R} =: f. azaz = ϕ f c, f a = + + (x c)a f(x) 2 dx = a x f(x) 2 dx ac, c = + x f(x) 2 dx. Ugyanígy kapjuk (a Plancherel-tételt is figyelembe véve), hogy a konstanssal + c := (2π) x ˆf(x) 2 dx { } + + δ f := min (x b) 2 ˆf(x) 2 dx : b R = (x c) 2 ˆf(x) 2 dx. Következésképpen a határozatlansági reláció fent megfogalmazott általánosítását figyelembe véve azt mondhatjuk, hogy f δ f π 2. iii) Legyen ε, T R n (Lebesgue-)mérhető és nevezzük az f L 2 függvényt a T halmazon ε-koncentráltnak, ha R n \T f(x) 2 dx ε f 2. Világos, hogy ε = esetén f(x) = (m.m. x R n \T). A most bevezetett fogalommal igaz az alábbi, határozatlansági reláció-szerű állítás: tegyük fel, hogy T, S R n mérhetők, ε, δ és f L 2 olyan, a T halmazon ε-koncentrált függvény, amelyre ˆf az S halmazon δ-koncentrált. Ekkor

115 Határozatlansági relációk T S ε δ (ahol T := µ(t), S := µ(s) a szóban forgó halmazok (Lebesgue-)mértékét jelöli). Nyilván feltehető ui., hogy T, S < +. Jelöljük ekkor P-vel, ill. ˆP-vel az alábbi operátorokat: Ph := χ T h, ˆPh(x) := (2π) n χs ĥ( x) (h L 2, x R n ). (Emlékeztetünk arra, hogy a L 2 h ĥ L2 Fourier-transzformáció inverze a L 2 h (2π) n H L 2 leképezés, ahol H(x) := ĥ( x) (x Rn ).) Ha L T := {h L 2 : supp h T }, akkor P : L 2 L T nyilván lineáris, P 2 = P és h Ph, g = (h L 2, g L T ), azaz P ortogonális projekció L T -re. Hasonlóan, ha ˆL S := {h L 2 : supp ĥ S}, akkor (ld. Plancherel-tétel) ˆP : L 2 ˆL S ortogonális projekció ˆL S -re. Ezekkel a jelölésekkel az f-re tett feltételek (részben a Plancherel-tételt is figyelembe véve) nyilván így fogalmazhatók: f Pf 2 ε f 2, f ˆPf 2 = ˆf ˆPf 2 (2π) n = ˆf χ S ˆf 2 (2π) n δ ˆf 2 (2π) n = δ f 2. Mivel a ˆP projekció (operátor-)normája legfeljebb egy: ˆP, ezért f ˆPPf 2 = f ˆPf + ˆPf ˆPPf 2 = f ˆPf 2 + ˆP(f Pf) 2 f ˆPf 2 + f Pf 2 (ε + δ) f 2. Innen egyszerűen következik, hogy ˆPPf 2 f 2 f ˆPPf 2 ( ε δ) f 2.

116 5.5. Határozatlansági relációk 5 Ugyanakkor nem nehéz ellenőrizni, hogy a ˆPP-t generáló K : R n R n C magfüggvényre K(x, t) 2 dx dt = T S, ami a feltételek miatt véges. Ezért T S egyúttal a ˆPP operátor ˆPP hs ún. Hilbert-Schmidt-normája is. Tehát bármely L 2 -beli ortonormált (e k, k Z) bázis esetén ( /2 ˆPP hs = ˆPPe k 2) 2 = T S. k Z Könnyen belátható, hogy ˆPP ˆPP hs : ui. bármely g = k Z α ke k L 2 esetén ˆPPg 2 α k ˆPPe k 2 k Z ( ) /2 ( /2 α k 2 ˆPPe k 2) 2 = k Z k Z ˆPP hs g 2. Következésképpen ( ε δ) f 2 ˆPPf 2 ˆPP f 2 ˆPP hs f 2 = T S f 2. iv) Tegyük fel, hogy valamely f L 2 függvény esetén a T, S R n halmazok a következők: T := {f } := {x R n : f(x) }, S := { ˆf } := {x R n : ˆf(x) }. Ekkor vagy f = vagy pedig T S. Ui. f a T halmazon, ˆf pedig az S halmazon -koncentrált, azaz f mellett alkalmazható a iii)-beli határozatlansági reláció az ε := δ := választással. Ha tehát T S <, akkor f =. v) A fentiek mintegy ellenpontjaként mutassuk meg, hogy ha a iv)-beli f függvényről azt tesszük fel, hogy f L, akkor T S < + esetén f = (Benedicks (985)). Ti. esetleg f-et alkalmas a > mellett az f(x) := f(ax) (x R n ) függvényre cserélve supp f a suppf miatt feltehető, hogy T < (2π) n. Ekkor

117 Határozatlansági relációk χ T (x + 2kπ) dx = [,2π] n k Z n [,] n χ S (y + k) dy = k Z n χ T dµ = T < (2π) n, χ S dµ = S < +. Ezért k Z χ n T (x + 2kπ) < + (m.m. x [, 2π] n ), k Z χ n S (y + k) < + (m.m. y [, ] n ). Következésképpen m.m. y [, ] n esetén y+k S, azaz, hogy ˆf(y + k) legfeljebb véges sok Z n k-ra lehet igaz. Továbbá, ha valamilyen mérhető A [, 2π] n halmazra minden x A esetén legalább egy Z n j-re x + 2jπ T, akkor k Z χ n T (x + 2kπ). Ezért A [,2π] n k Z n χ T (x + 2kπ) dx = T < (2π) n. Világos, hogy ez nem teljesülhet akkor, ha A > T. Van tehát olyan A [, 2π] n, A > halmaz, hogy x + 2kπ / T, azaz f(x + 2kπ) = (x A, k Z n ). A Poisson-formulával (ld vii) megjegyzés) kapcsolatban mondottakkal analóg módon kapjuk, hogy m.m. y [, ] n vektorra ϕ y (t) := f(t+2πj)e ı y,t+2πj = ˆf(j +y)e ı j,t (2π) n j Z n j Z n (t [, 2π] n ). Mivel itt a jobb oldal m.m. y [, ] n esetén egy véges sok tagú összeg, ezért minden ilyen y-ra ϕ y egy trigonometrikus polinom, amelyre ϕ y (x) = (x A). Ez A > miatt csak úgy lehetséges, hogy ϕ y. Innen ˆf(j + y) = (m.m. y [, ] n, j Z n ). Ezért ˆf =, azaz f =. vi) Az v) megjegyzés alapján a iv)-beli utolsó konklúziót az alábbiak szerint erősíthetjük : ha p 2, f Lp és T S < +, akkor f =. Ti. T = esetén mindez triviális, ha viszont < T < +, akkor (az /p + /q = egyenlőségnek megfelelő 2 q < + kitevővel ) a Hölder-egyenlőtlenség alapján f(x) dx = f(x) χ T (x) dx f p T /q < +. Ezért f L (és ˆf ugyanazt jelenti L p -értelemben, mint L -értelemben).

118 5.5. Határozatlansági relációk 7 vii) Az előbbi megjegyzésben szereplő eredménynek egy korábbi, a funkcionálanalízis eszköztárával való kezelése a következő (Amrein-Berthier (977)). Legyen a továbbiakban A, B R n egy-egy (Lebesgue-)mérhető halmaz és tekintsük az alábbi P A, P B : L 2 L 2 leképezéseket: P A f := fχ A, PB f := ˆfχ B (f L 2 ). Megjegyezzük, hogy f L 2 esetén nyilván ˆfχ B L 2, azaz más szóval P B f = F( ˆfχ B ), ahol F az L 2 L 2 Fourier-transzformáció inverze: Fh(x) := (2π) n ĥ( x) (x R n ). Könnyű meggondolni, hogy P A és P B képtere (X A, ill. X B ) zárt altér, ill. P A : L 2 X A, P B : L 2 X B ortogonális projekciók. Jelöljük P A P B -vel a P A P B : L 2 X A X B ortogonális projekciót. Ekkor igaz a következő (nem triviális) egyenlőség: A < +, B < + esetén P A P B =. Ha már most p 2 és az f L p függvényre a vi)-beli feltételek teljesülnek (feltehető, hogy < T, S < + ), akkor már láttuk, hogy egyúttal f L, amiből ˆf L adódik. Ezért bármely r < + mellett ˆf(x) r dx = ˆf(x) r χ S (x) dx S ˆf r < +, így ˆf L r is teljesül. Speciálisan ˆf L 2. Következésképpen f = F ˆf, azaz f L 2. Tehát f X T, ill. ˆf = ˆfχS miatt f = F ˆf = F( ˆfχ S ) = P S f, emiatt pedig f X S. Mindez azt jelenti, hogy f X T X S, ezért P T P S = alapján f = (P T P S )f =. viii) A most tárgyalt Amrein-Berthier-féle megközelítés már korábban ismert volt (Matolcsi-Szűcs (973)) azzal a kiegészítő feltétellel, hogy a szóban forgó T = {f }, S = { ˆf } halmazokra S T < (2π) n. Ebben az esetben a P T P S = következtetés lényegesen egyszerűbb. Ui. T >, S > feltehető, ill. bármely g L 2 függvényre T < + miatt

119 Határozatlansági relációk P T g = T g(z) dz g(z) 2 dz T < +, azaz P T g L. Ezt felhasználva azt mondhatjuk, hogy P S P T g = F ( PT gχ S ) (2π) n P T gχ S (2π) n P T g χ S = (2π) n P T g S, ahol P T g P T g. Következésképpen Világos, hogy P S P T g (P S P T ) 2 g S (2π) P Tg n = S g(t) dt. (2π) n T S (2π) n T P SP T g S (2π) n (P S P T g)(t) dt T S 2 (2π) 2n T P Tg. Teljes indukcióval tehát egyszerűen adódnak az alábbiak: (P S P T ) N g S N T N (2π) Nn P T g = ( S T (2π) n ) N P Tg T ( N N). Ha az előbbi becslésben g X T X S, akkor P S P T g = P S g = g, így (P S P T ) N g = g ( N N). Az S T < (2π) n feltételt figyelembe véve ( ) N S T g = (P S P T ) N g (2π) n P Tg T (N ), azaz g =. Következésképpen g =, ezért P S P T =.

120 6.. A Gábor-transzformált értelmezése 9 6. Gábor-transzformáció 6.. A Gábor-transzformált értelmezése. Legyen g : R n C adott (ablak-)függvény (amelyet a továbbiakban rögzítünk) és legyen D g := {f : R n C : ft x g L (x R n )}. A Hölder-egyenlőtlenség alapján nyilvánvaló, hogy pl. g L q esetén L p D g, hacsak p, q +, /p + /q =. Így pl. L2 D g minden L 2 g-re. Különösen fontos a g L L eset, amikor könnyen láthatóan egyúttal minden < p < kitevőre g L p is teljesül. Valóban, g p p = χ G (x) g(x) p dx + ( χ G (x)) g(x) p dx χ G (x) g(x) dx + g p ( χ G (x)) g(x) dx ( + g p ) g < +. Ezért ekkor az előbb mondottak szerint tetszőleges p + választással L p D g. Ha tehát g ablakfüggvény, f D g és x, y R n, akkor definiáljuk V g f(x, y)-t a következőképpen: V g f(x, y) := f(t)g(t + x)e ı t,y dt. Világos, hogy V g f(x, y) = f, M y T x g = (f T x g) (y). Mivel f(t)g(t + x)e ı t,y dt = f(z x)g(z)e ı z x,y dz = e ı x,y f(z x)g(z)e ı z,y dz, ezért V g f(x, y) = e ı x,y (g T x f) (y).

121 2 6.. A Gábor-transzformált értelmezése Nyilván V g f(x, y) = f(t)g(x + t)e ı t,y dt = g(z)f(z x)e ı z x,y dz, azaz V g f(x, y) = e ı x,y V f g( x, y) (x, y R n ). Ha g, akkor V g f(x, y) = ˆf(y) (x, y R n ). A V g f : R 2n C leképezést az f függvény rövid idejű (vagy ablakos) Fourier-transzformáltjának nevezzük (angolul STFT: short-time Fourier transform). Gábor Dénes (946) vizsgálatai nyomán használatos még a Gábor-transzformált elnevezés is. Ha pl. n =, δ > és supp g [ δ, δ], akkor V g f(x, y) = Speciálisan g := χ [ δ,δ] esetén x+δ x δ f(t)g(t + x)e ı t,y dt. V g f(x, y) = x+δ x δ f(t)e ı t,y dt, így pl. ekkor V g f(, y) = f δ (y) (ld. 4.. ii) megjegyzés). Világos, hogy a V g operátor lineáris. Belátható, hogy f, g L 2 esetén V g f egyenletesen korlátos, ui. a Cauchy- Bunyakovszkij-egyenlőtlenség alapján V g f(x, y) f 2 M y T x g 2 = f 2 g 2 (x, y R n ), ill. egyenletesen folytonos, ti. bármely x, y, u, v R n mellett V g f(x, y) V g f(u, v) f(t) g(t + x)e ı t,y g(t + u)e ı t,v dt = f(t) g(t + x)e ı t,v y g(t + u) dt = f(t) g(t + x) g(t + u) dt + f(t) e ı t,v y g(t + u) dt =: A(x, u) + B(u, v, y). A Cauchy-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség, ill. a transzláció folytonossága szerint

122 6.. A Gábor-transzformált értelmezése 2 Továbbá bármely r > esetén A(x, y) f 2 T x g T u g 2 (x u ). B(u, v, y) 2 f(t) g(t + u) sin( t, v y /2) χ Gr (t) dt + 2 f(t) g(t + u) ( χ Gr (t)) dt f(t) g(t + u) t, v y χ Gr (t) dt + 2 f(t) g(t + u) ( χ Gr (t)) dt r v y 2 f 2 g g 2 f( χ Gr ) 2. Mivel f( χ Gr ) 2 (r + ), ezért tetszőleges ε > mellett van olyan r >, amellyel 2 g 2 f( χ Gr ) 2 < ε. Ekkor alkalmas δ > választással r v y f 2 g 2 < ε is igaz, hacsak v y < δ. Az előbbiek szerint az is feltehető, hogy x u < δ esetén A(x, u) < ε is fennáll, azaz V g f(x, y) V g f(u, v) < 3ε ( x u, v y < δ) Megjegyzések. i) Mutassuk meg, hogy f, g L 2 esetén azaz V g f(x, y) = (2π) n e ı x,y Vĝ ˆf( y, x) (x, y R n ), f(t)g(t + x)e ı t,y dt = e ı x,y (2π) n ˆf(t)ĝ(t y)e ı t,x dt. Valóban, a Plancherel-tételt felhasználva V g f(x, y) = (2π) n ˆf, (M y T x g) = (2π) n ˆf, T y M x ĝ =

123 A Gábor-transzformált értelmezése (2π) n ˆf(t)T y M x ĝ(t)dt = (2π) n ˆf(t)ĝ(t y)e ı x,t y dt = e ı x,y (2π) n ˆf(t)ĝ(t y)e ı x,t dt = e ı x,y (2π) n V ĝ ˆf( y, x). ii) Jelöljük valamely p + mellett L p -vel az R 2n -en értelmezett (valós vagy komplex értékű) függvények alkotta szokásos Lebesgue-tereket. Ekkor az előbbiekben értelmezett rövid idejű Fourier-transzformációról a következőt mondhatjuk: V g f L 2 (f, g L 2 ). Sőt, bármely f j, g j L 2 (j =, 2) esetén fennáll a következő ún. ortogonalitási reláció (vagy más néven Moyal-formula): V g f (x, y)v g2 f 2 (x, y)dx dy = (2π) n f, f 2 g, g 2. Mivel L L mindenütt sűrű L 2 -ben, ezért a szokásos funkcionálanalízisbeli sűrűségi technikák alapján elegendő a most mondottakat abban az esetben meggondolni, amikor g j L L (j =, 2). Így ekkor f j T x g j L 2 (j =, 2), ezért a Plancherel-tétel miatt ( V g f (x, y)v g2 f 2 (x, y)dx dy = ) (f T x g ) (y)(f 2 T x g 2 ) (y)dy dx = (2π) n ( ) f (t)f 2 (t)g (t + x)g 2 (t + x) dt dx. Mivel itt f f 2, g g 2 L, ezért ismét a szukcesszív integrálásról szóló Fubinitételt (és a Lebesgue-integrál eltolás-invarianciáját) alkalmazva azt mondhatjuk, hogy V g f (x, y)v g2 f 2 (x, y)dx dy = (2π) n ( f (t)f 2 (t) ) g (t + x)g 2 (t + x) dx dt = (2π) n f, f 2 g, g 2. Speciálisan V g f L 2 = V g f(x, y) 2 dx dy = (2π) n/2 f 2 g 2.

124 6.. A Gábor-transzformált értelmezése 23 Ha itt g 2 = (2π) n/2, akkor V g f L 2 = f 2, azaz a rövid idejű Fourier-transzformáció V g : L 2 L 2 normatartó leképezés. iii) Az előző megjegyzésben kapott L 2 -korlátosság kiterjeszthető az alábbiak szerint: legyen 2 p < +. Ekkor megadható olyan C p > konstans, hogy tetszőleges f, g L 2 függvényekre V g f L p C p f 2 g 2. Legyen ui. < q 2 a p-hez konjugált kitevő, azaz /p + /q =. A Cauchy- Bunyakovszkij-egyenlőtlenség miatt bármely R n x mellett f T x g L. Tudjuk (ld. ii)), hogy V g f L 2, ezért V g f(x, y) = (f T x g) (y) (x, y R n ) és a szukcesszív integrálásra vonatkozó Fubini-tétel szerint (f T x g) L 2 teljesül m.m. R n x-re. Ez azt jelenti egyúttal, hogy f T x g L L 2 is igaz m.m. R n x-re, azaz f T x g L q (m.m. x R n ). A Hausdorff-Young-egyenlőtlenség (ld. 4.. iii) megjegyzés) alapján (esetleg sorról-sorra változó, csak p-től és n-től függő C p > konstanssal) V g f(x, y) p dy = (f T x g) (y) p dy C p ( ) p/q ( f T x g(y) q dy = C p f(y) q g(x + y) q dy) p/q = C p ( f q g q ( x)) p/q, ahol g (t) := g( t) (t R n ). Mindezek alapján ( ( V g f L p = ) /p V g f(x, y) p dy dx) C p ( ) /p ( f q g q (x)) p/q dx = C p f q g q /q p/q. Világos, hogy itt f q, g q L 2/q. Ezért alkalmazható a konvolúcióval kapcsolatos Young-egyenlőtlenség (ld..) (az ott szereplő (p, q, r) hármas helyébe a (2/q, 2/q, p/q)-t írva): f q g q p/q C p f q 2/q g q 2/q.

125 Gábor-inverzió Mivel f q 2/q = f q 2, g q 2/q = g q 2, ezért V g f L p C p ( f q 2 g q 2 )/q = C p f 2 g 2. (Ha figyelembe vesszük a fent idézett Hausdorff-Young-egyenlőtlenséggel, ill. a Young-egyenlőtlenséggel kapcsolatos (ottani) Babenko-Beckner-konstans jelentését, akkor belátható, hogy az előbbi C p helyébe (4π/p) n/p írható.) iv) Az is megmutatható, hogy p 2, f, g L 2 esetén V g L p ( ) n/p 4π f 2 g 2. p v) Adott g L 2 mellett a V g : L 2 L 2 operátor injektivitása (a linearitása miatt) azzal ekvivalens, hogy a (L 2 ) V g f = egyenlőség pontosan az (L 2 ) f = esetben áll fenn. Tehát akkor, ha igaz az alábbi következtetés: f, M y T x g = (m.m. x, y R n ) = f(t) = (m.m. t R n ). Ez más szóval azt jelenti, hogy az L ({M y T x g : x, y R n }) altér mindenütt sűrű L 2 -ben. Mivel f T x g L, ezért a Fourier-transzformáció injektivitása alapján a V g f(x, y) = (f T x g) (y) = (m.m. x, y R n ) feltételből (f T x g)(t) = f(t)g(x + t) = (m.m. x, t R n ) következik. Ha tehát (L 2 )g, akkor innen f(t) = (m.m. t R n ) már adódik. Ha még R Vg = L 2 is igaz, akkor mondhatjuk, hogy tetszőleges g 2 = (2π) n/2 esetén V g : L 2 L 2 izometria. Mindez benne van a következő inverziós formulában Gábor-inverzió. Legyen F L 2, h L 2. Ekkor minden x, y R n esetén F(x, y)m y T x h L 2, azaz van értelme az F(x, y)m y T x h, γ = F(x, y)v h γ(x, y) skaláris szorzatnak bármely γ L 2 mellett. Mivel V h γ L 2, így F V h γ L, ezért valamennyi most mondott γ-ra létezik az

126 6.2. Gábor-inverzió 25 F(x, y)m y T x h, γ dx dy = F(x, y)v h γ(x, y)dx dy kettős integrál. Világos, hogy ekkor a L 2 γ l(γ) := F(x, y)m y T x h, γ dx dy leképezés (konjugált) lineáris. Korlátos is, ui. (ld. ii)) F(x, y)m y T x h, γ dx dy F L 2 V hγ L 2 = (2π) n/2 F L 2 h 2 γ 2. Tehát l ( L 2), ezért a Riesz-féle reprezentációs tétel szerint egyértelműen van olyan f L 2 függvény, amellyel l(γ) = f, γ (γ L 2 ). Jelentse az F(x, y)m y T x h dx dy := f integrál ezt az f L2 függvényt. Kövkezéséppen f, γ = F(x, y) M y T x h, γ dx dy (γ L 2 ). Megjegyezzük, hogy a most mondottak mögött az alábbi általánosabb érvényű meggondolás húzódik meg. Tegyük fel, hogy adott az (X,. ) Banach-tér és a G : R n X leképezés. Ekkor az G(x) dx integrál jelentse azt a Φ : X C (nyilván lineáris) funkcionált, amellyel Φ(f) = f(g(x)) dx (f X ) teljesül (feltételezve az itt szereplő utóbbi integrál(ok) létezését). Ha Φ korlátos is, azaz valamilyen C-vel Φ(f) C f X (f X ), akkor Φ X. Ha még ráadásul az X tér reflexív: X X, akkor a Φ = G(x) dx integrál tekinthető X-beli elemnek. Ez a helyzet pl. akkor, ha (X,. ) = (L 2,. 2 ). Minden készen áll ahhoz, hogy megfogalmazzunk egy, a rövid idejű Fourier-transzformációra vonatkozó inverziós formulát. Legyen ehhez g, h L 2, g, h. Ekkor tetszőleges f L 2 függvényre (mint (L 2 ) -beli funkcionálra)

127 Gábor-inverzió f = (2π) n h, g V g f(x, y)m y T x h dx dy. Mivel a ii) megjegyzés szerint V g f L 2, ezért (ld. 6.2.) létezik az F := (2π) n h, g V g f(x, y)m y T x h dx dy integrál. Azt kell tehát belátnunk, hogy F(γ) = f(γ) = f, γ megjegyzésbeli ortogonalitási reláció alapján viszont F(γ) = (2π) n h, g (2π) n h, g V g f(x, y) M y T x h, γ dx dy = V g f(x, y)v h γ(x, y)dx dy = f, γ. (γ L 2 ). A 6... ii) Megjegyzések. i) Legyen K N R 2n (N N) kompakt halmazoknak olyan monoton növő (azaz K N K N+ (N N)) sorozata, amely kitölti R 2n -et: R 2n = N= K N. Ekkor a 6.2. pontbeli szereplőkkel definiált f N = (2π) n h, g χ KN (x, y)v g f(x, y)m y T x h dx dy (N N) sorozatra teljesül, hogy f N f 2 (N ). Ui. bármely γ L 2 függvényre f N (γ) = f N, γ = (2π) n h, g χ KN (x, y)v g f(x, y)v h γ(x, y)dx dy (2π) n h, g V gf L 2 V h γ L 2 = g 2 f 2 h 2 γ 2 h, g (N N). Ezért minden N N-re f N L 2 és Hasonlóan kapjuk, hogy f f N L 2 és f N, γ g 2 f 2 h 2 γ 2. h, g

128 6.2. Gábor-inverzió 27 f f N, γ = (2π) n g, h ( χ KN (x, y))v g f(x, y)v h γ(x, y)dx dy ( γ 2 h 2 (2π) n/2 g, h ( χ KN (x, y)) V g f(x, y) 2 dx dy) /2. Innen ( h 2 (2π) n/2 g, h f f N 2 = sup f f N, γ γ 2 ( χ KN (x, y)) V g f(x, y) 2 dx dy) /2. Mivel V g f L 2, ezért a (K N ) sorozatra vonatkozó feltétel miatt ( χ KN (x, y)) V g f(x, y) 2 dx dy (N ). ii) Legyen L := { ˆf : f L } és tegyük fel, hogy u N L L (N N) egységapproximáció. Tehát sup N u N < +, u N (x, y) dx dy = (N N) és bármely δ > esetén ( χ Gδ (t))u N (t) dt (N ). Tekintsük valamely g, h L L, p < + és F L p esetén az alábbi sorozatot: F N = (2π) n h, g V g F(x, y)m y T x hû N (y) dy dx (N N). Ekkor belátható, hogy F N F p (N ). iii) A fentiekben azt vizsgáltuk, hogy hogyan lehet a Gábor-transzformáltból előállítani a kiindulási függvényt. A továbbiakban is hasonló jellegű inverziós formulával foglalkozunk. Tegyük fel ehhez, hogy a 6.2. pontban belátott inverziós formulában V g f L is igaz. Ekkor ( ) f(t) = (2π) n h, g V g f(x, y)e ı y,t h(t + x) dx dy (m.m. t R n ). Valóban, legyen γ L 2 és F(x, y, t) := V g f(x, y)e ı y,t h(t+x)γ(t) (x, y, t R n ). Világos (ld. Tonelli-tétel), hogy

129 Gábor-inverzió F(x, y, t) dx dydt = V g f(x, y) h(t + x)γ(t) dx dydt = ( V g f(x, y) ) h(t + x) γ(t) dt dx dy V g f(x, y) T x h 2 γ 2 dx dy = h 2 γ 2 V g f < +, azaz F L (R n R n R n ). Így a Fubini-tétel miatt f(t)γ(t)dt = (2π) n h, g ( (2π) n h, g ( V g f(x, y) ) e ı y,t h(t + x)γ(t)dt dx dy = ) V g f(x, y)e ı y,t h(t + x) dx dy γ(t) dt, amiből ( ) már nyilván következik. iv) Az előbb belátott iii)-beli ( ) formula így is írható (csak a h = g esetre fogalmazva meg): ( ) f(t) = (2π) n g 2 2 (V g f(x, )) ( t)g(t + x) dx (m.m. t R n ). Mutassuk meg ugyanezt a V g f L feltétel nélkül a g L L 2, f L 2 esetben is. Ha ui. F x (t) := V g f(x, t) (t R n ), akkor F x (t) = (f T x g) (t) (t R n ) és f T x g L 2 miatt (ld. Plancherel-tétel) F x L 2. Ezért a Fouriertranszformáció L 2 -beli inverziós formulája alapján Más szóval (f T x g)(t) = f(t)g(x + t) = (2π) n F x ( t) (m.m. t R n ). f(t) = g 2 2 f(t)g(x + t)g(x + t) dx = (2π) n g 2 2 F x ( t)g(x + t) dx (m.m. t R n ).

130 6.2. Gábor-inverzió 29 Figyelembe véve F x jelentését azt mondhatjuk tehát, hogy f(t) = (2π) n g 2 2 (V g f(x, )) ( t)g(x + t) dx (m.m. t R n ). v) Lássuk be, hogy az előző megjegyzésbeli ( ) inverziós képlet akkor is érvényben marad, ha g L L és f, ˆf, ĝ L. Ekkor (T x g, (T x g) L (x R n )-et is figyelembe véve) az L -Fourier-transzformáció inverziós formulája szerint f = (2π) n F ˆf, T x g = (2π) n F T x g. A konvolúció és a Fourier-transzformáció kapcsolatára vonatkozó szorzási szabályt is felhasználva azt írhatjuk tehát, hogy f T x g = (2π) 2n F ˆf F T x g = ( ) (2π) F ˆf 2n Tx g, ahol ˆf, T x g L miatt ˆf T x g L. Ugyanakkor f T x g L, így ismét az előbb említett inverziós előállítást (most ˆf T x g-ra) alkalmazva az utolsó egyenlőségből azt kapjuk, hogy ˆf T x g = ( ) (2π) n F ˆf Tx g = (2π) 2n F(f T x g). Következésképpen F(f T x g) L, azaz (f T x g) L. A már többször alkalmazott inverziós formula szerint így azaz m.m. t R n esetén (ld. iv)) ft x g = (2π) n F (f T xg), f(t)g(x + t) = (2π) n (f T x g) (z)e ı z,t dz = (2π) n F x ( t). Ez utóbbi egyenlőségből kaptuk a iv)-beli inverziós képletet. vi) Könnyen kaphatunk egyfajta határozatlansági relációt a rövid idejű Fouriertranszformáltra is. Tegyük fel ehhez, hogy f, g L 2, C f,g := ( f 2 g 2 ) 2 > és az U R 2n halmazra valamely ε mellett

131 Gábor-inverzió U V g f(x, y) 2 dx dy (2π) n C f,g ε. (Emlékeztetünk arra (ld ii) megjegyzés), hogy U V g f(x, y) 2 dx dy V g f 2 L 2 = (2π)n ( f 2 g 2 ) 2 = (2π) n C f,g.) Ekkor U (2π) n ε (ahol most U az U halmaz R 2n -beli Lebesgue-mértékét jelenti). Valóban, a fentebb már említett V g f(x, y) f 2 g 2 (x, y R n ) becslés miatt (2π) n C f,g ε U V g f(x, y) 2 dx dy V g f 2 U C f,g U. vii) Az előbbiekben megfogalmazott határozatlansági reláció jelentősen kiterjeszthető: a vi)-beli szereplőkkel (és az ottani feltételek mellett) ui. minden p > 2 esetén igaz, hogy Speciálisan (p := 4) azt kapjuk, hogy ( U (2π) n ε p/(p 2) p ) 2n/(p 2). 2 U (2π) n sup p>2 ( ε p/(p 2) p ) 2n/(p 2) (4π) n ε 2. 2 Ui. a Hölder-egyenlőtlenséget a q := p/2 kitevővel alkalmazva (amikor a konjugált kitevő p/(p 2)) azt írhatjuk (ld iii) megjegyzés és vi)), hogy (2π) n C f,g ε U V g f(x, y) 2 dx dy ( 2/p ( V g f(x, y) p dx dy) χ U (x, y) p/(p 2) dx dy) (p 2)/p ( ) 2n/p 4π ( f 2 g 2 ) 2 U (p 2)/p = p ( ) 2n/p 4π C f,g U (p 2)/p. p Innen bármely p > 2 mellett az állításunk már nyilván következik.

132 6.2. Gábor-inverzió 3 viii) Ha vii)-ben (ill. vi)-ban) akkor U := {V g f } := {(x, y) R 2n : V g f(x, y) }, U V g f(x, y) 2 dx dy = V g f 2 L 2 = (2π)n C f,g, azaz teljesül a vi)-beli feltétel ε := -re. Következésképpen vii) szerint bármely p > 2 mellett U (2π) n ( p ) 2n/(p 2) (2πe) n 2 (p 2). Tehát {V g f } (2πe) n. ix) Legyen f L 2, u, v R n és f u,v := M v T u f, azaz f u,v (t) := e ı t,v f(t + u) (t R n ). Ekkor tetszőleges L 2 g-re V fu,v g u,v (x, y) = e ı t,v g(t + u)e ı x+t,v f(t + x + u)e ı t,y dt = e ı x,v g(t + u)f(t + x + u)e ı t,y dt = e ı x,v g(z)f(z + x)e ı z u,y dz = e ı( x,v + y,u ) V f g(x, y) = e ı( x,v + y,u ) e ı x,y V g f( x, y) (x, y R n ). Következésképpen V fu,v g u,v (x, y) = e ı( x,v + y,u ) e ı x,y V g f( x, y) (x, y R n ). Ha itt g helyett g a, b -t írunk valamilyen a, b R n esetén, akkor V ga, b f( x, y) = f(t)g a, b (t x)e ı t,y dt = f(t)e ı t x,b g(t x + a)e ı t,y dt = e ı x,b V g f(a x, b y)

133 Gábor-inverzió miatt V fu,v (g a, b ) u,v (x, y) = e ı( x,v + y,u ) e ı x,y+b V g f(a x, b y) (x, y R n ). A Moyal-formula (ld ii) megjegyzés) szerint így e ı x,y+b V g f(x, y)v g f(a x, b y)e ı( x,v + y,u ) dx dy = V g f(x, y)v fu,v (g a, b ) u,v (x, y)dx dy = (2π) n f, (g a, b ) u,v f u,v, g. Kiszámítva a jobb oldalt azt kapjuk, hogy f, g u,v = f(t)e ı t,v g(t + u)dt = V g f(u, v), azaz f, (g a, b ) u,v = V ga, b f(u, v) = f(t)g a, b (t + u)e ı t,v dt = f(t)e ı t+u,b g(t + u + a)e ı t,v dt = e ı u,b V g f(u + a, b v), ill. f u,v, g = f(t + u)e ı t,v g(t)dt = f(z)e ı z u,v g(z u) dt = e ı u,v V g f( u, v). A fentieket összefoglalva oda jutunk, hogy e ı x,y+b V g f(x, y)v g f(a x, b y)e ı( x,v + y,u ) dx dy = (2π) n e ı u,b v V g f(u + a, b v)v g f( u, v).

134 6.2. Gábor-inverzió 33 Itt a bal oldalon az F(x, y) := e ı x,y+b V g f(x, y)v g f(a x, b y) (x, y R n ) definícióval értelmezett F : R n R n C függvény kétváltozós F(v, u) Fouriertranszformáltja szerepel, ezért F(v, u) = (2π) n e ı u,b v V g f(u + a, b v)v g f( u, v) (u, v R n ). Világos, hogy ha {V g f } < +, akkor {F } < + is fennáll, ill. a fenti utolsó egyenlőség szerint { F } < + is igaz. A Benedicks-féle eredmény (ld v) megjegyzés) miatt ezért F(x, y) = (m.m. (x, y) R n R n ), azaz V g f(x, y)v g f(a x, b y) = (m.m. (x, y) R n R n ). Mivel ez az egyenlőség tetszőleges a, b R n mellett igaz, ezért innen V g f(x, y) = (f T x g) (y) = (m.m. (x, y) R n R n ) következik. Így m.m. x R n esetén (f T x g) (y) = (m.m. y R n ), azaz minden ilyen x-re f(y)g(x + y) = (m.m. y R n ). Ha itt f ( L 2 ), akkor valamilyen y R n vektorra f(y ) és m.m. x R n esetén g(x + y ) =. Világos, hogy ez csak akkor lehetséges, ha g = ( L 2 ). x) Beláttuk tehát a következő állítást: ha f, g L 2 és {V g f } véges mértékű, akkor vagy f = vagy pedig g = (Janssen (998)).

135 34 7. Irodalomjegyzék 7. Irodalomjegyzék. [] N. I. Ahijezer, Előadások az approximáció elméletéről, Akadémiai Kiadó, Budapest, 95. [2] W. O. Amrein - A. M. Berthier, On Support Properties of L p -Functions and Their Fourier Transforms, J. Functional Analysis 24 (977), [3] M. Benedicks, On Fourier Transforms of Functions Supported on Sets of Finite Lebesgue Measure, J. Math. Anal. Appl. 6 (985), [4] S. V. Bočkariev, Divergent Fourier series on a set of a positive measure for any bounded orthonormal systems, Mat. Sb. 98(4) (975), [5] S. V. Bočkariev, Logarithmic growth of (C,)-means of Lebesgue functions of bounded orthonormal systems, DAN SSSR, 223() (975), 6-9. [6] J. Duoandikoetxea, Fourier Analysis, AMS, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 29, 2. [7] C. L. Fefferman - E. M. Stein, Some maximal inequalities, Amer. J. Math. 93 (97), 7-5. [8] H. G. Feichtinger - F. Weisz, The Segal algebra S (R d ) and norm summability of Fourier series and Fourier transforms, Monatsh. Math. 48 (26), no. 4, [9] L. Grafakos, Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, New Jersey 7458, 24. [] K. Gröchenig, Foundations of Time-Frequency Analisys, Birkhäuser, Boston-Basel- Berlin, 2. [] B. S. Kasin - A. A. Saakian, Orthogonal series, Nauka, Moscow, 984. [2] T. Matolcsi - J. Szűcs, Intersection des measures spectrales conjugèes, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A 227 (973), [3] A. M. Olevskii, Fourier series with respect to general orthogonal systems, Springer - Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 975. [4] J. A. de Reyna, Pointwise Convergence of Fourier Series, Springer-Verlag Berlin - Heidelberg - New York, Lecture Notes 785, 22. [5] W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Book Company, New York,..., 973. [6 F. Schipp - W. R. Wade, Transforms on normed fields, Leaflets in Math. J. Pannonius University Pécs, 995. [7] F. Schipp - W. R. Wade - P. Simon - J. Pál, Walsh series. An introduction to dyadic harmonic analysis, Akadémiai Kiadó - Adam Hilger, Budapest, Bristol and New York, 99.

136 7. Irodalomjegyzék 35 [8] P. Simon, On a theorem of Zhuk-Natanson, megj. alatt. [9] E. M. Stein - G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, New Jersey, 97. [2] B. Szőkefalvi- Nagy, Sur une classe générale de procédés de sommation pour les séries de Fourier, Hungarica Acta Math. (948), no. 3, [2] A. A. Teljakovskii, Norms of trigonometrical polynomials and approximation of differentiable functions by averages of their Fourier series I, Trudy Mat. Inst. Steklov. 62 (96), [22] R. M. Trigub, A connection between summability and absolute convergence of Fourier series and transforms, Dokl. Akad. Nauk SSSR 27 (974), [23] R. M. Trigub, Integrability of the Fourier transform of a function with compact support, Teor. Funkcii Funkcional. Anal. i Priloen. Vyp. 23 (975), 243. [24] N. Wiener, The Fourier integral and certain of its applications, Cambridge Univ. Press, New York, 933., reprint: Dover Publications, Inc., New York, 959. [25] A. Zygmund, Trigonometric Series, Cambridge, Univ. Press, 959. [26 V. V. Zsuk - G. I. Natanszon, Trigonometric Fourier Series and Elements of the Theory of Approximation, University Press, Leningrad, 983.