Feladatgyűjtemény a Topologikus Szigetelők 1. c. tárgyhoz.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Feladatgyűjtemény a Topologikus Szigetelők 1. c. tárgyhoz."

Átírás

1 Asbóth János, Oroszlány László, Pályi András Feladatgyűjtemény a Topologikus Szigetelők 1. c. tárgyhoz. A kutatás a TÁMOP A/ azonosító számú Nemzeti Kiválóság Program Hazai hallgatói, illetve kutatói személyi támogatást biztosító rendszer kidolgozása és működtetése országos program című kiemelt projekt keretében zajlott. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósul meg.

2 1. fejezet A Su-Schrieffer-Heeger-modell és a királis szimmetria

3 Lokalizált állapotok az SSH modellben Hol van(nak) lokalizált állapot(ok) az alábbi SSH-láncban? t=10 t=1 a) b) c) d)

4 SSH összeillesztve Vegyünk két nyílt végű SSH-láncot. Illesszük őket össze két-két végpontjuknál, hogy egy kört kapjunk. Az összeillesztés miatt a teljes rendszer élállapotainak száma... a) nem változhat b) nőhet c) csökkenhet d) nőhet is, csökkenhet is

5 Három site-os körlánc Melyik ábra lehet az alábbi, három site-os modell spektruma? Onsite potenciálok nincsenek, csak elsőszomszéd hopping. A pontozott vonal az energia nullszintjét jelöli. v v v a) b) c) d) 2 x deg. 3 x deg. E=0

6 Négy site-os kör 1. Melyik ábra lehet az alábbi, négy site-os modell spektruma? Onsite potenciálok nincsenek, csak elsőszomszéd hopping. A pontozott vonal az energia nullszintjét jelöli. v w w v a) b) c) d) E=0 2 x deg.

7 Négy site-os kör 2. Melyik ábra lehet az alábbi, négy site-os modell spektruma? Onsite potenciálok nincsenek, csak elsőszomszéd hopping. A pontozott vonal az energia nullszintjét jelöli. v w v w a) b) c) d) 2 x deg. E=0 2 x deg.

8 Zérus módus és kiralis szimmetria 1. Egy királis szimmetriával rendelkező egydimenziós rendszer 0 energiás sajátállapotai... a) saját maguk királis partnerei. b) sértik a királis szimmetriát. c) mindig páratlan számosságúak. d) saját maguk szimmetria partnerei lehetnek.

9 Zérus módus és kiralis szimmetria 2. Tekintsük az SSH modell nemtriviális fázisának teljesen dimerizált határesetét! Melyik állítás igaz az a 1 + b N állapotra? a) b) c) d) Mivel ez az állapot két energiasajátállapot lineáris kombinációja, ezért véges (nem nulla) az energiája. Mivel ez nulla energiás sajátállapot, ezért önmaga királis partnere. Ez egy olyan nulla energiás sajátállapot, mely önmagának nem királis partnere. Mivel ez egy véges rendszer, ezért az élállapotok ilyen kombinációja mindig pozitív energiájú. b N a 1

10 Komplex hopping 1. Engedjünk meg komplex értékű hoppingokat az SSH modellben! Az így bevezetett komplex fázisok milyen hatással vannak a rendszer topológiai tulajdonságaira? a) Komplex hoppingokat nem lehet fizikailag realizálni, a Hamilton-operátor nem lesz hermitikus b) A komplex hoppingoknak nemtriviális következményei vannak, őket hangolva topológikus fázisátalakulást idézhetünk elő. c) A komplex hoppingok hangolása nem idéz elő topológikus fázisátalakulást. d) Egy dimenzióban a komplex fázisok mindig kitranszformálhatóak egy jól választott mértéktranszformációval.

11 Komplex hopping 2. Engedjünk meg komplex értékű első- és harmadszomszéd hoppingokat az SSH modellben! Az így bevezetett komplex fázisok milyen hatással vannak a rendszer topológiai tulajdonságaira? a) b) c) A válasz ugyanaz, mint az előző feladatban, a harmadszomszéd hopping nem jelent semmi változást. A komplex hoppingoknak nemtriviális következményei vannak, őket hangolva topológikus fázisátalakulást idézhetünk elő. A komplex hoppingok hangolása nem idéz elő topológikus fázisátalakulást. d) Egy dimenzióban a komplex fázisok mindig kitranszformálhatóak egy jól választott mértéktranszformációval.

12 Királis szimmetria és sávszerkezet 1. A képen egy 1-dimenziós rendszer diszperziós relációját láthatod. A diszperziós reláció alapján mit tudsz mondani, van-e a rendszernek királis szimmetriája? E a) van -π π k b) nincs c) nem lehet eldönteni

13 Királis szimmetria és sávszerkezet 2. A képen egy 1-dimenziós rendszer diszperziós relációját láthatod. A diszperziós reláció alapján mit tudsz mondani, van-e a rendszernek királis szimmetriája? E a) van b) nincs -π π k c) nem lehet eldönteni

14 Királis szimmetria és sávszerkezet 3. A képen egy 1-dimenziós rendszer diszperziós relációját láthatod. A diszperziós reláció alapján mit tudsz mondani, van-e a rendszernek királis szimmetriája? E a) van b) nincs -π π k c) nem lehet eldönteni

15 Kváziegydimenziós rendszer 1. Az SSH-modellt kiegészíthetjük még egy sor atommal, ahogy az ábrán látod (3 sor atom, ABA stacking, csak átlós hoppingok). Az onsite energiákat továbbra is 0-nak vesszük, csak hopping van. Van-e ennek a rendszernek királis szimmetriája? a) van (mi az?) b) nincs (miért?) c) nem lehet eldönteni (mitől függ?)

16 Kváziegydimenziós rendszer 2. Az SSH-modellt kiegészíthetjük még egy sor atommal, ahogy az ábrán látod (3 sor atom, ABA stacking, csak átlós hoppingok). Az onsite energiákat továbbra is 0-nak vesszük, csak hopping van. Vázold a rendszer diszperziós relációját, ha a) minden hopping egyenlő b) staggered hopping van (piros és kék)

17 Kváziegydimenziós rendszer 3. Az SSH-modellt kiegészíthetjük még egy sor atommal, ahogy az ábrán látod (3 sor atom, ABA stacking, csak átlós hoppingok). Az onsite energiákat továbbra is 0-nak vesszük, csak hopping van. Láttuk, hogy a kvázi-egydimenziós rendszerünkben lesz egy lapos sáv, 0 energián. Mi ennek a következménye a vezetést illetően? a) A rendszer vezető, mert vannak állapotok 0 energián b) A rendszer szigetelő, mert a 0 energiás sávban a csoportsebesség 0.

18 Háromszínezhető rendszer A királis szimmetria fogalma tetszőleges dimenzióban alkalmazható. Egy kétdimenziós négyzetrácson ugráló részecske pl. királis szimmetriával bír. Mi a helyzet egy háromszögrácson ugráló részecskével? A háromszögrács háromszínezhető, itt van királis szimmetria? Az onsite energiákat továbbra is 0-nak vesszük, csak hopping van. a) Igen (mi a királis szimmetria operátora?) b) Nem (miért nem?)

19 Dice lattice A háromszögrácson bizonyos hoppingok 0-ra állításával visszaállíthatjuk a királis szimmetriát. Az így kapott rács a T3-lattice (dice lattice). Ha csak hopping tagok vannak, onsite potenciálok nem, vannak-e itt garantált 0 energiás állapotok? a) b) c) d) Nem Igen, de csak ha minden hopping azonos (0 energiás lapos sáv) Igen, sőt, staggered hopping esetén is van 0 energiás lapos sáv Igen, tetszőleges hopping amplitúdók mellett egy 3N site-ot tartalmazó rácson N db. 0 energiás állapot

20 2.fejezet A Berry-fázis és az elektromos polarizáció

21 Berry-fázis definiíciója 1. Adott egy háromparaméteres Hamilton-operátor, H(R 1,R 2,R 3 ), és tegyük fel, hogy ennek energiaspektruma semmilyen paraméterértékek esetén nem degenerált. Ekkor az n-ik energiasajátállapot Berry-fázisa egy leképezés... a) a paramétertér zárt görbéinek halmazáról a [0,2π[ intervallumra b) a paramétertér pontjainak halmazáról a valós számok halmazára c) a paramétertér nyílt görbéinek halmazáról a [0,2π[ intervallumra d) a paramétertér nyílt görbéinek halmazáról a valós számok halmazára

22 Berry-fázis definíciója 2. Vegyünk egy folytonos R paraméterrel jellemezhető kvantumrendszert, mely teljesíti a H(R) n(r) =e n (R) n(r) Schrödinger-egyenletet. Mit jellemezhetünk egy adiabatikus fázissal? a) b) c) d) a H(R) Hamilton operátort a paramétertér egy zárt görbéje mentén az e n (R) sajátértékeket a paramétertér egy adott R 0 pontjában egy n(r) állapotvektort a paramétertér egy folytonos görbéje mentén az n(r), m(r) állapotvektorok lineárkombinációját a paramétertér két folytonos görbével összeköthető R 1 és R 2 pontjában

23 Berry-fázis definíciója 3. Adott egy háromparaméteres Hamilton-operátor, H(R 1,R 2,R 3 ), amelynek energiaspektruma a paraméterek megengedett értékeinél nem degenerált. Tekintsük az alapállapotok által alkotott "sávot". Melyik leképezés rendel a paramétertér pontjaihoz 3D vektort? a) A Berry-fázis b) A Berry-konnexió c) A Berry-görbület d) A fentiek közül több is.

24 Berry-fázis, mértékinvariancia Az alábbi mennyiségek közül melyik mértékinvariáns? a) az adiabatikus fázis b) a Berry-konnnexió c) a Berry-görbület

25 Zak-fázis ssh Valós v és w milyen értékei mellett lesz a H(k) Hamilton-operátorral jellemzett rendszer vegyértéksávjának (kisebb energiás sáv) Zak-fázisa nem zérus? a) v>w b) v=w d) v<w d) nem dönthető el

26 Körfolyamat 1. Egy 1-dimenziós potenciált (piros vonal) lassan (adiabatikusan) összenyomunk (kék vonal), majd ugyanúgy kiengedjük az eredeti formájára. V(t+T,x)=V(t,x) V(T/2-t,x)=V(T/2+t,x) Mekkora Berry-fázist kap a legalacsonyabb energiás kötött állapot (pontozott vonal) a körfolyamatban? V a) A kérdés értelmetlen b) 2π x c) 0 d) nem lehet eldönteni

27 Körfolyamat 2. Egy 1-dimenziós potenciált (piros vonal) lassan (adiabatikusan) felemelünk (kék vonal), majd ugyanúgy visszaeresztjük az eredeti formájára. V(t,x)=V(0,x) + V 0 (t) V(T/2-t,x)=V(T/2+t,x) Mekkora Berry-fázist kap a legalacsonyabb energiás kötött állapot (pontozott vonal) a körfolyamatban? V a) b) Mivel a "felemeléssel" a kötött állapot energiája bőven meghaladja az eredeti potenciálgödör mélységét, a részecske kiszabadul a potenciálgödörből 2π x c) d) 0 nem lehet eldönteni

28 3. fejezet A Chern-szám a Berry-fázisból és alkalmazása rácsrendszerekre

29 Chern: Gömb és tórusz Adott az alábbi Hamilton-operátor: h z h y Tekintsük ennek alapállapotát. Melyik gömbön ugyanakkora az alapállapot Chern-száma, mint az ábrázolt tóruszon? h x a) b) c) d) origó középpontú, 1 sugarú (0,0,+1) középpontú, 1 sugarú (+1,+1,0) középpontú, 1 sugarú egyiknek sem, mert a gömb topológiailag nem ekvivalens a tórusszal

30 Chern-szám globális Adott egy kétdimenziós, kétsávos rácsrendszer Hamilton-operátora A vegyértéksáv Chern-számának meghatározásához a h(k) függvényt elég mintavételezni... a) b) az origó, k=0, kis környezetében azon k pontok kis környezetében, amikre c) azon k pontok kis környezetében, amikre d) e) azon k pontok kis környezetében, amikre h z (k)=maximum a Chern-szám globális paraméter, csak a h(k) függvény teljes (teljes Brillouin-zónán) való ismeretében számolható ki.

31 Chern-szám és Brillouin-zóna k y Vegyünk egy kétdimenziós négyzetrácson értelmezett Hamilton-operátort. A négyzet alakú Brillouin-zóna négy sarka A,B,C,D. Ha a Chern-szám nem 0, akkor... A B k x D C a) A Brillouin-zóna belsejében legalább egy k pontban divergál a Berry-görbület. b) A Berry-konnexió integrálja a A-tól B-ig nem ugyanaz, mint D-től C-ig. c) H(k) nem teljesítheti a periodikus határfeltételt Brillouin-zónában d) A Brillouin-zóna határán mindenhol értelmes (és egyértékű) a Berry-görbület.

32 Chern-szám egy sávra Mennyi az ábrán látható vegyértéksáv Chern-száma? a) 0 b) +1 c) -1 d) Nem eldönthető

33 Mennyi a Chern-szám? Egy kétdimenziós rácsmodell Hamilton-operátora a k-térben ahol Mennyi az alapállapoti (azaz vegyérték-) sáv Chern-száma? a) 0 b) 1 c) 2 d) Nem lehet eldönteni

34 Mennyi a Chern-szám? 2. Egy kétdimenziós rácsmodell Hamilton-operátora a k-térben ahol Mennyi az alapállapoti (azaz vegyérték-) sáv Chern-száma? a) 0 b) 1 c) 2 d) Nem lehet eldönteni

35 4. fejezet Élállapotok Chern-szigetelőkben és a "fél-bhz-modell"

36 Felületi állapotok spektruma Melyik ábrán lehet egy rendszer felületi állapotainak spektruma? a) b) c)

37 Felületi állapotok spektruma 2. Melyik lehet egy Q=2 Chern-számmal rendelkező rendszer felületi spektruma? a) b) c) d)

38 Tömb és él Egy kétdimenziós transzlációinvariáns szigetelő rácsrendszerből kivágunk egy szalagot, az x irány mentén. A szalag formálisan szétválasztható k x -szel paraméterezett egydimenziós láncokra. Ezen láncok energiasajátállapotai alkotják a szalag diszperziós relációját. Mennyi a tömbi kétdimenziós rendszer Chern-száma? energia a) 0 b) 2 c) egyik sem d) mindkettő lehet

39 Két tömb, Q=0, Q=1 Egy rácsmodell (pl. fél BHZ) két különböző Chern-számú változatát csatoljuk össze. Q 1 =0, Q 2 =1. A két tartomány határán... Q 1 =0 Q 2 =1 a) van élállapot, de nem topologikusan védett b) van egy topologikusan védett élállapot c) infinitezimálisan kicsi csatolás hatására is eltűnik az élállapot d) lehetnek topologikusan védett élállapotok, de számuk nem meghatározott.

40 Két tömb, Q=1, Q=2 Egy rácsmodell (pl. fél BHZ) két különböző Chern-számú változatát csatoljuk össze. Q 1 =1, Q 2 =2. A két tartomány határán... Q 1 =1 Q 2 =2 a) van élállapot, de nem topologikusan védett b) van egy topologikusan védett élállapot c) infinitezimálisan kicsi csatolás hatására is eltűnik az élállapot d) lehetnek topologikusan védett élállapotok, de számuk nem meghatározott.

41 Élállapotok 1. Az ábrán három élen megjelöltük a topologikusan védett élállapotokat. Egyéb éleken is lehetnek topologikusan védett élállapotok. Q' Q'' Mennyi a kék anyag Q' Chern-száma? Q=1 a) b) c) d) Q'=0 Q'=1 Nem lehetséges ilyen konfiguráció Q' nem meghatározható (túl kevés az információ)

42 Élállapotok 2. Az ábrán két élen megjelöltük a topologikusan védett élállapotokat. Egyéb éleken is lehetnek topologikusan védett élállapotok. Mennyi a kék anyag Q' Chern-száma? Q' Q=1 a) b) c) d) Q'=0 Q'=1 Nem lehetséges ilyen konfiguráció Q' nem meghatározható (túl kevés az információ)

43 Konstrikció Az ábrán vázolt rendszer esetében mikor lesznek védettek az élállapotok? λ jelöli a felületi állapotok "behatolási mélységét" a tömb irányába. L Q=1 W λ a) W>>L és W>>λ b) Mivel a Chern-szám nem 0, ezért az élállapotok mindig védettek, a geometriától függetlenül. c) d) W>>L és L>>λ W>>λ

44 Egyszerűbb fél-bhz A fél-bhz modellben a hopping amplitúdók spinfüggőek: A spinfüggést kicsit leegyszerűsíthetjük, az alábbi módon: Melyik paraméterekkel lehet hangolni ennek a H rendszernek a Chern-számát? Feltételezzük hogy a rendszer szigetelő. a) b) c) d) v segítségével Δ segítségével A modell nem lehet szigetelő A modell Chern-száma mindig 0

45 Másodszomszéd fél BHZ A fél BHZ modellben az x irányú hoppingot cseréljük ki másodszomszéd hoppingra. Hogyan változik az élállapotok száma egy x, ill. egy y irányú él mentén? y x a) b) c) d) x irányú él mentén nem változik az élállapotok száma, csak gyorsabbak lesznek. Ennek megfelelően y irányú él mentén sem változik a számuk. y irányú él mentén megkétszereződik az élállapotok száma, mert két alrács alakul ki. Így az x irányú élek mentén is kétszer annyi élállapot lesz. x irányú él mentén nő az élállapotok száma, ezért y irányú élek mentén is. y irányú él mentén megkétszereződik az élállapotok száma, x irányú él mentén nem változik.

46 Töltéspumpa oda-vissza Vegyünk egy adiabatikus töltéspumpát egy egydimenziós rendszeren, mely ciklusonként 1 töltést pumpál, majd játsszuk le a pumpálási ciklust időben visszafelé. A Laughlin-érvelés értelmében "előléptethetjük" a t időt egy kétdimenziós rendszer k y impulzusává, így kapva a tömbi H(k x,k y ) Hamilton-operátort. Ha veszünk egy véges kétdimenziós mintát, aminek tömbi részét ez írja le, a minta élein... a) b) c) d) Az élállapotok oda-vissza mozgást kell leírjanak, mert a töltéspumpa is oda-vissza pumpál Nincsenek topologikusan védett propagáló élállapotok, mert a tömbi rész Chern-száma garantáltan Q=0. Egy élállapotpár van, melyek egymással szemben haladnak, mindkettő topologikusan védett. Nincsenek topologikusan védett propagáló állapotok, mert az oda-vissza pumpálás miatt a tömbi rész nem szigetelő

47 Töltéspumpa élállapotok Vegyünk egy Corbino-gyűrű geometriát: A külső élen körbefutó élállapot átkerül-e idővel a belső élre, és ha igen, mennyi idő után? Q=1 vákuum vákuum a) b) c) d) NEM, az élállapotok topologikusan védettek. IGEN, mert minden Chern-szigetelő mögött a Laughlin-érvelés értelmében van egy töltéspumpa. A szükséges idő egy pumpáló periódus ideje. NEM, a belső élen nem lehetnek élállapotok, mert a vastagság lassú, folyamatos növelésével a belső él megszűnik. IGEN, de a szükséges idő nagyon hosszú, a belső és külső él távolságát növelve exponenciálisan nő.

48 5. fejezet Kétdimenziós Dirac-egyenlet: burkolófüggvény-közelítés, élállapotok

49 Burkolófüggvény SSH Vegyük az SSH-modellt. Legyen az intracell hopping v = 1 rögzített, az intercell hopping pedig változzon a térben lassan a [ 2.2, 1.8] intervallumban. Ezt a lassú változást a w(x) függvény írja le. Add meg az alacsony energiás gerjesztéseket leíró burkolófüggvény (envelope function) - Hamilton-operátort v és w(x) segítségével! a) b) c) d)

50 Burkolófüggvény 0 Mi következik a burkolófüggvény-közelítésbol az SSH-modell teljesen dimerizált határesetére? Mit mondhatunk a különböző topológiájú tartományok határára lokalizált állapotok spektrumáról? a) b) c) d) Két különböző csavarodási számú tartomány határán lokalizált élállapotok vannak Mivel mindkét sáv csoportsebessége zérus, ezért mindkét oldalon a tömeg is zérus. tehát nincsenek élállapotok Mivel mindkét sáv csoportsebessége zérus, ezért az egyik oldalon + a másikon - a tömeg. Tehát a határon lokalizált topologikusan védett állapot van. A fenti állítások egyikét sem.

51 Burkolófüggvény Delta=1. A fél BHZ-modell Hamilton-operátora az alábbi alakú: Hogy fest Δ=2 esetén a kis energiás, burkolófüggvény-közelítésben kapott közelítés, H EFA? a) H EFA =q x σ x + q y σ y b) H EFA =- q x σ x - q y σ y c) egyik sem d) H EFA = q x σ x -q y σ y

52 Burkolófüggvény Delta=0 A fél BHZ-modell Hamilton-operátora az alábbi alakú: Hogy fest Δ=0 esetén a kis energiás, burkolófüggvény-közelítésben kapott közelítés, H EFA? a) H EFA =q x σ x + q y σ y b) H EFA =- q x σ x - q y σ y c) egyik sem d) az a) és a b) egyszerre

53 Corbino-gyűrű 1. Tekintsük a Dirac-egyenletet, ahol a tömeg a teljes síkon M=1, kivéve egy Corbino-gyűrű mentén, ahol M=0. Hol lesznek élállapotok? M=1 M=0 M=1 a) b) c) d) A pirossal jelölt belső és a pontozott külső élen, azonos irányban cirkulálnak A pirossal jelölt belső és a pontozott külső élen, ellentétes irányban cirkulálnak Sehol, mert az M=0 régióban mindkét irányban cirkulálhat az áram Kiterjedve a teljes gyűrűre.

54 Corbino-gyűrű 2. Tekintsük a Dirac-egyenletet, ahol a tömeg a teljes síkon M=1, kivéve egy Corbino-gyűrű mentén, ahol M=0. Hol lesznek élállapotok? M=1 M=0 M=-1 a) b) c) d) A pirossal jelölt belső és a pontozott külső élen, azonos irányban cirkulálnak A pirossal jelölt belső és a pontozott külső élen, ellentétes irányban cirkulálnak Sehol, mert az M=0 régióban mindkét irányban cirkulálhat az áram Kiterjedve a teljes gyűrűre.

55 Diabatikus változtatás M=0 Legyen kezdetben M 1 =+1, M 2 =-1. Tekintsünk egy kis energiás elektront, ami beesik az élállapotba, ami alulról felfelé halad. Miközben az elektron felfelé halad, változtassuk meg gyorsan (lehetőség szerint pillanatszerűen) M 1 és M 2 értékét, úgy, hogy végül M 1 =-1, és M 2 =+1 legyen. M=M 1 M=M 2 Mi történt az elektronnal eközben? a) Az elektron hirtelen irányt változtatott, a végén lefele halad. b) c) d) A változtatás nem tudja megváltoztatni a hullámszámot, ezért az elektron a változtatás végén is felfelé halad a ciklus közben szétfut a tömbi részbe, de energiamegmaradás miatt a ciklus végére visszakerül az élállapotba, fentről lefelé halad a ciklus közben annyi energiát kap, hogy a ciklus végére a tömbi részben terjed.

56 Spinorkomponensek Tekintsük a kétdimenziós Dirac-egyenletet az alábbi inhomogén tömegprofillal. Az y=0 interfészre lokalizált élállapot hullámfüggvényének milyen a spinor felel meg?(m 0 pozitiv) a) (0,1) b) (-1,1) c) (1,0) d) (1,1)

57 6. fejezet Időtükrözésre invariáns topologikus szigetelők

58 TRI valós SSH Van-e a csupán elsőszomszéd hopping tagokat tartalmazó SSH-modellnek időtükrözési szimmetriája, ha minden hopping amplitúdó valós? a) Igen, de csak T 2 =1 típusú b) Igen, de csak T 2 =-1 típusú c) Mindkét típusú időtökrözési szimmetriája megvan d) Nincs

59 TRI 2 sáv Tekintsük a kétdimenziós, T 2 =-1 időtükrözésre invariáns, 2-elemű Bloch-spinorral leírható rácsmodelleket. Mi igaz rájuk? a) Minden ilyen modell topologikusan triviális b) Minden ilyen modell topologikusan nemtriviális c) Van köztük topologikusan triviális és nemtriviális is d) Ilyen rácsmodell nem létezik

60 TRI spin Egy kétdimenziós, szigetelő rácsmodellben vegyük figyelembe az elektronok spinjét. A modell legyen invariáns a feles spinű elektronok szokásos (T 2 =-1) időtükrözésére, és legyen a spinforgatásra invariáns. Mi igaz ekkor? a) Minden ilyen modell topologikusan triviális b) Minden ilyen modell topologikusan nemtriviális c) Van köztük topologikusan triviális és nemtriviális is d) Spinnel rendelkező rácsmodellre a Z2 invariáns nem jól definiált

61 Időtükrözés és fél BHZ Vizsgáljuk a fél-bhz modell egy adott k-hoz tartozó élállapotát (Chern-szám Q=1). Mely állítás igaz ekkor? a) b) c) d) Az állapot merőleges az időtükrözöttjére, amely ugyanazzal az energiával sajátállapota a rendszernek. Az állapot merőleges az időtükrözöttjére, amely az ellenkező oldalon propagál. Az állapot merőleges T-vel transzformáltjára, de ez nem sajátállapota a rendszernek. Mivel a rendszer sérti az időtükrözést (nemzérus a Chern szám) ezért az állapotot nem lehet T-vel eltranszformálni.

62 Időtükrözés és BHZ Vizsgáljuk a BHZ modell egy adott k-hoz tartozó élállapotát. Legyen a vizsgált rendszer nemtriviális. Mely állítás igaz ekkor? a) b) c) d) Az állapot merőleges az időtükrözöttjére, amely ugyanazzal az energiával sajátállapota a rendszernek. Az állapot merőleges az időtükrözöttjére, amely az ellenkező oldalon propagál. Az állapot merőleges T-vel transzformáltjára, de ez nem feltétlenül sajátállapota a rendszernek. Mivel a rendszer nem sérti az időtükrözést, ezért az minden állapot saját magának időtükrözöttje.

63 TRI élspektrumok a) b) Melyik lehet egy nemtriviális, időtükrözésre invariáns szigetelő felületi spektruma? Csak az egyik felületre lokalizált állapotokat vesszük figyelembe! c) d)

64 TRI offdiagonális tag Milyen H 12 (k x,k y ) függvény esetén lesz a Hamilton-operátornak időtükrözési szimmetriája? a) H 12 (k x,k y )= σ z b) H 12 (k x,k y )= sin 2 k x σ x c) egyik sem d) mindkettő

65 7. fejezet A szórási mátrix

66 Möbius-szalag Hajtogassunk egy kétdimenziós rácsrendszerből kivágott "szalagot" Möbius-szalag formájúra! Ehhez össze kell forrasztani (hopping amplitúdókkal) a szalag két végét. Az így kapott szalagnak csak egy éle van. Melyik állítások igazak? a) b) c) d) Ha a rácsrendszer Chern-száma 1 volt, a szalag éle mentén 1 királis élállapot megy körbe-körbe. Ha a rácsrendszer Z2-invariánsa -1 volt, azaz topologikusan nemtriviális, a szalag egyetlen éle mentén 2 "helikális" élállapot megy körbe-körbe. Ilyen szalagot nem lehet létrehozni, mert egy valódi rácsrendszernek mindig nemzérus a vastagsága. Valójában nem 2 élből lesz 1, hanem 4 élből 2. Ha az eredeti rácsrendszer időtükrözésre szimmetrikus volt is, a "forrasztás" miatt biztosan sérül ez a szimmetria.

67 Szórási mátrix, TRI Az ábrán egy szalag látható, amit egy topologikusan nemtriviális, időtükrözésre invariáns kétdimenziós rendszerből vágtunk ki. A fekete doboz egy szóró tartományt jelöl. Az élállapotokat nyilak jelzik. Melyik mátrix biztosan NEM a szóró tartomány S-mátrixa? a) b) c) d)

68 SSH-lánc S-mátrixa Vegyünk egy SSH-láncot valós hoppingokkal, az elektronspint ne vegyük figyelembe. A lánc közepén alakítsunk ki egy véges hosszú szórási tartományt: ott a hopping amplitúdók maradjanak valósak, de legyenek véletlenszerűek. A szórási tartomány S-mátrixát vizsgáljuk olyan energián, ami a vezetési sávba esik. Mi igaz erre az S-mátrixra? a) t = t' =1, az időtükrözési szimmetria miatt b) t=t' c) r=r' d) a fentiek közül egyik sem garantált

69 Időtükrözés és perturbáció Tekintsünk egy T időtükrözési szimmetriával bíró H Hamilton-operátort, T 2 =1. Legyen ψ energiasajátállapota H-nak. Vegyünk egy V "perturbációt" (nem feltétlenül kicsi), ami az időtükrözésre szintén invariáns. Melyik állítás igaz? a) b) c) d)

70 8. fejezet Élállapotok kísérleti detektálása

71 Nemlokalis vezetokepesseg A kék minta Q Chern-számú szigetelő, melyen az A kontaktusból a B kontaktusba áramot folyatunk át. Az 1 és 2 lebegő kontaktusok között mérjük a V keresztirányú (Hall-) feszültséget. Mekkora az I/V Hall-vezetőképesség? V 1 a) 0, hiszen az elrendezés szimmetrikus A B b) c) I 2 d) egyik sem

72 Chern-szigetelő, 0 feszültség A kék minta Chern-szigetelő. Az 1-es és melyik lebegő kontaktus között lesz a mért V feszültség 0? V 1 2 A B I 3 4 a) 2-es b) 3-as c) 4-es d) egyik sem

73 1N Chern Feszültség Az alábbi elrendezésben hogyan függ az 1-es és N-es lebegő kontaktusok közti feszültség a kontaktusok N számától, ha a kékkel jelölt minta Chern-szigetelő? Az egyik élállapotot nyíllal jelöltük. V N A B I a) nem függ. b) csökken. c) nő. d) A kérdés értelmetlen.

74 Z2-szigetelő, 0 feszültség A kék minta Z2-szigetelő. Az 1-es és melyik lebegő kontaktus között mérek 0 feszültséget? V 1 2 A B I 3 4 a) 2-es b) 3-as c) 4-es d) egyik sem

75 1N Z2 feszültség Az alábbi elrendezésben hogyan függ az 1-es és N-es lebegő kontaktusok közti feszültség a kontaktusok N számától, ha a kékkel jelölt minta Z2-szigetelő? V N A B I N a) nem függ. b) csökken. c) nő. d) A kérdés értelmetlen.

76 Chern Mercedes I A A kékkel jelölt minta Chern-szigetelő. Az egyik védett élállapotot nyíllal jelöltük. Milyen függvénye az 1-es lebegő kontaktuson mért V feszültség a bemenő I áramnak? 1 B a) páros V b) páratlan c) egyik sem d) a kérdés nem jól definiált

77 Chern Mercedes 2. I A A kékkel jelölt minta Chern-szigetelő. Az egyik védett élállapotot nyíllal jelöltük. Milyen függvénye az 1-es lebegő kontaktuson mért V feszültség a bemenő I áramnak? 1 B a) páros V b) páratlan c) egyik sem d) a kérdés nem jól definiált

78 Z2 Mercedes I A A kékkel jelölt minta Z2-szigetelő. Milyen függvénye az 1-es lebegő kontaktuson mért V feszültség a bemenő I áramnak? 1 B a) páros V b) páratlan c) egyik sem d) a kérdés nem jól definiált

79 Termikus egyensúly A kékkel jelölt minta Chern-szigetelő, amely T hőmérsékleten termikus egyensúlyban van. Melyik állítás igaz? a) b) c) d) A mintában az elektromos áramsűrűség-vektormező azonosan nulla, hiszen egyensúlyban nem folyhat áram. Chern-szigetelő lehet egyensúlyban, de az elektromos áramsűrűség olyankor nem nulla. Chern-szigetelő nem lehet egyensúlyban, mert a nemnulla áramsűrűség Joule-fűtést okoz. A fentiek közül egyik sem.

Kondenzátorok. Fizikai alapok

Kondenzátorok. Fizikai alapok Kondenzátorok Fizikai alapok A kapacitás A kondenzátorok a kapacitás áramköri elemet megvalósító alkatrészek. Ha a kondenzátorra feszültséget kapcsolunk, feltöltődik. Egyenfeszültség esetén a lemezeken

Részletesebben

ESR színképek értékelése és molekulaszerkezeti értelmezése

ESR színképek értékelése és molekulaszerkezeti értelmezése ESR színképek értékelése és molekulaszerkezeti értelmezése Elméleti alap: Atkins: Fizikai Kémia II, 187-188, 146, 1410, 152 158 fejezetek A gyakorlat során egy párosítatlan elektronnal rendelkező benzoszemikinon

Részletesebben

lásd: enantiotóp, diasztereotóp

lásd: enantiotóp, diasztereotóp anizokrón anisochronous árnyékolási állandó shielding constant árnyékolási járulékok és empirikus értelmezésük shielding contributions diamágneses és paramágneses árnyékolás diamagnetic and paramagnetic

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

1. Számoljuk meg egy számokat tartalmazó mátrixban a nulla elemeket!

1. Számoljuk meg egy számokat tartalmazó mátrixban a nulla elemeket! ELTE IK, Programozás, Gyakorló feladatok a 3. zárthelyihez. Mátrix elemeinek felsorolása: 1. Számoljuk meg egy számokat tartalmazó mátrixban a nulla elemeket! 2. Igaz-e, hogy sorfolytonosan végigolvasva

Részletesebben

1. Prefix jelentések. 2. Mi alapján definiáljuk az 1 másodpercet? 3. Mi alapján definiáljuk az 1 métert? 4. Mi a tömegegység definíciója?

1. Prefix jelentések. 2. Mi alapján definiáljuk az 1 másodpercet? 3. Mi alapján definiáljuk az 1 métert? 4. Mi a tömegegység definíciója? 1. Prefix jelentések. 10 1 deka 10-1 deci 10 2 hektó 10-2 centi 10 3 kiló 10-3 milli 10 6 mega 10-6 mikró 10 9 giga 10-9 nano 10 12 tera 10-12 piko 10 15 peta 10-15 fento 10 18 exa 10-18 atto 2. Mi alapján

Részletesebben

KOVÁCS ENDRe, PARIpÁS BÉLA, FIZIkA II.

KOVÁCS ENDRe, PARIpÁS BÉLA, FIZIkA II. KOVÁCS ENDRe, PARIpÁS BÉLA, FIZIkA II. 4 ELeKTROMOSSÁG, MÁGNeSeSSÉG IV. MÁGNeSeSSÉG AZ ANYAGbAN 1. AZ alapvető mágneses mennyiségek A mágneses polarizáció, a mágnesezettség vektora A nukleonok (proton,

Részletesebben

Mössbauer Spektroszkópia

Mössbauer Spektroszkópia Mössbauer Spektroszkópia Homa Gábor, Markó Gergely Mérés dátuma: 2008. 10. 15., 2008. 10. 22., 2008. 11. 05. Leadás dátuma: 2008. 11. 23. Figure 1: Rezonancia-abszorpció és szórás 1 Elméleti összefoglaló

Részletesebben

Mágneses alapjelenségek

Mágneses alapjelenségek Mágneses alapjelenségek Bizonyos vasércek képesek apró vasdarabokat magukhoz vonzani: permanens mágnes Az acélrúd felmágnesezhető ilyen ércek segítségével. Rúd két vége: pólusok (a vasreszelék csak ide

Részletesebben

Az időtől független Schrödinger-egyenlet (energia sajátértékegyenlet), A Laplace operátor derékszögű koordinátarendszerben

Az időtől független Schrödinger-egyenlet (energia sajátértékegyenlet), A Laplace operátor derékszögű koordinátarendszerben Atomfizika ψ ψ ψ ψ ψ E z y x U z y x m = + + + ),, ( h ) ( ) ( ) ( ) ( r r r r ψ ψ ψ E U m = + Δ h z y x + + = Δ ),, ( ) ( z y x ψ =ψ r Az időtől független Schrödinger-egyenlet (energia sajátértékegyenlet),

Részletesebben

A kvantummechanika általános formalizmusa

A kvantummechanika általános formalizmusa A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.

Részletesebben

Idő és tér. Idő és tér. Tartalom. Megjegyzés

Idő és tér. Idő és tér. Tartalom. Megjegyzés Tartalom Az idő és tér fogalma és legfontosabb sajátosságaik. Megjegyzés Ez egy rövid, de meglehetősen elvont téma. Annyiból érdekes, hogy tér és idő a világunk legalapvetőbb jellemzői, és mindannyian

Részletesebben

Zitterbewegung. általános elmélete. Grafén Téli Iskola 2011. 02. 04. Dávid Gyula ELTE TTK Atomfizikai Tanszék

Zitterbewegung. általános elmélete. Grafén Téli Iskola 2011. 02. 04. Dávid Gyula ELTE TTK Atomfizikai Tanszék A Zitterbewegung általános elmélete Grafén Téli Iskola 2011. 02. 04. Dávid Gyula ELTE TTK Atomfizikai Tanszék 1. Mi a Zitterbewegung? A Zitterbewegung általános elmélete 2. Kvantumdinamika Heisenberg-képben

Részletesebben

A fény. Abszorpciós fotometria Fluoreszcencia spektroszkópia. A fény. A spektrumok megjelenési formái. A fény kettıs természete: Huber Tamás

A fény. Abszorpciós fotometria Fluoreszcencia spektroszkópia. A fény. A spektrumok megjelenési formái. A fény kettıs természete: Huber Tamás A fény Abszorpciós fotometria Fluoreszcencia spektroszkópia. 2010. október 19. Huber Tamás PTE ÁOK Biofizikai Intézet E A fény elektromos térerısségvektor hullámhossz A fény kettıs természete: Hullám (terjedéskor)

Részletesebben

KVANTITATÍV MÓDSZEREK

KVANTITATÍV MÓDSZEREK KVANTITATÍV MÓDSZEREK Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 6 Tartalomjegyzék Kvantitatív módszerek. Valószínűségszámítási tételek. eltételes valószínűség. Események függetlensége.... 3.. eltételes valószínűség...

Részletesebben

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 1 1 Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk Jelfeldolgozás 1 Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 2 Bevezetés 5 Kérdések, feladatok 6 Fourier sorok, Fourier transzformáció 7 Jelek

Részletesebben

Biofizika tesztkérdések

Biofizika tesztkérdések Biofizika tesztkérdések Egyszerű választás E kérdéstípusban A, B,...-vel jelölt lehetőségek szerepelnek, melyek közül az egyetlen megfelelőt kell kiválasztani. A választ írja a kérdés előtt lévő kockába!

Részletesebben

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik 1991. évi verseny, 1. nap 1. Számold össze, hány pozitív osztója van 16 200-nak! 2. Bontsd fel a 60-at két szám összegére úgy, hogy az egyik szám hetede egyenlő legyen a másik szám nyolcadával! 3. Van

Részletesebben

Furcsa effektusok Írta: Joubert Attila

Furcsa effektusok Írta: Joubert Attila Furcsa effektusok Írta: Joubert Attila Az Orgona Energia elnevezés a XX. század elejéről származik (organikus energia), Wilchelm Reichtől (akiről bővebben az Interneten olvashatunk). Az Orgona Energia

Részletesebben

Fizika belépő kérdések /Földtudományi alapszak I. Évfolyam II. félév/

Fizika belépő kérdések /Földtudományi alapszak I. Évfolyam II. félév/ Fizika belépő kérdések /Földtudományi alapszak I. Évfolyam II. félév/. Coulomb törvény: a pontszerű töltések között ható erő (F) egyenesen arányos a töltések (Q,Q ) szorzatával és fordítottan arányos a

Részletesebben

Elektromágneses hullámok, a fény

Elektromágneses hullámok, a fény Elektromágneses hullámok, a fény Az elektromos töltéssel rendelkező testeknek a töltésük miatt fellépő kölcsönhatását az elektromos és mágneses tér segítségével írhatjuk le. A kölcsönhatás úgy működik,

Részletesebben

Freedom Forró ragasztószállító tömlő

Freedom Forró ragasztószállító tömlő Útmutató lap - Hungarian - Freedom Forró ragasztószállító tömlő Biztonsági útmutatások FIGYELEM! Csak olyanoknak engedje meg a berendezés üzemeltetését és szervizelését, akiknek megvan a megfelelő képzettségük

Részletesebben

Az elektrosztatika törvényei anyag jelenlétében, dielektrikumok

Az elektrosztatika törvényei anyag jelenlétében, dielektrikumok TÓTH.: Dielektrikumok (kibővített óravázlat) 1 z elektrosztatika törvényei anyag jelenlétében, dielektrikumok z elektrosztatika alatörvényeinek vizsgálata a kezdeti időkben levegőben történt, és a különféle

Részletesebben

Síkban polarizált hullámok síkban polarizált lineárisan polarizált Síkban polarizált hullámok szuperpozíciója cirkulárisan polarizált

Síkban polarizált hullámok síkban polarizált lineárisan polarizált Síkban polarizált hullámok szuperpozíciója cirkulárisan polarizált Síkban polarizált hullámok Tekintsünk egy z-tengely irányában haladó fénysugarat. Ha a tér egy adott pontjában az idő függvényeként figyeljük az elektromos (ill. mágneses) térerősség vektorokat, akkor

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. május 18. FIZIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. május 18. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fizika

Részletesebben

Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar. 2015. január 5.

Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar. 2015. január 5. Név, felvételi azonosító, Neptun-kód: VI pont(45) : Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Közös alapképzéses záróvizsga mesterképzés felvételi vizsga Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki

Részletesebben

Feladatok GEFIT021B. 3 km

Feladatok GEFIT021B. 3 km Feladatok GEFT021B 1. Egy autóbusz sebessége 30 km/h. z iskolához legközelebb eső két megálló távolsága az iskola kapujától a menetirány sorrendjében 200 m, illetve 140 m. Két fiú beszélget a buszon. ndrás

Részletesebben

Mit mond ki a Huygens elv, és miben több ehhez képest a Huygens Fresnel-elv?

Mit mond ki a Huygens elv, és miben több ehhez képest a Huygens Fresnel-elv? Ismertesse az optika fejlődésének legjelentősebb mérföldköveit! - Ókor: korai megfigyelések - Euklidész (i.e. 280) A fény homogén közegben egyenes vonalban terjed. Legrövidebb út elve (!) Tulajdonképpen

Részletesebben

Alkalmazott modul: Programozás

Alkalmazott modul: Programozás Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Alkalmazott modul: Programozás Feladatgyűjtemény Összeállította: Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto Frissítve: 2015.

Részletesebben

Magnetorezisztív jelenségek vizsgálata mágneses nanoszerkezetekben

Magnetorezisztív jelenségek vizsgálata mágneses nanoszerkezetekben Magnetorezisztív jelenségek vizsgálata mágneses nanoszerkezetekben Jól ismert, hogy az elektronok az elektromos töltés mellett spinnel is rendelkeznek, mely számos érdekes jelenséget, többek között bizonyos

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Egy kétszeresen aszimmetrikus kontytető főbb geometriai adatainak meghatározásáról

Egy kétszeresen aszimmetrikus kontytető főbb geometriai adatainak meghatározásáról 1 Egy kétszeresen aszimmetrikus kontytető főbb geometriai adatainak meghatározásáról Korábban már több egyszerűbb tető - alak geometriáját leírtuk. Most egy kicsit nehezebb feladat megoldását tűzzük ki

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA m ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 17. FIZIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fizika emelt szint írásbeli vizsga

Részletesebben

Konfokális mikroszkópia elméleti bevezetõ

Konfokális mikroszkópia elméleti bevezetõ Konfokális mikroszkópia elméleti bevezetõ A konfokális mikroszkóp fluoreszcensen jelölt minták vizsgálatára alkalmas. Jobb felbontású képeket ad, mint a hagyományos fluoreszcens mikroszkópok, és képes

Részletesebben

2. gyakorlat Állapot alapú modellezés Megoldások

2. gyakorlat Állapot alapú modellezés Megoldások 2. gyakorlat Állapot alapú modellezés ok 1. Közlekedési lámpa Közlekedési lámpát vezérlő elektronikát tervezünk. a) Készítsük el egy egyszerű piros sárga zöld közlekedési lámpa olyan állapotterét, amely

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 17. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 17. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 120 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fizika

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Definíció (hullám, hullámmozgás):

Definíció (hullám, hullámmozgás): Hullámmozgás Példák: Követ dobva a vízbe a víz felszíne hullámzani kezd. Hajó úszik a vízen, akkor hullámokat kelt. Hullámokat egy kifeszített kötélen is kelthetünk. Ha a kötés egyik végét egy falhoz kötjük,

Részletesebben

Oktatási segédlet. Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra. Dr. Jármai Károly.

Oktatási segédlet. Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra. Dr. Jármai Károly. Oktatási segédlet Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra a Létesítmények acélszerkezetei tárgy hallgatóinak Dr. Jármai Károly Miskolci Egyetem 013 1 Acél- és alumínium-szerkezetek

Részletesebben

Állandó permeabilitás esetén a gerjesztési törvény más alakban is felírható:

Állandó permeabilitás esetén a gerjesztési törvény más alakban is felírható: 1. Értelmezze az áramokkal kifejezett erőtörvényt. Az erő iránya a vezetők között azonos áramirány mellett vonzó, ellenkező irányú áramok esetén taszító. Az I 2 áramot vivő vezetőre ható F 2 erő fellépését

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Egy asztal körül 24-en ülnek, mindannyian mindig igazat mondanak. Minden lány azt mondja, hogy a közvetlen szomszédjaim közül pontosan az egyik fiú, és minden fiú azt mondja, hogy mindkét közvetlen

Részletesebben

Fogalmi alapok Mérlegegyenletek

Fogalmi alapok Mérlegegyenletek 1. Fogalmi alapok Mérlegegyenletek Utolsó módosítás: 2013. február 11. A transzportfolyamatokról általában 1 A természetben lezajló folyamatok leírására szolgáló összefoglaló elmélet, amely attól függetlenül

Részletesebben

Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből)

Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Fénytan 1 Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Feladatok F. 1. Vízszintes asztallapra fektetünk egy negyedhenger alakú üvegtömböt, amelynek függőlegesen álló síklapját

Részletesebben

SGS-48 FORGALOMTECHNIKAI SEGÉDLET

SGS-48 FORGALOMTECHNIKAI SEGÉDLET SWARCO TRAFFIC HUNGARIA KFT. Vilati, Signelit együtt. SGS-48 FORGALOMTECHNIKAI SEGÉDLET V 2.0 SWARCO First in Traffic Solution. Tartalomjegyzék 1. Bevezető...1 2. Jelzésképek...1 3. A berendezés működési

Részletesebben

Elektrosztatikai jelenségek

Elektrosztatikai jelenségek Elektrosztatikai jelenségek Ebonit vagy üveg rudat megdörzsölve az az apró tárgyakat magához vonzza. Két selyemmel megdörzsölt üvegrúd között taszítás, üvegrúd és gyapjúval megdörzsölt borostyánkő között

Részletesebben

Matematika III. 8. A szórás és a szóródás egyéb mérőszámai Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 8. A szórás és a szóródás egyéb mérőszámai Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 8. A szórás és a szóródás egyéb Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 8. : A szórás és a szóródás egyéb Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

Részecskék hullámtermészete

Részecskék hullámtermészete Részecskék ullámtermészete Bevezetés A sugárzás és az anyag egyaránt mutat részecskejellegű és ullámjellegű tulajdonságokat. Atommodellek A Tomson modell J.J. Tomson 1898 A negatív töltésű elektronok pozitív

Részletesebben

Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus

Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus Síktopológiák a Sorgenfrey-egyenes ötletével Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus 1. Bevezetés A Sorgenfrey-egyenes

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4;

Részletesebben

A Budapesti TT Barátok (B.TT.B.) modulszabványa

A Budapesti TT Barátok (B.TT.B.) modulszabványa 0. Bevezetés Szabványunk alapvetően a németországi "TT-modulok Baráti Köre ("Freundeskreis TT-Module") modulszabványának átültetése a hazai viszonyok közé, mely több éves működése során bizonyította, hogy

Részletesebben

I. Atomszerkezeti ismeretek (9. Mozaik Tankönyv:10-30. oldal) 1. Részletezze az atom felépítését!

I. Atomszerkezeti ismeretek (9. Mozaik Tankönyv:10-30. oldal) 1. Részletezze az atom felépítését! I. Atomszerkezeti ismeretek (9. Mozaik Tankönyv:10-30. oldal) 1. Részletezze az atom felépítését! Az atom az anyagok legkisebb, kémiai módszerekkel tovább már nem bontható része. Az atomok atommagból és

Részletesebben

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar 2.3.2.2.1.2 Keresztirányú stabilitás nagy dőlésszögeknél A keresztirányú stabilitás számszerűsítésénél, amint korábban láttuk, korlátozott a metacentrikus magasságra való támaszkodás lehetősége. Csak olyankor

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

Mikrohullámú aluláteresztő szűrők tápvonalas megvalósítása

Mikrohullámú aluláteresztő szűrők tápvonalas megvalósítása Mikrohullámú aluláteresztő szűrők tápvonalas megvalósítása Nagy Lajos BME-HVT Szélessávú Hírközlés és Villamosságtan Tanszék (kutatási jelentés) 5 Pro Progressio Alapítvány Mikrohullámú aluláteresztő szűrők

Részletesebben

Kódolás, hibajavítás. Tervezte és készítette Géczy LászlL. szló 2002

Kódolás, hibajavítás. Tervezte és készítette Géczy LászlL. szló 2002 Kódolás, hibajavítás Tervezte és készítette Géczy LászlL szló 2002 Jelkapcsolat A jelkapcsolatban van a jelforrás, amely az üzenő, és a jelérzékelő (vevő, fogadó), amely az értesített. Jelforrás üzenet

Részletesebben

É11. Nyugvó villamos mező (elektrosztatika) Cz. Balázs kidolgozása. Elméleti kérdések: 1.Az elektromos töltések fajtái és kölcsönhatása

É11. Nyugvó villamos mező (elektrosztatika) Cz. Balázs kidolgozása. Elméleti kérdések: 1.Az elektromos töltések fajtái és kölcsönhatása É11. Nyugvó villamos mező (elektrosztatika) Cz. Balázs kidolgozása Elméleti kérdések: 1.Az elektromos töltések fajtái és kölcsönhatása A testek elektromos állapotát valamilyen közvetlenül nem érzékelhető

Részletesebben

Térvezérlésű tranzisztor

Térvezérlésű tranzisztor Térvezérlésű tranzisztor A térvezérlésű tranzisztorok a vékonyréteg félvezetős eszközök kategoriájába sorolhatók és a tranzisztorok harmadik generációját képviselik. 1948-ban jelentik be amerikai kutatók

Részletesebben

Mágneses alapjelenségek

Mágneses alapjelenségek Mágneses alapjelenségek Bizonyos vasércek képesek apró vasdarabokat magukhoz vonzani: permanens mágnes Az acélrúd felmágnesezhető ilyen ércek segítségével. Rúd két vége: pólusok (a vasreszelék csak ide

Részletesebben

3 He ionokat pedig elektron-sokszorozóval számlálja. A héliummérést ismert mennyiségű

3 He ionokat pedig elektron-sokszorozóval számlálja. A héliummérést ismert mennyiségű Nagytisztaságú 4 He-es izotóphígítás alkalmazása vízminták tríciumkoncentrációjának meghatározására a 3 He leányelem tömegspektrométeres mérésén alapuló módszerhez Az édesvízkészletek felmérésében, a rétegvizek

Részletesebben

A médiatechnológia alapjai

A médiatechnológia alapjai A médiatechnológia alapjai Úgy döntöttem, hogy a Szirányi oktatta előadások számonkérhetőnek tűnő lényegét kiemelem, az alapján, amit a ZH-ról mondott: rövid kérdések. A rész és az egész: összefüggések

Részletesebben

Ha vasalják a szinusz-görbét

Ha vasalják a szinusz-görbét A dolgozat szerzőjének neve: Szabó Szilárd, Lorenzovici Zsombor Intézmény megnevezése: Bolyai Farkas Elméleti Líceum Témavezető tanár neve: Szász Ágota Beosztása: Fizika Ha vasalják a szinusz-görbét Tartalomjegyzék

Részletesebben

Kiegészítés a Párbeszédes Informatikai Rendszerek tantárgyhoz

Kiegészítés a Párbeszédes Informatikai Rendszerek tantárgyhoz Kiegészítés a Párbeszédes Informatikai Rendszerek tantárgyhoz Fazekas István 2011 R1 Tartalomjegyzék 1. Hangtani alapok...5 1.1 Periodikus jelek...5 1.1.1 Időben periodikus jelek...5 1.1.2 Térben periodikus

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

Gáz falikazán CERACLASSEXCELLENCE

Gáz falikazán CERACLASSEXCELLENCE Füstgáz elvezetés pótfüzet Gáz falikazán CERACLASSEXCELLENCE 6 70 6 087-00.O ZSC 4- MFA ZSC 8- MFA ZSC 5- MFA ZWC 4- MFA ZWC 8- MFA ZWC 5- MFA 6 70 6 9 HU (007/07) OSW Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék iztonsági

Részletesebben

Hősugárzás Hővédő fóliák

Hősugárzás Hővédő fóliák Hősugárzás Hővédő fóliák Szikra Csaba Épületenergetikai és Épületgépészeti Tanszék Építészmérnöki Kar Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem A sugárzás alaptörvényei A az érkező energia E=A+T+R

Részletesebben

CERACLASSACU COMFORT. beépitett rétegtárolóval rendelkező fali gázkazánokhoz ZWSE 24-6 MFA ZWSE 28-6 MFA ZWSE 35-6 MFA

CERACLASSACU COMFORT. beépitett rétegtárolóval rendelkező fali gázkazánokhoz ZWSE 24-6 MFA ZWSE 28-6 MFA ZWSE 35-6 MFA Tudnivalók a füstgázelvezetésről beépitett rétegtárolóval rendelkező fali gázkazánokhoz CERACLASSACU COMFORT 6 70 66 75 087-00.O ZWSE 4-6 MFA ZWSE 8-6 MFA ZWSE 35-6 MFA 6 70 66 774 (008/03) HU Tartalomjegyzék

Részletesebben

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,

Részletesebben

JÁTSZÓTÉRI FIZIKA GIMNAZISTÁKNAK

JÁTSZÓTÉRI FIZIKA GIMNAZISTÁKNAK JÁTSZÓTÉRI FIZIKA GIMNAZISTÁKNAK Gallai Ditta BME Két Tanítási Nyelvű Gimnázium, Budapest, gallai.ditta@gmail.com, az ELTE Fizika Tanítása doktori program hallgatója ÖSSZEFOGLALÁS Az oktatás sikerességében

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Tartalom ELEKTROSZTATIKA AZ ELEKTROMOS ÁRAM, VEZETÉSI JELENSÉGEK A MÁGNESES MEZÕ

Tartalom ELEKTROSZTATIKA AZ ELEKTROMOS ÁRAM, VEZETÉSI JELENSÉGEK A MÁGNESES MEZÕ Tartalom ELEKTROSZTATIKA 1. Elektrosztatikai alapismeretek... 10 1.1. Emlékeztetõ... 10 2. Coulomb törvénye. A töltésmegmaradás törvénye... 14 3. Az elektromos mezõ jellemzése... 18 3.1. Az elektromos

Részletesebben

Fizika vetélkedő 7.o 2013

Fizika vetélkedő 7.o 2013 Fizika vetélkedő 7.o 2013 Osztályz«grade» Tárgy:«subject» at: Dátum:«date» 1 Hány Celsius fokot mutat a hőmérő? 2 Melyik állítás hamis? A Ez egy termikus kölcsönhatás. B A hőmérsékletek egy pár perc múlva

Részletesebben

III/1. Kisfeszültségű vezetékméretezés általános szempontjai (feszültségesés, teljesítményveszteség fogalma, méretezésben szokásos értékei.

III/1. Kisfeszültségű vezetékméretezés általános szempontjai (feszültségesés, teljesítményveszteség fogalma, méretezésben szokásos értékei. III/1. Kisfeszültségű vezetékméretezés általános szempontjai (feszültségesés, teljesítményveszteség fogalma, méretezésben szokásos értékei. A vezetékméretezés során, mint minden műszaki berendezés tervezésénél

Részletesebben

28.10.99 S25-vung S25, ungar., A31008-H3100-A19-2-3A19. Kezelési útmutató

28.10.99 S25-vung S25, ungar., A31008-H3100-A19-2-3A19. Kezelési útmutató 28.10.99 S25-vung S25, ungar., A31008-H3100-A19-2-3A19 s Kezelési útmutató U1 28.10.99 S25-vung S25, ungar., A31008-H3100-A19-2-3A19 Áttekintés Oldalsó gombok A hangerõ beállítása/ Lapozás a menükben vagy

Részletesebben

XXV. ELEKTROMOS VEZETÉS SZILÁRD TESTEKBEN

XXV. ELEKTROMOS VEZETÉS SZILÁRD TESTEKBEN 2007. február 6. 1 Pálinkás József: Fizika 2. XXV. ELEKTROMOS VEZETÉS SZILÁRD TESTEKBEN Bevezetés: Az előző fejezetekben megismertük, hogy a kvantumelmélet milyen jól leírja az atomok és a molekulák felépítését.

Részletesebben

Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort.

Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort. VEKTOROK VEKTOROK FOGALMA Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon, hogy az egyik pont a kezdőpont, a másik pont a végpont, akkor irányított szakaszt kapunk. Egy irányított szakasz

Részletesebben

Radarmeteorológia. Makra László

Radarmeteorológia. Makra László Radarmeteorológia Makra László TARTALOM Bevezetés Interpretáció A radarok története Radar hardver Hogyan működik? Elmélet Gyakorlat Visszaverődési kép Radartípusok 1-2. Hagyományos radar Doppler radar

Részletesebben

Vélemények a magyarokról s a környező országok népeiről*

Vélemények a magyarokról s a környező országok népeiről* Csepeli György Vélemények a magyarokról s a környező országok népeiről* 1977 nyarán országos reprezentatív mintán vizsgálatot végeztünk arról, hogy az emberek hogyan ítélik meg magukat mint magyarokat,

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

Gyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk).

Gyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk). Gyakorlatok Din 1 Jelölje P (n) azt a számot, ahányféleképpen mehetünk le egy n lépcsőfokból álló lépcsőn a következő mozgáselemek egy sorozatával (zárójelben, hogy mennyit mozgunk az adott elemmel): lépés

Részletesebben

töltéssel rendelkező vagy semleges részecskék kinetikus energiája és (vagy) impulzusa a kondenzált közegek atomjaival ütközve megváltozhat.

töltéssel rendelkező vagy semleges részecskék kinetikus energiája és (vagy) impulzusa a kondenzált közegek atomjaival ütközve megváltozhat. Néhány szó a neutronról Különböző részecskék, úgymint fotonok, neutronok, elektronok és más, töltéssel rendelkező vagy semleges részecskék kinetikus energiája és (vagy) impulzusa a kondenzált közegek atomjaival

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. október 28. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2010. október 28. 14:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 120 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

ElMe 6. labor. Helyettesítő karakterisztikák: Valódi karakterisztika 1 pontosabb számításoknál 2 közelítő számításoknál 3 ideális esetben

ElMe 6. labor. Helyettesítő karakterisztikák: Valódi karakterisztika 1 pontosabb számításoknál 2 közelítő számításoknál 3 ideális esetben ElMe 6. labor 1. Rajzolja fel az ideális és a valódi dióda feszültség-áram jelleggörbéjét! 5. Hogyan szokás közelíteni a számítások során a dióda karakterisztikáját? 4. Rajzolja fel a dióda karakterisztikáját,

Részletesebben

A projekt eredetileg kért időtartama: 2002 február 1. 2004. december 31. Az időtartam meghosszabbításra került 2005. december 31-ig.

A projekt eredetileg kért időtartama: 2002 február 1. 2004. december 31. Az időtartam meghosszabbításra került 2005. december 31-ig. Szakmai zárójelentés az Ultrarövid infravörös és távoli infravörös (THz-es) fényimpulzusok előállítása és alkalmazása című, T 38372 számú OTKA projekthez A projekt eredetileg kért időtartama: 22 február

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika emelt szint 06 ÉETTSÉGI VIZSGA 006. május 5. FIZIKA EMELT SZINTŰ ÍÁSBELI ÉETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint, jól köethetően

Részletesebben

ÖSSZEADÁS, KIVONÁS AZ EGY 0-RA VÉGZŐDŐ SZÁMOK KÖRÉBEN

ÖSSZEADÁS, KIVONÁS AZ EGY 0-RA VÉGZŐDŐ SZÁMOK KÖRÉBEN Matematika A 3. évfolyam ÖSSZEADÁS, KIVONÁS AZ EGY 0-RA VÉGZŐDŐ SZÁMOK KÖRÉBEN 16. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 3. ÉVFOLYAM 16. modul összeadás, kivonás az egy 0-ra végződő számok körében

Részletesebben

19. Az elektron fajlagos töltése

19. Az elektron fajlagos töltése 19. Az elektron fajlagos töltése Hegyi Ádám 2015. február Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. Mérési összeállítás 4 2.1. Helmholtz-tekercsek.............................. 5 2.2. Hall-szonda..................................

Részletesebben

4** A LINA 1 jelzésű félkész áramkör felépítése és alkalmazása DR. BALOGH BÉLÁNÉ-GERGELY ISTVÁN MÉHN MÁRTON MEV. 1. Bevezetés

4** A LINA 1 jelzésű félkész áramkör felépítése és alkalmazása DR. BALOGH BÉLÁNÉ-GERGELY ISTVÁN MÉHN MÁRTON MEV. 1. Bevezetés A LINA 1 jelzésű félkész áramkör felépítése és alkalmazása DR. BALOGH BÉLÁNÉ-GERGELY ISTVÁN MÉHN MÁRTON MEV ÖSSZEFOGLALÁS A LINA 1 félkész áramkör közepes bonyolultságú analóg áramkörök integrált formában

Részletesebben

FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE

FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE 1. Egy alkalmassági vizsgálat adatai szerint a vizsgált személyeken 0,05 valószínűséggel mozgásszervi és 0,03 valószínűséggel érzékszervi

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika 2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A

Részletesebben

Elektromágneses terek 2011/12/1 félév. Készítette: Mucsi Dénes (HTUCA0)

Elektromágneses terek 2011/12/1 félév. Készítette: Mucsi Dénes (HTUCA0) Elektromágneses terek 2011/12/1 félév Készítette: Mucsi Dénes (HTUCA0) 1 1 Bevezetés... 11 2 Vázlat... 11 3 Matematikai eszköztár... 11 3.1 Vektoranalízis... 11 3.2 Jelenségek színtere... 11 3.3 Mezők...

Részletesebben

Dokumentum száma. Oktatási segédlet. ESD Alapismeretek. Kiadás dátuma: 2009.10.20. ESD alapismeretek. Készítette: Kovács Zoltán

Dokumentum száma. Oktatási segédlet. ESD Alapismeretek. Kiadás dátuma: 2009.10.20. ESD alapismeretek. Készítette: Kovács Zoltán Oktatási segédlet ESD Alapismeretek Dokumentum száma Kiadás dátuma: 2009.10.20. ESD alapismeretek Készítette: Kovács Zoltán 1 Kivel nem fordult még elő, hogy az ajtókilincs megérintésekor összerándult?

Részletesebben

MUNKAANYAG. Danás Miklós. Hőtermelő berendezések szerkezeti elemei. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Danás Miklós. Hőtermelő berendezések szerkezeti elemei. A követelménymodul megnevezése: Danás Miklós Hőtermelő berendezések szerkezeti elemei A követelménymodul megnevezése: Villamos készülékek szerelése, javítása, üzemeltetése A követelménymodul száma: 1398-06 A tartalomelem azonosító száma

Részletesebben

Irányítástechnika. II. rész. Dr. Turóczi Antal turoczi.antal@nik.uni-obuda.hu

Irányítástechnika. II. rész. Dr. Turóczi Antal turoczi.antal@nik.uni-obuda.hu Irányítástechnika II. rész Dr. Turóczi Antal turoczi.antal@nik.uni-obuda.hu Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok Lineáris tagok modellje Differenciálegyenlettel

Részletesebben

Szeretném megköszönni opponensemnek a dolgozat gondos. 1. A 3. fejezetben a grafén nagyáramú elektromos transzportját vizsgálja és

Szeretném megköszönni opponensemnek a dolgozat gondos. 1. A 3. fejezetben a grafén nagyáramú elektromos transzportját vizsgálja és Válasz Kriza György bírálatára Szeretném megköszönni opponensemnek a dolgozat gondos áttanulmányozását, az értekezéshez fűzött elismerő megjegyzéseit és kritikus észrevételeit. Kérdéseire az alábbiakat

Részletesebben

Általános gépészeti technológiai feladatok. Géprajzi alapismeretek Gépészeti szakszámítások

Általános gépészeti technológiai feladatok. Géprajzi alapismeretek Gépészeti szakszámítások Általános gépészeti technológiai feladatok Géprajzi alapismeretek Gépészeti szakszámítások A géprajzi feladata A gépalkatrészek gyártását és szerelését műszaki rajzok alapján végzik. A műszaki rajz valamely

Részletesebben

Tető nem állandó hajlású szarufákkal

Tető nem állandó hajlású szarufákkal 1 Tető nem állandó hajlású szarufákkal Már korábbi dolgozatainkban is szó volt a címbeli témáról. Most azért vettük újra elő, mert szép és érdekes ábrákat találtunk az interneten, ezzel kapcsolatban, és

Részletesebben