Részecskék hullámtermészete

Átírás

1 Részecskék ullámtermészete

2 Bevezetés A sugárzás és az anyag egyaránt mutat részecskejellegű és ullámjellegű tulajdonságokat.

3 Atommodellek A Tomson modell J.J. Tomson 1898 A negatív töltésű elektronok pozitív töltésű folyadékba vannak beágyazva. Különféle rezgéseket végeznek, (a klasszikus elmélet szerint) az adott frekvenciákon sugárzást bocsátanak ki.

4 A Ruterford modell

5 Ernest Ruterford (1911) Alfa részecskék szórásának vizsgálata vékony (néány száz atomréteg) arany fólián. Ezáltal az egyes atomok okozta szórást leet megfigyelni. Az alfa részecske energiája néány millió ev, tömege kb szer nagyobb az elektronnál. Visszaszórt alfa részecskéket is észleltek! Nagyszögű szórást csak nagy erők okozatnak Az atom nagy tömegű pozitív töltése egy m sugarú térrészben találató. Ez az atommag.

6 Homogén töltéseloszlású gömb és pontszerű töltés által az alfa részecskére ató erő.

7 Alfa részecskék szóródása aranyfólián

8 Alfa részecskék szóródása aranyfólián Hans Geiger, Ernest Mardsen

9 A Ruterford modell A gyorsuló töltés sugároz

10 A Bor modell A H-atom emissziós spektruma

11 A idrogén emissziós színképének Balmer sorozata. A vonalak a nm ullámossznál torlódik.

12 J. Balmer empirikus képlete A H atom látató spektrumvonalainak ullámosszai n λ 364 n n (.56 nm) ( 3,4,5,...) 1 λ R H 1 1 n R H a Rydberg állandó A frekvenciák f c 1 1 crh λ n

13 A H atom emissziós spektruma

14 A H atom spektrumának vonalai 1 λ R H 1 1 m n f mn c 1 1 crh λ m n m 1 n m n m 3 n m 4 n m 5 n, 3,... 3, 4,... 4, 5,... 5, 6,... 6, 7,... Lyman sorozat Balmer sorozat Pascen sorozat Brackett sorozat Pfund sorozat

15 A Bor posztulátumok Niels Bor 1913 (1) Az elektron a proton körül körpályán mozog a klasszikus fizika törvényei szerint. (A centripetális erőt a Coulomb-féle vonzóerő szolgáltatja) () Az klasszikus elmélettel szemben elektronok csak bizonyos megengedett sugarú pályákon mozogatnak. Ezeken a pályákon az elektron energiája állandó, ezeken a pályákon az elektron stacionárius állapotban van. (3) A megengedett pályák azok, melyeken az elektronok mrv impulzusnyomatéka (perdülete) mvr n n ( n 1,,3,...) ( / π )

16 (4) Az atom akkor bocsát ki (vagy nyel el) elektromágneses ullámokat, amikor átugrik egyik állapotból a másikba. A kibocsátott (vagy elnyelt) foton energiája a két állapot energiája közötti különbséggel egyenlő: Ekez deti Evégső Evégső Ekez deti f f Bor-féle frekvenciafeltétel emisszió abszorpció A Bor elmélet a klasszikus fizika és kvantumfizika sajátságos keveréke. Az elektron a klasszikus mecanika szerint mozog, a klasszikus fizikával ellentétben azonban nem sugároz.

17 A megengedett sugarú és energiájú állapotok megatározása F ma 1 4πε 0 ( Ze)( e) r m v r mvr n n r n ε n πmze 0 ( n 1,,3,4,...) Z 1 r n ( nm) n

18 E U + U ( ) 0 K U 1 4πε 0 ( Ze)( e) r E 1 mv 1 4πε 0 ( Ze)( e) r A HIDROGÉN ATOM ENERGIASZINTJEI E n 4 mz e ( n 1,,3,4,...) 8ε 0 n Z 1 E n 13.6 ev n

19

20 A H atom emissziós és abszorpciós spektruma

21 A korrespondencia elv A klasszikus és az új elmélet közötti kapcsolat Körpályán mozgó elektron által kibocsátott sugárzás frekvenciája a keringés frekvenciája f 0 me ( Z 1 4ε 0 n ) A Bor elméletben a szomszédos energiaszintek közti átmenet során kibocsátott sugárzás frekvenciája f E végső E kez deti

22 ) ( 1 1) ( 1 1) ( 1 1 n n n n n n n n n n 3 >> n n n n n ) ( lim ) ( n n me f ε i E végső E kez f det Ha n igen nagy, atárátmenetben n me f ε Így a kisugárzott frekvencia Nagy n esetén a kvantumelméleti kifejezés megegyezik a klasszikussal.

23 A de Broglie ullámok Louis de Broglie 194 Hipotézise: A ullám-részecske kettősség nemcsak a sugárzásra, anem az anyagi részecskékre is vonatkozik. Az elektromágneses sugárzás fotonjainak impulzusa Minden pmv impulzusú részecskéez ozzárendelető egy ullám p λ A p impulzusú részecske DE BROGLIE HULLÁMHOSSZA mv λ λ p

24 Mi ullámzik? de Broglie: anyagullám, fázisullám, vezérullám Ésszerű magyarázat a Bor-féle kvantumfeltételre: Stacionárius állapot, állóullám Stacionárius állapotban a körpálya kerületén a ullámossz egészszámú többszöröse féret el: πr n nλ mvr n n λ π mv Egyetlen elektron különböző részeinek interferenciájáról van szó!

25 A Davidson-Germer kísérlet Clinton Davidson és Lester Germer (195-7), G.P. Tomson Anyagullámok kísérleti kimutatása elektron-szóráskísérlettel. A Ni lapcentrált köbös (FCC) kristály. Ni egykristály (1,1,1) sík, atomsorok távolsága d nm A beeső elektronok ezeken az atomsorokon szóródva ozzák létre az interferenciaképet. A kis energiájú elektronok nem atolnak be jelentős mélységbe a kristályba. Az elektronok a fémkristály felületéről kitüntetett irányokban szóródnak. 7 cellából álló Ni kristály, egyik csúcsa le van vágva

26 Tekintsük azokat az elektronokat, melyek a metszősíkra merőlegesen esnek be és Φ szög alatt szóródnak. Erősítés feltétele d sin φ mλ ( m 1,,3,...) m a szórás rendje d az atomsorok közötti távolság Az elektront V feszültséggel gyorsítva Ni egykristály (1,1,1) síkjának oldalnézete 1 v mv ev ev m

27 Az elektron impulzusa ev p mv m mev m Az elektron de Broglie ullámossza λ 1 p me V Az elektronok (nem relativisztikus) DE BROGLIE HULLÁMHOSSZA λ 1.6 nm V V voltban van megadva

28 φ 50 V54 V λ nm m1 λ d sin φ ( nm) sin nm

29

30 Látató fény és elektronok elajlása él mellett

31 A ullámmecanika Werner Heisenberg 195 mátrixmecanika Erwin Scrödinger 196 ullámmecanika P.A. Dirac, Neumann János kvantummecanika Paul A. Dirac relativisztikus kvantummecanika, pozitron létezésének megjósolása A Scrödinger egyenlet és a ullámfüggvény (1D) szabadon mozgó tömegpont (az U potenciális energia állandó) p, E síkullám k, ω 1D Ψ0 ( x, t) Aexpi( kx ωt) k π λ ω π T

32 0 0 U m p U K E + + ) ( 0 U E m p ) ( 0 U E m p λ ω E k p m p mv K 1 Nem-relativisztikus részecskék U U 0 ω + 0 U m k E U m p + 0

33 0 0 Ψ Ψ ik x 0 0 Ψ Ψ k x 0 0 Ψ Ψ iω t x k Ψ Ψ i t Ψ Ψ ω t i U x m Ψ Ψ + Ψ Ψ t i U x m Ψ Ψ + Ψ ω + 0 U m k

34 t i U x m Ψ Ψ + Ψ Általánosítás ), ( 0 t x U U ), ( 0 t x Ψ Ψ t t x i t x t x U x t x m Ψ Ψ + Ψ ), ( ), ( ), ( ), ( IDŐFÜGGŐ SCHRÖDINGER EGYENLET t t x i t x t x U x m Ψ Ψ + ), ( ), ( ), (

35 m x + U ( x, t) Ψ ( x, t) i Ψ( x, t) t Vezessünk be egy új matematikai szimbólumot HAMILTON OPERÁTOR H ) U ( x, t) m x + Matematikai műveletek (operációk) sorozata az operátor. IDŐFÜGGŐ SCHRÖDINGER EGYENLET ) HΨ i Ψ t Lineáris másodrendű parciális differenciálegyenlet érvényes a szuperpozíció elve: az egyenlet megoldásainak lineáris kombinációja is megoldás.

36 Időfüggő Scrödinger egyenlet szeparálása Konzervatív rendszernél Eállandó U ( x, t) U ( x) Ψ( x, t) ψ ( x) θ ( t) szeparálató alakban írató ) HΨ i Ψ t ) dθ θhψ ψ i dt ) Hψ & θ ψ i θ & θ dθ dt Az egyenlet bal oldala a koordinátától függ, jobb oldala az időtől. Az egyenlőség minden elyen és időben úgy állat fenn, ogy mindkét oldal állandó.

37 ) Hψ ψ & θ E i θ & θ i θ E θ ( t) θ e 0 E i t θ 0 1 ) Hψ E ψ θ ( t) e ) H ψ Eψ E i t IDŐFÜGGETLEN SCHRÖDINGER EGYENLET ) H ψ Eψ A HULLÁMFÜGGVÉNY (ÁLLAPOTFÜGGVÉNY) E i t ( x, t) ψ ( x) e Ψ ψ ( x) e iωt

38 E i t ( x, t) ψ ( x) e Ψ ψ ( x) e iωt Ψ( x, t) komplex függvény, neve állapotfüggvény vagy ullámfüggvény ψ (x) ) H ψ Eψ sajátfüggvény sajátérték-egyenlet Az állapotfüggvény reguláris függvény, azaz: folytonos véges (négyzetesen integrálató) egyértékű

39 A ullámfüggvény fizikai értelmezése Max Born (196) Ψ( x, t) dx tartózkodási valószínűség annak a valószínűsége, ogy a részecske az x és x+dx tartományban találató. Anyagullám nincsen!!! Ψ( x, t) Ψ ( x, t) Ψ( x, t) valószínűségi sűrűség Konzervatív rendszer esetén U U (x) Ψ ( x, t) ψ ( x) e iωt Ψ( x, t) ψ ( x) A megtalálási valószínűség nem függ az időtől. A részecske valaol van, az egész térre számított tartózkodási valószínűség 1. NORMA Ψ(x) dx 1

40 t t z y x i t z y x t z y x U z y x m Ψ Ψ ),,, ( ),,, ( ),,, ( 3D az állapotegyenlet ( ) ( ) t t r i t r H Ψ Ψ,, r r ) dv t ) Ψ(r, annak a valószínűsége, ogy a részecske a V és V+dV tartományban találató A részecske valaol van, az egész térre számított tartózkodási valószínűség 1. NORMA 1 Ψ dv térre az egész

41 Az elektronok által létreozott interferenciakép sok független esemény összege. Az események számának növelésével a az interferenciakép mintázata egyre kifejezettebbé válik. Az elektron megtalálási valószínűsége, és így az interferenciakép mintázata is független az időtől.

42 Kötött állapotok A ullámfüggvény matematikai tulajdonságai (1D). A sajátértékegyenlet H ˆψ Eψ m d ψ ( x) dx + U ( x) ψ ( x) Eψ ( x) ψ (x) dx A ψ(x) sajátfüggvényt tetszőleges egységnyi abszolút értékű komplex számmal megszorozva ugyanaoz a sajátértékez tartozó sajátfüggvényt kapunk: 1 iα φ( x) e ψ ( x) φ(x) dx 1

43 Dobozba zárt részecske (potenciáldoboz) 0 és D között a potenciális energia zérus, egyébként végtelen. A sajátérték egyenlet: m d ψ ( x) Eψ ( x) dx d ψ ( x) m Eψ ( x) m dx k E d ψ ( x) k ψ ( x) dx matematikai megoldás: ψ ( x) Asin kx + B cos kx végtelen potenciálugrás a falaknál ψ (0) 0 ψ (D) 0 ψ ( 0) 0 + B 0 B 0

44 ψ ( D) Asin kd 0 kd nπ n 0, ± 1, ±, ± 3,... k π n D E n k m ψ ( x) D Asin ψ dx 1 0 matematikai megoldás π md nπ x D n n 1,,3,... fizikai megoldás! a sajátfüggvény normálása D 0 A sin nπx dx D 1 A D ψ x) D nπ sin x D ( n 1,,3,...

45 x D n D x π ψ sin ) ( ) ( ψ x P D x n D x P π sin ) ( n 1,,3,... A sajátfüggvények A valószínűségi sűrűség függvény

46

47 Potenciálvölgy d m d m ψ I ( x) + Uψ ( x) I dx d m ψ dx ψ II ( x) Eψ dx III ( x) + Uψ II III ( x) ( x) Eψ ( x) I Eψ III ( x) ψ I ( 0) ψ II (0) ψ I x ψ II x 0 x x0 a ullámfüggvény folytonos véges potenciálugrásnál a sajátfüggvény koordináta szerinti deriváltja is folytonos ψ ( L) ψ ( L) II ψ III ψ II III x x L x x L

48 A sajátfüggvények A P(x) valószínűségi sűrűség függvények

49 Harmonikus lineáris oszcillátor ) ( ) ( ) ( ) ( x E x x U dx x d m ψ ψ ψ + 1 kx U k mω + 1 n E n ω...,,, 1 0 n 0 ω E zéruspont-energia

50 Nagy kvantumszámok esetén a valószínűségi sűrűség függvény a klasszikus valószínűségi sűrűség függvényez (kék vonal )tart.

51 Az alagúteffektus Véges vastagságú potenciálgát esetén a ullámfüggvény értéke a potenciálgát másik oldalán kicsi, de nem zérus. Véges valószínűsége van annak, ogy a részecske átalad a potenciálgáton.

52 Hullámcsomag szóródásának számítása négyszögletes potenciálgáton az 1D időfüggő Scrödinger egyenlet numerikus megoldásával. m x + U ( x, t) Ψ ( x, t) i Ψ( x, t) t A ullámcsomag egyik része visszaverődik, másik része átalad a potenciálgáton. Nem a részecske asad két részre, anem az ütközés után nullától különböző lesz a részecskének a potenciálgát jobb oldalán való tartózkodási valószínűsége.

53 Pásztázó alagútmikroszkóp (STM) A piezoelektromos kristály mérete változik rá adott feszültség függvényében. Az alagútáramot állandó értéken tartva letapogatjuk a felületet.

54 Grafit kristály felülete

55 Alagút mágneses ellenállás Az alagút mágneses ellenállás effektus (TMR) akkor lép fel, a két ferromágneses réteg között vékony (kb. 1 nm) szigetelő réteg van. Az alagút áram, és így az ellenállás változik a két mágneses réteg relatív orientációjának függvényében. Az ellenállás nagyobb anti-paralel esetben. Szobaőmérsékletű TMR J. S. Moodera et al. "Large Magnetoresistance at Room Temperature in Ferromagnetic Tin Film Tunnel Junctions", Pys. Rev. Lett. 74 pp ) (1995) Alkalmazás: HDD olvasó fej szenzora (005) mágneses RAM (MRAM) (000)

56 TMR mágnesezettség TMR spin szelep

57 TMR spin szelep szenzor a szabad réteg szigetelő rögzített réteg anti-ferromágneses réteg további rétegek a szórt terek csökkentése céljából Jelenlegi TMR arány > 300 % A TMR jel igen/nem állapota AF Szabad és rögzített réteg Szórt terek csökkentése

58 Rezonáns alagút effektuson alapuló eszközök GaAs GaAl x As 1-x A rezonáns alagúteffektuson alapuló félvezető eszköz felépítése. zérus feszültség A potenciális energia diagramon a kettős potenciálgát a kvantum pont falainak felel meg. Elektronok aladnak a GaAs félvezetőben jobbra és (balról) elérik a kvantum pont potenciálgátját. Ha az eszközre nincs feszültség kapcsolva, a kvantum pont egyik kvantált energiaszintje sem egyezik meg (rezonáns) a bejövő elektron energiájával, nem folyik áram.

59 Ha megfelelő feszültséget kapcsolunk az eszközre, a potenciális energia görbe megváltozásával az egyik energiaszint rezonanciába kerül a bejövő elektron energiájával. Az elektronok a potenciálgáton alagúteffektussal átaladva áramot oznak létre.

60 Rezonáns alagút tranzisztor GaAl x As 1-x Ha az eszközöz egy gate elektródát adunk, rezonáns alagút tranzisztorrá alakul. Elektronok aladnak a GaAs félvezetőben jobbra és (balról) elérik a kvantum pont potenciálgátját. Ha az eszközre kis feszültség van kapcsolva, a kvantum pont egyik kvantált energiaszintje sem egyezik meg (rezonáns) a bejövő elektron energiájával, nem folyik áram.

61 Ha feszültséget kapcsolunk a gate elektródára, a potenciál lecsökken és ezzel együtt a kvantált energiaszintek is. A gate feszültség kis változásaira a kvantált energiaszint a bejövő elektron energiával rezonanciába kerül, vagy onnan kikerül, és az eszköz áramában (és a belső ellenálláson eső feszültségben) nagy változásokat okoz.

62 A Heisenberg-féle atározatlansági relációk pˆ xˆ x az impulzus x komponensének operátora az x koordináta operátora Nem felcseréletők!!! A HEISENBERG-FÉLE FELCSERÉLÉSI RELÁCIÓK pˆ pˆ x y pˆ xˆ yˆ z xp ˆˆ x yp ˆ ˆ zˆ zp ˆˆ y z i i i [ ˆ, xˆ ] p x [ ˆ, yˆ ] p y [ ˆ, zˆ ] p z i i i De [ ˆ yˆ ] 0 [, zˆ ] 0 p x, ˆ [ ˆ, xˆ ] 0 [ zˆ ] 0 p x p y [ xˆ, yˆ ] 0 [ xˆ, zˆ ] 0 [ zˆ, yˆ ] 0 ˆ, [, xˆ ] 0 p y ˆ [ y] 0 p z ˆ p z, ˆ

63 Mérés a kvantummecanikában Sajátállapotban a rendszer állapotfüggvénye valamelyik sajátfüggvénnyel egyezik meg. Minden elemi mérés eredménye a fizikai mennyiséget reprezentáló operátor valamelyik sajátértéke. Mérés sajátállapotban: a mérés eredménye a fizikai mennyiséget reprezentáló operátornak a kérdéses állapotoz tartozó sajátértéke. A kevert állapot sajátállapotok lineáris szuperpozíciója. Mérés kevert állapotban: nem sajátállapotban minden elemi mérés a fizikai mennyiséget reprezentáló operátor valamelyik sajátértékével egyenlő. Azt azonban, ogy a különböző sajátértékek közül melyik lesz az elemi mérés eredménye, nem leet megmondani. Azt azonban ki tudjuk kiszámítani, ogy mi a valószínűsége az adott sajátérték mérésének. A kevert állapotban lévő rendszeren végzett elemi mérés során a rendszer sajátállapotba kerül.

64 Ugyanazon kevert állapotban lévő rendszereken végzett elemi mérések összessége egy isztogramot eredményez. Sok azonos, kevert állapotban lévő rendszeren végzett mérés esetén az egyes sajátértékek relatív gyakorisága a kérdéses sajátérték mérésének valószínűségéez tart. Az eloszlásnak van átlagértéke (várató értéke) és szórása. Legyen N db. azonos állapotban lévő rendszer, a felén (N rendszeren) mérjük meg az A fizikai mennyiséget szórás átlagérték ΔA < A > Ψ V V Ψ A ΨdV ˆ ( Aˆ < A > ) Ψ a másik felén (N rendszeren) mérjük meg a B fizikai mennyiséget dv szórás átlagérték ΔB V Ψ < B > Ψ V ( Bˆ < B B ΨdV ˆ > ) Ψ dv

65 Ha két fizikai mennyiség operátora nem felcserélető, akkor a két mennyiség szórásának a szorzata nem leet tetszőlegesen kicsi. Elvi korlát van a szórások szorzatára. Nem létezik a természetben olyan állapot, melyben ezen a két fizikai mennyiség szórásának szorzata zérus. A HEISENBERG-FÉLE HATÁROZATLANSÁGI RELÁCIÓ ÁLTALÁNOS ALAKJA Scrödinger reprezentáció ΔA ΔB ˆ p x ˆ p y i i 1 ψ V x y [ ] Aˆ, Bˆ ψ dv xˆ x ŷ y ˆ p z i z ẑ z

66 A koordináta és a megfelelő impulzus-komponens mérése A HEISENBERG-FÉLE HATÁROZATLANSÁGI RELÁCIÓK Δ Δ p x p y Δx Δy Δ p z Δz Δ p x Δy 0 Δ p x Δz 0 Δ p y Δx 0 Δ p y Δz 0 Δ p z Δx 0 Δ p z Δy 0

67 Impulzusmomentum (perdület) z komponense ˆ L z i φ φˆ φ Lˆ ˆ φ ˆ φlˆ z z i A HEISENBERG-FÉLE HATÁROZATLANSÁGI RELÁCIÓ Δ L z Δφ

68 Mérés időtől függő állapotban A HEISENBERG-FÉLE HATÁROZATLANSÁGI RELÁCIÓ ΔEΔt ΔE Δt az adott állapot energiájának szórása az energiaállapot élettartama természetes vonalszélesség

69 A megfigyelések eredményeit a klasszikus fizika nyelvén fogalmazzuk meg. De a klasszikus fizika fogalmai nem mindig illeszkednek jól a mikrovilágoz. A Heisenberg-féle atározatlansági relációk úgyszólván útjelző táblák, melyek azt mondják: Eddig és nem tovább asználatók a klasszikus változók (bizonyos párjai). Ezen a atáron túl már nem megfelelőek. A nem megfelelő kérdésekre valószínűségi eloszlás lesz a válasz. A megfelelő kérdésekre a kvantummecanika éles, pontos választ ad.

70 A komplementaritási elv A mikrovilág objektumai sem nem részecskék, sem nem ullámok, bár egyes estekben az egyik, más esetekben a másik jellegük domborodik ki. A BOHR-FÉLE KOMPLEMENTARITÁSI ELV Niels Bor (198) A kvantumos jelenségek körében a ullám és részecske tulajdonságok egymást kiegészítik. Bár az egyik leírási mód eleve kizárja a másik egyidejű (szimultán) asználatát, a teljes megértésez mindkettőre szükség van.

71 Kétréses interferencia kísérlet elektronokkal

72 Kétréses interferencia kísérlet elektronokkal

73