Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Átírás

1 Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév

2

3 . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei: A természetes számok halmazába tartoznak a pozitív egész számok és a 0, azaz N : {0,,,,... } c) műveletek Az összeadás és a szorzás nem vezet ki a számhalmazból. A kivonás, az osztás és a gyökvonás elvégzése viszont nem mindig lehetséges. ➁ a) jelölése: Z b) elemei: Az egész számok halmazába tartoznak a pozitív és negatív egész számok és a 0, azaz Z : {0, ±, ±, ±,... } c) műveletek Az összeadás, a kivonás és a szorzás nem vezet ki a számhalmazból. Az osztás és a gyökvonás elvégzése viszont nem mindig lehetséges. ➂ a) jelölése: Q b) elemei: A racionális számok halmazába azon számok tartoznak, melyek felírhatók két egész szám hányadosaként. Ahhoz, hogy ez a felírás egyértelmű legyen a következő kikötéseket szokás tenni: { } p Q :, p Z, q Z, q > 0, (p, q) q c) műveletek Az összeadás, a kivonás, a szorzás és az osztás (0-ra figyelni kell) nem vezet ki a számhalmazból. A racionális számok halmaza a rajta értelmezett összeadás és szorzás műveletekkel testet alkot (részletesebb magyarázat Bevezetés a matematikába című tárgy keretein belül). A határátmenet (magyarázat később) és a gyökvonás elvégzése továbbra is problémát jelent.

4 4. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK ÉS TULAJDONSÁGAIK ➃ a) jelölése: R b) elemei: A számegyenes pontjaival kölcsönösen egyértelmű módon megfeleltethető számhalmazt nevezzük valós számhalmaznak. c) műveletek Az összeadás, a kivonás, a szorzás, az osztás (0-ra figyelni kell) és a határátmenet nem vezet ki a számhalmazból. A valós számok halmaza is testet alkot a rajta értelmezett összeadás és szorzás műveletekkel. A gyökvonás elvégzése (negatív számok esetén) továbbra is probléma. Ezt fogja megoldani a komplex számok (C) bevezetése (részletesebb magyarázat Bevezetés a matematikába című tárgy keretein belül). További jelölések Több állítás esetén is ki kell zárnunk a természetes számok közül a nullát. Szokás a nullától megfosztott természetes számok halmazára új jelölést bevezetni: N : N\{0} Legyen n N, ekkor a N n : {k, N k < n} halmazt a természetes számok n-edik szeletének nevezzük. A valós számhalmaz azon elemeit, melyek nem tartoznak a racionális számok közé (a racionális számok halmazának a valós számokra vonatkozó komplementer halmaza) irracionális számoknak nevezzük és Q -gal jelöljük, azaz Q : R\Q.. Az abszolútérték és tulajdonságai.. Definíció. Az a R szám abszolútértékén az { a, ha a 0 a : a, ha a < 0. számot értjük... Tétel. (Az abszolútérték tulajdonságai) i) a 0 minden a R esetén és a 0 pontosan akkor teljesül, ha a 0. ii) Bármely a R esetén a a a. iii) Legyen a, b R, ekkor a+b a + b. (háromszög egyenlőtlenség) iv) Legyen a, b R, ekkor a b a b. v) Legyen a, b R, ekkor a b a b... Megjegyzés. Az abszolútérték geometriai jelentése a számegyenes a 0-tól mért távolság..4. Definíció. Legyen a, b R, a<b. Intervallumnak nevezzük és az alábbi módon jelöljük a valós számhalmaz alábbi részhalmazait:

5 .. SZÁMHALMAZ ALSÓ ÉS FELSŐ HATÁRA 5 zárt intervallum: [a, b] : {x R a x b} nyílt intervallum: (a, b) : {x R a < x < b} balról zárt, jobbról nyílt intervallum: [a, b) : {x R a x < b} balról nyílt, jobbról zárt intervallum: (a, b] : {x R a < x b}.5. Definíció. Az a szám R sugarú környezetén az (a R, a+r) nyílt intervallumot értjük és K R (a)-val jelöljük..6. Következmény. K R (a) környezet pontosan azon x valós számokat tartalmazza, melyekre x a < R... Számhalmaz alsó és felső határa.7. Definíció. Legyen A R. Ha létezik α A elem, melyre igaz, hogy α a minden a A esetén, akkor a α számot az A halmaz maximumának nevezzük és a max A : α jelölést használjuk..8. Definíció. Legyen A R. Ha létezik β A elem, melyre igaz, hogy β a minden a A esetén, akkor a β számot az A halmaz minimumának nevezzük és a min A : β jelölést használjuk..9. Tétel. Véges halmaznak mindig van legnagyobb és legkisebb eleme (maximuma és minimuma)..0. Következmény. Az hogy valamely A R halmaznak nincs minimuma, megfogalmazható pozitív állítás formájában is: m A esetén a A elem, hogy a < m... Következmény. Hasonlóan, ha az A R halmaznak nincs maximuma, akkor M A esetén a A elem, hogy a > M... Definíció. Legyen A R. Akkor mondjuk, hogy az A halmaz felülről korlátos, ha létezik K R szám, melyre a K, minden a A esetén. Ekkor a K R valós számot a halmaz egy felső korlátjának nevezzük... Definíció. Legyen A R. Akkor mondjuk, hogy az A halmaz alulról korlátos, ha létezik k R szám, melyre a k, minden a A esetén. Ekkor a k R valós számot a halmaz egy alsó korlátjának nevezzük..4. Definíció. Legyen A R. Akkor mondjuk, hogy az A halmaz korlátos, ha létezik M R + szám, melyre a M, minden a A esetén. Ekkor a M R nemnegatív valós számot a halmaz egy korlátjának nevezzük..5. Következmény. Az A R halmaz pontosan akkor korlátos, ha felülről is és alulról is korlátos.

6 6. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK ÉS TULAJDONSÁGAIK.6. Következmény. Legyen A R felülről korlátos halmaz és K R a halmaz egy felső korlátja. Ekkor minden K > K valós szám jó felső korlátja a halmaznak. Azaz, ha a halmaznak létezik felső korlátja, akkor végtelen sok van..7. Következmény. Legyen A R alulról korlátos halmaz és k R a halmaz egy alsó korlátja. Ekkor minden k < k valós szám jó alsó korlátja a halmaznak. Azaz, ha a halmaznak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok van..8. Tétel. Felülről korlátos halmaz felső korlátjai között mindig van legkisebb és alulról korlátos halmaz alsó korlátjai között mindig van legnagyobb..9. Definíció. A ξ R számot az A R halmaz szuprémumának (felső határának) nevezzük, ha i) ξ egy felső korlát, azaz ξ a minden a A esetén. ii) ξ a legkisebb felső korlát, azaz bármely K < ξ esetén létezik a A elem, melyre a > K teljesül..0. Definíció. A ξ R számot az A R halmaz infimumának (alsó határának) nevezzük, ha i) ξ egy alsó korlát, azaz ξ a minden a A esetén. ii) ξ a legnagyobb alsó korlát, azaz bármely k > ξ esetén létezik a A elem, melyre a < k teljesül... Következmény. Ha az A R halmaznak van maximuma, akkor van szuprémuma is és sup A max A és hasonlóan ha az A R halmaznak van minimuma, akkor van infimuma is és inf A min A... Következmény. Ha az A R halmaz tartalmazza egy K felső korlátját, akkor a halmaznak van maximuma és max A K és hasonlóan ha az A R halmaz tartalmazza egy k alsó korlátját, akkor a halmaznak van minimuma és min A k... Feladat. Fogalmazzuk meg pozitív állítás formájában, hogy az A R felülről nem korlátos. K R, a A, a > K... Feladat. Fogalmazzuk meg pozitív állítás formájában, hogy az A R alulról nem korlátos. k R, a A, a < k... Feladat. Fogalmazzuk meg pozitív állítás formájában, hogy az A R nem korlátos. M R, a A, a > M.

7 .. SZÁMHALMAZ ALSÓ ÉS FELSŐ HATÁRA 7.4. Feladat. Határozzuk meg az alábbi számhalmaz alsó- és felső határát. { } A n : n N, n > 0 Sejtés: sup A. Bizonyítás:. i) Az egy jó felső korlát, hiszen a A a, mivel n n ii) Az a legkisebb felső korlát, vagyis a A minden K-ra ilyen. K < esetén a A : a > K. Azaz K valóban a legkisebb felső korlát. (Az állítás indokolható lett volna azzal is, hogy A így a halmaz maximuma és szuprémuma is egyben.) Sejtés: inf A 0. Bizonyítás:. i) A 0 egy jó alsó korlát, mivel a A a 0. nyilvánvaló, hiszen, n 0 a n 0. ii) A 0 a legnagyobb alsó korlát, vagyis k > 0 esetén a A : a < k. Legyen b k R+. Az archimédeszi axióma alapján, b R + számokhoz n N b < n. Ekkor Azaz k valóban a legnagyobb alsó korlát. a : n < b k..5. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy inf { x : x X} sup X. Legyen α : sup X és legyen Y : { x : x X}. Ekkor i) Az α az Y egy jó alsó korlátja, mivel α sup X x X α x α x x X α y y Y.

8 8. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK ÉS TULAJDONSÁGAIK ii) Az α az Y infimuma, azaz k > α esetén y 0 Y : y 0 < k. Mivel α az X szuprémuma ezért bármely K < α esetén létezik x X elem, hogy x > K. Legyen K 0 k < α és legyen x 0 a fentiek alapján K 0 -hoz talált X-beli elem, azaz x 0 > K 0 k K > α y 0 x 0 Y y 0 x 0 < K k. Azaz α valóban az Y halmaz infimuma..6. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy sup {x+y : x X, y Y } sup X + sup Y. } {{ } } {{ } } {{ } :A α β i) α+β egy jó felső korlát, hiszen x α ( x X) és y β ( y Y ). A két egyenlőtlenséget összeadva: x+y α+β x X, y Y. ii) α+β a legkisebb felső korlát, azaz K < α+β esetén a A, amelyre a > K. Mivel K < α+β ezért létezik k < α és létezik k < β, hogy K k +k. (Megjegyeznénk, hogy K felbontásai közül nem mind teljesít egyszerre mindkét feltételt, de garantálható, hogy létezik olyan felbontás, amely igen.) Ekkor k < α sup X x 0 X, x 0 > k, k < β sup Y y 0 Y, y 0 > k. Így a : x 0 +y 0 A esetén a > K k +k teljesül..4. Nevezetes összefüggések.. Tétel. (Számtani és mértani közép közötti összefüggés) Legyen a, a,..., a n n darab nemnegatív szám (n N ). Ekkor a számok számtani közepe nem kisebb ugyanezen számok mértani közepénél, azaz n a a... a n a +a + +a n n és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a a a n..4. Tétel. (Általánosított háromszögegyenlőtlenség) Bármely x, x,... x n R, n N számokra x +x + +x n x + x + + x n..5. Tétel. (Bernoulli egyenlőtlenség) Minden n N és h R esetén a) +nh (+h) n, ha h >, b) (+h) n +nh, ha 0 < h < n.

9 . fejezet Számsorozatok alaptulajdonságai.. Definíció. I. A természetes számok halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. II. Azokat a hozzárendeléseket, melyek a természetes számok minden eleméhez egy X halmaz egy és csakis egy elemét rendelik, sorozatoknak nevezzük. Jelölések, elnevezések: x : N X (X ): sorozat x(n) : x n (n N): sorozat n. tagja, n: elem indexe. További jelölések sorozatra: x (x 0, x,... ) x (x n, n N) x n (n N) Megkülönböztetünk néhány sorozatot: Ha X R, akkor x valós számsorozat, Ha X C, akkor x komplex számsorozat, vektorsorozat, intervallumsorozat, függvénysorozat. Sorozatok megadása Felsorolással: Pl. (,,5,7,9,,... ), Képlettel: Pl. x n n+,(n N), Rekurzióval: Pl.. x 0, x n x n +, (n N ),. x 0 x, x n+ x n +x n, (n N, n ): Fibonacci sorozat, 9

10 0. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI Sorozatok ábrázolása Számegyenesen: Az egyes elemek értékét ábrázoljuk. Valamilyen módon jelöljük, hogy melyik elem melyik indexhez tartozik. Koordinátarendszerben: A sorozat elemeit (n, a n ) számpárokként ábrázoljuk (a sorozatot az n a n hozzárendelés grafikus képeként ábrázoljuk).. Sorozatok jellemzése... Monotonitás.. Definíció. Az x : N R valós számsorozatot monoton csökkenőnek nevezzük, ha x n x n+ n N, szigorúan monoton csökkenőnek nevezzük, ha x n > x n+ n N, monoton növőnek nevezzük, ha x n x n+ n N, szigorúan monoton növőnek hívjuk, ha x n < x n+ n N, Egy valós számsorozat monotonitás szempontjából tehát lehet a) monoton: monoton növekedő: szigorúan monoton növekedő (Pl. (n, n N)) nem szigorúan monoton növekedő (Pl. (,,,,,,4,4,... ), konstans sorozat) monoton csökkenő: szigorúan monoton csökkenő (Pl.: ( n, n N)) nem szigorúan monoton csökkenő (Pl.: (,,,,,, 4, 4,... ), konstans sorozat) b) nem monoton, egy adott indextől kezdve monoton. Pl.:(6,5,,4,9,8,,7,5,8,5,,,,4,5,6,... ) egy adott indextől kezdve sem monoton. Pl.:(( ) n, n N), (sin 4π n, n N ). A definíciókból rögtön következik, hogy x : N R nem monoton csökken, ha nem monoton nő, ha n N : x n < x n+ n N : x n > x n+, nem monoton, ha nem monoton nő és nem monoton csökken, azaz n N : x n < x n+ és m N : x m > x m+. Ha x:n R számsorozat monoton nő és monoton csökken, akkor x az ún. konstans sorozat, azaz x n x n+ állandó n N.

11 .. SOROZATOK JELLEMZÉSE.. Feladat. Írjuk fel a sorozat 0.,.,.,., 5., 0. elemét, ábrázoljuk ezeket az elemeket. Fogalmazzunk meg sejtést a sorozat monotonitásáról, majd igazoljuk azt. ( ) n a +n, n N a 0 a + 4 a a a a Sejtés: szigorúan monoton csökken. Monotonitás vizsgálat: a n+ a n? Ezeket felhasználva: a n n +n, a n+ (n+) +(n+) n +n+ n n+4 a n+ a n n n+4 n +n ( n )(+n) ( n)(n+4) (n+4)(n+) 4n 4n n ( 4n +n 8n+4) 6 (n+4)(n+) < 0 a n+ a n < 0 n N a n+ < a n n N (n+4)(n+) n N Tehát a sorozat valóban szigorúan monoton csökkenő.

12 . FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI.. Feladat. Vizsgáljuk meg monotonitás szempontjából a következő sorozatokat! ( ) n a) a +n, n N n+ a n+ a n? Ezeket felhasználva: a n n +n n+ a n+ (n+) +(n+) (n+)+ a n+ a n n +4n+ n+ n +n++n+ n+ n +4n+ n+ n +n n+ (n +4n+)(n+) (n +n)(n+) (n+)(n+) n +4n +n+n +4n+ (n +n +n +4n) (n+)(n+) n +n+ (n+)(n+) > 0 n N a n+ a n > 0 n N a n+ > a n n N Tehát a sorozat szigorúan monoton növő. b) b ( n n 7, n N) i) b 0 0 > b 5 > b > b < b 4 4. A fenti néhány elem felírásából is látszik, hogy a sorozat nem monoton, mert.. Megjegyzés. b > b < b 4.. Nem monoton sorozat esetén elegendő három egymás utáni elemet mutatni, amelyek úgy viselkednek, hogy a sorozat sem monoton növő, sem monoton csökkenő nem lehet.. A sorozat általános tagjának értelmezhetőségét vizsgálva a következő megállapítás tehető: n ; n 7 n,5. n 7 Ezt a kritikus értéket a sorozat elemeinek indexe a kikötéstől függetlenül sem venné fel (,5 / N), de a vizsgálat azért hasznos, mert a sorozat a kritikus pont környezetében vált monotonitást, vagyis most a b, b, b 4, vagy a b, b 4, b 5 elemhármas felírásával megmutatható, hogy a sorozat nem monoton.

13 .. SOROZATOK JELLEMZÉSE. Az előző megjegyzésekben vázolt módszer előnye, hogy kevés számolással választ tudunk adni a sorozat monotonitására. A hátránya abban rejlik, hogy csupán annyit lehet megállapítani, hogy a sorozat nem monoton. A következő módszerrel ennél többet is megállapíthatunk. ii) b n+ b n? Ezeket felhasználva: b n b n+ n n 7 (n+) (n+) 7 n+ n 5 b n+ b n n+ n 5 n n 7 (n 7)(n+) (n 5)n (n 5)(n 7) n 7n+n 7 (n 7n) (n 5)(n 7) 7 (n 5)(n 7) < 0 ha n > 0 ha n < 0 ha n 4 Legyen A : n 5 és B : n 7. Ekkor a b n+ b n különbség egy olyan tört alakban írható, amelynek számlálója 7, nevezője pedig az A B szorzat, így az előjele leolvasható az alábbi táblázatból: n 0 n n 4 n A + + B + b n+ b n + Tehát a b sorozat egy bizonyos indextől kezdve szigorúan monoton csökken. Megjegyzés. A dolgozatban a feladat megoldását a részletesebb módszerrel kérjük. c) c (( ) n ) 5, n N i) A sorozat nem monoton, hiszen például: c 0 > c 5 < c 5. ii) c n+ c n ( n+ ( 5) ) n ( 5 5 5) n ( ) n 5 ( n ( 5) 5 ) 6 5 Tehát a sorozat nem monoton. ( 5 ) n < 0 ha n páros > 0 ha n páratlan.

14 4. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI.4. Megjegyzés. A második, részletesebb megoldás során válik láthatóvá, hogy nincs olyan index, amelytől kezdve a sorozat monoton lenne. Érdemes megjegyezni, hogy a monoton és a bizonyos indextől kezdve monoton sorozatok viselkedése hasonlít egymásra és nem a nem monoton sorozatoké. Ezért érdemes a részletesebb vizsgálatot végigszámolni..5. Definíció. Ha egy sorozatból végtelen sok elemet választunk ki olyan sorrendben, ahogy az eredeti sorozatban szerepeltek, akkor az eredeti sorozat egy részsorozatát kapjuk..6. Tétel. Bármely valós számsorozatnak van monoton részsorozata.... Korlátosság.7. Definíció. x : N R valós számsorozatot alulról korlátosnak nevezzük, ha értékkészlete alulról korlátos, azaz ha k R, hogy n N : x n k..8. Definíció. x : N R valós számsorozatot felülről korlátosnak nevezzük, ha értékkészlete felülről korlátos, azaz ha K R, hogy n N : x n K..9. Definíció. x : N R valós számsorozatot korlátosnak nevezzük, ha alulról és felülről is korlátos..0. Definíció. Egy x : N R felülről korlátos valós számsorozat értékkészletének legkisebb felső korlátját felső határnak, vagy szuprémumnak nevezzük. (Jelölés: sup x) Egy x : N R alulról korlátos valós számsorozat értékkészletének legnagyobb alsó korlátját alsó határnak, vagy infimumnak nevezzük. (Jelölés: inf x).. Feladat. Vizsgáljuk meg az a ( n +n, n N) sorozatot korlátosság szempontjából! i) sejtés 00 a n.. Megjegyzés. A sejtés felső becslése rossz. A sorozat első néhány elemét felírtuk az.. feladatban. Azok alapján látható, hogy a sorozatnak van -nél nagyobb eleme. Azért választottuk a nyilvánvalóan hibás felső korlátot, hogy lássuk, mi történik, ha rossz a sejtés. Bizonyítás:. Megvizsgáljuk, hogy a 00 n n+ reláció mely n-ekre teljesül. 00 n n+ 0 n n+00n n+ n+ 0 98n+0 n+ A tört akkor pozitív, ha a számláló és a nevező azonos előjelű. Legyen A:98n+0 és B : n+. Ekkor felhasználva, hogy

15 .. SOROZATOK JELLEMZÉSE 5 n+ 0 n n 98n n 0 n a tört előjele leolvasható az alábbi táblázatból. n n < 67 n < n < n < n A B 0 + A + 0 NA + B I. II. III. IV. V. Az I.-es és a II.-es tartomány a feltételnek megfelelne, de nincs ilyen n N. A III.- as és a IV.-es tartomány nem felel meg a feltételnek, úgysincs ilyen n N. n N tehát az V. tartományba esik. Ebben a tartományban pedig a fenti táblázat alapján minden pont kielégíti a feltételt. Ezzel az állítást igazoltuk, vagyis k 00 egy jó alsó korlát... Megjegyzés. Fordítva is indokolhattunk volna: Ha n N, akkor 98n+0 > 0 és n+ > 0. Vizsgáljuk most a felső korlátra vonatkozó sejtést! Bizonyítás:. a n n n+ n n+ + 0 (n+) n+n+ 0 n n+ 0 A baloldalon szereplő tört nevezője minden n N esetén pozitív, így a tört előjelét a számláló határozza meg. Tehát a tört pontosan akkor nem-pozitív, ha n. A feltétel nem teljesül minden természetes index esetén, ebből látszik, hogy a becslés nem volt helyes. Szerencsére csak véges sok n N esetén nem igaz az állítás (n 0, n ). Ilyenkor új korlátot választunk. Ha lehetséges, akkor érdemes felírni a problémás elemeket és meghatározni a maximumukat. (Hiszen véges sok elem esetén mindig van ilyen tulajdonságú.) a 0, a. A következő sejtés K lesz, ami 4

16 6. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI már nyilvánvalóan jó lesz. a n n n+ n n+ 0 (n+) n n 0 n n+ 0 Ami nyilvánvalóan minden szóbajöhető n-re teljesül. ii) Mivel monotonitás szempontjából már megvizsgáltuk a sorozatot, használhatók a monoton sorozatok korlátaira vonatkozó tételek. (lásd konvergencia után) Ezek előnye, hogy rögtön a határokat adják meg, míg az első módszernél a határokat tovább kell keresni. a szigorúan monoton csökkenő, vagyis a 0 > a > a > > a n > a n+ >... n N Így a 0 a n n N. K a 0 max{a n : n N} sup{a n : n N} sup a. Szigorúan monoton csökkenő sorozat alsó határa (infimuma) a határérték: k inf a lim a lim n a n. Ha az első módszerrel vizsgáljuk, a szuprémum illetve infimum tulajdonság bizonyítása a halmazoknál használt módon történik.... Konvergencia... Konvergencia definíciói.. Definíció. Legyen x : N R, (x n, n N) egy számsorozat. Az x sorozat konvergens, ha (A) α R : ε > 0 V ε : {n N : x n / K ε (α)} véges halmaz. (B) α R : ε > 0 N N(ε) N : n > N esetén: x n α < ε..4. Tétel. A két konvergencia definíció ekvivalens egymással. ((A) (B)).5. Tétel. Ha x : N R, (x n, n N) konvergens számsorozat, akkor egyetlen α R valós szám létezik, melyre (A) illetve (B) teljesül..6. Definíció. Az x:n R konvergens sorozathoz az (A) illetve a (B) definíció szerinti egyetlen α R számot az x sorozat limeszének, vagy határértékének nevezzük.

17 .. SOROZATOK JELLEMZÉSE 7 Jelölés: lim x α, lim x n α, x n α (n ), L(x) α n A konvergencia, a határérték és a küszöbszám szemléletes jelentése az alábbi ábráról leolvasható:.7. Definíció. Ha egy x : N R sorozat nem konvergens, akkor azt mondjuk, hogy divergens. Az (A) illetve a (B) definíció szerint ez azt jelenti, hogy. (A) α R : ε > 0 V ε : {n N : x n / K ε (α)} végtelen számosságú halmaz. (B) α R : ε > 0 N N : n > N, hogy x n α ε..8. Definíció. Az x : N R sorozat határértéke +, ha (A) R R V R : {n N : x n R} véges. (B) R R N N(R) N : n > N esetén x n > R.9. Definíció. Az x : N R sorozat határértéke, ha (A) r R V r : {n N : x n r} véges. (B) r R N N(r) N : n > N esetén x n < r Jelölés: lim x ±, lim x n ±, x n ± (n ), L(x) ± n... Konvergencia definíciójának következménye.0. Következmény. (. következmény) Ha az x, y : N R számsorozatok majdnem minden (m.m.) n indexre megegyeznek, azaz N N, hogy, ha n > N : x n y n, akkor a két sorozat ekvikonvergens, azaz x akkor és csak akkor konvergens, ha y is konvergens és L(x) L(y).

18 8. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI.. Következmény. (. következmény) Minden konvergens sorozat korlátos, de van olyan korlátos sorozat, amely nem konvergens... Megjegyzés. A. következmény értelmében létezik olyan korlátos sorozat, amely nem konvergens. Erre a leggyakrabban használt példa az (( ) n, n N) sorozat amely korlátos, de nem konvergens. Ennek bizonyítása a következő előadáson kerül elő... Következmény. (. következmény) Konvergens sorozat bármely részsorozata is konvergens, és határértéke az eredeti sorozat határértékével egyenlő..4. Megjegyzés. Ha egy sorozat két részsorozatának határértéke különböző, akkor az eredeti sorozat divergens.... Monoton sorozatok konvergenciája.5. Tétel. Legyen x : N R (x (x n, n N)) egy monoton számsorozat. Ekkor az x sorozat pontosan akkor konvergens, ha korlátos és L(x) sup x, L(x) inf x, ha x monoton nő, ha x monoton csökken..6. Megjegyzés. Monoton csökkenő sorozat szuprémuma, illetve monoton növő sorozat infimuma a kezdőelem, azaz.4. Feladat. sup x x 0 ha x monoton csökkenő inf x x 0 ha x monoton növő. a) Definíció alapján igazoljuk az a ( n n+, n N) sorozat konvergenciáját! b) Adjuk meg, hogy a sorozat mely elemei esnek a határérték ε 0,0 sugarú környezetébe! a) Sejtés: lim n a n A. Az (a n, n N) sorozat konvergens és a határértéke a A szám, ha ε > 0 N N(ε) N n > N a n A < ε. (.) n n+ ( ) < ε n+(n+) n+ < ε n+ < ε

19 .. SOROZATOK JELLEMZÉSE 9 Az abszolútértékben szereplő kifejezés n N esetén pozitív, így az abszolútértéke önmaga: Ekkor legyen N(ε) : max {[ ε n+ < ε < ε(n+) < n+ ε < n ε ], 0 ε }. < n Nyilvánvaló, hogy ez jó küszöbindex és bármely ε > 0 esetén a fenti formula alapján kiszámítható, így a sorozat valóban konvergens és a határértéke. b) N(0,0) [ 00 ] [ ] [ ] Vagyis a sorozat 49. eleme még kívül van a (,0; 0,99) környezeten, de az 50. elemtől kezdve az összes elem a fenti intervallumba esik..5. Feladat. Vizsgáljuk meg a következő sorozatot monotonitás és korlátosság szempontjából. Bizonyítsuk a konvergenciát definíció alapján! ( ) n+ a n+, n N. I) Monotonitás: a n+ a n (n+)+ (n+)+ n+ n+ n+5 n+4 n+ n+ (n+5) (n+) (n+) (n+4) (n+) (n+4) 7 (n+) (n+4) < 0 n N a n+ a n < 0 n N a n+ < a n n N Így a sorozat szigorúan monoton csökkenő. II) Konvergencia Sejtés: A sorozat konvergens és lim a n A, azaz n ε > 0 N(ε) N n > N a n A < ε (6n +7n+5) (6n +7n+) (n+) (n+4)

20 0. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI a n A < ε n+ n+ < ε 6n+9 (6n+) (n+) < ε 7 (n+) < ε, 7 > 0, ezért (n+) Így 7 < ε, (n+) > 0, ezért (n+) 7 < n+ ε 7 9 ε < n {[ 7 N(ε) : max 9 ε ] },0 választása mellett a definíció teljesül, azaz a sorozat valóban konvergens és a határérétéke lim a. III) Korlátosság Mivel a sorozat konvergens és a konvergencia szükséges feltétele a korlátosság, ezért a sorozat korlátos is. Ha a sorozat alsó- illetve felső határát is kérdezné a feladat, akkor arra a tételre hivatkozhatnánk, melyszerint monoton csökkenő sorozat szuprémuma a kezdőelem és infimuma a határérték, azaz sup a a 0 inf a lim a.

21 . fejezet Nevezetes sorozatok.. Nevezetes sorozatok határértéke... a (a n C, n N, C R + ) konvergenciája Sejtés: lim a C. Bizonyítás:. A konvergencia definícióját felírva: ε > 0, N(ε) N, n > N, a n C < ε. Mivel a n C 0 minden n N index esetén, ezért az a n C < ε reláció bármely n N esetén fennáll, így N 0 minden ε > 0 esetén jó küszöbindex.... a (a n n, n N ) konvergenciája Sejtés: lim a 0. Bizonyítás:. A konvergencia definícióját felírva: ε > 0, N(ε) N, n > N, a n 0 < ε. Mivel > 0 minden n n N esetén, ezért a n 0 n, így a definícióban szereplő relációval n ekvivalens az alábbi összefüggés: n ε < ε (n > 0, ε > 0) < n. Legyen tehát N(ε): [ ε]. A kapott küszöbindex választása mellett a definíció teljesül, azaz (an, n N) sorozat valóban konvergens és határértéke a (a n n p, n N, p N ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás:. A sorozat a sejtés alapján tágabb értelemben konvergens. Írjuk fel a megfelelő definíciót: R R, N(R) N, n > N, n p > R.

22 . FEJEZET. NEVEZETES SOROZATOK Ha R 0, akkor N jó küszöbszám. Vizsgáljuk most az R > 0 esetet. Mivel R > 0, ezért a reláció irányát nem változtatja meg, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalából p-edik gyököt vonunk: [ ] Így N(R) p R jó küszöbszám. n > p R...4. a (a n p n, n N, p N ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás:. A sorozat a sejtés alapján tágabb értelemben konvergens. Írjuk fel a megfelelő definíciót: R R, N(R) N, n > N, p n > R. Ha R 0, akkor N jó küszöbszám. Vizsgáljuk most az R > 0 esetet. Mivel R > 0, ezért a reláció irányát nem változtatja meg, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát p-edik hatványra emeljük: Így N(R) [R p ] jó küszöbszám...5. További nevezetes sorozatok n > R p. A következő nevezetes sorozatok konvergenciájának igazolása sem a vizsga-dolgozatban, sem a gyakorlati dolgozatban nem szükséges, de a határértékeik ismerete egyes feladatok megoldásához nélkülözhetetlen. α n lim n n! 0 lim n n α lim n n n lim n n n p lim n n n!.. Műveleti tulajdonságok... Nullsorozatok.. Definíció. Azokat a konvergens sorozatokat, melyek határértéke 0, zérus-sorozatoknak, vagy nullsorozatoknak nevezzük. Jelölés:C : {x x : N R, x konvergens sorozat}, N : {x x : N R, x C és L(x) 0}.. Tétel. Legyen x : N R számsorozat ha x C és L(x) α R, akkor (x n α, n N) N.

23 .. MŰVELETI TULAJDONSÁGOK.. Tétel. (Kis rendőr elv) Legyen x, y : N R számsorozatok, y N nullsorozat. Ha x n y n m.m. n re, akkor x N nullsorozat..4. Definíció. Legyenek x, y : N R számsorozatok. x és y összege: x+y : (x n +y n, n N). x és y szorzata: x y : (x n y n, n N)..5. Tétel. Legyen x, y, z :N R számsorozatok, x, y N nullsorozatok, z korlátos sorozat. Ekkor (i) x+y N, azaz nullsorozatok összege is nullsorozat. (ii) x z N, azaz nullsorozat és korlátos sorozat szorzata nullsorozat... Műveleti tulajdonságok... Konvergens sorozatokra vonatkozó műveleti tulajdonságok.6. Definíció. Legyenek x, y : N R számsorozatok, y n 0 (n N) és λ R. x és y hányadosa: x y : ( xn y n, n N). λ és x szorzata: λ x : (λ x n, n N)..7. Tétel. Legyen x, y : N R, x, y C konvergens számsorozatok, λ valós szám. Ekkor (i) x+y C, és L(x+y) L(x)+L(y), (ii) λ x C, és L(λ x) λ L(x), (iii) x y C, és L(x y) L(x) L(y), (iv) Ha y n 0 (n N), akkor x y C, és L( x y ) L(x) L(y),... Tágabb értelemben konvergens sorozatokra vonatkozó műveleti tulajdonságok.8. Megjegyzés. Legyen x, y : N R, számsorozatok nem feltétlenül konvergensek, de létezzen a határértékük. Ekkor bizonyos esetekben van érvényes műveleti tulajdonság. Például: (i) ha L(x) +, és L(y) +, akkor L(x y) +, (ii) ha L(x) +, és L(y) +, akkor L(x+y) + (iii) ha L(x) α R, és L(y) +, akkor L( x y ) 0 (iv) ha L(x) +, és L(y) α R +, akkor L( x y ) + (v)...,

24 4. FEJEZET. NEVEZETES SOROZATOK.9. Megjegyzés. DE! Ún. határozatlansági esetek is vannak: 0 0,, 0, 00,, 0. Ezeknek bármilyen kimenetele lehet, ezért nem tudjuk a műveleti tulajdonságok alapján a határértékeket közvetlenül leolvasni. A sorozatokat ebben az esetben elemi matematikai meggondolásokkal át kell alakítani és meg kell szüntetni a határozatlansági esetet.

25 4. fejezet Határérték számítás A műveleti tulajdonságok az alábbi határozatlansági esetekben nem alkalmazhatók: 0 0,, 0, 0 0,, Feladat. A műveleti tulajdonságok alapján határozzuk meg a következő sorozatok határértékét, ha létezik. a) a ( 5 +( ) n n+ sin n π, n N) A fenti sorozatra a n b n c n +d n f n n N, ahol b (, n N) c ( 5, n N) n+ d (( ) n ), n N f ( sin n π, n N) lim d f 0, mert d N és f K. (Lásd a tételt előadáson.) lim a n lim b n lim n n } {{ } n c n } {{ } 0 + lim d n f n. } n {{ } 0 Típus: két polinom hányadosa Eljárás: A nevező legmagasabb kitevőjű tagjával egyszerűsítünk. ( ) n b) a 5n 7, n N n 5 lim a n 5n 7 n lim n n n 5 n ( 5 lim 7 ) 5 n n n n ( 5 lim 7 n n ) n 5 n n c) a ( 7n n +, n N) lim a 7n n lim n n n + lim n n ( 7 n n ) n (+ n ) lim n 7 n n + n 0 5

26 6 4. FEJEZET. HATÁRÉRTÉK SZÁMÍTÁS ( ) 5n d) a n+8, n N n 7 lim a 5n n+8 n lim n n n 7 n(5n + 8 lim ) 5n + 8 n n n n( 7 ) lim n 7 n n 4.. Megjegyzés. P (n) lim n Q(n) 0, ha deg P < deg Q sgn p, q ha deg P > deg Q C p, q ha deg P deg Q, ahol p a P (x), q pedig a Q(x) polinom főegyütthatója. Típus: q n racionális törtfüggvénye Eljárás: Közös kitevőre hozunk, majd a nevező legnagyobb alapú (abszolútértékben) tagjával egyszerűsítünk. ( ) 7 9 e) a n 6 5 n ; n N 5 4 n n+ lim a 7 9 n 6 5 n n lim n n 5 4 n n+ 7 9 n 6 5 lim 5n n 5 4 n 6 (9) lim n 7 6 lim ( 5 n 5 ) 9) n 7 n 5 ( lim n 7 9 n 6 5 5n 5 4 n ( ) n n n 9 n 5 4n 9 n 6 Típus: Két végtelenbe tartó racionális-tört különbsége Eljárás: Közös nevezőre hozunk, ezzel polinom-per-polinom alakot kapunk. ( ) n f) a + n + ; n N n+ 6n+ ( ) n lim a + n lim n n n+ n + (n +)(6n+) (n +)(n+) lim 6n+ n (n+)(6n+) n +4n (n+)(6n+) A nevező legnagyobb kitevőjű tagja n, ezzel osztunk. Ha ez a szorzat alakból nem látszik felbonthatjuk a zárójeleket. A fenti (n+)(6n+) szorzatból három féleképpen lehet n -t kiemelni:

27 7. Az első tényezőből emelek ki n -t,. A második tényezőből emelek ki n -t,. Mindkét tényezőből kiemelek n-t. Most ez utóbbit érdemes választani: lim n n ( + 4 ) n n (+ )(6+ ) lim n 6 n n Típus: Gyökök különbsége Eljárás: Konjugálttal bővítünk. g) a ( n +n+ n n ; n N ) ( lim a lim n +n+ ) n n konjugálttal bővítünk n ( lim n +n+ ) n n n +n++ n n n n +n++ n n (n +n+) (n n ) lim n n +n++ n n lim n lim n + n + n + n + n+ n +n++ n n n n. Típus: Változó tagszámú sorozatok Eljárás: Összegképlet keresése. ( ) h) a + + +n (n+) ; n N n + + +n (n+) lim n n Változó tagszámú összeg. Megpróbáljuk felírni az összegképletet. n k(k +) k n (k +k) k n k + k n k k n(n+)(n+) 6 + n(n+) lim n(n+)(n+)+ (n+)n 6 lim (+ )(n+ )+ (+ ) 6 n n n n n n n 6.

28 8 4. FEJEZET. HATÁRÉRTÉK SZÁMÍTÁS n Típus: n és n a racionális törtfüggvényei Eljárás: Szorzattá alakítás. ( ) i) a n 6 4 n 8+ ( n ; n N ) n 6 4 n 8+ lim n ( n ) Mivel lim n c, ha c R +, a fenti határérték 0 határozatlansági esetre vezet. Legyen n 0 a : n, ekkor n 6 4 n 8+ ( n a4 4a + ) (a ) (a ) (a +a+) (a ) : Mivel a számlálóban szereplő polinom helyen 0 értéket vesz fel, ezért szorzattá alakításában szerepelni fog az (a ) tényező. Próbáljuk a számlálót szorzattá alakítani. Ezt csoportosítással, kiemeléssel, vagy polinomosztással érhetjük el. a 4 4a +0a +0a + a 4 a a +0a +0a + a +a a +0a + a +a a + a + 0 : (a ) a a a. Mivel a a a a polinomnak is zérushelye a, ezért tovább bontható: a a a a a a a a a a a 0 : (a ) a +a+. Ezért a 4 4a + (a ) (a +a+) és ( n ) ( n + n +) 0 lim n ( n 0 lim n 4+ n + 6 ) n

29 9 Típus: (( ) n, n N) sorozatot tartalmazó sorozatok Eljárás: Páros és páratlan indexű részsorozatok vizsgálata. j) a ( ( ) n 7n 5 n+9 ; n N) Vizsgáljuk a sorozat páros indexű elemeiből álló részorozatát: amelyre a n ( ) n 7 n 5 n+9 4n 5 n+9, n N, lim a 4n 5 n lim n n n+9 lim 4 5 n n + 9 n a páratlan indexű elemekből álló részsorozatra: 7, amelyre a n+ ( ) n+ 7 (n+) 5 n++9 4n+ n+0, n N, lim a n+ lim 4n+ n n n+ lim 4+ n n + n 7. Az a sorozatnak van két, különböző határértékkel rendelkező részsorozata, ami ellentmond a konvergencia harmadik következményének. ( Konvergens sorozat minden részsorozata konvergens és ezek határértéke megegyezik az eredeti sorozat határértékével. ) Így az a sorozat divergens. 4.. Megjegyzés. Megmutatható, hogy mivel a sorozat a két részsorozatának fésűs egyesítése, ezért ha a részsorozatok határértéke megegyezik, akkor a sorozat konvergens és a közös határérték a sorozat határértéke. FIGYELEM! Ez általában nem igaz. A következő néhány feladatot az alábbi tételre vezetjük vissza: 4.. Tétel. Az ( (+ n )n, n N ) sorozat konvergens Megjegyzés.. A sorozat konvergenciáját úgy bizonyítjuk, hogy belátjuk, hogy monoton és korlátos, ami a konvergencia elégséges feltétele. A részletes bizonyítás elolvasható a programtervező jegyzetben.. A fenti sorozat határértékét e-vel szokás jelölni és Euler-számnak nevezzük. A közelítő értéke: e,788. Bizonyítás nélkül elfogadjuk a következő tételt Tétel. Ha lim n b n ±, akkor lim (+ ) bn e n b n A következő tétel állításaira szintén szükségünk lesz a feladatok megoldásához.

30 0 4. FEJEZET. HATÁRÉRTÉK SZÁMÍTÁS 4.6. Tétel. () Ha a n a > 0 és b n b R, akkor a bn n a b (n ) () Ha a n a > és b n, akkor a bn n (n ) () Ha a n a (0 < a < ) és b n, akkor a bn n 0 (n ) 4.. Feladat. A műveleti tulajdonságok alapján határozzuk meg a kijelölt határértékeket! Típus: ( + n) n-re visszavezethető feladatok ( a) lim n+ ) n n n? lim n ( n+ n ) n ( lim + n ( lim + n n) ) n ( n n lim + ) n n n ( lim n + ) n n e } {{ } e ( ) n n b) lim n+ n? n n +n lim n lim n lim n ( n n+ n +n ( + n +n n+ ( + n +n n+ ) n n lim n ) n n lim n ) n +n n+ ( n +n n+ ( n +n + n +n n+ n+ n n +n n lim n ( ) n ( n lim + n+ ) n n n n +n ) n +n n+ n+ n +n n n + n +n n+ n +n ) } n+ {{ } 0. } {{ } e 6n 4 +4n n n+ *: Vizsgáljuk meg külön a kitevő határértékét: 6n 4 +4n lim n n n+ lim n 6n+4 n + n, így az előző tétel alapján a fenti határérték 0.

31 Típus: Rendőrelvvel megoldható feladatok A következő feladatok megoldása során sokszor fogunk hivatkozni a következő tételre Tétel. (Rendőrelv) Legyen a (a n, n N), b (b n, n N) és c (c n, n N) három valós számsorozat, melynek elemeire: a n b n c n. Ha a és c sorozatok konvergensek, és lim a n lim c n A, akkor a b sorozat is konvergens és n n határértéke lim b n A. n n c) lim 5? n n+ Becsüljük a sorozat általános tagját! Ehhez induljunk ki az alábbi relációból: 0 < n+ 0 > n+ 5 > 5 4 n+ n 5 > n 5 n 4 n+ Mivel lim n n 5 lim n n 4, ezért a rendőrelv alapján: n n d) lim a n lim 5n+ n n n 5 + Hogy a n 5n+ n 5 + lim n n törtet becsülni tudjuk vizsgáljuk meg az előjelét: n 5n+ n n+. > 0 n 5n+ > 0, ami a természetes n-ek között az n 5 feltétel teljesülése esetén igaz. A felsőbecsléshez a fenti törtet szeretnénk növelni. Ez a számláló növelésével és/vagy a nevező csökkentésével lehetséges. A számláló növelését úgy szeretnénk elvégezni, hogy a kapott polinom csak összevonható tagokat tartalmazzon. Ehhez a pozitív együtthatóval szereplő tagok helyett főtaggal (legmagasabb fokszámú tag) egynemű kifejezéseket írunk (az együtthatót változatlanul hagyjuk), a negatív együtthatójú tagokat elhagyjuk az összegből. Így n 5n+ n 0+n. A kapott becslés minden szóbajöhető n-re teljesül (n 5).

32 4. FEJEZET. HATÁRÉRTÉK SZÁMÍTÁS A nevező csökkentése során éppen ellenkezőleg járunk el. A pozitív együtthatójú tagokat hagyjuk el (kivéve természetesen a főtagot) és a negatív együtthatójú tagok helyett írunk a főtaggal egynemű kifejezést: n 5 + n 5 +0 n 5. Felhívnánk a figyelmet arra, hogy a nevező becslésekor vigyázni kell arra is, hogy a kifejezés egyetlen szóba jöhető n esetén se legyen 0. Így ha korábban nem zártuk volna ki n lehetséges értékei közül a 0-t, most meg kellene tennünk. Alsóbecsléshez csökkentsük a n 5n+ >0 törtet, amely a számláló csökkentésével és/vagy n 5 + a nevező növelésével lehetséges. Mivel n 5 + n 5 +n 5, ha n, ezért a nevező az előzőekhez hasonló indoklás alapján növelhető minden szóbajöhető n esetén. Ha a számláló csökkentése során a n 5n+ n 5n +0 becslést használnánk, akkor a vizsgált tört helyett egy negatív előjelű kifejezést kapnánk. Célunk, hogy az előző feladathoz hasonlóan az n-edik gyök szigorú monotonitására hivatkozva alkalmazhassuk a rendőrelvet, de negatív kifejezés esetén az n-edik gyökvonás nem engedélyezett művelet. Az ilyen hibás becslést túlbecslésnek szokás nevezni. Mit tehetünk ilyen esetben? Fontos, hogy a számlálóban szereplő polinomot úgy csökkentsük, hogy eközben az előjele ne változzon meg. Például n n + 0 egy jó becslés, abban az esetben, ha valóban kisebb az eredeti polinomnál. Vizsgáljuk meg, hogy milyen n-ek esetén teljesül ez: n n +0 n 5n+ n 5n < 5n+ n 0. Azaz minden n 0 esetén n n +0 n 5n+ teljesül és ekkor Így igaz az alábbi becslés: n n +0 n 5 +n 5 n 5n+. n n n +0 n 5n+ n 0+n n 0 n N n 5 +n 5 n 5 + n 5 +0 n 4 n a n n 4n n 0 n N A rendőrelv alapján: lim a n n 5n+ n lim. n n n 5 +

33 5. fejezet Nevezetes függvények, Függvények határértéke 5.. Függvények 5.. Definíció. Függvény alatt egy olyan hozzárendelést értünk, mely egy H halmaz minden eleméhez egy K halmaz egy és csakis egy elemét rendeli. Jelölés: f : H K, y f(x) (x H). x: független változó, y vagy f(x) a függő változó. H : a függvény értelmezési tartománya, további jelölés: D f vagy ÉT értékkészlet: R f ÉK : {y K : x D f, f(x) y} K. 5.. Megjegyzés. Ha H, K R, akkor f valós függvény. Az f : H R D f H halmaz, R f R nek. A valós függvényeket célszerű grafikonjukkal ábrázolni. Ez azt jelenti, hogy a H R halmazon értelmezett f : H R függvényt a síkbeli halmazzal szemléltetjük. Γ(f) : {(x, y) R : x H, y f(x)} R 5... Nevezetes függvények 5.. Definíció. Az abs : R R x abs (x) : x függvényt abszolút érték függvénynek nevezzük.

34 4 5. FEJEZET. NEVEZETES FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE A számok abszolút értékének definícióját felhasználva: { x, ha x 0, abs (x) x x, ha x < 0, 5.4. Definíció. Az A függvény néhány tulajdonsága: int : R Z D f R, R f {y R y 0} nem monoton (szakaszonként monoton) A teljes ÉT-on konvex minimuma x 0-ban van, maximuma nincs páros x int (x) : [x] függvényt egészrész függvénynek nevezzük, ahol [x] jelöli az x valós szám egészrészét, azaz a legnagyobb x-nél nem nagyobb egész számot. ([x] n n N és n x < n+) A függvény néhány tulajdonsága: D f R, R f Z monoton növő minimuma és maximuma nincs nem páros és nem páratlan 5.5. Definíció. Az frac : R Z x frac (x) x [x] : {x} függvényt törtrész függvénynek nevezzük, ahol [x] jelöli az x valós szám egészrészét, azaz a legnagyobb x-nél nem nagyobb egész számot. ([x] n n N és n x < n+) A függvény néhány tulajdonsága: D f R, R f [0, ) nem monoton periodikus, periodusa: p minimuma y 0, melyet minden egész helyen felvesz, maximuma nincs nem páros és nem páratlan

35 5.. FÜGGVÉNYEK Definíció. Az, ha x > 0, sgn : R { ; 0; } x sgn(x) : 0, ha x 0,, ha x < 0, utasítással értelmezett függvényt előjelfüggvénynek, vagy szignumfüggvénynek nevezzük. A függvény néhány tulajdonsága: D f R, R f { ; 0; } monoton növő minimuma y és maximuma y, minden x 0 < 0 pontban minimumhely és x 0 > 0 pontban maximumhely van a függvény páratlan 5.7. Definíció. Legyenek n N és a 0, a,, a n R adott számok. A P : R R : x P (x) : a 0 +a x+ +a n x n utasítással értelmezett P függvényt polinomnak nevezzük. Ha a n 0: P polinom pontosan n-edfokú n N: P polinom fokszáma. Jelölés: deg(p ) n a i (i 0,,, n): P együtthatói 5.8. Tétel. (Algebra alaptétele) Legyen P (z):a 0 +a z+ +a n z n (z C) egy komplex együtthatós, nem konstans, pontosan n-edfokú polinom. Ekkor léteznek olyan λ, λ,, λ n C komplex számok, amelyekkel a P polinom felírható alakban. P (z) a n (z λ )(z λ ) (z λ n ) (z C) 5.9. Következmény. Minden λ i (i,,, n) komplex számra: P (λ i ) 0 (i,,, n), azaz a λ i (i,,, n) számok a P gyökei, vagy zérushelyei Definíció. P és Q függvények egyenlőek, D P D Q és P (x) Q(x) x D P 5.. Következmény. Legyen P (x) : a 0 +a x+ +a n x n, Q(x) : b 0 +b x+ +b m x m (x R) két valós polinom. Ha P Q, akkor m n és a 0 b 0, a b,, a n b n.

36 6 5. FEJEZET. NEVEZETES FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE 5.. Tétel. Bármely P és Q polinomhoz egyértelműen létezik olyan S és R polinom, amelyre P QS +R, deg (R) < deg (Q). 5.. Definíció. Legyenek P és Q valós együtthatós polinomok, ahol Q θ és jelölje Λ Q : {λ,, λ r } a Q gyökeinek a halmazát. Az S : R\Λ Q R : x S(x) : P (x) Q(x) utasítással értelmezett S függvényt racionális törtfüggvénynek nevezzük Definíció. A P Q ha deg P < deg Q. racionális törtfüggvényt valódi racionális törtfüggvénynek nevezzük, 5.5. Megjegyzés. Maradékos osztást alkalmazva kapjuk, hogy bármely P Q rac. tört esetén létezik S, R, Q P, Q hogy P Q S + R Q ahol S P és R/Q már valódi rac. törtfv. Emiatt bizonyos, racionális függvényekkel kapcsolatos kérdések vizsgálatában valódi racionális törtfüggvényekre szorítkozunk Definíció. Akkor mondjuk, hogy az a R elem (pont) a H R valós számhalmaz torlódási pontja, (A) ha az a pont bármely környezete végtelen sok H-beli elemet tartalmaz, azaz vagy ε > 0 : K ε (a) H végtelen halmaz. (B) ha az a pont minden környezete tartalmaz legalább egy a-tól különböző H-beli pontot, azaz vagy ε > 0 : K ε (a) H\{a}. (C) ha létezik olyan H-beli nem stacionárius pontsorozat, melynek határértéke az a pont Definíció. A H halmaz torlódási pontjainak halmaza: H derivált halmaza, (Jelölés: H.) 5.8. Definíció. Egy sorozat akkor stacionárius, ha csak véges sok egymástól különböző tagja van Definíció. A H R halmaznak azokat a pontjait, amelyek nem tartoznak H -höz, a H halmaz izolált pontjainak nevezzük. (a H, a / H ) 5.0. Definíció. Akkor mondjuk, hogy a nem üres H R halmazon értelmezett f : H R függvénynek az a H pontban van határértéke, ha A R, ε > 0, δ > 0 x ( K δ (a)\{a} ) H : f(x) K ε (A).

37 5.. FÜGGVÉNYEK Megjegyzés. R R {± } 5.. Tétel. Legfeljebb egy olyan A R létezik, amelyre a fenti feltétel teljesül. 5.. Definíció. A fenti értelmezésben szereplő A R elemet az f függvény a pontban vett határértékének nevezzük. Jelölés: lim a f A, lim x a f(x) A, L a (f) A, f(x) A, ha x a. Az 5.0 definíció az a, A R speciális esetben az alábbi alakban írható: Véges helyen vett véges határérték: 5.4. Definíció. f : H R, a H R, A R, lim x a f(x) A ε > 0 δ δ(ε) > 0, ha 0 < x a < δ, x H, akkor f(x) A < ε. A határérték definíció a többi speciális esetben is átfogalmazható, ezen definíciók elolvashatók a honlapon található lim.pdf file-ban, de nem képezik részét a képzés tananyagának Megjegyzés. Függvény határértékét a kurzus keretein belül nem a definíció alapján vizsgáljuk. A függvény határértéke kapcsolatba hozható a sorozat határértékével, erre alkalmas az átviteli elv Tétel. (Átviteli elv.) Az f : H R (H R) függvénynek az a H pontban akkor és csak akkor A R a határértéke, ha bármely olyan (x n, n N) sorozatra, amelyre x n H, x n a (n N), lim n x n a, a függvényértékek (f(x n ), n N) sorozatának is van határértéke és lim f(x n) A. n

38 8 5. FEJEZET. NEVEZETES FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE 5.7. Definíció. Legyen f :H R (H R) és tegyük fel, hogy az a R elem a H a + :H (a, + ) halmaz torlódási pontja. Az f függvénynek az a helyen létezik jobboldali határértéke, ha f-nek a H a + halmazra vonatkozó leszűkítésének létezik határértéke az a pontban. Ezt a határétéket f a-pontbeli jobboldali határértékének nevezzük. Jelölés: lim f, lim f(x), f(a+), L a+ a+(f). x a Definíció. Legyen f :H R (H R) és tegyük fel, hogy az a R elem a Ha :H (, a) halmaz torlódási pontja. Az f függvénynek az a helyen létezik baloldali határértéke, ha f-nek a Ha halmazra vonatkozó leszűkítésének létezik határértéke az a pontban. Ezt a határétéket f a-pontbeli baloldali határértékének nevezzük. Jelölés: lim f, lim f(x), f(a ), L a a (f). x a 5.9. Tétel. Tegyük fel, hogy az a R szám a H a + és a Ha halmaznak is torlódási pontja. Ekkor f-nek az a helyen akkor és csak akkor van határértéke, ha f-nek a-ban létezik a jobb- és baloldali határértéke, és lim f(x) lim f(x) L a(f). x a x a+ 5.. Feladat. Olvassuk le az ábrán látható függvény feltüntetett határértékeit: lim x f(x)?; lim x a x a x a f(x)?; lim f(x)?; lim + lim f(x)?; lim f(x)? x c x f(x)?; lim f(x)? x b lim f(x) x ; lim f(x) ; lim f(x) ; lim f(x) ; lim f(x) 7 + x a x b x a x a lim f(x) 6; lim f(x) 6 x c x

39 6. fejezet Függvények határértéke 6.. Feladat. Az átviteli-elv segítségével igazoljuk a következő határértékeket. x +x a) lim x x 5 7 x n H, x n a (n N) lim n x n a lim n f(x n ) A Legyen x n H, x n a, lim n x n lim f(x x n +x n n) lim n n x n A sorozatok határértékére vonatkozó műveletei szabályok miatt. x 5 b) lim x x+7 Legyen x n H, lim n x n c) lim x x x n H, (n N) lim n x n lim n f(x n ). lim f(x n) lim n n x n 5 x n +7 lim Legyen x n :, ekkor lim x n n (x n ). Ekkor n lim f(x n) lim n n x n lim n 9 5 x n n ( n + 7 x n. lim n. ) n

40 40 6. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE Legyen y n : +, ekkor lim y n n (y n ). Ekkor n lim f(y n) lim n n y n lim n (+ n ) lim n n. Tehát találtunk két olyan változó sorozatot, melyek a-be tartanak, mégis a hozzájuk tartozó függvényérték-sorozatok határértéke különböző. Így a függvény határértéke az adott pontban nem létezik. (A jobb- illetve a bal-oldali határérték természetesen értelmezhető.) 6.. Megjegyzés..) Az átviteli-elv egyik nagy előnye, hogy segítségével a függvényhatárérték számítása a már jól ismert sorozatok határérték számítására vezethető vissza. A fenti feladatokból jól látható, hogy a bizonytalansági esetek hasonlóan szüntethetők meg, mint a sorozatok esetében..) A c feladat során tapasztalhattuk, hogy olyan esetekben, mikor azt kell bizonyítani, hogy az adott pontban nem létezik a függvény határértéke, elegendő találni két különböző változó sorozatot, melyek határértéke az adott pont, de a függvényértékek sorozata különböző. 6.. Feladat. Határozzuk meg a következő határértékeket a műveleti tulajdonságok alapján, ha léteznek! a) lim x x+4 5x+7 x+4 lim x 5x x 4 +5x b) lim x x +4x lim x x 4 +5x x +4x 7x +x c) lim x x lim x x+ 5 x x + 4 x x 7x +x lim x x 7x+ x lim x x

41 d) lim x 4 5 x+ +7 x + x +6 5 x + lim x 4 5 x+ +7 x + x +6 5 x x +7 x + lim x 4x +6 5 x + lim x ( 0+7 ) x lim x x (4) x x 0+7 x + 5 x 5 x 5 x 4x 5 x x+ +7 x + e) lim x x +6 5 x + lim x 0 0 {}}{ 4 5 x+ +7 } x {{ } +6 }{{} 5 x 0 0 {}}{ x + ( f) lim x +5x ) x x x + ( lim x +5x ) x ( x lim x +5x ) x x x +5x+ x x x x x +5x+ x x (x +5x) (x x) lim x x +5x+ x x lim x 7 lim x + 5x + x 7x x +5x+ x x 7. ( x+ g) lim x x ) x+ lim x ( x+ x ) x+ ( lim + x+ ( lim + x x) x x lim x [ ( + x Vizsgáljuk meg a kitevő határértékét: x+ + x lim lim x x x ) ] x+ x x e ) x+ ( lim + ) x x (x+) x x

42 4 6. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ( ) x x+ +x h) lim x x 4x+ lim x ( ) x x+ +x lim x 4x+ x lim + x ( lim x ( x 4x++6x ( + x 4x+ x 4x+ 6x x 4x+ 6x ) x+ lim x ) x 4x+ 6x ) x+ ( lim + 6x x x 4x+ ( ) x 4x+ + x 4x+ 6x 6x x (x+) 4x+ e 6 ) x+ 6x 6x x (x+) 4x+ Vizsgáljuk meg a kitevő határértékét: 6x +x 6 lim x x 4x+ lim 6+ 6 x x x x x x +x i) lim x x x 6 x 0 +x 0 (x+)(x ) lim lim x x x 6 x (x+)(x ) lim x x x 5 5 x x x+ j) lim x x x 9x+8 lim x x x x+ x x 9x A 0 alakból látható, hogy mind a számláló, mind a nevező osztható az x kifejezéssel: 0 x x x + x x x + x + 0 : (x ) x

43 4 x x 9x +8 x x x 9x +8 x x 6x +8 6x +8 0 : (x ) x +x 6 így (x )(x ) lim x (x )(x +x 6) lim x x x +x k) lim x x + x x + 0 lim lim x x x ( x) x + +x lim x ( x) x + +x lim x + ( x) x + +x Mivel az x pontban nem egyezik meg a jobb- és a baloldali határérték, ezért itt nem létezik határérték. l) lim x 0 5x x+ x +x 5x x+ 0 lim lim x 0 x +x x 0 (x 0) 5x x+ + x+ x m) lim x x +5x +7x+ lim x x x +5x +7x+ 0 0

44 44 6. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE x (x )(x+), x +5x +7x + x +x 4x 7x + 4x +4x x + x + 0 : (x+) x +4x+ lim x (x )(x+) lim (x+)(x +4x+) x x x +4x+ 0 lim x lim x x+ x + lim x+ x + x+ x x+ x+ x x+ Mivel az x pontban nem egyezik meg a jobb- és a baloldali határérték, ezért itt nem létezik határérték. 6.. Tétel. lim x 0 sin x x. sin g(x) 6.. Megjegyzés. Igazolható, hogy lim, ha lim g(x) 0 x a g(x) x a (a R). n) lim x 0 sin x x sin x lim x 0 x lim sin x x 0 x x x lim sin x x 0 x x o) lim x 0 sin 7x lim x 0 x sin 7x lim x 0 7x sin 7x 7 7 lim x 0 sin 7x 7x 7 tgx p) lim x 0 sin 4x lim x 0 tgx sin 4x lim sin x x 0 cos x sin 4x lim x 0 sin x cos x x sin 4x 4 4 4x

45 7. fejezet Folytonosság, invertálhatóság 7.. Folytonosság 7.. Definíció. Legyen H R és f : H R a H halmazon értelmezett függvény. Akkor mondjuk, hogy az f függvény az a H pontban folytonos, ha 7.. Megjegyzés. ε > 0, δ δ(ε, a) > 0, x H, x a < δ f(x) f(a) < ε. Értelmezési tartományának a H torlódási pontjában a függvény akkor folytonos, ha i) a H ii) A lim x a f(x) véges határérték iii) f(a) A Az értelmezési tartomány izolált pontjaiban a függvény mindig folytonos. Azon pontokban, ahol a függvény nem értelmezett nincs értelme folytonosságról beszélni. 7.. Definíció. Ahol a függvény értelmezett, de nem folytonos, ott a függvénynek szakadása van Definíció. Ha f az a H pontban nem folytonos, de létezik véges határértéke a-ban (ekkor nyilván f(a) lim f(x)), azt mondjuk, hogy a függvénynek megszüntethető szakadása van az x a a pontban Definíció. Ha f az a H pontban nem folytonos és nem létezik véges határértéke a-ban, de léteznek véges egyoldali határértékek (amelyek ekkor nyilván nem egyenlők), azt mondjuk, hogy a függvénynek a-ban ugrása van. A : lim f(x) lim f(x) + x a számot az ugrás mértékének nevezzük. x a 7.6. Definíció. Az ugrást és a megszüntethető szakadást elsőfajú szakadásnak, minden más típusú szakadást másodfajú szajkadásnak nevezünk. 45

46 46 7. FEJEZET. FOLYTONOSSÁG, INVERTÁLHATÓSÁG 7.7. Definíció. Ha az f függvény értelmezési tartományának valamely K H részhalmazának minden pontjában folytonos, akkor azt mondjuk, hogy a K halmazon folytonos. Példák:.) Az f(x) sgnx függvénynek az a 0 pontban ugrása van..) Az { x, ha x, f(x), ha x, függvénynek a -ben megszüntethető szakadása van..) Az f(x) x függvény a D f-n folytonos 4.) Az ábrán látható függvénynek a -ben másodfajú szakadása van. {, ha x Q, 5.) A D(x), ha x / Q, Dirichlet-függvény sehol nem folytonos Műveletek folytonos függvényekkel 7.8. Tétel. Legyen f, g két, a H halmazon értelmezett folytonos függvény (f, g C H ) és λ R, ekkor f +g, λ f és f g is folytonos H-n. Ha g(x) 0 minden x H esetén, akkor f g is folytonos H-n Definíció. Legyen H R és K R. Az f :H K és a g:k R függvények kompozícióján azt a g f függvényt értjük, melynek értelmezési tartománya a H halmaz és hozzárendelési szabálya x (g f)(x) : g(f(x)) Folytonos függvények tulajdonságai 7.0. Definíció. Az f : H R függvény korlátos, ha értékkészlete korlátos, azaz ha létezik k, K R, hogy k f(x) K ( x H). 7.. Tétel. Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény korlátos. 7.. Definíció. Akkor mondjuk, hogy az f : H R függvénynek van maximuma, ha létezik x H, melyre f(x ) f(x) ( x H)

47 7.. TOVÁBBI NEVEZETES FÜGGVÉNYEK ÉS INVERZEIK Definíció. Akkor mondjuk, hogy az f : H R függvénynek van minimuma, ha létezik x H, melyre f(x ) f(x) ( x H) 7.4. Tétel. (Weierstrass tétele) Véges zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi szélsőértékeit Definíció. Az f : H H kölcsönösen egyértelmű leképezés inverz függvényén értjük azt az f függvényt, melynek értelmezési tartománya f értékkészlete (f : H H ), hozzárendelési szabálya y H, f : y x, melyre x H, f(x) y Tétel. (Inverz függvény folytonossága) Ha a, b R, és f :(a, b) R szigorúan monoton, folytonos függvény, akkor az f függvény f : (α, β) (a, b) inverz függvényei is ugyanabban az értelemben szigorúan monoton és folytonos, ahol α inf{f(x), x (a, b)} és β sup{f(x), x (a, b)} Megjegyzés. Az inverz függvény grafikonja az eredeti függvény grafikonjának y x egyenesre vett tükörképe Tétel. (Bolzano-tétel) Legyen f az I R intervallumon értelmezett valósértékű függvény. Ekkor f értékkészletének bármely két eleme közé eső értéket felveszi. 7.. További nevezetes függvények és inverzeik 7.9. Definíció. Legyen a > 0 és a pozitív valós szám. Az a szám r R valós kitevős hatványán az alábbi határértéket értjük a r : lim n a qn, ahol (q n, n N) tetszőleges r-hez tartó racionális számsorozat Megjegyzés. Megmutatható, hogy a fenti definíció jó, azaz A megadott határérték minden a és r esetén létezik. A határérték nem függ a (q n, n N) sorozat választásától. Ha r Q, akkor a r korábbi értelmezéséhez jutunk. 7.. Definíció. Legyen a > 0 és a pozitív valós szám. Az exp a : R {y R y > 0} x exp a (x) : a x, utasítással értelmezett függvényt a alapú exponenciális függvénynek nevezzük.