Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Átírás

1 Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév

2

3 . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei: A természetes számok halmazába tartoznak a pozitív egész számok és a 0, azaz N : {0,,,,... } c) műveletek Az összeadás és a szorzás nem vezet ki a számhalmazból. A kivonás, az osztás és a gyökvonás elvégzése viszont nem mindig lehetséges. ➁ a) jelölése: Z b) elemei: Az egész számok halmazába tartoznak a pozitív és negatív egész számok és a 0, azaz Z : {0, ±, ±, ±,... } c) műveletek Az összeadás, a kivonás és a szorzás nem vezet ki a számhalmazból. Az osztás és a gyökvonás elvégzése viszont nem mindig lehetséges. ➂ a) jelölése: Q b) elemei: A racionális számok halmazába azon számok tartoznak, melyek felírhatók két egész szám hányadosaként. Ahhoz, hogy ez a felírás egyértelmű legyen a következő kikötéseket szokás tenni: { } p Q :, p Z, q Z, q > 0, (p, q) q c) műveletek Az összeadás, a kivonás, a szorzás és az osztás (0-ra figyelni kell) nem vezet ki a számhalmazból. A racionális számok halmaza a rajta értelmezett összeadás és szorzás műveletekkel testet alkot (részletesebb magyarázat Bevezetés a matematikába című tárgy keretein belül). A határátmenet (magyarázat később) és a gyökvonás elvégzése továbbra is problémát jelent.

4 4. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK ÉS TULAJDONSÁGAIK ➃ a) jelölése: R b) elemei: A számegyenes pontjaival kölcsönösen egyértelmű módon megfeleltethető számhalmazt nevezzük valós számhalmaznak. c) műveletek Az összeadás, a kivonás, a szorzás, az osztás (0-ra figyelni kell) és a határátmenet nem vezet ki a számhalmazból. A valós számok halmaza is testet alkot a rajta értelmezett összeadás és szorzás műveletekkel. A gyökvonás elvégzése (negatív számok esetén) továbbra is probléma. Ezt fogja megoldani a komplex számok (C) bevezetése (részletesebb magyarázat Bevezetés a matematikába című tárgy keretein belül). További jelölések Több állítás esetén is ki kell zárnunk a természetes számok közül a nullát. Szokás a nullától megfosztott természetes számok halmazára új jelölést bevezetni: N : N\{0} Legyen n N, ekkor a N n : {k, N k < n} halmazt a természetes számok n-edik szeletének nevezzük. A valós számhalmaz azon elemeit, melyek nem tartoznak a racionális számok közé (a racionális számok halmazának a valós számokra vonatkozó komplementer halmaza) irracionális számoknak nevezzük és Q -gal jelöljük, azaz Q : R\Q.. Az abszolútérték és tulajdonságai.. Definíció. Az a R szám abszolútértékén az { a, ha a 0 a : a, ha a < 0. számot értjük... Tétel. (Az abszolútérték tulajdonságai) i) a 0 minden a R esetén és a 0 pontosan akkor teljesül, ha a 0. ii) Bármely a R esetén a a a. iii) Legyen a, b R, ekkor a+b a + b. (háromszög egyenlőtlenség) iv) Legyen a, b R, ekkor a b a b. v) Legyen a, b R, ekkor a b a b... Megjegyzés. Az abszolútérték geometriai jelentése a számegyenes a 0-tól mért távolság..4. Definíció. Legyen a, b R, a<b. Intervallumnak nevezzük és az alábbi módon jelöljük a valós számhalmaz alábbi részhalmazait:

5 .. SZÁMHALMAZ ALSÓ ÉS FELSŐ HATÁRA 5 zárt intervallum: [a, b] : {x R a x b} nyílt intervallum: (a, b) : {x R a < x < b} balról zárt, jobbról nyílt intervallum: [a, b) : {x R a x < b} balról nyílt, jobbról zárt intervallum: (a, b] : {x R a < x b}.5. Definíció. Az a szám R sugarú környezetén az (a R, a+r) nyílt intervallumot értjük és K R (a)-val jelöljük..6. Következmény. K R (a) környezet pontosan azon x valós számokat tartalmazza, melyekre x a < R... Számhalmaz alsó és felső határa.7. Definíció. Legyen A R. Ha létezik α A elem, melyre igaz, hogy α a minden a A esetén, akkor a α számot az A halmaz maximumának nevezzük és a max A : α jelölést használjuk..8. Definíció. Legyen A R. Ha létezik β A elem, melyre igaz, hogy β a minden a A esetén, akkor a β számot az A halmaz minimumának nevezzük és a min A : β jelölést használjuk..9. Tétel. Véges halmaznak mindig van legnagyobb és legkisebb eleme (maximuma és minimuma)..0. Következmény. Az hogy valamely A R halmaznak nincs minimuma, megfogalmazható pozitív állítás formájában is: m A esetén a A elem, hogy a < m... Következmény. Hasonlóan, ha az A R halmaznak nincs maximuma, akkor M A esetén a A elem, hogy a > M... Definíció. Legyen A R. Akkor mondjuk, hogy az A halmaz felülről korlátos, ha létezik K R szám, melyre a K, minden a A esetén. Ekkor a K R valós számot a halmaz egy felső korlátjának nevezzük... Definíció. Legyen A R. Akkor mondjuk, hogy az A halmaz alulról korlátos, ha létezik k R szám, melyre a k, minden a A esetén. Ekkor a k R valós számot a halmaz egy alsó korlátjának nevezzük..4. Definíció. Legyen A R. Akkor mondjuk, hogy az A halmaz korlátos, ha létezik M R + szám, melyre a M, minden a A esetén. Ekkor a M R nemnegatív valós számot a halmaz egy korlátjának nevezzük..5. Következmény. Az A R halmaz pontosan akkor korlátos, ha felülről is és alulról is korlátos.

6 6. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK ÉS TULAJDONSÁGAIK.6. Következmény. Legyen A R felülről korlátos halmaz és K R a halmaz egy felső korlátja. Ekkor minden K > K valós szám jó felső korlátja a halmaznak. Azaz, ha a halmaznak létezik felső korlátja, akkor végtelen sok van..7. Következmény. Legyen A R alulról korlátos halmaz és k R a halmaz egy alsó korlátja. Ekkor minden k < k valós szám jó alsó korlátja a halmaznak. Azaz, ha a halmaznak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok van..8. Tétel. Felülről korlátos halmaz felső korlátjai között mindig van legkisebb és alulról korlátos halmaz alsó korlátjai között mindig van legnagyobb..9. Definíció. A ξ R számot az A R halmaz szuprémumának (felső határának) nevezzük, ha i) ξ egy felső korlát, azaz ξ a minden a A esetén. ii) ξ a legkisebb felső korlát, azaz bármely K < ξ esetén létezik a A elem, melyre a > K teljesül..0. Definíció. A ξ R számot az A R halmaz infimumának (alsó határának) nevezzük, ha i) ξ egy alsó korlát, azaz ξ a minden a A esetén. ii) ξ a legnagyobb alsó korlát, azaz bármely k > ξ esetén létezik a A elem, melyre a < k teljesül... Következmény. Ha az A R halmaznak van maximuma, akkor van szuprémuma is és sup A max A és hasonlóan ha az A R halmaznak van minimuma, akkor van infimuma is és inf A min A... Következmény. Ha az A R halmaz tartalmazza egy K felső korlátját, akkor a halmaznak van maximuma és max A K és hasonlóan ha az A R halmaz tartalmazza egy k alsó korlátját, akkor a halmaznak van minimuma és min A k... Feladat. Fogalmazzuk meg pozitív állítás formájában, hogy az A R felülről nem korlátos. K R, a A, a > K... Feladat. Fogalmazzuk meg pozitív állítás formájában, hogy az A R alulról nem korlátos. k R, a A, a < k... Feladat. Fogalmazzuk meg pozitív állítás formájában, hogy az A R nem korlátos. M R, a A, a > M.

7 .. SZÁMHALMAZ ALSÓ ÉS FELSŐ HATÁRA 7.4. Feladat. Határozzuk meg az alábbi számhalmaz alsó- és felső határát. { } A n : n N, n > 0 Sejtés: sup A. Bizonyítás:. i) Az egy jó felső korlát, hiszen a A a, mivel n n ii) Az a legkisebb felső korlát, vagyis a A minden K-ra ilyen. K < esetén a A : a > K. Azaz K valóban a legkisebb felső korlát. (Az állítás indokolható lett volna azzal is, hogy A így a halmaz maximuma és szuprémuma is egyben.) Sejtés: inf A 0. Bizonyítás:. i) A 0 egy jó alsó korlát, mivel a A a 0. nyilvánvaló, hiszen, n 0 a n 0. ii) A 0 a legnagyobb alsó korlát, vagyis k > 0 esetén a A : a < k. Legyen b k R+. Az archimédeszi axióma alapján, b R + számokhoz n N b < n. Ekkor Azaz k valóban a legnagyobb alsó korlát. a : n < b k..5. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy inf { x : x X} sup X. Legyen α : sup X és legyen Y : { x : x X}. Ekkor i) Az α az Y egy jó alsó korlátja, mivel α sup X x X α x α x x X α y y Y.

8 8. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK ÉS TULAJDONSÁGAIK ii) Az α az Y infimuma, azaz k > α esetén y 0 Y : y 0 < k. Mivel α az X szuprémuma ezért bármely K < α esetén létezik x X elem, hogy x > K. Legyen K 0 k < α és legyen x 0 a fentiek alapján K 0 -hoz talált X-beli elem, azaz x 0 > K 0 k K > α y 0 x 0 Y y 0 x 0 < K k. Azaz α valóban az Y halmaz infimuma..6. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy sup {x+y : x X, y Y } sup X + sup Y. } {{ } } {{ } } {{ } :A α β i) α+β egy jó felső korlát, hiszen x α ( x X) és y β ( y Y ). A két egyenlőtlenséget összeadva: x+y α+β x X, y Y. ii) α+β a legkisebb felső korlát, azaz K < α+β esetén a A, amelyre a > K. Mivel K < α+β ezért létezik k < α és létezik k < β, hogy K k +k. (Megjegyeznénk, hogy K felbontásai közül nem mind teljesít egyszerre mindkét feltételt, de garantálható, hogy létezik olyan felbontás, amely igen.) Ekkor k < α sup X x 0 X, x 0 > k, k < β sup Y y 0 Y, y 0 > k. Így a : x 0 +y 0 A esetén a > K k +k teljesül..4. Nevezetes összefüggések.. Tétel. (Számtani és mértani közép közötti összefüggés) Legyen a, a,..., a n n darab nemnegatív szám (n N ). Ekkor a számok számtani közepe nem kisebb ugyanezen számok mértani közepénél, azaz n a a... a n a +a + +a n n és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a a a n..4. Tétel. (Általánosított háromszögegyenlőtlenség) Bármely x, x,... x n R, n N számokra x +x + +x n x + x + + x n..5. Tétel. (Bernoulli egyenlőtlenség) Minden n N és h R esetén a) +nh (+h) n, ha h >, b) (+h) n +nh, ha 0 < h < n.

9 . fejezet Számsorozatok alaptulajdonságai.. Definíció. I. A természetes számok halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. II. Azokat a hozzárendeléseket, melyek a természetes számok minden eleméhez egy X halmaz egy és csakis egy elemét rendelik, sorozatoknak nevezzük. Jelölések, elnevezések: x : N X (X ): sorozat x(n) : x n (n N): sorozat n. tagja, n: elem indexe. További jelölések sorozatra: x (x 0, x,... ) x (x n, n N) x n (n N) Megkülönböztetünk néhány sorozatot: Ha X R, akkor x valós számsorozat, Ha X C, akkor x komplex számsorozat, vektorsorozat, intervallumsorozat, függvénysorozat. Sorozatok megadása Felsorolással: Pl. (,,5,7,9,,... ), Képlettel: Pl. x n n+,(n N), Rekurzióval: Pl.. x 0, x n x n +, (n N ),. x 0 x, x n+ x n +x n, (n N, n ): Fibonacci sorozat, 9

10 0. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI Sorozatok ábrázolása Számegyenesen: Az egyes elemek értékét ábrázoljuk. Valamilyen módon jelöljük, hogy melyik elem melyik indexhez tartozik. Koordinátarendszerben: A sorozat elemeit (n, a n ) számpárokként ábrázoljuk (a sorozatot az n a n hozzárendelés grafikus képeként ábrázoljuk).. Sorozatok jellemzése... Monotonitás.. Definíció. Az x : N R valós számsorozatot monoton csökkenőnek nevezzük, ha x n x n+ n N, szigorúan monoton csökkenőnek nevezzük, ha x n > x n+ n N, monoton növőnek nevezzük, ha x n x n+ n N, szigorúan monoton növőnek hívjuk, ha x n < x n+ n N, Egy valós számsorozat monotonitás szempontjából tehát lehet a) monoton: monoton növekedő: szigorúan monoton növekedő (Pl. (n, n N)) nem szigorúan monoton növekedő (Pl. (,,,,,,4,4,... ), konstans sorozat) monoton csökkenő: szigorúan monoton csökkenő (Pl.: ( n, n N)) nem szigorúan monoton csökkenő (Pl.: (,,,,,, 4, 4,... ), konstans sorozat) b) nem monoton, egy adott indextől kezdve monoton. Pl.:(6,5,,4,9,8,,7,5,8,5,,,,4,5,6,... ) egy adott indextől kezdve sem monoton. Pl.:(( ) n, n N), (sin 4π n, n N ). A definíciókból rögtön következik, hogy x : N R nem monoton csökken, ha nem monoton nő, ha n N : x n < x n+ n N : x n > x n+, nem monoton, ha nem monoton nő és nem monoton csökken, azaz n N : x n < x n+ és m N : x m > x m+. Ha x:n R számsorozat monoton nő és monoton csökken, akkor x az ún. konstans sorozat, azaz x n x n+ állandó n N.

11 .. SOROZATOK JELLEMZÉSE.. Feladat. Írjuk fel a sorozat 0.,.,.,., 5., 0. elemét, ábrázoljuk ezeket az elemeket. Fogalmazzunk meg sejtést a sorozat monotonitásáról, majd igazoljuk azt. ( ) n a +n, n N a 0 a + 4 a a a a Sejtés: szigorúan monoton csökken. Monotonitás vizsgálat: a n+ a n? Ezeket felhasználva: a n n +n, a n+ (n+) +(n+) n +n+ n n+4 a n+ a n n n+4 n +n ( n )(+n) ( n)(n+4) (n+4)(n+) 4n 4n n ( 4n +n 8n+4) 6 (n+4)(n+) < 0 a n+ a n < 0 n N a n+ < a n n N (n+4)(n+) n N Tehát a sorozat valóban szigorúan monoton csökkenő.

12 . FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI.. Feladat. Vizsgáljuk meg monotonitás szempontjából a következő sorozatokat! ( ) n a) a +n, n N n+ a n+ a n? Ezeket felhasználva: a n n +n n+ a n+ (n+) +(n+) (n+)+ a n+ a n n +4n+ n+ n +n++n+ n+ n +4n+ n+ n +n n+ (n +4n+)(n+) (n +n)(n+) (n+)(n+) n +4n +n+n +4n+ (n +n +n +4n) (n+)(n+) n +n+ (n+)(n+) > 0 n N a n+ a n > 0 n N a n+ > a n n N Tehát a sorozat szigorúan monoton növő. b) b ( n n 7, n N) i) b 0 0 > b 5 > b > b < b 4 4. A fenti néhány elem felírásából is látszik, hogy a sorozat nem monoton, mert.. Megjegyzés. b > b < b 4.. Nem monoton sorozat esetén elegendő három egymás utáni elemet mutatni, amelyek úgy viselkednek, hogy a sorozat sem monoton növő, sem monoton csökkenő nem lehet.. A sorozat általános tagjának értelmezhetőségét vizsgálva a következő megállapítás tehető: n ; n 7 n,5. n 7 Ezt a kritikus értéket a sorozat elemeinek indexe a kikötéstől függetlenül sem venné fel (,5 / N), de a vizsgálat azért hasznos, mert a sorozat a kritikus pont környezetében vált monotonitást, vagyis most a b, b, b 4, vagy a b, b 4, b 5 elemhármas felírásával megmutatható, hogy a sorozat nem monoton.

13 .. SOROZATOK JELLEMZÉSE. Az előző megjegyzésekben vázolt módszer előnye, hogy kevés számolással választ tudunk adni a sorozat monotonitására. A hátránya abban rejlik, hogy csupán annyit lehet megállapítani, hogy a sorozat nem monoton. A következő módszerrel ennél többet is megállapíthatunk. ii) b n+ b n? Ezeket felhasználva: b n b n+ n n 7 (n+) (n+) 7 n+ n 5 b n+ b n n+ n 5 n n 7 (n 7)(n+) (n 5)n (n 5)(n 7) n 7n+n 7 (n 7n) (n 5)(n 7) 7 (n 5)(n 7) < 0 ha n > 0 ha n < 0 ha n 4 Legyen A : n 5 és B : n 7. Ekkor a b n+ b n különbség egy olyan tört alakban írható, amelynek számlálója 7, nevezője pedig az A B szorzat, így az előjele leolvasható az alábbi táblázatból: n 0 n n 4 n A + + B + b n+ b n + Tehát a b sorozat egy bizonyos indextől kezdve szigorúan monoton csökken. Megjegyzés. A dolgozatban a feladat megoldását a részletesebb módszerrel kérjük. c) c (( ) n ) 5, n N i) A sorozat nem monoton, hiszen például: c 0 > c 5 < c 5. ii) c n+ c n ( n+ ( 5) ) n ( 5 5 5) n ( ) n 5 ( n ( 5) 5 ) 6 5 Tehát a sorozat nem monoton. ( 5 ) n < 0 ha n páros > 0 ha n páratlan.

14 4. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI.4. Megjegyzés. A második, részletesebb megoldás során válik láthatóvá, hogy nincs olyan index, amelytől kezdve a sorozat monoton lenne. Érdemes megjegyezni, hogy a monoton és a bizonyos indextől kezdve monoton sorozatok viselkedése hasonlít egymásra és nem a nem monoton sorozatoké. Ezért érdemes a részletesebb vizsgálatot végigszámolni..5. Definíció. Ha egy sorozatból végtelen sok elemet választunk ki olyan sorrendben, ahogy az eredeti sorozatban szerepeltek, akkor az eredeti sorozat egy részsorozatát kapjuk..6. Tétel. Bármely valós számsorozatnak van monoton részsorozata.... Korlátosság.7. Definíció. x : N R valós számsorozatot alulról korlátosnak nevezzük, ha értékkészlete alulról korlátos, azaz ha k R, hogy n N : x n k..8. Definíció. x : N R valós számsorozatot felülről korlátosnak nevezzük, ha értékkészlete felülről korlátos, azaz ha K R, hogy n N : x n K..9. Definíció. x : N R valós számsorozatot korlátosnak nevezzük, ha alulról és felülről is korlátos..0. Definíció. Egy x : N R felülről korlátos valós számsorozat értékkészletének legkisebb felső korlátját felső határnak, vagy szuprémumnak nevezzük. (Jelölés: sup x) Egy x : N R alulról korlátos valós számsorozat értékkészletének legnagyobb alsó korlátját alsó határnak, vagy infimumnak nevezzük. (Jelölés: inf x).. Feladat. Vizsgáljuk meg az a ( n +n, n N) sorozatot korlátosság szempontjából! i) sejtés 00 a n.. Megjegyzés. A sejtés felső becslése rossz. A sorozat első néhány elemét felírtuk az.. feladatban. Azok alapján látható, hogy a sorozatnak van -nél nagyobb eleme. Azért választottuk a nyilvánvalóan hibás felső korlátot, hogy lássuk, mi történik, ha rossz a sejtés. Bizonyítás:. Megvizsgáljuk, hogy a 00 n n+ reláció mely n-ekre teljesül. 00 n n+ 0 n n+00n n+ n+ 0 98n+0 n+ A tört akkor pozitív, ha a számláló és a nevező azonos előjelű. Legyen A:98n+0 és B : n+. Ekkor felhasználva, hogy

15 .. SOROZATOK JELLEMZÉSE 5 n+ 0 n n 98n n 0 n a tört előjele leolvasható az alábbi táblázatból. n n < 67 n < n < n < n A B 0 + A + 0 NA + B I. II. III. IV. V. Az I.-es és a II.-es tartomány a feltételnek megfelelne, de nincs ilyen n N. A III.- as és a IV.-es tartomány nem felel meg a feltételnek, úgysincs ilyen n N. n N tehát az V. tartományba esik. Ebben a tartományban pedig a fenti táblázat alapján minden pont kielégíti a feltételt. Ezzel az állítást igazoltuk, vagyis k 00 egy jó alsó korlát... Megjegyzés. Fordítva is indokolhattunk volna: Ha n N, akkor 98n+0 > 0 és n+ > 0. Vizsgáljuk most a felső korlátra vonatkozó sejtést! Bizonyítás:. a n n n+ n n+ + 0 (n+) n+n+ 0 n n+ 0 A baloldalon szereplő tört nevezője minden n N esetén pozitív, így a tört előjelét a számláló határozza meg. Tehát a tört pontosan akkor nem-pozitív, ha n. A feltétel nem teljesül minden természetes index esetén, ebből látszik, hogy a becslés nem volt helyes. Szerencsére csak véges sok n N esetén nem igaz az állítás (n 0, n ). Ilyenkor új korlátot választunk. Ha lehetséges, akkor érdemes felírni a problémás elemeket és meghatározni a maximumukat. (Hiszen véges sok elem esetén mindig van ilyen tulajdonságú.) a 0, a. A következő sejtés K lesz, ami 4

16 6. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI már nyilvánvalóan jó lesz. a n n n+ n n+ 0 (n+) n n 0 n n+ 0 Ami nyilvánvalóan minden szóbajöhető n-re teljesül. ii) Mivel monotonitás szempontjából már megvizsgáltuk a sorozatot, használhatók a monoton sorozatok korlátaira vonatkozó tételek. (lásd konvergencia után) Ezek előnye, hogy rögtön a határokat adják meg, míg az első módszernél a határokat tovább kell keresni. a szigorúan monoton csökkenő, vagyis a 0 > a > a > > a n > a n+ >... n N Így a 0 a n n N. K a 0 max{a n : n N} sup{a n : n N} sup a. Szigorúan monoton csökkenő sorozat alsó határa (infimuma) a határérték: k inf a lim a lim n a n. Ha az első módszerrel vizsgáljuk, a szuprémum illetve infimum tulajdonság bizonyítása a halmazoknál használt módon történik.... Konvergencia... Konvergencia definíciói.. Definíció. Legyen x : N R, (x n, n N) egy számsorozat. Az x sorozat konvergens, ha (A) α R : ε > 0 V ε : {n N : x n / K ε (α)} véges halmaz. (B) α R : ε > 0 N N(ε) N : n > N esetén: x n α < ε..4. Tétel. A két konvergencia definíció ekvivalens egymással. ((A) (B)).5. Tétel. Ha x : N R, (x n, n N) konvergens számsorozat, akkor egyetlen α R valós szám létezik, melyre (A) illetve (B) teljesül..6. Definíció. Az x:n R konvergens sorozathoz az (A) illetve a (B) definíció szerinti egyetlen α R számot az x sorozat limeszének, vagy határértékének nevezzük.

17 .. SOROZATOK JELLEMZÉSE 7 Jelölés: lim x α, lim x n α, x n α (n ), L(x) α n A konvergencia, a határérték és a küszöbszám szemléletes jelentése az alábbi ábráról leolvasható:.7. Definíció. Ha egy x : N R sorozat nem konvergens, akkor azt mondjuk, hogy divergens. Az (A) illetve a (B) definíció szerint ez azt jelenti, hogy. (A) α R : ε > 0 V ε : {n N : x n / K ε (α)} végtelen számosságú halmaz. (B) α R : ε > 0 N N : n > N, hogy x n α ε..8. Definíció. Az x : N R sorozat határértéke +, ha (A) R R V R : {n N : x n R} véges. (B) R R N N(R) N : n > N esetén x n > R.9. Definíció. Az x : N R sorozat határértéke, ha (A) r R V r : {n N : x n r} véges. (B) r R N N(r) N : n > N esetén x n < r Jelölés: lim x ±, lim x n ±, x n ± (n ), L(x) ± n... Konvergencia definíciójának következménye.0. Következmény. (. következmény) Ha az x, y : N R számsorozatok majdnem minden (m.m.) n indexre megegyeznek, azaz N N, hogy, ha n > N : x n y n, akkor a két sorozat ekvikonvergens, azaz x akkor és csak akkor konvergens, ha y is konvergens és L(x) L(y).

18 8. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI.. Következmény. (. következmény) Minden konvergens sorozat korlátos, de van olyan korlátos sorozat, amely nem konvergens... Megjegyzés. A. következmény értelmében létezik olyan korlátos sorozat, amely nem konvergens. Erre a leggyakrabban használt példa az (( ) n, n N) sorozat amely korlátos, de nem konvergens. Ennek bizonyítása a következő előadáson kerül elő... Következmény. (. következmény) Konvergens sorozat bármely részsorozata is konvergens, és határértéke az eredeti sorozat határértékével egyenlő..4. Megjegyzés. Ha egy sorozat két részsorozatának határértéke különböző, akkor az eredeti sorozat divergens.... Monoton sorozatok konvergenciája.5. Tétel. Legyen x : N R (x (x n, n N)) egy monoton számsorozat. Ekkor az x sorozat pontosan akkor konvergens, ha korlátos és L(x) sup x, L(x) inf x, ha x monoton nő, ha x monoton csökken..6. Megjegyzés. Monoton csökkenő sorozat szuprémuma, illetve monoton növő sorozat infimuma a kezdőelem, azaz.4. Feladat. sup x x 0 ha x monoton csökkenő inf x x 0 ha x monoton növő. a) Definíció alapján igazoljuk az a ( n n+, n N) sorozat konvergenciáját! b) Adjuk meg, hogy a sorozat mely elemei esnek a határérték ε 0,0 sugarú környezetébe! a) Sejtés: lim n a n A. Az (a n, n N) sorozat konvergens és a határértéke a A szám, ha ε > 0 N N(ε) N n > N a n A < ε. (.) n n+ ( ) < ε n+(n+) n+ < ε n+ < ε

19 .. SOROZATOK JELLEMZÉSE 9 Az abszolútértékben szereplő kifejezés n N esetén pozitív, így az abszolútértéke önmaga: Ekkor legyen N(ε) : max {[ ε n+ < ε < ε(n+) < n+ ε < n ε ], 0 ε }. < n Nyilvánvaló, hogy ez jó küszöbindex és bármely ε > 0 esetén a fenti formula alapján kiszámítható, így a sorozat valóban konvergens és a határértéke. b) N(0,0) [ 00 ] [ ] [ ] Vagyis a sorozat 49. eleme még kívül van a (,0; 0,99) környezeten, de az 50. elemtől kezdve az összes elem a fenti intervallumba esik..5. Feladat. Vizsgáljuk meg a következő sorozatot monotonitás és korlátosság szempontjából. Bizonyítsuk a konvergenciát definíció alapján! ( ) n+ a n+, n N. I) Monotonitás: a n+ a n (n+)+ (n+)+ n+ n+ n+5 n+4 n+ n+ (n+5) (n+) (n+) (n+4) (n+) (n+4) 7 (n+) (n+4) < 0 n N a n+ a n < 0 n N a n+ < a n n N Így a sorozat szigorúan monoton csökkenő. II) Konvergencia Sejtés: A sorozat konvergens és lim a n A, azaz n ε > 0 N(ε) N n > N a n A < ε (6n +7n+5) (6n +7n+) (n+) (n+4)

20 0. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI a n A < ε n+ n+ < ε 6n+9 (6n+) (n+) < ε 7 (n+) < ε, 7 > 0, ezért (n+) Így 7 < ε, (n+) > 0, ezért (n+) 7 < n+ ε 7 9 ε < n {[ 7 N(ε) : max 9 ε ] },0 választása mellett a definíció teljesül, azaz a sorozat valóban konvergens és a határérétéke lim a. III) Korlátosság Mivel a sorozat konvergens és a konvergencia szükséges feltétele a korlátosság, ezért a sorozat korlátos is. Ha a sorozat alsó- illetve felső határát is kérdezné a feladat, akkor arra a tételre hivatkozhatnánk, melyszerint monoton csökkenő sorozat szuprémuma a kezdőelem és infimuma a határérték, azaz sup a a 0 inf a lim a.

21 . fejezet Nevezetes sorozatok.. Nevezetes sorozatok határértéke... a (a n C, n N, C R + ) konvergenciája Sejtés: lim a C. Bizonyítás:. A konvergencia definícióját felírva: ε > 0, N(ε) N, n > N, a n C < ε. Mivel a n C 0 minden n N index esetén, ezért az a n C < ε reláció bármely n N esetén fennáll, így N 0 minden ε > 0 esetén jó küszöbindex.... a (a n n, n N ) konvergenciája Sejtés: lim a 0. Bizonyítás:. A konvergencia definícióját felírva: ε > 0, N(ε) N, n > N, a n 0 < ε. Mivel > 0 minden n n N esetén, ezért a n 0 n, így a definícióban szereplő relációval n ekvivalens az alábbi összefüggés: n ε < ε (n > 0, ε > 0) < n. Legyen tehát N(ε): [ ε]. A kapott küszöbindex választása mellett a definíció teljesül, azaz (an, n N) sorozat valóban konvergens és határértéke a (a n n p, n N, p N ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás:. A sorozat a sejtés alapján tágabb értelemben konvergens. Írjuk fel a megfelelő definíciót: R R, N(R) N, n > N, n p > R.

22 . FEJEZET. NEVEZETES SOROZATOK Ha R 0, akkor N jó küszöbszám. Vizsgáljuk most az R > 0 esetet. Mivel R > 0, ezért a reláció irányát nem változtatja meg, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalából p-edik gyököt vonunk: [ ] Így N(R) p R jó küszöbszám. n > p R...4. a (a n p n, n N, p N ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás:. A sorozat a sejtés alapján tágabb értelemben konvergens. Írjuk fel a megfelelő definíciót: R R, N(R) N, n > N, p n > R. Ha R 0, akkor N jó küszöbszám. Vizsgáljuk most az R > 0 esetet. Mivel R > 0, ezért a reláció irányát nem változtatja meg, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát p-edik hatványra emeljük: Így N(R) [R p ] jó küszöbszám...5. További nevezetes sorozatok n > R p. A következő nevezetes sorozatok konvergenciájának igazolása sem a vizsga-dolgozatban, sem a gyakorlati dolgozatban nem szükséges, de a határértékeik ismerete egyes feladatok megoldásához nélkülözhetetlen. α n lim n n! 0 lim n n α lim n n n lim n n n p lim n n n!.. Műveleti tulajdonságok... Nullsorozatok.. Definíció. Azokat a konvergens sorozatokat, melyek határértéke 0, zérus-sorozatoknak, vagy nullsorozatoknak nevezzük. Jelölés:C : {x x : N R, x konvergens sorozat}, N : {x x : N R, x C és L(x) 0}.. Tétel. Legyen x : N R számsorozat ha x C és L(x) α R, akkor (x n α, n N) N.

23 .. MŰVELETI TULAJDONSÁGOK.. Tétel. (Kis rendőr elv) Legyen x, y : N R számsorozatok, y N nullsorozat. Ha x n y n m.m. n re, akkor x N nullsorozat..4. Definíció. Legyenek x, y : N R számsorozatok. x és y összege: x+y : (x n +y n, n N). x és y szorzata: x y : (x n y n, n N)..5. Tétel. Legyen x, y, z :N R számsorozatok, x, y N nullsorozatok, z korlátos sorozat. Ekkor (i) x+y N, azaz nullsorozatok összege is nullsorozat. (ii) x z N, azaz nullsorozat és korlátos sorozat szorzata nullsorozat... Műveleti tulajdonságok... Konvergens sorozatokra vonatkozó műveleti tulajdonságok.6. Definíció. Legyenek x, y : N R számsorozatok, y n 0 (n N) és λ R. x és y hányadosa: x y : ( xn y n, n N). λ és x szorzata: λ x : (λ x n, n N)..7. Tétel. Legyen x, y : N R, x, y C konvergens számsorozatok, λ valós szám. Ekkor (i) x+y C, és L(x+y) L(x)+L(y), (ii) λ x C, és L(λ x) λ L(x), (iii) x y C, és L(x y) L(x) L(y), (iv) Ha y n 0 (n N), akkor x y C, és L( x y ) L(x) L(y),... Tágabb értelemben konvergens sorozatokra vonatkozó műveleti tulajdonságok.8. Megjegyzés. Legyen x, y : N R, számsorozatok nem feltétlenül konvergensek, de létezzen a határértékük. Ekkor bizonyos esetekben van érvényes műveleti tulajdonság. Például: (i) ha L(x) +, és L(y) +, akkor L(x y) +, (ii) ha L(x) +, és L(y) +, akkor L(x+y) + (iii) ha L(x) α R, és L(y) +, akkor L( x y ) 0 (iv) ha L(x) +, és L(y) α R +, akkor L( x y ) + (v)...,

24 4. FEJEZET. NEVEZETES SOROZATOK.9. Megjegyzés. DE! Ún. határozatlansági esetek is vannak: 0 0,, 0, 00,, 0. Ezeknek bármilyen kimenetele lehet, ezért nem tudjuk a műveleti tulajdonságok alapján a határértékeket közvetlenül leolvasni. A sorozatokat ebben az esetben elemi matematikai meggondolásokkal át kell alakítani és meg kell szüntetni a határozatlansági esetet.

25 4. fejezet Határérték számítás A műveleti tulajdonságok az alábbi határozatlansági esetekben nem alkalmazhatók: 0 0,, 0, 0 0,, Feladat. A műveleti tulajdonságok alapján határozzuk meg a következő sorozatok határértékét, ha létezik. a) a ( 5 +( ) n n+ sin n π, n N) A fenti sorozatra a n b n c n +d n f n n N, ahol b (, n N) c ( 5, n N) n+ d (( ) n ), n N f ( sin n π, n N) lim d f 0, mert d N és f K. (Lásd a tételt előadáson.) lim a n lim b n lim n n } {{ } n c n } {{ } 0 + lim d n f n. } n {{ } 0 Típus: két polinom hányadosa Eljárás: A nevező legmagasabb kitevőjű tagjával egyszerűsítünk. ( ) n b) a 5n 7, n N n 5 lim a n 5n 7 n lim n n n 5 n ( 5 lim 7 ) 5 n n n n ( 5 lim 7 n n ) n 5 n n c) a ( 7n n +, n N) lim a 7n n lim n n n + lim n n ( 7 n n ) n (+ n ) lim n 7 n n + n 0 5

26 6 4. FEJEZET. HATÁRÉRTÉK SZÁMÍTÁS ( ) 5n d) a n+8, n N n 7 lim a 5n n+8 n lim n n n 7 n(5n + 8 lim ) 5n + 8 n n n n( 7 ) lim n 7 n n 4.. Megjegyzés. P (n) lim n Q(n) 0, ha deg P < deg Q sgn p, q ha deg P > deg Q C p, q ha deg P deg Q, ahol p a P (x), q pedig a Q(x) polinom főegyütthatója. Típus: q n racionális törtfüggvénye Eljárás: Közös kitevőre hozunk, majd a nevező legnagyobb alapú (abszolútértékben) tagjával egyszerűsítünk. ( ) 7 9 e) a n 6 5 n ; n N 5 4 n n+ lim a 7 9 n 6 5 n n lim n n 5 4 n n+ 7 9 n 6 5 lim 5n n 5 4 n 6 (9) lim n 7 6 lim ( 5 n 5 ) 9) n 7 n 5 ( lim n 7 9 n 6 5 5n 5 4 n ( ) n n n 9 n 5 4n 9 n 6 Típus: Két végtelenbe tartó racionális-tört különbsége Eljárás: Közös nevezőre hozunk, ezzel polinom-per-polinom alakot kapunk. ( ) n f) a + n + ; n N n+ 6n+ ( ) n lim a + n lim n n n+ n + (n +)(6n+) (n +)(n+) lim 6n+ n (n+)(6n+) n +4n (n+)(6n+) A nevező legnagyobb kitevőjű tagja n, ezzel osztunk. Ha ez a szorzat alakból nem látszik felbonthatjuk a zárójeleket. A fenti (n+)(6n+) szorzatból három féleképpen lehet n -t kiemelni:

27 7. Az első tényezőből emelek ki n -t,. A második tényezőből emelek ki n -t,. Mindkét tényezőből kiemelek n-t. Most ez utóbbit érdemes választani: lim n n ( + 4 ) n n (+ )(6+ ) lim n 6 n n Típus: Gyökök különbsége Eljárás: Konjugálttal bővítünk. g) a ( n +n+ n n ; n N ) ( lim a lim n +n+ ) n n konjugálttal bővítünk n ( lim n +n+ ) n n n +n++ n n n n +n++ n n (n +n+) (n n ) lim n n +n++ n n lim n lim n + n + n + n + n+ n +n++ n n n n. Típus: Változó tagszámú sorozatok Eljárás: Összegképlet keresése. ( ) h) a + + +n (n+) ; n N n + + +n (n+) lim n n Változó tagszámú összeg. Megpróbáljuk felírni az összegképletet. n k(k +) k n (k +k) k n k + k n k k n(n+)(n+) 6 + n(n+) lim n(n+)(n+)+ (n+)n 6 lim (+ )(n+ )+ (+ ) 6 n n n n n n n 6.

28 8 4. FEJEZET. HATÁRÉRTÉK SZÁMÍTÁS n Típus: n és n a racionális törtfüggvényei Eljárás: Szorzattá alakítás. ( ) i) a n 6 4 n 8+ ( n ; n N ) n 6 4 n 8+ lim n ( n ) Mivel lim n c, ha c R +, a fenti határérték 0 határozatlansági esetre vezet. Legyen n 0 a : n, ekkor n 6 4 n 8+ ( n a4 4a + ) (a ) (a ) (a +a+) (a ) : Mivel a számlálóban szereplő polinom helyen 0 értéket vesz fel, ezért szorzattá alakításában szerepelni fog az (a ) tényező. Próbáljuk a számlálót szorzattá alakítani. Ezt csoportosítással, kiemeléssel, vagy polinomosztással érhetjük el. a 4 4a +0a +0a + a 4 a a +0a +0a + a +a a +0a + a +a a + a + 0 : (a ) a a a. Mivel a a a a polinomnak is zérushelye a, ezért tovább bontható: a a a a a a a a a a a 0 : (a ) a +a+. Ezért a 4 4a + (a ) (a +a+) és ( n ) ( n + n +) 0 lim n ( n 0 lim n 4+ n + 6 ) n

29 9 Típus: (( ) n, n N) sorozatot tartalmazó sorozatok Eljárás: Páros és páratlan indexű részsorozatok vizsgálata. j) a ( ( ) n 7n 5 n+9 ; n N) Vizsgáljuk a sorozat páros indexű elemeiből álló részorozatát: amelyre a n ( ) n 7 n 5 n+9 4n 5 n+9, n N, lim a 4n 5 n lim n n n+9 lim 4 5 n n + 9 n a páratlan indexű elemekből álló részsorozatra: 7, amelyre a n+ ( ) n+ 7 (n+) 5 n++9 4n+ n+0, n N, lim a n+ lim 4n+ n n n+ lim 4+ n n + n 7. Az a sorozatnak van két, különböző határértékkel rendelkező részsorozata, ami ellentmond a konvergencia harmadik következményének. ( Konvergens sorozat minden részsorozata konvergens és ezek határértéke megegyezik az eredeti sorozat határértékével. ) Így az a sorozat divergens. 4.. Megjegyzés. Megmutatható, hogy mivel a sorozat a két részsorozatának fésűs egyesítése, ezért ha a részsorozatok határértéke megegyezik, akkor a sorozat konvergens és a közös határérték a sorozat határértéke. FIGYELEM! Ez általában nem igaz. A következő néhány feladatot az alábbi tételre vezetjük vissza: 4.. Tétel. Az ( (+ n )n, n N ) sorozat konvergens Megjegyzés.. A sorozat konvergenciáját úgy bizonyítjuk, hogy belátjuk, hogy monoton és korlátos, ami a konvergencia elégséges feltétele. A részletes bizonyítás elolvasható a programtervező jegyzetben.. A fenti sorozat határértékét e-vel szokás jelölni és Euler-számnak nevezzük. A közelítő értéke: e,788. Bizonyítás nélkül elfogadjuk a következő tételt Tétel. Ha lim n b n ±, akkor lim (+ ) bn e n b n A következő tétel állításaira szintén szükségünk lesz a feladatok megoldásához.

30 0 4. FEJEZET. HATÁRÉRTÉK SZÁMÍTÁS 4.6. Tétel. () Ha a n a > 0 és b n b R, akkor a bn n a b (n ) () Ha a n a > és b n, akkor a bn n (n ) () Ha a n a (0 < a < ) és b n, akkor a bn n 0 (n ) 4.. Feladat. A műveleti tulajdonságok alapján határozzuk meg a kijelölt határértékeket! Típus: ( + n) n-re visszavezethető feladatok ( a) lim n+ ) n n n? lim n ( n+ n ) n ( lim + n ( lim + n n) ) n ( n n lim + ) n n n ( lim n + ) n n e } {{ } e ( ) n n b) lim n+ n? n n +n lim n lim n lim n ( n n+ n +n ( + n +n n+ ( + n +n n+ ) n n lim n ) n n lim n ) n +n n+ ( n +n n+ ( n +n + n +n n+ n+ n n +n n lim n ( ) n ( n lim + n+ ) n n n n +n ) n +n n+ n+ n +n n n + n +n n+ n +n ) } n+ {{ } 0. } {{ } e 6n 4 +4n n n+ *: Vizsgáljuk meg külön a kitevő határértékét: 6n 4 +4n lim n n n+ lim n 6n+4 n + n, így az előző tétel alapján a fenti határérték 0.

31 Típus: Rendőrelvvel megoldható feladatok A következő feladatok megoldása során sokszor fogunk hivatkozni a következő tételre Tétel. (Rendőrelv) Legyen a (a n, n N), b (b n, n N) és c (c n, n N) három valós számsorozat, melynek elemeire: a n b n c n. Ha a és c sorozatok konvergensek, és lim a n lim c n A, akkor a b sorozat is konvergens és n n határértéke lim b n A. n n c) lim 5? n n+ Becsüljük a sorozat általános tagját! Ehhez induljunk ki az alábbi relációból: 0 < n+ 0 > n+ 5 > 5 4 n+ n 5 > n 5 n 4 n+ Mivel lim n n 5 lim n n 4, ezért a rendőrelv alapján: n n d) lim a n lim 5n+ n n n 5 + Hogy a n 5n+ n 5 + lim n n törtet becsülni tudjuk vizsgáljuk meg az előjelét: n 5n+ n n+. > 0 n 5n+ > 0, ami a természetes n-ek között az n 5 feltétel teljesülése esetén igaz. A felsőbecsléshez a fenti törtet szeretnénk növelni. Ez a számláló növelésével és/vagy a nevező csökkentésével lehetséges. A számláló növelését úgy szeretnénk elvégezni, hogy a kapott polinom csak összevonható tagokat tartalmazzon. Ehhez a pozitív együtthatóval szereplő tagok helyett főtaggal (legmagasabb fokszámú tag) egynemű kifejezéseket írunk (az együtthatót változatlanul hagyjuk), a negatív együtthatójú tagokat elhagyjuk az összegből. Így n 5n+ n 0+n. A kapott becslés minden szóbajöhető n-re teljesül (n 5).

32 4. FEJEZET. HATÁRÉRTÉK SZÁMÍTÁS A nevező csökkentése során éppen ellenkezőleg járunk el. A pozitív együtthatójú tagokat hagyjuk el (kivéve természetesen a főtagot) és a negatív együtthatójú tagok helyett írunk a főtaggal egynemű kifejezést: n 5 + n 5 +0 n 5. Felhívnánk a figyelmet arra, hogy a nevező becslésekor vigyázni kell arra is, hogy a kifejezés egyetlen szóba jöhető n esetén se legyen 0. Így ha korábban nem zártuk volna ki n lehetséges értékei közül a 0-t, most meg kellene tennünk. Alsóbecsléshez csökkentsük a n 5n+ >0 törtet, amely a számláló csökkentésével és/vagy n 5 + a nevező növelésével lehetséges. Mivel n 5 + n 5 +n 5, ha n, ezért a nevező az előzőekhez hasonló indoklás alapján növelhető minden szóbajöhető n esetén. Ha a számláló csökkentése során a n 5n+ n 5n +0 becslést használnánk, akkor a vizsgált tört helyett egy negatív előjelű kifejezést kapnánk. Célunk, hogy az előző feladathoz hasonlóan az n-edik gyök szigorú monotonitására hivatkozva alkalmazhassuk a rendőrelvet, de negatív kifejezés esetén az n-edik gyökvonás nem engedélyezett művelet. Az ilyen hibás becslést túlbecslésnek szokás nevezni. Mit tehetünk ilyen esetben? Fontos, hogy a számlálóban szereplő polinomot úgy csökkentsük, hogy eközben az előjele ne változzon meg. Például n n + 0 egy jó becslés, abban az esetben, ha valóban kisebb az eredeti polinomnál. Vizsgáljuk meg, hogy milyen n-ek esetén teljesül ez: n n +0 n 5n+ n 5n < 5n+ n 0. Azaz minden n 0 esetén n n +0 n 5n+ teljesül és ekkor Így igaz az alábbi becslés: n n +0 n 5 +n 5 n 5n+. n n n +0 n 5n+ n 0+n n 0 n N n 5 +n 5 n 5 + n 5 +0 n 4 n a n n 4n n 0 n N A rendőrelv alapján: lim a n n 5n+ n lim. n n n 5 +

33 5. fejezet Nevezetes függvények, Függvények határértéke 5.. Függvények 5.. Definíció. Függvény alatt egy olyan hozzárendelést értünk, mely egy H halmaz minden eleméhez egy K halmaz egy és csakis egy elemét rendeli. Jelölés: f : H K, y f(x) (x H). x: független változó, y vagy f(x) a függő változó. H : a függvény értelmezési tartománya, további jelölés: D f vagy ÉT értékkészlet: R f ÉK : {y K : x D f, f(x) y} K. 5.. Megjegyzés. Ha H, K R, akkor f valós függvény. Az f : H R D f H halmaz, R f R nek. A valós függvényeket célszerű grafikonjukkal ábrázolni. Ez azt jelenti, hogy a H R halmazon értelmezett f : H R függvényt a síkbeli halmazzal szemléltetjük. Γ(f) : {(x, y) R : x H, y f(x)} R 5... Nevezetes függvények 5.. Definíció. Az abs : R R x abs (x) : x függvényt abszolút érték függvénynek nevezzük.

34 4 5. FEJEZET. NEVEZETES FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE A számok abszolút értékének definícióját felhasználva: { x, ha x 0, abs (x) x x, ha x < 0, 5.4. Definíció. Az A függvény néhány tulajdonsága: int : R Z D f R, R f {y R y 0} nem monoton (szakaszonként monoton) A teljes ÉT-on konvex minimuma x 0-ban van, maximuma nincs páros x int (x) : [x] függvényt egészrész függvénynek nevezzük, ahol [x] jelöli az x valós szám egészrészét, azaz a legnagyobb x-nél nem nagyobb egész számot. ([x] n n N és n x < n+) A függvény néhány tulajdonsága: D f R, R f Z monoton növő minimuma és maximuma nincs nem páros és nem páratlan 5.5. Definíció. Az frac : R Z x frac (x) x [x] : {x} függvényt törtrész függvénynek nevezzük, ahol [x] jelöli az x valós szám egészrészét, azaz a legnagyobb x-nél nem nagyobb egész számot. ([x] n n N és n x < n+) A függvény néhány tulajdonsága: D f R, R f [0, ) nem monoton periodikus, periodusa: p minimuma y 0, melyet minden egész helyen felvesz, maximuma nincs nem páros és nem páratlan

35 5.. FÜGGVÉNYEK Definíció. Az, ha x > 0, sgn : R { ; 0; } x sgn(x) : 0, ha x 0,, ha x < 0, utasítással értelmezett függvényt előjelfüggvénynek, vagy szignumfüggvénynek nevezzük. A függvény néhány tulajdonsága: D f R, R f { ; 0; } monoton növő minimuma y és maximuma y, minden x 0 < 0 pontban minimumhely és x 0 > 0 pontban maximumhely van a függvény páratlan 5.7. Definíció. Legyenek n N és a 0, a,, a n R adott számok. A P : R R : x P (x) : a 0 +a x+ +a n x n utasítással értelmezett P függvényt polinomnak nevezzük. Ha a n 0: P polinom pontosan n-edfokú n N: P polinom fokszáma. Jelölés: deg(p ) n a i (i 0,,, n): P együtthatói 5.8. Tétel. (Algebra alaptétele) Legyen P (z):a 0 +a z+ +a n z n (z C) egy komplex együtthatós, nem konstans, pontosan n-edfokú polinom. Ekkor léteznek olyan λ, λ,, λ n C komplex számok, amelyekkel a P polinom felírható alakban. P (z) a n (z λ )(z λ ) (z λ n ) (z C) 5.9. Következmény. Minden λ i (i,,, n) komplex számra: P (λ i ) 0 (i,,, n), azaz a λ i (i,,, n) számok a P gyökei, vagy zérushelyei Definíció. P és Q függvények egyenlőek, D P D Q és P (x) Q(x) x D P 5.. Következmény. Legyen P (x) : a 0 +a x+ +a n x n, Q(x) : b 0 +b x+ +b m x m (x R) két valós polinom. Ha P Q, akkor m n és a 0 b 0, a b,, a n b n.

36 6 5. FEJEZET. NEVEZETES FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE 5.. Tétel. Bármely P és Q polinomhoz egyértelműen létezik olyan S és R polinom, amelyre P QS +R, deg (R) < deg (Q). 5.. Definíció. Legyenek P és Q valós együtthatós polinomok, ahol Q θ és jelölje Λ Q : {λ,, λ r } a Q gyökeinek a halmazát. Az S : R\Λ Q R : x S(x) : P (x) Q(x) utasítással értelmezett S függvényt racionális törtfüggvénynek nevezzük Definíció. A P Q ha deg P < deg Q. racionális törtfüggvényt valódi racionális törtfüggvénynek nevezzük, 5.5. Megjegyzés. Maradékos osztást alkalmazva kapjuk, hogy bármely P Q rac. tört esetén létezik S, R, Q P, Q hogy P Q S + R Q ahol S P és R/Q már valódi rac. törtfv. Emiatt bizonyos, racionális függvényekkel kapcsolatos kérdések vizsgálatában valódi racionális törtfüggvényekre szorítkozunk Definíció. Akkor mondjuk, hogy az a R elem (pont) a H R valós számhalmaz torlódási pontja, (A) ha az a pont bármely környezete végtelen sok H-beli elemet tartalmaz, azaz vagy ε > 0 : K ε (a) H végtelen halmaz. (B) ha az a pont minden környezete tartalmaz legalább egy a-tól különböző H-beli pontot, azaz vagy ε > 0 : K ε (a) H\{a}. (C) ha létezik olyan H-beli nem stacionárius pontsorozat, melynek határértéke az a pont Definíció. A H halmaz torlódási pontjainak halmaza: H derivált halmaza, (Jelölés: H.) 5.8. Definíció. Egy sorozat akkor stacionárius, ha csak véges sok egymástól különböző tagja van Definíció. A H R halmaznak azokat a pontjait, amelyek nem tartoznak H -höz, a H halmaz izolált pontjainak nevezzük. (a H, a / H ) 5.0. Definíció. Akkor mondjuk, hogy a nem üres H R halmazon értelmezett f : H R függvénynek az a H pontban van határértéke, ha A R, ε > 0, δ > 0 x ( K δ (a)\{a} ) H : f(x) K ε (A).

37 5.. FÜGGVÉNYEK Megjegyzés. R R {± } 5.. Tétel. Legfeljebb egy olyan A R létezik, amelyre a fenti feltétel teljesül. 5.. Definíció. A fenti értelmezésben szereplő A R elemet az f függvény a pontban vett határértékének nevezzük. Jelölés: lim a f A, lim x a f(x) A, L a (f) A, f(x) A, ha x a. Az 5.0 definíció az a, A R speciális esetben az alábbi alakban írható: Véges helyen vett véges határérték: 5.4. Definíció. f : H R, a H R, A R, lim x a f(x) A ε > 0 δ δ(ε) > 0, ha 0 < x a < δ, x H, akkor f(x) A < ε. A határérték definíció a többi speciális esetben is átfogalmazható, ezen definíciók elolvashatók a honlapon található lim.pdf file-ban, de nem képezik részét a képzés tananyagának Megjegyzés. Függvény határértékét a kurzus keretein belül nem a definíció alapján vizsgáljuk. A függvény határértéke kapcsolatba hozható a sorozat határértékével, erre alkalmas az átviteli elv Tétel. (Átviteli elv.) Az f : H R (H R) függvénynek az a H pontban akkor és csak akkor A R a határértéke, ha bármely olyan (x n, n N) sorozatra, amelyre x n H, x n a (n N), lim n x n a, a függvényértékek (f(x n ), n N) sorozatának is van határértéke és lim f(x n) A. n

38 8 5. FEJEZET. NEVEZETES FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE 5.7. Definíció. Legyen f :H R (H R) és tegyük fel, hogy az a R elem a H a + :H (a, + ) halmaz torlódási pontja. Az f függvénynek az a helyen létezik jobboldali határértéke, ha f-nek a H a + halmazra vonatkozó leszűkítésének létezik határértéke az a pontban. Ezt a határétéket f a-pontbeli jobboldali határértékének nevezzük. Jelölés: lim f, lim f(x), f(a+), L a+ a+(f). x a Definíció. Legyen f :H R (H R) és tegyük fel, hogy az a R elem a Ha :H (, a) halmaz torlódási pontja. Az f függvénynek az a helyen létezik baloldali határértéke, ha f-nek a Ha halmazra vonatkozó leszűkítésének létezik határértéke az a pontban. Ezt a határétéket f a-pontbeli baloldali határértékének nevezzük. Jelölés: lim f, lim f(x), f(a ), L a a (f). x a 5.9. Tétel. Tegyük fel, hogy az a R szám a H a + és a Ha halmaznak is torlódási pontja. Ekkor f-nek az a helyen akkor és csak akkor van határértéke, ha f-nek a-ban létezik a jobb- és baloldali határértéke, és lim f(x) lim f(x) L a(f). x a x a+ 5.. Feladat. Olvassuk le az ábrán látható függvény feltüntetett határértékeit: lim x f(x)?; lim x a x a x a f(x)?; lim f(x)?; lim + lim f(x)?; lim f(x)? x c x f(x)?; lim f(x)? x b lim f(x) x ; lim f(x) ; lim f(x) ; lim f(x) ; lim f(x) 7 + x a x b x a x a lim f(x) 6; lim f(x) 6 x c x

39 6. fejezet Függvények határértéke 6.. Feladat. Az átviteli-elv segítségével igazoljuk a következő határértékeket. x +x a) lim x x 5 7 x n H, x n a (n N) lim n x n a lim n f(x n ) A Legyen x n H, x n a, lim n x n lim f(x x n +x n n) lim n n x n A sorozatok határértékére vonatkozó műveletei szabályok miatt. x 5 b) lim x x+7 Legyen x n H, lim n x n c) lim x x x n H, (n N) lim n x n lim n f(x n ). lim f(x n) lim n n x n 5 x n +7 lim Legyen x n :, ekkor lim x n n (x n ). Ekkor n lim f(x n) lim n n x n lim n 9 5 x n n ( n + 7 x n. lim n. ) n

40 40 6. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE Legyen y n : +, ekkor lim y n n (y n ). Ekkor n lim f(y n) lim n n y n lim n (+ n ) lim n n. Tehát találtunk két olyan változó sorozatot, melyek a-be tartanak, mégis a hozzájuk tartozó függvényérték-sorozatok határértéke különböző. Így a függvény határértéke az adott pontban nem létezik. (A jobb- illetve a bal-oldali határérték természetesen értelmezhető.) 6.. Megjegyzés..) Az átviteli-elv egyik nagy előnye, hogy segítségével a függvényhatárérték számítása a már jól ismert sorozatok határérték számítására vezethető vissza. A fenti feladatokból jól látható, hogy a bizonytalansági esetek hasonlóan szüntethetők meg, mint a sorozatok esetében..) A c feladat során tapasztalhattuk, hogy olyan esetekben, mikor azt kell bizonyítani, hogy az adott pontban nem létezik a függvény határértéke, elegendő találni két különböző változó sorozatot, melyek határértéke az adott pont, de a függvényértékek sorozata különböző. 6.. Feladat. Határozzuk meg a következő határértékeket a műveleti tulajdonságok alapján, ha léteznek! a) lim x x+4 5x+7 x+4 lim x 5x x 4 +5x b) lim x x +4x lim x x 4 +5x x +4x 7x +x c) lim x x lim x x+ 5 x x + 4 x x 7x +x lim x x 7x+ x lim x x

41 d) lim x 4 5 x+ +7 x + x +6 5 x + lim x 4 5 x+ +7 x + x +6 5 x x +7 x + lim x 4x +6 5 x + lim x ( 0+7 ) x lim x x (4) x x 0+7 x + 5 x 5 x 5 x 4x 5 x x+ +7 x + e) lim x x +6 5 x + lim x 0 0 {}}{ 4 5 x+ +7 } x {{ } +6 }{{} 5 x 0 0 {}}{ x + ( f) lim x +5x ) x x x + ( lim x +5x ) x ( x lim x +5x ) x x x +5x+ x x x x x +5x+ x x (x +5x) (x x) lim x x +5x+ x x lim x 7 lim x + 5x + x 7x x +5x+ x x 7. ( x+ g) lim x x ) x+ lim x ( x+ x ) x+ ( lim + x+ ( lim + x x) x x lim x [ ( + x Vizsgáljuk meg a kitevő határértékét: x+ + x lim lim x x x ) ] x+ x x e ) x+ ( lim + ) x x (x+) x x

42 4 6. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ( ) x x+ +x h) lim x x 4x+ lim x ( ) x x+ +x lim x 4x+ x lim + x ( lim x ( x 4x++6x ( + x 4x+ x 4x+ 6x x 4x+ 6x ) x+ lim x ) x 4x+ 6x ) x+ ( lim + 6x x x 4x+ ( ) x 4x+ + x 4x+ 6x 6x x (x+) 4x+ e 6 ) x+ 6x 6x x (x+) 4x+ Vizsgáljuk meg a kitevő határértékét: 6x +x 6 lim x x 4x+ lim 6+ 6 x x x x x x +x i) lim x x x 6 x 0 +x 0 (x+)(x ) lim lim x x x 6 x (x+)(x ) lim x x x 5 5 x x x+ j) lim x x x 9x+8 lim x x x x+ x x 9x A 0 alakból látható, hogy mind a számláló, mind a nevező osztható az x kifejezéssel: 0 x x x + x x x + x + 0 : (x ) x

43 4 x x 9x +8 x x x 9x +8 x x 6x +8 6x +8 0 : (x ) x +x 6 így (x )(x ) lim x (x )(x +x 6) lim x x x +x k) lim x x + x x + 0 lim lim x x x ( x) x + +x lim x ( x) x + +x lim x + ( x) x + +x Mivel az x pontban nem egyezik meg a jobb- és a baloldali határérték, ezért itt nem létezik határérték. l) lim x 0 5x x+ x +x 5x x+ 0 lim lim x 0 x +x x 0 (x 0) 5x x+ + x+ x m) lim x x +5x +7x+ lim x x x +5x +7x+ 0 0

44 44 6. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE x (x )(x+), x +5x +7x + x +x 4x 7x + 4x +4x x + x + 0 : (x+) x +4x+ lim x (x )(x+) lim (x+)(x +4x+) x x x +4x+ 0 lim x lim x x+ x + lim x+ x + x+ x x+ x+ x x+ Mivel az x pontban nem egyezik meg a jobb- és a baloldali határérték, ezért itt nem létezik határérték. 6.. Tétel. lim x 0 sin x x. sin g(x) 6.. Megjegyzés. Igazolható, hogy lim, ha lim g(x) 0 x a g(x) x a (a R). n) lim x 0 sin x x sin x lim x 0 x lim sin x x 0 x x x lim sin x x 0 x x o) lim x 0 sin 7x lim x 0 x sin 7x lim x 0 7x sin 7x 7 7 lim x 0 sin 7x 7x 7 tgx p) lim x 0 sin 4x lim x 0 tgx sin 4x lim sin x x 0 cos x sin 4x lim x 0 sin x cos x x sin 4x 4 4 4x

45 7. fejezet Folytonosság, invertálhatóság 7.. Folytonosság 7.. Definíció. Legyen H R és f : H R a H halmazon értelmezett függvény. Akkor mondjuk, hogy az f függvény az a H pontban folytonos, ha 7.. Megjegyzés. ε > 0, δ δ(ε, a) > 0, x H, x a < δ f(x) f(a) < ε. Értelmezési tartományának a H torlódási pontjában a függvény akkor folytonos, ha i) a H ii) A lim x a f(x) véges határérték iii) f(a) A Az értelmezési tartomány izolált pontjaiban a függvény mindig folytonos. Azon pontokban, ahol a függvény nem értelmezett nincs értelme folytonosságról beszélni. 7.. Definíció. Ahol a függvény értelmezett, de nem folytonos, ott a függvénynek szakadása van Definíció. Ha f az a H pontban nem folytonos, de létezik véges határértéke a-ban (ekkor nyilván f(a) lim f(x)), azt mondjuk, hogy a függvénynek megszüntethető szakadása van az x a a pontban Definíció. Ha f az a H pontban nem folytonos és nem létezik véges határértéke a-ban, de léteznek véges egyoldali határértékek (amelyek ekkor nyilván nem egyenlők), azt mondjuk, hogy a függvénynek a-ban ugrása van. A : lim f(x) lim f(x) + x a számot az ugrás mértékének nevezzük. x a 7.6. Definíció. Az ugrást és a megszüntethető szakadást elsőfajú szakadásnak, minden más típusú szakadást másodfajú szajkadásnak nevezünk. 45

46 46 7. FEJEZET. FOLYTONOSSÁG, INVERTÁLHATÓSÁG 7.7. Definíció. Ha az f függvény értelmezési tartományának valamely K H részhalmazának minden pontjában folytonos, akkor azt mondjuk, hogy a K halmazon folytonos. Példák:.) Az f(x) sgnx függvénynek az a 0 pontban ugrása van..) Az { x, ha x, f(x), ha x, függvénynek a -ben megszüntethető szakadása van..) Az f(x) x függvény a D f-n folytonos 4.) Az ábrán látható függvénynek a -ben másodfajú szakadása van. {, ha x Q, 5.) A D(x), ha x / Q, Dirichlet-függvény sehol nem folytonos Műveletek folytonos függvényekkel 7.8. Tétel. Legyen f, g két, a H halmazon értelmezett folytonos függvény (f, g C H ) és λ R, ekkor f +g, λ f és f g is folytonos H-n. Ha g(x) 0 minden x H esetén, akkor f g is folytonos H-n Definíció. Legyen H R és K R. Az f :H K és a g:k R függvények kompozícióján azt a g f függvényt értjük, melynek értelmezési tartománya a H halmaz és hozzárendelési szabálya x (g f)(x) : g(f(x)) Folytonos függvények tulajdonságai 7.0. Definíció. Az f : H R függvény korlátos, ha értékkészlete korlátos, azaz ha létezik k, K R, hogy k f(x) K ( x H). 7.. Tétel. Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény korlátos. 7.. Definíció. Akkor mondjuk, hogy az f : H R függvénynek van maximuma, ha létezik x H, melyre f(x ) f(x) ( x H)

47 7.. TOVÁBBI NEVEZETES FÜGGVÉNYEK ÉS INVERZEIK Definíció. Akkor mondjuk, hogy az f : H R függvénynek van minimuma, ha létezik x H, melyre f(x ) f(x) ( x H) 7.4. Tétel. (Weierstrass tétele) Véges zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi szélsőértékeit Definíció. Az f : H H kölcsönösen egyértelmű leképezés inverz függvényén értjük azt az f függvényt, melynek értelmezési tartománya f értékkészlete (f : H H ), hozzárendelési szabálya y H, f : y x, melyre x H, f(x) y Tétel. (Inverz függvény folytonossága) Ha a, b R, és f :(a, b) R szigorúan monoton, folytonos függvény, akkor az f függvény f : (α, β) (a, b) inverz függvényei is ugyanabban az értelemben szigorúan monoton és folytonos, ahol α inf{f(x), x (a, b)} és β sup{f(x), x (a, b)} Megjegyzés. Az inverz függvény grafikonja az eredeti függvény grafikonjának y x egyenesre vett tükörképe Tétel. (Bolzano-tétel) Legyen f az I R intervallumon értelmezett valósértékű függvény. Ekkor f értékkészletének bármely két eleme közé eső értéket felveszi. 7.. További nevezetes függvények és inverzeik 7.9. Definíció. Legyen a > 0 és a pozitív valós szám. Az a szám r R valós kitevős hatványán az alábbi határértéket értjük a r : lim n a qn, ahol (q n, n N) tetszőleges r-hez tartó racionális számsorozat Megjegyzés. Megmutatható, hogy a fenti definíció jó, azaz A megadott határérték minden a és r esetén létezik. A határérték nem függ a (q n, n N) sorozat választásától. Ha r Q, akkor a r korábbi értelmezéséhez jutunk. 7.. Definíció. Legyen a > 0 és a pozitív valós szám. Az exp a : R {y R y > 0} x exp a (x) : a x, utasítással értelmezett függvényt a alapú exponenciális függvénynek nevezzük.

48 48 7. FEJEZET. FOLYTONOSSÁG, INVERTÁLHATÓSÁG A függvény néhány tulajdonsága: D f R, R f {y R y > 0} a > esetén szigorúan monoton növő, a < esetén szigorúan monoton csökkenő sem minimuma sem maximuma nincs konvex a függvény nem páros és nem páratlan nem periodikus mindenhol folytonos Az y-tengelyt a (0, ) pontban metszi (minden szóbajöhető a esetén) Mivel az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű, ezért invertálható. 7.. Definíció. Legyen a > 0 és a pozitív valós szám. Az a alapú exponenciális függvény inverz függvényét a alapú logaritmus függvénynek nevezzük és a log a szimbólummal jelöljük. D f {x R x > 0}, R f R Ha a > szig. mon. növő, ha a < szig. mon. csök. sem min. sem max. nincs ha a > konkáv és ha a < konvex nem páros és nem páratlan nem periodikus mindenhol folytonos Az x-tengelyt az (, 0) pontban metszi (minden szóbajöhető a esetén) 7.. Definíció. A valós számokon értelmezett és az x R számhoz az x-tengely pozitív felével x szöget bezáró egységvektor függőleges koordinátáját rendelő függvényt szinusz függvénynek nevezzük.

49 7.. TOVÁBBI NEVEZETES FÜGGVÉNYEK ÉS INVERZEIK 49 D f R, R f [, ] nem monoton x min π +kπ, k Z, y min x max π +kπ, k Z, y max zérushelyek x kπ, k Z páratlan periodikus, periódusa p π mindenhol folytonos 7.4. Megjegyzés. A sin függvény a [ π, π] intervallumon szigorúan monoton növő, így kölcsönösen egyértelmű, ezért ezen az intervallumon létezik inverze Definíció. A sin függvény [ π, π ] intervallumra vett leszűkítésének inverz függvényét arkusz szinusz függvénynek nevezzük, azaz arcsin x jelenti azt a π és π közötti szöget, radiánban adva, amelynek szinusza x. D f [, ], R f [ π, ] π szigorúan monoton növő x min, y min π x max, y max π zérushely x 0-ban páratlan nem periodikus mindenhol folytonos 7.6. Definíció. A valós számokon értelmezett és az x R számhoz az x-tengely pozitív felével x szöget bezáró egységvektor vízszintes koordinátáját rendelő függvényt koszinusz függvénynek nevezzük.

50 50 7. FEJEZET. FOLYTONOSSÁG, INVERTÁLHATÓSÁG D f R, R f [, ] nem monoton x min π +kπ, k Z, y min x max 0+kπ, k Z, y max zérushelyek x π +kπ, k Z páros periodikus, periódusa p π mindenhol folytonos 7.7. Megjegyzés. A cos függvény a [0, π] intervallumon szigorúan monoton csökkenő, így kölcsönösen egyértelmű, ezért ezen az intervallumon létezik inverze Definíció. A cos függvény [0, π] intervallumra vett leszűkítésének inverz függvényét arkusz koszinusz függvénynek nevezzük, azaz arccos x jelenti azt a 0 és π közötti szöget, radiánban adva, amelynek koszinusza x. D f [, ], R f [0, π] szigorúan monoton csökkenő x max, y max π x min, y min 0 zérushely x -ben nem páros és nem páratlan nem periodikus mindenhol folytonos 7.9. Definíció. Azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya R\{x R x π +kπ, k Z} és hozzárendelési utasítása x tgx : sin x cos x tangens függvénynek nevezzük.

51 7.. TOVÁBBI NEVEZETES FÜGGVÉNYEK ÉS INVERZEIK 5 D f R\{x R x π +kπ, k Z}, R f R nem monoton nincs maximum és nincs minimum páratlan periodikus p π zérushelyek x 0+kπ, k Z Az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos 7.0. Megjegyzés. A tg függvény a ( π, π ) intervallumon szigorúan monoton növő, így kölcsönösen egyértelmű, ezért ezen az intervallumon létezik inverze. 7.. Definíció. A tg függvény ( π, ) π intervallumra vett leszűkítésének inverz függvényét arkusz tangens függvénynek nevezzük, azaz arctgx jelenti azt a ( π, ) π -beli szöget, radiánban adva, amelynek tangense x. D f R, R f ( π, ) π szigorúan monoton növő nincs maximum és nincs minumum sem zérushely x 0-ban páratlan nem periodikus mindenhol folytonos 7.. Definíció. Azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya R\{x R x kπ, k Z} és hozzárendelési utasítása kotangens függvénynek nevezzük. x ctgx : cos x sin x

52 5 7. FEJEZET. FOLYTONOSSÁG, INVERTÁLHATÓSÁG D f R\{x R x kπ, k Z}, R f R nem monoton nincs maximum és nincs minimum páratlan periodikus p π zérushelyek x π +kπ, k Z Az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos 7.. Megjegyzés. A ctg függvény a (0, π) intervallumon szigorúan monoton csökkenő, így kölcsönösen egyértelmű, ezért ezen az intervallumon létezik inverze Definíció. A ctg függvény (0, π) intervallumra vett leszűkítésének inverz függvényét arkusz kotangens függvénynek nevezzük, azaz arcctgx jelenti azt a (0, π)-beli szöget, radiánban adva, amelynek kotangense x. D f R, R f (0, π) szigorúan monoton csökkenő nincs maximum és nincs minumum sem nem páros és nem páratlan nem periodikus mindenhol folytonos

53 8. fejezet Függvények inverze 8.. Feladat. Adjuk meg a következő függvények inverzét. Ha a függvény nem invertálható, szűkítsük le egy olyan halmazra, amelyen már létezik inverze. Adjuk meg az eredeti és az inverz függvény értelmezési tartományát és értékkészletét. a) f(x) x + D f R α > 0 α R x > 0 x R / x > 0 /+ x + > Ebből következik, hogy az értékkészlet: R f {y y R, y > }. Az f függvény szigorúan monoton növő függvény, így kölcsönösen egyértelmű leképezéssel keletkezett, ezért invertálható. y x + y x y x y log log x x y log + x log y + x f(y) Formális betűcsere után kapható a függvény inverze: f(x) y log x +. Írjuk fel az inverz függvény értelmezési tartományát és értékkészletét: x > 0 x > 0 x > 5

54 54 8. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK INVERZE D f {x x R, x > } R f R f R D f 8.. Megjegyzés. Ábrázoljuk közös koordináta rendszerben az f függvényt és f inverzét. Észrevehető, hogy az inverz függvény grafikonja az eredeti függvény grafikonjának y x egyenesre vonatkozó tükörképe. Az alábbi ábrán kék színnel látjuk az f és zölddel az f függvényt. Segítségül berajzoltuk az y x egyenest is (pirossal). b) f(x) arcsin(x+) π Értelmezési tartomány meghatározása: x+ x 0 x 0 D f [, 0] Értékkészlet meghatározása: π arcsin α π π arcsin( x+) π π arcsin( x+) π 4 4 π arcsin( x+) π π 4 4 R f [ ] 4 π, π 4 Mivel f szigorúan monoton növő (vagy mert az arcsin x függvény lineáris transzformáltja), ezért kölcsönösen egyértelmű leképezéssel keletkezett, így a teljes értelmezési tartományon

55 55 invertálható: y arcsin(x+) π ( y + π ) arcsin(x + ) sin (y +π) x+ sin (y +π) x f(y) Formális betűcsere után kapható a függvény inverze: f(x) y sin (x+π). Az inverz függvény értelmezési tartománya és értékkészlete: D f [ R f ] 4 π, π 4 R f D f [, 0] ( ) c) f(x) x Mivel f egy polinom függvény, ezért minden valós helyen értelmezett és mivel az x függvény lineáris transzformációjával származtatható, ezért minden valós értéket fel is vesz, így D f R, R f R. Mivel f szigorúan monoton növő (vagy mert az arcsin x függvény lineáris transzformáltja), ezért kölcsönösen egyértelmű leképezéssel keletkezett, így a teljes értelmezési tartományon invertálható: ( ) y x ( ) (y +) x y + x y + +4 x f(y) Formális betűcsere után kapható a függvény inverze: f(x) y x+ +4. Az inverz függvény értelmezési tartománya és értékkészlete: D f R f R R f D f R

56 56 8. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK INVERZE d) f(x) x +x+5 Mivel f egy polinom függvény, ezért minden valós helyen értelmezett, így D f R. Az értékkészlet leolvasásához érdemes a kifejezést teljes négyzetté alakítani: (x +4x+4)+ (x+) + Mivel α 0, ezért (x+) +, így R f {x R x }. A függvény több-egyértelmű leképezéssel keletkezett, így a teljes értelmezési tartományán nem invertálható. Mivel a függvény grafikonja egy parabola, melynek talppontja x 0 - ben van, ezért a függvényt a (, ] vagy a [, ) intervallumra érdemes szűkíteni. Most válasszuk ez utóbbit: D fsz {x x R, x }, és ekkor R fsz R f {x R x }. y (x+) + (y ) (x+) ± y 6 x+ Mivel minden x D fsz elem esetén x+ pozitív, ezért a fenti több-értelmű leképezés pozitív ágát választjuk: y 6 x f(y) Formális betűcsere után kapható a függvény inverze: f(x) y x 6. Az inverz függvény értelmezési tartománya és értékkészlete: D f R fsz {x R x } R f D fsz {x x R, x } e) f(x) cos(πx+ π 4 ) Mivel az f a cos x függvény lineáris transzformáltja, ezért minden valós helyen értelmezett, így D f R. Az értékkészlet meghatározásakor a cos függvény ismert korlátaiból indulhatunk ki: cos α α R cos(πx+ π ) 4 x R / cos(πx+ π) 4 / cos(πx+ π ). 4

57 57 Ebből következik, hogy az értékkészlet: R f {y y R, y }. Az f függvény periodikus függvény, ezért több-egyértelmű leképezéssel keletkezett, így a teljes értelmezési tartományán nem invertálható. A cos α függvényt a 0 α π feltétel mellett szűkítjük le: 0 πx+ π 4 π π 4 πx π 4 4 x 4 Legyen tehát D fsz {x x R, x }. Ezen az intervallumon az f függvény szigorúan 4 4 monoton csökkenő és az eredeti értékkészletének minden elemét felveszi: R fsz R f. Mivel a D fsz halmazon f kölcsönösen egyértelmű, ezért itt már invertálható: y cos(πx+ π 4 ) y + cos(πx+ π 4 ) arccos( y + ) arccos(cos(πx+ π 4 )) Könnyen látható, hogy minden x D fsz elem esetén arccos(cos(πx+ π 4 )) πx+ π 4, így arccos( y + ) πx+ π 4 arccos( y + ) π 4 πx + arccos(y π ) 4 x f(y) Formális betűcsere után megkapható a függvény inverze: Határozzuk meg f értelmezési tartományát: f(x) y π arccos(x+ ) 4. x+ x+ x D f {x x R x } R fsz és értékkészletét: 0 arccos α π 0 arccos x+ π x+ 0 arccos π 4 π arccos x+ 4 4 R f { y y R 4 y } D fsz. 4

58 58 8. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK INVERZE 8.. Megjegyzés. Ábrázoljuk közös koordináta rendszerben az f függvényt és f inverzét. Az alábbi ábrán sárga színnel látjuk az f függvényt és pirossal kiemeltük azt a darabot, melyen az inverziót végrehajtottuk ( x ), zölddel rajzoltuk az f függvényt és segítségül berajzoltuk 4 4 az y x egyenest is (kékkel). ( f) f(x) ctg x π ) Értelmezési tartomány meghatározásakor induljunk ki abból, hogy ctgα kifejezés argumentumára α k π, ahol k Z: x π k π (k Z) x π +k π (k Z) x π +k π (k Z) 6 D f R\{x R x π 6 +k π, k Z} Mivel f a ctg függvény lineáris transzformációjával kapható, ezért minden való értéket felvesz, azaz R f R. Mivel a függvény periodikus, ezért több-egyértelmű leképezéssel keletkezett, így a teljes értelmezési tartományán nem invertálható. A ctgα függvényt a 0 < α < π feltétel mellett szűkítjük le: Legyen tehát D fsz ( π 6, π). 0 < x π < π π x 4 π π 6 x π

59 Ezen az intervallumon az f függvény szigorúan monoton csökkenő és az eredeti értékkészletének minden elemét felveszi: R fsz R f R. y + arcctg y + + arcctgy + π 6 ( y ctg ctg x π xf(y) x π ) ( x π ) 59 Formális betűcsere után kapható a függvény inverze: f(x) y arcctgx+ + π 6. Az inverz függvény értelmezési tartománya és értékkészlete: D f R fsz R ( ) π R f D fsz 6, π

60 60 8. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK INVERZE

61 9. fejezet Differenciálszámítás 9.. Differenciálhatóság 9.. Definíció. Akkor mondjuk, hogy az a H R pont a halmaz belső pontja, ha létezik a-nak olyan K r (a) környezete, hogy K r (a) H. 9.. Definíció. Legyen H R és a H a halmaz egy belső pontja. Az f : H R függvény a pontbeli differenciahányadosán (vagy különbségi hányadosán) az alábbi utasítással értelmezett függvényt értjük: ( a f)(x) : f(x) f(a) (x H\{a}). x a 9.. Megjegyzés. A differenciahányados geometriai jelentése: Legyen H (α, β). ( a f)(x), azaz az f :(α, β) R függvény a (α, β) pontbeli differenciahányadosa az x helyen, megadja az f függvény grafikonjának (a, f(a)) és (x, f(x)) pontjait összekötő szelő meredekségét (iránytangensét). 6

62 6 9. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 9.4. Megjegyzés. A differenciahányados egy fizikai jelentése: Ha az f : (α, β) R függvény valamely egyenesvonalú mozgás út-idő függvénye, akkor a ( a f)(x) szám az a és x időpillanatok közötti átlagsebességet jelenti Definíció. Akkor mondjuk, hogy az f :H R függvény az a H belső pontban differenciálható, ha a a f differenciahányados-függvénynek létezik a-ban véges határértéke. Ezt a határértéket az f függvény a pontbeli differenciálhányadosának (vagy deriváltjának) nevezzük: f (a) df (a) : lim dx ( f(x) f(a) af)(x) lim x a x a x a 9.6. Megjegyzés. Sokszor érdemes az előző definícióban megismerttel ekvivalens, alábbi formula alapján számolni: f f(a+ x) f(a) (a) lim. x 0 x 9.7. Definíció. Akkor mondjuk, hogy az f : (α, β) R függvénynek az (a, f(a)) pontjában van érintője, ha az f függvény az a pontban differenciálható. Az (a, f(a)) ponton áthaladó m f (a) meredekségű egyenest az f grafikonjának (a, f(a)) pontjához tartozó érintőjének nevezzük. Az érintő egyenlete: y f (a) (x a)+f(a) Megjegyzés. A differenciálhányados geometriai jelentése: Az f :(α, β) R függvény a (α, β) pontbeli differenciálhányadosa megadja az f függvény grafikonjának (a, f(a)) pontjához húzható érintő meredekségét (iránytangensét) Megjegyzés. A differenciálhányados egy fizikai jelentése: Ha az f :(α, β) R függvény valamely egyenesvonalú mozgás út-idő függvénye, akkor a f (a) szám az a időpillanathoz tartozó pillanatnyi sebességet jelenti Tétel. Ha f differenciálható az a pontban, akkor ott folytonos is.

63 9.. DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK Megjegyzés. A folytonosság a differenciálhatóságnak szükséges, de nem elégséges feltétele. Például az f(x) x függvény az x 0 helyen folytonos, de nem differenciálható. 9.. Tétel. Az f :H R függvény az értelmezési tartományának a belső pontjában akkor és csak akkor differenciálható, ha létezik olyan A R szám és olyan ɛ : H R a-ban folytonos függvény, melyre ɛ(a) 0 és amellyel f(x) f(a) A (x a)+(x a) ɛ(x) (x H). Ekkor az A f (a). 9.. Megjegyzés. A fenti tulajdonság lesz alkalmas arra, hogy a differenciálhányadost többváltozós függvények esetén is értelmezzük. 9.. Deriválási szabályok 9.4. Tétel. Ha az f függvény differenciálható az a helyen és c R, akkor a g c f függvény is Bizonyítás:. g (a) c f (a). g (a) g(x) g(a) c f(x) c f(a) lim lim lim c f(x) f(a) x a x a x a x a x a x a f(x) f(a) c lim c f (a). x a x a 9.5. Tétel. Ha f és g függvények differenciálhatók az a helyen, akkor h f + g függvény is differenciálható az a helyen és h (a) f (a)+g (a). Bizonyítás:. h (a) h(x) h(a) (f(x)+g(x)) (f(a)+g(a)) lim lim x a x a x a x a (f(x) f(a))+(g(x) g(a)) f(x) f(a) lim lim + g(x) g(a) x a x a x a x a x a f (a)+g (a).

64 64 9. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 9.6. Következmény. Az előző két tétel alapján: Ha f és g függvények differenciálhatók az a helyen, akkor h f g függvény is differenciálható az a helyen és h (a) f (a) g (a) Tétel. Ha f és g függvények differenciálhatók az a helyen, akkor h f g függvény is differenciálható az a helyen és Bizonyítás:. h (a) f (a) g(a)+f(a) g (a). h (a) h(x) h(a) f(x) g(x) f(a) g(a) lim lim x a x a x a x a f(x) g(x) f(a) g(x)+f(a) g(x) f(a) g(a) lim x a x a f(x) f(a) lim g(x) +f(a) g(x) g(a) f (a) g(a)+f(a) g (a). x a } x a }{{} {{ } } x a {{ } f g(a) (a) g (a) 9.8. Tétel. Ha f és g függvények differenciálhatók az a helyen és g(a) 0, akkor h f g függvény is differenciálható az a helyen és Bizonyítás:. g függvény deriváltja h (a) f (a) g(a) f(a) g (a). g (a) ( ) (a) lim g x a g(x) g(a) x a lim x a g(a) g(x) g(x) g(a) x a lim x a g(a) g(x) } x a {{ } g (a) g(x) g(a) } {{ } g (a) g (a) g (a) Így f g deriváltjára: ( ) ( f (a) f ) (a) f (a) g g g(a) f(a) g (a) g (a) f (a) g(a) f(a) g (a). g (a) 9.9. Tétel. (Közvetett függvény deriválása (Lánc-szabály)) Ha az f függvény differenciálható az a helyen és a g függvény differenciálható az f(a) helyen, akkor h f g függvény is differenciálható az a helyen és h (a) g (f(a)) f (a) Tétel. (Inverz függvény deriválása) Tegyük fel, hogy az f függvénynek létezik f inverze. Ha f differenciálható az a helyen, f (a) 0 és f folytonos az f(a) helyen, akkor az f inverz függvény differenciálható az f(a) helyen és f (f(a)) f (a).

65 9.. ELEMI FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJAI Megjegyzés. A fenti tételt gyakran használjuk az alábbi alakban. Tegyük fel, hogy az f függvénynek létezik f inverze. Ha az f inverz függvény folytonos az értelmezési tartományának b pontjában és az eredeti függvény differenciálható az a f(b) helyen és f (f(b)) 0, akkor f függvény differenciálható b-ben és f (b) f (f(b)). 9.. Elemi függvények deriváltjai 9.. Tétel. Az f(x) c konstans függvény minden valós helyen differenciálható és a deriváltja 0. Bizonyítás:. Legyen a R tetszőleges. Ekkor Így f (a) lim x a a f(x) 0. a f(x) c c 0 ( x R) x a 9.. Tétel. Az f(x) x n, n N függvény minden valós helyen differenciálható és a deriváltja f (x) n x n. Bizonyítás:. Legyen a R tetszőleges. Ekkor a f(x) xn a n x a xn +x n a+ +x a n +a n ( x R) A függvény differenciahányados-függvénye egy polinom, melynek határértéke az a pontban megegyezika helyettesítési értékével. Azaz a fenti n-tagú összeg minden tagja tart a n -hez, így f (a) n a n Megjegyzés. A határátmenet segítségével a fenti tétel kiterjeszthető racionális kitevőkre Tétel. Az f(x) ln x függvény az értelmezési tartományának minden pontjában differenciálható és (ln x) x. Bizonyítás:. Az értelmezési tartomány minden x R + pontjában f (x) f(x+ x) f(x) lim x 0 x x+ x ln lim x 0 lim x 0 x x ln lim x ( ) x x+ x x ln(x+ x) ln(x) lim x 0 x x x+ x ln x 0 x x lim x 0 x x ( x ln + ) x x x x. x } {{ } e

66 66 9. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 9.6. Tétel. Az f(x) log a x, (a > 0, a ) függvény az értelmezési tartományának minden pontjában differenciálható és (log a x) x ln a. Bizonyítás:. f (x) (log a x) ( ) ln x ln a ln a x Tétel. Az f(x) a x, (a > 0, a ) függvény minden valós helyen differenciálható és (a x ) a x ln a. Bizonyítás:. Az f(x) a x függvény szigorúan monoton ezért invertálható. A függvény inverze az f(y) log a y függvény. Az inverz függvény deriválási szabálya alapján: f (x) f (f(x)) (log a y) ya x y ln a ya x a x ln a Megjegyzés. Az előző tétel speciális eseteként (a e esetén) kapható, hogy az f(x) e x függvény minden valós helyen differenciálható és (e x ) e x Tétel. Az f(x) sin x függvény minden valós helyen differenciálható és (sin x) cos x. Bizonyítás:. f (x) f(x+ x) f(x) sin(x+ x) sin(x) lim lim x 0 x x 0 x sin x cos x+cos x sin x sin(x) lim x 0 x sin x (cos x )+cos x sin x lim x 0 x cos x sin x lim sin x +cos x x 0 x x cos x cos x+ sin x lim sin x +cos x x 0 x cos x+ x cos x sin x lim sin x +cos x x 0 x (cos x+) x sin lim sin x x 0 lim x 0 x x (cos x+) sin x cos x+ sin x sin x x } {{ } } {{ } 0 +cos x sin x x + cos x sin x } x {{ } cos x Tétel. Az f(x) cos x függvény minden valós helyen differenciálható és (cos x) sin x. Bizonyítás:. A bizonyításhoz kihasználjuk, hogy cos x sin ( x+ π ) minden x R esetén. (cos x) Hiszen cos ( x+ π ) sin x minden x R esetén. ( ( sin x+ π )) ( cos x+ π ) sin x.

67 9.. ELEMI FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJAI Tétel. Az f(x) tgx függvény az értelmezési tartományának minden pontjában differenciálható és (tgx) cos x. Bizonyítás:. A bizonyításhoz kihasználjuk, hogy tgx sin x minden x D cos x f esetén. ( ) sin x (tgx) cos x cos x sin x ( sin x) cos x+sin x cos x cos x cos x cos x. 9.. Megjegyzés. Sokszor praktikusabb az f(x) tgx függvény deriváltját az alábbi alakban felírni: (tgx) cos x cos x+sin x + sin x cos x cos x +tg x. 9.. Tétel. Az f(x) ctgx függvény az értelmezési tartományának minden pontjában differenciálható és (ctgx) sin x. Bizonyítás:. A bizonyításhoz kihasználjuk, hogy ctgx cos x minden x D sin x f esetén. ( cos x ) (ctgx) sin x sin x cos x cos x) sin x sin sin x+cos x x sin x sin x Megjegyzés. Sokszor praktikusabb az f(x) ctgx függvény deriváltját az alábbi alakban felírni: (ctgx) ( ) sin x x+cos x sin sin + cos x x sin ( +ctg x ). x 9.5. Tétel. Az f(x)arcsin x függvény a (,) intervallumon differenciálható és f (x) x. Bizonyítás:. Az inverz függvény deriválási szabályát alkalmazzuk. A függvény inverze az f(y) sin y, ( π y π ) függvény. Így (arcsin x) (sin y) yarcsin x cos y yarcsin x Ha y [ π ; π ], akkor cos y sin y és ha x (, ), sin arcsin x x, így sin y yarcsin x sin arcsin x. x 9.6. Tétel. Az f(x) arccos x függvény a (,) intervallumon differenciálható és f (x) x. Bizonyítás:. Az inverz függvény deriválási szabályát alkalmazzuk. A függvény inverze az f(y) cos y, (0 y π) függvény. Így (arccos x) (cos y) yarccos x sin y yarccos x Ha y [0; π], akkor sin y cos y és ha x (, ), akkor cos arccos x x, így cos y yarccos x cos arccos x. x

68 68 9. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 9.7. Tétel. Az f(x)arctgx függvény a teljes értelmezési tartományán differenciálható és f (x) x. Bizonyítás:. Az inverz függvény deriválási szabályát alkalmazzuk. A függvény inverze az f(y) tgy, ( π < y < π ) függvény. Így (arctgx) (tgy) yarctgx +tg y yarctgx +tg arctgx +x Tétel. Az f(x) arcctgx függvény a teljes értelmezési tartományán differenciálható és f (x) x. Bizonyítás:. Az inverz függvény deriválási szabályát alkalmazzuk. A függvény inverze az f(y) ctgy, (0 < y < π) függvény. Így (arcctgx) (ctgy) yarcctgx ctg y yarcctgx +ctg arcctgx +x.

69 0. fejezet Derivált számítása műveleti szabályok alapján 0.. Feladat. Adjuk meg az alábbi függvények deriváltfüggvényét. a) f(x) x 5 + x 4 x + x x+8 f (x) 5x 4 + 4x x + x +0 5x 4 +8x 9x +4x b) f(x) x+ x+ x + x + x+ Írjuk át a függvényt tört- illetve negatív kitevős hatványok összegére: f(x) x+ x+ + x x + x+ x+x +x + f (x) + x + x x + x 9 ( ) x 4 + x 4 + x x +0 x +x + c) f(x) x sin x f (x) sin x+x cos x d) f(x) tgx arcsin x f (x) cos x arcsin x+tgx x 69

70 70 0. FEJEZET. DERIVÁLÁS e) f(x) } x {{ ln x} cos }{{} x g(x) h(x) f (x) (g(x) h(x)) g (x) h(x)+g(x) h (x) ( f (x) x ln ln x+ x ) cos x+( x ln x) ( sin x) x x ln ln x cos x+ x x cos x x ln x sin x. 0.. Megjegyzés. A fenti eredményből is látható, de általánosan is levezethető, hogy háromtényezős szorzat esetén (f g h) f g h+f g h+f g h Továbbá n-tényezős szorzatra teljes indukcióval igazolható az alábbi összefüggés: ( n ) n f i f j, i f i i j i azaz n-tényezős szorzat deriváltját úgy kaphatjuk, ha képezzük az összes olyan n-tényezős szorzat összegét, amelyekben mindig pontosan egy tényezőt deriválunk, a többit változatlanul hagyjuk. (Nyilvánvaló, hogy ilyen szorzatból éppen n darab van.) f) f(x) arctgx log x f (x) +x log x arctgx x ln log x g) f(x) x ln + e 5 e x f (x) x ln ex ( x ln + e 5 ) e x e x h) f(x) sin(x+) f (x) cos(x+) i) f(x) e (x x) e x 6x f (x) e x 6x (6x 6) j) f(x) tg ln x f (x) cos ( ) ( ) ln x x x x cos ln x

71 0.. LOGARITMIKUS DERIVÁLÁS 7 k) f(x) x+ x+ ( ( ) ) x x+ x+x Az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazzuk, többször egymás után: f (x) ( ( x+ x+x ( ( x+ x+x ) ) ( ( x+ x+x ( ( ) ) x+ x+x ( ( x+ x+ + x ) ) ) ) ( + ( ) x+x ( ) ) x+x ( ) ( x+x + )) x + ( x+ x + ) ). x l) f(x) ln ( ) +x +x x ln x Kétszer alkalmazva az összetett függvény deriválási szabályát: f (x) +x x +x x +x x ( ) +x x ( +x x ) ( ) +x ( x) (+x) ( )) x ( x) +x x ( x) (+x)( x) x 0.. Logaritmikus deriválás Legyen g(x) és h(x) függvény differenciálható a H halmazon, továbbá g(x) > 0. Ekkor f(x) [g(x)] h(x) is differenciálható a H-n és f (x) az alábbi módokon határozható meg.. Megoldás: Ha g(x) > 0, akkor f(x) > 0. Ekkor Deriváljuk az egyenlet mindkét oldalát: ln (f(x)) ln ( g(x) h(x)) h(x) ln(g(x)) f(x) f (x) h (x) ln(g(x))+h(x) f (x) f(x) g(x) g (x) [ h (x) ln(g(x))+h(x) g(x) g (x) ].

72 7 0. FEJEZET. DERIVÁLÁS. Megoldás: Ugyanehhez az eredményhez jutunk, ha az átalakításból indulunk ki. Ekkor f(x) e ln(f(x)) e ln(g(x)h(x) ) e h(x) ln(g(x)) f (x) ( e h(x) ln(g(x))) e h(x) ln(g(x)) } {{ } f(x) ( h (x) ln g(x)+h(x) ) g(x) g (x). 0.. Megjegyzés. A következő feladatok megoldása során a fenti két módszer egyformán hatásos. Mindenki maga döntheti el, melyik úton szeretne elindulni. A. Megoldásnak mégis van egy kis előnye, a későbbiekben a L Hospital szabály alkalmazásakor ehhez a módszerhez meglehetősen hasonlító eljárásra van szükség. 0.. Feladat. Adjuk meg az alábbi függvények deriváltfüggvényét. a) f(x) (x) x Ha x > 0, akkor f(x) > 0. Ekkor elvégezhetők a szükséges átalakítások: ln(f(x)) ln(x) x x ln x f(x) f (x) x ln x+x x b) f(x) (sin x) cos x f (x) f(x) (x ln x+x) (x) x (x ln x+x). Ha sin x > 0, akkor f(x) > 0. Ekkor elvégezhetők a szükséges átalakítások: f(x) e ln(sin x)cos x cos x ln sin x e cos x ln sin x f (x) } e {{ } f(x) (sin x) cos x ( sin x ln sin x+cos x ( sin x ln sin x+ cos x sin x ) sin x cos x ). c) f(x) ( ) ln x x+ x > 0, akkor f(x) > 0. Ekkor elvégezhetők a szükséges átalakítások: Ha x+ x x+ f(x) e ln( x ) ln x e x+ ln( x ) ln x f (x) } e {{ } f(x) ( x+ x ) ln x x+ ln x ln x ( x+ ln x x +ln x x+ x ( x+ x ln +ln x x x x+ ) (x ) (x+) (x ) ). (x )

73 0.. ÉRINTŐ EGYENLETE Érintő egyenlete helyhez tartozó érintőjének egyen- 0.. Feladat. Írjuk fel az f(x) cos(πx)+ függvény x 0 letét, készítsünk ábrát! Az érintő egyenlete: y f(x 0 ) f (x 0 ) (x x 0 ), ahol x 0, Így az érintő f(x 0 ) cos π +, f (x) π sin(πx) f (x 0 ) π sin π π. y ( π x y π x+ ), 6 π + } {{ } b Feladat. Határozzuk meg az f(x) tgx függvény görbéjének azon pontjait, ahol az érintő párhuzamos az y 4x egyenessel! Az egyenes egyenletét a szokásos y m x+b alakra átírva az érintő meredeksége leolvasható: y 8x f (x 0 ) m e 8. f (x) cos x cos x cos x 0 ± cos x 0 x 0 ± π +kπ k Z x 0 ± π 6 +kπ k Z x 0 ± π +lπ l Z x 0 ± π +lπ l Z

74 74 0. FEJEZET. DERIVÁLÁS

75 . fejezet Differenciálszámítás alkalmazásai I... Monotonitás és szélsőértékek.. Definíció. Akkor mondjuk, hogy az f :(α, β) R függvény az a (α, β) pontban lokálisan növekvő, ha a-nak van olyan K r (a) (α, β) környezete, f(x) f(a), ha x (a r, a), f(x) f(a), ha x (a, a+r)... Definíció. Akkor mondjuk, hogy az f :(α, β) R függvény az a (α, β) pontban lokálisan fogyó, ha a-nak van olyan K r (a) (α, β) környezete, f(x) f(a), ha x (a r, a), f(x) f(a), ha x (a, a+r)... Megjegyzés. Könnyen látható, hogy a monoton növő függvények értelmezési tartományuk minden belső pontjában lokálisan növekednek illetve a monoton fogyó függvények értelmezési tartományuk minden belső pontjában lokálisan fogynak..4. Definíció. Akkor mondjuk, hogy az f :(α, β) R függvénynek az a (α, β) pontban lokális maximuma van, ha a-nak létezik olyan K r (a) (α, β) környezete, f(x) f(a), ha x K r (a)..5. Definíció. Akkor mondjuk, hogy az f :(α, β) R függvénynek az a (α, β) pontban lokális minimuma van, ha a-nak létezik olyan K r (a) (α, β) környezete, f(x) f(a), ha x K r (a)..6. Megjegyzés. A lokális maximumot és a lokális minimumot összefoglaló néven lokális szélsőértéknek nevezzük..7. Megjegyzés. Könnyen látható, hogy a középiskolában tanult maximum egyben lokális maximum is illetve a minimum lokális minimum is. Az egyértelmű elnevezés kedvéért ezeket a szélsőértékeket ezentúl abszolút szélsőértékeknek nevezzük. 75

76 76. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI I..8. Tétel. Legyen az f : (α, β) R függvény az a (α, β) pontban differenciálható. i) Ha f az a pontban (lokálisan) növő, akkor f (a) 0. ii) Ha f az a pontban (lokálisan) fogyó, akkor f (a) Tétel. Legyen az f : (α, β) R függvény az a (α, β) pontban differenciálható. i) Ha f (a) > 0, akkor az f függvény az a pontban szigorúan növő. ii) Ha f (a) < 0, akkor az f függvény az a pontban szigorúan fogyó..0. Tétel. Ha az f : (α, β) R függvény az a (α, β) pontban differenciálható és itt lokális szélsőértéke van, akkor f (a) 0.. Megjegyzés. Az előző tétel a lokális szélsőérték létezésének szükséges, de nem elégséges feltétele. Például az f(x) x függvénynek az x 0 0 pontban nincs szélsőértéke, pedig f (0) 0... Tétel. (A szélsőérték létezésének elsőrendű elégséges feltétele) Legyen f : H R (H R nyílt halmaz), a H, f D a. Ha f (a) 0 és f az a-ban előjelet vált, akkor f-nek a-ban lokális szélsőértéke van. Ha az előjelváltás során a derivált negatívból pozitívvá válik, akkor az eredeti függvénynek lokális minimuma, ha pozitívból negatívvá válik, akkor az eredeti függvénynek lokális maximuma van az a pontban... Definíció. Ha az f : H R differenciálható függvény f deriváltja az a H pontban differenciálható, akkor azt mondjuk, hogy az f kétszer differenciálható az a pontban és az f (a) : (f ) (a) számot a függvény a pontbeli második deriváltjának, vagy másodrendű differenciálhányadosának nevezzük..4. Tétel. (A szélsőérték létezésének másodrendű elégséges feltétele) Legyen f : H R (H R nyílt halmaz), a H, f D a. Ha f (a) 0 és f (a) 0, akkor f-nek a-ban lokális szélsőértéke van. Ha f (a) > 0, akkor f-nek a-ban lokális minimuma, ha f (a) < 0, akkor f-nek a-ban lokális maximuma van..5. Definíció. Legyen n N és f :H R függvény (n )-szer differenciálható. Ha a függvény (n )-edik deriváltja (f (n ) ) differenciálható az a H pontban, akkor azt mondjuk, hogy f az a pontban n-szer differenciálható és legyen f (n) (a) : (f (n ) ) (a)..6. Tétel. (A szélsőérték létezésének magasabbrendű elégséges feltétele) Legyen f : H R (H R nyílt halmaz), az a H pontban n-szer differenciálható. Tegyük fel, hogy f (a) f (a) f (n ) (a) 0, és f (n) 0. Az f-nek akkor és csak akkor van az a-ban lokális szélsőértéke, ha n páros. Ekkor ha f (n) (a) > 0, akkor f-nek a-ban lokális minimuma, ha f (n) (a) < 0, akkor f-nek a-ban lokális maximuma van.

77 .. KONVEXITÁS ÉS INFLEXIÓ 77.. Konvexitás és inflexió.7. Definíció. Akkor mondjuk, hogy az f : H R függvény egy I H intervallumon konvex, ha bármely a, b I, a < b esetén az (a, f(a)) és (b, f(b)) pontokon áthaladó egyenes (szelő) az (a, b)-ben az f fölött fekszik..8. Definíció. Akkor mondjuk, hogy az f : H R függvény egy I H intervallumon konkáv, ha bármely a, b I, a < b esetén az (a, f(a)) és (b, f(b)) pontokon áthaladó egyenes (szelő) az (a, b)-ben az f alatt fekszik..9. Definíció. Akkor mondjuk, hogy az f : H R függvénynek az a H helyen inflexiója van, ha ott a függvény konvexitást vált..0. Tétel. (A konvexitás és az első derivált kapcsolata) Tekintsük az f : (a, b) R függvényt, tegyük fel, hogy f az (a, b)-n differenciálható, ekkor i) Ha f konvex (a, b)-n, akkor f monoton nő (a, b)-n ii) Ha f szigorúan konvex (a, b)-n, akkor f szigorúan monoton nő (a, b)-n iii) Ha f konkáv (a, b)-n, akkor f monoton csökken (a, b)-n iv) Ha f szigorúan konkáv (a, b)-n, akkor f szigorúan monoton csökken (a, b)-n.. Tétel. (A konvexitás és a második derivált kapcsolata) Tekintsük az f : (a, b) R függvényt, tegyük fel, hogy f az (a, b)-n kétszer differenciálható, ekkor i) Ha f konvex (a, b)-n, akkor f (x) 0 ii) Ha f konkáv (a, b)-n, akkor f (x) 0 iii) Ha f (x) > 0, akkor f szigorúan konvex (a, b)-on iv) Ha f (x) < 0, akkor f szigorúan konkáv (a, b)-on.. Tétel. (Inflexióspont létezésének szükséges feltétele) Ha az f : H R függvény az a H pontban kétszer differenciálható és f-nek a-ban inflexiója van, akkor f (a) 0... Megjegyzés. Az előző tétel szükséges de nem elégséges, például az f(x) x 4 függvénynek a 0-ban nincs inflexiója, pedig f (0) Tétel. (Inflexióspont létezésének másodrendű elégséges feltétele) Legyen f : H R az a H, pontban kétszer differenciálható. Ha f (a) 0 és f az a-ban előjelet vált, akkor f-nek a-ban inflexióspontja van..5. Tétel. (Inflexióspont létezésének harmadrendű elégséges feltétele) Legyen f : H R az a H, pontban háromszor differenciálható. Ha f (a) 0 és f (a) 0, akkor f-nek a-ban inflexióspontja van..6. Tétel. (Inflexióspont létezésének magasabbrendű elégséges feltétele) Legyen f : H R az a H, pontban n-szer differenciálható. Tegyük fel, hogy f (a) f (a) f (n ) (a) 0 és f (n) (a) 0, f-nek a-ban akkor és csak akkor van inflexióspontja, ha n páratlan.

78 78. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI I... Teljes függvényvizsgálat A teljes függvényvizsgálat lépései I. Alaptulajdonságok megállapítása Értelmezési tartomány meghatározása szimmetria tulajdonságok vizsgálata (paritás, periodicitás) Folytonosság vizsgálata Differenciálhatóság vizsgálata tengelymetszetek meghatározása (ha lehetséges) II. Vizsgálatok az első derivált alapján: Monotonitási intervallumok meghatározása szélsőértékek keresése III. Vizsgálatok a második derivált alapján: Konvexitási intervallumok meghatározása Inflexiós pontok keresése IV. A függvény határértékei: Az értelmezési tartomány végpontjaiban (vagy ± -ben) A függvény szinguláris pontjaiban és szakadási helyeinél V. A derivált határértékei: Ahol f folytonos, de nem differenciálható Ahol f nem folytonos, de létezik legalább féloldali véges határérték VI. Aszimptoták VII. Ábrázolás vízszintes aszimptota van, ha lim f(x) c, vagy lim f(x) c, ahol c R x x függőleges aszimptota, ahol lim x x0 f(x) ± (elég ha az egyoldali határérték végtelen) ferde aszimptota, ha VIII. Értékkészlet leolvasása f(x) lim f(x) ± és lim m, m R. Ekkor az aszimptota: x ± x x y m x+ lim x ± (f(x) m x) } {{ } b

79 .. TELJES FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 79.. Feladat. Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az f(x) 5x 4x 5 függvényen. I. Alaptulajdonságok megállapítása Értelmezési tartomány: D f R, így nincsenek szinguláris helyek. szimmetria tulajdonságok: A függvény páratlan, mert f( x) 5( x) 4( x) 5 5x +4x 5 ( 5x 4x 5) f(x) x R. Ezért elégséges a [0, ) intervallumon vizsgálni a függvényt, hiszen a képe az origóra szimmetrikus. nem periodikus. Folytonosság, differenciálhatóság: Mivel f polinom függvény, ezért a teljes értelmezési tartományán folytonos és mindenhol differenciálható. tengelymetszetek meghatározása (ha lehetséges) Az y-tengelyt az x 0 feltétel teljesülése esetén metszi, ekkor y 0. Az x-tengelyt akkor metszi, ha f(x) 0 x (5 4x ) 0 Mivel az x 0 esetet már tárgyaltuk, ezért: II. Vizsgálatok az első derivált alapján: 5 4x 0 4x 5 5 x, ± f (x) 5x 0x 4 D f D f. f (x) x ( 5 0x ) 0 x 0 0x 5 x 4 x, ± A paritás miatt csak az x 0 esettel foglalkozunk. <x<0 x0 0<x< x. <x f (x) f(x) nem szé. lok. max. (y max) y max

80 80. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI I. III. Vizsgálatok a második derivált alapján: f (x) 0x 80x D f D f. f (x) 0x ( 8x ) 0 x 0 8x x 8 x, ±. A paritás miatt csak az x 0 esettel foglalkozunk. <x<0 x0 0<x< x <x f (x) f(x) inf. pont y inf inf. pont y inf Összevont táblázat: x0 0<x< y inf 0, y inf 64 6 x <x< x <x f (x) f (x) f(x) inf. pont inf. pont lok. max IV. A függvény határértékei: lim f(x) 0 x 0 + lim f(x). x V. A derivált határértékei: Mivel a függvény teljes értelmezési tartományán folytonosan differenciálható, ezért nem szükséges a derivált határértékeit vizsgálni. VI. Aszimptoták vízszintes aszimptota nincs, függőleges aszimptota nincs. ferde aszimptota lehetséges, de mivel ezért ferde aszimptota sincs. f(x) lim x x lim 5x 4x 5 lim 5x 4x 4, x x x

81 .4. L HOSPITAL SZABÁLY 8 VII. Ábrázolás VIII. Érték készlet: R f R..4. L Hospital szabály.7. Tétel. (L Hospital szabály véges helyen 0 alakra) Az f és a g függvények legyenek 0 az x 0 valamely (esetleg féloldali) környezetében differenciálhatók és x 0 -ban folytonosak, melyekre Továbbá tegyük fel, hogy létezik a f(x) határérték. Ekkor létezik a lim x x0 g(x) f(x 0 ) g(x 0 ) 0. f (x) lim x x 0 g (x) határérték is és f(x) lim x x 0 g(x) lim f (x) x x 0 g (x).8. Tétel. (L Hospital szabály véges helyen alakra) Az f és a g függvények legyenek az x 0 valamely (esetleg féloldali) környezetében differenciálhatók, melyekre lim x x 0 f(x) lim x x0 g(x) ±.

82 8. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI I. Továbbá tegyük fel, hogy létezik a f(x) határérték. Ekkor létezik a lim x x0 g(x) f (x) lim x x 0 g (x) határérték is és f(x) lim x x 0 g(x) lim f (x) x x 0 g (x).9. Tétel. (L Hospital szabály végtelenben) Az f és a g függvények legyenek az differenciálhatók a (K, ) intervallumon és legyen Továbbá tegyük fel, hogy létezik a f(x) határérték. Ekkor létezik a lim x g(x) lim f(x) lim g(x) 0 x x f (x) lim x g (x) határérték is és f(x) lim x g(x) lim f (x) x g (x).0. Megjegyzés. Hasonló tétel mondható ki -ben is. (vagy ± )... Megjegyzés. Azaz a L Hospital szabály véges-, vagy végtelen helyen 0, vagy alak esetén 0 alkalmazható, ha a deriváltak hányadosának határértéke kiszámolható..5. Taylor-formula.. Definíció. Legyen n N. Az x 0 helyen n-szer differenciálható f :H R függvény x 0 körüli n-edik Taylor-polinomján a T n (x) : f(x 0 )+ f (x 0 ) (x x! 0 ) + f (x 0 ) (x x! 0 ) + + f (n) (x 0 ) (x x n! 0 ) n n f (k) (x 0 ) (x x k! 0 ) k n-edfokú polinomot értjük. k0.. Tétel. (Taylor-formula) Ha az f függvény az x 0 pont valamely K r (x 0 ) környezetében (n+)-szer differenciálható, akkor minden x K r (x 0 ) pont esetén ahol ξ az x és az x 0 közötti hely. f(x) T n (x)+ f (n+) (ξ) (n+)! (x x 0) n+, } {{ } R n(x).4. Definíció. Az előző tételben bevezetett R n (x) kifejezést n-edik Lagrange-féle maradéktagnak nevezzük..5. Megjegyzés. Ha belátható, hogy R n (x) minden szóbajöhető x esetén elegendően kicsi, akkor használható az f(x) T n (x) közelítés.

83 .6. A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS KÖZÉPÉRTÉK-TÉTELEI 8.6. A differenciálszámítás középérték-tételei.6. Tétel. (Rolle-tétel) Ha az f : [a, b] R függvény i) folytonos az [a, b] zárt intervallumon ii) differenciálható az (a, b) nyílt intervallumon iii) és f(a) f(b), akkor létezik olyan ξ (a, b) pont ahol f (ξ) Megjegyzés. Azaz ha teljesülnek a Rolle-tétel feltételei, akkor van legalább egy olyan belső pont, ahol a függvény érintője vízszintes..8. Tétel. (Lagrange-féle középértéktétel) Ha az f : [a, b] R függvény i) folytonos az [a, b] zárt intervallumon ii) differenciálható az (a, b) nyílt intervallumon akkor létezik olyan ξ (a, b) pont ahol f (ξ) f(b) f(a). b a

84 84. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI I..9. Megjegyzés. Azaz ha teljesülnek a Lagrange-tétel feltételei, akkor van legalább egy olyan belső pont, ahol a függvény érintője párhuzamos az (a, f(a)) és (b, f(b)) pontokon átmenő szelővel..40. Tétel. (Cauchy-féle középértéktétel) Ha az f, g : [a, b] R függvények i) folytonosak az [a, b] zárt intervallumon ii) differenciálhatók az (a, b) nyílt intervallumon továbbá tetszőleges x (a, b) esetén g (x) 0, akkor létezik olyan ξ (a, b) pont ahol f (ξ) g (ξ) f(b) f(a) g(b) g(a)..4. Megjegyzés. Vegyük észre, hogy a Lagrange-féle középértéktétel a Cauchy-féle középértéktétel speciális esete, ha g(x) x. Vegyük észre, hogy a Rolle-tétel a Lagrange-féle középértéktétel speciális esete, ha f(a)f(b).

85 . fejezet Differenciálszámítás alkalmazásai II... Feladat. Adjuk meg az f(x) függvény monotonitási intervallumait és szélsőértékeit. x +x Értelmezési tartomány, szinguláris helyek: Vizsgálatok az első derivált alapján: f (x) x +x 0 x, ± 4+4 ± (x+) 0 x+ 0 x. (x +x ) D f D f. x< x <x< x <x< + x + + <x f (x) + nem ért. + 0 nem ért. f(x) nem ért. lok. max (y max) nem ért. y max. Összefoglalva: (, ) intervallumon x 0 (, ) intervallumon szigorúan monoton növő szinguláris hely szigorúan monoton növő x 0 lokális maximum, értéke y max (, +, ) intervallumon szigorúan monoton csökkenő x 0 + szinguláris hely ( +, ) intervallumon szigorúan monoton csökkenő 85

86 86. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI II. függvény monotonitási intervallumait és szél-.. Feladat. Adjuk meg az f(x) x +x+ x+ sőértékeit. Értelmezési tartomány: D f R\{ } x szinguláris hely. Vizsgálatok az első derivált alapján: f (x) (x+)(x+) (x +x+) (x+) D f D f. f (x) (x+)(x+) (x +x+) (x+) x, 6± 6 8 x +6x+7 (x+) 0 x +6x+7 0 6± x x +. x< x <x< x <x< + x + + <x f (x) + 0 nem ért. 0 + f(x) lok. max (y max) nem ért. lok. min (y min ) y max ( ) +( )+ ( )+ y min ( + ) +( + )+ ( + )+ Összefoglalva: (, ) intervallumon x 0 (, ) intervallumon x 0 (, +, ) intervallumon x 0 + ( +, ) intervallumon szigorúan monoton növő lok. max., értéke y max szigorúan monoton csökkenő szinguláris hely szigorúan monoton csökkenő lok. min., értéke y min szigorúan monoton növő

87 .. Feladat. Adjuk meg az f(x) x e x függvény konvexitási intervallumait és az inflexiós pont(ok) koordinátáit! 87 Értelmezési tartomány: D f R, így nincsenek szinguláris helyek. Vizsgálatok a második derivált alapján: f (x) e x x e x D f D f. f (x) e x ( x)+e x ( ) D f D f. f (x) e x ( x)+e x ( ) e } {{ x } ( x+) 0 0 x 0 x. x< x <x f (x) 0 + f(x) inf. pont y inf y inf e Összefoglalva: (,) intervallumon (szigorúan) konkáv x 0 inflexiós pont, értéke y inf e (, ) intervallumon (szigorúan) konvex.4. Feladat. Adjuk meg az f(x) x+ x+ pont(ok) koordinátáit! függvény konvexitási intervallumait és az inflexiós Értelmezési tartomány, szinguláris helyek: D f R\{ } x szinguláris hely. Vizsgálatok a második derivált alapján: f (x) +( ) (x+) D f D f

88 88. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI II. f (x) (x+)(x+) (x +x)(x+) (x+) 4 x +x+x+ x 4x (x+) (x+) 0 (x+) ((x+)(x+) (x +x)) (x+) 4 Könnyen látható, hogy D f D f és az is, hogy f-nek nincs inflexiós pontja. Ettől még a függvény válthat (és vált is) konvexitást! x< x <x f (x) nem ért. + f(x) nem ért. Összefoglalva: (, ) intervallumon x 0 (, ) intervallumon (szigorúan) konkáv szinguláris hely (szigorúan) konvex.5. Feladat. Egy 00cm területű négyzet alakú lemez sarkaiból egybevágó négyzeteket vágunk le, majd a lemez széleit felhajtjuk és dobozt készítünk. Mekkora legyen a levágott négyzetek oldala, hogy a doboz térfogata maximális legyen? V (0 a) a (00 40a+4a ) a 4a 40a +00a 0 a 5 A V (a) 4a 40a + 00a térfogatfüggvénynek akkor lehet szélsőértéke, ha a deriváltja 0 (Mivel V D R ). dv da a 80a+00 0 a 0a+5 0 a, 0± ±0 6 a 5 / \ a 5 Hogy valóban maximum van-e az adott helyeken, az alábbi módszerekkel ellenőrizhető: a) Második (vagy magasabbrendű) derivált segítségével. Ha az a 0 helyen dv 0, de a d V da da második derivált nem 0, akkor ott a függvénynek szélsőértéke van. A második derivált előjeléből megállapítható a szélsőérték típusa is, nevezetesen, ha d V > 0, akkor lokális da

89 89 minimum, egyébként lokális maximum van az a 0 pontban. d V 4a 80 da d V da > 0 lokális minimum. (Nyilvánvaló is volt.) a d V da < 0 lokális maximum. a Mivel ez az egyetlen lokális maximum hely van a [0,5] intervallumon, ezért ez abszolút maximum is... Megjegyzés. Ha a második derivált is 0, akkor az első nem-nulla derivált segítségével vizsgálódhatunk. Ha ez az f (n) n-edik derivált és n páros, akkor f-nek a kérdéses pontban szélsőértéke van, amelynek típusát az előző módszerhez hasonlóan dönthetjük el, ha n páratlan, akkor f-nek inflexiós pontja van. Erről a jövő órán beszélünk bővebben. b) Táblázattal. Ha a derivált az adott helyen 0 és előjelet vált, akkor szélsőértékhely van. Ha a derivált pozitívból válik negatívvá, akkor lokális maximum, egyébként lokális minimum van. A derivált előjele könnyebben vizsgálható, ha szorzattá alakítjuk: V (a) (a 5) (a 5 ) 0 < a < a a a < a < 5 V + 0 V lok. max... Megjegyzés. Általános esetben, ha a függvény zárt intervallumon értelmezett, külön meg kell vizsgálnunk az intervallum végpontjait. Most nyilvánvaló volt, hogy a végpontokban nem lehet maximum, hiszen ott a doboz térfogata 0 lenne. A maximális térfogatot tehát akkor kapjuk, ha a lemezből a 5 le, ekkor a térfogat: oldalú négyzeteket vágunk V ( ) ,07(cm )..6. Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket L Hospital szabály segítségével! a) lim x 0 e x e x x e x e x lim x 0 x b) lim x ln(4 x) x L H e x +e x lim. x 0

90 90. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI II. ln(4 x) lim x x L H lim x ( ) 4 x e x c) lim x x e x lim x x d) lim x 0 + x ln x L H e x lim x x L H e x lim x 0 ( ) ln x lim x ln x lim x 0 + x 0 + e) lim x 0 (e x ) ctgx x L H lim x 0 + x x lim x 0 + x 0 e x lim x 0 (ex ) ctgx 0 lim x 0 tgx 0 0 L H lim x 0 e x cos x.. Megjegyzés. A feladat megoldható a ctgx cos x sin x ( f) lim x ln x ) x. összefüggés felhasználásával is. lim x ( ln x x ) x ln x lim x ln x (x ) lim x x x x ln x+x x 0 0 L H lim x lim x lim x ln x+x lim + x x x ln x+ x (x ) x x ln x+x 0 0 L H ln x+. g) lim x 0 ( sin x x ) x ( sin x lim x 0 x ) x lim e sin x x ln x x 0

91 9 A kitevő határértékét külön vizsgálva: lim x 0 sin x ln x x 0 lim ln sin x x x 0 x 0 0 L H lim x 0 cos x x sin x cos x lim x 0 4x sin x+x cos x lim x 0 lim x 0 lim x 0 lim x 0 x x cos x sin x sin x x x lim x 0 sin x x cos x x cos x sin x lim x 0 x sin x x sin x 0 0 L H 4x sin x+x cos x 4 sin x+4x cos x+4x cos x x sin x sin x x cos x 0 0 L H 4 sin x+8x cos x x sin x cos x cos x+x sin x 4 cos x+8 cos x 8x sin x 4x sin x x cos x cos x+x sin x cos x x sin x x cos x L H Mivel az exponenciális függvény folytonos az x 6 helyen, ezért a kérdéses határérték: lim x 0 ( sin x x ) x lim e sin x x ln x 0 x e Feladat. Írjuk fel az alábbi függvények adott ponthoz tartozó megadott fokszámú Taylor polinomját és a Lagrange-féle maradék tagot! f(x) cos x, x 0 π, n 4 A Taylor-tétel alapján (mivel f minden valós helyen végtelen sokszor differenciálható,) minden x R esetén létezik ξ x, x 0 és x közé eső szám, melyre cos x T 4 (x)+r 4 (x). A negyedik Taylor polinom felírásához szükség van a függvény és első négy deriváltjának helyettesítési értékére az x 0 pontban, a Lagrange-féle maradéktagban az ötödik derivált helyettesítési értéke szerepel a tételben említett közbülső ξ x helyen. A szükséges adatokat az alábbi táblázatban számoljuk: f(x) cos x f(x 0 ) cos π f (x) sin x f (x 0 ) sin π 0 f (x) 9 cos x f (x 0 ) 9 cos π 9 f (x) 7 sin x f (x 0 ) 7 sin π 0 f (4) (x) 8 cos x f (4) (x 0 ) 8 cos π 8 f (5) (x) 4 sin x f (5) (ξ) 4 sin ξ (x x 0 ) + f (x 0 )! T 4 (x) f(x 0 )+ f (x 0 )! + 9 (x π ) (x π )4. R 4 (x) f (5) (ξ) 5! (x π )5 4 sin ξ 5! (x x 0 ) + f (x 0 )! (x x 0 ) + f (4) (x 0 ) 4! (x x 0 ) 4 (x π )5, ahol ξ az x és az x 0 között van.

92 9. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI II..8. Feladat. Igazoljuk, hogy az f(x) x 5x + x + 0 függvény az [,] intervallumon teljesíti a Rolle-tétel feltételeit, számoljuk ki a tételben szereplő ξ értéket! i) Mivel f egy polinom, ezért a teljes értelmezési tartományán folytonos, így [,]-n is az. ii) Mivel f egy polinom, ezért a teljes értelmezési tartományán differenciálható, így (,)-n is az. iii) f( ) 5 +0, f() azaz f( ) f(). Ezzel valóban teljesülnek a Rolle-tétel feltételei. Azt a ξ (,) számot keressük, amelyre f (ξ) 0. Mivel f (x) x 0x+, ezért ξ 0ξ + 0 ξ, 0± ± 9 A ξ 5+ 9, nem esik az intervallumba. A keresett ξ érték tehát ξ 5 9 0,.

93 . fejezet Integrálszámítás.. Primitív függvény, határozatlan integrál.. Definíció. Legyen I R egy intervallum és f : I R egy intervallumon értelmezett valósértékű függvény. Akkor mondjuk, hogy a F : I R függvény a f függvény primitívfüggvénye, ha F D I F (x) f(x) minden x I esetén.. Tétel. Ha F a f primitívfüggvénye az I intervallumon és C R konstans, akkor F +C is a f primitívfüggvénye. Bizonyítás:. Ha F a f primitívfüggvénye, akkor F D I, így a differenciálhatóság műveleti tulajdonságai alapján F +C D I és (F +C) F +C f +0 f... Tétel. Ha F és F a f primitívfüggvényei az I intervallumon, akkor F F állandó, azaz f primitívfüggvényei csak egy additív konstansban különböznek.. Bizonyítás:. F, F D I így a differenciálhatóság műveleti tulajdonságai alapján F F D I és az I intervallumon, így F F állandó. (F F ) F F f f 0,.4. Definíció. Legyen f : I R olyan függvény, melynek van primitívfüggvénye az I intervallumon. Ekkor az f primitívfüggvéníeinek halmazát az f határozatlan integráljának nevezzük. Jelölés: f(x) dx f {F (x)+c, C R}, ahol F a f egy primitívfüggvénye..5. Tétel. Ha az f az I intervallumon folytonos, akkor létezik primitívfüggvénye..6. Tétel. Ha f, g : I R függvényeknek van primitív függvénye és λ R, akkor f +g-nek és λ f-nek is van primitívfüggvénye és 9

94 94. FEJEZET. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS i) (f(x)+g(x)) dx f(x) dx+ g(x) dx, ii) λ f(x) dx λ f(x) dx. Bizonyítás:. Legyen f(x) dx F (x) + C és g(x) dx G(x) + C, ahol C, C R. Ekkor a definíció alapján F, G D I és F (x) f(x), valamint G (x) g(x) minden x I esetén. Derivált műveleti tulajdonságai miatt F +G és λ F is differenciálható I-n és (F +G) F +G f +g, (λ F ) λ F λ f. Azaz λ F a λ f egy primitív függvénye illetve F +G a f +g egy primitív függvénye... Helyettesítéses integrálás.7. Tétel. Legyen ϕ : I J és f : J R, ahol I, J R intervallumok. Ha i) ϕ D I és ii) F a f függvény primitívfüggvénye J-n, akkor (f ϕ) ϕ függvénynek is létezik primitívfüggvénye és (f ϕ) ϕ F ϕ+c. Bizonyítás:. F D J és ϕ D I F ϕ D I és (F ϕ) (t) F (ϕ(t)) ϕ (t) f(ϕ(t)) ϕ (t) t I, azaz az F ϕ függvény az (f ϕ) ϕ függvény primitívfüggvénye..8. Tétel. Legyen ϕ : I J és f : J R, ahol I, J R intervallumok. Ha i) ϕ D I és ϕ (x) 0, x I, ii) Legyen ϕ kölcsönösen egyértelmű és jelölje ϕ az inverzét iii) legyen h : (f ϕ) ϕ. h-nak van primitívfüggvénye, ez legyen H, ekkor f függvénynek is létezik primitívfüggvénye és f(x) dx (H ϕ)(x)+c. Bizonyítás:. H D I és H (x) h(x) ((f ϕ) ϕ ) (x) f(ϕ(x)) ϕ (x) Mivel ϕ D J és a közvetett függvény deriválási szabálya alapján H ϕ D J legyen x J ekkor (H(ϕ(x))) H (ϕ(x)) ϕ (x) h(ϕ(x)) ϕ (x) f(ϕ(ϕ(x))) ϕ (ϕ(x)) ϕ (x) f(x) ϕ (ϕ(x)) ϕ (x) f(x) ϕ (ϕ(x)) ϕ (ϕ(x))

95 .. PARCIÁLIS INTEGRÁLÁS 95.. Parciális integrálás.9. Tétel. Tegyük fel, hogy f, g D I. Ha az f g függvénynek van primitívfüggvénye az I intervallumon, akkor f g függvénynek is van és f g f g f g. Bizonyítás:. f, g D I f g D I és (f g) f g +f g f g (f g) f g Az (f g) és f g függvényeknek van primitívfüggvényük, így a különbségüknek, f g -nak is van és f g (f g) f g f g f g..0. Megjegyzés. Nyilvánvaló, hogy a módszer akkor használható jól, ha az f és g függvényeket úgy választjuk, hogy f g függvény primitív függvénye könnyebben számolható, mint az eredeti f g függvényé. Az alábbi négy típus esetén érdemes parciálisan integrálni: I. Polinom függvény és exponenciális-, vagy trigonometrikus függvény szorzata. Megoldás: A parciális integrálás során legyen g a polinom, így a fenti eljárást alkalmazva a kiszámítandó f(x) g (x)dx hasonló típusú lesz, mint az eredeti primitív függvény, de a polinom fokszáma eggyel csökken. A parciális integrálást egészen addig ismételten alkalmazzuk, amíg a polinom konstanssá nem válik, ekkor már elemi úton integrálhatunk. II. a) Polinom és logaritmus-, vagy ciklometrikus ( árkusz ) függvény szorzata. Megoldás: A parciális integrálás során legyen f a polinom, így a fenti eljárást alkalmazva a kiszámítandó f(x) g (x)dx integrálban a polinom mellett egy könnyebben kezelhető függvény jelenik meg. b) Logaritmus-, vagy ciklometrikus ( árkusz ) függvény integrálása. Megoldás: Ilyenkor az integrandust tekinthetjük olyan szorzatnak, melynek az egyik tényezője az eredeti integrandus, a másik tényezője pedig az azonosan polinom. A parciális integrálás során ugyanúgy járunk el, mint az előző típus esetén. III. Exponenciális- és színusz-, vagy koszínus függvény szorzata. Megoldás: Kétszer egymás után parciálisan integrálunk. (Tetszőleges megfeleltetéssel, de mindkétszer ugyanolyan szerepkiosztással.) A második lépés után egy függvényegyenlethez jutunk, melyből elemi átalakítással kifejezhetjük a keresett függvényt.

96 96. FEJEZET. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS.4. Feladatok.. Feladat. Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat. a) 9x 4x+dx b) 9x 4x+dx 9 sin x+cos x+ x dx x dx 4 xdx+ dx 9 x 4 x +x+c. c) sin x+cos x+ x dx x x + dx sin xdx+ cos xdx+ dx cos x+sin x+ln x +C. x x dx x + x dx x dx +x ln arctgx+c. d) 4 x 5 x 6 dx x 4 x 5 x 6 x dx 0 x5 x x 0 6 dx dx x x 6 x 0 6 dx x x dx 7 +C x7 5 +C e) sin ln x dx x sin ln x dx x sin tdt cos t+c cos ln x+c t ln x dt dx x dt x dx

97 .4. FELADATOK 97 f) (x+)(x +x+) 7 dx (x+)(x +x+) 7 dx t x +x+ dt dx x+ dt (x+)dx t 7 dt t8 8 +C (x +x+) 8 +C 8 g) cos 5x+7 dx cos 5x+7 dx 5 t 5x+7 5 x+ 7 dt dx 5 dt 5 dx cos 5x+7 5 dx 5 cos tdt 5 sin t+c 5 sin 5x+7 +C Másik módszerrel is megoldhatjuk a feladatot: cos 5x+7 dx t 5x+7 x t 7 5 dx dt 5 dx 5 dt cost 5 dt 5 cos tdt 5 sin t+c 5 sin 5x+7 +C h) x x dx x x dx 6 x4 6 x dx t 6 x t 6 x dx dt 6 t 5 6(t )(t+) dt+ 6 t u t+ du dt dx 6 t 5 dt t dt y t dy dt 6 6t 5 6t 6t t 4 t dt t dt 6 t + 6 dt t udu+6 dy 6u +6 ln y +C y (t+) +6 ln t +C ( 6 x+) +6 ln 6 x +C

98 98. FEJEZET. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS.. Feladat. Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat. a) x sin xdx x sin xdx x ( cos x) x ( cos x)dx x cos x+ x cos xdx b) g(x) x f (x) sin x g(x) x f (x) cos x g (x) x f(x) cos x g (x) f(x) sin x x cos x+ (x 5) e x+ dx ( x sin x (x 5) e x+ dx (x 5) ex+ g(x) x 5 f (x) e x+ g (x) f(x) R e x+ dx ) sin xdx x cos x+x sin x+ cos x+c. ex+ ex+ dx (x 5) R e x+ dx R e t dt et +C ex+ +C e x+ dx c) (x 5) ex+ arctgxdx ex+ +C. d) arctgxdx x arctgx ln xdx arctgxdx x arctgx x +x dx x arctgx g(x) arctgx f (x) t +x g (x) +x f(x) x dt xdx t dt x arctgx ln t +C x arctgx ln +x +C. x dx +x ln xdx x ln x ln xdx x ln x ln xdx x ln x x ln x x dx x ln x g(x) ln x f (x) g (x) ln x x f(x) x ( x ln x g(x) ln x f (x) g (x) x f(x) x x xdx x ln x dx x ) x ln x (x ln x x)+c

99 .4. FELADATOK 99 e) (x+) arctgxdx (x (x+) arctgxdx (x +x) +x) arctgx +9x dx (x +x) arctgx g(x) arctgx f (x) x+ g (x) x +9x dx +9x f(x) x +x x +9x dx (x +x) arctgx x + +9x dx 6 dt t t 9x + (x +x) arctgx dt 8xdx dx+ +(x) dx 6 ln t (x +x) arctgx x+ y x + 9 dy dx +y dy 6 ln 9x + (x +x) arctgx x+ 9 arctgy 6 ln 9x + +C (x +x) arctgx x+ 9 arctgx 6 ln 9x + +C f) sin x e x dx sin x e x dx e x sin x ( e x cos xdx e x sin x e x cos x+ ) e x sin xdx g(x) sin x f (x) e x g(x) cos x f (x) e x g (x) cos x f(x) e x g (x) sin x f(x) e x e x sin x e x cos x e x sin xdx. A fenti egyenlőség két oldalát összevetve kapjuk: sin x e x dx e x sin x e x cos x ahonnét rendezéssel kifejezhetjük a keresett integrált: sin x e x dx e x sin x e x cos x sin x e x dx e x sin x e x cos x sin x e x dx ex sin x e x cos x. e x sin xdx, e x sin xdx Mivel tudjuk, hogy a primitív függvény csak egy additív konstans erejéig egyértelmű, ezért sin x e x dx ex sin x e x cos x +C.

100 00. FEJEZET. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS g) e x cos xdx e x cos xdx ex cos x ex ( sin x)dx ex cos x+ e x sin xdx g(x) cos x f (x) e x g(x) sin x f (x) e x g (x) sin x f(x) ex g (x) cos x f(x) ex ex cos x+ ( e x ) e x sin x cos xdx ex cos x+ 9 ex sin x 4 9 A fenti egyenlőség két oldalát összevetve kapjuk: e x cos xdx ex cos x+ 9 ex sin x 4 9 ahonnét rendezéssel kifejezhetjük a keresett integrált: e x cos xdx ex cos x+ 9 ex sin x e x cos xdx, e x cos xdx e x cos xdx ex cos x+ 9 ex sin x e x cos xdx 9 ( ex cos x+ ) 9 ex sin x ex cos x+ ex sin x. e x cos xdx. Mivel tudjuk, hogy a primitív függvény csak egy additív konstans erejéig egyértelmű, ezért e x cos xdx ex cos x+ ex sin x+c.

101 4. fejezet Speciális függvényosztályok integrálása 4.. Racionális függvények integrálása 4.. Definíció. Az i) f(x) a n x n +a n x n + +a x+a 0, x R, n N, a i R (i 0,..., n) ii) f(x) iii) f(x) A (x a) n, a R, x a, n N, A R Ax+B (ax +bx+c) n, A, B R, x R, a, b, c R, (b 4ac < 0), n N, alakú függvényeket elemi törtfüggvényeknek nevezzük. 4.. Tétel. Minden racionális függvény felbontható véges számú elemi törtfüggvény összegére. 4.. Megjegyzés. A tétel bizonyításától eltekintünk. Helyette egy, a gyakorlatban jól alkalmazható eljárás lépéseit írjuk le, amellyel a felbontást elő is állíthatjuk..lépés: A racionális függvényt polinom és valódi racionális tört összegére bontjuk Definíció. Az f(x) P (x) Q(x) x R\Λ Q, Λ Q {λ R Q(λ) 0} (P, Q polinomok) racionális törtfüggvényt valódi racionális törtnek nevezzük, ha deg P <deg Q. (Ha deg P deg Q, akkor a függvényt racionális áltörtnek hívjuk.) Ha f(x) P (x) Q(x) (x R\Λ Q) egy racionális áltört, akkor P -n Q-val maradékos osztást végezve felbontjuk: Ekkor ahol R(x) Q(x) P (x) P (x) Q(x)+R(x), ahol R 0, vagy deg R < deg Q. f(x) P (x) Q(x) P (x) Q(x)+R(x) P (x)+ R(x) Q(x) Q(x), már valódi racionális tört..lépés: A nevezőt irreducibilis (elsőfokú-, vagy negatív diszkriminánsú másodfokú-) tényezők szorzatára bontjuk..lépés: A törtet elemi törtek összegére bontjuk az egyenlő együtthatók módszerével. 0

102 0 4. FEJEZET. SPECIÁLIS FÜGGVÉNYOSZTÁLYOK INTEGRÁLÁSA 4... Elemi törtfüggvények integrálása I. Ha f polinom, akkor tagonként integrálunk. II. Ha f(x) A (x a) n, a) Ha n, akkor A x a dx A (n N ), akkor az alábbi két eset lehetséges. x a dx t x a dt dx A dt A ln t +C A ln x a +C. t b) Ha n, akkor A (x a) dx A n (x a) n dx t x a dt dx A t n dt A t n+ n+ +C A n +C. (x a) n Ax+B III. Ha f(x) (ax +bx+c), n teljes négyzetté alakítjuk: (n N ), ahol D b 4ac < 0, akkor első lépésként a nevezőt ( ax +bx+c a x + b a x+ c ) ( ( a x+ b ) ) b a a 4a + c a ( a x+ b a ) + 4ac b } 4a {{ } :α >0 Ekkor f(x)dx A a n Ax+B ( (x+ ) a n b n dx a +α ) t x+ b a x t b a dt dx t (t +α ) n dt+ B Ab a a A ( t b a) +B a n (t +α ) n dt (t +α ) n dt. Ezek után az alábbi négy fajta integrál kiszámítására lehet szükség: a) t +α dt α + ( ) t dt α +u du α arctgu+c α arctg t α +C α b) t t +α dt u t +α du tdt u t α du α dt u du ln u +C ln t +α +C

103 4.. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA I. 0 c) d) t (t +α ) n dt u t +α du tdt (t +α ) n dt t α tgu π <u< π dt α cos du u u n du u n+ n+ +C (n ) (α tg u+α ) α n cos u du +C un α n (+tg u) n cos u du α n ( cos u+sin u) cos u n cos u du cos n u α n cos u du cos (n ) udu α n Az eljárás folytatására visszatérünk a trigonometrikus függvények integrálásakor. (0. oldal) 4.. Trigonometrikus függvények polinomjainak integrálása I.) II.) sin xdx cos x+c, sin n x cos m xdx (n, m N) cos xdx sin x+c i) Az nm0 eset érdektelen, hiszen ekkor valójában nem is trigonometrikus függvényről van szó. ii) Ha n páratlan (m tetszőleges) Legyen n k +, ahol k N. Ekkor sin n x cos m xdx sin k+ x cos m xdx sin k x cos m x sin xdx (sin x) k cos m x sin xdx ( cos x) k cos m x sin xdx ( t ) k t m dt t cos x dt sin xdx Ezzel a feladatot egy polinom integrálására vezettük vissza. iii) Ha m páratlan (n tetszőleges) Legyen m l+, ahol l N. Ekkor sin n x cos m xdx sin n x cos l+ xdx sin n x cos l x cos xdx sin n x (cos x) l cos xdx sin n x ( sin x) l cos xdx t n ( t ) l dt u sin x du cos xdx Ezzel a feladatot most is egy polinom integrálására vezettük vissza. iv) Ha n és m mindegyike páros, azaz n k és m l, ahol k, l N és nem mindegyik 0. Ekkor az úgynevezett linearizáló formulát kell használnunk, amely a jólismert addíciós képletből és a trigonometrikus Pitagorasz tételből vezethető le: cos x cos x sin x cos x+sin x

104 04 4. FEJEZET. SPECIÁLIS FÜGGVÉNYOSZTÁLYOK INTEGRÁLÁSA A fenti egyenletrendszerből cos x-t illetve sin x-t kifejezve: cos x sin x +cos x cos x x R x R sin n x cos m xdx sin k x cos l xdx (sin x) k (cos x) l dx (a Z +, m N páratlan) inte- ( ) k ( ) l cos x +cos x dx... Megmutatható, hogy véges sok lépésben cos m ax dx grálására vezethető a probléma Megjegyzés. Parciális integrálással rekurziós formula adható erre az esetre. 4.. Trigonometrikus függvények racionális függvényeinek integrálása III.) sin n dx és x dx alakú integrálok cos n x i) Ha n k k N sin n x dx sin k x dx ( ) sin x+cos k x sin x sin k x sin x dx sin x dx (+ctg x ) k t ctgx x (0,π) dt sin x dx ( ) k sin x sin x dx Ezzel a feladatot egy polinom integrálására vezettük vissza. Hasonlóan járhatunk el dx esetén is: cos n x cos n x dx cos k x dx cos k x ( ) cos x+sin k x (+tg cos x cos x dx x ) k ( ) k cos x dx cos x cos x dx u tgx x ( π, π ) du cos x dx Ezzel ezt a feladatot is egy polinom integrálására vezettük vissza. ii) Ha n k + k N sin x dx (+t ) k dt. cos x dx (+u ) k du.

105 4.. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA II. 05 sin n x dx sin k+ x dx sin x (sin dx x) k+ sin x dx ( cos x) k+ t cos x A feladatot ezzel egy racionális tört integrálására vezettük. Hasonlóan : cos n x dx cos k+ x dx cos x dx (cos x) k+ dt sin xdx cos x ( sin dx x) k+ t sin x dt cos xdx Ezzel ezt a feladatot is egy racionális tört integrálására vezettük vissza Megjegyzés. Parciális integrálással rekurziós formula adható. ( t ) k+ ( t ) k+ IV.) tgx, vagy ctgx racionális tört-függvényeinek integrálása R(tgx)dx R(t) +t dt t tgx x ( π, π ) x arctgt dx +t dt Ezzel ezt a feladatot is egy racionális tört integrálására vezettük vissza, hasonlóan R(ctgx)dx R(y) +y dy. y ctgx x (0,π) x arcctgy dx +y dy Így egy racionális tört-függvényt kell integrálnunk. V.) sin x és cos x racionális tört-függvényeinek integrálása R(sin x, cos x)dx. t tg x x ( π,π) x arctgt dx +t dt sin x és cos x átírásához tekintsük a következő ábrát: sin α tgα +tg α cos α +tg α

106 06 4. FEJEZET. SPECIÁLIS FÜGGVÉNYOSZTÁLYOK INTEGRÁLÁSA Az addíciós összefüggések alapján: sin α sin α cos α tgα +tg α cos α cos α sin α tg α +tg α α x sin x tg x +tg x α x cos x tg x +tg x t +t t +t. Ezeket az összefüggéseket megkaphatjuk pusztán az addíciós képletek és a négyzetes összefüggés (trigonometrikus Pitagorasz-tétel) alkalmazásával: sin x sin x cos x sin x cos x cos x tgx cos x tg x sin x+cos x cos x tg x +tg x t +t cos x cos x sin x cos x sin x cos x Így R ( ) t +t, t +t +t dt. cos x ( tg x ) Azaz újfent elég egy racionális tört-függvényt integrálni. +tg x t +t 4.7. Megjegyzés. Ezzel a módszerrel minden ilyen típusú integrál megoldható (a korábban tárgyalt esetek is), de nem mindig ez a célszerű út. Összefoglalva t tg x -es helyettesítés során az alábbiak igazak: t tg x x ( π, π) dx +t dt t sin x +t cos x t +t VI.) Az előző típusba tartozó integrálok esetén, ha R(sin x, cos x) R( sin x, cos x), akkor az y tgx-es helyettesítés is célravezető és egyszerűbb eredményt ad. Ilyenkor cos x +tg x +y cos x sin x+cos x cos x sin x sin x cos x cos x tg x cos x tg x +tg x y +y Összefoglalva, a helyettesítés során az alábbiak igazak:

107 4.4. IRRACIONÁLIS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA 07 y tgx x ( π, π) sin x y +y dx dy cos x +y +y 4.8. Megjegyzés. A R(sin x, cos x) R( sin x, cos x) feltétel a gyakorlatban annyit jelent, hogy mind a sin x, mind pedig a cos x hatványai az integrandusban páros kitevősek Irracionális függvények integrálása I.) x és n x racionális tört-függvényeinek integrálása n R(x, x)dx R(t n, t)n t n dt, t n x x t n dx n t n dt Ezzel racionális tört integrálására vezettük vissza a problémát. n II.) Az R(x, x, n x,..., n k x)dx alakú integrálok esetén legyen n : [n ; n ;... ; n k ] ekkor a t n x helyettesítés célravezető. III.) x és n ax+b racionális tört-függvényeinek integrálása ( ) n t n b R(x, ax+b)dx R a, t n a tn dt, t n ax+b t n ax+b t n b a x n a tn dt dx ahol [a; b] az a és b számok legkisebb közös többszöröse, így most is egy racionális törtet kell integrálni. n IV.) Az R(x, n ax+b, n ax+b,..., k ax+b)dx alakú integrálok esetén legyen n : [n ; n ;... ; n k ] ekkor a t n ax+b helyettesítés célravezető. ahol [a; b] az a és b számok legkisebb közös többszöröse, V.) x és n ax+b racionális tört-függvényeinek integrálása cx+d ( ) ( ) n ax+b b dt n R x, dx R cx+d t n c a, t ndtn (t n c a) cnt n (b dt n ) dt, (ct n a) t n q ax+b cx+d t n (cx+d) ax+b x (t n c a) b dt n x b dtn t n c a dx ndtn (t n c a) cnt n (b dt n ) (ct n a) dt

108 08 4. FEJEZET. SPECIÁLIS FÜGGVÉNYOSZTÁLYOK INTEGRÁLÁSA VI.) Az R ( x, n ax+b cx+d, ax+b cx+d,..., n ) ax+b dx alakú integrálok esetén legyen cx+d nk n : [n ; n ;... ; n k ] ahol [a; b] az a és b számok legkisebb közös többszöröse, ekkor a t n ax+b helyettesítés célravezető. cx+d ( VII.) Az R x, ) ax +bx+c dx alakú integrálok esetén a másodfokú kifejezés főegyűtthatójától és diszkriminánsától függően a teljes-négyzetté alakítás és helyettesítés után az alábbi három integrál valamelyikéhez jutunk: a) a < 0, D > 0 t dt sin u cos u du cos u cos u du t sin u π u π dt cos u du cos u cos u du π u π cos u 0 cos u du... Ezzel a feladatot egy korábban tárgyalt problémára vezettük vissza. (0. oldal) b) a > 0, D < 0 +t dt +tg u cos u du cos u cos u du t tgu π <u< π dt cos du u cos u cos u du π <u< π cos u>0 cos u du... Ezzel a feladatot egy korábban tárgyalt problémára vezettük vissza. (05. oldal) c) Az a > 0, D > 0 esetben úgynevezett Euler-helyettesítést használunk. ax +bx+c ax+t ax +bx+c ax + axt+t x(b at) t c x t c b at 4.9. Megjegyzés. dx t(b at)+(t c) a (b at) dt ax +bx+c a t c b +t at x t c b at dx t(b at)+(t c) a (b at).) Az Euler-helyettesítés alkalmazható lenne a VIIb esetben is, azaz csak annyi a fontos, hogy az a > 0 feltétel teljesüljön. Azonban könnyen látható, hogy a t tgu helyettesítés lényegesen egyszerűbb..) Az előző felsorolásból nem véletlenül maradt ki az a < 0, D < 0 eset, hiszen ilyenkor minden x R esetén ax +bx+c<0, így az ax +bx+c kifejezés értelmezési tartománya üreshalmaz. dt

109 5. fejezet Speciális függvényosztályok integrálása II. 5.. Feladat. Integráljuk a következő függvényeket! x +x a) x +x dx Bontsuk az f(x) x +x x +x.lépés: racionális függvényt elemi törtek összegére! x +0x +x +0 x +x x x +4x +0 x 4x +6 8x 6 : (x +x ) x. Így x +x (x ) (x +x )+8x 6 } {{ } } {{ }, és P (x) R(x).lépés: x +x 0,.lépés: x, ± 4+ Így x +x (x+) (x ). 8x 6 (x+) (x ) f(x) x + ±4 8x 6 x +x. ± A x+ + B x Ax A+Bx+B (x+) (x ) x x. (A+B)x+(B A). (x+) (x ) Felhasználva, hogy két polinom pontosan akkor egyenlő, ha együtthatóik rendre megegyeznek. A megfelelő együtthatók egyeztetéséből a következő egyenletrendszer írható fel: A+B 8 A 8 B B A 6 09

110 0 5. FEJEZET. SPECIÁLIS FÜGGVÉNYOSZTÁLYOK INTEGRÁLÁSA II. B (8 B) 6 4B 8 6 4B B A 8 5. Így 5 x 6 (x+) (x ) x+ + x és 5 f(x) x + x+ + x. A kapott eredményt visszaírhatjuk az integrálba x 9 5 +x x +x dx 4 x + x+ 4 x dx xdx x 5 x+ x+ dx + x dx x t x+ dt dx u x du dx x dx+ 5 x+ dx+ x dx 5 x+ ln t + ln u +C 5 x+ ln x+ + ln x +C b) x 4 4x +9x 6x+9 dx (x x+) (x ) Bontsuk az f(x) x4 4x +9x 6x+9 (x x+) (x ) racionális függvényt elemi törtek összegére!.lépés: Mivel f(x) valódi racionális tört (a számláló fokszáma kisebb, mint a nevezőé), ezért az első lépést nem kell elvégeznünk..lépés: A nevező szorzat alakban adott, így csak azt kell ellenőrizni, hogy a másodfokú tényező valóban irreducibilis-e..lépés: x x+ D 4 < 0. Így a felbontásban csak elsőfokú és negatív diszkriminánsú másodfokú tényezők szerepelnek. x 4 4x +9x 6x+9 (x x+) (x ) A x + Bx+C x x+ + Dx+E (x x+) A(x x+) +(Bx+C)(x )(x x+)+(dx+e)(x ) (x x+) (x )

111 A zárójelek felbontása után, a nevezők egyenlősége miatt a számlálóknak is meg kell egyezniük: x 4 4x +9x 6x+9 (A+B)x 4 +( A 5B +C)x + +(A+5B 5C +D)x + +( A B +5C D +E)x+ +(A C E). A megfelelő együtthatók egyeztetéséből a következő egyenletrendszer írható fel: A+B A B A 5B +C 4 C 4 B A+5B 5C +D 9 D 7 9 B A B +5C D +E 6 E 5 7 B A C E 9 B +8+ B 70 7 B B 9 B 0 E 0 A D C 4 Így f(x) x + 4 x x+ + A kapott eredményt visszaírhatjuk az integrálba x 4 4x +9x 6x+9 dx (x x+) (x ) x dx 4 t dt 4 4 ln t 4 ln x 8 ( ) x dx+ + 4 ) dx+ + ( x y x dy dx t x dt dx u x x+ du (x )dx x (x x+). x (x x+) dx + 6 du+ u 9 +y dy u x x+ dx+ ( (x ) ) dx + 4 ( ( ) ) dx x + y x dy dx (+y ) dy y tgz z ( π, π ) dy cos z dz x + (x x+) dx

112 5. FEJEZET. SPECIÁLIS FÜGGVÉNYOSZTÁLYOK INTEGRÁLÁSA II. ln x 8 arctgy x x (+tg z) cos z dz ln x 8 arctgx x x+ + 8 cos zdz 9 ln x 8 arctgx x x cos zdz 9 ln x 8 arctgx ln x 8 arctgx ln x 8 arctgx ln x 8 arctgx ln x 8 arctgx w z dw dz x x+ + +cos wdw 9 x x+ + 9 w + sin w +C 9 x x+ + 9 z + sin z +C 9 x x arctgy + sin arctgy +C 9 x x arctgx + sin arctgx +C. 9 c) ( sin x+ π ) dx 4 sin ( x+ π 4 ) dx ( ( cos x+ π )) 4 ( sin x+ π ) ( sin x+ π ) dx 4 4 ( sin x+ π ) dx 4 ( t )dt (t t )+C t cos(x+ π 4 ) dt sin(x+ π 4 )dx cos ( x+ π 4 )+ 6 cos ( x+ π 4 ) +C. d) cos x sin xdx cos x sin xdx ( t ) t dt ( sin cos x cos x sin xdx x ) cos x sin xdx t sin x dt cos xdx t t 4 dt t t5 5 +C sin x 5 sin5 x+c.

113 e) sin xdx sin xdx cos 6xdx sin α sin x cos α cos 6x dx cos 6xdx x t 6x dt 6dx cos tdt f) x sin t+c x sin 6x+C. sin 4 x cos xdx sin 4 x cos xdx ( ) cos x (sin x) cos xdx sin x cos x cos x +cos x +cos x dx ( cos x+cos x) (+cos x)dx ( cos x cos x+cos x)dx 8 8 dx cos xdx cos xdx + cos x cos xdx x 6 t x dt dx cos tdt 6 cos α cos x +cos α +cos 4x +cos 4xdx+ 8 ( sin x) cos xdx 8 x 6 sin t 64 u 4x du 4dx (+cos u)du+ 6 y sin x dy cos xdx ( y )dy 8 x 6 sin x 64 u 64 sin u+ 6 y 48 y +C 8 x 6 sin x 6 x 64 sin 4x+ 6 sin x 48 sin x+c.

114 4 5. FEJEZET. SPECIÁLIS FÜGGVÉNYOSZTÁLYOK INTEGRÁLÁSA II.

115 6. fejezet Speciális függvényosztályok integrálása III. 6.. Feladat. Integráljuk a következő függvényeket! a) sin 4 x dx b) sin 4 x dx cos 6 x dx cos 6 x dx t x dt dx sin x (+ctg x) sin x dx t ctgx x (0,π) dt sin x dx ( ) sin t+cos t cos t cos sin x dx x+sin x sin x sin x dx (+t )dt t t +C ctgx ctg x+c. cos 6 t dt cos 4 t (+tg cos t dt t ) cos t dt ( ) cos t cos t dt u tgt t ( π, π ) du cos t dt cos t dt (+u ) du +u +u 4 du u u+ + u5 5 +C tgt+ tg t+ 0 tg5 t+c c) tgx+ tg x+ 0 tg5 x+c. cos x dx 5

116 6 6. FEJEZET. SPECIÁLIS FÜGGVÉNYOSZTÁLYOK INTEGRÁLÁSA III. cos x dx cos x cos 4 x dx cos x ( sin x) dx t sin x, x [ π, π ] dt cos x dx A ( t) (+t) t + B +t + C ( t) + D (+t) ( t ) dt dt ( t) (+t) (B A)t +(C +D B A)t +(A B +C D)t+A+B +C +D ( t) (+t) A megfelelő együtthatók egyeztetéséből: A+B +C +D A+C A B +C D 0 C D A B +C +D 0 A+C 0 A C A+B 0 A B Így A B C D 4, azaz 4 ( t) (+t) 4 t dt + 4 +t dt + 4 ( t) dt + 4 ( t + +t + ( t) + (+t) dt (+t) ). u t y +t u t y +t du dt dy dt du dt dy dt d) 4 u du+ 4 4 ln t + 4 y dy 4 u du+ 4 ln +t + 4( t) 4(+t) +C y dy 4 ln u + ln y + 4 4u 4y +C 4 ln sin x + 4 ln +sin x + 4( sin x) 4(+sin x) +C. +tgx tg x+ dx +tgx tg x+ dx +t +t +t dt +t dt (+t ) (+t ) t tgx x ( π, π ) x arctgt dx +t dt +t (+t ) (+t ) At+B +t + Ct+D (A+C)t +(B +D)t +(A+C)t+B +D +t (+t ) (+t ) A+C 0 A C B +D 0 B D A+C C B +D D A B

117 7 Így +t (+t ) (+t ) t +t + t+ +t. t t+ +t dt+ +t dt t +t dt +t dt+ u du u t + du tdt ( ) dt+ t + dy +arctgt y t +t dt + y t + dy tdt +t dt z dz t dt ln u + +z dz + ln y +arctg(tgx) ln tg x+ + arctg t + ln tg x+ +x+c ln tg x+ + arctgtgx + ln tg x+ +x+c. e) sin x sin x+5 cos x dx sin x sin x+5 cos x dx +5ctgx dx +5y dy +y y ctgx x (0,π) x arcctgy dx +y dy (+5y) (+y ) A By +C + +5y +y (A+5B)y +(5C +B)y +A+C (+5y) (+y ) A+5B 0 A 5B 5C +B 0 C 5 B A+C 5B B B 5 6 A 5 6 B 5 6 Így (+5y) (+y ) 6 +5y 5 6 y + +y. 5 5y + dy 5 y + 6 +y dy 5 6 t 5y+ dt 5dy t dt+ 5 y +y dy 5 6 u +y du ydy +y dy

118 8 6. FEJEZET. SPECIÁLIS FÜGGVÉNYOSZTÁLYOK INTEGRÁLÁSA III. 5 6 ln t du u 6 arcctgy 5 6 ln 5y ln u 6 arcctg(ctgx)+c 5 6 ln 5ctgx+ + 5 ln +y 5 6 x+c 5 6 ln 5ctgx+ + 5 ln +ctg x 5 6 x+c. tg x -es helyettesítést használva is megoldható a feladat, de ekkor a racionális tört-függvényünk bonyolultabb lesz: sin x sin x+5 cos x dx t tg x x ( π,π) t +t t +5 t +t dt +t +t 4t (+t )( 5t +6t+5) dt... dx +t dt t sin x +t cos x t +t f) dx +sin x+cos x dx +sin x+cos x t tg x x ( π,π) + t + t +t dt +t +t +t +t+ t dt dx +t dt t sin x +t cos x t +t t+ dt t+ dt u du ln u +C ln t+ +C ln tgx + +C. u t+ du dt g) cos x 4 cos x dx cos x cos 4 cos x dx x sin y x 4 cos x dx +y 4 +y +y dy y dy (4y +) (y +) y tgx x ( π, π ) dx sin x cos x +y dy y +y +y y Ay +B Cy +D + (4y +) (y +) y + 4y + (4A+C)y +(4B +D)y +(A+C)y +B +D (4y +) (y +)

119 9 A megfelelő együtthatók egyeztetéséből: } 4A+C 0 A+C 0 } 4B +D B +D A C 0 B B C 5 5 4y + dy t y t 4y dt dy +y dy 5 6 t + dt arctgy 5 6 arctgt arctg(tgx)+c h) 5 6 arctg(y) x+c 5 6 arctg(tgx) x+c. x x+ dx x dx x+ t x x t dx tdt t t+ tdt t dt t+ t +0 t +0 t +0 t + t t t t + t t + : (t+) t t+, t t+ t t+ t+ t t+ dt t+ dt u t+ du dt t t +t u du x x + x ln u +C x x+ x ln t+ +C x x + x ln x+ +C. i) x x 4dx

120 0 6. FEJEZET. SPECIÁLIS FÜGGVÉNYOSZTÁLYOK INTEGRÁLÁSA III. t x x 4dx +4 t x 4 x t +4 dx tdt t t dt 9 t 4 +4t dt 45 t t +C 45 (x 4) (x 4) +C. j) x x x dx x x x dx t 6 t t 6t5 dt 6 t 9 t 9 t dt 6 + t dt t 6 x x t 6 dx 6t 5 dt (t )(t 8 +t 7 +t 6 +t 5 +t 4 +t +t +t+) 6 t dt+6 t dt u t 6 t 8 +t 7 +t 6 +t 5 +t 4 +t +t +t+dt+6 u du du dt t9 + 4 t t7 +t t5 + t4 +t +t +6t+ln u +C 6 x x x7 + 6 x x5 + 6 x4 + 6 x + 6 x +6 6 x+ln t +C x + 4 x x7 +x x5 + x + x+ x+6 6 x+ln 6 x +C. k) x +4x+5dx x 9 (x ) +4x+5dx dx 9 sin u cos u du 9 9 u+ 9 cos u du 9 arcsin t+ 9 y u dy du ( x t x dt dx cos u cos u du 9 ha π u π, akkor cos u 0 cos y dy 9 ) dx 9 t dt t sin u ( π u π ) dt cos u du cos u+ cos u du 9 du arcsin x + 9 sin y +C

121 9 arcsin x + 9 sin u+c 9 arcsin x + 9 sin( arcsin x )+C. l) x +8x+0dx x +8x+0dx x +4x+5dx tg u+ du cos u D6 0<0 (x+) +dx t + dt t x+ dt dx cos u du sin u+cos u cos u cos u du t tgu ( π <u< π ) dt cos u cos u du ha π <u< π, akkor cos u>0 cos u du Az du integrállal már foglalkoztunk. (5. oldal, c feladat.) cos u ( 4 ln sin u + 4 ln +sin u + 4( sin u) ) +C 4(+sin u) 4( sin(arctgt)) ln sin(arctgt) + ln +sin(arctgt) ln sin(arctg(x+)) + ln +sin(arctg(x+)) (+sin(arctg(x+))) +C. 4(+sin(arctgt)) +C 4( sin(arctg(x+))) m) 4x +x dx 4x ( ) +x dx t 4t +t 4x +x 4x+tx+t 4x +x 4x +4xt+t ( 4t)x t x t 4t dx t( 4t)+4(t ) ( 4t) t +t 4t dt 4t +6t 4 ( 4t) dt 4t +6t 4 ( 4t) dt 4t +6t 4 ( 4t) dt ( t +t ) ( 4t) dt 4t 4 t +7t t+4 ( 4t) dt } {{ } 64t +44t 08t+7

122 6. FEJEZET. SPECIÁLIS FÜGGVÉNYOSZTÁLYOK INTEGRÁLÁSA III. A racionális áltörtet egy polinom és egy valódi racionális törtfüggvény összegére bontjuk: 4t 4 t +7t t +4 4t 4 9t t 7t 6 : ( 64t +44t 08t+7) 6 t+ 64, t t 65t 6 +4 t t 8t t t így 4t4 t +7t t+4 ( 4t) 6 t t 75 t ( 4t) 6 t t 75 t dx ( 4t) 6 t + t 4t 6t+75 dx 64 ( 4t) A valódi racionális törtfüggvényt, az egyenlő együtthatók módszerével, elemi törtek összegére bontjuk: 4t 6t+75 ( 4t) A 4t + A megfelelő együtthatók egyeztetéséből Visszaírva az integrálba: 6 t + t t dt + 64 B ( 4t) + 6At +( 4A 4B)t+9A+B +C ( 4t) u 4t du 4dt 6 t + t ln u 8 5 6A 4 A 4 4A 4B 6 B 0 9A+B +C 75 C ( 4t) dt u 4t du 4dt C ( 4t) A( 4t) +B( 4t)+C ( 4t) 6 t + t+ 7 8 u 49 du+ 56 u du u +C 6 t + t+ 7 8 ln 4t 49 5( 4t) +C 4x +x 4x+tx+t t 4x +x x. 6 ( 4x +x x) + ( 4x +x x)+ 7 8 ln 4( 4x +x x) 49 5( 4( 4x +x x)) +C.

123 7. fejezet Határozott integrál, improprius integrál 7.. Határozott integrál Legyen I : [a, b] véges,zárt intervallum. 7.. Definíció. A τ halmazt az I : [a, b] intervallum egy felosztásának nevezzük, ha i) τ I, ii) τ véges halmaz, iii) a, b τ. Jelölés: τ {a x 0 < x < < x k < < x n < x n b}. Az I intervallum felosztásainak halmazát F(I)-vel jelöljük. 7.. Definíció. Legyen τ F(I) az I intervallum egy felosztása. A τ felosztás finomságán a számot értjük. τ : n max i {x i x i } 7.. Definíció. Legyen f : I R egy korlátos függvény és τ {a x 0 < x < < x k < < < x n < x n b} F(I) az I intervallum egy felosztása. m i : inf{f(x) x i x x i }, i,..., n M i : sup{f(x) x i x x i }, i,..., n Ekkor a n S(f, τ) : M i (x i x i ) összeget a függvény, τ felosztáshoz tartozó felső közelítő összegének, a i s(f, τ) : n m i (x i x i ) i összeget pedig a függvény, τ felosztáshoz tartozó alsó közelítő összegének nevezzük.

124 4 7. FEJEZET. HATÁROZOTT INTEGRÁL, IMPROPRIUS INTEGRÁL s(f, τ) S(f, τ) 7.4. Megjegyzés. Mivel m i M i minden i index esetén, ezért bármely τ felosztás mellett s(f, τ) S(f, τ) Definíció. Legyen τ, τ F(I) ugyanazon intervallum két felosztása. Akkor mondjuk, hogy a τ felosztás a τ felosztás finomítása, ha annak minden osztópontját tartalmazza, azaz ha τ τ Tétel. a) Ha τ, τ F(I) és τ τ, akkor s(f, τ ) s(f, τ ) és S(f, τ ) S(f, τ ), azaz a felosztás finomításával az alsó közelítő összeg nem csökken, a felső közelítő összeg pedig nem növekszik. b) Bármely két τ, τ F(I) felosztás esetén s(f, τ ) S(f, τ ) Következmény. A {s(f, τ), τ F(I)} számhalmaz felülről korlátos, míg a {S(f, τ), τ F(I)} számhalmaz alulról korlátos Definíció. Legyen f az I [a, b] zárt intervallumon korlátos függvény. Az I (f) : sup{s(f, τ) : τ F(I)} értéket az f Darboux-féle alsó integráljának, az I (f) : inf{s(f, τ) : τ F(I)} értéket az f Darboux-féle felső integráljának nevezzük Definíció. Akkor mondjuk, hogy az f függvény az I [a, b] intervallumon Riemannintegrálható, ha I (f) I (f) : I. Ekkor az I számot az f függvény Riemann-integráljának nevezzük és b a f(x)dx : I jelölést használjuk.

125 7.. HATÁROZOTT INTEGRÁL Definíció. Ha f : [a, b] R + 0 és f Riemann integrálható az [a, b] intervallumon, akkor a H : {(x, y) R : a x b, 0 y f(x)} halmaznak létezik területe és T (H) b a f(x)dx. És hasonlóan 7.. Definíció. Ha f : [a, b] R 0 és f Riemann integrálható az [a, b] intervallumon, akkor a K : {(x, y) R : a x b, f(x) y 0} b halmaznak létezik területe és T (K) f(x)dx. a 7.. Definíció. Legyen f : [a, b] R függvény és τ F(I) az [a, b] intervallum egy felosztása, amelyre τ {a x 0 < x < < x k < < x n < x n b}. Legyen továbbá A τ : {ξ (ξ, ξ,..., ξ n ) x i ξ x i, i,,..., n} úgynevezett közbeeső pontok rendszere. Ekkor a σ(f, τ, ξ) : n f(ξ i ) (x i x i ), i τ F(I), ξ A τ számot az f függvény τ, ξ paraméterpárhoz tartozó Riemann-közelítőösszegének nevezzük. σ(f, τ, ξ) 7.. Definíció. Akkor mondjuk, hogy a τ 0 τ... τ k... felosztás-sorozat minden határon túl finomodó, ha bármely ε > 0 esetén létezik k 0 index, hogy τ k0 < ε Tétel. Az f : [a, b] R függvény akkor és csak akkor Riemann-integrálható, ha σ(f, τ, ξ) közelítő összegek sorozata a felosztás minden határon túl való finomítása mellett a ξ közbeeső pontok rendszer választásától függetlenül ugyanahhoz a I számhoz tart.

126 6 7. FEJEZET. HATÁROZOTT INTEGRÁL, IMPROPRIUS INTEGRÁL 7.. A Riemann-integrálhatóság feltételei 7.5. Tétel. (szükséges feltétel) Ha f Riemann-integrálható, akkor korlátos Tétel. (elégséges feltételek) i) A véges zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény Riemann-integrálható. ii) A véges zárt intervallumon értelmezett korlátos függvény Riemann-integrálható, ha legfeljebb véges sok szakadása van. iii) A véges zárt intervallumon értelmezett korlátos és monoton függvény Riemann-integrálható Következmény. Ha az f függvény értékét az intervallumban véges sok helyen megváltoztatjuk, akkor az sem az integrálhatóságot, sem pedig az integrál értékét nem változtatja meg. 7.. A határozott integrál tulajdonságai 7.8. Tétel. Legyen az f függvény az [a, b] intervallumon integrálható és c tetszőleges valós szám, ekkor a c f függvény is integrálható az [a, b] intervallumon és b b cf(x)dx c f(x)dx. a a 7.9. Tétel. Ha az f és a g függvények az [a, b] intervallumon integrálhatók, akkor az f + g függvény is integrálható az [a, b] intervallumon és b (f +g)(x)dx b b f(x)dx+ g(x)dx. a a a 7.0. Tétel. Ha az f függvény az [a, b] intervallumon integrálható, akkor annak bármely részintervallumán is integrálható. 7.. Tétel. (intervallum szerinti additivitás.) Ha az f függvény az [a, b] intervallumon integrálható és a < c < b, akkor b f(x)dx c b f(x)dx+ f(x)dx. a a c 7.. Tétel. (intervallum szerinti additivitás.) Ha az f függvény az [a, c] és [c, b] intervallumokon integrálható, akkor integrálható az [a, b] intervallumon és b f(x)dx c b f(x)dx+ f(x)dx. a a c

127 7.4. A HATÁROZOTT INTEGRÁL KISZÁMÍTÁSA Tétel. Ha az f függvény az [a, b] intervallumon integrálható és f(x) 0 minden x [a, b] esetén, akkor b a f(x)dx Tétel. Ha az f és a g függvények az [a, b] intervallumon integrálhatók és f(x) g(x)minden x [a, b] esetén, akkor b a f(x)dx b a g(x)dx Tétel. Legyen f függvény az [a, b] intervallumon integrálható, továbbá m : inf{f(x) a x b} és M : sup{f(x) a x b}, ekkor m (b a) b f(x)dx M (b a). a 7.6. Tétel. (Az integrálszámítás középérték-tétele) Ha az f függvény folytonos az [a, b] intervallumon, akkor létezik olyan ξ [a, b] hely, hogy b a f(x)dx f(ξ) (b a) A határozott integrál kiszámítása 7.7. Definíció. Legyen f függvény az [a, b] intervallumon integrálható. Értelmezzük a F függvényt a következőképpen: D F [a, b], F (x) : x f(t)dt. Ekkor a F : [a, b] R függvényt a f függvény integrálfüggvényének nevezzük. x 7.8. Tétel. Ha a f függvény folytonos az [a, b] intervallumon, akkor a F (x) : f(t)dt integrálfüggvény az [a, b] intervallumon differenciálható és a a F f Megjegyzés. Az előző tétel alapján nyilvánvaló, hogy az integrálfüggvény egy primitív függvény Tétel. (Newton-Leibniz formula) Legyen az f függvény integrálható az [a, b] intervallumon. Ha az f függvénynek létezik az [a, b] intervallumon F primitív függvénye, akkor b a f(x)dx F (b) F (a).

128 8 7. FEJEZET. HATÁROZOTT INTEGRÁL, IMPROPRIUS INTEGRÁL 7.. Megjegyzés. Az előző tétel alkalmas arra, hogy a határozott integrál kiszámítását visszavezessük határozatlan integrál kiszámítására, illetve arra, hogy a határozatlan integrálra vonatkozó szabályok megfelelőit felírjuk határozatlan integrálok esetére. 7.. Tétel. (Helyettesítéses integrálás szabálya határozott integrálra) Legyen a ϕ:[a, b] R függvény folytonos [a, b]-n, differenciálható (a, b)-n és a ϕ deriváltfüggvény legyen integrálható az [a,b]-n, továbbá f legyen folytonos a ϕ([a, b]) intervallumon. Ekkor ϕ(b) f(u)du b f(ϕ(x)) ϕ (x)dx. ϕ(a) a 7.. Tétel. (Parciális integrálás szabálya határozott integrálra) Legyen f és g függvény az [a, b] intervallumon differenciálható és f, g függvények legyenek Riemann-integrálhatók az [a, b]- n. Ekkor b a f(x)g (x)dx 7.5. Improprius integrál [ ] b f(x) g(x) a b Végtelen intervallumon értelmezett függvények integrálása: a f (x) g(x)dx Definíció. Legyen f : [a, ) R olyan függvény, amely integrálható minden [a, x] intervallumon, ahol x > a. Azt mondjuk, hogy az a f(x)dx improprius integrál konvergens, ha létezik a véges határérték. Ekkor definíció szerint a β lim f(x)dx β a β f(x)dx : lim f(x)dx. β a 7.5. Definíció. Legyen f : (, b] R olyan függvény, amely integrálható minden [x, b] intervallumon, ahol x < b. Azt mondjuk, hogy az b f(x)dx improprius integrál konvergens, ha létezik a b lim f(x)dx α α

129 7.5. IMPROPRIUS INTEGRÁL 9 véges határérték. Ekkor definíció szerint b f(x)dx : b lim f(x)dx. alpha α 7.6. Definíció. Ha az f függvény integrálható minden véges [x, y] intervallumon és létezik a véges β lim lim f(x)dx α β α határérték, akkor β f(x)dx : lim lim f(x)dx. α β α Nem korlátos függvény integrálása: 7.7. Definíció. Legyen f : (a, b] R nem korlátos függvény az a pont környezetében. Tegyük fel, hogy bármely x (a, b] esetén f integrálható az [x,b] intervallumon. Akkor mondjuk, hogy az b a f(x)dx improprius integrál konvergens, ha létezik a véges határérték. Ekkor definíció szerint b a b lim ε 0 + a+ε f(x)dx b f(x)dx : lim ε 0 + a+ε f(x)dx Definíció. Legyen f :[a, b) R nem korlátos függvény a b pont környezetében. Tegyük fel, hogy bármely x [a, b) esetén f integrálható az [a,x] intervallumon. Akkor mondjuk, hogy az b a f(x)dx improprius integrál konvergens, ha létezik a véges határérték. Ekkor definíció szerint b a lim ε 0 + b ε a f(x)dx : lim ε 0 + f(x)dx b ε a f(x)dx.

130 0 7. FEJEZET. HATÁROZOTT INTEGRÁL, IMPROPRIUS INTEGRÁL 7.9. Megjegyzés. Ha az f :[a, b] R függvény valamely c (a, b) belső pont környezetében nem korlátos, akkor az integrál intervallum szerinti additivitását kihasználva két, az előző definíciók alapján számolható improprius integrál összegére bontható az b a f(x)dx improprius integrál: b f(x)dx c b f(x)dx+ f(x)dx. a a c

131 8. fejezet Határozott integrál és improprius integrál kiszámítása 8.. Feladat. Legyen f(x) x x [0,0]. Osszuk a [0, 0] intervallumot 5 egyenlő részre. Legyen τ 5 a fenti felosztás osztópontjaiból álló felosztás. Legyen ξ R 5 és ξ i az i-edik részintervallum felezőpontja. a) Számoljuk ki az s(f, τ 5 ) alsó- és S(f, τ 5 ) felső Darboux-közelítő összeget! b) Számoljuk ki az σ(f, τ 5, ξ) Riemann-féle közelítő összeget! c) Írjuk fel a fenti mennyiségeket általánosan, ha a [0, 0] intervallumot n egyenlő részre osztjuk. (Számoljuk ki a határértékeiket ha n.) a) x 0 0, x, x 4, x 6, x 4 8, x 5 0 Mivel f a [0, 0] intervallumon (és az R-en is) szigorúan monoton növő, ezért Tehát M i sup {f(x) x i x x i } f(x i ) és m i inf {f(x) x i x x i } f(x i ) i,...,5. és s(f, τ 5 ) 5 i m i (x i x i ) } {{ } 5 f(x i ) ( ) i ( ) S(f, τ 5 ) M i (x i x i ) f(x } {{ } i ) ( ) i i ( )

132 8. FEJEZET. HATÁROZOTT INTEGRÁL GYAKORLAT A fenti két formula geometriai jelentését az alábbi ábrán szemléltethetjük. b) ξ, ξ, ξ 5, ξ 4 7, ξ 5 9 s(f, τ 5 ) S(f, τ 5 ) 5 5 σ(f, τ 5, ξ) f(ξ i ) (x i x i ) f(ξ } {{ } i ) ( ) i i 4 ( ) Ezt a mennyiséget is szemléltethetjük az előzőekhez hasonlón: σ(f, τ 5, ξ) c) x 0 0, x 0 n, x 0 n,..., x k k 0 n,..., x n 0 s(f, τ n ) n i 0 n m i (x i x i ) 0 } {{ } n 0 n n i 0 n 0 0 n n i ( ) i 0 0 n n n i0 f(x i ) 0 n ( ) i 0 0 n n n (i ) 0 n i ( 0 n ) n 0 n

133 és hasonlóan S(f, τ n ) n i 0 n M i (x i x i ) 0 } {{ } n 0 n n i0 n i ( ) i+ 0 0 n 0 n n n i0 f(x i ) 0 n n i ( 0 n ) i ( ) i n n n 0 n. Továbbá ξ k (k ) 0 n +k 0 n (k ) 5 n k,..., n d) σ(f, τ n, ξ) n i 0 n f(ξ i ) (x i x i ) 0 } {{ } n 0 n n i0 n i ( ) i+ 5 0 n n n 5 n i0 (i ) 5 n 0 n n i ( 5 n ) i ( ) i 0 0 n n 5 0 n 0 n. lim n) n 0 lim n n 0 0 n lim 0 ) 0 L H 0 n n 0 n 0 ( 0 ) n 0 lim lim n 0 n ln 0 n n 0 n }{{} ln 0 ln. Hasonlóan számolható S(f, τ n ) és σ(f, τ n, ξ) határértéke is. Abból a tényből, hogy lim S(f, τ n ) lim s(f, τ n ) illetve hogy létezik lim σ(f, τ n, ξ) még n n n nem következne, hogy f Riemann-integrálható (hiszen nem az összes τ felosztásra és az összes ξ i közbeeső pont-rendszerre ellenőríztük), de mivel f folytonos az intervallumon, ezért integrálható és így 0 0 x dx 0 ln. 8.. Feladat. Számítsuk ki az alábbi határozott integrálokat! a) x +x +x+dx 0 0 [ x x +x 4 +x+dx 4 +x + x +x ] 0 ( ) ( )

134 4 8. FEJEZET. HATÁROZOTT INTEGRÁL GYAKORLAT b) π sin xdx 0 Első megoldás: π 0 sin xdx π 0 sin x sin xdx [ ] π cos x Második megoldás: π 0 sin xdx π Primitív függvény meghatározása: sin xdx 0 ( cos x) sin xdx t dt cos 0 cos π + [ t ] 0 π sin x sin xdx ( cos x) sin xdx sin xdx cos x sin xdx cos x+ t dt t cos x, x [ π, π ] dt sin xdx cos x+ t +C cos x+ cos x+c. 0 sin xdx Most már alkalmazhatjuk a Newton-Leibniz formulát: [ cos x+ ] π cos x cos π + π ( cos0+ cos ) cos 0 0 π 0 cos x sin xdx t cos x, x [0, π ] [ π, π ] dt sin xdx 0+0. t cos x cos 0 t cos x cos π 0. c) e x x dx Első megoldás: e x x dx [ ] x e x f(x) x g (x) e x f (x) 6x g(x) ex xe xdx 6 e 4 6 e 4 xe xdx

135 5 Második megoldás: e x x dx 6 (e 4 e 4 ) 6 (e 4 e 4 ) (e 4 +e 4 )+ [ ] xe xdx 6 (e 4 e 4 ) xex f(x) x g (x) e x + f (x) g(x) ] ex [ 4 ex e x dx 5 4 e4 9 4 e 4. Primitív függvény meghatározása: e x x dx x e x xe xdx f(x) x g (x) e x f (x) 6x g(x) ex x e x xex + 4 ex +C. x e x xe xdx x e x xex + f(x) x g (x) e x f (x) g(x) ex e x dx Most már alkalmazhatjuk a Newton-Leibniz formulát: [ x e x xex + ] 4 ex 4 e4 e4 + ( 4 e4 4 e 4 + e 4 + ) 4 e e4 9 4 e Feladat. Számítsuk ki az alábbi improprius integrálokat! a) x dx x β dx lim β [ ] β dx lim ln x lim x β β ln β ln } {{ } }{{} 0 Az improprius integrál nem létezik, a függvény impropriusan nem integrálható a [0, ) intervallumon.

136 6 8. FEJEZET. HATÁROZOTT INTEGRÁL GYAKORLAT b) x dx dx lim x β β [ dx lim ] β lim ( β ( x β x )) lim β β β }{{} 0. c) 0 e x dx 0 e x dx lim 0 α α [ ] 0 ( e x dx lim e x lim e 0 e α). α α α d) x dx 0 Mivel az f(x) x függvény a x 0 pont környezetében nem korlátos, így 0 dx lim x ε ε [ dx lim ] x lim x ε 0 + ε ε 0 +( ε). e) 4 x dx 0 Mivel az f(x) 4 x 0 dx lim 4 x ε 0 + ε 0 függvény az x pont környezetében nem korlátos, így dx 4 x Határozzuk meg a primitív függvényt: dx 4 x ( ) dx x t dt arcsin t+c arcsin x +C. t x dt dx [ lim arcsin x ] ε lim ε ε ε 0 arcsin arcsin 0 + } {{ π }. π

137 7 f) π 0 cos x dx Mivel az f(x) cos x függvény az x π π 0 dx lim cos x ε 0 + lim ε 0 + π ε 0 dx+ lim cos x ε 0 + tg( π ε) tg 0 } {{ } }{{} + lim ε π π +ε pont környezetében nem korlátos, így [ ] π ε dx lim tg x cos x ε }{{} tg π tg( π +ε) 0 } {{ } + lim ε 0 + [ ] π tg x π +ε Az improprius integrál nem létezik, a függvény impropriusan nem integrálható a [0, π] intervallumon.

138 8 8. FEJEZET. HATÁROZOTT INTEGRÁL GYAKORLAT

139 9. fejezet Határozott integrál alkalmazásai, Differenciálegyenletek 9.. Határozott integrál alkalmazásai 9... Területszámítás a) Ha f : [a, b] R + 0 és f Riemann integrálható az [a, b] intervallumon, akkor az f függvény [a, b] intervallum fölé eső darabja, az x -tengely és az x a illetve az x b egyenesek által határolt síkidom területe, a múltórai definíció alapján: T b a f(x) dx. b) Ha f : [a, b] R 0 és f Riemann integrálható az [a, b] intervallumon, akkor az f függvény [a, b] intervallum fölé eső darabja, az x -tengely és az x a illetve az x b egyenesek által határolt síkidom területe: b T f(x) dx. a c) Ha f : [a, b] R függvény az [a, b] intervallumban előjelet vált és f Riemann integrálható az [a, b] intervallumon, akkor az f függvény [a, b] intervallum fölé eső darabja, az x -tengely és az x a illetve x b egyenesek által határolt síkidom területe, az integrál intervallum szerinti additivitása alapján, kiszámítható az előző két típusba eső területek összegeként. d) Ha f, g :[a, b] R függvények az [a, b] intervallumon Riemann integrálhatók és f(x) g(x), (x [a, b]), akkor a két függvény [a, b] intervallum fölé eső darabja, az x a és az x b egyenesek által határolt síkidom területe: b T g(x) f(x)dx. a 9

140 40 9. FEJEZET. INTEGRÁL ALKALMAZÁSAI, DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 9... Görbe ívhossza 9.. Definíció. Folytonos görbe ívhosszán értjük a görbéhez írt törött vonalak hosszának szuprémumát, feltéve, hogy ez létezik. Legyen adott a görbe az [a, b] intervallumon az y f(x) egyenlettel, ahol f(x) folytonosan differenciálható [a, b]-n. Ekkor a görbe ívhossza: s b a +(f (x)) dx. Ha a görbének létezik ívhossza, akkor rektifikálhatónak nevezzük Forgástest térfogata 9.. Tétel. Az f : [a, b] R + 0 folytonos függvény grafikonjának x-tengely körüli megforgatásával nyert forgástest térfogata: b V x π f (x)dx. a 9.. Tétel. Az f : [a, b] R, (a, b > 0) kölcsönösen egyértelmű, folytonos függvény grafikonjának y-tengely körüli megforgatásával nyert forgástest térfogata: V y π f(b) f(a) f (y)dy.

141 9.. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Forgásfelület felszíne 9.4. Tétel. Az f :[a, b] R + 0 folytonosan differenciálható függvény grafikonjának x-tengely körüli megforgatásával nyert forgásfelület felszíne: b A π a f(x) +(f (x)) dx. 9.. Differenciálegyenletek 9.5. Definíció. Az olyan egyenletet, melyben az ismeretlen egy függvény függvényegyenletnek nevezzük Definíció. Az függvényegyenletet, melyben az ismeretlen függvény deriváltja, vagy deriváltjai szerepelnek differenciálegyenletnek nevezzük Differenciálegyenletek osztályozása 9.7. Definíció. Ha az ismeretlen függvény egyváltozós valós függvény, akkor a differenciálegyenletet közönséges differenciálegyenletnek nevezzük Definíció. Ha az ismeretlen függvény többváltozós valós függvény, akkor a differenciálegyenletet parciális differenciálegyenletnek nevezzük Definíció. A differenciálegyenletet lineárisnak nevezzük, ha az egyenletben mind az ismeretlen függvény, mind annak deriváltjai csak az első hatványon szerepelnek és nem ezek szorzatai valamint irracionális és transzcendens függvényei nem fordulnak elő Definíció. A differenciálegyenletet n-edrendűnek nevezzük, ha az ismeretlen függvény deriváltjai közül az egyenletben az n-edik derivált a legmagasabbrendű. 9.. Definíció. A differenciálegyenletet homogénnak nevezzük, ha nincs benne konstans illetve olyan tag, amely csak a független változótól függ. (Azaz a differenciál egyenlet minden tagja tartalmazza az ismeretlen függvényt, vagy annak valamelyik deriváltját.) Ha a differenciálegyenlet nem homogén, akkor inhomogénnak nevezzük.

142 4 9. FEJEZET. INTEGRÁL ALKALMAZÁSAI, DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 9... Differenciálegyenlet megoldásai 9.. Definíció. A differenciálegyenlet megoldása olyan függvény, amely a deriváltjaival együtt kielégíti a differenciálegyenletet. 9.. Definíció. Az n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása olyan függvény, a- mely a deriváltjaival együtt kielégíti a differenciálegyenletet és pontosan n darab, egymástól független szabad paramétert tartalmaz Definíció. Az n-edrendű differenciálegyenlet partikuláris megoldása egy olyan függvény, amely a deriváltjaival együtt kielégíti a differenciálegyenletet és legfeljebb n darab, egymástól független szabad paramétert tartalmaz Definíció. A differenciálegyenlet szinguláris megoldása olyan függvény, amely a deriváltjaival együtt kielégíti a differenciálegyenletet, de nem része az általános megoldásnak A kezdetiérték probléma 9.6. Definíció. A kezdetiérték probléma (KÉP) egy differenciálegyenletből és egy vagy több kezdeti feltételből álló rendszer, melynek megoldása során a differenciálegyenlet azon partikuláris megoldásait keressük, melyek kielégítik a kezdeti feltételeket Megjegyzés. A kezdeti feltételek általában megadják a keresett függvény illetve deriváltjainak értékét egy rögzített pontban. (Azaz olyan partikuláris megoldást keresünk, amely átmegy egy adott ponton. Esetleg olyat, amely a megadott pontban megadott meredekségű érintővel rendelkezik, stb.) 9.. Feladatok 9.. Feladat. Számoljuk ki az f(x) cos x függvény szubgrafikonjának területét a [ π 4, π 4 ] intervallumon és az [ π, π] intervallumon! Az alábbi ábrán mindkét szubgrafikont bejelöltük. Először vizsgáljuk a [ π 4, π 4 ] intervallumot. Itt a függvény csak nemnegatív értékekkel rendelkezik. Így a terület az alábbi határozott integrállal számolható: T π 4 π 4 cos xdx [sin x] π 4 π 4 sin π ( 4 sin π ) 4 +.

143 9.. FELADATOK Megjegyzés. A feladat megoldása során kihasználhattuk volna, hogy a síkidom az y-tengelyre szimmetrikus. Ekkor elég lett volna a [ 0, π 4 ] intervallumon számolni. A [ π, π] intervallumon a függvény nem állandó előjelű. Mivel a függvény folytonos, ezért csak ott válthat előjelet, ahol f(x) 0. cos x 0 x π +k π, k Z. A fenti zérushelyek közül csak x π esik a kérdéses intervallumba. Itt a függvény valóban előjelet is vált, így a síkidom területe az alábbi módon számolható: T π π π cos xdx π cos xdx [sin x] π π [sin x] π π sin π sin π sin π +sin π. 9.. Feladat. Számoljuk ki az görbék által közrezárt síkidom területét! y x x 5 y x x+ Metszéspontok meghatározása: Olyan P (x 0, y 0 ) pontokat keresünk, melyek koordinátái mindkét parabola egyenletét kielégítik, azaz szeretnénk megoldani az y x x 5 y x x+ egyenletrendszert. Ahonnan a baloldalak egyenlőségéből követketik, hogy a kérdéses pont x koordinátájára: x x 5 x x+ x +x 6 0. A másodfokú egyenlet megoldóképletét felírva: x, ± ±7 4 },5 A metszéspontok y koordinátája is egyszerűen meghatározható lenne, de a feladat megoldásához nincs rá szükség. Könnyen látható, hogy a két metszéspont között f(x) : x x 5 x x+ : g(x). A terület tehát az alábbi formula alapján számolható:,5,5 [ T f(x) g(x) dx x x+6 dx x x +6x ],5,5.

144 44 9. FEJEZET. INTEGRÁL ALKALMAZÁSAI, DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 9.. Feladat. Számoljuk ki az f(x) ln x függvény ívhosszát az x és x e abszisszájú pontjai között! Készítsünk ábrát! Az ívhossz kiszámításához szükség lesz a függvény deriváltjára: f (x) x. Mivel a függvény a vizsgált intervallumon differenciálható, ezért az ívhossza az alábbi formula alapján számolható: s x e +(f (x)) dx + x dx x e x + x x [,e] x>0 dx e x + x dx A primitív függvény meghatározása: x + x dx t x + t x t t t t dt t t dt + t dt t t dt dx + (t ) (t+) dt t+ t dt t+ dt t+ ln t ln t+ +C x ++ ln x + x ++ +C. Visszaírva az ívhosszképletbe: [ x ++ ln( x + ) ] e ln( x ++) Feladat. Forgassuk meg az f(x) x függvény grafikonjának [0, ] intervallum fölé eső darabját az x-tengely körül! Számítsuk ki a kapott forgástest térfogatát! A szemléltetés kedvéért most is készíthetünk ábrát!

145 9.. FELADATOK 45 A forgástest térfogatképletét felírva: x V x π x f (x) dx π 0 [ x x dx π ] 0 9 π Feladat. Forgassuk meg az előző függvény grafikonját az y-tengely körül! Számítsuk ki a kapott forgástest térfogatát! A szemléltetés kedvéért most is készíthetünk ábrát! A térfogat kiszámításához a függvény f inverzét fogjuk használni: f(y) x y. A görbedarab végpontjainak ordinátái: y x 0 és y x. Ekkor a térfogat az alábbi formula alapján számolható: V y π y y [ y f (y) dy π y 4 5 dy π 5 0 ] π.

146 46 9. FEJEZET. INTEGRÁL ALKALMAZÁSAI, DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 9.6. Feladat. Vezessük le az M magasságú, r sugarú egyenes körkúp palástjára vonatkozó A π r r +m képletet, mint forgásfelület felszínét! A kúp egy, az origón átmenő µ meredekségű egyenes megforgatásával származtatható. Az egyenes meredeksége az alábbi ábráról olvasható le. Az egyenes meredeksége: µ r. Így a szakasz az f(x) r x függvény [0, m] intervallumra m m vett leszűkítése. Ekkor f (x) r keresett felszín: m m A π 0 π r m r m x + r r dx π m m + r m m 0 x dx π r [ ] m m + r m x 0 + r m +r π r m π r m m m +r Feladat. Számítsuk ki az f(x) x függvény [, ] intervallum fölötti darabjának x-tengely 4 körüli megforgatásával kapott forgásfelület felszínét. Az x-tengely körüli forgatással kapott felület felszínéhez: f(x) x, f (x) x. Így a forgásfelület felszíne: A x π π π x x 4 4 f(x) +(f (x)) dx x + 4x dx x+ dx 4

147 9.. FELADATOK 47 A primitív függvény meghatározása: x+ 4 dx t x+ 4 dt dx t t dt +C (x+ 4 ) +C. Visszaírva a felszín-képletbe: [ π (x+ ] ( (9 4 ) 4 ) π 4 4 ) 4 π ( 7 8 ) 9 6 π.

148 48 9. FEJEZET. INTEGRÁL ALKALMAZÁSAI, DIFFERENCIÁLEGYENLETEK

149 0. fejezet Differenciálegyenletek 0.. Elsőrendű differenciálegyenletek 0... Szétválasztható változójú differenciálegyenletek Általános alak: y g(x) h(y), ahol g és h intervallumon értelmezett folytonos függvények. 0.. Feladat. Oldjuk meg az y x y differenciálegyenletet! A változók szétválasztásához y-nal kell osztanunk. Ezt csak akkor tehetjük meg, ha y 0. i) ha y 0 y 0 y 0 szinguláris megoldás. ii) ha y 0 y x y y y dx x dx y dy x +C (C R) ln y x +C y e x +C e C e x { ±e C Legyen C : 0 Ekkor y C e x (C R) Az y(x) C e x (C R) alakban adott függvénysereget nevezzük a fenti differenciálegyenlet általános megoldásának. Könnyen látható, hogy a C 0 esettel beépítettük az y 0 szinguláris megoldást is. 49

150 50 0. FEJEZET. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 0.. Feladat. Oldjuk meg az y x y differenciálegyenletet! A feladatot a változók szétválasztásával oldjuk meg: y y x y y dx x dx y dy x +C (C R) y x +C (C R) y x +C C : C (C,C R) x +y C (C R) y ± C x (C R) 0.. Feladat. Oldjuk meg a (x )y y y differenciálegyenletet! A változók szétválasztásához (y y)-nal kell osztanunk. Ezt csak akkor tehetjük meg, ha y y 0. i) ha y 0 y 0 (x ) y 0 szinguláris megoldás. ii) ha y y 0 (x ) 0 y szinguláris megoldás. iii) ha y y 0 y y y y x x dx y y dx y(y ) dy ln x +C (C R) y dy y dy ln y ln y ln x +C (C R) ln y y ln (x ) +C (C R) y (x ) +C eln (C R) y y y ec (x ) C : ±e C (C R) Ekkor y y y C x (C R\{0}) C x (C R\{0}) C x (C R\{0})

151 0.. ELSŐRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 5 A C 0 eset hozzávételével az y szinguláris megoldás beolvasztható az általános megoldásba, így a teljes megoldás: y C x (C R) Feladat. Adjuk meg az } y (x) x y(x) kezdetiérték probléma megoldását! y(0) 5 Először megoldjuk az y (x) x y(x) differenciálegyenletet. Majd a differenciálegyenlet általános megoldásából kiválasztjuk azt a partikuláris megoldást, amelyre teljesül a kezdeti feltétel. A differenciálegyenlet általános megoldását az 0.. feladatban már felírtuk: y(x) C e x. (C R) Az általános megoldás paraméterét a kezdeti feltétel felhasználásával kiküszöbölhetjük: y(0) C e 0 5 C 5. Így a kezdetiérték probléma megoldása az y(x) 5 e x függvény Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek Általános alak: y +p(x) y q(x) 0.5. Feladat. Oldjuk meg az y +y cos x sin x cos x differenciálegyenletet! I. A homogén egyenlet: Y + Y cos x 0. Megoldása során a változók szétválasztásához Y -nal kell osztani. Ezt csak akkor tehetjük meg, ha Y 0. i) ha Y 0 Y 0 Y 0 a homogén egyenlet szinguláris megoldása. ii) ha Y 0 Y +Y cos x 0 Y Y cos x Y cos x Y Y Y dx cos x dx Y dy sin x+c (C R) ln Y sin x+c (C R) Y e sin x+c e C e sin x, C : ±e C Y C e sin x (C R\{0})

152 5 0. FEJEZET. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Könnyen látható, hogy a szinguláris megoldás a C 0 eset megengedésével az általános megoldásba beolvasztható. A homogén egyenlet általános megoldása tehát II. Állandó variálásának módszere: Y ált hom C e sin x. (C R) Keressük a megoldást y c(x) e sin x alakban. Ekkor Ezeket visszahelyettesítve az egyenletbe: y c (x) e sin x c(x) e sin x cos x c (x) e sin x c(x) e sin x cos x + c(x) e sin x cos x sin x cos x } {{ } } {{ } y y c(x) sin x cos x e sin x dx c (x) e sin x sin x cos x c (x) sin x cos x e sin x c(x) c (x) dx sin x cos x e sin x dx t e t dt t e t e t dt t e t e t +C t sin x dt cosxdx f (t) e t g(t) t f(t) e t g (t) sin x e sin x e sin x +C e sin x (sin x )+C. Így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása felírható az alábbi alakban: y part inh Előadáson ismertetett tétel alapján: y ált inh y part inh esin x (sin x ) e sin x sin x +Y ált 0.6. Feladat. Oldjuk meg az y y x x differenciálegyenletet! hom sin x +C e sin x (C R). I. A homogén egyenlet: Y Y 0. Megoldása során a változók szétválasztásához Y -nal x kell osztani. Ezt csak akkor tehetjük meg, ha Y 0. i) ha Y 0 Y 0 Y 0 a homogén egyenlet szinguláris megoldása. ii) ha Y 0 Y Y x 0 Y Y Y x Y Y x x dx Y dx Y dy ln x +C (C R) ln Y ln x +C (C R) Y e ln x +C e C e ln x x e C, C : ±e C Y C x (C R\{0})

153 0.. ELSŐRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 5 Könnyen látható, hogy a szinguláris megoldás a C 0 eset megengedésével az általános megoldásba beolvasztható. A homogén egyenlet általános megoldása tehát II. Állandó variálásának módszere: Y ált hom C x Keressük a megoldást y c(x) x alakban. Ekkor Ezeket visszahelyettesítve az egyenletbe: (C R). y c (x) x+c(x) c (x) x+c(x) c(x) x } {{ } } {{ } x x y y c(x) c (x) x x c (x) x c (x) dx x dx x +C Így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása felírható az alábbi alakban: Előadáson ismertetett tétel alapján: y ált inh y part inh y part inh x ált +Yhom x x x +C x (C R) Másodrendű differenciálegyenletek 0... Másodrendű tiszta-hiányos differenciálegyenlet Általános alak: y f(x) Megoldási módszer: kétszeres integrálás 0.7. Feladat. Oldjuk meg az y ln x differenciálegyenletet! y y dx ln x dx ln x dx x ln x x+c (C R) f (x) g(x) ln x y y dx x ln x x+c dx f(x) x g (x) x x ln x dx x dx+ C dx f (x) x g(x) ln x x ln x f(x) x g (x) x x dx x +C x x ln x 4 x x +C x+c x ln x 4 x +C x+c. (C,C R)

154 54 0. FEJEZET. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 0... Másodrendű homogén lineáris állandó-együtthatós differenciálegyenlet Általános alak: A y +B y +C y 0 (A, B, C R) Megoldási módszer: A megoldást y e λx alakban keressük Feladat. Oldjuk meg az y +y 5y 0 differenciálegyenletet! Keressük a megoldást y e λx alakban! Ekkor Visszahelyettesítve az egyenletbe: y e λx y λ e λx y λ e λx λ e λx +λ e λx 5e λx 0 e λx }{{} 0 (λ +λ 5 ) 0 λ +λ 5 0 (Karakterisztikus egyenlet) λ, ± 4+60 ±8 Tehát a két lineárisan független partikuláris megoldás: y e 5x y e x. ±4 λ 5 λ. Az általános megoldás ezen partikuláris megoldások lineáris kombinációiként kapható: y C e 5x +C e x. (C,C R) 0.9. Feladat. Oldjuk meg az y +y +y 0 differenciálegyenletet! Keressük a megoldást y e λx alakban! Ekkor Visszahelyettesítve az egyenletbe: y e λx λ e λx +λ e λx +e λx 0 e λx }{{} 0 (λ +λ+ ) 0 y λ e λx y λ e λx λ +λ+ 0 (Karakterisztikus egyenlet)

155 0.. ELSŐRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 55 λ, ± 4 4 : λ. Ekkor az előadáson igazolt tétel alapján a két lineárisan független partikuláris megoldás: y e x y x e x. Az általános megoldás ezen partikuláris megoldások lineáris kombinációiként kapható: y C e x +C x e x. (C,C R) 0.0. Feladat. Oldjuk meg az y +4y +9y 0 differenciálegyenletet! Keressük a megoldást y e λx alakban! Ekkor Visszahelyettesítve az egyenletbe: y e λx λ e λx +4λ e λx +9e λx 0 e λx }{{} 0 (λ +4λ+9 ) 0 y λ e λx y λ e λx λ +4λ+9 0 (Karakterisztikus egyenlet) D < 0 Ekkor legyen: α : b a 4 4ac b 0 β : 5. a Az előadáson igazolt tétel alapján a két lineárisan független partikuláris megoldás legyen: y e αx cos βx e x cos 5x és y e αx sin βx e x sin 5x Így az általános megoldás: y C e x cos 5x+C e x sin 5x. (C,C R) 0.. Feladat. Adjuk meg az y +4y +9y 0 y(0) y (0) 5 kezdetiérték probléma megoldását!

156 56 0. FEJEZET. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Először megoldjuk az y +4y +9y 0 differenciálegyenletet. Majd a differenciálegyenlet általános megoldásából kiválasztjuk azt a partikuláris megoldást, amelyre teljesülnek a kezdeti feltétel. A differenciálegyenlet általános megoldását az 0.9. feladatban már felírtuk: y C e x cos 5x+C e x sin 5x. (C,C R) Az általános megoldás paramétereit a kezdeti feltételek felhasználásával kiküszöbölhetjük: y(0) C e 0 cos 0+C e 0 sin 0 C C Mivel y C 4xe x cos 5x 5C e x sin 5x+C 4x e x sin 5x+C 5 e x cos 5x, ezért y (0) C 5 5 C Így a kezdetiérték probléma megoldása az y(x) e x cos 5x+ e x sin 5x függvény. AA

157 Tárgymutató Egész számok halmaza, Racionális számok halmaza, Természetes számok halmaza, Valós számok halmaza, 4 57

158 58 TÁRGYMUTATÓ

159 Tartalomjegyzék. Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok Az abszolútérték és tulajdonságai Számhalmaz alsó és felső határa Nevezetes összefüggések Számsorozatok alaptulajdonságai 9.. Sorozatok jellemzése Monotonitás Korlátosság Konvergencia Nevezetes sorozatok.. Nevezetes sorozatok határértéke a (a n C, n N, C R + ) konvergenciája a (a n, n n N ) konvergenciája a (a n n p, n N, p N ) konvergenciája a (a n p n, n N, p N ) konvergenciája További nevezetes sorozatok Műveleti tulajdonságok Nullsorozatok Műveleti tulajdonságok Konvergens sorozatokra vonatkozó műveleti tulajdonságok Tágabb értelemben konvergens sorozatokra vonatkozó műveleti tulajdonságok 4. Határérték számítás 5 5. Nevezetes függvények, Függvények határértéke 5.. Függvények Nevezetes függvények Függvények határértéke 9 7. Folytonosság, invertálhatóság Folytonosság Műveletek folytonos függvényekkel Folytonos függvények tulajdonságai További nevezetes függvények és inverzeik

160 60 TARTALOMJEGYZÉK 8. Függvények inverze 5 9. Differenciálszámítás Differenciálhatóság Deriválási szabályok Elemi függvények deriváltjai Deriválás Logaritmikus deriválás Érintő egyenlete Differenciálszámítás alkalmazásai I Monotonitás és szélsőértékek Konvexitás és inflexió Teljes függvényvizsgálat L Hospital szabály Taylor-formula A differenciálszámítás középérték-tételei Differenciálszámítás alkalmazásai II. 85.Integrálszámítás 9.. Primitív függvény, határozatlan integrál Helyettesítéses integrálás Parciális integrálás Feladatok Speciális függvényosztályok integrálása Racionális függvények integrálása Elemi törtfüggvények integrálása Trigonometrikus függvények integrálása I Trigonometrikus függvények integrálása II Irracionális függvények integrálása Speciális függvényosztályok integrálása II Speciális függvényosztályok integrálása III. 5 7.Határozott integrál, improprius integrál 7.. Határozott integrál A Riemann-integrálhatóság feltételei A határozott integrál tulajdonságai A határozott integrál kiszámítása Improprius integrál Határozott integrál gyakorlat

161 TARTALOMJEGYZÉK 6 9.Integrál alkalmazásai, Differenciálegyenletek Határozott integrál alkalmazásai Területszámítás Görbe ívhossza Forgástest térfogata Forgásfelület felszíne Differenciálegyenletek Differenciálegyenletek osztályozása Differenciálegyenlet megoldásai A kezdetiérték probléma Feladatok Differenciálegyenletek Elsőrendű differenciálegyenletek Szétválasztható változójú differenciálegyenletek Másodrendű differenciálegyenletek

162 6 TARTALOMJEGYZÉK

163 Irodalomjegyzék [] Bárczi Barnabás: Integrálszámítás [] Császár Ákos: Valós Analízis I. [] Eisner Tímea: Bevezetés az analízisbe II. [4] Fekete Zoltán, Zalay Miklós: Többváltozós függvények analízise [5] Gádor Endréné et al.: Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából / Zöld összefoglaló feladatgyűjtemény / [6] Kovács József - Takács Gábor - Takács Miklós: Analízis [7] Németh József: Analízis példatár I. [8] Németh József: Analízis példatár II. [9] Németh József: Integrálszámítás példatár [0] Pap Margit: Integrálszámítás [] Pethőné Vendel Teréz: Fejezetek a matematikai analízis köréből [] Schipp Ferenc: Analízis I. [] Schipp Ferenc: Analízis II. [4] Szabó Tamás: Kalkulus I. példatár [5] Szabó Tamás: Kalkulus II. példatár 6