e s gyakorlati alkalmaza sai

Átírás

1 Sze lso e rte k-sza mı ta s e s gyakorlati alkalmaza sai Szakdolgozat ı rta: Pallagi Dia na Matematika BSc szak, elemzo szakira ny Te mavezeto : Svantnerne Sebestye n Gabriella Tana rsege d Alkalmazott Analı zis e s Sza mı ta smatematikai Tansze k Eo tvo s Lora nd Tudoma nyegyetem, Terme szettudoma nyi Kar Budapest

2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 2. Differenciálható függvény, differenciahányados 5 3. Differenciálás - egyváltozós eset A deriváltfüggvény Deriváltak kiszámítása a definíció alapján Jelölések A derivált ábrázolása Differenciálható függvény. Jobb (bal) oldali deriváltak Minden differenciálható függvény folytonos Mikor nem létezik egy függvény adott pontbeli deriváltja? A deriváltra vonatkozó Bolzano-tétel Deriválási szabályok Hatvány, szorzat, összeg, különbség Szorzat és hányados Másod- és magasabbrendű deriváltak A trigonometrikus függvények deriváltja A szinuszfüggvény deriváltja A koszinuszfüggvény deriváltja A láncszabály. Paraméteres egyenletek Összetett függvények deriváltja A láncszabály ismételt alkalmazása A derivált alkalmazásai Függvény szélsőértékei Lokális szélsőértékek A szélsőértékek megkeresése A Lagrange-féle középértéktétel Monoton függvények és az első derivált teszt Növekvő és csökkenő függvények A konvexitás vizsgálata Inflexiós pontok A második derivált és a lokális szélsőértékek Függvényvizsgálat 22 2

3 14.Alkalmazott optimalizációs problémák Geometriai alkalmazások Deriváltak a gazdaságtanban A közgazdaságtanhoz kapcsolódó feladatok megoldási háttere: Üzleti alkalmazások Összefoglalás 28 3

4 1. Bevezetés Már a 17. századtól jelentős matematikai problémának számított a görbék érintőjének berajzolása, illetve annak pontos definiálása. Ezt nevezzük deriváltnak, ami az analízis egyik legfontosabb fogalma. A sebesség, a gyorsulás, a betegségek terjedése például egyaránt deriváltként határozható meg. A derivált számítására vezethetjük vissza, amikor a hatékonyságot maximalizáljuk, a legkifizetődőbb formájú, adott űrtartalmú pohár méretét vagy egy régészeti lelet korát próbáljuk megállapítani és még számos más feladat megoldásában. A szakdolgozatom a függvényelemzésről szól, azon belül is a szélsőértékekre fókuszál. Bevezetem az alapvető definíciókat, tételeket, állításokat, valamint rámutatok az ezekből adódó következtetésekre. Az ismertetett szabályok segítségével általánosabbá és kezelhetőbbé válnak a bonyolultabb függvények. A célom a dolgozat megírásával, hogy érthetővé és világossá tegyem a matematika központi jelentőségű fogalmát, a differenciálást, és még azok számára is érdekessé váljon e fogalom, akik eddig csak névlegesen hallottak róla. Gyűjtőmunkám során számomra is számos terület került felfedezésre, mely izgalmasabbá és tanulságossá tette a folyamat bebarangolását. Bemutatom a derivált néhány fontos alkalmazását, valamint azt is, hogy hogyan lehet használni a függvények szélsőértékének megkeresésére, a függvénygrafikon felrajzolásához és elemzéséhez. Egy folytonos függvény szélsőértékeinek ismerete különböző optimalizálási feladatokra vezethetők vissza. A teljes függvényvizsgálat gyűjti össze a felhasznált következményeket. Végül gyakorlati példákon még szemléletessé próbálom tenni a derivált hasznosságát. Elsődleges kutatási területem a gazdaságtan irányában történt a korábbi tanulmányaim hatására. Optimalizálási feladatok megoldásai pedig az érdeklődés felkeltés céljából kerültek megjegyzésre. Véleményem szerint a költségek minimalizálása, a nyereség maximalizálása szinte mindannyiunk számára igen hasznos információ, valamint az üzleti életben, főleg a gyártás tervezésénél központi kérdés, hogy mekkora termékszám mellett leggazdaságosabb a termelési folyamat. 4

5 2. Differenciálható függvény, differenciahányados Rajzoljunk fel egy egyenes pályán egyenletesen mozgó pontszerű testet. Pályáját ábrázolhatjuk a számegyenesen. Az f függvény t idő múlva (a kezdőpillanattól) a test aktuális helyzetét mutatja. Így két tetszőleges pont közötti eltérést könnyen leolvashatjuk. Eredményül két-két értékből származó különbséget kapunk, mind a megtett út és mind az eltelt időre vonatkozóan. Ez a t 1 és t 2 időpillanat közötti elmozdulás és az időtartam hányadosa, azaz a test sebessége: v = f(t 2) f(t 1 ) t 2 t 1. (1) 1. ábra. Tehát a megtett út és az eltelt idő ismeretében átlagsebességet tudunk számolni. a Az eltelt időt minimalizálva megkapjuk a t 0 -beli pillanatnyi sebességet, amit határértékkel definiálhatunk. f(t 0 + h) f(t 0 ) lim h 0 h (2) 5

6 2. ábra. Ugyanígy járunk el, ha egy függvény adott P pontbeli érintőjét szeretnénk meghatározni. Az x 0 rögzített kezdőpontú húrt addig lehet csökkenteni a másik végpontjának az f függvényen való mozgatásával, míg szinte el nem fogy. 3. ábra. 6

7 1. Definíció (Görbe meredeksége, érintője). Az y = f(x) egyenletű görbe meredeksége a P (x 0,f(x 0 )) pontban: m = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h (3) (amennyiben a határérték létezik). A görbe P -beli érintője a P -n átmenő, m meredekségű egyenes. Nézzünk erre egy példát: 1. Példa. Az f(x) = 2x 2 10 függvény meredekségét szeretnénk az x = (3, 5) pontban meghatározni. Írjuk fel a képletet az x és az x-hez közeli x + h pontokra: m = 2 (3+h)2 10 ( ) h = 2 (9+6h+h2 ) 10 8 h = 2 h2 +12h h = 2 h Ha h 0 a szelő meredeksége 12-höz tart, hiszen: lim h 0 2 h + 12 = 12. Tehát a (3, 5) pontban a meredekség Differenciálás - egyváltozós eset A szelők meredekségének határértékeként kiszámíthatjuk egy görbe adott pontbeli érintőjét. Ezt a határértéket nevezzük deriváltnak, amely megadja, hogy hogyan változik a függvény az adott pontban A deriváltfüggvény 2. Definíció. Az f(x) függvény f (x) deriváltfüggvénye az a függvény, amely minden x számhoz az f(x + h) f(x) lim (4) h 0 h határértéket rendeli, amennyiben ez a határérték létezik. Ha az f függvény egy adott intervallum minden pontjában differenciálható, akkor az f függvény az intervallumon differenciálható függvény. Így az ezen pontokhoz a deriváltakat rendelő függvényt az f deriváltfüggvényének, vagy deriváltjának nevezzük Deriváltak kiszámítása a definíció alapján Jelölések Az y = f(x) függvény deriváltjára sokféle jelölés használatos. Például: 7

8 f (x) = y = dy dx = df dx = d dx f(x) = D(f)(x) = D xf(x). (5) A d/dx, illetve a D szimbólumokat deriválás-operátornak is nevezik. Az y és az f jelöléseket Newton, a d/dx alakúakat pedig Leibniz vezette be. A dy/dx kifejezést nem tekinthetjük törtnek A derivált ábrázolása Az f grafikonjának meredekségén - lehetőleg minél közelebbi pontokban - elvégzett becslések alapján ábrázolhatunk egy y = f(x) függvény deriváltját. Az eljárás során az így kapott (x, f (x)) pontokat folytonos vonallal kötjük össze, ami kiadja az y = f (x) deriváltfüggvényt, vagy legalább is annak viszonylag jó közelítését Differenciálható függvény. Jobb (bal) oldali deriváltak 3. Definíció (Jobb (bal) oldali derivált). Az f egyváltozós függvény a helyhez tartozó jobb (bal) oldali differenciálhányadosa vagy jobb (bal) oldali deriváltja a ( ) f(a + h) f(a) f(a + h) f(a) lim, lim (6) h 0 + h h 0 h határérték. f-et az a helyen jobbról (balról) differenciálhatónak mondjuk, ha az előző határérték létezik és véges. Az a helyhez tartozó jobb (bal) oldali derivált jele: f +(a) (f (a)). Értelemszerűen; egy adott pontban léteznie kell és meg kell, hogy egyezzen a jobb és bal oldali derivált ahhoz, hogy ott differenciálható legyen a függvény Minden differenciálható függvény folytonos A következő tétel a deriválhatóság ás a folytonosság kapcsolatát vizsgálja. 1. Tétel (Differenciálhatóság folytonosság). Ha az f függvény az x = c helyen differenciálható, akkor ott folytonos is. Ugyanez alkalmazható a jobb, illetve a bal oldali deriváltak esetében; ha egy pontban jobbról, illetve balról differenciálható a függvény, akkor ott jobbról, balról folytonos is. 1. Megjegyzés (Nem folytonos nem differenciálható). Ha egy függ - vény valamely pontban nem folytonos (például ugrás jellegű szakadása van), akkor ott nem lehet differenciálható. 2. Példa. Az y = x alsó egészrészfüggvény egyetlen olyan x = n helyen sem differenciálható, ahol n egész szám. 8

9 2. Megjegyzés. Az 1. tétel megfordítása nem igaz: abból, hogy egy függvény valamely pontban folytonos, nem következik, hogy ott differenciálható is. 3. Példa. Ellenpélda: y = x függvény az origóban nem differenciálható Mikor nem létezik egy függvény adott pontbeli deriváltja? Egy f(x) függvény az x 0 helyen akkor differenciálható, ha a P (x 0,f(x 0 ))) pontban a mindkét oldalról közelítő szelők meredeksége megegyezik és az nem a függőlegeshez tart. Lássuk külön-külön a kizáró eseteket: 1. Ha nem egyenlő a jobb és a baloldali derivált; 2. Ha a P Q szelők meredeksége megegyezik, viszont mindkét irányból -hez vagy -hez tart; 3. Ha a P Q szelők meredeksége a két oldalról -hez és -hez tart; 4. Ha a függvény az adott pontban nem folytonos A deriváltra vonatkozó Bolzano-tétel A Közbensőérték tulajdonságra alapoz az alábbi tétel, miszerint: ha f folytonos egy adott [a, b] zárt intervallumon, akkor ott felvesz minden értéket f(a) és f(b) között, azaz tetszőleges f(a) és f(b) közötti y 0 számhoz létezik x 0 [a, b], amelyre f(x 0 ) = y 0. Ezt használjuk ki a következőekben: 2. Tétel (Darboux tétele). Ha a és b olyan intervallum pontjai, amelyen az f függvény differenciálható, akkor az f deriváltfüggvény f (a) és f (b) között minden értéket felvesz. 4. Példa. Ellenpélda: az egységugrásfüggvény, amely mivel nem folytonos, így nem lehet egyetlen, minden valós számot tartalmazó értelmezési tartományú függvény deriváltfüggvénye. 4. ábra. 9

10 4. Deriválási szabályok 4.1. Hatvány, szorzat, összeg, különbség Az első szabály a konstans függvényekre vonatkozik. 1. Szabály (Konstans függvény deriváltja). Ha minden x esetén f(x) = c (ahol c egy állandó), akkor df dx = d (c) = 0. (7) dx A második szabály az x n alakú függvények deriváltját határozza meg. 2. Szabály (Pozitív egész kitevőjű hatványfüggvények deriváltja). Tetszőleges pozitív egész n esetén d dx xn = nx n 1. (8) A derivált tehát; az eggyel alacsonyabb kitevőjű függvény, ami az eredeti kitevővel van megszorozva. A harmadik szabály szerint egy függvény konstansszorosának deriváltja a függvény deriváltjának konstansszorosa. 3. Szabály (Függvény konstansszorosának deriváitja). Ha u az x változó differenciálható függvénye, c pedig állandó, akkor d (cu) = cdu dx dx. (9) A negyedik szabály két differenciálható függvény összegének deriváltját a függvények deriváltjainak összegével teszi egyenlővé. 4. Szabály (Összegfüggvény deriváltja). Ha u és v az x változó differenciálható függvényei, akkor az u + v függvény minden olyan pontban differenciálható, ahol u és v is differenciálható, az ilyen pontokban pedig d du (u + v) = dx dx + dv dx. (10) Hasonlóan járhatunk el a különbségfüggvény deriváltjának kiszámításakor; két differenciálható függvény különbségének deriváltja a deriváltfüggvények különbsége. 10

11 Szorzat és hányados 3. Megjegyzés. A szorzatfüggvények esetében a derivált kiszámítása nem áll fent az előzőek mintájára. 5. Szabály (Szorzatfüggvény deriváltja). Ha u és v az x változó differenciálható függvényei, akkor az uv függvény minden olyan pontban differenciálható, ahol u és v is differenciálható, az ilyen pontokban pedig d dv (u v) = u dx dx + v du dx. (11) Az uv függvény deriváltját tehát egy összegként határozzuk meg; amelynek egyik tagja u deriváltja és v-vel megszorozva, a másik pedig v deriváltjának és u-nak a szorzata. Más jelöléssel a szabály (uv) = uv +vu alakú, valamint még így írható fel: d dx [f(x)g(x)] = f(x)g (x) + g(x)f (x). (12) A hányados deriváltjánál is külön szabályt kell alkalmazni. 6. Szabály (Hányados deriváltja). Ha u és v egyaránt az x differenciálható függvényei, akkor az u/v függvény minden olyan pontban differenciálható, ahol v(x) 0 és u és v is differenciálható, az ilyen pontokban Függvényes jelölésben: d dx d ( u ) = v du dx u dv dx dx v v 2. (13) [ ] f(x) g(x) = g(x)f (x) f(x)g (x) g 2. (14) (x) 5. Másod- és magasabbrendű deriváltak Az y = f(x) függvény differenciálásával szintén egy függvényt kapunk(f (x)), így akár ezt is deriválhatjuk. Ekkor az f = (f ) egyenlőséget alkalmaztuk. Az f függvényt az f függvény második deriváltjának nevezzük, ez az első derivált deriváltja. Jelölésben: f (x) = d2 y dx 2 = d dx dy dx = dy dx = y = D 2 (f)(x) = Dxf(x). 2 (15) Ha y deriválható, akkor deriváltja - tehát az y = dy /dx = d 3 y/dx 3 függvény - az y harmadik deriváltja. Ez folytatható tovább; az y függvény n-edik deriváltját y (n) jelöli: 11

12 y (n) = d dx y(n 1) = dn y dx n = Dn y. (16) Az y = f(x) függvény második deriváltja arról ad felvilágosítást, hogy milyen gyorsan változik f grafikonjának meredeksége. 6. A trigonometrikus függvények deriváltja 6.1. A szinuszfüggvény deriváltja Az f(x)=sin(x) függvény deriváltjának meghatározásakor a szöget radiánban mérjük. 7. Szabály (A szinuszfüggvény deriváltja). A szinuszfüggvény deriváltja a koszinuszfüggvény. d (sin(x) = cos(x)). (17) dx 6.2. A koszinuszfüggvény deriváltja A koszinuszfüggvény deriváltját a cos(x + h) = cos(x) cos(h) sin(x) sin(h) (18) addíciós képlete és a már említett határértékek alapján határozzuk meg. 8. Szabály (A koszinuszfüggvény deriváltja). A koszinuszfüggvény deriváltja a szinuszfüggvény ellentettje. d (cos(x)) = sin(x). (19) dx 12

13 7. A láncszabály. Paraméteres egyenletek Az f og alakú összetett függvények deriválásánál a láncszabályt kell alkalmazni úgy, hogy a megfelelő helyeken vett deriváltakat szorozzuk össze Összetett függvények deriváltja 9. Szabály (Láncszabály). Ha az f(u) függvény differenciálható az u = g(x) helyen, a g(x) függvény pedig differenciálható az x helyen, akkor az (f g)(x) = f(g(x)) összetett függvény differenciálható az x helyen és (f g) (x) = f (g(x)) g (x). (20) Leibniz-féle jelölésben: ha y = f(u) és u = g(x), akkor dy dx = dy du du dx, (21) ahol a dy/du deriváltat az u = g(x) helyen kell kiszámítani. 5. Példa. Deriváljuk az f(x) = (sin(x 3 + 2)) 7 függvényt. Ekkor: f(a) = sin(a 7 ), f (a) = 7 a 6 és a g(b) = x 3 + 2, g (b) = 3 x 2. Megoldás: f (x) = 3 x 2 cos(x 3 + 2) 7 (sin(x 3 + 2)) A láncszabály ismételt alkalmazása A magasabb rendű deriváltakhoz hasonlóan a láncszabályt is alkalmazhatjuk többször egymás után. 13

14 8. A derivált alkalmazásai 8.1. Függvény szélsőértékei Egy folytonos függvény szélsőértékeire a deriváltjából következtethetünk. Ennek ismeretében már különféle optimalizálási feladatokat is meg tudunk oldani, azaz adott szituációban ki tudjuk választani a megoldás optimális (legjobb) módját. 4. Definíció (Abszolút maximum, abszolút minimum). Legyen f a D halmazon értelmezett függvény. Az f függvénynek a D halmaz valamely c pontjában abszolút maximuma van, ha f(x) f(c) minden x D esetén; a D halmaz valamely c pontjában abszolút minimuma van, ha f(x) f(c) minden x D esetén. Az abszolút maximumot és minimumot abszolút szélsőértéknek (alkalmanként extrémumnak) nevezik. Az abszolút szélsőértéket globális szélsőértéknek is mondják, megkülönböztetésül a lokális szélsőértéktől. 6. Példa. A [0, Π] zárt intervallumon az f(x) = sin(x) függvény abszolút maximuma 1, maximumhely: Π 2 (azt egyszer veszi fel), abszolút minimuma 0, minimumhely: 0 és Π (és azt kétszer veszi fel). Az R-en abszolút maximuma 1, maximumhely: 2kΠ + Π 2 ; abszolút minimuma pedig -1, minimumhely: 2kΠ Π 2 (k Z). Ugyanazzal a hozzárendelési utasítással megadott függvénynek az értelmezési tartománytól függően más és más lehet az abszolút szélsőértéke. 3. Tétel (Szélsőértéktétel). Ha f folytonos az [a, b] zárt intervallumon, akkor itt felveszi M abszolút maximumát és m abszolút minimumát is, van tehát az [a, b] intervallumban olyan x 1 és x 2 szám, amelyekre f(x 1 ) = m és f(x 2 ) = M, továbbá teljesül, hogy m f(x) M minden más, az [a, b] intervallumhoz tartozó x értékre Lokális szélsőértékek 5. Definíció (Lokális maximum, lokális minimum). Az f függvénynek értelmezési tartománya valamely c belső pontjában lokális maximuma van, ha van olyan, c-t is tartalmazó nyílt intervallum, hogy annak minden x elemére teljesül, hogy f(x) f(c). Az f függvénynek értelmezési tartománya valamely c belső pontjában lokális minimuma van, ha van olyan, c-t is tartalmazó nyílt intervallum, hogy annak minden x elemére teljesül, hogy f(x) f(c). Az f függvénynek lokális maximuma vagy lokális minimuma van az intervallum c végpontjában, ha a megfelelő egyenlőtlenség fennáll minden olyan x-re, amely az értelmezési tartomány valamely, a c-t is tartalmazó félig nyitott intervallumába esik. 14

15 5. ábra. Az 5. ábra azt mutatja, hogy egy adott intervallumon belül lehetnek lokális és abszolút szélsőértékek is. Ha változtatjuk az intervallumot, akkor ezen szélsőértékek is megváltozhatnak: például, ha csak a [ 1, 1] intervallumot vizsgáljuk, ott már a lokális szélsőértékek abszolút szélsőértékekké válnak. A lokális szélsőértéket néha relatív szélsőértéknek is nevezzük. Az abszolút maximum egyben lokális maximum is. A legnagyobb függvényértéknél semmilyen környezetben nem vesz fel nagyobb értéket a függvény. Ezért a lokális maximumok összessége az abszolút maximumot is tartalmazza, amennyiben az létezik. Hasonlóan: a lokális minimumok halmazának az abszolút minimum is eleme, amennyiben az utóbbi létezik. 9. A szélsőértékek megkeresése 4. Tétel (Az első derivált és a lokális szélsőérték I.). Ha az f függvénynek lokális maximuma, vagy lokális minimuma van az értelmezési tartományának valamely c belső pontjában, és f értelmezve van a c pontban, akkor f (c) = 0. Tehát folytonos függvénynek korlátos, zárt halmazon csak olyan pontban lehet szélsőértéke, ahol 1. f1(c) = 0, vagy 2. f nem differenciálható, vagy 3. c az intervallum szélső pontja. 15

16 6. Definíció (Kritikus pont). Az f függvény kritikus pontjának nevezzük f értelmezési tartományának minden olyan pontját, amelyben az f deriváltfüggvény értéke nulla, vagy nincs értelmezve. A függvényeknek tehát csak olyan pontban lehet szélsőértéke, amely az értelmezési tartományának vagy kritikus pontja, vagy végpontja. Viszont a tétel megfordítása hamis. Módszer globális minimum (maximum) keresésére [a, b] zárt intervallumon, folytonos f esetén: 0. Ha folytonos, akkor a Weierstrass-tétel szerint van minimum (maximum), 1. Megnézzük, hogy [a, b] intervallumon hol 0 a derivált, és hol nincs derivált, 2. Kiszámoljuk f értékeit ezeken a helyeken és a szélsőpontokban (a-ban és b-ben), 3. Ezen értékek legnagyobbika a maximum (a legkisebb a minimum). 7. Példa. Keressük meg az f(x) = x 2 2x függvény szélsőértékeit a [0, 3] intervallumon! 0. Az f folytonos a [0, 3]-on, van minimum és maximum, 1. f (x) = 2x 2, 2x 2 = 0 x = 1 mindenhol differenciálható, 2. Jelöltek: 1, 0, 3, f(0) = 0, f(1) = 1, f(3) = 3 3. Így 3 a maximum (maximumhely: 3), 1 a minimum (minimumhely: 1). 16

17 10. A Lagrange-féle középértéktétel A Rolle-tétel Az 6. ábráról is leolvasható; ha egy folytonos, differenciálható függvénynek két különböző pontban megegyezik az értéke, akkor a pontok által határolt szakaszon a függvény érintője legalább egy helyen újra vízszintes. 6. ábra. 5. Tétel (Rolle tétele). Tegyük fel, hogy az f(x) függvény folytonos az [a, b] zárt intervallum minden pontjában és differenciálható [a, b] minden belső pontjában, azaz az (a, b) intervallumon. Ha f(a) = f(b), (22) akkor létezik legalább egy olyan c (a, b) pont, amelyre teljesül, hogy f (c) = 0. (23) Ennek segítségével meg tudjuk mondani, azt is akár, hogy hány gyöke van például egy negyedfokú egyenletnek. 6. Tétel (Lagrange-féle középértéktétel). Legyen az y = f(x) függvény folytonos az [a, b] zárt intervallumon, és differenciálható annak belsejében, azaz az (a, b) nyílt intervallumon. Akkor létezik legalább egy olyan c (a, b), amelyre f(b) f(a) b a = f (c). (24) Geometriai jelentés: Van a húrral párhuzamos érintő. Fizikai jelentés: Van olyan t (a, b), amelyben a pillanatnyi változási sebesség egyenlő az (a, b)-beli átlagos változási sebességgel. 17

18 1. Következmény. Csak a konstans függvények deriváltja nulla. Ha f folytonos az [a, b] zárt intervallumon és (a, b)-on minden x pontban f (x) = 0, akkor f konstans [a, b]-on. 2. Következmény. Ha (a, b)-on f = g, akkor létezik C konstans, amelyre f(x) = g(x) + C (a, b)-on. Az 1. és a 2. következmény akkor is igaz, ha az (a, b) intervallum végtelen, azaz (a, ), (, b) vagy (, ) alakú. 11. Monoton függvények és az első derivált teszt Növekvő és csökkenő függvények 7. Definíció (Növekvő, csökkenő függvény). Tegyük fel, hogy az f függvény értelmezve van egy I intervallumon. Azt mondjuk, hogy 1. f szigorúan monoton nő az I intervallumon, ha bármely x 1 < x 2 I-beli pontokra f(x 1 ) < f(x 2 ), 2. f monoton nő az I intervallumon, ha bármely x 1 < x 2 I-beli pontokra f(x 1 ) f(x 2 ), 3. f szigorúan monoton csökken az I intervallumon, ha bármely x 1 < x 2 I-beli pontokra f(x 1 ) > f(x 2 ), 4. f monoton csökken az I intervallumon, ha bármely x 1 < x 2 I-beli pontokra f(x 1 ) f(x 2 ). Az olyan függvényt, amely az I-n növekvő vagy csökkenő, monotonnak nevezzük I-n. Az I intervallum véges és végtelen is lehet. 7. Tétel (Első derivált teszt monoton függvényekre). Tegyük fel, hogy f folytonos [a, b]-n és differenciálható (a, b)-n. Ekkor ha: 1. f (x) 0 (a, b)-on, akkor f monoton növekvő az [a, b] intervallumon, 2. f (x) 0 (a, b)-on, akkor f monoton csökkenő az [a, b] intervallumon, 3. f (x) > 0 (a, b)-on, akkor f szigorúan monoton növekvő az [a, b] intervallumon, 4. f (x) < 0 (a, b)-on, akkor f szigorúan monoton csökkenő az [a, b] intervallumon. Ha f (x) < 0 minden x (a, b)-re, akkor f csökkenő az [a, b] intervallumon. 18

19 8. Példa. Vizsgáljuk meg, hogy hol nő és hol csökken az f(x) = x 3 +3x 2 9x+2 függvény! f (x) = 3x 2 + 6x 9 = 3(x 2 + 2x 3) = 3(x 1)(x + 3) 7. ábra. (, 3] intervallumon és [1, ) intervallumon szigorúan monoton nő, míg a [ 3, 1] intervallumnál szigorúan monoton csökkenést tapasztalhatunk. 12. A konvexitás vizsgálata 8. Tétel. Tegyük fel, hogy f folytonos c-ben. Ekkor: 1. ha f (c) = 0 és f (c) > 0, akkor f-nek lokális minimuma van c-ben, 2. ha f (c) = 0 és f (c) < 0, akkor f-nek lokális maximuma van c-ben. 4. Megjegyzés. Ha f (c) = 0 és f (c) = 0, akkor bármi lehet. Például: x 3 c = 0-ban se lokális minimum, se lokális maximum nincs. 8. Definíció (Konvex, konkáv). Tegyük fel, hogy f differenciálható az I intervallumon. Azt mondjuk, hogy 1. f konvex I-n, ha f monoton nő, 2. f szigorúan konvex I-n, ha f szigorúan monoton nő, 3. f konkáv I-n, ha f monoton csökkenő, 4. f szigorúan konkáv I-n, ha f szigorúan monoton csökkenő. 19

20 9. Tétel. Legyen f kétszer differenciálható I-n. 1. Ha f 0 I-n, akkor f konvex I-n, 2. Ha f 0 I-n, akkor f konkáv I-n, 3. Ha f > 0 I-n, akkor f szigorúan konvex I-n, 4. Ha f < 0 I-n, akkor f szigorúan konkáv I-n Inflexiós pontok 9. Definíció (Inflexiós pont). Az f függvénynek c-ben inflexiós pontja van, ha c-ben van érintője a függvény grafikonnak, és valamilyen a < c, b > c-re f konvex (a, c)-n és konkáv (c, b)-n vagy fordítva f konkáv (a, c)-n és konvex (c, b)-n. A 8. ábrán lévő f(x) = x 3 + 6x 2 9x + 12 függvénynek inflexiós pontja van a ( 2)-ben, hiszen f (x) = 3x x 9, f (x) = 6x + 12, amely a ( 2)-ben vált előjelet. 8. ábra. 20

21 12.2. A második derivált és a lokális szélsőértékek Ahelyett, hogy f előjelváltását vizsgálnánk a kritikus pontokban, a lokális szélsőérték létezését és típusát néha a következő módon is megállapíthatjuk: 10. Tétel (A második derivált és a lokális szélsőértékek). Tegyük fel, hogy f folytonos az x = c pontot tartalmazó nyílt intervallumon. 1. Ha f (c) = 0 és f (c) < 0, akkor f-nek lokális maximuma van az x = c pontban. 2. Ha f (c) = 0 és f (c) > 0, akkor f-nek lokális minimuma van az x = c pontban. 3. Ha f (c) = 0 és f(c) = 0, akkor nem állíthatunk semmi biztosat. A függvénynek lehet lokális maximuma, lokális minimuma, de lehet, hogy sem ez, sem az nincs. 21

22 13. Függvényvizsgálat Egy elemezni kívánt függvény első és második deriváltjaiból a fentiek tudatában már képesek leszünk meghatározni a minimum, illetve maximumhelyeket, így a függvény monotonitását, hogy hol lesz növekvő, vagy csökkenő. Valamint kikövetkeztethetjük, hogy lesz-e a függvénynek inflexiós pontja, ha van olyan pont a grafikonon, ami konvex és konkáv részek találkozása. Ezen vizsgálatot nevezzük függvénydiszkussziónak. A következő példán keresztül láthatjuk az adott f függvény teljes függvényvizsgálatát. Vizsgáljuk az f: R R, f(x) = x 2 x 3 függvényt. Lépésről-lépésre elemezzük, majd a végén a megszerzett információk alapján rajzoljuk fel az elképzeléseinket! Első lépésben az értelmezési tartományt határozom meg, ez az x R. Az f függvény se nem páros és se nem páratlan függvény. Nem periodikus. Az f függvény folytonos, mivel deriválható. Itt az 1. tételt használtam fel. Deriváltja: f (x) = 2x 3x 2 A derivált függvény értelmezési tartománya szintén az R. ott lehet kritikus pontja, ahol f (x) = 0. Nézzük is ezt meg: Ezért f-nek csak f (x) = 2x 3x 2 = 0 2x 3x 2 = 0 2x = 3x 2, x 1 = 0 3x 2 3 = x 2. Figyelembe véve a kapott eredményeket, a táblázatban egy összefoglalás található: Intervallumok: x < 0 0 < x < < x f előjele: f menete: csökkenő növekvő növekvő Az első derivált tesztből következtethetünk a szélsőértékekre. Mivel x = 0 -ban vált előjelet, így csak itt lesz szélsőértéke a függvénynek. De azt is láthatjuk, hogy míg x < 0 addig csökken, majd amikor 0 < x, akkor már növekvőbe változik, tehát a minimumhely a 0. A második derivált: f (x) = 2 6x. 22

23 Majd nézzük meg azt, amikor a második derivált egyezik meg nullával: f (x) = 2 6x = 0 2 = 6x 1 3 = x. Készítsük el erre is az összesítő táblázatot: Intervallumok: x < < x f előjele: + - f alakja: konkáv konvex Ezután a két táblázatban lévő információt egyesítjük; az intervallumokat a határolópontoknál osztjuk meg, így több oszlop keletkezik. Intervallumok: (, 0) 0 (0, 1 3 ) 1 3 ( 1 3, 2 3 ) 2 3 ( 2 3, ) f alakja: 0 0 f előjele: f előjele: + + inflexiós pont - - f menete: konvex konvex konkáv konkáv Végezetül már valóban elegendő információnk van arról, hogyan nézhet ki az f függvény, így akár bátran fel is rajzolhatjuk. 9. ábra. 23

24 14. Alkalmazott optimalizációs problémák Geometriai alkalmazások 9. Példa. A legjobb kerítésterv Egy farmon az állatok számára el kell keríteni egy téglalap alakú karámot. A területet egyik oldalról folyó határolja, a másik három oldalon egyszálas vezetéket kell kifeszíteni, amelybe aztán áramot vezetnek. A rendelkezésre álló 800 méternyi vezetékkel mekkora területet lehet elkeríteni, és milyen méretű lesz a maximális területű karám? Egyetlen konkrét adatot ismerünk: azt, hogy 800 méter hosszú vezetékkel kell gazdálkodnunk, amit 3 oldal bekerítésére használunk fel. Persze ezt nagyon sokféleképpen tehetjük meg. Megoldásul a legnagyobb területet behatároló felosztást fogjuk választani. A karám folyóval szemközti oldalát jelöljük a-val, míg a másik két szemköztit pedig b-vel. Ezen három oldal összesen 800 méter hosszú: K = 2b + a = 800 a = 800 b 2 A területképletből adódóan: T = a b T = 800 b 2 b T = 800b b2 2 Így már meg is kaptuk, azt a függvényt, aminek a maximális értékét keressük. Megoldást természetesen a deriválás jelenthet. T (b) = 1 2 (800b b2 ) = 400 b 1 2 b2, T (b) = 400 b. 10. ábra. A derivált függvényt ábrázolva meg kapjuk a megoldást: 400-ig pozitív a függvény, utána pedig már negatív. Tehát b = 400 a = ( )/2 = 200. T = a b = = m 2 a maximális karámterület. 24

25 15. Deriváltak a gazdaságtanban A közgazdaságtanhoz kapcsolódó feladatok megoldási háttere: Kétféle feladattípussal ismerkedünk meg a továbbiakban. 1. Profitmaximalizálás, 2. Költségminimalizálás. Mindkét módszer esetén az előzőekben tárgyaltakat kell alkalmazni, viszont az elnevezések kicsit eltérőek. Jelölések: r(x) az a bevétel, amely x darab árucikk eladásából származik; c(x) az x darab árucikk előállításának költsége; p(x)=r(x)-c(x) az a profit, ami x darab árucikk előállításával és eladásával érhető el. A mikroökonómia külön elnevezést használ a függvények deriváltjaira, vagyis a változási sebességre, amit a határ- előtaggal alkot meg. Írjuk is fel a bevétel, a költség és a profit x szerinti deriváltjait! Ezek sorban: dr dx = határbevétel, dc dx = határköltség, dp dx = határprofit. A megoldás során szükséges; egyrészt, hogy mind az r(x)-nek, és mind a c(x)-nek differenciálhatónak kell lennie, ha 0 < x, másrészt, hogy lennie kell maximális értékének a p(x) függvénynek, ami csak a p (x) = 0 esetében fordulhat elő. Ekkor p (x) = r (x) c (x) = 0, tehát r (x) = c (x). Mindezek tudatában megfogalmazhatjuk a következő állítást: 1. Állítás. Maximális profit elérése esetén a határbevételnek meg kell egyeznie a határköltséggel. 2. Állítás. A többletköltség határértéke azt mutatja meg, hogy fajlagosan mennyibe kerül x-hez képest h-val több terméket előállítani h 0 esetén. Lássunk ezekre két élethű faladatot! 25

26 15.2. Üzleti alkalmazások 10. Példa. Utazási iroda Egy utazási iroda utaztatási ajánlata a következő: A túrát legkevesebb 50 résztvevőre lehet megrendelni, és ekkor az ár 200 dollár/fő. Minden további részvevő - maximum 80 főig - két dollár kedvezményt kap. A teljes túraköltség 6000 dollár (fix költség) plusz fejenként annyiszor 3 dollár a vezetési díj, ahányan többen vannak az 50 főnél. Hány fő részvétele esetén éri el a legnagyobb nyereséget az utazási iroda? Kérdésünk a résztvevők számára irányul, ezért válasszuk ezt az ismeretlennek és jelöljük x-szel. Minimum 50 főnek kell jelentkeznie az utazásra, tehát 50 x. Ha azt az esetet nézzük, amikor pontosan 50-en fizetnek be az irodába, akkor a bevétel: dollár = dollár. Általános esetben is ugyanígy kell számolnunk, csak nem 50-nel, hanem x-el: x 200 dollár = 200ẋ dollár. De ebben az esetben még levonódik a kedvezmények összege, az 50-et meghaladó emberek számának a kétszerese: (x 50) 2 dollár. Az egészet szummázva megkapjuk a bevételi függvényünket: r(x) = 200 x (x 50) 2 = 200 x 2 x = 198 x 100. Most nézzük a kiadásokat! Fix költség 6000 dollár, a teljes túraköltség, valamint ezen felül van még a vezetési költség. Az utasok száma x és x 50 -nel vannak többen, mint 50. Ezen számok szorzatát szorozzuk még meg a 3 dollárral. Ekkor már a költségfüggvényünk is elkészült: c(x) = x (x 50) 3 = 3 x x. Alkalmazzuk a fenti 1. állítást! Ha maximális bevételt szeretnénk elérni, a határbevételnek egyeznie kell a határköltséggel. Az r(x) függvény deriváltja az r (x) = 198 a határbevétel. A c(x) függvény deriváltja a c (x) = 6 x 150 pedig a határköltség. Az x jelöli az optimális utaslétszámot. 6 x 150 = x = 348 x = 58. Válasz: 58 fő esetén lesz a legnagyobb nyeresége az utazási irodának. Ez valóban 50-nél nagyobb és 80-nál kisebb. 26

27 11. Példa. Határköltség Tegyük fel, hogy x darab mosógép előállításának költsége c(x) = x 0, 1 x 2 dollár. (a) Mekkora egy mosógép előállításának a költsége, ha 100-at gyártunk? (b) Mekkora a határköltség, ha 100 mosógépet gyártunk? Azt, hogy mekkora egy mosógép előállításakor keletkező költség 100 darab gyártása esetén, a költségfüggvény behelyettesítésével határozzuk meg: c(10) = , = = dollárba kerül 100 mosógép előállítása, 1 mosógépé pedig 92 dollárba. A határköltséget a költségfüggvény deriváltjával közelítjük. c (x) = 100 0, 2 x c (100) = 100 0, = = 20. Azaz megkaptuk, hogy 20 dollár a határköltség 100 mosógép gyártásakor. 27

28 16. Összefoglalás Dolgozatom célja a szélsőértékszámítás gyakorlati életben való használatának bemutatása volt. A fejezetek döntő többsége az elméleti hátteret hivatott reprezentálni, ami érthető is, hiszen ezek nélkül semmit sem tudnánk kellő biztonsággal alátámasztani. Központi témám a függvények adott pontban vett érintője, amit deriváltnak nevezünk. Ha már ismerjük a definíciót, tudnunk kell a különböző függvényekre vonatkozó deriválási szabályokat is. Ekkor nem fog gondot okozni, ha esetleg egy trigonometrikus vagy akár egy összetett függvényt kell differenciálnunk. A grafikonról könnyen le tudjuk olvasni, hogy hol csökken, illetve, hogy hol növekszik, viszont sok esetben ezt felrajzolás nélkül is meg kell tudnunk állapítani. Főleg akkor, ha pont a vizualizáció a cél, a pontok egyesével való behelyettesítése nélkül. Ebben az esetben alkalmaznunk kell az első deriváltak kiszámítását: ahol negatív az előjele a kapott függvénynek, ott csökkenő lesz a függvény görbéje, növekedést pedig a pozitív intervallumon tapasztalhatunk. Így már a szélsőértékekről is lesznek ismereteink. Ahol a második derivált függvényintervallum bármely pontját összekötő szakasz a görbe felett helyezkedik el, ott a függvény konvex, ellenkező esetben pedig konkáv. Egy teljes függvényvizsgálat minden eddigit magában foglal, eredményül már bátran felrajzolhatjuk a függvényünket. Az optimalizációs problémák többsége geometriai alkalmazásokra vezethetők vissza. Ekkor fel kell tudnunk írni olyan függvényt, ami az adott feltételeket reprezentálja, majd azt deriválva meghatározhatjuk a legoptimálisabb választást. Ráadásul a közgazdaságtanban a bevétel és a ráfordítás megfelelő egyensúlyához a matematika ezen fejezetét tudjuk kamatoztatni. 28

29 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretném megköszönni témavezetőmnek, Svantnerné Sebestyén Gabriellának a segítségét, motiváló szavait. Sokat jelentett számomra, hogy bármikor számíthattam rá, valamint a konzultációk hatással voltak a minél jobb eredmény elérésére. Emellett köszönetet mondanék családomnak, barátaimnak, akik végig mellettem álltak, buzdítottak, lelkesítettek, illetve támogattak tanulmányaim alatt. 29

30 Irodalomjegyzék [1] Császár Ákos: Valós analízis, Tankönyvkiadó, (1989) [2] Komornik Vilmos: Valos analízis előadások I., TypoTEX, (2003) [3] Laczkovich Miklós-T. Sós Vera: Analízis I., Nemzeti Tankönyvkiadó, (2005). [4] Pintér Lajos: Analízis I., TypoTEX, (2006) [5] Thomas-féle Kalkulus I., TypoTEX, (2008) [6] Kalkulus I-II. egyetemi jegyzeteim 30

31 Nyilatkozat Név: ELTE Természettudományi Kar, szak: Neptun azonosító: Szakdolgozat cím: A szakdolgozat szerzőjeként fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem, hogy a dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelelő idézés nélkül nem használtam fel. Budapest, a hallgató aláírása 31