Analízis lépésről - lépésre

Átírás

1 Analízis lépésről - lépésre interaktív tananyag Dr. Stettner Eleonóra Klingné Takács Anna

2 Analízis lépésről - lépésre: interaktív tananyag írta Dr. Stettner Eleonóra és Klingné Takács Anna

3 Tartalom Előszó... vi 1. Sorozatok Definíció, alapfogalmak Konvergens, divergens sorozatok Nevezetes sorozatok határértékei Műveletek konvergens sorozatokkal Kritikus határértékek, rendőr-elv Egy pénzügyi alkalmazás Részletesen kidolgozott feladatok a sorozatok témaköréből Monotonitás, korlátosság feladat feladat feladat feladat Két (egyváltozós) polinom hányadosának határértéke feladat feladat feladat feladat összefoglalás feladat feladat feladat A q n sorozat határértékére visszavezethető feladatok feladat feladat feladat feladat feladat Néhány " - " típusú kritikus határérték kiszámítása feladat feladat feladat Az (1+1/n) n sorozat határértékére visszavezethető határértékszámítási feladatok feladat feladat feladat feladat feladat feladat Feladatok önálló megoldásra Függelék -- Számhalmazok Sorok Sorok, bevezető példák A sor matematikai fogalma A mértani sor Konvergencia kritériumok Egyéb sorokra vonatkozó összefüggések Szemléltetés Feladatok önálló megoldásra Függvények Függvény definíciója Az értelmezési tartomány Függvénytulajdonságok Zérushely Paritás iii

4 Analízis lépésről - lépésre 2.3. Periodikusság Monotonitás Korlátosság Szélsőérték Konvexitás Elemi függvények és függvénytranszformációk Összetett függvények Inverz függvények Néhány további függvény Feladatok önálló megoldásra Függvény határértéke, folytonosság Függvény határértéke A határérték típusai Véges helyen vett végtelen határérték Végtelenben vett végtelen határérték Végtelenben vett véges határérték Véges helyen vett véges határérték Mikor nem létezik a határérték? Nevezetes függvény határértékek Folytonosság Függvény pontban való folytonossága Féloldali folytonosság Intervallumon folytonos függvények Folytonos függvények tulajdonságai Szakadási helyek fajtái A határérték és a folytonosság feladatokban Szemléleten alapuló feladatmegoldás Algebrai átalakításokon alapuló feladatmegoldás Maple gyakorló panel a határérték meghatározására Megoldásra javasolt feladatok Differenciálszámítás A differenciálszámítás elemei Differenciahányados, differenciálhányados, derivált függvény Differenciálhatóság és folytonosság Differenciálási szabályok Maple ellenőrző panel a deriváláshoz Maple gyakorló panel a deriváláshoz Középérték tételek Kidolgozott feladatok Megoldásra javasolt feladatok A differenciálszámítás alkalmazásai Alkalmazások Monotonitás Szélsőérték Konvexitás, inflexiós hely Függvényvizsgálat Példák függvényvizsgálatra Érintő Közelítés Gazdasági feladatok megoldása Megoldásra javasolt feladatok Integrálszámítás Definíciók, az integrálás és deriválás kapcsolata Integrálási típusok Maple gyakorló-ellenőrző panel az integráláshoz Határozott integrál Megoldásra javasolt feladatok Az integrálszámítás alkalmazásai Az integrálás alkalmazásai Newton-Leibniz-formula iv

5 Analízis lépésről - lépésre 1.2. Függvénygörbék közti terület Függvény átlaga Görbe ívhossza Forgástest térfogata, palástjának felszíne Súlypont Megoldásra javasolt feladatok Kétváltozós függvények I Bevezetés Kétváltozós függvények definíciója, szemléltetése Értelmezési tartomány Határérték Parciális deriváltak Iránymenti derivált Megoldott feladatok Feladatok önálló megoldásra Kétváltozós függvények II Szélsőérték Fogalmak Szükséges feltétel Elégséges feltétel Érintősík Megoldott feladatok Feladatok önálló megoldásra Irodalomjegyzék v

6 Előszó "Én nem csak azért szeretem a matematikát, mert alkalmazni lehet a technikában, hanem fõleg azért, mert szép. Mert játékos kedvét is belevitte az ember, és a legnagyobb játékra is képes: megfoghatóvá tudja tenni a végtelent. Végtelenségrõl, ideákról hiteles mondanivalói vannak. És mégis annyira emberi, korántsem az a bizonyos kétszerkettõ: magán viseli az emberi alkotások soha le nem zárt jellegét." Péter Rózsa Tapasztalatunk szerint a felsőoktatásban tanuló hallgatók számára a matematikai tanulmányaik során az első féléves analízis a legnehezebben legyőzhető akadály. Ennek oka véleményünk szerint az új oktatási szinthez való alkalmazkodáson kívül az, hogy a végtelen fogalma oly sokszor és különböző formában felbukkan a tananyagban. Az "Analízis lépésről - lépésre" című tananyag főleg a több éve - sokszor több évtizede - érettségizett levelező hallgatóknak szól, akiknek szükséges apró lépésekre bontani a matematikai gondolatmeneteket és fel kell idézni a rég elfeledett matematikai fogalmakat is. Reméljük, hogy ez a tananyag sok hallgató életét teszi könnyebbé, és ahogy Péter Rózsa matematikus szép bevezető idézetében olvashatjuk, sikerül megfoghatóvá tenni a végtelent. Tananyagunk Maple programmal készült. A rövid elméleti összefoglalók után a kidolgozott feladatokra általában két különböző megoldást mutatunk. Az egyik a hagyományos utat választja, a másik azt mutatja meg, hogy Maple utasítások segítségével hogyan kapjuk meg az eredményt. Sok animációval, szemléltetéssel szeretnénk az elmélet meértését és a feladatmegoldást segíteni. Minden fejezet végén önálló megoldásra javasolt feladatokat is közlünk. A nagyon részletesen kidolgozott, sokszor az általános iskolai ismeretekig visszanyúló feladatmegoldások kifejezetten a több éve végzett levelező szakos hallgatóknak szólnak. Ezek a feladatok főként az első fejezetben találhatók, itt ismételjük át a legfontosabb matematikai fogalmakat és ööszefüggéseket, a későbbiekben a részletezés ilyen mélységeire már nincs szükség. Kaposvár, 2014 vi

7 1. fejezet - Sorozatok 1. Definíció, alapfogalmak Eddigi tanulmányainkra visszaemlékezve általában a sorozatokról a számtani és a mértani sorozat jut az eszünkbe. A sorozatok azonban ennél a két típusnál sokkal változatosabbak lehetnek. A sorozatok általános definíciója a következő: Definíció: A sorozat egy olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív természetes számok halmaza, értékkészlete pedig a valós számok egy részhalmaza. 1

8 Sorozatok Természetesen a fenti ábrán az értelmezési tartománynak és az értékkészletnek is csak egy részhalmaza látható. A hozzárendelés szabálya például lehet az ábra alapján az, hogy minden pozitív természetes számhoz a négyzetét rendeljük. Ha képletben írjuk fel: a 1=1 a 2=4 a 3=9 a 4=16... a n=n 2 Látható, hogy az értelmezési tartomány elemei, a pozitív egész számok az alsó indexben, a hozzárendelt értékek, az értékkészlet elemei pedig az egyenlőségjel után vannak. A fenti halmazábrával bonyolult a sorozatokat szemléltetni. A szokásos ábrázolás, szemléltetés számegyenesen és koordináta -rendszerben történik. Minden sorozatnak végtelen sok tagja van, de ábrázolni természetesen csak véges sokat tudunk. Ábrázoljuk a fenti sorozatot a számegyenesen: A sorozatokat Maple programban is ábrázolhatjuk számegyenesen és koordináta-rendszerben is. [ > pointplot({seq([n 2, 0], n = )}, color = red, symbol = solidcircle, symbolsize = 12) 2

9 Sorozatok [ > pointplot({seq([n, n 2 ], n = )}, color = blue, symbol = solidcircle, symbolsize = 12); Sorozat megadása: Hogyan adhatunk meg egy sorozatot? 1.képlettel 3

10 Sorozatok, például:, a n = n, például: a 3 = =11, a 80 = = 165 Ha képlettel adunk meg egy sorozatot bármely elemét gyorsan ki tudjuk számolni úgy, hogy n helyére a sorozat sorszámát helyettesítjük. Nem ütközik sokkal nagyobb nehézségbe a sorozat 100. elemének kiszámolása, mint az 1. Ugyanezt nem mondhatjuk el, ha a sorozatot rekurzióval adjuk meg. 2.rekurzióval A rekurzióval való megadás úgy történik, hogy megadjuk a sorozat első elemét, vagy néhány első elemét, ezután még egy képzési szabályt is megadunk arról, hogy egy sorozatelem hogyan, milyen műveletekkel képezhető az előző elemből, vagy elemekből. Legyen például a sorozat első eleme a 1 = 5, és a további elemek képzési szabálya a n = a n-1 + 2, n = 2, 3,..., vagyis a sorozat minden elemét (az elsőt kivéve) úgy kapjuk meg, hogy az előző elemhez hozzáadunk 2-t. Ekkor a 2 = a 1+ 2 =5+2=7, a 3 = a 2+ 2 = 7+2= 9, ezzel a módszerrel a nagyobb indexű tagok kiszámítása hosszú ideig tart. A legismertebb rekurzív sorozat a Fibonacci-sorozat. Képzési szabálya a következő: a 1 = 1, a 2 = 1, a n = a n-1 + a n-2, n > 2 A sorozat első és második eleme 1, minden további elemet úgy kapunk meg, hogy összeadjuk a sorozat előző két elemét. A Fibonacci-sorozathoz nagyon sok érdekesség kapcsolódik. Egészen hihetetlen, hogy hány helyen fordul elő a természetben, alkalmazzák szabályait építészek, képzőművészek, költők, zeneszerzők. Még a tőzsde árfolyammozgásainak leírására is használják, bár ez az alkalmazás sokak által vitatható. A rekurzív sorozatokkal az a probléma, hogyha pl. a 100. elemét szeretném kiszámítani, akkor minden elemét meg kell határozni egészen a 99.-ig. Nem lehetséges az 1. pontbeli képlethez hasonló, csak n-től függő képletet megadni a rekurzív sorozatokra is? A matematikának külön fejezete foglalkozik a rekurzív sorozatok explicit képletének megadásával. Milyen típusú sorozatokhoz tudunk megadni képletet, és ha lehetséges a megadás hogyan? 3. Szöveges utasítással Ha így adunk meg egy sorozatot nagyon fontos, hogy vigyázzunk a pontos fogalmazásra, hogy egyértelműen reprodukálható legyen az általunk megadott sorozat. A világ bármely pontján, a különböző előképzettséggel rendelkező emberek mind ugyanarra a sorozatra gondoljanak, ha hallják a megfogalmazásunkat. Mikor használjuk ezt a módszert? Ha más módszer nem alkalmas a sorozat megadására, például a sorozat n. eleme legyen a π n. jegye. Erre valóban nem alkothatunk sem képletet, sem rekurziót. 4. A sorozat néhány elemének felsorolásával Például a felsorolt elemek legyenek az 5, 7, 9, 11, 13,.... Ekkor észrevehetjük, hogy a a n = 2 n + 3 alkalmas képzési szabály. Ennek a megadási módnak az a veszélye, hogy a folytatás nem mindig egyértelmű. 5. A függvény értelmezési tartományának leszűkítésével Legyen például a függvény az. Az f(x) függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza, kivéve a 0-t, ha az értelmezési tartományt leszűkítjük a pozitív természetes számok halmazára az sorozatot kapjuk. Ábrázoljuk a függvényt és a sorozatot egy koordináta-rendszerben: [ > [ > 4

11 Sorozatok [ > [ > plot([l, f], n = , style = [point, line], color = [blue, red], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, thickness = [4, 2]); A következő példa ugyanerre a megadási módra az függvény és az sorozat. Az első ábrán csak a sorozat, a másodikon a sorozat és a függvény együtt látható [ > 5

12 Sorozatok [ > [ > [ > plot([l, f], n = , style = [point, line], color = [blue, red], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, thickness = [4, 2]); 6

13 Sorozatok A sorozatok legfontosabb tulajdonságai: Korlátosság: Az a n sorozat felülről korlátos, ha van olyan szám, hogy minden -ra. Megadható egy valós szám, az úgynevezett felső korlát (K), amelynél minden sorozatelem kisebb, vagy egyenlő (más szóval nem nagyobb). Az a n sorozat alulról korlátos, ha van olyan szám, hogy minden -ra. Megadható egy valós szám, az úgynevezett alsó korlát (k), amelynél minden sorozatelem nagyobb, vagy egyenlő (más szóval nem kisebb). Az a n sorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. A sorozatelemek a két - alsó és felső - korlát között "mozoghatnak". A következőkben néhány sorozatot szemléltetünk korlátaikkal együtt, ha vannak. A sorozat felülről korlátos, alulról nem Felső korlát: K = 1 A sorozat alulról korlátos, felülről nem Alsó korlát: k = 3 A sorozat korlátos Alsó korlát k = 2, felső korlát K = 2, 25 A sorozat sem alulról, sem felülről nem korlátos 7

14 Sorozatok Monotonitás: Az a n sorozat szigorúan monoton nő, ha a n < a n+1 minden -ra. Minden sorozat elem nagyobb az őt megelőzőnél. Számításokban gyakran az a n+1 - a n > 0 egyenlőtlenségnek kell teljesülni. Az a n sorozat monoton nő, ha a n a n+1 minden -ra. Minden sorozat elem nagyobb, vagy egyenlő az őt megelőzőnél. Számításokban gyakran az a n+1 - a n 0 egyenlőtlenségnek kell teljesülni. Az a n sorozat szigorúan monoton csökken, ha az a n > a n+1 minden -ra. Minden sorozat elem kisebb az őt megelőzőnél. Számításokban gyakran az a n+1 - a n < 0 egyenlőtlenségnek kell teljesülni. Az a n sorozat monoton csökken, ha a n a n+1 minden -ra. Minden sorozat elem kisebb, vagy egyenlő az őt megelőzőnél. Számításokban gyakran az a n+1 - a n 0 egyenlőtlenségnek kell teljesülni. A korlátosság példáit tartalmazó táblázat első cellájában a sorozat szigorúan monoton csökken, a másodikban szigorúan monoton nő, a harmadikban újra szigorúan monoton csökken, a negyedik cella példája nem monoton. Példa: Mit mondhatunk a következő sorozatról monotonitás és korlátosság szempontjából? Monotonitás vizsgálata: Mielőtt a bizonyításhoz kezdünk, számítsuk ki a sorozat néhány első elemét! Sejtés: a sorozat szigorúan monoton csökken. (Vigyázat! Az első néhány elem kiszámítása nem mindig alkalmas a helyes sejtés megfogalmazására. Egyes sorozatok néhány első eleme monoton nő, de lehetséges, hogy a további elemek monoton csökkennek.) Számítsuk ki az a n+1 - a n különbséget, ha negatív eredményt kapunk, akkor bebizonyítottuk a sejtést. 8

15 Sorozatok a n+1 - a n=, mert a számláló negatív és a nevező pozitív. Tehát a sorozat szigorúan monoton csökken. Ha egy sorozat szigorúan monoton csökken, az első eleme, vagy bármely annál nagyobb szám alkalmas lesz felső korlátnak, legyen pl. a felső korlát K = 0, 6. Hogyan határozzuk meg az alsó korlátot? Számítsuk ki a sorozat egy nagy indexű tagját, abból talán megsejthetjük az alsó korlátot., ha nagyon szoros alsó korlátot akarunk megadni, úgy tűnik, hogy az 1/2 alkalmas lesz, ezt be kellene bizonyítani. Van most egy egyszerűbb módszer is. Látjuk, hogy a sorozat minden tagja pozitív, így a k = 0 biztosan jó lesz alsó korlátnak, és ez nyilvánvaló, bizonyítanunk sem kell. Nézzük végig a fenti gondolatmenetünket a Maple utasításokkal: [ > [ > a(1) # A sorozat 1. elemének kiszámítása [ > evalf(a(1(,3) # A sorozat elemeit tizedestörtté alakítjuk, mert így könnyebben össze tudjuk hasonlítani a tagokat, és sejtést tudunk megfogalmazni a sorozat monotonitására. Hasonlóan további elemeket is kiszámítunk és tizedestörtté alakítunk. Sejtés: A sorozat szigorúan monoton csökken. [ > a(n+1) # A sorozat n+1. eleme [ > a(n+1)-a(n) # Az n+1. és az n. elem különbsége [ > simplify(a(n+1)-a(n)) # A különbség lehető legegyszerűbb alakra hozása [ > solve(a(n+1)-a(n) < 0, [n]) # Megvizsgáljuk, hogy a sorozat szigorúan monoton csökkenő-e? Ez azt jelenti, hogy n-re megoldjuk az a(n+1)-a(n)<0 egyenlőtlenséget [ > s := solve({n > 0, a(n+1)-a(n) < 0}, [n]) # Azt kaptuk, hogy minden pozitív n-re teljesül az egyenlőtlenség, tehát a sorozat valóban szigorúan monoton csökken. Ezért a felső korlát a sorozat első eleme lesz. [ > a(1000) # A felső korlátot a sorozat elég nagy indexű eleme segít megsejteni. [ > helyénvaló-e? # Megnézzük, hogy sejtésünk Igen, minden pozitív n-re igaz a fenti egyenlőtlenség, tehát valóban jó alsó korlát az 1/2. [ > l : = [[n, a(n)], $n = )]; # A sorozat első tíz elemének kiszámítása: [ > plot([l, k, K], n = , style = [point, line, line], color = [blue, red, green], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, thickness = [4, 2, 2], view = [0.. 10, 0.. 1]); # Szemléltetés a koordináta-rendszerben az alsó és felső korláttal együtt. 9

16 Sorozatok 2. Konvergens, divergens sorozatok A konvergencia és a divergencia a sorozatokkal kapcsolatos legfontosabb fogalmak. Egyes sorozatok szép nagy, egyenletes léptekkel gyalogolnak a +, vagy a - felé, míg mások egy, vagy több pontba "sűrűsödnek". Vizsgáljuk először ezeket a néhány pont köré besűrűsödő sorozatokat. Hogy tudjuk ezt a szemléletes képet matematikailag pontosan megfogni? Először meghatározzuk a környezet fogalmát: Környezet Az "a" pont ε > 0 sugarú környezete az ]a- ε,a+ ε[ nyílt intervallum, ahol ε tetszőleges pozitív, valós szám. Torlódási pont Az a n sorozat torlódási pontja "a", ha a tetszőleges ε > 0 környezetén belül a sorozatnak végtelen ( ) sok eleme van. Nagyon fontos kihangsúlyozni, hogy a definíció bármilyen kis ε sugarú környezet esetében igaz, és a kérdés ekkor érdekes igazán. A következő táblázatban három sorozatot szemléltetünk, amelyeknek rendre 1, 2 illetve 3 torlódási pontjuk van. A szemléltetés nem egy egyszerű ábra, hanem animáció. Maple-ben a képre kattintva megjelenik az animáció menü, ahol, ha az FPS: utáni számot kicsire 1, vagy 2 értékre állítjuk az animáció lassabb lesz, és jobban meg tudjuk figyelni a sorozatok viselkedését. A harmadik sorozat esetében úgy tűnik, hogy csak három elemet ábrázolunk, ez azért látszik így, mert ez a három elem (-1, 0, 1) ismétlődik, mindegyik végtelen sokszor. A sorozatnak egy torlódási pontja A sorozatnak két torlódási pontja A sorozatnak három torlódási pontja 10

17 Sorozatok van és az a 0. van a 2 és a - 2. van a - 1, 0, és az 1. Konvergencia Konvergens csak az a sorozat lehet, ami egyetlen pontba "sűrűsödik", nem lehet több torlódási pontja. Ekkor a torlódási pontot a sorozat határértékének nevezzük. Ha a határérték bármilyen kicsi ε > 0 sugarú környezetét vesszük, a sorozatelemek egyszercsak beugranak ebbe a környezetbe és utána mindig benn is maradnak. Legyen a sorozatnak N db eleme a környezeten kívül. Ekkor az utolsó elem, ami még nincs a megadott környezetben az a N. Pontosabban ezt így fogalmazhatjuk meg: a sorozat konvergens és határértéke "a", ha bármely pozitív ε- hoz található egy N ( ε - tól függő) küszöbindex, hogy ha a sorozat N-nél nagyobb sorszámú elemeit tekintjük, akkor azok a határértékhez, "a"-hoz ε -nál közelebb lesznek. (A konvergencia 1. definíciója) Matematikai jelekkel így írható fel a definíció: Az a n sorozat konvergens és határértéke "a", ha (A jelek magyarázata: " ", az ún. univerzális kvantor, jelentése minden, bármely. " ", egzisztenciális kvantor, jelentése van olyan, létezik) A fenit megfogalmazással ekvivalens definíció a következő: Az a n sorozat konvergens és határértéke "a", ha "a" bármilyen "kis" ε > 0 sugarú, ]a- ε,a+ ε[ környezetén kívül a sorozatnak véges sok eleme van. (A konvergencia 2. definíciója) Jelölések: vagy, Tekintsük újra az sorozatot. Mi lehet a sorozat határértéke? A monotonitás vizsgálatnál kiszámoltuk a sorozat elemét, ami elég közel van az 1/2-hez. Nézzük meg, hogy az 1/2 jó lesz-e határértéknek? Legyen először ε = 0,05. Számítsuk ki, hogy a sorozat hány eleme lesz az 1/2- nek az ε = 0,05 sugarú környezetén kívül, illetve hányadik elemtől lesznek a sorozatelemek a megadott környezetben? 11

18 Sorozatok Az abszolútérték "elhagyható", mert pozitív számot tartalmaz. < 0,05 Vegyük mindkét oldal reciprokát, ekkor az egyenlőtlenség iránya megfordul. 2 (2n + 3) > 20 4n + 6 > 20 4n > 14 n > 3,5 Tehát n = 4, 5,... adódott, vagyis a sorozatelemek a 4. elemtől kezdve vannak az 1/2 -nek az ε = 0,05 sugarú környezetében. Ezért a küszöbindex N = 3, a sorozatnak csak az első három eleme van a megadott intervallumon kívül. Általában N, a küszöbszám az egyenlőtlenség megoldása során kapott eredmény egész része. Ugyanezt az egyenlőtlenséget ε = 0,01, ε = 0,001 esetében is oldjuk meg. A kapott küszöbszámok rendre N = 23, N = 248. Az alábbiakban a Maple utasításokkal történő számolást, majd a kapott eredmények szemléltetését láthatjuk. [ > e : = a(n) # Az egyenlőtlenség bal oldalának felírása [ > f := simplify(e) # Az egyenlőtlenség bal oldalának leegyszerűsítése [ > solve({(e < 0.5 and n > 0)}, n); # a megoldás 0,05-re [ > solve({ e < 0.01 and n > 0 },n); a #megoldás 0,01-re [ > solve({ e < and n > 0 },n); a #megoldás 0,001-re [ > megoldása # Az egyenlőtlenség általános [ > érték := eval(küszöb, [ε = 0.05]) [ > N := floor(érték) # a küszöbszám megadása 0,05 sugarú környezet esetén [ > érték := eval(küszöb, [ε = 0.01]) [ > N := floor(érték) # a küszöbszám megadása 0,01 sugarú környezet esetén [ > érték := eval(küszöb, [ε = 0.001]) [ > N := floor(érték) # a küszöbszám megadása 0,001 sugarú környezet esetén 12

19 Sorozatok A Maple limit utasítása megadja a sorozat határértékét: [ > Divergencia A nem konvergens sorozatokat divergens sorozatoknak nevezzük. A divergens sorozatok is többfélék lehetnek. A divergens sorozatok típusai: + végtelenhez tartó sorozatok ( + ) - végtelenhez tartó sorozatok ( - ) oszcillálva ("ide-oda ugrálva") divergens sorozatok Akkor tart a + -hez egy sorozat, ha bármilyen (nagy) M számot adunk meg, mindig található egy sorozatelem, ami ennél a számnál nagyobb lesz és onnantól kezdve az összes sorozatelem nagyobb lesz M-nél. Az utolsó elem, ami még nem nagyobb M-nél az N. elem. Matematikai jelekkel leírva: a n, ha M-hez N úgy, hogy a n > M, ha n > N 13

20 Sorozatok Akkor tart a - -hez egy sorozat, ha bármilyen M számot adunk meg, mindig található egy sorozatelem, ami ennél a számnál kisebb lesz és onnantól kezdve az összes sorozatelem kisebb lesz M-nél. Az utolsó elem, ami még nem kisebb M-nél az N. elem. Matematikai jelekkel leírva: a n -, ha M-hez N úgy, hogy a n < M, ha n > N Jelölés: oszcillálva divergens, korlátos sorozat oszcillálva divergens, nem korlátos sorozat Mit mond a Maple limit utasítása divergens sorozatok esetén? [ > limit(n 2, n = infinity) ; # + -hez tartó sorozat [ > limit(-2 n+1, n = infinity); # - -hez tartó sorozat [ > limit((-1) n n, n = infinity); # oszcillálva divergens sorozat Néhány példa különböző tulajdonságú sorozatokra: A fenti példákat nézzük meg Maple-ben szemléltetve is. Az első oszlopban számegyenesen ábrázoltuk a sorozatokat animálva, a második oszlopban koordináta - rendszerben ábrázoltunk, a harmadik oszlopban összefoglaltuk a legfontosabb tulajdonságokat: 14

21 Sorozatok Alulról korlátos k = 1, monoton növekvő, nincs torlódási pontja, divergens, limit(1/n, n = infinity) = 0 Korlátos k = -1, K = 1/2, nem monoton, torlódási pontja 0, konvergens, határértéke 0 Korlátos k = -1, K = 1, nem monoton, torlódási pontjai:-1, 0, 1, oszcillálva divergens Nem korlátos, nem monoton, nincs torlódási pontja, oszcillálva divergens 15

22 Sorozatok Felülről korlátos K = -1, monoton csökkenő, torlódási pontja nincs, divergens Korlátos k = -2, K = 2, nem monoton, torlódási pontjai: -2, 2, oszcillálva divergens Korlátos k = -1, K = 1, nem monoton, torlódási pontjai: -1, 1, oszcillálva divergens Észrevehetjük, hogy a példaként szereplő sorozatokban többször előfordul a (-1) n és a (-1) (n+1) kifejezés. n értékétől függően ezeknek a kifejezéseknek a számértéke, - 1, és +1 felváltva. Ezért szerepük a váltakozó előjel biztosítása. Ha (-1) n -nel szorozzuk meg a képletet, akkor a sorozat első eleme negatív lesz, a második pozitív és így tovább, minden páratlan sorszámú elem negatív és minden páros sorszámú pozitív. Ha (-1) (n+1) -nel szorozzuk meg a sorozat képletét, akkor a páratlan sorszámú elemek lesznek pozitív előjelűek és a páros sorszámú elemek negatívok. A divergens sorozatok határértékét az előbb már megnéztük a Maple limit utasításával. Most nézzük meg a táblázatban szereplő konvergens sorozatok határértékét: [ > [ > A fenti táblázatban szerepelnek monoton és nem monoton, korlátos és nem korlátos, konvergens és divergens sorozatok. Tegyünk rendet, vizsgáljuk meg, hogy ezek a sorozat tulajdonságok milyen kapcsolatban vannak egymással. A konvergencia, a monotonitás és a korlátosság kapcsolata Tétel: Ha az a n sorozat konvergens, akkor korlátos. A bizonyítás vázlatosan a következőképpen szól. Ha egy sorozat konvergens, akkor a konvergencia 2. definíciója értelmében a határérték tetszőleges ε sugarú környezetén kívül a sorozatnak véges sok eleme van. Az 1. definíció azt mondja, hogy pontosan N db elem van az ε sugarú környezeten kívül. De a véges sok elem között mindig van legnagyobb és legkisebb, ami alkalmas felső ill. alsó korlátnak. Előfordulhat az is, hogy a sorozatnak a környezeten kívül egyáltalán nincs eleme, vagy csak a + ε - nál nagyobb, vagy a - ε -nál kisebb eleme nincs. Ezért a felső korlát K = maximum{a 1, a 2,...a N, a + ε}, az alsó korlát k = minimum{a 1, a 2,...a N, a - ε}. Az ábra egy olyan esetet mutat, ahol a sorozatnak a N db ε sugarú környezeten kívüli elemei között van a + ε -nál nagyobb, és a - ε -nál kisebb eleme is. 16

23 Sorozatok Ha az a n sorozat korlátos, akkor nem szükségképpen konvergens. Ilyen sorozatok például a táblázat d n, g n, h n sorozatai. Ezt úgy is szoktuk fogalmazni, hogy a korlátosság a konvergencia szükséges, de nem elégséges feltétele. a n konvergens a n korlátos a n korlátos a n konvergens Halmaz ábrával: Tudunk-e a konvergenciára elégséges feltételt megfogalmazni? Igen, ez a következő tétel, amit bizonyítás nélkül közlünk: Tétel: Ha az a n sorozat korlátos és monoton, akkor konvergens. DE! Ha az a n sorozat konvergens, akkor nem szükségképpen korlátos és monoton. Ilyen például a c n sorozat, ami konvergens, de nem monoton. Ezért: A korlátosság és monotonitás a konvergencia elégséges, de nem szükséges feltétele. a n konvergens a n korlátos és monoton a n korlátos és monoton a n konvergens Halmaz ábrával: 3. Nevezetes sorozatok határértékei A következőkben néhány nevezetes sorozat határértékét vizsgáljuk meg. Az a n=1/n sorozat már többször előfordult, tudjuk, hogy határértéke 0. 17

24 Sorozatok A második nevezetes sorozat a q n sorozat. Ez különböző alapok esetében másképpen viselkedik. Az alábbi táblázatban láthatjuk a lényegesen különböző eseteket. összefoglalva: Különben osszillálva divergens a sorozat. Ezután tekintsük az sorozatot, mivel n értéke páros és páratlan szám is lehet fontos az a > 0 kikötés (páros gyök alatt negatív szám nem állhat!). (A sorozat határértékét különböző a értékekre úgy is megsejthetjük, hogy a számológépünkbe beírunk egy tetszőleges pozitív számot, és elkezdjük "nyomogatni" a gyök billentyűt. Ha sokszor megismételjük a gyökvonás műveletet, akármilyen nagy, vagy akármilyan kicsi számból is indultunk ki egyszer 1 érték adódik, ami azt jelenti, hogy a sorozat elemek a számológép pontosságánál már jobban megközelítik az 1-et.) Szemléltessük ezt a sorozatot is néhány a érték esetében. Láthatjuk és bebizonyítható, hogy az sorozat határértéke minden pozitív n -re 1. Ha n > 1, akkor a sorozat szigorúan monoton csökkenve tart 1-hez, ha n < 1, akkor szigorúan monoton növekedve, n = 1 esetén a sorozat természetesen a konstans 1 sorozat lesz. A következő nevezetes sorozat az, láthatjuk, hogy itt a gyökkitevőn kívül a gyök alatti mennyiség sem állandó, hanem a változó n érték. Mivel n mindig pozitív a gyök alatti mennyiségre nem kell kikötést tennünk, csak a gyökkitevő miatt kell n > 1 -re vizsgálnunk a sorozatot, mivel a legkisebb gyökkitevő a 2, más szóval a négyzetgyök. Először kiszámítjuk a sorozat határértékét, majd megnézzük a századik elem közelítő értékét 20 tizedes jegyig, végül ábrázoljuk a sorozat néhány elemét: [ > [ > 18

25 Sorozatok [ > Közelítés := evalf(c, 20) [ > A sorozat szigorúan monoton csökken az első két elemet kivéve, határértéke 1. Tehát a 4. nevezetes sorozat határértéke: A következő nevezetes sorozat egy olyan hatvány, ahol az alap és a kitevő is változik. A pénzügyi számításokban is előfordul, ahogy egy további fejezetben látni fogjuk. A sorozat: Számoljuk ki a sorozat néhány elemét:... [ > [ > közelítés : = evalf (b, 20); [ > 19

26 Sorozatok A határértékre most "nem szám" adódott, hanem azt írta ki a program, hogy e. Mi az e szám és mennyi az értéke? Az e egy irracionális szám (végtelen nem szakaszos tizedestört), ezért csak közelítő értékét tudjuk megadni, ezt számolta ki a program 20 tizedesig. Milyen irracionális számokat ismerünk még? A π, a biztosan mindenkinek eszébe jut. Ha egy kicsit megváltoztatjuk a sorozatot és a zárójelben szereplő tört számlálója tetszőleges való szám lesz a határérték így változik:, ahol 4. Műveletek konvergens sorozatokkal Az előbbi részben öt nevezetes sorozat határértékével ismerkedtünk meg, de nyilvánvaló, hogy nem csak ennek az öt sorozatnak a határértékére vagyunk kíváncsiak. Hogyan tudjuk más sorozatok határértékeit meghatározni ezekre a nevezetes sorozatokra építve? Erre ad választ a műveletek konvergens sorozatokkal fejezet. Ha adott két konvergens sorozat a n és b n és ismerjük mindkettő határértékét, vagyis tudjuk, hogy és, akkor sorozatok is konvergensek és 20

27 Sorozatok, ahol b 0 és b n 0, ahol c konstans és a > 0, ahol a > 0 Mit jelent ez? Nézzünk meg néhány példát. Mit alkalmaztunk? A 2. műveleti azonosságot: Mit alkalmaztunk? A 3. műveleti azonosságot: A fenti két művelet egy más utáni alkalmazásával azt kapjuk, hogy ha egy számot n tetszőleges pozitív egész kitevős hatványával elosztjuk, akkor 0-hoz taró sorozatot kapunk, képletben:, ahol, és További részletesen kidolgozott feladatok a tananyag 2. fejezetében találhatók. 5. Kritikus határértékek, rendőr-elv Ez előző pontban megismert műveleti szabályok mindig alkalmazhatók sorozatok határértékének kiszámítására? Sajnos nem, vannak ún. kritikus határértékek, ekkor mindig valami "trükköt " kell alkalmazni a határérték kiszámítására a műveleti szabályok egyszerű alkalmazásával nem érünk célba. Melyek ezek a kritikus határértékek? És mit értünk azalatt pontosan, hogy kritikus határérték? Ha egy tört számlálója és nevezője is 0-hoz tart, hova tart a tört? Ez az egyik leggyakrabban előforduló kritikus határérték. A műveleti szabály azért sem alkalmazható, mert az említett hányadost nem tudjuk értelmezni, de ha megnézünk néhány ilyen példát láthatjuk, hogy a hányados sorozat határértéke bármi lehet. Az első példában a számláló, a nevező, mindkettő (a számláló és a nevező is) 0-hoz tart, ha n tart - hez. Ha felhasználjuk a törtek osztásának szabályát (a számlálót az osztó reciprokával szorozzuk), akkor n adódik, tehát a határérték. A következő példában cseréljük meg a tört számlálóját és nevezőjét. Ekkor is igaz, hogy a tört számlálója és nevezője is a 0-hoz tart, de az eredmény most, aminek a határértéke 0. 21

28 Sorozatok Végül nézzünk egy olyan példát, ahol a számláló és a nevező is 0-hoz tart, a hányados pedig egy véges számhoz, mondjuk 2-höz. Láthatjuk, hogy mi is a probléma ezzel a határérték típussal, nem tudjuk megmondani, hogy mi lesz a hányados határértéke, mert a konkrét sorozatoktól függően bármi lehet. A többi kritikus határérték esetében is ez okozza a gondot, az eredmény lehet akármi, 0,, tetszőleges valós szám. összefoglalva a kritikus határértékek: Ha és, akkor sorozat határértékéről nem tudunk semmit sem mondani. Ha és, akkor sorozat határértékéről nem tudunk semmit sem mondani. Ha és, akkor sorozat határértékéről nem tudunk semmit sem mondani. Ha és, akkor sorozat határértékéről nem tudunk semmit sem mondani. Ha és, akkor sorozat határértékéről nem tudunk semmit sem mondani. A következőben még egy módszert ismertetünk egy sorozat határértékének kiszámítására, ez a Rendőr-elv Adott három sorozat a n, b n és c n, és tudjuk, hogy b 1 az a 1 és c 1 között helyezkedik el a számegyenesen, vagyis a 1 b 1 c 1, hasonlóan a 2 b 2 c 2, és így tovább minden n-re. Továbbá a b n-et közrefogó két sorozat a n és c n határértéke megegyezik, és ez a közös határérték A, akkor b n sorozatnak "sincs más választása, kénytelen lesz" A -hoz konvergálni. Matematikai jelőlésekkel: Adott három sorozat a n, b n és c n Egy sorozat határértékét rendőr-elvvel meghatározni azért nem könnyű, mert kell keresnünk egy, a sorozatunknál elemenként nagyobb és egy, elemenként kisebb sorozatot és még annak is teljesülnie kell, hogy a két sorozatnak ugyanaz legyen a határértéke. Nézzünk egy példát! Számítsuk ki a határértéket! A számláló és a nevező is -hez tart, ez egy "kritikus" határérték. 22

29 Sorozatok Találtunk a sorozatunkhoz elemenként kisebb és nagyobb sorozatot. Most már csak azt kell megnézni, hogy mi a két közrefogó sorozat határértéke. Tudjuk a 2. nevezetes sorozat határértékét:, ezért, így a keresett határérték Szemléltessük eredményünket, ábrázoljuk a három sorozat néhány elemét koordináta - rendszerben: [ > [ > [ > [ > 6. Egy pénzügyi alkalmazás Pénzügyi számítások során gyakran találkozunk sorozatokkal, de ez általában egy sorozat néhány értékének kiszámítása. Például a kamatoskamat számításnál, hitel törlesztőrészletének, betét értékének meghatározásánál. Ezekben a feladatokban a sorozat néhány elemét, vagy néhány elemének összegét kell kiszámítanunk. Határértéket, a sorozat viselkedését a végtelenben általában nem vizsgáljuk, pedig a matematikai analízis szempontjából ez lenne az érdekes. Mégis találhatunk olyan pénzügyi példát, ahol a határérték számításra is szükségünk van. 23

30 Sorozatok Az e-hez és e hatványaihoz tartó nevezetes sorozat "pénzügyes " háttere: "Az e talán nem mindenkinek tűnik annyira "természetesnek ". Nevét onnan kapta, hogy többek között olyan alapvető életfolyamatok modellezésében is találkozhatunk vele, mint a növekedés és a fogyás. Nem is beszélve arról a szintén alapvető dologról, amely (Erdőst leszámítva) gyakran foglalkoztatja az embereket nevezetesen a pénzről. Az e központi szerepet játszik a kamatos kamat számításánál. Tegyük fel, hogy 1 dollárt teszünk egy olyan bankba, ami 100% tőkésített kamatot ígér egy évre. Egy másik pénzintézet a tőkésítést fél évre vállalja. Utóbbi esetben jobban járunk, mivel a hat hónap letelte után a befektetett összeg 50%-ának megfelelő kamatot kapunk, azaz 50 centet. Év végére persze már a kamat is kamatozik, így tizenkét hónap elteltével a teljes összeg 2 dollár 25 centre nő. Na és mi van akkor, ha az évi 100%-os kamat negyedéves bontásban értendő? Egy év után ebben az esetben már 2 dollár 44 centünk lesz. Ha pedig évente nyolcszor számolunk kamatot, 2 dollár 57 centet tehetünk zsebre. Végül mi történik, ha a túlságosan is nagylelkű Erdős Bank folyamatosan kínálja az évi 100% kamatot? Vajon Erdős szavaival élve "végtelenül gazdagok " lennénk-e 12 hónap elteltével? Nem egészen. Az összeg, amelyre ily módon szert tehetünk, nem lenne több, mint e, vagyis 2,718 - dollár. " Paul Hoffman: A PRÍM ember ERDőS PÁL kalandjai a matematika végtelenjében Számoljunk végig egy olyan példát, ahol a kamat hozzáadása a tőkéhez (tőkésítés) nem év végén történik, hanem félévente, negyedévente, stb.: Számoljuk ki 1 Ft felnövekedett értékét, ha az éves kamatláb 12% és a tőkésítés arányos kamatlábakkal félévente, negyedévente, havonta, illetve naponta történik. Félévente:, vagyis a növekedés 12,36% Negyedévente:, vagyis a növekedés 12,55% Havonta: azaz, vagyis a növekedés 12,68% Naponta: az arányos kamatláb ekkor,azaz, a növekedés 12,70% Folytonos kamatozás esetén:, ami közelítőleg 12,75%-os növekedés., ahol m az évi tőkésítések száma, i pedig a kamat, A folytonos kamatozásnál nyert érték a különböző kamatozási folyamatok felső határa. Ha nem 1 Ft, hanem C 0; és nem egy év, hanem n szerepelt volna a példában, akkor az éves kamattényezőt még n-dik hatványra kellene emelni és a C 0-lal szorozni. 7. Részletesen kidolgozott feladatok a sorozatok témaköréből 7.1. Monotonitás, korlátosság feladat Mit mondhatunk a következő sorozatról monotonitás és korlátosság szempontjából? Monotonitás vizsgálata: 24

31 Sorozatok Mielőtt a bizonyításhoz kezdünk, számítsuk ki a sorozat néhány első elemét! Sejtés: a sorozat szigorúan monoton nő Számítsuk ki az a n+1 - a n különbséget, ha pozitív eredményt kapunk, akkor bebizonyítottuk a sejtést. a n+1 felírása: az a n képletébe n helyére (n+1)-et írunk, fontos, hogy mindig tegyük zárójelbe! (A zárójel néha elhagyható, de ha nem vagyunk benne biztosak, hogy mikor, azt javaslom, mindig írjunk zárójelet, mert akkor biztos nem követünk el hibát.) A fenti sorban felbontottuk a zárójeleket és összevontunk. Ezután közös nevezőre hozzuk a két törtet, mivel a nevezőknek nincs közös tényezője (a legnagyobb közös osztójuk 1) a közös nevező a két nevező szorzata lesz: Látható, hogy a közös nevezőre hozás mindkét törtnél lényegében törtbővítés volt. Az első tört számlálóját és nevezőjét is megszoroztuk n + 3 -mal, a második törtet n + 4 -gyel bővítettük. Most közös a nevező, ezért a kifejezésünket egy törtként is felírhatjuk, majd a számlálóban felbontjuk a zárójeleket, ezután összevonunk. A nevezőben soha ne végezzük el a szorzást! A nevező második tagjánál vigyázzunk, a zárójel előtt negatív előjel van, ez azt jelenti, hogy ha felbontjuk a zárójelet minden tag ellentétes előjelű lesz. A számláló összevonása után kapott tört előjelét már könnyen megvizsgálhatjuk. A számláló 5, ez pozitív, a nevezőben n+4 > 0 és n+3 > 0, mert n > 0, ezért a szorzatuk is, így a nevező is pozitív. Ha egy tört számlálója és nevezője is pozitív, akkor a tört is az, tehát bebizonyítottuk az állítást, a sejtés igaz, a sorozat szigorúan monoton nő. Korlátosság vizsgálata: Ha egy sorozat szigorúan monoton nő, vagy monoton nő, akkor első eleme mindig alkalmas alsó korlátnak, k = a 1 A felső korlát keresése előtt célszerû kiszámítani a sorozat határértékét. A sorozat szigorúan monoton növekedve tart 2-höz. Ezért a 2 (de bármely 2-nél nagyobb szám is) alkalmas lesz felső korlátnak. Nézzük meg, hogy valóban igaz-e, hogy minden sorozat elem (ehhez a sorozat általános elemével kell elvégezni a vizsgálatot) kisebb, mint 2. 25

32 Sorozatok Vonjunk ki az egyenlőtlenség mindkét oldalából kettőt, majd hozzuk a bal oldali kifejezést közös nevezőre: Vigyázat, negatív előjel a zárójel előtt!!! Igaz egyenlőtlenséget kaptunk, mert a bal oldali tört számlálója negatív (-5), nevezője pozitív, mert n > 0, így a tört is negatív. Tehát a sorozat egy felső korlátjának K = 2 valóban megfelel. összefoglalva: sorozatunk szigorúan monoton nő és korlátos, alsó korlátja k = a 1=3/4, felső korlátja K = 2, konvergens, határértéke is 2. (Az alábbi ábra azt mutatja, hogy a sorozatok korlátaikkal együtt Excel programban is szemléltethetők.) Most nézzük meg, hogy ugyanennek a feladatnak a megoldásában, hogyan segítenek a Maple utasítások? [ > restart [ > with(plots): [ > a(n):=(2*n+1)/(n+3) [ > a(1) [ > a(2) [ > a(3) [ > a(n+1) [ > a(n+1)-a(n) [ > simplify(a(n+1)-a(n)) [ > solve({n > 0, a(n+1)-a(n) > 0}, [n]) [ > k := a(1) 26

33 Sorozatok [ > limit(a(n), n = infinity) [ > K := limit(a(n), n = infinity) [ > l := [`$`([n, a(n)], n = )] [ > plot([l, k, K], n = , style = [point, line, line], color = [blue, red, green], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, thickness = [4, 2, 2], view = [0.. 10, 0.. 2]) feladat Mit mondhatunk a következő sorozatról monotonitás és korlátosság szempontjából? Sejtés: a sorozat szigorúan monoton csökkenő 27

34 Sorozatok Milyen előjelű a kapott tört? Számlálója negatív (-8), de vajon a nevező előjele mi lesz? Mindkét szorzótényező negatív a nevezőben, mert n > 0, azért szorzatuk pozitív. A tört negatív lesz, mert a számlálója és a nevezője különböző előjelű. ezért a sorozat szigorúan monoton csökken. Korlátosság vizsgálata: Minden szigorúan monoton csökkenő és monoton csökkenő sorozat első eleme alkalmas lesz felső korlátnak, K = a 1 = 6 Az alsó korlát kiszámítása előtt nézzük meg a határértéket: Alsó korlátnak megfelelő lesz a -2, vagy bármely nála kisebb szám. Az alsó korlátnál minden sorozatelemnek nagyobbnak kell lennie, ezért a következő egyenlőtlenségnek kell teljesülnie: a n > - 2 Az egyenlőtlenség igaz, mert a számláló és a nevező is negatív, ezért a tört pozitív. A sorozat szigorúan monoton csökken, felső korlátja 2, alsó korlátja -2, tehát korlátos a sorozat, és így konvergens is, határértéke -2. Ezt a feladatot is végigkísérhetjük Maple-ben az előző feladatnál felsorolt utasításokkal. A kapott ábra: 28

35 Sorozatok feladat Mit mondhatunk a következő sorozatról monotonitás és korlátosság szempontjából? n 5 Kikötést kell tennünk, mert a nevező nem lehet 0. Miért nem tettünk kikötést az előző feladatokban, hiszen ott is tört tagú sorozataink voltak? Ha tettünk volna kikötést ez az első feladatban n -3, a másodikban n 0,5 lett volna, de ezek az n értékek a sorozatoknál sohasem fordulnak elő, mert az n csak pozitív, egész szám lehet. Monotonitás vizsgálata: a 5 nincs értelmezve Mit mondhatunk ennek a sorozatnak a monotonitásáról, először csökken, majd felugrik egy nagyot, és újra csökkenni kezd. Ha valaki csak az első három tagot számolja ki az a sejtése támadhat, hogy ez a sorozat szigorúan monoton csökkenő. Nézzük meg, hogy a szokásos számolásból kiderül-e a sorozat renitens viselkedése, s ha igen hogyan tudjuk észrevenni. 29

36 Sorozatok Vizsgáljuk meg a kapott tört előjelét, a számláló mindig negatív, tehát a tört előjelét a nevező fogja meghatározni. Ha n < 4 mindkét tényező negatív, a nevező pozitív, a tört negatív, tehát 4-nél kisebb n-ekre a sorozat szigorúan monoton csökken. Ha n > 5, akkor mindkét tényező pozitív, szorzatuk pozitív, a tört negatív, ekkor is szigorúan monoton csökken a sorozat. A fenti törtből a sorozat 4 és 5 közötti viselkedésére nem kapunk választ, ki kell számítanunk a megfelelő sorozatelemeket (amelyiket lehet). Mondhatjuk azt, hogy a sorozat szigorúan monoton csökken, ha n > 5, általában is elmondhatjuk, hogy a sorozat viselkedése nagy n-ekre érdekel bennünket, a sorozat elején néhány nem jól viselkedő taggal nem kell törődnünk. Korlátosság vizsgálata: Hasonlóan az előzőekhez gyakorlásként meg lehet határozni a határértéket, a felső korlát K = 7, az alsó korlát k = -5 lesz. összefoglalva a sorozat szigorúan monoton csökken, ha n > 5, felső korlátja K = 7, az alsó korlátja k = -5, tehát korlátos, ezért konvergens is, határértéke 1. A megoldás lépései Maple utasításokkal is végigvihetők. A kapott grafikon a korlátokkal: feladat Mit mondhatunk a következő sorozatról monotonitás és korlátosság szempontjából? a n = - 2 n

37 Sorozatok Monotonitás vizsgálata: a 1 = = 3 a 2 = = 1 a 3 = = -1 Sejtés: a sorozat szigorúan monoton csökken. Bizonyítás: a n+1 - a n = ( -2(n + 1) + 5) - ( -2n + 5) = -2n n - 5 = -2 < 0 Tehát a sorozat valóban szigorúan monoton csökken. Korlátosság vizsgálata: Mivel a sorozat szigorúan monoton csökkenő a sorozat első eleme alkalmas lesz felső korlátnak, K = a 1 = 3 A sorozat alulról nem korlátos. Bizonyítás indirekt: Tegyük fel, hogy van egy m szám, ami alkalmas alsó korlátnak, vagyis a sorozatnak nincs m-nél kisebb eleme. Ezt képletben a következőképpen írhatjuk fel: a n > m minden n N + esetén -2n + 5 m -2n m - 5 Vigyázat! Negatív számmal való osztás, az egyenlőtlenség irány megfordul! A kapott végeredmény nyilvánvaló lehetetlenség, hiszen n bármilyen nagy pozitív természetes szám lehet. Az ellentmondást csak úgy oldhatjuk fel, hogy eredeti állításunk hamis volt, vagyis a sorozatnak nincs alsó korlátja. összefoglalva a sorozat szigorúan monoton csökken, felülről korlátos, felső korlátja K = a 1 = 3, alulról nem korlátos. Maple-ben: [ > a(n):=-2*n+5 31

38 Sorozatok [ > a(1) [ > a(2) [ > a(3) [ > a(n+1)-a(n) [ > limit(a(n), n = infinity) [ > solve({a(n)-m >= 0}, [n]) [ > K := a(1) [ > l := [`$`([n, a(n)], n = )] [ > plot([l, K], n = , style = [point, line], color = [blue, red], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, thickness = [4, 2], view = [0.. 10, ]) 7.2. Két (egyváltozós) polinom hányadosának határértéke Az a n = 1/n sorozat határértékére visszavezethető feladatok A polinomok határértéke mindig ±, ha n, tehát ha két polinom hányadosának határértékét szeretnénk kiszámítani, az mindig egy ± / ± típusú kritikus határérték. Ezért ki kell találni valami olyan módszert, amivel azonos átalakítások segítségével addig formáljuk a kifejezéseket, amíg a határérték már nem lesz kritikus. Mi a polinom? Egy változó, jelen esetben n hatványai számokkal szorozva és összeadva, csökkenő hatványok szerint rendezve. Pl.: 4n 3 + 5n 2-2n + 11, ez n változó harmadfokú egyváltozós polinomja. A definíció szerint összeadásnak kell szerepelni a hatványok között, a fenti példában azonban van egy kivonás is. Okoz-e ez problémát? Nem, mert a polinom 32

39 Sorozatok 4n 3 + 5n 2 + (- 2) n + 11 formába is írható. Az n hatványok előtti szám-szorzókat együtthatóknak szoktuk nevezni. A legnagyobb kitevőjű hatvány előtti együttható a főegyüttható feladat Számítsuk ki a következő határértéket: Láthatjuk, hogy a számlálóban és a nevezőben is elsőfokú polinom van (n = n 1 ). A számlálót és a nevezőt is elosztjuk tagonként n-nel. Megtehetjük-e ezt anélkül, hogy megváltozna a tört értéke? Ez azonos átalakítás, nevezetesen tört egyszerûsítés, hasonlóan átalakításhoz, (ahol a törtet 3-mal egyszerűsítettük) tehát a tört értéke nem változik. Tudjuk, hogy, vagy másképp, ha Ezután a szürke keretben levő műveleti azonosságokat alkalmazzuk: A 2. azonosságot használtuk fel: 33

40 Sorozatok A számláló határértékére az 1. azonosság alkalmazható (kivonás), a számláló határértéke: a n = 2 (konstans 2 sorozat: 2, 2, 2, ), a = 2, b = 0, 2 0 = 2 A nevező határértékére szintén az 1. azonosság alkalmazható (összeadás), a nevező határértéke:, b n = 5 a = 0, b = 5, = 5 A tört határértékéhez már csak a 4. azonosságot kell felhasználni, és adódik, hogy ha a számláló határértéke 2, a nevezőé pedig 5, akkor a tört határértéke 2 / 5 lesz. Tehát: Maple-ben a limit utasítás azonnal megadja a sorozat határértékét. [ > [ > [ > plot([l, h], n = , style = [point, line], color = [blue, red], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, thickness = [4, 2], view = [0.. 10, 0...5]) 34

41 Sorozatok feladat Számítsuk ki a következő határértéket: A számláló és a nevező fokszáma megegyezik, mindkettő másodfokú polinom. A legnagyobb kitevőjû hatvány az n 2, ezzel osztjuk el a számlálót és a nevezőt is. A következő adódik: Az egyszerűsítések után: a szürke táblázat 2. és 3. azonosságát alkalmaztuk. 35

42 Sorozatok Általánosan is elmondhatjuk, hogy a (a számlálóban c egy állandó szám, a nevezőben n pozitív, egész kitevőjû hatványa az (n k ) típusú határérték mindig 0. Az előző feladatban megnéztük, hogy és ugyanígy igazolható az is, hogy Ezután az 1. és 4. azonosság alkalmazásával adódik, hogy a határérték A szemléltetést a Maple segítségével végezzük el. Az ábrára pillantva, észrevehetjük, hogy a sorozat csak a 2. elemtől kezdődően szigorúan monoton növekvő és azt is, hogy ennek a sorozatnak a konvergenciája sokkal lassúbb az előzőnél. Ott már a 10. elem 0,05-nél kevesebbel tér el a határértéktől, itt még a 20. elem eltérése is csaknem 10-szer annyi (0,5) feladat A következőben egy olyan tört határértékét számítsuk ki, ahol a számláló fokszáma nagyobb a nevező fokszámánál: 36

43 Sorozatok Magyarázat: A legnagyobb hatvány n 3, tehát ezzel osztjuk el a számlálót és a nevezőt is. Felhasználva az ismert azonosságokat azt kapjuk, hogy a számláló 1-hez, a nevező 0-hoz tart. A nem kritikus határértékek között felsoroltuk a szám/0 típusú határértéket, ami végtelen. Azt, hogy +, vagy végtelent kapunk-e a számlálóban és a nevezőben is a legnagyobb kitevőjû tagok előjele határozza meg. Ez a számlálóban az n 3, a nevezőben a 3 n 2, mivel mindkettő pozitív szám, az eredmény + lesz feladat Számítsuk ki a következő határértéket, a számláló fokszáma most legyen kisebb a nevező fokszámánál: 37

44 Sorozatok összefoglalás feladat Mit tegyünk, ha gyök is szerepel a feladatban? Először azt az esetet vizsgáljuk, amikor csak a nevezőben, vagy csak a számlálóban van gyök. n > 1 kikötést azért kell megtennünk, hogy a nevezőben ne legyen a gyök alatt negatív szám., mert 2n > 0. Magyarázat: A számlálóban levő kifejezést bevisszük a gyök alá. Gyök alá úgy viszünk be egy (nem negatív) kifejezést, hogy négyzetre emeljük. (Általában, ha n. gyök alá visszük be, akkor n. hatványra emeljük.) 38

45 Sorozatok feladat Ha a számláló és a nevező is azonos kitevőjű gyök alatt van. Ekkor közös gyök alá visszük és a gyök alatt a két polinom hányadosára vonatkozó szabály szerint járunk el. Felhasznált azonosság: 39

46 Sorozatok feladat Ha a számláló és a nevező gyökének fokszáma különböző, Azért, hogy a feladat nevezője ne legyen 0, az n > 1 kikötést kell tennünk. A felhasznált azonosságok: Azt is mondhatjuk, hogy a számláló fokszáma (a legnagyobb kitevőjű hatványának fokszáma) 3/2, harmadik hatvány a második gyök alatt, a nevező fokszáma (a legnagyobb kitevőjű hatványának fokszáma) 2/3, második hatvány a harmadik gyök alatt. Mivel a számláló fokszáma nagyobb, mint a nevezőé, a határérték. 40

47 Sorozatok 7.3. A q n sorozat határértékére visszavezethető feladatok A feladatok megoldása során gyakran felhasználjuk a középiskolában tanult hatványozás azonosságokat feladat Számítsuk ki a következő határértéket: Ebben a feladatban egy olyan törtet vizsgálunk, amelynek a nevezője egytagú (nincs a tört nevezőjében összeadás, kivonás) Az azonosságokat ebben a leckében kicsit szokatlan módon visszafelé alkalmazzuk. Mindenki előtt ismert, hogy két azonos nevezőjû törtet így adunk össze:, vagy betűkkel: 41

48 Sorozatok Fordítva alkalmazva ez azt jelenti, hogy ha egy tört számlálójában összeg van, akkor két azonos nevezőjű tört összegévé bontható., feladatunkban: Most nézzük az összeg két tagját külön, hogyan alakíthatók tovább. Az első tag számlálójában az 1. hatványozás azonosságot alkalmazzuk, ezt is fordítva jobbról balra olvassuk most: összeget látunk a kitevőben és azt azonos alapú hatványok szorzatává alakítjuk. Ezután 3 n -nel egyszerûsítünk és megkapjuk az összeg első tagját, ami 9. A második tag átalakítása: Tudjuk, hogy 1 minden hatványa 1, vagyis 1 n = 1 bármely n-re. Így Az utóbbi egyenlőség a hatványozás 5. azonosságát használta fel (jobbról balra visszafelé) Foglaljuk össze az átalakításokat és számoljuk ki a határértéket: A határérték kiszámításánál azt használtuk fel, hogy azaz számokkal és jelekkel: mert az alap abszolút értéke kisebb egynél, Az ábrán nyomon követhető a "villámgyors" konvergencia. 42

49 Sorozatok feladat Most egy olyan határértéket számítsunk ki, ahol a nevező többtagú és a hatványalapok is különbözők: Először alkalmazzuk az 1. és 2. hatványozás azonosságot: Próbáljuk a tagokat külön alakítani. A számláló 1. tagja Mit használtunk itt fel? Az egész számok törtekkel való szorzásának szabályát. Általánosan ezt így is írhatjuk: a számlálót az egész számmal megszorozzuk, a nevező változatlan marad. A számláló 2. tagja: 4 3 n 3 2 = n = n = 36 3 n Mit használtunk fel? A szorzás tényezői tetszés szerint felcserélhetők. Idegen szóval a szorzás kommutatív: a b = b a természetesen nemcsak két, hanem több tényezőre is igaz, hogy a tényezők tetszés szerinti sorrendbe írhatók. Mi a feladatban 3 tényezőre alkalmaztuk a kommutativitást. Hasonlóan alakítható a nevező 2. tagja is: 5 2 n 2 = n = 10 2 n Gyakori hiba, hogy az eredmény 20 n. Ez miért nem jó? Az n. hatvány csak a 2 alapra vonatkozik a 10-re nem n 20 n 10 n 2 n = (10 2) n = 20 n Hol tartunk most a fenti átalakítások után? A hatványalapok közül (2, 3) válasszuk ki a nagyobb abszolút értékût, ez (3) és annak n. hatványával (3 ) osszuk el tagonként a számlálót és a nevezőt is: Az 5. hatványozás azonosság és a lehetséges egyszerűsítések után a következő adódik: 43

50 Sorozatok A határérték kiszámításánál azt használtuk fel, hogy, mert az alap Szép példát látunk egy nem monoton sorozatra feladat Számítsuk ki a következő határértéket, az újdonság ebben a feladatban az előzőekhez képest, hogy az egyik kitevőben szorzat van. Ez a számláló 1. tagja a 2 2n. Hogyan alakítjuk át? Az átalakításhoz a 3. hatványozás azonosságot használtuk fel. 1. megjegyzés: ha a kitevőben a 2 és az n között nincs műveleti jel, ez mindig szorzást jelent, 2n = 2 n 2. megjegyzés: és is helyes átalakítás, de most a 2. számunkra a célravezető. A további átalakítások az 1. és 2. hatványozás azonosság szerint az előző feladatoknál ismertetett módon végezhetők el. 44

51 Sorozatok Kiválasztjuk a legnagyobb abszolút értékû hatványalapot, ez most 4, 4 n -nel osztjuk el a számláló és a nevező minden tagját. A nevező harmadik tagját így alakítjuk át: Az osztások, az 5. hatványozás azonosság és a fenti átalakítás alkalmazása után kapjuk: A határérték kiszámításánál azt használtuk fel, hogy mert mindhárom alap abszolút értéke egynél kisebb szám feladat Eddig nem használtuk még a 4. hatványozás azonosságot és nem vizsgáltunk negatív alapot sem. Nézzünk most egy olyan feladatot, ami ezeket is tartalmazza. A számláló 2. tagjában alkalmazzuk a 4. hatványozás azonosságot: 2 n 5 n = (2 5) n = 10 n 45

52 Sorozatok A legnagyobb abszolút értékű hatványalap most a 10, ezzel osztjuk a tört számlálóját és nevezőjét, természetesen most is felhasználjuk az 5. hatványozás azonosságot. A határérték kiszámításánál azt használtuk fel, hogy értéke egynél kisebb szám., mert mindkét alap abszolút feladat Változtassuk meg a feladatot úgy, hogy a legnagyobb abszolút értékű alap csak a nevezőben szerepeljen, a számlálóba 10 helyett írjunk egy kisebb számot, például 5-öt. A határérték számításnál azt kaptuk, hogy a tört számlálója 3-hoz, nevezője 0-hoz tart. Ezt a matematikailag csúnya felírást idézőjelbe tettem a 0-val való osztás miatt, de a határérték számítás elméletéből tudjuk, hogy ez nem ún. kritikus határérték, hanem tudjuk, hogy a sorozat a -be tart. Hogyan tudjuk eldönteni, hogy +, vagy végtelen lesz-e a határérték? A számlálóban és a nevezőben is el kell dönteni, hogy melyik tag a legnagyobb. Ez a számlálóban és a nevezőben is a 2. tag. Ezek egyikének előjele pozitív, (számlálóban a 3), a másiké negatív (a nevező 2. tagja), így hányadosuk negatív lesz, ezért a határérték -. 46

53 Sorozatok Ha a 20. tagot kiszámoljuk az már -752,132, a sorozat gyorsan "vágtat" a - felé Néhány " - " típusú kritikus határérték kiszámítása feladat Számítsuk ki a következő határértéket: Ha n, akkor n + 3 és, hasonlóan, tehát valóban a felírt kifejezés határértéke " - " típusú kritikus határérték. Ha egy kifejezést 1-gyel szorzunk, az értéke nem változik. Minden olyan tört értéke 1, amelynek a számlálója és nevezője megegyezik Emlékezzünk az azonosságra is. Szorozzuk meg a kifejezést 1-gyel, amit formában írunk fel. Törtet egész számmal úgy szorzunk, hogy az egész számot a tört számlálójával összeszorozzuk, a nevezőt változatlanul leírjuk, ugyanígy járunk el tetszőleges egész és törtkifejezésekkel is. 47

54 Sorozatok Felhasználtuk az átalakítás során a azonosságot, a összefüggést, ami minden a 0 esetére igaz. A következő lépésnél vigyázzunk a zárójelfelbontásra különösen, ha a zárójel előtt negatív előjel áll! A folytatás: Miért lett 0 a határérték? A számláló 4, a nevező határértéke +, a nem kritikus határértékek között felsoroltuk, hogy a Lassan konvergál a sorozat a 0-hoz, még 20. tagnál is legalább 0,4 az eltérés a határértéktől feladat Nem mindig lesz a számlálóban állandó szám az átalakítás után. Nézzünk erre is egy példát: Eddig a szokásos átalakításokat végeztük el. A határértéket " - " típusú kritikus határértékből szintén kritikus határértékké alakítottuk. típusú, Most osszuk el a számlálót és a nevezőt is n -tel. A gyök alá n-et négyzetre emelve n 2 formában vigyük be. 48

55 Sorozatok Nagyon gyorsan konvergál a sorozat 1-hez, már a 3. tagnál az ábrán szinte alig látható az 1-től való eltérés feladat Nézzünk még egy az előzőhöz hasonló példát: Eddig a szokásos átalakításokat végeztük el. A határértéket " - " típusú kritikus határértékből típusú, szintén kritikus határértékké alakítottuk. Most osszuk el a számlálót és a nevezőt is n 2 -tel. A gyök alá n 2 -et négyzetre emelve (n 2 ) 2 = n 4 formában vigyük be. A számláló 1-hez a nevező 0-hoz tart, az idézőjelbe tett osztásnak a számok körében nincs értelme, de mint határérték létezik és nem is kritikus, értéke, mégpedig +, mert a nevező pozitív, ahogy a számláló nagyobbik tagja is az. 49

56 Sorozatok 7.5. Az (1+1/n) n sorozat határértékére visszavezethető határértékszámítási feladatok feladat Számítsuk ki a következő határértéket: Először a zárójelben levő kifejezést alakra kell hoznunk. Az átalakításhoz a következőket használjuk fel: a + (-b) = a - b, vagy számokkal: 10 + (-3) = 10-3, ha egy kifejezéshez (vagy számhoz) egy negatív kifejezést (vagy számot) hozzáadunk, az ugyanazt eredményezi, mintha a hozzáadott értéket kivontuk volna. Törtet egész számmal úgy osztunk, hogy ha lehetséges elosztjuk a számlálót az egész számmal, ha nem a nevezőt szorozzuk meg vele. Ugyanígy végezzük el az említett műveletet algebrai kifejezésekre is. Algebrai kifejezéseknél általában a 2. módszer alkalmazható, ezért a számpélda és a betűs példa is arra vonatkozik., Hogyan lehet eldönteni a felírásból, hogy törtet osztunk egész számmal, vagy egész számot törttel? Az egyenlőségjel helye mutatja meg. A kétféle felírást tilos összekeverni, mert egész más eredményre vezet. Nézzünk mindkettőre ugyanazokkal a számokkal 1-1 példát és hasonlítsuk össze az eredményt: Egész számot törttel osztunk: 50

57 Sorozatok Törtet osztunk egész számmal: A fentieket alkalmazva adódik, hogy Az átalakításból látható, hogy, és így (Az utóbbi két átalakítás már nem tartozik szorosan a feladat megoldásához, csak cifrázat, hogy hányféleképpen is írható fel egy negatív törtkitevőjű hatvány.) feladat n > 1 Az alap átalakításánál kétféle gondolatmenet szerint is eljárhatunk. 1. Hasonlóan, mint a 2 polinom hányadosának határérték számításánál, vagyis a számlálót és a nevezőt is osszuk el n-nel. 2. A számlálóban és a nevezőben is emeljünk ki n-et, majd egyszerűsítsünk vele. 51

58 Sorozatok A kiemelés helyességéről mindig úgy tudunk megbizonyosodni, hogy visszaszorozzuk. Ez például a tört számlálója esetén így néz ki: Az eredmény nyilván mindkét esetben ugyanaz lesz, különben nagy baj lenne. A második eljárás vihető tovább a későbbi, bonyolultabb feladatokra. A kitevőben összeg van, ezért az 1. hatványozás azonosságot kell alkalmaznunk. Itt álljunk meg egy pillanatra. Nézzük meg a határértékeket külön-külön. Az első tört számlálójának és nevezőjének határértékei a nevezetes határértékek alapján: A második tört esetében nagyon vigyázzunk, gyakori hiba itt is e-t belekeverni a határérték számításba. Pedig ezek a határértékek teljesen mások. A kitevő itt konkrét szám. Ekkor meg kell nézni, hogy hova tart az alap. Jelen esetben ez a számláló és nevező esetén is 1. És ezt kell a megfelelő hatványra emelni, mivel 1 2 = 1, ezért a számláló és nevező határértéke is egy. Tehát még egyszer; csak akkor lesz a határérték az e megfelelő hatványa, ha a kitevőben n (vagy n is) szerepel és nem (csak) konkrét szám. 52

59 Sorozatok feladat n < 1 A zárójelben levő tört számlálójából és nevezőjéből is emeljünk ki 2n-et. A kitevőt írjuk n - 3 = n + ( -3) alakba és alkalmazzuk rá az első hatványozás azonosságot. A kitevőben levő különbségre alkalmazhattuk volna a 2. hatványozás azonosságot is, de akkor dupla emeletes törtet kellett volna írni, ami szintén jó, csak szokatlanabb. 2n kiemelése például a számlálóból: 1 + 2n = 2n ȥ(? +?) mit írjak az 1. kérdőjel helyére, mivel kell megszorozni a 2n-et, hogy 1-et kapjak? A reciprokával -nel, tehát ez kerül az első kérdőjel helyére. És mivel tudjuk helyettesíteni a második kérdőjelet? Mivel kell megszoroznunk 2n-et, hogy 2n-et kapjunk? Természetesen a válasz 1. Tehát a kiemelés eredménye: Hasonlóképpen járunk el a nevezőben is. 53

60 Sorozatok Végül a 4. hatványozás azonosság és az előző feladatból ismert átalakítások után adódik az eredmény. A konkrét szám (nem n) kitevőjű hatványokat nem szükséges a 4. hatványozás azonosság szerint felbontani, elég megnézni az alap határértékét (ez most 1) és a megfelelő hatványra (-3) emelni, ami eredményül 1-et ad feladat A számlálóból 2n-et, a nevezőből 3n-et emelünk ki, hogy "1+ valamilyen kifejezés" legyen a számlálóban és a nevezőben is. Ezután n-nel lehet egyszerûsíteni, de a szorzó ott marad. Az utolsó lépésben a 3. hatványozás azonosságot is alkalmaztuk a teljes kifejezésre. Ezután a 4. és 5. hatványozás azonosság alkalmazása következik és a már ismert emeletes törtté alakítás a belső zárójelben levő kifejezésekre. Így el is érjük, hogy kialakulnak a nevezetes határértékre jellemző mintázatok. A határértéken kívül felhasználtuk a nevezetes határértéket is, mert az alap egynél kisebb. 54

61 Sorozatok feladat A számlálóból 4n-et, a nevezőből 3n-et emelünk ki. Az egyszerűsítés és a hatványozás azonosságok elvégzése után adódik. A kitevő átalakítása a törtkitevőjű hatvány definíciója alapján történik, itt az szerint. (Az a betű most a teljes zárójeles kifejezést helyettesíti.) A határértéken kívül felhasználtuk a nevezetes határértéket is, a határérték azért +, mert az alap egynél nagyobb. 55

62 Sorozatok feladat Utoljára nézzünk meg egy renitens példányt, egy oszcillálva divergens sorozatot. Az előzőekben részletezett átalakításokat végezzük itt is el. Mivel a sorozat páros indexű és páratlan indexű tagjainak más a határértéke, ezért a sorozat divergens. Ha n páros a határérték: Ha n páratlan: 56

63 Sorozatok 7.6. Feladatok önálló megoldásra 1. Vizsgálja meg monotonitás, korlátosság szempontjából a következő sorozatot! Konvergens-e? Ha igen, adja meg a határértékét! Adjon meg küszöbszámot, ha ε= 10-2! 2. Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha igen, adja meg a határértéküket! 57

64 Sorozatok 3. Vizsgálja meg korlátosság szempontjából a következő sorozatokat! 8. Függelék -- Számhalmazok A természetes számok halmaza Az ember történelme során először a természetes számok halmazával ismerkedett meg. Este beterelte az állatokat a karámba és közben megszámolta őket. Vajon ugyanannyi van, mit reggel? Tehát a természetes számok halmaza 0, 1, 2, 3, 4, 5, Jele: N, a naturalis latin szóból származik, ami természetest jelent, bár gondolhatunk a natur angol szóra is. Az N első, vagy középső szárát általában duplán szokták megrajzolni. A 0 számra érdemes külön kitérni, mert ez a középkorban sok vitát szült, az emberek nagyon nehezen tudták elfogadni. A nulla semmi, és mégis megtízszerezi az előtte álló számot. Ez volt az, ami sehogy sem fért az emberek fejébe. (Forrás: B.L. van der Waerden, Egy tudomány ébredése Egyiptomi, babiloni és görög matematika Gondolat Budapest 1977) Ha a természetes számokat szemléltetni akarjuk, elhelyezhetjük őket egy félegyenesen, különálló, diszkrét pontok, egymástól 1 távolságra. 58

65 Sorozatok Ha alapműveleteket (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) kezdünk végezni a természetes számokkal, észrevehetjük, hogy bármely két természetes szám összege és szorzata is természetes szám lesz, de ez nem igaz a kivonásra (pl. 3-5 kivonás eredmény nem természetes szám). Ezt a matematikusok úgy mondják, hogy a természetes számok halmaza zárt az összeadásra és a szorzásra nézve, de nem zárt a kivonásra. Az egész számok halmaza Ha bevezetjük azokat a számokat, amiket két természetes szám különbségeként kaphatunk, eljutunk az egész számokhoz -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 Az egész számok halmazának jele:, a német Zahl szó kezdőbetűje. Az egész számok halmaza tartalmazza a természetes számokat, annak kibővítése, halmaz jelöléssel:. Ha szemléltetni szeretnénk az egész számokat, egy egyenest kell rajzolnunk, és azon lesznek egymástól 1 távolságra az egész számokat jelképező diszkrét pontok. Ha megvizsgáljuk a műveleteket az egész számok körében, akkor azt tapasztaljuk, hogy a természetes számoknál fennálló zártságot nem rontottuk el (tehát az egész számok halmaza zárt az összeadásra, szorzásra és a kivonásra nézve) és sikerült a kivonásra is zárttá tennünk a halmazt. De itt a 4. alapművelet, az osztás. Sajnos az osztásra nézve nem zárt az egész számok halmaza, pl 2:7 nem egész. Quentin Massys A pénzváltó és felesége (1514) Olaj, fa, 71 x 68 cm Louvre, Párizs. A racionális számok halmaza Bővítsük a halmazt újra. Vezessük be a két egész szám hányadosaként kapott számokat is. Így eljutunk a racionális számokhoz. A pontos definíció így szól : Racionális számok a p/q alakú számok, ahol p, q és q 0. De miért nem lehet, a nevező, más szóval az osztó 0? Ritkán tudják megválaszolni ezt a kérdést. Gondoljunk bele, hogy mit jelent az osztás, például nézzük a következőt: 35 : 7 = 5, az osztás próbája a szorzás, ezért 5 7 = 35. Most alkalmazzuk ugyanezt a gondolatmenetet a 0-val való osztásra. 3:0 =?, először mondjuk legyen a kérdőjel helyén 0, ekkor a próbát elvégezve *(0, 0) = 3 adódik, ami nyilvánvalóan hamis állítás. Ha a kérdőjel helyére más számot írunk, akkor ez a más szám szorozva 0-val 3-mat kellene hogy adjon, ugye ez sohasem teljesülhet? Tehát sikerült megértenünk, hogy a 0-val való osztást kizárni a mûveletek közül nem a matematikusok szőrszálhasogatása, hanem ésszerû döntés. A racionális számok jele Q. A hányados quotient angol szóból, vagy a latin quotiens hányszor szóból származik. Most már elmondhatjuk, hogy sikerült egy olyan számhalmazt találni, ami a 4 alapmûveletre nézve (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) zárt. A racionális számok halmaza tartalmazza az egész számokat, annak kibővítése, halmaz jelöléssel: Q (! keresni jobb jelölést). Vajon van-e olyan mûvelet, ami kivezet a racionális számok halmazából is? Bizony van. A középiskolából általában a következő mondatok tûnnek ismerősnek. A 2 nem racionális szám, ezt általában bizonyítani is szokták. Vannak olyan pozitív egész számok, amelyek gyöke nem racionális, ezeket irracionális számoknak nevezzük. A π is irracionális szám. Hogy is van ez pontosan? Ahhoz, hogy a racionális és irracionális számok fogalmát teljesen rendbe tegyük, vizsgáljuk meg a számok tizedes tört alakját. Hogyan kapjuk meg egy p /q alakú közönséges tört tizedes tört alakját? Úgy, hogy p-t (a számlálót) elosztjuk q- val (a nevezővel). Nézzünk erre néhány példát: 59

66 Sorozatok Mit mondhatunk a fenti példák alapján a racionális számok tizedes tört alakjáról? Ha az osztás során előfordul 0 maradék, a tizedes tört véges, ha nem fordul elő 0 maradék, akkor végtelen. A második példában a 7-tel való osztásnál hány különböző maradék lehet? Legfeljebb 6 féle (1, 2, 3, 4, 5, 6), legrosszabb esetben a 6 maradék elő is fordul. Ezt látjuk a második osztásnál, ezért a kapott tizedes törtben a 6 hosszúságú szakasz (428571) ismétlődik. A harmadik példánál a tizedes vessző után egy 8-as jön, majd az ismétlődő maradékok miatt csupa hármas következik, az ismétlődő szakasz itt 1 hosszúságú. Tehát a racionális számok tizedes tört alakja véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört. Azt is meg tudjuk mondani a nevező (osztó) ismeretében, hogy mikor lesz az osztás végeredmény véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört. Ha a nevező prímtényezős felbontásában csak 2-es és 5-ös számok szerepelnek, az osztás végeredmény véges, hiszen a tört bővítésével a nevezőben 10 hatványt kaphatunk. Ha a nevező prímtényezős felbontásában csak 2-től és 5-től különböző számok vannak, akkor a tizedes tört végtelen, ún. tiszta szakaszos, ha a nevező felbontásában 2, vagy 5 valamelyike, vagy mindegyike előfordul, de más tényezők is vannak, akkor a tizedes tört szintén végtelen, de ún. vegyes szakaszos. Azért vegyes szakaszos, mert nem csak az ismétlődő számok szerepelnek benne, hanem az elején ott van néhány más szám (kakukktojás) is. Ez látható a 3. példában. Miért pont azok a számok lesznek véges tizedes törtek, amelyeket 2 és 5 hatványt tartalmazó nevezőjû törtekből kapunk? Ennek az oka, hogy 10- es számrendszerben számolunk. A 3-as számrendszerben az 1 / 3 és minden olyan szám, amelynek nevezőjében csak 3 hatványok vannak, véges tizedes tört lesz. Az irracionális számok Tehát összefoglalva a racionális számok tizedes tört alakja véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört. El tudunk képzelni más tizedes törteket is? Igen, végtelen nem szakaszosakat, ezek lesznek az irracionális számok. Nézzünk egy példát: 0, és így tovább. Mivel egyre hosszabb 0 és 1 sorozatot tartalmaz a tizedes tört, nem találunk benne ismétlődő szakaszt. A fenti példához nagyon sok hasonló tizedes törtet tudnánk alkotni, bár ezek szakaszt nem tartalmaznak, mégis valamilyen szabályosság szerint építettük fel őket. A 2, a π és a későbbiekben előforduló e szám is irracionális, de ezekben semmi szabályosság, mintázat 60

67 Sorozatok nem fedezhető fel. Ezeket a számokat teljes egészében soha nem tudjuk megismerni, de az egyre gyorsabb számítógépek egyre több jegyüket tudják kiszámítani. Az irracionális számok, különösképpen a π misztikája zeneszerzők, költők, írók fantáziáját is megmozgatta. Érdekes böngészés az Interneten, milyen mûalkotások születtek a π-vel kapcsolatosan, hány jegye ismert? Az irracionális számok jelölésére a Q*-ot vezették be. Az irracionális számhalmaz a felsoroltak közül az egyetlen, ami nem fogható fel úgy, mint az előző számhalmazok bővítése. Az irracionális és a racionális számok halmazának nincs közös eleme, Q Q* =. Az ábrán néhány nevezetes geometriai példát is látunk, ahol a számolás eredményeként irracionális számok adódnak. 61

68 2. fejezet - Sorok 1. Sorok, bevezető példák Akhilleusz és a teknős A teknős versenyfutásra hívja ki a fürgelábú Akhilleuszt, aki nála tízszer gyorsabb; a hős elfogadja a kihívást, s ellenfelének 1 stadion előnyt ad. Mire Akhilleusz elér arra a pontra, ahonnan ellenfele indult, addig az is megtesz egy tized stadion távolságot, valamennyi előnye tehát marad. Akhilleusz villámgyorsan lefutja ezt is ám a teknős újfent előrébb iszkol, ezúttal egy század stadionnyit. Mire Akhilleusz ledolgozza hátrányát, a teknős még mindig előtte marad: egy ezred stadion távolságra. És ez így megy a végtelenségig, a teknős előnye folyamatosan csökken, de soha nem fogy el: álljon ellenfele bármilyen jó futó hírében, képtelen őt megelőzni. Józan eszünk azt mondatja velünk, hogy ez lehetetlen. 1 stadion = 184,8 m ókori mértékegység, az egyszerűbb számolás kedvééert legyen a teknős előnye 100 m, Akhilleusz sebessége 5 m/s, a teknős sebessége ennek tized része 0,5 m/s. Azt gondolom, hogy ezzel a feltételezéssel nagyon méltányosak voltunk a teknőshöz. Tegyük fel továbbá, hogy Akhilleusz t idő alatt éri utol a teknőst. Ekkor a következő egyenletet írhatjuk fel: 5 t=0.5 t t=100 Nézzük ugyanezt a számolást Maple-ben, és ábrázoljuk a két versenyző út - idő függvényét: [ > utolér : = solve(0.5 t t, t) utolér :=

69 Sorok [ > plot([5 x, 0.5 x+100], x = , y = ) Tehát azt kaptuk, hogy az indulás után 200/9 másodperc múlva, azaz tíz jegyre kerekítve 22, s múlva éri utol Akhilleusz a teknőst, és nem soha, ahogy a bevezető szöveg sugallja. Hogyan tudjuk feloldani az ellentmondást? Nézzünk egy másik bevezető példát. Tekintsünk egy egységnyi oldalú négyzetet. Az ábrára kattintva Maple-ben ki tudjuk színezni. Először egy 1/2 területű téglalapot, majd egy fele akkor 1/4 területű négyzetet, majd újra egy téglalapot kapunk, amelynek 1/8-ad a területe, és így tovább. A területek összege a következő lesz: 63

70 Sorok 2. A sor matematikai fogalma Számsornak a következő végtelen tagú összeget nevezzük: Ezután definiáljuk a számsor részletösszegeit: a sor első részletösszege a sor második részletösszege... a sor n. részletösszege A részletösszegek számsorozatot alkotnak. A számsort konvergensnek nevezzük, ha a részletösszegek sorozatának véges határértéke létezik. Fontos megkülönböztetnünk a következő két sorban levő összeget: 64

71 Sorok összeg. a sor n. részletösszege, n bármilyen nagy szám lehet, de véges. Tehát ez egy véges tagú a sor összege, a végtelen tagú összeg. Ez az összeg lehet véges, vagy végtelen, a részletösszegek sorozatának határértékétől függően. A sorok definíciója kapcsán két sorozattal találkozunk a tagok és a részletösszegek sorozatával. A következő ábra ezt szemlélteti egy véges összegű sor esetén. a 1, a 2, a 3,... aa n a sor tagjainak sorozatát alkotják, S 1, S 2, S 3,... S n a részletösszegek sorozata és S a végtelen tagú összeg jele. 3. A mértani sor Most vizsgáljunk meg néhány sort, hogyan tudjuk kiszámítani a sorösszeget, hogyan lehet eldönteni, hogy a sor konvergens, vagy divergens. Tekintsük először a mértani sort. Középiskolai tanulmányokból a mértani sorozat jól ismert. Ebben a sorozatban az egymást követő tagok hányadosa állandó. Ha felírjuk a mértani sorozat összegét, de az n. tagnál nem hagyjuk abba az összegzést, hanem a végtelenségig folytatjuk, akkor kapjuk a mértani sort. Mértani sor: A mértani sor részletösszegei:... Az n. részletösszeget zárt formában fel tudjuk írni, ha felhasználjuk a mértani sorozat jól ismert összegképletét: A sorozatok fejezetben tanulmányoztuk a q n sorozatot és különböző q-k esetén felírtuk a határértéküket. Idézzük fel: Különben osszillálva divergens a sorozat Mivel az összegképletből következik, hogy q 1, ezért látható, hogy csak akkor lesz véges határértéke az n. részletösszegnek, S n -nek, ha q < 1. 65

72 Sorok Ekkor a keresett határérték, más szóval a mértani sor összege: ezt úgy is mondhatjuk, hogy a mértani sor konvergens. Ha, akkor a mértani sor divergens. Szorosan kapcsolódik a mértani sorok témájához a racionális számok tizedestört alakja. A középiskolai tanulmányok során itt általában maradt egy hiány, ezt fogjuk most pótolni. Racionális számok tizedestört alakja: Hogyan kapjuk meg egy p/q alakú közönséges tört tizedes tört alakját? Úgy, hogy p-t (a számlálót) elosztjuk q- val (a nevezővel). Nézzünk erre néhány példát: Mit mondhatunk a fenti példák alapján a racionális számok tizedes tört alakjáról? Ha az osztás során előfordul 0 maradék, a tizedes tört véges, ha nem fordul elő 0 maradék, akkor végtelen. A második példában a 7-tel való osztásnál hány különböző maradék lehet? Legfeljebb 6 féle (1, 2, 3, 4, 5, 6), legrosszabb esetben a 6 különböző maradék elő is fordul. Ezt látjuk a második osztásnál, ezért a kapott tizedes törtben a 6 hosszúságú szakasz (428571) ismétlődik. A harmadik példánál a tizedes vessző után egy 8-as jön, majd az ismétlődő maradékok miatt csupa hármas következik, az ismétlődő szakasz itt 1 hosszúságú. Tehát a racionális számok tizedes tört alakja véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört. Azt is meg tudjuk mondani a nevező (osztó) ismeretében, hogy mikor lesz az osztás végeredmény véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört. Ha a nevező prímtényezős felbontásában csak 2-es és 5-ös számok szerepelnek, az osztás végeredmény véges, hiszen a tört bővítésével a nevezőben 10 hatványt kaphatunk. Ha a nevező prímtényezős felbontásában csak 2-től és 5-től különböző számok vannak, akkor a tizedes tört végtelen, ún. tiszta szakaszos, ha a nevező felbontásában 2, vagy 5 valamelyike, vagy mindegyike előfordul, de ha más tényezők is vannak, akkor a tizedes tört szintén végtelen, de ún. vegyes szakaszos. Azért vegyes szakaszos, mert nem csak az ismétlődő számok szerepelnek benne, hanem az elején ott van néhány más szám (kakukktojás) is. Ez látható a 3. példában. Miért pont azok a számok lesznek véges tizedes törtek, amelyeket 2 és 5 hatványt tartalmazó nevezőjű törtekből kapunk? Ennek az oka, hogy 10-es számrendszerben számolunk. A 3-as számrendszerben az 1/3 és minden olyan szám, amelynek nevezőjében csak 3 hatványok vannak, véges tizedes tört lesz. Most vizsgáljuk meg ugyanezt a kérdést "visszafelé". Könnyen belátható, hogy egy véges tizedestört közönséges tört alakra hozható, ha a törtet bővítjük úgy, hogy a nevező 10 hatvány legyen. Például: De hogy látható be, hogy a végtelen szakaszos tizedestört mindig alakú, racionális számot ad. Így megkaptuk azt a közönséges törtet, amiből osztással a példa tizedestörtje adódik. Ezt számológéppel könnyen ellenőrizhetjük, ha elosztjuk a tört számlálóját a nevezőjével. 66

73 Sorok Vigyázzuk arra, hogy ha mértani sor összegét számoljuk soha ne felejtsük el ellenőrizni, hogy a mértani sor hányadosa q < 1 legyen. Hogy számolja ki a Maple a sorösszeget? [ > # a Maple kiszámolja a sorösszeget [ > evalf(a, 10) # Megkapjuk a tört 10 tizedesre kerekített értékét, az eredmény: Az evalf utasítás 10 számjegyre kerekítve adta meg az eredményt, ezért 9 az utolsó jegy. Határozzuk meg a következő sor összegét: Először írjuk fel a sorozat néhány tagját: Észrevehetjük, hogy ez egy hányadosú mértani sor, melynek első eleme, mivel q < 1 alkalmazhatjuk a mértani sor összegképletét: Mi történne akkor, ha elfeledkeznénk a q < 1 feltételről és automatikusan alkalmaznánk a mértani sor képletét. Legyen a sor az S = sor, ez egy q = -1 hányadosú, a 1 = 1 kezdőértékű mértani sor. Az összegképlet alapján Most tekintsük a részletösszegek sorozatát: S 1=1, S 2 = 1-1 = 0, S 3 = = 1 S 4 = = 0, előbb-utóbb észreveszzük, hogy a részletösszegek sorozata az 1, 0, 1, 0, 1,... oszcillálva divergens sorozat. Tehát, ha nem teljesül a q < 1 feltétel, az összegképlet alkalmazása hamis eredményre vezet. 4. Konvergencia kritériumok Ha a sorunk nem mértani, hogyan tudjuk eldönteni, hogy konvergens-e? Konvergencia szükséges (de nem elégséges) feltétele: Ha S konvergens (A sor konvergenciájának szükséges, de nem elégséges feltétele a tagok sorozatának 0 határértéke.) Ha egy sor konvergens, akkor a tagok sorozatának határértéke 0, de ha a tagok sorozatának határértéke 0, abból nem következik a sor konvergenciája. Nézzünk egy példát. Tekintsük az úgynevezett harmonikus sort: esetén de a sor mégsem konvergens. Itt a sort alulról becsültük, és a kapott sor -hez tart, akkor a nála nagyobb, vagy egyenlő tagokból álló sor is a végtelenbe tart. A harmonikus sor divergenciája a Maple-ben: [ > a := sum(1/k, k = 1.. infinity); Tehát, ha egy sor tagjainak határértéke a -ben 0, az még nem jelenti azt, hogy a sor konvergens, de ha a tagok sorozata nem tart 0-hoz akkor a sor biztosan nem konvergens. Egy ilyen sorra is nézzünk meg egy példát: 67

74 Sorok a sor nem konvergens [ > A feladat megoldás során, tehát először mindig nézzük meg, hogy a sor tagjainak mi a határértéke, ha nem 0, már nem kell tovább foglalkozni a sorral, mert biztosan nem konvergens, ha 0, akkor további vizsgálódásra van szükség, mert lehet, hogy a sor konvergens, de az is lehet, hogy nem. Ebben az esetben a konvergencia eldöntésében segítenek a különböző kritériumok. Minoráns kritérium Ha divergens és b n a n minden n-re, akkor is divergens. Szavakban megfogalmazva: Ha a sorunknál találunk egy tagonként nem nagyobb (kisebb, vagy egyenlő) sort és az divergens, akkor a vizsgálatunkra kijelölt sor is divergens lesz. A minoráns kritériumot a harmonikus sor divergenciájának bizonyításánál használtuk fel. Majoráns kritérium Ha konvergens és b n a n minden n-re, akkor is konvergens. Szavakban megfogalmazva: Ha a sorunknál találunk egy tagonként nem kisebb (nagyobb, vagy egyenlő) sort és az konvergens, akkor a vizsgálatunkra kijelölt sor is konvergens lesz. Egy példa a majoráns kritériumra. Döntsük el, hogy a következő sor konvergens, vagy divergens: Alulról becsüljük az n faktoriálist. Mivel a faktoriálisok reciprokai alkotják a sorozatot, ezést a 2 hatványokat helyettesítve felső becslést kapunk. A majoráló sor, mértani, összege az ismert képlettel könnyen adódik. Most azt nem tudtuk meg, hogy a kérdéses sor összege pontosan mennyi, de tudjuk, hogy a sor konvergens, és összege nem lehet több, mit 3. Mit mond erről a Maple? [ > a := sum(1/k!, k = 0.. infinity); A sor összege e, a természetes alapú logaritmus alapszáma, ami (a közelítő értéket is kiírathatjuk az evalf utasítással) valóban kisebb, mint 3. Tananyagunk kereteit ez a számolás meghaladja, így elhisszük a Maple eredményét. További kritériumok is rendelkezésünkre állnak a sorok konvergenciájának vizsgálatához. Gyökkritérium: sor konvergens, ha divergens, ha 68

75 Sorok ezzel a módszerrel nem lehet eldönteni a konvergenciát, ha Példa a gyökkritériumra. Döntsük el, hogy konvergens-e a következő sor?, mert, ha n. Tehát a sor konvergens. Hányadoskritérium: sor konvergens, ha divergens, ha ezzel a módszerrel nem lehet eldönteni a konvergenciát, ha Példa a hányadoskritériumra: Döntsük el, hogy konvergens-e a következő sor?, ha n. Tehát a sor konvergens. 5. Egyéb sorokra vonatkozó összefüggések Egy érdekes sor a teleszkópikus sor: Átalakítjuk az n. tagot: Az átalakítást alkalmazzuk minden tagra, látható, hogy minden kapott tört szerepel egyaránt pozitív és negatív előjellel is, kivéve az első és az utolsó tagot:, ha n n [ > b := Sum(1/(k*(k+1)), k = ) # Nagy betűvel kezdődő utasítás (Sum) esetén megismétli szumma jellel a kérést [ > b := sum(1/(k*(k+1)), k = ) # A sor első 10 tagját adja össze [ > b := sum(1/(k*(k+1)), k = ) # A sor 100 tagját adja össze [ > a := sum(1/(k*(k+1)), k = 1.. infinity) # Kiszámolja a sor összeget 69

76 Sorok A váltakozó előjelű sorokat alternáló soroknak is nevezük. Emlékezzünk vissza, általában nem igaz, hogy ha a sor tagjainak sorozata 0-hoz tart, akkor a sor konvergens. Erre láttuk ellenpéldának a harmonikus sort. A váltakozó előjelű sorokra igaz a következő tétel: Leibniz tétel: A váltakozó előjelű sor konvergens, ha tagjainak abszolút értéke monoton csökkenve 0-hoz tart. A hiba (a pontos sor összegtől való eltérés) nem nagyobb, mint az első elhagyott tag abszolút értéke: Számoljuk ki, hogy mekkora hibát követünk el a sorösszeg kiszámításáben, ha az első 5 tagot adjuk össze. [ > [ > [ > c := evalf(a, 10); [ > d := abs(c-b); Pozitív tagú sorok Ha a n>0 minden n-re, akkor az akkor konvergens is. részletösszegei monoton nőnek, ezért, ha a pozitív tagú sor korlátos, Abszolút konvergensnek nevezünk egy sort, ha a sor tagjainak abszolút értékeiből képezett sor is konvergens. Példa abszolút konvergens sorra: Feltételesen konvergensnek nevezünk egy sort, ha a sor konvergens, de nem abszolút konvergens. Feltételesen konvergens sorra példa a váltakozó előjelű harmonikus sor. 6. Szemléltetés A Maple-ben a harmonikus sort a következő rövid programokkal is szemléltethetjük. Az első animációban a számegyenesen ábrázoljuk a sor részletösszegeit, a másodikban a koordináta-rendszerben. A harmadikban koordináta-rendszerben, ill. számegyenesen együtt ábrázoljuk a sor tagjait és részletösszegeit. Pirossal a sor tagjai jelennek meg, kékkel pedig a részletösszegek. [ > a := 0: [ > K := NULL: [ > for i from 1 to 10 do a:=a+1/i: p : =pointplot({seq([a, 0], n=1..10)}, color=red, symbol=solidcircle, symbolsize=12): d:=display({p,q}, scaling=constrained): q:=textplot([2,0.5,a]): K:=K,d: od: display([k],insequence=true); [ > a := 0: 70

77 Sorok [ > K := NULL: [ > for i from 1 to 10 do a:=a+1/i: p:=pointplot({seq([i, a], n = )}, color = blue, symbol = solidcircle, symbolsize = 12): q:=textplot([i,2.5,convert(a,string)]): d:=display({p,q},scaling=constrained): K:=K,d: od: display([k],insequence=true); [ > a := 0: [ > K := NULL: [ > for i from 1 to 10 do a:=a+1/i: p:=pointplot({seq([a, 0], n = )}, color = blue, symbol = solidcircle, symbolsize = 12): e:=pointplot({seq([1/i, 0], n = )}, color = red, symbol = solidcircle, symbolsize = 12): q:=textplot([2,0.5,a]): f:=textplot([0.5,0.5,1/i]): d:=display({p,e,q,f},scaling=constrained): K:=K,d: od: display([k],insequence=true); [ > a := 0: [ > K := NULL: [ > for i from 1 to 10 do a:=a+1/i: p:=pointplot({seq([i, a], n = )}, color = blue, symbol = solidcircle, symbolsize = 12): e:=pointplot({seq([i, 1/i], n = )}, color = red, symbol = solidcircle, symbolsize = 12): q:=textplot([i,2.5,convert(a,string)]): d:=display({p,e,q},scaling=constrained): K:=K,d: od: display([k],insequence=true); 7. Feladatok önálló megoldásra Döntsük el a következő sorokról, hogy konvergensek, vagy divergensek. Ha lehet határozzuk meg a sor összeget (mértani sor, és teleszkópikus sor esetén). 71

78 Sorok 72

79 3. fejezet - Függvények 1. Függvény definíciója Függvény definíciója Adott két halmaz A és B. Az f hozzárendelés függvény, ha az A halmaz minden eleméhez hozzárendeli a B halmaz egyetlen elemét. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya. A B halmaz az értékkészlet. A következő hozzárendelések példákat mutatnak függvényekre és olyan hozzárendelésekre, amelyekben nem teljesül a függvény definíciójának egyik, vagy másik feltétele. Egy - több hozzárendelés Több - egy hozzárendelés Nem függvény, mert az A Függvény halmaz elemeihez a B halmaznak nem egyetlen elemét rendeltük.... Nem függvény, mert az A halmaz nem minden eleméhez rendeltünk hozzá elemet a B halmazból. Egy-egy értelmû, vagy más szóval kölcsönösen egyértelmû hozzárendelés Függvény A függvény jelölésére általában kis betűket használunk: f, g, h,...az f függvény értelmezési tartományának D f, értékkészletének R f a jelölése. A függvény megadása többféle módon történhet:, a továbbiakban leginkább ezt a jelölést használjuk egyenlete., a függvény síkbeli derékszögű Descartes koordináta - rendszerben ábrázolt grafikonjának x szokásos elnevezése független változó, y, vagy f(x) a függvény érték. Az alábbi grafikonokat vizsgáljuk meg, lehetnek-e függvény képei (ill. egy függvény képeinek részei)? 73

80 Függvények 1.1. Az értelmezési tartomány Két lehetőség van: 1. A függvény megadásával együtt az értelmezési tartományt is megadják, ekkor nincs dolgunk az értelmezési tartomány meghatározásával. 2. A függvénynek csak a hozzárendelési utasítását adják meg. Ekkor az értelmezési a független változóknak az a legbővebb halmaza, ahol a függvény értelmezhető. Jelölés: D[f] (Az értelmezési tartományt meghatározását egyszerûen úgy is szoktuk fogalmazni, hogy megtesszük a szükséges kikötéseket.) A legfontosabb függvény típusok, ahol kikötést kell tenni: A nullával való osztásnak nincs értelme, a tört nevezője nem lehet 0. Példa: Kikötés: A páros gyökkitevő alatt csak nem negatív szám állhat. Példa: Kikötés: 74

81 Függvények [ > [ > solve( x -3) 0) Csak pozitív számnak vehetjük a logaritmusát. Példa: [ > plot ( [ln (1-x 2 ) ], x = , y = ) [ > solve( 1 - x 2 > 0) 75

82 Függvények Figyelem! Minden függvényekkel kapcsolatos feladatnál, ha a feladat nem adja meg az értelmezési tartományt, az első dolgunk meghatározni azt, vagyis a szükséges kikötéseket megtenni, akár kérdezi ezt a feladat, akár nem. Mikor kell kikötést tenni? Ha a függvény képlete tartalmaz osztást, páros gyököt, vagy/és logaritmust. (A tgx és a ctgx függvények a sinx és cosx függvények hányadosai, osztást tartalmaznak, tehát a tgx és ctgx függvények esetén is kikötést kell tennünk.) 2. Függvénytulajdonságok 2.1. Zérushely Azon amelyre Szemléletesen: ahol a függvény az x tengelyt metszi. Határozzuk meg a következő függvény zérushelyét: Szorzat akkor egyenlő nullával, ha valamelyik tényezője nulla. [ > plot( [ (x-3) ln ( x )], x = 0.. 5, y = ) [ > solve ( ( x-3 ) ln ( x ) = 0) 2.2. Paritás Definíció: Az f(x) függvényt párosnak nevezzük, ha f(-x) = f(x) minden a függvény az y tengelyre tengelyesen szimmetrikus. Az f(x) függvényt páratlannak nevezzük,ha f(-x) = -f(x) minden hogy a függvény az origóra középpontosan szimmetrikus. esetén. Geometriailag ez azt jelenti, hogy esetén. Geometriailag ez azt jelenti, Ha egy függvényre a fent leírtak egyike sem áll fenn, akkor azt mondjuk róla, hogy se nem páros se nem páratlan. Az elnevezés onnan származik, hogy minden páros hatvány függvény páros és minden páratlan 76

83 Függvények hatványfüggvény páratlan. (Ábrák a hatványfüggvényekről, a különböző függvény típusoknál láthatók.) A trigonometrikus függvények közül a cos(x) függvény páros a többi páratlan. Példák: Az függvény páros. [ > [ > A függvény páratlan. [ > 77

84 Függvények A következő függvény se nem páros, se nem páratlan. [ > Hogyan tudjuk eldönteni ábrázolás nélkül számolással, hogy egy függvény páros, vagy páratlan? Helyettesítsünk a függvény képletébe x helyett -x-et, majd egyszerűsítsük le a képletet amennyire lehet, és ezután nézzük meg, hogy visszakaptuk-e az eredeti függvényt, vagy a -1-szeresét., ezért a függvény páros. nem páros, se nem páratlan. és, ezért a függvény se 78

85 Függvények 2.3. Periodikusság Definíció: Az f(x) függvényt peridikusnak nevezzük, ha van olyan p valós szám, amelyre f(x+p) = f(x). Az ilyen tulajdonságú valós számok között a legkisebbet a függvény periódusának nevezzük. Példa: [ > periódusa 2π periódusa 2π [ > 79

86 Függvények periódusa π [ > periódusa [ > Általában is igaz, hogy függvény periódusa 2.4. Monotonitás Definíció: Az f(x) függvényről azt mondjuk, hogy 80

87 Függvények szigorúan monoton csökken, ha f(x 1)> f(x 2) monoton csökken, ha f(x 1) f(x 2) szigorúan monoton nő, ha f(x 1)< f(x 2) monoton nő, ha f(x 1) f(x 2) az értelmezési tartomány bármely x 1 és x 2 x 1 < x 2 elemeire. Példa: Az függvény [ > a ]-, -2] intervallumon szigorúan monoton csökken, a [-2, 0] intervallumon szigorúan monoton nő, a [0, 2] intervallumon szigorúan monoton csökken, a [2, [ intervallumon szigorúan monoton nő. A constans függvényt egyszerre mondjuk csökkenőnek és növekedőnek. [ > 81

88 Függvények 2.5. Korlátosság Definíció: Az f(x) függvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha van olyan k szám, amelyre f(x) k. Az f(x) függvényt felülről korlátosnak nevezzük, ha van olyan K szám, amelyre f(x) K. A függvényt korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülről is korlátos. Példa: Az függvény alulról korlátos. Alsó korlát pl. k = -3 vagy -2,5. Alsó korlátnak bármilyen - 2,25-nél nem nagyobb szám alkalmas. Más szóval, ha találunk egy alsó korlátot, akkor bármilyen nála kisebb szám is jó lesz alsó korlátnak. Végtelen sok alsó korlát van. A legnagyobb alsó korlátot, ha létezik a függvény alsó határának, idegen szóval infimumának nevezzük. Ebben az esetben a függvény alsó határát, a függvény képletének teljes négyzetté kiegészítésével kaphatjuk meg: [ > 82

89 Függvények Az f(x) = -2 x függvény felülről korlátos. Felső korlát például K = 5 vagy K = 4. Ha egy függvénynek megtaláljuk egy felső korlátját, bármely annál nagyob szám alkalmas lesz felső korlátnak. A legkisebb felső korlátot, ha létezik felső határnak, idegen szóval szupremumnak nevezzük. [ > A függvény korlátos. Korlátok például -3 és 1. [ > függvény korlátos. Korlátok például -3 és 1. 83

90 Függvények 2.6. Szélsőérték 1) Lokális (helyi) a) minimum Az f(x) függvény lokális (helyi) minimumát az x 1 helyen veszi fel, és minimum értéke f(x 1), ha x 1-nek van olyan ε sugarú környezete, hogy a f(x 1) f(x), ha x az x 1 ε sugarú környezetében van. Matematikai jelölésekkel: ε > 0, hogy f(x 1) f(x), x ] x 1 -ε,x 1 +ε [ esetén. Hasonlat: A szűkebb környezetéből negatív értelemben emelkedik ki; az évfolyam legrosszabb matematikusa, a helyi úszóbajnokság utolsó helyezettje, stb. b) maximum Az f(x) függvény lokális (helyi) maximumát az x 1 helyen veszi fel és maximum értéke f(x 1), ha x 1-nek van olyan ε sugarú környezete, hogy a f(x 1) f(x), ha x az x 1 ε sugarú környezetében van. Matematikai jelölésekkel: ε > 0, hogy f(x 1) f(x), x ] x 1 -ε, x 1 +ε [ esetén. Hasonlat: A szűkebb környezetéből pozitív értelemben emelkedik ki; az évfolyam legjobb matematikusa, a helyi úszóbajnokság első helyezettje, a falusi szépségkirálynő, stb. 2) Globális (abszolút) a) minimum Az f(x) függvény globális (abszolút) minimumát az x 1 helyen veszi fel, és minimum értéke fx 1), ha f(x 1) f(x) minden x D f esetén. Hasonlat: A világ legbénább embere az adott területen.:) b) maximum 84

91 Függvények Az f(x) függvény globális (abszolút) maximumát az x1 helyen veszi fel, és maximum értéke f(x1), ha f(x1) f(x) minden x Df esetén. Hasonlat: Az adott terület világbajnoka. Tegyük fel, hogy az ábrán vázolt függvényre igaz a következő két határérték:, akkor az ábrán vázolt függvénynek nincs abszolút minimuma, lokális minimuma x 2-ben, lokális maximuma x 1-ben és x 3-ban van, de x 1 egyben globális maximum hely is Konvexitás Szemléletes definíciók Egy függvény akkor konvex, ha érintője mindenütt a függvénygörbe alatt halad. Egy függvény akkor konkáv, ha érintője mindenütt a függvénygörbe felett halad. és Másik megfogalmazás és szemléltetés: Az f függvény az értelmezési tartományának egy intervallumában konvex (konkáv), ha az intervallum bármely x 1 < x 2 értékeinél fennáll, hogy a függvény grafikonja az (x 1; f(x 1)) és az (x 2; f(x 2)) pontokat összekötő szakasz alatt (felett) halad. 85

92 Függvények Az f függvénynek inflexiós pontja van az értelmezési tartományának egy x 0 helyén, ha létezik az értelmezési tartománynak olyan ]a; b[ (a < x 0 < b) intervalluma, hogy f az ]a; x 0]-ban konvex (konkáv), az [x 0; b[-ben konkáv (konvex). Szemléletesen: Az inflexiós pontban (x 0) a függvény konvexből konkávba, vagy konkávból konvexbe billen át. Egy vicces ábra a konvexitás szemléltetésére: Forrás: De a jól ismert Smile-k is a konvex, konkáv görbékre utalhatnak: 86

93 Függvények 3. Elemi függvények és függvénytranszformációk Az elemi függvények az f (x) = x, f (x) =a x és az f (x) = sin (x) függvényekből származtathatók, képlettel megadhatók és véges számú konstanssal való szorzás, összeadás, szorzás, osztás, inverz függvény képzése, összetett függvény képzése mûveletek alkalmazásával felírhatók.... Elemi alapfüggvényeknek nevezzük a hatványfüggvényeket, x n exponenciális függvényeket, a x trigonometrikus függvényeket, sin(x), cos(x), tan(x) és ezek inverzeit. Az összetett és inverz függvény képzéséről a későbbiekben lesz szó. Először nézzünk néhány elemi alapfüggvényt. Ezeket a függvényeket az alább látható ablakban lehet tanulmányozni. Az ablak az elemi alapfüggvények nevû gomb megnyomásával hozható elő. Az ablak bal oldali képe mutatja a legördülő listát, ahonnan a függvényeket választhatjuk. A számunkra szükségesnél a listában több függvény található. A bennünket érdeklő függvények: sin (x), cos (x), tan (x) = tg (x), cot (x) = ctg (x), exp (x) = e x, ln(x) = log e(x), log10(x) = lg(x) = log 10(x), abs(x) = x, sqrt(x) = Azonkívül, hogy ezeknek a függvényeknek a képét megnézhetjük, a függvények transzformációit is tanulmányozhatjuk. A következő táblázat összefoglalja a függvény transzformációkat. 87

94 Függvények Nézzünk minden transzformációra egy-egy animációt: A felső (zöld) táblázat első sorában levő két eltolást az x 2 függvényre alkalmazzuk. Sorban (x + a) 2, x 2 + a beírásával a megfelelő utasításba. Az animáció úgy indul csak el, ha a grafikont kijelöljük (rákattintunk). Ekkor megjelenik az animációt irányító panel. Lassítsuk le az animáció futását, ekkor jobban tudjuk tanulmányozni a változást. [ > [ > 88

95 Függvények A második és harmadik sor transzformációit alkalmazzuk a sin(x) függvényre. Először sin(c x), majd c sin(x) képletû függvényeket animáljuk. [ > animate(plot, [sin(c x), x = -4 Pi.. 4 Pi], c = ) Azt is észrevehetjük, hogyha c értéke negatívból pozitívba vált, a függvény y tengelyre való tükrözése is megtörténik, ahogy a táblázat harmadik sorában látjuk. [ > animate(plot, [c sin(x), x = -4 Pi.. 4 Pi], c = ) 89

96 Függvények Most nézzük meg ugyanezt egy táblázatban különböző c értékekhez rendelve. Itt is megfigyelhetjük a tükrözést, de most az x tengelyre. Meg tudjuk-e különböztetni a két különböző x és y tengelyre történő tükrözést a sin (x) függvény esetén? Nem, mert a sin (x) páratlan függvény és ezért sin (-x) = - sin (x). Keressünk egy olyan függvényt, ahol a kétféle tükrözést eredményező transzformáció különböző lesz. Legyen a függvény pl. x

97 Függvények [ > plot([ x-3, - x-3, -x-3 ], x = , y = , color = [blue, red, yellow]) Polinomok alakú függvényeket polinomoknak (vagy racionális egész függvényeknek) nevezzük, ahol n természetes szám és a n 0, valós szám. Ekkor a polinom n-ed fokú. Az a n, a n-1,... a 1, a 0 számok is valósak, ezek a polinom együtthatói, az együtthatók között természetesen 0-k is lehetnek. Az elsőfokú polinomot lineáris függvénynek is nevezzük. Polinomok például 3 x 2-2 x+4, 5 x 6-2 x Ne felejtsük el beírni a szorzás és hatványozás jelét, ahogy a képen is látható. Feladat: Írjuk be a páros és páratlan kitevőjû hatványfüggvényeket és soroljuk fel a tulajdonságaikat. Miben különböznek egymástól? 91

98 Függvények Két polinom hányadosát racionális törtfüggvénynek nevezzük. a következő gombbal egy olyan ablak hívható elő, amelybe különböző racionális törtfüggvények képletét írhatjuk be, ezután megkapjuk a függvények képét és így tanulmányozhatjuk őket. 92

99 Függvények 4. Összetett függvények A következő ábra azt szemlélteti, hogy összetett függvényt szemléletesen úgy kaphatunk, hogy két függvény egymásutánját egyetlen függvénnyé kapcsolunk össze: Forrás: Ha visszatérünk a függvény definíciójához, halmazokkal a következőképpen tudjuk szemléltetni az összetett függvényt: 93

100 Függvények Ha g(x) = 2 x + 1 és f(x) = x 2, akkor Az összetett függvény értelmezési tartománya: Legyen most g (x) = sin (x) f (x) = log 2(x) ekkor f (g (x) ) = log 2(sin(x)). Számítsuk ki az értékét! Első lépésben a belső függvény értékét határozzuk meg,, ezután a kapott érték kettes alapú logaritmusát kellene meghatároznunk, de mivel negatív értéket kaptunk, ennek nincs logaritmusa. Hogyan tudjuk meghatározni az összetett függvény értelmezési tartományát úgy, hogy a fenti probléma ne forduljon elő? A g függvény értelmezési tartományának az a részhalmaza lehet csak az összetett függvény értelmezési tartománya, amelyhez tartozó g szerinti függvény értékek az f függvény értelmezési tartományába esnek. A fenti esetben sin (x) > 0, vagyis 2 k π < x < π + 2 k π halmaz lesz az összetett függvény értelmezési tartománya. A kapott összetett függvényt az alábbi ábra mutatja. A belső függvény értékkészletét az x tengelyre vetítve a piros AB szakasz mutatja. Az is látható, hogy az összetett függvény csak ott van értelmezve, ahol a szinusz függvény pozitív értékeket vesz fel. A következő példa azt mutatja, hogy az összetett függvényeknél a külső és belső függvényt nem cserélhetjük fel. Először az összetett függvény legyen, másodszor 94

101 Függvények [ > plot( [ 1/ (sin (x))], x = , y = , discont = true) [ > plot( sin(1/x), x = ) Összetett függvények gyakorló paneljei a Maple-ben: 95

102 Függvények 5. Inverz függvények Az f függvény inverzének nevezzük és f -1 -gyel jelöljük azt a függvényt, amely minden valós "a" számhoz (mely az f függvény értékkészletéhez tartozik), azt a "b" számot rendeli, melyhez az f az "a"-t rendelte, vagyis ha f (b) = a, akkor f -1 (a) = b. Az f -1 függvény értelmezési tartománya az f függvény értékkészlete, és az f -1 függvény értékkészlete az f értelmezési tartománya. és Csak kölcsönösen egyértelmû függvénynek lehet inverze. Ha egy függvény nem kölcsönösen egyértelmû, akkor értelmezési tartományát leszûkítjük a legbővebb kölcsönösen egyértelmû tartományra. A táblázat első példájában az f(x) = x 2 függvény nem kölcsönösen egyértelmû, ezért az értelmezési tartományt le kellett szûkíteni a nem negatív számok halmazára. Ha a függvény képét tükrözzük az y = x egyenesre a függvény képének inverzét kapjuk. Ha az (a, b) pont rajta van egy függvény grafikonján, akkor a (b, a) pont a függvény inverzének grafikonján lesz rajta. 96

103 Függvények Hogyan kapjuk meg az inverz függvény képletét? Tekintsük például az függvényt. Használjuk az jelölést! Cseréljük fel az x és y betûket (most történik a képletben, ami geometriailag a függvény képének tükrözése az y = x egyenesre),, majd fejezzük ki y-t. Vegyük mindkét oldal e alapú logaritmusát:. A vagy e alapra alkalmazva a, azonosságot használtuk fel. 6. Néhány további függvény Hatványfüggvények Az alábbi ábrán közös koordináta - rendszerben ábrázoltuk a hatványfüggvényeket, nevezetesen: x, x 2, x 3, x 4 függvényeket. Az ábrán jól látható, hogy minden hatványfüggvénynek két közös pontja van a (0,0) és az (1,1) pontok. A páratlan kitevőjû hatványok grafikonjai átmennek a (-1,-1) ponton, míg a párosak a (-1,1) ponton. A ]0, 1[ intervallumon a nagyobb kitevőjû hatványok értéke kisebb, azaz x 4 <x 3 <x 2 <x, az ]1, + [ -ben az egyenlőtlenségek megfordulnak. [ > Egészrész függvény f(x) = [x] Minden számhoz a nála nem nagyobb (kisebb, vagy egyenlő) egész számot rendeli. Nyilvánvaló, hogy minden egész szám egész része önmaga, a pozitív törtek egész részének kiszámítása sem szokott gondot okozni [3.2] = 3, vagy [9.9] = 9, de mennyi az [-2.3]? Mit is mond az egészrész definíciója? Minden számhoz a nála nem nagyobb egész számot rendeljük, ezért [-2.3] = -3. az egészrész függvény úgynevezett lépcsős függvény. A grafikonon látható szakaszok bal végpontja hozzátartozik a függvény képéhez, a jobb végpont nem. [ > plot(floor(x), x = , y = , discont = [showremovable]); 97

104 Függvények Törtrész függvény f(x) = {x} and {x} = x + [-x]. Egy szám törtészét úgy kapjuk meg, ha a számból kivonjuk az egészrészét. Az alább látható grafikonon a szakaszok bal végpontja hozzátartozik a grafikonhoz a jobb végpont nem. [ > plot(x-floor(x), x = , y = , discont = true); Érdekességképpen nézzük meg az x 2 és a 2 sin(x) függvények egészrészét és törtrészét: [ x 2 ] { x 2 } [2 sin(x)] {2 sin(x)} Előjel függvény (szignum függvény) f(x) = sgn(x) Pozitív számok szignuma 1, negatív számoké -1, a 0 szám szignuma 0. 98

105 Függvények [ > plot(signum(x), x = , y = , discont = true); Nézzük meg néhány példán, hogyan szemlélteti a szignum a függvények előjelét? Ha alaposabban megnézzük a grafikonokat látszik a függvények zérushelyénél a zöld pont, ott a szignum függvény mindig 0. sgn ((x-3) (x+2)) sgn (0.25 x (x-3) (x+4)) sgn (sin (x)) Függvények reciprokának ábrázolása: Ha ismerünk egy függvényt könnyen felvázolhatjuk a reciprokának grafikonját. Ahol a függvényérték 1, vagy -1, az a pont a függvény és reciprok függvény grafikonjának közös pontja lesz. Ahol a függvénynek zérushelye van a reciprok függvénynek szakadása lesz. Minél nagyobb az eredeti függvény függvényértéke, annál kisebb lesz a reciprok függvény értéke és fordítva. 99

106 Függvények 7. Feladatok önálló megoldásra 1. Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tarományát! 2. Számítsuk ki a felsorolt függvények zérushelyét! 3. Melyik függvény páros, vagy páratlan a felsoroltak közül? 4. Ábrázolja az f(x) függvényt és inverzét! Adja meg az értelmezési tartományukat és értékkészletüket! 5. Ábrázolja az f(x) függvényt! Adja meg az értelmezési tartományát és értékkészletét! Adja meg az f(x) függvény inverzét és ábrázolja! 6. Ábrázolja az f(x) függvényt és a reciprokát! Adja meg az értelmezési tartományukat és értékkészletüket! Adja meg az f(x) függvény inverzét! Páros-e ez a függvény? Írja fel, hogy mely függvényekből alkottuk meg az f(x) összetett függvényt! 7. Ábrázolja az f(x) függvényt és a reciprokát! Adja meg az értelmezési tartományukat és értékkészletüket! Adja meg az f(x) függvény inverzét! Páros-e ez a függvény? Írja fel, hogy mely függvényekből alkottuk meg az f(x) összetett függvényt! 8. Ábrázolja az f(x) függvényt és a reciprokát! Adja meg az értelmezési tartományukat és értékkészletüket! Adja meg az f(x) függvény inverzét és ábrázolja! 9. Képezzük a következő összetett függvényeket: h(g(x)), g(h(x)), f(g(x)), f(h(x))! Mit mondhatunk az értelmezési tartományokról? 100

107 4. fejezet - Függvény határértéke, folytonosság forrás: 1. Függvény határértéke Az előző fejezetekben megismerhettük a sorozat határértékének fogalmát, több módszert is láttunk a határérték meghatározására. Mivel a sorozatok is "speciális" függvényeknek tekinthetők, így általában a függvények határértékének egyik fajta definíciója is a sorozatoknál tanultakra vezethető vissza ( Heine-féle definíció). A függvény határértékének kétféle - Heine-féle és Cauchy-féle - definícióját ismerjük. Definiáljuk ezekhez a környezet fogalmát: Az x 0 pont környezetén értjük a ]x 0-δ;x 0+δ[ intervallumot, ahol δ tetszőleges pozitív számot jelöl: Feltesszük, hogy a függvények az x 0 környezetében értelmezve vannak, akkor az x 0 pontban így értelmezzük a határértéket: Heine-féle definíció: Akkor mondjuk, hogy az f (x) függvénynek az x 0 pontban a határértéke + ill. -,ha valahányszor x n x 0, x n x 0 sorozat esetén a függvényértékek sorozata mindannyiszor + ill. - -be divergál, azaz f(x n) + ill -. Jelölésben: A fenti definícióból látható, hogy a határérték egyértelműen meghatározott, hiszen a sorozatokra vonatkozó unicitás-tétel igaz rá, mivel a definíciót a sorozatoknál tanultakra vezettük vissza. (Az unicitás-tétel a sorozatok határértékének egyértelműségét mondja ki.) Szemléletesen azt jelenti, hogy ha ballagunk az x tengelyen xx 0 felé, közben az f(x) függvény értékei az A szám felé tartanak: 101

108 Függvény határértéke, folytonosság Az ábrán azt jelenti, hogy ha x 16, akkor a függvényértékek 4-hez közelítenek, akár bal oldalról, akár jobb oldalról nézzük. [ > f : = x log 2 (x) [ > hely : = tickmarks = [[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20], [-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]] [ > gorbe : = plot(f(x), x =.1.. 5, discont = true, hely, thickness = 3); gorbe [ > rajzokbal := [seq(display([pointplot([x, f(x)], color = red, symbolsize = 18, symbol = solidcircle), gorbe]), x =.1.. 4,.1)]: [ > display(rajzokbal, insequence = true) 102

109 Függvény határértéke, folytonosság A Maple animáció balról közeledve mutatja a pontbeli határértéket. [ > rajzokjobb := [seq(display([pointplot([x, f(x)], color = red, symbolsize = 18, symbol = solidcircle), gorbe]), x = 5.. 4, -.1)]: [ > display(rajzokjobb, insequence = true) A Maple animáció jobbról közeledve mutatja a pontbeli határértéket. Megadjuk a másik, Cauchy-féle definíciót is: Az f(x) függvénynek az x 0 -ban létezik a határértéke, ha megadható olyan A valós szám, hogy bármely ε > 0-hoz van olyan δ, hogy ha, x x 0 akkor. ( δ, ε kicsi, valós, pozitív számokat jelölnek) (Ez az ún környezetes definíció.) Szemléletesen: 103

110 Függvény határértéke, folytonosság A hely kis megváltozása a függvényértékek kicsiny változását vonja maga után. Másképpen: f (x) tetszőlegesen közel kerül A -hoz ( ), ha x elég közel van x 0 -hoz ( ). Bizonyítható, hogy a két definíció ekvivalens. Ettől most eltekintünk. A megadott definíciók pontbeli határértékre vonatkoznak. 2. A határérték típusai Végtelen határértékek: Itt is kétféle definíciót adunk meg: Heine-féle definíció: Akkor mondjuk, hogy az f (x) függvénynek az x 0 pontban a határértéke + ill. -,ha valahányszor x n x 0, x n x 0 sorozat esetén a függvényértékek sorozata mindannyiszor + ill. - -be divergál, azaz f(x n) + ill -. Jelölésben:, vagy Cauchy-féle definíció: Az f (x) függvénynek az x 0 -ban a határértéke + ill. -, ha bármely M számhoz van olyan 0 < δ ( x 0, M), hogy ha, x x 0 akkor f (x) M, ill. f (x) teljesül. ( δ kicsi, valós számot jelöl, M abszolút értékben "nagy" számot jelent) A két definíció ekvivalens. Hasonlóan definiálhatók a féloldali határértékek is Véges helyen vett végtelen határérték Így viselkedik például az x=0 pontban az függvény: 104

111 Függvény határértéke, folytonosság [ > [ > ngorbe := plot(n, x = , discont = true, thickness = 3); ngorbe, illetve A 0 hely bal és jobb oldali határértéke egyaránt plusz végtelen. Minél közelebb "megyünk" a 0-hoz, a függvény értékei egyre nagyobbak lesznek. Tehát véges helyen végtelen a határértéke a függvénynek. Így viselkedik például az x 0 = 0 pontban az függvény: [ > [ > hgorbe := plot(h, x = , discont = true, thickness = 3); hgorbe 105

112 Függvény határértéke, folytonosság, illetve A 0 helyen a baloldali határérték mínusz, a jobb oldali határérték plusz végtelen. Láthatjuk, hogy nem mindegy melyik oldalról közelítjük a 0-t: balról egyre kisebbek lesznek a függvény értékei, míg jobbról közeledve nőnek. Tehát véges helyen végtelen határértékkel találkozunk Végtelenben vett végtelen határérték Így viselkedik például a + -ben az f (x) = 2 x függvény: [ > ab := -2*abs(x-3)+5 [ > abgorbe := plot(ab, x = , discont = true, thickness = 3); abgorbe 106

113 Függvény határértéke, folytonosság Azt látjuk, hogy minél messzebb megyünk az x tengelyen pozitív irányban, a függvény értékei egyre mélyebbre esnek, egyre kisebb értékeket vesznek fel. Így viselkedik például a - -ben az függvény: [ > [ > gygorbe := plot(gy, x = , discont = true, thickness = 3); gygorbe Azt látjuk, hogy ha az x tengelyen a - -be ballagunk (távolodunk az origótól), a függvény értékei nőnek, azaz a mínusz végtelenben vett függvény határárérték plusz végtelen lesz. Így viselkedik például a - -ben az függvény: [ > [ > gngorbe := plot(gn, x = , discont = true, thickness = 3); gngorbe 107

114 Függvény határértéke, folytonosság Azt látjuk, hogy minél messzebb megyünk az x tengelyen negatív irányban, azaz ballagunk a mínusz végtelen felé, a függvény értékei egyre mélyebbre mennek, egyre kisebb értéket vesznek fel. A mínusz végtelenben tehát a függvény értékek is mínusz végtelenbe tartanak. Így viselkedik például a -ben az függvény: [ > [ > epgorbe := plot(ep, x = , discont = true, thickness = 3); epgorbe 108

115 Függvény határértéke, folytonosság Azt látjuk, hogy minél messzebb megyünk az x tengelyen a függvény értékei egyre magasabbra törnek, egyre nagyobb értéket vesznek fel. A plusz végtelenben a függvény határértéke is plusz végtelen Végtelenben vett véges határérték Így viselkedik például a -ben az függvény: [ > [ > epgorbe := plot(ep, x = , discont = true, thickness = 3); epgorbe A mínusz végtelenben a függvény grafikonja nagyon közel megy az y=-6 egyenletű egyeneshez, de sohasem éri el. Így viselkedik például a - -ben az függvény: [ > [ > egorbe := plot(e, x = , 0.. 6, discont = true, thickness = 3); egorbe 109

116 Függvény határértéke, folytonosság A függvény a mínusz végtelenben nagyon közel megy az y = 2 egyenletű egyeneshez, de sohasem éri el, de ugyanez elmondható a plusz végtelenben is, hiszen láthatjuk, hogy a függvény az y tengelyre szimmetrikus. Így viselkedik például a -ben az függvény: [ > [ > engorbe := plot(en, x = , , discont = true, thickness = 3); engorbe 110

117 Függvény határértéke, folytonosság A függvény a plusz végtelenben folyamatosan közelít az y= - 4 egyenletű egyeneshez, de sohasem éri el, hasonlóan igaz ez a mínusz végtelenben is. Így viselkedik például a -ben az függvény: [ > [ > hegorbe := plot(he, x = , , discont = true, thickness = 3); hegorbe A függvény a plusz végtelenben nagyon közel megy az y=-3 egyenletű egyeneshez, de sohasem éri el, a függvényértékek -3-hoz tartanak Véges helyen vett véges határérték Legyen f (x) = x 2, x R, a vizsgálandó függvény. Határozzuk meg a határértékét az x=2 helyen: [ > n : = x 2 [ > ngorbe := plot(n, x = , , discont = true, thickness = 3, color = red); ngorbe 111

118 Függvény határértéke, folytonosság... A Heine-féle sorozatos definíció alapján mondhatjuk a következőket: Pl. Vizsgáljuk meg, hogy ekkor hova tart a megfelelő függvényértékek sorozata:. Ha, akkor. Ha, akkor mit csinál a függvény x = a-ban, csak a környezetében. ) Tehát. A határérték környezeti tulajdonság ( Nem érdekel, hogy 112

119 Függvény határértéke, folytonosság A fenti 3 függvény f (x), g (x), h (x) az x 0 = 2 pont környezetében teljesen ugyanúgy viselkedik, eltérés közöttük kizárólag az x 0 = 2 pontbeli viselkedésükben van. Az f (x) függvény minden valós számra értelmezve van, tehát 2-ben is, a 2-beli érték szépen belesimul a függvény megfelelő értékeinek sorába. A g (x) értelmezési tartományából hiányzik a 2, tehát g (x) 2-ben nincs értelmezve (lyukas). A h (x) függvény ugyan szintén minden valós számra értelmezve van, mint az f (x), de a h (x) 2-beli értéke renitens, kilóg a sorból, kitéptük a 2-beli értékét és áttettük máshova, 4-ből 6-ba Mikor nem létezik a határérték? Nézzük az f (x) = sin (x) függvényt! [ > s := sin(x) [ > sgorbe := plot(s, x = -4*Pi.. 4*Pi, , discont = true, thickness = 3); sgorbe f (x) = sin (x) esetén nem létezik, de Mert van olyan x n, hogy f (x n) 0 és van olyan x n, hogy f (x n) 1, és bármilyen -1 A 1 számot adunk meg mindig találunk olyan végtelenbe tartó sorozatot, amelyhez tartozó függvényérték sorozat A-hoz tart. 113

120 Függvény határértéke, folytonosság Nézzük az f (x) = cos (x) függvényt! [ > c := cos(x); [ > cgorbe := plot(c, x = -4*Pi.. 4*Pi, , discont = true, thickness = 3); cgorbe f (x) = cos (x) esetén nem létezik, de Mert van olyan x n, hogy f (x n) 0 és van olyan x n, hogy f (x n) 1, és bármilyen -1 A 1 számot adunk meg mindig találunk olyan végtelenbe tartó sorozatot, amelyhez tartozó függvényérték sorozat A-hoz tart. Tekintsük az f (x) = { x } = x - [ x ] törtrész függvényt! [ > er := floor(x) [ > trgorbe := plot(tr, x = , discont = true, thickness = 3); trgorbe 114

121 Függvény határértéke, folytonosság { x } = x - [ x ], Egy szám törtrészét úgy kapjuk meg, hogy a számból kivonjuk az egészrészét. Egy szám egészrésze a nála nem nagyobb (kisebb vagy egyenlő) egész szám. Törtrész jelölése: {x} Egészrész jelölése: [x] van! Azaz az x=1 helyen nem létezik a határérték! Nem megszüntethető szakadás 3. Nevezetes függvény határértékek [ > [ > h1gorbe := plot(h1, x = , discont = true, thickness = 3); h1gorbe Láthatjuk, hogy a függvényértékek 0-hoz közelítenek akár jobbról, akár balról közelítünk az x tengelyen a 0- hoz, ugyan a függvény nincs értelmezve a 0 helyen mégis "úgy látszik", mintha a 0-t is felvennék. [ > [ > h2gorbe := plot(h2, x = , discont = true, thickness = 3); h2gorbe 115

122 Függvény határértéke, folytonosság Láthatjuk, hogy a függvényértékek 1-hez közelítenek akár jobbról, akár balról közelítünk az x tengelyen a 0- hoz, ugyan a függvény nincs értelmezve a 0 helyen mégis "úgy látszik", mintha az 1-t is felvennék. [ > [ > h3gorbe := plot(h3, x = , discont = true, thickness = 3); h3gorbe Láthatjuk, hogy a függvényértékek e-hez közelítenek akár jobbról, akár balról közelítünk az x tengelyen a 0- hoz, ugyan a függvény nincs értelmezve a 0 helyen mégis "úgy látszik", mintha az e-t is felvennék. Itt elfogadjuk, hogy a határérték az e szám, mivel tudjuk, hogy az értéke 2,72 "körül" van, a pontos értékét nem tudjuk meghatározni, nem írható fel két egész szám hányadosaként (ún transzcendens szám). 116

123 Függvény határértéke, folytonosság Bizonyítás: Geometriai személet alapján röviden: Ha x> 0 vegyük a reciprokát,ekkor a reláció megfordul: az egyenlőtlenséget sin(x)-szel szorozva:, ha x 0, akkor cos(x) 1, ezért a rendőr-elv miatt A bizonyítás hasonló x<0 esetén is. Függvény ábrázolással: Az előző függvény határ érték általánosítása. Rövid bizonyítás: ha x 0, akkor kx 0. Legyen kx=x, ekkor 117

124 Függvény határértéke, folytonosság A fenti négy nevezetes függvény határértéket jól ismerjük, mert ha speciálisan x n = n,akkor a sorozatoknál megismert nevezetes határértékekhez jutunk. [ > 4. Folytonosság 4.1. Függvény pontban való folytonossága Szintén kétféle definíciót mondunk ki, ezek közül a Heine-féle a sorozatok határérték fogalmára támaszkodik. Heine-féle definíció: Akkor mondjuk, hogy az f (x) függvény az x 0 pontban folytonos, ha minden olyan x n sorozatra, amely x n x 0, x n x 0, a függvényértékek sorozata f(x 0) -hoz konvergál, azaz f(x n) f(x 0). Jelölésben: Cauchy-féle definíció: Az f (x) függvény az x 0 -ban folytonos,, ha bármely ε > 0 -hoz van olyan δ (ε, x 0 ) > 0, hogy ha x - x 0 < δ, x x 0, akkor f (x) - f (x 0) <ε. ( ε, δ kicsiny valós számokat jelölnek, δ függ ε-tól és x 0 -tól ) A két definíció ekvivalens. A bizonyítástól eltekintünk. A Heine-féle definícióból, a számsorozatokra megismert tételekből és a folytonosság definíciójából adódnak a következő állítások: 118

125 Függvény határértéke, folytonosság Ha f (x) 0 és létezik, akkor Ha és létezik, akkor Ha a függvények folytonosak az adott pontban, akkor az összegük, különbségük és szorzatuk is folytonos, és ha, akkor Hasonlóan, ha a függvények folytonosak az adott pontban, akkor a hányadosuk is az, feltéve ha a nevezőben lévő függvény nem 0 x 0-ban. Ha f (x) g (x) az x 0 hely valamely környezetében és a és határértékek léteznek, akkor Az f (x) függvénynek x 0-ban akkor és csak akkor létezik a határértéke, ha {f (x n)} sorozat konvergál, valahányszor x n x 0, x 0 x 0 Az f (x) függvény x 0 -ban akkor és csak akkor folytonos, ha létezik a határértéke és 4.2. Féloldali folytonosság Ugyanúgy megadjuk a kétféle definíciót: Heine-féle definíció: Akkor mondjuk, hogy az f (x) függvény az x 0 pontban balról (ill. jobbról) folytonos, ha minden olyan x n sorozatra, amely x n x 0, x n x 0, és tagjaira x n<x 0 (x n>x 0) a függvényértékek sorozata f(x 0) -hoz konvergál, azaz f(x n) f(x 0). Jelölésben: ill. Cauchy-féle definíció: Az f (x) függvény az x 0 -ban balról (ill. jobbról) folytonos,, ha bármely ε > 0 -hoz van olyan 0 < δ (ε, x 0 ), hogy ha x< x 0 (ill. x 0<x) és x - x 0 < δ, akkor f (x) - f (x 0) <ε. ( ε, δ kicsiny valós számokat jelölnek, δ függ ε-tól és x 0 -tól ). Tétel: Az f(x) függvény az x 0 pontban akkor és csak akkor folytonos, ha x 0-ban balról is és jobbról is folytonos. Tehát 3 pontban foglalhatjuk össze, hogy mikor mondjuk, hogy az adott pontban folytonos-e a függvény: értelmezve legyen az adott pontban létezzen a határértéke az adott pontban (azaz van bal és jobb oldali határértéke és ezek egyenlők) a határérték megegyezik a függvény adott pontbeli helyettesítési értékével Intervallumon folytonos függvények Definíció: 119

126 Függvény határértéke, folytonosság Az f (x) függvényt egy nyitott intervallumon folytonosnak nevezünk, ha az intervallum bármely pontjában folytonos (azaz minden pontjában folytonos). Definíció: Az f(x) függvényt egy zárt intervallumon folytonosnak nevezünk, ha az intervallum bármely belső pontjában folytonos, a balvégpontban jobbról és a jobbvégpontban balról folytonos. Definíció: Az f (x) függvényt egy I intervallumon (ami lehet nyitott vagy zárt) egyenletesen folytonosnak nevezünk, ha bármely ε > 0 -hoz van olyan δ (ε) > 0, amely csak ε-tól függ, de a helytől nem (!), hogy valahányszor x - x* < δ x, x* I, akkor f(x) - f(x*) < ε. Folytonos függvények fokozatos-változás tulajdonsága: A folytonos függvények egy nagyon fontos tulajdonságát fejezi ki, nevezetesen, hogy a függvényértékei csak fokozatosan változhatnak, nem lehet ugrás egy folytonossági pontban. Tételként így szól: Ha f (x) folytonos x 0 -ban és k < f(x 0) < K, akkor van az x 0 -nak olyan környezete, amelybe eső minden x pontra k < f(x) < K teljesül. Összetett függvény fogalma: Legyen f (x) és g (x) két adott függvény. Az f (g (x)) összetett függvényen értjük azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya g (x) értelmezési tartományának az a része, ahol olyan értéket vesz fel, ahol f (x) értelmezve van. Az f(g(x)) összetett függvény hozzárendelési utasítása a következő: az x 0 helyen az összetett függvény értéke az f (x) függvénynek a g(x 0) helyen felvett értéke. Az f (x) függvényt külső, a g (x) függvényt belső függvénynek nevezzük. Összetett függvény meghatározását segíti a gépek összekapcsolásával alkotott szabály Tétel: Az f (g (x)) összetett függvény folytonos az x 0 helyen, ha a g (x) függvény folytonos x 0 -ban és az f (x) külső függvény folytonos g(x 0) -ban. Műveletek folytonos függvényekkel: (tétel) Ha két függvény folytonos az x 0 pontban, akkor összegük, különbségük és szorzatuk is folytonos az x 0 pontban. Hányadosuk is folytonos, ha a nevezőben lévő függvény az x 0 pontban nullától különböző. 120

127 Függvény határértéke, folytonosság Az f (x) = c és az f (x) = x függvények mindenütt folytonosak. Racionális egész függvénynek nevezünk egy olyan függvényt, amely a független változóból (legyen ez ) és valós számokból véges sok összeadás (kivonás) és szorzás műveletekkel lett képezve. Általános alakjuk: A racionális egész függvények mindenütt folytonosak., ahol a n 0. Ezt n-ed fokú polinomnak is nevezzük. A racionális törtfüggvény olyan függvény, amely két polinom hányadosaként áll elő. Általános alakjuk: Bármely racionális törtfüggvény a nevező zérus helyeit kivéve mindenütt folytonos. Racionális függvényeknek nevezzük a racionális egész és racionális törtfüggvények összességét. Irracionális függvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, amelyek a független változóból (legyen ez x ) és valós számokból véges sok összeadás (kivonás) és szorzás, osztás és egész kitevős gyökvonás műveletekkel állíthatók elő. A racionális és irracionális függvényeket együtt algebrai függvényeknek nevezzük. Trigonometrikus függvények: A szinusz és koszinusz függvények mindenütt folytonosak. [ > s := sin(x) [ > sgorbe := plot(s, x = -4*Pi.. 4*Pi, thickness = 3); sgorbe [ > c := cos(x) [ > cgorbe := plot(c, x = -4*Pi.. 4*Pi, thickness = 3); cgorbe 121

128 Függvény határértéke, folytonosság [ > g := tan(x) [ > tgorbe := plot(tg, x = -4*Pi.. 4*Pi, discont = true, thickness = 3); tgorbe A tangens függvény az helyek kivételével mindenütt folytonos. Exponenciális függvény Az exponenciális függvény mindenütt folytonos. [ > k := 2^x [ > kgorbe := plot(k, x = , discont = true, thickness = 3); kgorbe 122

129 Függvény határértéke, folytonosság [ > ke := (1/2)^x [ > kegorbe := plot(ke, x = , discont = true, thickness = 3); kegorbe Logaritmus függvény A logaritmus függvény az értelmezési tartományán mindenütt folytonos. [ > l2 := log[2](x) [ > l2gorbe := plot(l2, x = , discont = true, thickness = 3); l2gorbe 123

130 Függvény határértéke, folytonosság [ > ld2 := log[1/2](x) [ > ld2gorbe := plot(ld2, x = 0.1e , discont = true, thickness = 3); ld2gorbe [ > l3 := log[3](x) [ > l3gorbe := plot(l3, x = , discont = true, thickness = 3); l3gorbe 124

131 Függvény határértéke, folytonosság [ > ld3 := log[1/3](x) [ > ld3gorbe := plot(ld3, x = , discont = true, thickness = 3); ld3gorbe Az irracionális kitevőjű hatványfüggvényt, az exponenciális, a logaritmus, a trigonometrikus függvényeket és ezekből összetett függvényeket közös néven transzcendens függvényeknek nevezzük. Az elemi függvények körébe az algebrai és a transzcendens függvények tartoznak Folytonos függvények tulajdonságai Véges zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai: Tétel: Véges zárt intervallumon folytonos függvény korlátos ezen az intervallumon. 125

132 Függvény határértéke, folytonosság [ > korl := (x-3)*(x+2)*(x-5)*(1+x) [ > korlgorbe := plot(korl, x = , thickness = 3); korlgorbe Tétel: Véges zárt intervallumon folytonos függvény felveszi szélső értékeit. [ > korl := (x-3)*(x+2)*(x-5)*(1+x) [ > korlgorbe := plot(korl, x = , thickness = 3); korlgorbe A függvénynek két minimuma és két maximuma van az adott intervallumon, fel is veszi, ott értelmezve van. Tétel: Véges zárt intervallumon folytonos függvény ezen az intervallumon egyenletesen is folytonos. 126

133 Függvény határértéke, folytonosság Tétel: Véges zárt intervallumon folytonos függvény minden a minimuma és maximuma közé eső értéket felvesz ezen az intervallumon. Sőt lesz egy olyan hely, ahol azt először és egy olyan hely, ahol azt utoljára veszi fel. [ > korl := (x-3)*(x+2)*(x-5)*(1+x) [ > korlgorbe := plot(korl, x = , thickness = 3); korlgorbe Tétel: Egy intervallumon folytonos függvény ezen intervallum bármely két pontjában felvett értékei közé eső bármely értéket felvesz e két hely között. Azaz megvan a Bolzano-Darboux féle tulajdonsága. Sőt e két hely között lesz egy első és egy utolsó olyan pont, ahol a függvény ezt a teszőleges közbülső értéket felveszi. Ezt úgy mondjuk, hogy bármely folytonos függvény rendelkezik az első és utolsó elérés tulajdonsággal is. Ez a függőhíd mindenütt folytonos, minden gond nélkül végigsétálhatunk rajta 4.5. Szakadási helyek fajtái Definíció: Megszüntethető szakadási helye van az f (x) függvénynek x 0 -ban, ha itt létezik a határértéke, de az nem egyezik meg az f(x 0) helyettesítési értékkel, vagy ha függvény nincs is értelmezve x 0 -ban. ( vagy f(x 0) nincs értelmezve). 127

134 Függvény határértéke, folytonosság A képen látható hídnak szakadása van,amit ügyesen megjavíthatnak a munkások. Ezek után gond nélkül végig sétálhatunk rajta. definíció: Elsőfajú szakadási helye van az f (x) függvénynek x 0 -ban, ha létezik a jobb- és baloldali határértéke, de ezek különbözők; azaz definíció: Másodfajú szakadási helye van az f (x) függvénynek x 0-ban, ha vagy a jobb-, vagy a baloldali, vagy egyik féloldali határértéke sem létezik. (nem megszüntethető szakadás, ld. az alábbi képen) Nem megszüntethető szakadás Az eredeti Tacoma-híd ismert volt lengéseiről, himbálódzásáról. Az 5939 láb hosszú hidat 1940 július 1-én adták át. A híd Tacomát és Gig Harbort kapcsolta össze. A hídavatás után 4 hónappal, 1940 november 7-én 42 mérföld/óra sebességű szélvihar támadt a híd környezetében. A szél által keltett lengéshullámok egyik oldaltól a másikig oda-vissza haladtak egyre erősebbé válva, s a híd leszakadásához vezettek. A katasztrófa a híd szerkezetére vezethető vissza.10 évvel később épült meg az új híd, mely 40 lábbal hosszabb, mint az első volt. Az első és másodfajú szakadási helyeket nem megszüntethető szakadási helyeknek nevezzük A határérték és a folytonosság feladatokban 128

135 Függvény határértéke, folytonosság 5.1. Szemléleten alapuló feladatmegoldás A következő utasítással adott a függvény: Ábrázolja, majd válaszoljon a következő kérdésekre! Hol van szakadása és az milyen típusú? Hol folytonos? Megoldás: [ > [ > fgorbe := plot(f, x = , discont = true, thickness = 3); fgorbe Az x=0 helyen nem megszüntethető szakadása van, ott nem folytonos, másutt viszont igen. Vizsgálja meg a következő függvényt is: milyen típusú? Hol folytonos? az adott helyeken! Hol van szakadása és az Megoldás: 129

136 Függvény határértéke, folytonosság [ > ggorbe := plot(g, x = , discont = true, thickness = 3); ggorbe Nem megszüntethető szakadása van az x=-2 és x=2 helyeken. E helyeken nem folytonos, másutt igen. A következő utasítással adott a függvény: következő kérdésekre! Ábrázolja, majd válaszoljon a Hol van szakadása és az milyen típusú? Hol folytonos? Megoldás: [ > [ > hgorbe := plot(h, x = , discont = true, thickness = 3); hgorbe 130

137 Függvény határértéke, folytonosság A függvény alakja egy töröttvonal, nincs szakadása, az értelmezési tartományán mindenütt folytonos. A következő utasítással adott a függvény: következő kérdésekre! Ábrázolja, majd válaszoljon a Hol van szakadása és az milyen típusú? Hol folytonos? Megoldás: [ > [ > kgorbe := plot(k, x = , discont = true, thickness = 3); kgorbe 131

138 Függvény határértéke, folytonosság A függvénynek az x=0 helyen nem megszüntethető szakadása van, itt nem folytonos, másutt igen az értelmezési tartományán belül. A következő utasítással adott a függvény: következő kérdésekre! Ábrázolja, majd válaszoljon a Hol van szakadása és az milyen típusú? Hol folytonos? Megoldás: [ > [ > kgorbe := plot(k, x = , discont = true, thickness = 3); kgorbe 132

139 Függvény határértéke, folytonosság Az x=1 helyen nem megszüntethető szakadása van a függvénynek, itt nem is folytonos; másutt igen, az értelmezési tartományán. Határérték és folytonosság szemléltetése Baloldali határérték számítása Jobboldali határérték számítása Mivel a bal és jobb oldali határérték nem egyenlő ezért a nem létezik. Így nem lehet folytonos sem. 133

140 Függvény határértéke, folytonosság 5.2. Algebrai átalakításokon alapuló feladatmegoldás F1: Megoldás: A feladat megoldása a nevezetes határérték alkalmazásán alapul. Kialakítjuk a nevezetes határértéket, bővítéssel: után. lesz az egyszerűsítések elvégzése F2: Határozza meg a következő határértékeket! F3: Határozza meg a következő határértékeket! 134

141 Függvény határértéke, folytonosság F4: Adja meg a p paraméter értékét, hogy az alábbi függvény folytonos legyen! Megoldás: A megismert tételek alapján, a racionális törtfüggvény a nevező zérushelyeinek kivételével mindenütt folytonos, így csak az x=3 helyen kell vizsgálnunk a függvényt: értelmezve van? -igen határértéke van? - igen, van határértéke a határérték és a helyettesítési érték egyenlő? - igen, ha a p=3 értéket adjuk a paraméternek 5.3. Maple gyakorló panel a határérték meghatározására Először kattintsunk a kép alatti nyomógombra, kis idő múlva megjelenik a felugró ablak, abban a gyakorló panel. A panel function mezőjébe írhatjuk a keresett határértéket, melyet aztán részletesen lépésről-lépésre megoldhatunk a Next Step parancsra kattintva. 6. Megoldásra javasolt feladatok 1. Határozza meg az alábbi határértékeket! 135

142 Függvény határértéke, folytonosság 2. Vizsgálja meg folytonosság szempontjából az alábbi függvényeket! és f (0) = Határozza meg az a és b paraméterek értékét, amennyiben léteznek ilyenek, oly módon, hogy az alábbi függvény folytonos legyen! 136

143 5. fejezet - Differenciálszámítás forrás: 1. A differenciálszámítás elemei Ennek a fejezetnek az a célja, hogy megértsük az alapfogalmakat és elsajátítsuk a deriválás műveletét. A differenciálszámítás kialakulását geometriai és mechanikai problémák siettették. A függvény adott pontban való differenciálhatóságát is többféleképpen definiálhatjuk. Mi a határérték fogalmára támaszkodó definíciót fogjuk használni Differenciahányados, differenciálhányados, derivált függvény A differenciahányados fogalma definíció: Legyen f (x) az x 0 pont valamely környezetében értelmezve. Ha az, x x 0, differenciahányados függvénynek létezik a (véges) határértéke az x 0 pontban, akkor az f (x) függvényt az x 0 pontban differenciálhatónak nevezzük. Ezt a határértéket az f (x) függvény x 0 pontbeli differenciálhányadosának nevezzük. Jele: vagy szokásos jelölések még: A differenciahányados a függvénygörbe két pontján át húzott szelő meredekségét mutatja meg: [ > n := sqrt(x) [ > ngorbe := plot(n, x = 0.. 5, discont = true, thickness = 3); ngorbe 137

144 Differenciálszámítás A differenciálhányados a függvénygörbe adott pontjában húzott érintő meredekségét mutatja meg: Ha azt mondjuk, hogy f'(x 0) létezik, az azt jelenti, hogy f (x) az x 0 pontban differenciálható. Ha x = x 0 + x alakú, akkor, x 0; ezzel a kifejezéssel is gyakran találkozhatunk tankönyvekben. A differenciálhányados definíciójára egyaránt megfogalmazhatunk Heine-féle és Cauchy-féle definíciót is, mint a határérték és folytonosság esetében. Ezektől most eltekintünk. Szemléletesen: Tekintsük az f (x) = x 2 függvényt az x 0= 1 hely (rögzített pont) környékén. x= 1; 0,5; 0,3; 0,2; 0,1 értékeket veszi fel

145 Differenciálszámítás Számoljuk ki rendre a differenciahányadosok értékét: A kiszámolt differenciahányadosok értékeit vizsgálva, az a sejtés alakul ki, hogy az adott esetben a differenciahányadosok sorozata 2-höz konvergál, ha x 0. Nézzük e sejtés igazolását: A függvénygörbéhez szelőket rajzolva, láthatjuk, hogy a differenciahányadosok a szelők meredekségeit adják meg, a differenciálhányados az érintő meredekségét adja meg. Mondhatjuk azt is, hogy a szelők határhelyzete az érintő az adott pontban. Innen származnak olyan elnevezések a közgazdaságtanban, hogy a határbevételi függvény a bevételi függvény deriváltja. Általában, amelyik függvény neve elé odatesszük a határ jelzőt, az adott függvény deriválását jelenti. [ > animate( plot, [[x^2,(2+t)*(x-1)+1],x=-4..4], t=-2..0 ); definíció: 139

146 Differenciálszámítás Ha, illetve határértékek léteznek, akkor azt mondjuk, hogy létezik az f (x) bal illetve jobboldali differenciálhányadosa az x 0 pontban, ezek jele: illetve Ezek után nyilvánvaló, hogy akkor és csakis akkor létezik, ha és léteznek és egyenlők, azaz: Nézzük például az abszolútérték függvény differenciálhányadosát a 0 helyen: [ > a := abs(x) [ > agorbe := plot(a, x = , discont = true, thickness = 3); agorbe [ > rajzokbal := [seq(display([pointplot([x, a(x)], color = red, symbolsize = 18, symbol = solidcircle), gorbe]), x = ,.1)] [ > display(rajzokbal, insequence = true) 140

147 Differenciálszámítás [ > rajzokjobb := [seq(display([pointplot([x, a(x)], color = red, symbolsize = 18, symbol = solidcircle), gorbe]), x = 5.. 0, -.1)]: [ > display(rajzokjobb, insequence = true) A két féloldali differenciálhányados nem egyezik meg, tehát az abszolútérték függvény a 0 helyen nem differenciálható. definíció: 141

148 Differenciálszámítás Az f (x) függvényt az [a;b] intervallumon akkor nevezzük differenciálhatónak, ha minden belső pontban differenciálható, továbbá az a pontban a jobboldali és a b pontban a baloldali differenciálhányadosa létezik. definíció: A differenciálhányados és a differenciálhányados függvény: Azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya azon pontok halmaza, ahol differenciálható és amelynek értéke egy ilyen helyen éppen a differenciálhányadosa ebben a pontban, azt a függvény differenciálhányados függvényének, vagy derivált függvényének nevezzük. (Gyakran röviden csak differenciálhányadosának vagy deriváltjának.) A differenciálhányadosra vonatkozó rendőrelv: Ha az f (x), g (x) és h (x) függvények az x 0 pont valamely környezetében értelmezve vannak és e környezetben f (x) g (x) h (x), továbbá f (x 0) = h (x 0) és f ' (x 0) = h' (x 0), akkor g (x) differenciálható az x 0 helyen és g' (x 0) = f ' (x 0) = h' (x 0). Tétel: Konstans differenciálhányadosa mindenütt 0. ( f (x) = c ) Bizonyítás: 1.2. Differenciálhatóság és folytonosság Tétel: ( A differenciálhatóság szükséges feltétele) Ha f (x) differenciálható az(x 0 pontban, akkor ott folytonos is. Úgy is szoktuk fogalmazni, hogy a differenciálhatóságból következik a folytonosság, de a folytonosságból a differenciálhatóság még nem. Például: [ > f := abs(x) [ > plot(f, x = , thickness = 3) 142

149 Differenciálszámítás Tekintsük a baloldali differenciálhányadost az x=0 pontban: Tekintsük a jobboldali differenciálhányadost az x=0 pontban: Mivel a két féloldali határérték nem egyezik meg, ezért a 0 pontban nem diffenciálható az abszolútérték függvény, de ott folytonos, hiszen mindkét féloldali határértéke 0. definíció: Egy függvényt egy intervallumon akkor nevezünk folytonosan differenciálhatónak, ha differenciálhányados függvénye folytonos ezen az intervallumon Differenciálási szabályok Differenciálási szabályok tétele: Ha f (x) és g (x) differenciálható x 0 -ban, akkor összegük, különbségük, szorzatuk is, és ha a nevezőben levő függvény x 0 -ban 0-tól eltérő értéket vesz fel, akkor a hányadosuk is differenciálható, továbbá érvényesek az alábbi összefüggések: ha g (x 0) 0 akkor Elemi függvények deriválása:, hol c valós számot jelöl. A bizonyításoktól, levezetésektől eltekintünk, táblázatos formában foglaljuk össze: Összetett függvény differenciálhányadosa: Ha a g (x) függvény differenciálható x 0 -ban és f (x) differenciálható g (x 0) -ban, akkor az f (g (x)) összetett függvény is differenciálható x 0 -ban és 143

150 Differenciálszámítás A fenti szabályt szokták láncszabálynak is hívni. Bizonyítását nem részletezzük. Mivel néha nehéz felismerni az összetett függvényt, vagy legalábbis jól kell beazonosítani, hogy melyik a külső függvény és melyik a belső függvény, ehhez is készült egy segédtáblázat, melynek segítségével egyszerűsödik a deriválás Maple ellenőrző panel a deriváláshoz 1.5. Maple gyakorló panel a deriváláshoz 144

151 Differenciálszámítás 1.6. Középérték tételek Rolle-tétel: Ha f (x) folytonos a véges zárt [a;b] intervallumon és differenciálható a nyitott ]a;b[ intervallumon, továbbá ha f (a) = f (b), akkor létezik legalább egy belső pont, ahol a differenciálhányados 0. Ennek a tételnek következménye az, hogy a derivált 0 volta szükséges feltétele a szélsőérték létezésének. Szemléletesen: 145

152 Differenciálszámítás ROLLE-TÉTEL Az alábbi utasításban ha kicseréljük a függvény hozzárendelési utasítását és az intervallum végpontjait, a Maple megrajzolja a függvényt és megkeresi a közbülső helyet. [ > with(student[calculus1]): [ > RollesTheorem(x^4-3*x^2+1, x = ); Lagrange-tétel: Ha f (x) folytonos a véges zárt [a;b] intervallumon és differenciálható a nyitott ]a;b[ intervallumon, akkor van olyan c belső pont, ahol a differenciálhányados értékére Szemléletesen: 146

153 Differenciálszámítás Szokás a differnciálszámítás első középérték tételének is nevezni. Szemléletesen azt jelenti, hogy van olyan c belső pont, amelyben olyan érintőt rajzolhatunk a függvényhez, amelyik párhuzamos az intervallum végpontjain át húzott szelővel. A Lagrange- tétel általánosítása a Cauchy-tétel: Ha f (x) és g (x) folytonos a véges zárt [a;b] intervallumon és differenciálható a nyitott [a;b[ intervallumon, továbbá g '(x) a belső pontokban nem nulla, akkor van olyan ξ belső pont, ahol 1.7. Kidolgozott feladatok 1. Differenciáljuk a következő függvényeket: Megoldás: 2. Adja meg a következő függvények deriváltjait! Megoldás: 147

154 Differenciálszámítás 3. Írja fel az függvény grafikonjához húzható érintő egyenletét az y tengellyel való metszéspontjában! Megoldás: Először határozzuk meg, hogy hol metszi a függvény az y tengelyt. Ez ott van, ahol x = 0. Behelyettesítés után kapjuk, hogy y = -1/2. Tehát a P 0(0; 1/2) ponton átmenő érintő egyenesét kell felírnunk. Ehhez az egyenes iránytényezős egyenletét használjuk, mivel az iránytényezőt vagy meredekséget a függvény differenciálhányadosának értéke adja meg az adott pontban. A meredekség meghatározása: Az egyenes iránytényezős alakja:. Behelyettesítés után az érintő egyenlete: [ > [ > [ > plot([f, g], x = , thickness = 3) 148

155 Differenciálszámítás 4. Mennyi az függvény differenciahányadosa a 2 x 2,2 intervallumban? Mennyi a differenciálhányados ezen intervallum végpontjaiban? Megoldás: A differenciahányados képzéséhez vegyük észre, hogy x 0= 2 és x = 0,2. A definíció szerint A differenciálhányadoshoz meghatározzuk a derivált függvényt és annak vesszük a helyettesítési értékeit az intervallum végpontjaiban. 149

156 Differenciálszámítás f '(2,2) = 0,1 és f '(2) = 0 5. Mennyi az függvény differenciahányadosa az 1 x 1,5 intervallumban? Melyik x értéknél egyezik az meg az intervallumon belül a differenciálhányadossal? Megoldás: A differenciahányados definíciója szerint: feladatban. Számolás:. Legyen x 0= 1 ekkor x = 0,5 a A differenciálhányados definíciója szerint: Kérdés, hogy a derivált függvény melyik helyen veszi fel az 1,58 értéket. Meghatározás: Tehát két olyan hely is van, ahol a differenciálhányados értéke megegyezik a kérdéses intervallumban vett differenciahányados értékével. 6. A függvények ismeretében határozza meg a következő értékeket! f '(1) =? g '(1) =? Megoldás: 7. Mennyi f '(1) értéke, ha? 150

157 Differenciálszámítás 8. Mekkora szögben metszi az függvény grafikonja az x tengelyt? Megoldás: Az x tengelyt a zérushelyében metszi, ennek meghatározása: A metszés szögét a differenciálhányados adja meg az adott helyen. Meghatározása: 2. Megoldásra javasolt feladatok Végezze el a következő deriválásokat! 151

158 6. fejezet - A differenciálszámítás alkalmazásai forrás: 1. Alkalmazások Ebben a fejezetben a differenciálszámítás alkalmazásait ismerjük meg több pédán keresztül. A függvénytulajdonságok definíciói a harmadik fejezetben találhatók Monotonitás A monotonitás deriválttal való kapcsolatát fejezi ki a következő tétel: Ha az f (x) az ]a; b[ intervallumon differenciálható, akkor annak, hogy f ( x) az ]a; b[ -on növekedő (csökkenő) legyen, szükséges és elegendő feltétele, hogy f (x) 0, illetve f (x) 0 teljesüljön. A szigorú növekedés (szigorú csökkenés) szükséges és elegendő feltétele, hogy 0 < f (x), illetve f (x) < 0 legyen, de a derivált az ]a; b[ intervallum egyetlen részintervallumán sem lehet azonosan Szélsőérték Egy szemléletes példa: Legyen az értelmezési tartomány a Föld hegyeinek halmaza. Ekkor abszolút maximum: 152

159 A differenciálszámítás alkalmazásai Helyi maximum (a környezet Magyarország): Szélsőérték létezésének szükséges feltétele: Ha az f (x) az x 0 pont valamely környezetében mindenütt differenciálható és a differenciálhányados függvénye x 0 -nál előjelet vált, akkor az x 0 -ban az f (x) függvénynek szigorú helyi szélső értéke van; mégpedig maximum, ha f (x) előtte pozitív, utána negatív; minimum, ha f (x) előtte negatív, utána pozitív. Szélsőérték meghatározása magasabb rendű deriváltakkal: Tétel: Ha az x 0 pontban az első 0-tól különböző differenciálhányados páros rendű, akkor a függvénynek szélsőértéke van az x 0 helyen, mégpedig ha a kérdéses differenciálhányados pozitív, akkor minimuma van, ha negatív, akkor maximuma van. Ha az első nullától különböző differenciálhányados páratlan rendű és e rendszám nagyobb 1- nél, akkor ha ez a differenciálhányados pozitív, a függvény x 0 valamely környezetében növekedő, ha negatív, akkor csökkenő. Példa: Hol van szélsőértéke az függvénynek? Megoldás: Ott lehet a függvénynek szélsőértéke, ahol az első derivált eltűnik, azaz f (x) =

160 A differenciálszámítás alkalmazásai Ezzel még csak azt kaptuk meg, hogy hol lehet szélsőértéke a függvénynek. Ezután megvizsgáljuk, hogy a kapott helyen előjelet vált-e a derivált függvény. A vizsgálathoz készítsünk előjel-táblázatot! f ' (x) f (x) lokális minimum Eldönthetjük a szélsőérték típusát a második derivált segítségével is: 1.3. Konvexitás, inflexiós hely Konvexség és konkávság eldöntése differenciálhányadosokkal: Tétel: Ha az f (x) az ]a; b[ intervallumon kétszer differenciálható, akkor annak, hogy f (x) az ]a; b[ -on konvex (konkáv) legyen, szükséges és elegendő feltétele, hogy f (x) 0 illetve f (x) 0 teljesüljön ]a; b[-ben. A szigorú növekedés (szigorú csökkenés) szükséges és elegendő feltétele, hogy f (x)>0 illetve f (x)<0 legyen, de a második derivált az ]a; b[ egyetlen részintervallumán sem lehet azonosan 0. Inflexiós pont kritériumai deriváltakkal Ha az f (x) az x 0 pont valamely környezetében mindenütt kétszer differenciálható és x 0 -ban inflexiós pontja van, akkor a második differenciálhányados függvénye szükségképpen 0, azaz f (x) = 0. Inflexiós pont magasabb rendű deriváltakkal: Ha az első el nem tűnő differenciálhányados páratlan rendű az x 0 pontban, akkor azf (x) -nek az x 0 -ban inflexiós pontja van Függvényvizsgálat A függvénydiszkusszió általános sémája 1. Meghatározzuk a függvény értelmezési tartományát, a szakadási pontokat, folytonossági intervallumokat, zérushelyeket, jeltartási intervallumokat, a görbe szimmetriatengelyeit és pontjait (paritás). 2. Meghatározuk az első deriválttal a monotonitási intervallumokat, a szélsőérték helyeit és értékeit. 3. Meghatározzuk a második deriválttal a függvénygörbe konvex és konkáv részeit, inflexiós pontjait. 154

161 A differenciálszámítás alkalmazásai 4. Meghatározzuk a függvény határértékeit a - és + végtelenben és a szakadási pontokban. 5. Megrajzoljuk a függvény görbéjét, ha lehet, és meghatározzuk az értékkészletet Példák függvényvizsgálatra Végezze el az függvény teljes vizsgálatát! HAGYOMÁNYOS MEGOLDÁS: Értelmezési tartomány meghatározása: D f: x R szimmetria tulajdonságok, periodicitás: nem periodikus zérushely: f (x) = 0 szélsőérték, monotonitási szakaszok: A függvénynek ott lehet szélsőértéke, ahol az első deriváltja eltűnik. x < 5 x = 5 5 < x < 7 x = 7 7 < x f ' (x) f (x) lok. min. lok. max. Azaz a függvény a ]- ;5[ intervallumban monoton nő, az [5;7] intervallumban monoton csökken, a [7; [ intervallumban monoton nő. Az x = 5 helyen lokális maximuma van, ennek értéke f (5) = 0, mert ez éppen a zérushelye is. A z x =7 helyen lokális minimuma van, ennek értéke inflexiós pont, görbület ( konvexitás) A függvénynek ott lehet inflexiós pontja, ahol a második differenciálhányados eltűnik. 155

162 A differenciálszámítás alkalmazásai f " (x) f (x) infl. pont infl. pont Azaz az f (x) függvény a intervallumban konvex, a intervallumban konkáv, intervallumban ismét konvex. határértékek vizsgálata: függvénygörbe megrajzolása (kiemelve a határértékek): függvény görbe megrajzolása az inflexiós hely és szélsőérték környékének kiemelésével: 156

163 A differenciálszámítás alkalmazásai Értékkészlet meghatározása: MEGOLDÁS MAPLE PARANCSOKKAL: [ > restart; with(plots): [ > [ > fgv_zérushelye := solve(f(x) = 0, x); [ > derivaltf := diff(f(x), x); [ > implify(derivalsimplify(derivaltf)tf); [ > derivaltf_zérushelye := solve(derivaltf(x) = 0, x); [ > rajzderivaltf := plot(derivaltf(x), x = , color = blue); rajzderivaltf; 157

164 A differenciálszámítás alkalmazásai [ > plot(signum(derivaltf(x)), x = , title = A derivált elöjele, color = green); A derivált függvény az x=5-nél negatívról pozitívra váltja az előjelét, így lokális minimuma van, míg x=7-nél pozitívról, negatívra vált, tehát lokális maximuma van. A szélsőértékek nagysága: [ > m := f(5) [ > M := f(7) [ > derivalt2 := diff(derivaltf, x); [ > simplify(derivalt2); [ > [ > derivalt2_zérushelye := solve(md(x) = 0, x); [ > rajzderivalt2 := plot(derivalt2(x), x = , color = blue); rajzderivalt2; 158

165 A differenciálszámítás alkalmazásai [ > plot(signum(derivalt2(x)), x = , title = A második derivált előjele, color = green); A második derivált a zérushelyeknél előjelet vált, a -on negatív előjelű, így ott konkáv, a -on pozitív előjelű, így ott a függvény konvex, a -on pedig ismét konvex a függvény. [ > [ > [ > plot(f(x), x = , title = A függvény grafikonja, color = red); 159

166 A differenciálszámítás alkalmazásai [ > plot(f(x), x = , e-1, title = A függvény grafikonja, color = red); Értékkészlet meghatározása: Végezze el az függvény teljes vizsgálatát! Megoldás: Értelmezési tartomány: x 0 D f: x R {0} Nem periodikus, azaz nincs olyan p valós szám, amelyre f (x) = f (x + p) lenne. Paritás: 160

167 A differenciálszámítás alkalmazásai Zérushely: Szélsőérték és monotonitás: A függvénynek ott lehet szélsõ értéke, ahol f '(x) = 0 ( szükséges feltétel!) A függvény egy szorzatfüggvény, amelynek az egyik tényezője összetett függvény: Elegendő a feltétel, ha a derivált e helyen előjelet vált: x < - 1 x = -1-1 < x < 0 x = 0 0 < x f ' (x) nincs értelmezve! + f (x) lok. max. nincs értelmezve! Konvexitás és inflexiós pont: A függvénynek ott lehet inflexiós pontja, ahol f "(x) = 0 Az első deriváltat tovább deriválva ( szorzat, egyik tényező összetett függvény): Látjuk, hogy a második derivált sehol sem lesz 0, tehát nincs inflexiós pontja! Elõjel vizsgálatot azonban végezni kell: x < 0 x = 0 0 < x f " (x) - nincs értelmezve! + f (x) nincs értelmezve! Tehát a negatív számok halmazán konkáv, a pozitív számok halmazán konvex a függvény. Határértékek: (dominál az x fgv) A + -ben hasonlóan + 1 =. Kihasználtuk, hogy Mi a helyzet a 0 környékén? (zűrös hely) 161

168 A differenciálszámítás alkalmazásai Grafikon: Aszimptota : y=x egyenes Értékkészlet: MEGOLDÁS MAPLE PARANCSOK HASZNÁLATÁVAL: [ > [ > fgv_zérushelye := solve(f(x) = 0, x) [ > derivaltf := diff(f(x), x) [ > simplify(derivaltf) [ > derivaltf_zérushelye := solve(derivaltf(x) = 0, x) [ > rajzderivaltf := plot(derivaltf(x), x = , color = blue); rajzderivaltf 162

169 A differenciálszámítás alkalmazásai [ > plot(signum(derivaltf(x)), x = , title = A*derivált*elöjele, color = green) A derivált függvény az x=-1-nél pozitívról negatívra váltja az elõjelét, így lokális maximuma van, míg x=0-nél negatívról, pozitívra vált, de itt nincs szélsõérték, mert sem a függvény, sem a derivált nincs értelmezve. A szélsõ értékek nagysága: [ > M := f(-1) [ > derivalt2 := diff(derivaltf, x) [ > simplify(derivalt2) [ > md := x derivalt2(x) [ > derivalt2_zérushelye := solve(md(x) = 0, x) [ > rajzderivalt2 := plot(derivalt2(x), x = , color = blue); rajzderivalt2 163

170 A differenciálszámítás alkalmazásai [ > plot(signum(derivalt2(x)), x = , title = A*második*derivált*elöjele, color = green) A második derivált a 0-nál előjelet vált: a ]- ;0[ -on konkáv a ]0; [-on konvex a függvény. [ > [ > [ > limit(f(x), x = 0, right) [ > limit(f(x), x = 0, left) A féloldali határértékeket más szintaxisban kell beírni!!! [ > plot(f(x), x = , title = A*függvény*grafikonja, color = red) 164

171 A differenciálszámítás alkalmazásai Értékkészlet meghatározása: Végezze el a következő függvény vizsgálatát! HAGYOMÁNYOS MEGOLDÁS: D f : x R paritás: nem periodikus zérushely: szélsőérték, monotonitás: A szélső érték létezésének szükséges feltétele, hogy az első derivált eltűnjön; elegendő is, ha azon a helyen a derivált előjelet vált: x < 0 x =0 0 < x < 9 x = 9 9 < x f ' (x) f (x) nincs szélső érték nincs értelmezve! inflexiós pont, konvexitás: 165

172 A differenciálszámítás alkalmazásai Az inflexiós pont létezésének szükséges feltétele, hogy a második derivált eltűnjön, elegendő is, ha az adott helyen a második derivált előjelet is vált. előjel táblázat: x < 0 x =0 0 < x < 6 x = 6 6 < x f " (x) f (x) inflexiós pont inflexiós pont határértékek vizsgálata: grafikon megrajzolása: Értékkészlet : MEGOLDÁS MAPLE PARANCSOKKAL: [ > f := x 12*x^3-x^4 [ > fgv_zérushelye := solve(f(x) = 0, x) [ > derivaltf := diff(f(x), x) [ > simplify(derivaltf) [ > derivaltf_zérushelye := solve(derivaltf(x) = 0, x) 166

173 A differenciálszámítás alkalmazásai [ > rajzderivaltf := plot(derivaltf(x), x = , color = blue); rajzderivaltf [ > plot(signum(derivaltf(x)), x = , title = A*derivált*elöjele, color = green) A derivált függvény az x=0-nál nem vált elõjelet, így itt nincs szélsõ értéke. Az x=9 helyen pozitíról negatíra vált, így ott a függvénynek maximuma van. A szélsõ érték nagysága: [ > M := f(9) [ > derivalt2 := diff(derivaltf, x) [ > simplify(derivalt2) [ > md := x derivalt2(x) [ > derivalt2_zérushelye := solve(md(x) = 0, x) [ > rajzderivalt2 := plot(derivalt2(x), x = , color = blue); rajzderivalt2 167

174 A differenciálszámítás alkalmazásai [ > plot(signum(derivalt2(x)), x = , title = A*második*derivált*elöjele, color = green) A második derivált a zérushelyeknél elõjelet vált, a "]- ; 0[" -on negatív elõjelû, így ott a függvény konkáv, a "]0;6[" -on pozitív elõjelû, így ott konvex, a "]6 ; [" -on pedig ismét konkáv a függvény. [ > [ > [ > plot(f(x), x = , title = A*függvény*grafikonja, color = red) 168

175 A differenciálszámítás alkalmazásai A helyi maximum abszolút maximum is. Értékkészlet meghatározása: 1.6. Érintő Az érintő egyenes egyenletét az y - y 0 = m (x - x 0) iránytényezős egyenlet felhasználásával írjuk fel, ahol (x 0, y 0) jelöli azt a pontot, amelyben kíváncsiak vagyunk az érintő egyenletére, az m meredekség a differenciálhányados értéke az x 0 pontban. Így az érintő általános egyenlete átrendezés után: y = f' (x 0) (x - x 0) + f (x 0) Példa: 169

176 A differenciálszámítás alkalmazásai Írja fel az függvény grafikonjához húzható érintő egyenletét az y tengellyel való metszéspontjában! Megoldás: Először meghatározzuk, hogy hol metszi a függvény az y tengelyt. Ez ott van, ahol x=0. Behelyettesítés után azt kapjuk, hogy y= -1/2. Tehát a P 0(0; -1/2) ponton átmenő érintő egyenesét kell felírnunk. Ehhez az egyenes iránytényezős egyenletét használjuk, mivel az iránytényezőt, vagy meredekséget a függvény differenciálhányadosának értéke adja meg az adott pontban. A meredekség meghatározása: Az egyenes iránytényezős alakja: y - y 0 = m (x - x 0). Behelyettesítés után az érintő egyenlete: Példa: Mekkora szögben metszi az Megoldás: Az x tengelyt a függvény zérushelyén metszi, ennek meghatározása: szögét a differenciálhányados adja meg az adott helyen.. A metszés Meghatározása: Közelítés 170

177 A differenciálszámítás alkalmazásai TAYLOR-POLINOM GYAKORLÓ PANEL ANIMÁCIÓVAL: Példa: Számítsa ki és közelítő értékét célszerű helyen felvett érintő egyenletének felhasználásával! Megoldás: A következő közelítést alkalmazzuk: célszerű helyen az érintő meredeksége megegyezik a szelő meredekségével, azaz A függvény jelen esetben a négyzetgyök függvény lesz, a célszerű hely pedig a 4. Így: Példa: 171

178 A differenciálszámítás alkalmazásai Írja fel az f (x) = ln (2 x + 1) függvény Taylor-polinomját a 0 hely környékén a harmadfokú tagig! Segítségével becsülje meg ln3 értékét! Megoldás: A harmadfokú Taylor-polinom: Alkalmazzuk a feladatra: ln3 becsléséhez x=1 helyettesítést alkalmazzuk: 1.8. Gazdasági feladatok megoldása Ismeretes, hogy egy cég valamely termékének B(x) árbevételi, illetve K(x) költségfüggvénye, a következő: B(x) =200x 0,1 2 x, illetve K(x) = 10x , ahol x (> 0) a termék darabszámban kifejezett mennyisége. a) Írja fel a határköltség függvényt, a profitfüggvényt és a határprofit függvényt! b) Határozza meg a termék azon darabszámát, amelynek értékesítése esetén a cég nyeresége maximális lesz. Számítsa ki a maximális profit értékét is! c) A fedezeti pont a nulla veszteséghez és profithoz tartozik. Határozza meg, hogy fedezeti pont milyen termelési mennyiséghez tartozik! [ > K : = x 10 x [ > határköltség := x diff(k(x), x) [ > határköltség(x) [ > B: =x 200*x-0.1*x^2 [ > profit : =x B(x)-K(x) [ > profit(x) [ > határprofit: = x diff(profit(x), x) [ > határprofit(x) [ > határprofit_zérushelye := solve(határprofit(x) = 0, x) [ > rajzhatárprofit := plot(határprofit(x), x = , color = blue); rajzhatárprofit 172

179 A differenciálszámítás alkalmazásai [ > plot(signum(határprofit(x)), x = , title = `A derivált elöjele`, color = green); A derivált az x=950-nél előjelet vált, pozitívról negatívra, tehát a profitfüggvénynek maximuma van. [ > P:= profit(950) [ > fedezetipont := solve(profit(x) = 0, x) Feladat: Egy termék árbevételének alakulását (ezer Ft-ban) a termékek darabszámát jelenti. függvény adja meg, ahol x az eladott a) Milyen értékeket vehet fel az eladott termék darabszáma? b) Milyen x érték mellett lesz maximális az árbevétel? 173

180 A differenciálszámítás alkalmazásai c) Számítsa ki az árbevétel-függvény pontelaszticitását x = 1000; -ben, és a kapott eredményt értékelje! [ > [ > grafikon := plot(b(x), x = ); grafikon [ > deriváltb : = x diff(b(x), x); derivált = deriváltb(x) [ > derivált_zérushelyei := solve(deriváltb(x) = 0, x) [ > rajzderivált := plot(deriváltb(x), x = , color = blue); rajzderivált [ > maximum_hely := derivált_zérushelyei[2] A derivált előjelet vált 1600-nál, pozitívról negatívra, tehát B(x)-nek helyi maximuma van x=1600-ban. [ > plot(signum(deriváltb(x)), x = , title = `A derivált elöjele`, color = green) 174

181 A differenciálszámítás alkalmazásai [ > maximum_értéke := B(maximum_hely); evalf(%) A bevétel maximális értéke sqrt(2) [ > elaszticitás := unapply(x*deriváltb(x)/b(x), x) `Az árbevétel elaszticitása` = elaszticitás(x) [ > elaszticitás_értéke := elaszticitás(1000) [ > fuggoleges := plot([[1000, 0], [1000, 1.5]], linestyle = [dash], color = blue); [ > rajz_elaszticitás := plot([elaszticitás(x), elaszticitás_értéke], x = , color = [green, red], linestyle = [solid, longdash]); display([fuggoleges, rajz_elaszticitás]); Adott az f(x)=e -0,01x+1 függvény, ahol x egy termék egységárát jelenti forintban, f(x) pedig a termék iránti keresletet darabban. a) Milyen egységár mellett lesz a bevétel maximális,és mekkora az ehhez a bevételhez tartozó kereslet és árbevétel? b)állapítsa meg az f (x)függvény x 0=50 pontbeli elaszticitását! Fogalmazza meg, mit jelent a kapott eredmény! [ > f : = x x f (x) [ > bevétel(x) [ > grafikon := plot(bevétel(x), x = ); grafikon 175

182 A differenciálszámítás alkalmazásai [ > bevételderivált : = x diff(bevétel(x), x) [ > bevételderivált(x); [ > bevételderivált_zérushelye := solve(bevételderivált(x) = 0, x); [ > rajzderivált := plot(bevételderivált(x), x = , color = blue); rajzderivált; A derivált előjelet vált 100-nál, pozitívról negatívra, tehát a bevételnek helyi maximuma van x=100-ban. [ > plot(signum(bevételderivált(x)), x = , title = A derivált elöjele, color = green); 176

183 A differenciálszámítás alkalmazásai [ > B : = bevétel(100) [ > db := f(100); [ > [ > elaszticitás_értéke := elaszticitás(50) 2. Megoldásra javasolt feladatok 1. Egy bizonyos termék (kg-ban kifejezett) kereslete és annak x (Ft/kg ) egységára között az f(x) = ,7 x 2, (0 x 173) összefüggés áll fenn. (f(x ) tehát a keresleti függvény, B(x)=x f(x ) az árbevétel függvénye.) Írja fel a bevételi függvényt és a határbevételi függvényt! Milyen egységár mellett maximális az árbevétel és mekkora az ehhez tartozó kereslet? Mekkora a maximális árbevétel? Állapítsa meg az f(x) függvény elaszticitását (rugalmasságát) az x 0 = 50 helyen és értelmezze a kapott eredmény jelentését! 2. Végezze el a következő függvények vizsgálatát! f (x)= 3x 3-6x 2 3. Mi az görbéhez az x = -1 abszcisszájú pontjában húzott érintő egyenlete? 4. Diszkutáljuk a következő függvényt monotonitás szempontjából! Van-e szélső értéke? Ha igen, hol? 5. Írja fel az függvény Taylor-polinomját a 0 hely környékén az ötödfokú tagig! Segítségével becsülje meg értékét!

184 7. fejezet - Integrálszámítás forrás: 1. Definíciók, az integrálás és deriválás kapcsolata Definíció: Egy F(x) függvényt az f(x) függvény primitív függvényének nevezünk valamely véges, vagy végtelen intervallumon, ha ennek az intervallumnak minden x pontjában F ' (x) = f (x) dx. Az f (x) függvény y = F(x) primitív függvényének görbéjét az f (x) függvény integrálgörbéjének nevezzük. Tétel: Egy függvény primitív függvényei csak konstansban különbözhetnek, tehát ha van primitív függvény, akkor végtelenül sok van. A primitív függvény konstans erejéig egyértelműen meghatározott. Elemi függvények primitív függvényei: 178

185 Integrálszámítás Integrálási szabályok: Az integrálási szabályok következnek a deriválási szabályokból. Példa: Végezze el a következő integrálást! Megoldás: Maple paranccsal: [ > int(1+sh(2*x-1), x) Végezze el a következő integrálást! Megoldás: Maple paranccsal: [ > int(((2*x-1)*(1/3))^2, x) Határozza meg a következő integrált! 179

186 Integrálszámítás Megoldás: Határozza meg a következő integrált! Természetesen Maple paranccsal szintén minden feladat megoldható, ezt a továbbiakban nem részletezzük. Határozza meg az függvény primitív függvényét! Végezze el a következő integrálást! Integrálja a következő függvényeket! 2. Integrálási típusok (alfás típus) Az összetett függvény deriválási szabályai alapján megfogalmazhatunk néhány gyakran előforduló integrálási típust. Helyettesítéssel való primitív függvény meghatározása: 180

187 Integrálszámítás Ha az f (x) függvénynek F(x) függvény a primitív függvénye, akkor bármely olyan differenciálható ϕ(t) függvény esetén, amelyre f(ϕ(t)) értelmezve van egy intervallumon, az f(ϕ(t)) ϕ'(t) függvénynek F(ϕ(t)) primitív függvénye, azaz Ez a tétel az alapja a fenti integrálási típusoknak is. Példa: Határozza meg a következő integrált! Megoldás: Vezessük be az helyettesítést. Ekkor azaz. Így az alábbiakra jutunk: Végezze el a következő integrálást! Megoldás: Vezessük be az helyettesítést. Ekkor. Így az alábbiakra jutunk: Alkalmas helyettesítéssel határozza meg az integrál kifejezés értékét! Megoldás: Vezessük be az helyettesítést. Ekkor. Átalakítva az integrandust: Alkalmas helyettesítéssel határozza meg az integrál kifejezés értékét! Megoldás: Legyen helyettesítés. Ekkor, átalakítva az integrandusban álló kifejezést: Parciális integrálással folytatva: választással: 181

188 Integrálszámítás 3. Maple gyakorló-ellenőrző panel az integráláshoz 4. Határozott integrál Alapfogalmak: Az I = [a, b] intervallum n-részes beosztásán egy olyan n+1 elemű B n = (x 0, x 1, x 2,..., x n) pontrendszert értünk, amelyre x 0 = a, x n = b, és x i-1< x i (i=1,2,...,n) teljesül. Az x i pontokat osztáspontoknak, az I i = [x i-1, x i] intervallumot i-edik részintervallumnak nevezzük. Az f (x) függvényről tegyük fel, hogy korlátos az [a; b]-on, így bármely részintervallumán létezik a függvényértékeinek infimuma és suprémuma is. Ezeket így jelöljük: és. Ezek segítségével képezzük az függvénynek az I=[a; b] intervallum B n = (x 0, x 1, x 1,..., x n) beosztásához tartozó alsó ill. felső integrálközelítő összegét: A Maple gyakorló panel: 182

189 Integrálszámítás Riemann-féle közelítő összeg: alakú összeg, ahol ξ i I i. A beosztás finomításán azt értjük, hogy újabb osztáspontokat veszünk hozzá. Tételek: 1. A beosztás finomításakor az alsó összegek nem csökkennek, a felső összegek nem növekednek. 2. Bármely beosztáshoz tartozó alsó összeg nem-nagyobb bármely másik beosztáshoz tartozó felső összegnél. Darboux-féle alsó ill. felső integrálon értjük az alsó összegek felső határát ill. a felső összegek alsó határát. Tétel: A Darboux-féle alsó integrál nem nagyobb a Darboux-féle felső integrálnál; és ha m f (x) M, akkor Riemann-integrál- definíciója: A korlátos f (x) függvényt az [a;b] véges intervallumon Riemann-szerint integrálhatónak nevezzük, ha a Darboux-féle alsóintegrálja egyenlő a Darboux-féle felső integráljával, és ezt a közös értéket nevezzük az f (x) függvény [a;b] véges intervallumon vett Riemann-integráljának. Jelölés: RIEMANN-KÖZELÍTő ÖSSZEGEK ANIMÁCIÓVAL Integrálhatósági kritériumok: Definíció: Egy f (x) függvény B beosztáshoz tartozó oszcillációs összegén értjük a következő összeget: A definícióból következik, hogy bármely beosztás esetén az oszcillációs összeg nemnegatív. Oszcillációs-kritérium: Az [a;b] véges intervallumon korlátos f (x) függvény akkor és csak akkor Riemann-integrálható, ha bármely pozitív ε-hoz megadható olyan B=B(ε), hogy o(f, B) < ε. 183

190 Integrálszámítás Tételek: 1. Ha az f(x) függvény korlátos és monoton az [a;b] véges intervallumon, akkor Riemann-szerint integrálható. 2. Ha az f(x) függvény folytonos a véges [a;b] intervallumon, akkor integrálható. 3. Ha az f(x) függvény korlátos az [a;b] véges intervallumon és annak bármely részintervallumán integrálható, akkor [a;b] -on is integrálható. Szükséges és elegendő kritérium: Ha az f (x) függvény korlátos az [a;b] véges intervallumon, akkor ahhoz, hogy integrálható legyen, szükséges és elegendő, hogy a Riemann-féle közelítő összegek konvergáljanak a közbülső helyek bármely választása esetén, ha a beosztások finomsága tart nullához. A határozott integrál tulajdonságai: Ha az f (x) függvény integrálható az [a; b] véges intervallumon, akkor ezen intervallum bármely részintervallumán is integrálható. Ha az f (x) függvény integrálható az [a; b] véges intervallumon és a < c and c < b, akkor, azaz integrálási tartomány szerint additív. Ha az f (x) és g (x) függvények integrálhatóak az [a; b] véges intervallumon, akkor összegük, különbségük, szorzatuk is integrálható, továbbá ha m g(x), m 0 akkor is integrálható. Ha az f (x) és g (x) függvények integrálhatóak az [a; b] véges intervallumon és g(x) jeltartó és m g(x), m 0 akkor is integrálható [a;b] -on. Ha a korlátos f (x) függvény integrálható az [a; b] véges intervallumon, akkor f (x) is integrálható és Az integrálszámítás első középérték tétele: Ha az f (x) és g (x) függvények integrálhatóak az [a; b] véges intervallumon és g(x) jeltartó is ezen, akkor létezik olyan μ valós szám, amelyre Következmény: Ha az f (x) folytonos az [a; b] véges intervallumon, akkor van olyan ξ az [a;b] -ban, amelyre Az integrálfüggvény Tegyük fel, hogy az f (x) függvény integrálható az [a; b] véges intervallumon. Mint láttuk, akkor ezen intervallum bármely részintervallumán is integrálható f (x), és így bármely x [a;b] esetén létezik az integrál is. Jelöljük az integrál értékét mint a felső határ függvényét F(x)-szel, azaz legyen függvényt az f(x) függvény integrálfüggvényének nevezzük., és ezt a 184

191 Integrálszámítás Tétel: Legyen az f(x) korlátos függvény integrálható az [a;b] véges intervallumon és legyen. Az F(x) függvény az [a; b] minden belső pontjában folytonos ( a végpontokban jobbról illetve balról), és minden olyan x pontjában, ahol f(x) folytonos, az F(x) függvény differenciálható és 5. Megoldásra javasolt feladatok 1. Mennyi a kifejezés értéke? 2. Végezze el a következő integrálásokat! 3. Határozza meg a következő kifejezések értékét! 185

192 Integrálszámítás 186

193 8. fejezet - Az integrálszámítás alkalmazásai forrás: 1. Az integrálás alkalmazásai A fejezetben az integrálszámítás azon alkalmazásaira mutatunk példát, amelyeket a leggyakrabban használunk Newton-Leibniz-formula Newton-Leibniz formula tétele: Ha az f (x) függvény korlátos és folytonos az ]a;b[ nyitott intervallumon, a Φ(x) függvény az f (x) függvénynek ezen az intervallumon primitív függvénye, továbbá Φ(x) a zárt [a;b] intervallumon folytonos, akkor Példa: Határozza meg a kifejezés értékét! Megoldás: Maple paranccsal: [ > int(6-x^3, x = ) Definíció: Az [a;b] intervallumon értelmezett, nemnegatív, integrálható f (x) függvény görbéje alatti területet (pontosabban az x tengely, az x=a és x=b egyenesek, valamint az y = f (x) görbe által közrezárt területet) az f (x) függvénynek ezen az intervallumon vett integráljával definiáljuk. Függvénygörbék által közrezárt területet, a görbék alatti területek különbségeként tudjuk meghatározni. Példa: Mennyi az a paraméter értéke, ha 187

194 Az integrálszámítás alkalmazásai Megoldás: Maple paranccsal: [ > [ > Függvénygörbék közti terület Függvénygörbék által közrezárt területet, a görbék alatti területek különbségeként tudjuk meghatározni. Lépései: metszéspontok meghatározása-ezek lesznek az integrálási tartomány végpontjai a függvények ábrázolásával vagy más módon megállapítjuk, hogy melyik függvény van a másik felett a két függvény különbségét a meghatározott tartományon integráljuk Példa: ("felsőből az alsó") Határozza meg az ábrán a színezett terület nagyságát! 188

195 Az integrálszámítás alkalmazásai Megoldás: Megkeressük az alsó integrálási határt, ami jelen esetben a függvény zérushelye. A meghatározandó terület nagyságát (a függvénygörbe alatti területet) integrálással határozzuk meg. Maple paranccsal: [ > solve(sqrt(x)-1 = 0, x) [ > int(sqrt(x)-1, x = 1.. 4) Példa: Határozza meg az ábrán a színezett terület nagyságát! Megoldás: A kérdéses területet a függvénygörbe alatti terület határozza meg, amely a tanultak szerint a függvény határozott integráljával egyezik meg az adott intervallumon. Meghatározzuk az integrálási határokat, melyek éppen a függvény zérushelyeivel egyenlők a feladatban. A zérushelyek: Ezek után a terület meghatározása: Maple paranccsal: [ > solve(-x^2+2 = 0, x) [ > int(-x^2+2, x = -sqrt(2).. sqrt(2)) Példa: 189

196 Az integrálszámítás alkalmazásai Számítsa ki az ábrán színessel jelölt terület nagyságát! Megoldás: Az első negyed beli területet határozzuk meg, majd kétszerezzük, mert a III. negyed beli terület ugyanakkora. Az y=x egyenes az I. negyedben az x tengellyel háromszöget zár be, melynek területe: Tehát a kérdezett terület nagysága fél terület egység. Maple paranccsal: [ > solve(x^3 = x, x) [ > int(x-x^3, x = 0.. 1) Példa: Mennyi az ábrán a satírozott terület? Megoldás: Célszerű az integrálási tartományt több részre bontanunk, így az egyes részeken tudjuk alkalmazni a megoldási útmutatót. 190

197 Az integrálszámítás alkalmazásai Tehát a kérdéses terület 3 területegység. Maple paranccsal: [ > solve(4*x = (1/2)*x, x) [ > solve(4*x = 4/x^2, x) [ > solve(4/x^2 = (1/2)*x, x) [ > 1.3. Függvény átlaga Definíció: Függvény átlaga vagy integrálközép: Példa: Mennyi az függvény átlaga az 3 x 8 intervallumban? Megoldás: Példa: Melyik kifejezés számértéke a nagyobb? vagy a f (x) = 2 x + 3 függvény átlaga az [1;4] intervallumon? Megoldás: A kérdéses függvény átlagának kiszámítása: Tehát az első kifejezés értéke a nagyobb. Maple paranccsal: 191

198 Az integrálszámítás alkalmazásai [ > [ > Gyakorló panel a függvény átlagának meghatározásához: 1.4. Görbe ívhossza Definíció: Példa: Határozzuk meg az grafikonjának ívhosszát az 0 x 2 intervallumban. Megoldás: Maple paranccsal: [ > [ > 192

199 Az integrálszámítás alkalmazásai [ > Példa: Határozzuk meg az f (x) = x 2 grafikonjának ívhosszát az 0 x 1 intervallumban. Megoldás: Mivel az integrandusban szereplő függvénynek nincs primitív függvénye, a helyettesítéses integrálás pedig nehéz, közelítőleg határozzuk meg. Felírjuk a hatványsorát a 0 hely környezetében, és azzal helyettesítjük a függvényt. Maple parancsokkal: [ > f : =x 2 [ > [ > Forgástest térfogata, palástjának felszíne Definíció: 193

200 Az integrálszámítás alkalmazásai Ha az f (x) függvényt megforgatjuk az x-tengely körül az [a;b] intervallumon, akkor az így keletkező forgástest térfogatát így definiáljuk: Forgástest palástjának felszíne: Példa: Határozza meg a [4;9] intervallumon az f test térfogatát, ha (x) függvény x tengely körüli megforgatással keletkező Megoldás: Maple paranccsal: [ > [ > [ > Példa: Határozzuk meg az grafikonja (parabola) x tengely körüli megforgatásával keletkező forgási paraboloid felszínét az 0 x 2 intervallumban. Megoldás: 194

201 Az integrálszámítás alkalmazásai Gyakorló panel forgástest térfogatának meghatározásához: 1.6. Súlypont A súlypont meghatározása: Homogén görbeív elsőrendű nyomatéka x- illetve az y-tengelyre: Súlypont:, ahol Homogén síkrész elsőrendű nyomatéka az x- ill. y-tengelyre: 195

202 Az integrálszámítás alkalmazásai Súlypont: Példa: Legyen f (x) = x 2 ; 0 x 3, keressük az A területű síkidom súlypontjának koordinátáit! Megoldás:, vagyis 2. Megoldásra javasolt feladatok 1. Állapítsa meg, mekkora területet zár be egymással a következő két függvény vonala! A szükséges adatokat számítással határozza meg! a) f (x) = -x x - 3 és a g(x) = 2 x

203 Az integrálszámítás alkalmazásai b) f (x) = -(x - 2) és a c) f (x) = -2 x 2-1 és a g(x) = 4 x - 5 d) és a g (x) = x 2 e) és a g(x) = x f), az x = 0 és a g(x) = x Mennyi az f (x) = 3 x 2-4 x + 1 függvény átlaga az [1;5] intervallumon? 3 Mennyi az függvény átlaga az [0;16] intervallumon? 4. Melyik kifejezés számértéke a nagyobb? vagy az f (x) = 2 x + 3 függvény átlaga az intervallumon? 5. Számítsa ki az függvény x tengely körüli megforgatásával keletkező test térfogatát a [0;9] intervallumban! 6. Számítsa ki az f(x) = 2 x + 1 függvény x tengely körüli megforgatásával keletkező test térfogatát a [-1;3] intervallumban!

204 9. fejezet - Kétváltozós függvények I. Javier Barrallo: Sliceform 1. Bevezetés A minket körülvevő világot tanulmányozva észrevehetjük, hogy a mennyiségek általában több más mennyiségtől függnek. Ezeket a kapcsolatokat többváltozós függvényekkel írhatjuk le. A többváltozós függvények tanulmányozása, analízise fontos a közgazdasági alkalmazásokban is. Erre nézzünk két konkrét példást: "R. Frisch és T. Haavelmo a tej keresletére vonatkozó tanulmányukban az alábbi összefüggést adták: (A pozitív állandó) A képletben x a tej fogyasztása, p a tej relatív ára és r egy család jövedelme. Ez az egyenlőség x-et p és r függvényeként adja meg. Vegyük észre, hogy a tej fogyasztása nő, ha az r jövedelem nő, és csökken, ha a tej ára növekszik mindez elfogadhatónak tûnik." Knut Sydsaeter Peter I. Hammond Matematika közgazdászoknak 462. oldal Kettőnél több változós függvényekkel is találkozhatunk a közgazdasági gyakorlatban: "R. Stone az alábbi becslést adta az angliai sörkeresletre: Itt a sörkereslet (x) négy változó függvénye: x 1 (a fogyasztó jövedelme), x 2 (a sör ára), x 3 (egy a többi jószágra vonatkozó általános árindex), és x 4 (a sör alkoholtartalma)." Knut Sydsaeter Peter I. Hammond Matematika közgazdászoknak 463. oldal További gazdasági alkalmazásokat találhatunk az alábbi könyvekben: Simonovits András Mikroökonómia, Sydsaeter Hammond Matematika közgazdászoknak 2. Kétváltozós függvények definíciója, szemléltetése A függvény leképezés két halamaz elemei között. Az eddig vizsgált, egyváltozós függvények a valós számok részhalmazai között létesítettek leképezést. Az értelmezési tartomány és az értékkészlet is a valós számok részhalmaza volt. A két és többváltozós függvényeket az egyváltozós függvényekhez hasonlóan definiáljuk. A többváltozós függvények értelmezési tartománya most rendezett valós számpárok, számhármasok, szám n-esek halmaza, értékkészlete pedig ugyanúgy, mint az egyváltozós esetban a valós számok egy részhalmaza. A továbbiakban a kétváltozós függvényekkel foglalkozunk részletesen, esetleg utalást teszünk a többváltozós esetekre. D. Az f függvény kétváltozós, ha értelmezési tartománya D ( f ) része a kétdimenziós Euklideszi térnek R 2 -nek és a függvény D ( f ) minden eleméhez egyetlen valós számot rendel, vagyis R 2 -ből R-be képez. A függvény értékkészlete R ( f ) az egydimenziós Euklideszi tér részhalmaza. 198

205 Kétváltozós függvények I. Tehát a kétváltozós függvényeknek két független változója van, ezeket x és y jelöli, az értelmezési tartomány az xy-sík egy részhalmaza. A kétváltozós függvény jelölése: f (x, y). A kétváltozós függvényeket térbeli Descartes koordináta-rendszerben ábrázolva a függvény azon térbeli P (x, y, z) pontok halmazával szemléltethető, amelyek koordinátáira fennáll a z = f (x, y) összefüggés. Egy és kétváltozós függvények jelölésének összehasonlítása: Kétváltozós Egyváltozós Felület Descartes - koordinátás ábrázolása a háromdimenziós koordináta-rendszerben: [ > B : = textplot3d([2, 3, 1, "P0 (x, y)", 'font' = ["times", "roman", 12]], axes = normal, 'view' = [-5.. 6, , ]); [ > C : = textplot3d([2, 3, 5, "P (x, y, z)", 'font' = ["times", "roman", 12]], axes = normal, 'view' = [-5.. 6, , ]); [ > E : = pointplot3d([2, 3, 4], color = black, symbol = solidcircle, symbolsize = 20); [ > F : = pointplot3d([2, 3, 0], color = black, symbol = solidcircle, symbolsize = 15); [ > H := implicitplot3d(z = 0, x = , y = , z = 0.. 7, transparency =.9, color = magenta, style = patchnogrid); [ > A : = plot3d(-.1*x^2-.1*y^2+6.3, x = , y = , transparency =.9, color = grey, style = patchnogrid); [ > display({a, B, C, E, F, H}); 199

206 Kétváltozós függvények I. A felületeket különböző koordináta-rendszerekben szokás ábrázolni, mi minden felületet a térbeli derékszögû Descartes koordináta-rendszerben ábrázolunk. Érdekességképpen nézzünk meg néhány felületet a Mapleben, ezek ábrázolásakor használtunk gömbkoordinátákat, hengerkoordinátákat, paraméteres ábrázolást is. A képekre kattintva a felületeket forgathatjuk, különböző irányból megszemlélhetjük. A megjelenő ábrázolás menüsor lehetőségei között szerepel többek között a különböző koordináta-rendszerek választása, az ábrázolás stílusának megváltoztatása, a felület közelítése, távolítása. A táblázat legalsó sorában felületek animációját láthatjuk. Ha a kiválasztjuk az egyik felületet, megjelenik az animáció menü. A jelek magukért beszélnek. Az animáció sebességét (FPS: után megjelenő szám) érdemes minél kisebbre, pl. 1-re választani, hogy jobban megszemlélhessük a változást. Sík z = 3 Descartes - koordináta Gömb Gömbkoordináta Gömbkoordináta Hengerkoordináta Kúp Hengerkoordináta Felület paraméteres ábrázolása Möbiusz-szalag Hengerkoordináta Descartes - koordináta 200

207 Kétváltozós függvények I. Tórusz Tóruszkoordináta Gömbkoordináta Descartes - koordináta Animáció Descartes - koordináta Animáció Gömbkoordináta Animáció Gömbkoordináta Animáció Hengerkoordináta Animáció Gömbkoordináta Hogyan tudjuk a felületeket még jobban szemléltetni? Elsőként a földrajzból ismerős, térképek ábrázolására is használatos szintvonalas ábrázolás siet segítségünkre. Szintvonalas térkép és magyarázata Forrás: Az alábbi táblázatban két felületet ábrázoltunk. Az egyik az f(x, y) = x 2 + y 2 a másik a g (x, y) = sin (x) + 2 sin (y). Az első cellában láthatjuk a felületeket, 10 párhuzamos síkkal elmetszve. A síkok az xy síkkal párhuzamosak, z értéke mindegyik síkon állandó, más szóval egy-egy síkon a pontok z koordinátája megegyezik. (Az xy síkon levő pontok harmadik, z koordinátája mindig 0. Ezért az xy sík egyenlete z = 0.) A táblázat második oszlopában elhagytuk a felület és a síkok ábrázolását és csak a metszésvonalak maradtak, de ez még mindig térbeli ábra. A harmadik oszlopban látszik az úgynevezett szintvonalas ábrázolás. Itt a második ábra metszésvonalait merőlegesen levetítettük az xy síkra. [ > P := Array(1.. 2, 1.. 3): [ > with(student[multivariatecalculus]): [ > P 1,1 := CrossSection(x^2+y^2, z = , x = , y = , planes = 10) [ > P 1,3 := contourplot(x^2+y^2, x = , y = ) 201

208 Kétváltozós függvények I. [ > P 1,2 := plot3d(x^2+y^2, x = , y = , style = contour) [ > P 2,3 := contourplot(sin(x)+2*sin(y), x = -4*Pi.. 4*Pi, y = ) [ > P 2,2 := plot3d(sin(x)+2*sin(y), x = -4*Pi.. 4*Pi, y = , style = contour) [ > P 2,1 := CrossSection(sin(x)+2*sin(y), z = , x = -4*Pi.. 4*Pi, y = , planes = 10) [ > display(p)... A felületnek nemcsak az xy síkkal párhuzamos metszeteit kell vizsgálnunk ahhoz, hogy a felületet minél jobban el tudjuk képzelni, hanem a zy és a zx síkokkal párhuzamos metszeteket is érdemes megnéznünk. Az alábbi ábrán az f(x,y)=x 2 - y 2 egyenletû nyeregfelület látható. Egy zy síkkal párhuzamos síkkal elmetszettük, a sík egyenlete x = 3. A metszetgörbe egy maximumos parabola. Ha további zy-nal párhuzamos síkkal metsszük a felületet szintén maximumos parabolákat kapunk, egymáshoz képest eltolva. [ > CrossSection(x^2-y^2, x = 3, x = , y = , planes = 10, axes = normal); 202

209 Kétváltozós függvények I. Nézzük meg ugyanennek a felületnek egy xz síkkal párhuzamos metszetét, most y-t rögzítjük, legyen y = 2: [ > CrossSection(x^2-y^2, y = 2, x = , y = , planes = 10, axes = normal); Most minimumos parabolát kapunk. A következő ábrák mutatják a nyeregfelület xy, yz, xz síkokkal párhuzamos síkmetszeteinek sorozatát (több párhuzamos síkkal történő metszetét), az első három ábrán a síkra merőleges, harmadik tengely irányából nézve, mintegy egyetlen síkra vetítve a metszeteket, a második sor ábrái ugyanezt mutatják, de itt látható, hogy térbeli ábrákról van szó. 203

210 Kétváltozós függvények I. A különböző felületek síkmetszeteinek előállításával magunk is kísérletezhetünk a "Kétváltozós szemléltetés" elnevezésű gombra kattintva. A gomb alatt látható ablakba tetszőleges kétváltozós függvény képletét írva tudjuk a mindhárom koordináta síkkal párhuzamos síkmetszeteket előállítani és tanulmányozni. 3. Értelmezési tartomány A kétváltozós függvények esetén is, ha a feladat nem adja meg, meg kell határoznunk az értelmezési tartományt, egyszerűbben a kikötést. Ha a feladat megadja az értelmezési tartonányt, könnyebb dolgunk van. Először nézzünk erre egy példát. Ábrázoljuk a függvényt az adott tartományon. [ > 204

211 Kétváltozós függvények I. [ > [ > display({a, B}); A következő példák, azokat a leggyakoribb eseteket veszik sorra, amikor nekünk kell kikötést tenni. 1. A függvény hányadost tartalmaz. A nevező nem lehet 0. Ábrázoljuk a kikötést, az x 2 + y 2-9 = 0 -t, mint egyváltozós függvényt. A kapott görbén nincs értelmezve a függvény. [ > with(plots, implicitplot); [ > implicitplot(x^2+y^2-9 = 0, x = , y = ); 205

212 Kétváltozós függvények I. Tehát a fenti függvény mindenütt értelmezve van kivéve az ábrán látható kör pontjai felett. Most ábrázoljuk a felületet. Hogyan látszik az ábrán az értelmezési tartomány? Ha jobb gombbal az ábrára kattintva a tengelyek címnél a z értékét -2-től, 2-ig engedjük futni, nagyon szép szemléletes ábrát kapunk. Így jól láthatóvá válik, hogy hogyan szakad a függvény. [ > 206

213 Kétváltozós függvények I. Ha x és y értéket is csak -2 és 2 között futtatjuk, a szakadás nem látszik, hiszen teljesen a kör belsejáben maradunk, de a függvény menete jól szemléltethető az adott tartományon. [ > A szakadási körön kívül is megszemlélhetjük a függvényt: [ > 207

214 Kétváltozós függvények I. 2. Kikötés gyökös függvény esetén: ekkor a gyök alatt csak nemnegatív szám állhat. A Maple megoldja az egyenlőtlenséget, és ábrázolja 2 dimenzióban, a sötétkék tartomány felett van értelmezve a függvény. [ > 208

215 Kétváltozós függvények I. Ezután a függvényt három dimenzióban ábrázoljuk, a z tengelyre merőleges irányból nézve itt is látjuk az értelmezési tartományt. [ > Az értelmezési tartomány ábrájával jól összevethető a 3 dimenziós ábra, ha a szokásos 3D Descartes koordináta - rendszert állítjuk be és jobb gombbal a z tengely irányú tájolást. Kikötés logaritmus függvény esetén: ekkor a logaritmus után csak pozitív szám állhat. [ > g(x,y):=ln(3*x-2*y) [ > inequal({3*x-2*y > 0}, x = , y = ) 209

216 Kétváltozós függvények I. [ plot3d(ln(3*x-2*y), x = , y = , axes = normal) 4. Határérték A kétváltozós függvények esetében is definiálhatjuk a határértéket és a folytonosságot. Egy pont környezete az egyváltozós függvények esetében nyílt intervallun volt, most a környezet egy nyílt körlap. 210

217 Kétváltozós függvények I. Egy P 0(a, b) középpontú δ sugarú nyílt körlap a halmaza. egyenlőtlenséget kielégítő P ( x, y ) pontok Az f kétváltozós függvényről akkor mondjuk, hogy a P 0(a, b) helyhez tartozó határértéke az A szám, ha tetszőleges kis ε > 0 esetén mindig létezik a P 0 pontnak olyan δ sugarú környezete (ahol a környezet egy P 0 középpontú δ sugarú nyílt körlap), hogy az ebből a környezetből választott x,y számpárhoz tartozó f(x, y) függvényértékek A-tól való eltérése kisebb, mint ε. Matematikai jelölésekkel: Ha, akkor A legtöbb kétváltozós függvény is "jól viselkedik" van határértéke minden pontban. Most nézzük meg, hogy milyen az, ha egy kétváltozós függvénynek nincs határértéke egy pontban. Tekintsük az függvényt, belátjuk, hogy a (0,0) - ban a függvénynek nincs határértéke. A tengelyeken a függvény értéke 0, mert a tört számlálója 0 és a nevezője nem 0, ezért a (0,0) pont minden környezetében van olyan pont, ahol a függvényérték 0. De, ha a függvényt az y = x egyenes pontjaiban nézzük, akkor itt a függvényértéke 1/2 (helyettesítsük be a függvény képletébe y = x -et), ezért a (0,0) minden (bármilyen kicsi) környezetében van olyan pont, ahol a függvény 1/2-et vesz fel. Így világosan látszik, hogy bármilyen határértéket is adunk meg, pl. ε=1/4-hez nem lehet jó δ-t találni. Ha az origón átmenő y = m x egyenest tekintjük, a függvény képletébe behelyettesítve adódik. Nézzük meg, hogy néz ki ez a függvény az origó körül: [ > [ > 211

218 Kétváltozós függvények I. Az (a,b) pontban folytonosnak nevezzük az f (x,y) függvényt, ha az (a,b) pontban értelmezve van, létezik ott véges határértéke és az megegyezik a függvény helyettesítési értékével. (A definíció pontosan ugyanaz, mint az egyváltozós függvények esetében, csak ott természetesen más a határérték fogalma.) Parciális deriváltak Kétváltozós, f(x, y) függvények differenciálása. 1. x szerinti parciális derivált: Legyen az f függvény értelmezve a P 0(x 0, y 0) pontban és annak egy környezetében, az f(x, y) függvény x szerinti parciális deriváltjának nevezzük a következő határértéket: Az x szerinti parciális deriválásnál, y rögzített, x változó. Szemléletesen: Metsszük el a felületet egy y tengelyre merőleges síkkal, ez a felületből egy görbét metsz ki, a görbe érintőjének a meredeksége, más szóval iránytangense a felület x szerinti parciális deriváltja. [ > F : = plot3d(x^2-y^2, x = , y = , style = patchnogrid, color = grey, transparency =.6, axes = normal); [ > H : = implicitplot3d(y = 1, x = , y = , z = , transparency =.7, color = magenta, style = patchnogrid); [ > G : = plot3d(x^2-y^2, x = , y = 1.. 1, thickness = 3, color = red); [ > C : = plot3d(4*x-5, x = , y = 1.. 1, thickness = 3) [ > display({c, F, G, H}) 212

219 Kétváltozós függvények I. 2. y szerinti parciális derivált: Legyen az f függvény értelmezve a P 0(x 0, y 0) pontban és annak egy környezetében, az f (x, y) függvény y szerinti parciális deriváltjának nevezzük a következő határértéket: Az y szerinti parciális deriválásnál, x rögzített, y változó. Szemléletesen: Metsszük el a felületet egy x tengelyre merőleges síkkal, ez a felületből egy görbét metsz ki, a görbe érintőjének a meredeksége, más szóval iránytangense a felület y szerinti parciális deriváltja. [ > F : = plot3d(x^2-y^2, x = , y = , style = patchnogrid, color = grey, transparency =.6, axes = normal); [ > H : = implicitplot3d(x = 2, x = , y = , z = , transparency =.7, color = magenta, style = patchnogrid); [ > G : = plot3d(x^2-y^2, x = 2.. 2, y = , thickness = 3, color = red); [ > C : = plot3d(-2*y+5, x = 2.. 2, y = , thickness = 3); [ > display({c, F, G, H}) 213

220 Kétváltozós függvények I. Hogyan derviválunk parciálisan kétváltozós függvényt? Tanuljuk meg a parciális deriválás technikáját! A konstansnak tekinthető tényező van a kék karikában. Az x szerinti parciális derivált kiszámításakor az első tagot az egyváltozós függvényeknél megszokott módon deriváljuk, mert csak x-et tartalmaz, y-t nem, ezért lesz a 2x 2 deriváltja 4 x. A második tagnál már bonyolultabb a helyzet. A definíció azt mondja, hogy az x szerinti parciális derivált esetében y rögzített, nem változik, ezért a deriválás során konstansként kezeljük, x deriváltja 1, ezért xy 3 deriváltja y 3 lesz. A konstansnak tekinthető tag és tényező van a kék karikában. Az y szerinti parciális deriválásnál az első tagban nincs y, ezért a 2x 2 állandónak tekinthető, ezért deriváltja 0, a második tagban, most x lesz állandó és y 3 -t kell deriválnunk, ez 3y 2 és az x konstanssal szorozva lesz 3xy 2 a kivonás miatt - előjelet kap. Az egyváltozós esethez hasonlóan itt is definiálhatunk magasabbrendû deriváltakat. Elvileg itt négy másodrendû derivált lenne. Amit először x szerint deriváltunk, másodszor is x szerint deriváljuk: 214

221 Kétváltozós függvények I. Amit először x szerint deriváltunk, most y szerint deriváljuk: Amit először y szerint, másodszor x szerint: És végül, kétszer egymás után y szerint deriválunk: Magasabb rendű deriváltak az előző példában: Általánosan is igaz, hogy Számoljunk parciális deriváltakat Maple-ben: [ > f(x,y): =x^(3)-y^(3)+8* x*y; [ > e : = diff(f(x, y), x); [ > g : = diff(f(x, y), y); [ > a : = diff(f(x, y), `$`(x, 2)); [ > b : = diff(f(x, y), `$`(y, 2)); [ > c : = diff(f(x, y), x, y); Iránymenti derivált A parciális deriváltakon kívül gyakran számolunk még iránymenti deriváltat is. A felületet itt is egy xy síkra merőleges síkkal metsszük el, de most a sík nem merőleges sem az x, sem az y tengelyre, hanem egy xy síkban fekvő vektorral párhuzamos. Ez a sík is egy görbét metsz ki a felületből, ennek a görbének az iránytangense az iránymenti derivált. Az iránymenti derivált számításánál tehát nemcsak egy pontot kell megadnunk, mint a parciális derváltak kiszámításánál, hanem egy irányt is. A Maple-ben beépített utasítások számolják az iránymenti deriváltat és szemléltetik is azt. [ > with(vectorcalculus): [ > [ > with(student[multivariatecalculus]): [ > DirectionalDerivative(x^2+y^2, [x, y] = [1, 2], [3, 4]); [ > DirectionalDerivative(x^2+y^2, [x, y] = [-4, 4], [-4, 4], output = animation, frames = 7); 215

222 Kétváltozós függvények I. [ > DirectionalDerivative(x^2+y^2, [x, y] = [-4, 4], [-6, -6], x = , y = 0.. 6, z = , output = plot); [ > Student[MultivariateCalculus][CrossSectionTutor](); 216

223 Kétváltozós függvények I. 7. Megoldott feladatok Ábrázolja paraméteresen a függvényt az x = 0,1,2 értékekre. Jelölje meg az ábrán azt a P 1 pontot, amelyre x 1 =1, y 1 =2 és számítsa ki a z 1 értéket! Megoldás: Három függvényt kell ábrázolnunk, ezek: ha x = 0, akkor ha x = 1, akkor ha x = 2, akkor 217

224 Kétváltozós függvények I. Határozza meg a értékeket, ha! Megoldás: Tehát a függvényértékek: 8. Feladatok önálló megoldásra és Számítsa ki az függvény (1,1) helyhez tartozó másodrendű deriváltjait. Ábrázolja paraméteresen a függvényt az x=0,1,2 értékekre. Jelölje meg az ábrán azt a P 1 pontot, amelyre x 1 =1, y 1 =2 és számítsa ki a z 1 értéket! Határozza meg a és értékeket, ha! Határozzuk meg a következő függvények elsőrendű parciális deriváltjait: 218

225 Kétváltozós függvények I. Számítsa ki a következő fügvények minden másodrendű deriváltját! A következő feladatokban mutassuk meg, hogy! Határozzuk meg a következő függvények iránymenti deriváltját a P 0 pontban és a v irányban! P 0(4, 5) v(3,4) P 0(3, - 5) v(1,-2) 219

226 10. fejezet - Kétváltozós függvények II. Georg Glaeser: Tangent surface of a helix 1. Szélsőérték 1.1. Fogalmak Helyi szélsőérték, lehet helyi minimum és helyi maximum Az f (x, y) függvénynek az (a, b) helyen helyi minimuma van, ha (a, b) pontnak van olyan környezete, ahol f (a, b) > f (x, y). Az f (x, y) függvénynek az (a, b) helyen helyi maximuma van, ha (a, b) pontnak van olyan környezete, ahol f (a, b) < f (x, y). Ha az f (x, y) kétváltozós függvénynek szélső értéke van az (a, b) pontban, akkor helyi szélsőértéke van az x = a helyen az f (x, b) egyváltozós függvénynek is, amelynek görbéje természetesen illeszkedik a felületre. Ezért az egyváltozós függvényeknél tanultak alapján a szélsőérték létezésének szükséges feltétele. Hasonlóképpen helyi szélsőértéke van az y = b helyen az f (a, y) egyváltozós függvénynek is. Ezért a szélsőérték létezésének is szükséges feltétele Szükséges feltétel Tétel: Az f kétváltozós függvény (a, b) helyhez tartozó szélsőértéke létezésének szükséges feltétele: és Ezt a következőképpen láthatjuk be. Ha f (x, y)-nak szélsőértéke van (a, b)-ben, akkor g (x) = f (x, b)-nek is szélsőértéke van x = a-ban, ezért g'(a) = 0 az egyváltozós függvényeknél tanultak alapján és mivel g'(a) =, így. Hasonlóan h (y) = f (a, y)-nak is szélsőértéke van b-ben, ezért adódik. Tehát a függvénynek csak ott lehet szélsőértéke, ahol az elsőrendű parciális deriváltjai zérussal egyenlők. A szüséges feltétel általában egy egyenletrendszer. Ha az egyenletrendszernek van megoldása, a kapott pont, vagy pontok még nem biztosan szélsőértékek, ahhoz az elégséges feltételnek is teljesülnie kell. De abban biztosak lehetünk, hogy a kapott pontokon kívül más pontban helyi (lokális) szélsőérték nem lehet. 220

227 Kétváltozós függvények II. A felület forgatásával szemléletesen az ábrán is látható, hogy mindkét parciális derivált 0, mert a parciális deriváltak az xy síkkal párhuzamosak a g (x) = f (x, b) és h (y) = f (a, y) görbék érintői. [ > F : = plot3d(-x^2-y^2+10, x = , y = , axes = normal, transparency =.5, style = patchnogrid, color = red): B : = plot3d(10, x = , y = 0.. 0): C : = plot3d(10, x = 0.. 0, y = ): G : = plot3d(-x^2-y^2+10, x = , y = 0.. 0, color = blue): H : = plot3d(-x^2-y^2+10, x = 0.. 0, y = , color = green): display({b, C, F, G, H}); [ > F : = plot3d(-x^2+y^2+10, x = , y = , axes = normal, transparency =.5, style = patchnogrid, color = blue): B : = plot3d(10, x = , y = 0.. 0): C : = plot3d(10, x = 0.. 0, y = ): G : = plot3d(-x^2+y^2+10, x = , y = 0.. 0, color = blue): H : = plot3d(-x^2+y^2+10, x = 0.. 0, y = , color = green): display({b, C, F, G, H}); 221

228 Kétváltozós függvények II. A kék felület arra példa, hogy nem csak a helyi szélsőérték esetén fordulhat elő, hogy egy pontban mindkét parciális derivált 0 (a megfelelő metszetgörbék érintői párhuzamosak az xy síkkal), hanem más esetben, úgynevezett nyeregpontoknál is. Ezért a szélsőérték létezésének bizonyításához, a szükséges feltételen kívül elégséges feltételt is meg kell a későbbiekben fogalmaznunk. A következő példák egyelőre csak a szükséges feltételt vizsgálják, és a kapott eredményeket ábrázolva, szemléletünk alapján mondunk döntést a szélsőérték létezésére. Példa: Határozzuk meg, hogy a következő függvénynek hol lehet helyi szélsőértéke! Először határozzuk meg a két parciális deriváltat: Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: Fejezzük ki x-et a (2) egyenletből, majd helyettesítsük be az (1)-be. A kapott y értéket helyettesítsük be a (2) egyenlet azon alakjába, ahol kifejeztük y-t: Tehát a kapott pont a -3, 3 csak ebben a pontban lehet szélsőértéke a függvénynek. Ha van itt szélsőérték, akkor ebben a pontban a függvény értéke: 222

229 Kétváltozós függvények II. Most nézzük meg ugyanezt Maple-ben: [ > f(x, y):=x^(2)+x*y+y^(2)+3*x-3*y+4; [ > fx := diff(f(x, y), x) # f x szerinti parciális deriváltjának meghatározása [ > fy := diff(f(x, y), y) # y szerinti parciális deriváltjának meghatározása [ > gyokok := solve({fx = 0, fy = 0}, [x, y]) # Az egyenletrendszer megoldása [ > gyokok[1, 1] # Külön felírjuk az egyenletrendszer x-re kapott megoldását, hogy később tudjunk hivatkozni rá. [ > gyokok[1, 2] # Külön felírjuk az egyenletrendszer y-ra kapott megoldását, hogy később tudjunk hivatkozni rá. [ > szelsoertek := eval(f(x, y), [gyokok[1, 1], gyokok[1, 2]]) # Kiszámítjuk a szélsőérték helyen a függvény értékét. [ > A := pointplot3d([-3, 3, -5], color = black, symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = white) [ > B := plot3d(f(x, y), x = , y = 0.. 5, axes = normal, style = patchnogrid, color = orange, transparency =.5) # Ábrázoljuk a felületet, a felület forgatásával szemléletesen ellenőrizzük megoldásunk helyességét. [ > display({a, B}) [ > g(x,y):=x^(3)-y^(3)-2*x*y+6; [ > gx := diff(g(x, y), x); [ > gy := diff(g(x, y), y); 223

230 Kétváltozós függvények II. [ > solve({gx = 0, gy = 0}, [x, y]); [ > A := pointplot3d([0, 0, 6], color = black, symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = red); [ > B := pointplot3d([-2/3, 2/3, 170/27], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = red); [ > C := plot3d(g(x, y), x = , y = , axes = normal, style = patchnogrid, color = grey); [ > display({a, B, C}); 1.3. Elégséges feltétel Tétel: A helyi szélsőérték létezésének elégséges feltétele, hogy a másodrendű deriváltakból képezett kifejezés pozitív legyen, ha a függvénynek minimuma, ha a függvénynek maximuma van. Ha D < 0 nincs szélsőértéke a függvénynek, D = 0 esetén csak további vizsgálattal dönthető el a szélsőérték létezése. Határozzuk meg a következő függvények lokális szélsőértékeit! [ > f(x, y):=2*x*y-5*x^(2)-2*y^(2)+4*x+4*y-4; [ > fx := diff(f(x, y), x); [ > fy := diff(f(x, y), y); [ > gyokok := solve({fx = 0, fy = 0}, [x, y]); [ > n := numelems(gyokok); [ > gyokok[1, 1]; 224

231 Kétváltozós függvények II. [ > gyokok[1, 2]; [ > fxx := diff(fx, x); [ > yy := diff(fy, y); [ > fxy := diff(fx, y); [ > d := fxx*fyy-fxy^2; [ > if d > 0 then print(van*szélsőérték) elif d < 0 then print(nincs*szélsőérték) elif d = 0 then print(más*módszerrel*kell*eldönteni, hogy*van-e*szélsőérték) end if; [ > szelsoertek := eval(f(x, y), [gyokok[1, 1], gyokok[1, 2]]); [ > if fxx > 0 then print(minimum) else print(maximum) end if; [ > A := plot3d(f(x, y), x = , y = , axes = normal, style = patchnogrid, color = blue); [ > [ > display({a, B}); Eredmény: a parciális deriváltakból kapott egyenletrendszernek 1 megoldása van. P (2/3; 4/3; 0), ez valóban szélsőérték, mégpedig maximum. [ > f(x, y):=x^(3)+3*x*y+y^(3); [ > fx := diff(f(x, y), x); [ > fy := diff(f(x, y), y); [ > gyokok := solve({fx = 0, fy = 0}, [x, y]); 225

232 Kétváltozós függvények II. [ > n := numelems(gyokok); [ > gyokok[1, 1]; [ > gyokok[1, 2]; [ > ertek1 := eval(f(x, y), [gyokok[1, 1], gyokok[1, 2]]); [ > gyokok[2, 1]; [ > gyokok[2, 2]; [ > ertek2 := eval(f(x, y), [gyokok[2, 1], gyokok[2, 2]]); [ > fxx := diff(fx, x); [ > fyy := diff(fy, y); [ > fxy := diff(fx, y); [ > d := fxx*fyy-fxy^2; [ > d1 := eval(d, [gyokok[1, 1], gyokok[1, 2]]); [ > if d1 > 0 then print(van*szélsőérték) elif d1 < 0 then print(nincs*szélsőérték) elif d1 = 0 then print(más*módszerrel*kell*eldönteni, hogy*van-e*szélsőérték) end if; [ > d2 := eval(d, [gyokok[2, 1], gyokok[2, 2]]); [ > if d2 > 0 then print(van*szélsőérték) elif d2 < 0 then print(nincs*szélsőérték) elif d2 = 0 then print(más*módszerrel*kell*eldönteni, hogy*van-e*szélsőérték) end if; [ > szelsoertek := eval(f(x, y), [gyokok[2, 1], gyokok[2, 2]]); [ > if eval(fxx, gyokok[2, 1]) > 0 then print(minimum) else print(maximum) end if; [ > C := plot3d(f(x, y), x = , y = , axes = normal, style = patchnogrid, color = blue); [ > A := pointplot3d([0, 0, 0], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = red); [ > B := pointplot3d([-1, -1, 1], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = white); [ > display({a, B, C}); 226

233 Kétváltozós függvények II. Eredmény: a parciális deriváltakból kapott egyenletrendszernek 2 valós megoldása van, ezek közül csak az egyik szélsőérték, ez maximum a P (-1; -1; 1) pontban. [ > [ > fx := diff(f(x, y), x); [ > fy := diff(f(x, y), y); [ > gyokok := solve({fx = 0, fy = 0}, [x, y]); [ > n := numelems(gyokok); [ > gyokok[1, 1]; [ > gyokok[1, 2]; [ > fxx := diff(fx, x); [ > fyy := diff(fy, y); [ > fxy := diff(fx, y); [ > d := fxx*fyy-fxy^2; [ > simplify(d); [ > d1 := eval(d, [gyokok[1, 1], gyokok[1, 2]]); [ > if d1 > 0 then print(van*szélsőérték) elif d1 < 0 then print(nincs*szélsőérték) elif d1 = 0 then print(más*módszerrel*kell*eldönteni, hogy*van-e*szélsőérték) end if; [ > if eval(fxx, [gyokok[1, 1], gyokok[1, 2]]) > 0 then print(minimum) else print(maximum) end if; 227

234 Kétváltozós függvények II. [ > szelsoertek := eval(f(x, y), [gyokok[1, 1], gyokok[1, 2]]); [ > A := plot3d(f(x, y), x = , y = , axes = normal, style = patchnogrid, color = gold); [ > B := pointplot3d([0, 0, -1], symbol = solidcircle, symbolsize = 30, color = black); [ > display({a, B}); Eredmény: a parciális deriváltakból kapott egyenletrendszernek 1 megoldása van. P (0; 0; -1), ez valóban szélsőérték, mégpedig maximum. [ > f(x, y):=4*x*y-x^(4)-y^(4); [ > fx := diff(f(x, y), x); [ > fy := diff(f(x, y), y); [ > gyokok := solve({fx = 0, fy = 0}, [x, y]); [ > n := numelems(gyokok); [ > gyokok[1, 1]; [ > gyokok[1, 2]; [ > gyokok[2, 1]; [ > gyokok[2, 2]; [ > gyokok[3, 1]; [ > gyokok[3, 2]; [ > fxx := diff(fx, x); 228

235 Kétváltozós függvények II. [ > fyy := diff(fy, y); [ > fxy := diff(fx, y); [ > d := fxx*fyy-fxy^2; [ > d1 := eval(d, [gyokok[1, 1], gyokok[1, 2]]); [ > if d1 > 0 then print(van*szélsőérték) elif d1 < 0 then print(nincs*szélsőérték) elif d1 = 0 then print(más*módszerrel*kell*eldönteni, hogy*van-e*szélsőérték) end if; [ > d2 := eval(d, [gyokok[2, 1], gyokok[2, 2]]); [ > if d2 > 0 then print(van*szélsőérték) elif d2 < 0 then print(nincs*szélsőérték) elif d2 = 0 then print(más*módszerrel*kell*eldönteni, hogy*van-e*szélsőérték) end if; [ > szelsoertek1 := eval(f(x, y), [gyokok[2, 1], gyokok[2, 2]]); [ > if eval(fxx, gyokok[2, 1]),gyokok[2, 2]> 0 then print(minimum) else print(maximum) end if; [ > d3 := eval(d, [gyokok[3, 1], gyokok[3, 2]]); [ > if d3 > 0 then print(van*szélsőérték) elif d3 < 0 then print(nincs*szélsőérték) elif d3 = 0 then print(más*módszerrel*kell*eldönteni, hogy*van-e*szélsőérték) end if; [ > szelsoertek2 := eval(f(x, y), [gyokok[3, 1], gyokok[3, 2]]); [ > if eval(fxx, [gyokok[3, 1], gyokok[3, 2]]) > 0 then print(minimum) else print(maximum) end if; [ > C := plot3d(f(x, y), x = , y = , axes = normal, style = patchnogrid, color = blue); [ > A := pointplot3d([0, 0, 0], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = red); [ > B := pointplot3d([1, 1, 2], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = white); [ > E := pointplot3d([-1, -1, 2], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = white); [ > display({a, B, C, E}); 229

236 Kétváltozós függvények II. Eredmény: a parciális deriváltakból kapott egyenletrendszernek 3 valós megoldása van, ezek közül kettő szélsőérték, mindkettő maximum a P 1 (-1; -1; 128) és P 2(1; 1; 128) pontokban. 2. Érintősík Tekintsük a P 0(x 0, y 0) pontban és környezetében differenciálható f (x, y) függvényt. A P 0 ponton átmenő xy síkra merőleges síkok az f ( x, y) függvény képét (ami felület), különböző síkgörbékben metszik. Bizonyítható, hogy ezeknek a síkgörbéknek az érintői egy síkban vannak és ezek összességét a felület P 0 ponthoz tartozó érintősíkjának nevezzük. Egy sík két egymást metsző egyenessel egyértelmûen megadható. Az xz, ill. yz síkokkal párhuzamos síkmetszete a felületnek egy-egy görbe, melynek érintő egyenesei a felület parciális deriváltjai segítségével meghatározhatók, így az érintősíkot is megadhatjuk. A sík egyenlete általában z = A x + B y + C alakú. Az érintési pontban a felület és az érintősík parciális deriváltjai megegyeznek, ezért és érintési pont és a felület közös pontja > P 0.;, C értéke pedig abból a feltételból számolható ki, hogy az [ > F := plot3d(x^2+y^2, x = , y = , style = patchnogrid, color = grey): G := plot3d(x^2+y^2, x = 1.. 1, y = ): A := plot3d(x^2+y^2, x = , y = 1.. 1): B := plot3d(2*x, x = , y = 1.. 1): C := plot3d(2*y, x = 1.. 1, y = ): E := plot3d(2*x+2*y-2, x = , y = , transparency =.5, color = green, style = patchnogrid): display({a, B, C, E, F, G}); 230

237 Kétváltozós függvények II. Tehát egy adott f (x, y) függvény P[0] pontbeli érintőjének felírásakor a következőképpen járunk el: 1. Először kiszámoljuk az adott pont harmadik koordinátáját z 0 = f (x 0, y 0) 2. Majd parciálisan deriváljuk x és y szerint a függvényt, majd a kapott parciális deriváltakba x 0, y 0 értékének behelyettesítésével nyerjük az A és a B együtthatókat. 3. Végül C értékének meghatározása következik, abból a feltételből, hogy a felület és az érintősík közös pontja az adott pont: C = z 0 - A x 0 - B y 0 Nézzünk meg néhány konkrét példát, először hagyományos módon, utána Maple-ben: Határozzuk meg az f (x,y) : = x 2 +2 y 2 +x y függvény érintősíkját a P 0(1, 1) pontban! zz 0= =4 A parciális deriváltak: Helyettesítsük be a megadott pont koordinátáit a kapott parciális deriváltakba: Tehát A = 3 és B = 5 C = = - 4 Az érintő egyenlete: z = 3 x + 5 y - 4 Ugyanez Maple-ben: [ > f(x,y):= x^(2)+2*y^(2)+x*y; [ > x0 := 1; y0 := 1; [ > z0 := subs(x = x0, y = y0, f(x, y)); [ > fx := diff(f(x, y), x); 231

238 Kétváltozós függvények II. [ > A := subs(x = x0, y = y0, fx); [ > fy := diff(f(x, y), y); [ > B := subs(x = x0, y = y0, fy); [ > C := z0-a*x0-b*y0; [ > z := A*x+B*y+C; [ > X := pointplot3d([1, 1, 4], symbol = solidbox, color = black, symbolsize = 20); [ > Y := plot3d({z, f(x, y)}, x = , y = , colour = [blue, red], axes = normal, style = patchnogrid); [ > display({x, Y}); És még egy példa Maple-ben: [ > [ > x0 := 1; y0 := 2; [ > z0 := simplify(subs(x = x0, y = y0, f(x, y))); [ > fx := diff(f(x, y), x); [ > A := simplify(subs(x = x0, y = y0, fx)); [ > fy := diff(f(x, y), y); [ > B := simplify(subs(x = x0, y = y0, fy)); [ > C := z0-a*x0-b*y0; [ > z := A*x+B*y+C; 232

239 Kétváltozós függvények II. [ > X := plot3d(f(x, y), x = , y = 0.. 4, axes = normal, style = patchnogrid, color = blue, transparency =.6); [ > Y := plot3d(z, x = , y = 0.. 4, axes = normal, style = patchnogrid, color = grey); [ > E := pointplot3d([1, 2, 3], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = white); [ > display({e, X, Y}); 3. Megoldott feladatok 1. Írja fel az felület érintősíkja egyenletét az x 0 = -1, y 0 = 1 helyen! Megoldás: Az érintősík egyenlete z = Ax + By + C alakú, ahol Az érintősík egyenlete: z = x - 2y Írja fel a függvény érintősíkja egyenletét a P 1(1; 1) helyen! Megoldás: 233