választással azaz ha c 0 -t választjuk sebesség-egységnek: c 0 :=1, akkor a Topa-féle sebességkör teljes hossza 4 (sebesség-)egységnyi.
|
|
- Judit Hegedüs
- 9 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Egy kis számmisztika Az elmúlt másfél-két évben elért kutatási eredményeim szerint a fizikai téridő geometriai jellege szerint háromosztatú egységet alkot: egymáshoz (a lokális éterhez mért v sebesség függvényében) folytonos átmenettel illeszkedő hiperbolikus, euklideszi és elliptikus szerkezetű részekből épül föl. (Pontosabban fogalmazva: az egyes téridőgeometriákhoz társítható sebességreprezentációs terek alkotnak rendre negatív görbületű hiperbolikus, görbületmentes euklideszi, valamint pozitív görbületű elliptikus geometriai struktúrát.) Azt is láttuk, hogy tekintettel az [1]-ben nyert k Do =2 értékre a sebességreprezentációs térnek e három geometriája a (0 )v sebesség számegyenesén a következőképpen helyezkedik el: - hiperbolikus a v [0; c 0 ) szakaszon, - euklideszi a v=c 0 pontban (mint elfajult szakaszon), - elliptikus a v (c 0 ; 2c 0 ) szakaszon. (A K 0 hiperbolikus alaprendszerből közvetlenül nem észlelhető v=2c 0 pontban a K 0 Ro elliptikus alaprendszer van a Topa-modell szerint.) Ezt grafikusan ábrázolva: 0 c 0 2c 0 1. ábra Azt is föltártuk az elmúlt dolgozatokban, hogy a K 0 mint a lokális éterhez képest nyugvó hiperbolikus alaprendszerben a K 0 Ro elliptikus alaprendszerhez képest +v 1 (<2c 0 ) sebesség ellentétes irányú és (2c 0 -v 1 ) nagyságú sebbességként jelenik meg! Ezt az alábbi ábra szemlélteti: K 0 Ro -ban: +v 1 K 0 -ban: -(2c 0 -v 1 ) 0 c 0 2c 0 3c 0 4c ábra A 2. ábrából (is) kitűnik, hogy a lokális éterhez képest nyugvó K 0 alaprendszerben mindamellett, hogy abban a Topa-féle háromosztatú modell szerint a 2c 0 egy tetszőlegesen megközelíthető, de soha el nem érhető felső sebességhatár (sebesség-szuprémum) a 3c 0 sebesség -c 0 -ként, míg a 4c 0 a v=0 sebességként, azaz a K 0 alaprendszer önmagaként jelenik meg. Más szavakkal: A Topa-modell egy önmagába záródó olyan sebességciklus, amelynek ciklushossza 4c 0. Ha élünk az elméleti fizikában alkalmazott mértékegység- 1
2 választással azaz ha c 0 -t választjuk sebesség-egységnek: c 0 :=1, akkor a Topa-féle sebességkör teljes hossza 4 (sebesség-)egységnyi. Dobó Andor a [2]-ben a [3] vonatkozó részeinek általánosításával megalkotta az ún. általánosított vagy szuper-hiperkomplex számok (w) fogalmát. (Én magam is összefoglaltam a [4] Mellékletében e nyolcdimenziós számstruktúrák általam vélt legfontosabb tulajdonságait, különös tekintettel azok w C komplex konjugáltjainak képzésére.) Most rövid ismétlésképpen tekintsük át az általánosított számok halmazát, amely absztrakt algebrai értelemben kommutatív null-osztós gyűrűt alkot! Amint [2]-ben olvasható, e nyolcdimenziós számok az alábbi egymástól lineárisan független (1 valós és 7 komplex) egységből mint bázisvektorokból építhetők fel: 1) w bázis = 1 + i + e + ε + ie + iε + eε + ieε (i 2 =-1, e 2 =1, ε 2 =0), amelynek segítségével egy tetszőleges w általánosított szám az alábbi úton generálható: 1) w = a a 1 i + a 2 e + a 3 ε + a 4 ie + a 5 iε + a 6 eε + a 7 ieε (a 0 a 7 valós számok) Dobó azt is bebizonyítja [2]-ben, hogy ennél általánosabb/bővebb számfogalom nem konstruálható azaz a szuper-hiperkomplex számok halmaza a legteljesebb megalkotható számfogalom! Először is ellenőrizzük találomra például az 1 és az eε bázisvektorok lineáris függetlenségét. Ehhez tételezzük föl ennek ellenkezőjét vagyis azt, hogy 2) α 1 + β eε = 0 úgy, hogy α 2 + β 2 0 (α, β valós számok). Átrendezve 2)-t, kapjuk, hogy 3) α 1 = -β eε Most szorozzuk be mindkét oldalt az ε parabolikus egységgel: 4) α 1 ε = -β eε ε = -β e (ε ε) = -β e 0 = 0 Azt kaptuk tehát, hogy 5) α ε = 0 Ha föltételezzük, hogy α 0, akkor írható, hogy 6) ε = α -1 0 = 0 Miután ε egy tisztán (parabolikus) képzetes egység, így az a 0-tól (mely egyúttal tisztán valós elemként is fölfogható egyébiránt..) szükségképpen különbözik azaz nem lehet vele egyenlő. Ha viszont azt tesszük föl, hogy α = 0, de β 0 (hiszen egyszerre nem lehetnek nullával egyenlők indirekt föltételezésünk alapján), akkor a 2) egyenlet módosult alakja: 7) β eε = 0 Osztva mindkét oldalt a β 0 valós számmal, az adódik, hogy 8) eε = β -1 0 = 0 Analóg módon iménti érvelésünkkel: Miután eε egy tisztán képzetes egység, így az a 0-tól szükségképpen különbözik. 2
3 Vagyis mindenképpen ellentmondásra jutunk; ami éppen azt bizonyítja, hogy az 1 és az eε egységek egymástól lineárisan függetlenek. (Hasonló módon látható be a többi egységre is a páronkénti lineáris függetlenség. Dobó [2]-ben ezt kimerítően tárgyalja.) Most legelőször is jelentsük ki, hogy a w bázis általánosított számbázis komplex (valós és komplex) egységei egytől egyig a fizikai téridő térszerű (V) részére alkalmazandók, azzal hozhatók szerves összefüggésbe. Korábbi dolgozataimban egy-egy komplex alapegység (e: hiperbolikus, ε: parabolikus és i: elliptikus) önmagának konjugáltjával vett szorzatával értelmeztem a téridő skalárszorzatát azaz ívelemnégyzetét. Például a hiperbolikus szerkezetű téridő skalárszorzatát a hiperbolikus egység segítségével a következőképpen állítom elő: 9) ds 2 = dt 2 + e e C dr 2 = dt 2 + e (-e) dr 2 = dt 2 - (e e) dr 2 = dt 2 - (1) dr 2 = dt 2 - dr 2 Másodszor jelentsük ki általános érvénnyel, hogy a w bázis valamennyi bázisegysége a fenti ( komplex konjugálós ) módon alkalmazandó a fizikai téridő ívelemnégyzetének meghatározásához. Azt is láttuk [4]-ben, hogy a w bázis 1) alatti általános alakja nem vezet újabb skalárszorzatokra az (i, e, ε) alaphármashoz képest: azaz az összetett (: többtényezős szorzatként előálló) komplex egységek is a hiperbolikus-euklideszi-elliptikus sebességreprezentációkra mutató téridő ívelemnégyzeteket eredményeznek. Ebből viszont az következik lévén a w bázis 8 dimenziós struktúra, hogy a 3<8 reláció miatt egyes alapesetek (vagy akár az összes alapeset) multiplicitása 1-nél szükségszerűen nagyobb! (Ezzel a problémával már [4]-ben is birkóztam ám mai szemmel nézve ott még téves következtetésekre jutottam.) Számoljuk csak gyorsan össze az egyes alapesetek multiplicitását: 10) 1 1 C = +1 = i i C azaz kétszeres multiplicitás (elliptikus) e e C = -1 = (-1) (+1) = (ii) (ee) = (ie) (ie) = (ie) ((-i) (-e)) = (ie) (i C e C ) = (ie) (ie) C azaz kétszeres multiplicitás (hiperbolikus) ε ε C = 0 = (-ε ε) = ε ε C = (iε) (iε) C = (eε) (eε) C = (ieε) (ieε) C azaz négyszeres multiplicitás (parabolikus) (Emlékeztetünk rá, hogy többtényezős szorzat komplex konjugáltja a tényezők konjugáltjainak szorzata.) Megállapíthatjuk tehát, hogy mindhárom alapgeometria többszörös multiplicitással jelenik meg a 8 dimenziós szuper-hiperkomplex számok w bázis alapbázisán: a hiperbolikus és az elliptikus kétszeres, míg a parabolikus/euklideszi már négyszeres multiplicitással reprezentáltatik a w bázis -ban! Vajon van ennek a töbszörösségnek valamilyen mélyebb fizikai tartalma-jelentése? E számomra roppant izgalmas kérdés megválaszolásához írjuk át az 1) alatti előállítású alapbázis egységvektorainak sorrendjét, és csoportosítsuk is őket; alkalmazva egyúttal az 1. és 2. ábrák színválasztását is: 1) w bázis = (e + ie) hiperbolikus + (ε + iε + eε + ieε) parabolikus + (1 + i) elliptikus Az 1) szerinti fölírású w bázis alaprendszernek az egyes alapgeometriákhoz tartozó altereit kifeszítő bázis egységvektoraival értelmezzük most az alábbi távolságokat (g Gaussgörbületet jelöl): 11) hiperbolikus: d hip = sgn(g hip ) (e e C + ie (ie) C ) = (-1) ((-1) + (-1)) = (-1) (-2) = 2 3
4 parabolikus: d par = sgn(g par ) (ε ε C + iε (iε) C + eε (eε) C + ieε (ieε) C ) = 0 ( ) = 0 0 = 0 elliptikus: d ell = sgn(g ell ) (1 1 C + i i C ) = (+1) ((+1) + (+1)) = (+1) (+2) = 2 E három távolságot összeadva vagyis képezve a teljes w bázis -ra a fönti módon értelmezett távolságot pedig ez adódik: k 1 12) d wbázis = d hip + d par + d ell = = 4 Következő lépésben vessük össze a 11) és 12) alatti eredményeinket a teljes Topa-ciklus 2. ábrájával. Az ott megállapítottak szerint (c 0 = 1 egységválasztással) a teljes ciklus hossza: 13) L T-cikl = 4 = 4 = d wbázis (!!) Sőt: a 2. ábra ciklusának részszakaszaira is állnak az egyenlőségek (!): 14) L hip = 2 = 2 = d hip L par = = 0 = 0 = d par L ell = 2 = 2 = d ell Magyarán: a Dobó által megalkotott w általánosított számok (8 dimenziós, kommutatív null-osztós) gyűrűjének egységvektorokból álló w bázis alaprendszere a fönti távolság-definícióval összevontan, integráltan, teljességgel magában rejti-hordozza a Topa-féle háromosztatú modellt! A d par 11) alatti előállításából az is kitűnik tekintettel arra, hogy sgn(g par ) = 0, hogy a Topa-modellben szükségszerűen (azaz nem véletlenül ) egy-egy pontra zsugorodott (v = c 0 és v = 3c 0 ), elfajult szakaszok az euklideszi/parabolikus geometriájú sebességtartományok szakaszai. A 2. ábrából az is látható, hogy ha a fizikai tér minden irányába megrajzoljuk a Topaciklust, akkor a lokális K 0 origója mint egyközépont köré írt olyan koncentrikus sebességgömböket, gömbhéjakat kapunk, amelyek legnagyobbikának átmérője 8 sebességegységnyi. Ugyanakkor, ha az 1) alatti w bázis egységvektorai abszolút értékeinek összegét képezzük, akkor sem jutunk más eredményre: 15) e + ie + ε + iε + eε + ieε i = 1 + i e i ε + e ε + i e ε = = = 8 (!) Hátravan még a téridő dimenziószámának alapkérdése. Nevezetesen az az örökzöld téma, hogy világunk fizikai térideje valóban 4 dimenziós-e? Ezzel tekintettel az idő-altér vitathatatlanul egydimenziós voltára egyenértékű a kérdés alábbi átfogalmazása: vajon fizikai világunk térszerű része (V) csakugyan 3 dimenziós-e, avagy léteznek számunkra rejtett dimenziói is? (Tudomásom szerint újabbkeletű elméletek szívesen és egyre gyakrabban hivatkoznak rejtett térdimenziókra; például a népszerű húrelmélet mintha 8 vagy 8 és fél dimenziókról vizionálna ) 4
5 Nos, lássuk, vajon e roppant jelentőségű alapkérdésben vallatóra foghatjuk-e Dobó általánosított számfogalmát! A 10) alatti összefüggések szerint mind a földi világ a mi világunk téridejét jellemző hiperbolikus sebességreprezentációhoz társítható sebességtér, mind a mindenkori lokális éterhez képest c 0 -nál nagyobb v-khez (v<2c 0 ) kötődő téridőt jellemző elliptikus sebességreprezentációhoz társítható sebességtér multiplicitása 2 (ld. még 1. és 2. ábra.) Ugyanakkor a 8 dimenziós w bázis alaprendszer hiperbolikus és elliptikus alterei egyaránt 2 dimenziósak. Ebből következően: 16) (dim(altér hip )) 3 = 2 3 = 8 = dim(w bázis ) és (dim(altér ell )) 3 = 2 3 = 8 = dim(w bázis ) Magyarán az 1. és 2. ábrákon egydimenzióban szemléltetett Topa-modell egydimenziós sebesség-ciklusa a 3. hatványra emelve feszíti ki 1 az őt valódi altérként magába foglaló teljes sebességteret! Mivel pedig a sebességtér dimenziója szükségképpen egyenlő a V fizikai tér dimenziójával hisz annak az idő szerinti deriváltja, így bátran megállapíthatjuk, hogy a fizikai tér (összhangban a fizika tudományának eddigi hivatalos fölfogásával) valóban 3 dimenziós; azaz nincsenek rejtett dimenziói; kár is rájuk a legcsekélyebb (spekulatív) energiát és időt fecsérelni! A teljes fizikai téridő pedig, természetesen (1 + 3) = 4 dimenziós ahogyan a legtöbbünk eddig is gondolta és tapasztalta. Az ugyanakkor további jogos kérdés lehet föntiek fényében, hogy a négyszeres multiplicitású és pontokra zsugorodottan elfajult, éppen ezért a negatív és pozitív görbületű terek között vízválasztó szerepet betöltő parabolikus tér dimenziószáma ezek szerint 1,5? 2 És ha valóban ennyi, akkor miképpen értelmezhető ez, mit jelenthet ez..?? (Merthogy valami nagyon alapvetőt és fontosat, az szinte biztos!) Budapest, augusztus 1. (hétfő) Topa Zsolt fizikus, szakközgazdász Hivatkozások [1] Topa Zsolt: Első kísérlet k Do számértékének elméleti meghatározására (Kézirat, Budapest, október 3., vasárnap) [2] Dobó Andor: Általánosított számok és alkalmazásuk (Magánkiadás, Budapest, 1998.) [3] I. M. Jaglom: Galilei relativitási elve és egy nemeuklideszi geometria (Gondolat, Budapest, 1985.) [4] Topa Zsolt: A k állandó lehetséges értékei (Kézirat, Budapest, április 5., szombat) 1 Matematikailag szabatosan fogalmazva: az önmagával háromszorosan vett külső tenzori szorzata feszíti ki... 2 dim (w bázis ) = 8 = 2 3 = (2 2 ) 3/2 = 4 3/2 = (parabolikus tér multiplicitása) 3/2 = (parabolikus tér multiplicitása) 1,5 Megjegyzem, a matematikában újszerű geometriai alakzatok a fraktálok. (Az 1906-ban, vagyis a legkorábban fölfedezett fraktál Koch hópehelygörbéje volt, amely végtelen hosszúságú, de csak véges területet fog közre. Ezt úgy kapjuk, hogy egy szabályos háromszög minden oldalára harmadakkora háromszöget rajzolunk, és ezt az eljárást a végtelenségig folytatjuk.) A fraktálhoz értelmes hozzárendelhető dimenziók törtszámok is lehetnek. Ez tükrözi, hogyan viselkedik a fraktál a lépték megválasztásakor. Mára kiderült, a természetben, a valóságban sok helyen (fizikában, biológiában, sőt, még a térképészetben is) fordulnak elő fraktálszerű struktúrák. 5
A Michelson-Morley kísérlet gyökeres átértékelése
A Michelson-Morley kísérlet gyökeres átértékelése Az [1]-ben több évnyi irányvesztett bolyongás után végre sikerült rálelni a Dobó-féle dimenziótlan k D (vagy a vele lényegileg egyenértékő, modellünkben
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.
Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.
Geometriai axiómarendszerek és modellek
Verhóczki László Geometriai axiómarendszerek és modellek ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2011 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének
2. Interpolációs görbetervezés
2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési
Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra
Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra A Kiadó javaslata alapján összeállította: Látta:...... Harmath Lajos munkaközösség vezető tanár Jóváhagyta:... igazgató
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Geometriai Tanszék AZ EVOLUTÁK VILÁGA. BSc szakdolgozat. tanári szakirány. Budapest, 2013.
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Geometriai Tanszék AZ EVOLUTÁK VILÁGA BSc szakdolgozat Készítette: Somlói Zsófia matematika BSc tanári szakirány Témavezető: Dr. Moussong Gábor adjunktus
MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ
MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a
Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)
Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............
Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!
Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!
MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
6. modul Egyenesen előre!
MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási
Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell
MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok
MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet
ISMÉT FÖLDKÖZELBEN A MARS!
nikai Vállalat, Audió, EVIG Egyesült Villamosgépgyár, Kismotor- és Gépgyár, Szerszámgép Fejlesztési Intézet (Halásztelek), Pestvidéki Gépgyár (Szigethalom), Ikladi ûszeripari ûvek (II), Kôbányai Vas- és
FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ
FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ Meszéna Tamás Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimnáziuma és Kollégiuma, Pécs, meszena.tamas@gmail.com, az ELTE Fizika Tanítása doktori program hallgatója ÖSSZEFOGLALÁS A fraktálok olyan
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI
A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja
é ö é Ö é ü é é ö ö ö ü é é ö ú ö é é é Ő ö é ü é ö é é ü é é ü é é é ű é ö é é é é é é é ö ö í é ü é ö ü ö ö é í é é é ö ü é é é é ü ö é é é é é é é é é é é é é é é ö é Í ö í ö é Í í ö é Í é í é é é é
Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013
UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS
TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69
TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................
Geometria, 11 12. évfolyam
Geometria, 11 1. évfolyam Dobos Sándor, Hraskó ndrás, Kiss Géza és Surányi László 014. június 8. 4 TRTLOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék Feladatok 5 1. Geometriai szerkeszthetőség.......................... 5 1.1.
A kvantummechanika általános formalizmusa
A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.
Széchenyi István Egyetem, 2005
Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását
Matematika C 10. osztály 10. modul Bolyai-geometria (Hiperbolikus geometria)
Matematika C 10. osztály 10. modul Bolyai-geometria (Hiperbolikus geometria) Készítette: Lénárt István Matematika C 10. évfolyam 10. modul: Bolyai-geometria Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott
Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek
Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges
22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.)
22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) A) A PERMUTÁCIÓK CIKLIKUS SZERKEZETE 1. feladat: Egy húsztagú társaság ül az asztal körül. Néhányat közülük (esetleg az összeset) párba állítunk, és a párok
9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.
9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok
Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc
Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,
Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból
Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.
BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET
BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott
Moussong Gábor. A Poincaré-sejtés
Moussong Gábor Poincaré-sejtés címmel 2006. szeptember 19-én elhangzott előadása alapján az összefoglalót készítette Balambér Dávid, Bohus Péter, Hraskó ndrás és Moussong Gábor 1. Poincaré-sejtés aktualitása
Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény
Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.
Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés
Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)
Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és
Emberi ízületek tribológiája
FOGLALKOZÁS-EGÉSZSÉGÜGY 3.2 Emberi ízületek tribológiája Tárgyszavak: ízület; kenés; mágneses tér; orvostudomány; szinoviális folyadék; ízületnedv; ízületi gyulladás; arthritis; arthrosis; terhelhetőség;
Válasz Szőnyi Tamásnak az Optimális térlefedő kódok kutatása című doktori értekezés opponensi bírálatára
Válasz Szőnyi Tamásnak az Optimális térlefedő kódok kutatása című doktori értekezés opponensi bírálatára Mindenekelőtt szeretném megköszönni Szőnyi Tamásnak, az MTA doktorának a támogató véleményét. Kérdést
Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged
Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást
MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam
MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről
MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika
2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A
Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9.Ny osztály Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Algebra és számelmélet Alapműveletek az egész és törtszámok körében Műveleti sorrend,
MATEMATIKA. 5 8. évfolyam
MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni
Tájékoztató a kiüríthetőség ellenőrzéséről (2015. 08. 07.)
Tájékoztató a kiüríthetőség ellenőrzéről (2015. 08. 07.) A mellékelt táblázatok rzletezik a kiürít első második szakaszának vizsgálatát, a eket a kiürít ellenőrzének lehetséges módjait. A táblázatokban
BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA
Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló
Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik
Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Ismert fogalmak Témák Vektortér Lineáris kombináció Lineáris függőség, függetlenség Generátorrendszer, bázis, dimenzió Lineáris leképezések Szabadvektorok vektortere
6. előadás PREFERENCIÁK (2), HASZNOSSÁG
6. előadás PREFERENCIÁK (), HASZNOSSÁG Kertesi Gábor Varian 3. fejezetének 50-55. oldalai és 4. fejezete alapján PREFERENCIÁK FEJEZET FOLYTATÁSA 6. A helyettesítési határarány Dolgozzunk mostantól fogva
Analízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:
0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN
06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott
MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSORHOZ 11. ÉVFOLYAM
AZ OSZÁG VEZETŐ EGYETEMI-FŐISKOLAI ELŐKÉSZÍTŐ SZEVEZETE MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PÓBAÉETTSÉGI FELADATSOHOZ. ÉVFOLYAM I. ÉSZ (ÖSSZESEN 3 PONT) 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 D D C D C D D D B
Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2.
1 Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont Helyi tanterv Matematika készült a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2. alapján 9-12. évfolyam 2 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy
Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004
Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004 2005 Budapest Értékelési Központ SuliNova Kht. 2 Országos Kompetenciamérés 2004 Tartalom 1. Bevezetés...4
10. évfolyam, negyedik epochafüzet
10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása
Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4;
Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László
Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication
Téma Óraszám Tanári bemutató Tanulói tevékenység Módszertan Óratípus Eszközök
Tartalom Általános megjegyzések a programok használatához és a munkakörnyezethez... 1 9. évfolyam... 3 10. évfolyam... 6 11. évfolyam... 8 Emelt szinten... 9 12. évfolyam... 9 Emelt szinten... 10 Általános
A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve
A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika
2. előadás: További gömbi fogalmak
2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással
I. BEVEZETÉS------------------------------------------------------------------2
TARTALOMJEGYZÉK I. BEVEZETÉS------------------------------------------------------------------2 II. EL ZMÉNYEK ---------------------------------------------------------------4 II. 1. A BENETTIN-STRELCYN
Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus
Síktopológiák a Sorgenfrey-egyenes ötletével Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus 1. Bevezetés A Sorgenfrey-egyenes
hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
= szinkronozó nyomatékkal egyenlő.
A 4.45. ábra jelöléseit használva, tételezzük fel, hogy gépünk túllendült és éppen a B pontban üzemel. Mivel a motor által szolgáltatott M 2 nyomaték nagyobb mint az M 1 terhelőnyomaték, a gép forgórészére
DIFFERENCIAEGYENLETEK
DIFFERENCIAEGYENLETEK A gazdaság változómennyiségeit (jövedelem, fogyasztás, beruházás,...) általában bizonyos időszakonként (naponta, hetente, havonta, évente) figyeljük meg. Ha ezeket a megfigyeléseket
Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva.
Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT Készítette: Szigeti Zsolt Felkészítő tanár: Báthori Éva 2010 október Dolgozatom témája a különböző függvények, illetve mértani
Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam
Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes
A Feldmann ~ Sapiro - elv igazolása
A Feldmann ~ Sapiro - elv igazolása Bevezetés Már középiskolás koromban is érdekelt, hogy mi lehet az a borzasztó nehéz számítás, aminek csak a végeredményét közölték velünk, s amit Feldmann ~ Sapiro -
Matematika tanmenet/4. osztály
Comenius Angol-Magyar Két Tanítási Nyelvű Iskola 2015/2016. tanév Matematika tanmenet/4. osztály Tanító: Fürné Kiss Zsuzsanna és Varga Mariann Tankönyv: C. Neményi Eszter Wéber Anikó: Matematika 4. (Nemzeti
Beadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját!
Beadható feladatok 2006. december 4. 1. Feladatok 2006. szeptember 13-án kitűzött feladat: 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Adott I 1,..., I n [0, 1] intervallumokból szeretnénk
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.
Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,
Analízis lépésről - lépésre
Analízis lépésről - lépésre interaktív tananyag Dr. Stettner Eleonóra Klingné Takács Anna Analízis lépésről - lépésre: interaktív tananyag írta Dr. Stettner Eleonóra és Klingné Takács Anna Tartalom Előszó...
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz Fejlesztőfeladatok MATEMATIKA 4. szint 2015 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet
2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar
2.3.2.2.1.2 Keresztirányú stabilitás nagy dőlésszögeknél A keresztirányú stabilitás számszerűsítésénél, amint korábban láttuk, korlátozott a metacentrikus magasságra való támaszkodás lehetősége. Csak olyankor
Fizika belépő kérdések /Földtudományi alapszak I. Évfolyam II. félév/
Fizika belépő kérdések /Földtudományi alapszak I. Évfolyam II. félév/. Coulomb törvény: a pontszerű töltések között ható erő (F) egyenesen arányos a töltések (Q,Q ) szorzatával és fordítottan arányos a
Karibi kincsek Dokumentáció
Dokumentáció 2010.03.24. Gyimesi Róbert Alapvetés Milyen célok elérését remélhetjük a programcsomagtól? Ezen oktatócsomag segítségével egy olyan (matematika)feladatot dolgozhatunk fel, oldhatunk közösen
10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET
.. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.
Csere-bere. 2. modul. Készítette: KÖVES GABRIELLA
Csere-bere 2. modul Készítette: KÖVES GABRIELLA 2 Csere-bere A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A képességfejlesztés fókuszai A tudatos észlelés, a megfigyelés és a figyelem
Matematika. 5. 8. évfolyam
Matematika 5. 8. évfolyam 5. 6. évfolyam Éves órakeret: 148 Heti óraszám: 4 Témakörök Óraszámok Gondolkodási és megismerési módszerek folyamatos Számtan, algebra 65 Összefüggések, függvények, sorozatok
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot
MATEMATIKA. Tildy Zoltán Általános Iskola és Alapfokú Művészeti Iskola Helyi tanterv 1-4. évfolyam 2013.
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
Felkészülést segítő kérdések Gépszerkesztés alapjai tárgyból
Felkészülést segítő kérdések Gépszerkesztés alapjai tárgyból - Ismertesse a kézi rajzkészítési technikát (mikor használjuk, előny-hátrány stb.)! Kézi technikák közül a gondolatrögzítés leggyorsabb, praktikus
MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények
MATEMATIKA 9 10. évfolyam 1066 MATEMATIKA 9 10. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségét,
5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?
5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,
Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái
Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Bolyai Intézet Geometria Tanszék Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szakdolgozat Írta: Pásztor Péter Matematika
Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára
Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka
Lineáris algebra bevezető
Lineáris algebra bevezető 1 Egyismeretlenes egyenletek bemelegítés Az ilyen egyenletek rendezés után ax = b alakba írhatók Ha a 0, akkor a(z egyértelmű megoldás x = b/a Ha a = 0, akkor b 0 esetben nincs
FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK
3. osztály Egy asztal körül 24-en ülnek, mindannyian mindig igazat mondanak. Minden lány azt mondja, hogy a közvetlen szomszédjaim közül pontosan az egyik fiú, és minden fiú azt mondja, hogy mindkét közvetlen
Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára
Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. Számfogalmak kialakítása:
Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.
Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány
Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert
Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris
NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat
NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin
Akuszto-optikai fénydiffrakció
Bevezetés Akuszto-optikai fénydiffrakció A Brillouin által megjósolt akuszto-optikai kölcsönhatást 1932-ben mutatta ki Debye és Sears. Az effektus felhasználását, vagyis akuszto-optikai elven működő eszközök
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy
Szeminárium-Rekurziók
1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az
Matematika helyi tanterv,5 8. évfolyam
Matematika helyi tanterv - bevezetés Matematika helyi tanterv,5 8. évfolyam A kerettanterv B változatának évfolyamonkénti bontása Bevezető Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson