Tető nem állandó hajlású szarufákkal

Átírás

1 1 Tető nem állandó hajlású szarufákkal Már korábbi dolgozatainkban is szó volt a címbeli témáról. Most azért vettük újra elő, mert szép és érdekes ábrákat találtunk az interneten, ezzel kapcsolatban, és ez újabb gondolatokat ébresztett. Az 1. ábrán azt látjuk, hogy az építés alatt álló tetőszerkezetnél ~ a szarufák hajlása hátrafelé haladva nő, a tető - felület nem sík, mert csavarodik; ~ a taréj ( vélhetően / gyakorlatilag ) vízszintes; ~ a szarufák viszonylag kis osztástávval lettek kiosztva. 1. ábra forrása: [ 1 ] Most nézzük, hogyan és miért állhat ez elő! Messzebbről indítunk: először tekintsük az állandó tetőhajlás esetét 2. ábra!

2 2 2. ábra Itt azt látjuk, hogy ha a nyeregtető alaprajza derékszögű vagy egyenlő szárú trapéz, akkor állandó tetőhajlás esetén a tető gerince ferde, azaz nem vízszintes lesz. A 2. ábra alapján a gerinc ferdeségét jellemző γ szögre felírhatjuk, hogy innen: tehát: ( 1 ) Az ( 1 ) képletet először [ 2 ] - ben vezettük le. Erről leolvasható, hogy Szavakkal: párhuzamos ereszvonalak és állandó tetőhajlás esetén a ( taréj - ) gerinc víz - szintes helyzetű. Megjegyezzük, hogy ~ ha a szarufák tengelye a 2. ábra zöld vonalaival párhuzamos, akkor a szarufák a talp - szelemenre merőlegesek, de a gerincszelemenre nem; ~ ha a szarufák tengelye a 2. ábra piros oromél - vonalával párhuzamos, akkor a szarufák sem a talp -, sem a gerincszelemenre nem merőlegesek. Ezek a tények az ácsmunka szem - pontjából fontosak lehetnek.

3 3 Ismét a 2. ábra szerint: tehát: ( 2 ) Most vegyük az alábbi, gyakorlatilag is érdekes és fontos eseteket! A ) Az egyenes, egy vízszintes síkban fekvő ereszvonalak összemetsződnek / nem párhu - zamosak, de a gerinc vízszintes helyzetű. B ) Az egyenes, egy vízszintes síkban fekvő ereszvonalak párhuzamosak, de a gerinc ferde helyzetű. E csoportok közös vonása, hogy az ide tartozó tetőket már nem sík, hanem görbült / csa - varodott felület / felületek, illetve felületdarabok ( is ) határolják. Az A ) és B ) csoportokba tartozó tetők részletesebb vizsgálata előtt foglalkozni kell a vonalfelületek csoportjába ( is ) sorolható hiperbolikus paraboloid felület egy képzési módjával. Ehhez tekintsük a 3. ábrát! 3. ábra

4 4 Adottak az A, B, C, D pontok. Az AB és a CD egyeneseket tartóegyeneseknek nevezik [ 3 ]. A kitérő helyzetű tartóegyenesekre illeszkedő hiperbolikus paraboloid felület paraméteres előállítása az alábbiak szerinti. Vektorokkal dolgozva: tehát: ( 3 ) tehát: tehát: ( 4 ) ( 5 ) Most ( 3 ), ( 4 ) és ( 5 ) - tel: Itt: Most élünk az választással, így ( 6 ) és ( 8 ) szerint: Kifejtve ( 9 ) - et: ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ( 10 ) A ( 7 ) korlátozás azt jelenti, hogy a P pont csak az AB és a CD szakaszok között helyezkedhet el. Ha ezt feloldjuk, akkor ( 7 ) - et ( 8 ) alapján átírva: ( 11 ) amivel a teljes térben elhelyezkedő felület esetére tértünk át. Konkrét esetben meg kell adni az A, B, C, D pontok helyvektorait.

5 5 A ) eset: Az egyenes, egy vízszintes síkban fekvő ereszvonalak összemetsződnek / nem párhuzamosak, de a gerinc vízszintes helyzetű Ehhez tekintsük a 4. ábrát! Itt a két vonalfelület - darab három - három alkotóját láthatjuk. 4. ábra A piros vonalfelületet alkotó szarufák a szimmetriatengelyre merőleges függőleges síkokban helyezkednek el, a zöld vonalfelületet alkotó szarufák pedig az ereszvonalra merőleges függőleges síkokban találhatók; ekkor: ( 12 ) ( 13 ) A piros felület csavarodása a piros szarufák síkjára merőleges irányban:

6 6 ( 14 ) a zöld felület csavarodása a zöld szarufák síkjára merőleges irányban: ( 15 ) Most ( 12 ), ( 13 ), ( 14 ), ( 15 ) - tel: tehát: ( 16 ) A ( 16 ) eredmény szerint: ~ a zöld vonalfelület ( talpszelemen menti ) csavarodása nagyobb, mint a piros vonal - felület ( gerinc menti ) csavarodása, ami lényeges tervezési és kivitelezési szempont lehet; ~ a két felület csavarodása egyenlő és zérus, ha az ereszek párhuzamosak, hiszen ek - kor a két görbült / csavarodott felület egy közös, esetleg több párhuzamos síkba megy át. A 4. ábrán a szimmetrikus alaprajzú tetőnek csak az egyik felét ábrázoltuk. Most határozzuk meg a 4. ábrán jelzett, a piros, illetve a zöld alkotókkal bíró felületek egyenletét! Ezt a ( 10 ) képlet alapján végezzük. Ne feledjük, a két felület közül egyszerre csak az egyik lehet jelen! A / a aleset: A piros felület egyenletének meghatározása Ehhez tekintsük az 5. ábrát is! Eszerint a tartóegyenes szakasz - végpontok helyvektorai: ( 17 ) Most ( 10 ) és ( 17 ) - tel:

7 7 5. ábra így ámde ( 18 ) ( 19 ) ( 20 ) Most kiküszöböljük az u, v paramétereket az utóbbi egyenletekből: ( 21 ) Most ( 18 ) átalakításával és ( 21 ) felhasználásával:

8 8 folytatva: ezzel: tovább alakítva: végül: ( 22 ) Ez a derékszögű koordinátákkal kifejezett egyenlete az 5. ábrán beszínezett felület - darabnak. A / b aleset: A zöld felület egyenletének a meghatározása Ehhez tekintsük a 6. ábrát is! Az A, B, C, D pontok helyvektorai: ( 23 / 1 ) ( 23 / 2 ) ( 23 / 3 ) ( 23 / 4 ) Most ( 10 ) és ( 23 ) - mal: Rendezve:

9 9 6. ábra tovább alakítva:

10 10 mivel így ( 24 / 1 ) ( 24 / 2 ) ( 24 / 3 ) Most ( 24 / 3 ) - ból: ( 25 / 1 ) majd ( 25 / 1 ) - et behelyettesítve ( 24 / 1 ) - be: ( 25/ 2 ) ezután ( 25 / 1 ) - et behelyettesítve ( 24 / 2 ) - be: ( 25 / 3 ) Most ( 25 / 3 ) - at átrendezve és ( 25/ 2 ) - t is ideírva: ( 26 ) ( 25/ 2 ) képezve e két utóbbi egyenlet hányadosát: ( 27 ) Majd a ( 27 ) egyenletet ( 25/ 2 ) - be helyettesítve: ( 28 ) figyelembe véve, hogy ( 29 ) a ( 28 ) és ( 29 ) képletekkel kapjuk, hogy:. ( 30 )

11 11 Most ( 30 ) - at átrendezve: innen: ebből pedig: ( 31 / 1 ) vagy egy másik alakban: ( 31 / 2 ) figyelembe véve, hogy a 6. ábra szerint ( 32 ) a ( 31 / 2 ) és a ( 32 ) képletekkel: vagy ( 33 ) Innen azonnal leolvasható, hogy z P = m, ha x P = 0. Ez megfelel a szemléletnek. Egy másik ellenőrzési lehetőség, ha megnézzük, hogy mit kapunk, ha a P pont az AB egyenesen fekszik 7. ábra. 7. ábra

12 12 Eszerint írhatjuk, hogy innen az AB egyenes egyenlete így írható: ( 34 ) Most átalakítjuk ( 33 ) - at: tehát: ( 35 ) A ( 34 ) feltétel teljesülésekor z P = 0, vagyis amikor a P pont az AB egyenesen fekszik. Ez a 6. ábra szemléletével is jól egyezik. Megjegyezzük, hogy az M pontban, vagyis amikor x P x M = 0, y P y M = b 1 / tg( β / 2 ), a ( 35 ) képlet 0 / 0 alakot ölt. Ekkor a 6. ábra szemlélete alapján is z M = 0 ~ m, vagyis a z M függvényérték határozatlan. Ez a függőleges helyzetű zöld szarufa esete lenne. A 8. ábrán egy egyenes gerincű, nem sík felületű műemlék tető képe látható. Sajnos, a forrás cikkéből nem egészen világos a geometriai alaphelyzet; úgy tűnik, ilyen - kor a perspektivikus ábrák nem eléggé informatívak: nem igazán könnyű eldönteni, hogy az ábrákon az ereszek vonalai azért metsződnek, mert a perspektivikus képen a valóságban párhuzamos egyenesek képe metsző egyenespár, vagy azért, mert nem párhuzamosak. Mi nem tartjuk szerencsésnek itt ezt az ábrázolási megoldást. Ugyanakkor örülünk, hogy a szerző vette a fáradságot, és fényképpel, grafikával és magyarázattal cikket írt, és feltette az internetre. Köszönet! Az idézett cikkben arról is szó van, hogy a kitérő helyzetű szarufák közötti felületdara - bokat kiselemes fedéssel ( pl. cseréppel ) jól le lehet fedni. Erről még kell beszélnünk.

13 13 8. ábra forrása: [ 4 ] B ) eset: Az egyenes, egy vízszintes síkban fekvő ereszvonalak párhuzamosak, de a gerinc ferde helyzetű Ehhez tekintsük a 9. ábrát! Ezen az alcímben jelzett tetőnek csak az egyik felét ábrázoltuk. Itt a tartóegyenes - szakaszok végpontjainak helyvektorai:. ( 36 ) Most ( 10 ) és ( 36 ) - tal: mivel

14 14 9. ábra ezért ( 37 / 1 ) ( 37 / 2 ) ( 37 / 3 ) A ( 37 ) egyenletek képezik az itteni hiperbolikus paraboloid felület paraméteres egyenlet - rendszerét. Kifejezve a paramétereket: ( 38 ) majd ( 37 / 3 ) - ból ( 38 ) - cal kiküszöbölve a paramétereket: ( 39 ) A ( 9 ) ábra kétszeresének egy fizikailag is megvalósított változatát látjuk a 10. ábrán. Látjuk, hogy a 10. ábra lécrács - szerkezete egy függőleges síkra szimmetrikus két részből áll; mintha a 9. ábrát tükröznénk a CD egyenest tartalmazó függőleges síkra. A 10. ábrán az is figyelemre méltó, hogy milyen sűrűn helyezkednek el a lécek. Ez a csavarodás miatt is fontos.

15 ábra forrása: [ 5 ] Ha megnézzük, egy alkotó - léc kezdő - és végkeresztmetszetei igen nagy szögelfordulást ( elcsavarodást ) mutatnak, egymáshoz képest. További megjegyzések: M1. A 2. ábrát elsőre valószínűleg sokan hibásan rajzolnák meg. A megfejtés a két sík hajlásszögének meghatározásában rejlik. Eszerint két sík közbezárt szögét megkapjuk, ha a két sík metszésvonalára merőleges síkot állítunk, amely kimetszi a két síkból a szög szá - rait; az előálló két szögpár közül a kisebbet választjuk: ez lesz a két sík közbezárt szöge. M2. Amikor itt héjfelületet emlegetünk, akkor pl. a téglalap keresztmetszetű szarufák felső lapja középvonalai, mint alkotók által létrehozott felületre gondolunk. Látjuk a 9. ábrán is, hogy az alkotók csak az x = 0 és y = 0 egyeneseknél, vagyis a koordináta - tengelyeknél zárnak be egymással derékszöget, de tetszőleges P ( x P, y P ) pontban már nem. Ez a szög könnyen meg is határozható 11. ábra.

16 ábra Eszerint, ( 39 ) - cel is: ( 40 / 1 ) ( 40 / 2 ) ( 40 / 3 ) Az e 1, e 2 egységvektorok kifejezései: Az ismert vektoralgebrai képlettel: Most ( 41 ) és ( 42 ) - vel: ( 41 / 1 ) ( 41 / 2 ) ( 42 ) ( 43 ) Az ismert azonossággal ( 43 ) - ból:

17 17 ( 44 ) Majd ( 40 ) és ( 44 ) - gyel:. ( 45 ) Innen: ( 46 ) M3. Az A ) eset, illetve a 4. ábra kapcsán felírt ( 14 ), ( 15 ), ( 16 ) képletek némiképpen közelítő jellegűek. Ugyanis a csavarodás kifejezése a t osztás - távval elhelyezett szarufa - síkokra, a 4. ábra szerint: ( 47 / 1 ) ( 47 / 2 ) A ( 14 ), ( 15 ) közelítések akkor elfogadhatóak, ha fennállnak az alábbi összefüggések: ( 48 / 1) ( 48 / 2 ) De tudunk valamit mondani a B ) esetre is. Ehhez tekintsük a 12. ábrát is! Eszerint: de így kapjuk, hogy így ámde ( 39 ) és (43 ) szerint ( 49 ) Mivel valamint így ( 50 ) így ( 49 ) és ( 50 ) szerint:

18 ábra ( 51 ) Folytatjuk: ( 52 ) Ha bevezetjük a kétféle csavarodást az alábbiak szerint: ( 53 ) akkor ( 52 ) és ( 53 ) alapján: Az ( 51 ), ( 52 ), ( 53 ), (54 ) képletek alapján írhatjuk, hogy (54 ) ( 55 )

19 19 Látjuk, hogy egyáltalán nem mindegy, hogy a csavarodást hogyan definiáljuk. Minthogy általában: ezért írhatjuk, hogy ( 56 ) ha t elegendően kicsiny. Itt azonban többet is mondhatunk; mivel így ( 57 ) ahol C egy integrálási állandó. Alkalmazva ( 57 ) - et az x 1 és x 2 értékekre, kapjuk, hogy innen ebből pedig: ( 58 ) Ha összehasonlítjuk az ( 56 ) és (58 ) képleteket, akkor azt látjuk, hogy a B ) esetben a csavarodás első definíciója szerint nem csak egy közelítő, hanem egy pontos képletet kaptunk. Hasonlóan: ezért írhatjuk, hogy ha t elegendően kicsiny. Fentiek alapján gyanítjuk, hogy a két definíció közül ϑ* lesz a győztes, még ha ez nem is nagyon tetszik nekünk. Ha ez így van, akkor a szabályzatok alkotóinak ezt figyelembe vé - ve kell(ene) megállapítaniuk a követendő számítási eljárásokat, korlátozó feltételeket, stb.

20 20 M4. Most nézzük meg, hogyan számíthatjuk ki két szarufa egymáshoz képesti elcsavarodási szögét, a B) esetben! a) Induljunk ki az erre az esetre vonatkozó ( 51 ) általános összefüggésből! Ekkor: integrálva: ezzel: ( 59 ) ( 60 ) b) A ( 40 / 2 ) képlettel, közvetlenül: ami rögtön ( 60 ) - ra vezet. Látjuk, hogy a t = x 2 x 1 osztás - köz viszonylag nagy értéke esetén Δα nem feltétlenül kicsiny szögérték v. ö. 10. ábra! M5. A 13. ábrán egy hiperbolikus paraboloid felület - alakú háztető lécezése látható. 13. ábra forrása: [ 6 ]

21 21 Megemlítjük, hogy ha e felületen a léceket az ereszsík felett egyazon h magasságban helyeznénk el, akkor azok tengelyei hiperbolát írnának le. Ez könnyen igazolható: ( 61 ) Az is könnyen látható, hogy pl. a 13. ábra felületén nincsenek az ereszekkel párhuzamos egyéb alkotók, mint maguk az ereszek. M6. A 14. ábrán azt látjuk, hogy egy csavarodó tetőn alkalmazott HILTI - szalag nem egyenesen halad, hanem tengelyvonala a szarufákon megtörik. Továbbá csavarodik is. ( Vajon milyen görbe lenne a szalag tengelyvonala, ha a szarufák olyan sűrűn lennének, hogy összeérnének? ) A vékony, hajlításra és csavarásra nem merev acélszalag ezt jól bírja. Úgy tűnik, emiatt is jóval kényelmesebb lehet vele a munka, mint pl. a tetőlécekkel. A 15. ábrán egy olyan tetőszerkezet grafikáját szemlélhetjük, ahol együtt alkalmazzák a sík - és a torz - felületet. 14. ábra forrása: [ 7 ] 15. ábra forrása: [ 8 ] M7. Egy az ittenihez hasonló korábbi dolgozatunk címe: Kontytető torzfelülettel. M8. Ebben a dolgozatban foglalkoztunk az egyenes és a ferde gerincű tetőalakok több, gyakorlatilag is fontos esetével. Tettük ezt azért is, mert úgy véljük, van e témakörben tennivaló, bőven. Meglehet, sok ismeret áll már felhasználásra készen, ám úgy gondoljuk, hogy ezek még csak főként egy - egy szűkebb alkotóműhely birtokában vannak, a széle - sebb szakmai közönség azonban még vár ezek közzétételére, elterjedésére.

22 22 Források: [ 1 ] [ 2 ] Galgóczi Gyula: Diplomamunka Soproni Egyetem, Tanárképző Intézet, okleveles mérnöktanári szak Sopron, [ 3 ] Füzi János: 3D grafika és animáció IBM PC - n ComputerBooks Budapest, [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár