Végein függesztett rúd egyensúlyi helyzete. Az interneten találtuk az [ 1 ] munkát, benne az alábbi érdekes feladatot 1. ábra. Most erről lesz szó.

Átírás

1 1 Végein függesztett rúd egyensúlyi helyzete Az interneten találtuk az [ 1 ] munkát, benne az alábbi érdekes feladatot 1. ábra. Most erről lesz szó. A feladat Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! 1. ábra forrása: [ 1 ] 2. ábra Egy W súlyú, l hosszúságú rudat a végeihez csatlakozó kötelekkel függesztünk fel, úgy, hogy a köteleket egy - egy sima csigán vetjük át, szabad végüket pedig az egyforma P nagyságú súlyokkal terheljük meg. Határozzuk meg a rúd tengelyének a vízszintessel bezárt β szögét, a rúd egyensúlyi helyzetében! A megoldás A rúd C súlypontja az A és B végeitől a és b távolságra helyezkedik el, így fennáll a nyilvánvaló ( 1 )

2 2 kapcsolat. Most tekintsük a 3. ábrát! 3. ábra Itt a részeire bontott, minden részében nyugalmi egyensúlyban lévő szerkezetet tüntettük fel. Itt csak a rúd ferdeségét megadó β szög meghatározásával foglalkozunk. Ezt a rúdra vonatkozó egyensúlyi egyenletek felírásával végezzük. Vízszintes vetületi egyenlettel: ( 2 ) ámde: így ( 2 ) és ( 3 ) - mal: Most ( 2 ), ( 3 ) és ( 4 ) szerint: Függőleges vetületi egyenlettel: ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ámde ( 4 ) - gyel is:

3 3 azaz: Most ( 6 ) és ( 7 ) - tel: ( 7 ) ( 8 ) Nyomatéki egyenlet a B végpontra: rendezve: ( 9 ) ( 10 ) most ( 5 ), ( 7 ) és ( 10 ) - zel: ( 11 ) ámde ( 8 ) - ból: ( 12 ) így ( 11 ) és ( 12 ) - vel:

4 4 innen: ( 13 ) Áttérve az inverz függvényre: ( 14 ) A ( 14 ) képlet majdnem egyezik az 1. ábrán láthatóval. További átalakításokat végzünk; ( 13 ) - mal: tehát: ( 15 ) most ( 8 ) és ( 15 ) - tel: ( 16 ) innen: ( 17 ) Ezzel a feladatot megoldottuk, hiszen annak kiírása így fest: Adott: a, b, W, P; Keresett: β. ( 17 ) - ből leolvasható, hogy ~ ~ ~ ( 8 ) - ból és ( 17 ) - ből kiolvasható, hogy gyakorlatilag kell, hogy a ( 18 ) reláció fennálljon, így a kiírásban P nem lehet teljesen tetszőleges.

5 5 Megjegyzések: M1. A ( 18 ) korlátozást tekinthetjük a szerkezet erőtani működési feltételének is. Meglehet, hogy a ( 8 ) - ból adódó ( 19 ) összefüggés alapja lehet egy ( 20 ) szerinti további geometriai korlátozó feltételnek. Ugyanis nem feledhetjük, hogy a gerendát kötelek függesztik, melyek hossza véges, továbbá hogy az egész szerkezetnek helyigénye is van. Már csak ezért sem érdemes túl meredek kötelekkel dolgozni. Ugyanakkor a vízszinteshez közeli függesztőkötél - helyzetek sem szerencsések, mert ekkor a kötélerők igen nagyok lehetnek, ezzel pedig a gerenda igénybevételei is. A nagy kötélerők a további felfüggesztő elemekben is nagy erőket ébresztenek, melyek felvétele komolyabb szerkezetet igényelhet, ami pedig többletköltségeket okozhat. Például egy sem nem túl lapos, sem nem túl meredek kötélhajlásszög: α = 45. Ekkor ( 8 ) - cal: ( 18 ) - nak is megfelelően. M2. A 2. és 3. ábrán a β > 0 esetet szemléltettük. M3. Úgy tűnik, hogy a fenti feladat viszonylag könnyen továbbfejleszthető. Egy ilyen lehetőség az alábbi. Ehhez tekintsük a 4. ábrát is! 4. ábra Itt azt szemlélhetjük, hogy az AC gerenda közepén van a C 0 súlypontja, itt hat a G súlyereje. Emellett a középtől x távolságra hat egy F erő is. A G és F erők eredője R.

6 6 A függesztő kötelek végén Q súlyerő hat. A feladat ugyanaz, mint korábban, azaz: Adott: a, b, R, Q ; Keresett: β. Megoldásához meghatározzuk az újabb a, b, Q mennyiségeket. Az R eredő R nagysága vetületi egyenlettel: ( 21 ) Az R eredő hatásvonalának helyzete nyomatéki egyenlettel: ( 22 ) most ( 21 ) és ( 22 ) - vel: tehát: ( 23 ) Majd ( 1 ) és ( 22 ) - vel: tehát: ( 24 ) Ezután ( 8 ) itteni megfelelője W R, P Q betűcserével: ( 25 ) Majd ( 17 ) itteni megtfelelője: ( 26 ) most ( 1 ), ( 23 ) és ( 24 ) - gyel:. ( 27 ) Majd ( 21 ), ( 26 ), ( 27 ) - tel:

7 7 ( 28 ) bevezetve a ( 29 ) új változót, ( 28 ) és ( 29 ) - cel kapjuk, hogy ( 30 ) ( 18 ) és ( 19 ) helyére ezek lépnek: ( 31 ) Egy számpéldához adatok, figyelve ( 31 / 1 ) - re is: G = 1000 N ; F = 750 N ; Q = 1500 N. ( A ) Most ( 30 ) és ( A ) - val: ( 30* ) 5. ábra

8 8 A ( 30* ) függvény ( türkiz ) grafikonját az 5. ábra mutatja. Berajzoltuk az origóbeli ( lila ) érintőt is. Látható, hogy a ( 30* ) kapcsolat közel lineáris. Eszerint: ha a gerenda közepétől elmozdítjuk az F erőt, akkor a gerenda billenése az elmozdítással közel ará - nyosan alakul. M4. Javasoljuk, hogy az Olvasó gondolja végig: mi lehet az oka, hogy a ( 14 ) képlet nem pontosan egyezik az 1. ábrán láthatóval. Forrás: [ 1 ] Isaac Todhunter: Treatise on analytical statics, with numerous examples 5. kiadás, Macmillan, London, Sződliget, december 6. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár