Rönk kiemelése a vízből

Átírás

1 1 Rönk kiemelése a vízből Az interneten találtuk az [ 1 ] művet, benne az alábbi feladatot 1. ábra. A feladat 1. ábra forrása: [ 1 ] Egy daru kötél segítségével lassan emeli ki a vízből a benne úszó gerendát / rönköt. A kötelet a gerenda egyik végéhez erősítették. A gerendát állandó sűrűségű vékony hen - gernek tekinthetjük. A gerenda tömege m, hossza L. A víz és a faanyag sűrűségének viszonya: γ = 4 / 3. A szabadesés gyorsulásának nagysága: g. 1.) Mekkora minimális A munkát kell elvégeznie a darunak, hogy a gerendát teljesen kiemelje a vízből? 2.) Építse fel azt a grafikont, amely a gerenda végén működő T kötélerő - nagyságot ábrázolja a h víz fölé emelési magasság függvényében! 3.) Mekkora A Δh munkát végez a daru a gerenda egyik ferde helyzetéből a másikba való emelése során, amikor a felső végét Δh = L / 5 magasba emelték? A megoldás A nem részletezett megoldás végeredményeit az 1. ábrán láthatjuk. A cél ezek elérése. Először meghatározzuk a hengeres fa kiemelés előtti nyugalmi helyzetét a vízben. Ehhez tekintsük a 2. ábrát is!

2 2 2. ábra Itt a nyugalomban úszó D átmérőjű hengert látjuk a vízbe merülve, a reá ható G súlyerő és az F felhajtóerő hatására. Ezen erők nagysága: ( 1 ) itt A a fagerenda teljes keresztmetszeti területe. Majd ahol A víz a vízbe merült keresztmetszeti terület. Egyensúly esetén: így ( 1 ), ( 2 ) és ( 3 ) - mal: ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) minthogy a feladat kiírása szerint ( 5 ) ezért ( 4 ) és ( 5 ) szerint: ( 6 ) Most részletesebben is megvizsgáljuk a bemerülési viszonyokat úszásnál. Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! Innen leolvasható, hogy a megfelelő síkidomok területeivel: ( 7 ) Részletezve:

3 3 3. ábra ( 8 ) majd ( 9 ) ezután ( 7 ), ( 8 ), ( 9 ) - cel: ( 10 ) Mivel ( 10 ) - zel is: azaz ( 11 ) így ( 6 ) és ( 11 ) - gyel: ( 12 )

4 4 A ( 12 ) egyenlet grafikus megoldása 4. ábra : 4. ábra ( 13 ) A 3. ábrán megjelölt adatok, ( 13 ) - mal is: ( 14 ) ( 15 ) ( 16 ) Ezzel az úszási nyugalmi helyzethez tartozó adatokat meghatároztuk.

5 5 A következő részfeladat a ténylegesen kiírt feladat! az emelési helyzetek vizsgálata. Ehhez tekintsük az 5. ábrát is! 5. ábra Itt már figyelembe vettük azt a körülményt, hogy a feladat kiírása szerint a rúd vékony, vagyis hogy ( 17 ) Az 5. ábra azt mutatja, hogy a gerenda vízből való kiemelése 2 szakaszra bontható: 1. szakasz: a gerenda jobb oldali végének emelésekor a gerenda az S súlypontján átmenő, a rajz síkjára merőleges tengely körül forog, vagyis az alsó fele végig vízben van, a függőleges helyzet eléréséig; 2. szakasz: amint a gerenda elérte a függőleges helyzetet, úgy S súlypontja függőlegesen emelkedni kezd, amíg a gerenda alsó vége is ki nem jön a vízből. Eddig tart a kiemelés. 1. szakasz: lásd az 5. ábra bal oldali részét! A feladat kiírása szerint a kiemelés lassú, így azt kvázistatikus folyamatnak tekinthetjük. A felhajtóerő nagysága: ( 18 ) a függőleges vetületi egyensúlyi egyenlet: ( 19 )

6 6 most ( 1 ), ( 5 ), ( 18 ) és ( 19 ) - cel: ( 20 ) Eszerint az 1. szakasz folyamán a kötélerő nagysága állandó és egyenlő a gerenda súlyá - nak egyharmadával. 2. szakasz: lásd az 5. ábra jobb oldali részét! Minthogy a ( 20 ) képlet a φ hajlásszögtől független, így φ = 90 - ra is igaz, amikor T 2 = T 2,0, amint arról közvetlen számítással is meggyőződhetünk. A kiemelés folytatása során a T 2 húzóerő - nagyság egy függőleges vetületi egyenlettel: ( 21 ) majd ( 22 ) Most ( 21 ) és ( 22 ) - vel: azaz ( 23 ) A ( 20 ) és ( 23 ) eredmények megfelelnek az 1. ábra grafikonjának. Hátra van még a munkavégzésre vonatkozó kérdések megválaszolása. 1. kérdés: Mekkora minimális W munkát kell elvégeznie a darunak, hogy a gerendát tel - jesen kiemelje a vízből?

7 7 Az elvégzendő munka egyenlő az 1. ábra grafikonjának görbe alatti területével: ( 24 ) 2. kérdés: Mekkora W Δh munkát végez a daru a gerenda egyik ferde helyzetéből a másikba való emelése során, amikor a felső végét Δh = L / 5 magasba emelték? Ekkor az emelőerő T 1 = állandó, így ( 20 ) - szal is:. ( 25 ) A ( 24 ) és ( 25 ) eredmények is megegyeznek az 1. ábrán megadottakkal. Megjegyzések: M1. A feladat megoldása során többször is alkalmaztuk Archimedes törvényét [ 2 ]. M2. Az első feladatrészt azért is vettük ide, hogy érzékeltessük, miszerint a vékonyságra nem alapozhatunk akármikor. M3. Itt nem vettük figyelembe, hogy a fagerenda a vízben megszívja magát. M4. Az 5. ábrán az F 1 felhajtóerő hatásvonalának helyzetét egy nyomatéki egyensúlyi egyenlettel kaphatjuk meg. Számítás nélkül egy gondolatkísérlettel is belátható, hogy a felhajtóerő támadáspontja a test által kiszorított folyadék súlypontja [ 2 ]. M5. Itt a munka jelölését A - ról W - re változtattuk, mert mi A - val a rúd keresztmet - szeti területét jelöljük. M6. A megoldás két döntő mozzanata: ~ a vékonyság kihasználása, ~ a rúd mozgásának két önálló szakaszra bontása. M7. Azt a körülményt, hogy a rúd az 1. és a 2. szakasz szerint végzi mozgását, kísérleti / tapasztalati ténynek is tekinthetjük.

8 8 M8. Az 1. ábra jobb oldali részén látható megoldás - grafikon egy töröttvonal. Valószínű, hogy a valóságban egy az origóból induló, szakadás és törésmentes függvény írja le a vizsgált jelenséget. Az 1. ábra idealizált grafikonja az egyszerűsített fizikai modell viselkedését jeleníti meg grafikusan. Egy a valósághoz közelebb álló fizikai modell vizs - gálata amire egy igazi, a címben is szereplő rönk esetén lehetne szükség valószínűleg lényegesen nagyobb fizikai és matematikai bonyodalmakat okozna. Emlékezzünk itt csak arra, hogy már a bevezető feladatrész ( 12 ) kulcs - egyenlete is grafikus megoldást igé - nyelt. Minthogy itt egy versenyfeladatról van szó, a feladónak számolnia kellett a rendel - kezésre álló idővel és segédeszközökkel is. Ezért is lényeges például a rúd vékonyságának kihangsúlyozása: a gyakorlott feladatmegoldó érti az utalást. M9. Nekünk, nem - versenyző feladatmegoldóknak lényegesen könnyebb dolgunk van, mint a versenyző diákoknak. Nincs időkényszer, nincs stressz, akkor foglalkozunk a feladattal, amikor kedvünk úgy tartja, stb. Nem elhanyagolható könnyebbség számunkra, hogy ismerjük a megoldást, így tudjuk, hogy mit kell kihoznunk, már ha jó a megoldás. A fenti feladatban az 1. ábra megoldás - grafikonja adott komoly segítséget annak tisztá - zásában, hogy milyen mélységű modell - választásra, pontosságra, stb. gondolt a feladat készítője. M10. Ez egy igencsak érdekes és tanulságos feladat. Érdemes elmerengeni rajta! Források: [ 1 ] Szerk. A. I. Csernoucan: Zadacsnyik Kvanta, Fizika, Csaszty 3 Prilozsenyije k zsurnalu Kvant No. 1 / 2012 Bibliotyecska Kvant, Vüpuszk 123., Moszkva, MCNMO, [ 2 ] Budó Ágoston: Kísérleti fizika I. 6. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár