Néhány véges trigonometriai összegről. Határozzuk meg az alábbi véges összegek értékét!, ( 1 ) ( 2 )

Átírás

1 1 Néhány véges trigonometriai összegről A Fizika számos területén találkozhatunk véges számú tagból álló trigonometriai össze - gekkel, melyek a számítások során állnak elő. Ezek értékét kinézhetjük matematikai táb - lázatokból, képletgyűjteményekből, mint amilyen pl. [ 1 ]. Ez gyakran nem segíti eléggé a megértést, mivel nem szemléletes. Szerencsésebb szert tenni egy jó ábrákkal szemléltetett, részletes levezetésre, mert ez sokkal inkább szolgálhatja a tanulni vágyó olvasót céljai el - érésében. Most ilyenekről lesz szó. 1. Feladat Határozzuk meg az alábbi véges összegek értékét!, ( 1 ) ( 2 ) A geometriai szemléletre alapozott megoldáshoz tekintsük az 1. ábrát! ϕ 1. ábra forrása: [ 2 ] Itt azt látjuk, hogy n = 6 darab egyenlő A hosszúságú vektort hordtak fel, egymáshoz képest folytonos nyílértelemmel, ahol az egymást követő vektorok egyenesei egymással φ szöget zárnak be. Ezen A 1,, A n összeadandó vektorok eredője az A R vektor, mely az első vektor egyenesével egybeeső x tengellyel ϕ szöget zár be. A vetületi tétel szerint: azaz A i = A - val is ( i = 1, 2,, n-1, n ):

2 2, ( 3 / 1 ) vagy rövidítő jelöléssel: ( 3 / 2 ) Folytatva: azaz: vagy: ( 4 / 1 ) ( 4 / 2 ) Látjuk, hogy a koszinuszos S c, valamint a szinuszos S s összegek meghatározásához elő kell állítanunk az eredő vektor nagyságának és hajlásának kifejezéseit. Az 1. ábra szerint: ( 5 ) ( 6 ) majd ( 5 ) és ( 6 ) - tal: ( 7 ) Ezután a 2. ábra szerint az OTM x egyenlő szárú háromszögből: 2. ábra

3 3 ( 8 ) Most ( 3 / 2 ) - ből, ( 7 ) és ( 8 ) - cal is: ( 9 ) majd ( 4 / 2 ) - ből, ( 7 ) és ( 8 ) - cal is: ( 10 ) Végül ( 1 ), ( 2 ), ( 9 ) és ( 10 ) - zel: ( 11 ) ( 12 ) A ( 11 ) és ( 12 ) eredmények kicsit más jelölésekkel megtalálhatók [ 3 ] - ban is. Eredményeinket más úton is levezethetjük. A komplex számokkal kapcsolatos ismeretekre alapozott megoldás az alábbi. Tekintsük az ( 13 ) komplex számot, ahol az S c és S s összegek ( 1 ) és ( 2 ) szerintiek. Látható, hogy ( 13 ) szerint írhatjuk: ( 14 ) Euler képlete szerint: így ( 14 ) és ( 15 ) - tel: ( 15 ) ( 16 )

4 4 A ( 16 ) képletet kicsit átírva, majd alkalmazva a mértani sorozat összegképletét: ( 17 ) a ( 16 ) és ( 17 ) képletekkel: ( 18 ) Azonos átalakításokkal ( 18 ) - ból: ( 19 ) most ( 15 ) - ből: ( 20 ) így ( 19 ) és ( 20 ) - szal: tehát: ( 21 ) Most ( 21 ) - re alkalmazva Euler képletét: ( 22 ) Ezután ( 13 ) és ( 22 ) összehasonlításából: ( 23 ) ( 24 ) Örömmel konstatáljuk, hogy újabb eredményeink megegyeznek a korábbiakkal.

5 5 Megjegyzések: M1.1. Egy fontos speciális eset: ( * ) ~ a vektorsokszög szabályos sokszög. Ekkor: ( 25 ) most ( 23 ) és ( 25 ) szerint: ( 26 ) ( 27 ) Majd ( 24 ) és ( 25 ) szerint: ( 28 ) ( 29 ) Utóbbi eredményeinkhez lásd a 3. ábrát is! 3. ábra A ( 29 ) eredmény furcsának tűnhet: a zérusvektorhoz irány is tarozik. Ugyanis általában úgy vesszük, hogy a zérusvektor nagysága zérus, iránya pedig határozatlan. Itt azonban nem ez a helyzet. Ugyanakkor e meglepő tény esetünkben nem bír igazán jelentőséggel.

6 6 M1.2. Egy másik fontos speciális eset: ( ** ) ~ a vektorsokszög egyenessé fajul. Ekkor: ( 30 ) Ezt úgy vizsgáljuk, hogy képezzük a φ 0 esetén előálló határértéket. Ehhez felhasználjuk a szinusz - függvény hatványsorát: vagyis: ( 31 ) így ( 21 ), ( 22 ), ( 23 ), ( 24 ), ( 30 ) és ( 31) - gyel: ( 32 ) ( 33 ) ( 34 ) Most ( 7 ) és ( 31 ) szerint: ( 35 ) A ( ** ) speciális esetet a 4. ábra szemlélteti. 4. ábra M1.3. Eddig a ( 11 ) és ( 12 ) szerinti ( 36 ) ( 37 )

7 7 alakú véges trigonometrikus összegeket vizsgáltuk. Most tekintsük az ezeknél kicsit általánosabb ( 38 ) alakú összegeket 5. ábra! A vetületi tétellel most ezek adódnak, A i = A - val is: 5. ábra ( 39 ) Most a komplex számokkal dolgozva: ( 40 ) ( 41 ) az Euler képlettel is, a korábbiak szerint:

8 8 tehát: ( 42 ) vagyis ( 41 ) és ( 42 ) szerint: ( 43 ) ( 44 ) ( 45 ) ( 46 ) Végül azt eredmények: innen: ( 47 ) ( 48 ) ( 49 ) ( 50 ) A ( 47 ) és ( 48 ) eredmények az 5. ábra szemlélete alapján közvetlenül is beláthatók: a koordináta - rendszer α szöggel való elforgatása az eredő vektor nagyságát változatlanul hagyja, az eredő hajlásszögét pedig α - val megnöveli, az α = 0 esethez képest. M1.4. Végezzük el a ( 49 ) és ( 50 ) képletekben az n n+1 helyettesítést! Ekkor kapjuk, hogy

9 9 ( 51 ) ( 52 ) Az ( 51 ) és ( 52 ) képletek megegyeznek az [ 1 ] képletgyűjteményben is megtalálható eredményekkel, a jelölésektől eltekintve. 2. Feladat Határozzuk meg az és az ( 53 ) ( 54 ) véges összegek kifejezéseit! Most felhasználjuk, hogy ( 55 ) A komplex számokkal történő megoldás az alábbi v. ö. [ 4 ]! :. ( 56 ) Felhasználjuk, hogy ( 57 )

10 10 Most kiszámítjuk az ( 56 ) - ban szereplő összeget. Ehhez ( 57 ) - tel: ( 58 ) ( 59 ) így ( 58 ) és ( 59 ) - cel: ( 60 ) Az első összeg, a korábbiak szerint: ( 61 ) a második összeg: ( 62 ) Most ( 60 ), ( 61 ), ( 62 ) - vel: ( 63 ) Tovább alakítva ( 63 ) - at: tehát:

11 11 ( 64 ) Ezután ( 56 ) és ( 64 ) - gyel: vagyis ( 53 ) és ( 54 ) - gyel is: ( 65 ) ( 66 ) Megjegyzések: M2.1. Érdemes megemlíteni, hogy ( 58 ) - at egyszerűbben is kiszámíthatjuk. ( 67 ) most felidézzük, hogy ( 49 ) majd az ( 68 ) helyettesítéseket alkalmazva ( 49 ) és ( 68 ) - cal: tehát: ( 64 ) - gyel egyezően.

12 12 M2.2. A ( 65 ) és ( 66 ) eredmények összeadásával és kivonásával kapjuk, hogy ( 69 ) ( 70 ) A ( 69 ) és ( 70 ) képletekre közvetlen ellenőrzést adhat ( 53 ) és ( 54 ) összeadása és kivonása: ( 69 / 1 ) ( 70 / 1 ) ahol felhasználtuk ( 58 ) - at és ( 64 ) - et is. M2.3. Egy fontos speciális eset: ( * ). Ekkor: most ( 64 ) és ( 71 ) - gyel: ( 71 ) így ( 65 ), ( 66 ) és ( 71) szerint: ( 72 )

13 13 ( 73 ) ( 74 ) Egy alkalmazás Az [ 5 ] műben található az alábbi összegezési feladat - rész, melynek vektorábráit a 6. ábra mutatja. 6. ábra forrása: [ 5 ] Az ebben fellépő összegek kiszámítása az alábbiak szerinti, az [ 5 ] - beli jelölésekről áttérve az itteniekre. A felső ábrarész esetében először ( 49 ) - cel: ( a ) itt: ( b ) így ( a ) és ( b ) - vel: ( E1 ) Másodszor az alsó ábrarészhez: ( b ), ( 58 ) és ( 64 ) - gyel:

14 14 ( d ) majd ( c ) és ( d ) - vel: ( E2 ) Az ( E1 ) és az ( E2 ) eredményeket a 6. ábra zárt vektorsokszögei magyarázzák Végül megemlítjük, hogy a leggyakrabban előforduló trigonometriai összegképletek ki - számításáról a [ 6 ] műben is olvashatunk. Az ottani eredményeket itt nem használtuk fel. Források: [ 1 ] A. P. Prudnyikov ~ Ju. A. Brücskov ~ O. I. Maricsev: Intyegralü i rjadü Moszkva, Nauka, [ 2 ] R. P. Feynman ~ R. B. Leighton ~ M. Sands: Mai fizika, 3. kötet: Optika. Anyaghullámok 3. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, [ 3 ] Tasnádi Péter ~ Skrapits Lajos ~ Bérces György: Mechanika I. Dialóg Campus Kiadó, Budapest - Pécs, [ 4 ] L. G. Lojcjanszkij ~ A. I. Lurje: Kursz tyeoretyicseszkoj mehanyiki 2. kötet Gyinamika 6. kiadás, Moszkva, Nauka, [ 5 ] Erwin Pawelka: 100 Übungen aus der Mechanik Springer-Verlag Wien GmbH, [ 6 ] Szász Pál: A differenciál - és integrálszámítás elemei I. kötet Közoktatásügyi Kiadóvállalat, Budapest, Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár