Kerekes kút 4.: A zuhanó vödör fékezéséről. A feladat. A megoldás

Átírás

1 1 Kerekes kút 4.: A zuhanó vödör fékezéséről Egy korábbi dolgozatunkban melynek címe: Kerekes kút 2.: A zuhanó vödör mozgásáról nem volt szó fékezésről. Itt most egy egyszerű fékezési modellt vizsgálunk meg. Ehhez nagymértékben felhasználjuk az említett korábbi dolgozat eredményeit is. A feladat A kerekes kút vödre az s 0 kötélhosszal jelzett álló helyzetéből indulva zuhanni kezd. Ezt a zuhanást s 1 út megtétele után fékezéssel lassítjuk, úgy, hogy a vödör a fékezés megkezdé - sétől számított s 2 út megtétele után megáll. Meghatározandó a hengerkerék hengerének palástján kifejtendő állandó F fékező erő nagysága. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! A megoldás 1. ábra Erről leolvasható, hogy a mozgást két, az útszakaszokat pedig három részre osztottuk, az s 0, s 1 és s 2 - nek megfelelően. A megfelelő út - koordinátákat s I és s II betűkkel jelöljük. A megoldás lényege: az I. és a II. szakaszra külön - külön felírjuk a megoldásokat, majd a szakaszhatáron összekapcsoljuk azokat.

2 2 Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! Az I. szakasz fékezés nélküli zuhanó mozgásának vizsgálata 2. ábra A rendszer I. szakaszra vonatkozó mozgásegyenletét úgy állítjuk elő, hogy a rendszert elemeire bontjuk, azokra külön - külön felírjuk mozgásegyenleteiket, majd ezekből előállítjuk a rendszer mozgásegyenletét. Mivel a lánc / kötél a hengerről folyamatosan és csúszásmentesen fejtődik le, így minden esetben érvényesek az alábbiak: ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) Itt s az ív - koordináta, v a sebesség - koordináta, w a gyorsulás - koordináta, az I index pedig az I. szakaszra utal. A vödör mozgásegyenlete: ( 4 ) Itt M v a vödör és a benne található anyag ( pl. víz ) együttes tömege. A hengerkerék mozgásegyenlete: ( 5 ) További jelölések: q a kötél / lánc folyómétersúlya, g a nehézségi gyorsulás nagysága, l a kötél / lánc teljes működő hossza.

3 3 A J I inercianyomaték egy állandó és egy változó részből áll: ( 6 ) Itt J 0 a hengerkerék tehetetlenségi nyomatéka a forgástengelyre, a második tag pedig a kötél változó inercianyomatéka. Ez úgy jön ki, hogy ha hosszúságú kötél már letekeredett a hengerről, akkor már csak hosszú darab van a hengeren. Ennek súlya tömege így tehetetlenségi nyomatéka mintegy Itt feltettük, hogy a hengeren egy sor kötél - menet található. Most ( 5 ) és ( 6 ) szerint, elvégezve a kijelölt differenciálást: ( 7 ) Majd ( 2 ), ( 3 ) és ( 7 ) szerint: vagyis ( 8 ) Ezután ( 5 ) és ( 8 ) - cal: ( 9 ) A lógó kötél mozgásegyenlete: ( 10 ) A bal oldalhoz: ( 11 ) Most ( 10 ) és ( 11 ) - gyel: ( 12 )

4 4 Ezután ( 4 ), ( 9 ) és ( 12 ) szerint: ; rendezve: ( 13 ) bevezetjük a nevezőre az alábbi rövidítő jelölést ( redukált tömeg ): ( 14 ) majd ( 13 ) és ( 14 ) szerint kapjuk, hogy ( 15 ) az írásmód további egyszerűsítése érdekében újabb rövidítő jelöléseket vezetünk be: ( 16 ) most ( 15 ) és ( 16 ) szerint: ( 17 ) A ( 17 ) egyenlet a rendszer I. szakaszbeli mozgásegyenlete. Az integrálásához felhasználjuk, hogy ( 18 ) így ( 17 és ( 18 ) - cal: ( 19 )

5 5 ezt s I szerint integrálva: ( 20 ) kezdeti feltétel: most ( 20 ) és ( 21 ) - gyel: Pozitív gyökvonással: ( 21 ) ( 22 ). ( 23 ) A szakaszhatáron, vagyis s I = s 1 nél, ( 23) - ból: ( 24 ) Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! A II. szakasz fékezett mozgásának vizsgálata 3. ábra A megoldás lépései hasonlóak, mint az I. szakasz esetében. A kötél / lánc lefejtődésének feltételéből:

6 6 ( 25 ) ( 26 ) ( 27 ) A vödör mozgásegyenlete: ( 28 ) A hengerkerék mozgásegyenlete: ( 29 ) A J II inercianyomaték egy állandó és egy változó részből áll: ( 30 ) Elvégezve a kijelölt differenciálást, valamint ( 25 ), ( 26 ) és ( 27 ) - tel: tehát: ( 31 ) Most ( 29 ) és ( 31 ) - ből:, innen: majd ebből ( 32 )

7 7 A lógó kötél mozgásegyenlete: ( 33 ) A bal oldalhoz: tehát: ( 34 ) Most ( 28 ), ( 32 ) ( 33 ) és ( 34 ) - gyel: rendezve: ( 35 ) Most ( 14 ) és ( 35 ) - tel:

8 8 ( 36 ) Bevezetve az alábbi rövidítő jelöléseket: ( 37 ) ( 36 ) és ( 37 ) - tel kapjuk, hogy A ( 18 ) - nál látott átalakítással: ( 38 ) ( 39 ) majd ( 38 ) és ( 39 ) - cel: ( 40 ) Integrálva s II szerint: ( 41 ) Ámde miatt ( 41 ) és ( 42 ) - vel: Érvényesítve az feltételt, ( 43 ) és ( 44 ) - ből: ( 42 ) ( 43 ) ( 44 ) ( 45 ) Az I. és a II. szakasz mozgásának összekapcsolása Ezt a két szakasz határán fellépő v 1 sebességnagyság azonossága alapján vitelezzük ki. Most ( 24 ) és ( 45 ) egyenlővé tételével:

9 9 ( 46 ) rendezve: Itt már kihasználtuk, hogy b 2 = b 1. Összegyűjtve az állandókat: ( 47 ) ( 16 ) ( 37 ) Az a 1 és a 2 állandókat összehasonlítva: ( 48 ) ahol bevezettük a ( 49 ) újabb rövidítő jelöléseket. Célunk F meghatározása, ( 47 ) alapján. Most ( 47 ), ( 48 ) és ( 49 ) - cel:

10 10 vagy ( 50 ) Ha tehát azt akarjuk, hogy az indításkor s 0 hosszú kötéldarabon lógó vödör s 1 útnyi zuha - nás után s 2 úton állóra fékeződjön, akkor az ( 50 ) képlettel számítható nagyságú kerületi erőt kell a henger palástján kifejteni. Megjegyzések: M1. Egy speciális eset: ha a kötél súlyát elhanyagoljuk, akkor és így ( 50 ) és ( 51 ) szerint az ( 51 ) ( 52 ) képlet adódik. Az ennek megfelelő fékező nyomaték nagysága: ( 53 ) Ez megegyezik az [ 1 ] műben más úton nyert eredménnyel. M2. Az 1. ábra szerint fennáll a ( 54 ) korlátozó feltétel is; az egyes összeadandókat ennek figyelembe vételével lehet felvenni. A H méret a kút tengelyének a víz felszínétől mért távolsága. A vödörnek még éppen nem szabad a vízbe belecsobbannia, mert az már egy másik folyamat lenne, nem az itt vizsgált. Fennáll ezen kívül még a teljes működő kötélhosszra vonatkozó azon feltétel is, hogy ( 55 ) vagyis hogy a vödör bele tudjon merülni a kút vizébe.

11 11 M3. Ebben a dolgozatban nem vizsgáltuk a mozgások lefolyásának egyéb jellemzőit is. Ez ügyben a fent említett korábbi dolgozatunkra utalunk. M4. Az F kerületi erőt az N nyomóerővel és a μ súrlódási tényezővel is kifejezhetjük:. ( 56 ) Az ( 56 ) képlet szerinti nagyságú erővel kell a fék súrlódó felületét a hengernek nyomni. Ez gyakran a kút használójának a keze volt annakidején. Amikor láttuk, hogy az emberek így azaz kézzel fékezve engedik le a vödröt, mindig az jutott az eszünkbe, hogyhogy nem megy szálka a kezükbe. A másik nagyon érdekes tény, hogy a sok használattól a fa henger csillogóra polírozódott. Meg kellene még tudni a régiektől, hogyan csinálták ezt. Talán megcsiszolták a hengert, használatba vétel előtt? Vagy eleinte dörzspapírt használtak a leengedéshez? Esetleg gurtnit? M5. Ne feledjük, fentiek csak egy modell működését írják le. A valóság ettől lényegesen eltérhet. De talán nem olyan nagyon, hogy ne lenne érdemes a fentieket végiggondolni. Látható, hogy ezt azzal is segítjük, hogy a számításokat erősen részletezzük. Tesszük ezt azért is, mert az évek során számos kellemetlen tapasztalatra tettünk szert, olyan esetek - ben, amikor az eleganciára törekvés miatt csúnya hibákat vétettünk. ( Emlékezetes e témában a matek szigorlatunk esete is ) M6. A gyerekek kíváncsiak. Néha még idősebb korukban is. Így keletkezhetnek az ilyen írások. Hajrá, gyerekek! Irodalom: [ 1 ] Günter Holzmann ~ Heinz Meyer ~ Georg Schumpich: Technische Mechanik Kinematik und Kinetik 10. Auflage, Vieweg + Teubner Verlag, Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár