A konfokális és a nem - konfokális ellipszis - seregekről és ortogonális trajektóriáikról

Átírás

1 1 A konfokális és a nem - konfokális ellipszis - seregekről és ortogonális trajektóriáikról Előző dolgozatunk melynek címe: Ha az évgyűrűk ellipszis alakúak lennének készítése során böngész - gettük az [ 1 ] művet. Itt említik, illetve ábrázolják a címbeli görbeseregeket. Most ezekről lesz szó megint. Vagyis megeshet, hogy az itteniek egy részét már máskor, máshol is leírtuk. A konfokális szó arra utal, hogy a görbesereg minden görbéjének ugyanaz a fókusza. A nem - konfokális pedig arra, hogy a görbesereg görbéinek nem ugyanaz a fókusza. Itt olyan ellipszisekről van szó, melyek középpontja / centruma, valamint főtengelyei is ugyanazok. Esetünkben ezek: az ábrázolásra használt Oxy koordináta - rendszer O origója, valamint az ezen átmenő, egymásra merőleges x és y tengelyei. Kezdjük a görbeseregek egyenletével! Ehhez tekintsük az 1. ábrát! A konfokális ellipszis - sereg egyenletének felírása 1. ábra forrása: osztaly/az-ellipszis/az-ellipszis Az ellipszis középiskolából ismert kanonikus egyenlete [ 2 ] : ( 1 ) Jelölések: ~ a: a fél nagytengely, illetve annak hossza; ~ b: a fél kistengely, illetve annak hossza; ~ c: a fókuszok fél távolsága.

2 2 Közöttük fennáll az 1. ábráról is leolvasható, Pitagorász tételével adódó ( 2 ) összefüggés. Most ( 2 ) átalakításával: tehát ( 3 / 1 ) ( 3 / 2 ) Majd ( 2 ) és ( 3 ) - mal: ( 4 ) A ( 4 ) egyenlet a konfokális ellipszis - sereg paraméteres egyenlete. Benne c a közös / rögzített állandó, λ pedig a különböző értékeket felvevő, a görbesereg egy - egy görbéjét leíró paraméter. Erre nézve a ( 3 / 2 ) értelmező összefüggés szerint fennáll, hogy ( 5 ) A 2. ábra egy konfokális ellipszis - sereget ábrázol. Az ábráról leolvasható, hogy a λ = 0 esettől ( F 1 F 2 vízszintes szakasz ) a λ ( r = c λ sugarú kör ) esetéig tart a görbék alakváltozása. A két szélső esetet nem tudjuk pontosan megjeleníteni, ez azonban nem változtat a bemutatott alakváltozási tendencián. A nem - konfokális ellipszis - sereg egyenletének felírása A legegyszerűbb alak az alábbi lehet, melyet ( 1 ) - ből alakítunk ki: ( 6 ) A c paraméterre ekkor írható, hogy ( 7 ) A 3. ábrán egy ilyen görbesereget szemléltetünk; itt a görbék hasonlóak egymáshoz.

3 3 2. ábra 3. ábra

4 4 Folytassuk az ellipszis - seregek ortogonális trajektóriáinak meghatározásával! A nem - konfokális ellipszis - sereg ortogonális trajektóriái egyenletének felírása Itt ugyanúgy járunk el, mint az előző dolgozatban. A részletezés indoklása később esedékes. Az ellipszis - sereg differenciálegyenlete ( 6 ) differenciálásával: ( 7 ) most egyszerűsítve és ( 7 ) - ben elvégezve a két görbesereg merőlegességét kifejező ( * ) szerinti helyettesítést: rendezve: reciprok - képzéssel: integrálva: ( ** ) átalakítva: innen: ( 8 ) A 3. ábra példájának adataival: ( 8 / 1 ) A 4. ábra a ( 8 / 1 ) függvényeket is ábrázolja, K = 0; ± 1 / 50; ± 1 / 15; ± 1 / 7; ± 1 / 3; ± 1; ± 6 értékekkel. Nem feledjük, hogy az x = 0 egyenes is részét képezi ( ** ) megoldásának [ 3 ]. Ezzel a két görbesereg merőlegessége megnyugtatóan szemléltetett.

5 5 4. ábra A konfokális ellipszis - sereg ortogonális trajektóriái egyenletének felírása Az [ 1 ] munkában azt olvastuk, hogy a konfokális ellipszis - sereg ortogonális trajektóriái konfokális hiperbolasereg. Ezért először ezzel foglalkozunk. Induljunk ki a hiperbola kanonikus egyenletéből [ 2 ]! ( 9 ) A c paraméterre itt a Pitagorász tétellel ez írható 5. ábra : ( 10 ) átalakítva: tehát: ( 11 / 1 )

6 6 5. ábra forrása: osztaly/parabola-ellipszis-hiperbola/a-hiperbola ( 11 / 2 ) Most ( 9 ) és ( 11 ) - gyel: ( 12 ) A ( 12 ) egyenlet a közös fókuszú hiperbola - sereg egyenlete, ahol c = konst., a μ változó paraméterrel pedig a görbesereg egy adott görbéjét választjuk ki. Értéktartománya: ( 13 ) A példaként választott c = 2 értékkel ( 12 ) így alakul: ( 14 ) Ezen implicit egyenlettel megadott görbesereget a 6. ábrán jelenítettük meg, ( 13 ) - ra is figyelve. Az ábrázoláshoz az alábbi paraméter - értékeket választottuk: μ = 0,0015; 0,05; 0,1; 0,25; 0,5; 0,75; 0,85; 0,95; 0,995. Itt az adatokat nem tüntettük fel a grafikonon, a zsúfoltság és az információvesztés elkerülése érdekében, hiszen itt nem zárt görbékről van szó. Megfigyelhető, hogy a μ 0 eset a fókuszoktól elmutató vízszintes félegyeneseket, míg a μ 1 eset az y - tengelyhez simuló / kiegyenesedő görbéket adja.

7 7 6. ábra Most ábrázoljuk együtt a 2. és a 6. ábrákat ld. 7. ábra! Szemmel láthatóan fennáll az a helyzet, hogy az egyik görbesereg a másik ortogonális trajektóriája. Ne feledjük, hogy eddig ezt elhittük : a szakkönyveknek és a szemünknek! Azonban jó lenne ezt matematikai úton is belátni! Mit is? Azt, hogy egy konfokális ellipszis - sereg ortogonális trajektóriája egy konfokális hiperbola - sereg, és viszont. Ehhez írjuk fel az ellipszis és a hiperbola egyenletét paraméteresen! Az ellipszis paraméteres egyenletrendszere: ( 15 ) ( 16 ) A hiperbola paraméteres egyenletrendszere: ( 17 ) ( 18 ) Most vizsgáljunk egy olyan esetet, amilyet a 8. ábra mutat, vagyis amikor a két görbe

8 8 7. ábra 8. ábra

9 9 metszéspontjának koordinátái pozitívak. Ekkor ( 17 ) - ben a + előjel marad. Most előállítjuk a görbék metszéspontbeli iránytényezőit. Ehhez felhasználjuk, hogy ( 19 ) Most ( 15 ), ( 16 ), ( 19 ) - cel: tehát: ( 20 ) Majd ( 17 ), ( 18 ), ( 19 ) - cel: tehát: ( 21 ) Mivel a két görbe M metszéspontbeli koordinátái egyenlőek, ezért az feltételből, ( 15 ) és ( 17 ) - tel is: ( 22 ) ( 22 / 1 ) innen: ( 23 ) majd az ( 24 ) feltételből, ( 16 ) és ( 18 ) - cal is: innen: ( 25 )

10 10 Most felhasználjuk az alábbi azonosságot [ 2 ] : ( 26 ) Majd ( 23 ), ( 25 ), ( 26 ) - tal: átalakításokkal: ( 27 / 1 ) ( 27 / 2 ) A továbbiakban a szinusz pozitív értékeire szorítkozunk, így Most ( 20 ) - ból az M metszéspontbeli ellipszis - iránytényezőre: ( 27 ) ( 28 ) azonos átalakításokkal: ( 29 )

11 11 majd ( 27 / 1 ) és ( 29 ) - cel: tehát: ( 30 ) Ezután ( 28 ) és ( 30 ) - cal: ( 31 ) Most ( 21 ) - ből az M metszéspontbeli hiperbola - iránytényezőre: ( 32 ) ámde ( 23 ), ( 25 ) és ( 30 ) - cal: tehát: ( 33 ) ezután ( 32 ) és ( 33 ) - mal: ( 34 ) Most ( 31 ) és ( 34 ) összehasonlításából: ( 35 ) ez a görbeseregek M pontbeli merőlegességének feltétele, ahogy annak a várakozások alapján lennie kell. Ha ( 35 ) egy tetszőleges itt: ( x M, y M ) > 0 M pontra igaz, akkor minden más pontra is igaz, hiszen a ( 35 ) eredmény a görbeseregek belső tulajdonságaiból adódott, az M pont megválasztása pedig tetszőleges lehet. Ezzel beláttuk, hogy egy konfokális ellipszis - sereg ortogonális trajektóriája egy konfokális hiperbola - sereg, és viszont.

12 12 Megjegyzések: M1. A ( 4 ) és ( 12 ) szerinti felírást [ 4 ] - ből kölcsönöztük. M2. A paraméteres egyenletrendszerek [ 1 ] : ( 36 ) ( 37 ) M3. Ügyelni kell a számítások során arra a tényre, hogy a két görbe paramétere nem azonos értékű egy adott M pontra: t Me t Mh. Pozitív metszésponti koordinátákra: ~ az ellipszis - sereg metszésponti paramétere ( 27 ) - ből: ( 38 ) ~ a hiperbola - sereg metszésponti paramétere ( 25 ) és ( 27 ) - ből: innen: ( 39 ) Számpélda, a 8. ábra adataival: c = 2 ( cm ), λ = 1, μ = 0,1. ( a ) Most ( 38 ) és ( a ) - val: ( b ) Ugyanez a Graph szolgáltatásával: 0, , vagyis gyakorlatilag pontosan ugyanaz. Majd ( 39 ) és ( a ) - val:. ( c ) Ugyanez a Graph szolgáltatásával: 0, , vagyis gyakorlatilag pontosan ugyanaz. Eszerint a képleteink jól működnek. Látjuk, hogy a kétféle görbe - paraméter tényleg nem egyenlő, általában. M4. A 8. ábrán a pontozott vonalak metszéspontjaként adódó M pontra a Graph szoftver szolgáltatása szerint: dy/dx ( ell ) = , dy/dx ( hip ) = ; ezekkel: = 1 / , tehát ( 35 ) kielégül.

13 13 M5. Érdemes meghatároznunk a konfokális görbék metszéspontjainak koordinátáit. Kezdjük az x M > 0, y M > 0 esettel! Ekkor ( 22 / 1 ) és ( 27 / 1 ) szerint: tehát: ( 40 ) Hasonlóan tehát: ( 41 ) Továbbá: minthogy a két másodrendű görbének 4 metszéspontja lehet, ezért a lehetséges megoldások: M ( ± x M, ± y M ). Ez jól látható a 7. ábrán is, hiszen a görbék az x és az y tengelyre is szimmetrikusak. Számpélda, a 8. ábra adataival: c = 2 ( cm ), λ = 1, μ = 0,1. ( a ) Most ( 40 ), ( 41 ) és ( a ) - val: ( d ) ( e ) Ezek is pontosan megegyeznek a Graph szoftver szolgáltatta eredményekkel, melyek a 8. ábra bal alsó sarkában olvashatók. Eszerint képleteink jól működnek. M6. A 7. és 8. ábrákhoz kapcsolódó feladatrészben nem volt járható a ( * ) helyettesítés alkalmazása; ugyanis [ 1 ] - ben megmutatják, hogy a konfokális ellipszis - és hiperbola - seregek ugyanazon differenciálegyenlettel írhatók le, így a mondott helyettesítés nem visz előrébb minket. Ez nem is annyira meglepő, ha a szakirodalomban szokásos, pl. az [ 1 ] műben is olvasható alakban írjuk fel a konfokális kúpszeletek kanonikus egyenletét: ( 42 ) A konfokális ellipszis - és hiperbolaseregekről további tudnivalókat találhatunk az [ 5 ], [ 6 ], [ 7 ], [ 8 ] munkákban is. Most [ 7 ] - ből idézünk 9. ábra.

14 14 9. ábra forrása: [ 7 / 2 ] Itt végigkövethetjük annak igazolását, hogy a konfokális ellipszis - sereg és hiperbola - sereg, mint egymás ortogonális trajektóriái, ugyanazzal a differenciálegyenlettel írhatók le. E példában c = ± 1 ( h. e. ), így ( 4 ) és ( 12 ) - ből: ( f ) ( g ) Vagyis ( f ) és ( g ) szerint az ( h )

15 15 egyenletben a választás az ellipszis - sereg, a választás pedig a hiperbola - sereg egyenletét adja, a 9. ábra szövegének megfelelően. Irodalom: [ 1 ] R. Rothe: Matematika gépészmérnökök számára Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1960., 97., 654., 656. o. [ 2 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963., 256., 259. o. [ 3 ] V. V. Sztyepanov: A differenciálegyenletek tankönyve Tankönyvkiadó, Budapest, 1952., 65 ~ 66. o. [ 4 ] Simonyi Károly: Elméleti villamosságtan 7. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1976., 127 ~ 128. o. [ 5 ] A. Schoenflies ~ M. Dehn: Einführung in die Analytische Geometrie der Ebene und des Raumes 2. Auflage, Springer - Verlag Berlin Heidelberg 1931., 135. o. [ 6 ] [ 7 / 1 ] A. F. Bermant: Matematikai analízis II. rész Tankönyvkiadó, Budapest, 1951., 267. o. vagy: [ 7 / 2 ] A. F. Bermant: A Course of Mathematical Analysis Part II. Pergamon Press Ltd., New York, 1963., 268. o. [ 8 ] Szerk. Fazekas Ferenc: Műszaki matematikai gyakorlatok B. VII. Bajcsay Pál: Közönséges differenciálegyenletek 2. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1962., 194 ~ 197. o. Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár